Сызықты программалау есебінің (спе) элементтері
Күнделікті өмірге қажетті есептердің жобасын жасау және оларды шешу жолдары әр түрлі. Дегенмең барлық есептерге ортақ есепті құру және шешу тәсілдерін көрсетуге болады. Жалпы тәжірибелік есептерді шығару жұмыстарын мынадай кезеңдерге бөледі: есепті қою, есепті формалдау (яғни реттеп-тәртіптеп жазу, керекті мәліметтерді жинау және өңдеу), есептің математикалық моделін құру, есепті шығару әдісін таңдау, есеп күрделі болса, онда оны таңдап алған әдіспен компьютер арқылы шығару үшін программа құру, есепті шығару, есептің шыққан нәтижесін талдау және тәжірибеде қолдану. Осы кезеңдерге кеңірек тоқталайық.
Есептің қойылуы. Қандай есепті құрастырмасақ та, алдымызға мақсат ашықжәне толық, түсінікті, нақтылы болуы міндетті түрде қажет. Былайша айтқанда, әр түрлі жағдайларға байланысты нені тапқымыз келеді? Алдымызға қойған мақсатты орындау үшін қандай мүмкіндігіміз бар? Қолда бар қаражатжәне қорларымыз жете ме? Мақсатты орын-дауға керекті жағдайларымыз қандай?
Міне осыларға байланысты есептің мақсаты және оны орындауға қажетті шарттар нақтылы сөзжүзінде көрсетіледі. Осы жағдайды есептің сөз жүзінде берілуі (қойылуы) дейді.
2. Есепті формалдау (формалдау деген сөздің түбірі латынша реттеу, тәртіптеп жазу деген мағынаны білдіреді). Бұл кезең өте жауапты және ең ауыр қажетті іс-әрекеттерді жасауды қажет етеді. Осы кезеңце есептің математикалық моделі нақтылы, шындыққа жақын болу үшің есепті шығаруды қажет етіп отырған тұтынушымең оны математикалық әдіспен шығарушы, яғни орындаушы мамандардың арасында бір-бірін толық түсінушілік болуы қажет. Сонымен қатар, есептің сандық математикалық моделін құруға қажетті мәліметтердің сан мәндері толығымен жиналып және олар математикалық-статистикалық әдістермен өңделіп, талдануғатиісті.
3. Есептің математикалық моделін қүру. Алдымен модель деп нені айтылатынына тоқталайық. Қарапайым тұрғыдан қарағанда модель деген әркімге таныс. Мысалы, ойыншық ұшақ- кәдімгі ұшақтың моделі, ойыншық ат - аттың моделі бола алады. Бұл сияқты моделдерді оқырмандар күнделікті өмірде көп кездестіреді. Күнделікті тұрмыста аз кездесетін моделдер де бар, ол моделдерді кейде әр түрлі жағдайда
г»\көрсетуге болады. Мәселең табиғаттың моделін (пейзаждың моделін) фотосурет түрінде, жоспар түрінде немесе географиялық карта түрінде көрсетуге болады.
Есептің қойылуы. Қандай есепті құрастырмасақ та, алдымызға мақсат ашықжәне толық, түсінікті, нақтылы болуы міндетті түрде қажет. Былайша айтқанда, әр түрлі жағдайларға байланысты нені тапқымыз келеді? Алдымызға қойған мақсатты орындау үшін қандай мүмкіндігіміз бар? Қолда бар қаражатжәне қорларымыз жете ме? Мақсатты орын-дауға керекті жағдайларымыз қандай?
Міне осыларға байланысты есептің мақсаты және оны орындауға қажетті шарттар нақтылы сөзжүзінде көрсетіледі. Осы жағдайды есептің сөз жүзінде берілуі (қойылуы) дейді.
2. Есепті формалдау (формалдау деген сөздің түбірі латынша реттеу, тәртіптеп жазу деген мағынаны білдіреді). Бұл кезең өте жауапты және ең ауыр қажетті іс-әрекеттерді жасауды қажет етеді. Осы кезеңце есептің математикалық моделі нақтылы, шындыққа жақын болу үшің есепті шығаруды қажет етіп отырған тұтынушымең оны математикалық әдіспен шығарушы, яғни орындаушы мамандардың арасында бір-бірін толық түсінушілік болуы қажет. Сонымен қатар, есептің сандық математикалық моделін құруға қажетті мәліметтердің сан мәндері толығымен жиналып және олар математикалық-статистикалық әдістермен өңделіп, талдануғатиісті.
3. Есептің математикалық моделін қүру. Алдымен модель деп нені айтылатынына тоқталайық. Қарапайым тұрғыдан қарағанда модель деген әркімге таныс. Мысалы, ойыншық ұшақ- кәдімгі ұшақтың моделі, ойыншық ат - аттың моделі бола алады. Бұл сияқты моделдерді оқырмандар күнделікті өмірде көп кездестіреді. Күнделікті тұрмыста аз кездесетін моделдер де бар, ол моделдерді кейде әр түрлі жағдайда
г»\көрсетуге болады. Мәселең табиғаттың моделін (пейзаждың моделін) фотосурет түрінде, жоспар түрінде немесе географиялық карта түрінде көрсетуге болады.
2. СЫЗЫҚТЫ ПРОГРАММАЛАУ ЕСЕБІНІҢ (СПЕ) ЭЛЕМЕНТТЕРІ
2.1. Шешім қабылдау кезеңдері
Күнделікті өмірге қажетті есептердің жобасын жасау және оларды шешу жолдары
әр түрлі. Дегенмең барлық есептерге ортақ есепті құру және шешу тәсілдерін
көрсетуге болады. Жалпы тәжірибелік есептерді шығару жұмыстарын мынадай
кезеңдерге бөледі: есепті қою, есепті формалдау (яғни реттеп-тәртіптеп
жазу, керекті мәліметтерді жинау және өңдеу), есептің математикалық моделін
құру, есепті шығару әдісін таңдау, есеп күрделі болса, онда оны таңдап
алған әдіспен компьютер арқылы шығару үшін программа құру, есепті шығару,
есептің шыққан нәтижесін талдау және тәжірибеде қолдану. Осы кезеңдерге
кеңірек тоқталайық.
Есептің қойылуы. Қандай есепті құрастырмасақ та, алдымызға мақсат ашықжәне
толық, түсінікті, нақтылы болуы міндетті түрде қажет. Былайша айтқанда, әр
түрлі жағдайларға байланысты нені тапқымыз келеді? Алдымызға қойған
мақсатты орындау үшін қандай мүмкіндігіміз бар? Қолда бар қаражатжәне
қорларымыз жете ме? Мақсатты орын-дауға керекті жағдайларымыз қандай?
Міне осыларға байланысты есептің мақсаты және оны орындауға қажетті шарттар
нақтылы сөзжүзінде көрсетіледі. Осы жағдайды есептің сөз жүзінде берілуі
(қойылуы) дейді.
2. Есепті формалдау (формалдау деген сөздің түбірі латынша реттеу,
тәртіптеп жазу деген мағынаны білдіреді). Бұл кезең өте жауапты және ең
ауыр қажетті іс-әрекеттерді жасауды қажет етеді. Осы кезеңце есептің
математикалық моделі нақтылы, шындыққа жақын болу үшің есепті шығаруды
қажет етіп отырған тұтынушымең оны математикалық әдіспен шығарушы, яғни
орындаушы мамандардың арасында бір-бірін толық түсінушілік болуы қажет.
Сонымен қатар, есептің сандық математикалық моделін құруға қажетті
мәліметтердің сан мәндері толығымен жиналып және олар математикалық-
статистикалық әдістермен өңделіп, талдануғатиісті.
3. Есептің математикалық моделін қүру. Алдымен модель деп нені
айтылатынына тоқталайық. Қарапайым тұрғыдан қарағанда модель деген әркімге
таныс. Мысалы, ойыншық ұшақ- кәдімгі ұшақтың моделі, ойыншық ат - аттың
моделі бола алады. Бұл сияқты моделдерді оқырмандар күнделікті өмірде көп
кездестіреді. Күнделікті тұрмыста аз кездесетін моделдер де бар, ол
моделдерді кейде әр түрлі жағдайда
г\көрсетуге болады. Мәселең табиғаттың моделін (пейзаждың моделін)
фотосурет түрінде, жоспар түрінде немесе географиялық карта түрінде
көрсетуге болады.
Бір затпен екінші немесе үшінші заттардың байланысын математи-калықформула
түрінде көрсетуге болады, мұны заттардың бір-бірімен өзара байланысын
көрсететін математикалық модель дейді. Мысалы, белгілі формула: 8 = V- і-
материалдық нүктенің бір қалыпты қозғалыс жолының моделі. Есепті сөзбен
айтқанда, бір қалыпты қозғалған дене жолының ұзындығы, сол дененің қозғалыс
жылдамдығы мен уақытының көбейтіндісіне тең. Сөйтіп, мұндай моделді
математикалық модель дейді. Берілген мәліметтерді және есептің шешуінен
шығатын қорытын-дыны матрицалық модель түрінде беру көп жағдайларда талдау
жасау-ға өте ыңғайлы келеді.
Жоғарыда айтылған ойыншық ат, ұшақ, фотосурет, жоспар, матема-тикалық
формула, матрица және тағы басқаларды бір сөзбен айтқанда модель деуге
болады. Модельдің қасиеті - оны сол затқа ұқсатуында (ұшаққа, атқа) және
заттардың арасындағы заңдылықты толық көрсе-туінде (мысалы математикалық,
матрицалық т.б.)- Модель кейде қарастырып отырған заттың барлық қасиеттерін
толық көрсетпеуі мүм-кін. Мысалы, ұшақ шығаратын зауыт директорының
үстелінде тұрған ұшақтың моделі, зауыт шығаратын ұшақтың формасын анық
көрсетке-німен, ұшу қабілетіне сәйкес емес. Модель шын затқа кейде өте
ұқсап та, онша үқсамауы да, қарапайым да, күрделі де болуы мүмкін.
Ғылым мен техниканың өсуіне, кибернетика мен электрондық есептеу
машиналарының жоспарлау және басқару мәселелеріне кеңінен пайдалануына
байланысты кейінгГ жылдары экономикалық-мате-матикалық модель деген термин
кеп қолданылып жүр. Мұны экономикал ық үрдістердің математика тілінде
жазылуы деп қарастыруға болады. Бұл жағдайларда моделые кірген
математикалық символ-дардың, коэффициенттердің барлығының экономикалық
теңеуі (мәні) болу қажет. Экономикалық-математикалық модельдер формула
түрінде де, матрица түрінде де берілуі мүмкін.
Берілген мәліметтердің (ақпараттардың) мазмүнына, есептеу тәсілдері мен
қойылу шарттарына байланысты модель статистикалық (егер экономиканың әр
түрлі жағдайын қарастырса) және динамикалық (егер экономиканың өсу келешегі
қарастырылса) болып бөлінеді. Жоғарыда айтылғандардан, берілген есептің
математикалық моделін құру дегеніміз - алға қойған мақсатты және оны
орындау үшін қажетті шарттарды математикалық формула түрінде көрсету.
534. Табылған математикалық модельді шешуге ыңәайлы әдісті таңдапалу.
Берілген математикалық модельді шешуге көптеген әдістер қолданылуы мүмкін,
сөйтіп солардың ішінен тиімді әдісті немесе алгоритмді таңдап алу қажет.
Мысалы, сызықтық алгебралық теңдеу-лержүйесін шешу үшін Гаусс, Зейдед кері
матрица табуарқылы шешу және т.б. әдістері бар. Міне осылардың ішінен
есептің мақсатына байланысты бір әдісті таңцап алу үрдісі осы кезеңге
сәйкес.
Мұндағы қойылған есепті тиімді шығару жолы деп отырған жұмыс-тың мәнісі әр
түрлі болуы мүмкін. Мысалы, берілген есепті шешуге бір әдісті қолдансақ,
көп уақыт жұмсалынып есептің дәлірек мәнінің ал ынуы, ал басқа әдісті
қолдансақ, аз уақыт жұмсалынып есептің жуық мәнінің алынуы, тіпті керісінше
де болуы мүмкін. Көбінесе осы кездегі күнделікті өмірде қолданылып жүрген
есептер дербес компьютерлерде шығарылатын болғандықтаң есептің шығару
әдісін таңдағанда ком-пьютерге программа жасаудың ыңғайлы әдісін таңдауға
тура келеді. Есепті шешуге ыңғайлы болу үшін кейде берілген модельдің түрін
өзгертіп те жіберуіміз мүмкін.
Мысалы, мына көпмүшелі теңдеудің X = 1,5 болғандағы мәнін табу керек
болсын:
Р(Х) = 5Х3 + 4Х2 - ЗХ +2. (2.1)
Оқырмандарға белгілі Х=1,5 болғандағы Р-ның мәнін табу үшін теңцеудегі Х-
тің орнына 1,5 қойып есептеу керек.
Р(1,5) = 5. (1,5)3 + 4. (1,5)г-3. (1,5) +2 = = 5 . 3,375 + 4. 2,25 - 3. 1,5
+2 = 23,375.
Айталық, берілген көпмүшелік теңдеу үшінші дәрежедегі (Х-тің дәре-жесі
бойынша) көпмүшелік емес, 15-дәрежедегі көпмүшелік болса, онда жоғарыдағы
әдісті пайдалану өте қиынға түседі, өйткені 1,5 санын 2-ден бастап 15-
дәрежеге көтеру техникалық жағынан қарағанда онша оңайға түспейді. Сонымен
қатар, компьютерге бұл әдіс үшін программа жасау да жеңіл емес. Есептің
жазылуын басқаша етіп өзгертелік: Р(Х) ^5^+4^-ЗХ +2 = ((5Х+4) X -3) Х+2.
Р(Х) = ((5Х+4) Х-3) Х+2 . (2.2)
Егер (2.2) теңдеудегі жақшаны ашсақ (2.1) теңдеуді аламыз, демек ешнәрсе
өзгерген жоқ. Енді X = 1,5 болғандағы Р-нің мәнін табалық:
Р(1,5) = ((5. 1,5 + 4).1,5-3).1,5 + 2 = (11,5.1,5-3). 1,5 + 2 = 23,375.
Біз мұнда дәрежеге көтеру амалын көбейту амалына ауыстырып жібердік,
көбейту амалы дәрежелеуге қарағанда әлде қайда жеңіл
Жалпы түрде п дәрежелі көпмүшелік берілсе:
Р(Х) = а^ +а^+ ... +ап^+ап. (2.3)
Р(Х) өзгертіп былай жазуға болады:Р(Х) = (...(а^+а,) Х+а^ Х+.-Ла^) Х+ап.
(2.4)
Соңғы әдісті Горнер әдісінің алгебрасы дейді.
б.Таңдап алған әдісті машина тіліне көшіру немесе белгілі алго-ритмдік
тілде таңдап алған әдіске компьютерге арнайы тілде програм-ма құрылады және
мынадай жұмыстар жасалынады:
- берілген сандық мәліметтер мен әдіске жасаған программаны машинаға
енгізуге болатындай етіп дайындап алып, оларды дискетке және тағы да басқа
мәлімет тасушыларға түсіру;
-тікелей есепті шешу;
- табылған есептің шешуіне талдау, қажет болған жағдайда, сандық
ақпараттарды, тіпті есептің кейбір шарттарын өзгертіп немесе толықтырып
есепті қайта шешу.
б.Табылған шешуді тәжірибежүзінде қолдану. Егер құрылған есепті компьютерді
қолданбай ұсақ машиналарды (калькуляторларды)ғана пайдаланып, қолмен
шешетін болсақ, онда 4 және 5-кезеңдер қарастырылмайды.
Мұндағы ескеретін бір жай, барлық модельдер үшін есепті шешудің (машинада
немесе қолмен) қажеттігі бар деп қарауға болмайды. Тәжірибеде барлық
модельдерді үш топқа бөлуге болады:
- портреттік модель, мұнда заттың бейнесін дәл түсіру. Айталық, үйдің
макетін салу, адамның суретін салу немесе аспан әлеміндегі жұлдыздарды
бейнелеу. Мүндай модельдерді көбінесе суретшілер мен сәнді үлгілеушілер
жасайды;
- типтес (аналогиялық) модельдер бұл модельдерде табайық деп отырған заттың
барлық қасиеттерін одан оңайлау, бірақ алғашқыға өте ұқсайтын затпен
алмастырады. Мысалы, температура түсінігін график түрінде беруге болады,
мұндай температурада пайдаланатын градус мөлшерін оған бір өлшем бірлігінің
ұзындығына теңестіреді;
- символдық немесе ой жүйелік-математикалық модель - бұл әр түрлі
үрдістерді экономикалық, техникалық т.б. есептерді символдық байланыстар
арқылы өрнектейді. Мұндай модельдер берілген есепті математикалық символ
және терминдер арқылы өрнектейді, сонымен қатар математикалық шешімін және
табылған шешімдер ішінен тиімдісін таңдап алуға мүмкіншілік береді.
Жоғарыда айтылғандай, сызықты программалау әдістері матема-тиканың жаңа
саласының бірі. Сызықты программалау әдістерін пайдаланып, халық
шаруашылығында күнделікті қолданылатын сан алуан есептерді шешуге болады.
Мысалы, негізінен ол есептерге: өндіріс орындарыныңжоспарлау, өндірістен
мүмкін болғанша жоғары өнім алу, техниканы, өндіріс құралдарын дұрыс
пайдалану, малға тиімді рацион
55жасау, қатынас есептерін шешу, тағы сол сияқты халық шаруашылығын
өркендету мәселелерін қарастыратын есептер жатады.
Сызықты программалау әдістерінің қарапайымдылығы, бұл әдістерді тез оқып
үйренуге және оны тәжірибелік есептерге қолдануға арнайы математикалық
білім қажет емес. Өйткені, сызықты программалау есептерінде есептің
құрамына енетін белгісіздер әрқашанда сызықты, яғни дәреже көрсеткіштері
бірден артпайды. Былайша айтқанда, есепті құратын модельдегі байланыстар
сызықты теңдеулер немесе теңсіз-діктер түрінде беріледі.
Сызықты программалау есептерінің математикалық моделін құру үшін кем
дегенде үш ұғым белгілі болуы қажет.
- қандай есеп болсада, алдына қойылған толық мақсат болуы міндетті. Осы
мақсатқа сәйкес құрылған математикалық өрнекті - мақсат функция немесе
тиімділіктің (оптималдылықтың) шарты делінеді;
- мақсатқа жетуде қандай шарттарды орындау керектігі белгілі болуы қажет.
Мұны белгілі мақсатқа жетудің технологиялық әдісі немесе қойылатын шарттары
дейді;
- ізделініп отырған белгісіздердің шамаларына қойылатын талаптар болуға
тиісті. Математика тілімен айтқанда, көп шешулердің ішінен таңбасы оң және
берілген шарттармен мақсат функцияны бірдей қана-ғаттандыратын
белгісіздердің мәнін табу қажет. Нақтылы айтсақ, сызықты программалау
есебінің мақсат функция экстремумын (функ-цияның берілген аймақтағы ең кіші
немесе ең үлкен мәнін табу үрдісін функцияның экстремумын табу деп атайды)
табу осы есептің ең негізгі талабы.
2.2. СПЕ модельдерінің түрлері жәнө құру жолдары 2.2.1. Сызықты
теңсіздіктержәне олардың СПЕорны
Экономикалық, техникалық және басқа жоспарлау есептерін құруда
теңсіздіктердің маңызы зор. Алгебралық теңсіздіктердің көмегімен көптеген
есептердің шарттарын математика тілінде жазуға болады.
Алгебралық теңсіздіктердің тәжірибелік сызықты программалау есептерінде
қолдану негізін түсіну үшін біраз қарапайым мысалдар қарастырайық.
1-есеп. Менеджер тігін фабрикасына екі түрлі матадан екі үлгідегі киім тігу
жұмысының ұтымды жоспарын құруы керек. Әрбір үлгіде тігілетін киімге
матаның екі түрі пайдаланылатын болсын. Әрбір үлгіден бір киім тігуге
төменгі кестеде көрсетіл гендей әр мата метрі қажет делік.
56Бұл көрсеткіштерді экономика тілінде нормативтік коэффициенттер деп
атайды.
2.1-кесте
Тігілетін киім 1-мата, м 2-мата, м
1 үлгідегі 2 0,6 0,8 1,2 0,6
үлгідегі
Тігін орнында матаның бірінші түрінен 24 метр, екінші түрінен 36 метр
болсын. Ал бірінші үлгі бойынша тігілген киімнің бағасы 16 мың теңге,
екінші үлгімен тігілген киімнің бағасы 12 мың теңге болса, қолдағы бар
матадан қандай үлгіден қанша тігілгенде ең көп табыс келтіретін жоспар
жасау қажет.
Есепті шешу үшін бірінші үлгіден жасалатын киімнің бізге белгісіз саны X,
ад екінші киімнің санын Х2 деп алайық. Бұл белгілеу бойынша тігілген
киімдерден түсетін жалпы табысты былай өрнекгеуге болады:
2 = 16Х^ + 12Х2 - тах.
Мұндағы ібХ^ - бірінші үлгідегі киімнен түсетін табыс. 12Х2 екінші үлгідегі
киімнен түсетін табыс, ал 2 екі үлгідегі киімнен түсетін жалпы табысты
көрсетеді. Есептің шарты бойынша 2 ең көп табыс болу керек, сондықтан ең
көп (ең үлкен) дегенді максимум немесе қысқаша математика тілінде МАХ деп
белгілеуге болады.
Енді есептің шарттарын жазайық. Бірінші матадан бірінші үлгідегі киімнің
бір данасына 0,6 м керек болса, Х^ данасына О.бХ^ қажет болар еді, ал осы
матадан екінші үлгідегі бір дана киімді жасау үшін 0,8 м керек болса, Х2
данасына 0,8Х2 қажет. Екі үлгідегі киімге жұмсалатын матаның қолда бары 24
м-ден артпауы керек. Ендеше бірінші мата үшін мына теңсіздік орындалады:
0.6Х.,+0,8X2^24. Сол сияқты теңсіздікті екінші мата үшін жазайық:
1,2^+ 0,6X2 36.
Алгебралық теңсіздіктерді шешкенде Х^ мен Х2 мәндері теріс сандар да болуы
мүмкін. Ал қарастырылып отырған есепте Х^ мен Х2 -нің мәндері тек оң сан
немесе нөл болуға тиіс. Белгісіздердің мәндері оң сан болса, онда
белгіленген үлгілі киім тігіледі, ал нөлге тең болса, онда ол киім
тігілмейді дегенді білдіреді. Белгісіздің мәні теріс болуы мүмкін емес.
Ендешежоғарғы шарттармен қоса есепке мынадай шарттар
қосу қажет: Х^ 0, Х2 0.
57Сонымен есепте қойылған шарттарды математикалық түрде былай өрнектеуге
болады:
7. = 16Х, +12Х2 - шах (2.5)
0.6Х,+0.8Х2 24
1.2^Г1+0.6ЛГ2 36 (2-6)
Х^ 0, Х2 0. (2.7)
Нәтижесінде берілген СПЕ қарапайым математикалық моделі тұрғызылды.
2-есеп. Менеджер әр түрлі кәсіпорындарға 100000 доллар ақшаны инвестиция
(кредит) ретінде бөліп орналастырмақшы.
Менеджер жылдық табыстан келісілген пайыз мөлшерінде келетін ақшадан
максималды пайда табу үшін, осы кредитті әр кәсіпорнына тиімді орналастыру
жоспарын құруы керек.
Кәсіпорындардың аттарын: А, В, С, Д-деп белгілейік. Келісім шарт бойынша әр
кәсіпорын жылдық табыстың мынадай пайыздарын қайтаруға міндетті: А - 6 %, В
- 8 %, С - 10 % және Д - 9 %. Сонымен қатар, әр кәсіпорнында қауыпсіздік
немесе тәуекелділік (риск) дәрежесі, капиталдың қайтымы, басқа
нарықжағдайлары, мысалға салықтөлеу саясаты және т.б. түрлері белгілі
болсын.
Инвестиция жұмысының қауыпсіздігін азайту үшін менеджер капиталдың
жартысынан кем емес бөлігін А және В кәсіпорындарына орналастыруға, сонымен
қатар капиталдың қайтымдылығын (ликвид-ность) қамтамасыз ету үшін барлық
ақшаның 25 % астам бөлігін Д кәсіпорнына орналастыруға шешім қабылдады.
Өкіметтің саясатының өзгеруіне байланысты С кәсіпорнына 20 % аспайтын, ал
салық сая-сатының ерекшелігіне байланысты барлық капиталдың 30 % кем емес
бөлігін А кәсіпорнына орналастыру керек.
Шешімі. Әр кәсіпорнына бөлінген оптималды инвистиция мөлшерін: А - X, мың
доллар, В - Х2 мың доллар, С - Х^ мың доллар және Д - Х^ мың доллар деп
белгілейік.
Барлық кәсіпорынныңжылдықтабысынан бөлінген пайыздан түсетін ақша өлшем
бірлігіндегі мөлшері максималды болуы қажет, яғни: 2 = 0,06 Х,+ 0,08 Х2+
0,10 Х3+ 0,09 Х4.
Сонымен қатар мынадай шарттар орындалуға тиіс:
• барлық инвистиция мөлшері
Х,+ Х.;+Х. + Хл 100000;
• инвистиция қауыпсіздіпн (риск)қамі.імасызөту
5йХ + Х2 0.05 (Х,+ Х2+ Х3+ Х4);
• капиталдың қайтымдылығын (ликвидность) қамтамасыз ету
Х40,25(Х1+Х2+Х3+Х4);
• өкіметтің саясаты бойынша
Х3^0,20(Х1+Х2+Х3+Х4);
• салық салу саясаты бойынша
Х^О.ЗО^ + Х^+Хз + Х,);
• белгісіздердіңтеріс болмау шарты
Х, 0; Х2 0; Х3 0; Х4 0.
Сызықты программалау есебіне қойылатын талап бойынша әр теңсіздіктерде
белгісіздер теңсіздіктің сол жағында, ал тұрақты шама-лар оның оңжағында
орналастырылады. Олай болса есепті қарапайым түрлендіруден кейің оның
математикалық моделін былай жазуға болады:
• барлық табыстан бөлінетін пайыздың ақшалай өлшемін макси-малдау
Ъ = 0,06Х,+ 0,08Х2+ 0,10Х3+ 0,09Х4 (2.8)
• барлық инвистиция мөлшері
Хі + Х2 + Хз + Х4^10000°;
• инвистиция қауыпсіздігін (риск) қамтамасыз ету
0,95^+ 0,95Х2- 0,05Х3- 0,05Х4 0;
• капиталдың қайтымдылығын (ликвидность) қамтамасыз ету
- 0,25Хг 0,25Х2- 0,25Х3+0,75Х4 0;
• өкіметтің саясаты бойынша
- 0.20Қ- 0,20X2+ 0,80Х3- 0,20Х4 0;
• салық салу саясаты бойынша
0.70Х, - О.ЗОХ^- 0,30Х3- 0,30Х4 0;
• белгісіздердің теріс болмау шарты
Х, 0, Х2 0, Х3 0, Х40. (2.9)
Сонымен СПЕ қарапайым математикалық моделін (2.8-2.9) тұр-ғыздық.
Бұл есептерден тәжірибелік СП есептері үшін алгебралық теңсіздік-тің
маңызды екендігін байқаймыз.
3-есеп. Өндіріс орны үш топ станокты пайдаланып, екі түрлі зат
шығарады. Тәулігіне 1-топтағы станоктар 400 сағат, ІІ-топтағы станок-
тар - 360 сағат, ал ІІІ-топтағы станоктар - 3200 сағат жұмыс атқара
ишды. Бір і.ніі.ің ііір дшііи і.ін шыі.іруға жумі.иимн і іаноктардыцуақыты
төмендегі кестеде көрсетілген. Негізінде бұл көрсеткіштерді экономикалық
тілде техникалық-эконом^калық нормативтік коэффи-циенттер деп атайды.
Станоктар Бір дана затқа қажетті уақыт
топтары мөлшері, сағат
I зат — А II зат - В
1 топ 2топ 3 топ0,4 0,9 10,0 2,0 1,2 4,0
Бірінші заттың бір данасынан өндіріс орны 1,20 мың теңге, екінші заттың бір
данасынан 4,80 мың теңге пайда алатын болса, станоктардың жұмысжасай алатын
берілген уақытын (қорын) тиімді паңцалана отырып, әр заттан қанша жасағанда
өндіріс орнының ең көп пайда табатын жоспарын құру керек. Есептің мазмұны
ұғымды болу үшін 1-затты -А заты, 2-затты - В заты деп атайық. Ал А -
затының максималды пайда беретін санын X, дана, В - затының максималды
пайда беретін санын Х2дана деп белгілейік. Есептің шарты толығымен
формалданып бітті. Олай болса, есептің математикалық моделін құруға етуге
болады.
Есептің шарты бойынша бірінші топтағы станок Азатының бірданасын жасау үшін
0,4 сағат уақытжұмыс істейді, олай болса Х^ дананы жасау үшін ОДХ^ қажет.
Ал осы бірінші топтағы станок В затынан бір дана жасау үшін 2 сағат жүмыс
істейді, онда Х2 дана заты жасау үшін 2Х2 сағат уақыт керек. Олай болса 1-
станоктың А және В заттарының Х^ және Х2 данасын жасау үшін жұмыс уақыты
олардың тәулік ресурсынаң яғни 400 сағаттан аспауы керек:
0,4X^ + 2,0X^400.
Осы сияқты теңсіздіктерді II және III топтағы станоктар үшін жазсақ, олар
мына теңсіздіктермен өрнектелінеді:
0,9X^ + 1,2X^360 10X^+4,0X^3200 Өндіріс орнының алатын пайдасы:
2=7,2Х, + 4,8Х2
Сонымен біз берілген есептің төменгідей математикалық моделін тұрғыздық:
ДХ^ = 1,2Х( + 4,8Х2 - тах, (2.10)
мына жағдайда:
600,4X^+2,0X^400,
0,9Х+1,2Х2360, (2.11)
10,ОХ+4,ОХ23200, Х,0, Х20.
(2.12)
Есептің негізгі мақсаты (2.10) функциямен өрнектелген пайданың ең үлкен
мәнін іздеумен түсіндіріледі. Бұл мәнді жай алгебралық жолмен табуға бола
ма деген заңды сұраққа жауап беру үшін, мынадай жағдайларды қарастырайық.
Мысалы, егер 1-ші теңсіздіктегі 400 сағат уақытты толық пайда-ланып А-затын
жасайтын болсақ, онда Х^= 1000 дана болады, (Х^ = 4000,4 = 1000), бұл
жағдайда өндіріс орны 1200 мың теңге (2 = 1,2.1000) пайда табар еді. Бірақ
мұндай пайдатабу үшін ІІ-және ІІІ-топтағы станоктардың уақыты жете ме жоқ
па? Соны тексеріп көрелік, өйткені А затын жасау үшін барлық үш станок та
жұмыс істеуі керек. Екінші теңсіздіктен Х^= 3600,9 = 400 дана. Олай болса
одан табылатын кіріс 480 мың теңге (2 = 1,2- 400). Сонымен қатар 1 -ші
топтағы станок 400 дана А-затын жасауда (0,4 ■ 400 = 160 сағат) 160 сағат,
ал III топтағы станоктың барлық уақыты (8 ■ 400 = 3200) толық
пайдаланылады. Осы сияқты талдауды В заты үшін қарастыруға болады (егер тек
В заты жасалады десек, Х^= 0). Бұл жағдайда 3-ші теңсіздікті пайдалансақ Х2
= 32004,0 = 800 дана, алатын пайда 2 = 4,8- 800 = 3840 мың теңге болар
еді, бірақ бұған 1 -топтағы станоктың 1200 сағат, ІІ-топтағы станоктың 600
сағат уақыты жетпейді. Демек, есепті бұлай шығаруға болмайды, тек біз В
затынан 200 дана ғана жасай аламыз (Х2= 4002,0 = 200). Бұл варианттағы
алатын пайда 2 = 4,8 ■ 200 = 560 мың теңге болады, бірақ II топтағы
станоктың 120 сағат, ал III топтағы станоктың 2400 сағат уақыты қолданылмай
қалады.
Қарастырылған екі жағдайдың екеуі де (Х^= 400, Х2= 0,2 = 480 мың теңге,
немесе Х^= 0, Х^ 200,2 = 560 мың теңге) тиімді шешім бермейді, өйткені
станоктардың пайдаланылмаған уақыты көп, демек бұдан да басқа тиімді шешім
болуға тиіс. Ол шешім А және В заттарын белгілі мөлшердежасағанда табылуы
мүмкін.
4-есеп. Шаруашылық бидай және қант қызылшасын өндірумен айналыспақшы.
Шаруашылықта 9000 га егістік жер, 110 мың еңбек күн және 30 мың центнер
минералдық тыңайтқыш қоры бар. Сонымен қатар мынадай мәліметтер белгілі:
- гектарына бидайдан 20 ц, ал қызылшадан 300 ц өнім алу жоспарланған;
61- көрсетілген өнімді алу үшін 1 га бидай егетін жерге кем дегенде 1,5 ц,
ал қызылшаға 10 ц минералдық тыңайтқыш қажет;
- бір гектар жерге бидай егу үшін 4, ал қызылшаға 40 еңбек күні қажет;
- бір гектар жердің бидайын өсіруге және өнімді өткізуге 40 мың теңге, ал
қызылшаға 560 мың теңге қаржы керек.
- бидайдың мемлекеттік сату бағасы 1 ц - 9 мың теңге, ал қызылша
-4мыңтеңге.
Осы жоғарыда берілген мәліметтерді пайдаланып 9000 га жердің қанша бөлігіне
бидай және қант қызылшасын өсіріп өндіргенде шаруашылық көп пайда табатын
жоспар құрайық.
Есепті шешу үшін алдымен бір гектардан алынатын пайданы есеп-тейік. Егер 1
га жерден 20 ц бидай өнімін алатын болсақ, онда 1 га жерден алынатын ақша
20 • 9 = 180 мың теңге. Ал бір гектар жердегі бидайды өндіру және оны
өткізуге кететін шығын 40 мың теңге болса, онда бір га жерден өндірген
бидайдан табатын пайда:
л,= 180-40 = 140 мыңтеңге.
Сол сияқты қант қызылшасынан алынатын пайда:
п= 300 ■ 4 - 560 = 640 мың теңге.
Берілген есептің математикалық моделін құру үшін мынадай белгісіздерді
қабылдайық:
Хг - бидай егіп өндіруге керекті жердің ауданы, га;
Х2 - қант қызылшасын егіп өндіруге керекті жердің ауданы, га.
Егер 1 га жерден алатын бидайдан түсетін пайда 140 мыңтеңге болса, онда Х^
га жерден 140Х., мың теңге пайда табар едік, сол сияқты қант қызылшасынан
640Х, мың теңге. Олай болса жалпы өнімнен алынатын пайда:
2(Х,, Х2) = 140Х, + 640Х2 — тах.
Енді осы мақсатты орындауға қажетті шарттарды құрайық:
- қант қызылшасы мен бидай өсіруге арналған жердің ауданы 9000 га-дан артық
болмауы керек
X, +Х2 9000;
- бір гектар жердің бидайын өсіру үшін 4 еңбек күні қажет болса, Х^ га
жерге 4Х., еңбек күні, ал қант қызылшасы үшін 40Х2 еңбек күні қажет,
сонымен қатар бұл екеуіне қажетті еңбек күні шаруашылықта бар еңбек күнінен
артпауы керек, яғни:
4Х, + 40Х2 110000;
- жоғарыдағыдай шартты минералдық тыңайтқыш үшін жазсақ:
1,5X^+10X^30000; 62- X, және Х2 жердің аудандары болғандықтан олар оң (оң
егер өндірілсе, нөл - егер өндірілмесе) таңбалы болуы керек, яғни:
Х,0, Х20. Сонымен есептің математикалық моделі:
І(ХГ Х^) = 14Х, + 640Х2 - тах ~ (2.13)
мына жағдайда:
Х,+Х2 9000
4Х, + 40Х2 110000 (2.14)
1,5Х+10Х2 30000
X, 0, Х20. (2.15)
Есептің математикалық моделіне қарасақ 1 гектар жерден алына-тын қант
қызылшасының пайдасы бидайға қарағанда әлде қайда көп -640 мың теңге.
Сондықтаң барлық 9 мың гектар жерге қызылша өндірілсін (бірінші
теңсіздіктен Х,= 0, Х2 = 9000 га). 2. = 9000 ■ 640 = 5760000 мыңтеңге.
Бірақ мұнша жерге қызылша егуге біздің мүмкіндігіміз (қолда бар қорларымыз)
жете ме? Басқа қорлардың мүмкіндікгерін қарастырайық:
Егер 1 га жерге қызылша өсіру үшін 40 еңбек күні керек болса, онда 9000 га
жерге:
9000 ■ 40 = 360000 еңбек күн қажет, ал қолда бар еңбек күні 110 мың, ендеше
360000 -110000 = 250000 еңбек күн жетпейді.
Сол сияқты 10 ■ 9000 - 30000 = 60000 ц минералдық тыңайтқыш жетпейді.
Жоғарыда айтылғандардан қант қызылшасын өсіру өте тиімді болғанмең
барлықжерге оны себуге болмайтыны белгілі болды.
Ал енді тек берілген жерге бидай егетін болсақ: (Х2= 0, Х^ = 9000 га), онда
алатын пайда: 2 = 140 • 9000 =1260000 мың теңге болар еді. Бұл жағдайда 74
мың (110000 - 4 • 9000 = 74 мың) еңбек күні және 16,5 мың центнер
минералдық тыңайтқыш жұмсалмай, артылып қалар еді. Сонымен берілген
қорларды толық пайдалана отырып, қанша жерге бидай, қаншажерге қант
қызылшасын сепкенде көп пайда табылатынын анықтайық. Бұл есепті шешу үшін
шешімі бола алатын барлық варианттарды қарастыру қажет. Бірақ қарапайым
алгебралық әдіспең біртіндеп орнын ауыстыру тәсілімен есептің шешімін табу
өте қиын. Ал егер белгісіздердің саны екеуден көп болса, онда есепті
алгебралық қарапайым әдіспен шешу мүмкін емес.
632.2.2. СПЕматематикалық модельдерінің жазылу түрлері
Алдыңғы тақырыпта қарастырған есептерде белгісіздердің және қолданылатын
қорлар (ресурстар) түрлерінің саны, сонымен қатар нормативті коэффициенттер
нақтылы сан мәндерімен сипатталып, сызықты программалау есептерінің
математикалық модельдерін құру жолдарының негізгі элементтері көрсетілді.
Осындай есептер негізінде жалпы жағдайдағы сызықты програм-малау
есептерінің математикалық модельдерін тұрғызу жолдарын қарастырайық.
Айталық, өндірілетін өнім түрлерінің саны - п болсын. Егер өнім түрлерінің
индексіну-мен белгілесек, ондау = 1,2...п - өнім түрлерінің векторы. Осы
өнімді алу үшін пайдаланылатын қорлардың (ресурс-тардың) санын т деп, ал
олардың индексін і-мен белгілейік (= 1,2, ... т-қорлардың түрлері). Сонымен
қатар: а.( — бір өлшемдіу өнімді (затты) алу үшін қажетті -ші қордың
мөлшері, В^ - -ші қордың қолда бар, өндіріске түсетін мөлшері. С, — бір
өлшему-ші енімнен (заттан)түсетін пайда. X. табайық деп отырған у-ші
белгісіздің мөлшері. Осы қабылданған белгілерді пайдаланып, сызықты
программалау есептерінің матема-тикалық моделін былай жазуға болады:
2 = С,Х,+ С2Х2+ Ср3+...+ СХп - тах (2.16)
п^і + апХі + апХъ +... + аыХп В{
... ... ... (2.17)
\ааіХ1+ат2Х + ат3Х3+... + аааХиВт
Хг 0, Х2 0, ... Хп 0. (2.18)
Сонымен (2.16)-ден (2.18)-дейінгі өрнек СПЕ-нің математикалық
моделінің кеңейтіліп жазылған жалпы түрі.
2 - мына қосынды белгісін қолданып, әдебиеттерде сызықты прог-
раммалау есебінің математикалық моделін құрама түрінде былай
жазады:
п
х = Хсух;^тах (2.19)
мынажағдаида:
п
^ауХ^Ъ;, і = 1,2,...т (2.20)
У=І
X.^ 0, у = 1.2 ... П
(2.21)(2.16)және(2.19) функцияны мақсат функциясы немесе оптималдық
жағдайдың критерийі немесе функционал немесе латынша линеал деп аталады.
(2.17) және (2.20) - шектеулер жүйелері делінеді. (2.21) -белгісіздердің
теріс болмау шарты деп аталады. (2.20) және (2.21) шектеулерді
қанағаттандыратын (2.19) мақсат функцияның экстремапды (максималды немесе
минималды) мәнін анықтайтын математикалық қатынастардан құралған өрнекті
СПЕ-ніңжекеленген математикалық моделі деп атайды.
Жалпы СПЕ-нің моделі құрама түрінде былай жазылады:
п
1 = XСіХі ""* тах(тіп) (2.22)
7=1
мына жағдайда
п _____
ХаіХуі-'-^' = 1'т (2.23)
7=1
және
]Гацх} = Ь„ і = т + і,к; тк (3.24)
7=1
Х} 0, і = \е, еп. (2.25)
Мұндағы а~, Ь^.және с.- берілген тұрақты шамалар. Сызықты программалау
есебінің мынадай түрлері:
а) 2= 2 С -X .-шах , I а,у Ху-й- ,=1,2...т
У=1 7=1
Ху 0, і= 1,2,...п
б) 2= I С -X --япіп , X о---Ху-і=іі2...т
7=1 7=1
Ху0, У=1,2,...п,
симметриялы немесе стандартты СП есебі делінеді.
Ескерту: Максимумге ізделінетін есептең мақсат функцияны минус бірге (-1)
көбейту арқылы минимумге өтуге болады, яғни 2тах=-2тіп.
Шекгеулер жүйесінде тек бір теңцеуде ғана кездесетін коэффициенті (+1) оң
таңбалы бірге тең белгісізді базистік белгісіз деп атайды.
СПЕ-нің канондық (КСП) түрде жазылу түрі:
65Тәжірибелік есептерде кейде СП есебінің матрицалық түрі қолданылады:
2 = СХ - тах (тіп ). АХ{)В, Х0.
2.3. СПЕ бір түрден екінші түрге өту алгоритмі
Жоғарыда келтірілген СП есептері бір-бірімен эквивалентті, себебі олардың
әрқайсысы қарапайым түрлендіру арқылы бір түрден екінші бір түрге көшірілуі
мүмкін. Сондықтан, егер олардың біреуінің шешімі табылса, онда екіншісінің
де шешімі табылғаны.
СПЕ-нің бір түрде жазылуынан екінші жазылу түріне өтуі үшін, бірін-шіден
максимумге ізделетін есепті минимумге келтіреді (немесе кері-сінше),
екіншіден теңсіздіктер-шектеуін теңціктер-шектеуіне ауыстырады және
керісінше, үшіншіден теріс болмау шарты орындалмаған айны-малыны басқа
айнымалыларға ауыстыра білу керек.
Мынадай жағдайда
2 = С^Х^ + С2Х2 +... + СпХп - тіп
мақсат функцияны максимумге ауыстыру үшін оны (-1)-ге көбейтеді, яғни
2Х =-2 = ~С1Х1-С2Х2-...-СпХп - тах , өйткені:
тіп 2 — тах (- 2)
Алғашқы есептің теңсіздіктер-шектеуі теңдіктер-шектеуіне түрлен-діріледі,
яғни:
а) алғашқы шектеу
й.,х, +а.~х~ +... + а. х Ь.
іі 1 (2 2 іп п і
теңдікке түрлендіргеннен кейін
апхх + а.2х2 + ... + аіпхп + хп + 1 = Ъ. немесе
б) алғашқы шектеу
аахх+а.2х2+... + аіпхпЪі теңдікке түрлендіргеннен кейін
апхх+а.2х2+... + аіпхп-хп + 1 =Ь., мұндағы
67
тах
г = Х%
мына жағдайда
;=і
(2.26)
(2.27) (2.28)
Х.0, 7 = 1,,
КСП есебінің векторлықтүрі:
1 = СХ — тах (тіп ) мынажағдайда:
АХХ х + А2Х2 + ... + АпХ п = В, Х0
мұндағы С = (с,, с2, ..., ст ),Х= (хг х2, ...,хп), СХ~ С жәнеХвектор-лардың
скалярлық көбейтіндісі. Ажәне В-бағана векторлары, олар:
\Ъ
ап ап
• 2х, - х2 + 4х3 = 24
Зх, + х2 + х3 = 18
*, 0, х2 0, х3
0.
У1- 3 '-1
Г-і -5^ 2
2 3 -1 және 3
4 1 -1
1 -5
4
з^
1
Қосалқы есептің айнымалылар саны бастапқы есептің жүйесіндегі теңдіктер
санына тең, олай болса оларды: уг у2 және у3 деп қабыл-дайық. Мақсат
функция белгісіздерінің коэффициенттері бастапқы есеп шектеулерінің оң
жағындағы бос мүшерелеріне тең, олар: 12, 24,18.
Сонымең қосалқы есеп:
Ғ = Үіу + 24у +1&у -^ тіп
-Уі+2у2+3у32
Зугу2+У31 -5Уі+4у2+у33
оУі о, = п.
түрдежазылады.
5.1. Қосалқы есепті жазудың жалпылама ережесі
Жоғарыдағы келтірілген қосалқы есептің құру ережесін талдап, оның мынадай
жалпылама жазылу ережесін тұжырымдайық:
1. Егер тура (бастапқы) есепте-айнымалыға теріс болмлу шарты (X ? 0)
берілсе, онда осы айнымалыға сәйкес қосалқы осоішң шоктеуі Твңсіздік(оның"'-
"нөмосө""жпгіі.іііуі.ім.чқсатфуіік циіімі.іңқшідлйм;)ііі Іэдөлуіію
байланысты) болуы к 'і і2. Егер тура есептеУ-айнымалыға теріс болмау
шарты берілмесе (0 X. 0), онда осы айнымалыға сәйкес қосалқы есептің
шектеуі теңцік ("=") түрінде жазылады.
3. Егер тура есепте шектеу теңдік түрінде берілсе, онда қосалқы есептің
осы шектеуге сәйкес айнымалысына теріс болмау шарты қойылмайды.
4. Егер тура есепте шектеулер теңсіздіктер түрінде ("^" немесе "")
берілсе, онда қосалқы есептің осы шектеулерге сәйкес айныма-лыларына теріс
болмау шарты қойылады.
Бастапқы СПЕ-ді "X" - есептері, қосалқы есептерді "У" - есептері деп атау
келісілген.
Қосалқы жұп есептер симметриял ы, симметриялы емес және аралас қосалқы
есептер болып бөлінеді.
Симметриялы қосалқы есептер
Егер СП тура есебін қосалқылыққа түрлендіргеннен кейін оны негізгі (тура)
есеп деп есептеп, тағы да түрлендіргенде қайтадан СПЕ-ң бастапқы есебі
алынса, онда осындай есептерді симметриялы қосалқы есептер (бір-бірімен
қосалқыланған) деп атайды.
Симметриялы қосалқы есептерде бастапқы есептердің шектеулері теңсіздіктер
түрінде беріледі. Осы есептердің векторлық жазылу түрлері мынадай:
1-түрі:
Бастапқы есеп Қосалқы есеп
2. тіп = СХ Ғ тах = ВҮ
АХ В АҮ С
X 0 Ү 0
2-түрі:
Алғашқы есеп Қосалқы есеп
7. тах = СХ Ғ тіп = ВҮ
АХ В АҮ С
X 0 Ү 0
Ескерту: Егер бастапқы симметриялы есептің шектеулері әртүрлі болса, онда
қосалқы есептің моделін жазбастан бұрын, бастапқы есептің шектеулерін
мақсат функцияның талабына сәйкестендіру
146керек. Мысалы: Егер 2- шіп, онда мына түрдегі "^" теңсіздікті, оның
оңжәне сол жағын (-1) көбейту арқылы мынатүрге"" ауыстырады. Егер 2 н
тах, онда мына түрдегі "^" теңсіздікті, керісінше, мынадай "" қалыпқа
келтіреді.
Симметриялы емес қосалқы есептер
Симметриялы емес қосалқы есептерде бастапқы есептің шектеулер жүйесі
теңцік, ал қосалқы есепте теңсіздік түрінде беріледі. Қосалқы есепте
айнымалылар кездейсоқ мән қабылдауы мүмкін.
Вектор түрінде жазылу қалыптары:
1. Алғашқы есеп Қосалқы есеп 2
тіп = СХ . Ғ тах = ВҮ
АХ = В АҮ С
X 0 0 Ү2 0
2. Алғашқы есеп Қосалқы есеп 2
тах = СХ Ғтіп = ВҮ
АХ = В АҮ С
X 0 0 Ү 0
Аралас қосалқы есептер
Бастапқы есептің математикалық моделінде симметриялы және симметриялы емес
есептердің шарттары кездесетін есептерді аралас қосалқы есептер дейді.
Мұндай есептердің қосалқы есебін құрғанда симметриялы және симметриялы емес
есептерді жазу ережелері бірге қолданылады.
Бірнеше мысалдар қарастырайық:
1-мысал: Бастапқы (тура) есеп:
2 = х -2х + х -Ах тах 12 3 4
Хү +2х2 +3х3 -4х4 =5
Х1 ~^Х2 +Х3 +^Х4 =^ 2х2-8хъ-6х43
2Х +*2 ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
2.1. Шешім қабылдау кезеңдері
Күнделікті өмірге қажетті есептердің жобасын жасау және оларды шешу жолдары
әр түрлі. Дегенмең барлық есептерге ортақ есепті құру және шешу тәсілдерін
көрсетуге болады. Жалпы тәжірибелік есептерді шығару жұмыстарын мынадай
кезеңдерге бөледі: есепті қою, есепті формалдау (яғни реттеп-тәртіптеп
жазу, керекті мәліметтерді жинау және өңдеу), есептің математикалық моделін
құру, есепті шығару әдісін таңдау, есеп күрделі болса, онда оны таңдап
алған әдіспен компьютер арқылы шығару үшін программа құру, есепті шығару,
есептің шыққан нәтижесін талдау және тәжірибеде қолдану. Осы кезеңдерге
кеңірек тоқталайық.
Есептің қойылуы. Қандай есепті құрастырмасақ та, алдымызға мақсат ашықжәне
толық, түсінікті, нақтылы болуы міндетті түрде қажет. Былайша айтқанда, әр
түрлі жағдайларға байланысты нені тапқымыз келеді? Алдымызға қойған
мақсатты орындау үшін қандай мүмкіндігіміз бар? Қолда бар қаражатжәне
қорларымыз жете ме? Мақсатты орын-дауға керекті жағдайларымыз қандай?
Міне осыларға байланысты есептің мақсаты және оны орындауға қажетті шарттар
нақтылы сөзжүзінде көрсетіледі. Осы жағдайды есептің сөз жүзінде берілуі
(қойылуы) дейді.
2. Есепті формалдау (формалдау деген сөздің түбірі латынша реттеу,
тәртіптеп жазу деген мағынаны білдіреді). Бұл кезең өте жауапты және ең
ауыр қажетті іс-әрекеттерді жасауды қажет етеді. Осы кезеңце есептің
математикалық моделі нақтылы, шындыққа жақын болу үшің есепті шығаруды
қажет етіп отырған тұтынушымең оны математикалық әдіспен шығарушы, яғни
орындаушы мамандардың арасында бір-бірін толық түсінушілік болуы қажет.
Сонымен қатар, есептің сандық математикалық моделін құруға қажетті
мәліметтердің сан мәндері толығымен жиналып және олар математикалық-
статистикалық әдістермен өңделіп, талдануғатиісті.
3. Есептің математикалық моделін қүру. Алдымен модель деп нені
айтылатынына тоқталайық. Қарапайым тұрғыдан қарағанда модель деген әркімге
таныс. Мысалы, ойыншық ұшақ- кәдімгі ұшақтың моделі, ойыншық ат - аттың
моделі бола алады. Бұл сияқты моделдерді оқырмандар күнделікті өмірде көп
кездестіреді. Күнделікті тұрмыста аз кездесетін моделдер де бар, ол
моделдерді кейде әр түрлі жағдайда
г\көрсетуге болады. Мәселең табиғаттың моделін (пейзаждың моделін)
фотосурет түрінде, жоспар түрінде немесе географиялық карта түрінде
көрсетуге болады.
Бір затпен екінші немесе үшінші заттардың байланысын математи-калықформула
түрінде көрсетуге болады, мұны заттардың бір-бірімен өзара байланысын
көрсететін математикалық модель дейді. Мысалы, белгілі формула: 8 = V- і-
материалдық нүктенің бір қалыпты қозғалыс жолының моделі. Есепті сөзбен
айтқанда, бір қалыпты қозғалған дене жолының ұзындығы, сол дененің қозғалыс
жылдамдығы мен уақытының көбейтіндісіне тең. Сөйтіп, мұндай моделді
математикалық модель дейді. Берілген мәліметтерді және есептің шешуінен
шығатын қорытын-дыны матрицалық модель түрінде беру көп жағдайларда талдау
жасау-ға өте ыңғайлы келеді.
Жоғарыда айтылған ойыншық ат, ұшақ, фотосурет, жоспар, матема-тикалық
формула, матрица және тағы басқаларды бір сөзбен айтқанда модель деуге
болады. Модельдің қасиеті - оны сол затқа ұқсатуында (ұшаққа, атқа) және
заттардың арасындағы заңдылықты толық көрсе-туінде (мысалы математикалық,
матрицалық т.б.)- Модель кейде қарастырып отырған заттың барлық қасиеттерін
толық көрсетпеуі мүм-кін. Мысалы, ұшақ шығаратын зауыт директорының
үстелінде тұрған ұшақтың моделі, зауыт шығаратын ұшақтың формасын анық
көрсетке-німен, ұшу қабілетіне сәйкес емес. Модель шын затқа кейде өте
ұқсап та, онша үқсамауы да, қарапайым да, күрделі де болуы мүмкін.
Ғылым мен техниканың өсуіне, кибернетика мен электрондық есептеу
машиналарының жоспарлау және басқару мәселелеріне кеңінен пайдалануына
байланысты кейінгГ жылдары экономикалық-мате-матикалық модель деген термин
кеп қолданылып жүр. Мұны экономикал ық үрдістердің математика тілінде
жазылуы деп қарастыруға болады. Бұл жағдайларда моделые кірген
математикалық символ-дардың, коэффициенттердің барлығының экономикалық
теңеуі (мәні) болу қажет. Экономикалық-математикалық модельдер формула
түрінде де, матрица түрінде де берілуі мүмкін.
Берілген мәліметтердің (ақпараттардың) мазмүнына, есептеу тәсілдері мен
қойылу шарттарына байланысты модель статистикалық (егер экономиканың әр
түрлі жағдайын қарастырса) және динамикалық (егер экономиканың өсу келешегі
қарастырылса) болып бөлінеді. Жоғарыда айтылғандардан, берілген есептің
математикалық моделін құру дегеніміз - алға қойған мақсатты және оны
орындау үшін қажетті шарттарды математикалық формула түрінде көрсету.
534. Табылған математикалық модельді шешуге ыңәайлы әдісті таңдапалу.
Берілген математикалық модельді шешуге көптеген әдістер қолданылуы мүмкін,
сөйтіп солардың ішінен тиімді әдісті немесе алгоритмді таңдап алу қажет.
Мысалы, сызықтық алгебралық теңдеу-лержүйесін шешу үшін Гаусс, Зейдед кері
матрица табуарқылы шешу және т.б. әдістері бар. Міне осылардың ішінен
есептің мақсатына байланысты бір әдісті таңцап алу үрдісі осы кезеңге
сәйкес.
Мұндағы қойылған есепті тиімді шығару жолы деп отырған жұмыс-тың мәнісі әр
түрлі болуы мүмкін. Мысалы, берілген есепті шешуге бір әдісті қолдансақ,
көп уақыт жұмсалынып есептің дәлірек мәнінің ал ынуы, ал басқа әдісті
қолдансақ, аз уақыт жұмсалынып есептің жуық мәнінің алынуы, тіпті керісінше
де болуы мүмкін. Көбінесе осы кездегі күнделікті өмірде қолданылып жүрген
есептер дербес компьютерлерде шығарылатын болғандықтаң есептің шығару
әдісін таңдағанда ком-пьютерге программа жасаудың ыңғайлы әдісін таңдауға
тура келеді. Есепті шешуге ыңғайлы болу үшін кейде берілген модельдің түрін
өзгертіп те жіберуіміз мүмкін.
Мысалы, мына көпмүшелі теңдеудің X = 1,5 болғандағы мәнін табу керек
болсын:
Р(Х) = 5Х3 + 4Х2 - ЗХ +2. (2.1)
Оқырмандарға белгілі Х=1,5 болғандағы Р-ның мәнін табу үшін теңцеудегі Х-
тің орнына 1,5 қойып есептеу керек.
Р(1,5) = 5. (1,5)3 + 4. (1,5)г-3. (1,5) +2 = = 5 . 3,375 + 4. 2,25 - 3. 1,5
+2 = 23,375.
Айталық, берілген көпмүшелік теңдеу үшінші дәрежедегі (Х-тің дәре-жесі
бойынша) көпмүшелік емес, 15-дәрежедегі көпмүшелік болса, онда жоғарыдағы
әдісті пайдалану өте қиынға түседі, өйткені 1,5 санын 2-ден бастап 15-
дәрежеге көтеру техникалық жағынан қарағанда онша оңайға түспейді. Сонымен
қатар, компьютерге бұл әдіс үшін программа жасау да жеңіл емес. Есептің
жазылуын басқаша етіп өзгертелік: Р(Х) ^5^+4^-ЗХ +2 = ((5Х+4) X -3) Х+2.
Р(Х) = ((5Х+4) Х-3) Х+2 . (2.2)
Егер (2.2) теңдеудегі жақшаны ашсақ (2.1) теңдеуді аламыз, демек ешнәрсе
өзгерген жоқ. Енді X = 1,5 болғандағы Р-нің мәнін табалық:
Р(1,5) = ((5. 1,5 + 4).1,5-3).1,5 + 2 = (11,5.1,5-3). 1,5 + 2 = 23,375.
Біз мұнда дәрежеге көтеру амалын көбейту амалына ауыстырып жібердік,
көбейту амалы дәрежелеуге қарағанда әлде қайда жеңіл
Жалпы түрде п дәрежелі көпмүшелік берілсе:
Р(Х) = а^ +а^+ ... +ап^+ап. (2.3)
Р(Х) өзгертіп былай жазуға болады:Р(Х) = (...(а^+а,) Х+а^ Х+.-Ла^) Х+ап.
(2.4)
Соңғы әдісті Горнер әдісінің алгебрасы дейді.
б.Таңдап алған әдісті машина тіліне көшіру немесе белгілі алго-ритмдік
тілде таңдап алған әдіске компьютерге арнайы тілде програм-ма құрылады және
мынадай жұмыстар жасалынады:
- берілген сандық мәліметтер мен әдіске жасаған программаны машинаға
енгізуге болатындай етіп дайындап алып, оларды дискетке және тағы да басқа
мәлімет тасушыларға түсіру;
-тікелей есепті шешу;
- табылған есептің шешуіне талдау, қажет болған жағдайда, сандық
ақпараттарды, тіпті есептің кейбір шарттарын өзгертіп немесе толықтырып
есепті қайта шешу.
б.Табылған шешуді тәжірибежүзінде қолдану. Егер құрылған есепті компьютерді
қолданбай ұсақ машиналарды (калькуляторларды)ғана пайдаланып, қолмен
шешетін болсақ, онда 4 және 5-кезеңдер қарастырылмайды.
Мұндағы ескеретін бір жай, барлық модельдер үшін есепті шешудің (машинада
немесе қолмен) қажеттігі бар деп қарауға болмайды. Тәжірибеде барлық
модельдерді үш топқа бөлуге болады:
- портреттік модель, мұнда заттың бейнесін дәл түсіру. Айталық, үйдің
макетін салу, адамның суретін салу немесе аспан әлеміндегі жұлдыздарды
бейнелеу. Мүндай модельдерді көбінесе суретшілер мен сәнді үлгілеушілер
жасайды;
- типтес (аналогиялық) модельдер бұл модельдерде табайық деп отырған заттың
барлық қасиеттерін одан оңайлау, бірақ алғашқыға өте ұқсайтын затпен
алмастырады. Мысалы, температура түсінігін график түрінде беруге болады,
мұндай температурада пайдаланатын градус мөлшерін оған бір өлшем бірлігінің
ұзындығына теңестіреді;
- символдық немесе ой жүйелік-математикалық модель - бұл әр түрлі
үрдістерді экономикалық, техникалық т.б. есептерді символдық байланыстар
арқылы өрнектейді. Мұндай модельдер берілген есепті математикалық символ
және терминдер арқылы өрнектейді, сонымен қатар математикалық шешімін және
табылған шешімдер ішінен тиімдісін таңдап алуға мүмкіншілік береді.
Жоғарыда айтылғандай, сызықты программалау әдістері матема-тиканың жаңа
саласының бірі. Сызықты программалау әдістерін пайдаланып, халық
шаруашылығында күнделікті қолданылатын сан алуан есептерді шешуге болады.
Мысалы, негізінен ол есептерге: өндіріс орындарыныңжоспарлау, өндірістен
мүмкін болғанша жоғары өнім алу, техниканы, өндіріс құралдарын дұрыс
пайдалану, малға тиімді рацион
55жасау, қатынас есептерін шешу, тағы сол сияқты халық шаруашылығын
өркендету мәселелерін қарастыратын есептер жатады.
Сызықты программалау әдістерінің қарапайымдылығы, бұл әдістерді тез оқып
үйренуге және оны тәжірибелік есептерге қолдануға арнайы математикалық
білім қажет емес. Өйткені, сызықты программалау есептерінде есептің
құрамына енетін белгісіздер әрқашанда сызықты, яғни дәреже көрсеткіштері
бірден артпайды. Былайша айтқанда, есепті құратын модельдегі байланыстар
сызықты теңдеулер немесе теңсіз-діктер түрінде беріледі.
Сызықты программалау есептерінің математикалық моделін құру үшін кем
дегенде үш ұғым белгілі болуы қажет.
- қандай есеп болсада, алдына қойылған толық мақсат болуы міндетті. Осы
мақсатқа сәйкес құрылған математикалық өрнекті - мақсат функция немесе
тиімділіктің (оптималдылықтың) шарты делінеді;
- мақсатқа жетуде қандай шарттарды орындау керектігі белгілі болуы қажет.
Мұны белгілі мақсатқа жетудің технологиялық әдісі немесе қойылатын шарттары
дейді;
- ізделініп отырған белгісіздердің шамаларына қойылатын талаптар болуға
тиісті. Математика тілімен айтқанда, көп шешулердің ішінен таңбасы оң және
берілген шарттармен мақсат функцияны бірдей қана-ғаттандыратын
белгісіздердің мәнін табу қажет. Нақтылы айтсақ, сызықты программалау
есебінің мақсат функция экстремумын (функ-цияның берілген аймақтағы ең кіші
немесе ең үлкен мәнін табу үрдісін функцияның экстремумын табу деп атайды)
табу осы есептің ең негізгі талабы.
2.2. СПЕ модельдерінің түрлері жәнө құру жолдары 2.2.1. Сызықты
теңсіздіктержәне олардың СПЕорны
Экономикалық, техникалық және басқа жоспарлау есептерін құруда
теңсіздіктердің маңызы зор. Алгебралық теңсіздіктердің көмегімен көптеген
есептердің шарттарын математика тілінде жазуға болады.
Алгебралық теңсіздіктердің тәжірибелік сызықты программалау есептерінде
қолдану негізін түсіну үшін біраз қарапайым мысалдар қарастырайық.
1-есеп. Менеджер тігін фабрикасына екі түрлі матадан екі үлгідегі киім тігу
жұмысының ұтымды жоспарын құруы керек. Әрбір үлгіде тігілетін киімге
матаның екі түрі пайдаланылатын болсын. Әрбір үлгіден бір киім тігуге
төменгі кестеде көрсетіл гендей әр мата метрі қажет делік.
56Бұл көрсеткіштерді экономика тілінде нормативтік коэффициенттер деп
атайды.
2.1-кесте
Тігілетін киім 1-мата, м 2-мата, м
1 үлгідегі 2 0,6 0,8 1,2 0,6
үлгідегі
Тігін орнында матаның бірінші түрінен 24 метр, екінші түрінен 36 метр
болсын. Ал бірінші үлгі бойынша тігілген киімнің бағасы 16 мың теңге,
екінші үлгімен тігілген киімнің бағасы 12 мың теңге болса, қолдағы бар
матадан қандай үлгіден қанша тігілгенде ең көп табыс келтіретін жоспар
жасау қажет.
Есепті шешу үшін бірінші үлгіден жасалатын киімнің бізге белгісіз саны X,
ад екінші киімнің санын Х2 деп алайық. Бұл белгілеу бойынша тігілген
киімдерден түсетін жалпы табысты былай өрнекгеуге болады:
2 = 16Х^ + 12Х2 - тах.
Мұндағы ібХ^ - бірінші үлгідегі киімнен түсетін табыс. 12Х2 екінші үлгідегі
киімнен түсетін табыс, ал 2 екі үлгідегі киімнен түсетін жалпы табысты
көрсетеді. Есептің шарты бойынша 2 ең көп табыс болу керек, сондықтан ең
көп (ең үлкен) дегенді максимум немесе қысқаша математика тілінде МАХ деп
белгілеуге болады.
Енді есептің шарттарын жазайық. Бірінші матадан бірінші үлгідегі киімнің
бір данасына 0,6 м керек болса, Х^ данасына О.бХ^ қажет болар еді, ал осы
матадан екінші үлгідегі бір дана киімді жасау үшін 0,8 м керек болса, Х2
данасына 0,8Х2 қажет. Екі үлгідегі киімге жұмсалатын матаның қолда бары 24
м-ден артпауы керек. Ендеше бірінші мата үшін мына теңсіздік орындалады:
0.6Х.,+0,8X2^24. Сол сияқты теңсіздікті екінші мата үшін жазайық:
1,2^+ 0,6X2 36.
Алгебралық теңсіздіктерді шешкенде Х^ мен Х2 мәндері теріс сандар да болуы
мүмкін. Ал қарастырылып отырған есепте Х^ мен Х2 -нің мәндері тек оң сан
немесе нөл болуға тиіс. Белгісіздердің мәндері оң сан болса, онда
белгіленген үлгілі киім тігіледі, ал нөлге тең болса, онда ол киім
тігілмейді дегенді білдіреді. Белгісіздің мәні теріс болуы мүмкін емес.
Ендешежоғарғы шарттармен қоса есепке мынадай шарттар
қосу қажет: Х^ 0, Х2 0.
57Сонымен есепте қойылған шарттарды математикалық түрде былай өрнектеуге
болады:
7. = 16Х, +12Х2 - шах (2.5)
0.6Х,+0.8Х2 24
1.2^Г1+0.6ЛГ2 36 (2-6)
Х^ 0, Х2 0. (2.7)
Нәтижесінде берілген СПЕ қарапайым математикалық моделі тұрғызылды.
2-есеп. Менеджер әр түрлі кәсіпорындарға 100000 доллар ақшаны инвестиция
(кредит) ретінде бөліп орналастырмақшы.
Менеджер жылдық табыстан келісілген пайыз мөлшерінде келетін ақшадан
максималды пайда табу үшін, осы кредитті әр кәсіпорнына тиімді орналастыру
жоспарын құруы керек.
Кәсіпорындардың аттарын: А, В, С, Д-деп белгілейік. Келісім шарт бойынша әр
кәсіпорын жылдық табыстың мынадай пайыздарын қайтаруға міндетті: А - 6 %, В
- 8 %, С - 10 % және Д - 9 %. Сонымен қатар, әр кәсіпорнында қауыпсіздік
немесе тәуекелділік (риск) дәрежесі, капиталдың қайтымы, басқа
нарықжағдайлары, мысалға салықтөлеу саясаты және т.б. түрлері белгілі
болсын.
Инвестиция жұмысының қауыпсіздігін азайту үшін менеджер капиталдың
жартысынан кем емес бөлігін А және В кәсіпорындарына орналастыруға, сонымен
қатар капиталдың қайтымдылығын (ликвид-ность) қамтамасыз ету үшін барлық
ақшаның 25 % астам бөлігін Д кәсіпорнына орналастыруға шешім қабылдады.
Өкіметтің саясатының өзгеруіне байланысты С кәсіпорнына 20 % аспайтын, ал
салық сая-сатының ерекшелігіне байланысты барлық капиталдың 30 % кем емес
бөлігін А кәсіпорнына орналастыру керек.
Шешімі. Әр кәсіпорнына бөлінген оптималды инвистиция мөлшерін: А - X, мың
доллар, В - Х2 мың доллар, С - Х^ мың доллар және Д - Х^ мың доллар деп
белгілейік.
Барлық кәсіпорынныңжылдықтабысынан бөлінген пайыздан түсетін ақша өлшем
бірлігіндегі мөлшері максималды болуы қажет, яғни: 2 = 0,06 Х,+ 0,08 Х2+
0,10 Х3+ 0,09 Х4.
Сонымен қатар мынадай шарттар орындалуға тиіс:
• барлық инвистиция мөлшері
Х,+ Х.;+Х. + Хл 100000;
• инвистиция қауыпсіздіпн (риск)қамі.імасызөту
5йХ + Х2 0.05 (Х,+ Х2+ Х3+ Х4);
• капиталдың қайтымдылығын (ликвидность) қамтамасыз ету
Х40,25(Х1+Х2+Х3+Х4);
• өкіметтің саясаты бойынша
Х3^0,20(Х1+Х2+Х3+Х4);
• салық салу саясаты бойынша
Х^О.ЗО^ + Х^+Хз + Х,);
• белгісіздердіңтеріс болмау шарты
Х, 0; Х2 0; Х3 0; Х4 0.
Сызықты программалау есебіне қойылатын талап бойынша әр теңсіздіктерде
белгісіздер теңсіздіктің сол жағында, ал тұрақты шама-лар оның оңжағында
орналастырылады. Олай болса есепті қарапайым түрлендіруден кейің оның
математикалық моделін былай жазуға болады:
• барлық табыстан бөлінетін пайыздың ақшалай өлшемін макси-малдау
Ъ = 0,06Х,+ 0,08Х2+ 0,10Х3+ 0,09Х4 (2.8)
• барлық инвистиция мөлшері
Хі + Х2 + Хз + Х4^10000°;
• инвистиция қауыпсіздігін (риск) қамтамасыз ету
0,95^+ 0,95Х2- 0,05Х3- 0,05Х4 0;
• капиталдың қайтымдылығын (ликвидность) қамтамасыз ету
- 0,25Хг 0,25Х2- 0,25Х3+0,75Х4 0;
• өкіметтің саясаты бойынша
- 0.20Қ- 0,20X2+ 0,80Х3- 0,20Х4 0;
• салық салу саясаты бойынша
0.70Х, - О.ЗОХ^- 0,30Х3- 0,30Х4 0;
• белгісіздердің теріс болмау шарты
Х, 0, Х2 0, Х3 0, Х40. (2.9)
Сонымен СПЕ қарапайым математикалық моделін (2.8-2.9) тұр-ғыздық.
Бұл есептерден тәжірибелік СП есептері үшін алгебралық теңсіздік-тің
маңызды екендігін байқаймыз.
3-есеп. Өндіріс орны үш топ станокты пайдаланып, екі түрлі зат
шығарады. Тәулігіне 1-топтағы станоктар 400 сағат, ІІ-топтағы станок-
тар - 360 сағат, ал ІІІ-топтағы станоктар - 3200 сағат жұмыс атқара
ишды. Бір і.ніі.ің ііір дшііи і.ін шыі.іруға жумі.иимн і іаноктардыцуақыты
төмендегі кестеде көрсетілген. Негізінде бұл көрсеткіштерді экономикалық
тілде техникалық-эконом^калық нормативтік коэффи-циенттер деп атайды.
Станоктар Бір дана затқа қажетті уақыт
топтары мөлшері, сағат
I зат — А II зат - В
1 топ 2топ 3 топ0,4 0,9 10,0 2,0 1,2 4,0
Бірінші заттың бір данасынан өндіріс орны 1,20 мың теңге, екінші заттың бір
данасынан 4,80 мың теңге пайда алатын болса, станоктардың жұмысжасай алатын
берілген уақытын (қорын) тиімді паңцалана отырып, әр заттан қанша жасағанда
өндіріс орнының ең көп пайда табатын жоспарын құру керек. Есептің мазмұны
ұғымды болу үшін 1-затты -А заты, 2-затты - В заты деп атайық. Ал А -
затының максималды пайда беретін санын X, дана, В - затының максималды
пайда беретін санын Х2дана деп белгілейік. Есептің шарты толығымен
формалданып бітті. Олай болса, есептің математикалық моделін құруға етуге
болады.
Есептің шарты бойынша бірінші топтағы станок Азатының бірданасын жасау үшін
0,4 сағат уақытжұмыс істейді, олай болса Х^ дананы жасау үшін ОДХ^ қажет.
Ал осы бірінші топтағы станок В затынан бір дана жасау үшін 2 сағат жүмыс
істейді, онда Х2 дана заты жасау үшін 2Х2 сағат уақыт керек. Олай болса 1-
станоктың А және В заттарының Х^ және Х2 данасын жасау үшін жұмыс уақыты
олардың тәулік ресурсынаң яғни 400 сағаттан аспауы керек:
0,4X^ + 2,0X^400.
Осы сияқты теңсіздіктерді II және III топтағы станоктар үшін жазсақ, олар
мына теңсіздіктермен өрнектелінеді:
0,9X^ + 1,2X^360 10X^+4,0X^3200 Өндіріс орнының алатын пайдасы:
2=7,2Х, + 4,8Х2
Сонымен біз берілген есептің төменгідей математикалық моделін тұрғыздық:
ДХ^ = 1,2Х( + 4,8Х2 - тах, (2.10)
мына жағдайда:
600,4X^+2,0X^400,
0,9Х+1,2Х2360, (2.11)
10,ОХ+4,ОХ23200, Х,0, Х20.
(2.12)
Есептің негізгі мақсаты (2.10) функциямен өрнектелген пайданың ең үлкен
мәнін іздеумен түсіндіріледі. Бұл мәнді жай алгебралық жолмен табуға бола
ма деген заңды сұраққа жауап беру үшін, мынадай жағдайларды қарастырайық.
Мысалы, егер 1-ші теңсіздіктегі 400 сағат уақытты толық пайда-ланып А-затын
жасайтын болсақ, онда Х^= 1000 дана болады, (Х^ = 4000,4 = 1000), бұл
жағдайда өндіріс орны 1200 мың теңге (2 = 1,2.1000) пайда табар еді. Бірақ
мұндай пайдатабу үшін ІІ-және ІІІ-топтағы станоктардың уақыты жете ме жоқ
па? Соны тексеріп көрелік, өйткені А затын жасау үшін барлық үш станок та
жұмыс істеуі керек. Екінші теңсіздіктен Х^= 3600,9 = 400 дана. Олай болса
одан табылатын кіріс 480 мың теңге (2 = 1,2- 400). Сонымен қатар 1 -ші
топтағы станок 400 дана А-затын жасауда (0,4 ■ 400 = 160 сағат) 160 сағат,
ал III топтағы станоктың барлық уақыты (8 ■ 400 = 3200) толық
пайдаланылады. Осы сияқты талдауды В заты үшін қарастыруға болады (егер тек
В заты жасалады десек, Х^= 0). Бұл жағдайда 3-ші теңсіздікті пайдалансақ Х2
= 32004,0 = 800 дана, алатын пайда 2 = 4,8- 800 = 3840 мың теңге болар
еді, бірақ бұған 1 -топтағы станоктың 1200 сағат, ІІ-топтағы станоктың 600
сағат уақыты жетпейді. Демек, есепті бұлай шығаруға болмайды, тек біз В
затынан 200 дана ғана жасай аламыз (Х2= 4002,0 = 200). Бұл варианттағы
алатын пайда 2 = 4,8 ■ 200 = 560 мың теңге болады, бірақ II топтағы
станоктың 120 сағат, ал III топтағы станоктың 2400 сағат уақыты қолданылмай
қалады.
Қарастырылған екі жағдайдың екеуі де (Х^= 400, Х2= 0,2 = 480 мың теңге,
немесе Х^= 0, Х^ 200,2 = 560 мың теңге) тиімді шешім бермейді, өйткені
станоктардың пайдаланылмаған уақыты көп, демек бұдан да басқа тиімді шешім
болуға тиіс. Ол шешім А және В заттарын белгілі мөлшердежасағанда табылуы
мүмкін.
4-есеп. Шаруашылық бидай және қант қызылшасын өндірумен айналыспақшы.
Шаруашылықта 9000 га егістік жер, 110 мың еңбек күн және 30 мың центнер
минералдық тыңайтқыш қоры бар. Сонымен қатар мынадай мәліметтер белгілі:
- гектарына бидайдан 20 ц, ал қызылшадан 300 ц өнім алу жоспарланған;
61- көрсетілген өнімді алу үшін 1 га бидай егетін жерге кем дегенде 1,5 ц,
ал қызылшаға 10 ц минералдық тыңайтқыш қажет;
- бір гектар жерге бидай егу үшін 4, ал қызылшаға 40 еңбек күні қажет;
- бір гектар жердің бидайын өсіруге және өнімді өткізуге 40 мың теңге, ал
қызылшаға 560 мың теңге қаржы керек.
- бидайдың мемлекеттік сату бағасы 1 ц - 9 мың теңге, ал қызылша
-4мыңтеңге.
Осы жоғарыда берілген мәліметтерді пайдаланып 9000 га жердің қанша бөлігіне
бидай және қант қызылшасын өсіріп өндіргенде шаруашылық көп пайда табатын
жоспар құрайық.
Есепті шешу үшін алдымен бір гектардан алынатын пайданы есеп-тейік. Егер 1
га жерден 20 ц бидай өнімін алатын болсақ, онда 1 га жерден алынатын ақша
20 • 9 = 180 мың теңге. Ал бір гектар жердегі бидайды өндіру және оны
өткізуге кететін шығын 40 мың теңге болса, онда бір га жерден өндірген
бидайдан табатын пайда:
л,= 180-40 = 140 мыңтеңге.
Сол сияқты қант қызылшасынан алынатын пайда:
п= 300 ■ 4 - 560 = 640 мың теңге.
Берілген есептің математикалық моделін құру үшін мынадай белгісіздерді
қабылдайық:
Хг - бидай егіп өндіруге керекті жердің ауданы, га;
Х2 - қант қызылшасын егіп өндіруге керекті жердің ауданы, га.
Егер 1 га жерден алатын бидайдан түсетін пайда 140 мыңтеңге болса, онда Х^
га жерден 140Х., мың теңге пайда табар едік, сол сияқты қант қызылшасынан
640Х, мың теңге. Олай болса жалпы өнімнен алынатын пайда:
2(Х,, Х2) = 140Х, + 640Х2 — тах.
Енді осы мақсатты орындауға қажетті шарттарды құрайық:
- қант қызылшасы мен бидай өсіруге арналған жердің ауданы 9000 га-дан артық
болмауы керек
X, +Х2 9000;
- бір гектар жердің бидайын өсіру үшін 4 еңбек күні қажет болса, Х^ га
жерге 4Х., еңбек күні, ал қант қызылшасы үшін 40Х2 еңбек күні қажет,
сонымен қатар бұл екеуіне қажетті еңбек күні шаруашылықта бар еңбек күнінен
артпауы керек, яғни:
4Х, + 40Х2 110000;
- жоғарыдағыдай шартты минералдық тыңайтқыш үшін жазсақ:
1,5X^+10X^30000; 62- X, және Х2 жердің аудандары болғандықтан олар оң (оң
егер өндірілсе, нөл - егер өндірілмесе) таңбалы болуы керек, яғни:
Х,0, Х20. Сонымен есептің математикалық моделі:
І(ХГ Х^) = 14Х, + 640Х2 - тах ~ (2.13)
мына жағдайда:
Х,+Х2 9000
4Х, + 40Х2 110000 (2.14)
1,5Х+10Х2 30000
X, 0, Х20. (2.15)
Есептің математикалық моделіне қарасақ 1 гектар жерден алына-тын қант
қызылшасының пайдасы бидайға қарағанда әлде қайда көп -640 мың теңге.
Сондықтаң барлық 9 мың гектар жерге қызылша өндірілсін (бірінші
теңсіздіктен Х,= 0, Х2 = 9000 га). 2. = 9000 ■ 640 = 5760000 мыңтеңге.
Бірақ мұнша жерге қызылша егуге біздің мүмкіндігіміз (қолда бар қорларымыз)
жете ме? Басқа қорлардың мүмкіндікгерін қарастырайық:
Егер 1 га жерге қызылша өсіру үшін 40 еңбек күні керек болса, онда 9000 га
жерге:
9000 ■ 40 = 360000 еңбек күн қажет, ал қолда бар еңбек күні 110 мың, ендеше
360000 -110000 = 250000 еңбек күн жетпейді.
Сол сияқты 10 ■ 9000 - 30000 = 60000 ц минералдық тыңайтқыш жетпейді.
Жоғарыда айтылғандардан қант қызылшасын өсіру өте тиімді болғанмең
барлықжерге оны себуге болмайтыны белгілі болды.
Ал енді тек берілген жерге бидай егетін болсақ: (Х2= 0, Х^ = 9000 га), онда
алатын пайда: 2 = 140 • 9000 =1260000 мың теңге болар еді. Бұл жағдайда 74
мың (110000 - 4 • 9000 = 74 мың) еңбек күні және 16,5 мың центнер
минералдық тыңайтқыш жұмсалмай, артылып қалар еді. Сонымен берілген
қорларды толық пайдалана отырып, қанша жерге бидай, қаншажерге қант
қызылшасын сепкенде көп пайда табылатынын анықтайық. Бұл есепті шешу үшін
шешімі бола алатын барлық варианттарды қарастыру қажет. Бірақ қарапайым
алгебралық әдіспең біртіндеп орнын ауыстыру тәсілімен есептің шешімін табу
өте қиын. Ал егер белгісіздердің саны екеуден көп болса, онда есепті
алгебралық қарапайым әдіспен шешу мүмкін емес.
632.2.2. СПЕматематикалық модельдерінің жазылу түрлері
Алдыңғы тақырыпта қарастырған есептерде белгісіздердің және қолданылатын
қорлар (ресурстар) түрлерінің саны, сонымен қатар нормативті коэффициенттер
нақтылы сан мәндерімен сипатталып, сызықты программалау есептерінің
математикалық модельдерін құру жолдарының негізгі элементтері көрсетілді.
Осындай есептер негізінде жалпы жағдайдағы сызықты програм-малау
есептерінің математикалық модельдерін тұрғызу жолдарын қарастырайық.
Айталық, өндірілетін өнім түрлерінің саны - п болсын. Егер өнім түрлерінің
индексіну-мен белгілесек, ондау = 1,2...п - өнім түрлерінің векторы. Осы
өнімді алу үшін пайдаланылатын қорлардың (ресурс-тардың) санын т деп, ал
олардың индексін і-мен белгілейік (= 1,2, ... т-қорлардың түрлері). Сонымен
қатар: а.( — бір өлшемдіу өнімді (затты) алу үшін қажетті -ші қордың
мөлшері, В^ - -ші қордың қолда бар, өндіріске түсетін мөлшері. С, — бір
өлшему-ші енімнен (заттан)түсетін пайда. X. табайық деп отырған у-ші
белгісіздің мөлшері. Осы қабылданған белгілерді пайдаланып, сызықты
программалау есептерінің матема-тикалық моделін былай жазуға болады:
2 = С,Х,+ С2Х2+ Ср3+...+ СХп - тах (2.16)
п^і + апХі + апХъ +... + аыХп В{
... ... ... (2.17)
\ааіХ1+ат2Х + ат3Х3+... + аааХиВт
Хг 0, Х2 0, ... Хп 0. (2.18)
Сонымен (2.16)-ден (2.18)-дейінгі өрнек СПЕ-нің математикалық
моделінің кеңейтіліп жазылған жалпы түрі.
2 - мына қосынды белгісін қолданып, әдебиеттерде сызықты прог-
раммалау есебінің математикалық моделін құрама түрінде былай
жазады:
п
х = Хсух;^тах (2.19)
мынажағдаида:
п
^ауХ^Ъ;, і = 1,2,...т (2.20)
У=І
X.^ 0, у = 1.2 ... П
(2.21)(2.16)және(2.19) функцияны мақсат функциясы немесе оптималдық
жағдайдың критерийі немесе функционал немесе латынша линеал деп аталады.
(2.17) және (2.20) - шектеулер жүйелері делінеді. (2.21) -белгісіздердің
теріс болмау шарты деп аталады. (2.20) және (2.21) шектеулерді
қанағаттандыратын (2.19) мақсат функцияның экстремапды (максималды немесе
минималды) мәнін анықтайтын математикалық қатынастардан құралған өрнекті
СПЕ-ніңжекеленген математикалық моделі деп атайды.
Жалпы СПЕ-нің моделі құрама түрінде былай жазылады:
п
1 = XСіХі ""* тах(тіп) (2.22)
7=1
мына жағдайда
п _____
ХаіХуі-'-^' = 1'т (2.23)
7=1
және
]Гацх} = Ь„ і = т + і,к; тк (3.24)
7=1
Х} 0, і = \е, еп. (2.25)
Мұндағы а~, Ь^.және с.- берілген тұрақты шамалар. Сызықты программалау
есебінің мынадай түрлері:
а) 2= 2 С -X .-шах , I а,у Ху-й- ,=1,2...т
У=1 7=1
Ху 0, і= 1,2,...п
б) 2= I С -X --япіп , X о---Ху-і=іі2...т
7=1 7=1
Ху0, У=1,2,...п,
симметриялы немесе стандартты СП есебі делінеді.
Ескерту: Максимумге ізделінетін есептең мақсат функцияны минус бірге (-1)
көбейту арқылы минимумге өтуге болады, яғни 2тах=-2тіп.
Шекгеулер жүйесінде тек бір теңцеуде ғана кездесетін коэффициенті (+1) оң
таңбалы бірге тең белгісізді базистік белгісіз деп атайды.
СПЕ-нің канондық (КСП) түрде жазылу түрі:
65Тәжірибелік есептерде кейде СП есебінің матрицалық түрі қолданылады:
2 = СХ - тах (тіп ). АХ{)В, Х0.
2.3. СПЕ бір түрден екінші түрге өту алгоритмі
Жоғарыда келтірілген СП есептері бір-бірімен эквивалентті, себебі олардың
әрқайсысы қарапайым түрлендіру арқылы бір түрден екінші бір түрге көшірілуі
мүмкін. Сондықтан, егер олардың біреуінің шешімі табылса, онда екіншісінің
де шешімі табылғаны.
СПЕ-нің бір түрде жазылуынан екінші жазылу түріне өтуі үшін, бірін-шіден
максимумге ізделетін есепті минимумге келтіреді (немесе кері-сінше),
екіншіден теңсіздіктер-шектеуін теңціктер-шектеуіне ауыстырады және
керісінше, үшіншіден теріс болмау шарты орындалмаған айны-малыны басқа
айнымалыларға ауыстыра білу керек.
Мынадай жағдайда
2 = С^Х^ + С2Х2 +... + СпХп - тіп
мақсат функцияны максимумге ауыстыру үшін оны (-1)-ге көбейтеді, яғни
2Х =-2 = ~С1Х1-С2Х2-...-СпХп - тах , өйткені:
тіп 2 — тах (- 2)
Алғашқы есептің теңсіздіктер-шектеуі теңдіктер-шектеуіне түрлен-діріледі,
яғни:
а) алғашқы шектеу
й.,х, +а.~х~ +... + а. х Ь.
іі 1 (2 2 іп п і
теңдікке түрлендіргеннен кейін
апхх + а.2х2 + ... + аіпхп + хп + 1 = Ъ. немесе
б) алғашқы шектеу
аахх+а.2х2+... + аіпхпЪі теңдікке түрлендіргеннен кейін
апхх+а.2х2+... + аіпхп-хп + 1 =Ь., мұндағы
67
тах
г = Х%
мына жағдайда
;=і
(2.26)
(2.27) (2.28)
Х.0, 7 = 1,,
КСП есебінің векторлықтүрі:
1 = СХ — тах (тіп ) мынажағдайда:
АХХ х + А2Х2 + ... + АпХ п = В, Х0
мұндағы С = (с,, с2, ..., ст ),Х= (хг х2, ...,хп), СХ~ С жәнеХвектор-лардың
скалярлық көбейтіндісі. Ажәне В-бағана векторлары, олар:
\Ъ
ап ап
• 2х, - х2 + 4х3 = 24
Зх, + х2 + х3 = 18
*, 0, х2 0, х3
0.
У1- 3 '-1
Г-і -5^ 2
2 3 -1 және 3
4 1 -1
1 -5
4
з^
1
Қосалқы есептің айнымалылар саны бастапқы есептің жүйесіндегі теңдіктер
санына тең, олай болса оларды: уг у2 және у3 деп қабыл-дайық. Мақсат
функция белгісіздерінің коэффициенттері бастапқы есеп шектеулерінің оң
жағындағы бос мүшерелеріне тең, олар: 12, 24,18.
Сонымең қосалқы есеп:
Ғ = Үіу + 24у +1&у -^ тіп
-Уі+2у2+3у32
Зугу2+У31 -5Уі+4у2+у33
оУі о, = п.
түрдежазылады.
5.1. Қосалқы есепті жазудың жалпылама ережесі
Жоғарыдағы келтірілген қосалқы есептің құру ережесін талдап, оның мынадай
жалпылама жазылу ережесін тұжырымдайық:
1. Егер тура (бастапқы) есепте-айнымалыға теріс болмлу шарты (X ? 0)
берілсе, онда осы айнымалыға сәйкес қосалқы осоішң шоктеуі Твңсіздік(оның"'-
"нөмосө""жпгіі.іііуі.ім.чқсатфуіік циіімі.іңқшідлйм;)ііі Іэдөлуіію
байланысты) болуы к 'і і2. Егер тура есептеУ-айнымалыға теріс болмау
шарты берілмесе (0 X. 0), онда осы айнымалыға сәйкес қосалқы есептің
шектеуі теңцік ("=") түрінде жазылады.
3. Егер тура есепте шектеу теңдік түрінде берілсе, онда қосалқы есептің
осы шектеуге сәйкес айнымалысына теріс болмау шарты қойылмайды.
4. Егер тура есепте шектеулер теңсіздіктер түрінде ("^" немесе "")
берілсе, онда қосалқы есептің осы шектеулерге сәйкес айныма-лыларына теріс
болмау шарты қойылады.
Бастапқы СПЕ-ді "X" - есептері, қосалқы есептерді "У" - есептері деп атау
келісілген.
Қосалқы жұп есептер симметриял ы, симметриялы емес және аралас қосалқы
есептер болып бөлінеді.
Симметриялы қосалқы есептер
Егер СП тура есебін қосалқылыққа түрлендіргеннен кейін оны негізгі (тура)
есеп деп есептеп, тағы да түрлендіргенде қайтадан СПЕ-ң бастапқы есебі
алынса, онда осындай есептерді симметриялы қосалқы есептер (бір-бірімен
қосалқыланған) деп атайды.
Симметриялы қосалқы есептерде бастапқы есептердің шектеулері теңсіздіктер
түрінде беріледі. Осы есептердің векторлық жазылу түрлері мынадай:
1-түрі:
Бастапқы есеп Қосалқы есеп
2. тіп = СХ Ғ тах = ВҮ
АХ В АҮ С
X 0 Ү 0
2-түрі:
Алғашқы есеп Қосалқы есеп
7. тах = СХ Ғ тіп = ВҮ
АХ В АҮ С
X 0 Ү 0
Ескерту: Егер бастапқы симметриялы есептің шектеулері әртүрлі болса, онда
қосалқы есептің моделін жазбастан бұрын, бастапқы есептің шектеулерін
мақсат функцияның талабына сәйкестендіру
146керек. Мысалы: Егер 2- шіп, онда мына түрдегі "^" теңсіздікті, оның
оңжәне сол жағын (-1) көбейту арқылы мынатүрге"" ауыстырады. Егер 2 н
тах, онда мына түрдегі "^" теңсіздікті, керісінше, мынадай "" қалыпқа
келтіреді.
Симметриялы емес қосалқы есептер
Симметриялы емес қосалқы есептерде бастапқы есептің шектеулер жүйесі
теңцік, ал қосалқы есепте теңсіздік түрінде беріледі. Қосалқы есепте
айнымалылар кездейсоқ мән қабылдауы мүмкін.
Вектор түрінде жазылу қалыптары:
1. Алғашқы есеп Қосалқы есеп 2
тіп = СХ . Ғ тах = ВҮ
АХ = В АҮ С
X 0 0 Ү2 0
2. Алғашқы есеп Қосалқы есеп 2
тах = СХ Ғтіп = ВҮ
АХ = В АҮ С
X 0 0 Ү 0
Аралас қосалқы есептер
Бастапқы есептің математикалық моделінде симметриялы және симметриялы емес
есептердің шарттары кездесетін есептерді аралас қосалқы есептер дейді.
Мұндай есептердің қосалқы есебін құрғанда симметриялы және симметриялы емес
есептерді жазу ережелері бірге қолданылады.
Бірнеше мысалдар қарастырайық:
1-мысал: Бастапқы (тура) есеп:
2 = х -2х + х -Ах тах 12 3 4
Хү +2х2 +3х3 -4х4 =5
Х1 ~^Х2 +Х3 +^Х4 =^ 2х2-8хъ-6х43
2Х +*2 ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz