Динамика
§ 1. Ньютонның бірінші заңы.
§ 2. Ньютонның екінші заңы. Күш және масса.
§ 3. Үйкеліс күштері.
§ 4. Қозғалыс мөлшері. Күш импульсы.
§ 5. Күш пен массаның бірліктері. Мысалдар.
§ 2. Ньютонның екінші заңы. Күш және масса.
§ 3. Үйкеліс күштері.
§ 4. Қозғалыс мөлшері. Күш импульсы.
§ 5. Күш пен массаның бірліктері. Мысалдар.
Біз бұған дейін денелердің тек уақытқа байланысты орын ауыстыруын, яғни кинематика мәселелерін қарастырдық. Қозғалыстың күйін өзгеріске ұшырататын денелердің өзара әсер етуіне байланысты мәселелерге мүлде тоқталған жоқпыз. Бұл мәселелер динамика саласына жатады. Динамиканың негізгі қағидаларын Ньютон өзінің «Математические начала натуральной философии» (1687) деген кітабында қозғалыстың үш заңы түрінде тұжырымды етіп баяндаған.
Ньютонның бірінші заңын былайша тұжырамдап айтуға болады: әрбір дене өзінің тыныштық күйін немесе бір қалыпты түзу сызықты қозғалыстағы күйін, оған басқа денелер әсер етіп өзгерткенге дейін, бұзбай сақтайды.
Бұл жерде дене материялық нүкте деп қарастырылып отыр, яғни айналмалы қозғалыс қарастырылмай, қатардан шығарылып тасталған. Басқа денелердің әсері тимесе де, дене бір қалыпты айналып тұра алатындығын кейін, 35-параграфта, көреміз.
Ньютонның бірінші заңы бойынша: дене өзінің тыныштық күйін немесе бір қалыпты және түзу сызықты қозғалыстағы күйін өзгерту үшін оған басқа материялық денелер әсер етуі керек.
Ньютонның бірінші заңын тікелей тәжірибе жасап тексеру мүмкін емес, ейткені бізді айнала қоршаған нақтылы жағдайда берілген денеге басқа денелер ешбір әсер етпейтіндей жағдай жасауға болмайды. Алайда бірқатар фактілерді талдап қорыта отырып, біз Ньютонның бірінші заңының дұрыс екендігіне көз жеткізе аламыз. Бізді айнала қоршап тұрған денелердің біз білетін тыныштық күйде болуының себебі — түрлі денелердің әсерлері бірін-бірі теңгеріп тұрады, мысалы, ауыр дене тыныштық күйде тұрған жағдайда жер шарының тарту күші мен тіреуіштің немесе ілменің реакциясы бірін-бірі теңгеріп тұрады. Денеге басқа бір дененің әсері неғұрлым әлсіз болса, дене қозғалғанда соғұрлым көпке дейін өзінің жылдамдығын өзгертпейді белгілі бастапқы жылдамдықпен лақтырылған тас, жер бетімен қозғалғанда, жер беті неғұрлым тегіс болса, неғұрлым оған басқа денелердің ететін әсері аз болса, ол соғұрлым алыс домалайды. Ньютонның бірінші заңының дұрыстығына бұдан шығатын барлық салдарлардың тәжірибе деректеріне дәл келетіндігі біржола көзімізді жеткізеді.
Ньютонның бірінші заңын былайша тұжырамдап айтуға болады: әрбір дене өзінің тыныштық күйін немесе бір қалыпты түзу сызықты қозғалыстағы күйін, оған басқа денелер әсер етіп өзгерткенге дейін, бұзбай сақтайды.
Бұл жерде дене материялық нүкте деп қарастырылып отыр, яғни айналмалы қозғалыс қарастырылмай, қатардан шығарылып тасталған. Басқа денелердің әсері тимесе де, дене бір қалыпты айналып тұра алатындығын кейін, 35-параграфта, көреміз.
Ньютонның бірінші заңы бойынша: дене өзінің тыныштық күйін немесе бір қалыпты және түзу сызықты қозғалыстағы күйін өзгерту үшін оған басқа материялық денелер әсер етуі керек.
Ньютонның бірінші заңын тікелей тәжірибе жасап тексеру мүмкін емес, ейткені бізді айнала қоршаған нақтылы жағдайда берілген денеге басқа денелер ешбір әсер етпейтіндей жағдай жасауға болмайды. Алайда бірқатар фактілерді талдап қорыта отырып, біз Ньютонның бірінші заңының дұрыс екендігіне көз жеткізе аламыз. Бізді айнала қоршап тұрған денелердің біз білетін тыныштық күйде болуының себебі — түрлі денелердің әсерлері бірін-бірі теңгеріп тұрады, мысалы, ауыр дене тыныштық күйде тұрған жағдайда жер шарының тарту күші мен тіреуіштің немесе ілменің реакциясы бірін-бірі теңгеріп тұрады. Денеге басқа бір дененің әсері неғұрлым әлсіз болса, дене қозғалғанда соғұрлым көпке дейін өзінің жылдамдығын өзгертпейді белгілі бастапқы жылдамдықпен лақтырылған тас, жер бетімен қозғалғанда, жер беті неғұрлым тегіс болса, неғұрлым оған басқа денелердің ететін әсері аз болса, ол соғұрлым алыс домалайды. Ньютонның бірінші заңының дұрыстығына бұдан шығатын барлық салдарлардың тәжірибе деректеріне дәл келетіндігі біржола көзімізді жеткізеді.
ДИНАМИКА
§ 14. Ньютонның бірінші заңы. Біз бұған дейін денелердің тек уақытқа
байланысты орын ауыстыруын, яғни кинематика мәселелерін қарастырдық.
Қозғалыстың күйін өзгеріске ұшырататын денелердің өзара әсер етуіне
байланысты мәселелерге мүлде тоқталған жоқпыз. Бұл мәселелер динамика
саласына жатады. Динамиканың негізгі қағидаларын Ньютон өзінің
Математические начала натуральной философии (1687) деген кітабында
қозғалыстың үш заңы түрінде тұжырымды етіп баяндаған.
Ньютонның бірінші заңын былайша тұжырамдап айтуға болады: әрбір дене
өзінің тыныштық күйін немесе бір қалыпты түзу сызықты қозғалыстағы күйін,
оған басқа денелер әсер етіп өзгерткенге дейін, бұзбай сақтайды.
Бұл жерде дене материялық нүкте деп қарастырылып отыр, яғни айналмалы
қозғалыс қарастырылмай, қатардан шығарылып тасталған. Басқа денелердің
әсері тимесе де, дене бір қалыпты айналып тұра алатындығын кейін, 35-
параграфта, көреміз.
Ньютонның бірінші заңы бойынша: дене өзінің тыныштық күйін немесе бір
қалыпты және түзу сызықты қозғалыстағы күйін өзгерту үшін оған басқа
материялық денелер әсер етуі керек.
Ньютонның бірінші заңын тікелей тәжірибе жасап тексеру мүмкін емес,
ейткені бізді айнала қоршаған нақтылы жағдайда берілген денеге басқа
денелер ешбір әсер етпейтіндей жағдай жасауға болмайды. Алайда бірқатар
фактілерді талдап қорыта отырып, біз Ньютонның бірінші заңының дұрыс
екендігіне көз жеткізе аламыз. Бізді айнала қоршап тұрған денелердің біз
білетін тыныштық күйде болуының себебі — түрлі денелердің әсерлері бірін-
бірі теңгеріп тұрады, мысалы, ауыр дене тыныштық күйде тұрған жағдайда жер
шарының тарту күші мен тіреуіштің немесе ілменің реакциясы бірін-бірі
теңгеріп тұрады. Денеге басқа бір дененің әсері неғұрлым әлсіз болса, дене
қозғалғанда соғұрлым көпке дейін өзінің жылдамдығын өзгертпейді белгілі
бастапқы жылдамдықпен лақтырылған тас, жер бетімен қозғалғанда, жер беті
неғұрлым тегіс болса, неғұрлым оған басқа денелердің ететін әсері аз болса,
ол соғұрлым алыс домалайды. Ньютонның бірінші заңының дұрыстығына бұдан
шығатын барлық салдарлардың тәжірибе деректеріне дәл келетіндігі біржола
көзімізді жеткізеді.
Ньютонның бірінші заңына толығырақ тоқталғанда мынадай сұрау қойылуға
тиіс: Ньютонның бірінші заңында сөз болып отырған тыныштық немесе бір
қалыпты және түзу сызықты қозғалыс қандай санау системасына (координаталар
системасына) қатысты тағайындалған? Ньютонның өзі әңгіме мұнда абсолют
кеңістіктегі кейбір абсолют қозғалыс туралы болуы керек деп түсінген.
Ньютонша: Абсолют кеңістік өзінің толық мағынасында, ешбір сыртқы нәрсеге
қатыссыз, әрқашан бірдей болып, қозғалмай қалып отырады... Абсолют қозғалыс
дегеніміз дененің бір абсолют орыннан екінші абсолют орынға көшуі болады.
Бұл — метафизикалық көзқарас, шындыққа сәйкес келмейді. Ақиқат бар нақты
кеңістіктің қасиеттері материяның өзімен анықталады. Денелердің орнын және
олардың қозғалысын, бұрын айтылғандай, тек басқа материялық денелермен
салыстыра отырып қана анықтауға болады; әр түрлі денелермен салыстырғанда
бір дененің өзі түрліше қозғалуы мүмкін.
Бақылауларға қарағанда, Ньютонның бірінші заңы кез келген санау
системасында дұрыс бола бермейтіндігі анықталды. Бірнеше мысал
қарастырайық. Мысалы, түзу сызықты және бір қалыпты қозғалған вагон санау
системасы болсын. Егер вагонның селкілін елемесек, онда Ньютонның бірінші
заңы орындалады: вагонмен салыстырғанда тыныш тұрған денелер, оларға басқа
денелер әсер етпейінше, орнынан қозғалмайды т. т. Ал вагон бұрылса, жүрісін
баяулатса не үдетсе болғаны, Ньютонның бірінші заңы айқын бұзылғанын
көреміз: оған дейін тыныш тұрған денелердің, айнала қоршаған басқа
денелердің көзге көрінерліктей әсерінсіз-ақ, ауытқуы, немесе құлауы мүмкін.
Санау системасы етіп жер шарын алайық; бұл жағдайда, қозғалған вагонды
алғандағыдан гөрі, Ньютонның бірінші заңы дәлірек орындалады, өйткені вагон
бір қалыпты қозғалғанның өзінде де оның селкілі әсер етеді; бірақ мұнда да
кейбір процестерді (маятниктердің тербелісін, ауаның және мұхиттың
ағыстарын т. т.) өте ұқыптылықпен бақылағанда Ньютонның бірінші заңынан,
дұрысы, оның салдарларынан, шегінушілік байқалады. Ал, егер біз санау
системасы етіп гелиоцентрлік системаны сайлап алсақ, сонда системаның басы
Күнге орналастырылып, осьтері белгілі бір жұлдыздарға қарай бағытталса,
онда осындай системада Ньютонның бірінші заңы іс жүзінде дәл орындалады.
Ньютонның бірінші заңы орындалатын санау системасы инерциялық система деп
аталады. Ньютонның бірінші заңының өзі кейде инерция принципі деп те
аталады.
Жоғарыда айтылғандай, гелиоцентрлік система іс жүзінде дәл инерциялық
система болып табылады: онымен салыстырғанда бір қалыпты және түзу сызықты
қозғалған әрбір система да инерциялық система болады. Инерциялық системаның
әйтеуір біреуімен салыстырғанда үдеуі бар әрбір система инерциялық система
болмайды. Біз үдемелі системалар жайындағы мәселені кейін толығырақ
қарастырамыз.
§ 15. Ньютонның екінші заңы. Күш және масса. Ньютонның екінші заңы оның
өзі тұжырымдап айтуынша мынадай: қозғалыстың өзгерісі түсірілгеи күшке тура
пропорционал болады және ол күш әсер еткен бағыт бойынша өзгереді.
Сонымен, Ньютонның екінші заңында физикалық жаңа шама — күш туралы ұғым
енгізіледі.
Ньютонның бірінші заңынан, тек бір дене екінші бір материялық денеге
әсер еткенде ғана олардың қозғалыс күйлерінің өзгеретіндігін көрдік.
Денелердің қозғалыс күйлерін өзгеріске ұшырататын бір дененің екінші денеге
ететін осы әсері күш деп аталатын физикалық шамамен сипатталады. Дененің
қозғалыс күйі өзгереді делінсе, ол оның тыныштық күйі немесе бір қалыпты
және түзу сызықты қозғалыс күйі өзгереді деген сөз болады, яғни дененің
жылдамдығы өзгереді, ол үдеу алады деген сөз болып табылады. Бұған
қарағанда, физикалық шама — күш бір дене екінші денеге әсер ету нәтижесінде
сол денелерге үдеу беретін әсерді сипаттайды.
Қандай болса да бір бөлгілі дене алайық, оған басқа бір дене (немесе
денелер) әсер етсін, сонда әлгі дене әр түрлі үдеу (хю) алатын болсын.
Әрине, әсер неғұрлым күшті болса, дене де соғұрлым зор үдеу алады.
Сондықтан қарастырылып отырған денеге басқа денелер әсер етіп түсіретін күш
деп, сол дене алатын үдеуге пропорционал физикалық шама (f) алынуы табиғи
нәрсе, яғни:
(1)
мұндағы k' — пропорционалдық коэффициент.
Осы (1) теңдікті пайдаланып, берілген бір денеге әсер еткен күштердің
берген үдеулері бойынша оларды бір-бірімен салыстыруға болады. Үдеудің
белгілі бағыты болатындықтан, күштің де бағыты болуы керек. Тәжірибеге
қарағанда, денеге бірнеше күш бір мезгілде әсер еткенде берілетін үдеу, сол
күштердің векторлық қосындысына тең бір күш әсер еткенде берілетін үдеудей
болады. Солай болған соң, күш дегеніміз вектор болады; күш векторының
бағыты оның өзі қоздырған үдеудің бағытындай болады.
Сонымен, (1) теңдікті вектор түрінде жазуға да болады:
(1а)
Денелердің өз ара әсер етуі тек ол денелердің біріне-бірі үдеу беруімен
ғана бітпейді. Кейбір әсерлер де күшпен сипатталады, оларды да күш ұғымын
анықтау үшін пайдалануға болады. Жалпы айтқанда, денелер өз ара біріне-бірі
әсер еткенде, олар бір-бірінің формаларын өзгертеді немесе бірін-бірі
деформациялайды. Күштерді салыстыру үшін осындай деформацияларды
пайдалануға болады. А денесі (31, а-сурет) В денесіне тікелей тиісіп әсер
етсін де, оған w үдеуін берсін (В денесін итеріп жіберсін). Біз егер А және
В денелерінің аралығына бір серпімді дене, мысалы р пружинасын қойсақ (31,
б-сурет), сонда А денесі В денесін итерген кезде пружина жиырылады. Сонда А
денесінід В денесіне берген үдеуі неғұрлым көп болса, яғни А денесі В
денесіне неғұрлым үлкен күшпен әсер етсе, пружина соғұрлым күштірек
жиырылады. Жоғарғы (1) теңдікті пайдаланып, осы күшті өзі қоздырған үдеуі
арқылы өлшей отырып, пружинаны белгілі бөліктерге бөлуге болады, әрі оны
күш шамасын өлшеуге пайдалана аламыз. Сөйтіп, пружина күшті өлшейтін прибор
болады, ондай прибор динамометр деп аталады.
31-сурет. А денесі В денесін итеріп оған w үдеуін береді. Сонда осы
денелердің арасындағы пружина жиырылады.
Осы айтылған тәсіл бойынша, пружиналы динамометрді пайдаланып, күштерді
өлшеп мынадай тәжірибе жасай аламыз: әр түрлі денеге белгілі бір күшпен
әсер етеміз де, олар алған үдеулерді бір-бірімен салыстырамыз. Жалпы
айтқанда, бірдей күштер әсер еткенде әр түрлі денелер түрліше үдеу алады
екен. Сонымен, түрліше денелердің алатын үдеулері тек оларға басқа денелер
тарапынан түсірілген күштермен ғана емес, сол денелердің кейбір меншікті
қасиеттерімен де анықталады. Денелердің осы қасиеті масса деп аталатын
ерекше физикалық шамамен сипатталады.
Берілген күштің әсерінен дене неғұрлым аз үдеу алса, онын, массасы
соғұрлым көп болады. Олай болғанда, түрлі денелердің массалары сол
денелердің бірдей күштердің әсерінен алған үдеулеріне кері пропорционал
деуге болады:
(2)
Денелердің массасы олардың үлкендігіне және затының табиғатына
байланысты болады.
Дененің массасы оның ең негізгі сипаттамаларының бірі болады. Ньютон
масса дегеніміз денедегі материя мелшерінің өлшеуі деп санаған. Ғылымда
ұзақ уақыт сақталып келген осы анықтама дұрыс емес, метафизякалық сипаты
бар анықтама еді. Ал массаны механика теңдеулерінде кездесетін тек бір
коэффициент деп ұғынған идеалист физиктердің көзқарасы одан да сорақы
болды.
Диалектикалық материализм бізге былай деп үйретеді: материяның
қасиеттері сарқылмайды, міне сондықтан қозғалыстағы материяның физикалық
сипаттамаларының ешқайсысы оның толық өлшеуі бола алмайды. Философиялық,
гносеологиялық категория ретінде материя жайында сөз козғағанда, материя
туралы философиялық ұғымды материяның алуан түрлерінің нақты
сипаттамаларының ешқайсысымен шатастыруға болмайды, деп көрсетті В. И.
Ленин. Ол былай деп жазды: Бірақ, махистерше, материяның қандай да болса
бір құрылысы жөніндегі ілімді гносеологиялық категориямен шатастыру, —
материяның жаңа түрлерінің (мәселен, электрондардың) жаңа қасиеттері туралы
мәселені дүние тану теориясының ескі мәселесімен, біздіқ біліміміздің
көздері туралы мәселемен, объективтік ақиқаттың бар екендігі туралы
мәселемен, тағы сондайлармен апарып шатастыру мүлде орынсыз.
Масса жайындағы ұғымды, әрбір физикалық шамалардың ұғымдары сияқты, осы
шаманың басқа физикалық шамалармен объективтік заңдылық түрінде өз ара
байланыстарының жиынтығы арқылы ғана тағайындауға болады. Масса жайында
сондай өз ара байланыстардың біреуі денелердің инерттілігі туралы ұғым
енгізілетін Ньютонның екінші заңында берілген. Сонда денелердің инерттілігі
жайында сөз қылғанда былай делінеді: денелерді бір-бірінен айыратын олардың
объективтік қасиеті бар, ол қасиеті сырттан түсірілген әсер бірдей болғанда
олардың алатын үдеулерінің тең болмауынан барып білінеді. Барлық денелерге
тән бұл қасиет белгілі физикалық шамамен сипатталады да, ол дененің массасы
болып табылады. (2) теңдікті пайдаланып түрлі денелердің массаларын мөлшер
жағынан салыстыруға болады. Осылайша өлшенілетін массаны инерциялық масса
деп атауға болады, өйткені оны инерциялық құбылыстарға сүйеніп өлшейміз.
Масса ұғымының бұдан толығырақ мазмұны мол фактілер жинағын
қарастырғанда ғана айқындалады. Сондай фактілердің ең негізгілерінің бірі
М. В. Ломоносов тағайындаған массаның сақталу заңы болып табылады:
оңашаланған денелер системасының массасы сол системада болған барлық
өзгерістер кезінде тұрақты болып тұрады. Біз 17-параграфта масса мен
қозғалыс мөлшері деп аталатын физикалық шаманың арасындағы байланысты
қарастырамыз; ол шама векторлық шама болады да сақталу заңына бағынады.
Сонымен қатар, масса гравитациялық құбылыстарда (бүкіл әлемдік тартылыс
заңы, §32, 33) білінеді. Ақырында салыстырмалық теориясы бойынша масса мен
энергияның арасында терең өз ара байланыс бар деген қорытындыға келеміз.
Бостықтағы жарық жылдамдығына жуық жылдамдықтар кезінде денелердің массасы
тұрақты болып қалмайды, жылдамдық артқан сайын масса көбейе береді. Толық
оңашаланған системаның, яғни сол системамен салыстырғанда тек зат (атомдар,
молекулалар т. т.) қана емес, энергия да алмаспайтын системаның массасы
тұрақты болып қалады.
Біз (1) және (2) теңдіктерді салыстырып мынадай қорытындыға келеміз:
дененің алатын w үдеуі сол денеге әсер етуші f күшіне тура пропорционал
және дененің m массасына кері пропорционал болады:
(3)
мұндағы k — пропорционалдық коэффициент.
(3) теңдіктің векторлық сипаты бар. Ол Ньютонның екінші заңының дәл
мазмұнын өрнектейді.
Физиканың көп есептерін шығарғанда әсер етуші күштің шамасы мен бағыты
мәлім болып келеді, мысалы, сондай күштерге бүкіл әлемдік тартылыс күштері
(§32) немесе Гук заңына (§89) бағылатын серпімділік күштері жатады. Солай
болғанда (3) теңдікті пайдаланып, үдеумен қозғалыстың сипатын анықтауға
болады.
(3) теңдік динамиканың негізгі теңдеуі болып табылады.
§ 16. Үйкеліс күштері. Денелер деформацияланғанда пайда болатын күштер
(серпімділік күштері) мен тартылыс күштерінен басқа да күштер бар, олар
тиісіп тұрған денелердің немесе бір дененің жеке бөліктерінің бір-біріне
еткен молекулалық әсерлерінен келіп туады. Тікелей тиісіп тұрған денелер
немесе бір дененің жеке бөліктері бір-бірімен салыстырғанда қозғалса, сонда
пайда болатын күштер үйкеліс күштері деп аталады.
Түрлі денелер тиіскенде пайда болатын үйкеліс күштерін сыртқы үйкеліс
күштері деп атайды. Ол күштер тиісіп тұрған денелердің екеуі де, бір-
бірімен салыстырғанда, қозғалмағанның өзінде де жойылмайды (тыныштық
үйкелісі). Бір дененің жеке бөліктері бір-бірімен салыстырғанда қозғалса,
сонда пайда болатын күштерді ішкі үйкеліс күштері деп атайды (олар көбінесе
сұйықтар мен газдар қозғалғанда пайда болады).
Үйкеліс күштері біздің күнделікті тіршілігімізде және техникада үлкен
роль атқарады. Сондықтан оларды есепке ала білудің, Ньютонның екінші заңын
практикалық маңызы зор көптеген мәселелерге дұрыс қолдану үшін мәні зор.
Үйкеліс күштері денелердің тиісіп тұрған беттеріне жанамалап
бағытталады және олардың салыстырмалы жылдамдықтарына байланысты болады. Ол
күштердің серпімділік күштері мен тартылыс күштерінен елеулі айырмашылығы
да, міне осында. Үйкеліс күштері тек тиісіп тұрған қатты денелер арасында
ғана емес, қатты дене мен сұйықтың немесе қатты дене мен газдың арасында да
болуы мүмкін.
Жер бетіндегі жағдайда әрбір қозғалыс кезінде үйкеліс күштерінің
әйтеуір біреуі пайда болады, сондықтан дененің үдеуін анықтау үшін оған
әсер ететін f күшінен басқа салыстырмалы v жылдамдық бар болған жағдайда
өрбитін fүйк. үйкеліс күшін де есепке алу қажет.
Мысалы, бір А денесі оған тиісіп тұрған басқа денемен салыстырғанда v
салыстырмалы жылдамдықпен қозғалсын. Тәжірибеге қарағанда, А денесіне әсер
ететін fүйк. үйкеліс күші әрқашан v жылдамдығына қарама-қарсы жаққа қарай
бағытталған болады. Мысалы, А денесіне fүйк. үйкеліс күшінен басқа екінші f
күші әсер еткен болсын. Сонда А денесінің алатын w үдеуі қосынды f+
fүйк. күшімен анықталады.
Ньютонның екінші заңы бойынша:
(1)
мұндағы m — дененің массасы, k — пропорционалдық коэффициенті.
Нақты жағдайда дене тұрақты v жылдамдықпен қозғалу үшін оған, fүйк.
үйкеліс күшін теңгеретіндей, f күшін түсіру қажет. Тек сонда ғана (1)
теңдіктегі f+ fүйк. қорытқы күші нольге тең болады, сондықтан w үдеуі де
нольге тең болады, яғни дене бір қалыпты қозғалады.
Сыртқы күш қозғалыс нәтижесінде пайда болған үйкеліс күшімен теңелсе,
сонда дене түзу сызықты және бір қалыпты қозғалады.
Мысалы, винттің итермелеуші тұрақты f күшінің әсерінен түзу бағытпен
қозғалған пароходты қарастырайық, сонда винттің күшін оң шама деп
есептейік. Пароход орнынан қозғалысымен-ақ үйкеліс күші пайда болып, ол күш
пароходтың v жылдамдығына байланысты болады. Үйкеліс күші винттің
итермелеуші f күшіне қарама-қарсы бағытталған болғандықтан, оны — fүйк.
әрпімен белгілейміз. Пароход сонда f - fүйк. қорытқы күшінің ықпалымен
қозғалады. Қозғалыстың басында, жылдамдық аз кезде, f - fүйк. қорытқы күші
оң болады да, пароход үдей қозғалады. Жылдамдық (v) артқан сайын үйкеліс
күшінің сан мәні де артады, үдеу кеми түседі. Ақырында f - fүйк.
айырмасының мәні ноль болады, санда ғана пароход бір қалыпты қозғалады.
Егер бір себептен винттің итермелеуші күші кемісе, сонда f - fүйк.
айырмасының мәні теріс шама болып қалуы мүмкін, онда пароходтың қозғалысы
баяулай бастайды.
Екінші мысал ретінде, ауаның кедергісін есепке ала отырып, ауыр дененің
ауада төмен түсуін қарастырайық. Егер ауыр дене нольге тең бастапқы
жылдамдықпен төмен түсе бастаса, оған тек Р ауырлық күші ғана әсер етеді
де, ол g еркін түсу үдеуіне тең w үдеуін алады. Төмен түсу жылдамдығы
артқан сайын ауамен үйкелісу күші көбірек артады, Р — fүйк. қорытқы күші
ауырлық күшінен аз болып қалады, w үдеуі де g еркін түсу үдеуінен кем
болады. Төмен түсу жылдамдығы одан әрі артқанда үйкеліс күші, ақырында, Р
ауырлық күшімен теңеледі де, дене тұрақты жылдамдықпен бір қалыпты төмен
түседі. Бір қалыпты төмен түсудің осы жылдамдығының шамасы түскен дененің
формасына және оның үлкендігіне байланысты болады. Тәжірибеге қарағанда,
мысалы, адам төмен құлап түскен кездегі бұл жылдамдық, шамамен 60 мсек-қа
тең. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
§ 14. Ньютонның бірінші заңы. Біз бұған дейін денелердің тек уақытқа
байланысты орын ауыстыруын, яғни кинематика мәселелерін қарастырдық.
Қозғалыстың күйін өзгеріске ұшырататын денелердің өзара әсер етуіне
байланысты мәселелерге мүлде тоқталған жоқпыз. Бұл мәселелер динамика
саласына жатады. Динамиканың негізгі қағидаларын Ньютон өзінің
Математические начала натуральной философии (1687) деген кітабында
қозғалыстың үш заңы түрінде тұжырымды етіп баяндаған.
Ньютонның бірінші заңын былайша тұжырамдап айтуға болады: әрбір дене
өзінің тыныштық күйін немесе бір қалыпты түзу сызықты қозғалыстағы күйін,
оған басқа денелер әсер етіп өзгерткенге дейін, бұзбай сақтайды.
Бұл жерде дене материялық нүкте деп қарастырылып отыр, яғни айналмалы
қозғалыс қарастырылмай, қатардан шығарылып тасталған. Басқа денелердің
әсері тимесе де, дене бір қалыпты айналып тұра алатындығын кейін, 35-
параграфта, көреміз.
Ньютонның бірінші заңы бойынша: дене өзінің тыныштық күйін немесе бір
қалыпты және түзу сызықты қозғалыстағы күйін өзгерту үшін оған басқа
материялық денелер әсер етуі керек.
Ньютонның бірінші заңын тікелей тәжірибе жасап тексеру мүмкін емес,
ейткені бізді айнала қоршаған нақтылы жағдайда берілген денеге басқа
денелер ешбір әсер етпейтіндей жағдай жасауға болмайды. Алайда бірқатар
фактілерді талдап қорыта отырып, біз Ньютонның бірінші заңының дұрыс
екендігіне көз жеткізе аламыз. Бізді айнала қоршап тұрған денелердің біз
білетін тыныштық күйде болуының себебі — түрлі денелердің әсерлері бірін-
бірі теңгеріп тұрады, мысалы, ауыр дене тыныштық күйде тұрған жағдайда жер
шарының тарту күші мен тіреуіштің немесе ілменің реакциясы бірін-бірі
теңгеріп тұрады. Денеге басқа бір дененің әсері неғұрлым әлсіз болса, дене
қозғалғанда соғұрлым көпке дейін өзінің жылдамдығын өзгертпейді белгілі
бастапқы жылдамдықпен лақтырылған тас, жер бетімен қозғалғанда, жер беті
неғұрлым тегіс болса, неғұрлым оған басқа денелердің ететін әсері аз болса,
ол соғұрлым алыс домалайды. Ньютонның бірінші заңының дұрыстығына бұдан
шығатын барлық салдарлардың тәжірибе деректеріне дәл келетіндігі біржола
көзімізді жеткізеді.
Ньютонның бірінші заңына толығырақ тоқталғанда мынадай сұрау қойылуға
тиіс: Ньютонның бірінші заңында сөз болып отырған тыныштық немесе бір
қалыпты және түзу сызықты қозғалыс қандай санау системасына (координаталар
системасына) қатысты тағайындалған? Ньютонның өзі әңгіме мұнда абсолют
кеңістіктегі кейбір абсолют қозғалыс туралы болуы керек деп түсінген.
Ньютонша: Абсолют кеңістік өзінің толық мағынасында, ешбір сыртқы нәрсеге
қатыссыз, әрқашан бірдей болып, қозғалмай қалып отырады... Абсолют қозғалыс
дегеніміз дененің бір абсолют орыннан екінші абсолют орынға көшуі болады.
Бұл — метафизикалық көзқарас, шындыққа сәйкес келмейді. Ақиқат бар нақты
кеңістіктің қасиеттері материяның өзімен анықталады. Денелердің орнын және
олардың қозғалысын, бұрын айтылғандай, тек басқа материялық денелермен
салыстыра отырып қана анықтауға болады; әр түрлі денелермен салыстырғанда
бір дененің өзі түрліше қозғалуы мүмкін.
Бақылауларға қарағанда, Ньютонның бірінші заңы кез келген санау
системасында дұрыс бола бермейтіндігі анықталды. Бірнеше мысал
қарастырайық. Мысалы, түзу сызықты және бір қалыпты қозғалған вагон санау
системасы болсын. Егер вагонның селкілін елемесек, онда Ньютонның бірінші
заңы орындалады: вагонмен салыстырғанда тыныш тұрған денелер, оларға басқа
денелер әсер етпейінше, орнынан қозғалмайды т. т. Ал вагон бұрылса, жүрісін
баяулатса не үдетсе болғаны, Ньютонның бірінші заңы айқын бұзылғанын
көреміз: оған дейін тыныш тұрған денелердің, айнала қоршаған басқа
денелердің көзге көрінерліктей әсерінсіз-ақ, ауытқуы, немесе құлауы мүмкін.
Санау системасы етіп жер шарын алайық; бұл жағдайда, қозғалған вагонды
алғандағыдан гөрі, Ньютонның бірінші заңы дәлірек орындалады, өйткені вагон
бір қалыпты қозғалғанның өзінде де оның селкілі әсер етеді; бірақ мұнда да
кейбір процестерді (маятниктердің тербелісін, ауаның және мұхиттың
ағыстарын т. т.) өте ұқыптылықпен бақылағанда Ньютонның бірінші заңынан,
дұрысы, оның салдарларынан, шегінушілік байқалады. Ал, егер біз санау
системасы етіп гелиоцентрлік системаны сайлап алсақ, сонда системаның басы
Күнге орналастырылып, осьтері белгілі бір жұлдыздарға қарай бағытталса,
онда осындай системада Ньютонның бірінші заңы іс жүзінде дәл орындалады.
Ньютонның бірінші заңы орындалатын санау системасы инерциялық система деп
аталады. Ньютонның бірінші заңының өзі кейде инерция принципі деп те
аталады.
Жоғарыда айтылғандай, гелиоцентрлік система іс жүзінде дәл инерциялық
система болып табылады: онымен салыстырғанда бір қалыпты және түзу сызықты
қозғалған әрбір система да инерциялық система болады. Инерциялық системаның
әйтеуір біреуімен салыстырғанда үдеуі бар әрбір система инерциялық система
болмайды. Біз үдемелі системалар жайындағы мәселені кейін толығырақ
қарастырамыз.
§ 15. Ньютонның екінші заңы. Күш және масса. Ньютонның екінші заңы оның
өзі тұжырымдап айтуынша мынадай: қозғалыстың өзгерісі түсірілгеи күшке тура
пропорционал болады және ол күш әсер еткен бағыт бойынша өзгереді.
Сонымен, Ньютонның екінші заңында физикалық жаңа шама — күш туралы ұғым
енгізіледі.
Ньютонның бірінші заңынан, тек бір дене екінші бір материялық денеге
әсер еткенде ғана олардың қозғалыс күйлерінің өзгеретіндігін көрдік.
Денелердің қозғалыс күйлерін өзгеріске ұшырататын бір дененің екінші денеге
ететін осы әсері күш деп аталатын физикалық шамамен сипатталады. Дененің
қозғалыс күйі өзгереді делінсе, ол оның тыныштық күйі немесе бір қалыпты
және түзу сызықты қозғалыс күйі өзгереді деген сөз болады, яғни дененің
жылдамдығы өзгереді, ол үдеу алады деген сөз болып табылады. Бұған
қарағанда, физикалық шама — күш бір дене екінші денеге әсер ету нәтижесінде
сол денелерге үдеу беретін әсерді сипаттайды.
Қандай болса да бір бөлгілі дене алайық, оған басқа бір дене (немесе
денелер) әсер етсін, сонда әлгі дене әр түрлі үдеу (хю) алатын болсын.
Әрине, әсер неғұрлым күшті болса, дене де соғұрлым зор үдеу алады.
Сондықтан қарастырылып отырған денеге басқа денелер әсер етіп түсіретін күш
деп, сол дене алатын үдеуге пропорционал физикалық шама (f) алынуы табиғи
нәрсе, яғни:
(1)
мұндағы k' — пропорционалдық коэффициент.
Осы (1) теңдікті пайдаланып, берілген бір денеге әсер еткен күштердің
берген үдеулері бойынша оларды бір-бірімен салыстыруға болады. Үдеудің
белгілі бағыты болатындықтан, күштің де бағыты болуы керек. Тәжірибеге
қарағанда, денеге бірнеше күш бір мезгілде әсер еткенде берілетін үдеу, сол
күштердің векторлық қосындысына тең бір күш әсер еткенде берілетін үдеудей
болады. Солай болған соң, күш дегеніміз вектор болады; күш векторының
бағыты оның өзі қоздырған үдеудің бағытындай болады.
Сонымен, (1) теңдікті вектор түрінде жазуға да болады:
(1а)
Денелердің өз ара әсер етуі тек ол денелердің біріне-бірі үдеу беруімен
ғана бітпейді. Кейбір әсерлер де күшпен сипатталады, оларды да күш ұғымын
анықтау үшін пайдалануға болады. Жалпы айтқанда, денелер өз ара біріне-бірі
әсер еткенде, олар бір-бірінің формаларын өзгертеді немесе бірін-бірі
деформациялайды. Күштерді салыстыру үшін осындай деформацияларды
пайдалануға болады. А денесі (31, а-сурет) В денесіне тікелей тиісіп әсер
етсін де, оған w үдеуін берсін (В денесін итеріп жіберсін). Біз егер А және
В денелерінің аралығына бір серпімді дене, мысалы р пружинасын қойсақ (31,
б-сурет), сонда А денесі В денесін итерген кезде пружина жиырылады. Сонда А
денесінід В денесіне берген үдеуі неғұрлым көп болса, яғни А денесі В
денесіне неғұрлым үлкен күшпен әсер етсе, пружина соғұрлым күштірек
жиырылады. Жоғарғы (1) теңдікті пайдаланып, осы күшті өзі қоздырған үдеуі
арқылы өлшей отырып, пружинаны белгілі бөліктерге бөлуге болады, әрі оны
күш шамасын өлшеуге пайдалана аламыз. Сөйтіп, пружина күшті өлшейтін прибор
болады, ондай прибор динамометр деп аталады.
31-сурет. А денесі В денесін итеріп оған w үдеуін береді. Сонда осы
денелердің арасындағы пружина жиырылады.
Осы айтылған тәсіл бойынша, пружиналы динамометрді пайдаланып, күштерді
өлшеп мынадай тәжірибе жасай аламыз: әр түрлі денеге белгілі бір күшпен
әсер етеміз де, олар алған үдеулерді бір-бірімен салыстырамыз. Жалпы
айтқанда, бірдей күштер әсер еткенде әр түрлі денелер түрліше үдеу алады
екен. Сонымен, түрліше денелердің алатын үдеулері тек оларға басқа денелер
тарапынан түсірілген күштермен ғана емес, сол денелердің кейбір меншікті
қасиеттерімен де анықталады. Денелердің осы қасиеті масса деп аталатын
ерекше физикалық шамамен сипатталады.
Берілген күштің әсерінен дене неғұрлым аз үдеу алса, онын, массасы
соғұрлым көп болады. Олай болғанда, түрлі денелердің массалары сол
денелердің бірдей күштердің әсерінен алған үдеулеріне кері пропорционал
деуге болады:
(2)
Денелердің массасы олардың үлкендігіне және затының табиғатына
байланысты болады.
Дененің массасы оның ең негізгі сипаттамаларының бірі болады. Ньютон
масса дегеніміз денедегі материя мелшерінің өлшеуі деп санаған. Ғылымда
ұзақ уақыт сақталып келген осы анықтама дұрыс емес, метафизякалық сипаты
бар анықтама еді. Ал массаны механика теңдеулерінде кездесетін тек бір
коэффициент деп ұғынған идеалист физиктердің көзқарасы одан да сорақы
болды.
Диалектикалық материализм бізге былай деп үйретеді: материяның
қасиеттері сарқылмайды, міне сондықтан қозғалыстағы материяның физикалық
сипаттамаларының ешқайсысы оның толық өлшеуі бола алмайды. Философиялық,
гносеологиялық категория ретінде материя жайында сөз козғағанда, материя
туралы философиялық ұғымды материяның алуан түрлерінің нақты
сипаттамаларының ешқайсысымен шатастыруға болмайды, деп көрсетті В. И.
Ленин. Ол былай деп жазды: Бірақ, махистерше, материяның қандай да болса
бір құрылысы жөніндегі ілімді гносеологиялық категориямен шатастыру, —
материяның жаңа түрлерінің (мәселен, электрондардың) жаңа қасиеттері туралы
мәселені дүние тану теориясының ескі мәселесімен, біздіқ біліміміздің
көздері туралы мәселемен, объективтік ақиқаттың бар екендігі туралы
мәселемен, тағы сондайлармен апарып шатастыру мүлде орынсыз.
Масса жайындағы ұғымды, әрбір физикалық шамалардың ұғымдары сияқты, осы
шаманың басқа физикалық шамалармен объективтік заңдылық түрінде өз ара
байланыстарының жиынтығы арқылы ғана тағайындауға болады. Масса жайында
сондай өз ара байланыстардың біреуі денелердің инерттілігі туралы ұғым
енгізілетін Ньютонның екінші заңында берілген. Сонда денелердің инерттілігі
жайында сөз қылғанда былай делінеді: денелерді бір-бірінен айыратын олардың
объективтік қасиеті бар, ол қасиеті сырттан түсірілген әсер бірдей болғанда
олардың алатын үдеулерінің тең болмауынан барып білінеді. Барлық денелерге
тән бұл қасиет белгілі физикалық шамамен сипатталады да, ол дененің массасы
болып табылады. (2) теңдікті пайдаланып түрлі денелердің массаларын мөлшер
жағынан салыстыруға болады. Осылайша өлшенілетін массаны инерциялық масса
деп атауға болады, өйткені оны инерциялық құбылыстарға сүйеніп өлшейміз.
Масса ұғымының бұдан толығырақ мазмұны мол фактілер жинағын
қарастырғанда ғана айқындалады. Сондай фактілердің ең негізгілерінің бірі
М. В. Ломоносов тағайындаған массаның сақталу заңы болып табылады:
оңашаланған денелер системасының массасы сол системада болған барлық
өзгерістер кезінде тұрақты болып тұрады. Біз 17-параграфта масса мен
қозғалыс мөлшері деп аталатын физикалық шаманың арасындағы байланысты
қарастырамыз; ол шама векторлық шама болады да сақталу заңына бағынады.
Сонымен қатар, масса гравитациялық құбылыстарда (бүкіл әлемдік тартылыс
заңы, §32, 33) білінеді. Ақырында салыстырмалық теориясы бойынша масса мен
энергияның арасында терең өз ара байланыс бар деген қорытындыға келеміз.
Бостықтағы жарық жылдамдығына жуық жылдамдықтар кезінде денелердің массасы
тұрақты болып қалмайды, жылдамдық артқан сайын масса көбейе береді. Толық
оңашаланған системаның, яғни сол системамен салыстырғанда тек зат (атомдар,
молекулалар т. т.) қана емес, энергия да алмаспайтын системаның массасы
тұрақты болып қалады.
Біз (1) және (2) теңдіктерді салыстырып мынадай қорытындыға келеміз:
дененің алатын w үдеуі сол денеге әсер етуші f күшіне тура пропорционал
және дененің m массасына кері пропорционал болады:
(3)
мұндағы k — пропорционалдық коэффициент.
(3) теңдіктің векторлық сипаты бар. Ол Ньютонның екінші заңының дәл
мазмұнын өрнектейді.
Физиканың көп есептерін шығарғанда әсер етуші күштің шамасы мен бағыты
мәлім болып келеді, мысалы, сондай күштерге бүкіл әлемдік тартылыс күштері
(§32) немесе Гук заңына (§89) бағылатын серпімділік күштері жатады. Солай
болғанда (3) теңдікті пайдаланып, үдеумен қозғалыстың сипатын анықтауға
болады.
(3) теңдік динамиканың негізгі теңдеуі болып табылады.
§ 16. Үйкеліс күштері. Денелер деформацияланғанда пайда болатын күштер
(серпімділік күштері) мен тартылыс күштерінен басқа да күштер бар, олар
тиісіп тұрған денелердің немесе бір дененің жеке бөліктерінің бір-біріне
еткен молекулалық әсерлерінен келіп туады. Тікелей тиісіп тұрған денелер
немесе бір дененің жеке бөліктері бір-бірімен салыстырғанда қозғалса, сонда
пайда болатын күштер үйкеліс күштері деп аталады.
Түрлі денелер тиіскенде пайда болатын үйкеліс күштерін сыртқы үйкеліс
күштері деп атайды. Ол күштер тиісіп тұрған денелердің екеуі де, бір-
бірімен салыстырғанда, қозғалмағанның өзінде де жойылмайды (тыныштық
үйкелісі). Бір дененің жеке бөліктері бір-бірімен салыстырғанда қозғалса,
сонда пайда болатын күштерді ішкі үйкеліс күштері деп атайды (олар көбінесе
сұйықтар мен газдар қозғалғанда пайда болады).
Үйкеліс күштері біздің күнделікті тіршілігімізде және техникада үлкен
роль атқарады. Сондықтан оларды есепке ала білудің, Ньютонның екінші заңын
практикалық маңызы зор көптеген мәселелерге дұрыс қолдану үшін мәні зор.
Үйкеліс күштері денелердің тиісіп тұрған беттеріне жанамалап
бағытталады және олардың салыстырмалы жылдамдықтарына байланысты болады. Ол
күштердің серпімділік күштері мен тартылыс күштерінен елеулі айырмашылығы
да, міне осында. Үйкеліс күштері тек тиісіп тұрған қатты денелер арасында
ғана емес, қатты дене мен сұйықтың немесе қатты дене мен газдың арасында да
болуы мүмкін.
Жер бетіндегі жағдайда әрбір қозғалыс кезінде үйкеліс күштерінің
әйтеуір біреуі пайда болады, сондықтан дененің үдеуін анықтау үшін оған
әсер ететін f күшінен басқа салыстырмалы v жылдамдық бар болған жағдайда
өрбитін fүйк. үйкеліс күшін де есепке алу қажет.
Мысалы, бір А денесі оған тиісіп тұрған басқа денемен салыстырғанда v
салыстырмалы жылдамдықпен қозғалсын. Тәжірибеге қарағанда, А денесіне әсер
ететін fүйк. үйкеліс күші әрқашан v жылдамдығына қарама-қарсы жаққа қарай
бағытталған болады. Мысалы, А денесіне fүйк. үйкеліс күшінен басқа екінші f
күші әсер еткен болсын. Сонда А денесінің алатын w үдеуі қосынды f+
fүйк. күшімен анықталады.
Ньютонның екінші заңы бойынша:
(1)
мұндағы m — дененің массасы, k — пропорционалдық коэффициенті.
Нақты жағдайда дене тұрақты v жылдамдықпен қозғалу үшін оған, fүйк.
үйкеліс күшін теңгеретіндей, f күшін түсіру қажет. Тек сонда ғана (1)
теңдіктегі f+ fүйк. қорытқы күші нольге тең болады, сондықтан w үдеуі де
нольге тең болады, яғни дене бір қалыпты қозғалады.
Сыртқы күш қозғалыс нәтижесінде пайда болған үйкеліс күшімен теңелсе,
сонда дене түзу сызықты және бір қалыпты қозғалады.
Мысалы, винттің итермелеуші тұрақты f күшінің әсерінен түзу бағытпен
қозғалған пароходты қарастырайық, сонда винттің күшін оң шама деп
есептейік. Пароход орнынан қозғалысымен-ақ үйкеліс күші пайда болып, ол күш
пароходтың v жылдамдығына байланысты болады. Үйкеліс күші винттің
итермелеуші f күшіне қарама-қарсы бағытталған болғандықтан, оны — fүйк.
әрпімен белгілейміз. Пароход сонда f - fүйк. қорытқы күшінің ықпалымен
қозғалады. Қозғалыстың басында, жылдамдық аз кезде, f - fүйк. қорытқы күші
оң болады да, пароход үдей қозғалады. Жылдамдық (v) артқан сайын үйкеліс
күшінің сан мәні де артады, үдеу кеми түседі. Ақырында f - fүйк.
айырмасының мәні ноль болады, санда ғана пароход бір қалыпты қозғалады.
Егер бір себептен винттің итермелеуші күші кемісе, сонда f - fүйк.
айырмасының мәні теріс шама болып қалуы мүмкін, онда пароходтың қозғалысы
баяулай бастайды.
Екінші мысал ретінде, ауаның кедергісін есепке ала отырып, ауыр дененің
ауада төмен түсуін қарастырайық. Егер ауыр дене нольге тең бастапқы
жылдамдықпен төмен түсе бастаса, оған тек Р ауырлық күші ғана әсер етеді
де, ол g еркін түсу үдеуіне тең w үдеуін алады. Төмен түсу жылдамдығы
артқан сайын ауамен үйкелісу күші көбірек артады, Р — fүйк. қорытқы күші
ауырлық күшінен аз болып қалады, w үдеуі де g еркін түсу үдеуінен кем
болады. Төмен түсу жылдамдығы одан әрі артқанда үйкеліс күші, ақырында, Р
ауырлық күшімен теңеледі де, дене тұрақты жылдамдықпен бір қалыпты төмен
түседі. Бір қалыпты төмен түсудің осы жылдамдығының шамасы түскен дененің
формасына және оның үлкендігіне байланысты болады. Тәжірибеге қарағанда,
мысалы, адам төмен құлап түскен кездегі бұл жылдамдық, шамамен 60 мсек-қа
тең. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz