Бір өлшемді жиындарға амалдар қолдану
Кіріспе
Бір өлшемді жиындарға амалдар қолдану
1.1 Логикалық символдар. Жиындар
1.2 Жиындар арасындағы қатыс және
олардың қиылысуы мен бірігуі
1.3 Жиындардың толықтауышы.
Жиындарды азайту және оларды
кластарға бөлу
Жиындардың декарттық көбейтіндісі және олардың арасындағы сәйкестік
2.1 Декарттық көбейтінді
2.2 Жиындар арасындағы сәйкестік
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер
Бір өлшемді жиындарға амалдар қолдану
1.1 Логикалық символдар. Жиындар
1.2 Жиындар арасындағы қатыс және
олардың қиылысуы мен бірігуі
1.3 Жиындардың толықтауышы.
Жиындарды азайту және оларды
кластарға бөлу
Жиындардың декарттық көбейтіндісі және олардың арасындағы сәйкестік
2.1 Декарттық көбейтінді
2.2 Жиындар арасындағы сәйкестік
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер
Жиын ұғымы математиканың негізгі, алғашқы ұғымдарының бірі, сондықтан ол басқа ұғымдар арқылы анықталмайды.
Сан ұғымынан бұрын шыққан жиын ұғымын қандай да бір нәрселердің жинағы ретінде түсінеміз, ол жинаққа кіретін нәрселерді жеке-жеке қабылдауға және оларды бір-бірінен де, бұл жинаққа жатпайтын басқа нәрселерден де ажыратуға болады деп білеміз.
«Жиын» деген сөз математикада «көптіктің» мағынасында, оның бір баламасы ретінде қолданылады. Ол сөз жоғарыда айтқанымыздай «жинақ», «жиынтық» мағынасын білдіреді. Жиындар алуан-алуан объектілерден құралуы мүмкін, ол объектілер жиынның мүшелері немесе элементтері деп аталады. Мысалы, «адамдар жиыны» тірі табиғат объектілерінен құралса, «кітаптар жиыны» жансыз табиғат объектілерінен құралады. Ал бүтін сандар жиынын алсақ, бұл жиын нақтылы объектілерден емес, дерексіз ұғымдардан тұрады. Сөйтіп, не туралы пікір қорытып, ойлай алатын болсақ, солардың бәрі де жиын элементі бола алады. Сондай-ақ, жиын атаулының бәрі біртектес объектілерден құралуы да шарт емес. Мысалы, элементтері оқушы, кітап, қалам, дәптер болатын жиын немесе үстел үстіндегі нәрселердің : шам, кітап, алма, қалам жиыны туралы сөз етуге болады. Жиын жалғыз ғана элементтен де құралуы мүмкін. Мысалы, Жердің барлық табиғи серіктерінің жиыны жалғыз серіктен – Айдан тұрады. Жиынның элементтерінің өздері жиындар болуы мүмкін. Мысалы, элементтерінің саны екіге бөлінетін тең жиындардың жиынын алатын болсақ, мұндай жиынның элементтері деп «су» сөзіндегі әріптер жиыны, адамның құлақтарының, көздерінің, қолдарының, құстың қанаттарының т.с.с. жиынын айтуға болады.
Жиын латын алфавитінің үлкен әріптерімен A, B, C, …,Z белгіленеді. Бір де бір элементі болмайтын жиынды құр (бос) жиын деп атайды. Оны түрінде белгілейді. Жиынның элементтері латын алфавитінің кіші әріптерімен белгіленеді.
Шексіз жиындарды да фигуралы жақша арқылы көп нүктені пайдаланып белгілеуге болады.
Мысалы, натурал сандар жиынын былай белгілейміз.
Сипаттамалық қасиеті бойынша анықталған элементтердің жиынын былай белгілеуге болады: фигуралы жақшаның ішінде алдымен жиынның элементін белгілейтін әріп жазылып, тік сызықтан кейін сипаттамалық қасиет жазылады. Мысалы, , бұл А жиыны барлық 3-ке еселі сандардың жиыны екендігін көрсетеді.
Сан ұғымынан бұрын шыққан жиын ұғымын қандай да бір нәрселердің жинағы ретінде түсінеміз, ол жинаққа кіретін нәрселерді жеке-жеке қабылдауға және оларды бір-бірінен де, бұл жинаққа жатпайтын басқа нәрселерден де ажыратуға болады деп білеміз.
«Жиын» деген сөз математикада «көптіктің» мағынасында, оның бір баламасы ретінде қолданылады. Ол сөз жоғарыда айтқанымыздай «жинақ», «жиынтық» мағынасын білдіреді. Жиындар алуан-алуан объектілерден құралуы мүмкін, ол объектілер жиынның мүшелері немесе элементтері деп аталады. Мысалы, «адамдар жиыны» тірі табиғат объектілерінен құралса, «кітаптар жиыны» жансыз табиғат объектілерінен құралады. Ал бүтін сандар жиынын алсақ, бұл жиын нақтылы объектілерден емес, дерексіз ұғымдардан тұрады. Сөйтіп, не туралы пікір қорытып, ойлай алатын болсақ, солардың бәрі де жиын элементі бола алады. Сондай-ақ, жиын атаулының бәрі біртектес объектілерден құралуы да шарт емес. Мысалы, элементтері оқушы, кітап, қалам, дәптер болатын жиын немесе үстел үстіндегі нәрселердің : шам, кітап, алма, қалам жиыны туралы сөз етуге болады. Жиын жалғыз ғана элементтен де құралуы мүмкін. Мысалы, Жердің барлық табиғи серіктерінің жиыны жалғыз серіктен – Айдан тұрады. Жиынның элементтерінің өздері жиындар болуы мүмкін. Мысалы, элементтерінің саны екіге бөлінетін тең жиындардың жиынын алатын болсақ, мұндай жиынның элементтері деп «су» сөзіндегі әріптер жиыны, адамның құлақтарының, көздерінің, қолдарының, құстың қанаттарының т.с.с. жиынын айтуға болады.
Жиын латын алфавитінің үлкен әріптерімен A, B, C, …,Z белгіленеді. Бір де бір элементі болмайтын жиынды құр (бос) жиын деп атайды. Оны түрінде белгілейді. Жиынның элементтері латын алфавитінің кіші әріптерімен белгіленеді.
Шексіз жиындарды да фигуралы жақша арқылы көп нүктені пайдаланып белгілеуге болады.
Мысалы, натурал сандар жиынын былай белгілейміз.
Сипаттамалық қасиеті бойынша анықталған элементтердің жиынын былай белгілеуге болады: фигуралы жақшаның ішінде алдымен жиынның элементін белгілейтін әріп жазылып, тік сызықтан кейін сипаттамалық қасиет жазылады. Мысалы, , бұл А жиыны барлық 3-ке еселі сандардың жиыны екендігін көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Бір өлшемді жиындарға амалдар қолдану
0.1 Логикалық символдар. Жиындар
0.2 Жиындар арасындағы қатыс және
олардың қиылысуы мен бірігуі
0.3 Жиындардың толықтауышы.
Жиындарды азайту және оларды
кластарға бөлу
Жиындардың декарттық көбейтіндісі және олардың арасындағы сәйкестік
3.1 Декарттық көбейтінді
3.2 Жиындар арасындағы сәйкестік
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер
Кіріспе
Жиын ұғымы математиканың негізгі, алғашқы ұғымдарының бірі, сондықтан ол басқа ұғымдар арқылы анықталмайды.
Сан ұғымынан бұрын шыққан жиын ұғымын қандай да бір нәрселердің жинағы ретінде түсінеміз, ол жинаққа кіретін нәрселерді жеке-жеке қабылдауға және оларды бір-бірінен де, бұл жинаққа жатпайтын басқа нәрселерден де ажыратуға болады деп білеміз.
Жиын деген сөз математикада көптіктің мағынасында, оның бір баламасы ретінде қолданылады. Ол сөз жоғарыда айтқанымыздай жинақ, жиынтық мағынасын білдіреді. Жиындар алуан-алуан объектілерден құралуы мүмкін, ол объектілер жиынның мүшелері немесе элементтері деп аталады. Мысалы, адамдар жиыны тірі табиғат объектілерінен құралса, кітаптар жиыны жансыз табиғат объектілерінен құралады. Ал бүтін сандар жиынын алсақ, бұл жиын нақтылы объектілерден емес, дерексіз ұғымдардан тұрады. Сөйтіп, не туралы пікір қорытып, ойлай алатын болсақ, солардың бәрі де жиын элементі бола алады. Сондай-ақ, жиын атаулының бәрі біртектес объектілерден құралуы да шарт емес. Мысалы, элементтері оқушы, кітап, қалам, дәптер болатын жиын немесе үстел үстіндегі нәрселердің : шам, кітап, алма, қалам жиыны туралы сөз етуге болады. Жиын жалғыз ғана элементтен де құралуы мүмкін. Мысалы, Жердің барлық табиғи серіктерінің жиыны жалғыз серіктен - Айдан тұрады. Жиынның элементтерінің өздері жиындар болуы мүмкін. Мысалы, элементтерінің саны екіге бөлінетін тең жиындардың жиынын алатын болсақ, мұндай жиынның элементтері деп су сөзіндегі әріптер жиыны, адамның құлақтарының, көздерінің, қолдарының, құстың қанаттарының т.с.с. жиынын айтуға болады.
Жиын латын алфавитінің үлкен әріптерімен A, B, C, ...,Z белгіленеді. Бір де бір элементі болмайтын жиынды құр (бос) жиын деп атайды. Оны түрінде белгілейді. Жиынның элементтері латын алфавитінің кіші әріптерімен белгіленеді.
Шексіз жиындарды да фигуралы жақша арқылы көп нүктені пайдаланып белгілеуге болады.
Мысалы, натурал сандар жиынын былай белгілейміз.
Сипаттамалық қасиеті бойынша анықталған элементтердің жиынын былай белгілеуге болады: фигуралы жақшаның ішінде алдымен жиынның элементін белгілейтін әріп жазылып, тік сызықтан кейін сипаттамалық қасиет жазылады. Мысалы, , бұл А жиыны барлық 3-ке еселі сандардың жиыны екендігін көрсетеді.
Бір өлшемді жиындарға амалдар қолдану.
0.1 Логикалық символдар. Жиындар.
Логикалық символдар. Мектеп қабырғасынан білетін "+" - қосу; "-" - азайту (алу); "·" - көбейту; ":" - бөлу; "=" - теңдік, тағы да сол сияқты көптеген символдар (таңбалар) арқылы математикада қолданылатын кейбір ұғымдарды пайдаланамыз.
Дәл осы сияқты, алдағы уақытта теоремаларды, анықтамаларды т.с.с. ұғымдарды қысқартып жазу үшін (әсіресе, дәріс жазған кезде) жиі қолданылатын бірнеше символдарды келтірейік. Оларды математикалық тілде - логикалық символдар немесе кванторлар деп атайды.
Енді солардың кейбіреулеріне тоқталайық.
(ағылшынның All - барлық деген сөзінің төңкерілген бірінші әрпі) - "кез келген", "барлық", "әрбір", "қандай да болмасын";
(ағылшынның Exist - бар болады сөзінің кері жазылған бірінші әрпі) - "табылады", "белгілі бір", "бар болады";
- "онда", "шығады", "туады", "А-дан В шығады";
- "қажетті және жеткілікті", "сонда, тек қана сонда", "қайтымдылық" - ("А-дан В, В-дан А шығады");
- "эквивалентті", "сайма-сай", "пара-пар", "бірме-бір";
: - "орындалғанда", "болғанда","болса";
- "ішінде жатады", "тиісті" ( - "қамтиды");
- "тиісті емес";
- үшін сияқты ұғымдарын береді.
Жоғарыда келтірілген логикалық символдарды (кванторларды) пайдаланып, мысалдар келтірейік.
а) жиынында жататын барлық х-тер үшін, саны табылып, теңдігі орындалатын болса, онда периодты функция деп аталады.
Осы анықтаманы "квантор" тілінде жазайық.
: периодты функция деп аталады.
ә) Егер жиынында жататын кез келген х-тер үшін теңдігі орындалатын болса, онда жұп (тақ) функция деп аталады. Ал, квантор тілінде: :жұп (тақ) функция деп аталады.
Жиындар. Жиындар - математикада негізгі және алғашқы ұғымдардың бірі саналады. Сонымен, жиындар деп - белгілі бір ортақ белгілері арқылы сипатталатын объектілердің жиынтығын айтамыз. Мысалы, студентер, оқушылар, құрылысшылар, алфавиттегі әріптер, сандар т.с.с. жиындар болып табылады. Жиындарды латын алфавитінің бас әріптері арқылы белгілейміз.
Мысалы,
Мұндағы, сәйкес жиындарының мүшелері (элементтері) деп аталады.
Жоғарыдағы логикалық символдарды пайлаланып, егер а элементі А жиынында жататын (жиынына тиісті) болса, онда немесе түрінде, ал р элементі А жиынында жатпайтын болса, онда түрінде жазылады.
Егер А және В жиындары бірдей элементтерден тұратын (құралған) болса, онда олар өзара тең жиындар деп аталады да А=В түрінде жазылады, басқа сөзбен айтқанда, егер А=В болса, онда . Егер А жиынының кез келген мүшесі (элементі) В жиынында да жататын болса, онда А - В жиынының жиыншасы (ішкі жиыны) деп аталады және немесе түрінде жазылады. Мысалы, а) А - бір факультеттің студенттері, В - сол факультеті бар университет студенттері болса, онда немесе ; ә) натурал сандар, бүтін сандар, нақты сандар жиындары болса, онда , яғни N - Z пен R-дің жиыншасы, N, Z - R-дің жиыншалары болып табылады;
б) ,
Құрамында бір де бір элементі жоқ жиын бос жиын деп аталады және символымен белгіленеді.
Элементтері қасиетін қабылдайтын М жиынында жататын барлық х-терді түрінде белгілейміз. Мысалы, математикада жиі қолданылатын, кесінді, интервал, жарты интервалдарды мына түрде жазамыз:
а) кесіндісін -
ә) интервалын -
б) жарты интервалын -
в) жарты интервалын -
Нақты сандар.
Сандар осі. Нақты сандар. Бойында бас нүкте - О, өлшем бірлігі және бағыты бар түзуі, сандар өсі деп аталады.
Математикада негізінен сандармен жұмыс істейтін болғандықтан, олардың кейбір түрлерін келтірейік.
Натурал сандар - нөл және оң сандарды айтамыз. Мысалы,
Бүтін сандар - натурал сандарға қоса теріс таңбалы бұтін сандарды айтамыз, яғни
. Рационал сандар - екі бүтін және сандарының қатынастарын - айтамыз. Бұл кезде екі жағдай болуы мүмкін:
а) қатынасы - бүтін;
ә) қатынасы - ақырлы немесе шексіз периодты ондық бөлшектен тұратын сандар.
Мысалы,
. Иррационал сандар - шексіз периодсыз ондық бөлшектен тұратын, яғни рационал емес сандарды айтамыз.
Мысалы,
Рационал және иррационал сандар жиынтығы бірігіп нақты сандар деп аталады және ол R әрпімен белгіленеді. Нақты сандарды сандар өсіне орналастыруға болады. Демек, кез келген нақты санына сандар өсінен бір нүкте сәйкес келеді немесе керісінше, сандар өсіндегі кез келген бір нүктеге бір нақты х саны сәйкес келеді.
Сонымен, нақты сандар мен сандар өсі бойындағы нүктелер арасында эквивалентті сәйкестік болады. Егер нақты сандар жиынын "+infinity" және "−infinity" сандарымен толықтырсақ, кеңейтілген сандық ось аламыз. Бұл енгізген сандар үшін келесі қатынастары алуға болады:
а)
ә) ;
б)
в) ;
г)
д) анықталмағандықтар деп аталады.
Нақты сандардың қасиеттері. Нақты сандардың негізгі қасиеттерін атап өтейік. Айталық, нақты сандар болсын. Онда:
(қосынды үшін ауыстырымдылық заңы);
(терімділік заңы);
( көбейтінді үшін ауыстырымдылық заңы);
(терімділік заңы);
(үлестірімділік заңы);
нөлдік элементтің бар болуы;
санына қарама-қарсы бір ғана а саны табылады;
бірлік элементтің бар болуы;
теңдік орындалатын а санына кері саны табылады;
және нақты сандары үшін төмендегі үш қатынастың:
а) ( тең ); ә) (дан үлкен); б) (дан кіші) - тек біреуі ғана орындалады.
Нақты сандардың үзіліссіздігі. Айталық, А және В - екі нақты сандар жиыны болсын. Егер және нақты сандары үшін қатынасы орындалатын болса, онда және сандары үшін ең болмағанда бір с нақты саны табылып, қатынастары орындалады.
Ескерту. Барлық нақты сандар үшін үзіліссіздік - қасиет орындалады. Алайда, рационал сандар үшін бұл қасиет орындалмайды. Шынында да, айталық, нақты сандар жиыны болсын. Онда және сандары үшін қатынасы орындалады. Бірақ қатынастары орындалатындай, үшінші с рационал саны табыла қоймайды. Негізінде, ол сан саны ғана болуы мүмкін, ал ол иррационал сан.
0.2 Жиындар арасындағы қатыс және олардың қиылысуы мен бірігуі
және жиындары берілсін. мен элементтері А және В жиындарында жататынын көреміз. мен элементтерін А және В жиындарының ортақ элементтері деп атап, бұл жиындарды қиылысады дейді.
Егер жиындардың ортақ элементтері болмаса, онда оларды қиылыспайды дейді.
Енді және жиындарын қарастырайық. Бұл жиындар қиылысады, сонымен қатар В жиынының барлық элементтері А жиынының да элементтері болып табылады.
А н ы қ т а м а: Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады. Бұл қатыс былай жазылады .
О қ ы л у ы: В жиыны А жиынында қамтылған немесе В жиыны А жиынының ішкі жиыны.
Мысалы, егер А мектептегі бесінші сынып оқушыларының жиыны, ал В- осы сыныптағы ер балалар жиыны болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны болады, яғни .
Геометриялық фигуралар жиындарының ішкі жиындары геометрияда жиі кездеседі. Айталық,
А - төртбұрыштар жиыны;
В - параллелограммдар жиыны;
С - ромбылар жиыны;
Д - шаршылар жиыны болсын. Сонда .
Құр жиын кез - келген жиынның ішкі жиыны болады, яғни сонымен қатар жиын өзінің де ішкі жиыны болады , .
Сондықтан берілген А жиынының ішкі жиындарының құрамында міндетті түрде құр жиын мен сол А жиынының өзі де болады.
Жиындардың қиылысуы
Екі және одан көп жиындардың элементтерінен тұратын жаңа жиын құруға болады. Бұл жаңа жиын берілген жиындарға қандай да бір амалдар қолдану нәтижесінде пайда болады. Мұндай амалдарға екі немесе одан көп жиындардың ортақ элементтерінен құрылған жиынды табу, бірнеше жиынды бір жиынға біріктіру, жиыннан оның қандай да бір бөлігін шығарып тастау жатады.
және жиындары берілсін. А және В жиындарының ортақ элементтерінен тұратын С жиынын құрайық, . Сонымен алынған С жиыны А және В жиындарының қиылысуы деп аталады.
Анықтамадан жиынының сипаттамалық қасиеті қиылысушы А мен В жиындарының сипаттамалық қасиеттерін және деген жалғаулықпен байланыстыратын қасиетке ие болады. Мысалы, А - жұп натурал сандар жиыны, В - екі орынды натурал сандар жиыны болсын. Сонда екі жиынның қиылысуындағы элементтер әрі жұп, әрі екі орынды натурал сан болуы керек. Сонымен, жиыны - екі орынды жұп натурал сандар жиыны болады.
Жиындардың бірігуі
Оқушыға болатындығын түсіндіру үшін мұғалім 2 қызыл, 3 көк дөңгелекше алып, оларды біріктіріп санатады. Сонда барлығы 5 дөңгелекше болатынына көз жеткізеді. Сонымен, сандарды қосу екі жиынның бірігуіне негізделген екен.
Қарастырылған мысалда ортақ элементтері жоқ жиындар біріктірілді. Математикада қиылысатын жиындарды да біріктіруге болады.
А н ы қ т а м а: А және В ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Кіріспе
Бір өлшемді жиындарға амалдар қолдану
0.1 Логикалық символдар. Жиындар
0.2 Жиындар арасындағы қатыс және
олардың қиылысуы мен бірігуі
0.3 Жиындардың толықтауышы.
Жиындарды азайту және оларды
кластарға бөлу
Жиындардың декарттық көбейтіндісі және олардың арасындағы сәйкестік
3.1 Декарттық көбейтінді
3.2 Жиындар арасындағы сәйкестік
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер
Кіріспе
Жиын ұғымы математиканың негізгі, алғашқы ұғымдарының бірі, сондықтан ол басқа ұғымдар арқылы анықталмайды.
Сан ұғымынан бұрын шыққан жиын ұғымын қандай да бір нәрселердің жинағы ретінде түсінеміз, ол жинаққа кіретін нәрселерді жеке-жеке қабылдауға және оларды бір-бірінен де, бұл жинаққа жатпайтын басқа нәрселерден де ажыратуға болады деп білеміз.
Жиын деген сөз математикада көптіктің мағынасында, оның бір баламасы ретінде қолданылады. Ол сөз жоғарыда айтқанымыздай жинақ, жиынтық мағынасын білдіреді. Жиындар алуан-алуан объектілерден құралуы мүмкін, ол объектілер жиынның мүшелері немесе элементтері деп аталады. Мысалы, адамдар жиыны тірі табиғат объектілерінен құралса, кітаптар жиыны жансыз табиғат объектілерінен құралады. Ал бүтін сандар жиынын алсақ, бұл жиын нақтылы объектілерден емес, дерексіз ұғымдардан тұрады. Сөйтіп, не туралы пікір қорытып, ойлай алатын болсақ, солардың бәрі де жиын элементі бола алады. Сондай-ақ, жиын атаулының бәрі біртектес объектілерден құралуы да шарт емес. Мысалы, элементтері оқушы, кітап, қалам, дәптер болатын жиын немесе үстел үстіндегі нәрселердің : шам, кітап, алма, қалам жиыны туралы сөз етуге болады. Жиын жалғыз ғана элементтен де құралуы мүмкін. Мысалы, Жердің барлық табиғи серіктерінің жиыны жалғыз серіктен - Айдан тұрады. Жиынның элементтерінің өздері жиындар болуы мүмкін. Мысалы, элементтерінің саны екіге бөлінетін тең жиындардың жиынын алатын болсақ, мұндай жиынның элементтері деп су сөзіндегі әріптер жиыны, адамның құлақтарының, көздерінің, қолдарының, құстың қанаттарының т.с.с. жиынын айтуға болады.
Жиын латын алфавитінің үлкен әріптерімен A, B, C, ...,Z белгіленеді. Бір де бір элементі болмайтын жиынды құр (бос) жиын деп атайды. Оны түрінде белгілейді. Жиынның элементтері латын алфавитінің кіші әріптерімен белгіленеді.
Шексіз жиындарды да фигуралы жақша арқылы көп нүктені пайдаланып белгілеуге болады.
Мысалы, натурал сандар жиынын былай белгілейміз.
Сипаттамалық қасиеті бойынша анықталған элементтердің жиынын былай белгілеуге болады: фигуралы жақшаның ішінде алдымен жиынның элементін белгілейтін әріп жазылып, тік сызықтан кейін сипаттамалық қасиет жазылады. Мысалы, , бұл А жиыны барлық 3-ке еселі сандардың жиыны екендігін көрсетеді.
Бір өлшемді жиындарға амалдар қолдану.
0.1 Логикалық символдар. Жиындар.
Логикалық символдар. Мектеп қабырғасынан білетін "+" - қосу; "-" - азайту (алу); "·" - көбейту; ":" - бөлу; "=" - теңдік, тағы да сол сияқты көптеген символдар (таңбалар) арқылы математикада қолданылатын кейбір ұғымдарды пайдаланамыз.
Дәл осы сияқты, алдағы уақытта теоремаларды, анықтамаларды т.с.с. ұғымдарды қысқартып жазу үшін (әсіресе, дәріс жазған кезде) жиі қолданылатын бірнеше символдарды келтірейік. Оларды математикалық тілде - логикалық символдар немесе кванторлар деп атайды.
Енді солардың кейбіреулеріне тоқталайық.
(ағылшынның All - барлық деген сөзінің төңкерілген бірінші әрпі) - "кез келген", "барлық", "әрбір", "қандай да болмасын";
(ағылшынның Exist - бар болады сөзінің кері жазылған бірінші әрпі) - "табылады", "белгілі бір", "бар болады";
- "онда", "шығады", "туады", "А-дан В шығады";
- "қажетті және жеткілікті", "сонда, тек қана сонда", "қайтымдылық" - ("А-дан В, В-дан А шығады");
- "эквивалентті", "сайма-сай", "пара-пар", "бірме-бір";
: - "орындалғанда", "болғанда","болса";
- "ішінде жатады", "тиісті" ( - "қамтиды");
- "тиісті емес";
- үшін сияқты ұғымдарын береді.
Жоғарыда келтірілген логикалық символдарды (кванторларды) пайдаланып, мысалдар келтірейік.
а) жиынында жататын барлық х-тер үшін, саны табылып, теңдігі орындалатын болса, онда периодты функция деп аталады.
Осы анықтаманы "квантор" тілінде жазайық.
: периодты функция деп аталады.
ә) Егер жиынында жататын кез келген х-тер үшін теңдігі орындалатын болса, онда жұп (тақ) функция деп аталады. Ал, квантор тілінде: :жұп (тақ) функция деп аталады.
Жиындар. Жиындар - математикада негізгі және алғашқы ұғымдардың бірі саналады. Сонымен, жиындар деп - белгілі бір ортақ белгілері арқылы сипатталатын объектілердің жиынтығын айтамыз. Мысалы, студентер, оқушылар, құрылысшылар, алфавиттегі әріптер, сандар т.с.с. жиындар болып табылады. Жиындарды латын алфавитінің бас әріптері арқылы белгілейміз.
Мысалы,
Мұндағы, сәйкес жиындарының мүшелері (элементтері) деп аталады.
Жоғарыдағы логикалық символдарды пайлаланып, егер а элементі А жиынында жататын (жиынына тиісті) болса, онда немесе түрінде, ал р элементі А жиынында жатпайтын болса, онда түрінде жазылады.
Егер А және В жиындары бірдей элементтерден тұратын (құралған) болса, онда олар өзара тең жиындар деп аталады да А=В түрінде жазылады, басқа сөзбен айтқанда, егер А=В болса, онда . Егер А жиынының кез келген мүшесі (элементі) В жиынында да жататын болса, онда А - В жиынының жиыншасы (ішкі жиыны) деп аталады және немесе түрінде жазылады. Мысалы, а) А - бір факультеттің студенттері, В - сол факультеті бар университет студенттері болса, онда немесе ; ә) натурал сандар, бүтін сандар, нақты сандар жиындары болса, онда , яғни N - Z пен R-дің жиыншасы, N, Z - R-дің жиыншалары болып табылады;
б) ,
Құрамында бір де бір элементі жоқ жиын бос жиын деп аталады және символымен белгіленеді.
Элементтері қасиетін қабылдайтын М жиынында жататын барлық х-терді түрінде белгілейміз. Мысалы, математикада жиі қолданылатын, кесінді, интервал, жарты интервалдарды мына түрде жазамыз:
а) кесіндісін -
ә) интервалын -
б) жарты интервалын -
в) жарты интервалын -
Нақты сандар.
Сандар осі. Нақты сандар. Бойында бас нүкте - О, өлшем бірлігі және бағыты бар түзуі, сандар өсі деп аталады.
Математикада негізінен сандармен жұмыс істейтін болғандықтан, олардың кейбір түрлерін келтірейік.
Натурал сандар - нөл және оң сандарды айтамыз. Мысалы,
Бүтін сандар - натурал сандарға қоса теріс таңбалы бұтін сандарды айтамыз, яғни
. Рационал сандар - екі бүтін және сандарының қатынастарын - айтамыз. Бұл кезде екі жағдай болуы мүмкін:
а) қатынасы - бүтін;
ә) қатынасы - ақырлы немесе шексіз периодты ондық бөлшектен тұратын сандар.
Мысалы,
. Иррационал сандар - шексіз периодсыз ондық бөлшектен тұратын, яғни рационал емес сандарды айтамыз.
Мысалы,
Рационал және иррационал сандар жиынтығы бірігіп нақты сандар деп аталады және ол R әрпімен белгіленеді. Нақты сандарды сандар өсіне орналастыруға болады. Демек, кез келген нақты санына сандар өсінен бір нүкте сәйкес келеді немесе керісінше, сандар өсіндегі кез келген бір нүктеге бір нақты х саны сәйкес келеді.
Сонымен, нақты сандар мен сандар өсі бойындағы нүктелер арасында эквивалентті сәйкестік болады. Егер нақты сандар жиынын "+infinity" және "−infinity" сандарымен толықтырсақ, кеңейтілген сандық ось аламыз. Бұл енгізген сандар үшін келесі қатынастары алуға болады:
а)
ә) ;
б)
в) ;
г)
д) анықталмағандықтар деп аталады.
Нақты сандардың қасиеттері. Нақты сандардың негізгі қасиеттерін атап өтейік. Айталық, нақты сандар болсын. Онда:
(қосынды үшін ауыстырымдылық заңы);
(терімділік заңы);
( көбейтінді үшін ауыстырымдылық заңы);
(терімділік заңы);
(үлестірімділік заңы);
нөлдік элементтің бар болуы;
санына қарама-қарсы бір ғана а саны табылады;
бірлік элементтің бар болуы;
теңдік орындалатын а санына кері саны табылады;
және нақты сандары үшін төмендегі үш қатынастың:
а) ( тең ); ә) (дан үлкен); б) (дан кіші) - тек біреуі ғана орындалады.
Нақты сандардың үзіліссіздігі. Айталық, А және В - екі нақты сандар жиыны болсын. Егер және нақты сандары үшін қатынасы орындалатын болса, онда және сандары үшін ең болмағанда бір с нақты саны табылып, қатынастары орындалады.
Ескерту. Барлық нақты сандар үшін үзіліссіздік - қасиет орындалады. Алайда, рационал сандар үшін бұл қасиет орындалмайды. Шынында да, айталық, нақты сандар жиыны болсын. Онда және сандары үшін қатынасы орындалады. Бірақ қатынастары орындалатындай, үшінші с рационал саны табыла қоймайды. Негізінде, ол сан саны ғана болуы мүмкін, ал ол иррационал сан.
0.2 Жиындар арасындағы қатыс және олардың қиылысуы мен бірігуі
және жиындары берілсін. мен элементтері А және В жиындарында жататынын көреміз. мен элементтерін А және В жиындарының ортақ элементтері деп атап, бұл жиындарды қиылысады дейді.
Егер жиындардың ортақ элементтері болмаса, онда оларды қиылыспайды дейді.
Енді және жиындарын қарастырайық. Бұл жиындар қиылысады, сонымен қатар В жиынының барлық элементтері А жиынының да элементтері болып табылады.
А н ы қ т а м а: Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады. Бұл қатыс былай жазылады .
О қ ы л у ы: В жиыны А жиынында қамтылған немесе В жиыны А жиынының ішкі жиыны.
Мысалы, егер А мектептегі бесінші сынып оқушыларының жиыны, ал В- осы сыныптағы ер балалар жиыны болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны болады, яғни .
Геометриялық фигуралар жиындарының ішкі жиындары геометрияда жиі кездеседі. Айталық,
А - төртбұрыштар жиыны;
В - параллелограммдар жиыны;
С - ромбылар жиыны;
Д - шаршылар жиыны болсын. Сонда .
Құр жиын кез - келген жиынның ішкі жиыны болады, яғни сонымен қатар жиын өзінің де ішкі жиыны болады , .
Сондықтан берілген А жиынының ішкі жиындарының құрамында міндетті түрде құр жиын мен сол А жиынының өзі де болады.
Жиындардың қиылысуы
Екі және одан көп жиындардың элементтерінен тұратын жаңа жиын құруға болады. Бұл жаңа жиын берілген жиындарға қандай да бір амалдар қолдану нәтижесінде пайда болады. Мұндай амалдарға екі немесе одан көп жиындардың ортақ элементтерінен құрылған жиынды табу, бірнеше жиынды бір жиынға біріктіру, жиыннан оның қандай да бір бөлігін шығарып тастау жатады.
және жиындары берілсін. А және В жиындарының ортақ элементтерінен тұратын С жиынын құрайық, . Сонымен алынған С жиыны А және В жиындарының қиылысуы деп аталады.
Анықтамадан жиынының сипаттамалық қасиеті қиылысушы А мен В жиындарының сипаттамалық қасиеттерін және деген жалғаулықпен байланыстыратын қасиетке ие болады. Мысалы, А - жұп натурал сандар жиыны, В - екі орынды натурал сандар жиыны болсын. Сонда екі жиынның қиылысуындағы элементтер әрі жұп, әрі екі орынды натурал сан болуы керек. Сонымен, жиыны - екі орынды жұп натурал сандар жиыны болады.
Жиындардың бірігуі
Оқушыға болатындығын түсіндіру үшін мұғалім 2 қызыл, 3 көк дөңгелекше алып, оларды біріктіріп санатады. Сонда барлығы 5 дөңгелекше болатынына көз жеткізеді. Сонымен, сандарды қосу екі жиынның бірігуіне негізделген екен.
Қарастырылған мысалда ортақ элементтері жоқ жиындар біріктірілді. Математикада қиылысатын жиындарды да біріктіруге болады.
А н ы қ т а м а: А және В ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz