Дифференциалдық теңдеулер курсында тірек конспектілерін қолдану, және де дифференциалдық теңдеулерді шешу жолдары

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
I тарау. 1.1. Дифференциалдық теңдеулер. Негізгі ұғымдар ... ... ... ... 4
1.2. Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер ... ... ... ... ... ..10
1.3. Біртекті және оларға келтірілетін теңдеулер ... ... ... ... ...15

II тарау. 2.1. Сызықты теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...19
2.2. Бернулли теңдеуі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 24
2.3. Толық дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... 26
2.4. Интегралдық көбейткіш ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .28
2.5. Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер. Ретін төмендету әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 31
2.6. n.ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ..33
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...36
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .37
Ғылыми-техникалық прогресс пен өндірістік технологияның дамуы, экономиканың өркендеу дәуірінде қоғамға жан-жақты дамыған, белсенді өз бетінше жасампаздықпен ойлай білетін жастардың тұрақты легінің келіп отыруын талап етеді. Сондықтан оқыту процессі деңгейін арттыру арқылы, ақыл-ойы жетілген, жан-жақты дамыған, жасампаздықпен еңбек етуге қабілетті, өз тағдырларын өздері шеше алатын, өз бетінше білімін толықтыру және өздігінен кәсіби шеберлігін арттыру мүмкіндігі бар азаматтар даярлап білім саласындағы басты мақсат болып табылады.
Ғылыми ақпараттар ағынының жедел қарқынмен өсуі, жалпы білім беретін студенттерді өз бетінше жаңа білімдер игеруге қабілетті етіп тәрбиелеу мен оқытуды талап етеді.
Өз бетінше білім алу үшін студент өз танымдық қызметі нысанның мәнін ұғынып, оның іс әрекет жолдарын игеруге тура келеді. Сол себепті студенттерді жаңа білімдерді алу “технологиясын” дифференциалдық теңдеулер курсында тірек конспектілерін қолдану жолдарын мақсатты түрде оқыту қажеттігі туындайды.
Бұл дипломдық жұмысымда дифференциалдық теңдеулер курсында тірек конспектілерін қолдану, және де дифференциалдық теңдеулерді шешу жолдарын қарастырамын. Дипломдық жұмыс II тараудан тұрады.
§ 1.1. Дифференциялдық теңдеулер. Негізгі ұғымдар .
§ 1.2. Айнымалылары ажыратылатын теңдеулердің шешімі көрсетіледі.
§ 1.3. Біртекті және оларға келтірілетін теңдеулер,f(x,y) функциясы өзінің аргументтеріне қарай нолінші дәрежелі функция болса, онда мұндай теңдеуді біртекті деп атайды, және теңдеулердің шешімдерінің айқын формулалары алынады.
II тарауда §2.1. Сызықты теңдеулер, теңдеулердің анықтамасы, теңдеудің жалпы шешімінің формуласын көрсетеміз.
§ 2.2. Бернулли теңдеуінің шешімін, қайсыбір жағдайларда Бернулли теңдеуін y-u(x)•v(x) алмастыруын қолданып шешкен ыңғайлы екендігі көрсетіледі.
§ 2.3. Толық дифференциалдық теңдеулер оны жалпы шешімін табу қарастырылады.
§ 2.4. Интегралдық көбейткіш, кез келген теңдеу толық дифференциалды болмайды. Демек, шарт әр уақытта орындалмайды екен. Осыған байланысты берілген теңдеуді қайсыбір
функциясына көбейтіп толық дифференциалды теңдеу алуға болатындығы қарстырылады.
§ 2.5-те Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер. Ретін төмендету әдісі көрсетіледі.
§ 2.6-да n-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер қарастырылып, жалпы шешім табу қарастырылады.Диплом жұмысының артында қорытынды, әдебиеттер тізімі көрсетіледі
1. Сүлейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. Алматы,Б.1. «Рауан», 1991 .
2. Сүлейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. Алматы,Б.2. «Рауан», 1996 .
3. Петровский И.Г. Лекций по теорий дифференциалъных уравнений. М., «Наука» ,1984.
4. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциалъные уравнения. М., «Наука», 1976.
5. Кадыкенов Б.М. Дифференциалдық теңдеулердің есептері мен жаттығулары. Алматы, 2002.
6. Степанов В.В. Курс дифференциалных уравнений. М., «Наука», 1975.
7. Тихонов А.Н., Василъева А.В., Свешников А.Г. Дифференциалъные уравнения. М., «Наука»,1980.
8. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциалъным уравнениям. М., «Наука»,1975.

Қосымша:
1. Карташов А.П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные дифференциалъные уравнения и вариационное исчисление. М., «Наука», 1976.
2. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенных дифференциалъным уравнениям. Минск.
«Выс.школа»,1977.
3. Арнолъд В.И. Обыкновенные дифференциалъные уравнения . М., «Наука», 1976.
        
        МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ.....................................................................
....................3
I тарау. 1.1. Дифференциалдық теңдеулер. Негізгі ұғымдар................4
1.2. ... ... ... және ... ... ... 2.1. ... ... ... дифференциалдық
теңдеулер................................26
2.4. ... ... ... ... теңдеулер. Ретін
төмендету
әдісі.......................................................................
.........................................31
2.6. n-ретті ... ... ... пен ... ... ... ... дәуірінде қоғамға жан-жақты дамыған, белсенді өз
бетінше жасампаздықпен ойлай білетін ... ... ... ... ... ... Сондықтан оқыту процессі деңгейін арттыру арқылы, ақыл-
ойы жетілген, жан-жақты ... ... ... ... ... өз
тағдырларын өздері шеше алатын, өз бетінше білімін ... және ... ... ... ... бар ... ... білім
саласындағы басты мақсат болып табылады.
Ғылыми ... ... ... ... ... ... ... беретін
студенттерді өз бетінше жаңа білімдер игеруге қабілетті етіп ... ... ... ... ... ... алу үшін студент өз танымдық қызметі нысанның мәнін
ұғынып, оның іс ... ... ... тура ... Сол ... жаңа ... алу “технологиясын” дифференциалдық теңдеулер
курсында тірек конспектілерін қолдану жолдарын мақсатты ... ... ... ... ... ... ... курсында тірек
конспектілерін қолдану, және де дифференциалдық ... шешу ... ... ... II ... ... 1.1. Дифференциялдық теңдеулер. Негізгі ұғымдар .
§ 1.2. Айнымалылары ажыратылатын теңдеулердің шешімі көрсетіледі.
§ 1.3. Біртекті және ... ... ... ... өзінің
аргументтеріне қарай нолінші дәрежелі функция болса, онда мұндай ... деп ... және ... ... айқын формулалары
алынады.
II тарауда §2.1. Сызықты теңдеулер, теңдеулердің анықтамасы, ... ... ... ... 2.2. ... теңдеуінің шешімін, қайсыбір жағдайларда Бернулли
теңдеуін ... ... ... ... ... екендігі
көрсетіледі.
§ 2.3. Толық дифференциалдық теңдеулер оны ... ... ... 2.4. ... ... кез ... теңдеу толық дифференциалды
болмайды. Демек, шарт әр уақытта орындалмайды екен. ... ... ... ... ... ... толық дифференциалды теңдеу алуға болатындығы
қарстырылады.
§ 2.5-те ... ... ... ... Ретін төмендету
әдісі көрсетіледі.
§ 2.6-да n-ретті сызықтық дифференциалдық ... ... ... табу ... ... артында қорытынды,
әдебиеттер тізімі көрсетіледі
І-тарау.
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
1.1. Дифференциялдық теңдеулер. Негізгі ұғымдар.
Дифференциалдық теңдеулер деп тәуелсіз айнымалыны х пен ... ... және оның у'(х), ... ... теңдеуді атайды. Оны жалпы жағдайда
(1)
түрде жазуға болады. Басқаша айтқанда ізделінетін функцияның ... ... ... теңдеуді атайды.
Ізделінетін функция тек бір аргументтен тәуелді болса, теңдеуді жай
дифференциалдық теңдеу немесе ... ... деп ... аргументтен ізделінетін функцияны және оның дербес туындыларын
қамтитын теңдеуді дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп ... ... тек жай ... ... ... кіретін туындының ең жоғарғы ретін дифференциалдық теңдеудің ... ... ... (1) ... ... ... теңдеу. Егер (1)
теңдеуде n=1 болса, онда 1- ретті теңдеудің
жалпы түрін аламыз.
Егер бұл ... у' ... ... шешу ... ... ... теңдеу туындысына қарай шешілген деп атайды. Егер (1) теңдеуде
болса, онда оны жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеу деп ... ... ... қайсыбір (a,b) интервалында
анықталған, реті дифференциалдық ... ... ... туындылары
үзіліссіз және х бойынша (х (a,b)) теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын
функциясын айтады.
Мысалы, егер функциясы (1) теңдеудің шешімі болса, онда
Қайсыбір ... ... ... ... ... ... ... шешімінің графигін осы теңдеудің интегралдық
қисығы деп атайды.
Қысқаша интегралдық қисықты теңдеу ... деп те ... ... ... теңдеудің шешімі болатынын көрсету керек.
Шешуі. функциясының туындысын табамыз
Енді пен ... ... ... ... ... ... теңдеудің шешімі екен. Берілген
дифференциалдық теңдеудің шешімін табу процесін интегралдау деп ... ... ... ... ... ... табу ... болса, онда
теңдеу элементар функциялар арқылы интегралданады деп аталады. Егер ... ... ... ... ... ... ... оның шешімі
элемантар функциялардан алынған анықталмаған интеграл түрінде ... ... ... ... деп айтады. Квадратурада деп ... алу ... ... Егер ... шешімі элемантар функциялар
арқылы немесе квадратурада алынса, онда дифференциалдық теңдеу ... ... деп ... ... ... тек ... ... (1) теңдеу жоғарғы ретті туындыға қарай шешілсе:
(3)
онда ... ... ... берілген деп атайды. (2) теңдеу 1-ретті
дифференциалдық теңдеудің нормалды түрі болады.
Егер (3) теңдеудің оң ... ... ... ... мен ... бойынша сызықты және олардың көбейтінділерін қамтыса онда мұндай
теңдеулерді сызықты дифференциалдық теңдеулер деп атайды.
(2) дифференциалдық теңдеудің дербес жағдайын қарастырамыз
(4)
Интегралдық есептеуден ... с кез ... ... сан, ... қатар тұрақты с-ның әр түрлі
мәндеріндегі функциялары да (4) теңдеудің ... ... (4) ... (5) ... ... бір ... ... бар:
мұндай шешімді 1-ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп атайды.
Жалпы шешімінен параметрдің бір ... ... ... ... ... ... дербес (дара) шешімі деп ... ... ... ... табу үшін әдетте белгісіз функцияның қайсыбір ... ... Бұл ... ... шарт деп ... (2) ... қанағаттандыратын шешімін табу есебін Коши есебі деп атайды.
(3) теңдеудің жалпы шешімі деп
(6)
функциясын атайды. ... ... ... ... жалпы шешіміне n
тұрақты сан барын көреміз және осыдан қайсыбір дербес ... табу ... ... ... ... түрде
берілсе, онда оны (3) теңдеудің жалпы интегралы деп атайды.
Егер (2) теңдеуді шартпен қарастырып, бұл теңдеудің ... ... егер бар ... ол ... тек біреу ғана бола ма деген сұрауларға ... Бұл ... ... ... ... бар және оның ... болуы
туралы теорема береді.
Теорема. Егер (2) теңдеудің оң жағындағы функция тұйық ... ... ... үзіліссіз және осы облыста У бойынша Липшиц
шартын қанағаттандырса:
мұндағы N- ... сан, онда ... ... ... бастапқы шартын қанағаттандыратын тек жалғыз шешімі бар.
Ескерту. Бұл ... ... ... D ... ... ... болу шартымен ауыстыруға болады.
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің ... ... ... қисығы) деп кез келген нүктеде Коши есебінің шешімі ... ... ... ... ... ... ... жалпы шешімді жалпы
шешімнен кез келген тұрақты сан ... ... алу ... емес ... оны
с=с(х)) болғанда алу мүмкін.
2-мысал. Дифференциалдық теңдеуді шешіңіз
Шешуі. Мұнда және ол хОу ... ... ... ... ... Дербес туындысын табамыз:
у=0 болғанда бұл туынды шексіздікке айналады.Сондықтан у=0 болғанда
жоғарыдағы теореманың шарты орындалмайды. Олай ... Ох ... ... ... ... ... ... Берілген теңдеуді шешеміз:
Сонымен берілген теңдеудің жалпы шешімі .
Сонымен қатар у=0 ... ... ... ... тұр. ... Ох
өсінің әрбір нүктесі арқылы жоқ дегенде екі интегралдық ... ... ... ... ... кубтық параболаның
бөліктерінен тұратын сызықтар және Ох ... ... ... ... ... бұдан Ох өсінің әрбір нүктесі арқылы
интегралдық қисықтың ... ... ... көреміз.
Берілген қисықтар тобы бойынша ... ... ... келген , (8) қисықтар тобы үшін, мұндағы ... ... ... ... ... бар, дифференциалдық теңдеу құруға
болатынын көреміз.
(8) теңдеу у-ке қарай шешіледі деп жоримыз: у=у(х,с)
у-тің осы мәнін (8) ... ... ... тепе-теңдікті х бойынша дифференциалдап:
Төмендегі жүйені аламыз:
(9)
Бұл жүйедегі теңдеудің біреуінен с-ны тауып ... ... ... с жойылады да ... ... ... ... Бұл ... (8) ... ... теңдеуі деп атайды.
4-мысал. ... ... ... ... ... ... ... тобының теңдеуін құрамыз. Бұл
топтардың дифференциалдық теңдеуін ... одан ... ... ... ... бөлу ... ... түрлендіруді жасау үшін ... ... х-с- ге, ал ... у-ті ... ... ... отырған параболалар тобын аламыз немесе
(10)
Бұл теңдеуде бір ... с бар, ... оны ... ... теңдеудің жалпы шешімі ретінде қарастыруға болады.
Дифференциалдық теңдеуді табу үшін (10) ... екі ... ... ... (9) ... қараймыз:
Екінші теңдеуден с-ны тауып, оны бірінші теңдеуге қойсақ
(11)
(10) топтағы әрбір қисық (11) ... ... ... ... ... (10) ... ... орнына берілген
мәндерді қойып тиісті интегралдық қисықтар теңдеуін аламыз. С=0 болса
, с=1 ... ... ... ... ... ... теңдеуін құру
керек.
Шешуі. Қисықтар тобында a,b,r үш параметр бар.
Сондықтан берілген теңдеуді х ... үш рет ... a мен r ... ... ... ... Екінші теңдеуден b-ні табамыз:
Мұны үшінші теңдеуге қойсақ: түріндегі дифференциалдық теңдеу
шығады.
Енді (2) ... ... ... ... ... осы ... жалпы шешімі болсын. Бұл шешім
Оху жазықтығында ... ... ... ... (2) ... ... ... туынды мәнін анықтайды, ... осы ... ... ... қисыққа жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициентін анықтайды.
Сонымен, (2) дифференциалдық теңдеу бағыттар жиынын береді, ... ... ... ... деп ... дифференциалдық теңдеуді интегралдау есебі геометриялық
тұрғыдан қарағанда жанама ... сол ... ... келетін өріс бағытымен
дәл келетіндей қисықтарды табуда екен.
(2) дифференциалдық теңдеу үшін қатыс ... ... ... ... ... изоклині деп атайды. С-ның әртүрлі
мәндерінде изоклиндердің әртүрін ... С-ға ... ... ... болады. Изоклин топтарын құрып, жуықтап интегралдық ... ... ... ... ... қиып ... барлық интегралдық
қисықтар абцисса осімен бірдей бұрыштар жасайды.
6-мысал. теңдеуінің интегралдық қисықтарын ... ... ... ... ... , ... анықталады. с=0
болғанда, 2х(1-у)=0 болады да х=0 және у=1 екі ... ... ... ... тобын береді. у=1 түзуі дифференциалдық теңдеудің шешімі
болғандықтан интегралдық ... ... ... ... ... тік бұрыш жасайды, демек олардың жанамасы абцисса осіне параллель
болады. Бұл х=0 қисығының ... ... ... үшін ... ... көрсетеді. Кризистік нүктелер характерін анықтау үшін
у=у(х) функциясының екінші ретті туындысын табамыз.
Демек, ординаталар осінің у>1 ... ... ... ... қисықтың минимум нүктелері болады. Сонымен қатар нүктелер
интегралдық қисықтар тобының иілу нүктелері болады. Ары ... х=0 және ... ... ... әрқайсысында туындысының таңбасы
бірдей болатын төрт ... ... ... у>1 ... ... х=0 ... қиып өтіп у(х) ... өсу облысынан оның кему
облысына өтеді. Тағы да с=1 және с=-1 ... екі ... ... ... ... ... интегралдық қисықтарға
жүргізілген жанамалар абцисса осімен сәйкес және ... ... ... ... ... қарастырамыз, мұндағы dx- тің алдындағы функция тек х-
тен, ал dy-тің алдындағы функция тек ... ... Бұл ... теңдеудің айнымалылары бөлінген немесе ажыратылған деп
атайды. Қарсатырып отырған х пен у ... пен ... деп ... онда (1) ... ... ... ... тәуелсіз айнымалы х-ті, белгісіз у-ті және ... ... ... ... береді, демек ол жалпы шешім болады.
Тәуелсіз айнымалы айқын түрде кірмейтін бір теңдеуді келтіреміз
Бұл ... екі ... да dx-ке ... ... соң ... ,
Мұндағы х у-тен функция ретінде қарастырылады.
Нормальдық ... ... ... ... дифференциалдық теңдеудегі
туындыны дифференциалдар қатынасы арқылы жазамыз.
(3)
Егер (3) ... оң жағы ... тек ... ... болатын екі
функцияның көбейтіндісі түрінде жазылса, онда (3) ... ... ... ... деп ... Демек
болады да (3) теңдеу былай жазылады:
бұл теңдеудің екі ... dx-ке ... -ке ... ... ... ... және ... өзара
тең, онда олардың анықталмаған интегралдары өзара тұрақты қосылғышпен
айырмалатыны белгілі:
(5)
мұндағы с- ... сан. (5) ... у-ті және ... ... ... ... ол (3) теңдеудің жалпы шешімі болады. Егер ... ... ... теңдеу.
Ендеше жалпы шешімі болады.
Ескертулер. 1. Теңдеуді көбейтіндіге бөлгенде теңдеудің осы
көбейтіні нольге айналдыратын ... ... ... ... ... сандар түрдегі дифференциалдық теңдеуді
z=ax+by+c алмастыруы арқылы айнымалылары бөлінетін теңдеуге түрлендіруге
болады.
1-мысал.
, ... ... ... у(0)=1,бастапқы шартын қанағаттандыратын
дербес шешімін табыңыз:
(7)
Шешуі. Берілген ... ... ... бұдан
Оң жақтағы интеграл үшін алмастыруын жасаймыз. Сонда x=lnt,
болады да
(8)
(8) өрнек (7) теңдеудің жалпы шешімі.
Енді дербес шешімді табу үшін (8) де х=0 және у=1 ... ... с ... мәнін табамыз
Сонда іздеп отырған дербес шешім
болады. Немесе бұдан
3-мысал. Дифференциалдық ... ... (9) ... айнымалылары бөлінетін теңдеу емес, алайда
алмастыру арқылы сол түрге келтіруге ... ... ... ... (9) ... ... жазылады
немесе
(10)
Айталық болсын, сонда (10) теңдеудің жалпы ... мына ... ... ... ... ... арқылы есептейміз.
Сонымен (10) теңдеудің жалпы шешімі мына түрде жазылады:
немесе
Айталық, ... Олай ... ... ... шеімдері, ал (9) теңдеудің шешімдері болады.
Айнымалылары ажыратылатын теңдеулерде тірек конспектілерін қолдану:
1-мысал:
1.3. Біртекті және оларға келтірілетін ... ... ... онда ... х пен у бойынша n дәрежелі (өлшемді) біртекті функция.
Мысалы, 2-дәрежелі біртекті ... ... n=0 ... ... ... біртекті функцияны аламыз. Мысалы,
- нөлінші дәрежелі ... ... ... ... ... оң ... функциясы өзінің
аргументтеріне қарай нөлінші дәрежелі ... ... онда ... біртекті деп атайды.
Біртекті теңдеуді әр уақытта мына түрде жазуға болады.
(1)
(1) теңдеуге ... ... ... ... ... келтіреміз:
Бұдан , енді алмастырып ... ... ... ... Біртекті теңдеулерді шешкенде, оларды (1) ... ... ... ... у=ux ... ... ... . Дифференциалдық теңдеуді шешеміз:
(2)
Шешуі. Бұл теңдеуді көшіріп жазамыз
Мұнда функциясы нөлінші дәрежелі ... ... ... ... y=ux ... жасауға болады.
Сонда
немесе
Айнымалыларын бөлу қиын емес
Интегралдаймыз:
немесе
Енді u функциясының орнына -ты қойып (2) ... ... ... ... келтірілетін . Дифференциалдық ... Олар ... ... онда (3) ... біртекті болады. Айталық ... ... ... тең емес болсын. Онда (3) теңдеу біртекті емес, оны
біртекті теңдеуге келтіру ... ... онда ... ... ... ... ... бас нүктесін
нүктесіне көшірумен пара-пар. Бұл сандарды
(5)
теңдеуді біртекті болатындай етіп таңдау ... ... оның ... ... ... онда (6) жүйенің шешімі бар. Осы жүйеден мен -ны ... ... ... және ... Ендеше (3) теңдеудің жалпы
шешімі болады:
(8)
(8) теңдеуді алмастыруды ... оны ... ... ... ... . ... теңдеуді шешеміз:
(9)
Шешуі. алмастыруын жасаймыз және ескерсек (9) ... ... шарт ... мен мына жүйенің шешімі болуға тиісті
Бұл системаның анықтауышын қарастырамыз
.
Демек, жүйенің шешімі бар: олай ... ... ... үшін ... ... ...
Ендеше
Немесе айнымалыларын бөліп жазсақ
Бұдан
u функциясының орнына қоямыз:
Бұдан мен -дің ... ... ... (9) теңдеудің жалпы шешімін
табамыз:
3-мысал. . Дифференциалдық теңдеуді шешеміз:
Шешуі. Алдымен бұл теңдеуді былай көшіріп жазамыз:
(10)
Біртекті емес екені көрініп ... ... ... (10) ... х,у ... ... ... талап етеміз. Сонда
Сондықтан z=x+y алмастыруын жасаймыз.
(10) теңдеу енді ... ... ... ... ... орнына х+у-ті қойып берілген теңдеудің жалпы шешімін аламыз
немесе
II ТАРАУ
2.1. Сызықтық теңдеулер
Белгісіз функция мен оның ... ... ... 1- ... ... ... ... деп атайды. Оны жалпы түрде былай
жазады
, ... а(х), b(x), c(x) , ... ... ... ... ... ... аралығында а(х)0 деп ұйғарсақ теңдеудің барлық
мүшелерін оған бөлуге болады. Сонда (1) ... ... ... ... ...
Егер (2) теңдеуде болса, онда
(3)
теңдеуді біртекті сызықтық деп ... егер онда (2) ... ... ... (3) теңдеуді (2) біртекті емес сызықтық теңдеу деп те атайды.
(3) теңдеу айнымалылары бөлінетін теңдеу болатыны көрініп тұр. ... ... ... емес (2) ... жалпы шешімін тұрақты санды вариациалау
әдісімен табуға болады. Оның мағынасы мынадай: біртекті емес (2) ... де (4) ... ... де, ... с тұрақты емес х пен тәуелді
белгісіз функция деп есептелінеді. ... С(х) ... (5) ... (2) ... ... ... анықтайды. (2) теңдеуге (5) формуланы апарып қоямыз:
немесе
бұдан ... - кез ... ... сан. С(х) -тің ... (5) ... ... біртекті емес (2) теңдеудің жалпы шешімін аламыз
(2) теңдеудің жалпы ... ... ... деп ... әдіспен
де табуға болады. Бұл теңдеудің жалпы шешімін мына түрде іздейміз
Бұдан тауып у пен ... (2) ... ... ... тік ... ішіндегі өрнек нөлге айналатын етіп ... ... ... ... ... ... оның жалпы шешімі
(10)
Бұл өрнекті v(x)-тің орнына қоямыз
немесе
(11)
мұндағы
Сонымен (10), (11) ... (7) ... ... ... (2) ... жалпы
шешімін табамыз
(8) теңдеуді интегралдаудан шыққан тұрақты С саны u мен v ... ... ... Олай ... ... себебі 1-ретті
дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімінде тек бір ғана тұрақты сан болуға
тиісті. Сондықтан (10) ... ... С=1 деп ... ... ... теңдеудің дербес шешімі әдетте практикада: алады.
1-мысал. Сызықтық дифференциалдық ... ... ... ... ... ... шешеміз. Ол үшін (12) сәйкес
келетін біртекті теңдеуді қарастырамыз
немесе
Бұл айнымалылары бөлінетін теңдеу
бұл біртекті теңдеудің жалпы ... емес ... ... шешімін
(13)
түрінде іздейміз, мұндағы С(х) – белгісіз функция. (13)-ті (12) теңдеуге
қоямыз:
-тұрақты сан.
Сонымен біртекті емес (12) ... ... ... ... Теңдеуді шешіңіз
Шешуі. Егер x-ті тәуелсіз айнымалы у-тен функция деп ... ... ... ... ... теңдеудің шешімін мына түрде іздейміз
x= u(y)*v(y) ... ... ... өрнектерін (14) теңдеуге қоямыз
v
Мына шарттан v(x) функциясын табамыз:
, онда
Бұдан siny
Оны орнына ... ... ... ... = ... u(y) = ... + c бөліктеп интегралдаған соң мынаны
аламыз:
u = - 2e-siny(1+siny) + ... ... ... ... (15) формуладан
x = ce siny- 2siny – 2
түрде аламыз.
Бірінші ... ... ... ... тірек
конспектілерін қолдану:
1-мысал:
2.2. Бернулли теңдеуі
(1)
n 0,1 түріндегі теңдеуді Бернулли теңдеуі деп атайды. Егер
n=0 немесе n=1 ... онда (1) ... ... ... ... ... ... болады. z = y –n+1 ... ... ... ... ... ... ... жағдайларда практикада Бернулли теңдеуін ... y ... ... ... ... ыңғайлы.
1-мысал. Бернулли теңдеуін шешіңіз
2y-2
Шешуі. Бұл жерде n = -2 болғандықтан z = y3 ... ... = , ... у пен мәндерін берілген теңдеуге апарып қоямыз
(2)
Бұл сызықты теңдеуді санды вариациалау әдісімен шешеміз:
Демек z=cx . ... z=c(х)x ... . Осы пен ... (2) ... ... ... ... берілген теңдеудің жалпы шешімін аламыз.
2-мысал. Бернулли теңдеуін шешу керек.
Шешуі. Айталық болсын, онда
функциясы ... ... ... болатыны белгілі
Ендеше болады.
Айнымалылары бөлінетін болғандықтан
немесе
Берілген теңдеудің жалпы ... ... ... теңдеулер
Симметриялық түрде берілген дифференциалдық теңдеуді қарастырамыз
(1)
Егер бұл теңдеудің сол жағындағы өрнек қайсыбір u(x,y) ... ... ... ... ... (1) ... ... дифференциалды теңдеу деп атайды.
Бұл жағдайда (1) теңдеуді мына түрде жазуға болады.
du=0
(2)
Бұдан (1) теңдеудің жалпы шешімін ... ... ... өрнек Mdx+Ndy қайсыбір функцияның толық
дифференциалы болама және егер солай болса ол функцияны қалай табуға ... ... ... M және N ... ... бір ... D ... және үзіліссіз болсын, сонымен қатар бұл функциялардың сәйкес у
пен х бойынша үзіліссіз ... ... бар ... ... (1) ... ... болуы үшін
(4)
тепе- теңдік орындалуы қажетті және жеткілікті. Егер (4) шарт орындалса,
онда жалпы шешімді мына түрде жазуға болады
(5)
немесе
(6)
мұндағы интегралдың төменгі ... мен -ді ... ... ... (,) ... ... теңдеуді шешу керек
(7)
Шешуі. Мұндағы
(7) толық дифференциалды болама соны тексерейік:
демек (4) шарт орындалады. Олай болса (5) формула бойынша
Айталық =1 және =1 ... ... ... ... жалпы шешімін былай жазуға болады
xsinxy-sin1=c немесе xsinxy=c
2-мысал. у(0)=1 шартын ... ... ... ... ... ... туындыларын табамыз, , яғни (4) шарт орындалады. Демек (8)
толық дифференциалды теңдеу. ... =0, =0 деп ... ... ... (8) ... ... шешімі
(9)
Дербес шешімді табу үшін (9) бастапқы ... ... с ... ... ... ... шешімді таптық:
2.4. Интегралдық көбейткіш
Кез-келген М(х,у) dx+ N(x,y)dy=0 (1) түрдегі ... ... ... Демек
(2)
шарт әруақытта орындалмайды екен. Осыған байланысты (1) теңдеуді
қайсыбір функциясына көбейтіп ... ... ... ... ма ... ... ... ондай функция табылса, онда оны интегралдық көбейткіш
деп атайды. Сонымен ... ... ... ... ... ... ... туынды теңдеу алдық. Жалпы
айтқанда, мұндай теңдеуді шешу берілген теңдеуді ... ... ... ... есептің шешуі дербес жағдайларда : тек х-
тен ... ... ... ... Осы ... ... Айталық болсын, онда болады да (3) ... ... ...
2. Енді ... онда ... (3) ... ... шешіңіз
(6)
(4)
(7)
Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер.
Ретін төмендету әдісі.
Кез-келген реті ... ... ... ... ... жоғары
дифференциалдық теңдеу деп атайды. Ретін төмендету арқылы
интегралдауға болатын қайсыбір дифференциалдық теңдеулер ... n-рет ... соң ... шешімін аламыз
1-мысал:
теңдеуінің у(1)=0, бастапқы шарттарды
қанағаттандыратын дербес ... ... ... ... ... үш рет ... шешімді табу үшін ді және ... у, , ... ... ... ... ... шешсек:
Талап етілген дербес ... ... ... ... ... теңдеулер.
Егер п- ретті теңдеу белгісіз функциямен оның туындылары бойынша
сызықты ... онда оны ... ... деп ... ... жалпы түрде бвлай жазылады:
(1)
коэффициенттері қайсыбір (а,b) ... ... ... (1) ... екі ... а(х) ... ... ... , онда (2) ... ... деп ... ... онда (2) ... біртекті емес немесе оң жағы бар теңдеу
деп атайды. (3) теңдеуді ... емес (2) ... ... келетін біртекті
теңдеу деп атайды.
Біртекті теңдеу шешімінің негізгі қасиетін атап өтейік:
Егер (3) теңдеудің шешімдері болса, онда ... кез ... ... , да осы ... ... ... (4) ... біртекті
теңдеудің жалпы шешімі болуы үшін дербес шешімдер қандай шарттарды
қанағаттандыру керек сұрау ... ... ... ... ... ... бәрі нөлге тең емес тұрақты сандар табылып,
үшін
(5)
қатыс орындалса, онда (a,b) интервалында анықталған
функцияларын осы ... ... ... деп ... Егер (5) ... тек
барлық коэффиценттер
болғанда орындалса, онда функцияларын берілген интервалда сызықты
тәуелсіз деп атайды.
Айталық
(6)
функциялардың ... ... ... бар ... Осы туындылардан
төмендегі анықтауышты құрамыз:
мұны Вронскийдің анықтауышы немесе (6) функциялардың вронскианы деп
атайды. Төменгі ... ... Егер (6) ... ... ... ... онда ... анықтауышы
нөлге тепе-тең болады.
2. (3) теңдеудің (6) шешімдері (a,b) интервалында сызықты тәуелсіз болуы
үшін оның вронскианы
болуы қажетті және жеткілікті.
(3) теңдеудің кез ... n ... ... ... ... осы ... ... системасы болса, онда оның жалпы
шешімі (4) формуламен анықталады. (3) ... n ... ... ... формуласы орындалады.
(2) және (3) теңдеулер шешімінің арасындағы байланыс төмендегі тұжырыммен
тағайындауға болады.
Біртекті емес (2) теңдеудің жалпы шешімі осы ... ... ... (3) теңдеудің жалпы шешімі мен біртекті емес (2) теңдеудің кез
келген дербес шешімінің қосындысы түрінде өрнектеледі.
Сызықтық дифференциалдық ... ... ... ... егер оның
коэффиценттері тұрақты болса әжептәуір ықшамдалады.
Енді осындай теңдеулерді қарастырамыз:
(7)
Мұндағы
тұрақты сандар.
(7) теңдеу шешімі мына түрде ізделінеді:
тұрақты сандар
Туындыларын табамыз:
Осы ... (7) ... ... ... ... ... (7) дифференциалдық теңдеудің сипаттаушы теңдеуі деп аталады,
ал оның түбірлері сипаттаушы сандар деп аталады.
ҚОРЫТЫНДЫ
Студенттерді оқыту ісінде оқу пәнінің ... ... және ... ... ... ... қатар оқыту
әдістері де ерекше маңызға ие
Оқыту ... әр ... және жыл ... ... ... ... ... оқыту процесі ... ... жаңа ... ... ... дамуына сәйкес
студенттердің де өркендеу деңгейі ... ... ... ... ... және ... ... туады.
Сондықтан дифференциалдық теңдеулер курсында ... ... ... орны ... ... ... ... теңдеулерді шешу
жолдарына шолу жасалып, олардың ... ... табу ... ... ... теңдеулерді интегралдау мәселелері
қарастырылған интегралдық ... табу ... ... ... ... табу, Бернулли теңдеулерінің
шешімін табу, Бернулли теңдеулерін шешу жолдары ... ... осы ... ... ... n-ретті
сызықтық теңдеудің жалпы шешімін табу ... ... ... ... ... , ... ... көрсетілді.
Пайдаланылған әдебиеттер.
1. Сүлейменов Ж.С. Дифференциалдық теңдеулер. Алматы,Б.1.
«Рауан», 1991 .
2. ... Ж.С. ... ... ... 1996 .
3. ... И.Г. ... по ... дифференциалъных
уравнений. М., «Наука» ,1984.
4. ... Л.С. ... ... ... ... ... Кадыкенов Б.М. Дифференциалдық теңдеулердің есептері
мен ... ... ... ... В.В. Курс ... ... ... 1975.
7. Тихонов А.Н., Василъева А.В., Свешников А.Г.
Дифференциалъные уравнения. М., «Наука»,1980.
8. ... А. Ф. ... ... по ... М., ... ... А.П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные
дифференциалъные уравнения и ... ... М., ... ... Н.М. ... задач и упражнений по ... ... ... ... В.И. ... ... ... . М.,
«Наука», 1976.
-----------------------
0
С=30

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 36 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 300 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Жаратылыстану-математика сыныптарында оқытылатын математиканың элективтік курстарының мазмұны63 бет
Тұқым қуалаушылық4 бет
Дифференциалдық теңдеулер37 бет
Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқыту28 бет
Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың әдістемесі21 бет
Дифференциалдық теңдеулерді шешу алгоритмін құру және сол теңдеулерді Matlab жүйесінде көрсету15 бет
Дифференциалдық теңдеулерді шешудің Ранге-Кутта әдісі7 бет
Жеке туындылардағы дифференциал теңдеулерді шешу5 бет
Жеке туындылардағы дифференциал теңдеулерді шешу жайлы7 бет
Жылуэнергетикадағы машиналық графиканың элементтері мен АЖЖ негіздері туралы5 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь