Р. Беллманның динамикалық программалау әдісімен дискретті жүйелерде тиімді басқаруды синтездеу

Кіріспе 3
Көпсатылы басқару процесі 4
Тиімді басқару есебі 5
Қарапайым келіс 5
Тиімділік принципі 6
Динамикалық программалау әдісі 7
Қадамды процедура 7
Тура процедура 8
Талқылау 9
Қорытынды 11
Қолданылған әдебиет 12

Динамикалық программалау әдісі – қазіргі заманғы басқару теориясының дәрменді және кең тараған математикалық әдістерінің бірі, ол 50-жылдардың аяғында американ математигі Р. Беллманмен ұсынылып жедел кең таралды. Көп ұзамай, динамикалық программалау әдісі аналитикалық механикада (үздіксіз уақытты жүйелер үшін) Гамильтон-Якоби классикалық әдісімен және Вальданың тізбектелген анализімен (дискретті уақытты жүйелер үшін), байланысты екені анықталды. Бірақ та динамикалық программалау әдісі туралы Беллманмен берілген аса жалпылама және тиянақты тұжырымдама, және осыған қоса экономика, экология және басқа білім облыстарында шешім қабылдау туралы теорияда әртүрлі мәселелеріне әдістің көптеген қосымшалары, осы әдістің басқарылатын процестер теориясында маңызды құралдардын бірі болып тіркелуіне әсер етті.

1. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 400 с.
2. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. 458 с.
3. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969. 118 с.

Пән: Автоматтандыру, Техника
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 10 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ және ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Қ. И. Сәтбаев атындағы Қазақ Ұлттық Техникалық Университеті

Автоматика және телемеханика кафедрасы

РЕФЕРАТ

Тақырыбы: Р. Беллманның динамикалық программалау әдісімен дискретті
жүйелерде тиімді басқаруды синтездеу

МАЗМҰНЫ

Кіріспе 3
Көпсатылы басқару процесі 4
Тиімді басқару есебі 5
Қарапайым келіс 5
Тиімділік принципі 6
Динамикалық программалау әдісі 7
Қадамды процедура 7
Тура процедура 8
Талқылау 9
Қорытынды 11
Қолданылған әдебиет 12
КІРІСПЕ

Динамикалық программалау әдісі – қазіргі заманғы басқару теориясының
дәрменді және кең тараған математикалық әдістерінің бірі, ол 50-жылдардың
аяғында американ математигі Р. Беллманмен ұсынылып жедел кең таралды. Көп
ұзамай, динамикалық программалау әдісі аналитикалық механикада (үздіксіз
уақытты жүйелер үшін) Гамильтон-Якоби классикалық әдісімен және Вальданың
тізбектелген анализімен (дискретті уақытты жүйелер үшін), байланысты екені
анықталды. Бірақ та динамикалық программалау әдісі туралы Беллманмен
берілген аса жалпылама және тиянақты тұжырымдама, және осыған қоса
экономика, экология және басқа білім облыстарында шешім қабылдау туралы
теорияда әртүрлі мәселелеріне әдістің көптеген қосымшалары, осы әдістің
басқарылатын процестер теориясында маңызды құралдардын бірі болып
тіркелуіне әсер етті.

КӨПСАТЫЛЫ БАСҚАРУ ПРОЦЕСІ

Әр уақыт мезетінде n-өлшемді және элементтері бар векторымен
сипатталынатын басқарылатын жүйені қарастырайық. t уақыты дискретті
өзгереді және тұтас санды мәндерді қабылдайды 0, 1, ... деп қарастырайық.
Оосылайша, экономикадағы және экологиядағы процестер үшін дискретті уақыт
мәніне күндер, айлар және жылдар жауап береді, ал электронды құрылғылардағы
процестер үшін көршілес дискретті уақыт моменттері арасныдағы аралық
құрылғылардың қосылу уақытына тең. Әр қадамда жүйеге m-өлшемді және u1,...,um-
элементтері бар u-басқару векторы арқылы басқарулық әсер етсің деп
ұйғарайық. Осылайша, t-уақыттың әр мезетінде жүйенің қалпы -
векторымен, ал басқарулық әсері u(t)-векторымен сипатталынсын. Әдетте
басқарудын таңдауына шенеулер қойылады, оларды жалпы түрде келесідей
бейнелеуге болады
(1)
Мндағы U – n-өлшемді кеңітікте берілген жиын.
t моментінде таңдап алынған басқарудың әсерінен жүйе келесі уақыт
моментінде жаңа күйге көшеді
(2)
Мұндағы - қарастырылып отырған жүйенің динамикасын сипаттайтын n-
өлшемді векторынан және m-өлшемді u векторынан n-өлшемді функция. Осы
функция анықталған (берілген) деп ұйғарылады және қарастырылып отырған
басқару процесінің қабылданған математикалық моделіне жауап береді.
Жүйенің бастапқы күйін белгілейік
(3)
мұндағы - берілген n-өлшемді вектор. Сонымен, көпсатылы басқару
процесі (1)-(3) ара қатынастарымен сипатталынады. Нақты процесті есептеу
процедурасы келесідей болады. Кез келген t момент кезінде жүйенің қалпы
анықталған болсын. Сонда қалпын анықтау үшін екі операцияны
орындау керек: 1) (1) шартты қанағаттандыратын мүмкін болатын
бақылауды таңдап алу; 2) (2) бойынша келесі уақыт мезетінде қалпын
анықтау. Жүйенің бастапқы қалпы берілген болғандықтан, жоғарыда
келтірілген процедураны барлық үшін тізбектеле орындауға болады.
Қалыптардың тізбегі жиі жүйенің траекториясы деп аталады.
Әр қадамда бақылауда таңдау едәуір еркін екенің ескерейік. Ол еркіндік
жоқ болып кетеді, егер бақылаудың мақсатын қайсыбір оптималдылық критериін
минимизациялау немесе максимилизациялау талабы түрінде белгілесек.

ТИІМДІ БАСҚАРУ ЕСЕБІ

Басқару процесінің қайсыбір сапалық критериі (оптималдылық критериі)
келесі түрде берілсін
(4)
Мұндағы және - өздернің аргументтерінің берілген скалярлық
функциялар, - процестің аяқталу моменті, .
Динамикалық программалау есебі, (1) шенеулерді қанағаттандыратын, және
белгілі бір траекторияға сәйкес келетін, ол тізбегі, олардың жиынтығы
(2), (3) процестер үшін (4)-критеридін минималды мәнің береді, мүмкін
болатын басқаруларды анықтау есебі түрінде тұжырымдалады.
(4)-критериді минимизациялау әдетте, аз мөлшерде қаражаттарды,
ресурстарды, энергияны, берілген мақсаттан немесе траекториядан ең аз
ауытқып кетуді қамтамасыз ететін басқаруды таңдап алуда жауап береді.
Сонымен қатар (4) түріндегі критериді максимизациялау есебі жиі
қолданылады, мысалға өндірістің табысын немесе көлемін максимизациялау.
Бірақ та, J критериін максимизациялау (-J) критериін минимизациялау балама
келіп тұрғанын көруге болады. Сондықтан R және F функциялараның жай ғана
таңбаларын ауыстыру критериді максимизациялау есебін оны минимизациялауға
әкеледі. Ары қараай анықталу үшін (4)-критериді минимизациялау есебін
қарастырамыз.

ҚАРАПАЙЫМ КЕЛІС

Алдымен қарапайым келісті қойылған оптималды басқару есебіне
қарастырайық. Жүйенің қалпы келесі әр уақыт моментінде оның алдынғы уақыт
моменті кезіндегі қалпы мен басқаруы арқылы (2) теңдіктің көмегімен
бейнеленеді. Сонда осы теңдікті көп рет қолдана отырып, тек қана
бастапқы қалпы арқылы жүйенің барлық уақыт моментінде қалпын және алдынғы
моменттегі басқаруды көрсетуге болады. Нәтижесінде (4) критериден

аламыз.
Мұндағы Ф – қайсыбір үлкен, бірақ, былай айтқанда, өз аргументтері
анықталған функция. Осылайша, қойылған оптималды басқару есебі
векторларынан Ф фунуциясын минимизациялау есебіне түйісті. N үлкен кезде
(әдетте N-үлкен процестер қызығушылық көрсетеді) көп санды айнымалылары бар
функцияны минимизациялау есебі едәуір күшті компьютерлерді қоллданғанымен
үлкен қиындық көрсетеді. Тағы да бір қиыншылықтар, ол айнымалылары
(1) шенеулерді қанағаттандыруы тиіс.
Осы қойылған мәселеге принципиалды басқа келісті динамикалық программалау
әдісі береді.

ТИІМДІЛІК ПРИНЦИПІ

Р. Беллманмен тұжырымдалған оптималдылық принципі: оптималды процесстің
кез келген нүктесінен процестің аяғына дейінгі кесіндісі осы нүктеден
басталып өзі оптималды процесс болып келеді.
Оптималдылық принципі қастан жеңіл дәлелденеді. -оптималды
траекторияның кез келген нүктесі болсын, сонда жүйенің қалпы оптималды
процесс бойымен t моментінде, 0 ‹ t ‹ N. Бастапқы шарт кезінде осы
процес t моментінен N моментіне дейінгі кесіндісі (1), (2) жүйелер үшін
сапалық критериінің мәнісінде оптималды процесс емес деп болжайық
. (5)
Ендеше, мүмкін болатын басқару және оған сәйкес келетін
траектория бар, осылар үшін критериі (5)-теңдеуден, бастапқы
оптималды шарттан қарағанда, кіші мәнің қабылдайды. 1 суретте бастапқы
оптималды траектория қызыл сызықпен, ал - траекториясы көк
сызықпен көрсетілген. Бастапқы оптималды процеспен қатар, екі
бөліктен тұратын процесті қарастырайық: болған кездегі бастапқы
процесс және болған кездегі жақсартылған процесс. Осы
құрамдас процесс үшін (4) алынған J критериі, бастапқы процеске қарағанда,
кіші мәнге ие болады, өйткені (4) бойынша t-қосындысы құрамдас пароцесс
және бастапқы процесс үшін сол беті қалады, ал қалған қосылғыштардын (5)
бойынша -тең жиынтығы, бастпақы процеспен салыстырғанда кемиді.

1 сурет. Басқарылатын процестің траекториялары

Жасалынған тұжырым процестің оптималды еместінтігін анықтайды, ал бұл
жасалынған болжауға кері келеді.
Осылайша, оптималдылық принципі дәлелденді. Дәлелдеудің осындай
қарапайымдылығы әдістің травиалдылығы туралы ойға әкеледі. Бірақ та, ол
олай емес: оптималдылық принципі (4) түріндегі оптималдылық критериінің
аддитивтілігі болып келеді және аддитивтілік емес критерий кезінде орын
алмайды, мысалға (4) түріндегі критеридін қайсыбір функциясы болған кезде.

ДИНАМИКАЛЫҚ ПРОГРАММАЛАУ ӘДІСІ

Булгілеу енгізейік: моментінде нүктесінен басталатын,
оптималды процесс үшін (5) бойынша сапалық критериінің ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.