Математикалық фокустар
Кіріспе
1 Математикалық фокустың түрлері
1.1 Математикалық фокустар және оның түрлері
1.2 Карталардың көмегімен көрсетілген математикалық фокустар
1.3 Ұсақ заттармен жасалатын фокустар Ойын сүйектері
1.4 Арнайы жабдықталған заттардың көмегімен көрсетілген фокустар.
2 Мектепте өткізілетін қызықты сабақтар
2.1 Мектеп оқушыларына арналған математикалық фокустар
2.2 Мектеп оқушыларына өткізідетін қызықты ойындар
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиет
1 Математикалық фокустың түрлері
1.1 Математикалық фокустар және оның түрлері
1.2 Карталардың көмегімен көрсетілген математикалық фокустар
1.3 Ұсақ заттармен жасалатын фокустар Ойын сүйектері
1.4 Арнайы жабдықталған заттардың көмегімен көрсетілген фокустар.
2 Мектепте өткізілетін қызықты сабақтар
2.1 Мектеп оқушыларына арналған математикалық фокустар
2.2 Мектеп оқушыларына өткізідетін қызықты ойындар
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиет
Математикалық фокустар? Иә, егер солай атағыңыз келсе. Ал мүмкін фигуралар мен сандардың қасиеттеріне, математикаға негізделген тәжірибелер болар ,тек аз ғана әдеттегіден тыс түрдегі. Және осы тәжірибелер болар қай-қайсысын түсіну бұл математикалық заңдылықтары азғантай болсада дәл түсіну деген сөз.
Зерттеу жұмысының өзектілігі. Математикалық фокустар математиктердің де, фокусшылардың да арасында аса биік назарға іліге қоймаған.Біреулері оған тек бос ермек ретінде қараса , екіншілері тым іш пыстыратын іс ретінде қарайды.
Математикалық фокустар, тікесін айтқанда, өзіне көп көрермен жинайтын фокустар категориясына жатпайды. Бұндай фокустарға көп уақыт кетеді және соншалықты көз тартарлық емес. Бір жағынан математикалық шындықты сыртынан қарап тұрып аша салуға кез келген адам келісе қоймайды.
Бірақ соның ешбіреуіне қарамастан математикалық фокустардың өз сүйкімділігі бар, шахмат сияқты. Шахмат тек осы ойын ғана бере алатын математикалық құрылымның әсемдігі мен рахат сезімін біріктіреді. Математикалық фокус математикалық әсемдігі мен қызығушылықты біріктіреді . Математикалық фокустар осы екі қырменде таныс адамға ғана рахат әкеледі.
Қазіргі таңда математикалық фокустар әлі де назардың шыңында емес.
Сондықтан оқушылардың математикалық фокусқа деген қызығушылығын арттыру өзекті мәселе.
Зерттеу жұмысының мақсаты.
Оқушыларды, студенттерді, математикаға қызығушылық танытқан кез келген сала адамына математикалық фокустардың түрлерін таныстырып,
Оларды қалай қолдануға үйрету. Математикалық фокустарға, математикаға,
Оның қыр-сырларына деген қызығушылығын арттыру.
Зерттеу жұмысының өзектілігі. Математикалық фокустар математиктердің де, фокусшылардың да арасында аса биік назарға іліге қоймаған.Біреулері оған тек бос ермек ретінде қараса , екіншілері тым іш пыстыратын іс ретінде қарайды.
Математикалық фокустар, тікесін айтқанда, өзіне көп көрермен жинайтын фокустар категориясына жатпайды. Бұндай фокустарға көп уақыт кетеді және соншалықты көз тартарлық емес. Бір жағынан математикалық шындықты сыртынан қарап тұрып аша салуға кез келген адам келісе қоймайды.
Бірақ соның ешбіреуіне қарамастан математикалық фокустардың өз сүйкімділігі бар, шахмат сияқты. Шахмат тек осы ойын ғана бере алатын математикалық құрылымның әсемдігі мен рахат сезімін біріктіреді. Математикалық фокус математикалық әсемдігі мен қызығушылықты біріктіреді . Математикалық фокустар осы екі қырменде таныс адамға ғана рахат әкеледі.
Қазіргі таңда математикалық фокустар әлі де назардың шыңында емес.
Сондықтан оқушылардың математикалық фокусқа деген қызығушылығын арттыру өзекті мәселе.
Зерттеу жұмысының мақсаты.
Оқушыларды, студенттерді, математикаға қызығушылық танытқан кез келген сала адамына математикалық фокустардың түрлерін таныстырып,
Оларды қалай қолдануға үйрету. Математикалық фокустарға, математикаға,
Оның қыр-сырларына деген қызығушылығын арттыру.
1. Хуа Ло-ген. Тригонометриялық қосындылар әдісі және оның сандар теориясында қолданылуы.
2. Неміс тілінен аударма А.М.Полосуев. Чуданова Н.Г. «Мир» баспасы,1964, 52-57 бб.
3. Крендалл Р., Померанс К. Жай сандар: Криптографиялық және есептеу аспктілері. Ағылшын тілінен аударылған. 2011ж. 31-36 бб.
4. Виноградов И.М. Сандар теориясының негіздері. Ижевск, РХД, 2003ж.13 б.
5. Серпинский В. Жай сандар туралы біз не білеміз және не білмейміз. Г.ИФ–М.Л. Москва, 1963 ж. 48-77 бб.
6. Акылбаев М.И., Уштенов Е.Р. Жай сандар туралы жаңа теорема. 255-258 бб.
7. «Математические чудеса и тайны » М.Гарднер М.:Физматкиз,1962г. 301-310 бб
8. « Математические игры и развлечения» А.П.Домряд
9. «Есть идея!» Мартин Гарднер
10. «Қазіргі мектеп» журналы
11. « Қазіргі ауыл мектебі » журналы
12. «Қолданбалы және фундаментальді зерттеулердің Халықаралық журналы» Москва 2014 ж. №1 саны, 2 бөлім.
2. Неміс тілінен аударма А.М.Полосуев. Чуданова Н.Г. «Мир» баспасы,1964, 52-57 бб.
3. Крендалл Р., Померанс К. Жай сандар: Криптографиялық және есептеу аспктілері. Ағылшын тілінен аударылған. 2011ж. 31-36 бб.
4. Виноградов И.М. Сандар теориясының негіздері. Ижевск, РХД, 2003ж.13 б.
5. Серпинский В. Жай сандар туралы біз не білеміз және не білмейміз. Г.ИФ–М.Л. Москва, 1963 ж. 48-77 бб.
6. Акылбаев М.И., Уштенов Е.Р. Жай сандар туралы жаңа теорема. 255-258 бб.
7. «Математические чудеса и тайны » М.Гарднер М.:Физматкиз,1962г. 301-310 бб
8. « Математические игры и развлечения» А.П.Домряд
9. «Есть идея!» Мартин Гарднер
10. «Қазіргі мектеп» журналы
11. « Қазіргі ауыл мектебі » журналы
12. «Қолданбалы және фундаментальді зерттеулердің Халықаралық журналы» Москва 2014 ж. №1 саны, 2 бөлім.
Кіріспе
Математикалық фокустар? Иә, егер солай атағыңыз келсе. Ал мүмкін фигуралар мен сандардың қасиеттеріне, математикаға негізделген тәжірибелер болар ,тек аз ғана әдеттегіден тыс түрдегі. Және осы тәжірибелер болар қай-қайсысын түсіну бұл математикалық заңдылықтары азғантай болсада дәл түсіну деген сөз.
Зерттеу жұмысының өзектілігі. Математикалық фокустар математиктердің де, фокусшылардың да арасында аса биік назарға іліге қоймаған.Біреулері оған тек бос ермек ретінде қараса , екіншілері тым іш пыстыратын іс ретінде қарайды.
Математикалық фокустар, тікесін айтқанда, өзіне көп көрермен жинайтын фокустар категориясына жатпайды. Бұндай фокустарға көп уақыт кетеді және соншалықты көз тартарлық емес. Бір жағынан математикалық шындықты сыртынан қарап тұрып аша салуға кез келген адам келісе қоймайды.
Бірақ соның ешбіреуіне қарамастан математикалық фокустардың өз сүйкімділігі бар, шахмат сияқты. Шахмат тек осы ойын ғана бере алатын математикалық құрылымның әсемдігі мен рахат сезімін біріктіреді. Математикалық фокус математикалық әсемдігі мен қызығушылықты біріктіреді . Математикалық фокустар осы екі қырменде таныс адамға ғана рахат әкеледі.
Қазіргі таңда математикалық фокустар әлі де назардың шыңында емес.
Сондықтан оқушылардың математикалық фокусқа деген қызығушылығын арттыру өзекті мәселе.
Зерттеу жұмысының мақсаты.
Оқушыларды, студенттерді, математикаға қызығушылық танытқан кез келген сала адамына математикалық фокустардың түрлерін таныстырып,
Оларды қалай қолдануға үйрету. Математикалық фокустарға, математикаға,
Оның қыр-сырларына деген қызығушылығын арттыру.
1 Математикалық фокустың түрлері
1.1 Математикалық фокустар және оның түрлері
Математикалық фокустарды бірнеше заттардың көмегімен көрсетуге болады:
1.Карталардың көмегімен көрсетілген математикалық фокустар.
Ойын карталарды математикалық характерде көрсетілген фокустарға қолданылатындай қасиеттерге ие. Сондай қасиеттердің бірнешеуін көрсетіп кетейік.
а) Карталарды санауға оңай бірдей заттар ретінде қарауға болады. Бұл
жағдайда олардың суреттері ешқандай мағына бермейді.
б) Карталарды 1-ден 13-ке дейін сан ретінде қолдануға болады (мұндағы 11,12,13 сандарының орнында валет , дама, король)
в) Оларды 4-ке немесе қара мен қызылға бөлуге болады.
г) Әрбір карта екі жаққа ие (бет және артқы)
д)Карталардың өлшемдері бірдей.
2.Ұсақ заттардың көмегімен көрсетілген математикалық фокустар .
Барлық дерлік ұсақ заттар қалай болғанда да сандармен және санақтан байланысты. Ойын сүйектері, домино.сіріңке т.б ұсақ заттар қолданылады.
3.Топологиялық бас қатырмалар.
Көптеген құпияланған фокустарды терең мағынаға топологиялық деп
Атауға болады. Оларды көрсету кезінде элементарды топологиялық заңдылықтарды бұзылғандай болады.
4.Арнайы жабдықталған математикалық фокустар.
Арнайы жабдықтарды талап ететін фокустарды ішінде көбі математикалық қасиеттерге ие.
5.Фигуралардың жоғалуы
Мұндай фокустардың бәрі фигураны бөлшектерге бөлуден басталып және сол бөлшектерден жаңа фигура құраудан аяқталады. Сонымен қатар бірінші фигураның қандайда бір бөлігі (ол ауданның бір бөлігі немесе суреттердің бәрі болуы мүмкін ) жоғалып кеткендей әсер болады.
6.Белгісіз сандар басқатырмалары.
Бұл бас қатырмаларды негізгі үш топқа бөлуге болады:
а)Тез санауға негізделген бас қатырмалар
б)Амалдардың нәтижесін алдын ала біліп отыратын бас қатырмалар
в)Жасырған санды табу
1.2 Карталардың көмегімен көрсетілген математикалық фокустар
Карталардың арасынан алынған карттың санын табу.
Көрсетуші көрермендердің біріне қолындағы карттардың бір бөлігін алуды сұрайды. Көрермен алғаннан кейін өзіде алады. Өзінің қолындағы карттарды санайды, айтайық, 20 болсын. Көрерменге менде сіздің карталарыңызды төрт картаға көп және де 16ға дейін санауға жетеді дейді. Көрермен өз карталарын санайды, айталық ,11 болсын. Сонда көрсетуші карталарын үстелдің үстіне бір-бірлеп қояды,сонымен қатар 11-ге дейін санап отырып. Содан соң өзінің айтуы бойынша төрт картаны қасына қояды, сәйкесінше ары қарай 11,12,13,14,15,16 ға дейін санайды. Он алтыншы карта өзі айтқандай соңғы карта болады.
Фокусты қайта-қайта қайталауға болады. Әрбір фокус сайын артық карта санын өзгере беруге болады. Бұнысымен , көрермендерге көрсетуші карталардың санын қалай тауып тұрғаны түсініксіз және қызық болады.
Түсіндірілуі : Бұл оңай фокусқа көрсетуге көрерменнің қолындағы карталардың санын біліп мүлде қажет емес , бірақ көрерменнен көп карта алғанына сенімді болуы керек. Көрсетуші қолындағы карталарын санайды,
Біздің мысалымызда олардың саны 20. Содан соң қандай да бір аз санды алып тастайды, айтайық төрт . Сонда он алты қалады. Көрерменге менде сізден төот картаға көп және он алтыға дейін санауға жетеді деп айтады.
Таң қалдыратын болжау.
Көрермендердің арасынан біреуі карталарды араластырып үстелдің үстіне қояды. Көрсетуші бір рет қағазға картаның атауын жазып ,ешкімге көрсетпей төңкеріп қояды. Сқдан соң үстелдің үстіне төңкеріліп он екі карта жайылады. Көрермендердің ішінен әлде біреуді сол карталардың арасынан төртеуін таңдауды сұрайды. Қалған сегізі жиналып алынады және басқа карталарға қосылады. Үштік ,алтылық .ондық және король болсын делік. Көрсетуші ашылған карталарды үстіне карт өоя бастайды, карта қандай санға сәйкес келсе сол саннан бастап санап қояды. Мысалы ,үштік картаның картаның үстіне 4,5,6,7,8,9,10, алтылық картаның үстіне төрт карта, ондықта ештеңе қоймайды:Бұл ойында король ондық болып саналады.
Содан соң сандық мәндері қосылады.
3+6+10+10=29
Қалған карталарды қөрерменге береді және 29ға дейін салуды сұрайды. Ең соңғы карта ашылады, Және Алдын ала жазылған қағаз ашылады, әрине ода соңғы ашылған картаның атауы жазылады.
Түсіндірілуі карталар араластырғаннан кейін , көрсетуші соңғы тұрған картаны қарап алуы тиіс. Дәл сол картаны қағазға жазады . Қалғандары өзінен өзі шыға береді . Он екі картаның ішінен төрт карта ашылып, қалған сегіз карта карталарға қосылғанда байқалған карта қырықыншы болады. Жоғарыда айтылған операциялардың бәрі дұрыс жасалса , біз бұл картаға дәл жетеміз. Фокустың басында карталардың араластырғаны оны оданда көз тартарлық етеді.Бұл фокустың сыры карталардың барлық саны елу екі болады.Суреті бар карталардың сандық мәнін неше етіп алсада көрерменнің өзі біледі, бұдан фокус бұзылмайды.
Ойлаған карта фокусы.
Бұл фокус көп жылдар бұоын ойлап табылған. Көрсетуші карталарды араластырып тұрып ,тоғыз картадан тұратын бір бөлігін алып үстелдің үстіне төңкеріп жайып қояды. Көрермен тоғыз картаның ішінен біреуін таңдайды да есіне сақтап қалады. Және саналған санмен картаның номері сәйкес келіп қалса ( мысалы: егер көрсеруші төрт санын айтып жатқанда төрттік шығып қалса), онда бұл бөлікке карта қою тоқтатылады да келесі бөлік басталады. Егер мұндай сәйкестік болмаса, онда бөлік бір санымен бітеді. Және бұл бөлік жабылады, яғни бет жағымен төмен қаратылады.
Корольдер мен дамалардан көрсетілген фокус.
Корольдер мен дамалардан төрт-төрт картадан тұратын екі бөлік аламыз, бірі корольдерден екіншісі дамалардан тұрады. Бөліктер төмен қаратылады және карталар бірінің үстіне бірі тұрады.
Көрерменге біздің сегіз картадан тұратын бөлігімізі бір реет немесе бірнеше реет карта суырып алуын сқрайды. Көрсетуші бөлікті артына аз ғана уақықа жасырады да қөрерменнің алдына екі картаны ашады. Бұл карталар король және дама болады және олар бірдей мәстен болады. Бұл фокусты қалған үш жұпқада оңай жасауға болады.
Түсіндірілуі: көрсетушіге басындағы екі бөліктің мәстерінің тізбегі бірдей болуын қадағаласа болғаны. Ал бөліктен карта алып тастау бұл тізбекті бұзбайды. Ал артына жасырып көрсетуші бөлікті тең бөліп ,екі бөліктенде ең үстіндегі картаны алып ашады. Бұл жұпта әрқашан король мен дама болады және бірдей мәстен болады.
Төрт тузбен көрсетілетін фокус.
Көрсетуші көрермендердің бірінен он мен жиырманың арасындағы бір санды айтуын сұрайды. Және карталардың ішінен сонша картаны бірінің үстіне бірін қойып бөлік жасайды. Және айтылған санның цифрларының қосындысын шығарып сонша картаны бөліктің үстінен алып тастайды да қалған карталарға қосады. Және бөліктің қалған карталарының ең үстіңгісін алып бір шетке төмен қараған күйінде қояды. Қалған бөлікті карталарға қосады. Көрсетуші осы шеттегі карта саны төртке жеткенше жоғарыда жасағандарын қайталайды. Бұл төрт карта да туз болады.
Түсіндірілуі: фокус басталмастан бұрын туздарды жоғарыдан тоғызыншы, оныншы, он бірінші, он екінші орындарға қою керек.
Қалғандары өзінен өзі шығады.
1.3 Ұсақ заттармен жасалатын фокустар
Ойын сүйектері
Ойын сүйектері де карталар секілді ескі және көпке түсініксіз ойын түрі.
Сонда да ежелгі Грецияда , Мысырда және Шығыста дәл қазіргі замандағыдай ойын сүйектері болған яғни бірден алтыға дейін цифрлары бар куб және оның қарама-қарсы жақтарындағы цифрларының қосындысы жетіге тең .Ал оның формасы куб дұрыс көпжақ болуымен ерекшеленеді .
Оны дайындау жеңіл және куб көпжақтардың ішінде айналатын түрі.
Қосындысын табу.
Көрсетуші көрермендерден теріс айналып тұрады, бұл уақытта олардың біреуі үстелге үш сүйекті лақтырады. Содан соң көрермендер үш сүйектен шыққан цифрларды қосуын ,солардың ішінен бір сүйекті аладыда оның төменгі жағындағы санды шыққан санға қосуын және сол сүйекті лақтырып нәтижесін шыққан сомаға қосуын қорытындысын айтуды сұрайды.
Көрсетуші қай сүйектен екі рет лақтырғанын білмейтіндігіне көрермендердің назарын аудара отырып , үш сүйекті де қолдана алады да қосындыны дәл айтып береді
Түсіндірілуі: Сүйектерді қолына жинар алдында олардың жоғарғы жақтарындағы цифрлардың қосындысын шығарып алады да оған жетіні қосып нәтижені шығарады.
Лақтырылған сүйектердің цифрларын табу
Ойын сүйектерімен жасалатын қызықты фокустар көп. Солардың бірі лақтырылған сүйектердің цифрларын табу.
Көрермен үш ойын сүйегін үстелдің үстіне лақтырады. Бұл уақытта көрсетуші теріс қарап тқрады. Яғни, лақтырылған сүйектерді көрмейді, Лақтырылған сүйектердің бірінде шыққан сан екіге көбейтіледі, шыққан көбейтіндіге бес қсылады және нәтижесі тағы беске көбейтіледі. Шыққан
сомаға лақтырылған сүйектердің екіншісінде шыққан соң қосылады да, ол онға көбейтіледі. Және ең соңғы лақтырылған сүйектердің үшінщісінен шыққан сан нәтижеге қосылады. Көрссетуші нәтижеде шыққан санды естігенде лақтырылған сүйектерде шыққан үш санды атайды.
Түсіндірілуі: көрсетуші соңғы нәтижеден екі жүз елуді тастайды.
Айырмадан шыққан үш цифр лақтырылған сүйектердегі үш цифр болады.
Домино
Домино математикалық фокустарда карталар мен ойын сүйектеріне қарағанда аз кездеседі . Төменде оқитын фокус өте кең таралған фокустардың
Бірі.
Үзілген тізбек
Көрсетуші бір рет қағазға болжау жасады да, ешкімге көрсетпей үстелге қояды. Домино сүйектерін араластырады. Сосын ,домино ойынындағыдай, бірдей шеттерін бір-біріне жалғай тізбектеп орналастырады. Орналастырып болған соң тізбектің екіншісіндегі сандарға қарайды. Көрсетушінің ойын басталмастан бұрын жазған қағазын қарайды, онда осы тізбектің шетінде орналасқан сандар жазылған.
Түсіндірілуі: Көрсетуші басталардың алдында бір домино сүйегін білдіртпей тығып қояды да, сол сүйектің екі шетіндегі сандарды қағазға жазады. Доминоның барлық жиырма сегіз сүйегін жалғасақ үзілмегіен тізбек шығатын еді. Ал олардың ішінде жоқ сүйегі оның үзілген жеріндегі екі шетінің мәәндерімен сәйкес келеді.
Он үш сүйектен тұратын қатар
Міне доминомен жасалатын өте қызықты фокустардың бірі. Бұл фокус үшін он үш домино сүйегі қажет және олар төмен қарап жату керек.
Көрсетуші бөлмеден шыға тұрады. Көрсетуші жоқта көрермендердің біреуідомино сүйегінің кез келген санын қатардың басынан соңына дейін орнын ауыстырады ( бір ден он екіге дейін ) . Содан соң көрсетуші бөлмеге қайта оралады және бір домино сүйегін ашады, ондағы очко саны ауыстырылған сүйектер санына тең болады.
Күнтізбелер
Күнтізбелердің көмегімен көптеген математикалық фокус көрсетуге болады. Солардың бірнешеуін төменде мысалға келтіре кетейік.
Құпия шырщалар .
Көрсетуші күнтізбеден теріс қарап тұрады. Көрермендердің бірі күнтізбенің кез келген бір айындағы тоғыз цифрдан тұратын шаршыны белгілеп алады да, солардың ішіндегі ең азын айтады. Енді көрсетуші тез есептеп сол тоғыз санның қосындысын шығарып береді.
Түсіндірілуі: Көрсетуші айтылған санға сегізді қосып, тоғызға көбейтеді. Сонда қажет нәтижемізде шығады.
Күннің жадын белгілеу арқылы көрсетілетін фокус
Көрерменге айлық күнтізбені ашып, кез келген айдың бес жолынан (жалпы жол саны арасында алты болады,и бірақ алтыншы бағанға көбіне назар аударылмайды) бір - бірден өзі қалаған бір күннің жадын домалақтап белгілеуді сұрайды. Бұл кезде көрсетуші теріс айналып тұрады, яғни көріп тұрмайды.
Сол теріс қарап тұрған күйінде ол көрерменнен сізге неше дүйсенбі белгіленді? деп сұрайды. Ары қарай неше сейсенбі?, солай жалғастырып неше жексенбі екенін сұрап, жауабын алады. Жауаптары естігеннен кейін көрсетуші көп ойланбай белгіленген күндердің қосындысын шығарады.
Түсіндірілуі: күнтізбенің әр айының (ақран айы кей уақытта бұл тізімнен шығып қалады ) бірінші жұлдызынан басталатын бағынындағы сандардың қосындысы әрқашан жетпіс беске тең болады . Келесі бағанда белгіленген әрбір сан бұл қосындыны бірге арттырады, ал келесі бағандағы сан екіге және солайй кете береді .Ал сол бағанның алдындағы бағанда белгіленген сан бірге кемиді, оның алдыңғысы бағанғада белгіленген сан бірге кеммиді ,оның алдыңдағысы екіге кемиді солай кете береді. Мысалы, айталық айдың бірінщі жұлызы бейсенбіге келген болсын және бір дүйсенбі, бір бейсенбі, үш сенбі белгіленген болсын. Көрсетуші оймен есептеулер шығарады:
75+3x2-1x3=78
және шыққан нәтижені айтады.
Көрсетуші көрермен таңдаған айдың бірінші жұлдызы қай күнге келіп тұрғанын алдын-ала білуі керек.
1.4 Арнайы жабдықталған заттардың көмегімен көрсетілген фокустар.
Алты шаршымен көрсетілген фокус
Бұл фокус сандар жазылған алты шаршы плаастинканың көмегімен көрсетіледі. Пластинкалар сан жазылған жағы төмен қараған күйінде үстелге жайылады. Көрсетуші теріс қарап тұрады, бұл уақытта көрермендердің бірі бір пластинканы ашып санын қарайды да қалған пластинкалармен араластырып тастайды. Енді көрсетуші үстелге қарайды да пластинкаларға қолындағы қарындашын тигізеді. Ал көрермендер өзі қарап алған санның әріптерін бір пластинкаға бір әріптен келетіндей ішінен айтып тұрады. Санның соңғы әріпін айтқанда көрсетуші тоқтап қалады да, тоқтаған пластинкасын ашады. Ол пластинкада әрине көрермен қарап алған сан болады .
Түсіндірілуі : Ең бірінші қарындашпен түртуі өзі ойлаған қатар бойынша жасалады. Ал келесі түртуі мынандай тізбек бойынша: 104, 42, 75, 204, 314, 409 жасалады. Көрсетушіге бұл қатарды жаттау оңай болады. Өйткені шаршылардың түстері әр-түрлі болады. Әрбір шаршыны түсіне сәйкес жаттап алады. Бұл фокус 104(жүз төрт ) санында жеті әріп, ал қалғандарында бір әріптен арта беретіндіктен жүзеге асады.
2 Мектепте өткізілетін қызықты сабақтар
2.1 Мектеп оқушыларына арналған математикалық фокустар
Мектеп оқушыларына арналған математикалық фокустарды мұғалімдер математикадан жарыстар, ойындар өткізгенде пайдаланады. Бұл арқылы оқушылардың математикаға деген қызығушылығын арттыруға, логикасын дамытуға және және тереңнен ойлануға үйретуге болады.
Математикалық фокустар.
а) Туғанайдың ... ...21-ге шыққан санды 16-ға кеміт, шыққан санды 5-ке кеміт. Нәтижесі бойынша туғанайды айтуға болады. Мысалы:туған ай ... ... онда реті 9-ды 21-ге ... ... +21=30), оны 16-ға кеміту (30-16=14) керек. Алынған ... ... ... (14-5=9), яғни ... айы ... айтып беру керек.
ә) туған күнге 20-ны қосып, шыққан санға 17-ні азайту керек. Алынған нәтижені 3-ке кемітсе, туған күн шығады. ...27... 27+ 20=...30-3... Бір сан ... оған 15-ті ... ... санды 13-ке кеміт.
Нәтижесін айтқызып, оны 2-ге кеміт. Шыққан сан ойлаган сан болады.
Мысалы:
6+5=21, 21-13=8, 8-2=... ... ... математикалық ойыны. Мұғалімдерге осындай кештер, танымдық ойындар өткізуде кәдеге асар деген ниетпен төменде... ... ... ... ... пәнге қызығушылығын арттыру.
Шығармашылықпен жұмыс істеуге ынталандыру, білімге деген талпыныс, ізденістерін ояту.
б) Қағаз бетшесінде төмендегі жазбаны жазып
1000
30
1000
40
1000
20
1000
10
Барлық сандарды қағаз бен жауып, жоғарыдан төмен қарай кезек кезегіне аша отыра, оқушыдан жылдам қосуды сұрау керек. Сонда оқушы жауабын айтады. Оқушы дұрыс есептей ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Математикалық фокустар? Иә, егер солай атағыңыз келсе. Ал мүмкін фигуралар мен сандардың қасиеттеріне, математикаға негізделген тәжірибелер болар ,тек аз ғана әдеттегіден тыс түрдегі. Және осы тәжірибелер болар қай-қайсысын түсіну бұл математикалық заңдылықтары азғантай болсада дәл түсіну деген сөз.
Зерттеу жұмысының өзектілігі. Математикалық фокустар математиктердің де, фокусшылардың да арасында аса биік назарға іліге қоймаған.Біреулері оған тек бос ермек ретінде қараса , екіншілері тым іш пыстыратын іс ретінде қарайды.
Математикалық фокустар, тікесін айтқанда, өзіне көп көрермен жинайтын фокустар категориясына жатпайды. Бұндай фокустарға көп уақыт кетеді және соншалықты көз тартарлық емес. Бір жағынан математикалық шындықты сыртынан қарап тұрып аша салуға кез келген адам келісе қоймайды.
Бірақ соның ешбіреуіне қарамастан математикалық фокустардың өз сүйкімділігі бар, шахмат сияқты. Шахмат тек осы ойын ғана бере алатын математикалық құрылымның әсемдігі мен рахат сезімін біріктіреді. Математикалық фокус математикалық әсемдігі мен қызығушылықты біріктіреді . Математикалық фокустар осы екі қырменде таныс адамға ғана рахат әкеледі.
Қазіргі таңда математикалық фокустар әлі де назардың шыңында емес.
Сондықтан оқушылардың математикалық фокусқа деген қызығушылығын арттыру өзекті мәселе.
Зерттеу жұмысының мақсаты.
Оқушыларды, студенттерді, математикаға қызығушылық танытқан кез келген сала адамына математикалық фокустардың түрлерін таныстырып,
Оларды қалай қолдануға үйрету. Математикалық фокустарға, математикаға,
Оның қыр-сырларына деген қызығушылығын арттыру.
1 Математикалық фокустың түрлері
1.1 Математикалық фокустар және оның түрлері
Математикалық фокустарды бірнеше заттардың көмегімен көрсетуге болады:
1.Карталардың көмегімен көрсетілген математикалық фокустар.
Ойын карталарды математикалық характерде көрсетілген фокустарға қолданылатындай қасиеттерге ие. Сондай қасиеттердің бірнешеуін көрсетіп кетейік.
а) Карталарды санауға оңай бірдей заттар ретінде қарауға болады. Бұл
жағдайда олардың суреттері ешқандай мағына бермейді.
б) Карталарды 1-ден 13-ке дейін сан ретінде қолдануға болады (мұндағы 11,12,13 сандарының орнында валет , дама, король)
в) Оларды 4-ке немесе қара мен қызылға бөлуге болады.
г) Әрбір карта екі жаққа ие (бет және артқы)
д)Карталардың өлшемдері бірдей.
2.Ұсақ заттардың көмегімен көрсетілген математикалық фокустар .
Барлық дерлік ұсақ заттар қалай болғанда да сандармен және санақтан байланысты. Ойын сүйектері, домино.сіріңке т.б ұсақ заттар қолданылады.
3.Топологиялық бас қатырмалар.
Көптеген құпияланған фокустарды терең мағынаға топологиялық деп
Атауға болады. Оларды көрсету кезінде элементарды топологиялық заңдылықтарды бұзылғандай болады.
4.Арнайы жабдықталған математикалық фокустар.
Арнайы жабдықтарды талап ететін фокустарды ішінде көбі математикалық қасиеттерге ие.
5.Фигуралардың жоғалуы
Мұндай фокустардың бәрі фигураны бөлшектерге бөлуден басталып және сол бөлшектерден жаңа фигура құраудан аяқталады. Сонымен қатар бірінші фигураның қандайда бір бөлігі (ол ауданның бір бөлігі немесе суреттердің бәрі болуы мүмкін ) жоғалып кеткендей әсер болады.
6.Белгісіз сандар басқатырмалары.
Бұл бас қатырмаларды негізгі үш топқа бөлуге болады:
а)Тез санауға негізделген бас қатырмалар
б)Амалдардың нәтижесін алдын ала біліп отыратын бас қатырмалар
в)Жасырған санды табу
1.2 Карталардың көмегімен көрсетілген математикалық фокустар
Карталардың арасынан алынған карттың санын табу.
Көрсетуші көрермендердің біріне қолындағы карттардың бір бөлігін алуды сұрайды. Көрермен алғаннан кейін өзіде алады. Өзінің қолындағы карттарды санайды, айтайық, 20 болсын. Көрерменге менде сіздің карталарыңызды төрт картаға көп және де 16ға дейін санауға жетеді дейді. Көрермен өз карталарын санайды, айталық ,11 болсын. Сонда көрсетуші карталарын үстелдің үстіне бір-бірлеп қояды,сонымен қатар 11-ге дейін санап отырып. Содан соң өзінің айтуы бойынша төрт картаны қасына қояды, сәйкесінше ары қарай 11,12,13,14,15,16 ға дейін санайды. Он алтыншы карта өзі айтқандай соңғы карта болады.
Фокусты қайта-қайта қайталауға болады. Әрбір фокус сайын артық карта санын өзгере беруге болады. Бұнысымен , көрермендерге көрсетуші карталардың санын қалай тауып тұрғаны түсініксіз және қызық болады.
Түсіндірілуі : Бұл оңай фокусқа көрсетуге көрерменнің қолындағы карталардың санын біліп мүлде қажет емес , бірақ көрерменнен көп карта алғанына сенімді болуы керек. Көрсетуші қолындағы карталарын санайды,
Біздің мысалымызда олардың саны 20. Содан соң қандай да бір аз санды алып тастайды, айтайық төрт . Сонда он алты қалады. Көрерменге менде сізден төот картаға көп және он алтыға дейін санауға жетеді деп айтады.
Таң қалдыратын болжау.
Көрермендердің арасынан біреуі карталарды араластырып үстелдің үстіне қояды. Көрсетуші бір рет қағазға картаның атауын жазып ,ешкімге көрсетпей төңкеріп қояды. Сқдан соң үстелдің үстіне төңкеріліп он екі карта жайылады. Көрермендердің ішінен әлде біреуді сол карталардың арасынан төртеуін таңдауды сұрайды. Қалған сегізі жиналып алынады және басқа карталарға қосылады. Үштік ,алтылық .ондық және король болсын делік. Көрсетуші ашылған карталарды үстіне карт өоя бастайды, карта қандай санға сәйкес келсе сол саннан бастап санап қояды. Мысалы ,үштік картаның картаның үстіне 4,5,6,7,8,9,10, алтылық картаның үстіне төрт карта, ондықта ештеңе қоймайды:Бұл ойында король ондық болып саналады.
Содан соң сандық мәндері қосылады.
3+6+10+10=29
Қалған карталарды қөрерменге береді және 29ға дейін салуды сұрайды. Ең соңғы карта ашылады, Және Алдын ала жазылған қағаз ашылады, әрине ода соңғы ашылған картаның атауы жазылады.
Түсіндірілуі карталар араластырғаннан кейін , көрсетуші соңғы тұрған картаны қарап алуы тиіс. Дәл сол картаны қағазға жазады . Қалғандары өзінен өзі шыға береді . Он екі картаның ішінен төрт карта ашылып, қалған сегіз карта карталарға қосылғанда байқалған карта қырықыншы болады. Жоғарыда айтылған операциялардың бәрі дұрыс жасалса , біз бұл картаға дәл жетеміз. Фокустың басында карталардың араластырғаны оны оданда көз тартарлық етеді.Бұл фокустың сыры карталардың барлық саны елу екі болады.Суреті бар карталардың сандық мәнін неше етіп алсада көрерменнің өзі біледі, бұдан фокус бұзылмайды.
Ойлаған карта фокусы.
Бұл фокус көп жылдар бұоын ойлап табылған. Көрсетуші карталарды араластырып тұрып ,тоғыз картадан тұратын бір бөлігін алып үстелдің үстіне төңкеріп жайып қояды. Көрермен тоғыз картаның ішінен біреуін таңдайды да есіне сақтап қалады. Және саналған санмен картаның номері сәйкес келіп қалса ( мысалы: егер көрсеруші төрт санын айтып жатқанда төрттік шығып қалса), онда бұл бөлікке карта қою тоқтатылады да келесі бөлік басталады. Егер мұндай сәйкестік болмаса, онда бөлік бір санымен бітеді. Және бұл бөлік жабылады, яғни бет жағымен төмен қаратылады.
Корольдер мен дамалардан көрсетілген фокус.
Корольдер мен дамалардан төрт-төрт картадан тұратын екі бөлік аламыз, бірі корольдерден екіншісі дамалардан тұрады. Бөліктер төмен қаратылады және карталар бірінің үстіне бірі тұрады.
Көрерменге біздің сегіз картадан тұратын бөлігімізі бір реет немесе бірнеше реет карта суырып алуын сқрайды. Көрсетуші бөлікті артына аз ғана уақықа жасырады да қөрерменнің алдына екі картаны ашады. Бұл карталар король және дама болады және олар бірдей мәстен болады. Бұл фокусты қалған үш жұпқада оңай жасауға болады.
Түсіндірілуі: көрсетушіге басындағы екі бөліктің мәстерінің тізбегі бірдей болуын қадағаласа болғаны. Ал бөліктен карта алып тастау бұл тізбекті бұзбайды. Ал артына жасырып көрсетуші бөлікті тең бөліп ,екі бөліктенде ең үстіндегі картаны алып ашады. Бұл жұпта әрқашан король мен дама болады және бірдей мәстен болады.
Төрт тузбен көрсетілетін фокус.
Көрсетуші көрермендердің бірінен он мен жиырманың арасындағы бір санды айтуын сұрайды. Және карталардың ішінен сонша картаны бірінің үстіне бірін қойып бөлік жасайды. Және айтылған санның цифрларының қосындысын шығарып сонша картаны бөліктің үстінен алып тастайды да қалған карталарға қосады. Және бөліктің қалған карталарының ең үстіңгісін алып бір шетке төмен қараған күйінде қояды. Қалған бөлікті карталарға қосады. Көрсетуші осы шеттегі карта саны төртке жеткенше жоғарыда жасағандарын қайталайды. Бұл төрт карта да туз болады.
Түсіндірілуі: фокус басталмастан бұрын туздарды жоғарыдан тоғызыншы, оныншы, он бірінші, он екінші орындарға қою керек.
Қалғандары өзінен өзі шығады.
1.3 Ұсақ заттармен жасалатын фокустар
Ойын сүйектері
Ойын сүйектері де карталар секілді ескі және көпке түсініксіз ойын түрі.
Сонда да ежелгі Грецияда , Мысырда және Шығыста дәл қазіргі замандағыдай ойын сүйектері болған яғни бірден алтыға дейін цифрлары бар куб және оның қарама-қарсы жақтарындағы цифрларының қосындысы жетіге тең .Ал оның формасы куб дұрыс көпжақ болуымен ерекшеленеді .
Оны дайындау жеңіл және куб көпжақтардың ішінде айналатын түрі.
Қосындысын табу.
Көрсетуші көрермендерден теріс айналып тұрады, бұл уақытта олардың біреуі үстелге үш сүйекті лақтырады. Содан соң көрермендер үш сүйектен шыққан цифрларды қосуын ,солардың ішінен бір сүйекті аладыда оның төменгі жағындағы санды шыққан санға қосуын және сол сүйекті лақтырып нәтижесін шыққан сомаға қосуын қорытындысын айтуды сұрайды.
Көрсетуші қай сүйектен екі рет лақтырғанын білмейтіндігіне көрермендердің назарын аудара отырып , үш сүйекті де қолдана алады да қосындыны дәл айтып береді
Түсіндірілуі: Сүйектерді қолына жинар алдында олардың жоғарғы жақтарындағы цифрлардың қосындысын шығарып алады да оған жетіні қосып нәтижені шығарады.
Лақтырылған сүйектердің цифрларын табу
Ойын сүйектерімен жасалатын қызықты фокустар көп. Солардың бірі лақтырылған сүйектердің цифрларын табу.
Көрермен үш ойын сүйегін үстелдің үстіне лақтырады. Бұл уақытта көрсетуші теріс қарап тқрады. Яғни, лақтырылған сүйектерді көрмейді, Лақтырылған сүйектердің бірінде шыққан сан екіге көбейтіледі, шыққан көбейтіндіге бес қсылады және нәтижесі тағы беске көбейтіледі. Шыққан
сомаға лақтырылған сүйектердің екіншісінде шыққан соң қосылады да, ол онға көбейтіледі. Және ең соңғы лақтырылған сүйектердің үшінщісінен шыққан сан нәтижеге қосылады. Көрссетуші нәтижеде шыққан санды естігенде лақтырылған сүйектерде шыққан үш санды атайды.
Түсіндірілуі: көрсетуші соңғы нәтижеден екі жүз елуді тастайды.
Айырмадан шыққан үш цифр лақтырылған сүйектердегі үш цифр болады.
Домино
Домино математикалық фокустарда карталар мен ойын сүйектеріне қарағанда аз кездеседі . Төменде оқитын фокус өте кең таралған фокустардың
Бірі.
Үзілген тізбек
Көрсетуші бір рет қағазға болжау жасады да, ешкімге көрсетпей үстелге қояды. Домино сүйектерін араластырады. Сосын ,домино ойынындағыдай, бірдей шеттерін бір-біріне жалғай тізбектеп орналастырады. Орналастырып болған соң тізбектің екіншісіндегі сандарға қарайды. Көрсетушінің ойын басталмастан бұрын жазған қағазын қарайды, онда осы тізбектің шетінде орналасқан сандар жазылған.
Түсіндірілуі: Көрсетуші басталардың алдында бір домино сүйегін білдіртпей тығып қояды да, сол сүйектің екі шетіндегі сандарды қағазға жазады. Доминоның барлық жиырма сегіз сүйегін жалғасақ үзілмегіен тізбек шығатын еді. Ал олардың ішінде жоқ сүйегі оның үзілген жеріндегі екі шетінің мәәндерімен сәйкес келеді.
Он үш сүйектен тұратын қатар
Міне доминомен жасалатын өте қызықты фокустардың бірі. Бұл фокус үшін он үш домино сүйегі қажет және олар төмен қарап жату керек.
Көрсетуші бөлмеден шыға тұрады. Көрсетуші жоқта көрермендердің біреуідомино сүйегінің кез келген санын қатардың басынан соңына дейін орнын ауыстырады ( бір ден он екіге дейін ) . Содан соң көрсетуші бөлмеге қайта оралады және бір домино сүйегін ашады, ондағы очко саны ауыстырылған сүйектер санына тең болады.
Күнтізбелер
Күнтізбелердің көмегімен көптеген математикалық фокус көрсетуге болады. Солардың бірнешеуін төменде мысалға келтіре кетейік.
Құпия шырщалар .
Көрсетуші күнтізбеден теріс қарап тұрады. Көрермендердің бірі күнтізбенің кез келген бір айындағы тоғыз цифрдан тұратын шаршыны белгілеп алады да, солардың ішіндегі ең азын айтады. Енді көрсетуші тез есептеп сол тоғыз санның қосындысын шығарып береді.
Түсіндірілуі: Көрсетуші айтылған санға сегізді қосып, тоғызға көбейтеді. Сонда қажет нәтижемізде шығады.
Күннің жадын белгілеу арқылы көрсетілетін фокус
Көрерменге айлық күнтізбені ашып, кез келген айдың бес жолынан (жалпы жол саны арасында алты болады,и бірақ алтыншы бағанға көбіне назар аударылмайды) бір - бірден өзі қалаған бір күннің жадын домалақтап белгілеуді сұрайды. Бұл кезде көрсетуші теріс айналып тұрады, яғни көріп тұрмайды.
Сол теріс қарап тұрған күйінде ол көрерменнен сізге неше дүйсенбі белгіленді? деп сұрайды. Ары қарай неше сейсенбі?, солай жалғастырып неше жексенбі екенін сұрап, жауабын алады. Жауаптары естігеннен кейін көрсетуші көп ойланбай белгіленген күндердің қосындысын шығарады.
Түсіндірілуі: күнтізбенің әр айының (ақран айы кей уақытта бұл тізімнен шығып қалады ) бірінші жұлдызынан басталатын бағынындағы сандардың қосындысы әрқашан жетпіс беске тең болады . Келесі бағанда белгіленген әрбір сан бұл қосындыны бірге арттырады, ал келесі бағандағы сан екіге және солайй кете береді .Ал сол бағанның алдындағы бағанда белгіленген сан бірге кемиді, оның алдыңғысы бағанғада белгіленген сан бірге кеммиді ,оның алдыңдағысы екіге кемиді солай кете береді. Мысалы, айталық айдың бірінщі жұлызы бейсенбіге келген болсын және бір дүйсенбі, бір бейсенбі, үш сенбі белгіленген болсын. Көрсетуші оймен есептеулер шығарады:
75+3x2-1x3=78
және шыққан нәтижені айтады.
Көрсетуші көрермен таңдаған айдың бірінші жұлдызы қай күнге келіп тұрғанын алдын-ала білуі керек.
1.4 Арнайы жабдықталған заттардың көмегімен көрсетілген фокустар.
Алты шаршымен көрсетілген фокус
Бұл фокус сандар жазылған алты шаршы плаастинканың көмегімен көрсетіледі. Пластинкалар сан жазылған жағы төмен қараған күйінде үстелге жайылады. Көрсетуші теріс қарап тұрады, бұл уақытта көрермендердің бірі бір пластинканы ашып санын қарайды да қалған пластинкалармен араластырып тастайды. Енді көрсетуші үстелге қарайды да пластинкаларға қолындағы қарындашын тигізеді. Ал көрермендер өзі қарап алған санның әріптерін бір пластинкаға бір әріптен келетіндей ішінен айтып тұрады. Санның соңғы әріпін айтқанда көрсетуші тоқтап қалады да, тоқтаған пластинкасын ашады. Ол пластинкада әрине көрермен қарап алған сан болады .
Түсіндірілуі : Ең бірінші қарындашпен түртуі өзі ойлаған қатар бойынша жасалады. Ал келесі түртуі мынандай тізбек бойынша: 104, 42, 75, 204, 314, 409 жасалады. Көрсетушіге бұл қатарды жаттау оңай болады. Өйткені шаршылардың түстері әр-түрлі болады. Әрбір шаршыны түсіне сәйкес жаттап алады. Бұл фокус 104(жүз төрт ) санында жеті әріп, ал қалғандарында бір әріптен арта беретіндіктен жүзеге асады.
2 Мектепте өткізілетін қызықты сабақтар
2.1 Мектеп оқушыларына арналған математикалық фокустар
Мектеп оқушыларына арналған математикалық фокустарды мұғалімдер математикадан жарыстар, ойындар өткізгенде пайдаланады. Бұл арқылы оқушылардың математикаға деген қызығушылығын арттыруға, логикасын дамытуға және және тереңнен ойлануға үйретуге болады.
Математикалық фокустар.
а) Туғанайдың ... ...21-ге шыққан санды 16-ға кеміт, шыққан санды 5-ке кеміт. Нәтижесі бойынша туғанайды айтуға болады. Мысалы:туған ай ... ... онда реті 9-ды 21-ге ... ... +21=30), оны 16-ға кеміту (30-16=14) керек. Алынған ... ... ... (14-5=9), яғни ... айы ... айтып беру керек.
ә) туған күнге 20-ны қосып, шыққан санға 17-ні азайту керек. Алынған нәтижені 3-ке кемітсе, туған күн шығады. ...27... 27+ 20=...30-3... Бір сан ... оған 15-ті ... ... санды 13-ке кеміт.
Нәтижесін айтқызып, оны 2-ге кеміт. Шыққан сан ойлаган сан болады.
Мысалы:
6+5=21, 21-13=8, 8-2=... ... ... математикалық ойыны. Мұғалімдерге осындай кештер, танымдық ойындар өткізуде кәдеге асар деген ниетпен төменде... ... ... ... ... пәнге қызығушылығын арттыру.
Шығармашылықпен жұмыс істеуге ынталандыру, білімге деген талпыныс, ізденістерін ояту.
б) Қағаз бетшесінде төмендегі жазбаны жазып
1000
30
1000
40
1000
20
1000
10
Барлық сандарды қағаз бен жауып, жоғарыдан төмен қарай кезек кезегіне аша отыра, оқушыдан жылдам қосуды сұрау керек. Сонда оқушы жауабын айтады. Оқушы дұрыс есептей ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz