Функциялардың өсуі және кемуі. Экстремумдар


1 Функциялардың өсуі және кемуі. Экстремумдар
2. Тригонометриялық функциялардың өсуі және кемуі. Ең ал.
1. Функциялардың өсуі және кемуі. Сендер есетін және ке-митін функциялар үғымымен таныссыңдар. Мәселен, 39-суретте [—1; 10] кесіндісінде анықталған функцияның графигі кескінделген. Бұл функция [—1; 3] және [4; 5] кесінділерінде өседі, [3; 4] және [5; 10] кесінділерде кемиді. у = хг функциясының( — оо ; 0 ] аралығында кемитіні және [ 0 ; оо ) аралығында өсетіні белгілі. Бұл функцияның графигі л-тің мәні — оо теноо -ке дейін өзгергенде нелге дейін «төмсндейді» (функцияның 0 нүктесіндегі мәні нөлге тең), ал сонан соң шексіздікке дейін «жоғарылайды» (20-суретке қара).
А н ы қ т а м а. Егер Р жиынынан алынған хг > х\ болатын кез келген х\ мен .хг үшін / ( хг) < / ( х\) теңсіздігі орындалатын болса, онда / функциясы Р жиынында өседі.
А н ы қ т а м а. Егер Р жиынынан алынған хг > х\ болатын кез келген А-І мен хг үшін / (л-2) < / ( х\) теңсіздігі орындалатын болса, онда / функциясы Р жиынында кемиді.
Басқаша айтқанда, егер Р жиынынан алынған аргументтің үлкен мэніне функцияның үлкен мәні сәйкес болатын болса, онда / функциясы осы жиында өсетін функция деп аталады. Егер аргументтің үлкен мәніне функцияның кіші мәні сәйкес болса, онда / функциясы Р жиынында кемитін функция деп аталады.
О 1-м ы с а л. / (.V ) = х" ( п € N) фуйкциясы п тақ болғанда сан түзуінің өн бойында еседі, ал п жүп болғанда / ( х ) = х" функ-циясы [ 0 ; оо ) аралығында өседі және ( - °° ; 0 ] аралыгында ке-миді.
Ең алдымен /(х) — х" функция-сы п кез келген натурал сан болғанда [ 0 ; оо ) аралығында өсетінін далелдейік. Айталық, хг > лі > 0 болсын. Сонда дәреженің касиеті бой-ынша л- г > х 1 болады. Енді п жүп болғандағы жағдайды қарастырамыз. Айталық, л'і<лг^0 болсын.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Көлемі: 9 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 300 теңге




Функциялардың өсуі және кемуі. Экстремумдар

1. Функциялардың өсуі және кемуі. Сендер есетін және ке-митін функциялар
үғымымен таныссыңдар. Мәселен, 39-суретте [—1; 10] кесіндісінде анықталған
функцияның графигі кескінделген. Бұл функция [—1; 3] және [4; 5]
кесінділерінде өседі, [3; 4] және [5; 10] кесінділерде кемиді. у = хг
функциясының( — оо ; 0 ] аралығында кемитіні және [ 0 ; оо ) аралығында
өсетіні белгілі. Бұл функцияның графигі л-тің мәні — оо теноо -ке дейін
өзгергенде нелге дейін төмсндейді (функцияның 0 нүктесіндегі мәні нөлге
тең), ал сонан соң шексіздікке дейін жоғарылайды (20-суретке қара).
А н ы қ т а м а. Егер Р жиынынан алынған хг х\ болатын кез келген х\
мен .хг үшін ( хг) ( х\) теңсіздігі орындалатын болса, онда
функциясы Р жиынында өседі.
А н ы қ т а м а. Егер Р жиынынан алынған хг х\ болатын кез келген а-і
мен хг үшін (л-2) ( х\) теңсіздігі орындалатын болса, онда
функциясы Р жиынында кемиді.
Басқаша айтқанда, егер Р жиынынан алынған аргументтің үлкен мэніне
функцияның үлкен мәні сәйкес болатын болса, онда функциясы осы жиында
өсетін функция деп аталады. Егер аргументтің үлкен мәніне функцияның кіші
мәні сәйкес болса, онда функциясы Р жиынында кемитін функция деп аталады.
О 1-м ы с а л. (.V ) = х" ( п € N) фуйкциясы п тақ болғанда сан
түзуінің өн бойында еседі, ал п жүп болғанда ( х ) = х" функ-циясы [ 0 ;
оо ) аралығында өседі және ( - °° ; 0 ] аралыгында ке-миді.
Ең алдымен (х) — х" функция-сы п кез келген натурал сан болғанда [ 0 ;
оо ) аралығында өсетінін далелдейік. Айталық, хг лі 0 болсын. Сонда
дәреженің касиеті бой-ынша л- г х 1 болады. Енді п жүп болғандағы
жағдайды қарастырамыз. Айталық, л'ілг^0 болсын.

Сонда

-Л'і -.*2 0 және (-лгі)" (-хг)" 0, яғни х" х\ болады. Со-
нымен, (х) = х" функциясының п жүп болғанда ( — °° ; 0'і
аралығында кемитінін дәлелдейік. Енді п тақ болған жағдайды
қарастыру қалды. Егер х\ 0 л'2 болса, онда л'" 0 хі боларі
ды. Егер л'і \г 0 болса, онда - *і — л'2 0 , сондықтан да
( - л;і)" ( - л-2)" ^ 0 , яғни - х"\ - х\ , осыдан х'{ х" шығады.
Сөйтіп, п тақ болғанда хг л-і теңсіздігінен хг х" теңсіздіп
шығады. Анықтама бойынша п тақ болғанда ( х ) = х" функ-
циясы бүкіл сан түзуінін бойында өседі. ^
2-м ы с а л. Егер у = (х) функциясы Р жиынында өсетің болса, онда у = —
(х) функциясы Р жиынында кемитінің дәлелдейміз. Айталық, л'і мен хг Р
жиынынан алынған хг Хі бо-латын кез келген екі сан болсын. — (л*г) —
(.Хі) , яғни (л- ) (.\'г) болатынын дәлелдеу керек. Бірақ бұл функци-
ясы } жиынында өседі дегсн шарттың салдары екені айқын.
3-м ы с а л. (х) =-. функциясы (- °о ; 0) және (0 ; оо ) аралықтарының
әрқайсысында кемиді (өздері^, дәлелдсңдер). Алайда бұл функция осы
аралықтардын бірігуінде кемитін функция болып табылады. Мысалы, 1 - 1 ,
бірақ (1)(- 1). •
Функцияларды өсуі және кемуі жағынан зерттегеңде өсетін және кемитін
аралықтарының ең үлксн ұзындығын үштарымен қоса (әрине, егер олар осы
аралықтарға тиісті болса), көрсету, қабылданған. Мәселен, (х) = -
функциясы [2; 100] кесіндісінд^

кемиді деп айтуға болар еді. Бүл тура, бірақ мүндай жауап толық
болмайды.
Е с к е р т у. Жүп және тақ функциялар үшін өсетін және ке-
митін аралықтарды табу есебі біршама ықшамдалады, ол үшін бүл аралықтарды
х0 болғанда табу жеткілікті (40-сурет).
Айталық, мысалы, функциясы жүп және [а; Ь], мүндағы Ь а 0 ,
аралығында өсетін болсын. Бүл функция [—Ь, —а] аралығында кемитінін
дәлелдейік.
Шыньшда, —а хг Х\ -Ъ болсын. Сонда (-аҮ) =(л-2), (—х\) =(л-і),
оның үстіне а -л-2 —Лі ^ Ъ және функциясы [а; Ъ\ кесіндісінде
өсетін болғандықтан, (- лҮ) (—Хт), яғни
(л'і) (л-2) шығады.
2. Тригонометриялық функциялардың өсуі және кемуі. Ең ал-
дымен синустың - ^ + 2 лп ; ү + Ъіп ,і£2, аралықтарында өсетінін
дәлелдейміз. Синустың периодтылығына сүйеніп дэлелдеуді " Т Т кесіндісі
үшін жүргізсе жетілікті. хг х болсын делік. Синустардың айырмасының
формуласын қолданып, мынаны табамыз:
(1)
— ~ .V, х2 °~ тсңсіздіктерінсн 0 Хг ~ Л ^ және
— ^ Д 2 л- ~ теңсіздіктері шығады. Сондықтан
со5 Л * Л2 0 , зіп— ^- 0 . (1) теңдіктен зіпд:2- яіпл-, айырмасы оң
ексндігі шығады, яғни 5Іпл-2 зіпхі . Сонымен, көрсетілген аралықтарда
синустың есетіні дәлелденді.
к

аралығында синустың ке-митшдіп де осылаиша дәлелденеді.
Бірлік шеңберді пайдаланып, шыққан ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Үзіліссіз функциялардың локальды қасиеттері. Элементар функциялардың үзіліссіздігі
Экономиканың өсуі
Жемісті өсімдіктердің өсуі және жеміс салудың заңдылықтары
Кейбір элементар функциялардың анықтамасы және олардың қасиеттері
Марқакөл көліндегі леноктың өсуі
Дүниежүзі халқының саны және ұдайы өсуі
Әлем халқының ұдайы өсуі. Халықтың өсу заңдылықтары
Аралықта үзіліссіз функциялардың қасиеттері
Өсімдіктің және оның жеке органдарының өсуі
Қазақстандықтардың өмір сүру сапасының өсуі
Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор №1 болып табылады.

Байланыс

Qazaqstan
Phone: 777 614 50 20
WhatsApp: 777 614 50 20
Email: info@stud.kz
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь