Сызықты Навье – Стокс жүйесі үшін кері есептің шешімінің алгоритмін параллельдеу
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 8
1. НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 10
1.1 Математикалық физиканың негізгі есептері ... ... ... ... ... ... ... ... . 10
1.2 Параболалық типті айырымдылық схемалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 13
1.3 Сызықты Навье.Стокс жүйесі үшін кері есептің жалпы түсінігі ... ... .. 24
1.4 Сызықты Навье.Стокс жүйесі үшін кері есептің математикалық моделі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 25
1.5 Сызықты Навье.Стокс теңдеулер жүйесіне интегралдық, қосымша анықталған, шартпен қойылған кері есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 28
2. САНДЫҚ ӘДІС ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 40
2.1 Сызықты Навье.Стокс теңдеулер жүйесі үшін тура есептің математикалық моделі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 40
2.2 Сызықты Навье.Стокс теңдеулер жүйесі үшін тура есепті сандық шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 40
2.3 Сызықты Навье.Стокс теңдеулер жүйесі үшін кері есептің математикалық моделі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 43
2.4 Сызықты Навье.Стокс теңдеулер жүйесі үшін кері есепті сандық шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 44
3. ПАРАЛЛЕЛЬДІ АЛГОРИТМ ҚҰРУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 47
3.1 Параллель программалау дамуының хронологиясы ... ... .. ... ... ... ... 47
3.2 Процессорлардың көптүрлiлiгi. Топология ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 50
3.3 Параллель программалаудың тиімділігін бағалау ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 54
3.4 С++ программалау тілі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 58
3.5 OpenMP технологиясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 61
3.6 Бағдарлама алгоритімін парллельді жүзеге асыру ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 62
4. ЕСЕПТЕУ ЭКСПЕРИМЕНТІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 64
5. САНДЫҚ НӘТИЖЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 65
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 70
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 71
ҚОСЫМША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 72
1. НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 10
1.1 Математикалық физиканың негізгі есептері ... ... ... ... ... ... ... ... . 10
1.2 Параболалық типті айырымдылық схемалары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 13
1.3 Сызықты Навье.Стокс жүйесі үшін кері есептің жалпы түсінігі ... ... .. 24
1.4 Сызықты Навье.Стокс жүйесі үшін кері есептің математикалық моделі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 25
1.5 Сызықты Навье.Стокс теңдеулер жүйесіне интегралдық, қосымша анықталған, шартпен қойылған кері есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 28
2. САНДЫҚ ӘДІС ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 40
2.1 Сызықты Навье.Стокс теңдеулер жүйесі үшін тура есептің математикалық моделі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 40
2.2 Сызықты Навье.Стокс теңдеулер жүйесі үшін тура есепті сандық шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 40
2.3 Сызықты Навье.Стокс теңдеулер жүйесі үшін кері есептің математикалық моделі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 43
2.4 Сызықты Навье.Стокс теңдеулер жүйесі үшін кері есепті сандық шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 44
3. ПАРАЛЛЕЛЬДІ АЛГОРИТМ ҚҰРУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 47
3.1 Параллель программалау дамуының хронологиясы ... ... .. ... ... ... ... 47
3.2 Процессорлардың көптүрлiлiгi. Топология ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 50
3.3 Параллель программалаудың тиімділігін бағалау ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 54
3.4 С++ программалау тілі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 58
3.5 OpenMP технологиясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 61
3.6 Бағдарлама алгоритімін парллельді жүзеге асыру ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 62
4. ЕСЕПТЕУ ЭКСПЕРИМЕНТІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 64
5. САНДЫҚ НӘТИЖЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 65
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 70
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 71
ҚОСЫМША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 72
Бұл жұмыста сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің шешімінің алгоритмін параллелдеу қарастырылады. Кері есептің теориясы дифференциалдық теңдеулер үшін қарқынды дамып келе жатқан математикалық физиканың бір бөлігі болып табылады. Бұл зерттеудің маңыздылығы – көптеген математикалық әдістерді жасап өңдеуге комектеседі, және осы математикалық модельдер арқылы кең класты маңызды мәселелерді шешуге мүмкіндік береді. Мұндай маңызды мәселелерге геофизикада, биологияда, медицинада, экологияда, ортаны қорғау орталықтарында және термоядролық синтезді басқару және т.б. қолданады. Бұл жайт, әрине, заманауи математиканың өзекті мәселелеріне жатады.
Кері есептерді шешу үшін бір немесе бірнеше коэффициенттерді табу керек, сонымен қатар, дифференциалдық теңдеудің немесе дифференциалдық теңдеулер жүйесінің оң жағын, шектік маңайын, есепті шешу жайындағы қосымша мәліметтерге байланысты шектік немесе бастапқы шарттарды анықтау қажет болады. Мысалы, физикалық денеде жылудың таралуын талқыласақ, тура есеп үшін объкттің шекті температурасын білу қажет, оның бастапқы анықталуын және әр мезетте уақытқа тәуелді жылудың таралуын анықтау керек. Кері есеп жағдайында осы параметрлердің ке-келгені белгілі болуы мүмкін. Осындай есептер үшін қойылымды дұрыс анықтау үшін модельдеу процесі барысында қосымша тағы мәлімет керек етеді, мысалыға, денеде температураның таралуы немесе жылудың таралу процесіндегі кейбір интегралдық характеристикалар болуы мүмкін. Мұндай қосымша мәліметтерді осы есеп үшін көбінесе “қайта анықталған” деп атайды.
Кері есептің негізгі теориясы келесі математиктердің жұмыстарында көрсетілген: А.Н.Тихонов, В.К.Иванов, М.М.Лаврентьев, П.С.Новиков, В.А.Марченко, И.М.Гельфанда, Б.И.Левитан, М.Г.Крейн, Л.Д.Фадеев, А.С.Алексеев, В.Г.Романова, А.И.Прилепко, Carleman T.,Borg G., John F., Calderon A.P., Pucci C., Lions J.-L.
Дифференциалдық операторлардың тарылулары қисынды қисынды тарылулар теориясын кейбір нақты Стокс операторына қолданып алынған нәтижелер, сонымен қатар, гидро және газ динамикасының теңдеулерін зерттеу бағытындағы Навье-Стокс тектес есептердің шешімдеріне жасалған бағалаулар барлығының теориялық қызығушылығын тудырады.
Навье-Стокс теңдеуін өте дәл сипаттау үшін үлкен көлемдегі мәліметтерді өңдеу қажет. Бұл мақсатта параллельді есептеуіш жүйелерді қолданған тиімді. Параллелді есептеуіш жүйелерді қолдану (ПЭЖ) есептеу техникасының дамуының стратегиялық бағыты болып табылады.Қазіргі заманғы ғылым мен техника мүмкіндіктерінің "үлкен шақыру" мәселелері: климатты моделдеу, гендік инженерия, интегралдық схемаларды жобалау, қоршаған ортаның ластануының анализі, емдік дәрумендерді жасау және тағы сол сияқтылар - өздерінің анализі үшін әр секундта қалқымалы үтірі бар (1 TFlops) 1000 миллиард операцияларды орындайтын ЭЕМ талап етеді.
Кері есептерді шешу үшін бір немесе бірнеше коэффициенттерді табу керек, сонымен қатар, дифференциалдық теңдеудің немесе дифференциалдық теңдеулер жүйесінің оң жағын, шектік маңайын, есепті шешу жайындағы қосымша мәліметтерге байланысты шектік немесе бастапқы шарттарды анықтау қажет болады. Мысалы, физикалық денеде жылудың таралуын талқыласақ, тура есеп үшін объкттің шекті температурасын білу қажет, оның бастапқы анықталуын және әр мезетте уақытқа тәуелді жылудың таралуын анықтау керек. Кері есеп жағдайында осы параметрлердің ке-келгені белгілі болуы мүмкін. Осындай есептер үшін қойылымды дұрыс анықтау үшін модельдеу процесі барысында қосымша тағы мәлімет керек етеді, мысалыға, денеде температураның таралуы немесе жылудың таралу процесіндегі кейбір интегралдық характеристикалар болуы мүмкін. Мұндай қосымша мәліметтерді осы есеп үшін көбінесе “қайта анықталған” деп атайды.
Кері есептің негізгі теориясы келесі математиктердің жұмыстарында көрсетілген: А.Н.Тихонов, В.К.Иванов, М.М.Лаврентьев, П.С.Новиков, В.А.Марченко, И.М.Гельфанда, Б.И.Левитан, М.Г.Крейн, Л.Д.Фадеев, А.С.Алексеев, В.Г.Романова, А.И.Прилепко, Carleman T.,Borg G., John F., Calderon A.P., Pucci C., Lions J.-L.
Дифференциалдық операторлардың тарылулары қисынды қисынды тарылулар теориясын кейбір нақты Стокс операторына қолданып алынған нәтижелер, сонымен қатар, гидро және газ динамикасының теңдеулерін зерттеу бағытындағы Навье-Стокс тектес есептердің шешімдеріне жасалған бағалаулар барлығының теориялық қызығушылығын тудырады.
Навье-Стокс теңдеуін өте дәл сипаттау үшін үлкен көлемдегі мәліметтерді өңдеу қажет. Бұл мақсатта параллельді есептеуіш жүйелерді қолданған тиімді. Параллелді есептеуіш жүйелерді қолдану (ПЭЖ) есептеу техникасының дамуының стратегиялық бағыты болып табылады.Қазіргі заманғы ғылым мен техника мүмкіндіктерінің "үлкен шақыру" мәселелері: климатты моделдеу, гендік инженерия, интегралдық схемаларды жобалау, қоршаған ортаның ластануының анализі, емдік дәрумендерді жасау және тағы сол сияқтылар - өздерінің анализі үшін әр секундта қалқымалы үтірі бар (1 TFlops) 1000 миллиард операцияларды орындайтын ЭЕМ талап етеді.
1. В 2009 год. Издательство: Московский университетй. Учебное пособие. А.С.Антонов "Параллельное программирование с использованием технологии OpenMP".
2. Сейткулов Е.Н., Райхан М. Критерий сильной разрешимости в целом нелинейного параболического уравнений типа Навье-Стокса. // Вестник Евразийского Национального университета имени Л.Н.Гумилева, 2005, #6(46), -C, 137-139.
3. Райхан М., Стокс операторының қисынды тарылулары. // Межд. Научная конференция ЛОМОНОСОВ 2005 посвящ. 250 летию МГУ: сб. докл. ЕНУ-Астана, 2005, -С.33.
4. Райхан М., Параболалық дифференциалдық теңдеулер жүйесінің бір класы үшін шешімдерінің қасиеттері туралы. // Межд. Научная конференция проблемы современной математики и механики: сб. докл. (20-22 сентября 2005г.) Институт математики-Алматы, 2005,-С.114.
5. Сейткулов Е.Н., Райхан М., Условия существования разделяющей функции для одного класса параболических уравнении. // Межд. Научная конференция ЛОМОНОСОВ 2006 посвящ. 250 летию МГУ: сб. докл. ЕНУ-Астана, 2006, -С.21.
6. Raikhan M., Strong resolvable of the Navier-Stockes type equations with periodical boundary conditions. // Межд.науч.конф. по весовые оценки дифференциальных операторов и их приложения, сб. докл. (03-06 сентября 2007г.)/ ЕНУ-Астана, 2007,-С.49.
7. Райхан М., Бір Навье-Стокс тектес параболалық теңдеудің шешімін бағалау. // Межд.науч.конф. по актуальные вопросы теории дифференциальных уравнении с частными производными и их приложения. сб. тезисов (15-17 сентября 2008г.)/ ЕНУ-Астана, 2008,-С.58.
8. Райхан М., Стокс операторының қисынды тарылулары туралы. // Вестник Карагандинского университета: #6(52) /2008,Серия Математика-C,99-102.
9. Raikhan M., Baiburin M.M, About the correct restrictions of Stokes operator.// Abstracts of the third congress of the world mathematical society of Turkie countries. (Almaty, June 30 – July 4, 2009). Volume 1. P.271.
10. Рыскелді Н., Сызықты Навье – Стокс жүйесі үшін кері есептің шешімінің алгоритмін параллельдеу. // V Республиканская научно-практическая студенческая конференция по математике, механике и информатике. Сб.докладов.(Астана, 5-6 апреля, 2013г. )
2. Сейткулов Е.Н., Райхан М. Критерий сильной разрешимости в целом нелинейного параболического уравнений типа Навье-Стокса. // Вестник Евразийского Национального университета имени Л.Н.Гумилева, 2005, #6(46), -C, 137-139.
3. Райхан М., Стокс операторының қисынды тарылулары. // Межд. Научная конференция ЛОМОНОСОВ 2005 посвящ. 250 летию МГУ: сб. докл. ЕНУ-Астана, 2005, -С.33.
4. Райхан М., Параболалық дифференциалдық теңдеулер жүйесінің бір класы үшін шешімдерінің қасиеттері туралы. // Межд. Научная конференция проблемы современной математики и механики: сб. докл. (20-22 сентября 2005г.) Институт математики-Алматы, 2005,-С.114.
5. Сейткулов Е.Н., Райхан М., Условия существования разделяющей функции для одного класса параболических уравнении. // Межд. Научная конференция ЛОМОНОСОВ 2006 посвящ. 250 летию МГУ: сб. докл. ЕНУ-Астана, 2006, -С.21.
6. Raikhan M., Strong resolvable of the Navier-Stockes type equations with periodical boundary conditions. // Межд.науч.конф. по весовые оценки дифференциальных операторов и их приложения, сб. докл. (03-06 сентября 2007г.)/ ЕНУ-Астана, 2007,-С.49.
7. Райхан М., Бір Навье-Стокс тектес параболалық теңдеудің шешімін бағалау. // Межд.науч.конф. по актуальные вопросы теории дифференциальных уравнении с частными производными и их приложения. сб. тезисов (15-17 сентября 2008г.)/ ЕНУ-Астана, 2008,-С.58.
8. Райхан М., Стокс операторының қисынды тарылулары туралы. // Вестник Карагандинского университета: #6(52) /2008,Серия Математика-C,99-102.
9. Raikhan M., Baiburin M.M, About the correct restrictions of Stokes operator.// Abstracts of the third congress of the world mathematical society of Turkie countries. (Almaty, June 30 – July 4, 2009). Volume 1. P.271.
10. Рыскелді Н., Сызықты Навье – Стокс жүйесі үшін кері есептің шешімінің алгоритмін параллельдеу. // V Республиканская научно-практическая студенческая конференция по математике, механике и информатике. Сб.докладов.(Астана, 5-6 апреля, 2013г. )
Пән: Информатика, Программалау, Мәліметтер қоры
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 60 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 60 бет
Таңдаулыға:
Әл – Фараби АТЫНДАҒЫ ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ
МЕХАНИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТІ
МАГИСТРАТУРА
Информатика кафедрасы
МАГИСТРЛЫҚ ДИССЕРТАЦИЯ
СЫЗЫҚТЫ НАВЬЕ – СТОКС ЖҮЙЕСІ ҮШІН КЕРІ ЕСЕПТІҢ ШЕШІМІНІҢ АЛГОРИТМІН
ПАРАЛЛЕЛЬДЕУ
(6M060200-Информатика)
Орындаушы ___________ Рыскелді.Н.Н "____"
_________2013 ж.
Ғылыми жетекші
ф.-м.ғ.к.,доцент __________ Макашев Е.П. "____"
_________2013 ж.
Қорғауға жіберілді
Кафедра меңгерушісі ___________ Урмашев Б.А. "____"
_________2013 ж.
Алматы 2013
СЫЗЫҚТЫ НАВЬЕ – СТОКС ЖҮЙЕСІ ҮШІН КЕРІ ЕСЕПТІҢ ШЕШІМІНІҢ АЛГОРИТМІН
ПАРАЛЛЕЛЬДЕУ
Түйін
Магистерлік жұмысқа кіреді: кіріспе, үш тараудан негізгі бөлім,
қорытынды, қолданылған әдебиеттер тізімі.
Жұмыс 71 бет, 20 суреттен тұрады. Қолданылған әдебиеттер тізімінің
саны-10.
Бұл магиcтерлік жұмыста сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің
шешімінің алгоритмін параллелдеу қарастырылады. Кері есептің теориясы
дифференциалдық теңдеулер үшін қарқынды дамып келе жатқан математикалық
физиканың бір бөлігі болып табылады. Бұл зерттеудің маңыздылығы – көптеген
математикалық әдістерді жасап өңдеуге комектеседі, және осы математикалық
модельдер арқылы кең класты маңызды мәселелерді шешуге мүмкіндік береді.
Мұндай маңызды мәселелерге геофизикада, биологияда, медицинада, экологияда,
ортаны қорғау орталықтарында және термоядролық синтезді басқару және т.б.
қолданады. Бұл жайт, әрине, заманауи математиканың өзекті мәселелеріне
жатады.
Кері есептерді шешу үшін бір немесе бірнеше коэффициенттерді табу
керек, сонымен қатар, дифференциалдық теңдеудің немесе дифференциалдық
теңдеулер жүйесінің оң жағын, шектік маңайын, есепті шешу жайындағы қосымша
мәліметтерге байланысты шектік немесе бастапқы шарттарды анықтау қажет
болады.
Магистрлік жұмыстан алынған жаңа нәтижелерді келесідей атап айтуға
болады:
– Сызықты Навье-Стокс жүйесі кері есептің жалпыланған шешімділігі
дәлелденді;
– Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің шекті-айырымдық айқын
схемасы құрылды;
– Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің бір өлшемді
аналогының сандық мәні алынды;
– Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің шешімінің алгоритмі
OpenMP технологиясын пайдалану арқылы параллелденді;
– Параллелдеу барысында құрылған алгоритмнің орындалуы уақыт жағынан
жоғарғы үнемділікке жетті.
Диссертация нәтижесінің апробациясы:
Рыскелді Н., Сызықты навье – стокс жүйесі үшін кері есептің шешімінің
алгоритмін параллельдеу. Математика, механика и информатика бойынша V
Республикалық ғылыми-практикалық студенттік конференция. Баяндамалар жинағы
(Астана, 5-6 сәуір, 2013г. )
РАССПАРАЛЛЕЛИВАНИЕ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ
СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКС
Резюме
Магистерская работа включает в себя: введение, основную часть,
состоящую из трех разделов, заключение, список использованных источников.
Работа состоит из 71 страниц, 20 рисунков. Список литературы содержит
8 наименования.
В этой магистерской работе рассматривается распараллеливание алгоритма
решения обратной задачи для линеризованной системы Навье-Стокса. Теория
обратных задач для дифференциальных уравнений является интенсивно
развивающейся областью математической физики. Интенсивность исследований в
этой области обусловлена необходимостью разработки математических методов
решения обширного класса важных прикладных проблем. К этим проблемам
относятся разнообразные задачи из самых разных отраслей науки, а именно в
сейсмологии, геофизики, биологии, медицине контроле качества промышленных
изделий, экологии, охране окружающей среды и управляемого термоядерного
синтеза и т.д., что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной
математики.
В обратных задачах помимо решения требуется найти один или несколько
коэффициентов, правых частей дифференциальных уравнений или системы
дифференциальных уравнений, границ области, граничных или начальных условий
по той или иной дополнительной информации о решениях уравнений.
В магистерской работе получены следующие результаты:
– Доказана обобщенная разрешимость обратной задачи для
линеризованной системы Навье-Стокса;
– Построена гранично-разностная явная схема обратной задачи для
линеризованной системы Навье-Стокса;
– Получена численное значение аналога одномерной обратной задачи для
линеризованной системы Навье-Стокса;
– Исрользуя технологию OpenMP была распараллелина обратной задачи для
линеризованной системы Навье-Стокса;
– В ходе распараллеливание построенный алгоритм при выполнении достиг
высого результата по экономии времени.
Апробация диссертационных выводов:
Рыскелді Н., Расспараллеливание алгоритма решения обратной задачи для
линеаризованной системы Навье – Стокс. V Республиканская научно-
практическая студенческая конференция по математике, механике и
информатике. Сб.докладов.(Астана, 5-6 апреля, 2013г. )
PARALLEL ALGORITHM DESIGN FOR LINEAR NAVIE-STOCKS INVERSE PROBLEM
Summary
Master's work includes: introduction, main part, consisting of three
sections, the conclusion, list of references.
The paper consists of 71 pages, 20 figures. References contains 8
items.
In this master's work the parallelization of the algorithm for solving
the inverse problem for the linerizovannoy of the Navier-Stokes equations.
The theory of inverse problems for partial differential equations is a
rapidly developing field of mathematical physics. The intensity of research
in this area is due to the need to develop mathematical methods for solving
a broad class of important practical problems. These problems include a
variety of tasks from different branches of science, namely the science of
seismology, geophysics, biology, medicine, quality control of industrial
products, ecology, environmental protection and controlled thermonuclear
fusion, etc., that puts them in a number of urgent problems of modern
mathematics.
In addition to solving inverse problems need to find one or more
factors, the right-hand sides of differential equations or systems of
differential equations, boundary area, the boundary or initial conditions
for some more information about the solutions of the equations.
In the master's work with the following results:
– A generalization of the inverse problem for linerizovannoy the Navier-
Stokes equations;
– Built-bound-difference scheme is a clear inverse linerizovannoy for
the Navier-Stokes equations;
– We obtain the numerical value of the one-dimensional analogue of the
inverse problem for linerizovannoy of the Navier-Stokes equations;
– Isrolzuya OpenMP technology was rasparallelina linerizovannoy
inverse problem for the Navier-Stokes equations;
– During the parallelization of the algorithm built in the performance
achieved High luminance of the time-saving;
Testing dissertation findings:
Ryskeldі N., Rassparallelivanie algorithm for solving the inverse
problem for the linearized Navier - Stokes. V Republican scientific-
practical conference of students in mathematics, mechanics and computer
science. Sb.dokladov. (Astana, April 5-6, 2013.)
АНЫҚТАМАЛАР
ПЭЖ − Параллелді есептеуіш жүйелер
Абсолютті (сөзсіз) аппроксимация − кез-келген заң бойынша ешбір шартсыз
байланыспаудың болғанда нөлге ұмтылатын аппроксимация түрін айтады
Параллель компьютер − жалпы міндеттерді шешуде бірігіп жұмыс істей алатын
процессорлардың жиынтығы
Параллель программа – әр процесс өзiнiң жеке процессорында орындалатын
программа, демек, процесс параллель орындалады
КПЕЖ − көп процессорлы есептеуіш жүйелер
Талдап тексеру дәрежесi – тоқталғанға дейiнгi немесе үзiлгенге дейiнгi
элементар процессор орындайтын типтiк кодтар ағынынң ұзындығы
Басқарудың әртүрлiлiгi – басқару блогының өңделетiн элементке қатынасы және
әдетте ол Флиннiң SIMD категориясында сипатталған компьютерлерге
қолданылады
Желi диаметрi – кез-келген екi торап арасындағы ең ұзын жол
Масштабтау (scalability) – желiге қосылған торап санын өсiргенде
байланыстың күрделiлiгi қаншалықты өсетiнiн бiлудi қажет ететiн қасиет
Баньян желiсi – ауыстырғыштары бар көпбаспалдақты желi, оның кiрiстер мен
шығыстар саны бiрдей, iшкi тораптары mxm айырғыш болады
Open MP – компилятор директиваларының және көмекші программалар жиынтығы
НОРМАТИВТІ СІЛТЕМЕЛЕР
Ұсынылған диссертацияда келесі стандарттарғы сілтемелер қолданылған:
ГОСТ 2.111-68 Конструкторлық құжаттаманың біркелкі жүйесі. Нормоконтроль.
МС 7.1-84 Ақпарат, кітапхана және баспа ісі бойынша стандарттар
жүйесі. Құжаттың библиографиялық сипаттмасы. Құрастырудың жалпы талаптары
мен ережелері.
МС 7.9-95 (ИСО 214-76) Ақпарат, кітапхана және баспа ісі бойынша
стандарттар жүйесі. Реферат және аңдатпа. Жалпы талаптар.
МС 7.12-93 Ақпарат, кітапхана және баспа ісі бойынша стандарттар
жүйесі. Библиографиялық жазба. Қысқартылған сөздер. Жалпы талаптар мен
ережелер.
МС 7.32-2001 Ақпарат, кітапхана және баспа ісі бойынша стандарттар
жүйесі. Ғылыми-зерттеу жұмысы бойынша есеп беру. Ресімдеу құралы мен
ережелері.
МС 7.54-88 Ақпарат, кітапхана және баспа ісі бойынша стандарттар
жүйесі. Ғылыми-техникалық құжаттар материалдарында және қасиеттер бойынша
заттардың сандық деректерін көрсету. Жалпы талаптар.
МС 8.417-81 Өлшемдер бірлігін қамтамасыз ететін мемлекеттік жүйе.
Физикалық шама бірліктері.
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 8
1. НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 10
1.1Математикалық физиканың негізгі есептері ... ... ... ... ... ... ... ... . 10
1.2Параболалық типті айырымдылық 13
схемалары ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ...
1.3Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің жалпы 24
түсінігі ... ... ..
1.4Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің математикалық 25
моделі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ..
1.5Сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесіне интегралдық, қосымша 28
анықталған, шартпен қойылған кері
есеп ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ..
2. САНДЫҚ 40
ӘДІС ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ..
2.1Сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесі үшін тура есептің 40
математикалық
моделі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ...
2.2Сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесі үшін тура есепті сандық 40
шешу ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... .. .
2.3Сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесі үшін кері есептің 43
математикалық
моделі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... .
2.4Сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесі үшін кері есепті сандық 44
шешу ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ...
3. ПАРАЛЛЕЛЬДІ АЛГОРИТМ 47
ҚҰРУ ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ..
3.1Параллель программалау дамуының хронологиясы ... ... .. ... ... ... ... 47
3.2Процессорлардың көптүрлiлiгi. 50
Топология ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ...
3.3Параллель программалаудың тиімділігін 54
бағалау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
3.4С++ программалау 58
тілі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ..
3.5OpenMP 61
технологиясы ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ...
3.6Бағдарлама алгоритімін парллельді жүзеге 62
асыру ... ... ... ... ... ... ... . ... ... .
4. ЕСЕПТЕУ 64
ЭКСПЕРИМЕНТІ ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ...
5. САНДЫҚ 65
НӘТИЖЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ...
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... .. 70
... ... ... ... ... ... ... ... .. ...
ҚОЛДАНЫЛҒАН 71
ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ...
ҚОСЫМША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 72
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .
КІРІСПЕ
Бұл жұмыста сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің шешімінің
алгоритмін параллелдеу қарастырылады. Кері есептің теориясы дифференциалдық
теңдеулер үшін қарқынды дамып келе жатқан математикалық физиканың бір
бөлігі болып табылады. Бұл зерттеудің маңыздылығы – көптеген математикалық
әдістерді жасап өңдеуге комектеседі, және осы математикалық модельдер
арқылы кең класты маңызды мәселелерді шешуге мүмкіндік береді. Мұндай
маңызды мәселелерге геофизикада, биологияда, медицинада, экологияда, ортаны
қорғау орталықтарында және термоядролық синтезді басқару және т.б.
қолданады. Бұл жайт, әрине, заманауи математиканың өзекті мәселелеріне
жатады.
Кері есептерді шешу үшін бір немесе бірнеше коэффициенттерді табу
керек, сонымен қатар, дифференциалдық теңдеудің немесе дифференциалдық
теңдеулер жүйесінің оң жағын, шектік маңайын, есепті шешу жайындағы қосымша
мәліметтерге байланысты шектік немесе бастапқы шарттарды анықтау қажет
болады. Мысалы, физикалық денеде жылудың таралуын талқыласақ, тура есеп
үшін объкттің шекті температурасын білу қажет, оның бастапқы анықталуын
және әр мезетте уақытқа тәуелді жылудың таралуын анықтау керек. Кері есеп
жағдайында осы параметрлердің ке-келгені белгілі болуы мүмкін. Осындай
есептер үшін қойылымды дұрыс анықтау үшін модельдеу процесі барысында
қосымша тағы мәлімет керек етеді, мысалыға, денеде температураның таралуы
немесе жылудың таралу процесіндегі кейбір интегралдық характеристикалар
болуы мүмкін. Мұндай қосымша мәліметтерді осы есеп үшін көбінесе “қайта
анықталған” деп атайды.
Кері есептің негізгі теориясы келесі математиктердің жұмыстарында
көрсетілген: А.Н.Тихонов, В.К.Иванов, М.М.Лаврентьев, П.С.Новиков,
В.А.Марченко, И.М.Гельфанда, Б.И.Левитан, М.Г.Крейн, Л.Д.Фадеев,
А.С.Алексеев, В.Г.Романова, А.И.Прилепко, Carleman T.,Borg G., John F.,
Calderon A.P., Pucci C., Lions J.-L.
Дифференциалдық операторлардың тарылулары қисынды қисынды тарылулар
теориясын кейбір нақты Стокс операторына қолданып алынған нәтижелер,
сонымен қатар, гидро және газ динамикасының теңдеулерін зерттеу бағытындағы
Навье-Стокс тектес есептердің шешімдеріне жасалған бағалаулар барлығының
теориялық қызығушылығын тудырады.
Навье-Стокс теңдеуін өте дәл сипаттау үшін үлкен көлемдегі
мәліметтерді өңдеу қажет. Бұл мақсатта параллельді есептеуіш жүйелерді
қолданған тиімді. Параллелді есептеуіш жүйелерді қолдану (ПЭЖ) есептеу
техникасының дамуының стратегиялық бағыты болып табылады.Қазіргі заманғы
ғылым мен техника мүмкіндіктерінің "үлкен шақыру" мәселелері: климатты
моделдеу, гендік инженерия, интегралдық схемаларды жобалау, қоршаған
ортаның ластануының анализі, емдік дәрумендерді жасау және тағы сол
сияқтылар - өздерінің анализі үшін әр секундта қалқымалы үтірі бар (1
TFlops) 1000 миллиард операцияларды орындайтын ЭЕМ талап етеді.
Компьютерлік архитектура мен желілік технологиялардың дамуы, сондай-
ақ есептеудің орасан көп санын талап ететін жаңа, ғылыми және қолданбалы
міндеттердің пайда болуы программалау мен есептеу технологияларында
параллель есептеулердің көкейкестілігі мен болашағы бар екендігін көрсетіп,
программалау мен есептеу технологияларындағы орталық орындардың бірінен
орын алды.
Жоғарғы дәрежелелі өнімділікті есептеуіш жүйелерді құру мәселесі
қазіргі заманғы ғылым мен техникалық есептердің ең күрделісі болып
табылады. Осы мәселені шешу көптеген талантты ғалымдар мен
конструкторлардың білімдері мен күштерін жан – жақты концентрациялағанда
ғана мүмкін, оның үстіне ғылым мен техниканың соңғы жетістіктерін қолдануды
және маңызды финанстік инвестицияларды талап етеді. Сонымен қатар осы
саладағы соңғы кездегі жетістіктер таңқаларлықтай. "Компьютерлік
белсенділікті стратегиялық шектеу" Accelerated Strategic Computing
Initiative – ASCI) бағдарламасы АҚШ-та 1995ж қабылданған, осының негізінде
суперЭЕМ- дердің өнімділігін 18 айда 3 есе арттыру және өнімділік дәрежесін
секунтына 100 триллион операцияларды орындауға арттыру мәселелері болды.
Қазіргі уақытта жылдам әрекет ететін суперЭЕМ-дердің бірі NEC жапон
фирмасының бір векторлық процесстің жылдамдығы секундтына 8 миллиард (8
GFlops) операциялар орындайтын SX-6 компьютері болып табылады. Көп
процессорлы жүйелер үшін қол жеткізілген жылдам әрекет ету көрсеткіштері
әлде қайда жылдам: мысалға, Intel (США, 1997) фирмасының ASCI Red
жүйесінің жылдамдығы секундтына 1,8 триллион (1,8 TFlops) операциялар. Осы
курстың лекйияларын жазу кезіндегі жылдам әрекет етуші есептеуіш жүйелердің
Top 500 тізімінде BlueGeneL есептеуіш комплексі алғашқы қатарда.
1 НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ
1.1 Математикалық физиканың негізгі есептері
Қарапайым дифференциалдық теңдеудің шешімі бір айнымалыға және
т.с.с. тәуелді болады. Көптеген тәжірибелік есептердің шешімі-ізделінетін
функциялар бірнеше айнымалы және берілген мәліметтерге тәуелді теңдеулерге,
ізделінетін функция есептері дербес туынды болады.Олар дербес туынды
теңдеулер деп аталады.
Математикалық қойылымдар дифференциалдық теңдеулермен бірге кейбір
қосымша шарттардан құралады. Егер шешім шектелген облыста ізделінсе, онда
оның шекаралық шарттары беріледі,олар шекаралық (шектік) деп аталады.
Осындай есептер шектік есептер деген атауға ие және дербес туынды
теңдеулерге арналған.
Алғашқы шарттарды қанағаттандыратын мәндері берілген есеп дербес
туынды теңдеулер жүйесі үшін Коши есебі (КЕ) деп аталады. Сол себепті есеп
шығару барысында шексіз кеңістікте шығарылады және шекаралық шарттар
берілмейді. Алғашқы және шекаралық шарттар қойылатын есептер стационарлық
емес (аралас) шектік есептер деп аталады. Алынатын шешімдер уақыт өтуімен
өзгереді.
Дұрыс қойылған есеп алғашқы және шекаралық шарттарын
қанағаттандыратын шешімдері бар, сонымен қатар сол теңдеулердің шарттарының
коэффициенттерінен үзіліссіз тәуелді болатын есептерді атайды.
Қарастырылып отырған облыстың түрлі сеткеларының енгізілуіне
негізделген есептеу әдістерінің ішіндегі түрлі әдістерді қарастырайық.
Барлық туынды, алғашқы және шекаралық шарттар байлам сеткаларының функция
мәндері арқылы беріледі, соның нәтижесінде түрлі схема деп аталатын
сызықтық теңдеулер жүйесі шығады. Сетканың қарастырылып жатқан облысқа
енгізілуіне негізделген дербес туынды теңдеулер шешуіне байланысты түрлі
сеткалар құрастырылады. Сеткалар байламдары есептелетін нүктелер болып
табылады (1-сурет).
1-сурет. Сеткалар байланымы.
a(x(b xi=a+ih1 (I=0,1,...,()
c(y(d yj=c+jh2 (j=0,1,...,J)
Түрлі сеткаларды құрастыру үшін дербес туынды теңдеулер кейбір
шаблондардың шектік түрлі қатынастарымен алмастырылады. Сонда ізделініп
жатқан функцияның нақты мәндері U торлы функциясының мәндерімен u түрлі
байлам сеткаларында алмастырылады.
Айырымдылық схемасы алғашқы және шекаралық шарттар жылу өткішгіштік
теңдеулерін шешу үшін келесі түрде беріледі:
Кез-келген мезетте қарастырылып жатқан [0,1] кесіндісінің аяғында
ψ1(t) және ψ2(t) - температураларының бөлінуі алғашқы және шекаралық
шарттарымен келісілген, яғни болуы керек. Тік бұрышты торды енгізейік
: мұндағы һ,τ-қадамдар.-сетканың байламдарындағы функцияның
мәндері. Сондықтан,
Торлы функцияның ішкі байламдарындағы мәндерін табу үшін алгебралық
теңдеулер жүйесін табамыз. Шекаралық шарттан
(4)
болғанда байламдар жиынтығы қабат деп аталады. (2)-ден
тізбекті мәндерді -нің қабатына лайықты мәндер арқылы -ді
-қабатында табамыз. Мұндай схемалар айқындалған деп
аталады.болғанда есеп басында бастапқы қабаттағы алғашқы шартпен
анықталатын келесі түрдегі шешім қажет :
(5)
Әрбір айырымдылық теңдеу (3) айқын схемаға қарағанда әрбір үш
белгісіз нүктеде жаңа мағына қабатының мәндерін құрайды,сондықтан алдындағы
қабаттың белгілі шешімдері арқылы бұл мәндерді лезде табуға болмайды. Олар
айқынсыз схемалар деген атқа ие. Сонда (3) айырымдық схема сызықтық үш
нүктелік теңдеулерден құралады, бірақ әрбір теңдеу тап осы қабаттың үш
нүктесіндегі белгісіз функциядан тұрады. Ол айдап шығу әдісімен шешіледі.
Тап осы мысалда екі қабатты схеманы қарастырдық,яғни әрбір
айырымдылық теңдеуге екі қабатты функция мәндері –төменгі,қайсыда шешімі
табылған және жоғарғы, байламдағы шешімдері ізделуде кіреді.
Жинақтылық. Аппроксимация. Орнықтылық.
Алғашқы және шекаралық шарттары берілген дифференциалдық есеп дербес
туынды теңдеулермен операторлық түрде құрастырылып жазылады.
(6)
Операторлық теңдеу негізгі дербес туынды теңдеу және қосымша алғашқы
және шекаралық шарттарынан тұратын теңдеуден құралады. теңдеудің
алғашқы және шекаралық шарттарының оң жағын бейнелейді, есептеу
облысынан да, шекарадан да тұрады. (6) дифференциалдық есепті
айырымдылық есебімен алмастырамыз, мұндағы , мұндағы .
(7)
сеткалар байламдарында торлар функциясының мәнін
ізделінетін функцияның мәндерін жуықтап сол байламдағы қателіктермен
алмастырады.
. (8)
енгіземіз.
Егер ( 9) байламдар торлары қоюланса, яғни бұл қателіктер
мәндері нөлге ұмтылады, олай болса айырымдылық схема (7) қосылатын деп
аталады.
Егер мұндағы , онда айырымдылық схемасы k-шы дәлдік ретті
немесе жылдамдығымен қосылады деп те айтады. Тордағы қателікті есептеу
үшін (7) теңдеуін жазайық. (7)-ге қойып,
(10) аламыз.
Айырымдылық схеманың өлшемі байланыспау деп аталады
(аппроксимация қателігі). Өлшемдік сипаттамасын енгізейік.
(11)
болғанда аппроксимация һ-пен салыстырғанда k-ші ретті болады.
(7) айырымдылық схема (6) негізгі дифференциалдық есепті
аппроксимациялайды, егер
(12)
яғни, торды ұсақтаса онда байланыспау нөлге ұмтылады.
Абсолютті (сөзсіз) аппроксимация кез-келген заң бойынша ешбір шартсыз
байланыспаудың болғанда нөлге ұмтылатын аппроксимация түрін
айтады.Шартты аппроксимацияда кеңістік және уақыт бойынша қадамдар
өлшемдеріне кейбір шарттар қойылады. (7) айырымдылық схемасы
орнықтылықтанған деп аталады,егер оның шешімі кіретін мәліметтермен
үзіліссіз байланыста болса, яғни кіретін мәліметтер шамалы аз өзгерсе соған
сай шешімнің мәндері де аздап өзгереді. Орнықтылық айырымдылық схемасының
түрлі қателіктерге сезімталдығын сипаттайды.
Теорема: Егер (6) негізгі дифференциалдық есептің шешімі бар
болса, ал (7) айырымдылық схемасы берілген (6) шешімді
орнықтылайды және аппроксициялайды, сонда айырымдылық шешімі дәлдікке
қосылады.
1.2 Параболалық типті айырымдылық схемалары
Параболалық типті теңдеудің классикалық мысалы жылу өткізгіштің
теңдеуі болып табылады(диффузияя).Біртекті кеңістікте біртекті (энергия
көзінсіз) жылу өткізгіштіктің теңдеуі мынандай түрде болады
(1.2.1)
Егер де шекараларда х=0 және х=l функцияның ізделінетін мәні мына
u(x,t) түрде берілсе,
(1.2.2)
Яғни бірінші тектің шекаралык шарттары және одан баска, алғашқы шарттары
берілген
u(x,0)=ψ(x), 0≤x≤l, t=0,
(1.2.4)
онда (1.2.1)-( 1.2.4) есепті жылу өткізгіштіктің теңдеуінің бірінші
алғашқы-шектік есебі деп атайды (1.2.1).
Жылу алмасу теориясының терминінде u(x,t) – температураның
кеңістіктік-уақыттық ауданында бөлінуі температураөткізгіштік
коэфициенті, ал (1.2..2), (1.2..3) ϕ0(t), ϕl(t) функцияның көмегімен
шекарада мынадай температура береді x=0 и x=l.
Егер де шекарада х=0 және х=1 туындылардың ізделінетін кеңістіктік
мәні берілсе
(1.2.5)
(1.2.6)
Яғни, екінші тектің шекаралық шарттары, онда (1.2.1), (1.2.5), (1.2.6),
(1.2.4) есептерді (1.2.1) жылу өткізгіштік теңдеудің екінші алғашқы-шектік
шарты дейді. Жылу алмасу теориясының терминінде шекаралық жылу ағындары
берілген.
Егер кеңістіктік айнымалы бойынша шекарада сызықтық комбинациялы
іздестірілетін функция берілсе
(1.2.7)
(1.2.8)
Яғни, үшінші тектің шекаралық шартында, онда (1.2.1), (1.2.7), (1.2.8),
(1.2.4) жылу өткізгіштің үшінші алғашқы-шектік теңдеуі деп атайды
(1.2.1).Жылу алмасу теориясының терминінде (1.2..7), (1.2.8) шекаралық
шарттарды газ тәрізді және сұйықтық ортада жылу алмасу арасында және
шекаралық саналы ауданда белгісіз температуралармен беріледі u (0,t),
u(l,t).
Кеңістіктік жылу өткізгіштік аудандарында бірінші алғашқы-шектік
шарт мынандай түрде болады
Сол сияқты (1.2.9) – (1.2.11) кеңістіктік теңдеулердің шарттары
екінші және үшінші алғашқы-шектік шарттарға қойылады.
Практикада әрқашан жылу өткізгіштіктің алғашқы-шектік шарттар аралас
шектік шарттармен қойылғанда, шекарада шекаралық шарттардың әр түрлі
тектері беріледі.
Соңғы әр түрлі әдіс түсініктері. Параболойдтық типті теңдеуде соңғы
әдісте қолдану.Негізгі анықтамалар, соңғы әр түрлі әдістермен байланысқан,
(1.2.1)-( 1.2.4) жылу өткізгіштік теңдеуін соңғы-әр түлі шешімдердің
бірінші алғашқы-шектік шарттарды мысал ретінде қарастырамыз. Кеңістіктік-
уақыттық ауданға қоямыз 0≤x≤l, 0≤t≤T соңғы-әр түрлі сетканы ω hτ
(1.2.12)
Кеңістіктік қадаммен h=lN және уакыт бойынша қадаммен τ=TK (рис 2.1).
Екі қабатты уақытты енгіземіз:
tk=kτ -дың астындағы, u(xj,tk) іздестірілген функциясы, ( k=0 бөлінуі
(1.2.4) (xj,t0)=ψ(xj)) белгілі бастапқы шартпен анықталады және
tk+1=(k+1)τ үстіңгі қабатты уақыт, u(xjj,tk+1), j=0,1,...,N
іздестірілген функциясы анықталуға жарайды.
1.2.1-сурет. Соңғы әр түрлі тор
(1.2.1.)-( 1.2.4) (анықтамасы) есептерінің торлық функциясын j, k бүтін
аргументтердің бірмәнділік көрсетулері функциясының мәні
.
(1.2.12) берілген функцияға бірінші белгілі тордың функциясы, ал
екіншісі – анықталуға жарайтын торлық функциясын енгіземіз.Оның анықталуы
үшін
(1.2.1.)-( 1.2.4) есептерінде (аппроксимациялаймыз) дифференциалдық
операторлардың орнына ауыстырамыз.(Сандық дифференциалдау тақырыбын
қараймыз),
(1.2.13)
(1.2.14)
(1.2.13) формуланы аламыз. (1.2.1.)-( 1.2.4)-не (1.2.13),( 1.2.14)
қойсақ,соңғы әр түрлі жүйені аламыз.Мұндай есепке форма
(1.2.15)
j -барлық теңдеулеріне торлық функция белгілі, ескерту есептемей
(1.2.15) байланысында анықталады. (1.2.15) байланысында (j=0, j=N) шектік
шарттары j=1 және j=N-1 мәндеріне кіретін ,ал алғашқы шарты – k=0.
Егер (1.2.14) кеңістіктік айнымалыда дифференциалдық операторды
үстіңгі уақыттық қабаттың соңғы әр түрлі байланысымен аппроксимацияласақ,
(1.2.16)
онда (1.2.13), (1.2.16)-ны (1.2.1)-( 1.2.4) есептеріне қойсақ,бұл есептің
соңғы әр түрлі түйенің белгісіз екенін көреміз.
(1.2.17)
Енді торлық функцияның үстіңгі уақыттың қабатын СЛАУ (1.2.17) үшдиагональды
матрицаның шешімін табуға болады.Бұл СЛАУ формасы, жарамды өткізу
әдісімен қолданылады да,осындай түрге келеді. Соңғы әр түрлі жүйенің
шаблоны деп оның соңғы әр түрлі түрінің геометриялық мағаналануын
(түсіндірме) айтады.
1.2.2-сурет. Жылу өткізгіштіктің теңдеуінің соңғы әр түрлі схеманың
белгілі және белгісіз шаблонына арналған
1.2.2 суретінде (1.2.15) белгілі және (1.2.17) белгісіз шаблондары
берілген (1.2.1) - ( 1.2.4) есептерін соңғы әр түрлі схемамен
аппроксимациялау.
(1.2.15) белгілі соңғы әр түрлі схемасының жазылған формасы
(1.2.18)
Үстіңгі уақыттық қабаттың шешімі (САТЖ шешімінсіз) шығарылады торлық
функцияның астыңғы уақыттық қабаттың уақыттық шешімінен шығарылады
да, шығарылуы белгілі (k=0 шешімі торлық функциямен формаланып, бастапқы
(1.2.4.) шартпен шығарылады). Бірақ бұл сұлбада заттық жеткіліксіздік бар,
сондықтан ол тұрақты шарт болып табылады, оны τ және h торлық
сипаттамасын аламыз.
Басқа жағынан, белгісіз (1.2.17) соңғы әртүрлі схемасы осындай
формада жазылған.
(1.2.19)
СЛАУ –ды шығару керек екендігіне алып келеді,бірақ бұл схема абсолютті-
тұрақты.
(1.2.18), (1.2.19) схемаларды анализдейміз. Сол дұрыс шешімі
белгісіз болсын, ол уақыт бойынша өседі, басқаша айтқанда . Сонда,(
1.2.18) белгілі схемамен байланысты шығарылуының әр түрлілігі түсірілген
салыстырудың дұрыстылығымен, сондай-ақ меншікті торлық функцияның мәні
келесі уақыттық қабатпен анықталады, яғни шығарылу уақыт бойынша өсетіні
байқалады.
(1.2.19) белгісіз функцияның өсетін шығарылымы, керісінше, шығарылу
дұрыстығына қарағанда көтерілген, яғни торлық функцияның үстіңгі уақыттық
қабатымен анықталады.
Сурет түсудің шығарылуымен ауысады, яғни қарама-қарсы бейнемен:
белгілі соңғы әр түрлі схеманың шығарылуымен көтеріледі, ал белгісіз түседі
( 2.3 суретті қараңыз).
1.2.3-сурет. Аппроксимацияның екі жақты әдісі
Бұл анализдің негізінде құрудың нақты белгілі – белгісіз соңғы әр
түрлі схемаладың таразыларымен кеңістіктік соңғы әр түрлі операторлармен,
сондай-ақ ұсақталған τ және h қадамымен нақты (белгісіз) шығарылуы
″вилканы″ алған, егер белгілі және белгісіз схемалар дифференциалдық
есептерді және бұл тұрақты схемаларды аппроксимациялайды, онда сеткалық
мінездемеге бағытталу және h нөлге ұмтылуы, белгілі және белгісіз
схемаладың шығарылуы әр түрлі жақтан нақты шешімге ұмтылады.
Белгілі және белгісіз сұлбаның жылуөткізгіштік теңдеуінің оңай
түрімен қарастырайық.
(1.2.20) Қайда θ – шекті-әртүрлігінің барлық бөлшек
сұлбасы, 1−θ – барлық белгілі бөлшек үшін, 0≤θ≤1. θ=1 тең болғанда толық
белгісіз сұлба, θ=0 – барлық белгілі сұлба, ал θ=12 - Кранк-Николсон
сұлбасы болады. Кранк-Николсон (θ=12) сұлбасына аппроксимация реті
құрылады,яғни т.с.с. уақыт бойынша бір ретке жоғары болады, жай белгілі
және белгісіз сұлбаға қарағанда.
Белгісіз және белгілі сұлбаның уақытқа абсолютті орнықты (1.2.20),
яғни 12≤θ≤1 және орнықты шарттарға сәйкес 0≤θ12 белгіленеді.
Сонымен, Кранк-Николсон сұлбасы (2.20) және θ=12 абсолютті орнықты
және уақыт бойынша екінші ретті аппроксимацияға және кеңістіктегі х
айнымалыға сәйкес келеді. Құрамында туындысы бар шекаралық шарттың
аппроксимациясы.
Математикалық физика есептерінде және жылуөткізгіштік есептердің
дербес жағдайында, яғни шекараның есептелінетін облысының байламында
шекаралық шарттың бірінші реті аппроксимацияланады. Екінші және үшінші
ретті шекаралық шарттардың айырмашылығы, олардың айнымалы кеңістік бойынша
ізделінетін функцияның бірінші ретті туындысы қатысады. Сондықтан, түрлі-
шекті сұлбаның түйілісіне аппроксимация қажет. Бірінші ретті аппроксимация
туындысының бағыты қарапайым нұсқа ретінде алынады:
Онда шекаралық жалпы жағдайының үшінші ретінің (1.2.7), (1.2.8) теңдеуі,
түрлі сұлбаның екі шектік байламда ізделінетін функция мәні байланысады,
сонда келесі өрнек түрінде беріледі:
Шекті-әр түрлілігінің аппроксимациялық ішкі байламда белгілі теңдеуді
аламыз, үшінші алғашқы-шектік есеп үшін белгілі әр түрлі сұлбаны аламыз
(1.2.1), (1.2.4), (1.2.7), (1.2.8).
Жаңа уақыттық қабатқа алгоритмдік өтуін белгілі сұлбаның
көмегімен аламыз:
Яғни, алғашқы ізделінетін функцияның барлық ішкі жаңа уақыттық қабаты
есептелінеді, содан соң шекарадағы мәндер анықталады.
Белгісіз соңғы-түрлі сұлбаны қолданып, дифференциалдық есепті аламыз:
Нәтижесінде жаңа уақыттық қабаттың шешімін табу үшін сызықтық алгебра
теңдеуінің үш-диагональді матрицалар жүйесін қолданамыз. Белгілі және
белгісіз сұлбаны қолданған кезде осыған ұқсас болады.
Шекаралық шарттың бірінші ретті аппроксимациясы жоғарыда
көрсетілгендей қасиетке ие болады. Т.с.с. ішкі байланысуының
аппроксимациясы шекаралық байланысуы тәртібі аппроксимациясы орындалады.
Аппроксимациялық ретінің сетканы түгел байламын глобальді аппроксимациялық
реті деп аламыз.
Аппроксимация ретті жоғарлауының шекаралық шартының белгілі бір
әдісі екінші ретін дифференциалдық есеп болып табылады:
Егерде, белгілі сұлбаның алгоритімі есептің шешілуі жаңа уақыттың қабаты
мен аппроксимациялық шекараның шартын қабылдамайды, бірақ принципиалдығы
өзгермейді. САТЖ өзінің үш-диагональдығын жоғалтады егерде, белгісіз сұлба
қолданылғанда(бірінші және екінші теңдікте үшеуі белгісіз болады). Үшінші
теңдікті оңай алып тастау жолын қарастырамыз, яғни екінші және үшінші
теңдіктерді комбинацияның сызықтық жолымен алуға болады. Бұл жағдайда
диагональды матрицаның бұзылуы, сонымен қатар прагон әдісі де бұзылады.
Оны оңай жолымен қарастырайық, аппроксимациялық ретті шартын
күшейтпелігінсіз аппроксимациялық қатынастың байланыс саны. Иллюстрациялық
жолға мынандай түрде жетеміз.
Мысалы 1.
Үшінші алғашқы-шектік есептің параболалық теңдеуінде, құрамында
конвекцияланған мүшелерінің құрамдамасы, (туындының пропорционалы ),
іздеу функциясының шығу көздері, мүшелерін құрайды
Шешімі.
Шекті - әртүрлігі сұлбасының теңдеуі, сетканың Шекті-әртүрлігінің
белгісіз ішкі байланыста көреміз, (2.21):
(1.2.25)
Егер, бірінші тәртіптегі шекарлық шарттың туындысын (1.2.22) және
(1.2.23) аппроксимациялық сұлба бойынша аламыз (оң және сол Шекті-
әртүрлігін қою-арқылы)
Онда шекаралық шарттар бірінші тәртіп бойынша аппроксимацияланады және
глобальді тәртібі, бірінші тәртіпке тең, барлық қалған байланыс
аппроксимациялық тәртіп кеңістігі орын ауысуы екіге бөлінеді.
Аппроксимациялық тәртіпті сақтауға және екіге теңдігін біз шекаралық
байланысуда дәл есептелінген теңдеуіне қоямыз сонда аумақ нүктесінде
x=0 болғанда Тейлор қатарына ауыспалы x үшінші туындыға шейін ,-
аналогтық қатарының нүктелік ауданының x=l деп аламыз (функциясының жазылуы
бойынша u(x,t) шекаралық байлаудан бірінші туынды алынады және екіншіні х
бойымен аламыз):
(1.2.26)
(1.2.27)
Әрі қарай екінші мәннің туындысын шекаралық байлануына қоямыз,
дифференциалдық теңдеуін аламыз (2.21):
Алынған өрнектен шығады (1.2.26), бірінші туындының мәнін шекаралық
ретімен, аламыз (1.2.27)
Қою аркылы яғни (1.2.22), және (1.2.23) аппроксимациялық
кезінде сәйкес қосылуы алынғанда шекаралык байлануын қараймыз (осыдан
алгебралык теңдеудің шекаралық байланысуын аламыз, осының әрқайсысында
екеуі белгісіз болады:
(1.2.28)
(1.2.29)
Осылайша, (1.2.28) - Шекті-әртүрлігінің аппроксимациясының шекаралық
теңдеуінің үш түрі белгілі (1.2.22) сол жақ шекарада x=0 болады, яғни
(1.2.29). Шекті - әртүрлігінің аппроксимациялық үшінші-текті теңдеудің оң
жақ шекарада (1.2.23) x=l аппроксимацияның сол жақ ретін сақтайды, осылайша
Шекті - әртүрлігінің аппроксимациясы (1.2.25) және дифференциалдық
теңдеуінде де (1.2.21).
Жаза отырып шекралық Шекті - әртүрлігінің теңдеуінде (1.2.28),
(1.2.29) сетканың функцияснда екінші мәнді ұстанады, алгебралық теңдеу
(1.2.25),
(1.2.30)
САТЖ аламыз және үш-диоганальді матрицамен шығарылады.
(j = N, N-1, ... , 0.)
Қабылдаған әдіс аппроксимациялық шеттік шарт, туынды бойынша
кеңістіктегі орын ауыстыру, аппроксимацияның тәртібін көтеріп қана қоймай
консерванттық соңғы-түрлі аппроксимацияда сақталу заңдары қолданылады.
Аналогтық жақындауда шеттік есептерде дифференциалдық теңдеудің кез-келген
түрінде қолдануға болады.
1.3 Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің жалпы түсінігі
Мәліметтер базасының негізгі ұғымы
Мәліметтер базасының негізгі ұғымы
Математикалық физиканың негізгі теңдеулеріне сипаттама беріп
ерекшелігін көрсету барысында, бұл теңдеулердің қорытылуы қарастырылады.
Жеке туындылар арқылы құрылған теңдеулер және олардың шешімі. Бастапқы және
соңғы шарт қарастырыла отырып, ішектің түрлі шарттағы тербеліс теңдеуінің
шешімі қарастырылады. Біртекті изотропты дененің түрлі нүктесіндегі
температура түрлі болса, дене ішінде жылу алмасу жүретіндіктен жылу
өткізгіштік құбылысы қарастырылады. Осыған орай түрлі шартпен алынған жылу
өткізгіштіктің теңдеуін шешу қарастырылады. Ол түрлі денелер үшін алынған
есеп ретінде талданады. Денедегі сұйық немесе газ қатпарларының арасындағы
бөлшектер қозғалысы салдарыныан туған ішкі үйкеліс үшін Навье-Стокс теңдеуі
қолданатынын көреміз. Тақырып соңында бірнеше мысалдар арқылы жоғарыда
аталған теңдеулерді шығарып алу, пайдалану іске асырылады.
Бұл бөлімде сызықты Навье-Стокс стационарлы емес жүйесі үшін кері
есеп зерттеледі.
Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есепті цилиндрінде
қарастырайық.
,
, (1.3)
жүйесіндегі қанағаттандыратын және анықтау керек.
бастапқы шарты
,
(1.3.1)
шектік шарты
,
(1.3.2)
және интергалдық шарты төмендегідей
(1.3.3)
мұндағы
– берілген функциялар.
1.4 Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің математикалық моделі
Лагранждың интерполяциялау формуласы.
кесіндісінде жататын нүктелері және осы нүктелерде
функциясының мәндері - берілген. Осы функцияны интерполяциялау үшін n
дәрежелі алгебралық көпмүшені
(1.4)
қолданамыз. Мұндағы коэффициенттерін болатындай етіп табу
керек. Кез-келген үзіліссіз функциясы үшін бұл есептің шешімі біреу
ғана болады. Себебі
(1.4.1)
теңдеулер жүйесінің аңықтауышы нольден айырықша (Вандермонд аңықтауышы).
көпмүшесін, нүктелері бойынша тұрғызылған,
функциясын интерполяциялаушы көпмүше дейміз.
(2.2) теңдеулер жүйесінің шешімдерін әртүрлі жолмен табуға болады. Оның көп
қолданатын түрлері Лагранж бен Ньютонның интерполяциялық көпмүшеліктері.
Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігін
(1.4.2)
түрінде қарастырамыз. (2.2) шартын ескере отырып,
(1.4.3)
теңдігін аламыз. Егер
(1.4.4)
болса, онда (2.4) шарты орындалады. дәрежелі көпмүше болғандықтан
коэффициентін де n дәрежелі көпмүше ретінде іздеген дұрыс. Атап
айтқанда көпмүшесін
(1.4.5)
түрінде іздейміз.
шартың ескере отырып, (2.6) формуладан
(1.4.6)
және
(1.4.6)
формуласын табамыз. Сонымен Лагранж көпмүшесі толық былайша жазылады.
.
(1.4.7)
Егер десек, онда
ал,
Сондықтан Лагранж көпмүшесін былайша ықшамдап жазуға болады:
(1.4.8)
Енді интерполяциялық Лагранж көпмүшесінің жіберетін қатесін қарастырайық.
функциясын көпмүшесімен алмастырғанда жіберетін қатеміз
(1.4.6)
Кейде функциясын Лагранж көпмүшесінің қалдығы деп те атайды. Кез-
келген нүктесіндегі қалдықты табу үшін мына көмекші функцияны
қарастырамыз:
,
мұнда -тұрақты сан. санын болатындай, яғни
деп алсақ, онда ең болмағанда нүктеде нольге тең болады. Енді
функциясының кесіндісінде үзіліссіз ретті туындысы бар
болсын. Сонда , Роль теоремасы бойынша, кесіндісінде ең
болмағанда n+1 нүктеде нөлге тең, ал -ені , болмағанда n нүктеде нөлге
тең, т.с. ең болмағанда бір нүктеде нөлге тең болады. Сонымен
табылады да болады.
Ал, болғандықтан
. (2.13)
(2.12) және (2.13) формулаларды ескере отырып,
формуласын аламыз. Осыдан функциясын жоғарыдан бағалау арқылы
.
теңсіздігін аламыз, мұндағы . Егер дәрежесі n-нен үлкен емес
көпмүше болса, онда Сондықтан .
Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің математикалық моделі
келесі түрде берілген:
j=1 болғанда теңдеу келесі түрге түрленеді:
функциясы келесі теңдікте анықталады:
бастапқы шарттары төмендегідей:
1.5 Сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесіне интегралдық,
қосымша анықталған, шартпен қойылған кері есеп
Бұл бөлімде сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесіне интегралдық,
қосымша анықталған, шартпен қойылған кері есебін зерттейміз.
Q= [0,T],R стерженінде сызықты Навье-Стокс
теңдеулер жүйесіне қойылған кері есебін қарастырайық. Төмендегі (1.5.1) –
(1.5.3) жүйелерін
(1.5.1)
(1.5.2)
бастапқы шарттарын
(1.5.3)
шекаралық шарттарын
(1.5.4)
жəне келесі интегралдық шарттарын
(1.5.5)
қанағаттандыратын функцияларын анықтау керек. Мұндағы - сұйықтың
жылдамдығы, р- сұйықтың қысымы, және с - сəйкесінше тұтқырлық, жылу
сыйымдылық коэффициенттері ( жəне с − теріс емес тұрақтылар), β −
кубтық кеңею коэффициенті, g − ауырлық күш үдеуінің векторы, - сыртқы
күштері.
- берілген функциялар.
(1.5.1) – (1.5.5) кері есебінің жалпылама шешімінің анықтамасын
берейік.
1.5.1-анықтама. Егер жəне функциялары мына
интегралдық тепе – теңдіктерді
(1.5.6)
(1.5.7)
кез-келген
(1.5.8)
(1.5.9)
қанағаттандырса, онда және функцияларын (1.5.1) – (1.5.7) кері
есебінің жалпылама шешімі деп айтамыз.
1.5.1-лемма. Егер (1.5.1) – (1.5.7) кері есебінің шешімі
жеткілікті тегіс болса, онда (1.5.1) – (1.5.7) кері есебі (1.5.1) –
(1.5.5), (1.5.10), (1.5.11) есеп қойылымына, берілгендері бірдей болған
жағдайда, эквивалентті, сонымен қатар және функцияларын айқын
түрде табуға болады, яғни
(1.5.10)
(1.5.11)
1.5.1-теорема. (1.5.11) шарты орындалсын, онда (1.5.1) – (1.5.7)
кері
есебінің жалпылама шешімі бар жəне ол жалғыз.
Дəлелдеу. Осы теореманы дəлелдеу үшін де тізбектей жуықтау əдісін
қолданамыз. Нөлдік жуықтауда деп алайық жəне барлық m =1,2,...
үшін жуықтауларын келесі өрнектерден анықтаймыз:
(1.5.12)
(1.5.13)
(1.5.14)
(1.5.15)
(1.5.16)
(1.5.17)
(1.5.18)
Айталық, жəне функциялары белгілі болсын, себебі олар
жəне функциялары арқылы өрнектеледі, жəне
функцияларын сəйкесінше (1.5.15), (1.5.16) теңдеулерге қояйық, сонда біз
сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесінің (1.5.15) – (1.5.18) тура есебін
аламыз. (1.5.15) – (1.5.18) тура есебінің жалпылама шешімінің анықтамасын
берейік.
1.5.2-анықтама. функциялары төмендегі
интегралдық тепе – теңдіктерді
(1.5.19)
(1.5.20)
үшін қанағаттандырса, мұндағы
онда жəне
функцияларын (1.5.15) – (1.5.18) есебінің жалпылама шешімі деп айтамыз.
(1.5.15) – (1.5.18) есебінің шешімі бар жəне жалғыз болатынына келесі
тұжырым орынды.
1.5.2-лемма. Кез – келген
үшін (1.5.15) – (1.5.19) есебінің (1.5.21) шешімі
бар жəне ол жалғыз.
кеңістіктерінде тізбектері фундаменталді тізбектер
екенін дəлелдейік. кеңістіктері толық болғандықтан, онда
жұбтары тізбектерінің шегі болады, яғни да олай
болса жұбтары (1.4.1)-(1.4.7) кері есебінің ізделінді əлсіз шешімі
болады.
Енді белгілеулерін енгізсек, онда (1.4.13),
(1.4.14) өрнектері жəне (1.5.15) – (1.5.19) есебі мына түрде жазылады:
(1.5.22)
(1.5.23)
(1.5.24)
(1.5.25)
(1.5.26)
(1.5.27)
(1.5.28)
(1.5.22) өрнегі былайша бағалайық
таңдап алсақ, онда төмендегі бағалауға келеміз
Соңғы алынған теңсіздіктің екі жағын квадратқа көтеріп, t бойынша
интегралдайық, онда келесі бағалауды аламыз
(1.5.29)
Дəл осылай айырмасы да, бағаланады
(1.5.30)
мұндағы жəне коэффициенттері жəне t шамаларға тəуелсіз.
Енді (1.5.24) теңдеуді ал (1.5.25) теңдеуін шамаларға
скаляр
кеңістікте көбейтейік, нəтижеде мынадай тепе – теңдіктерді аламыз
(1.5.31)
(1.5.31) теңдеулер жүйесінің оң жақтарына Гельдер теңсіздігін жəне лемма
2 пайдаланып, бағаласақ
теңсіздіктерге келеміз.
Бұл алынған бағалауларды (1.5.31) апарып койып, содан кейін, екі
теңдеулерді бір – біріне сəйкес мүшелерін қосайық жəне таңдап алсақ,
онда қарапайым түрлендіруден кейін, біз төмендегі дифференциалдық
теңсіздікті аламыз:
(1.5.32)
мұндағы облысының ені, ал коэффициенттері жəне t
шамаларға тəуелсіз. (1.4.32) теңсіздікке Гронуолла теңсіздігін пайдалансақ,
төмендегі бағалауды аламыз
(1.5.33)
(1.3.29), (1.3.30) жəне (1.3.33) бағалауларды бірге қарастыра отырып,
келесі бағалау орынды болады
(1.5.34)
Егер жəне тұрақтыларын төмендегі шарттарды
қанағаттандыратындай, таңдап алуымыз керек
(1.5.35)
Демек, (1.4.34) жəне (1.4.35) бағалаулары кез келген m = 1,2,... үшін
келесі түрге келеді
(1.5.36)
(1.5.37)
мұндағы
(1.5.35) шарттары орындалғанда (1.5.36), (1.5.37) бағалауларынан,
кеңістіктерінде сəйкесінше тізбектері фундаменталді екендігі
шығады. Жоғарыдағы талқылаулардан соң кеңістіктерінде сəйкесінше
жалғыз ғана жұбтары бар, сонымен қатар төмендегі тізбектерде шекке
көшу орынды
кеңістігінде
кеңістігінде
кеңістігінде
Сонымен, тізбектерінің əлді жинақталуынан (1.5.13),
(1.5.14), (1.5.20) жəне (1.5.21) теңдіктерде m →∞ ұмтылғанда шекке көшсек,
(1.5.1) – (1.5.7) кері есебінің цилиндрде жалпылама
шешімін аламыз.
Енді есептің шешімінің жалғыздығын дəлелдейік. Əдеттегідей, (1.5.1) –
(1.5.7) кері есебінің цилиндрінде k=1,2 екі шешімі бар
болсын, онда (1.5.35) – (1.5.37) теңсіздіктерден, келесі бағалауларды
табамыз
бұдан келіп шығады.
жəне тұрақтылары бастапқы берілген жəне
функцияларынан тəуелсіз, сондықтан t ≥σ болғанда жағдайда
деп аламыз, мұндағы жəне локалді шешімнің болғандағы мəні.
Кері есептің локалді шешілуіне байланысты жоғарыда көрсетілген əдісті
ақырлы уақыт үшін, ақырлы рет қолдансақ, бүкіл цилиндрде
жалпылама шешімі бар жəне ол жалғыз екендігі шығады.
Жоғарыда көрсетілген əдісті ақырлы уақыт үшін, ақырлы рет қолдансақ,
бүкіл цилиндрде жалпылама шешімі бар жəне ол жалғыз
болатындығын дəлелдейміз.
Кері есептердің орнықтылық мəселелері жуықтап берілген
шарттарының негізінде, ізделінді шешімдеріне өте жақын,
жуықтау шешімдерін табу əдістерін құруға байланысты зерттелінеді.
Алғашқы рет кері есептердің шешімдерінің орнықтылық мəселелерін А.Н.
Тихонов [19] қарастырған. (1.5.1) – (1.5.7) кері есебінің шешімі бастапқы
шарттарынан жəне қосымша анықталған, шарттарынан орнықтылығы келесі
тұжырымнан шығады.
1.3.2-теорема. (1.5.1) – (1.5.7) кері есебінің (k=1,2) сəйкес
(k=1,2) жалпылама шешімдері болсын, онда осы жалпылама шешімдерінің
айырмалары үшін төмендегі бағалау орынды
(1.5.38)
мұндағы C(T) тұрақтысы (k=1,2) шамаларға тəуелсіз.
Дəлелдеу. (1.5.1) – (1.5.7) кері есебінің (k=1,2) шамаларға
сəйкес (k=1,2) жалпылама шешімдері болсын. (1.5.1) – (1.5.7) кері
есебін олардың айырмасы үшін жазайық. (1.3.12), (1.3.35) шарттары
орындалса, онда (1.5.8) – (1.5.11) өрнектерден цилиндрінде келесі
теңсіздіктерді аламыз
(1.5.39)
(1.3.40)
(1.5.39) жəне (1.5.40) теңсіздіктерден
бағалауын аламыз, мұндағы C тұрақтысы (k=1,2) шамаларға тəуелсіз.
Жоғарыда цилиндрінде зерттеулерді цилиндрі үшін қайталап шықсақ
(1.5.41)
бағалау орынды.
Жалпы жағдайда, жəне түрінде белгілесек, онда
келесі рекурренттік формуланы аламыз
(1.5.42)
мұндағы
(1.3.42) рекурренттік формулада ескерсек, біз мына теңсіздікке
келеміз
(1.5.43)
Бұдан орнықтылық бағалауы шығады, яғни
1.5.2 теорема толық дəлелденді.
2 САНДЫҚ ӘДІС
2.1 Сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесі үшін тура есептің
математикалық моделі
тіктөртбұрышында сызықты теңдеуге қойылған кері есебін
қарастырайық, төмендегі (2.1.1)–( 2.1.3) қанағаттандыратын функциясын
анықтау керек:
(2.1.1)
бастапқы шартын
(2.1.2)
шеттік шартын
(2.1.3)
мұндағы берілген функциялар.
торларын енгізейік. Енді облысында қадамдары болатын тор
енгізейік
.
(2.1.1)–(2.1.5) кері есебінің шекті-айырымдық (айқындалмаған) схемасын
құрайық:
Мұндағы коэффициенттері Симпсон формуласындағы үшін
коэффициенттер.
Бұл айырымдық есепті итерация әдісімен есептейміз.
2.2 Сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесі үшін тура есепті сандық шешу
#includeiostream
#include math.h
#include stdio.h
#define ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
МЕХАНИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТІ
МАГИСТРАТУРА
Информатика кафедрасы
МАГИСТРЛЫҚ ДИССЕРТАЦИЯ
СЫЗЫҚТЫ НАВЬЕ – СТОКС ЖҮЙЕСІ ҮШІН КЕРІ ЕСЕПТІҢ ШЕШІМІНІҢ АЛГОРИТМІН
ПАРАЛЛЕЛЬДЕУ
(6M060200-Информатика)
Орындаушы ___________ Рыскелді.Н.Н "____"
_________2013 ж.
Ғылыми жетекші
ф.-м.ғ.к.,доцент __________ Макашев Е.П. "____"
_________2013 ж.
Қорғауға жіберілді
Кафедра меңгерушісі ___________ Урмашев Б.А. "____"
_________2013 ж.
Алматы 2013
СЫЗЫҚТЫ НАВЬЕ – СТОКС ЖҮЙЕСІ ҮШІН КЕРІ ЕСЕПТІҢ ШЕШІМІНІҢ АЛГОРИТМІН
ПАРАЛЛЕЛЬДЕУ
Түйін
Магистерлік жұмысқа кіреді: кіріспе, үш тараудан негізгі бөлім,
қорытынды, қолданылған әдебиеттер тізімі.
Жұмыс 71 бет, 20 суреттен тұрады. Қолданылған әдебиеттер тізімінің
саны-10.
Бұл магиcтерлік жұмыста сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің
шешімінің алгоритмін параллелдеу қарастырылады. Кері есептің теориясы
дифференциалдық теңдеулер үшін қарқынды дамып келе жатқан математикалық
физиканың бір бөлігі болып табылады. Бұл зерттеудің маңыздылығы – көптеген
математикалық әдістерді жасап өңдеуге комектеседі, және осы математикалық
модельдер арқылы кең класты маңызды мәселелерді шешуге мүмкіндік береді.
Мұндай маңызды мәселелерге геофизикада, биологияда, медицинада, экологияда,
ортаны қорғау орталықтарында және термоядролық синтезді басқару және т.б.
қолданады. Бұл жайт, әрине, заманауи математиканың өзекті мәселелеріне
жатады.
Кері есептерді шешу үшін бір немесе бірнеше коэффициенттерді табу
керек, сонымен қатар, дифференциалдық теңдеудің немесе дифференциалдық
теңдеулер жүйесінің оң жағын, шектік маңайын, есепті шешу жайындағы қосымша
мәліметтерге байланысты шектік немесе бастапқы шарттарды анықтау қажет
болады.
Магистрлік жұмыстан алынған жаңа нәтижелерді келесідей атап айтуға
болады:
– Сызықты Навье-Стокс жүйесі кері есептің жалпыланған шешімділігі
дәлелденді;
– Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің шекті-айырымдық айқын
схемасы құрылды;
– Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің бір өлшемді
аналогының сандық мәні алынды;
– Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің шешімінің алгоритмі
OpenMP технологиясын пайдалану арқылы параллелденді;
– Параллелдеу барысында құрылған алгоритмнің орындалуы уақыт жағынан
жоғарғы үнемділікке жетті.
Диссертация нәтижесінің апробациясы:
Рыскелді Н., Сызықты навье – стокс жүйесі үшін кері есептің шешімінің
алгоритмін параллельдеу. Математика, механика и информатика бойынша V
Республикалық ғылыми-практикалық студенттік конференция. Баяндамалар жинағы
(Астана, 5-6 сәуір, 2013г. )
РАССПАРАЛЛЕЛИВАНИЕ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ
СИСТЕМЫ НАВЬЕ – СТОКС
Резюме
Магистерская работа включает в себя: введение, основную часть,
состоящую из трех разделов, заключение, список использованных источников.
Работа состоит из 71 страниц, 20 рисунков. Список литературы содержит
8 наименования.
В этой магистерской работе рассматривается распараллеливание алгоритма
решения обратной задачи для линеризованной системы Навье-Стокса. Теория
обратных задач для дифференциальных уравнений является интенсивно
развивающейся областью математической физики. Интенсивность исследований в
этой области обусловлена необходимостью разработки математических методов
решения обширного класса важных прикладных проблем. К этим проблемам
относятся разнообразные задачи из самых разных отраслей науки, а именно в
сейсмологии, геофизики, биологии, медицине контроле качества промышленных
изделий, экологии, охране окружающей среды и управляемого термоядерного
синтеза и т.д., что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной
математики.
В обратных задачах помимо решения требуется найти один или несколько
коэффициентов, правых частей дифференциальных уравнений или системы
дифференциальных уравнений, границ области, граничных или начальных условий
по той или иной дополнительной информации о решениях уравнений.
В магистерской работе получены следующие результаты:
– Доказана обобщенная разрешимость обратной задачи для
линеризованной системы Навье-Стокса;
– Построена гранично-разностная явная схема обратной задачи для
линеризованной системы Навье-Стокса;
– Получена численное значение аналога одномерной обратной задачи для
линеризованной системы Навье-Стокса;
– Исрользуя технологию OpenMP была распараллелина обратной задачи для
линеризованной системы Навье-Стокса;
– В ходе распараллеливание построенный алгоритм при выполнении достиг
высого результата по экономии времени.
Апробация диссертационных выводов:
Рыскелді Н., Расспараллеливание алгоритма решения обратной задачи для
линеаризованной системы Навье – Стокс. V Республиканская научно-
практическая студенческая конференция по математике, механике и
информатике. Сб.докладов.(Астана, 5-6 апреля, 2013г. )
PARALLEL ALGORITHM DESIGN FOR LINEAR NAVIE-STOCKS INVERSE PROBLEM
Summary
Master's work includes: introduction, main part, consisting of three
sections, the conclusion, list of references.
The paper consists of 71 pages, 20 figures. References contains 8
items.
In this master's work the parallelization of the algorithm for solving
the inverse problem for the linerizovannoy of the Navier-Stokes equations.
The theory of inverse problems for partial differential equations is a
rapidly developing field of mathematical physics. The intensity of research
in this area is due to the need to develop mathematical methods for solving
a broad class of important practical problems. These problems include a
variety of tasks from different branches of science, namely the science of
seismology, geophysics, biology, medicine, quality control of industrial
products, ecology, environmental protection and controlled thermonuclear
fusion, etc., that puts them in a number of urgent problems of modern
mathematics.
In addition to solving inverse problems need to find one or more
factors, the right-hand sides of differential equations or systems of
differential equations, boundary area, the boundary or initial conditions
for some more information about the solutions of the equations.
In the master's work with the following results:
– A generalization of the inverse problem for linerizovannoy the Navier-
Stokes equations;
– Built-bound-difference scheme is a clear inverse linerizovannoy for
the Navier-Stokes equations;
– We obtain the numerical value of the one-dimensional analogue of the
inverse problem for linerizovannoy of the Navier-Stokes equations;
– Isrolzuya OpenMP technology was rasparallelina linerizovannoy
inverse problem for the Navier-Stokes equations;
– During the parallelization of the algorithm built in the performance
achieved High luminance of the time-saving;
Testing dissertation findings:
Ryskeldі N., Rassparallelivanie algorithm for solving the inverse
problem for the linearized Navier - Stokes. V Republican scientific-
practical conference of students in mathematics, mechanics and computer
science. Sb.dokladov. (Astana, April 5-6, 2013.)
АНЫҚТАМАЛАР
ПЭЖ − Параллелді есептеуіш жүйелер
Абсолютті (сөзсіз) аппроксимация − кез-келген заң бойынша ешбір шартсыз
байланыспаудың болғанда нөлге ұмтылатын аппроксимация түрін айтады
Параллель компьютер − жалпы міндеттерді шешуде бірігіп жұмыс істей алатын
процессорлардың жиынтығы
Параллель программа – әр процесс өзiнiң жеке процессорында орындалатын
программа, демек, процесс параллель орындалады
КПЕЖ − көп процессорлы есептеуіш жүйелер
Талдап тексеру дәрежесi – тоқталғанға дейiнгi немесе үзiлгенге дейiнгi
элементар процессор орындайтын типтiк кодтар ағынынң ұзындығы
Басқарудың әртүрлiлiгi – басқару блогының өңделетiн элементке қатынасы және
әдетте ол Флиннiң SIMD категориясында сипатталған компьютерлерге
қолданылады
Желi диаметрi – кез-келген екi торап арасындағы ең ұзын жол
Масштабтау (scalability) – желiге қосылған торап санын өсiргенде
байланыстың күрделiлiгi қаншалықты өсетiнiн бiлудi қажет ететiн қасиет
Баньян желiсi – ауыстырғыштары бар көпбаспалдақты желi, оның кiрiстер мен
шығыстар саны бiрдей, iшкi тораптары mxm айырғыш болады
Open MP – компилятор директиваларының және көмекші программалар жиынтығы
НОРМАТИВТІ СІЛТЕМЕЛЕР
Ұсынылған диссертацияда келесі стандарттарғы сілтемелер қолданылған:
ГОСТ 2.111-68 Конструкторлық құжаттаманың біркелкі жүйесі. Нормоконтроль.
МС 7.1-84 Ақпарат, кітапхана және баспа ісі бойынша стандарттар
жүйесі. Құжаттың библиографиялық сипаттмасы. Құрастырудың жалпы талаптары
мен ережелері.
МС 7.9-95 (ИСО 214-76) Ақпарат, кітапхана және баспа ісі бойынша
стандарттар жүйесі. Реферат және аңдатпа. Жалпы талаптар.
МС 7.12-93 Ақпарат, кітапхана және баспа ісі бойынша стандарттар
жүйесі. Библиографиялық жазба. Қысқартылған сөздер. Жалпы талаптар мен
ережелер.
МС 7.32-2001 Ақпарат, кітапхана және баспа ісі бойынша стандарттар
жүйесі. Ғылыми-зерттеу жұмысы бойынша есеп беру. Ресімдеу құралы мен
ережелері.
МС 7.54-88 Ақпарат, кітапхана және баспа ісі бойынша стандарттар
жүйесі. Ғылыми-техникалық құжаттар материалдарында және қасиеттер бойынша
заттардың сандық деректерін көрсету. Жалпы талаптар.
МС 8.417-81 Өлшемдер бірлігін қамтамасыз ететін мемлекеттік жүйе.
Физикалық шама бірліктері.
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 8
1. НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 10
1.1Математикалық физиканың негізгі есептері ... ... ... ... ... ... ... ... . 10
1.2Параболалық типті айырымдылық 13
схемалары ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ...
1.3Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің жалпы 24
түсінігі ... ... ..
1.4Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің математикалық 25
моделі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ..
1.5Сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесіне интегралдық, қосымша 28
анықталған, шартпен қойылған кері
есеп ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ..
2. САНДЫҚ 40
ӘДІС ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ..
2.1Сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесі үшін тура есептің 40
математикалық
моделі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ...
2.2Сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесі үшін тура есепті сандық 40
шешу ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... .. .
2.3Сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесі үшін кері есептің 43
математикалық
моделі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... .
2.4Сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесі үшін кері есепті сандық 44
шешу ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ...
3. ПАРАЛЛЕЛЬДІ АЛГОРИТМ 47
ҚҰРУ ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ..
3.1Параллель программалау дамуының хронологиясы ... ... .. ... ... ... ... 47
3.2Процессорлардың көптүрлiлiгi. 50
Топология ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ...
3.3Параллель программалаудың тиімділігін 54
бағалау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
3.4С++ программалау 58
тілі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ..
3.5OpenMP 61
технологиясы ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ...
3.6Бағдарлама алгоритімін парллельді жүзеге 62
асыру ... ... ... ... ... ... ... . ... ... .
4. ЕСЕПТЕУ 64
ЭКСПЕРИМЕНТІ ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ...
5. САНДЫҚ 65
НӘТИЖЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ...
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... .. 70
... ... ... ... ... ... ... ... .. ...
ҚОЛДАНЫЛҒАН 71
ӘДЕБИЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ...
ҚОСЫМША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 72
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .
КІРІСПЕ
Бұл жұмыста сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің шешімінің
алгоритмін параллелдеу қарастырылады. Кері есептің теориясы дифференциалдық
теңдеулер үшін қарқынды дамып келе жатқан математикалық физиканың бір
бөлігі болып табылады. Бұл зерттеудің маңыздылығы – көптеген математикалық
әдістерді жасап өңдеуге комектеседі, және осы математикалық модельдер
арқылы кең класты маңызды мәселелерді шешуге мүмкіндік береді. Мұндай
маңызды мәселелерге геофизикада, биологияда, медицинада, экологияда, ортаны
қорғау орталықтарында және термоядролық синтезді басқару және т.б.
қолданады. Бұл жайт, әрине, заманауи математиканың өзекті мәселелеріне
жатады.
Кері есептерді шешу үшін бір немесе бірнеше коэффициенттерді табу
керек, сонымен қатар, дифференциалдық теңдеудің немесе дифференциалдық
теңдеулер жүйесінің оң жағын, шектік маңайын, есепті шешу жайындағы қосымша
мәліметтерге байланысты шектік немесе бастапқы шарттарды анықтау қажет
болады. Мысалы, физикалық денеде жылудың таралуын талқыласақ, тура есеп
үшін объкттің шекті температурасын білу қажет, оның бастапқы анықталуын
және әр мезетте уақытқа тәуелді жылудың таралуын анықтау керек. Кері есеп
жағдайында осы параметрлердің ке-келгені белгілі болуы мүмкін. Осындай
есептер үшін қойылымды дұрыс анықтау үшін модельдеу процесі барысында
қосымша тағы мәлімет керек етеді, мысалыға, денеде температураның таралуы
немесе жылудың таралу процесіндегі кейбір интегралдық характеристикалар
болуы мүмкін. Мұндай қосымша мәліметтерді осы есеп үшін көбінесе “қайта
анықталған” деп атайды.
Кері есептің негізгі теориясы келесі математиктердің жұмыстарында
көрсетілген: А.Н.Тихонов, В.К.Иванов, М.М.Лаврентьев, П.С.Новиков,
В.А.Марченко, И.М.Гельфанда, Б.И.Левитан, М.Г.Крейн, Л.Д.Фадеев,
А.С.Алексеев, В.Г.Романова, А.И.Прилепко, Carleman T.,Borg G., John F.,
Calderon A.P., Pucci C., Lions J.-L.
Дифференциалдық операторлардың тарылулары қисынды қисынды тарылулар
теориясын кейбір нақты Стокс операторына қолданып алынған нәтижелер,
сонымен қатар, гидро және газ динамикасының теңдеулерін зерттеу бағытындағы
Навье-Стокс тектес есептердің шешімдеріне жасалған бағалаулар барлығының
теориялық қызығушылығын тудырады.
Навье-Стокс теңдеуін өте дәл сипаттау үшін үлкен көлемдегі
мәліметтерді өңдеу қажет. Бұл мақсатта параллельді есептеуіш жүйелерді
қолданған тиімді. Параллелді есептеуіш жүйелерді қолдану (ПЭЖ) есептеу
техникасының дамуының стратегиялық бағыты болып табылады.Қазіргі заманғы
ғылым мен техника мүмкіндіктерінің "үлкен шақыру" мәселелері: климатты
моделдеу, гендік инженерия, интегралдық схемаларды жобалау, қоршаған
ортаның ластануының анализі, емдік дәрумендерді жасау және тағы сол
сияқтылар - өздерінің анализі үшін әр секундта қалқымалы үтірі бар (1
TFlops) 1000 миллиард операцияларды орындайтын ЭЕМ талап етеді.
Компьютерлік архитектура мен желілік технологиялардың дамуы, сондай-
ақ есептеудің орасан көп санын талап ететін жаңа, ғылыми және қолданбалы
міндеттердің пайда болуы программалау мен есептеу технологияларында
параллель есептеулердің көкейкестілігі мен болашағы бар екендігін көрсетіп,
программалау мен есептеу технологияларындағы орталық орындардың бірінен
орын алды.
Жоғарғы дәрежелелі өнімділікті есептеуіш жүйелерді құру мәселесі
қазіргі заманғы ғылым мен техникалық есептердің ең күрделісі болып
табылады. Осы мәселені шешу көптеген талантты ғалымдар мен
конструкторлардың білімдері мен күштерін жан – жақты концентрациялағанда
ғана мүмкін, оның үстіне ғылым мен техниканың соңғы жетістіктерін қолдануды
және маңызды финанстік инвестицияларды талап етеді. Сонымен қатар осы
саладағы соңғы кездегі жетістіктер таңқаларлықтай. "Компьютерлік
белсенділікті стратегиялық шектеу" Accelerated Strategic Computing
Initiative – ASCI) бағдарламасы АҚШ-та 1995ж қабылданған, осының негізінде
суперЭЕМ- дердің өнімділігін 18 айда 3 есе арттыру және өнімділік дәрежесін
секунтына 100 триллион операцияларды орындауға арттыру мәселелері болды.
Қазіргі уақытта жылдам әрекет ететін суперЭЕМ-дердің бірі NEC жапон
фирмасының бір векторлық процесстің жылдамдығы секундтына 8 миллиард (8
GFlops) операциялар орындайтын SX-6 компьютері болып табылады. Көп
процессорлы жүйелер үшін қол жеткізілген жылдам әрекет ету көрсеткіштері
әлде қайда жылдам: мысалға, Intel (США, 1997) фирмасының ASCI Red
жүйесінің жылдамдығы секундтына 1,8 триллион (1,8 TFlops) операциялар. Осы
курстың лекйияларын жазу кезіндегі жылдам әрекет етуші есептеуіш жүйелердің
Top 500 тізімінде BlueGeneL есептеуіш комплексі алғашқы қатарда.
1 НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІ
1.1 Математикалық физиканың негізгі есептері
Қарапайым дифференциалдық теңдеудің шешімі бір айнымалыға және
т.с.с. тәуелді болады. Көптеген тәжірибелік есептердің шешімі-ізделінетін
функциялар бірнеше айнымалы және берілген мәліметтерге тәуелді теңдеулерге,
ізделінетін функция есептері дербес туынды болады.Олар дербес туынды
теңдеулер деп аталады.
Математикалық қойылымдар дифференциалдық теңдеулермен бірге кейбір
қосымша шарттардан құралады. Егер шешім шектелген облыста ізделінсе, онда
оның шекаралық шарттары беріледі,олар шекаралық (шектік) деп аталады.
Осындай есептер шектік есептер деген атауға ие және дербес туынды
теңдеулерге арналған.
Алғашқы шарттарды қанағаттандыратын мәндері берілген есеп дербес
туынды теңдеулер жүйесі үшін Коши есебі (КЕ) деп аталады. Сол себепті есеп
шығару барысында шексіз кеңістікте шығарылады және шекаралық шарттар
берілмейді. Алғашқы және шекаралық шарттар қойылатын есептер стационарлық
емес (аралас) шектік есептер деп аталады. Алынатын шешімдер уақыт өтуімен
өзгереді.
Дұрыс қойылған есеп алғашқы және шекаралық шарттарын
қанағаттандыратын шешімдері бар, сонымен қатар сол теңдеулердің шарттарының
коэффициенттерінен үзіліссіз тәуелді болатын есептерді атайды.
Қарастырылып отырған облыстың түрлі сеткеларының енгізілуіне
негізделген есептеу әдістерінің ішіндегі түрлі әдістерді қарастырайық.
Барлық туынды, алғашқы және шекаралық шарттар байлам сеткаларының функция
мәндері арқылы беріледі, соның нәтижесінде түрлі схема деп аталатын
сызықтық теңдеулер жүйесі шығады. Сетканың қарастырылып жатқан облысқа
енгізілуіне негізделген дербес туынды теңдеулер шешуіне байланысты түрлі
сеткалар құрастырылады. Сеткалар байламдары есептелетін нүктелер болып
табылады (1-сурет).
1-сурет. Сеткалар байланымы.
a(x(b xi=a+ih1 (I=0,1,...,()
c(y(d yj=c+jh2 (j=0,1,...,J)
Түрлі сеткаларды құрастыру үшін дербес туынды теңдеулер кейбір
шаблондардың шектік түрлі қатынастарымен алмастырылады. Сонда ізделініп
жатқан функцияның нақты мәндері U торлы функциясының мәндерімен u түрлі
байлам сеткаларында алмастырылады.
Айырымдылық схемасы алғашқы және шекаралық шарттар жылу өткішгіштік
теңдеулерін шешу үшін келесі түрде беріледі:
Кез-келген мезетте қарастырылып жатқан [0,1] кесіндісінің аяғында
ψ1(t) және ψ2(t) - температураларының бөлінуі алғашқы және шекаралық
шарттарымен келісілген, яғни болуы керек. Тік бұрышты торды енгізейік
: мұндағы һ,τ-қадамдар.-сетканың байламдарындағы функцияның
мәндері. Сондықтан,
Торлы функцияның ішкі байламдарындағы мәндерін табу үшін алгебралық
теңдеулер жүйесін табамыз. Шекаралық шарттан
(4)
болғанда байламдар жиынтығы қабат деп аталады. (2)-ден
тізбекті мәндерді -нің қабатына лайықты мәндер арқылы -ді
-қабатында табамыз. Мұндай схемалар айқындалған деп
аталады.болғанда есеп басында бастапқы қабаттағы алғашқы шартпен
анықталатын келесі түрдегі шешім қажет :
(5)
Әрбір айырымдылық теңдеу (3) айқын схемаға қарағанда әрбір үш
белгісіз нүктеде жаңа мағына қабатының мәндерін құрайды,сондықтан алдындағы
қабаттың белгілі шешімдері арқылы бұл мәндерді лезде табуға болмайды. Олар
айқынсыз схемалар деген атқа ие. Сонда (3) айырымдық схема сызықтық үш
нүктелік теңдеулерден құралады, бірақ әрбір теңдеу тап осы қабаттың үш
нүктесіндегі белгісіз функциядан тұрады. Ол айдап шығу әдісімен шешіледі.
Тап осы мысалда екі қабатты схеманы қарастырдық,яғни әрбір
айырымдылық теңдеуге екі қабатты функция мәндері –төменгі,қайсыда шешімі
табылған және жоғарғы, байламдағы шешімдері ізделуде кіреді.
Жинақтылық. Аппроксимация. Орнықтылық.
Алғашқы және шекаралық шарттары берілген дифференциалдық есеп дербес
туынды теңдеулермен операторлық түрде құрастырылып жазылады.
(6)
Операторлық теңдеу негізгі дербес туынды теңдеу және қосымша алғашқы
және шекаралық шарттарынан тұратын теңдеуден құралады. теңдеудің
алғашқы және шекаралық шарттарының оң жағын бейнелейді, есептеу
облысынан да, шекарадан да тұрады. (6) дифференциалдық есепті
айырымдылық есебімен алмастырамыз, мұндағы , мұндағы .
(7)
сеткалар байламдарында торлар функциясының мәнін
ізделінетін функцияның мәндерін жуықтап сол байламдағы қателіктермен
алмастырады.
. (8)
енгіземіз.
Егер ( 9) байламдар торлары қоюланса, яғни бұл қателіктер
мәндері нөлге ұмтылады, олай болса айырымдылық схема (7) қосылатын деп
аталады.
Егер мұндағы , онда айырымдылық схемасы k-шы дәлдік ретті
немесе жылдамдығымен қосылады деп те айтады. Тордағы қателікті есептеу
үшін (7) теңдеуін жазайық. (7)-ге қойып,
(10) аламыз.
Айырымдылық схеманың өлшемі байланыспау деп аталады
(аппроксимация қателігі). Өлшемдік сипаттамасын енгізейік.
(11)
болғанда аппроксимация һ-пен салыстырғанда k-ші ретті болады.
(7) айырымдылық схема (6) негізгі дифференциалдық есепті
аппроксимациялайды, егер
(12)
яғни, торды ұсақтаса онда байланыспау нөлге ұмтылады.
Абсолютті (сөзсіз) аппроксимация кез-келген заң бойынша ешбір шартсыз
байланыспаудың болғанда нөлге ұмтылатын аппроксимация түрін
айтады.Шартты аппроксимацияда кеңістік және уақыт бойынша қадамдар
өлшемдеріне кейбір шарттар қойылады. (7) айырымдылық схемасы
орнықтылықтанған деп аталады,егер оның шешімі кіретін мәліметтермен
үзіліссіз байланыста болса, яғни кіретін мәліметтер шамалы аз өзгерсе соған
сай шешімнің мәндері де аздап өзгереді. Орнықтылық айырымдылық схемасының
түрлі қателіктерге сезімталдығын сипаттайды.
Теорема: Егер (6) негізгі дифференциалдық есептің шешімі бар
болса, ал (7) айырымдылық схемасы берілген (6) шешімді
орнықтылайды және аппроксициялайды, сонда айырымдылық шешімі дәлдікке
қосылады.
1.2 Параболалық типті айырымдылық схемалары
Параболалық типті теңдеудің классикалық мысалы жылу өткізгіштің
теңдеуі болып табылады(диффузияя).Біртекті кеңістікте біртекті (энергия
көзінсіз) жылу өткізгіштіктің теңдеуі мынандай түрде болады
(1.2.1)
Егер де шекараларда х=0 және х=l функцияның ізделінетін мәні мына
u(x,t) түрде берілсе,
(1.2.2)
Яғни бірінші тектің шекаралык шарттары және одан баска, алғашқы шарттары
берілген
u(x,0)=ψ(x), 0≤x≤l, t=0,
(1.2.4)
онда (1.2.1)-( 1.2.4) есепті жылу өткізгіштіктің теңдеуінің бірінші
алғашқы-шектік есебі деп атайды (1.2.1).
Жылу алмасу теориясының терминінде u(x,t) – температураның
кеңістіктік-уақыттық ауданында бөлінуі температураөткізгіштік
коэфициенті, ал (1.2..2), (1.2..3) ϕ0(t), ϕl(t) функцияның көмегімен
шекарада мынадай температура береді x=0 и x=l.
Егер де шекарада х=0 және х=1 туындылардың ізделінетін кеңістіктік
мәні берілсе
(1.2.5)
(1.2.6)
Яғни, екінші тектің шекаралық шарттары, онда (1.2.1), (1.2.5), (1.2.6),
(1.2.4) есептерді (1.2.1) жылу өткізгіштік теңдеудің екінші алғашқы-шектік
шарты дейді. Жылу алмасу теориясының терминінде шекаралық жылу ағындары
берілген.
Егер кеңістіктік айнымалы бойынша шекарада сызықтық комбинациялы
іздестірілетін функция берілсе
(1.2.7)
(1.2.8)
Яғни, үшінші тектің шекаралық шартында, онда (1.2.1), (1.2.7), (1.2.8),
(1.2.4) жылу өткізгіштің үшінші алғашқы-шектік теңдеуі деп атайды
(1.2.1).Жылу алмасу теориясының терминінде (1.2..7), (1.2.8) шекаралық
шарттарды газ тәрізді және сұйықтық ортада жылу алмасу арасында және
шекаралық саналы ауданда белгісіз температуралармен беріледі u (0,t),
u(l,t).
Кеңістіктік жылу өткізгіштік аудандарында бірінші алғашқы-шектік
шарт мынандай түрде болады
Сол сияқты (1.2.9) – (1.2.11) кеңістіктік теңдеулердің шарттары
екінші және үшінші алғашқы-шектік шарттарға қойылады.
Практикада әрқашан жылу өткізгіштіктің алғашқы-шектік шарттар аралас
шектік шарттармен қойылғанда, шекарада шекаралық шарттардың әр түрлі
тектері беріледі.
Соңғы әр түрлі әдіс түсініктері. Параболойдтық типті теңдеуде соңғы
әдісте қолдану.Негізгі анықтамалар, соңғы әр түрлі әдістермен байланысқан,
(1.2.1)-( 1.2.4) жылу өткізгіштік теңдеуін соңғы-әр түлі шешімдердің
бірінші алғашқы-шектік шарттарды мысал ретінде қарастырамыз. Кеңістіктік-
уақыттық ауданға қоямыз 0≤x≤l, 0≤t≤T соңғы-әр түрлі сетканы ω hτ
(1.2.12)
Кеңістіктік қадаммен h=lN және уакыт бойынша қадаммен τ=TK (рис 2.1).
Екі қабатты уақытты енгіземіз:
tk=kτ -дың астындағы, u(xj,tk) іздестірілген функциясы, ( k=0 бөлінуі
(1.2.4) (xj,t0)=ψ(xj)) белгілі бастапқы шартпен анықталады және
tk+1=(k+1)τ үстіңгі қабатты уақыт, u(xjj,tk+1), j=0,1,...,N
іздестірілген функциясы анықталуға жарайды.
1.2.1-сурет. Соңғы әр түрлі тор
(1.2.1.)-( 1.2.4) (анықтамасы) есептерінің торлық функциясын j, k бүтін
аргументтердің бірмәнділік көрсетулері функциясының мәні
.
(1.2.12) берілген функцияға бірінші белгілі тордың функциясы, ал
екіншісі – анықталуға жарайтын торлық функциясын енгіземіз.Оның анықталуы
үшін
(1.2.1.)-( 1.2.4) есептерінде (аппроксимациялаймыз) дифференциалдық
операторлардың орнына ауыстырамыз.(Сандық дифференциалдау тақырыбын
қараймыз),
(1.2.13)
(1.2.14)
(1.2.13) формуланы аламыз. (1.2.1.)-( 1.2.4)-не (1.2.13),( 1.2.14)
қойсақ,соңғы әр түрлі жүйені аламыз.Мұндай есепке форма
(1.2.15)
j -барлық теңдеулеріне торлық функция белгілі, ескерту есептемей
(1.2.15) байланысында анықталады. (1.2.15) байланысында (j=0, j=N) шектік
шарттары j=1 және j=N-1 мәндеріне кіретін ,ал алғашқы шарты – k=0.
Егер (1.2.14) кеңістіктік айнымалыда дифференциалдық операторды
үстіңгі уақыттық қабаттың соңғы әр түрлі байланысымен аппроксимацияласақ,
(1.2.16)
онда (1.2.13), (1.2.16)-ны (1.2.1)-( 1.2.4) есептеріне қойсақ,бұл есептің
соңғы әр түрлі түйенің белгісіз екенін көреміз.
(1.2.17)
Енді торлық функцияның үстіңгі уақыттың қабатын СЛАУ (1.2.17) үшдиагональды
матрицаның шешімін табуға болады.Бұл СЛАУ формасы, жарамды өткізу
әдісімен қолданылады да,осындай түрге келеді. Соңғы әр түрлі жүйенің
шаблоны деп оның соңғы әр түрлі түрінің геометриялық мағаналануын
(түсіндірме) айтады.
1.2.2-сурет. Жылу өткізгіштіктің теңдеуінің соңғы әр түрлі схеманың
белгілі және белгісіз шаблонына арналған
1.2.2 суретінде (1.2.15) белгілі және (1.2.17) белгісіз шаблондары
берілген (1.2.1) - ( 1.2.4) есептерін соңғы әр түрлі схемамен
аппроксимациялау.
(1.2.15) белгілі соңғы әр түрлі схемасының жазылған формасы
(1.2.18)
Үстіңгі уақыттық қабаттың шешімі (САТЖ шешімінсіз) шығарылады торлық
функцияның астыңғы уақыттық қабаттың уақыттық шешімінен шығарылады
да, шығарылуы белгілі (k=0 шешімі торлық функциямен формаланып, бастапқы
(1.2.4.) шартпен шығарылады). Бірақ бұл сұлбада заттық жеткіліксіздік бар,
сондықтан ол тұрақты шарт болып табылады, оны τ және h торлық
сипаттамасын аламыз.
Басқа жағынан, белгісіз (1.2.17) соңғы әртүрлі схемасы осындай
формада жазылған.
(1.2.19)
СЛАУ –ды шығару керек екендігіне алып келеді,бірақ бұл схема абсолютті-
тұрақты.
(1.2.18), (1.2.19) схемаларды анализдейміз. Сол дұрыс шешімі
белгісіз болсын, ол уақыт бойынша өседі, басқаша айтқанда . Сонда,(
1.2.18) белгілі схемамен байланысты шығарылуының әр түрлілігі түсірілген
салыстырудың дұрыстылығымен, сондай-ақ меншікті торлық функцияның мәні
келесі уақыттық қабатпен анықталады, яғни шығарылу уақыт бойынша өсетіні
байқалады.
(1.2.19) белгісіз функцияның өсетін шығарылымы, керісінше, шығарылу
дұрыстығына қарағанда көтерілген, яғни торлық функцияның үстіңгі уақыттық
қабатымен анықталады.
Сурет түсудің шығарылуымен ауысады, яғни қарама-қарсы бейнемен:
белгілі соңғы әр түрлі схеманың шығарылуымен көтеріледі, ал белгісіз түседі
( 2.3 суретті қараңыз).
1.2.3-сурет. Аппроксимацияның екі жақты әдісі
Бұл анализдің негізінде құрудың нақты белгілі – белгісіз соңғы әр
түрлі схемаладың таразыларымен кеңістіктік соңғы әр түрлі операторлармен,
сондай-ақ ұсақталған τ және h қадамымен нақты (белгісіз) шығарылуы
″вилканы″ алған, егер белгілі және белгісіз схемалар дифференциалдық
есептерді және бұл тұрақты схемаларды аппроксимациялайды, онда сеткалық
мінездемеге бағытталу және h нөлге ұмтылуы, белгілі және белгісіз
схемаладың шығарылуы әр түрлі жақтан нақты шешімге ұмтылады.
Белгілі және белгісіз сұлбаның жылуөткізгіштік теңдеуінің оңай
түрімен қарастырайық.
(1.2.20) Қайда θ – шекті-әртүрлігінің барлық бөлшек
сұлбасы, 1−θ – барлық белгілі бөлшек үшін, 0≤θ≤1. θ=1 тең болғанда толық
белгісіз сұлба, θ=0 – барлық белгілі сұлба, ал θ=12 - Кранк-Николсон
сұлбасы болады. Кранк-Николсон (θ=12) сұлбасына аппроксимация реті
құрылады,яғни т.с.с. уақыт бойынша бір ретке жоғары болады, жай белгілі
және белгісіз сұлбаға қарағанда.
Белгісіз және белгілі сұлбаның уақытқа абсолютті орнықты (1.2.20),
яғни 12≤θ≤1 және орнықты шарттарға сәйкес 0≤θ12 белгіленеді.
Сонымен, Кранк-Николсон сұлбасы (2.20) және θ=12 абсолютті орнықты
және уақыт бойынша екінші ретті аппроксимацияға және кеңістіктегі х
айнымалыға сәйкес келеді. Құрамында туындысы бар шекаралық шарттың
аппроксимациясы.
Математикалық физика есептерінде және жылуөткізгіштік есептердің
дербес жағдайында, яғни шекараның есептелінетін облысының байламында
шекаралық шарттың бірінші реті аппроксимацияланады. Екінші және үшінші
ретті шекаралық шарттардың айырмашылығы, олардың айнымалы кеңістік бойынша
ізделінетін функцияның бірінші ретті туындысы қатысады. Сондықтан, түрлі-
шекті сұлбаның түйілісіне аппроксимация қажет. Бірінші ретті аппроксимация
туындысының бағыты қарапайым нұсқа ретінде алынады:
Онда шекаралық жалпы жағдайының үшінші ретінің (1.2.7), (1.2.8) теңдеуі,
түрлі сұлбаның екі шектік байламда ізделінетін функция мәні байланысады,
сонда келесі өрнек түрінде беріледі:
Шекті-әр түрлілігінің аппроксимациялық ішкі байламда белгілі теңдеуді
аламыз, үшінші алғашқы-шектік есеп үшін белгілі әр түрлі сұлбаны аламыз
(1.2.1), (1.2.4), (1.2.7), (1.2.8).
Жаңа уақыттық қабатқа алгоритмдік өтуін белгілі сұлбаның
көмегімен аламыз:
Яғни, алғашқы ізделінетін функцияның барлық ішкі жаңа уақыттық қабаты
есептелінеді, содан соң шекарадағы мәндер анықталады.
Белгісіз соңғы-түрлі сұлбаны қолданып, дифференциалдық есепті аламыз:
Нәтижесінде жаңа уақыттық қабаттың шешімін табу үшін сызықтық алгебра
теңдеуінің үш-диагональді матрицалар жүйесін қолданамыз. Белгілі және
белгісіз сұлбаны қолданған кезде осыған ұқсас болады.
Шекаралық шарттың бірінші ретті аппроксимациясы жоғарыда
көрсетілгендей қасиетке ие болады. Т.с.с. ішкі байланысуының
аппроксимациясы шекаралық байланысуы тәртібі аппроксимациясы орындалады.
Аппроксимациялық ретінің сетканы түгел байламын глобальді аппроксимациялық
реті деп аламыз.
Аппроксимация ретті жоғарлауының шекаралық шартының белгілі бір
әдісі екінші ретін дифференциалдық есеп болып табылады:
Егерде, белгілі сұлбаның алгоритімі есептің шешілуі жаңа уақыттың қабаты
мен аппроксимациялық шекараның шартын қабылдамайды, бірақ принципиалдығы
өзгермейді. САТЖ өзінің үш-диагональдығын жоғалтады егерде, белгісіз сұлба
қолданылғанда(бірінші және екінші теңдікте үшеуі белгісіз болады). Үшінші
теңдікті оңай алып тастау жолын қарастырамыз, яғни екінші және үшінші
теңдіктерді комбинацияның сызықтық жолымен алуға болады. Бұл жағдайда
диагональды матрицаның бұзылуы, сонымен қатар прагон әдісі де бұзылады.
Оны оңай жолымен қарастырайық, аппроксимациялық ретті шартын
күшейтпелігінсіз аппроксимациялық қатынастың байланыс саны. Иллюстрациялық
жолға мынандай түрде жетеміз.
Мысалы 1.
Үшінші алғашқы-шектік есептің параболалық теңдеуінде, құрамында
конвекцияланған мүшелерінің құрамдамасы, (туындының пропорционалы ),
іздеу функциясының шығу көздері, мүшелерін құрайды
Шешімі.
Шекті - әртүрлігі сұлбасының теңдеуі, сетканың Шекті-әртүрлігінің
белгісіз ішкі байланыста көреміз, (2.21):
(1.2.25)
Егер, бірінші тәртіптегі шекарлық шарттың туындысын (1.2.22) және
(1.2.23) аппроксимациялық сұлба бойынша аламыз (оң және сол Шекті-
әртүрлігін қою-арқылы)
Онда шекаралық шарттар бірінші тәртіп бойынша аппроксимацияланады және
глобальді тәртібі, бірінші тәртіпке тең, барлық қалған байланыс
аппроксимациялық тәртіп кеңістігі орын ауысуы екіге бөлінеді.
Аппроксимациялық тәртіпті сақтауға және екіге теңдігін біз шекаралық
байланысуда дәл есептелінген теңдеуіне қоямыз сонда аумақ нүктесінде
x=0 болғанда Тейлор қатарына ауыспалы x үшінші туындыға шейін ,-
аналогтық қатарының нүктелік ауданының x=l деп аламыз (функциясының жазылуы
бойынша u(x,t) шекаралық байлаудан бірінші туынды алынады және екіншіні х
бойымен аламыз):
(1.2.26)
(1.2.27)
Әрі қарай екінші мәннің туындысын шекаралық байлануына қоямыз,
дифференциалдық теңдеуін аламыз (2.21):
Алынған өрнектен шығады (1.2.26), бірінші туындының мәнін шекаралық
ретімен, аламыз (1.2.27)
Қою аркылы яғни (1.2.22), және (1.2.23) аппроксимациялық
кезінде сәйкес қосылуы алынғанда шекаралык байлануын қараймыз (осыдан
алгебралык теңдеудің шекаралық байланысуын аламыз, осының әрқайсысында
екеуі белгісіз болады:
(1.2.28)
(1.2.29)
Осылайша, (1.2.28) - Шекті-әртүрлігінің аппроксимациясының шекаралық
теңдеуінің үш түрі белгілі (1.2.22) сол жақ шекарада x=0 болады, яғни
(1.2.29). Шекті - әртүрлігінің аппроксимациялық үшінші-текті теңдеудің оң
жақ шекарада (1.2.23) x=l аппроксимацияның сол жақ ретін сақтайды, осылайша
Шекті - әртүрлігінің аппроксимациясы (1.2.25) және дифференциалдық
теңдеуінде де (1.2.21).
Жаза отырып шекралық Шекті - әртүрлігінің теңдеуінде (1.2.28),
(1.2.29) сетканың функцияснда екінші мәнді ұстанады, алгебралық теңдеу
(1.2.25),
(1.2.30)
САТЖ аламыз және үш-диоганальді матрицамен шығарылады.
(j = N, N-1, ... , 0.)
Қабылдаған әдіс аппроксимациялық шеттік шарт, туынды бойынша
кеңістіктегі орын ауыстыру, аппроксимацияның тәртібін көтеріп қана қоймай
консерванттық соңғы-түрлі аппроксимацияда сақталу заңдары қолданылады.
Аналогтық жақындауда шеттік есептерде дифференциалдық теңдеудің кез-келген
түрінде қолдануға болады.
1.3 Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің жалпы түсінігі
Мәліметтер базасының негізгі ұғымы
Мәліметтер базасының негізгі ұғымы
Математикалық физиканың негізгі теңдеулеріне сипаттама беріп
ерекшелігін көрсету барысында, бұл теңдеулердің қорытылуы қарастырылады.
Жеке туындылар арқылы құрылған теңдеулер және олардың шешімі. Бастапқы және
соңғы шарт қарастырыла отырып, ішектің түрлі шарттағы тербеліс теңдеуінің
шешімі қарастырылады. Біртекті изотропты дененің түрлі нүктесіндегі
температура түрлі болса, дене ішінде жылу алмасу жүретіндіктен жылу
өткізгіштік құбылысы қарастырылады. Осыған орай түрлі шартпен алынған жылу
өткізгіштіктің теңдеуін шешу қарастырылады. Ол түрлі денелер үшін алынған
есеп ретінде талданады. Денедегі сұйық немесе газ қатпарларының арасындағы
бөлшектер қозғалысы салдарыныан туған ішкі үйкеліс үшін Навье-Стокс теңдеуі
қолданатынын көреміз. Тақырып соңында бірнеше мысалдар арқылы жоғарыда
аталған теңдеулерді шығарып алу, пайдалану іске асырылады.
Бұл бөлімде сызықты Навье-Стокс стационарлы емес жүйесі үшін кері
есеп зерттеледі.
Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есепті цилиндрінде
қарастырайық.
,
, (1.3)
жүйесіндегі қанағаттандыратын және анықтау керек.
бастапқы шарты
,
(1.3.1)
шектік шарты
,
(1.3.2)
және интергалдық шарты төмендегідей
(1.3.3)
мұндағы
– берілген функциялар.
1.4 Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің математикалық моделі
Лагранждың интерполяциялау формуласы.
кесіндісінде жататын нүктелері және осы нүктелерде
функциясының мәндері - берілген. Осы функцияны интерполяциялау үшін n
дәрежелі алгебралық көпмүшені
(1.4)
қолданамыз. Мұндағы коэффициенттерін болатындай етіп табу
керек. Кез-келген үзіліссіз функциясы үшін бұл есептің шешімі біреу
ғана болады. Себебі
(1.4.1)
теңдеулер жүйесінің аңықтауышы нольден айырықша (Вандермонд аңықтауышы).
көпмүшесін, нүктелері бойынша тұрғызылған,
функциясын интерполяциялаушы көпмүше дейміз.
(2.2) теңдеулер жүйесінің шешімдерін әртүрлі жолмен табуға болады. Оның көп
қолданатын түрлері Лагранж бен Ньютонның интерполяциялық көпмүшеліктері.
Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігін
(1.4.2)
түрінде қарастырамыз. (2.2) шартын ескере отырып,
(1.4.3)
теңдігін аламыз. Егер
(1.4.4)
болса, онда (2.4) шарты орындалады. дәрежелі көпмүше болғандықтан
коэффициентін де n дәрежелі көпмүше ретінде іздеген дұрыс. Атап
айтқанда көпмүшесін
(1.4.5)
түрінде іздейміз.
шартың ескере отырып, (2.6) формуладан
(1.4.6)
және
(1.4.6)
формуласын табамыз. Сонымен Лагранж көпмүшесі толық былайша жазылады.
.
(1.4.7)
Егер десек, онда
ал,
Сондықтан Лагранж көпмүшесін былайша ықшамдап жазуға болады:
(1.4.8)
Енді интерполяциялық Лагранж көпмүшесінің жіберетін қатесін қарастырайық.
функциясын көпмүшесімен алмастырғанда жіберетін қатеміз
(1.4.6)
Кейде функциясын Лагранж көпмүшесінің қалдығы деп те атайды. Кез-
келген нүктесіндегі қалдықты табу үшін мына көмекші функцияны
қарастырамыз:
,
мұнда -тұрақты сан. санын болатындай, яғни
деп алсақ, онда ең болмағанда нүктеде нольге тең болады. Енді
функциясының кесіндісінде үзіліссіз ретті туындысы бар
болсын. Сонда , Роль теоремасы бойынша, кесіндісінде ең
болмағанда n+1 нүктеде нөлге тең, ал -ені , болмағанда n нүктеде нөлге
тең, т.с. ең болмағанда бір нүктеде нөлге тең болады. Сонымен
табылады да болады.
Ал, болғандықтан
. (2.13)
(2.12) және (2.13) формулаларды ескере отырып,
формуласын аламыз. Осыдан функциясын жоғарыдан бағалау арқылы
.
теңсіздігін аламыз, мұндағы . Егер дәрежесі n-нен үлкен емес
көпмүше болса, онда Сондықтан .
Сызықты Навье-Стокс жүйесі үшін кері есептің математикалық моделі
келесі түрде берілген:
j=1 болғанда теңдеу келесі түрге түрленеді:
функциясы келесі теңдікте анықталады:
бастапқы шарттары төмендегідей:
1.5 Сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесіне интегралдық,
қосымша анықталған, шартпен қойылған кері есеп
Бұл бөлімде сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесіне интегралдық,
қосымша анықталған, шартпен қойылған кері есебін зерттейміз.
Q= [0,T],R стерженінде сызықты Навье-Стокс
теңдеулер жүйесіне қойылған кері есебін қарастырайық. Төмендегі (1.5.1) –
(1.5.3) жүйелерін
(1.5.1)
(1.5.2)
бастапқы шарттарын
(1.5.3)
шекаралық шарттарын
(1.5.4)
жəне келесі интегралдық шарттарын
(1.5.5)
қанағаттандыратын функцияларын анықтау керек. Мұндағы - сұйықтың
жылдамдығы, р- сұйықтың қысымы, және с - сəйкесінше тұтқырлық, жылу
сыйымдылық коэффициенттері ( жəне с − теріс емес тұрақтылар), β −
кубтық кеңею коэффициенті, g − ауырлық күш үдеуінің векторы, - сыртқы
күштері.
- берілген функциялар.
(1.5.1) – (1.5.5) кері есебінің жалпылама шешімінің анықтамасын
берейік.
1.5.1-анықтама. Егер жəне функциялары мына
интегралдық тепе – теңдіктерді
(1.5.6)
(1.5.7)
кез-келген
(1.5.8)
(1.5.9)
қанағаттандырса, онда және функцияларын (1.5.1) – (1.5.7) кері
есебінің жалпылама шешімі деп айтамыз.
1.5.1-лемма. Егер (1.5.1) – (1.5.7) кері есебінің шешімі
жеткілікті тегіс болса, онда (1.5.1) – (1.5.7) кері есебі (1.5.1) –
(1.5.5), (1.5.10), (1.5.11) есеп қойылымына, берілгендері бірдей болған
жағдайда, эквивалентті, сонымен қатар және функцияларын айқын
түрде табуға болады, яғни
(1.5.10)
(1.5.11)
1.5.1-теорема. (1.5.11) шарты орындалсын, онда (1.5.1) – (1.5.7)
кері
есебінің жалпылама шешімі бар жəне ол жалғыз.
Дəлелдеу. Осы теореманы дəлелдеу үшін де тізбектей жуықтау əдісін
қолданамыз. Нөлдік жуықтауда деп алайық жəне барлық m =1,2,...
үшін жуықтауларын келесі өрнектерден анықтаймыз:
(1.5.12)
(1.5.13)
(1.5.14)
(1.5.15)
(1.5.16)
(1.5.17)
(1.5.18)
Айталық, жəне функциялары белгілі болсын, себебі олар
жəне функциялары арқылы өрнектеледі, жəне
функцияларын сəйкесінше (1.5.15), (1.5.16) теңдеулерге қояйық, сонда біз
сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесінің (1.5.15) – (1.5.18) тура есебін
аламыз. (1.5.15) – (1.5.18) тура есебінің жалпылама шешімінің анықтамасын
берейік.
1.5.2-анықтама. функциялары төмендегі
интегралдық тепе – теңдіктерді
(1.5.19)
(1.5.20)
үшін қанағаттандырса, мұндағы
онда жəне
функцияларын (1.5.15) – (1.5.18) есебінің жалпылама шешімі деп айтамыз.
(1.5.15) – (1.5.18) есебінің шешімі бар жəне жалғыз болатынына келесі
тұжырым орынды.
1.5.2-лемма. Кез – келген
үшін (1.5.15) – (1.5.19) есебінің (1.5.21) шешімі
бар жəне ол жалғыз.
кеңістіктерінде тізбектері фундаменталді тізбектер
екенін дəлелдейік. кеңістіктері толық болғандықтан, онда
жұбтары тізбектерінің шегі болады, яғни да олай
болса жұбтары (1.4.1)-(1.4.7) кері есебінің ізделінді əлсіз шешімі
болады.
Енді белгілеулерін енгізсек, онда (1.4.13),
(1.4.14) өрнектері жəне (1.5.15) – (1.5.19) есебі мына түрде жазылады:
(1.5.22)
(1.5.23)
(1.5.24)
(1.5.25)
(1.5.26)
(1.5.27)
(1.5.28)
(1.5.22) өрнегі былайша бағалайық
таңдап алсақ, онда төмендегі бағалауға келеміз
Соңғы алынған теңсіздіктің екі жағын квадратқа көтеріп, t бойынша
интегралдайық, онда келесі бағалауды аламыз
(1.5.29)
Дəл осылай айырмасы да, бағаланады
(1.5.30)
мұндағы жəне коэффициенттері жəне t шамаларға тəуелсіз.
Енді (1.5.24) теңдеуді ал (1.5.25) теңдеуін шамаларға
скаляр
кеңістікте көбейтейік, нəтижеде мынадай тепе – теңдіктерді аламыз
(1.5.31)
(1.5.31) теңдеулер жүйесінің оң жақтарына Гельдер теңсіздігін жəне лемма
2 пайдаланып, бағаласақ
теңсіздіктерге келеміз.
Бұл алынған бағалауларды (1.5.31) апарып койып, содан кейін, екі
теңдеулерді бір – біріне сəйкес мүшелерін қосайық жəне таңдап алсақ,
онда қарапайым түрлендіруден кейін, біз төмендегі дифференциалдық
теңсіздікті аламыз:
(1.5.32)
мұндағы облысының ені, ал коэффициенттері жəне t
шамаларға тəуелсіз. (1.4.32) теңсіздікке Гронуолла теңсіздігін пайдалансақ,
төмендегі бағалауды аламыз
(1.5.33)
(1.3.29), (1.3.30) жəне (1.3.33) бағалауларды бірге қарастыра отырып,
келесі бағалау орынды болады
(1.5.34)
Егер жəне тұрақтыларын төмендегі шарттарды
қанағаттандыратындай, таңдап алуымыз керек
(1.5.35)
Демек, (1.4.34) жəне (1.4.35) бағалаулары кез келген m = 1,2,... үшін
келесі түрге келеді
(1.5.36)
(1.5.37)
мұндағы
(1.5.35) шарттары орындалғанда (1.5.36), (1.5.37) бағалауларынан,
кеңістіктерінде сəйкесінше тізбектері фундаменталді екендігі
шығады. Жоғарыдағы талқылаулардан соң кеңістіктерінде сəйкесінше
жалғыз ғана жұбтары бар, сонымен қатар төмендегі тізбектерде шекке
көшу орынды
кеңістігінде
кеңістігінде
кеңістігінде
Сонымен, тізбектерінің əлді жинақталуынан (1.5.13),
(1.5.14), (1.5.20) жəне (1.5.21) теңдіктерде m →∞ ұмтылғанда шекке көшсек,
(1.5.1) – (1.5.7) кері есебінің цилиндрде жалпылама
шешімін аламыз.
Енді есептің шешімінің жалғыздығын дəлелдейік. Əдеттегідей, (1.5.1) –
(1.5.7) кері есебінің цилиндрінде k=1,2 екі шешімі бар
болсын, онда (1.5.35) – (1.5.37) теңсіздіктерден, келесі бағалауларды
табамыз
бұдан келіп шығады.
жəне тұрақтылары бастапқы берілген жəне
функцияларынан тəуелсіз, сондықтан t ≥σ болғанда жағдайда
деп аламыз, мұндағы жəне локалді шешімнің болғандағы мəні.
Кері есептің локалді шешілуіне байланысты жоғарыда көрсетілген əдісті
ақырлы уақыт үшін, ақырлы рет қолдансақ, бүкіл цилиндрде
жалпылама шешімі бар жəне ол жалғыз екендігі шығады.
Жоғарыда көрсетілген əдісті ақырлы уақыт үшін, ақырлы рет қолдансақ,
бүкіл цилиндрде жалпылама шешімі бар жəне ол жалғыз
болатындығын дəлелдейміз.
Кері есептердің орнықтылық мəселелері жуықтап берілген
шарттарының негізінде, ізделінді шешімдеріне өте жақын,
жуықтау шешімдерін табу əдістерін құруға байланысты зерттелінеді.
Алғашқы рет кері есептердің шешімдерінің орнықтылық мəселелерін А.Н.
Тихонов [19] қарастырған. (1.5.1) – (1.5.7) кері есебінің шешімі бастапқы
шарттарынан жəне қосымша анықталған, шарттарынан орнықтылығы келесі
тұжырымнан шығады.
1.3.2-теорема. (1.5.1) – (1.5.7) кері есебінің (k=1,2) сəйкес
(k=1,2) жалпылама шешімдері болсын, онда осы жалпылама шешімдерінің
айырмалары үшін төмендегі бағалау орынды
(1.5.38)
мұндағы C(T) тұрақтысы (k=1,2) шамаларға тəуелсіз.
Дəлелдеу. (1.5.1) – (1.5.7) кері есебінің (k=1,2) шамаларға
сəйкес (k=1,2) жалпылама шешімдері болсын. (1.5.1) – (1.5.7) кері
есебін олардың айырмасы үшін жазайық. (1.3.12), (1.3.35) шарттары
орындалса, онда (1.5.8) – (1.5.11) өрнектерден цилиндрінде келесі
теңсіздіктерді аламыз
(1.5.39)
(1.3.40)
(1.5.39) жəне (1.5.40) теңсіздіктерден
бағалауын аламыз, мұндағы C тұрақтысы (k=1,2) шамаларға тəуелсіз.
Жоғарыда цилиндрінде зерттеулерді цилиндрі үшін қайталап шықсақ
(1.5.41)
бағалау орынды.
Жалпы жағдайда, жəне түрінде белгілесек, онда
келесі рекурренттік формуланы аламыз
(1.5.42)
мұндағы
(1.3.42) рекурренттік формулада ескерсек, біз мына теңсіздікке
келеміз
(1.5.43)
Бұдан орнықтылық бағалауы шығады, яғни
1.5.2 теорема толық дəлелденді.
2 САНДЫҚ ӘДІС
2.1 Сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесі үшін тура есептің
математикалық моделі
тіктөртбұрышында сызықты теңдеуге қойылған кері есебін
қарастырайық, төмендегі (2.1.1)–( 2.1.3) қанағаттандыратын функциясын
анықтау керек:
(2.1.1)
бастапқы шартын
(2.1.2)
шеттік шартын
(2.1.3)
мұндағы берілген функциялар.
торларын енгізейік. Енді облысында қадамдары болатын тор
енгізейік
.
(2.1.1)–(2.1.5) кері есебінің шекті-айырымдық (айқындалмаған) схемасын
құрайық:
Мұндағы коэффициенттері Симпсон формуласындағы үшін
коэффициенттер.
Бұл айырымдық есепті итерация әдісімен есептейміз.
2.2 Сызықты Навье-Стокс теңдеулер жүйесі үшін тура есепті сандық шешу
#includeiostream
#include math.h
#include stdio.h
#define ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz