Сақталу заңдары
1 Негізгі ұғымдар және анықтамалар
1.1 Физикалық құбылыстарды суреттеудің статистикалық және термодинамикалық әдістері
1.2 Термодинамикалық тепе.теңдік. Тепе.теңсіздік шектеулер
1.3 Термодинамиканың екінші бастамасы
1.4 Кеңістік пен уақытты ірітүйірлі тегістеу
1.5 Ағындар және қайнар көздері туралы ұғым
2.1 Сақталу заңдарының жалпы түрі
2.2 Массаның сақталу заңы
2.3 Толық энергияның сақталу заңы
2.4 Локалды (жергілікті) квазитепе.теңдік шарты
2.5 Импульстың сақталу заңы
2.6 Кинетикалық энергияның сақталу заңы
2.7 Кинетикалық және потенциалдық энергияның сақталу заңы
2.8 Ішкі энергияның баланс теңдеуі
3 Энтропияның балансы
3.1 Энтропияның тығыздығы, энтропияның ағыны және энтропияның өндірісі. Термодинамиканың екінші заңының локалды (жергілікті) тұжырымдамасы
3.2 Энтропияның баланс теңдеуі
4 Феноменологиялық заңдар
4.1 Қайтымсыз процестердің макроскоптық термодинамикасының негізгі формуласы
4.3 Онзагердің өзара ара қатыстары
4.4 Ортаның симметрия қасиеттерінің сызықтық заңдарға әсері. Кюридің симметрия принципі
1.1 Физикалық құбылыстарды суреттеудің статистикалық және термодинамикалық әдістері
1.2 Термодинамикалық тепе.теңдік. Тепе.теңсіздік шектеулер
1.3 Термодинамиканың екінші бастамасы
1.4 Кеңістік пен уақытты ірітүйірлі тегістеу
1.5 Ағындар және қайнар көздері туралы ұғым
2.1 Сақталу заңдарының жалпы түрі
2.2 Массаның сақталу заңы
2.3 Толық энергияның сақталу заңы
2.4 Локалды (жергілікті) квазитепе.теңдік шарты
2.5 Импульстың сақталу заңы
2.6 Кинетикалық энергияның сақталу заңы
2.7 Кинетикалық және потенциалдық энергияның сақталу заңы
2.8 Ішкі энергияның баланс теңдеуі
3 Энтропияның балансы
3.1 Энтропияның тығыздығы, энтропияның ағыны және энтропияның өндірісі. Термодинамиканың екінші заңының локалды (жергілікті) тұжырымдамасы
3.2 Энтропияның баланс теңдеуі
4 Феноменологиялық заңдар
4.1 Қайтымсыз процестердің макроскоптық термодинамикасының негізгі формуласы
4.3 Онзагердің өзара ара қатыстары
4.4 Ортаның симметрия қасиеттерінің сызықтық заңдарға әсері. Кюридің симметрия принципі
Молекулалардың жылулық (хаосты, бейберекет) қозғалысын суреттеу үшін физикада екі әдіс қолданылады: статистикалық және термодинамикалық. Жүйені статистикалық әдіспен суреттегенде қарастырылатын дене құрылысының қандай-да бір әлдебір моделі пайдаланылады. Термодинамикалық әдістің статистикалық әдістен айырмашылығы, ол құбылысты ең жалпы түрде бейнелейді, бұл әдісте заттың құрылысы мен құбылыстың молекула-кинетикалық механизмі туралы моделдік көзқарастар қолданбайды.
Сонымен бірге заттың ішкі құрылымы туралы терең білушілікті қажет етпей-ақ, әр түрлі заттардың тікелей бақыланатын сипаттамаларының арасындағы байланысты термодинамика тағайындайды. Бар жоғы бірнеше заңдарды және айнымалы шамаларды қолданып, ол орасан сан молекулалардан құралатын күрделі макроскоптық жүйелер туралы зор мәліметтер алуға мүмкіндік береді. «Бөлшектердің санының өте көптігінің» өлшемі ретінде, мысалы Авогадро санын
пайдаланады.
Құрамында өте көп бөлшектер болуынан макроскоптық жүйеде туындайтын заңдылықтарды статистикалық деп атайды. Бөлшектер саны соншалықты көи болмаған жүйелерде анықтама бойынша статистикалық заңдылықтардың күші жойылады.
Термодинамикалық әдістің тағы да бір артықшылығы – жан-жақтылығы, себебі оның тұжырымдамалары қарастырылатын жүйенің сипаттамаларынан тәуелсіз. Зат табиғатының ерекшеліктері бұл теорияда тек қана бірнеше параметр арқылы беріледі, мысалы мольдік шамалар және жылусыйымдылық сияқты. Екі әр түрлі күйлерде болатын жүйелердің әрекеттесуі туралы мәліметтерді термодинамикалық есептеулер арқылы алуға болады. Жылулық процестердің эксперименттік зерттеулерінің жалпы қорытындауы болатын осындай нәтижелердің жиынтығы термодинамиканың мазмұны болады.
Термодинамиканың негізгі ұғымдары мен заңдарының физикалық мағынасы статистикалық теория негізінде ашылады.
Сонымен бірге заттың ішкі құрылымы туралы терең білушілікті қажет етпей-ақ, әр түрлі заттардың тікелей бақыланатын сипаттамаларының арасындағы байланысты термодинамика тағайындайды. Бар жоғы бірнеше заңдарды және айнымалы шамаларды қолданып, ол орасан сан молекулалардан құралатын күрделі макроскоптық жүйелер туралы зор мәліметтер алуға мүмкіндік береді. «Бөлшектердің санының өте көптігінің» өлшемі ретінде, мысалы Авогадро санын
пайдаланады.
Құрамында өте көп бөлшектер болуынан макроскоптық жүйеде туындайтын заңдылықтарды статистикалық деп атайды. Бөлшектер саны соншалықты көи болмаған жүйелерде анықтама бойынша статистикалық заңдылықтардың күші жойылады.
Термодинамикалық әдістің тағы да бір артықшылығы – жан-жақтылығы, себебі оның тұжырымдамалары қарастырылатын жүйенің сипаттамаларынан тәуелсіз. Зат табиғатының ерекшеліктері бұл теорияда тек қана бірнеше параметр арқылы беріледі, мысалы мольдік шамалар және жылусыйымдылық сияқты. Екі әр түрлі күйлерде болатын жүйелердің әрекеттесуі туралы мәліметтерді термодинамикалық есептеулер арқылы алуға болады. Жылулық процестердің эксперименттік зерттеулерінің жалпы қорытындауы болатын осындай нәтижелердің жиынтығы термодинамиканың мазмұны болады.
Термодинамиканың негізгі ұғымдары мен заңдарының физикалық мағынасы статистикалық теория негізінде ашылады.
1 Негізгі ұғымдар және анықтамалар
1.1 Физикалық құбылыстарды суреттеудің статистикалық және термодинамикалық
әдістері
Молекулалардың жылулық (хаосты, бейберекет) қозғалысын суреттеу үшін
физикада екі әдіс қолданылады: статистикалық және термодинамикалық. Жүйені
статистикалық әдіспен суреттегенде қарастырылатын дене құрылысының қандай-
да бір әлдебір моделі пайдаланылады. Термодинамикалық әдістің статистикалық
әдістен айырмашылығы, ол құбылысты ең жалпы түрде бейнелейді, бұл әдісте
заттың құрылысы мен құбылыстың молекула-кинетикалық механизмі туралы
моделдік көзқарастар қолданбайды.
Сонымен бірге заттың ішкі құрылымы туралы терең білушілікті қажет
етпей-ақ, әр түрлі заттардың тікелей бақыланатын сипаттамаларының
арасындағы байланысты термодинамика тағайындайды. Бар жоғы бірнеше заңдарды
және айнымалы шамаларды қолданып, ол орасан сан молекулалардан құралатын
күрделі макроскоптық жүйелер туралы зор мәліметтер алуға мүмкіндік береді.
Бөлшектердің санының өте көптігінің өлшемі ретінде, мысалы Авогадро санын
пайдаланады.
Құрамында өте көп бөлшектер болуынан макроскоптық жүйеде туындайтын
заңдылықтарды статистикалық деп атайды. Бөлшектер саны соншалықты көи
болмаған жүйелерде анықтама бойынша статистикалық заңдылықтардың күші
жойылады.
Термодинамикалық әдістің тағы да бір артықшылығы – жан-жақтылығы,
себебі оның тұжырымдамалары қарастырылатын жүйенің сипаттамаларынан
тәуелсіз. Зат табиғатының ерекшеліктері бұл теорияда тек қана бірнеше
параметр арқылы беріледі, мысалы мольдік шамалар және жылусыйымдылық
сияқты. Екі әр түрлі күйлерде болатын жүйелердің әрекеттесуі туралы
мәліметтерді термодинамикалық есептеулер арқылы алуға болады. Жылулық
процестердің эксперименттік зерттеулерінің жалпы қорытындауы болатын
осындай нәтижелердің жиынтығы термодинамиканың мазмұны болады.
Термодинамиканың негізгі ұғымдары мен заңдарының физикалық мағынасы
статистикалық теория негізінде ашылады.
1.2 Термодинамикалық тепе-теңдік. Тепе-теңсіздік шектеулер
Жүйені құрайтын барлық материялық нүктелердің жылдамдықтары және
үдеулері нөлге тең күйі механикадағы тепе-теңдік күйді анықтайды. Сонда
кез келген уақыт мезетінде әр нүктеге әрекет ететін тең әсерлі күш анықтама
бойынша нөлге тең. Бұл шарттың бұзылуы механикалық тепе-теңдіктің бұзылуына
әкеледі. Мұндай бұзылу мысалы ретінде, жүктеме астындағы металл
үлгілерінің бүлінуін алуға болады.
Термодинамикалық тепе-теңдік ұғымының механикалық тепе-теңдікпен
өзгешелігі мүлде баска сипатқа ие болады. Термодинамикалық жүйенің
молекулалары (температура асқын төмен болмаса) теңдеспеген күштер
әрекетінде болып жан-жақты мүмкін бағыттарда қозғалады. Термодинамикалық
жүйе деп басқа денелермен және өзара энергия және (немесе) зат алмаса
алатын бір немесе бірнеше денелер жиынтығын атайды. Мұнда тепе-теңдік
ұғымды жүйені тұтас алғанда кейбір бірлескен (лат. collectivus – жинақтау,
бірге, бірлескен, коллективтік) сипаттамаларына жатқызады, айталық,
температура, қысым немесе компонент концентрациясы сияқты. Бұл сипаттамалар
жүйе әрекеттерін макроскопты түрде бенелейді және күй параметрлері деп
аталады. Белгілі сыртқы ортада орналасқан жүйені қарастырайық (1.1 сурет).
Егер алмасуға жауапты Xi және сыртқы ортаның Хe сипаттамаларының
мәндері жүйе мен сыртқы ортада бірдей болса, онда жүйе термодинамикалық
тепе-теңдік күйде болады. Айталық Хi – температураға сәйкес, жүйенің
қабырғалары жылу өткізеді, сондықтан жүйе мен сыртқы орта энергиямен
алмассын делік. Егер жүйенің кез келген нүктесінде және кез келген уақыт
мезетінде Т=Тe , яғни температура теңдігі байқалады, онда жүйе мен сыртқы
орта арасында термодинамикалық тепе-теңдік орнайды. Осыған ұқсас жағдай,
егер жүйе сыртқы ортамен механикалық энергиямен алмаса алатын болса, онда
механикалық тепе-теңдікте қысымдардың теңдігі орын алады, демек Р=Рe .
1.1 сурет. Ашық жүйе
Егер жүйеге сыртқы күштер әсер етсе, онда термодинамикалық тепе-теңдікті
сипаттайтын қосымша айнымалылар қажет болады.
Жоғарыда айтылғандар негізінде келесі қорытынды жасауға болады: егер
оқшауланған жүйе термодинамикалық тепе-теңдікте болса, онда жүйенің барлық
бөліктерінде қысым мен температура бірдей. Осы себептен тепе-теңдікте
жүйенің әр түрлі бөліктерінің арасы термодинамикалық көмескі. Сыртқы
ортамен энергия және зат алмаспайтын жүйені оқшауланған жүйе деп атайды.
Тепе-теңдік термодинамикасы екі іргелі заңға негізделген:
термодинамиканың бірінші заңына немесе энергия сақталу заңына және екінші
заңына немесе энтропия (гректің еn+trope – бұрылу, айналдыру) заңына. Тепе-
теңдіксіз процестердің феноменологиялық теориясыда осы екі заңға
негізделеді. Бірақ бұл жағдайда ол заңдар біраз басқа түрде тұжырымдалады.
Тепе-теңдік термодинамикасы жүйенің бұрынғы жайтын және оның
бастапқы күйден соңғы күйге өту жолын ескермейді, бүны көрнекі түрде
осында және қазір деп айтуға болады. Тепе-теңдік термодинамикасына
қарағанда тепе-теңдіксіз процестер термодинамикасы материя дамуының
динамикалық жайын қарастырады, солай болғандықтан ол тыныштық күй
орнықпаған жүйені зерттейді. Тепе-теңдіксіз термодинамикасын тепе-теңдік
термодинамиканың негізгі қағидаларын білмей түсінуге болмайды.
Кез келген термодинамикалық жүйелерге тән қасиет ретінде температура
ұғымы термодинамикада нөлдік заң арқылы енгізіледі. Термодинамиканың нөлдік
заңының тұжырымдамасы: егер екі А және В денелер бір-бірінен тәуелсіз және
жеке-жеке үшінші С денемен жылулық тепе-теңдікте болса, онда олар бір-
бірімен дәл сондай жылулық тепе-теңдікте болады; басқаша айтқанда жылулық
тепе-теңдік жүйенің барлық нүктелерінде (бөліктерінде) температурасы тең
болатынын анықтайды.
Термодинамиканың үшінші заңы да бар, оны Нернст заңы немесе жылулық
теорема деп атайды. Бұл заңға сәйкес абсолют нөл температурада кез келген
жүйенің энтропиясы нөлге тең болады.
1.3 Термодинамиканың екінші бастамасы
Қайтымсыз процестердің ең өзіне тән ерекшеліктерін ғажайып дәл
қамтыған 1865 ж. Рудольф Клаузиус тұжырымдаған түріндегі термодинамиканың
екінші бастамасы. Клаузиус сыртқы ортамен не энергия, не масса алмаспайтын
оқшауланған жүйелерді қарастырған. Мүндай жүйелер үшін Клаузиус бойынша,
термодинамиканың екінші бастамасынан әлдебір S (энтропия) функциясы
болатыны және ол өзінің максималды мәніне жеткенше термодинамикалық тепе-
теңдік күйде монотонды өсіп отыратыны байқалады:
(1.1)
- экстенсивтік қасиетке жатады, демек, егер жүйе бірнеше бөліктерден
құралса, онда жүйенің толық энтропиясы әр бөліктің энтропиясының
қосындысына тең болады. Олай болса, энтропия – аддитивтік шама.
Клаузиус тұжырымдамасын сыртқы ортамен энергия және затпен алмасатын
ашық жүйелерге де жинақтап қорытындылауға болады.
Мысалы, бұл айтылғандарды 1.1 және 1.2 суреттерде көрсетілген ашық
жүйелерегі процестегі энтропия өсімшесінің қатысын талдау арқылы
түсіндіруге болады..
deS
1.2 сурет. Ашық жүйе, мұндағы diS –
.
энтропия
өндірісі, deS – жүйенің сыртқы
ортамен арасындағы энтропияның алмасуы
1.2 суретте көрсеткендей, энтропия dS өсімшесінің екі құраушысын
ажырату қажет: біріншісі deS жүйе шекарасынан энтропия тасымалдауын (сыртқы
ортамен әсерлесуден туындайтын энтропия ағынын) суреттейді; екіншісі diS
жүйеде өндірілген (жүйедегі ішкі өзгерістермен байланысты энтропия бөлігі)
энтропияны белгілейді, сондықтан dS мына қосындыға тең болады:
(1.2)
Ашық жүйенің оқшауланған жүйелерден айырмашылығы энтропияның dS
өзгерісінде сыртқы ортамен алмасумен байланысты deS мүшенің болуы. diS мүше
ешқашан теріс мәнді болмайды, ал deS мүшенің таңбасы сыртқы ортамен
әрекеттесу түріне байланысты оң да, теріс те, нөл де болуы мүмкін.
Екінші бастамаға сәйкес қайтымсыз процестермен байланысты туындайтын
жүйенің ішіндегі энтропия өндірісі оң мәнді, ешқашан теріс мәнді болмайды,
яғни:
(1.3)
Мұндағы теңдік белгісі тепе-теңдік күйге сәйкес болады.
(1.2.) және (1.3.) өрнектер тұжырымдамасында қайтымсыз және қайтымды
процестер айырмашылығын көрсететіні өте маңызды, яғни:
diS = 0 (қайтымды процестер)
(1.4)
diS ( 0 (қайтымсыз процестер)
(1.5)
Егер deS = 0 болса, онда (1.2) және (1.3) салдарынан dS ( 0, бұл
термодинамиканың екінші бастамасының жазылу түрі.
Қоршаған ортамен тек қана жылулық энергиямен алмаса алатын жабық
жүйелер үшін, Карно-Клаузиус теоремасына сәйкес
deS =T,
(1.6)
мұндағы dQ - сырттан жүйеге келетін жылу мөлшері, ал Т – осы жылуды
қабылдайтын жүйенің температурасы.
Жабық жүйелер үшін (1.2.) және (1.3.) өрнектерден:
, (1.7)
бұл термодинамиканың екінші бастамасының белгілі жазылу түрі.
Ашық жүйелер үшін (1.2), (1.3) теңдеулерді және deS =T өрнекті
қолдануға болмайды. Бірақ та (1.2), (1.3) өрнектердегі жалпы
тұжырымдамалар дұрыстығы сақталады.
Энтропия өндірісіне тек қана қайтымсыз процестер үлес қосады. Бұндай
процестерге химиялық реакциялар, диффузия, жылуөткізгіштік, тұтқырлық тағы
да басқа процестерді жатқызуға болады.
Термодинамиканың екінші бастамасынан тағы да уақыттың бір бағыттылығы
шығады; уақыттың оң бағытын екінші бастама энтропия өсуімен байланыстырады.
Ескерту. Оқшауланған жүйеде энтропия ағыны deS нөлге тең, сондықтан:
dS=diS(0, deS=0.
(1.8)
Бұл (1.8) өрнек энтропия ешқашан кемімейді деген термодинамиканың екінші
бастамасының классикалық тұжырымдамасына сай және оның бұл қасиеті
қайтымсыз процестер байқалуын анықтайтын критерийін береді.
Қайтымсыздықтың жалпы бірегей критерийі – ол (1.4), (1.5) өрнектерге
сәйкес энтропияның өсуі.
1.4 Кеңістік пен уақытты ірітүйірлі тегістеу
Оқшауланған жалпы жүйе I және II жүйелерден құралған болсын және де
I-ші жүйе көлемі үлкендеу II жүйе ішінде орналассын, яғни I және II-ні
жүйенің макроскоптық көлемшелері (жалпы жүйе көлемінің бөлшектерінің
көлемдері) деуге болады.
Термодинамикалық тепе-теңдікте күй теңдеуі ортаның P қысымы, V
көлемі, ( тығыздығы сияқты негізгі параметрлерін: байланыстырады. Бұл
макроскоптық параметрлерді бірмәнді түрде жүйенің микроскоптық
сипаттамаларымен байланыстыруға болады, өйткені барлық макропараметрлер
жүйенің тиісті микропараметрлерінің орташасы болып келеді. Мысалы,
молекулалардың жылулық қозғалысының орташа энергиясымен температура
байланысты, демек T(m(v2(2, ( мүндағы m –молекула массасы, (v2( –
молекуланың орташа квадраттық жылдамдығы), ал тығыздығы , бөлшектердің
n=NV (мұндағы N-жүйедегі молекулалар саны, V-жүйенің көлемі)
концентрациясымен анықталады.
Сірә, олай болса көлемшенің температурасы, тығыздығы, массалар
центрі (ортасы) жылдамдығы және тағы да басқа шамалар туралы айтуға
боладыы, және де бұл шамалар қарастырылатын көлемше бойынша орташалау
арқылы табылады. Көлемше оқшауланған жүйе болмағандықтан, көлемше бойынша
орташаларының жалпы жүйе бойынша орташадан айырмашылығы болуы мүмкін, яғни
флуктуациялар байқалады, және де көлемшенің өлшемі неғұрлым кішірек болса,
ауытқулар соғұрлым көбірек болады. Дегенмен жеткілікті ұзақ уақыт
интервалында орташалағанда, бұл орташалар бүкіл жүйенің орташасымен бірдей
болады. Сөйтіп, бір көлемшеден келесіге өткенде қандай болса да бір
қасиеттің кеңістіктік біртексіздігі байқалады, демек осы қасиет
координаттар мен уақыттың функциясы болады, мысалы, , .
Егер заттың әйтеуір бір қасиетінің (P, T, ( және т.б.
макропараметрлерінің градиенті) кеңістіктік біртексіздігі туындаса, онда
қайтымсыздық пайда болады. Толық тепе-теңдік орнығу үшін, кез келген
қайтымсыз процесс өз қасиетін тегістеуге тырысады. Айта кететін жағдай,
мұндай қарастырғанда x, y, z – координаттық остің нүктелері емес, бұлар
жалпы жүйенің көлеміндегі N бөлшектер санынан әлдеғайда кіші, Ni бөлшегі
бар, көлемшенің сипаттамалары болады. Сөйтіп, мұндай координаттар
гидродинамикалық масштабты координаттар деп аталады.
Заттың қасиетінің кеңістіктік біртексіздігінде өмір сүру немесе
тарауы уақыты бойынша ажыратылатын ұсақ және ірі масштабты флуктуациялар
байқалады. Егер ұзақ уақыт аралығында орташаласақ, онда флуктуациялар өзара
бір-бірін жояды, сонда біз флуктуация сезілмейтін орташа ерекше уақытты
анықтаймыз, яғни уақыт шкаласы интервалдарға бөлінеді.
Осылай біз кейбір көлемше мен уақыт шкаласындағы белгілі уақыт
интервалына қатысты локалды макросипаттамалар ұғымына келеміз (1.3 сурет):
х1 х2 х3 хn
x, t
t1 t2 t3 tn
1.3 сурет
Сонымен қандай да бір макропроцесс қарастырылғанда, уақыттың ерекше
(сипаттамалық) интервалы (масштабы) туралы ұғым енгізіледі. Қарастырылатын
процесте жүйенің өзгеретін қасиеті байқалатын уақыт интервалын сипаттамалық
уақыт масштабы деп атайды..
Қарастырылатын процестің сипаттамалық уақыт масштабынан өмір сүру
уақыты анағұрлым кіші болатын флуктуацияларды үсақ масштабты флуктуациялар
дейді. Сонымен, локалды кеңістік аймақтары және уақыт интервалын
бейнелеуші гидродинамикалық кеңістіктік координаттық жүйесі және
гидродинамикалық уақыт масштабы локалды кеңістік аймақтары және уақыт
интервалы әр ρ, T, p және т.б. макропараметрлердің бір жалпы мәнімен
сипатталады. Басқаша айтқанда, болжау бойынша орташалағанда ұсақ масштабты
флуктуациялар жойылған кеңістік және уақыт интервалдарын және
бейнелейді. бейнелейтін локалды аймақ элементар физикалық көлем (ЭФК)
деп аталады. Осындай кеңістік координаттар және уақыт жүйесін енгізуді
кеңістік пен уақытты ірітүйірлі тегістеу деп атайды.
Егер әр түрлі ЭФК-де жүйенің бір немесе бірнеше параметрлері (Р, Т, (
және т.б.) әр түрлі мәнді болса, онда жүйе тепе-теңдіксіз күйде болады.
Егер ЭФК-дегі макропараметрлердің мәндері барлық тұтас оқшауланған
жүйе бойынша орташасының мәндерінен айырылатын болса, онда ірімасштабты
флуктуациялар байқалады.
Біз үзіліссіз жүйелерді қарастырамыз, оларда бір ЭФК--нен келесісіне
өткенде заттың қасиеттерінің өзгерісі қатты емес, сондықтан
гидродинамикалық масштабтағы кеңістік координаттары мен уақытты үзіліссіз
шамалар деп есептеуге болады. Бұл жағдайда жүйенің макроқасиеттерін (Р, Т,
( және т.б.) гидродинамикалық масштабтағы кеңістіктік координаттары және
уақыттың үзіліссіз функциялары деп қарастыруға болады.
1.5 Ағындар және қайнар көздері туралы ұғым
Тасымалдау процестерін суреттегенде ағын (масса, импульс, энергия,
зарядтың және т.б.) ұғымы қолданылады.
Берілген бет арқылы бірлік уақытта массаның тасымалдауын J масса
ағыны деп атайды. Көпкомпоненттік жүйе үшін жеке Jі компоненттің ағын
шамаларын білу керек. Масса ағыны белгіленген бет арқылы заттың
тасымалдауын сипаттайды, ал бет елес, жалған (фиктивті) да түрінде болуы
мүмкін.
Егер J=0 болса , онда жүйе тыныштықта бола ма? Тыныштықтағы жүйе үшін
,
яғни толық ағын нөлге тең. Кері пікір дұрыс емес, J – интегралдық ағын,
демек интегралдық шама және жүйенің жеке бөліктерінде тиісті ағын болса
да, нөлге тең болуы мүмкін (бір құбырдан шығады, екіншіге кіреді).
Меншікті ағын (ағынның беттік тығыздығы) бірлік беттіен өтетін
ағын, бұл жағдайда
, (1.9)
мұндағы -бет элементі, - координаттар және уақытқа тәуелді және
ерекше көңід аударатын жайт, ол қарастыратын ауданның бағытына байланысты,
яғни
, ,
мұндағы – сыртқы бірлік нормаль.
Айтылғанның бәрі жылу, яғни энергия ағынына да қатысты.
Термодинамикалық тепе-теңдік маңайында (локалды квазитепе-теңдік)
жүйелердің алмасатын энергиясы жылу ұғымымен, ал меншікті заряд ағыны-
электр тогының тығыздығымен (заряд ағыны, демек электр ағыны, ол ток күші)
теңдестіріледі. Импульс векторлық шама болғандықтан, берілген бет арқылы
импульстің Пx, Пy, Пz үш бағытта ағыны болады, осылардың әрбірі берілген
бет арқылы бірлік уақытта өтетін импульс проекциясының шамасын көрсетеді.
Онда импульстың 3 меншікті ағыны (х, (һ, (z бар, оның әрбіреуі элементар dS
ауданның бағытталуына тәуелді. Егер dS аудан x,y,z осьтеріне перпендикуляр
бағытталған болса, онда әрбір (i-де үш (iх, (iy, (iz компоненттерге ие
болады. Сөйтіп, импульс ағыны 9 компонентті (9 бағытты) шама, демек осы
жиынтығы импульстың меншікті ағын тензорын құрастырады:
(хх(ху(хz
П= (yх(yy(yz`
(zх(zy(zz
Импульстың сақталу заңы бойынша, Ньютонның екінші заңына сәйкес,
дененің көлемінің ішіндегі бірлік уақыттағы импульстің өзгерісі денеге
сұйық жағынан әрекет ететін тең әсерлі күшке тең болуы керек. Жеңілдету
үшін і – компонентін қарастырайық. Дененің бетінде бұл күш нөлге тең
болмайды, сондықтан
,
мұндағы Пik=fik, fik,-беттік күш, сондықтан импульс ағыны беттік күшпен
баламалы шама. Гидродинамикада fik, - кернеу ретінле түсіндіріледі. Осыдан
Пik=_- Рik, мұндағы Рik – кернеу тензоры деп аталады.
Ескерту. Ағындарды макроскопты және микроскопты деңгейде суреттеуге
болады. Макроскоптық моделде газ континуум (латынша сontinuum - үзіліссіз)
ретінде қарастырылады және тиісті суреттеуі макроскоптық жылдамдық,
тығыздық, қысым және температураның координаттар мен уақыттан тәуелділігі
арқылы беріледі. Микроскоптық немесе молекулалық модель газдың құрылымын
сансыз дискретті молекулалар жиынтығы ретінде қарап, кез келген уақыт
мезетінде барлық молекулалардың орны және жылдамдығы туралы мәліметтерді
қамтамасыз етеді. Бірақ мұндай атомдық-молекулалық суреттеменің практикалық
қажеттілігі шамалы. Сондықтан ағындар, мысалы газдың, макроскоптық шамалар
арқылы суреттеледі. Кіріспеде айтылғандай, ағынның кез келген нүктесіндегі
макроскоптық шамалар тиісті молекулалық шамалардың орташаларымен
теңдестіріледі. Ал континуалдық суреттеме дұрыс болу үшін физикалық
элементар көлемде (ЭФК) орташаларды анықтауға жеткілікті молекулалар саны
болуы керек. Сондықтан, бұл екі моделдің айырмашылығы жүйені
феноменологиялық және статистикалық бейнелеуінде, жүйенің табиғатына
байланысы жоқ. Осы оқу құралында макроскоптық лөзқарас пайдаланады.
Тасымалдау құбылыстар теориясында жалпы мағынада қарастырылатын
шаманың (масса, импульс, жылу,...) қайнар көзі деп, осы шама ағындары
болмағанда, жүйеде өтетін ішкі процестер есебінен болатын, шама өзгерісінің
себебін атайды.
Жүйедегі қайсыбір компоненттің массасының қайнар көзі ретінде
химиялық және ядролық реакциялар, диссоция және ионизация процестері және
т.б. болуы мүмкін. Жылудың қайнар көзі ретінде джоуль жылуы, реакция
жылуы және т.б. жылулары алынуы мүмкін.
Бірлік көлемде бірлік уақытга туындайтын i-компоненттің массасының
шамасын қайнар көзінің қуаты деп айтады. Қуаттың таңбасы теріс болса, демек
i-компоненттің массасы жүйеге ағып келетін (кіретін) болса, оны ағу көзі
(орыстың сток – ағу) деп атайды.
ЭФК-де қайсыбір қасиеттің өзгерісінің екі себебі болуы мүмкін:
1) бет арқылы қасиеттің ағыны пайда болуы;
2) көлемдік қайнар көздерінің әрекеті.
Тепе-теңдіктегі жүйенің тарихы болмайды және уақытта ескерусіз
қалады, демек ол жансыз жүйе болады.
2.1 Сақталу заңдарының жалпы түрі
Қайсыбір қасиетінің кеңістіктік біртексіздігі болатын жүйелер үшін
сақталу заңдарын баланс теңдеулері деп атайды.
Массаның, зарядтың, толық энергияның, импульстың және т.б. сақталу
заңдарыболады. Көлемнің нүктесінің төңірегінде ЭФК-де
уақыт мезетінде қандай да бір (,) экстенсивтік қасиеттерінің
кез келгенін қарастырайық. Осы (,) қасиеттің тығыздығын
деп белгілейік, ол мынадай қатынас бойынша анықталады:
, (2.1)
Мұндағы (,) жүйенің V еркінше (қалай болса солай) алынған
толық көлемінің бөлігіндегі қасиет мөлшері. Онда V көлемдегі қасиеттің
мөлшері мынаған тең болады:
,
(2.2)
мұндағы - элементар физикалық көлемі (ЭФК).
ЭФК нің Ω беті арқылы қасиеттің ағып келуі немесе ағып кетуі есебінен
(,) өзгеруі мүмкін, бұл жағдай (,) қасиет
мөлшерінің dQdt ағынын тудырады. (2.1 сурет).
м қасиеттің ағыны тығыздығын деп
белгілейік.
Ағынның анықтамасы векторлық алгебрадан белгілі. Егер
қасиеттің ағып кетуінің бағыты сыртқы нормаль бағытына
2.1 сурет сәйкес болса, онда ЭФК-де кемиді, сондықтан
таңбасы минус ал керісінше өсетін болса, онда плюс таңбамен алынады
(2.1 сурет). Сондықтан былай белгілеуге болады: ; . Осыған орай
(,) қасиеттің өзгеру жылдамдығы былай жазылады:
.
(2.3)
(2.3) өрнек (,) қасиеттің сақталу заңының интегралдық түрі
болады, мұндағы - бетке түсірілген сыртқы нормаль (2.1 сурет).
Остроградский-Гаусс теоремасы бойынша (көлемдік интегралды беттікке
түрлендіру)
шама нүктесін қоршаған және көлемімен бірге аймақты
қапсыратын тұйық беті арқылы өтетін векторлық өрістің скаляр ағыны
(2.1 сурет) болады. Остроградский-Гаусс теоремасын қолданып, (2.3) беттік
интегралын көлемдікке түрлендірсек, онда (2.3) теңдеуін төмендегіше жазуға
болады:
(2.4)
(2.2) және (2.4) өрнектерін ескеріп, (2.3) өрнекті былай жазуға болады:
(2.5)
Көлемнің шамасын еркімен алуға болатындықтан, -дифференциалдау
және ∫ -интегралдау таңбаларының орынын ауыстыруға болатынын ескеріп,
Мынаны аламыз:
(2.6)
Осыдан V көлемде қайнар көздері мен ағу көздері жоқта, қасиет
тығыздығының сақталу заңының дифференциалдық түрі былай жазылады:
(2.7)
Осы өрнектен қасиеттің ағыны тығыздығының өлшем бірлігі былай
анықталады:
(2.8)
(2.8) өрнекте - қасиеттің ағын тығыздығы, ол уақыт бірлігінде
бірлік бет арқылы өтетін қасиеттің мөлшеріне тең. Бұл жағдайда
ағын аймағының әр нүктесіне уақыт мезетінде тиісті қасиет және
вектор жылдамдығы, дәлірек айтқанда орташа жылдамдық,
сәйкестендіріледі, демек (2.8) өрнек бойынша қасиеттің ағын тығыздығы
мынаған тең болады:
(2.9)
Сонымен, (2.9) ескеріп, қасиеттің тығыздығы үшін сақталу заңы немесе
баланс теңдеуі былай жазылады:
(2.10)
Бұл (2.10) теңдеу ЭФК-дегі жүйеде -дің қайнар көздері мен ағу көздері
жоқ жағдайлар үшін жазылған. Егер ЭФК-де -дің қайнар көздері немесе
ағу көздері болса, онда бұл көздер шаманың көмегімен өлшенеді. Бұл
көлемде бірлік уақытта ЭФК-нің ішінде пайда болатын қасиеттің
мөлшері. Осы шама қасиеттің локалды өндірісі деп аталады және
деп белгіленеді. Сөйтіп, шамасы қасиеттің қайнар көзі
немесе ағу көзінің тығыздығы болады. Сонымен (2.10) қатынас өндірісі
болса, төмендегі түрде жазылады: қасиеттің
(2.11)
және осы өрнек қасиеттің локалды балансының жалпы теңдеуі немесе
үзіліссіздіктің (үзіксіздік) жалпы теңдеуі деп аталады.
2.2 Массаның сақталу заңы
Сақталу эаңының 2.7) және (2.11) өрнектерінде қасиеттің орнына
ЭФК-де заттың тығыздығын және массасын қарастыпайық . Онда (2.7) баланс
теңдеуі тап осы көлемдегі массаның өзгеру жылдамдығы үшін мына түрде
жазылады:
,
(2.12)
мұндағы - массаның толық тығыздығы, демек бірлік көлемнің массасы,
яғни:
, (i=1,2,..., n),
мұндағы ρі(t, r) - i компоненттің массалық тығыздығы.
Табылған (2.12) өрнек баланс теңдеуі түрінде жазылған: сол жағындағы
тығыздықтың локалды өзгерісі теріс таңбамен алынған толық масса ағынының
дивергенциясына (оң жақ) тең.
(2.10) өрнекті пайдаланып және барлық i компоненттерді қосындылау
арқылы толық массаның сақталу заңын табамыз:
, (2.13)
мұндағы -масса ағынының тығыздығы, -сұйықтың (заттың) элементінің
масса центрінің жылдамдығы, яғни физикалық элементар көлемнің (ФЭК) деп
айтуға болады. Масса ағынының тығыздығы қозғалыс бағытына перпендикулярлы
бірлк бет арқылы бірлк уақыт ішінде V көлемге келетін масса мөлшерін
көрсетеді. (2.13) теңдеу толық массаның сақталуын анықтайды, яғни, көлем
элементіне зат ағып кірсе немесе ағып шықса ғана, массаның өзгеру мүмкін
екендігін бейнелейді.
Біздің қарастыру жағдайымызда бөлшектердің тек қана бір түрі алынды
және химиялық реакциялар ескерілмеді, демек заттың қайнар көздері немесе
ағу көздері жоқ деп есептелді.
Қайнар көздері немесе ағу көздері болатын компоненттен тұратын
көпкомпонентті жүйені қарастырайық. Онда -компонент үшін массаның
баланс теңдеуінің түрі :
(2.14)
болатындығы анық, мұндағы - i –компоненттің массасының қайнар
көзінің тығыздығы (i –компоненттің массасының өндірісі), - i
–компоненттің ағынының тығыздығы, - i –компоненттің орташа
жылдамдығы. (2.14)-ші теңдеуіндегі ji, (i, (i, ui, шамалар уақыт және
кеңістік координаттар функциялары болады. Осы өрнектің барлық i
компоненттер бойынша қосындысын алсақ, онда:
, .
Егер химиялық реакциялардың өту мүмкіндігін жүйеде бейнелейтін болса,
онда (2.14) өрнек былай жазылады:
, (i=1,2,... , n) (2.15)
мұндағы νij Jj - көлем бірлігінде j – химиялық реакцияда і компоненттің
пайда болуы. Бұл мүшені қайнар көзінің бейнесі ретінде қарастыруға болады,
өйткені ол і заттың пайда болуын немесе жойылуын білдіреді. νij - j
химиялық реакциядағы i заттың стехиометриялық коэффициенті немесе
стехиометриялық саны. Jj шама j – химиялық реакцияның жылдамдығы деп
аталады.
Әрбір бөлек химиялық реакцияда масса сақталғандықтан, мынаны аламыз:
(j=1 ,2,.. ,r).
Химиялық реакцияларда заттың толық массасы өзгермейді, сондықтан
компоненттердің массасының өндірісінің қосындысы нолге тең болады, яғни
.
Сонымен, (2.14) теңдеуді барлық i компоненттер бойынша қосқанда, бұл
өрнекті (2.13) теңдеу түрінде жазуға болады:
. (2.16)
Осы соңғы теңдеу гидродинамикалық үзіліссіздік теңдеуі немесе тепе-
теңдіксіз жүйенің локалды аймағындағы массаның сақталу заңы деген
атаулармен белгілі.
Заттың ағын тығыздығын масса центрі жылдамдығы немесе орташа
массалық жылдамдық арқылы жазайық:
(2.17)
немесе
,
мұндағы - i-компоненттің массалық үлесі немесе салыстырмалы
массалық концентрациясы, (i,- i-компоненттің массалық тығыздығы. Оны
тығыздық деп атайды.
Сонымен, масса центрі қозғалысына қатысты заттың ағыны былай жазылады
(2.18)
Массаның ағыны тығыздығын келесі екі бөлікке жіктейік:
, (2.19)
мұндағы
.
(2.20)
Мұндағы - конвективтік (латынша convectio – әкелу; ортаның (газ,
сұйық) тұтастай орын ауыстыру нәтижесінде массаның тасымалдануы) ағын, яғни
-компоненттің заттың тұтастай түрінде қозғалысына қосатын ағынының
үлесі. Бөлшектердің жылулық қозғалысымен тікелей байланысты, демек диффузия
процесімен байланысты, масса центрінің қозғалысына қатысты диффузиялық ағын
мынаған тең:
(2.21)
Қарастырып отырған заттың құрамындағы атомдары мен молекулаларының
жылулық қозғалысы нәтижесінде кеңістік пен уақыт ішінде байқалатын заттың
бөлінуін (таралуын) диффузия деп атайды. Диффузиялық ағын уақыт
бойынша қайтымсыз процесс, демек оған сәйкес зат тасымалдануы да
қайтымсыз.
(2.18) өрнегін ескергенде, (2.14) і компоненттің массасының сақталу
заңының өрнегі мынадай түрге келеді:
(2.22)
Қайтымсыздық мүшемен байланысты. Конвективтік ағын келесі өрнекпен
анықталады:
.
Ал енді массалық концентрациядан сандық концентрацияға ауысайық. ЭФК-де
бөлшектер бар делік. Егер сандық тығыздық немесе сандық
көлемдік концентрацияны енгізсек, мұндағы , - элементар
физикалық көлемі, онда (2.13) өрнекті мына түрде жазуға болады:
,
-компоненттің сандық ағынын түрлендірсек, мынаны табамыз:
,
Сондықтан (2.22) формуласы мынадай түрге келеді:
. (2.23)
Егер концентрация параметрі ретінде заттың сандық үлесін (концентрациясын)
алсақ, онда
ci= nin, , (і=1, 2,...,k)
олай болса, (2.22) келесі түрде жазылады:
. (2.24)
Айта кетейік, әрі қарай түрлендірулер үшін бізге массаның (2.13)
сақталу заңы мен және уақыт бойынша толық туындының
(2.25)
салдары болатын бірқатар маңызды теңдеулер қажет.
Олай болса, А(t, r) қайсыбір кез келген локалды шама делік, ол уақыт
және кеңістік координаттарына тәуелді скаляр, немесе вектор, әлде тензор
компоненті болуы мүмкін. Осы шаманың уақыт бойынша толық туындысын
анықтайық. А(t, r) шама үшін (2.25) өрнекті келесі түрде жазайық:
. (2.26)
Осы өрнекті дивергенцияның анықтамасын қолданып, түрлендіреміз.
. (2.27)
(2.26) өрнекке шамасын (2.27)-ден алып, қойып, мынаны шығарып аламыз:
. (2.28)
Осыдан, (2.13) массаның сақталу заңын ескеріп, ізделіп отырған қатынасты
табамыз:
(2.29)
Ескерту. Локалды тепе-теңділік жағдайда қайтымсыз процестер
термодинамикасын өрістік теория ретінде қарастырып және сол үшін сақталу
заңдарын тұжырымдауға болады. Онда термодинамикалық жүйелерді екі топқа
бөлген дұрыс: үзіліссіз және үзілісті (гетерогенді). Үзіліссіз жүйеде
қайтымсыз процестер кезінде температура, тығыздық, концентрация және т.б.
осындай интенсивтік параметрлер ылғи да кеңістіктік координаттары және
уақытқа тәуелді болады. Тек қана стационарлық күйде күй функциялары уақыт
бойынша тұрақты болады.
Термодинамикалық қарастыруда гомогенді және үзілісті жүйелермен
салыстырғанда үзіліссіз жүйелерді математикалық суреттеу көп күрделілеу.
Масса, импульс, энергия, энтропия баланстарын өрнектейтін теңдеулерді әр
элементар көлемде болатын локалды (жергілікті) өзгеріске қатысты бірыңғай
түрге келтіру керек, және де кез келген көлем элементі ашық аймақ (жүйе)
екенін, яғни ол сыртқы ортамен зат алмаса алатынын ескеру қажет. Оған қоса
жалпы жағдайда жүйеде электр зарядталған бөлшектер және химиялық реакциялар
болу мүмкіндігін ескеру керек.
Гетерогенді (біртекті емес) жүйеде өтетін процесс мысалы ретінде
жүйенің екі гомогенді (фаза) бөлімдерінің арасында зат, электр энерниясы
және жылумен алмасу қайтымсыз процестерді қарастыруға болады. Жүйенің екі
гомогенді фазасы бір-бірінен табиғи шекарамен (айталық, сұйық және оның буы
арасындағы жылу-масса алмасуы) немесе вентильмен бөлінуі мүмкін. Вентиль
(немістің Ventil, орыстың клапан – қақпақ) ретінде тар тесік, капилляр,
мембрана (латынның membrana – қабықша, жұқа жарғақ) және т.б. болуы
мүмкін. Бір-бірінен осындай вентильмен бөлінген жүйелер фазасы қысымы және
температурасы әр түрлі, бірақ агрегаттық күйі және химиялық құрамы бірдей
екі орта болуы мүмкін. Бұл біртекті емес ортаны үзіліссіз жүйенің шектік
жағдайы ретінде қарастыруға және процесті термодинамикалық суреттегенде
белгілі жорамалдар жасауға мүмкіндік береді.
Мұндай жүйелерге қайтымсыз процестер термодинамикасының әдістерін
қолданғанда, жеке бөлек әр фазаның ішіндегі температура, қысым,
концентрация және потенциалдар тегістелуімен салыстырғанда жүйенің екі
фазасы арасында зат, электр энергиясы мен жылу алмасу процестері баяу өтеді
деп болжайды. Онда, қайтымсыз процестерде де жүйенің фазаларының әрбіреуі
гомогенді болып қала берді, яғни тұрақты локалды концентрация мен элетрлік
потенциалдарда ішкі жылулық және механикалық тепе-теңдікте болады.
Сондықтан температура, қысым, концентрация және потенциал фазалар
шекарасында секірмелі өзгереді және тек уақыт функциясы ғана болады.
Осымен, қарастырудан қатты фаза алынып тасталады, өйткені келтірілген
шарттар тек сұйық (газ тәріздес) жүйелерде практикалық жағдайда орындалуы
мүмкін.
2.3 Толық энергияның сақталу заңы
Көлемі V қайсыбір ЭФК-дегі толық энергия бет арқылы
энергия тасымалдауы болғандықтан өзгеруі мүмкін. Заттың бірлік массасының
w энергиясын, демек меншікті энергиясын, былай белгілейміз:
, (2.30)
мұндағы m - заттың V көлемдегі массасы.
Осы w(t.r) меншікті толық энергия деп аталады. Онда бірлік көлемнің
энергиясы, яғни толық энергияның тығыздығы ρw-ға тең болады, өйткені
мұндағы - заттың массалық тығыздығы немесе заттың тығыздығы.
Массаның m=ρV мәнін (2.30)-ға қойып, толық энергия тығыздығының келесі
өрнегі табылады:
.
Толық энергия тығыздығына жүйе энергиясының барлық түрі енеді.
Макроскоптық көзқарас бойынша ол үш бөліктен құралады:
- заттың тұтастай қозғалысының кинетикалық энергиясының тығыздығы;
- ЭФК-нің сыртқы күштер өрісіндегі потенциалдық энергиясының
тығыздығы (мұндағы ψ - меншікті потенциалдық энергия);
- ішкі энергияның тығыздығы (мұндағы ε-меншікті ішкі энергия), ол
микробөлшектердің жылулық қозғалысының кинетикалық энергиясы және олардың
өзара әрекеттесуінің потенциалдық энергиясының қосындысы (заттың құрылымы
айқындалғанда, басқа да энергиялар түрі қосылуы мүмкін).
Сонымен, толық энергия тығыздығының түрі мынадай болады:
.
(2.31)
қасиеттің сақталу заңын (2.7) пайдаланып, толық энергияның баланс
теңдеуін немесе толық энергияның сақталу заңының локалды (жергілікті) түрін
былай жазамыз:
,
(2.32)
мұндағы -энергияның толық ағыны, оған кіретіндер: - конвективтік
мүше (толық энергияның конвективтік ағыны), - жүйе жасаған немесе жүйе
үстінен істелген механикалық жұмысқа байланысты, -жылу ағыны, және
-күштер өрісінде әртүрлі компоненттер диффузиясымен байланысты
потенциалдық энергия ағыны. Егер сыртқы күштер өрісін ескермесек, онда
толық энергия балансының теңдеуі мына түрде жазылады:
(2.33)
Термодинамиканың бірінші заңына сәйкес біркомпоненттік жүйенің локалды
(жергілікті) көлеміндегі энергияның толық ағынының өзгерісі келесі
себептерден болуы мүмкін:
ағын арқылы энергияның конвективтік тасымалдауы есебінен, осы конвективтік
ағынның тығыздығы мынаған тең:
,
(2.34)
жүйе механикалық жұмыс істегенде энергия ағынының келуі (немесе
кетуі), мұндағы P – кернеулер тензоры немесе ортаның қысымдарының тензоры;
u – ЭФК-нің масса центрінің жылдамдығы; векторының құраушылры былай
анықталады: , мұндағы Pαβ (α, β=1, 2, 3) - кернеулер тензорының
декарт компоненттері және P қысымдарының тензоры симметриялық деп алынады,
сондықтан Pαβ=Pβα, -жылу ағыны (химиялық реакциялар болмағанда).
Сонымен, толық энергия ағынының тығыздығы мынаған тең болады:
(2.35)
Және соңында -мүшені қосуға болады, бұл күштер өрісінде әр түрлі
компоненттер диффузиясы кезінде туындайтын потенциалдық энергия ағыны,
онда (2.35) –ші өрнек былай жазылады:
немесе
(2.36)
Бұл жағдайда толық энергияның баланс теңдеуінің жергілікті түрі былай
жазылады:
. (2.37)
Осы өрнек толық энергияның локалды тығыздығының уақыт бойынша
өзгерісін суреттейді, яғни толық энергия тығыздығының тасымалдау
жылдамдығын анықтайды. (2.37) теңдеу алдыңғы параграфта қайсыбір
қасиеттің жалпы баланс теңдеуін қорытуда қолданған физикалық ұғымдар және
математикалық формализмге негізделіп табылды.
2.4 Локалды (жергілікті) квазитепе-теңдік шарты
Жүйенің термодинамикалық суреттеуінің барлық түрінің негізінде тепе-
теңдік концепциясы жатыр. Тепе-теңдіксіз жүйе біртекті емес, онда химиялық
реакциялар өтуі мүмкін. Сондықтан, жалпы жағдайда, жүйенің құрамы және
барлық тиісті айнымалылары кеңістік және уақыт бойынша өзгереді. Ондай тепе-
теңдіксіз жүйеде температура және қысым сияқты интенсивтік шамаларды
қалайша анықтауға болады деген сұрақ туындайды. Бұл қиыншылықтарды жеңуге
болады, егер локалды термодинамикалық тепе-теңдік көзқарасты қолдансақ.
Егер жүйеде шамалы өзгерістер байқалса, олардың өту жылдамдықтары
баяу болса, онда мұндай өзгерістерді квазитепе-теңдік күйлер тізбегі
ретінде суреттеуге болады. Локалды термодинамикалық тепе-теңдік туралы
пікірді алғашқы ұсынған И.Пригожин.
Ойша жүйе көлемін шексіз кіші көлем элементтеріне бөліп, барлық тепе-
теңді термодинамика ұйғымдарын физикалық элементар көлемінің локалды
анықталатын шамаларына қолдануға болады. Локалды айнымалы шамалар бірлік
масса мен бірлік уақытқа қатысты. Локалды тепе-теңдік гипотизасына сәйкес
локалды анықталатын параметрлер өз табиғаты бойынша тепе-теңдік күй
параметрлеріне ұқсас және өзара дәл сондай күй теңдеулерімен байланысады.
Қарастыратын жүйенің макроскоптық күйінің өзгерісінің жылдамдығы,
ондағы микроскоптық күйін анықтайтын кез келген элементар процестің
жылдамдығынан едәуір кіші ғана тепе-теңдіксіз жүйелер, И.Пригожиннің
пікірі бойынша локалды тепе-теңдікте бола алады..
Локалды аймақта жүйенің тепе-теңдіктен ауытқуы өте аз болуы және мына
шартқа бағынуы керек:
((,
мұндағы - әлдебір шаманың уақыт аралығында макроскоптық
өзгерісі, r - физикалық шаманың орташа мәні, ( - тепе-теңдік орнығуға
негізгі ықпал ететін элементар процестің уақыты.
Мысал ретінде ақ және қара шарларды бір жәшіктен екінші жәшікке
кездейсоқ ауыстыру ойынын (2.2 сурет) келтірейік. Әрбір ауыстырудан кейін
жәшіктерді сілкиді. Сонда әр жәшіктегі әр түсті шарлардың түстері
тегістеліп, араласады (2.2 сурет).
а) б)
2.2 сурет
Осылайша статистикалық дайындау нәтижесінде жәшіктерде толық
конфигурациялық ретсіздік орнығады (2.2б сурет). Бұл ойынды молекулалық
терминдермен де суреттеуге болады. Бастапқыда жәшіктерде кез келген
және молекулалар болсын. Жәшіктер арасындағы қалқаны алып тастайық.
Жеткілікті ұзақ уақыт өткен соң молекулалар өз бетімен араласады да, тепе-
теңдікорнайды: егер ұсақмасштабты флуктуациялар ескерілмесе, онда әр
жәшіктегі молекулалар саны бірдей болады, демек . Осы мысалдан
байқатынымыз, жергілікті аймақта, яғни физикалық элементар көлемде
статистикалық дайындау квазитепе-теңдік күйге әкеледі.
Макроскоптық тасымалдау теңдеуінде бұл тез өтетін релаксациялық
процестер көрсетілмеген, алайда олар тасымалдау процестерінің сипаттамалық
ерекшелерін алдын ала анықтайды.
Қайтымсыздықтың критерийі энтропияның өсуі болғандықтан,
энтропия бір локалды квазитепе-теңдік күйден басқасына үзіліссіз өтеді,
мұндай өтуі гидродинамикалық масштабта уақыт және координаттың
үзіліссіз өзгеруімен байланысты, яғни S(t,r). Бұл өзгеріс сипаттамалық
уақыт масштабынан едәуір аз уақыт аралығында физикалық элементар көлем
ішінде өтеді. Бұл жағдайдағы өзгерісінің нәтижесі де және
функциясы болады, яғни ЭФК ішінде σs энтропия өндірісінің тығыздығының
көзі бар. Энтропия өндірісі жүйенің квазитепе-теңдік күйге ауысуымен
байланысты болғандықтан, термодинамиканың екінші заңына (1.3 өрнек) сәйкес
.
(2.38)
Осы себептен, барлық тепе-теңдік жүйелер, күй функциясы энтропияның
көмегімен тағайындалатын, жан-жақты эволюциялық критериймен (гректің
kriterion – байымдау (пікір) құралы) сипатталады. Бұл критерий кез келген
термодинамикалық жүйенің тепе-теңдікке дамуының бағытын алдын-ала күмәнсіз
болжайды, демек тепе-теңдік күйіне жетуіне қарсы тұруға болмайтын
ұмтылысын. Тепе-теңдіксіз жүйелер үшін ең қолайлы сипаттаушы шама –
энтропияның жалпы өндірісі болады, ол да t уақыт және r координаттар
функциясы. Бұл шама бізге энтропияны өндіретін ағындар мен күштер ұғымдары
арқылы жүйеде болып жатқан барлық процестер туралы білдіріп, хабарлайды.
Сондықтан, егер тепе-теңдіксіз жүйелер эволюциясының критерийі болатын
болса, ол міндетті түрде энтропияның жалпы өндірісімен байланысты
болуы қажет.
Локалды квазитепе-теңдік шарты тепе-теңдіксіз процестерінің
феноменологиялық теориясын құрастыруының негізі болады.
Ескерту. Нақты жүйеде стационарлық немесе тепе-теңдік күй орныққанша
қайтымсыз процестер үнемі өтеді. Локалды тепе-теңдік күй қалыптасқанда
жүйенің әр көлем элементінде тәуелсіз ағындар және тәуелсіз күштер нөлге
тең болуы керек, сондықтан кез келген жағдайда барлық жерде диссипативтік
функцияның мәні де нөл болады. Тепе-теңдікте тасымалдау теңдеулеріне енетін
барлық градиенттер жойылады, осы себептен тепе-теңдік шарттары көмегімен
тасымалдау коэффициенттері өрнектерін анықтау мүмкін емес. Шынында
тасымалдау коэффициенттері тепе-теңдіксіз күйлер үшін дұрыс болуы қажет.
Аталған коэффициенттер тек қана күйдің жергілікті параметрлерінің
(температура, қысым, концентрация және т.б.) функциясы болады және тепе-
теңдіктен ауытқу деңгейінен тәуелсіз. Сондықтан, мысалы берілген
температура мен қысымда концентрацияға қандай да болсын кез келген мәндерді
беруге болады, ал тиісті қайтымсыз процестер жүйеде тепе-теңдік орныққанша
жалғаса береді.
2.5 Импульстың сақталу заңы
Сұйықтың қозғалысын қарастырайық. Идеал сұйық қозғалысының
гидродинамикалық теңдеуін Эйлер теңдеуі (1755г.) деп атайды. Бұл теңдеудің
жалпы түрі тұтқыр сұйықтың қозғалысы үшін былай жазылады:
, (2.39)
мұндағы ρ – сұйық тығыздығы; Pαβ (α, β=1, 2, 3) - кернеулер тензорының
декарт компоненттері (2.3 тарауды қараңыз); (( =1, 2, 3) -
жылдамдықтың декарт компоненттері, (( =1, 2, 3) – декарт
координаттары, ал туындысы
(2.40)
инерция центрі қозғалысының үдеуінің компоненті болады. Бұл (2.39)
теңдеуді Ньютонның жалпылама заңы деп те атайды.
Осы (2.39) теңдеу ЭФК үшін сыртқы күштер болмағанда жазылған. Өрнектің
сол жағындағы мүше V элементар физикалық көлемінің белгіленген нүктесінде
уақыт бірлігінде импульс өзгерісін көрсетеді. Оң жағының бірінші мүшесі газ
бөлшектерінің қозғалысынан туындайтын көлем шекарасынан өтетін
импульс ағыны өзгерісін анықтайды. Екінші мүше ((, ( =1, 2, 3) –
тұтас ортаның P қысымдар немесе кернеулер тензорының декарт компоненттері
болады.
Қысымдар тензорының физикалық мағынасы – ол газдағы импульс ағынының
көрінісін бейнелейді. Екінші рангты симметриялық P тензордың тоғыз
компоненттерінің келесі мағыналары бар: (11, (22, (33 тензордың диагоналды
элементтері нормальдық кернеулерге тең, яғни (хх – х бағытқа нормаль
беттің бірлік ауданына түсетін күшке тең. Қысым тензорының (12, (13, (21,
(23, (31, (32 диагоналды емес элементтері– ығысу кернеулері деп аталады,
мысалы (yх – y-бағытына перпендикуляр беттің бірлік ауданына х бағытта әсер
ететін күшке тең. 2.3 - суретте y бағытына перпендикуляр беттің бірлік
ауданына әсер ететін (y теңәсерлі күш көрсетілген. Бұл күш қысым
тензорының (yx, (yy, (yz (немесе басқаша белгілегенде (21, (22, (23)
компоненттері қосындысына тең.
Тепе-теңдікті жүйеде ығысу кернеулері нөлге тең, ал нормаль ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
1.1 Физикалық құбылыстарды суреттеудің статистикалық және термодинамикалық
әдістері
Молекулалардың жылулық (хаосты, бейберекет) қозғалысын суреттеу үшін
физикада екі әдіс қолданылады: статистикалық және термодинамикалық. Жүйені
статистикалық әдіспен суреттегенде қарастырылатын дене құрылысының қандай-
да бір әлдебір моделі пайдаланылады. Термодинамикалық әдістің статистикалық
әдістен айырмашылығы, ол құбылысты ең жалпы түрде бейнелейді, бұл әдісте
заттың құрылысы мен құбылыстың молекула-кинетикалық механизмі туралы
моделдік көзқарастар қолданбайды.
Сонымен бірге заттың ішкі құрылымы туралы терең білушілікті қажет
етпей-ақ, әр түрлі заттардың тікелей бақыланатын сипаттамаларының
арасындағы байланысты термодинамика тағайындайды. Бар жоғы бірнеше заңдарды
және айнымалы шамаларды қолданып, ол орасан сан молекулалардан құралатын
күрделі макроскоптық жүйелер туралы зор мәліметтер алуға мүмкіндік береді.
Бөлшектердің санының өте көптігінің өлшемі ретінде, мысалы Авогадро санын
пайдаланады.
Құрамында өте көп бөлшектер болуынан макроскоптық жүйеде туындайтын
заңдылықтарды статистикалық деп атайды. Бөлшектер саны соншалықты көи
болмаған жүйелерде анықтама бойынша статистикалық заңдылықтардың күші
жойылады.
Термодинамикалық әдістің тағы да бір артықшылығы – жан-жақтылығы,
себебі оның тұжырымдамалары қарастырылатын жүйенің сипаттамаларынан
тәуелсіз. Зат табиғатының ерекшеліктері бұл теорияда тек қана бірнеше
параметр арқылы беріледі, мысалы мольдік шамалар және жылусыйымдылық
сияқты. Екі әр түрлі күйлерде болатын жүйелердің әрекеттесуі туралы
мәліметтерді термодинамикалық есептеулер арқылы алуға болады. Жылулық
процестердің эксперименттік зерттеулерінің жалпы қорытындауы болатын
осындай нәтижелердің жиынтығы термодинамиканың мазмұны болады.
Термодинамиканың негізгі ұғымдары мен заңдарының физикалық мағынасы
статистикалық теория негізінде ашылады.
1.2 Термодинамикалық тепе-теңдік. Тепе-теңсіздік шектеулер
Жүйені құрайтын барлық материялық нүктелердің жылдамдықтары және
үдеулері нөлге тең күйі механикадағы тепе-теңдік күйді анықтайды. Сонда
кез келген уақыт мезетінде әр нүктеге әрекет ететін тең әсерлі күш анықтама
бойынша нөлге тең. Бұл шарттың бұзылуы механикалық тепе-теңдіктің бұзылуына
әкеледі. Мұндай бұзылу мысалы ретінде, жүктеме астындағы металл
үлгілерінің бүлінуін алуға болады.
Термодинамикалық тепе-теңдік ұғымының механикалық тепе-теңдікпен
өзгешелігі мүлде баска сипатқа ие болады. Термодинамикалық жүйенің
молекулалары (температура асқын төмен болмаса) теңдеспеген күштер
әрекетінде болып жан-жақты мүмкін бағыттарда қозғалады. Термодинамикалық
жүйе деп басқа денелермен және өзара энергия және (немесе) зат алмаса
алатын бір немесе бірнеше денелер жиынтығын атайды. Мұнда тепе-теңдік
ұғымды жүйені тұтас алғанда кейбір бірлескен (лат. collectivus – жинақтау,
бірге, бірлескен, коллективтік) сипаттамаларына жатқызады, айталық,
температура, қысым немесе компонент концентрациясы сияқты. Бұл сипаттамалар
жүйе әрекеттерін макроскопты түрде бенелейді және күй параметрлері деп
аталады. Белгілі сыртқы ортада орналасқан жүйені қарастырайық (1.1 сурет).
Егер алмасуға жауапты Xi және сыртқы ортаның Хe сипаттамаларының
мәндері жүйе мен сыртқы ортада бірдей болса, онда жүйе термодинамикалық
тепе-теңдік күйде болады. Айталық Хi – температураға сәйкес, жүйенің
қабырғалары жылу өткізеді, сондықтан жүйе мен сыртқы орта энергиямен
алмассын делік. Егер жүйенің кез келген нүктесінде және кез келген уақыт
мезетінде Т=Тe , яғни температура теңдігі байқалады, онда жүйе мен сыртқы
орта арасында термодинамикалық тепе-теңдік орнайды. Осыған ұқсас жағдай,
егер жүйе сыртқы ортамен механикалық энергиямен алмаса алатын болса, онда
механикалық тепе-теңдікте қысымдардың теңдігі орын алады, демек Р=Рe .
1.1 сурет. Ашық жүйе
Егер жүйеге сыртқы күштер әсер етсе, онда термодинамикалық тепе-теңдікті
сипаттайтын қосымша айнымалылар қажет болады.
Жоғарыда айтылғандар негізінде келесі қорытынды жасауға болады: егер
оқшауланған жүйе термодинамикалық тепе-теңдікте болса, онда жүйенің барлық
бөліктерінде қысым мен температура бірдей. Осы себептен тепе-теңдікте
жүйенің әр түрлі бөліктерінің арасы термодинамикалық көмескі. Сыртқы
ортамен энергия және зат алмаспайтын жүйені оқшауланған жүйе деп атайды.
Тепе-теңдік термодинамикасы екі іргелі заңға негізделген:
термодинамиканың бірінші заңына немесе энергия сақталу заңына және екінші
заңына немесе энтропия (гректің еn+trope – бұрылу, айналдыру) заңына. Тепе-
теңдіксіз процестердің феноменологиялық теориясыда осы екі заңға
негізделеді. Бірақ бұл жағдайда ол заңдар біраз басқа түрде тұжырымдалады.
Тепе-теңдік термодинамикасы жүйенің бұрынғы жайтын және оның
бастапқы күйден соңғы күйге өту жолын ескермейді, бүны көрнекі түрде
осында және қазір деп айтуға болады. Тепе-теңдік термодинамикасына
қарағанда тепе-теңдіксіз процестер термодинамикасы материя дамуының
динамикалық жайын қарастырады, солай болғандықтан ол тыныштық күй
орнықпаған жүйені зерттейді. Тепе-теңдіксіз термодинамикасын тепе-теңдік
термодинамиканың негізгі қағидаларын білмей түсінуге болмайды.
Кез келген термодинамикалық жүйелерге тән қасиет ретінде температура
ұғымы термодинамикада нөлдік заң арқылы енгізіледі. Термодинамиканың нөлдік
заңының тұжырымдамасы: егер екі А және В денелер бір-бірінен тәуелсіз және
жеке-жеке үшінші С денемен жылулық тепе-теңдікте болса, онда олар бір-
бірімен дәл сондай жылулық тепе-теңдікте болады; басқаша айтқанда жылулық
тепе-теңдік жүйенің барлық нүктелерінде (бөліктерінде) температурасы тең
болатынын анықтайды.
Термодинамиканың үшінші заңы да бар, оны Нернст заңы немесе жылулық
теорема деп атайды. Бұл заңға сәйкес абсолют нөл температурада кез келген
жүйенің энтропиясы нөлге тең болады.
1.3 Термодинамиканың екінші бастамасы
Қайтымсыз процестердің ең өзіне тән ерекшеліктерін ғажайып дәл
қамтыған 1865 ж. Рудольф Клаузиус тұжырымдаған түріндегі термодинамиканың
екінші бастамасы. Клаузиус сыртқы ортамен не энергия, не масса алмаспайтын
оқшауланған жүйелерді қарастырған. Мүндай жүйелер үшін Клаузиус бойынша,
термодинамиканың екінші бастамасынан әлдебір S (энтропия) функциясы
болатыны және ол өзінің максималды мәніне жеткенше термодинамикалық тепе-
теңдік күйде монотонды өсіп отыратыны байқалады:
(1.1)
- экстенсивтік қасиетке жатады, демек, егер жүйе бірнеше бөліктерден
құралса, онда жүйенің толық энтропиясы әр бөліктің энтропиясының
қосындысына тең болады. Олай болса, энтропия – аддитивтік шама.
Клаузиус тұжырымдамасын сыртқы ортамен энергия және затпен алмасатын
ашық жүйелерге де жинақтап қорытындылауға болады.
Мысалы, бұл айтылғандарды 1.1 және 1.2 суреттерде көрсетілген ашық
жүйелерегі процестегі энтропия өсімшесінің қатысын талдау арқылы
түсіндіруге болады..
deS
1.2 сурет. Ашық жүйе, мұндағы diS –
.
энтропия
өндірісі, deS – жүйенің сыртқы
ортамен арасындағы энтропияның алмасуы
1.2 суретте көрсеткендей, энтропия dS өсімшесінің екі құраушысын
ажырату қажет: біріншісі deS жүйе шекарасынан энтропия тасымалдауын (сыртқы
ортамен әсерлесуден туындайтын энтропия ағынын) суреттейді; екіншісі diS
жүйеде өндірілген (жүйедегі ішкі өзгерістермен байланысты энтропия бөлігі)
энтропияны белгілейді, сондықтан dS мына қосындыға тең болады:
(1.2)
Ашық жүйенің оқшауланған жүйелерден айырмашылығы энтропияның dS
өзгерісінде сыртқы ортамен алмасумен байланысты deS мүшенің болуы. diS мүше
ешқашан теріс мәнді болмайды, ал deS мүшенің таңбасы сыртқы ортамен
әрекеттесу түріне байланысты оң да, теріс те, нөл де болуы мүмкін.
Екінші бастамаға сәйкес қайтымсыз процестермен байланысты туындайтын
жүйенің ішіндегі энтропия өндірісі оң мәнді, ешқашан теріс мәнді болмайды,
яғни:
(1.3)
Мұндағы теңдік белгісі тепе-теңдік күйге сәйкес болады.
(1.2.) және (1.3.) өрнектер тұжырымдамасында қайтымсыз және қайтымды
процестер айырмашылығын көрсететіні өте маңызды, яғни:
diS = 0 (қайтымды процестер)
(1.4)
diS ( 0 (қайтымсыз процестер)
(1.5)
Егер deS = 0 болса, онда (1.2) және (1.3) салдарынан dS ( 0, бұл
термодинамиканың екінші бастамасының жазылу түрі.
Қоршаған ортамен тек қана жылулық энергиямен алмаса алатын жабық
жүйелер үшін, Карно-Клаузиус теоремасына сәйкес
deS =T,
(1.6)
мұндағы dQ - сырттан жүйеге келетін жылу мөлшері, ал Т – осы жылуды
қабылдайтын жүйенің температурасы.
Жабық жүйелер үшін (1.2.) және (1.3.) өрнектерден:
, (1.7)
бұл термодинамиканың екінші бастамасының белгілі жазылу түрі.
Ашық жүйелер үшін (1.2), (1.3) теңдеулерді және deS =T өрнекті
қолдануға болмайды. Бірақ та (1.2), (1.3) өрнектердегі жалпы
тұжырымдамалар дұрыстығы сақталады.
Энтропия өндірісіне тек қана қайтымсыз процестер үлес қосады. Бұндай
процестерге химиялық реакциялар, диффузия, жылуөткізгіштік, тұтқырлық тағы
да басқа процестерді жатқызуға болады.
Термодинамиканың екінші бастамасынан тағы да уақыттың бір бағыттылығы
шығады; уақыттың оң бағытын екінші бастама энтропия өсуімен байланыстырады.
Ескерту. Оқшауланған жүйеде энтропия ағыны deS нөлге тең, сондықтан:
dS=diS(0, deS=0.
(1.8)
Бұл (1.8) өрнек энтропия ешқашан кемімейді деген термодинамиканың екінші
бастамасының классикалық тұжырымдамасына сай және оның бұл қасиеті
қайтымсыз процестер байқалуын анықтайтын критерийін береді.
Қайтымсыздықтың жалпы бірегей критерийі – ол (1.4), (1.5) өрнектерге
сәйкес энтропияның өсуі.
1.4 Кеңістік пен уақытты ірітүйірлі тегістеу
Оқшауланған жалпы жүйе I және II жүйелерден құралған болсын және де
I-ші жүйе көлемі үлкендеу II жүйе ішінде орналассын, яғни I және II-ні
жүйенің макроскоптық көлемшелері (жалпы жүйе көлемінің бөлшектерінің
көлемдері) деуге болады.
Термодинамикалық тепе-теңдікте күй теңдеуі ортаның P қысымы, V
көлемі, ( тығыздығы сияқты негізгі параметрлерін: байланыстырады. Бұл
макроскоптық параметрлерді бірмәнді түрде жүйенің микроскоптық
сипаттамаларымен байланыстыруға болады, өйткені барлық макропараметрлер
жүйенің тиісті микропараметрлерінің орташасы болып келеді. Мысалы,
молекулалардың жылулық қозғалысының орташа энергиясымен температура
байланысты, демек T(m(v2(2, ( мүндағы m –молекула массасы, (v2( –
молекуланың орташа квадраттық жылдамдығы), ал тығыздығы , бөлшектердің
n=NV (мұндағы N-жүйедегі молекулалар саны, V-жүйенің көлемі)
концентрациясымен анықталады.
Сірә, олай болса көлемшенің температурасы, тығыздығы, массалар
центрі (ортасы) жылдамдығы және тағы да басқа шамалар туралы айтуға
боладыы, және де бұл шамалар қарастырылатын көлемше бойынша орташалау
арқылы табылады. Көлемше оқшауланған жүйе болмағандықтан, көлемше бойынша
орташаларының жалпы жүйе бойынша орташадан айырмашылығы болуы мүмкін, яғни
флуктуациялар байқалады, және де көлемшенің өлшемі неғұрлым кішірек болса,
ауытқулар соғұрлым көбірек болады. Дегенмен жеткілікті ұзақ уақыт
интервалында орташалағанда, бұл орташалар бүкіл жүйенің орташасымен бірдей
болады. Сөйтіп, бір көлемшеден келесіге өткенде қандай болса да бір
қасиеттің кеңістіктік біртексіздігі байқалады, демек осы қасиет
координаттар мен уақыттың функциясы болады, мысалы, , .
Егер заттың әйтеуір бір қасиетінің (P, T, ( және т.б.
макропараметрлерінің градиенті) кеңістіктік біртексіздігі туындаса, онда
қайтымсыздық пайда болады. Толық тепе-теңдік орнығу үшін, кез келген
қайтымсыз процесс өз қасиетін тегістеуге тырысады. Айта кететін жағдай,
мұндай қарастырғанда x, y, z – координаттық остің нүктелері емес, бұлар
жалпы жүйенің көлеміндегі N бөлшектер санынан әлдеғайда кіші, Ni бөлшегі
бар, көлемшенің сипаттамалары болады. Сөйтіп, мұндай координаттар
гидродинамикалық масштабты координаттар деп аталады.
Заттың қасиетінің кеңістіктік біртексіздігінде өмір сүру немесе
тарауы уақыты бойынша ажыратылатын ұсақ және ірі масштабты флуктуациялар
байқалады. Егер ұзақ уақыт аралығында орташаласақ, онда флуктуациялар өзара
бір-бірін жояды, сонда біз флуктуация сезілмейтін орташа ерекше уақытты
анықтаймыз, яғни уақыт шкаласы интервалдарға бөлінеді.
Осылай біз кейбір көлемше мен уақыт шкаласындағы белгілі уақыт
интервалына қатысты локалды макросипаттамалар ұғымына келеміз (1.3 сурет):
х1 х2 х3 хn
x, t
t1 t2 t3 tn
1.3 сурет
Сонымен қандай да бір макропроцесс қарастырылғанда, уақыттың ерекше
(сипаттамалық) интервалы (масштабы) туралы ұғым енгізіледі. Қарастырылатын
процесте жүйенің өзгеретін қасиеті байқалатын уақыт интервалын сипаттамалық
уақыт масштабы деп атайды..
Қарастырылатын процестің сипаттамалық уақыт масштабынан өмір сүру
уақыты анағұрлым кіші болатын флуктуацияларды үсақ масштабты флуктуациялар
дейді. Сонымен, локалды кеңістік аймақтары және уақыт интервалын
бейнелеуші гидродинамикалық кеңістіктік координаттық жүйесі және
гидродинамикалық уақыт масштабы локалды кеңістік аймақтары және уақыт
интервалы әр ρ, T, p және т.б. макропараметрлердің бір жалпы мәнімен
сипатталады. Басқаша айтқанда, болжау бойынша орташалағанда ұсақ масштабты
флуктуациялар жойылған кеңістік және уақыт интервалдарын және
бейнелейді. бейнелейтін локалды аймақ элементар физикалық көлем (ЭФК)
деп аталады. Осындай кеңістік координаттар және уақыт жүйесін енгізуді
кеңістік пен уақытты ірітүйірлі тегістеу деп атайды.
Егер әр түрлі ЭФК-де жүйенің бір немесе бірнеше параметрлері (Р, Т, (
және т.б.) әр түрлі мәнді болса, онда жүйе тепе-теңдіксіз күйде болады.
Егер ЭФК-дегі макропараметрлердің мәндері барлық тұтас оқшауланған
жүйе бойынша орташасының мәндерінен айырылатын болса, онда ірімасштабты
флуктуациялар байқалады.
Біз үзіліссіз жүйелерді қарастырамыз, оларда бір ЭФК--нен келесісіне
өткенде заттың қасиеттерінің өзгерісі қатты емес, сондықтан
гидродинамикалық масштабтағы кеңістік координаттары мен уақытты үзіліссіз
шамалар деп есептеуге болады. Бұл жағдайда жүйенің макроқасиеттерін (Р, Т,
( және т.б.) гидродинамикалық масштабтағы кеңістіктік координаттары және
уақыттың үзіліссіз функциялары деп қарастыруға болады.
1.5 Ағындар және қайнар көздері туралы ұғым
Тасымалдау процестерін суреттегенде ағын (масса, импульс, энергия,
зарядтың және т.б.) ұғымы қолданылады.
Берілген бет арқылы бірлік уақытта массаның тасымалдауын J масса
ағыны деп атайды. Көпкомпоненттік жүйе үшін жеке Jі компоненттің ағын
шамаларын білу керек. Масса ағыны белгіленген бет арқылы заттың
тасымалдауын сипаттайды, ал бет елес, жалған (фиктивті) да түрінде болуы
мүмкін.
Егер J=0 болса , онда жүйе тыныштықта бола ма? Тыныштықтағы жүйе үшін
,
яғни толық ағын нөлге тең. Кері пікір дұрыс емес, J – интегралдық ағын,
демек интегралдық шама және жүйенің жеке бөліктерінде тиісті ағын болса
да, нөлге тең болуы мүмкін (бір құбырдан шығады, екіншіге кіреді).
Меншікті ағын (ағынның беттік тығыздығы) бірлік беттіен өтетін
ағын, бұл жағдайда
, (1.9)
мұндағы -бет элементі, - координаттар және уақытқа тәуелді және
ерекше көңід аударатын жайт, ол қарастыратын ауданның бағытына байланысты,
яғни
, ,
мұндағы – сыртқы бірлік нормаль.
Айтылғанның бәрі жылу, яғни энергия ағынына да қатысты.
Термодинамикалық тепе-теңдік маңайында (локалды квазитепе-теңдік)
жүйелердің алмасатын энергиясы жылу ұғымымен, ал меншікті заряд ағыны-
электр тогының тығыздығымен (заряд ағыны, демек электр ағыны, ол ток күші)
теңдестіріледі. Импульс векторлық шама болғандықтан, берілген бет арқылы
импульстің Пx, Пy, Пz үш бағытта ағыны болады, осылардың әрбірі берілген
бет арқылы бірлік уақытта өтетін импульс проекциясының шамасын көрсетеді.
Онда импульстың 3 меншікті ағыны (х, (һ, (z бар, оның әрбіреуі элементар dS
ауданның бағытталуына тәуелді. Егер dS аудан x,y,z осьтеріне перпендикуляр
бағытталған болса, онда әрбір (i-де үш (iх, (iy, (iz компоненттерге ие
болады. Сөйтіп, импульс ағыны 9 компонентті (9 бағытты) шама, демек осы
жиынтығы импульстың меншікті ағын тензорын құрастырады:
(хх(ху(хz
П= (yх(yy(yz`
(zх(zy(zz
Импульстың сақталу заңы бойынша, Ньютонның екінші заңына сәйкес,
дененің көлемінің ішіндегі бірлік уақыттағы импульстің өзгерісі денеге
сұйық жағынан әрекет ететін тең әсерлі күшке тең болуы керек. Жеңілдету
үшін і – компонентін қарастырайық. Дененің бетінде бұл күш нөлге тең
болмайды, сондықтан
,
мұндағы Пik=fik, fik,-беттік күш, сондықтан импульс ағыны беттік күшпен
баламалы шама. Гидродинамикада fik, - кернеу ретінле түсіндіріледі. Осыдан
Пik=_- Рik, мұндағы Рik – кернеу тензоры деп аталады.
Ескерту. Ағындарды макроскопты және микроскопты деңгейде суреттеуге
болады. Макроскоптық моделде газ континуум (латынша сontinuum - үзіліссіз)
ретінде қарастырылады және тиісті суреттеуі макроскоптық жылдамдық,
тығыздық, қысым және температураның координаттар мен уақыттан тәуелділігі
арқылы беріледі. Микроскоптық немесе молекулалық модель газдың құрылымын
сансыз дискретті молекулалар жиынтығы ретінде қарап, кез келген уақыт
мезетінде барлық молекулалардың орны және жылдамдығы туралы мәліметтерді
қамтамасыз етеді. Бірақ мұндай атомдық-молекулалық суреттеменің практикалық
қажеттілігі шамалы. Сондықтан ағындар, мысалы газдың, макроскоптық шамалар
арқылы суреттеледі. Кіріспеде айтылғандай, ағынның кез келген нүктесіндегі
макроскоптық шамалар тиісті молекулалық шамалардың орташаларымен
теңдестіріледі. Ал континуалдық суреттеме дұрыс болу үшін физикалық
элементар көлемде (ЭФК) орташаларды анықтауға жеткілікті молекулалар саны
болуы керек. Сондықтан, бұл екі моделдің айырмашылығы жүйені
феноменологиялық және статистикалық бейнелеуінде, жүйенің табиғатына
байланысы жоқ. Осы оқу құралында макроскоптық лөзқарас пайдаланады.
Тасымалдау құбылыстар теориясында жалпы мағынада қарастырылатын
шаманың (масса, импульс, жылу,...) қайнар көзі деп, осы шама ағындары
болмағанда, жүйеде өтетін ішкі процестер есебінен болатын, шама өзгерісінің
себебін атайды.
Жүйедегі қайсыбір компоненттің массасының қайнар көзі ретінде
химиялық және ядролық реакциялар, диссоция және ионизация процестері және
т.б. болуы мүмкін. Жылудың қайнар көзі ретінде джоуль жылуы, реакция
жылуы және т.б. жылулары алынуы мүмкін.
Бірлік көлемде бірлік уақытга туындайтын i-компоненттің массасының
шамасын қайнар көзінің қуаты деп айтады. Қуаттың таңбасы теріс болса, демек
i-компоненттің массасы жүйеге ағып келетін (кіретін) болса, оны ағу көзі
(орыстың сток – ағу) деп атайды.
ЭФК-де қайсыбір қасиеттің өзгерісінің екі себебі болуы мүмкін:
1) бет арқылы қасиеттің ағыны пайда болуы;
2) көлемдік қайнар көздерінің әрекеті.
Тепе-теңдіктегі жүйенің тарихы болмайды және уақытта ескерусіз
қалады, демек ол жансыз жүйе болады.
2.1 Сақталу заңдарының жалпы түрі
Қайсыбір қасиетінің кеңістіктік біртексіздігі болатын жүйелер үшін
сақталу заңдарын баланс теңдеулері деп атайды.
Массаның, зарядтың, толық энергияның, импульстың және т.б. сақталу
заңдарыболады. Көлемнің нүктесінің төңірегінде ЭФК-де
уақыт мезетінде қандай да бір (,) экстенсивтік қасиеттерінің
кез келгенін қарастырайық. Осы (,) қасиеттің тығыздығын
деп белгілейік, ол мынадай қатынас бойынша анықталады:
, (2.1)
Мұндағы (,) жүйенің V еркінше (қалай болса солай) алынған
толық көлемінің бөлігіндегі қасиет мөлшері. Онда V көлемдегі қасиеттің
мөлшері мынаған тең болады:
,
(2.2)
мұндағы - элементар физикалық көлемі (ЭФК).
ЭФК нің Ω беті арқылы қасиеттің ағып келуі немесе ағып кетуі есебінен
(,) өзгеруі мүмкін, бұл жағдай (,) қасиет
мөлшерінің dQdt ағынын тудырады. (2.1 сурет).
м қасиеттің ағыны тығыздығын деп
белгілейік.
Ағынның анықтамасы векторлық алгебрадан белгілі. Егер
қасиеттің ағып кетуінің бағыты сыртқы нормаль бағытына
2.1 сурет сәйкес болса, онда ЭФК-де кемиді, сондықтан
таңбасы минус ал керісінше өсетін болса, онда плюс таңбамен алынады
(2.1 сурет). Сондықтан былай белгілеуге болады: ; . Осыған орай
(,) қасиеттің өзгеру жылдамдығы былай жазылады:
.
(2.3)
(2.3) өрнек (,) қасиеттің сақталу заңының интегралдық түрі
болады, мұндағы - бетке түсірілген сыртқы нормаль (2.1 сурет).
Остроградский-Гаусс теоремасы бойынша (көлемдік интегралды беттікке
түрлендіру)
шама нүктесін қоршаған және көлемімен бірге аймақты
қапсыратын тұйық беті арқылы өтетін векторлық өрістің скаляр ағыны
(2.1 сурет) болады. Остроградский-Гаусс теоремасын қолданып, (2.3) беттік
интегралын көлемдікке түрлендірсек, онда (2.3) теңдеуін төмендегіше жазуға
болады:
(2.4)
(2.2) және (2.4) өрнектерін ескеріп, (2.3) өрнекті былай жазуға болады:
(2.5)
Көлемнің шамасын еркімен алуға болатындықтан, -дифференциалдау
және ∫ -интегралдау таңбаларының орынын ауыстыруға болатынын ескеріп,
Мынаны аламыз:
(2.6)
Осыдан V көлемде қайнар көздері мен ағу көздері жоқта, қасиет
тығыздығының сақталу заңының дифференциалдық түрі былай жазылады:
(2.7)
Осы өрнектен қасиеттің ағыны тығыздығының өлшем бірлігі былай
анықталады:
(2.8)
(2.8) өрнекте - қасиеттің ағын тығыздығы, ол уақыт бірлігінде
бірлік бет арқылы өтетін қасиеттің мөлшеріне тең. Бұл жағдайда
ағын аймағының әр нүктесіне уақыт мезетінде тиісті қасиет және
вектор жылдамдығы, дәлірек айтқанда орташа жылдамдық,
сәйкестендіріледі, демек (2.8) өрнек бойынша қасиеттің ағын тығыздығы
мынаған тең болады:
(2.9)
Сонымен, (2.9) ескеріп, қасиеттің тығыздығы үшін сақталу заңы немесе
баланс теңдеуі былай жазылады:
(2.10)
Бұл (2.10) теңдеу ЭФК-дегі жүйеде -дің қайнар көздері мен ағу көздері
жоқ жағдайлар үшін жазылған. Егер ЭФК-де -дің қайнар көздері немесе
ағу көздері болса, онда бұл көздер шаманың көмегімен өлшенеді. Бұл
көлемде бірлік уақытта ЭФК-нің ішінде пайда болатын қасиеттің
мөлшері. Осы шама қасиеттің локалды өндірісі деп аталады және
деп белгіленеді. Сөйтіп, шамасы қасиеттің қайнар көзі
немесе ағу көзінің тығыздығы болады. Сонымен (2.10) қатынас өндірісі
болса, төмендегі түрде жазылады: қасиеттің
(2.11)
және осы өрнек қасиеттің локалды балансының жалпы теңдеуі немесе
үзіліссіздіктің (үзіксіздік) жалпы теңдеуі деп аталады.
2.2 Массаның сақталу заңы
Сақталу эаңының 2.7) және (2.11) өрнектерінде қасиеттің орнына
ЭФК-де заттың тығыздығын және массасын қарастыпайық . Онда (2.7) баланс
теңдеуі тап осы көлемдегі массаның өзгеру жылдамдығы үшін мына түрде
жазылады:
,
(2.12)
мұндағы - массаның толық тығыздығы, демек бірлік көлемнің массасы,
яғни:
, (i=1,2,..., n),
мұндағы ρі(t, r) - i компоненттің массалық тығыздығы.
Табылған (2.12) өрнек баланс теңдеуі түрінде жазылған: сол жағындағы
тығыздықтың локалды өзгерісі теріс таңбамен алынған толық масса ағынының
дивергенциясына (оң жақ) тең.
(2.10) өрнекті пайдаланып және барлық i компоненттерді қосындылау
арқылы толық массаның сақталу заңын табамыз:
, (2.13)
мұндағы -масса ағынының тығыздығы, -сұйықтың (заттың) элементінің
масса центрінің жылдамдығы, яғни физикалық элементар көлемнің (ФЭК) деп
айтуға болады. Масса ағынының тығыздығы қозғалыс бағытына перпендикулярлы
бірлк бет арқылы бірлк уақыт ішінде V көлемге келетін масса мөлшерін
көрсетеді. (2.13) теңдеу толық массаның сақталуын анықтайды, яғни, көлем
элементіне зат ағып кірсе немесе ағып шықса ғана, массаның өзгеру мүмкін
екендігін бейнелейді.
Біздің қарастыру жағдайымызда бөлшектердің тек қана бір түрі алынды
және химиялық реакциялар ескерілмеді, демек заттың қайнар көздері немесе
ағу көздері жоқ деп есептелді.
Қайнар көздері немесе ағу көздері болатын компоненттен тұратын
көпкомпонентті жүйені қарастырайық. Онда -компонент үшін массаның
баланс теңдеуінің түрі :
(2.14)
болатындығы анық, мұндағы - i –компоненттің массасының қайнар
көзінің тығыздығы (i –компоненттің массасының өндірісі), - i
–компоненттің ағынының тығыздығы, - i –компоненттің орташа
жылдамдығы. (2.14)-ші теңдеуіндегі ji, (i, (i, ui, шамалар уақыт және
кеңістік координаттар функциялары болады. Осы өрнектің барлық i
компоненттер бойынша қосындысын алсақ, онда:
, .
Егер химиялық реакциялардың өту мүмкіндігін жүйеде бейнелейтін болса,
онда (2.14) өрнек былай жазылады:
, (i=1,2,... , n) (2.15)
мұндағы νij Jj - көлем бірлігінде j – химиялық реакцияда і компоненттің
пайда болуы. Бұл мүшені қайнар көзінің бейнесі ретінде қарастыруға болады,
өйткені ол і заттың пайда болуын немесе жойылуын білдіреді. νij - j
химиялық реакциядағы i заттың стехиометриялық коэффициенті немесе
стехиометриялық саны. Jj шама j – химиялық реакцияның жылдамдығы деп
аталады.
Әрбір бөлек химиялық реакцияда масса сақталғандықтан, мынаны аламыз:
(j=1 ,2,.. ,r).
Химиялық реакцияларда заттың толық массасы өзгермейді, сондықтан
компоненттердің массасының өндірісінің қосындысы нолге тең болады, яғни
.
Сонымен, (2.14) теңдеуді барлық i компоненттер бойынша қосқанда, бұл
өрнекті (2.13) теңдеу түрінде жазуға болады:
. (2.16)
Осы соңғы теңдеу гидродинамикалық үзіліссіздік теңдеуі немесе тепе-
теңдіксіз жүйенің локалды аймағындағы массаның сақталу заңы деген
атаулармен белгілі.
Заттың ағын тығыздығын масса центрі жылдамдығы немесе орташа
массалық жылдамдық арқылы жазайық:
(2.17)
немесе
,
мұндағы - i-компоненттің массалық үлесі немесе салыстырмалы
массалық концентрациясы, (i,- i-компоненттің массалық тығыздығы. Оны
тығыздық деп атайды.
Сонымен, масса центрі қозғалысына қатысты заттың ағыны былай жазылады
(2.18)
Массаның ағыны тығыздығын келесі екі бөлікке жіктейік:
, (2.19)
мұндағы
.
(2.20)
Мұндағы - конвективтік (латынша convectio – әкелу; ортаның (газ,
сұйық) тұтастай орын ауыстыру нәтижесінде массаның тасымалдануы) ағын, яғни
-компоненттің заттың тұтастай түрінде қозғалысына қосатын ағынының
үлесі. Бөлшектердің жылулық қозғалысымен тікелей байланысты, демек диффузия
процесімен байланысты, масса центрінің қозғалысына қатысты диффузиялық ағын
мынаған тең:
(2.21)
Қарастырып отырған заттың құрамындағы атомдары мен молекулаларының
жылулық қозғалысы нәтижесінде кеңістік пен уақыт ішінде байқалатын заттың
бөлінуін (таралуын) диффузия деп атайды. Диффузиялық ағын уақыт
бойынша қайтымсыз процесс, демек оған сәйкес зат тасымалдануы да
қайтымсыз.
(2.18) өрнегін ескергенде, (2.14) і компоненттің массасының сақталу
заңының өрнегі мынадай түрге келеді:
(2.22)
Қайтымсыздық мүшемен байланысты. Конвективтік ағын келесі өрнекпен
анықталады:
.
Ал енді массалық концентрациядан сандық концентрацияға ауысайық. ЭФК-де
бөлшектер бар делік. Егер сандық тығыздық немесе сандық
көлемдік концентрацияны енгізсек, мұндағы , - элементар
физикалық көлемі, онда (2.13) өрнекті мына түрде жазуға болады:
,
-компоненттің сандық ағынын түрлендірсек, мынаны табамыз:
,
Сондықтан (2.22) формуласы мынадай түрге келеді:
. (2.23)
Егер концентрация параметрі ретінде заттың сандық үлесін (концентрациясын)
алсақ, онда
ci= nin, , (і=1, 2,...,k)
олай болса, (2.22) келесі түрде жазылады:
. (2.24)
Айта кетейік, әрі қарай түрлендірулер үшін бізге массаның (2.13)
сақталу заңы мен және уақыт бойынша толық туындының
(2.25)
салдары болатын бірқатар маңызды теңдеулер қажет.
Олай болса, А(t, r) қайсыбір кез келген локалды шама делік, ол уақыт
және кеңістік координаттарына тәуелді скаляр, немесе вектор, әлде тензор
компоненті болуы мүмкін. Осы шаманың уақыт бойынша толық туындысын
анықтайық. А(t, r) шама үшін (2.25) өрнекті келесі түрде жазайық:
. (2.26)
Осы өрнекті дивергенцияның анықтамасын қолданып, түрлендіреміз.
. (2.27)
(2.26) өрнекке шамасын (2.27)-ден алып, қойып, мынаны шығарып аламыз:
. (2.28)
Осыдан, (2.13) массаның сақталу заңын ескеріп, ізделіп отырған қатынасты
табамыз:
(2.29)
Ескерту. Локалды тепе-теңділік жағдайда қайтымсыз процестер
термодинамикасын өрістік теория ретінде қарастырып және сол үшін сақталу
заңдарын тұжырымдауға болады. Онда термодинамикалық жүйелерді екі топқа
бөлген дұрыс: үзіліссіз және үзілісті (гетерогенді). Үзіліссіз жүйеде
қайтымсыз процестер кезінде температура, тығыздық, концентрация және т.б.
осындай интенсивтік параметрлер ылғи да кеңістіктік координаттары және
уақытқа тәуелді болады. Тек қана стационарлық күйде күй функциялары уақыт
бойынша тұрақты болады.
Термодинамикалық қарастыруда гомогенді және үзілісті жүйелермен
салыстырғанда үзіліссіз жүйелерді математикалық суреттеу көп күрделілеу.
Масса, импульс, энергия, энтропия баланстарын өрнектейтін теңдеулерді әр
элементар көлемде болатын локалды (жергілікті) өзгеріске қатысты бірыңғай
түрге келтіру керек, және де кез келген көлем элементі ашық аймақ (жүйе)
екенін, яғни ол сыртқы ортамен зат алмаса алатынын ескеру қажет. Оған қоса
жалпы жағдайда жүйеде электр зарядталған бөлшектер және химиялық реакциялар
болу мүмкіндігін ескеру керек.
Гетерогенді (біртекті емес) жүйеде өтетін процесс мысалы ретінде
жүйенің екі гомогенді (фаза) бөлімдерінің арасында зат, электр энерниясы
және жылумен алмасу қайтымсыз процестерді қарастыруға болады. Жүйенің екі
гомогенді фазасы бір-бірінен табиғи шекарамен (айталық, сұйық және оның буы
арасындағы жылу-масса алмасуы) немесе вентильмен бөлінуі мүмкін. Вентиль
(немістің Ventil, орыстың клапан – қақпақ) ретінде тар тесік, капилляр,
мембрана (латынның membrana – қабықша, жұқа жарғақ) және т.б. болуы
мүмкін. Бір-бірінен осындай вентильмен бөлінген жүйелер фазасы қысымы және
температурасы әр түрлі, бірақ агрегаттық күйі және химиялық құрамы бірдей
екі орта болуы мүмкін. Бұл біртекті емес ортаны үзіліссіз жүйенің шектік
жағдайы ретінде қарастыруға және процесті термодинамикалық суреттегенде
белгілі жорамалдар жасауға мүмкіндік береді.
Мұндай жүйелерге қайтымсыз процестер термодинамикасының әдістерін
қолданғанда, жеке бөлек әр фазаның ішіндегі температура, қысым,
концентрация және потенциалдар тегістелуімен салыстырғанда жүйенің екі
фазасы арасында зат, электр энергиясы мен жылу алмасу процестері баяу өтеді
деп болжайды. Онда, қайтымсыз процестерде де жүйенің фазаларының әрбіреуі
гомогенді болып қала берді, яғни тұрақты локалды концентрация мен элетрлік
потенциалдарда ішкі жылулық және механикалық тепе-теңдікте болады.
Сондықтан температура, қысым, концентрация және потенциал фазалар
шекарасында секірмелі өзгереді және тек уақыт функциясы ғана болады.
Осымен, қарастырудан қатты фаза алынып тасталады, өйткені келтірілген
шарттар тек сұйық (газ тәріздес) жүйелерде практикалық жағдайда орындалуы
мүмкін.
2.3 Толық энергияның сақталу заңы
Көлемі V қайсыбір ЭФК-дегі толық энергия бет арқылы
энергия тасымалдауы болғандықтан өзгеруі мүмкін. Заттың бірлік массасының
w энергиясын, демек меншікті энергиясын, былай белгілейміз:
, (2.30)
мұндағы m - заттың V көлемдегі массасы.
Осы w(t.r) меншікті толық энергия деп аталады. Онда бірлік көлемнің
энергиясы, яғни толық энергияның тығыздығы ρw-ға тең болады, өйткені
мұндағы - заттың массалық тығыздығы немесе заттың тығыздығы.
Массаның m=ρV мәнін (2.30)-ға қойып, толық энергия тығыздығының келесі
өрнегі табылады:
.
Толық энергия тығыздығына жүйе энергиясының барлық түрі енеді.
Макроскоптық көзқарас бойынша ол үш бөліктен құралады:
- заттың тұтастай қозғалысының кинетикалық энергиясының тығыздығы;
- ЭФК-нің сыртқы күштер өрісіндегі потенциалдық энергиясының
тығыздығы (мұндағы ψ - меншікті потенциалдық энергия);
- ішкі энергияның тығыздығы (мұндағы ε-меншікті ішкі энергия), ол
микробөлшектердің жылулық қозғалысының кинетикалық энергиясы және олардың
өзара әрекеттесуінің потенциалдық энергиясының қосындысы (заттың құрылымы
айқындалғанда, басқа да энергиялар түрі қосылуы мүмкін).
Сонымен, толық энергия тығыздығының түрі мынадай болады:
.
(2.31)
қасиеттің сақталу заңын (2.7) пайдаланып, толық энергияның баланс
теңдеуін немесе толық энергияның сақталу заңының локалды (жергілікті) түрін
былай жазамыз:
,
(2.32)
мұндағы -энергияның толық ағыны, оған кіретіндер: - конвективтік
мүше (толық энергияның конвективтік ағыны), - жүйе жасаған немесе жүйе
үстінен істелген механикалық жұмысқа байланысты, -жылу ағыны, және
-күштер өрісінде әртүрлі компоненттер диффузиясымен байланысты
потенциалдық энергия ағыны. Егер сыртқы күштер өрісін ескермесек, онда
толық энергия балансының теңдеуі мына түрде жазылады:
(2.33)
Термодинамиканың бірінші заңына сәйкес біркомпоненттік жүйенің локалды
(жергілікті) көлеміндегі энергияның толық ағынының өзгерісі келесі
себептерден болуы мүмкін:
ағын арқылы энергияның конвективтік тасымалдауы есебінен, осы конвективтік
ағынның тығыздығы мынаған тең:
,
(2.34)
жүйе механикалық жұмыс істегенде энергия ағынының келуі (немесе
кетуі), мұндағы P – кернеулер тензоры немесе ортаның қысымдарының тензоры;
u – ЭФК-нің масса центрінің жылдамдығы; векторының құраушылры былай
анықталады: , мұндағы Pαβ (α, β=1, 2, 3) - кернеулер тензорының
декарт компоненттері және P қысымдарының тензоры симметриялық деп алынады,
сондықтан Pαβ=Pβα, -жылу ағыны (химиялық реакциялар болмағанда).
Сонымен, толық энергия ағынының тығыздығы мынаған тең болады:
(2.35)
Және соңында -мүшені қосуға болады, бұл күштер өрісінде әр түрлі
компоненттер диффузиясы кезінде туындайтын потенциалдық энергия ағыны,
онда (2.35) –ші өрнек былай жазылады:
немесе
(2.36)
Бұл жағдайда толық энергияның баланс теңдеуінің жергілікті түрі былай
жазылады:
. (2.37)
Осы өрнек толық энергияның локалды тығыздығының уақыт бойынша
өзгерісін суреттейді, яғни толық энергия тығыздығының тасымалдау
жылдамдығын анықтайды. (2.37) теңдеу алдыңғы параграфта қайсыбір
қасиеттің жалпы баланс теңдеуін қорытуда қолданған физикалық ұғымдар және
математикалық формализмге негізделіп табылды.
2.4 Локалды (жергілікті) квазитепе-теңдік шарты
Жүйенің термодинамикалық суреттеуінің барлық түрінің негізінде тепе-
теңдік концепциясы жатыр. Тепе-теңдіксіз жүйе біртекті емес, онда химиялық
реакциялар өтуі мүмкін. Сондықтан, жалпы жағдайда, жүйенің құрамы және
барлық тиісті айнымалылары кеңістік және уақыт бойынша өзгереді. Ондай тепе-
теңдіксіз жүйеде температура және қысым сияқты интенсивтік шамаларды
қалайша анықтауға болады деген сұрақ туындайды. Бұл қиыншылықтарды жеңуге
болады, егер локалды термодинамикалық тепе-теңдік көзқарасты қолдансақ.
Егер жүйеде шамалы өзгерістер байқалса, олардың өту жылдамдықтары
баяу болса, онда мұндай өзгерістерді квазитепе-теңдік күйлер тізбегі
ретінде суреттеуге болады. Локалды термодинамикалық тепе-теңдік туралы
пікірді алғашқы ұсынған И.Пригожин.
Ойша жүйе көлемін шексіз кіші көлем элементтеріне бөліп, барлық тепе-
теңді термодинамика ұйғымдарын физикалық элементар көлемінің локалды
анықталатын шамаларына қолдануға болады. Локалды айнымалы шамалар бірлік
масса мен бірлік уақытқа қатысты. Локалды тепе-теңдік гипотизасына сәйкес
локалды анықталатын параметрлер өз табиғаты бойынша тепе-теңдік күй
параметрлеріне ұқсас және өзара дәл сондай күй теңдеулерімен байланысады.
Қарастыратын жүйенің макроскоптық күйінің өзгерісінің жылдамдығы,
ондағы микроскоптық күйін анықтайтын кез келген элементар процестің
жылдамдығынан едәуір кіші ғана тепе-теңдіксіз жүйелер, И.Пригожиннің
пікірі бойынша локалды тепе-теңдікте бола алады..
Локалды аймақта жүйенің тепе-теңдіктен ауытқуы өте аз болуы және мына
шартқа бағынуы керек:
((,
мұндағы - әлдебір шаманың уақыт аралығында макроскоптық
өзгерісі, r - физикалық шаманың орташа мәні, ( - тепе-теңдік орнығуға
негізгі ықпал ететін элементар процестің уақыты.
Мысал ретінде ақ және қара шарларды бір жәшіктен екінші жәшікке
кездейсоқ ауыстыру ойынын (2.2 сурет) келтірейік. Әрбір ауыстырудан кейін
жәшіктерді сілкиді. Сонда әр жәшіктегі әр түсті шарлардың түстері
тегістеліп, араласады (2.2 сурет).
а) б)
2.2 сурет
Осылайша статистикалық дайындау нәтижесінде жәшіктерде толық
конфигурациялық ретсіздік орнығады (2.2б сурет). Бұл ойынды молекулалық
терминдермен де суреттеуге болады. Бастапқыда жәшіктерде кез келген
және молекулалар болсын. Жәшіктер арасындағы қалқаны алып тастайық.
Жеткілікті ұзақ уақыт өткен соң молекулалар өз бетімен араласады да, тепе-
теңдікорнайды: егер ұсақмасштабты флуктуациялар ескерілмесе, онда әр
жәшіктегі молекулалар саны бірдей болады, демек . Осы мысалдан
байқатынымыз, жергілікті аймақта, яғни физикалық элементар көлемде
статистикалық дайындау квазитепе-теңдік күйге әкеледі.
Макроскоптық тасымалдау теңдеуінде бұл тез өтетін релаксациялық
процестер көрсетілмеген, алайда олар тасымалдау процестерінің сипаттамалық
ерекшелерін алдын ала анықтайды.
Қайтымсыздықтың критерийі энтропияның өсуі болғандықтан,
энтропия бір локалды квазитепе-теңдік күйден басқасына үзіліссіз өтеді,
мұндай өтуі гидродинамикалық масштабта уақыт және координаттың
үзіліссіз өзгеруімен байланысты, яғни S(t,r). Бұл өзгеріс сипаттамалық
уақыт масштабынан едәуір аз уақыт аралығында физикалық элементар көлем
ішінде өтеді. Бұл жағдайдағы өзгерісінің нәтижесі де және
функциясы болады, яғни ЭФК ішінде σs энтропия өндірісінің тығыздығының
көзі бар. Энтропия өндірісі жүйенің квазитепе-теңдік күйге ауысуымен
байланысты болғандықтан, термодинамиканың екінші заңына (1.3 өрнек) сәйкес
.
(2.38)
Осы себептен, барлық тепе-теңдік жүйелер, күй функциясы энтропияның
көмегімен тағайындалатын, жан-жақты эволюциялық критериймен (гректің
kriterion – байымдау (пікір) құралы) сипатталады. Бұл критерий кез келген
термодинамикалық жүйенің тепе-теңдікке дамуының бағытын алдын-ала күмәнсіз
болжайды, демек тепе-теңдік күйіне жетуіне қарсы тұруға болмайтын
ұмтылысын. Тепе-теңдіксіз жүйелер үшін ең қолайлы сипаттаушы шама –
энтропияның жалпы өндірісі болады, ол да t уақыт және r координаттар
функциясы. Бұл шама бізге энтропияны өндіретін ағындар мен күштер ұғымдары
арқылы жүйеде болып жатқан барлық процестер туралы білдіріп, хабарлайды.
Сондықтан, егер тепе-теңдіксіз жүйелер эволюциясының критерийі болатын
болса, ол міндетті түрде энтропияның жалпы өндірісімен байланысты
болуы қажет.
Локалды квазитепе-теңдік шарты тепе-теңдіксіз процестерінің
феноменологиялық теориясын құрастыруының негізі болады.
Ескерту. Нақты жүйеде стационарлық немесе тепе-теңдік күй орныққанша
қайтымсыз процестер үнемі өтеді. Локалды тепе-теңдік күй қалыптасқанда
жүйенің әр көлем элементінде тәуелсіз ағындар және тәуелсіз күштер нөлге
тең болуы керек, сондықтан кез келген жағдайда барлық жерде диссипативтік
функцияның мәні де нөл болады. Тепе-теңдікте тасымалдау теңдеулеріне енетін
барлық градиенттер жойылады, осы себептен тепе-теңдік шарттары көмегімен
тасымалдау коэффициенттері өрнектерін анықтау мүмкін емес. Шынында
тасымалдау коэффициенттері тепе-теңдіксіз күйлер үшін дұрыс болуы қажет.
Аталған коэффициенттер тек қана күйдің жергілікті параметрлерінің
(температура, қысым, концентрация және т.б.) функциясы болады және тепе-
теңдіктен ауытқу деңгейінен тәуелсіз. Сондықтан, мысалы берілген
температура мен қысымда концентрацияға қандай да болсын кез келген мәндерді
беруге болады, ал тиісті қайтымсыз процестер жүйеде тепе-теңдік орныққанша
жалғаса береді.
2.5 Импульстың сақталу заңы
Сұйықтың қозғалысын қарастырайық. Идеал сұйық қозғалысының
гидродинамикалық теңдеуін Эйлер теңдеуі (1755г.) деп атайды. Бұл теңдеудің
жалпы түрі тұтқыр сұйықтың қозғалысы үшін былай жазылады:
, (2.39)
мұндағы ρ – сұйық тығыздығы; Pαβ (α, β=1, 2, 3) - кернеулер тензорының
декарт компоненттері (2.3 тарауды қараңыз); (( =1, 2, 3) -
жылдамдықтың декарт компоненттері, (( =1, 2, 3) – декарт
координаттары, ал туындысы
(2.40)
инерция центрі қозғалысының үдеуінің компоненті болады. Бұл (2.39)
теңдеуді Ньютонның жалпылама заңы деп те атайды.
Осы (2.39) теңдеу ЭФК үшін сыртқы күштер болмағанда жазылған. Өрнектің
сол жағындағы мүше V элементар физикалық көлемінің белгіленген нүктесінде
уақыт бірлігінде импульс өзгерісін көрсетеді. Оң жағының бірінші мүшесі газ
бөлшектерінің қозғалысынан туындайтын көлем шекарасынан өтетін
импульс ағыны өзгерісін анықтайды. Екінші мүше ((, ( =1, 2, 3) –
тұтас ортаның P қысымдар немесе кернеулер тензорының декарт компоненттері
болады.
Қысымдар тензорының физикалық мағынасы – ол газдағы импульс ағынының
көрінісін бейнелейді. Екінші рангты симметриялық P тензордың тоғыз
компоненттерінің келесі мағыналары бар: (11, (22, (33 тензордың диагоналды
элементтері нормальдық кернеулерге тең, яғни (хх – х бағытқа нормаль
беттің бірлік ауданына түсетін күшке тең. Қысым тензорының (12, (13, (21,
(23, (31, (32 диагоналды емес элементтері– ығысу кернеулері деп аталады,
мысалы (yх – y-бағытына перпендикуляр беттің бірлік ауданына х бағытта әсер
ететін күшке тең. 2.3 - суретте y бағытына перпендикуляр беттің бірлік
ауданына әсер ететін (y теңәсерлі күш көрсетілген. Бұл күш қысым
тензорының (yx, (yy, (yz (немесе басқаша белгілегенде (21, (22, (23)
компоненттері қосындысына тең.
Тепе-теңдікті жүйеде ығысу кернеулері нөлге тең, ал нормаль ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz