Векторлармен жұмыс

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
1 Matlab.та векторлармен жұмыс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.1 Векторларды Matlab .та енгізу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .5
1.2 Векторларды құру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... .5
1.3 Векторларға матеметикалық және матеметикалық емес операциялар жасау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
1.3.1 Векторлық әрекет ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...7
1.3.2 Вектордың әрбір элементімен жұмыс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .8
2 Векторлық алгебра ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
2.1. Вектор ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .11
2.2. Векторларды қосу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
2.3. Векторлардың айырымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...14
2.4 Векторларды санға көбейту ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...14
2.5. Коллинеар және компланар векторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..15
2.6. Базис ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16
2.7. Кеңiстiктегi тiк бұрышты декарт координат жүйесiндегi вектордың проекциялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...16
2.8. Векторларға сызықты амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .19
2.9. Векторлардың коллинеар және компланар болу шарттары ... ... ... ... .19
2.10. Кесiндiнi берiлген қатынасқа бөлу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..20
2.11. Екi вектордың скаляр көбейтiндiсi және оның қасиеттерi ... ... ... ... 21
2.12. Координаттарымен берiлген екi вектордың көбейтiндiсi ... ... ... ... 23
2.13. Үш вектордың оң және терiс жүйесi ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .23
2.14. Екi вектордың векторлық көбейтiндiсi және қасиеттерi ... ... ... ... ... 24
2.15. Координаттарымен берiлген екi вектордың векторлық көбейтiндiсi...26
2.16. Параллелограмм және үшбұрыш аудандары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..26
2.17. Үш вектордың аралас көбейтiндiсi және оның қасиеттерi ... ... ... ... .27
3 Мысалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...29
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .34
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 35
Matlab жүйесі (MATrix LABortory – Матрица лабораториясы) мәліметтер мапссивімен жұмысқа негізделген инженерлік және ғылыми есептеулерге арналған интерактивті жүйе. Matlab жүйесі дамыған математикалық және комплекстік арифметикадан тұрады.
Бұл жүйе векторлармен, матрицалармен және массивтермен операцияларды қолдайды, сингулярлы және спектралды айырылуды (разложение) іске асырады, матрица рангтарын есептейді, алгебралық полиномдармен, сызықтық емес теңдеулермен, дифференциалдық теңдеулермен және оптимизация есептерімен жұмыс жасайды, әртүрлі графиктермен тұрғызады.
Matlab – векторлар, матрицалар және көпмүшелермен күрделі есептеулерге әдейі арналған жүйе.
Векторды бір өлшемді массив деп түсінеміз, ал матрицаны екі өлшемді массив деп түсінеміз. Matlab жүйесінде үнсіздік бойынша әрбір берілген айнымалы вектор не матрица ретінде қарастырылады. Мысалы, бөлек берілген кез келген санды программа (1*1) өлшемді матрица, ал N өлшемді(элементті) векторды (1*N) өлшемді матрица деп қабылдайды.
1. Потёмкин В.Г. Система MatLab: Справ. Пособие. – М.: Диалог-Мифи, 1997. – 350 с.
2. Потёмкин В.Г. MatLab 5 для студентов: Справ. Пособие. – М.: Диалог-Мифи, 1998. – 314 с.
3. Потёмкин В.Г., Рудаков П.И. MatLab 5 для студентов. – 2-е изд., испр., дополн. – М.: Диалог-Мифи, 1999. – 366 с.
4. Потёмкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MatLab 5.х. В 2-х томах. Том 2. – М.: Диалог-Мифи, 1998. – 314 с.
5. Лазерев Ю.Ф. MatLab 5.х. – К.: Изд. Группа BHV; 2000. – 384 c.
        
        Курстық жұмысты орындауға тапсырма
Студент: Нұрғазиев Берік Ермекұлы
Тақырыбы: Векторлармен жұмыс
Аяқталған ... ... ... ... ... ... ... сипаттайтын негізгі бөлім
Қорытынды
Сызба материалдар саны: 0
Суреттер саны:
Кестелер саны:
Жұмыс ... ... ... ... қабылдап алған студент: Нұрғазиев Берік
«___»____________2005 ж.
Мазмұны
Кіріспе……………………………………………………………………………3
1 Matlab-та векторлармен жұмыс ......……………………………………………...5
1.1 Векторларды Matlab -та
енгізу............................................ ………………...5
1.2 Векторларды құру…………………....................................
………………...5
1.3 Векторларға матеметикалық және ... емес ... ... ... ... әрбір элементімен жұмыс……………………………..……8
2 Векторлық алгебра ………………………………………………………………11
2.1. Вектор……….………………………………………………………............11
2.2. Векторларды қосу ………………………………………………………….12
2.3. Векторлардың айырымы ………………………………..…………………14
2.4 Векторларды санға көбейту..........………………………………………….14
2.5. Коллинеар және компланар векторлар ... ... ... ... тiк ... ... координат жүйесiндегi вектордың
проекциялары ………………………………………………………........................16
2.8. Векторларға сызықты амалдар қолдану .....………………………………19
2.9. ... ... және ... болу ... ... Кесiндiнi берiлген қатынасқа бөлу..………………………….….………20
2.11. Екi вектордың скаляр көбейтiндiсi және оның ... ... ... ... екi ... ... ... Үш вектордың оң және терiс жүйесi.........………………………………23
2.14. Екi вектордың векторлық көбейтiндiсi және қасиеттерi..…...…………24
2.15. Координаттарымен берiлген екi вектордың векторлық көбейтiндiсi…26
2.16. ... және ... ... Үш ... ... ... және оның ... Мысалдар …………………………………………………………………….....29
Қорытынды……………………………………………………………………...34
Қолданылған ... ... (MATrix ...... ... мәліметтер
мапссивімен жұмысқа негізделген инженерлік және ... ... ... ... Matlab ... дамыған математикалық және
комплекстік арифметикадан тұрады.
Бұл жүйе векторлармен, матрицалармен және массивтермен операцияларды
қолдайды, сингулярлы және спектралды айырылуды (разложение) іске ... ... ... ... ... ... ... дифференциалдық теңдеулермен және оптимизация ... ... ... ... ... ... векторлармен жұмыс
Matlab – векторлар, матрицалар және ... ... ... ... жүйе.
Векторды бір өлшемді массив деп түсінеміз, ал матрицаны екі ... деп ... Matlab ... ... ... ... ... вектор не матрица ретінде қарастырылады. ... ... ... келген санды программа (1*1) өлшемді матрица, ал N ... (1*N) ... ... деп ... Matlab -та енгізу
Векторларды Matlab-та енгізу негізінен екі жолмен іске ... жолы – ... ... одан кейін “=” белгісі, сосын тік жақша ішіне
үтір немесе бос орын арқылы бөліп жазу ... ... ... Мысалы, v=[1 6.7 99 –1.8] жазсақ, онда бізге төмендегідей нәтиже
береді.
>> v=[1 6.7 99 -1.8]
v =
1.0000 6.7000 99.0000 ... ... ... жолы – вектордың элементтерін
арифметикалық прогрессия өсуі немесе кемуі ... ... Ол үшін ... одан кейін “=” белгісі, сосын вектордың алғашқы элементі, ... ... ... “:” ... вектордың соңғы элементі
енгізіледі. Мысалы, 2-мен 4 арасындағы қадамы 0.5-ке тең элементтері бар ... ... ... ... 2.5000 3.0000 3.5000 ... ... векторларды біріктіріп, бөлек вектор алуға болады.
Мысалы, алдыңғы v және х векторларын ... ... ... z=[v x]
z ... 6.7000 99.0000 -1.8000 2.0000 ... 3.5000 ... ... құру
Векторларды құру үшін Matlab жүйесінің дайын функцияларын ... ... Matlab ... ... ... ... дайын
функциялары арналған және көп. Матрицаларға арналған функциялардың ... да ... ... бір ... вектор алатын болсақ, онда
бір қатардан және N бағаннан тұратын матрица ... ... – N ... ... ... ... ... zeros(1,6)
ans =
0 0 0 0 0 ... – N ... ... ... вектор құрады:
>> ones(1,6)
ans =
1 1 1 1 1 ... – 0 мен 1 ... ... N ... ... вектор
құрады:
>> rand(1,6)
ans =
0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 ... – 0 мен 1 ... ... математикалық күтудің
нормальды заңдылығымен үлестірілген және стандартты ауытқуы ... ... N ... ... вектор құрады:
>> randn(1,6)
ans =
-0.4326 -1.6656 0.1253 0.2877 -1.1465 ... – v ... ... өске ... орындарын ауыстырып
құрады:
>> v=[5 9 3 4 8 7];
>> fliplr(v)
ans =
7 8 4 3 9 ... ... ... және ... емес
операциялар жасау
Matlab жүйесінде векторлармен жұмысты екі топқа бөлуге болады:
Векторлық әрекет – тек ... ... ... әрбір элементімен жұмыс – мұнда вектордың әрбір элементіне
керекті операция жасалады, бірақ векторлық алгебрада мұндай операциялар
орындалмайды.
1.3.1. ... ... ... Бұл ... ... ... ... элементтерін
қосады:
>> v=[5 6 9 8 7 3];
>> u=[6 5 3 1 9 ... ... =
11 11 12 9 16 ... алу. Бұл да қосу сияқты сәйкес элементтерін бір-бірінен
азайтады:
>> z=v-u
z =
-1 1 6 7 -2 ... ... ... ... ... қою ... іске ... және нәтижесінде вектор-баған алынады:
>> z'
ans =
-1
1
6
7
-2
-1
Векторды санға көбейту. Векторды санға көбейту z=r*v ... ... ... ... v – ... ... r – кез келген сан:
>> z=5*v
z =
25 30 45 40 35 ... ... ... Екі ... ... үшін ... өлшемі
бірдей және көбейткіш вектор – вектор-баған, көбейтілгіш вектор – ... болу ... ... онда ... ... ... Ал екі ... орындары ауысса, онда нәтижесінде сан шығады:
>> u=[6 5 3 1 9 4];
>> v=[5 6 9 8 7 3];
>> ... =
30 36 54 48 42 ... 30 45 40 35 ... 18 27 24 21 9
5 6 9 8 7 3
45 54 81 72 63 ... 24 36 32 28 ... ... =
170
Екі вектордың векторлық көбейтіндісі. Үш өлшемді екі векторды
көбейтуге cross(v,u) функциясы арналған:
>> v=[3 7 ... u=[2 6 ... ... =
39 -19 ... ... әрбір элементімен жұмыс
Вектордың әрбір элементімен жұмыста ... ... ... ... қарастырып, сол элементке операциялар жасалады. Matlab
жүйесінде жазылу ... ... ... ... мұндағы v – берліген
вектор, – функция аты, u - өлшемі v ... және ... ... v векторының сәйкес элементтерінен function функциясы бойынша
өзгеріп отырады. Төменде бірнеше мысалдар ... - v ... ... элементінің косинусын табады:
>> v=[-5 -2 0 1 4];
>> u=cos(v)
u =
0.2837 -0.4161 1.0000 0.5403 ... - v ... ... ... котангенсын табады:
>> cot(v)
Warning: Divide by zero.
> In C:\MATLAB6p1\toolbox\matlab\elfun\cot.m at line 8
ans =
0.2958 0.4577 Inf 0.6421 ... – v ... ... ... ... ... табады:
>> v=[-10 -1 0 1 1000];
>> log10(v)
Warning: Log of zero.
> In C:\MATLAB6p1\toolbox\matlab\elfun\log10.m at line 13
ans =
1.0000 + 1.3644i 0 + 1.3644i -Inf ... ... ... ... операциялар, атап айтқанда –
мыналар(вектордың әрбір элементіне бір ... қосу не алу, екі ... ... ... және ... v=[5 3 -4 0 9];
>> u=[3 -4 0 11 7];
>> v+4
ans =
9 7 0 4 ... ... =
-3 -10 -6 5 1
>> ... Divide by ... =
1.6667 -0.7500 -Inf 0 ... ... Divide by ... ... -1.3333 0 Inf ... v.^u
ans =
1.0e+006 *
0.0001 0.0000 0.0000 0 ... ... ... ... ... ... кез келген құбылыс екi шамамен
анықталады. Егер кез келген шама оң немесе терiс санмен анықталса, онда ... шама деп ... ... ... ... ... ... температура –
скаляр шама. Кейбiр шамаларды анықтау үшiн олардың сандық мәнiмен ... да бiлу ... олар – ... шама деп аталады. Мысалы үдеу,
жылдамдық, күш – ... шама ... ... ... ... – бағытталған кесiндi.
Берiлген вектор үлкен екi латын әрiпiмен ... кiшi бiр ... ... Егер вектор екi әрiппен белгiленсе, онда бiрiншi
әрiп вектордың бастапқы нүктесi, ал ...... ... деп аталады.
Мысалы – вектор, A нүктесi осы вектордың бастапқы нүктесi, ал B ... ... ... ... бағытын сипаттайды, яғни вектордың
бағыты A ... A ... ... ... Егер ... кiшi бiр
әрiппен белгiленсе, онда сол әрiптiң төбесiне тек сызықша ғана қойылады.
Мысалы, векторын деп те ... ... ...
векторының үзындығы немесе модулi деп, AB кесiндiсiнiң ұзындығын ... ол ... ... ... .
E
F ... бiрге тең векторлар бiрлiк ... орт ... ... Берiлген векторының орт векторы деп белгiленедi және
оның бағыты векторының бағытымен бағыттас. ... ... ... деп те ... ... Екi ... тең деп ... егер:
1. Oлар параллель болса (параллель түзулердiң бойында немесе бiр
түзудiң ... ... ... ... бағыттас болса;
3. Олардың модульдерi тең болса.
Екi мен векторларының теңдiгiн былай белгiлеймiз:
.
Анықтама. Егер екi ... бiр ... ... ... ... бойында жатса, онда мұндай векторлар коллинеар векторлар деп
аталады (3-сурет).
3-сурет
Егер вектордың бас ... ... ... бiр ... ... ... ... нөл вектор деп аталады да, ... ... ... , . Нөл ... ... ... модульдерi
нөлге тең және олар өзара тең. нөл векторы нүктесiнен өтетiн
кез ... ... ... ... сондықтан нөл вектор – кез келген
вектормен коллинеар деп ... ... Кез ... ... ... бола ... мен ... параллель және модулдерi тең, ал
бағыттары қарама-қарсы болса, онда мұндай ... ... ... ... ... векторлардың байланысын былай көрсетемiз .
векторының қарама-қарсы векторын деп белгiлеуге ... Егер ... ... ... ғана тең ... онда бұл ... теңдiгi туралы ешқан-дай тұжырым айтуға болмай-ды, яғни олар жалпы
жағдай-да тең немесе тең емес ... да ... ... ... , , , . . ., ... ... ... орналастырайық: векторының соңғы нүктесi
векторының бас нүктесiмен, векторының соңғы нүктесi ... ... ... ал ... ... тiзбектеп
орналастырайық.
Анықтама. Берiлген , , , . . ., ... деп бас ... ... бас ... үйлесетiн, ал
соңғы нүктесi векторының соңғы нүктесiмен үйлесетiн ... ... ... ... ... ... + ++ . . . +=.
5-сурет
Жоғарыдағы анықтаманы пайдаланып, ... емес мен ... ... анықтайық. Ол үшiн векторының соңғы нүкте-сiн
векторының бас ... ... ... мен ... ... деп – бас нүктесi векторының бас нүктесiмен,
ал соңғы нүктесi ... ... ... ... ... айтады, яғни += (6-сурет).
| |
|A |
| O |
| |
| |
|B |
| |
|C ... ... мен ... қосындысын табу үшiн
параллелограмм ережесiн пайдаланып ... да ... Ол үшiн ... ... берiлген мен векторларының бас нүктесi етiп ... осы ... мен ... ... Осы ... арқылы параллелограмын саламыз. Параллелограмның
диагоналы, берiлген векторлардың қосындысы болады, яғни +.
Жоғарыда берiлген анықтамадан, ... қосу ... мына ... - ... ... - ... заңы;
3. ;
4. Кез келген векторына қарама-қарсы векторы табылып,
теңдiгi орындалады.
2.3. Векторлардың айырымы
Анықтама. Берiлген мен ... ... деп ... ... айтамыз, егер мен ... ... ... тең ... ол былай белгiленедi:
- =.
Осы анықтаманы пайдаланып, ... мен ... ... ... Ол үшiн мен ... ... О ... үйлестiрелiк (7-сурет), яғни , . -дан ... ... мына ... ... ... болады. Сонымен, берiлген мен ... ... табу үшiн ... |
| |
| |
| |
| ... ... осы ... ... бас О ... ... де, бастапқы
нүкте векторының соңғы нүктесiмен үйлесетiн, ал соңғы нүкте
векторының ... ... ... ... ... ... осы
векторы мен ... ... ... ... ... қосу ... ... та табуға болады. Ол үшiн
мен векторларының қосындысын анықтасақ жеткiлiктi, ... ... екi ... айырымы әрқашанда бар және ол
тек ... ... ... ... ... ... векторын скаляр санына көбейту деп,
мына үш шартты қанағаттандыратын векторын айтамыз:
1. ;
2. мен ... ... Егер ... онда мен ... ... бiр
бағыттас; егер болса, онда олардың бағыттары ... ... ... ... ... ... немесе болса, онда - нөл ... ... онда мен ... ... ... ... үшiн ... орындалады;
кез келген вектор мен саны үшiн тек бiр ғана ... ... ... ... амалына мына қасиеттер орындалады
(скаляр шама):
1. ;
2. ;
3. ... ... және ... ... Берiлген мен векторлары сызықты тәуелдi
болу үшiн ... ... ... ... әрi ... ... мен векторлары сызықты тәуелдi ... та, ... ... ... ... ... бойынша
мен сызықты тәуелдi векторлар, сондықтан анықтама бойынша
мен нақты ... ... ... мен ... ... яғни ... ... олай
болса, (2.3) теңдiктен мына теңдiктi аламыз:
,
мұндағы .
Соңғы теңдiктен және векторды скаляр ... ... ... ... онда мен ... коллинеар екендiгi шығады.
Жеткiлiктiлiгi. Ендi мен ... ... ... та, ... ... ... векторлар екендiгiн дәлелдейiк. Ол
үшiн екi жағдайды қарастырамыз.
Бiрiншi жағдай. ... ... бiрi нөл ... ... ... бұл ... сызықты тәуелдiлiгi бiрiншi қасиеттен алынады.
Екiншi жағдай. Берiлген мен векторларының екеуi де нөл емес
вектор делiк. Онда, ... саны ... мына ... ... ... ... мынадай екi жағдай болуы мүмкiн немесе . ... да ... (2.4) ... мен ... ... ... ... Теорема дәлелдендi.
Анықтама. Бiр жазықтықтың бойында ... ... бiр ... ... ...... векторлар деймiз.
Осы анықтамадан, кез келген екi вектор – компланар болады.
2.3-теорема. Кез келген үш , , ... ... болу үшiн, ... компланарлығы қажеттi, әрi жеткiлiктi.
Осы теоремадан мынадай салдар аламыз.
Салдар. Егер , , компланар емес ... ... олар ... ... ... және ... ... базис ең негiзгi үғымдардың бiрi.
Сондықтан бiз базис жайлы ... Түзу ... ... деп – осы түзу ... кез ... емес векторды айтамыз.
Анықтама. Жазықтықтағы базис деп – осы жазықтықтағы кез ... емес екi ... ... ... мен ... осы ... ... кез келген
векторы үшiн мен нақты сандары табылып,
(2.5)
теңдiгi орындалады.
(2.5) теңдiк, ... мен ... ... деп ... Егер мен ... осы жазықтықтағы кез
келген векторының сызықты комбинациясы болса, бiр ... ... мен ... бiр ... ... ... ... сызықты тәуелiз , , ... бiр ... ... ... Егер олар кез ... векторының
сызықты комбинациясы болса, яғни кез келген векторы үшiн ,
, ... ... ... орындалады.
2.4-теорема. Кеңiстiкте компланар емес , ,
векторлары базис құрайды.
(2.6) ... ... , , ... ... ал , , ... ... векторының осы
базистерге тиiстi координаттары деп аталады.
2.5-теорема. Кеңiстiктегi кез ... ... , ... арқылы тек бiр-ақ рет ... яғни (2.6) ... ... тiк ... декарт координат
жүйесiндегi вектордың проекциялары
Бiзге тiк бұрышты декарт координат жүйесi берiлсiн делiк. ... ... ... ... ... ... жүйенiң бас ... ... ... бас ... Кеңiстiкте жатқан кез келген нүктенi алайық. Координат
жүйенiң бас ... ... ... ... ... осы ... векторы деп аталады да, былай белгiленедi: . ... ... ... үш санмен немесе үш координатпен анықталатыны бiзге белгiлi.
Ендi берiлген координат ... ... ... ... ... ... Ол үшiн нүктеден координат жазықтықтарына
параллель ... ... Осы ... ... ... ... ... ал нүктесiнiң
координат ... ... ... бел-гiлейiк.
Ендi жазықтықтағы вектордың өстегi проекцияларының анықтамасын ... Бұл ... ... ... векторының
координат өстерiне түсiрiлген проекциялар ... ... яғни , ... ... координат өстерiндегi компоненттерi деп
аталады:
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| ... |
, ,
, , ... ... ... кез келген векторы тiк бұрышты координат
жүйесiнде базистерi арқылы тек ... рет ... ... ... - ... ... - ... компоненттерi.
Анықтама. Вектордың тiк бұрышты координат жүйесiндегi координаттары
деп – осы вектордың координаттар ... ... ... ... формуладағы , , нақты сандары векторының
координаттары болады және ол былай ... ... бас ... координат жүйесiнiң бас нүктесiмен
үйлессе, онда ол вектордың координаттары осы нүктенiң координаттарына тең.
Ендi , , ... ... ... ... арасындағы бұрыштарын белгiлейiк (10-сурет). Осы
бұрыштардың косинустары, векторының бағыттауыш ... ... |
| |
| |
| |
| |
| ... X |
| ... |
|Y аx ... ... ... векторының координаттарын анықтаймыз:
,
, ... ... ... ... ... оның үш ... ... тең (9-сурет):
немесе
.
Сонымен, векторының модулiн мына формуладан ... (2.22) және (2.23) ... ... ... ... ... , . ... формуладағы теңдiктердiң екi жағын квадраттап қосайық:
.
(2.25)
Сонымен, кез келген вектордың ... ... ... ... тең.
Анықтама. Берiлген векторының орт (бiрлiк) векторы деп, бағыты
векторымен бағыттас және осы ... ... ... ... ... ол ... ... .
Осы анықтамадан және (2.25) ôормóладан, ... өсi ... ... жiктелiнедi:
. ... ... ... ... ... тең болса, яғни
, онда векторы координат жазықтығына параллель болады. Осы
сияқты ... ... ал ... жазықтығына
да параллель.
Егер векторының пен өстерiндегi проекциялары нөлге
тең болса, яғни , онда ... ... ... ... Осы ... ... ... ал векторы өсiне
коллинеар.
2.8. Векторларға сызықты амалдар қолдану
Векторларға сызықты амал қолдану нәтижесiнде жаңа ... ... осы жаңа ... ... табу жолдарын қарастырайық. Ол үшiн
бiзге екi вектор берiлсiн:
, .
2.6-теорема. ... ... ... табу үшiн, ... ... қосу керек, яғни
.
Осы теоремадан мынадай салдар аламыз.
Салдар. векторының координаттарын табу үшiн, ... ... ... ... сәйкес координаттарын алу керек, яғни
.
2.7-теорема. Скаляр шаманы векторға көбейту үшiн, вектордың ... сол ... ... ... ... ... - скаляр шама.
Жоғарыдағы теоремалардан және вектор проекцияларының қасиеттерiнен,
мына тұжырымдарды аламыз:
1. Тең векторладың сәйкес координаттары тең;
2. мен ... ... ... ... және компланар болу шарттары
Бiзге мен векторлары берiлсiн.
2.8-теорема. Нөл емес мен ... ... ... ... ... координаттарының пропорционалдылығы қажеттi әрi
жеткiлiктi, яғни:
. ... ... ... ... ... ... жатқан , , нүктелерi бiр түзудiң
бойында жату үшiн мен векторларының коллинеарлығы ... ... ... , , ... ... ... олардың координаттарынан анықталған үшiншi реттi анықтауыштың нөлге
тең болуы қажеттi, әрi жеткiлiктi, ... ... ... ... салдар аламыз.
Салдар. Кеңiстiкте жатқан , , , нүкте бiр
жазықтықта жату үшiн , , ... ... әрi ... ... ... ... қажеттi әрi жеткiлiктi шартын
қанағаттандыратындықтан, олар – компланар векторлар.
2.10. Кесiндiнi берiлген қатынасқа бөлу
Бiзге мен нүктелерi және қатынасы берiлсiн ... ... ... бөлетiн нүктенiң
координаттарын ... ... Ол үшiн ... нүктенiң
координаттарын әрiптерiмен, ал әрiптерiмен сәйкес , ,
нүктелерiнiң радиус-векторларын белгiлейiк, ... ... ... мен ... ... сондықтан
,
мұндағы
,
.
| |
|Z |
| |
| |
| |
| |
|Y |
|O |
| |
|X ... ... ... ... ... тең, ... , ... , , .
Сонымен, берiлген кесiндiнi ... ... ... мына ... ... , . ... нүкте кесiндiнi тең екi кесiндiге бөлсе, онда
болатындықтан, берiлген кесiндiнi тең екi бөлiкке бөлетiн ... мына ... ... , . ... Екi вектордың скаляр көбейтiндiсi
және оның қасиеттерi
Анықтама. Екi вектордың скаляр көбейтiндiсi деп – осы векторлардың
модульдерi мен ... ... ... ... ... ... мен ... скаляр көбейтiндiсi
түрiнде белгiленедi, ал олардың арасындағы бұрышын ... ... онда ... ... ... |
| |
| |
| |
| |
| ... ... екi ... ... ...... ... ... векторындағы проекциясын қарастырайық:
.
Олай болса, (2.31) формуладан:
.
Осы сияқты, ендi вектордың векторындағы проекциясын
қарастыратын болса, ... екі ... мына ... ... ... ... ... анықтаманы былай беруге де болады:
Екi вектордың скаляр көбейтiндiсi – бiрiншi (екiншi) ... ... ... ... ... ... ... түсiрiлген
проекциясына көбейткенге тең.
Векторлардың скаляр көбейтiндiсi физикада, механикада қолданылады.
Мысалы, күштiң әсерiнен дене нүктеден ... ... ... ... деп ... (13-сурет). Осы денеге әсер ететiн
күш пен түзуiнiң арасындағы бұрышты ... ... ... ... ... жұмсалған жұмыс физикада былай анықталады:
,
мұндағы ... ... ... ... .
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| ... ... (2.31) ... ... ... ... ... жұмыс және
векторларының скаляр ... ... ... Екi ... ... ... нөлге тең, егер олар:
1) өзара перпендикуляр болса;
2) векторлардың бiрi нөл вектор болса.
Анықтама. Екi ... ... ... ... тең ... онда
мұндай векторларды – ортогональ векторлар деймiз.
2-қасиет. Егер нөл емес мен векторлары өзара тең болса,
онда олардың скаляр ... ... ... ... тең ... Векторлардың скаляр көбейтiндiсiнде ауыстырымдылық заңы
орындалады:
.
4-қасиет. Векторлардың скаляр көбейтiндiсiнде үлестiрiмдiлiк ... ... ... көбейтiндiсiндегi скаляр санға
терiмдiлiк заңы орындалады:
.
6-қасиет. Егер мен ... ... ... ... ... ... екi ... көбейтiндiсi
Бiзге координаттарымен екi вектор берiлсiн:
, .
2.10-теорема. Координаттарымен берiлген мен ... ... ...... ... ... ... тең:
. ... , ... ... делiк.
2.11-теорема. Берiлген мен векторларының арасындағы
бұрыштың косинусы мына формуладан анықталады:
. ... ... мен ... ... болу
үшiн
(2.35)
теңдiгiнiң орындалуы қажеттi, әрi жеткiлiктi, ал ... болу ... ... координаттарының пропорционалдылығы қажеттi, әрi жеткiлiктi,
яғни:
. ... Үш ... оң және ... ... нөл емес және бiр ... ... ... үш
векторларын қарастырайық. - векторын бiрiншi, - екiншi, -
үшiншi вектор ... ... ... алынған векторларын – үштiк
векторлар деп атайды. Мысалы, ... ... ... ... ... ... ... мұндағы - бiрiншi, -
екiншi, - ... ... ал ... ...... бiрiншi, - екiншi, - үшiншi векторлар.
Үштiк векторларын ортақ бас нүктесiмен ... ... ... , , ... қарастырамыз (14-
сурет).
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | ... оң жүйе |ә) сол жүйе ... ... Егер ... ... бағыты сағат тiлiнiң бағытындай
болса, онда үштiк векторлары оң жүйе (14а-сурет), ал ... онда олар – сол жүйе ... деп ... екi үштiк векторлар оң, не терiс жүйе құраса, онда ... ... ... ... деп ... Ал олардың бiрi – оң, екiншiсi –
терiс жүйе құраса, онда ... ... ... ... векторлар
деймiз. Мысалы, , , - оң жүйе, , , - ... екi ... ... ... ... ... үштiк векторлар,
қарама-қарсы бағыттас векторлар.
Егер векторлары оң жүйе құраса, онда және ... оң ... ал және және - ... жүйе ... үштiк век-торлар оң, не терiс жүйе құрайтынын анықтау үшiн, 15-
суреттi есте сақтаған дұрыс.
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | ... жүйе | |
| |сол жүйе ... ... Екi вектордың векторлық көбейтiндiсi және қасиеттерi
Анықтама. мен векторларының векторлық көбейтiндiсi деп,
мынадай үш шартты қанағаттандыратын ... ... ... | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | ... |
1. ... модулi мен векторлары арқылы анықталған
параллелограмм ауданына тең, ... ­ мен ... ... ... ... мен ... арқылы анықталған
параллелограмм жазықтығына перпендикуляр ... осы ... ... Кеңiстiктегi векторлар осы көсетiлгендей, үштiк оң жүйе құрайды.
Берiлген мен векторларының векторлық көбейтiндiсiн былай
белгiлеймiз ... . ... ... векторлық
көбейтiндiсi – вектор болады.
Ендi векторлық көбейтiндiнiң негiзгi қасиеттерiмен танысайық.
1-қасиет. Берiлген мен ... ... нөл ... ... ... олардың бiрi нөл вектор болса;
2) олар коллинеар болса.
Дәлелдеуi анықтамадан шығады.
2-қасиет. Берiлген мен ... ... осы ... ... ... онда ... ... қарама-қарсы таңбаға өзгередi, ал модулi өзгермейдi,
яғни:
.
Анықтама бойынша (16-сурет) берiлген мен ... мен ... бiр ... ... Ол
жазықтық осы берiлген векторлар арқылы анықталған. Олай болса, үштiк ,
, мен , , векторлары сол жүйе ... ... ... ... ... яғни векторлардың
векторлық көбейтiндiсiндей ауыстырымдылық заңы ... ... мен ... ... ... ... ... заңы орындалады, яғни:
.
4-қасиет. Берiлген мен ... ... ... заңы ... яғни:
.
2.15. Координаттарымен берiлген екi вектордың
векторлық көбейтiндiсi
Бiзге мен векторлары координаттарымен ... ... ... ... мен ... ... мына түрде анықталады:
, ... - ... ... ... егер мен ... ... болса,
онда олардың сәйкес координаттары пропорционал болады, яғни:
.
2.16. Параллелограмм және ... ... ... ... ... ... ... аудандарын табуға болады. Ол үшiн кеңiстiкте координаттарымен
берiлген, әрi бiр түзудiң бойында жатпайтын үш нүктенi қарастырайық: ,
, ... мен ... ... ... ... ... ... (17-сурет).
| А2 ... |
| |
| |
| |
| ... ... ... ... ... ... көбейтiндiнiң анықтамасы бойынша
векторының модулiне тең, яғни , мұндағы , .
Сонымен, (2.37) ... ... ... мына ... ... ... ауданы мына формула бойынша анықталады: .
2.17. Үш вектордың ... ... және оның ... ... емес үш , , ... ... деп, мен ... векторлық көбейтiндiсiн
векторына скаляр көбейтудi айтамыз.
Сонымен, үш вектордың аралас көбейтiндiсi ... шама және ол ... . Осы ... компланар үш ... ... ... ... осы векторлардың аралас көбейтiндiсiнiң геометриялық мағынасын
қарастырайық. Ол үшiн ... емес , , ... ... нүктесiмен үйлестiремiз (18-сурет):
| ... |
| |
| |
| А ... ... |
| ... |
, , . ... мен ... осы векторлары арқылы анықталған жазықтыққа перпендикуляр
болады. Векторлар-дың скаляр және аралас көбейтiндiсiнiң анықтамасынан:
, ... . Егер ... емес , , ... ... жүйе
құраса, онда мен векторларының арасындағы бұрышы сүйiр
болады. Сондықтан , ал егер ... ... оң жүйе ... ... ... болады, яғни .
Ендi векторының векторына ... ... ... ... биiктiгi.
Ал векторының модулi мен векторларынан анықталған
параллелограмының ауданына тең, ... - ... ... ... емес үш вектордың аралас көбейтiндiсiнiң модулi,
осы векторлардан тұрғызылған параллелепипедтiң көлемiне тең.
Бiзге координаталарымен үш вектор берiлсiн дейiк
, , ... Үш ... ... ... осы ... ... үшiншi реттi анықтауыштың мәнiне тең, яғни:
. ... (2.40) ... ... бiрiншi, - екiншi,
- үшiншi вектор болсын делiк. Сонда бiрiншi ... ... ... ... ... ... ... екiншi
векторының координаттары - екiншi жатық жолын, ал ... ... - ... ... ... ... аралас көбейтiндiнiң негiзгi қасиеттерiмен танысып өтейiк[1].
Оларды дәлелдеу үшiн анықтауыштың ... ... ... оған бiз тоқталмаймыз.
1-қасиет. Егер аралас көбейтiндiдегi көршiлес екi вектордың ... онда ... ... таңбасы қарама-қарсы таңбаға
өзгередi, яғни:
.
2-қасиет. Егер ... ... ... орнын толық1
алмастырсақ, онда аралас көбейтiндiнiң таңбасы өзгер-мейдi:
.
3-қасиет. Аралас көбейтiндiге үлестiрiмдiлiк заңы орындалады:
.
4-қасиет. ... ... ... санына терiмдiлiк заңы
орындалады, яғни:
.
5-қасиет. Егер , , векторлары компланар болса, онда:
.
Аралас көбейтiндiдегi ... ... ... ... ... ... үшiншi вектор орнына, ал үшiншi векторды – бiрiншi ... ... ... ... орын ... ... ... Берiлген , , векторлары бойынша
векторын анықта.
Шешiмi. Алдымен векторларын анықтайық:
, , ... ... ... a=[0 2 ... b=[1 3 ... c=[-1 2 0];
>> d=3*a+(b/3)-2*c
d =
2.3333 3.0000 12.6667
2-мысал. Берiлген , , ... ... бола ... ... , , ... ... болу үшiн,
олардың координаттарынан анықталған үшiншi реттi анықтауыштың нөлге ... ... әрi ... ... a=[3/2 0 2]; ... 4 ... 0 4];...
d=[a; b; c]...
>> det(d)
ans =
0
>> if ... ... jauabi: ... ... komplanar
3-мысал. Берiлген , , ... ... ... бола ... ... векторы қалған векторлармен коллинеар
болатынын ... ... ... ... Сонда, мен
коллинеар емес, себебi . мен ... ... ... ... ... ... себебi .
Matlab-та шығарылуы:
>> a=[2 -3 4];
>> b=[6 -9 ... c=[-4 6 ... if ... & ... ... ... ... emes')
end
kollenear
>> if (a(1)/b(1))==(a(2)/b(2)) & (a(2)/b(2))==(a(3)/b(3)) &
(a(1)/b(1))==(a(3)/b(3)) disp('kollenear')
else disp('kollenear emes')
end
kollenear emes
>> if ... & ... ... ... ... ... ... дененi күштiң әсерiмен нүктеден
нүктеге векторының бойымен қозғауға ... ... ... ... ... ... дене ...
нүктеге түзуiнiң бойымен қозғалсын деп ұйғаралық (19-сурет). Осы
денеге әсер ететiн күш пен ... ... ... ... ... ол дененi қозғауға жұмсалған жұмыс физикада былай
анықталады:
,
мұндағы векторы векторының ... ... .
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| ... ... (2.31) ... ... ... қозғауға жұмсалған жұмыс және
векторларының ... ... ... табылады.
Шешiмi. Iздестiрiп отырған жұмыс мына формуладан анықталады:
, ,
.
,
,
.
Сонда:
.
Ендi осы есептi ... ... ... ... C=[2 3 ... B=[0 5 3];
>> CB=[B(1)-C(1) B(2)-C(2) B(3)-C(3)]
CB =
-2 2 1
>> ... F=[2 3 ... ... ... мен ... ... бұрыш және
, . Осы векторлардың векторлық көбейтiндiсiнiң модулiн анықта.
Шешiмi. ... ... ... ... a=3;
>> b=8;
>> angle=5*pi/6;
>> c=a*b*sin(angle)
c =
12.0000
6-мысал. Үшбұрыштың , , төбелерi берiлген. ... ... өтiп, ... ... ... орт векторын
анықта.
Шешiмi. Есептiң шарты бойынша төбесiнен өтiп, ... қиып ... ... ... тең ... мен кесiндiлерiне бөледi (17-сурет), сондықтан ... яғни .
| |
| |
| |
| |
| |
| ... |
| ... ... орт ... анықтайық:
, , .
Matlab-та шығарылуы:
>> A=[1 2 ... B=[-2 3 ... C=[2 1 ... ... ... ... =
0 2 5
>> ... D(2)-A(2) D(3)-A(3)]
AD =
-1.0000 0 -0.5000
>> ADmod=sqrt(AD(1)^2+AD(2)^2+AD(3)^2)
ADmod =
1.1180
>> aORT=AD/ADmod
aORT ... 0 ... ... Matlab ... ... ... ... Мұнда векторларға ... ... ... ... Және де ... ... ... қарастырылған.
Matlab жүйесі векторлармен жұмыстан басқа да математикалық, инженерлік
есептеулерге қажет. Бұл жүйе ғылым мен техниканың көп ... ... ... ... ... В.Г. ... MatLab: Справ. Пособие. – М.: Диалог-Мифи,
1997. – 350 с.
2. Потёмкин В.Г. MatLab 5 для студентов: Справ. Пособие. – М.: ... 1998. – 314 ... ... В.Г., ... П.И. MatLab 5 для ... – 2-е изд.,
испр., дополн. – М.: Диалог-Мифи, 1999. – 366 ... ... В.Г. ... инженерных и научных расчетов MatLab 5.х. В
2-х томах. Том 2. – М.: ... 1998. – 314 ... ... Ю.Ф. MatLab 5.х. – К.: Изд. ... BHV; 2000. – 384 ...

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Көлемі: 34 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 700 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Matlab-та векторлармен жұмыс10 бет
Matlab жүйесі22 бет
Corel draw векторлық графиканың интерфейсі68 бет
Microsoft Visio векторлақ графикалық бағдарламала5 бет
Асқын өткізгіштік. Бравэ торлары. Бриллюэн зоналары. Кристалдың трансляциялық симметриясы. Элементар ұяшық. Негізгі векторлар8 бет
Векторлар және олардың есептер шығаруда қолданылуы51 бет
Векторларды геометриялық есеп шығаруда қолдану35 бет
Векторлық графика4 бет
Векторлық кеңістік14 бет
Кеңістіктегі вектор25 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь