Векторлармен жұмыс

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
1 Matlab.та векторлармен жұмыс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.1 Векторларды Matlab .та енгізу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .5
1.2 Векторларды құру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... .5
1.3 Векторларға матеметикалық және матеметикалық емес операциялар жасау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
1.3.1 Векторлық әрекет ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...7
1.3.2 Вектордың әрбір элементімен жұмыс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .8
2 Векторлық алгебра ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
2.1. Вектор ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .11
2.2. Векторларды қосу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
2.3. Векторлардың айырымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...14
2.4 Векторларды санға көбейту ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...14
2.5. Коллинеар және компланар векторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..15
2.6. Базис ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16
2.7. Кеңiстiктегi тiк бұрышты декарт координат жүйесiндегi вектордың проекциялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...16
2.8. Векторларға сызықты амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .19
2.9. Векторлардың коллинеар және компланар болу шарттары ... ... ... ... .19
2.10. Кесiндiнi берiлген қатынасқа бөлу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..20
2.11. Екi вектордың скаляр көбейтiндiсi және оның қасиеттерi ... ... ... ... 21
2.12. Координаттарымен берiлген екi вектордың көбейтiндiсi ... ... ... ... 23
2.13. Үш вектордың оң және терiс жүйесi ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .23
2.14. Екi вектордың векторлық көбейтiндiсi және қасиеттерi ... ... ... ... ... 24
2.15. Координаттарымен берiлген екi вектордың векторлық көбейтiндiсi...26
2.16. Параллелограмм және үшбұрыш аудандары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..26
2.17. Үш вектордың аралас көбейтiндiсi және оның қасиеттерi ... ... ... ... .27
3 Мысалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...29
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .34
Қолданылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 35

Matlab жүйесі (MATrix LABortory – Матрица лабораториясы) мәліметтер мапссивімен жұмысқа негізделген инженерлік және ғылыми есептеулерге арналған интерактивті жүйе. Matlab жүйесі дамыған математикалық және комплекстік арифметикадан тұрады.
Бұл жүйе векторлармен, матрицалармен және массивтермен операцияларды қолдайды, сингулярлы және спектралды айырылуды (разложение) іске асырады, матрица рангтарын есептейді, алгебралық полиномдармен, сызықтық емес теңдеулермен, дифференциалдық теңдеулермен және оптимизация есептерімен жұмыс жасайды, әртүрлі графиктермен тұрғызады.
Matlab – векторлар, матрицалар және көпмүшелермен күрделі есептеулерге әдейі арналған жүйе.
Векторды бір өлшемді массив деп түсінеміз, ал матрицаны екі өлшемді массив деп түсінеміз. Matlab жүйесінде үнсіздік бойынша әрбір берілген айнымалы вектор не матрица ретінде қарастырылады. Мысалы, бөлек берілген кез келген санды программа (1*1) өлшемді матрица, ал N өлшемді(элементті) векторды (1*N) өлшемді матрица деп қабылдайды.

1. Потёмкин В.Г. Система MatLab: Справ. Пособие. – М.: Диалог-Мифи, 1997. – 350 с.
2. Потёмкин В.Г. MatLab 5 для студентов: Справ. Пособие. – М.: Диалог-Мифи, 1998. – 314 с.
3. Потёмкин В.Г., Рудаков П.И. MatLab 5 для студентов. – 2-е изд., испр., дополн. – М.: Диалог-Мифи, 1999. – 366 с.
4. Потёмкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MatLab 5.х. В 2-х томах. Том 2. – М.: Диалог-Мифи, 1998. – 314 с.
5. Лазерев Ю.Ф. MatLab 5.х. – К.: Изд. Группа BHV; 2000. – 384 c.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 36 бет
Таңдаулыға:

Курстық жұмысты орындауға тапсырма

Студент: Нұрғазиев Берік Ермекұлы

Тақырыбы: Векторлармен жұмыс

Аяқталған жұмысты тапсыру уақыты:

_______________2005 ж.

Жұмыс барысында қолданылатын мәліметтер

Мазмұны

Жұмысты сипаттайтын негізгі бөлім

Қорытынды

Сызба материалдар саны: 0

Суреттер саны:

Кестелер саны:

Жұмыс жетекшісі: Умирбекова А.Н.

Тапсырманы орындауға қабылдап алған студент: Нұрғазиев Берік

_______________2005 ж.

Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
1 Matlab-та векторлармен жұмыс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.1 Векторларды Matlab -та
енгізу ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .5
1.2 Векторларды құру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ...
... ... ... ... ... .5
1.3 Векторларға матеметикалық және матеметикалық емес операциялар
жасау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ..6
1.3.1 Векторлық әрекет ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 7
1.3.2 Вектордың әрбір элементімен жұмыс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .8

2 Векторлық алгебра ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11

2.1. Вектор ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... 11
2.2. Векторларды қосу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...12
2.3. Векторлардың айырымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...14
2.4 Векторларды санға көбейту ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...1 4
2.5. Коллинеар және компланар векторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..15
2.6. Базис ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 16
2.7. Кеңiстiктегi тiк бұрышты декарт координат жүйесiндегi вектордың
проекциялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ..16
2.8. Векторларға сызықты амалдар қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .19
2.9. Векторлардың коллинеар және компланар болу шарттары ... ... ... ... .19
2.10. Кесiндiнi берiлген қатынасқа бөлу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..20
2.11. Екi вектордың скаляр көбейтiндiсi және оның қасиеттерi ... ... ... ... 21
2.12. Координаттарымен берiлген екi вектордың көбейтiндiсi ... ... ... ... 23
2.13. Үш вектордың оң және терiс жүйесi ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .23
2.14. Екi вектордың векторлық көбейтiндiсi және қасиеттерi ... ... ... ... ... 24
2.15. Координаттарымен берiлген екi вектордың векторлық көбейтiндiсi...26
2.16. Параллелограмм және үшбұрыш аудандары
... ... ... ... ... ... ... ... ... ..26
2.17. Үш вектордың аралас көбейтiндiсi және оның қасиеттерi ... ... ... ... .27
3 Мысалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...29
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ...34
Қолданылған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ..35

КІРІСПЕ
Matlab жүйесі (MATrix LABortory – Матрица лабораториясы) мәліметтер
мапссивімен жұмысқа негізделген инженерлік және ғылыми есептеулерге
арналған интерактивті жүйе. Matlab жүйесі дамыған математикалық және
комплекстік арифметикадан тұрады.
Бұл жүйе векторлармен, матрицалармен және массивтермен операцияларды
қолдайды, сингулярлы және спектралды айырылуды (разложение) іске асырады,
матрица рангтарын есептейді, алгебралық полиномдармен, сызықтық емес
теңдеулермен, дифференциалдық теңдеулермен және оптимизация есептерімен
жұмыс жасайды, әртүрлі графиктермен тұрғызады.

1. Matlab-та векторлармен жұмыс

Matlab – векторлар, матрицалар және көпмүшелермен күрделі
есептеулерге әдейі арналған жүйе.
Векторды бір өлшемді массив деп түсінеміз, ал матрицаны екі өлшемді
массив деп түсінеміз. Matlab жүйесінде үнсіздік бойынша әрбір берілген
айнымалы вектор не матрица ретінде қарастырылады. Мысалы, бөлек берілген
кез келген санды программа (1*1) өлшемді матрица, ал N өлшемді(элементті)
векторды (1*N) өлшемді матрица деп қабылдайды.

1.1.Векторларды Matlab -та енгізу

Векторларды Matlab-та енгізу негізінен екі жолмен іске асырылады.
Бірінші жолы – вектор атын, одан кейін “=” белгісі, сосын тік жақша ішіне
үтір немесе бос орын арқылы бөліп жазу арқылы вектор элементтерін
енгіземіз. Мысалы, v=[1 6.7 99 –1.8] жазсақ, онда бізге төмендегідей нәтиже
береді.

v=[1 6.7 99 -1.8]

v =

1.0000 6.7000 99.0000 -1.8000
Векторды енгізудің екінші жолы – вектордың элементтерін
арифметикалық прогрессия өсуі немесе кемуі арқылы енгізу. Ол үшін вектор
атын, одан кейін “=” белгісі, сосын вектордың алғашқы элементі, “:”
белгісі, арифметикалық қадам, “:” белгісі, вектордың соңғы элементі
енгізіледі. Мысалы, 2-мен 4 арасындағы қадамы 0.5-ке тең элементтері бар х
векторын құру.
x=2:0.5:4

x =

2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000
Matlab жүйесінде векторларды біріктіріп, бөлек вектор алуға болады.
Мысалы, алдыңғы v және х векторларын біріктірейік. Нәтижесі төменде
көрсетілген.
z=[v x]

z =

1.0000 6.7000 99.0000 -1.8000 2.0000 2.5000
3.0000 3.5000 4.0000

1.2. Векторларды құру
Векторларды құру үшін Matlab жүйесінің дайын функцияларын қолдануға
болады. Негізінде Matlab жүйесі векторларға қарағанда матрицаларға дайын
функциялары арналған және көп. Матрицаларға арналған функциялардың көбісі
векторларға да жарайды. Қандайда бір функциядан вектор алатын болсақ, онда
бір қатардан және N бағаннан тұратын матрица түрінде көрсетеміз.
zeros(1,N) – N нөлдік элементтен тұратын вектор құрады:
zeros(1,6)

ans =

0 0 0 0 0 0
ones(1,N) – N бірлік элементтен тұратын вектор құрады:
ones(1,6)

ans =

1 1 1 1 1 1
rand(1,N) – 0 мен 1 арасындағы кездейсоқ N элементтен тұратын вектор
құрады:
rand(1,6)

ans =

0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 0.7621
randn(1,N) – 0 мен 1 арасындағы нөлдік математикалық күтудің
нормальды заңдылығымен үлестірілген және стандартты ауытқуы бірге тең
кездейсоқ N элементтен тұратын вектор құрады:
randn(1,6)

ans =

-0.4326 -1.6656 0.1253 0.2877 -1.1465 1.1909
fliplr(v) – v векторын вертикаль өске қарағанда орындарын ауыстырып
құрады:
v=[5 9 3 4 8 7];
fliplr(v)

ans =

7 8 4 3 9 5

1.3. Векторларға матеметикалық және матеметикалық емес
операциялар жасау
Matlab жүйесінде векторлармен жұмысты екі топқа бөлуге болады:
Векторлық әрекет – тек матеметикалық операциялар орындалады;
Вектордың әрбір элементімен жұмыс – мұнда вектордың әрбір элементіне
керекті операция жасалады, бірақ векторлық алгебрада мұндай операциялар
орындалмайды.

1.3.1. Векторлық әрекет
Векторларды қосу. Бұл операцияда вектордың әрбір сәйкес элементтерін
қосады:
v=[5 6 9 8 7 3];
u=[6 5 3 1 9 4];
z=v+u

z =

11 11 12 9 16 7
Векторларды алу. Бұл да қосу сияқты сәйкес элементтерін бір-бірінен
азайтады:
z=v-u

z =

-1 1 6 7 -2 -1
Транспонирлеу. Транспонирлеу транспонирлейтін вектордың шекесіне
апостроф қою арқылы іске асырылады және нәтижесінде вектор-баған алынады:
z'

ans =

-1
1
6
7
-2
-1
Векторды санға көбейту. Векторды санға көбейту z=r*v немесе z=v*r
формуласы жеткілікті. Мұнда v – берілген вектор, r – кез келген сан:
z=5*v

z =

25 30 45 40 35 15
Екі векторды көбейту. Екі векторды көбейту үшін екеуінің өлшемі
бірдей және көбейткіш вектор – вектор-баған, көбейтілгіш вектор – вектор-
қатар болу шарттары орындалса, онда нәтижесінде квадраттық матрица(диада)
құрылады. Ал екі көбейткіштің орындары ауысса, онда нәтижесінде сан шығады:
u=[6 5 3 1 9 4];
v=[5 6 9 8 7 3];
z=u'*v

z =

30 36 54 48 42 18
25 30 45 40 35 15
15 18 27 24 21 9
5 6 9 8 7 3
45 54 81 72 63 27
20 24 36 32 28 12

z=u*v'

z =

170
Екі вектордың векторлық көбейтіндісі. Үш өлшемді екі векторды
көбейтуге cross(v,u) функциясы арналған:
v=[3 7 4];
u=[2 6 9];
cross(v,u)

ans =

39 -19 4

1.3.2. Вектордың әрбір элементімен жұмыс
Вектордың әрбір элементімен жұмыста берілген вектордың әрбр
элементін бөлек қарастырып, сол элементке операциялар жасалады. Matlab
жүйесінде жазылу форматы былай болады: u=function(v), мұндағы v – берліген
вектор, – функция аты, u - өлшемі v векторындай және әрбір элементтерінің
мәндері v векторының сәйкес элементтерінен function функциясы бойынша
өзгеріп отырады. Төменде бірнеше мысалдар келтірледі:
cos(v) - v векторының әрбір элементінің косинусын табады:
v=[-5 -2 0 1 4];
u=cos(v)

u =

0.2837 -0.4161 1.0000 0.5403 -0.6536
cot(v) - v векторының әрбір элементінің котангенсын табады:
cot(v)
Warning: Divide by zero.
In C:\MATLAB6p1\toolbox\matlab\elfun\c ot.m at line 8

ans =

0.2958 0.4577 Inf 0.6421 0.8637
log10(v) – v векторының әрбір элементінің ондық логарифмін табады:
v=[-10 -1 0 1 1000];
log10(v)
Warning: Log of zero.
In C:\MATLAB6p1\toolbox\matlab\elfun\l og10.m at line 13

ans =

1.0000 + 1.3644i 0 + 1.3644i -Inf 0
3.0000
Matlab жүйесінде бұлардан басқа операциялар, атап айтқанда –
мыналар(вектордың әрбір элементіне бір санды қосу не алу, екі векторды
бөлу, дәрежеге шығару және т.б.):
v=[5 3 -4 0 9];
u=[3 -4 0 11 7];
v+4

ans =

9 7 0 4 13
u-6

ans =

-3 -10 -6 5 1
v.u
Warning: Divide by zero.

ans =

1.6667 -0.7500 -Inf 0 1.2857
v.\u
Warning: Divide by zero.

ans =

0.6000 -1.3333 0 Inf 0.7778
v.^u

ans =

1.0e+006 *

0.0001 0.0000 0.0000 0 4.7830

2 Векторлық алгебра

2.1. Вектор
Mатематикада, физикада, механикада кез келген құбылыс екi шамамен
анықталады. Егер кез келген шама оң немесе терiс санмен анықталса, онда ол
скаляр шама деп аталады. Мысалы, көлем, масса, аудан, уақыт, температура –
скаляр шама. Кейбiр шамаларды анықтау үшiн олардың сандық мәнiмен қоса,
бағытын да бiлу қажет, олар – векторлық шама деп аталады. Мысалы үдеу,
жылдамдық, күш – векторлық шама болып табылады.
Анықтама. Вектор дегенiмiз – бағытталған кесiндi.
Берiлген вектор үлкен екi латын әрiпiмен немесе кiшi бiр латын
әрiптерiмен белгiленедi. Егер вектор екi әрiппен белгiленсе, онда бiрiншi
әрiп вектордың бастапқы нүктесi, ал екiншiсi – соңғы нүктесi деп аталады.
Мысалы – вектор, A нүктесi осы вектордың бастапқы нүктесi, ал B –
соңғы нүктесi, стрелка вектордың бағытын сипаттайды, яғни вектордың
бағыты A нүктеден A нүктеге бағытталған (1-сурет). Егер вектор кiшi бiр
әрiппен белгiленсе, онда сол әрiптiң төбесiне тек сызықша ғана қойылады.
Мысалы, векторын деп те белгiлеуге болады. Берiлген
векторының үзындығы немесе модулi деп, AB кесiндiсiнiң ұзындығын айтамыз
және ол былай белгiленедi: немесе .

E
F B

A
1-сурет
Модулдерi бiрге тең векторлар бiрлiк немесе орт векторлар деп
аталады. Берiлген векторының орт векторы деп белгiленедi және
оның бағыты векторының бағытымен бағыттас. Жалпы векторының
орт векторын деп те белгiлейдi (2-сурет).

2-сурет
Анықтама. Екi вектор тең деп аталады, егер:
1. Oлар параллель болса (параллель түзулердiң бойында немесе бiр
түзудiң бойында жатса);
2. Олардың бағыттары бағыттас болса;
3. Олардың модульдерi тең болса.
Екi мен векторларының теңдiгiн былай белгiлеймiз:
.
Анықтама. Егер екi вектор бiр түзудiң бойында немесе параллель
түзулердiң бойында жатса, онда мұндай векторлар коллинеар векторлар деп
аталады (3-сурет).

3-сурет
Егер вектордың бас нүктесiмен соңғы нүктесi бiр нүктеде үйлессе,
онда мұндай вектор нөл вектор деп аталады да, былай белгiленедi:
немесе , . Нөл векторлардың бағыттары анықталмаған, модульдерi
нөлге тең және олар өзара тең. нөл векторы нүктесiнен өтетiн
кез келген түзулердiң бойында жатады, сондықтан нөл вектор – кез келген
вектормен коллинеар деп айтуға болады. Кез келген вектор өзiне-өзi
коллинеар бола алады.
Егер мен векторлары параллель және модулдерi тең, ал
бағыттары қарама-қарсы болса, онда мұндай векторлар қарама-қарсы векторлар
деп аталады (4-сурет).

4-сурет
Қарама-қарсы векторлардың байланысын былай көрсетемiз .
векторының қарама-қарсы векторын деп белгiлеуге болады. Егер
мен векторларының модулдерi ғана тең болса, онда бұл векторлардың
өзара теңдiгi туралы ешқан-дай тұжырым айтуға болмай-ды, яғни олар жалпы
жағдай-да тең немесе тең емес болуы да мүмкiн.

2.2. Векторларды қосу

Берiлген , , , . . ., коллинеар емес
векторларын былай орналастырайық: векторының соңғы нүктесi
векторының бас нүктесiмен, векторының соңғы нүктесi векторының
бас нүктесiмен үйлестiрейiк, ал қалғандарында осылай тiзбектеп
орналастырайық.

Анықтама. Берiлген , , , . . ., векторларының
қосындысы деп бас нүктесi векторының бас нүктесiмен үйлесетiн, ал
соңғы нүктесi векторының соңғы нүктесiмен үйлесетiн векторын
айтамыз (5-сурет).

Осы векторлардың қосындысы былай белгiленедi:

+ + ++ . . . +=.

5-сурет
Жоғарыдағы анықтаманы пайдаланып, коллинеар емес мен век-
торларының қосындысын анықтайық. Ол үшiн векторының соңғы нүкте-сiн
векторының бас нүктесiмен үйлестiрейiк, сонда мен
векторларының қосындысы деп – бас нүктесi векторының бас нүктесiмен,
ал соңғы нүктесi векторының соңғы нүктесiмен үйлесетiн
векторын айтады, яғни += (6-сурет).

A
O

B

C
6-сурет

Берiлген мен векторларының қосындысын табу үшiн
параллелограмм ережесiн пайдаланып табуға да болады. Ол үшiн жа-зықтықтағы
0 нүктесiн берiлген мен векторларының бас нүктесi етiп аламыз
да, осы нүктеден мен векторларын тұрғызамыз. Осы тұрғызылған
векторлар арқылы параллелограмын саламыз. Параллелограмның
диагоналы, берiлген векторлардың қосындысы болады, яғни +.
Жоғарыда берiлген анықтамадан, векторларды қосу амалына мына қасиеттер
орындалады:
1. - ауыстырымдылық заңы;
2. - терiмдiлiк заңы;
3. ;
4. Кез келген векторына қарама-қарсы векторы табылып,
теңдiгi орындалады.

2.3. Векторлардың айырымы
Анықтама. Берiлген мен векторларының айырымы деп –
үшiншi векторын айтамыз, егер мен векторларының қосын-
дысы векторына тең болса ол былай белгiленедi:
- =.
Осы анықтаманы пайдаланып, берiлген мен векторларының
- айырымын табайық. Ол үшiн мен вектор-ларын ортақ
бас О нүктесiмен үйлестiрелiк (7-сурет), яғни , . -дан және
жоғарыдағы анықтамадан мына теңдiктi аламыз:
немесе .
Сонда, болады. Сонымен, берiлген мен
векторларының айырымын табу үшiн (7-сурет),

7-сурет

алдымен осы векторларды ортақ бас О нүктесiне үйлестiремiз де, бастапқы
нүкте векторының соңғы нүктесiмен үйлесетiн, ал соңғы нүкте
векторының соңғы нүктесiмен үйлесетiн векторын тұрғызамыз. Сонда, осы
векторы мен векторларының айырымы болады. Осы
векторлардың айырымын қосу амалын пайдаланып та табуға болады. Ол үшiн
мен векторларының қосындысын анықтасақ жеткiлiктi, (8-
сурет).

0

8-сурет
2.1-теорема. Берiлген екi вектордың айырымы әрқашанда бар және ол
тек бiреу ғана.
2.4 Векторларды санға көбейту
Анықтама. Берiлген векторын скаляр санына көбейту деп,
мына үш шартты қанағаттандыратын векторын айтамыз:
1. ;
2. мен векторлары коллинеар;
3. Егер болса, онда мен векторларының бағыттары бiр
бағыттас; егер болса, онда олардың бағыттары қарама-қарсы бағыттас.
Осы анықтамадан мынадай тұжырымдар аламыз:
егер немесе болса, онда - нөл вектор;
егер болса, онда мен векторлары беттеседi;
кез келген векторы үшiн теңдiгi орындалады;
кез келген вектор мен саны үшiн тек бiр ғана векторы
анықталады.
Векторларды скаляр санға көбейту амалына мына қасиеттер орындалады
(скаляр шама):
1. ;
2. ;
3. .

2.5. Коллинеар және компланар векторлар
2.2-теорема. Берiлген мен векторлары сызықты тәуелдi
болу үшiн олардың өзара коллинеарлығы қажеттi, әрi жеткiлiктi.
қажеттiлiгi. Берiлген мен векторлары сызықты тәуелдi деп
ұйғаралық та, олардың коллинеар екендiгiн дәлелдейiк. Ұйғаруымыз бойынша
мен сызықты тәуелдi векторлар, сондықтан анықтама бойынша
мен нақты сандары табылып,

(2.3)
теңдiгi орындалады.
Ендi мен сандарының бiрiн, яғни болсын дейiк, олай
болса, (2.3) теңдiктен мына теңдiктi аламыз:
,
мұндағы .
Соңғы теңдiктен және векторды скаляр санға көбейту анықтамасын еске
түсiрсек, онда мен векторларының коллинеар екендiгi шығады.
Жеткiлiктiлiгi. Ендi мен векторларын коллинеар деп
үйғаралық та, олардың сызықты тәуелдi векторлар екендiгiн дәлелдейiк. Ол
үшiн екi жағдайды қарастырамыз.
Бiрiншi жағдай. Берiлген векторлардың бiрi нөл вектор болсын делiк.
Онда, бұл векторлардың сызықты тәуелдiлiгi бiрiншi қасиеттен алынады.
Екiншi жағдай. Берiлген мен векторларының екеуi де нөл емес
вектор делiк. Онда, нақты саны табылып, мына теңдiк орындалады:
немесе (2.4)
Соңғы теңдiкте, мынадай екi жағдай болуы мүмкiн немесе . Екi
жағдайда да болғандықтан, (2.4) теңдiгi мен
векторларының сызықты тәуелдiлiгiн анықтайды. Теорема дәлелдендi.
Анықтама. Бiр жазықтықтың бойында жатқан немесе бiр жазықтыққа
параллел болатын векторларды – компланар векторлар деймiз.
Осы анықтамадан, кез келген екi вектор – компланар болады.
2.3-теорема. Кез келген үш , , векторлар сызықты
тәуелдi болу үшiн, олардың компланарлығы қажеттi, әрi жеткiлiктi.
Осы теоремадан мынадай салдар аламыз.
Салдар. Егер , , компланар емес векторлар болса,
онда олар сызықты тәуелсiз.

2.6. Базис
Сызықтық және векторлық алгебрада базис ең негiзгi үғымдардың бiрi.
Сондықтан бiз базис жайлы айтпақпыз.
Анықтама. Түзу бойындағы базис деп – осы түзу бойындағы кез келген
нөл емес векторды айтамыз.
Анықтама. Жазықтықтағы базис деп – осы жазықтықтағы кез келген
коллинеар емес екi векторды айтамыз.
Соңғы анықтама мен 2.2-теоремадан: осы жазықтықта жатқан кез келген
векторы үшiн мен нақты сандары табылып,
(2.5)
теңдiгi орындалады.
(2.5) теңдiк, векторының мен базистерi арқылы
жiктелiнуi деп аталады.
Анықтама. Егер мен векторлары осы жазықтықтағы кез
келген векторының сызықты комбинациясы болса, бiр жазықтықтағы
сызықты тәуелсiз мен векторлары бiр базис құрайды деймiз.
Анықтама. Кеңiстiктегi сызықты тәуелiз , ,
векторлары бiр базис құрайды деймiз. Егер олар кез келген векторының
сызықты комбинациясы болса, яғни кез келген векторы үшiн ,
, нақты сандары табылып,
(2.6)
теңдiгi орындалады.
2.4-теорема. Кеңiстiкте компланар емес , ,
векторлары базис құрайды.
(2.6) теңдiгiн векторының , , базистерi арқылы
жiктелiнуi, ал , , нақты сандар векторының осы
базистерге тиiстi координаттары деп аталады.
2.5-теорема. Кеңiстiктегi кез келген векторы , ,
базистерi арқылы тек бiр-ақ рет жiктелiнедi, яғни (2.6) теңдiк
орындалады.

2.7. Кеңiстiктегi тiк бұрышты декарт координат
жүйесiндегi вектордың проекциялары
Бiзге тiк бұрышты декарт координат жүйесi берiлсiн делiк. Координат
өстерiндегi бiрлiк векторлар әрiптерiмен белгiленедi (9-сурет).
Координат жүйенiң бас нүктесi бiрлiк векторларының бас нүктесi
болады. Кеңiстiкте жатқан кез келген нүктенi алайық. Координат
жүйенiң бас нүктесiнен шығып, нүктеге бақытталған вектор осы нүктенiң
радиус векторы деп аталады да, былай белгiленедi: . Кеңiстiктегi кез
келген нүкте үш санмен немесе үш координатпен анықталатыны бiзге белгiлi.
Ендi берiлген координат жүйеге тиiстi нүктесiнiң радиус векторының
координаттарын анықтайық. Ол үшiн нүктеден координат жазықтықтарына
параллель жазықтықтар тұрғызамыз. Осы жазықтықтардың координат
жазықтықтарымен қиылысу нүктелерiн әрiптерiмен, ал нүктесiнiң
координат жазықтықтарындағы проекцияларын әрiптерiмен бел-гiлейiк.
Ендi жазықтықтағы вектордың өстегi проекцияларының анықтамасын еске
түсiрейiк. Бұл анықтамадан, нүктенiң координаттары векторының
координат өстерiне түсiрiлген проекциялар болып ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.