Баротроптық қозғалыстағы тұтқырлы газ моделі үшін айырымдық сұлбанының орнықтылығы мен жинақтылығын зерттеу
Нормативтік сілтемелер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 6
Шартты белгілер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 7
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 8
1. Дифференциалдық есептің қойылымы және негізгі нәтижелер 15
2. (1.9) . (1.15) есебі үшін айырымдылық сұлбасы ... ... ... ... ... 17
3. Меншікті көлемнің айырымдылық аналогы үшін төменнен және жоғарыдан бағалау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 18
4. Жоғарғы ретті туындыларды бағалау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 34
5. (2.1) . (2.5) айырымдылық сұлбасының жинақтылығы ... .. 45
6. (2.1) . (2.5) айырымдылық сұлбасының орнықтылығы ... .. 53
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 57
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 58
Шартты белгілер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 7
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 8
1. Дифференциалдық есептің қойылымы және негізгі нәтижелер 15
2. (1.9) . (1.15) есебі үшін айырымдылық сұлбасы ... ... ... ... ... 17
3. Меншікті көлемнің айырымдылық аналогы үшін төменнен және жоғарыдан бағалау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 18
4. Жоғарғы ретті туындыларды бағалау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 34
5. (2.1) . (2.5) айырымдылық сұлбасының жинақтылығы ... .. 45
6. (2.1) . (2.5) айырымдылық сұлбасының орнықтылығы ... .. 53
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 57
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 58
«Электрогазодинамика» термині ең алғаш рет жылы Санкт-Петербург қаласында «Торжество Академии Наук» жинағында жарық көрген М.В. Ломоносовтың ғылыми жұмысының тақырыбында кездеседі. 1943 жылы М. Фарадей алғаш рет өзінің баяндамасында электрогазодинамикалық құбылыстың физикалық қағидасын келтірді, П. Армстронгтың гидроэлектрлік машинамен жүргізген тәжірибесін түсіндірді. Электрогазодинамикалық бағыт бойынша орындалған жұмыстар: И.М. Кирко, Г.А. Остроумов, В.И. Попков, А.М. Мхитрарян, Е.И. Янтовский, В.А. Касьянов, Ю.М. Трушин, В.Е. Глазков, В.А Гогосов, И.Ф. Бабой, Е.П. Ударцев, Ю.С. Бортникова, И.Б. Рубашов, А.Б. Ватажин, В.И. Грабовский, В.А. Лихтер, В.И. Шульгин сияқты кеңес үкіметі ғалымдары мен О. Штуцер, М. Гурдин, М. Мельчер, Д. Тейлор, Н. Велкофф, Э. Барето, Н. Брандмайер, В. Кан, А. Маркс секілді шетел ғалымдарының еңбектері.
Электрогазодинамика (ЭГД) – электр өрісінде полярланған немесе униполярлы зарядталған сұйықтықтар мен газдардың қозғалысын зерттейтін физика мен механиканың бөлімі. ЭГД кейіннен құрылған бағыттардың бірі болып табылады. Күшті электр өрісінде газдың немесе полярланған, униполярлы зарядталған сұйықтардың қозғалысы барысында сол өрісте гидродинамикалық күштермен қатар өлшенетін шамалар реті бойынша электр күштері пайда болады. Бұл күштер гидродинамикалық ағынның қайта құрылуына әкеледі, соның салдарынан берілген электр өрісінің өзгеруіне әкеледі. Электрогазодинамика мен ЭГД-ның үдерістеріне деген қызығушылық жаңа дербес құрылғыларды (генераторларды, үдегіштерді, насостарды, дозаторларды және т.б.) құрастыру мен зерттеу бойынша олардың практикалық қолданылу мүмкіндіктерімен жоғары деңгейде орнын табуда. Мұнда электр өткізгіштік орта электр өрісі бар құбыр немесе канал бойынша қозғалады.
Электрогазодинамикалық үдерістердің техникалық қолданысының негізгі бағыттарына мыналар жатады: ЭГД – энергияның түрленуі, ЭГД – ортаның қасиеттерін басқару, ЭГД – технологиясы, ЭГД – диагностикасы, ЭГД – сепарациясы.
Энергияның түрленуімен байланысты ЭГД облысы мынандай екі бағытта дамиды: электр тоғын тудыратын ЭГД құрылғылар (электрогазодинамикалық генератор) (М. Фарадей мен П. Армстронгтың жұмыстары) және электр өрісінің энергиясының механикалық энергияға (ионды-конвекциялы насос) түрленуін жүзеге асыратын ЭГД құрылғы. Аталмыш бағыт бойынша маңызды жұмыстарға Д. Авсеканың май мен ауадағы электроконвектті қозғалыстардың әртүрлі түрлері бойынша еңбектері мен В.И. Арабаджидің ауа мен электрошоғырланған сұйықтықта «электрлік желдің» гидродинамикасының экспериментті зерттеулері бойынша еңбектері жатады. 1953 жылы О. Штуцер ионды-конвекциялы насос идеясын ұсынды. «Маңызды желді» зерттеуге С. Аррениустың, А. Чаттоктың, А. Гюнтершульцтің, Х.З. Тайхманның еңбектері бағытталған. И.Ф. Бабойдың жұмысында ортаның физикалық параметрлерін электрогазодинамикалық басқару мәселесі ерекше сұрақтар шеңберін құрайды. Әсіресе тұтқырлық пен жылу алмасу үдерістерін басқаруға байланысты мәселелер ерекше назарды талап етеді.
Электрогазодинамика (ЭГД) – электр өрісінде полярланған немесе униполярлы зарядталған сұйықтықтар мен газдардың қозғалысын зерттейтін физика мен механиканың бөлімі. ЭГД кейіннен құрылған бағыттардың бірі болып табылады. Күшті электр өрісінде газдың немесе полярланған, униполярлы зарядталған сұйықтардың қозғалысы барысында сол өрісте гидродинамикалық күштермен қатар өлшенетін шамалар реті бойынша электр күштері пайда болады. Бұл күштер гидродинамикалық ағынның қайта құрылуына әкеледі, соның салдарынан берілген электр өрісінің өзгеруіне әкеледі. Электрогазодинамика мен ЭГД-ның үдерістеріне деген қызығушылық жаңа дербес құрылғыларды (генераторларды, үдегіштерді, насостарды, дозаторларды және т.б.) құрастыру мен зерттеу бойынша олардың практикалық қолданылу мүмкіндіктерімен жоғары деңгейде орнын табуда. Мұнда электр өткізгіштік орта электр өрісі бар құбыр немесе канал бойынша қозғалады.
Электрогазодинамикалық үдерістердің техникалық қолданысының негізгі бағыттарына мыналар жатады: ЭГД – энергияның түрленуі, ЭГД – ортаның қасиеттерін басқару, ЭГД – технологиясы, ЭГД – диагностикасы, ЭГД – сепарациясы.
Энергияның түрленуімен байланысты ЭГД облысы мынандай екі бағытта дамиды: электр тоғын тудыратын ЭГД құрылғылар (электрогазодинамикалық генератор) (М. Фарадей мен П. Армстронгтың жұмыстары) және электр өрісінің энергиясының механикалық энергияға (ионды-конвекциялы насос) түрленуін жүзеге асыратын ЭГД құрылғы. Аталмыш бағыт бойынша маңызды жұмыстарға Д. Авсеканың май мен ауадағы электроконвектті қозғалыстардың әртүрлі түрлері бойынша еңбектері мен В.И. Арабаджидің ауа мен электрошоғырланған сұйықтықта «электрлік желдің» гидродинамикасының экспериментті зерттеулері бойынша еңбектері жатады. 1953 жылы О. Штуцер ионды-конвекциялы насос идеясын ұсынды. «Маңызды желді» зерттеуге С. Аррениустың, А. Чаттоктың, А. Гюнтершульцтің, Х.З. Тайхманның еңбектері бағытталған. И.Ф. Бабойдың жұмысында ортаның физикалық параметрлерін электрогазодинамикалық басқару мәселесі ерекше сұрақтар шеңберін құрайды. Әсіресе тұтқырлық пен жылу алмасу үдерістерін басқаруға байланысты мәселелер ерекше назарды талап етеді.
1. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. - М.: Наука, 1975. - 349 с.
2. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. - М.: Наука, 1980. - 352 с.
3. Шульц У.Д. Двумерные конечно-разностные гидродинамические уравнения в переменных Лагранжа // Вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967. – 383 с. – С. 9 – 54.
4. Гольдин В.Я., Калиткин Н.Н., Левитан Ю.Л., Рождественский Б.Л. Расчет двумерных течений с детонацией //ЖВМ и МФ. –1972. - Т. 12, №6. - С. 1606 - 1611.
5. Самарский А.А., Арсенин В.Я. О численном решений уравнений газодинамики с различными типами вязкости // ЖВМ и МФ. –1961. - Т. 1, №2. –С. 357 - 360.
6. Яненко Н.Н. Методы дробных шагов решения многомерных задач математической физики. - Новосибирск: Наука, 1967. – 195 с.
7. Самарская Е.А. Об итерационных методах решения разностных уравнений газовой динамики // Вест. МГУ сер.5. –1980. №1. - С. 58 - 66.
8. Бортников Ю.С., Рубашов И.Б. Некоторые вопросы исcледования системы уравнений электрогазодинамики // Магнитная гидродинамика. – 1968. – Вып. 2. – С. 26 – 32.
9. Shohet Y. Errors and Stability of the Entry Problem Equations in Laminar Magnetohydrodynamic Flow // The Physics of Fluids / Published by the American Institute of Physics. June, 1963. Volume 6, Number 6. Р. 797 - 802.
10. Дейнега Ю.Ф., Виноградов Г.В., Влияние сильных электрических полей на структуру неводных пластичных дисперсных систем // Доклады АН СССР. – 1962. – Т. 143, №4. – С. 898 – 901.
11. Остроумов Г.А. К вопросу о гидродинамике электрических разрядов // Журнал технической физики. - 1954. Т. XXIV. Вып.10. - С. 1915 - 1919.
12. Smith C. V., Melcher J. R. Electrohydrodynamicall induced spatially periodic celluar stokes – flow // The Physics of Fluids – November, 1967. – Volume 10, Number 11. – Р. 2315 - 2322.
13. Канель Я.Н. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа // Дифференциальные уравнения. 1968. Т.4, №4. С.721-734.
14. Канель Я.Н. О задаче Коши для уравнений газовой динамики с вязкостью // Сибирский математический журнал. – 1979. – Т.20, №2. – С. 293 – 306.
15. Шелухин В.В. Об одном сдвиговом течений вязкой сжимаемой жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 1996. Т.37, №4. С. 50-56.
16. Шелухин В.В. Существование периодических решений обобщенной системы Бюргерса // Прикладная математика и механика. - 1979. - Вып. № 6 (43). - С. 992 -997.
17. Вайгант В.А., Кажихов А.В. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости // Сибирский математический журнал. – 1995. – Т. 36, № 6. – С. 1283 – 1316.
18. Кажихов А.В. О задаче Коши для уравнений вязкого газа // Сибирский математический журнал. –1982. - Выпуск №1. - С. 60 - 64.
19. Кажихов А.В. О стабилизаций решений начально-краевой задачи для уравнений баротропной вязкой жидкости // Дифференциальные уравнения. – 1979. - Т. 15, № 4. – С. 662 - 667.
20. Ладыженская О.А., Солонников В.А. Решение некоторых нестационарных задач магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости // Труды математического института им. В.А. Стеклова АН СССР. -Л.: АН СССР, - 1960. - Т. 59. - С. 115 - 173.
21. Ладыженская О.А., Солонников В.А. О принципе линеаризации инвариантных многообразиях для задач магнитной гидродинамики // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР - Л.: Наука, 1973. - Т. 38. - С. 46 - 93.
22. Сахаев Ш., Солонников В.А. Оценки решений одной краевой задачи магнитной гидродинами // Труды математического института им. В.А. Стеклова АН СССР. -Л.: Наука, 1975. - Т. 127. - С. 76 - 82.
23. Смагулов Ш.С. О корректности некоторых задач для уравнений магнитной гидродинамики // Математические модели течений жидкости / Труды Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. - Новосибирск, 1978. - С. 257 - 266
24. Абрашин В.Н. О разностных схемах газовой динамики. // Дифференциальные уравнения. -1981. - Т. 17, № 4. - С. 710 - 718.
25. Абрашин В.Н. Об одной разностной схеме для нелинейного уравнения теплопроводности // Дифференциальные уравнения. -1982. - Т.18, № 7. - С. 1971 - 1972.
26. Головизин В.М., Самарский А.А., Фаворский А.П. Вариационный принцип получения уравнений магнитной гидродинамики в смешанных эйлер.-лагранж. перем. // ЖВМ и МФ. – 1981. - Т. 21, №2. - С. 409 - 422.
27. Головизин В.М., Рязанов М.А., Сороковикова О.С. Полностью консеррвативные дифференциально-разностные схемы газовой динамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. - М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. –1982. - №29. - 18 с.
28. Ортега Дж., Рейнболдт Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. - М.: Мир, 1975. - 558 с.
29. Самарская Е.А. Об итерационных методах решения разностных уравнений газовой динамики // Вест. МГУ сер.5. –1980. №1. - С. 58 - 66.
30. Остроумов Г.А. К вопросу о гидродинамике электрических разрядов // Журнал технической физики. - 1954. Т. XXIV. Вып.10. - С. 1915 - 1919.
31. Смагулов Ш., Даирбаева Г. Оценки разностного решения типа «крест» для модели вязкого теплопроводного газа // Доклады Болгарской академий наук. – 1988. - Т. 41, № 8. - С. 45 - 47.
32. Жанасбаева У.Б., Рысбаев Б.Р. Устойчивая разностная схема уравнений вязкого газа со свободными границами с немонотонной функцией состояния. // Вестник АН КазССР. - 1988. - № 4. - С. 59 - 65.
33. Смагулов Ш., Даирбаева Г. Оценки для решений разностной схемы модели баротропного газа с вязкостью зависящей от плотности. // -Алма-Ата: КазГУ, 1988. – 7 с.(Деп. В КазНИИНТИ 11.08.88. №1964).
34. Смагулов Ш., Даирбаева Г. Задача со свободной границей для уравнений баротропного газа с переменной вязкостью //Тезисы IX Респбл. Межвуз. конференции по математике и мех. - Алма-Ата: КазГУ. – 1989. – С. 48.
35. Данаев Н.Т., Жумагулов Б.Г., Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш.С. Исследование сходимости экономических конечно-разностных схем для уравнений Навье-Стокса в переменных (u, v, p) // Моделирование в механике. – Новосибирск, 1992. - Т. 6 (23), № 2. - С. 25 - 57.
36. Рысбайулы Б. Метод конечных разностей для краевой задачи уравнений третьего порядка переменного типа // Доклады АН РК. – Алматы. – 1999. – С. 51 –58.
37. Шелухин В.В. Движение с контактным разрывом в вязком теплопроводном газе // Динамика сплошной среды. – Новосибирск: СО АН СССР ИГ. – 1982. – Выпуск 57. – С. 131 – 152.
38. Рысбаев Б.Р. Устойчивость и сходимость разностной схемы для вязкого сжимаемого теплопроводного газа с контактным разрывом // применение методов функционального анализа в неклассическом уравнений мат. физ. – Новосибирск. – 1988. – С. 67 – 73.
39. Рысбаев Б. Метод Ньютона для разностной системы вязкого сжимаемого газа с контактным разрывом // Вестник АН РК. - 2000. – С. 67 – 73.
40. Смагулов Ш. С., Даирбаева Г., Рысбайулы Б. Устойчивость разностных схем для уравнений вязкого газа. – Алматы: Қазақ университеті, 2001. 300 с.
41. Ватажин А.Б., Грабовский В.И., Лихтер В.А., Шульгин В.И. Электрогазодинамические течения. - М.: Наука, 1983. – 344 с. Serrin J. On the uniqueness of compressible fluid motions // Arch. Rational Mech. and Analysis. – 1959. - Volume 3, № 3. - Р.271 - 299.
42. Файзулина Н.Т. О глобальной разрешимости и стабилизации решений краевой задачи электрогазодинамики для уравнений баротропного газа // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений. - Новосибирск, 1990. - С. 44-51.
43. Файзуллина Н.Т. Корректность краевой задачи электрогазодинамики для модели теплопроводного газа // Математические проблемы механики сплошной среды / Динамика сплошной среды. – Новосибирск. 1990 - Выпуск 97. – C. 124 – 145.
44. Даирбаева Г. Разностная схема для уравнений электрогазодинамики // Вестник КазГУ. Серия математическая. - Алматы: КазГУ. - 1995. - Выпуск № 2.- С. 8 - 13.
2. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. - М.: Наука, 1980. - 352 с.
3. Шульц У.Д. Двумерные конечно-разностные гидродинамические уравнения в переменных Лагранжа // Вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967. – 383 с. – С. 9 – 54.
4. Гольдин В.Я., Калиткин Н.Н., Левитан Ю.Л., Рождественский Б.Л. Расчет двумерных течений с детонацией //ЖВМ и МФ. –1972. - Т. 12, №6. - С. 1606 - 1611.
5. Самарский А.А., Арсенин В.Я. О численном решений уравнений газодинамики с различными типами вязкости // ЖВМ и МФ. –1961. - Т. 1, №2. –С. 357 - 360.
6. Яненко Н.Н. Методы дробных шагов решения многомерных задач математической физики. - Новосибирск: Наука, 1967. – 195 с.
7. Самарская Е.А. Об итерационных методах решения разностных уравнений газовой динамики // Вест. МГУ сер.5. –1980. №1. - С. 58 - 66.
8. Бортников Ю.С., Рубашов И.Б. Некоторые вопросы исcледования системы уравнений электрогазодинамики // Магнитная гидродинамика. – 1968. – Вып. 2. – С. 26 – 32.
9. Shohet Y. Errors and Stability of the Entry Problem Equations in Laminar Magnetohydrodynamic Flow // The Physics of Fluids / Published by the American Institute of Physics. June, 1963. Volume 6, Number 6. Р. 797 - 802.
10. Дейнега Ю.Ф., Виноградов Г.В., Влияние сильных электрических полей на структуру неводных пластичных дисперсных систем // Доклады АН СССР. – 1962. – Т. 143, №4. – С. 898 – 901.
11. Остроумов Г.А. К вопросу о гидродинамике электрических разрядов // Журнал технической физики. - 1954. Т. XXIV. Вып.10. - С. 1915 - 1919.
12. Smith C. V., Melcher J. R. Electrohydrodynamicall induced spatially periodic celluar stokes – flow // The Physics of Fluids – November, 1967. – Volume 10, Number 11. – Р. 2315 - 2322.
13. Канель Я.Н. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа // Дифференциальные уравнения. 1968. Т.4, №4. С.721-734.
14. Канель Я.Н. О задаче Коши для уравнений газовой динамики с вязкостью // Сибирский математический журнал. – 1979. – Т.20, №2. – С. 293 – 306.
15. Шелухин В.В. Об одном сдвиговом течений вязкой сжимаемой жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 1996. Т.37, №4. С. 50-56.
16. Шелухин В.В. Существование периодических решений обобщенной системы Бюргерса // Прикладная математика и механика. - 1979. - Вып. № 6 (43). - С. 992 -997.
17. Вайгант В.А., Кажихов А.В. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости // Сибирский математический журнал. – 1995. – Т. 36, № 6. – С. 1283 – 1316.
18. Кажихов А.В. О задаче Коши для уравнений вязкого газа // Сибирский математический журнал. –1982. - Выпуск №1. - С. 60 - 64.
19. Кажихов А.В. О стабилизаций решений начально-краевой задачи для уравнений баротропной вязкой жидкости // Дифференциальные уравнения. – 1979. - Т. 15, № 4. – С. 662 - 667.
20. Ладыженская О.А., Солонников В.А. Решение некоторых нестационарных задач магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости // Труды математического института им. В.А. Стеклова АН СССР. -Л.: АН СССР, - 1960. - Т. 59. - С. 115 - 173.
21. Ладыженская О.А., Солонников В.А. О принципе линеаризации инвариантных многообразиях для задач магнитной гидродинамики // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР - Л.: Наука, 1973. - Т. 38. - С. 46 - 93.
22. Сахаев Ш., Солонников В.А. Оценки решений одной краевой задачи магнитной гидродинами // Труды математического института им. В.А. Стеклова АН СССР. -Л.: Наука, 1975. - Т. 127. - С. 76 - 82.
23. Смагулов Ш.С. О корректности некоторых задач для уравнений магнитной гидродинамики // Математические модели течений жидкости / Труды Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. - Новосибирск, 1978. - С. 257 - 266
24. Абрашин В.Н. О разностных схемах газовой динамики. // Дифференциальные уравнения. -1981. - Т. 17, № 4. - С. 710 - 718.
25. Абрашин В.Н. Об одной разностной схеме для нелинейного уравнения теплопроводности // Дифференциальные уравнения. -1982. - Т.18, № 7. - С. 1971 - 1972.
26. Головизин В.М., Самарский А.А., Фаворский А.П. Вариационный принцип получения уравнений магнитной гидродинамики в смешанных эйлер.-лагранж. перем. // ЖВМ и МФ. – 1981. - Т. 21, №2. - С. 409 - 422.
27. Головизин В.М., Рязанов М.А., Сороковикова О.С. Полностью консеррвативные дифференциально-разностные схемы газовой динамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. - М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. –1982. - №29. - 18 с.
28. Ортега Дж., Рейнболдт Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. - М.: Мир, 1975. - 558 с.
29. Самарская Е.А. Об итерационных методах решения разностных уравнений газовой динамики // Вест. МГУ сер.5. –1980. №1. - С. 58 - 66.
30. Остроумов Г.А. К вопросу о гидродинамике электрических разрядов // Журнал технической физики. - 1954. Т. XXIV. Вып.10. - С. 1915 - 1919.
31. Смагулов Ш., Даирбаева Г. Оценки разностного решения типа «крест» для модели вязкого теплопроводного газа // Доклады Болгарской академий наук. – 1988. - Т. 41, № 8. - С. 45 - 47.
32. Жанасбаева У.Б., Рысбаев Б.Р. Устойчивая разностная схема уравнений вязкого газа со свободными границами с немонотонной функцией состояния. // Вестник АН КазССР. - 1988. - № 4. - С. 59 - 65.
33. Смагулов Ш., Даирбаева Г. Оценки для решений разностной схемы модели баротропного газа с вязкостью зависящей от плотности. // -Алма-Ата: КазГУ, 1988. – 7 с.(Деп. В КазНИИНТИ 11.08.88. №1964).
34. Смагулов Ш., Даирбаева Г. Задача со свободной границей для уравнений баротропного газа с переменной вязкостью //Тезисы IX Респбл. Межвуз. конференции по математике и мех. - Алма-Ата: КазГУ. – 1989. – С. 48.
35. Данаев Н.Т., Жумагулов Б.Г., Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш.С. Исследование сходимости экономических конечно-разностных схем для уравнений Навье-Стокса в переменных (u, v, p) // Моделирование в механике. – Новосибирск, 1992. - Т. 6 (23), № 2. - С. 25 - 57.
36. Рысбайулы Б. Метод конечных разностей для краевой задачи уравнений третьего порядка переменного типа // Доклады АН РК. – Алматы. – 1999. – С. 51 –58.
37. Шелухин В.В. Движение с контактным разрывом в вязком теплопроводном газе // Динамика сплошной среды. – Новосибирск: СО АН СССР ИГ. – 1982. – Выпуск 57. – С. 131 – 152.
38. Рысбаев Б.Р. Устойчивость и сходимость разностной схемы для вязкого сжимаемого теплопроводного газа с контактным разрывом // применение методов функционального анализа в неклассическом уравнений мат. физ. – Новосибирск. – 1988. – С. 67 – 73.
39. Рысбаев Б. Метод Ньютона для разностной системы вязкого сжимаемого газа с контактным разрывом // Вестник АН РК. - 2000. – С. 67 – 73.
40. Смагулов Ш. С., Даирбаева Г., Рысбайулы Б. Устойчивость разностных схем для уравнений вязкого газа. – Алматы: Қазақ университеті, 2001. 300 с.
41. Ватажин А.Б., Грабовский В.И., Лихтер В.А., Шульгин В.И. Электрогазодинамические течения. - М.: Наука, 1983. – 344 с. Serrin J. On the uniqueness of compressible fluid motions // Arch. Rational Mech. and Analysis. – 1959. - Volume 3, № 3. - Р.271 - 299.
42. Файзулина Н.Т. О глобальной разрешимости и стабилизации решений краевой задачи электрогазодинамики для уравнений баротропного газа // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений. - Новосибирск, 1990. - С. 44-51.
43. Файзуллина Н.Т. Корректность краевой задачи электрогазодинамики для модели теплопроводного газа // Математические проблемы механики сплошной среды / Динамика сплошной среды. – Новосибирск. 1990 - Выпуск 97. – C. 124 – 145.
44. Даирбаева Г. Разностная схема для уравнений электрогазодинамики // Вестник КазГУ. Серия математическая. - Алматы: КазГУ. - 1995. - Выпуск № 2.- С. 8 - 13.
Пән: Информатика, Программалау, Мәліметтер қоры
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 42 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 42 бет
Таңдаулыға:
ӘЛ-ФАРАБИ АТЫНДАҒЫ ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ
МЕХАНИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТІ
МАГИСТРАТУРА
Математикалық және компьютерлік пішіндеу кафедрасы
МАГИСТРЛІК ДИССЕРТАЦИЯ
Баротроптық қозғалыстағы тұтқырлы газ моделі үшін айырымдық сұлбанының
орнықтылығы мен жинақтылығын зерттеу
Орындаушы _________ Момынқұлова А.Қ. ___ _______ 2014 ж.
қолы
Ғылыми жетекшісі
ф.-м.ғ.к., доцент _________ Тұңғатаров Н.Н. ___ _______
2014 ж.
қолы
Кафедра меңгерушісінің
рұқсатымен
қорғауға жіберілді:
PhD, доцент _________ Жакебаев Д.Б. ___ _______
2014 ж.
қолы
Алматы 2014
ТҮЙІНДЕМЕ
Диссертациялық жұмыс 60 беттен тұрады. Дисертацияда барлығы 44 әдебиет
қолданылған.
Тәжірибеде туындайтын заманауи ғылым мен техниканың көптеген есептері
газдық динамика теңдеуінің шешімімен байланысты. Осы теңдеулерді шешу үшін
қазіргі таңда қолданылатын әдістердің көптігіне қарамастан оларды ары қарай
зерттеу әлі күнге дейін өз маңыздылығы мен өзектілігін жоғалтпаған. Сол
себепті, механика мәселелерін зерттеуде кездесетін есептер үлкен ғылыми
және тәжірибелік қызығушылық тудырады. Себебі, олардың шешімі
дифференциалдық теңдеулер және айырымдылық сұлба теориясының ары қарай
дамуымен тікелей байланысты.
Жұмыстың мақсаты электр өрісін ескерген жағдайда, баротроптық
қозғалыстағы тұтқырлы газ моделі үшін айырымдық сұлбаның орнықтылығы мен
жинақтылығын зерттеу.
Жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, қорытындыдан және пайдаланылған
әдебиеттер тізімінен тұрады.
Бірінші бөлімде, дифференциалдық есептің қойылымы және негізгі
нәтижелерін алынған.
Екінші бөлімде, (1.9) – (1.15) есебі үшін айырымдылық сұлбасын
алынған.
Үшінші бөлімде, меншікті көлемнің айырымдылық аналогы үшін төменнен
және жоғарыдан бағалауы алынған.
Төртінші бөлімде, жоғарғы ретті туындылардың бағалауы алынған.
Бесінші бөлімде, (2.1) – (2.5) айырымдылық сұлбасының жинақтылығы
дәлелденген.
Алтыншы бөлімде, (2.1) – (2.5) айырымдылық сұлбасының орнықтылығы
дәлелденген.
Жұмыстың барысында диссертация тақырыбына қатысты ғылыми еңбектерге
шолу жасалады.
РЕЗЮМЕ
Диссертационная работа состоит из 60 страниц. В работе использованы 44
литературы.
Многие математические задачи современной науки и техники, возникающие
на практике, связаны с решением уравнений газовой динамики. Несмотря на
многочисленное количество методов, используемых в настоящее время для
решения этих уравнений, работа по их дальнейшему изучению продолжает
оставаться важной и актуальной. Поэтому задачи, встречающиеся при изучении
проблем механики, представляют большой научный и практический интерес,
поскольку их решение связано с дальнейшим развитием теории дифференциальных
уравнений и разностных схем.
Цель работы заключается в исследовании на сходимость и устойчивость
разностной схемы для модели баротропного движения вязкого газа в
электрическом поле при наличии электрического поля.
Работа состоит из введения, основной части, заключения и списка
использованной литературы.
В первой части говорится о постановке дифференциальных задач и
основных результатах.
Во второй части приведены разностные схемы для задачи (1.9) – (1.15).
Третья часть о получении оценках сверху и снизу для разностного
аналога удельного обьема.
Четвертая часть о получении оценках на старшых производных.
В пятой части доказаны сходимость разностной схемы (2.1)-(2.5).
В шестой части доказаны устойчивость разностной схемы (2.1) – (2.5).
В начале работы проведен обзор известных научных трудов по теме
диссертаций.
SUMMARY
The dissertation consists of 60 pages . We used the 44 literatures.
Many mathematical problems of modern science and technology arising in
practice, related to the solution of equations of gas dynamics. In spite of
numerous number of methods currently in use to solve these equations, work
on their further study continues to remain important and relevant.
Therefore, tasks occurring in the study of mechanics problems are of great
scientific and practical interest because their decision is related to the
further development of the theory of differential equations and difference
schemes.
The aim of this work is to study the convergence and stability of
difference schemes for the model of barotropic viscous gas in an electric
field in the presence of an electric field.
The work consists of an introduction, body, conclusion and
bibliography.
The first part said about differential formulation tasks and main
results.
The second part are given difference scheme for the problem (1.9) -
(1.15).
The third part is about getting upper and lower estimates for the
difference analogue of the specific volume.
The fourth part about getting estimates on higher derivatives.
In the fifth part we prove the convergence of the difference scheme
(2.1) - (2.5).
In the sixth part of the proven stability of the difference scheme
(2.1) - (2.5).
At the start of a review of known scientific papers on the topic of
the thesis.
МАЗМҰНЫ
Нормативтік сілтемелер 6
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
Шартты белгілер 7
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
Кіріспе 8
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ...
1. Дифференциалдық есептің қойылымы және негізгі нәтижелер 15
2. (1.9) – (1.15) есебі үшін айырымдылық сұлбасы 17
... ... ... ... ...
3. Меншікті көлемнің айырымдылық аналогы үшін төменнен және 18
жоғарыдан бағалау
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ...
4. Жоғарғы ретті туындыларды бағалау 34
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ...
5. (2.1) – (2.5) айырымдылық сұлбасының жинақтылығы ... .. 45
6. (2.1) – (2.5) айырымдылық сұлбасының орнықтылығы ... .. 53
Қорытынды 57
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... .
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі 58
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ...
НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР
Магистрлік диссертация Қазақстан Республикасы Ғылым жэне Білім
Министрлігінің әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университетінің келесідей
нормативтік құжаттарына сүйене отырып жазылған:
1. Қазақстан Республикасының Білім туралы Заңы (№ 319 - III, 27.07.20
07).
2. Қазақстан Республикасының Білім туралы Заңы.
3. ҚР МЖМБС 5.04.033-2011. Жоғары оқу орнынан кейінгі білім.
Магистратура.
4. Магистрлік диссертацияға қойылатын талаптар (әл-Фараби атындағы
ҚазҰУ-дың Ғылыми Әдістемелік Кеңесінің Мәжілісінде 17.02.2012 ж.
бекітілген (хаттама № 3)).
БЕЛГІЛЕУЛЕР МЕН ҚЫСҚАРТУЛАР
( (0,1) интервалындағы бірқалыпты кеңістіктік тор;
( [0, 1] кесіндісіндегі бірқалыпты кеңістіктік тор;
( (0,1) интервалындағы және түйіндері арасындағы
жартылай тұтас нүктелердің бірқалыпты кеңістіктік торы;
( (0,T]-дағы бірқалыпты уақыттық тор;
( [0, T] кесіндісіндегі бірқалыпты уақыттық тор;
, ( тіктөртбұрыш облыстағы бірқалыпты тор;
( торның қадамы;
( [0, 1] кесіндісінің бөлікке бөлшектену саны;
( торының түйіндері;
( және түйіндері арасындағы жартылай тұтас нүктелер;
( уақыттық торының қадамы;
( [0, T] уақыттық кесіндісінің бөлікке бөлшектену саны;
( торындағы берілген функция;
( нүктесіндегі кеңістік бой
ынша оң жақ айырымдық туынды;
( нүктесіндегі кеңістік бойынша сол жақ айырымдық туынды;
( нүктесіндегі уақыт бойынша сол жақ айырымдық туынды;
, ( кеңістігіндегі нормалардың торлық аналогтары.
КІРІСПЕ
Электрогазодинамика термині ең алғаш рет (((( жылы Санкт-Петербург
қаласында Торжество Академии Наук жинағында жарық көрген
М.В. Ломоносовтың ғылыми жұмысының тақырыбында кездеседі. 1943 жылы
М. Фарадей алғаш рет өзінің баяндамасында электрогазодинамикалық құбылыстың
физикалық қағидасын келтірді, П. Армстронгтың гидроэлектрлік машинамен
жүргізген тәжірибесін түсіндірді. Электрогазодинамикалық бағыт бойынша
орындалған жұмыстар: И.М. Кирко, Г.А. Остроумов, В.И. Попков,
А.М. Мхитрарян, Е.И. Янтовский, В.А. Касьянов, Ю.М. Трушин, В.Е. Глазков,
В.А Гогосов, И.Ф. Бабой, Е.П. Ударцев, Ю.С. Бортникова, И.Б. Рубашов,
А.Б. Ватажин, В.И. Грабовский, В.А. Лихтер, В.И. Шульгин сияқты кеңес
үкіметі ғалымдары мен О. Штуцер, М. Гурдин, М. Мельчер, Д. Тейлор,
Н. Велкофф, Э. Барето, Н. Брандмайер, В. Кан, А. Маркс секілді шетел
ғалымдарының еңбектері.
Электрогазодинамика (ЭГД) – электр өрісінде полярланған немесе
униполярлы зарядталған сұйықтықтар мен газдардың қозғалысын зерттейтін
физика мен механиканың бөлімі. ЭГД кейіннен құрылған бағыттардың бірі болып
табылады. Күшті электр өрісінде газдың немесе полярланған, униполярлы
зарядталған сұйықтардың қозғалысы барысында сол өрісте гидродинамикалық
күштермен қатар өлшенетін шамалар реті бойынша электр күштері пайда болады.
Бұл күштер гидродинамикалық ағынның қайта құрылуына әкеледі, соның
салдарынан берілген электр өрісінің өзгеруіне әкеледі. Электрогазодинамика
мен ЭГД-ның үдерістеріне деген қызығушылық жаңа дербес құрылғыларды
(генераторларды, үдегіштерді, насостарды, дозаторларды және т.б.) құрастыру
мен зерттеу бойынша олардың практикалық қолданылу мүмкіндіктерімен жоғары
деңгейде орнын табуда. Мұнда электр өткізгіштік орта электр өрісі бар құбыр
немесе канал бойынша қозғалады.
Электрогазодинамикалық үдерістердің техникалық қолданысының негізгі
бағыттарына мыналар жатады: ЭГД – энергияның түрленуі, ЭГД – ортаның
қасиеттерін басқару, ЭГД – технологиясы, ЭГД – диагностикасы, ЭГД –
сепарациясы.
Энергияның түрленуімен байланысты ЭГД облысы мынандай екі бағытта
дамиды: электр тоғын тудыратын ЭГД құрылғылар (электрогазодинамикалық
генератор) (М. Фарадей мен П. Армстронгтың жұмыстары) және электр өрісінің
энергиясының механикалық энергияға (ионды-конвекциялы насос) түрленуін
жүзеге асыратын ЭГД құрылғы. Аталмыш бағыт бойынша маңызды жұмыстарға
Д. Авсеканың май мен ауадағы электроконвектті қозғалыстардың әртүрлі
түрлері бойынша еңбектері мен В.И. Арабаджидің ауа мен электрошоғырланған
сұйықтықта электрлік желдің гидродинамикасының экспериментті зерттеулері
бойынша еңбектері жатады. 1953 жылы О. Штуцер ионды-конвекциялы насос
идеясын ұсынды. Маңызды желді зерттеуге С. Аррениустың, А. Чаттоктың,
А. Гюнтершульцтің, Х.З. Тайхманның еңбектері бағытталған. И.Ф. Бабойдың
жұмысында ортаның физикалық параметрлерін электрогазодинамикалық басқару
мәселесі ерекше сұрақтар шеңберін құрайды. Әсіресе тұтқырлық пен жылу
алмасу үдерістерін басқаруға байланысты мәселелер ерекше назарды талап
етеді.
Шеттік қабатты басқару мәселесі М. Гурдиннің, Э. Бареттоның, М. Ханның
және Е.П. Ударцевтің жұмыстарында зерттелінген.
ЭГД – диагностикасы ортаның физикалық параметрлерін өлшеу мен
анықтаудың негізгі заңдылықтарын пайдаланумен байланысты.
Ортаның электрлік өрісімен тікелей әсерінен туындайтын күш басқа да
әрекеттегі күштермен салыстырмалы түрдегі шамасының реті бойынша арнайы
математикалық және физикалық зерттеулерді қажет ететін сұйықтықтар мен
газдардың ағындарын тривиал емес түрде құруға және басқа да эффектілердің
туындауына әкеледі.
ЭГД – ағындарының жеке сұрақтарын толық зерттеу О. Штуцердің,
Г. Копыловтың, В.А. Касьяновтың, М. Гурдиннің ЭГД – каналдардағы ағыны, ЭГД
– ағысы, шеттік қабат мәселелерін сипаттау мен олардың тікелей физикалық
зерттеулеріне (ағындардың диагностикасы, тасымалдау коэффициенттерін
зерттеу) қатысты жұмыстарында қарастырылады.
ЭГД электрогазодинамика ағындарының пайда болу шарттарын зерттеу мен
талдауына байланысты бірқалыпсыз зерттелінген. Аталмыш мәселенің жекеше
сұрақтар, мысалы, электрфильтрдегі үдерістер толығымен қарастырылған, ал
басқа сұрақтардың (мысалы, электрогазодинамикалық разряд) зерттеулері
жалғасуда.
Конвективті электрохимияның жалпы есептері В.Г. Левич, Г.А. Остроумов,
Р. Диксон және т.б. ғалымдардың атымен байланысты.
Өзектілігі. Тәжірибеде туындайтын заманауи ғылым мен техниканың
көптеген есептері газдық динамика теңдеуінің шешімімен байланысты. Осы
теңдеулерді шешу үшін қазіргі таңда қолданылатын әдістердің көптігіне
қарамастан оларды ары қарай зерттеу әлі күнге дейін өз маңыздылығы мен
өзектілігін жоғалтпаған. Сол себепті, механика мәселелерін зерттеуде
кездесетін есептер үлкен ғылыми және тәжірибелік қызығушылық тудырады.
Себебі, олардың шешімі дифференциалдық теңдеулер және айырымдылық сұлба
теориясының ары қарай дамуымен тікелей байланысты. Олардың көмегімен газдық
динамика теңдеулеріне келтірілетін механиканың, физиканың және техниканың
көптеген есептері өз шешімдерін табуда. Мысалы, ұшу аппараттарының
аэродинамикасы, астрофизика, ауа-райын болжау және т.б. Әсіресе практикада
газодинамикалық ағындарға әртүрлі қосымша факторлардың, мысалы, электрлік,
магниттік және гравитациялық өрістер, жылуөткізгіштік және
электрөткізгіштік үдерістері, химиялық және басқа да үдерістердің әсер
етуінен болатын есептер жиі кездесіп отырады. Осындай құбылыстарды ескерсе,
есептердің математикалық дұрыс қойылуы мен шешілуі барысында көптеген
қиындықтар мен проблемалар туындайды. Әдетте мұндай есептерді аналитикалық
тәсілмен шешу теңдеудің күрделілігі мен сызықсыздығына байланысты жүзеге
аса бермейді.
Тұтас орта қозғалысын сипаттайтын теңдеулердің шешімдерін анықтау
туралы математикалық есебі уақыт пен үш кеңістікті айнымалылардан (мысалы,
жылдамдық, көлем, қысым, температура, тығыздық, электрлік және магниттік
кернеуі) белгісіз функцияларды іздеуге келтіріледі.
Бұл есеп көптеген жағдайларда өте күрделі болып табылады, және оны
шешу үшін нақты физикалық есептердің қойылуына қатысты қосымша құрылуды
енгізуді және олардың математикалық қойылымына мүмкін болатын қысқартуларды
енгізуді қажет етеді.
Гидроаэродинамика модельдерінің арасында тұтқырлы сығылатын
сұйықтықтың (тұтқырлы газ) Навье-Стокс теңдеулер жүйесінің орны ерекше .
Себебі бұл модель сығылу мен жылуөткізгіштікке қоса, ортаның тұтқырлығын
қарайды. Бұл жүйе өте күрделі, және ол аралас типтен тұрады, ал оған
кіретін теңдеулер сызықты емес. Сол себепті, тұтқырлы газдың басқа да
неғұрлым қарапайым модельдері пайдаланылады. Дербес жағдайда, егер
баротроптық қозғалысы қарастырылса, онда энергия теңдеуі бөлінеді, алайда,
мұндай жағдайда да жүйе өзінің негізгі ерекшеліктерін сақтап қалады, яғни
сызықсыздық пен аралас типтілігін.
Тұтқырлы газдың қозғалысы есебін шешудің жалпы әдісі әлі кунге дейін
табылмаған. Бұл Навье-Стокс теңдеуінің сызықсыздығымен түсіндіріледі.
Сонымен қатар, сызықсыздық үлкен теориялық және практикалық қызығушылыққа
ие эффектілерді туындайды.
Газдық динамика есептерін заманауи компьютерлердің көмегімен сандық
шешу қазіргі таңда жалғыз тиімді әдіс болып отыр. Әртүрлі басқа шарттардың
орындалуында зерттелінетін үдерістердің негізгі қасиеттерін неғұрлым айқын
сипаттайтын болса және тордың неғұрлым жалпыланған кеңістіктік уақыттық
есептелуінде қарастырылатын ағындардың жеткілікті дәл ерекшеліктерін
ескерсе бұл әдіс анағұрлым тиімді әдіс болып табылады.
Математикалық физиканың сызықты теңдеулері үшін аппроксимация,
орнықтылық және бұлардан туындайтын жинақтылық, осындай үш іргелі
ұғымдарына сүйенетін айырымдылық сұлбалар теориясы жақсы дамыған.
Тегіс функциялар үшін айырымдылық сұлбасының аппроксимациясын зерттеу
сызықты жағдай үшін де, сызықсыз жағдай үшінде ешқандай қиындықтар
тудырмайды. Сұлбаның орнықтылығын дәлелдеу айырымдылық шешімінің есептің
бастапқы берілуінен үзіліссіз тәуелділігін сипаттайтын кейбір априорлық
бағаларын алуға келтіріледі. Сызықты жағдайға қарағанда мұндай бағаларды
сызықсыз теңдеулер үшін құру үлкен қиындықтар туғызады 1.
Газдық динамика есептеріндегі математикалық моделі үшін айырымдылық
сұлбасын құру дифференциалдық және интегралдық теңдеулерімен сипатталатын
үзіліссіз облыстың айырымдылық теңдеулер жүйесімен өрнектелетін облыстың
қандайда бір дискретті аналогымен алмастыру ретінде қарастырылады. Бұған
қоса, жаңа параметрлер пайда болады – кеңістік және айырымдылық тордың
уақыты бойынша қадамдар. Практикада қолданылатын тордың ақырлы қадамдарында
айырымдылық теңдеулерімен сипатталатын ортаның дискретті моделі айырымдылық
шешімнің бағасын төмендететін үзіліссіз ортадан ерекшеленеді. Нақты
есептеулерде қолданылатын күрделі, қадамдары үлкен торларда өзінің жақсы
қасиеттерін сақтайтын өзгеше тор құру маңызды.
Газдық динамика теңдеуінің сандық интегралдануында, әдетте,
айырымдылық сұлбасы мен ортаның нүктелерінің қатысты қозғалысымен, сонымен
қатар, кеңістіктік туындыларды жуықтайтын айырымдылық теңдеулердің
күрделілігімен ерекшеленетін лагранждық, эйлерлік және аралас эйлерлік-
лагранждық әдістері қолданылады.
Лагранждық торлар ортаның бөлшектерімен бірге қозғалады және, сол
себепті, оларды пайдаланытын әдістерде 2, 3-5 конвективті тасымалға жауап
беретін мүшелер болмайды. Контактылы үзілістердің және бос шеттердің
қозғалуын есептеу және де жақсы таңдалған жасанды тұтқырлықта 6 екпінді
толқынды есептеу Лагранждық әдістердің басты ерекшелігі болып табылады.
Эйлер торлары қозғалмалы емес, сол себепті ол кеңістіктік туындының
сандық жуықталуын ықшамдауға септігін тигізеді. Олар қарапайым және тиімді
, күшті кеңістікті деформациялы ағындарды есептеуге мүмкіндік береді,
алайда, масса диффузиясының жоғарғы жуықталуының бар болуынан контактылы
үзілістерде ауытқулар, қателіктер пайда болады. Мұндай кемшілікті жеңуге
әдетте ағындардың коррекция әдісі пайдаланылады.
Аралас эйлерлік-лагранждық әдістерінде нақты есептерге қатысты
есептеулерді жүзеге асыруға мүмкіндік беретін қозғалмайтын координаттар
жүйесіне де, ортаның бөлшектеріне қатысты алмастыратын айырымдылық
сұлбалары пайдаланылады.
Эйлерлік, лагранждық немесе аралас эйлерлік-лагранждық айнымалылардың
пайдалануына негізделген әдістерден басқа тұтас ортаны бөлшек немесе бос
нүктелер түрінде өрнектеуіне негізделген алгоритмдердің кең классы бар.
Кейінірек толығымен консервативтік сұлбалары құрылған болатын.
Айырымдылық сұлбаның консервативтілігі дегеніміз – испульстің және
энергияның негізгі заңдарының сақталу. Толық консервативтілік үшін негізгі
сақталу заңдарының айырымдылық аналогтарының орындалуынан басқа энергияның
жекеше түрлерінің балансын, тепе-теңдігін тудыратын қосымша қатынастар
қажет.
Айқын, толығымен консервативтік сұлбалар оңай шешілімді, бірақ аз
дәрежеде орнықты. Әрине, орнықты айқын емес айырымдылық сұлбалар өлшемдері
жоғары болатын сызықсыз алгебралық теңдеулер жүйесі болып табылады. Ал
оларды шешу үшін тез жинақталатын итерациялық алгоритмдерді 7 пайдалану
қажет, мысалы, жинақтылықтың квадраттық жылдамдығы бар Ньютонның
классикалық әдісі.
Г.А. Остроумовтың, Г.Н. Копыловтың, О. Штуцердің жұмыстары
поляризациялық күштері жоқ сығылмайтын, термикалық біртекті орта
жағдайларына арналған.
Қосымша шектеулері бар сығылатын сұйықтықтар үшін
электрогазодинамикалық теңдеулер жүйесін зерттеу М. Гурдин мен
Э. Бареттоның 1, Ю.С. Бортников пен И.Б. Рубашовтің 8, Y. Shohet 9,
Ю.Ф. Дейнега мен Г.В. Виноградовтың 10. Виноградовтың жұмыстарында
келтірілген, ал оларды талдау тұтқырлықсыз, диффузияның жылуөткізгіштігі
мен поляризациялық күштерінсіз жүргізілген.
Термикалық және поляризациялық эффектілері жоқ электродинамикалық
теңдеулердің жалпы жүйесі Р. Диксонның жұмыстарында, ал поляризациялық
күштері бар электродинамикалық теңдеулер жүйесі Y. Shohet-тің жұмыстарында
қарастырылған 9.
Меншікті өткізгіштік ұғымындағы электродинамикалық теңдеулер жүйесі
Г.А. Остроумов 11 пен С. Смиттің 12 еңбектерінде зерттелінген.
Электрогазодинамиканың жалпы теңдеулері сызықсыз болып табылады және
аралас типтегі жүйелерге кіреді. ЭГД теңдеулер жүйесі тұтқырлы сығылатын
сұйықтықтың Навье-Стокс теңдеулер жүйесімен салыстырғанда анағұрлым
күрделірек және олардың арасында кең ұқсастық бар, сонымен қатар, ЭГД
есептерін шешуде газдық динамикада қолданылатын идеялар мен әдістерді
пайдалануға болады. Сондықтан, тұтқырлы сығылатын газдың теңдеулері бойынша
нәтижелерді ұсынамыз.
Жылуөткізгіш тұтқырлы газдың ағындарының математикалық зерттеу
Дж. Серриннің жұмыстарынан бастау алады. Онда шекаралық есептердің негізгі
қойылымы келтіріліп, тегіс шешімдер классында шешімнің жалғыздығы туралы
теоремалары дәлелденген. Ал (((( жылы Дж. Нэш сығылатын сұйықтықтың Навье-
Стокс теңдеуі үшін шешімнің бар болуының бірінші теоремасын тұжырымдаған.
Ол бастапқы берілген тегіс шамалар үшін Коши есебінің уақытқа тәуелді
шешілімділігінің локальділігін дәлелдеді. Тура сондай нәтижелерді жапондық
математик Н. Итая, сонымен қатар, А.И. Вольперт пен С.И. Худяев та
келтірген болатын.
Жалпы алғанда, уақыт бойынша шешілімділікке қатысты сұрақтар
Я.И. Канель 13-14 зерттеп бастаған болатын. Ол жазық толқынды тұтқырлы
газдың боротропты қозғалысы моделі үшін Коши есебін қарастырған болатын
және де Коши есебінің глобальді қисындылығын дәлелдеген.
Жалпы уақыт бойынша тұтқырлы газдың теңдеуінің шешілімдлігі тек
біртекті қозғалыс жағдайында ғана зерттелген. Н. Итая және Н. Тани 50
Бюргерстің жалпыланған теңдеуі үшін алғашқы бастапқы-шекаралық есебі мен
Коши есебін – тұтқырлы газдың изобаралық қозғалысы моделін қарастырған
болатын.
Аралас бастапқы-шекаралық есептерді В.А. Солонников қарастырған
болатын. Ол баротроптық қозғалыс жағдайында аз уақыт бойынша бар болу мен
жалғыздық теоремасын дәлелдеген. Ал А. Тани - жылуөткізгіш тұтқырлы газ
жағдайында дәлелдеген болатын. Жалпы уақыт бойынша Коши есебі мен аралас
есептің шешімдерінің бар болуын А. Матсумура мен Т. Нишидо дәлелдеген.
Кейінірек А.В. Кажихов баротропты тұтқырлы газдық жүйесі үшін
априорлық бағаларын алу әдісін ұсынған. Содан кейін ол вакуумдағы газдың
қозғалысы есебінің қисындылығын дәлелдеген еді. Бүйір шекараларындағы
біртектілік шарттарында бекітілген облыста жылуөткізгіш газдың қозғалысы
үшін есептер жұмысында, ал біртексіздік шарттары жұмысында зерттелінген.
Біртекті жағдайында шекаралық есептердің тұтас шешілімділігі
жұмыстарында зертелінген.
15 жұмысында В.В. Шелухин тұтқырлы сығылатын баротроптық газдың
жылжымалы ағынын зерттеген, ал 16-те Бюргерстің жалпыланған жүйесінің
периодты шешімінің бар болуын көрсеткен. Екі өлшемді жағдай үшін шекаралық
есептің глобальді шешілімділігін В.А. Вайгант пен А.В. Кажихов 17
дәлелдеген.
Навье-Стокстың толық теңдеуі үшін бар болудың глобальдік теоремасы әлі
дәлелденбеген. А.В. Кажиховтың, C. Бернади және О. Пиронеяның ,
А.Е. Мамонтовтың жұмыстарында Навье-Стокс теңдеуінің потенциалдық және
квазистационарлық қозғалыстары зерттелген.
С.А. Антонцев, А.В Кажихов монографиясы тұтқырлы газ теңдеуі үшін
шекаралық есебінің қисындылық сұрақтары бойынша зерттеулерге негізделінген.
Коши есебінің шешімінің бар болуы мен жалғыздығы мәселелеріне
А.В. Кажиховтың 18-19 еңбектері арналған.
Өстік және орта симметриялы, уақытқа тәуелді жылуөткізгіш тұтқырлы
тұтас газ теңдеуі үшін шешімнің бар болуы мен жалғыздығы мәселелерін
А.В. Кажихов пен В.Б. Николаев , В.Б. Николаев өз жұмыстарында зертеген
болатын. Ал - жұмысында сығылатын газдың біртекті өске қатысты симметриялы
ағыны зерттелінген.
Магниттік гидродинамика теңдеулер жүйесі үшін шекаралық есептердің
шешіліміділігі мәселелері С.А. Ладыженская мен В.А. Солонниковтың 20-21,
Ш. Сахаев пен В.А. Солонниковтың 22, Л.И. Ступялистің, Ш.С. Смагуловтың
23 жұмыстарында зерттелінген. Смагулов Ш.С. және Кажихов В.А. жұмысында
баротроптық және жылуөткізгіштік жағдайында магниттік газодинамиканың
жүйелері үшін бастапқы-шекаралық есебінің уақыт бойынша тұтас шешілімділігі
алынған. Магниттік гидродинамиканың теңдеулері үшін кейбір есептердің
қисындылығы Смагулов Ш.С., Дурмагамбетова А.А., Искендирова Д.А.
жұмыстарында зертелінген.
Тұтқырлы газ теңдеулері үшін айырымдылық шешімдердің орнықтылығы мен
жинақтылығы мәселелері В.Н. Абрашиннің 24-25 зерттеулерінде
қарастырылған. Баротроптық және жылуөткізгіштік газдың Бюргерс моделі үшін
біртекті қозғалыс жағдайы Б.Г. Кузнецов, Ш.С. Смагулов 117-119,
Ш.С. Смагулов 26-30, Амосова А.А. және Злотника А.А. жұмыстарында
қарастырылған. Тұтқырлы газ моделі үшін айырымдылық шешімнің жинақтылығы
алғаш рет Кузнецов Б.Г. пен Смагулов Ш.С. жұмыстарында қаралған. Лагранждық
айнымалылары бар айырымдылық сұлбасының орнықтылығын зерттеуге Рысбаев Б.Р.
және Смагулов Ш.С. , Смагулов Ш.С. және Жанасбаева У.Б. , Ш. Смагулов,
Г. Даирбаева 31, У.Б. Жанасбаева және Б. Рысбаев 32, Б.Н. Байбатшаев ,
Б.Н. Байбатшаев және Ш.С Смагулов , Ш.С. Смагулов және И.Д. Туретаев
жұмыстары арналған.
Ш.С. Смагулова пен Г. Даирбаева 33-34 жұмыстарында меншікті көлемге
тәуелді тұтқырлы баротропты газдың теңдеуі үшін сызықсыз модельдерінің
жинақтылығы мен орнықтылығы мәселелері, тұтқырлы жылуөткізгіш газдың моделі
үшін айнымалы тұтқырлы баротропты газдың теңдеуінің шекаралары еркін есебі
қарастырылған.
Н.Т. Данаев, Б.Т. Жумагулов, Б.Г. Кузнецов, Ш.С. Смагулов 35
жұмысында екі өлшемді жағдайындағы Навье-Стокс теңдеуінің сандық шешімі
қарастырылады. Сығылмайтын сұйықтық теңдеуінің сандық шешімі үшін
айырымдылық сұлбасы А. Томның, Н.Н. Бокулевтің, Вабишевичтің,
Н.Н. Владимированың, А.Л. Гончаровтың, В.А. Грязновтың, Н.Т. Данаев және
Ш.С. Смагуловтың , А.Л. Дорфман, К.Б. Жакупов, Б.Г. Кузнецов, Г.Н. Кураев,
Т.В. Кускова, М.К. Орунханов, В.М. Пасконов, В.И. Полежаева, П. Роуч,
Г.И. Тимухина және т.б. жұмыстарында қарастырылған.
Б.Р. Рысбаев және Ш.С. Смагуловтың, Ш.С. Смагулов және
У.Б. Жанасбаеваның еңбектері шекаралық есептердің сандық шешіміне арналған.
Ал орнықтылықты талдау мәселесіне Ш.С. Смагулов пен Б. Рысбаевтың көптеген
еңбектері арналған.
Н.А. Ларкин, В.А. Новиков пен Н.Н. Яненконың 36 жұмыстарында уақыт
бойынша аралас типті теңдеудің шешімінің тұтас бар болуының теоремасының
дәлелдемесі келтірілген болса, ал Б. Рысбайұлы 37 өзінің жұмысында
айырымдылық сұлбасының орнықтылығын негіздейді.
В.В. Шелухин жұмысында уақыт бойынша контактылы үзілісті қозғалыстың
біртекті есебінің шешімінің тұтас бар болуының теоремасының дәлелдемесін
келтірген, ал Б.Р. Рысбаев 38-39 осы есеп үшін айырымдылық сұлбасының
орнықтылығын құрастырған.
Ш.С. Смагуловтың, Г. Даирбаеваның, Б. Рысбайұлының 40 монографиясы
массалық лагранждық айнымалысы бар тұтқырлы сығылатын газдың біртекті
теңдеуі үшін айырымдылық сұлбасының орнықтылығы мен жинақтылығы
мәселелеріне арналған.
Электрогазодинамиканың жалпы мәселелері И.П. Верещагин, В.И. Левитов,
Г.З. Мирзабекян, М.М. Пашин, А.Б. Ватажин, В.И. Грабовский, В.А. Лихтер
және В.И. Шульгин 41, Ю.С. Бортников және Н.Б. Рубашовтың 167
монографияларында қарастырылған.
Тұтқырлы газдың баротроптық қозғалысының моделі үшін
электрогазодинамика теңдеуінің шекаралық есебінің қисындылығы
Файзуллин Н.Т. 42, 43 жұмыстарында қарастырылып, 44 жұмысында тұтқырлы
жылуөткізгіштік газдың моделі үшін уақыт бойынша шешімнің тұтас бар болуы
мен оның жалғыздығы теоремасы дәлелденген.
1. Дифференциалдық есептің қойылымы және негізгі нәтижелер
Сыртқы магнитті өрісі жоқ бір сортты иондар мен нейтрал газдардан
тұратын, екі компонентті ортаны сипаттайтын электрогазодинамиканың (ЭГД)
математикалық моделін қарастырамыз 41. Тұтқырлы газдың баротроптық
қозғалысы моделі үшін біртекті жағдайында ЭГД-ның теңдеулер жүйесі келесі
түрде беріледі:
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
мұндағы жылдамдық, тығыздық, қысым, электрлік өрістің
кернеуі, электрлік зарядтың тығыздығы, тоқтың тығыздығы,
потенциал, иондардың қозғалмалығы коэффициенті.
оң шамалар, сәйкесінше тұтқырлылық, диэлектрлік өткізгіштік,
иондардың диффузия коэффициенті.
Алдымен, облысында бастапқы-шеттік есебін қарастырайық. Бастапқы
t=0 уақыт мезетінде жылдамдық, тығыздық және электрлік өрістің кернеуі
беріледі:
, , , (1.7)
х=0 және х=1 шекараларындағы шеттік шарттар төмендегідей қатынастармен
өрнектеледі:
, , (1.8)
Айталық, қатаң оң функция болсын. Шеттік шарттарды және E, q, j
арасындағы қатынастарды ескере отырып (1.4) формуласындағы теңдеу x бойынша
бір рет интегралданады. Массалық лагранждық айнымалысы үшін -тің сол
белгіленуін сақтап, ал арқылы меншікті көлемді белгілейміз, сонда
теңдеулер жүйесін келесідей түрде жазуға болады:
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
мұндағы , - зарядтың таңбасын сақтайды, - ізделініп отырған
функциялар.
Бастапқы және шекаралық шарттар төмендегідей түрде жазылады:
, (1.14)
, , , , (1.15)
және де мұндағы қатаң оң және шектелген функция
Меншікті көлем
қасиетін қанағаттандырады десе де болады.
Анықтама 42. (1.9)-(1.15) есебінің жалпылама шешімі деп
жиынында барлық жерде дерлік (1.9)-(1.13) теңдеулерін қанағаттандыратын
және анықталған класстан функциялар ізі мағынасында берілген бастапқы және
шекаралық мәндерін қабылдайтын функциялар жиынын айтамыз. Мұндағы
Теорема 42. Айталық, (1.15) бастапқы шарттары келесідей тегістік
қасиетін қанағаттандырсын: Онда (1.9)-(1.15)
есебінің жалғыз шешімі бар, және қатаң оң және шектелген функция.
2. (1.9) – (1.15) есебі үшін айырымдылық сұлбасы
облысында и тіктөртбұрышты торды қарастырайық.
торының нүктелеріне жылдамдығы мен кернеуінің торлық
функцияларын, ал торының жартылай бүтін нүктелеріне
меншікті көлем мен қысымның торлық функцияларын жатқызамыз. (1.9) -
(1.15) дифференциалдық теңдеулер жүйесін торында туындылардың
айырымдылық аналогы көмегімен аппроксимациялау арқылы келесі айырымдылық
сұлбасын карастырамыз:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
бастапқы және шекаралық шарттарымен
(2.4)
(2.5)
мұндағы қатаң оң және шектелген функция
Сонымен қатар, меншікті көлемнің айырымдылық аналогы келесідей қасиетті
қанағаттандырады
(2.1)-(2.3) айырымдылық теңдеулері , , реттеріне сәйкес
(1.9)-(1.13) дифференциалдық теңдеуін аппроксимациялайды.
3. Меншікті көлемнің айырымдылық аналогы үшін төменнен және жоғарыдан
бағалау
Меншікті көлемнің айырымдылық аналогын төменнен және жоғарыдан бағалау
үшін Соболев кеңістігінің нормаларының айырымдылық аналогы бойынша
априорлық бағаларын алу қажетті. Априорлық бағалау әдісімен көмекші лемманы
дәлелдейік.
Лемма 1. Егер онда (2.1)-(2.5) есебінің
айырымдылық шешімі
, (3.1)
бағасы орынды, мұндағы
Дәлелдеуі. Ол үшін (2.1)-ді өрнегіне көбейтіп және
бойынша қосындылап
(3.2)
өрнегін аламыз.
(3.2) өрнегінің сол жағын I арқылы белгілеп, оған
теңдігін қосындылап және аламыз, мұндағы
Сонда
Енді (3.2) теңдігінің оң жағындағы қосындыны қарастырайық
Содан кейін (3.2)-ні бойынша 0-ден -ге дейін қосындылап,
есебінде төмендегі теңдікті аламыз:
(3.3)
(3.3) формуласының сол жағындағы үшінші қос қосындының астындағы өрнекті
өрнегіне көбейтіп ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
МЕХАНИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТІ
МАГИСТРАТУРА
Математикалық және компьютерлік пішіндеу кафедрасы
МАГИСТРЛІК ДИССЕРТАЦИЯ
Баротроптық қозғалыстағы тұтқырлы газ моделі үшін айырымдық сұлбанының
орнықтылығы мен жинақтылығын зерттеу
Орындаушы _________ Момынқұлова А.Қ. ___ _______ 2014 ж.
қолы
Ғылыми жетекшісі
ф.-м.ғ.к., доцент _________ Тұңғатаров Н.Н. ___ _______
2014 ж.
қолы
Кафедра меңгерушісінің
рұқсатымен
қорғауға жіберілді:
PhD, доцент _________ Жакебаев Д.Б. ___ _______
2014 ж.
қолы
Алматы 2014
ТҮЙІНДЕМЕ
Диссертациялық жұмыс 60 беттен тұрады. Дисертацияда барлығы 44 әдебиет
қолданылған.
Тәжірибеде туындайтын заманауи ғылым мен техниканың көптеген есептері
газдық динамика теңдеуінің шешімімен байланысты. Осы теңдеулерді шешу үшін
қазіргі таңда қолданылатын әдістердің көптігіне қарамастан оларды ары қарай
зерттеу әлі күнге дейін өз маңыздылығы мен өзектілігін жоғалтпаған. Сол
себепті, механика мәселелерін зерттеуде кездесетін есептер үлкен ғылыми
және тәжірибелік қызығушылық тудырады. Себебі, олардың шешімі
дифференциалдық теңдеулер және айырымдылық сұлба теориясының ары қарай
дамуымен тікелей байланысты.
Жұмыстың мақсаты электр өрісін ескерген жағдайда, баротроптық
қозғалыстағы тұтқырлы газ моделі үшін айырымдық сұлбаның орнықтылығы мен
жинақтылығын зерттеу.
Жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, қорытындыдан және пайдаланылған
әдебиеттер тізімінен тұрады.
Бірінші бөлімде, дифференциалдық есептің қойылымы және негізгі
нәтижелерін алынған.
Екінші бөлімде, (1.9) – (1.15) есебі үшін айырымдылық сұлбасын
алынған.
Үшінші бөлімде, меншікті көлемнің айырымдылық аналогы үшін төменнен
және жоғарыдан бағалауы алынған.
Төртінші бөлімде, жоғарғы ретті туындылардың бағалауы алынған.
Бесінші бөлімде, (2.1) – (2.5) айырымдылық сұлбасының жинақтылығы
дәлелденген.
Алтыншы бөлімде, (2.1) – (2.5) айырымдылық сұлбасының орнықтылығы
дәлелденген.
Жұмыстың барысында диссертация тақырыбына қатысты ғылыми еңбектерге
шолу жасалады.
РЕЗЮМЕ
Диссертационная работа состоит из 60 страниц. В работе использованы 44
литературы.
Многие математические задачи современной науки и техники, возникающие
на практике, связаны с решением уравнений газовой динамики. Несмотря на
многочисленное количество методов, используемых в настоящее время для
решения этих уравнений, работа по их дальнейшему изучению продолжает
оставаться важной и актуальной. Поэтому задачи, встречающиеся при изучении
проблем механики, представляют большой научный и практический интерес,
поскольку их решение связано с дальнейшим развитием теории дифференциальных
уравнений и разностных схем.
Цель работы заключается в исследовании на сходимость и устойчивость
разностной схемы для модели баротропного движения вязкого газа в
электрическом поле при наличии электрического поля.
Работа состоит из введения, основной части, заключения и списка
использованной литературы.
В первой части говорится о постановке дифференциальных задач и
основных результатах.
Во второй части приведены разностные схемы для задачи (1.9) – (1.15).
Третья часть о получении оценках сверху и снизу для разностного
аналога удельного обьема.
Четвертая часть о получении оценках на старшых производных.
В пятой части доказаны сходимость разностной схемы (2.1)-(2.5).
В шестой части доказаны устойчивость разностной схемы (2.1) – (2.5).
В начале работы проведен обзор известных научных трудов по теме
диссертаций.
SUMMARY
The dissertation consists of 60 pages . We used the 44 literatures.
Many mathematical problems of modern science and technology arising in
practice, related to the solution of equations of gas dynamics. In spite of
numerous number of methods currently in use to solve these equations, work
on their further study continues to remain important and relevant.
Therefore, tasks occurring in the study of mechanics problems are of great
scientific and practical interest because their decision is related to the
further development of the theory of differential equations and difference
schemes.
The aim of this work is to study the convergence and stability of
difference schemes for the model of barotropic viscous gas in an electric
field in the presence of an electric field.
The work consists of an introduction, body, conclusion and
bibliography.
The first part said about differential formulation tasks and main
results.
The second part are given difference scheme for the problem (1.9) -
(1.15).
The third part is about getting upper and lower estimates for the
difference analogue of the specific volume.
The fourth part about getting estimates on higher derivatives.
In the fifth part we prove the convergence of the difference scheme
(2.1) - (2.5).
In the sixth part of the proven stability of the difference scheme
(2.1) - (2.5).
At the start of a review of known scientific papers on the topic of
the thesis.
МАЗМҰНЫ
Нормативтік сілтемелер 6
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
Шартты белгілер 7
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
Кіріспе 8
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ...
1. Дифференциалдық есептің қойылымы және негізгі нәтижелер 15
2. (1.9) – (1.15) есебі үшін айырымдылық сұлбасы 17
... ... ... ... ...
3. Меншікті көлемнің айырымдылық аналогы үшін төменнен және 18
жоғарыдан бағалау
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ...
4. Жоғарғы ретті туындыларды бағалау 34
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ...
5. (2.1) – (2.5) айырымдылық сұлбасының жинақтылығы ... .. 45
6. (2.1) – (2.5) айырымдылық сұлбасының орнықтылығы ... .. 53
Қорытынды 57
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... .
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі 58
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ...
НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР
Магистрлік диссертация Қазақстан Республикасы Ғылым жэне Білім
Министрлігінің әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық университетінің келесідей
нормативтік құжаттарына сүйене отырып жазылған:
1. Қазақстан Республикасының Білім туралы Заңы (№ 319 - III, 27.07.20
07).
2. Қазақстан Республикасының Білім туралы Заңы.
3. ҚР МЖМБС 5.04.033-2011. Жоғары оқу орнынан кейінгі білім.
Магистратура.
4. Магистрлік диссертацияға қойылатын талаптар (әл-Фараби атындағы
ҚазҰУ-дың Ғылыми Әдістемелік Кеңесінің Мәжілісінде 17.02.2012 ж.
бекітілген (хаттама № 3)).
БЕЛГІЛЕУЛЕР МЕН ҚЫСҚАРТУЛАР
( (0,1) интервалындағы бірқалыпты кеңістіктік тор;
( [0, 1] кесіндісіндегі бірқалыпты кеңістіктік тор;
( (0,1) интервалындағы және түйіндері арасындағы
жартылай тұтас нүктелердің бірқалыпты кеңістіктік торы;
( (0,T]-дағы бірқалыпты уақыттық тор;
( [0, T] кесіндісіндегі бірқалыпты уақыттық тор;
, ( тіктөртбұрыш облыстағы бірқалыпты тор;
( торның қадамы;
( [0, 1] кесіндісінің бөлікке бөлшектену саны;
( торының түйіндері;
( және түйіндері арасындағы жартылай тұтас нүктелер;
( уақыттық торының қадамы;
( [0, T] уақыттық кесіндісінің бөлікке бөлшектену саны;
( торындағы берілген функция;
( нүктесіндегі кеңістік бой
ынша оң жақ айырымдық туынды;
( нүктесіндегі кеңістік бойынша сол жақ айырымдық туынды;
( нүктесіндегі уақыт бойынша сол жақ айырымдық туынды;
, ( кеңістігіндегі нормалардың торлық аналогтары.
КІРІСПЕ
Электрогазодинамика термині ең алғаш рет (((( жылы Санкт-Петербург
қаласында Торжество Академии Наук жинағында жарық көрген
М.В. Ломоносовтың ғылыми жұмысының тақырыбында кездеседі. 1943 жылы
М. Фарадей алғаш рет өзінің баяндамасында электрогазодинамикалық құбылыстың
физикалық қағидасын келтірді, П. Армстронгтың гидроэлектрлік машинамен
жүргізген тәжірибесін түсіндірді. Электрогазодинамикалық бағыт бойынша
орындалған жұмыстар: И.М. Кирко, Г.А. Остроумов, В.И. Попков,
А.М. Мхитрарян, Е.И. Янтовский, В.А. Касьянов, Ю.М. Трушин, В.Е. Глазков,
В.А Гогосов, И.Ф. Бабой, Е.П. Ударцев, Ю.С. Бортникова, И.Б. Рубашов,
А.Б. Ватажин, В.И. Грабовский, В.А. Лихтер, В.И. Шульгин сияқты кеңес
үкіметі ғалымдары мен О. Штуцер, М. Гурдин, М. Мельчер, Д. Тейлор,
Н. Велкофф, Э. Барето, Н. Брандмайер, В. Кан, А. Маркс секілді шетел
ғалымдарының еңбектері.
Электрогазодинамика (ЭГД) – электр өрісінде полярланған немесе
униполярлы зарядталған сұйықтықтар мен газдардың қозғалысын зерттейтін
физика мен механиканың бөлімі. ЭГД кейіннен құрылған бағыттардың бірі болып
табылады. Күшті электр өрісінде газдың немесе полярланған, униполярлы
зарядталған сұйықтардың қозғалысы барысында сол өрісте гидродинамикалық
күштермен қатар өлшенетін шамалар реті бойынша электр күштері пайда болады.
Бұл күштер гидродинамикалық ағынның қайта құрылуына әкеледі, соның
салдарынан берілген электр өрісінің өзгеруіне әкеледі. Электрогазодинамика
мен ЭГД-ның үдерістеріне деген қызығушылық жаңа дербес құрылғыларды
(генераторларды, үдегіштерді, насостарды, дозаторларды және т.б.) құрастыру
мен зерттеу бойынша олардың практикалық қолданылу мүмкіндіктерімен жоғары
деңгейде орнын табуда. Мұнда электр өткізгіштік орта электр өрісі бар құбыр
немесе канал бойынша қозғалады.
Электрогазодинамикалық үдерістердің техникалық қолданысының негізгі
бағыттарына мыналар жатады: ЭГД – энергияның түрленуі, ЭГД – ортаның
қасиеттерін басқару, ЭГД – технологиясы, ЭГД – диагностикасы, ЭГД –
сепарациясы.
Энергияның түрленуімен байланысты ЭГД облысы мынандай екі бағытта
дамиды: электр тоғын тудыратын ЭГД құрылғылар (электрогазодинамикалық
генератор) (М. Фарадей мен П. Армстронгтың жұмыстары) және электр өрісінің
энергиясының механикалық энергияға (ионды-конвекциялы насос) түрленуін
жүзеге асыратын ЭГД құрылғы. Аталмыш бағыт бойынша маңызды жұмыстарға
Д. Авсеканың май мен ауадағы электроконвектті қозғалыстардың әртүрлі
түрлері бойынша еңбектері мен В.И. Арабаджидің ауа мен электрошоғырланған
сұйықтықта электрлік желдің гидродинамикасының экспериментті зерттеулері
бойынша еңбектері жатады. 1953 жылы О. Штуцер ионды-конвекциялы насос
идеясын ұсынды. Маңызды желді зерттеуге С. Аррениустың, А. Чаттоктың,
А. Гюнтершульцтің, Х.З. Тайхманның еңбектері бағытталған. И.Ф. Бабойдың
жұмысында ортаның физикалық параметрлерін электрогазодинамикалық басқару
мәселесі ерекше сұрақтар шеңберін құрайды. Әсіресе тұтқырлық пен жылу
алмасу үдерістерін басқаруға байланысты мәселелер ерекше назарды талап
етеді.
Шеттік қабатты басқару мәселесі М. Гурдиннің, Э. Бареттоның, М. Ханның
және Е.П. Ударцевтің жұмыстарында зерттелінген.
ЭГД – диагностикасы ортаның физикалық параметрлерін өлшеу мен
анықтаудың негізгі заңдылықтарын пайдаланумен байланысты.
Ортаның электрлік өрісімен тікелей әсерінен туындайтын күш басқа да
әрекеттегі күштермен салыстырмалы түрдегі шамасының реті бойынша арнайы
математикалық және физикалық зерттеулерді қажет ететін сұйықтықтар мен
газдардың ағындарын тривиал емес түрде құруға және басқа да эффектілердің
туындауына әкеледі.
ЭГД – ағындарының жеке сұрақтарын толық зерттеу О. Штуцердің,
Г. Копыловтың, В.А. Касьяновтың, М. Гурдиннің ЭГД – каналдардағы ағыны, ЭГД
– ағысы, шеттік қабат мәселелерін сипаттау мен олардың тікелей физикалық
зерттеулеріне (ағындардың диагностикасы, тасымалдау коэффициенттерін
зерттеу) қатысты жұмыстарында қарастырылады.
ЭГД электрогазодинамика ағындарының пайда болу шарттарын зерттеу мен
талдауына байланысты бірқалыпсыз зерттелінген. Аталмыш мәселенің жекеше
сұрақтар, мысалы, электрфильтрдегі үдерістер толығымен қарастырылған, ал
басқа сұрақтардың (мысалы, электрогазодинамикалық разряд) зерттеулері
жалғасуда.
Конвективті электрохимияның жалпы есептері В.Г. Левич, Г.А. Остроумов,
Р. Диксон және т.б. ғалымдардың атымен байланысты.
Өзектілігі. Тәжірибеде туындайтын заманауи ғылым мен техниканың
көптеген есептері газдық динамика теңдеуінің шешімімен байланысты. Осы
теңдеулерді шешу үшін қазіргі таңда қолданылатын әдістердің көптігіне
қарамастан оларды ары қарай зерттеу әлі күнге дейін өз маңыздылығы мен
өзектілігін жоғалтпаған. Сол себепті, механика мәселелерін зерттеуде
кездесетін есептер үлкен ғылыми және тәжірибелік қызығушылық тудырады.
Себебі, олардың шешімі дифференциалдық теңдеулер және айырымдылық сұлба
теориясының ары қарай дамуымен тікелей байланысты. Олардың көмегімен газдық
динамика теңдеулеріне келтірілетін механиканың, физиканың және техниканың
көптеген есептері өз шешімдерін табуда. Мысалы, ұшу аппараттарының
аэродинамикасы, астрофизика, ауа-райын болжау және т.б. Әсіресе практикада
газодинамикалық ағындарға әртүрлі қосымша факторлардың, мысалы, электрлік,
магниттік және гравитациялық өрістер, жылуөткізгіштік және
электрөткізгіштік үдерістері, химиялық және басқа да үдерістердің әсер
етуінен болатын есептер жиі кездесіп отырады. Осындай құбылыстарды ескерсе,
есептердің математикалық дұрыс қойылуы мен шешілуі барысында көптеген
қиындықтар мен проблемалар туындайды. Әдетте мұндай есептерді аналитикалық
тәсілмен шешу теңдеудің күрделілігі мен сызықсыздығына байланысты жүзеге
аса бермейді.
Тұтас орта қозғалысын сипаттайтын теңдеулердің шешімдерін анықтау
туралы математикалық есебі уақыт пен үш кеңістікті айнымалылардан (мысалы,
жылдамдық, көлем, қысым, температура, тығыздық, электрлік және магниттік
кернеуі) белгісіз функцияларды іздеуге келтіріледі.
Бұл есеп көптеген жағдайларда өте күрделі болып табылады, және оны
шешу үшін нақты физикалық есептердің қойылуына қатысты қосымша құрылуды
енгізуді және олардың математикалық қойылымына мүмкін болатын қысқартуларды
енгізуді қажет етеді.
Гидроаэродинамика модельдерінің арасында тұтқырлы сығылатын
сұйықтықтың (тұтқырлы газ) Навье-Стокс теңдеулер жүйесінің орны ерекше .
Себебі бұл модель сығылу мен жылуөткізгіштікке қоса, ортаның тұтқырлығын
қарайды. Бұл жүйе өте күрделі, және ол аралас типтен тұрады, ал оған
кіретін теңдеулер сызықты емес. Сол себепті, тұтқырлы газдың басқа да
неғұрлым қарапайым модельдері пайдаланылады. Дербес жағдайда, егер
баротроптық қозғалысы қарастырылса, онда энергия теңдеуі бөлінеді, алайда,
мұндай жағдайда да жүйе өзінің негізгі ерекшеліктерін сақтап қалады, яғни
сызықсыздық пен аралас типтілігін.
Тұтқырлы газдың қозғалысы есебін шешудің жалпы әдісі әлі кунге дейін
табылмаған. Бұл Навье-Стокс теңдеуінің сызықсыздығымен түсіндіріледі.
Сонымен қатар, сызықсыздық үлкен теориялық және практикалық қызығушылыққа
ие эффектілерді туындайды.
Газдық динамика есептерін заманауи компьютерлердің көмегімен сандық
шешу қазіргі таңда жалғыз тиімді әдіс болып отыр. Әртүрлі басқа шарттардың
орындалуында зерттелінетін үдерістердің негізгі қасиеттерін неғұрлым айқын
сипаттайтын болса және тордың неғұрлым жалпыланған кеңістіктік уақыттық
есептелуінде қарастырылатын ағындардың жеткілікті дәл ерекшеліктерін
ескерсе бұл әдіс анағұрлым тиімді әдіс болып табылады.
Математикалық физиканың сызықты теңдеулері үшін аппроксимация,
орнықтылық және бұлардан туындайтын жинақтылық, осындай үш іргелі
ұғымдарына сүйенетін айырымдылық сұлбалар теориясы жақсы дамыған.
Тегіс функциялар үшін айырымдылық сұлбасының аппроксимациясын зерттеу
сызықты жағдай үшін де, сызықсыз жағдай үшінде ешқандай қиындықтар
тудырмайды. Сұлбаның орнықтылығын дәлелдеу айырымдылық шешімінің есептің
бастапқы берілуінен үзіліссіз тәуелділігін сипаттайтын кейбір априорлық
бағаларын алуға келтіріледі. Сызықты жағдайға қарағанда мұндай бағаларды
сызықсыз теңдеулер үшін құру үлкен қиындықтар туғызады 1.
Газдық динамика есептеріндегі математикалық моделі үшін айырымдылық
сұлбасын құру дифференциалдық және интегралдық теңдеулерімен сипатталатын
үзіліссіз облыстың айырымдылық теңдеулер жүйесімен өрнектелетін облыстың
қандайда бір дискретті аналогымен алмастыру ретінде қарастырылады. Бұған
қоса, жаңа параметрлер пайда болады – кеңістік және айырымдылық тордың
уақыты бойынша қадамдар. Практикада қолданылатын тордың ақырлы қадамдарында
айырымдылық теңдеулерімен сипатталатын ортаның дискретті моделі айырымдылық
шешімнің бағасын төмендететін үзіліссіз ортадан ерекшеленеді. Нақты
есептеулерде қолданылатын күрделі, қадамдары үлкен торларда өзінің жақсы
қасиеттерін сақтайтын өзгеше тор құру маңызды.
Газдық динамика теңдеуінің сандық интегралдануында, әдетте,
айырымдылық сұлбасы мен ортаның нүктелерінің қатысты қозғалысымен, сонымен
қатар, кеңістіктік туындыларды жуықтайтын айырымдылық теңдеулердің
күрделілігімен ерекшеленетін лагранждық, эйлерлік және аралас эйлерлік-
лагранждық әдістері қолданылады.
Лагранждық торлар ортаның бөлшектерімен бірге қозғалады және, сол
себепті, оларды пайдаланытын әдістерде 2, 3-5 конвективті тасымалға жауап
беретін мүшелер болмайды. Контактылы үзілістердің және бос шеттердің
қозғалуын есептеу және де жақсы таңдалған жасанды тұтқырлықта 6 екпінді
толқынды есептеу Лагранждық әдістердің басты ерекшелігі болып табылады.
Эйлер торлары қозғалмалы емес, сол себепті ол кеңістіктік туындының
сандық жуықталуын ықшамдауға септігін тигізеді. Олар қарапайым және тиімді
, күшті кеңістікті деформациялы ағындарды есептеуге мүмкіндік береді,
алайда, масса диффузиясының жоғарғы жуықталуының бар болуынан контактылы
үзілістерде ауытқулар, қателіктер пайда болады. Мұндай кемшілікті жеңуге
әдетте ағындардың коррекция әдісі пайдаланылады.
Аралас эйлерлік-лагранждық әдістерінде нақты есептерге қатысты
есептеулерді жүзеге асыруға мүмкіндік беретін қозғалмайтын координаттар
жүйесіне де, ортаның бөлшектеріне қатысты алмастыратын айырымдылық
сұлбалары пайдаланылады.
Эйлерлік, лагранждық немесе аралас эйлерлік-лагранждық айнымалылардың
пайдалануына негізделген әдістерден басқа тұтас ортаны бөлшек немесе бос
нүктелер түрінде өрнектеуіне негізделген алгоритмдердің кең классы бар.
Кейінірек толығымен консервативтік сұлбалары құрылған болатын.
Айырымдылық сұлбаның консервативтілігі дегеніміз – испульстің және
энергияның негізгі заңдарының сақталу. Толық консервативтілік үшін негізгі
сақталу заңдарының айырымдылық аналогтарының орындалуынан басқа энергияның
жекеше түрлерінің балансын, тепе-теңдігін тудыратын қосымша қатынастар
қажет.
Айқын, толығымен консервативтік сұлбалар оңай шешілімді, бірақ аз
дәрежеде орнықты. Әрине, орнықты айқын емес айырымдылық сұлбалар өлшемдері
жоғары болатын сызықсыз алгебралық теңдеулер жүйесі болып табылады. Ал
оларды шешу үшін тез жинақталатын итерациялық алгоритмдерді 7 пайдалану
қажет, мысалы, жинақтылықтың квадраттық жылдамдығы бар Ньютонның
классикалық әдісі.
Г.А. Остроумовтың, Г.Н. Копыловтың, О. Штуцердің жұмыстары
поляризациялық күштері жоқ сығылмайтын, термикалық біртекті орта
жағдайларына арналған.
Қосымша шектеулері бар сығылатын сұйықтықтар үшін
электрогазодинамикалық теңдеулер жүйесін зерттеу М. Гурдин мен
Э. Бареттоның 1, Ю.С. Бортников пен И.Б. Рубашовтің 8, Y. Shohet 9,
Ю.Ф. Дейнега мен Г.В. Виноградовтың 10. Виноградовтың жұмыстарында
келтірілген, ал оларды талдау тұтқырлықсыз, диффузияның жылуөткізгіштігі
мен поляризациялық күштерінсіз жүргізілген.
Термикалық және поляризациялық эффектілері жоқ электродинамикалық
теңдеулердің жалпы жүйесі Р. Диксонның жұмыстарында, ал поляризациялық
күштері бар электродинамикалық теңдеулер жүйесі Y. Shohet-тің жұмыстарында
қарастырылған 9.
Меншікті өткізгіштік ұғымындағы электродинамикалық теңдеулер жүйесі
Г.А. Остроумов 11 пен С. Смиттің 12 еңбектерінде зерттелінген.
Электрогазодинамиканың жалпы теңдеулері сызықсыз болып табылады және
аралас типтегі жүйелерге кіреді. ЭГД теңдеулер жүйесі тұтқырлы сығылатын
сұйықтықтың Навье-Стокс теңдеулер жүйесімен салыстырғанда анағұрлым
күрделірек және олардың арасында кең ұқсастық бар, сонымен қатар, ЭГД
есептерін шешуде газдық динамикада қолданылатын идеялар мен әдістерді
пайдалануға болады. Сондықтан, тұтқырлы сығылатын газдың теңдеулері бойынша
нәтижелерді ұсынамыз.
Жылуөткізгіш тұтқырлы газдың ағындарының математикалық зерттеу
Дж. Серриннің жұмыстарынан бастау алады. Онда шекаралық есептердің негізгі
қойылымы келтіріліп, тегіс шешімдер классында шешімнің жалғыздығы туралы
теоремалары дәлелденген. Ал (((( жылы Дж. Нэш сығылатын сұйықтықтың Навье-
Стокс теңдеуі үшін шешімнің бар болуының бірінші теоремасын тұжырымдаған.
Ол бастапқы берілген тегіс шамалар үшін Коши есебінің уақытқа тәуелді
шешілімділігінің локальділігін дәлелдеді. Тура сондай нәтижелерді жапондық
математик Н. Итая, сонымен қатар, А.И. Вольперт пен С.И. Худяев та
келтірген болатын.
Жалпы алғанда, уақыт бойынша шешілімділікке қатысты сұрақтар
Я.И. Канель 13-14 зерттеп бастаған болатын. Ол жазық толқынды тұтқырлы
газдың боротропты қозғалысы моделі үшін Коши есебін қарастырған болатын
және де Коши есебінің глобальді қисындылығын дәлелдеген.
Жалпы уақыт бойынша тұтқырлы газдың теңдеуінің шешілімдлігі тек
біртекті қозғалыс жағдайында ғана зерттелген. Н. Итая және Н. Тани 50
Бюргерстің жалпыланған теңдеуі үшін алғашқы бастапқы-шекаралық есебі мен
Коши есебін – тұтқырлы газдың изобаралық қозғалысы моделін қарастырған
болатын.
Аралас бастапқы-шекаралық есептерді В.А. Солонников қарастырған
болатын. Ол баротроптық қозғалыс жағдайында аз уақыт бойынша бар болу мен
жалғыздық теоремасын дәлелдеген. Ал А. Тани - жылуөткізгіш тұтқырлы газ
жағдайында дәлелдеген болатын. Жалпы уақыт бойынша Коши есебі мен аралас
есептің шешімдерінің бар болуын А. Матсумура мен Т. Нишидо дәлелдеген.
Кейінірек А.В. Кажихов баротропты тұтқырлы газдық жүйесі үшін
априорлық бағаларын алу әдісін ұсынған. Содан кейін ол вакуумдағы газдың
қозғалысы есебінің қисындылығын дәлелдеген еді. Бүйір шекараларындағы
біртектілік шарттарында бекітілген облыста жылуөткізгіш газдың қозғалысы
үшін есептер жұмысында, ал біртексіздік шарттары жұмысында зерттелінген.
Біртекті жағдайында шекаралық есептердің тұтас шешілімділігі
жұмыстарында зертелінген.
15 жұмысында В.В. Шелухин тұтқырлы сығылатын баротроптық газдың
жылжымалы ағынын зерттеген, ал 16-те Бюргерстің жалпыланған жүйесінің
периодты шешімінің бар болуын көрсеткен. Екі өлшемді жағдай үшін шекаралық
есептің глобальді шешілімділігін В.А. Вайгант пен А.В. Кажихов 17
дәлелдеген.
Навье-Стокстың толық теңдеуі үшін бар болудың глобальдік теоремасы әлі
дәлелденбеген. А.В. Кажиховтың, C. Бернади және О. Пиронеяның ,
А.Е. Мамонтовтың жұмыстарында Навье-Стокс теңдеуінің потенциалдық және
квазистационарлық қозғалыстары зерттелген.
С.А. Антонцев, А.В Кажихов монографиясы тұтқырлы газ теңдеуі үшін
шекаралық есебінің қисындылық сұрақтары бойынша зерттеулерге негізделінген.
Коши есебінің шешімінің бар болуы мен жалғыздығы мәселелеріне
А.В. Кажиховтың 18-19 еңбектері арналған.
Өстік және орта симметриялы, уақытқа тәуелді жылуөткізгіш тұтқырлы
тұтас газ теңдеуі үшін шешімнің бар болуы мен жалғыздығы мәселелерін
А.В. Кажихов пен В.Б. Николаев , В.Б. Николаев өз жұмыстарында зертеген
болатын. Ал - жұмысында сығылатын газдың біртекті өске қатысты симметриялы
ағыны зерттелінген.
Магниттік гидродинамика теңдеулер жүйесі үшін шекаралық есептердің
шешіліміділігі мәселелері С.А. Ладыженская мен В.А. Солонниковтың 20-21,
Ш. Сахаев пен В.А. Солонниковтың 22, Л.И. Ступялистің, Ш.С. Смагуловтың
23 жұмыстарында зерттелінген. Смагулов Ш.С. және Кажихов В.А. жұмысында
баротроптық және жылуөткізгіштік жағдайында магниттік газодинамиканың
жүйелері үшін бастапқы-шекаралық есебінің уақыт бойынша тұтас шешілімділігі
алынған. Магниттік гидродинамиканың теңдеулері үшін кейбір есептердің
қисындылығы Смагулов Ш.С., Дурмагамбетова А.А., Искендирова Д.А.
жұмыстарында зертелінген.
Тұтқырлы газ теңдеулері үшін айырымдылық шешімдердің орнықтылығы мен
жинақтылығы мәселелері В.Н. Абрашиннің 24-25 зерттеулерінде
қарастырылған. Баротроптық және жылуөткізгіштік газдың Бюргерс моделі үшін
біртекті қозғалыс жағдайы Б.Г. Кузнецов, Ш.С. Смагулов 117-119,
Ш.С. Смагулов 26-30, Амосова А.А. және Злотника А.А. жұмыстарында
қарастырылған. Тұтқырлы газ моделі үшін айырымдылық шешімнің жинақтылығы
алғаш рет Кузнецов Б.Г. пен Смагулов Ш.С. жұмыстарында қаралған. Лагранждық
айнымалылары бар айырымдылық сұлбасының орнықтылығын зерттеуге Рысбаев Б.Р.
және Смагулов Ш.С. , Смагулов Ш.С. және Жанасбаева У.Б. , Ш. Смагулов,
Г. Даирбаева 31, У.Б. Жанасбаева және Б. Рысбаев 32, Б.Н. Байбатшаев ,
Б.Н. Байбатшаев және Ш.С Смагулов , Ш.С. Смагулов және И.Д. Туретаев
жұмыстары арналған.
Ш.С. Смагулова пен Г. Даирбаева 33-34 жұмыстарында меншікті көлемге
тәуелді тұтқырлы баротропты газдың теңдеуі үшін сызықсыз модельдерінің
жинақтылығы мен орнықтылығы мәселелері, тұтқырлы жылуөткізгіш газдың моделі
үшін айнымалы тұтқырлы баротропты газдың теңдеуінің шекаралары еркін есебі
қарастырылған.
Н.Т. Данаев, Б.Т. Жумагулов, Б.Г. Кузнецов, Ш.С. Смагулов 35
жұмысында екі өлшемді жағдайындағы Навье-Стокс теңдеуінің сандық шешімі
қарастырылады. Сығылмайтын сұйықтық теңдеуінің сандық шешімі үшін
айырымдылық сұлбасы А. Томның, Н.Н. Бокулевтің, Вабишевичтің,
Н.Н. Владимированың, А.Л. Гончаровтың, В.А. Грязновтың, Н.Т. Данаев және
Ш.С. Смагуловтың , А.Л. Дорфман, К.Б. Жакупов, Б.Г. Кузнецов, Г.Н. Кураев,
Т.В. Кускова, М.К. Орунханов, В.М. Пасконов, В.И. Полежаева, П. Роуч,
Г.И. Тимухина және т.б. жұмыстарында қарастырылған.
Б.Р. Рысбаев және Ш.С. Смагуловтың, Ш.С. Смагулов және
У.Б. Жанасбаеваның еңбектері шекаралық есептердің сандық шешіміне арналған.
Ал орнықтылықты талдау мәселесіне Ш.С. Смагулов пен Б. Рысбаевтың көптеген
еңбектері арналған.
Н.А. Ларкин, В.А. Новиков пен Н.Н. Яненконың 36 жұмыстарында уақыт
бойынша аралас типті теңдеудің шешімінің тұтас бар болуының теоремасының
дәлелдемесі келтірілген болса, ал Б. Рысбайұлы 37 өзінің жұмысында
айырымдылық сұлбасының орнықтылығын негіздейді.
В.В. Шелухин жұмысында уақыт бойынша контактылы үзілісті қозғалыстың
біртекті есебінің шешімінің тұтас бар болуының теоремасының дәлелдемесін
келтірген, ал Б.Р. Рысбаев 38-39 осы есеп үшін айырымдылық сұлбасының
орнықтылығын құрастырған.
Ш.С. Смагуловтың, Г. Даирбаеваның, Б. Рысбайұлының 40 монографиясы
массалық лагранждық айнымалысы бар тұтқырлы сығылатын газдың біртекті
теңдеуі үшін айырымдылық сұлбасының орнықтылығы мен жинақтылығы
мәселелеріне арналған.
Электрогазодинамиканың жалпы мәселелері И.П. Верещагин, В.И. Левитов,
Г.З. Мирзабекян, М.М. Пашин, А.Б. Ватажин, В.И. Грабовский, В.А. Лихтер
және В.И. Шульгин 41, Ю.С. Бортников және Н.Б. Рубашовтың 167
монографияларында қарастырылған.
Тұтқырлы газдың баротроптық қозғалысының моделі үшін
электрогазодинамика теңдеуінің шекаралық есебінің қисындылығы
Файзуллин Н.Т. 42, 43 жұмыстарында қарастырылып, 44 жұмысында тұтқырлы
жылуөткізгіштік газдың моделі үшін уақыт бойынша шешімнің тұтас бар болуы
мен оның жалғыздығы теоремасы дәлелденген.
1. Дифференциалдық есептің қойылымы және негізгі нәтижелер
Сыртқы магнитті өрісі жоқ бір сортты иондар мен нейтрал газдардан
тұратын, екі компонентті ортаны сипаттайтын электрогазодинамиканың (ЭГД)
математикалық моделін қарастырамыз 41. Тұтқырлы газдың баротроптық
қозғалысы моделі үшін біртекті жағдайында ЭГД-ның теңдеулер жүйесі келесі
түрде беріледі:
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
мұндағы жылдамдық, тығыздық, қысым, электрлік өрістің
кернеуі, электрлік зарядтың тығыздығы, тоқтың тығыздығы,
потенциал, иондардың қозғалмалығы коэффициенті.
оң шамалар, сәйкесінше тұтқырлылық, диэлектрлік өткізгіштік,
иондардың диффузия коэффициенті.
Алдымен, облысында бастапқы-шеттік есебін қарастырайық. Бастапқы
t=0 уақыт мезетінде жылдамдық, тығыздық және электрлік өрістің кернеуі
беріледі:
, , , (1.7)
х=0 және х=1 шекараларындағы шеттік шарттар төмендегідей қатынастармен
өрнектеледі:
, , (1.8)
Айталық, қатаң оң функция болсын. Шеттік шарттарды және E, q, j
арасындағы қатынастарды ескере отырып (1.4) формуласындағы теңдеу x бойынша
бір рет интегралданады. Массалық лагранждық айнымалысы үшін -тің сол
белгіленуін сақтап, ал арқылы меншікті көлемді белгілейміз, сонда
теңдеулер жүйесін келесідей түрде жазуға болады:
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
мұндағы , - зарядтың таңбасын сақтайды, - ізделініп отырған
функциялар.
Бастапқы және шекаралық шарттар төмендегідей түрде жазылады:
, (1.14)
, , , , (1.15)
және де мұндағы қатаң оң және шектелген функция
Меншікті көлем
қасиетін қанағаттандырады десе де болады.
Анықтама 42. (1.9)-(1.15) есебінің жалпылама шешімі деп
жиынында барлық жерде дерлік (1.9)-(1.13) теңдеулерін қанағаттандыратын
және анықталған класстан функциялар ізі мағынасында берілген бастапқы және
шекаралық мәндерін қабылдайтын функциялар жиынын айтамыз. Мұндағы
Теорема 42. Айталық, (1.15) бастапқы шарттары келесідей тегістік
қасиетін қанағаттандырсын: Онда (1.9)-(1.15)
есебінің жалғыз шешімі бар, және қатаң оң және шектелген функция.
2. (1.9) – (1.15) есебі үшін айырымдылық сұлбасы
облысында и тіктөртбұрышты торды қарастырайық.
торының нүктелеріне жылдамдығы мен кернеуінің торлық
функцияларын, ал торының жартылай бүтін нүктелеріне
меншікті көлем мен қысымның торлық функцияларын жатқызамыз. (1.9) -
(1.15) дифференциалдық теңдеулер жүйесін торында туындылардың
айырымдылық аналогы көмегімен аппроксимациялау арқылы келесі айырымдылық
сұлбасын карастырамыз:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
бастапқы және шекаралық шарттарымен
(2.4)
(2.5)
мұндағы қатаң оң және шектелген функция
Сонымен қатар, меншікті көлемнің айырымдылық аналогы келесідей қасиетті
қанағаттандырады
(2.1)-(2.3) айырымдылық теңдеулері , , реттеріне сәйкес
(1.9)-(1.13) дифференциалдық теңдеуін аппроксимациялайды.
3. Меншікті көлемнің айырымдылық аналогы үшін төменнен және жоғарыдан
бағалау
Меншікті көлемнің айырымдылық аналогын төменнен және жоғарыдан бағалау
үшін Соболев кеңістігінің нормаларының айырымдылық аналогы бойынша
априорлық бағаларын алу қажетті. Априорлық бағалау әдісімен көмекші лемманы
дәлелдейік.
Лемма 1. Егер онда (2.1)-(2.5) есебінің
айырымдылық шешімі
, (3.1)
бағасы орынды, мұндағы
Дәлелдеуі. Ол үшін (2.1)-ді өрнегіне көбейтіп және
бойынша қосындылап
(3.2)
өрнегін аламыз.
(3.2) өрнегінің сол жағын I арқылы белгілеп, оған
теңдігін қосындылап және аламыз, мұндағы
Сонда
Енді (3.2) теңдігінің оң жағындағы қосындыны қарастырайық
Содан кейін (3.2)-ні бойынша 0-ден -ге дейін қосындылап,
есебінде төмендегі теңдікті аламыз:
(3.3)
(3.3) формуласының сол жағындағы үшінші қос қосындының астындағы өрнекті
өрнегіне көбейтіп ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz