Математикалық ұғымдар

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2
§1. Жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын амалдар ... ... ... ... 4
§2. Логикалық амалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 17
§3. Логикалық заңдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 19
§4. Предикаттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 20
§5. Кванторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21
§6. Теореманың түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 22
§7. Бинар қатыс (БҚ) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 24
§8. Эквиваленттік қатыс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 25
§9. Рет қатысы. Реттелген жиын ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27
§10. Функционалдық қатыс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 28
§11. Алгебралық операциялар (АО) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .29
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...31
Әдебиет ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 32
Қазіргі заманғы мектептердің бастауыш сыныптарында оқушылар сан мен нөл сияқты математикалық маңызды ұғымдармен көрнекі және нақты түрде танысып, бұл сандарға амалдар қолдануды игереді. Ол амалдардың қасиеттері есептеу дағдысының қалыптасу процесінде айқындалып меңгеріледі және пайдаланылады. Ондық санау жүйесі, оның ауызша және жазбаша нумерациясы, теңдіктер, теңсіздіктер (үлкен, кіші) қатынастарды, теңдеулер мен теңсіздіктер, геометриялық фигуралар, олардың өзара қатынастары мен қасиеттері оқытылып, кейбір шамаларды өлшеуге қатысты мәселелер қарастырылады. Бастауыш сыныптардың оқушыларына жиындар және оларға амалдар қолдану, бинарлық қатынастар, функция, функционалдық тәуелділік, т.б. туралы ашық түрде айтылмағанмен, мұғалім өзінің оқыту процесін құруда осы ұғымдарға сүйенуі керек. Мысалы, ортақ элементтері жоқ екі жиынды біріктіру амалы негізінде натурал сандарды қосу амалы енгізіледі және оның қасиеттері (коммутативтілік және т.б.) қарастырылады. Есептеу дағдысын қалыптастыру процестерінде және есепті шешумен байланысты бинарлық қатынастар туралы, теңдеу және оны шешу туралы алғашқы ұғымдар меңгеріледі, математикалық логика элементтері пайдаланылады.
Жиын ұғымы және онымен байланысты басқа да кейбір ұғымдар математиканы алғаш оқытудың негізі болып табылады және онда кеңінен қолданылады. Кейбір оқулықтарда «жиын» термині кездеспейді, бірақ бұл ұғым айқындалмаған түрде қолданылады, ал кейбір оқулықтарда жиын ұғымы символикасымен қоса айқын түрде пайдаланылады. Сан, натурал сандарды қосу және көбейту амалдары және олардың қасиеттері, геометриялық фигура сияқты маңызды ұғымдардың қалыптасуы мектеп математика курсында теориялық-жиындық негізде жүзеге асады.
1. ТишинВ.В. Булевы функции. –Самара. 2002.
2. Игошин В.И. Задачник-практикум по математикеи логике. –М.: Просвещение, 1986.
3. Шувалова Э.З. Повторим математику. Учебное пособие. –М.: Высшая школа, 1974.
4. Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. –М.: Наука, 1984.
5. Москинова Г.И. Дискретная математика. –М.: Логос, 2000.
6. Новиков Ф.А. Дискретная математика: алгоритмы и программы. –М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
7. Иванов Б.Н. Дискретная математика для программистов. –СПБ. Ланв., 2002.
8. Березина Л. Ю. Графы и их применение. – М.: Просвещение, 1979.
9. Қабдықайыр Қ. Жоғары математика. – Алматы: РБК, 2004.
10. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. –Саратов, 1991.
11. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. Учебное пособие. –М.: Наука, 1977.
12. Колягин Ю. М. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики. – М.: Просвещение, 1980.
13. Столяр А.А. Логическое введение в матемаику. – Минск: Вышэйшая школа, 1971.
14. Сихова С. Б. Задачи по дискретной математике. – Алматы, КазГУ, 1998.
15. Петраков И. С. Математические кружки в 8-10 классах. Книга для учителя. – М: Просвещение, 1987.
16.СудоплатовС.В., ОвчинниковаЕ.В. Дискретная математика.
– Новосибирск. ИНФРА – М. НГТУ, 2005.
17. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Под ред. С. В. Яблонского, О.Б. Лупанова. Т.1. – М.: Наука, 1974.
18. Вавилов. В.В., Мельников И.И. Задачи по математике. – М.: Наука, 1987.
19. Бекбаулиева Ш. және т.б. Алгебра және анализге кіріспе. –Алматы.: Ана тілі, 1991.
20. Альсейтов А.Г. Математика. 1-бөлім: Арифметика. Алгебралық теңдеулер. – Орал. – Полиграфсервис. 2013. – 212 бет.
21. Альсейтов А.Г. Математика: Формулалар жинағы (анықтамалық материалдар). – Орал, 2012. – 156 б.
22. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. Учебное пособие математикам. – М.: Высшая школа, 2001.
23. Оспанов Т.Қ. Математика. –Алматы.: Ы.Алтынсарин атындағы Қазақтың білім академиясының Республикалық баспа кабинеті, 2000.
24.Ерусалимский Я. М. Дискретная математика. –М.: Вузовская книга, 1999.
        
        Жоспар
Кіріспе ............................................................................................... 2
§1. Жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын амалдар ................ ... ... ... ... 17 ... ... ... ..................................................................... 19
§4. Предикаттар ................................................................................. 20
§5. Кванторлар .................................................................................... ... ... ... ..................................................................... 22
§7. Бинар қатыс (БҚ) .......................................................................... 24
§8. Эквиваленттік қатыс .................................................................... 25
§9. Рет ... ... жиын ... ... ... ... ............................................................... 28
§11. Алгебралық операциялар (АО) ................................................. 29
Қорытынды ........................................................................................... 31
Әдебиет ................................................................................................. 32
Кіріспе ............................................................................................... 2 ... Жиын ... ... ... ... ... 4
§2. Логикалық амалдар ..................................................................... 17 ... ... ... ... ... ... ................................................................................. 20
§5. Кванторлар .................................................................................... 21
§6. Теореманың түрлері ... ... ... ... (БҚ) .......................................................................... 24
§8. Эквиваленттік қатыс .................................................................... 25
§9. Рет қатысы. Реттелген жиын ....................................................... 27
§10. Функционалдық қатыс ............................................................... ... ... ... (АО) ... ... ........................................................................................... 31
Әдебиет ................................................................................................. 32
КІРІСПЕ
Қазіргі заманғы мектептердің бастауыш сыныптарында оқушылар сан мен нөл сияқты математикалық маңызды ұғымдармен көрнекі және ... ... ... бұл ... ... ... игереді. Ол амалдардың қасиеттері есептеу дағдысының қалыптасу ... ... ... және пайдаланылады. Ондық санау жүйесі, оның ауызша және жазбаша нумерациясы, теңдіктер, теңсіздіктер (үлкен, кіші) қатынастарды, ... мен ... ... ... ... ... ... мен қасиеттері оқытылып, кейбір шамаларды өлшеуге қатысты мәселелер қарастырылады. Бастауыш сыныптардың оқушыларына жиындар және ... ... ... ... ... ... ... тәуелділік, т.б. туралы ашық түрде айтылмағанмен, мұғалім өзінің оқыту процесін құруда осы ұғымдарға сүйенуі керек. Мысалы, ортақ элементтері жоқ екі ... ... ... негізінде натурал сандарды қосу амалы енгізіледі және оның қасиеттері (коммутативтілік және т.б.) қарастырылады. Есептеу дағдысын қалыптастыру процестерінде және есепті ... ... ... ... ... теңдеу және оны шешу туралы алғашқы ұғымдар меңгеріледі, математикалық логика элементтері пайдаланылады.
Жиын ... және ... ... ... да ... ... математиканы алғаш оқытудың негізі болып табылады және онда кеңінен қолданылады. Кейбір оқулықтарда термині кездеспейді, ... бұл ұғым ... ... қолданылады, ал кейбір оқулықтарда жиын ұғымы символикасымен қоса айқын ... ... Сан, ... ... қосу және көбейту амалдары және олардың қасиеттері, геометриялық фигура сияқты маңызды ұғымдардың қалыптасуы мектеп математика ... ... ... ... ... ... кез ... деңгейдегі кез келген саласына арналған оқулықтар мен оқу құралдарында жиындар теориясына тұтас тарау немесе одан кішірек көлемде ... ... ... ... ... ... ... құрылады. Математикалық логика элементтерін математиканың кез келген саласында қарастыру қажеттігі түсінікті. Әңгіме абстрактылық, аксиоматикалық тәсілмен құрастырылған логикалық ... ... ... ... ... элементтері деп біз логикалық пікірлер (айтылымдар) мен предикаттардың адамның кәдімгі логикалық ... ... ... және осы логикалық аппаратты ойқорытуды анализ жасау мен кейбір дискретті іс-қимыл схемаларын синтездеу мен ... ... ... ... ... (алгебралық өрнек, мәндес түрлендіру, теңдеу, теңсіздік және т.б.) ... ... мен ... ... ... ... ... қолданылатын логикалық бастамаларын түсінеміз.
Курстық жұмыста жиын ұғымы, жиындарға ... ... ... ... ... ... ... кванторлар; теореманың түрлері; бинарлық қатыс; эквиваленттік қатыс; рет ... ... ... ... ... ... ... қарастырылды.
Курстық жұмысты орындау барысында қолданылған әдебиеттер тізімі 24 аталымды қамтиды.
§1. Жиын ... ... ... ... ұғымы математиканың негізгі ұғымдарының бірі болып табылады. Негізгі ұғымдарға анықтама берілмейді, олар белгілі ұғымдар арқылы ... ... ... ... ... ... да бір ... бойынша біріктіріп, бүтін бір зат ретінде қарастыруға болады. Алынған жаңа зат жиын деп, ал оның құрамындағы заттардың әрқайсысы жиынның элементі деп ... сөзі ... , , , ... ... яғни ... ... ... сипаттайтын сөздердің орнына қолданылады, оның үстіне қарастырылып отырған жиынтықта бір ғана ... ... ... ... бірде-бір нәрсе болмауы мүмкін.
Мысалдар. Қолымыздағы кітаптың беттерінің жиыны. ... ... ... ... ... ... ... жиыны.
Координаталық жазықтықтың барлық нүктелерінің жиыны.
Бұл мысалдардан жиынның элементтерінің саны ақырлы (шектеулі) да, ... ... да бола ... ... ... ... латын алфавитінің үлкен (бас) әріптерімен, ал оның элементтерін кіші ... ... ... ... түрінде бейнеленеді.
Жиын туралы айтқанда кез келген нәрсеге ... ... екі ... ... ғана ... не ... бұл берілген жиынға енеді, не нәрсе бұл берілген жиынға енбейді.
х заты жиынының ... ... ... белгіленеді (, деп оқылады).
х заты жиынының элементі болмайтыны символымен белгіленеді (, деп ... ... ... символы да қолданылады.
Мысал. Егер арқылы натурал сандар жиынын ... онда ... өзі ... ... ... болмайды:
.
Жалпылама үшін және тұжырымдамалардың қарапайымдылығы мен қолдануға ыңғайлылығы үшін ұғымын ... ... ... жоқ жиынды бос (құр) жиын деп атайды да, Ø символымен белгілейді.
Мысалы, теңдеуінің нақты түбірлері жиыны құр ... ... ... қатар жиындарды, яғни бір ғана элементі бар жиындарды қарастыруға тура келеді. ... ... ... жиыны бір элементтен, 5 санынан ғана тұрады. Бір элементті жиынды оның жалғыз элементімен шатастырмау керек.
Егер ... ... ... атауы болса, онда кейде былайша жазады:
.
жиынының элементтерінен тұратындығы түрінде бейнеленеді.
Анықтама. және жиындары берілген болсын. Егер ... ... ... жиынының да элементі болса, онда жиыны жиынының ішкі ... ... деп ... ... ... .
Мұндай қатынас енгізу (ену) деп аталады.
Айталық, А - колледждегі барлық ... ... ал В - осы ... бір ... ... жиыны болсын. Әрине, В жиыны А жиынының бір ... ... ... ... В ... А ... ... Сонымен, анықтамаға сәйкес В жиыны А жиынының ішкі ... ... және ... онда ... көз ... қиын ... Шынында да, А жиынының әрбір элементі В жиынына, ал өз кезегінде В жиынының әрбір элементі С ... ... ... А ... ... элементі С жиынына да тиісті, яғни . Бұл жағдайды Эйлер-Венн диаграммасы арқылы былай кескіндеуге болады ... ... ... ... параграфта толығырақ айтатын боламыз):
060960 B
A
С
00 B
A
С
Ұғымдар мен нәрселер жиынтықтарының әр түрлі бөліктерін қарастырғанда біз ... ішкі жиын ... ... ... Ана ... ... ... сөздер жиынының әр түрлі ішкі жиындарын - зат ... сын ... ... т.с.с. қарастырамыз. География және тарих сабақтарында барлық елдер, барлық қалалар, барлық көлдер, т.с.с. жиындардың әр түрлі ішкі жиындарын оқимыз. Осы ... ... ... де ішкі жиын ... ... Мысалы, қайсыбір елді мекендегі бір көше бойындағы үйлер сол елді мекендегі барлық үйлер жиынтығының ішкі ... ... ... бір қабатта орналасқан бөлмелер жиынтығы сол жатақханадағы барлық бөлмелер жиынының ішкі жиыны болады, бөлмедегі орындықтар жиыны сол бөлмедегі ... ... ... ішкі жиыны болып табылады және т.с.с.
Ішкі жиын ұғымы математикада да кеңінен қолданылады. , , , , ... ... ... ... ана тілі ... да, ... сабағында да, математика сабағында да төменгі сынып оқушыларын жиынның бөліктерін ажырата білуге ... және ішкі жиын ... ... ... біздің енді геометриялық ұғымдарды дәлірек анықтауымызға болады. Геометриядағы ең маңызды ұғымдардың бірі фигура ұғымы және ... ... ... ... ... деп ... кез ... құр емес жиынын атайды. Олай болса, жеке алынған нүкте де, нүктелердің шектеулі жиыны да геометриялық ... ... ... ... ... ... ... шеңбер, дөңгелек, доға және де басқа нүктелердің шектеусіз жиындары геометриялық фигуралар болып табылады.
0356870Т
D
F
.
.
00Т
D
F
.
.
Егер ... ... ... ... онда ... теориясында, жалпы математика курсында қолданылатын және жоғарыда айтылған ережелерге сәйкес ... ... егер ... ... ... емес ... онда түрінде жазады.
Мысалы, натурал сандар жиыны, ... ... ... ... ... ... иррационал сандар жиыны, нақты сандар жиыны, комплекс сандар жиыны болса, онда
, .
Кез ... жиын ... ішкі ... болып табылады:
.
Құр жиын кез келген Ø жиынының ішкі жиыны болады деп есептеледі:
Ø .
А жиынының құр емес В ішкі ... А ... ... ... ... онда оны меншікті ішкі жиын деп атайды. А жиынының А және Ø ішкі ... оның ... емес ішкі ... деп ... ... алты ... ішкі жиыны бар: , , , , , ; екі ... емес ішкі ... бар: және ... А жиынының элементтерінің саны n болса, онда оның ішкі ... саны 2n ... ... ... ішкі ... ... А жиынының булеаны деп атайды. Белгілеуі . ... ... Егер және ... үшін және кірістірулері бірдей орындалса, яғни бірінің кез келген элементі екіншісіне де тиісті болса, онда және ... тең ... де, ... ... егер және жиыны теңдеуінің түбірлерінің жиыны болса, онда ... А және В екі жиын ... ... ... ... онда ... тең ... деп атайды және А=В деп жазады. Мысалы, және ... ... тең, ... бірдей элементтерден тұрады. Элементтерінің орындарын ауыстырғаннан жиын өзгермейді.
Егер әрбір нәрсе ... оның ... ... ... ... емес ... айта ... болсақ, онда жиын берілген деп саналады.
Жиынды оның барлық элементтерін атау арқылы анықтап беруге болады. Егер , , , - ... ... ... ... онда осы ... жиынын
түрінде жазып, оны деп оқиды.
Әрбір нәрсе жиынға тек бір рет қана енеді. Мысалы, 62 545 772 ... ... ... ... жиын , ал деген сөздегі әртүрлі әріптер жиыны түрінде жазылады.
Жиынның берілуінің осы тәсілі математикада жиі қолданылады. Мысалы, ... R, ... О ... ... ... ... ... еске түсірейік. О нүктесінен R қашықтықта және О ... бір ... жату - ... О нүктесі, радиусы R болатын шеңбердің барлық нүктелеріне тән қасиет және бұл ... ... ... емес ... ... ие бола ... ... тағы бір тәсілі оны құрайтын нәрселердің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті сипаттамалық қасиет деп атайды.
Элементтердің ... ... ... ... былай жазуға болады: фигуралық жақшалар ішіне алдымен элементтердің ... ... ... ... не вертикаль сызықша, не қос нүкте қояды да, одан кейін осы жиын элементтеріне және тек ... тән ... ... ... 6-дан кіші ... ... А ... қарастырайық. Бұл жиынды былайша жаза аламыз:
немесе
.
Егер арқылы белгілі бір қасиетті ... онда осы ... ... ... ... құрылған жиын
символымен белгіленеді.
Егер қасиетін бірде-бір нәрсе қабылдамаса, онда ... құр жиын ... Ø ... Р ... ... х заты ... сан ... оның квадраты мен 1 санының қосындысы нөлге тең болуы алынған).
Мысалы, 6-дан кіші натурал сандардың А жиынын ... Бұл ... А ... ... ... ... ... атап айтқанда, олардың аталып отыр. Қарастырылып отырған А жиынының барлық элементтерін атап шығу ... ... ... ... ... де жиын ... мүмкін. Мысалы, колледждегі топтардың (группалардың) жиыны туралы айтуға болады. Бұл ... ... - ... ал ... өзі сол топтағы студенттер жиыны болады. Бірақ студенттер колледждегі топтар жиынының элементтері бола ... ... да бір жиын ... ... үшін не оның ... атап ... не оның ... тән қасиетті көрсету қажет. Екінші тәсіл бірінші тәсілге қарағанда жалпылау екенін айта ... ... ... ... ... атап шығу осы жиын ... болғанда ғана мүмкін, ал жиын элементтерінің ортақ қасиетін жиын шектеулі болғанда да, шектеусіз болғанда да көрсетуге болады.
Бірақ кейбір ... ... ... да ... ... ... ... көрсетуге болады. Мысалы, барлық натурал сандар жиынын арқылы белгілеп, мына түрде жазуға ... ... тек көп ... ... не болатыны белгілі жағдайда ғана осы түрде жазуға ... ... ... ... ... анықтайық.
1. Жиындардың бірігуі. Екі жиынның бірігуі.
Анықтама. және жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден, тек сол элементтерден ғана тұратын ... және ... ... деп ... да, символымен белгілейді.
.
0123190 A
B
00 A
B
left2066290 A
B
00 A
B
Жиындарға қолданылатын амалдарды түсіндіруді жеңілдету үшін жиындардың жазықтықтағы ... ... ... ... деп ... ... кескіндерін қолданады. Екі жиынның бірігуін Эйлер-Венн диаграммасы арқылы былайша кескіндеуге ... А мен В ... ... ... ... ... ... боялған облыс болады. А мен В жиындарының ортақ элементтері жоқ болса, яғни олар қиылыспайтын болса, онда да бұл екі жиынның ... ... ... үш және одан да көп ... ... ... ... Мысалы, , , , ..., n жиынның ... ... ... ... A
B
С
00 A
B
С
, , , ..., , ... жиындар тізбегінің бірігуі ... ... ... ... оң ... ... болса, онда .
Егер болса, онда болатыны түсінікті, бұдан дербес ... .
2. ... ... Екі жиынның қиылысуы.
Анықтама. және жиындарының екеуіне де тиісті элементтерден тұратын жиынды және ... ... деп ... да, ... ... ... A
B
00 A
B
Екі жиынның қиылысуын Эйлер-Венн диаграммасы арқылы былайша кескіндеуге болады. А мен В жиындарын дөңгелектер арқылы белгілесек, олардың қиылысуы боялған ... ... ... A
B
Ø
00 A
B
Ø
А мен В жиындарының ортақ элементтері жоқ болса, яғни олар ... ... онда да бұл екі ... ... анықталады, және ол құр жиын болады.
Егер және жиындарының бір де бір ортақ элементі болмаса, яғни бұл екі жиын ... ... онда Ø. Бұл ... және ... ... деп те атайды.
0320040 A
B
С
00 A
B
С
Жоғарыдағы тәсілмен үш және одан да көп ... ... ... ... ... , , , ..., n ... қиылысуы
немесе
арқылы белгіленеді.
, , , ..., , ... жиындар тізбегінің қиылысуы
немесе ... ... , яғни бір ... ... ал ... құр ... болса, онда ... ... ... ... жағдайда .
3. Екі жиынның ... ... ... ал ... тиісті емес элементтерден тұратын жиынды және жиындарының айырмасы деп атайды да, ... ... ... ... символымен қатар A\B символымен де белгілейді.
немесе A\B=.
114300126365 A
B
00 A
B
-30861001617980 ... ... ... ... ... бұл ... реттелген болуы маңызды екенін атап кетеміз. және жалпы жағдайда екі түрлі нәрселер. Себебі болса, , яғни және ... екі ... ... ... көрініп тұр.
Мысалы, егер және болса, онда
және .
Әрине, егер және ... онда ... ... .
Екі жиынның айырмасы кез келген жағдайда анықталған. Екі жиын қиылысатын болса, онда ... ... ... сай ... жиынға тиісті, ал екінші жиыңға тиісті элементтерден тұратын жиын екені түсінікті. Яғни бұл ... ... ... екі ... ... ... алып ... осы екі жиынның осы реттегі айырмасы шығады. Ал егер екі жиын қиылыспайтын болса, яғни Ø ... онда және . Бұл екі ... ... ... ... ... бейнеленген.
30861002540 A
B
00 A
B
left2540 A
B
00 A
B
069850 B
A
00 B
A
Егер және болса, онда ... және бұл ... ... пунктте анықталатын толықтауыш жиын болады.
4. Әмбебап жиын. Қандай жиын қарастырсақ та, оның басқа бір үлкен жиынның ішкі жиыны болатынын ... ... ... топ ... ... курс ... жиынының ішкі жиыны, ал соңғысы университет студенттерінің жиынының ішкі жиыны т.с.с. Бұл ... ... жиын ... ... отыратынын түсінуге болады.
Жиындар теориясында жеткілікті дәрежеде ауқымды жиынды алып, оның көлемінен шығып кетпейтіндей бекітілген жиынды алып қарастырады да, ол жиынды ... ... жиын деп ... ... жиындардың барлығының барлық элементтері осы әмбебап жиынға тиісті деп есептеледі, яғни қарастырылатын жиындардың барлығы да осы әмбебап жиынның ішкі жиындары ... ... ... ... белгілеу келісілген.
Кез келген жиынды графикалық түрде кескіндеуге болады. Ол үшін ... ... ... да, ... ... осы ... ... нүктелермен кескінделген деп түсінеміз. Суретте нүктелерді жекелеп көрсету міндетті емес. Универсал жиын ... ... оның ішкі ... осы ... ... тұйық контур ретінде кескінделеді. Жиындарды бұл түрде кескіндеу Эйлер-Венн диаграммалары деп аталады.
Көп жағдайда сыртқы төртбұрыш сызбайды, универсал жиынды атап ... ... ... жиыны жиынының әмбебап жиынына дейінгі толықтауыш жиыны (толықтауышы) деп аталады және ... ... ... егер ... ... ... ... жиыны ретінде нақты сандар жиыны , ал оның ішкі ... ... ... ... жиыны алынса, онда -дің толықтауыш жиыны иррационал сандар жиыны болады, яғни
.
7. Екі жиынның ... ... ... ... ... ... ... деп ережесімен анықталатын жиынды атап, оны символымен ... ... ... ... .
2. - ... .
4. Ø ... ... амалдар
Логикада пікір деп не шын, не жалған болатын хабарлы сөйлемді түсінеді. Қысқаша белгілеуге А, В, С, ... ... ... ... ... ... |A|, |B|, ... деп жазады және шын пікірді Т, жалған пікірді F деп қысқаша жазады.
Мысалы, А - ... шын, оны |A|=Т деп, В - В деп ... деп ... ... ... екі пікірге олардың импликациясын сәйкестікке қоятын амалды импликациялау амалы деп атайды.
Анықтама. Берілген А мен В пікірлерінің биимпликациясы немесе эквиваленциясы деп ... ... ... де шын ... ... де жалған болғанда ғана шын болатын, АВ деп белгіленетін, деп ... ... ... екі пікірге олардың биимпликациясын сәйкестікке қоятын амалды биимпликациялау амалы деп атайды.
Барлық пікірлер жиынын Р деп ... ... ... ... ... ... логикалық амалдар арқылы пікірлер алгебрасы деп аталады. Белгілеуі .
§3. Логикалық заңдар
Пікірлер А, В, С, ... ... ... ... ... айнымалылар деп те атайды.
Анықтамалар.
* Кез келген пікірлік айнымалы формула болады.
* Егер А, В - ... ... онда (┐A), (A&B), (AVB), (A-->B), (AB) ... ... Осылардан өзге пікірлер формулалары жоқ.
Пікірлер формулаларына логикалық амалдар мына ... ... ... алдымен ішкі жақшадағы амал орындалады;
* сонан кейін бірінші терістеу, екінші конъюнкция мен дизъюнкция өзара ... реті ... ... импликация мен биимпликация өзара орналасу реті бойынша орындалады.
Формуланың мәні ... ... ... ... ... ... ... Алатын мәндеріне байланысты формула 3 түрге бөлінеді:
* тек қана шын мән ала ... ... Оны ... деп ... шын да, ... да мән ала ... формула.
* тек қана жалған мән ала алатын формула. Оны қайшылық деп атайды.
Пікірлер алгебрасында ең негізгі болып есептелетін 20 тавтология бар.
Анықтама. ... ... ... ... әртүрлі шындық мәндерінде (1) формула шын болған жағдайдың бәрінде (2) формула да шын болса, онда (2) формула (1) ... ... ... деп аталады. Белгілеуі (1)(2).
Теорема. (1)(2) болуы үшін (1)-->(2) формуласының тавтология болуы қажет және ... Екі ... ... келесісінің логикалық салдары болса, онда логикалық эквивалентті деп аталады. ... ... (1)(2) ... үшін ... ... тавтология болуы қажет және жеткілікті.
Логикалық эквиваленттілік рефлексивті, симметриялы, транзитивті.
Логикалық эквиваленттілікті логикалық заң деп те атайды.
Математикалық логикада ең ... ... ... 22 ... заң ... ... логикада тұрақты пікірлермен қатар шындық мәні бір немесе бірнеше ... ... ... де ... ... айнымалысы бар пікірлер немесе предикаттар деп атайды. Мысалы, натурал сандар жиынында деген сөйлем пікір болмайды. Егер х-ң орнына бір ... сан ... онда ол ... айналады:
- шын пікір,
- жалған пікір.
Анықтама. ... А ... ... х1, х2, ..., хn ... орнына қойғанда пікірге айналатын х1, х2, ..., хn-ге ... ... А ... берілген n орынды предикат деп атайды. Белгілеуі Р(х1, х2, ..., хn). ... ... ... ... ... жиынында берілген бір орынды предикат, оны Р(х) деп белгілеуге болады.
Анықтама. А жиынында берілген n орынды Р(х1, х2, ..., хn) ... ... ... деп ... ... ... ... предикатты шын пікірге айналдыратын, А жиынының элементтерінен ... ... ... ... Белгілеуі |Р(х1, х2, ..., хn)|.
Предикаттарға да пікірлерге қолданылатын бес логикалық амал қолданылады. Әдетте логикалық амалдардың бір орынды предикаттарға ... ... ... ... жиынның элементтерін қойғанда предикат пікірге айналатыны белгілі. Математикалық логикада предикатты немесе деп аталатын амал ... да ... ... ... Мысалы, натурал сандар жиынында предикаты берілген болсын. Осы предикаттан және деген сөзден ... ... ... ... Бұл пікір жалған, өйткені жай болмайтын натурал сан бар. Осындай пікірді жазу үшін арнайы ... ... ... , , , , ... ... ... және ... кванторы деп аталады. Жоғарыда пікір былай жазылады: , х - жай ... ... ... ... ... онда жоғарыдағы предикаттан деген жаңа пікір шығады. Бұл пікір шын. Оны жазу үшін ... ... ... , , , ... ... ... оны ... (бар болу) кванторы деп атайды. Соңғы пікір ... ... х- жай ... егер Р(х) А ... ... қандай да бір предикат болса, онда Р(х) жазуы деген пікір болып саналады. Бұл ... шын ... көз ... үшін А ... кез ... а ... үшін Р(а) ... шын екенін көрсету керек. Егер де А жиынының ең болмағанда бір а элементі үшін Р(а) ... ... ... онда Р(х) ... ... ... болады.
Ал егер Р(х) А жиынында берілген қандай да бір предикат болса, онда Р(х) жазуы деген пікірді ... Осы ... ... деп те ... ... Егер А жиынының ең болмағанда бір а элементі үшін Р(а) шын болса, онда бұл пікір шын пікір болады. Егер де А ... ... ... элемент болмайтын болса, онда ол жалған пікір болады.
Жалпылық және табылу ... екі, үш т.б. ... ... да ... N ... ... ... біреуіне предикаттың орын саны бірге кемиді.
Анықтама. Құрамында кванторлар бар пікір кванторлы пікір деп аталады.
Кванторлы пікірді терістегенде әрбір ... ... ... ... да, кванторлардан кейін тұрған предикатты терістейді.
Кванторлы пікірде бір аттас кванторлардың орындарын ауыстырғаннан пікірдің шындық мәні өзгермейді, ал әр ... ... ... ауыстырғанда пікірдің шындық мәні өзгеруі мүмкін.
§6. Теореманың түрлері
Анықтама. Бір жиында ... Р(х) ... ... облысы Q(x) предикатының шындық облысының ішкі диыны болса, онда Q(x) ... Р(х) ... ... ... деп аталады. Белгілеуі:
Р(х)Q(x).
1-теорема. Р(х)Q(x) болуы үшін пікірінің шын ... ... және ... Бір ... ... Р(х) пен Q(x) ... ... облыстары тең болса, онда олар логикалық эквивалентті деп аталады. ... ... ... болуы үшін пікірінің шын болуы қажет және жеткілікті.
Математикада теоремалар жалғауы арқылы тұжырымдалады. Бұл жағдайда теорема үш құрамнан ... ... ... қарастырылып отырған объектілердің алыну тегін көрсететін жиын, оны А деп белгілейік;
* теореманың шарты, оны Р(х) ... деп ... ... ... оны Q(x) ... деп ... теорема пікірі түрінде жазылады. Ол шын пікір болғандықтан теореманы Р(х)Q(x) деп те жазуға болады (теорема1 қара). Оны тура ... деп ... ... тура ... ... мен ... ... ауыстырса, онда шығатын Q(x)Р(х) сөйлемі тура теоремаға кері сөйлем деп аталады. Егер кері сөйлем шын ... яғни ... ... онда оны кері теорема дейді. Дәлірек айтқанда, осы жағдайда ғана берілген теореманы дейді.
Тура теореманың шарты мен қорытындысын терістеп алғанда ... ... - ... - тураға қарама-қарсы теорема деп аталады. Ал кері теореманың шарты мен қорытындысын терістегенде шығатын ┐Q(x)┐Р(х) сөйлемі керіге ... ... деп ... осы төрт ... ... ... бар. Атап ... тура теорема мен керіге қарама-қарсы теорема логикалық эквивалентті;
* кері теорема мен ... ... ... ... ... ... ... байланыстардың дұрыстығы контрапозиция заңынан шығады.
Осы байланыстар мектептен белгілі кері жорып дәлелдеу әдісінің негізі болады.
Теореманың шарты оның қорытындысы үшін ... ал ... ... үшін ... ... ... ... кері теорема болған жағдайда ғана шарты мен қорытындысының әрқайсысы келесісі үшін әрі ... әрі ... ... болады.
§7. Бинар қатыс (БҚ)
Анықтама. Берілген А, В жиындарының арасындағы бинар қатыс деп АхВ жиынының кезкелген ішкі ... ... ... ... ... ... облысы, В- келу облысы деп аталады.
Егер болса, оны деп те жазады және > деп оқиды. ... ... ... алғашқы бейне (прообраз) дейді.
БҚ-қа тиісті қостардың 1-ші құраушыларының жиыны оның анықталу облысы деп, ал 2-ші құраушыларының жиыны мәндерінің жиыны деп ... А=В ... онда бір ... ... БҚ ... Оның шығу ... да, келу облысыда А жиыны болады.
Жазықтықтағы түзулердің параллель болу, перпендикуляр болу, бір нүктеде қиылысу шарттары ... ... ... БҚ- тар ... ... материалдық денелердің бір-бірінен қатты болуы, адамдардың бір-біріне құрдас болуы немесе біреуі ... ... ... ... ... ... бола алады.
БҚ-тар жиындар болғандықтан оларды жиындар тәрізді сөзбен, барлық
элементтерін көрсету ... ... ... ... ... ... ... Бұлардан басқа БҚ-тарды таблицамен, графикпен және граф арқылы береді.
Граф деп, төбелері деп аталатын нүктелерден, ... деп ... ... (кейде бағытталмаған) кесінділерден тұратын фигураны айтады.
Анықтама. Берілген А жиынының элементтерінен құралған түріндегі қостардың жиынын диагонал қатыс немесе А жиынының ... деп ... ... ... өзін ... ... деп ... тардың рефлексивтілік, антирефлексивтілік, симметриялық, антисимметриялық , транзитивтілік, байланастылық қасиеттері болады.
Анықтама. Берілген БҚ-на тиісті қостардың құраушыларының ... ... ... ... ... -дің ... деп атайды да, деп белгілейді. Берілген БҚ- қа оның инверсиясын сәйкестікке ... ... ... ... деп ... жиынының
инверсиялау амалы 1 орынды амал.
Екі БҚ-қа композициялау амалы қолданылады, ол 2 орынды (бинар) амал. БҚ-тар жиындар болғандықтан оларға, жиындарға қолданылатын ... ... ... толықтыру амалдарын қолдануға болады.
§8. Эквиваленттік қатыс
Анықтама. Жиында берілген рефлексивті, симметриялы, , транзитивті БҚ-ты эквиваленттік қатыс деп ... ... ... ... ... деп оқимыз).
Түзулердің параллельдігі, үшбұрыштардың ұқсастығы, бүтін сандардың модуль бойынша ... ... ... ... ... ~ ... оны ~ деп ... элементтері эквивалентті деп оқимыз. Анықтама. Жиыннан алынған элементіне эквивалентті элементтердің жиынын > деп атайды. [] деп ... Кез ... екі ... ... ... беттеседі, немесе қиылыспайды.
20. Кез келген эквиваленттік класы құр ...
30. ... ... ... бірігуі сол жиынның өзіне тең.
Анықтама. Берілген А жиынында ~ ... ... ... эквиваленттік кластарының жиынын А жиыныының фактор-жиыны деп атайды.
Анықтама. Берілген А жиынының әрқайсысы құр емес, қос-қостан қиылыспайтын, бәрінің бірігуі А ... ... тең ... ішкі ... ... А ... бөліктеуі деп аталады.
Мысалы, А- жазықтағы барлық ... ...
А1 - тік ... ... ... - ... ... үшбұрыштар жиыны,
А3 - доғал бұрышты үшбұрыштар жиыны болса, онда {А1,А2, А3 } ... А ... ... құрайды. Ал В1- тең бүйірлі үшбұрыштар жиыны, В2- тең қабырғалы үшбұрыштар жиыны, В3- әртүрлі қабырғалы үшбұрыштар ... ... онда ... В3} ... А ... бөліктеуі болмайды, себебі В1В2 .
Жиынның фактор-жиыны сол жиынның бөліктеуі болады. Бұл ... ... ... ... ... шығады.
§9. Рет қатысы. Реттелген жиын
Анықтама. Жиында берілген антисимметриялы және ... БҚ- ты рет ... деп ... ... деп оқимыз).
Егер болса, оны деп жазып, ... ... деп ... а кіші в деп оқимыз.
Рет қатысы берілген жиын реттелген жиын деп аталады. Белгілеуі А, .
Натурал сандардың бөлінгіштігі, ... ... ішкі жиын ... рет ... Жиында берілген рет қатысы антирефлексивті болса, оны қатаң рет қатысы деп, ... ... - ... емес рет ... деп, ... болса , - сызықтық рет қатысы деп ... ... , , - ... ... ... , , - қатаң емес сызықтық реттелген,
, - ... ... ... емес реттелген жиындар.
Анықтама. Реттелген жиынның элементінен үлкен және оған тең емес ... ... онда ... ... ... деп, ал ... кіші және оған тең емес элементі болмаса, онда элементі минималь элемент деп ... ... ... ... ... жоқ ... да мүмкін. Мысалы, жиынында максималь элемент жоқ, минималь элемент 1; ... ... ... жоқ, ... ... ... ... максималь элемент жоқ, минималь элемент-барлық жай сандар.
Анықтама. Егер ... ... ... оның ... элементінен үлкен болса, онда элементі ең үлкен элемент деп, ал элементі барлық элементінен кіші болса, оны ең кіші ... деп ... ... ең үлкен, ең кіші элементтер болмауы да мүмкін. Егер ең ... ең кіші ... ... ол тек ... ғана ... және ол ... (минималь) элемент те болады; мұнан басқа максималь ... ... те ... ... реттелген жиынында ең үлкен элемент жоқ, ең кіші элемент 1; жиынында ең үлкен элемент жоқ, ең кіші ... те жоқ; ... ең ... ... жоқ, ең кіші ... ... ... ең үлкен элемент жоқ, ең кіші элемент те жоқ; ... ең ... ... 0 (ол ... элемент те болады), ең кіші элемент 1 (ол ... ... те ... Функционалдық қатыс
Анықтама. Егер БҚ- анықталу облысының әрбір элементінің образы біреу ғана болса, онда ол БҚ- ты ... ... ... функция деп атайды. Белгілеуі , , ...
Бұл жағдайда немесе ... ... ... қолданылады.
Мектеп математикасында қарастырылған сызықтық, дәрежелік, көрсеткіштік, логарифмдік, тригонометриялық функциялардың бәрі де, жоғарыдағы анықтама мағынасында, функционалдық қатыстар (яғни ... ... Егер ... ... ... ... шығу облысына тең болса, онда оны бейнелеу деп атайды.
Белгілеуі :АВ.
Шығу облысы мен келу облысы тең болған жағдайда ... ... ... аламыз, оны жиынды түрлендіру деп те атайды.
Мысалы, y=x3 , y= sinx , y=ax функциялары ... ... ал y=tgx, y=logax ... ... ... Егер ... ... жиыны келу облысына тең болса, онда оны сюръективті ... деп ... - ... , y=ax - ... ... Егер ... мәндерінің жиынынан алынған әрбір элементтің прообразы біреуі ғана болса, онда оны ... ... деп ... - ... ал , y= sinx - инъективті емес.
Анықтама. Егер бейнелеу әрі инъективті, әрі сюръективті болса, онда оны ... ... деп ... y=x , y=x3 ... ... R ... ... бейнелеулер.
Анықтама. Элементтерінің саны n болатын шекті жиынды өз-өзіне биективті бейнелеуді n элементтен жасалған ауыстыру деп ... ... саны n! ... ... ... БҚ- тың жеке ... ... оларға БҚ- тарға қолданылатын инверсиялау, композициялау амалдарын қолдануға болады.
§11. Алгебралық операциялар (АО)
Анықтама. Құр емес А жиынының ... n ... Аn сол А ... ... деп ... n саны ... лығы ... орын саны, немесе рангсы деп аталады.
Егер n1 ... ... унар деп, n2 ... - ... деп, n3 ... - ... деп аталады.
Егер n0 болса, операцияны нуляр дейді. Жиында нуляр операция берілді деген сөз сол ... бір ... ... ... деген сөз.
Унар операцияға толықтыру амалы, терістеу амалы мысал бола алады.
Алгебрада көпшілік жағдайларда бинар ... ... (БАО) ... БАО үшін ... ... жазылады:
( - - БАО А-да ) (: А2А)
Анықтамасынан, жиында берілген БАО сол ... ... ... екені шығады. Ал керісінше, жиында берілген тернар қатыс БАО болу үшін ол екі шартты қанағаттандыруы керек: орындалатыны және бірмәнділігі.
Әдетте БАО- ... , , , , , ... ... ... белгілі натурал сандарды қосу, көбейту, дәрежелеу; нақты сандарды қосу, азайту, көбейту, бөлу (нөлден өзге санға); ... ... ... ... ... ... қималау, біріктіру, азайту; квадрат матрицаларды қосу, көбейту амалдары БАО- ның ... ... ... дистрибутивті, қайтарымды деген түрлері болады.
Қорытынды
Математикалық ұғымдардың ішінде ең іргелі де, негізгілерінің бірі ... ... ... атап ... Бұдан ұғымы , , , деген ұғымдармен қатар жүріп, ... ... ... осы ... ... яғни олар ... деп ... болатынын көреміз.
Курстық жұмысты орындау барысында математикалық теорияның тілі терминдер мен ... екі ... ... ... тіл ... көз ... ... қарастырылып отырған теорияда оқытылатын нәрселер мен қатыстарды белгілейді де, осы теорияның меншікті тілін ... ... ... ... ... құрастыруға мүмкіндік беретін және бір сөйлемдерден басқа сөйлемдерді шығаруға мүмкіндік беретін логикалық амалдарды (операцияларды) белгілейді де, ... ... ... ... ... құрайды.
Логикалық-математикалық тілдің екі компоненті (математикалық және логикалық) кез келген қарастырылып отырған теория көлемінде ... ... ... әрбір ойқорытуда тығыз байланыста болады.
Осы байланыстарды толық анықтап, математиканы оқытуда дұрыс қолдана білуге үйрету ... ... ... ... өте ... және толық жетілдірілмеген, яғни тұйық теорияға келтірілмеген формальды логика аппаратынан тиімді.
Әдебиет
1. Тишин В.В. ... ... - ... ... Игошин В.И. Задачник-практикум по математике и логике. - М.: Просвещение, 1986.
3. Шувалова Э.З. ... ... ... пособие. - М.: Высшая школа, 1974.
4. Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической ... и ... ... - М.: Наука, 1984.
5. Москинова Г.И. Дискретная математика. - М.: Логос, ... ... Ф.А. ... ... ... и программы. - М.: Лаборатория базовых ... ... ... Б.Н. ... математика для программистов. - СПБ. Ланв., 2002.
8. ... Л. Ю. ... и их ... - М.: ... ... ... Қ. ... математика. - Алматы: РБК, ... ... В.И. ... логика и теория алгоритмов. - Саратов, 1991.
11. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник ... по ... ... ... ... - М.: Наука, 1977.
12. Колягин Ю. М. Методика преподавания математики в средней ... ... ... - М.: Просвещение, 1980.
13. Столяр А.А. Логическое введение в матемаику. - ... ... ... ... ... С. Б. ... по дискретной математике. - Алматы, КазГУ, 1998.
15. Петраков И. С. ... ... в 8-10 ... Книга для учителя. - М: ... ... ... С.В., ... Е.В. Дискретная математика.
- Новосибирск. ИНФРА - М. НГТУ, 2005.
17. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Под ред. С. В. ... О.Б. ... Т.1. - М.: ... 1974.
18. Вавилов. В.В., Мельников И.И. Задачи по математике. - М.: Наука, 1987.
19. ... Ш. және т.б. ... және ... ... - ... Ана ... 1991.
20. ... А.Г. Математика. 1-бөлім: Арифметика. Алгебралық теңдеулер. - Орал. - ... 2013. - 212 ... ... А.Г. ... ... ... ... материалдар). - Орал, 2012. - 156 б.
22. ... С.В. ... в ... ... Учебное пособие математикам. - М.: Высшая школа, 2001.
23. Оспанов Т.Қ. Математика. - Алматы.: ... ... ... ... ... ... баспа кабинеті, 2000.
24. Ерусалимский Я. М. ... ... - М.: ... книга, 1999.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Көлемі: 21 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 700 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Балабақшада қарапайым математикалық ұғымдарды оқыту22 бет
Математикалық ұғымдарды қалыптастыру29 бет
Мектеп жасына дейінгі балаларға қарапайым математикалық ұғымдарды қалыптастыру13 бет
Мектеп жасына дейінгі баланың қарапайым математикалық ұғымдарды қалыптастыру әдістемесінің теориялық негізі48 бет
Алгоритм және оның қасиеттері109 бет
Бірінші сыныпта он көлеміндегі сандарды оқыту19 бет
Бастауыш класс оқушысының оқу іс-әрекетінің құрылысы7 бет
Ересектер тобындағы балаларға арифметикалық, есептеу туралы түсінік беру24 бет
Компьютерлік графика туралы түсінік9 бет
Математиканың негізгі ұғымдары65 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь