Математикалық ұғымдар

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2
§1. Жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын амалдар ... ... ... ... 4
§2. Логикалық амалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 17
§3. Логикалық заңдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 19
§4. Предикаттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 20
§5. Кванторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21
§6. Теореманың түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 22
§7. Бинар қатыс (БҚ) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 24
§8. Эквиваленттік қатыс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 25
§9. Рет қатысы. Реттелген жиын ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27
§10. Функционалдық қатыс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 28
§11. Алгебралық операциялар (АО) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .29
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...31
Әдебиет ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 32

Қазіргі заманғы мектептердің бастауыш сыныптарында оқушылар сан мен нөл сияқты математикалық маңызды ұғымдармен көрнекі және нақты түрде танысып, бұл сандарға амалдар қолдануды игереді. Ол амалдардың қасиеттері есептеу дағдысының қалыптасу процесінде айқындалып меңгеріледі және пайдаланылады. Ондық санау жүйесі, оның ауызша және жазбаша нумерациясы, теңдіктер, теңсіздіктер (үлкен, кіші) қатынастарды, теңдеулер мен теңсіздіктер, геометриялық фигуралар, олардың өзара қатынастары мен қасиеттері оқытылып, кейбір шамаларды өлшеуге қатысты мәселелер қарастырылады. Бастауыш сыныптардың оқушыларына жиындар және оларға амалдар қолдану, бинарлық қатынастар, функция, функционалдық тәуелділік, т.б. туралы ашық түрде айтылмағанмен, мұғалім өзінің оқыту процесін құруда осы ұғымдарға сүйенуі керек. Мысалы, ортақ элементтері жоқ екі жиынды біріктіру амалы негізінде натурал сандарды қосу амалы енгізіледі және оның қасиеттері (коммутативтілік және т.б.) қарастырылады. Есептеу дағдысын қалыптастыру процестерінде және есепті шешумен байланысты бинарлық қатынастар туралы, теңдеу және оны шешу туралы алғашқы ұғымдар меңгеріледі, математикалық логика элементтері пайдаланылады.
Жиын ұғымы және онымен байланысты басқа да кейбір ұғымдар математиканы алғаш оқытудың негізі болып табылады және онда кеңінен қолданылады. Кейбір оқулықтарда «жиын» термині кездеспейді, бірақ бұл ұғым айқындалмаған түрде қолданылады, ал кейбір оқулықтарда жиын ұғымы символикасымен қоса айқын түрде пайдаланылады. Сан, натурал сандарды қосу және көбейту амалдары және олардың қасиеттері, геометриялық фигура сияқты маңызды ұғымдардың қалыптасуы мектеп математика курсында теориялық-жиындық негізде жүзеге асады.

1. ТишинВ.В. Булевы функции. –Самара. 2002.
2. Игошин В.И. Задачник-практикум по математикеи логике. –М.: Просвещение, 1986.
3. Шувалова Э.З. Повторим математику. Учебное пособие. –М.: Высшая школа, 1974.
4. Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. –М.: Наука, 1984.
5. Москинова Г.И. Дискретная математика. –М.: Логос, 2000.
6. Новиков Ф.А. Дискретная математика: алгоритмы и программы. –М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.
7. Иванов Б.Н. Дискретная математика для программистов. –СПБ. Ланв., 2002.
8. Березина Л. Ю. Графы и их применение. – М.: Просвещение, 1979.
9. Қабдықайыр Қ. Жоғары математика. – Алматы: РБК, 2004.
10. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. –Саратов, 1991.
11. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. Учебное пособие. –М.: Наука, 1977.
12. Колягин Ю. М. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики. – М.: Просвещение, 1980.
13. Столяр А.А. Логическое введение в матемаику. – Минск: Вышэйшая школа, 1971.
14. Сихова С. Б. Задачи по дискретной математике. – Алматы, КазГУ, 1998.
15. Петраков И. С. Математические кружки в 8-10 классах. Книга для учителя. – М: Просвещение, 1987.
16.СудоплатовС.В., ОвчинниковаЕ.В. Дискретная математика.
– Новосибирск. ИНФРА – М. НГТУ, 2005.
17. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Под ред. С. В. Яблонского, О.Б. Лупанова. Т.1. – М.: Наука, 1974.
18. Вавилов. В.В., Мельников И.И. Задачи по математике. – М.: Наука, 1987.
19. Бекбаулиева Ш. және т.б. Алгебра және анализге кіріспе. –Алматы.: Ана тілі, 1991.
20. Альсейтов А.Г. Математика. 1-бөлім: Арифметика. Алгебралық теңдеулер. – Орал. – Полиграфсервис. 2013. – 212 бет.
21. Альсейтов А.Г. Математика: Формулалар жинағы (анықтамалық материалдар). – Орал, 2012. – 156 б.
22. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. Учебное пособие математикам. – М.: Высшая школа, 2001.
23. Оспанов Т.Қ. Математика. –Алматы.: Ы.Алтынсарин атындағы Қазақтың білім академиясының Республикалық баспа кабинеті, 2000.
24.Ерусалимский Я. М. Дискретная математика. –М.: Вузовская книга, 1999.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 28 бет
Таңдаулыға:

Жоспар

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 2
§1. Жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын амалдар ... ... ... ... 4
§2. Логикалық амалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 17
§3. Логикалық заңдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 19
§4. Предикаттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 20
§5. Кванторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 21
§6. Теореманың түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 22
§7. Бинар қатыс (БҚ) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 24
§8. Эквиваленттік қатыс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 25
§9. Рет қатысы. Реттелген жиын ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27
§10. Функционалдық қатыс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 28
§11. Алгебралық операциялар (АО) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 29
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 31
Әдебиет ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 32
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 2
§1. Жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын амалдар ... ... ... ... 4
§2. Логикалық амалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 17
§3. Логикалық заңдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 19
§4. Предикаттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 20
§5. Кванторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 21
§6. Теореманың түрлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 22
§7. Бинар қатыс (БҚ) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 24
§8. Эквиваленттік қатыс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 25
§9. Рет қатысы. Реттелген жиын ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27
§10. Функционалдық қатыс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 28
§11. Алгебралық операциялар (АО) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 29
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 31
Әдебиет ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 32
КІРІСПЕ

Қазіргі заманғы мектептердің бастауыш сыныптарында оқушылар сан мен нөл сияқты математикалық маңызды ұғымдармен көрнекі және нақты түрде танысып, бұл сандарға амалдар қолдануды игереді. Ол амалдардың қасиеттері есептеу дағдысының қалыптасу процесінде айқындалып меңгеріледі және пайдаланылады. Ондық санау жүйесі, оның ауызша және жазбаша нумерациясы, теңдіктер, теңсіздіктер (үлкен, кіші) қатынастарды, теңдеулер мен теңсіздіктер, геометриялық фигуралар, олардың өзара қатынастары мен қасиеттері оқытылып, кейбір шамаларды өлшеуге қатысты мәселелер қарастырылады. Бастауыш сыныптардың оқушыларына жиындар және оларға амалдар қолдану, бинарлық қатынастар, функция, функционалдық тәуелділік, т.б. туралы ашық түрде айтылмағанмен, мұғалім өзінің оқыту процесін құруда осы ұғымдарға сүйенуі керек. Мысалы, ортақ элементтері жоқ екі жиынды біріктіру амалы негізінде натурал сандарды қосу амалы енгізіледі және оның қасиеттері (коммутативтілік және т.б.) қарастырылады. Есептеу дағдысын қалыптастыру процестерінде және есепті шешумен байланысты бинарлық қатынастар туралы, теңдеу және оны шешу туралы алғашқы ұғымдар меңгеріледі, математикалық логика элементтері пайдаланылады.
Жиын ұғымы және онымен байланысты басқа да кейбір ұғымдар математиканы алғаш оқытудың негізі болып табылады және онда кеңінен қолданылады. Кейбір оқулықтарда жиын термині кездеспейді, бірақ бұл ұғым айқындалмаған түрде қолданылады, ал кейбір оқулықтарда жиын ұғымы символикасымен қоса айқын түрде пайдаланылады. Сан, натурал сандарды қосу және көбейту амалдары және олардың қасиеттері, геометриялық фигура сияқты маңызды ұғымдардың қалыптасуы мектеп математика курсында теориялық-жиындық негізде жүзеге асады.
Жалпы, математиканың кез келген деңгейдегі кез келген саласына арналған оқулықтар мен оқу құралдарында жиындар теориясына тұтас тарау немесе одан кішірек көлемде көңіл бөлінген.
Математикалық логика негіздері жиындар теориясы базасында құрылады. Математикалық логика элементтерін математиканың кез келген саласында қарастыру қажеттігі түсінікті. Әңгіме абстрактылық, аксиоматикалық тәсілмен құрастырылған логикалық есептеулер туралы емес. Математикалық логика элементтері деп біз логикалық пікірлер (айтылымдар) мен предикаттардың адамның кәдімгі логикалық ойқорытуының бөлігін бейнелейтін, және осы логикалық аппаратты ойқорытуды анализ жасау мен кейбір дискретті іс-қимыл схемаларын синтездеу мен анализ жасау, кейбір математикалық ұғымдарды (алгебралық өрнек, мәндес түрлендіру, теңдеу, теңсіздік және т.б.) нақтылау, сөйлемдер мен дәлелдеулердің логикалық құрылымын анықтау мәселелерінде қолданылатын логикалық бастамаларын түсінеміз.
Курстық жұмыста жиын ұғымы, жиындарға қолданылатын амалдар; логикалық амалдар; логикалық заңдар; предикаттар; кванторлар; теореманың түрлері; бинарлық қатыс; эквиваленттік қатыс; рет қатысы, реттелген жиын; функционалдық қатыс; алгебралық операциялар қарастырылды.
Курстық жұмысты орындау барысында қолданылған әдебиеттер тізімі 24 аталымды қамтиды.

§1. Жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын амалдар

Жиын ұғымы математиканың негізгі ұғымдарының бірі болып табылады. Негізгі ұғымдарға анықтама берілмейді, олар белгілі ұғымдар арқылы түсіндіріледі. Өзара әртүрлі (бөлек) заттарды қандай да бір қасиеті бойынша біріктіріп, бүтін бір зат ретінде қарастыруға болады. Алынған жаңа зат жиын деп, ал оның құрамындағы заттардың әрқайсысы жиынның элементі деп аталады. Жиын сөзі математикада жиынтық, жинақ, класс, коллекция деген сөздердің, яғни қайсыбір нәрселер жиынтығын сипаттайтын сөздердің орнына қолданылады, оның үстіне қарастырылып отырған жиынтықта бір ғана нәрсе болуы мүмкін немесе бірде-бір нәрсе болмауы мүмкін.
Мысалдар. Қолымыздағы кітаптың беттерінің жиыны.
Күн системасындағы (жүйесіндегі) планеталар жиыны.
Барлық натурал сандар жиыны.
Координаталық жазықтықтың барлық нүктелерінің жиыны.
Бұл мысалдардан жиынның элементтерінің саны ақырлы (шектеулі) да, ақырсыз (шектеусіз) да бола алатынын көреміз. Жиынды көбінесе латын алфавитінің үлкен (бас) әріптерімен, ал оның элементтерін кіші әріптермен белгілейді.
жиынының элементтерінен тұратындығы түрінде бейнеленеді.
Жиын туралы айтқанда кез келген нәрсеге байланысты келесі екі мәселенің біреуі ғана орындалады: не нәрсе бұл берілген жиынға енеді, не нәрсе бұл берілген жиынға енбейді.
х заты жиынының элементі болатыны символымен белгіленеді (х жиынына тиісті, х жиынының элементі деп оқылады).
х заты жиынының элементі болмайтыны символымен белгіленеді (х жиынына тиісті емес, х жиынының элементі емес деп оқылады). символының орнына символы да қолданылады.
Мысал. Егер арқылы натурал сандар жиынын белгілесек, онда
Жиынның өзі ешқашан өзінің элементі болмайды:
.
Жалпылама үшін және тұжырымдамалардың қарапайымдылығы мен қолдануға ыңғайлылығы үшін құр жиын ұғымын енгізген жөн.
Бірде-бір элементі жоқ жиынды бос (құр) жиын деп атайды да, Ø символымен белгілейді.
Мысалы, теңдеуінің нақты түбірлері жиыны құр жиын.
Құр жиынмен қатар бір элементті жиындарды, яғни бір ғана элементі бар жиындарды қарастыруға тура келеді. Мысалы, теңдеуінің түбірлерінің жиыны бір элементтен, 5 санынан ғана тұрады. Бір элементті жиынды оның жалғыз элементімен шатастырмау керек.
Егер жиынының элементтерінің жалпы атауы болса, онда кейде былайша жазады:
.
жиынының элементтерінен тұратындығы түрінде бейнеленеді.
Анықтама. және жиындары берілген болсын. Егер жиынының әрбір элементі жиынының да элементі болса, онда жиыны жиынының ішкі жиыны (жиыншасы) деп аталып, былайша белгіленеді:
немесе .
Мұндай қатынас енгізу (ену) деп аталады.
Айталық, А - колледждегі барлық студенттер жиыны, ал В - осы колледждегі бір топтың студенттерінің жиыны болсын. Әрине, В жиыны А жиынының бір бөлігі, немесе, басқаша айтқанда, В жиыны А жиынына кіреді. Сонымен, анықтамаға сәйкес В жиыны А жиынының ішкі жиыны.
Егер және болса, онда екендігіне көз жеткізу қиын емес. Шынында да, А жиынының әрбір элементі В жиынына, ал өз кезегінде В жиынының әрбір элементі С жиынына тиісті. Ендеше, А жиынының әрбір элементі С жиынына да тиісті, яғни . Бұл жағдайды Эйлер-Венн диаграммасы арқылы былай кескіндеуге болады (Эйлер-Венн диаграммасы туралы үшінші параграфта толығырақ айтатын боламыз):
B
A
С
B
A
С

Ұғымдар мен нәрселер жиынтықтарының әр түрлі бөліктерін қарастырғанда біз әрдайым ішкі жиын ұғымын қолданып отырамыз. Ана тіліміздегі сөйлемдегі барлық сөздер жиынының әр түрлі ішкі жиындарын - зат есімдерді, сын есімдерді, етістіктерді, т.с.с. қарастырамыз. География және тарих сабақтарында барлық елдер, барлық қалалар, барлық көлдер, т.с.с. жиындардың әр түрлі ішкі жиындарын оқимыз. Осы сияқты күнделікті өмірде де ішкі жиын ұғымын пайдаланамыз. Мысалы, қайсыбір елді мекендегі бір көше бойындағы үйлер сол елді мекендегі барлық үйлер жиынтығының ішкі жиыны болады; жатақханадағы бір қабатта орналасқан бөлмелер жиынтығы сол жатақханадағы барлық бөлмелер жиынының ішкі жиыны болады, бөлмедегі орындықтар жиыны сол бөлмедегі барлық жиһаздар жиынының ішкі жиыны болып табылады және т.с.с.
Ішкі жиын ұғымы математикада да кеңінен қолданылады. Берілген сөйлемдегі барлық зат есімдердің астын сызыңдар, 1-ден 10-ға дейінгі сандардың ішінен 2-ге бөлінетін сандарды атаңдар, Берілген сандардың арасынан үш таңбалы сандарды атаңдар, Әр түрлі фигуралардың ішінен үшбұрыштарды көрсетіңдер, Туған өлкемізде кездесетін құстарды атаңдар деген тапсырмаларды орындату арқылы ана тілі сабағында да, табиғаттану сабағында да, математика сабағында да төменгі сынып оқушыларын жиынның бөліктерін ажырата білуге үйретеміз.
Жиын және ішкі жиын ұғымдарын меңгергеннен кейін, біздің енді геометриялық ұғымдарды дәлірек анықтауымызға болады. Геометриядағы ең маңызды ұғымдардың бірі фигура ұғымы нүкте және жиын ұғымдары арқылы анықталады. Геометриялық фигура деп нүктелердің кез келген құр емес жиынын атайды. Олай болса, жеке алынған нүкте де, нүктелердің шектеулі жиыны да геометриялық фигура болып табылады. Кесінді, түзу, сәуле, үшбұрыш, шеңбер, дөңгелек, доға және де басқа нүктелердің шектеусіз жиындары геометриялық фигуралар болып табылады.
Т

D
F
.
.
Т

D
F
.
.
Егер нүктесі фигурасына тиісті болса, онда жиындар теориясында, жалпы математика курсында қолданылатын және жоғарыда айтылған ережелерге сәйкес түрінде жазады; егер нүктесі фигурасына тиісті емес болса, онда түрінде жазады.
Мысалы, натурал сандар жиыны, бүтін сандар жиыны, рационал сандар жиыны, иррационал сандар жиыны, нақты сандар жиыны, комплекс сандар жиыны болса, онда
, .
Кез келген жиын өзінің ішкі жиыны болып табылады:
.
Құр жиын кез келген Ø жиынының ішкі жиыны болады деп есептеледі:
Ø .
А жиынының құр емес В ішкі жиыны А жиынымен дәлме-дәл келмейтін болса, онда оны меншікті ішкі жиын деп атайды. А жиынының А және Ø ішкі жиындарын оның меншікті емес ішкі жиындары деп атайды.
Мысалы, жиынының алты меншікті ішкі жиыны бар: , , , , , ; екі меншікті емес ішкі жиыны бар: және Ø.
Егер А жиынының элементтерінің саны n болса, онда оның ішкі жиындарының саны 2n болады.
А жиынының барлық ішкі жиындарының жиынын А жиынының булеаны деп атайды. Белгілеуі . Сонда .
Анықтама. Егер және жиындары үшін және кірістірулері бірдей орындалса, яғни бірінің кез келген элементі екіншісіне де тиісті болса, онда және жиындары тең дейді де, символымен белгілейді.
Мысалы, егер және жиыны теңдеуінің түбірлерінің жиыны болса, онда .
Егер А және В екі жиын бірдей элементтерден тұратын болса, онда оларды тең жиындар деп атайды және А=В деп жазады. Мысалы, және жиындары өзара тең, өйткені бірдей элементтерден тұрады. Элементтерінің орындарын ауыстырғаннан жиын өзгермейді.
Егер әрбір нәрсе туралы оның жиынға тиісті немесе тиісті емес екендігін айта алатын болсақ, онда жиын берілген деп саналады.
Жиынды оның барлық элементтерін атау арқылы анықтап беруге болады. Егер , , , - әртүрлі нәрселердің белгілеулері болса, онда осы нәрселердің жиынын

түрінде жазып, оны А жиыны a, b, c, d элементтерінен тұрады деп оқиды.
Әрбір нәрсе жиынға тек бір рет қана енеді. Мысалы, 62 545 772 санының әртүрлі цифрларынан тұратын жиын , ал есеп деген сөздегі әртүрлі әріптер жиыны түрінде жазылады.
Жиынның берілуінің осы тәсілі математикада жиі қолданылады. Мысалы, радиусы R, центрі О нүктесі болатын шеңбердің центрі О нүктесі, радиусы R болатын шеңбер деп жазықтықтың О нүктесінен R қашықтықта жататын барлық нүктелерінің жиыны деген анықтамасын еске түсірейік. О нүктесінен R қашықтықта және О нүктесімен бір жазықтықта жату - центрі О нүктесі, радиусы R болатын шеңбердің барлық нүктелеріне тән қасиет және бұл қасиетке шеңберге тиісті емес бірде-бір нүкте ие бола алмайды.
Жиынның берілуінің тағы бір тәсілі оны құрайтын нәрселердің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті сипаттамалық қасиет деп атайды.
Элементтердің сипаттамалық қасиеті көрсетілген жиынды былай жазуға болады: фигуралық жақшалар ішіне алдымен элементтердің белгіленуін жазады. Содан кейін не вертикаль сызықша, не қос нүкте қояды да, одан кейін осы жиын элементтеріне және тек соларға тән қасиетті жазады. Мысалы, 6-дан кіші натурал сандардың А жиынын қарастырайық. Бұл жиынды былайша жаза аламыз:

немесе
.
Егер арқылы белгілі бір қасиетті белгілесек, онда осы қасиетті қабылдайтын нәрселердің барлығынан құрылған жиын

символымен белгіленеді.
Егер қасиетін бірде-бір нәрсе қабылдамаса, онда жиыны құр жиын болады.
Мысалы, Ø (мұнда Р қасиеті ретінде х заты нақты сан болып, оның квадраты мен 1 санының қосындысы нөлге тең болуы алынған).
Мысалы, 6-дан кіші натурал сандардың А жиынын қарастырайық. Бұл жерде А жиынының барлық элементтеріне ортақ қасиет, атап айтқанда, олардың натурал және 6-дан кіші сан болуы аталып отыр. Қарастырылып отырған А жиынының барлық элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді: .
Жиын элементтерінің өздері де жиын болуы мүмкін. Мысалы, колледждегі топтардың (группалардың) жиыны туралы айтуға болады. Бұл жиынның элементтері - топтар, ал топтың өзі сол топтағы студенттер жиыны болады. Бірақ студенттер колледждегі топтар жиынының элементтері бола алмайды.
Сонымен, қандай да бір жиын берілген болуы үшін не оның элементтерін атап шығу, не оның элементтеріне тән қасиетті көрсету қажет. Екінші тәсіл бірінші тәсілге қарағанда жалпылау екенін айта кетеміз. Мәселе мынада: жиынның элементтерін атап шығу осы жиын шектеулі болғанда ғана мүмкін, ал жиын элементтерінің ортақ қасиетін жиын шектеулі болғанда да, шектеусіз болғанда да көрсетуге болады.
Бірақ кейбір кезде шектеусіз жиынды да бірінші тәсілді пайдаланып жазып көрсетуге болады. Мысалы, барлық натурал сандар жиынын арқылы белгілеп, мына түрде жазуға болады:
.
Әрине, жиынды тек көп нүктелер орнында не болатыны белгілі жағдайда ғана осы түрде жазуға болады.
Енді жиындарға қолданылатын кейбір амалдарды анықтайық.
1. Жиындардың бірігуі. Екі жиынның бірігуі.
Анықтама. және жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден, тек сол элементтерден ғана тұратын жиынды және жиындарының бірігуі деп атайды да, символымен белгілейді.
.
A
B

A
B

A
B

A
B

Жиындарға қолданылатын амалдарды түсіндіруді жеңілдету үшін жиындардың жазықтықтағы кескіндері болатын Эйлер-Венн диаграммалары деп аталатын геометриялық кескіндерін қолданады. Екі жиынның бірігуін Эйлер-Венн диаграммасы арқылы былайша кескіндеуге болады. А мен В жиындарын дөңгелектер арқылы белгілесек, олардың бірігуі боялған облыс болады. А мен В жиындарының ортақ элементтері жоқ болса, яғни олар қиылыспайтын болса, онда да бұл екі жиынның бірігуі анықталады. Жоғарыдағы тәсілмен үш және одан да көп жиындардың бірігуін анықтауға болады. Мысалы, , , , ..., n жиынның бірігуі
немесе арқылы белгіленеді.
A
B

С
A
B

С
, , , ..., , ... жиындар тізбегінің бірігуі немесе арқылы белгіленеді.
Мысалы, барлық оң сандардың жиыны болса, онда .
Егер болса, онда болатыны түсінікті, бұдан дербес жағдайда .
2. Жиындардың қиылысуы. Екі жиынның қиылысуы.
Анықтама. және жиындарының екеуіне де тиісті элементтерден тұратын жиынды және жиындарының қиылысуы деп атайды да, символымен белгілейді.
.
A
B

A
B

Екі жиынның қиылысуын Эйлер-Венн диаграммасы арқылы былайша кескіндеуге болады. А мен В жиындарын дөңгелектер арқылы белгілесек, олардың қиылысуы боялған облыс болады. A
B
Ø
A
B
Ø
А мен В жиындарының ортақ элементтері жоқ болса, яғни олар қиылыспайтын болса, онда да бұл екі жиынның қиылысуы анықталады, және ол құр жиын болады. Егер және жиындарының бір де бір ортақ элементі болмаса, яғни бұл екі жиын қиылыспайтын болса, онда Ø. Бұл жағдайда және жиындары қиылыспайды деп те атайды.

A
B

С
A
B

С
Жоғарыдағы тәсілмен үш және одан да көп жиындардың қиылысуын анықтауға болады. Мысалы, , , , ..., n жиынның қиылысуы
немесе
арқылы белгіленеді.
, , , ..., , ... жиындар тізбегінің қиылысуы
немесе
арқылы белгіленеді.
Мысалы, , яғни бір элементті жиын, ал Ø,
яғни құр жиын.
Егер болса, онда болатыны түсінікті, бұдан дербес жағдайда .

3. Екі жиынның айырмасы.
Анықтама. жиынына тиісті, ал жиынына тиісті емес элементтерден тұратын жиынды және жиындарының айырмасы деп атайды да, символымен белгілейді.
және жиындарының айырмасын символымен қатар A\B символымен де белгілейді.
немесе A\B=.
A
B

A
B

A
B

A
B

және жиындарының айырмасын қарастырғанда бұл жиындардың реттелген болуы маңызды екенін атап кетеміз. және жалпы жағдайда екі түрлі нәрселер. Себебі болса, , яғни және екеуі екі түрлі жиындар екендігі көрініп тұр.

Мысалы, егер және болса, онда
және .
Әрине, егер және болса, онда Ø.
1-теорема. .
2-теорема. .
Екі жиынның айырмасы кез келген жағдайда анықталған. Екі жиын қиылысатын болса, онда олардың айырмасы анықтамаға сай бірінші жиынға тиісті, ал екінші жиыңға тиісті элементтерден тұратын жиын екені түсінікті. Яғни бұл жағдайда бірінші жиыннан екі жиынға ортақ элементтерді алып тастағанда осы екі жиынның осы реттегі айырмасы шығады. Ал егер екі жиын қиылыспайтын болса, яғни Ø болса, онда және . Бұл екі жағдай төмендегі Эйлер-Венн диаграммаларында сәйкесінше бейнеленген.
A
B

A
B

A
B

A
B

B

A
B

A
Егер және болса, онда анықталған және бұл айырма келесі пунктте анықталатын толықтауыш жиын болады.

4. Әмбебап жиын. Қандай жиын қарастырсақ та, оның басқа бір үлкен жиынның ішкі жиыны болатынын көруге болады. Мысалы, топ студенттерінің жиыны курс студенттерінің жиынының ішкі жиыны, ал соңғысы университет студенттерінің жиынының ішкі жиыны т.с.с. Бұл мысалдан үлкен жиын ұғымы өзгеріп отыратынын түсінуге болады.
Жиындар теориясында жеткілікті дәрежеде ауқымды жиынды алып, оның көлемінен шығып кетпейтіндей бекітілген жиынды алып қарастырады да, ол жиынды әмбебап (универсал) жиын деп атайды. Қарастырылатын жиындардың барлығының барлық элементтері осы әмбебап жиынға тиісті деп есептеледі, яғни қарастырылатын жиындардың барлығы да осы әмбебап жиынның ішкі жиындары болады. Әмбебап жиынды символымен белгілеу келісілген.
Кез келген жиынды графикалық түрде кескіндеуге болады. Ол үшін тұйық контур сызамыз да, жиынның элементтері осы контурдың ішіндегі нүктелермен кескінделген деп түсінеміз. Суретте нүктелерді жекелеп көрсету міндетті емес. Универсал жиын тіктөртбұрыш түрінде, оның ішкі жиындары осы тіктөртбұрышта жататын тұйық контур ретінде кескінделеді. Жиындарды бұл түрде кескіндеу Эйлер-Венн диаграммалары деп аталады.
Көп жағдайда сыртқы төртбұрыш сызбайды, универсал жиынды атап көрсетпейді.
5. Толықтауыш жиын. жиыны жиынының әмбебап жиынына дейінгі толықтауыш жиыны (толықтауышы) деп аталады және символымен белгіленеді, яғни
.
Сонда, егер болса, онда

А

А
.
Мысалы, әмбебап жиыны ретінде нақты сандар жиыны , ал оның ішкі жиыны ретінде рационал сандар жиыны алынса, онда -дің толықтауыш жиыны иррационал сандар жиыны болады, яғни
.

7. Екі жиынның симметриялық айырмасы.
A
B

U
A
B

U
және жиындарының симметриялық айырмасы деп ережесімен анықталатын жиынды атап, оны символымен белгілейді, яғни
.
Келесі теңдіктер орындалады:
1. .
2. - коммутативтік.
3. .
4. Ø .
§2. Логикалық амалдар

Логикада пікір деп не шын, не жалған болатын хабарлы сөйлемді түсінеді. Қысқаша белгілеуге А, В, С, ... әріптерін қолданады. Пікірдің шындық мәнін A, B, ... деп жазады және шын пікірді Т, жалған пікірді F деп қысқаша жазады.
Мысалы, А - 9 саны 3-ке еселі пікірі шын, оны A=Т деп, В - 168 пікірі жалған, оны B=F деп жазады.
Пікірлерге емес, және, немесе, егер ..., онда ..., сонда, тек қана сонда, егер жалғауларын қолданып күрделі пікірлер алады. Осы жалғауларды абстракциялап логикалық амалдар алады.
Анықтама. Пікірлерге қолданғанда нәтижесінде пікір беретін амалды логикалық амал дейді.
Логикалық амалдар бесеу.
Анықтама. Берілген А пікірінің терістемесі деп А шын болғанда жалған, ал А жалған болғанда шын болатын, ┐А деп белгіленетін, А емес деп оқылатын пікірді айтады. Бұл анықтаманы мына таблица түрінде көрсетуге болады:
A
┐A
Т
F
F
Т

Мысал. С - 12 3-ке бөлінеді пікірі шын. Оны C=Т деп жазады. Ал терістемесі - ┐С - 12 3-ке бөлінбейді пікірі жалған болады, оны ┐C=F деп жазады.
Анықтама. Берілген пікірге оның терістемесін сәйкестікке қоятын амалды терістеу амалы деп атайды.
Анықтама. Берілген А мен В пікірлерінің конъюнкциясы деп, олардың екеуі де шын болғанда ғана шын болатын, A&B деп белгіленетін, А және В деп оқылатын пікірді айтады.
Берілген екі ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.