Лаплас түрлендіру қасиеттері жайлы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі Шәкәрім атындағы Семей мемлекеттік университеті

Сызық автоматты түрлендіру жүйесі

СӨЖ

Тақырыбы: Лаплас түрлендіру қасиеттері

Орындаған: Қайсар Д. Б.

Тобы: АУ-401 С

Тексерген: Секербаева А. Б.

Семей 2015

Лаплас түрлендіруі

Жоспар:

Түпнұсқа және бейне. Лаплас интегралы
Бейненің қасиеті туралы
Меллин формуласы

1. 1 Түпнұсқа және бейне. Лаплас интегралы.

Нақты айнымалы t-ның функциясы үшін мына шарттар орындалсын:

1) Айнымалы t-ның мәндерінде функция мәні болсын;

2) Нақты айнымалы t-ның функциясы барлық мәндерінде үздіксіз болсын.

Үздіксіздік шарты тек бірінші текті үзіліс нүктелерінде ғана орындалмасын және ондай нүктелер саны шектеулі болсын;

3) Берілген функциясының өсу дәрежесі шектеулі болсын, яғни барлық мәндерінде теңсіздігі орындалатындай және сандары табылсын. Осы шартты қанағаттандыратын сандарының ең кішісі функциясының өсу көрсеткіші деп аталады.

Осы (1) -(3) шарттарды қанағаттандыратын функциясы түпнұсқа деп аталады.

Автоматты жүйелердегі құбылыстарды сипаттағанда кездесетін көптеген функциялар түпнұсқа болады. Мысалы, Хевисайдтың бірлік функциясы деп аталатын функциясы, функциялары түпнұсқа болады. Бұл функциялардың бірлік баспалдақты функция түріндегі көбейткіштерінің бар болуы түпнұсқаның (1) шартының орындалуын қамтамасыз етеді. Оны физикалық тұрғыдан түсіндірудің ешқандай қиындығы жоқ. Шынында да, автоматты жүйелердегі құбылыстар қандай да бір белгілі уақыт кезеңінен басталады.

Осы уақытты алғашқы уақыт кезеңі ретінде алуға болады. Сонда t болғанда f(t) =0 болады да түпнұсқаның (1) шарты орындалады.

Ал (2) және (3) шарттар автоматты жүйелерді сипаттайтын көптеген f(t) функциялары үшін орындалады.

Егер осы (1) -(3) шарттардың ең болмағанда біреуі орындалмаса, онда f(t) функциясы түпнұсқа болмайды. Мысалы, функциялары түпнұсқа болмайды. Бұл функциялар үшін (3) шарт орындалмайды.

Түпнұсқаның (3) шартын қанағаттандыратын функциялардың мысалын келтірейік:

а) Барлық шектелген функциялар; мұндай функциялар үшін өсу көрсеткіші өйткені

б) Барлық түріндегі дәрежелік функциялар. Бұлар үшін болады. Шынында да

өйткені -тің модулі көрсеткіштік функциясына қарағанда баяу өседі. Мұндағы -қаншалықты болса да аз оң сан.

Осыдан функциясының аралығында шектелген функция екендігі көрінеді. Басқаша айтқанда, барлық мәндері үшін , немесе теңсіздігі орындалады.

Мұндағы А-кез-келген оң сан, -қаншалықты болса да аз оң сан. Сондықтан функциясының өсу көрсеткіші болады.

Егер болса, онда үзіліс нүктесі болады да функциясы түпнұсқаның (3) шартын қанағаттандырмайды.

Жоғарыдағы

(1)

теңдігімен анықталған комплекс айнымалының функциясы функциясының Лаплас бойынша бейнесі деп аталады. Осы (1) теңдіктің оң жағындағы интеграл Лаплас интегралы деп аталады. Анықтама бойынша бұл меншіксіз интеграл мынаған тең:

(2)

Мұндағы оңжақтық шекке көшу амалын көрсетеді. Лаплас интегралының көмегімен функциясы мен оның бейнесі арасында сәйкестік орнатылады.

Берілген функциясы бойынша оның бейнесін табу амалы Лаплас түрлендіруі деп аталады. Ол былай белгіленеді:

Егер функцияға бейнесі сәйкес келсе, ол сәйкестік әдетте былай жазылады: немесе .

Егер (2) теңдіктің оң жағындағы шек бар болатын болса, онда Лаплас интегралы жинақталады.

Енді Лаплас бойынша қандай функцияларын түрлендіруге болатынын қарастырайық.

Теорема 1. 1

Егер функциясы түпнұсқа болса, онда оны Лаплас бойынша түрлендіруге болады және оның бейнесі жарты жазықтығында анықталған.

Мұндағы деп функциясының өсу көрсеткішін ұғамыз.

Теореманы дәлелдеу үшін р комплекс айнымалысының жазықтығының теңсіздігі орындалатын бөлігінде (1) теңдіктің оң жағындағы интеграл жинақталатындығын көрсетсек жеткілікті.

Түпнұсқаның (3) шартын пайдаланып мынадай теңсіздіктер аламыз:

Ал болғандықтан

(3)

Мұндағы болғандықтан, болса, Лаплас интегралы жинақталады. Сонымен, функциясы түпнұсқа болса, онда оны Лаплас бойынша түрлендіруге болады. Оның бейнесі р комплекс айнымалысы жазықтығының жорымал оске параллель және одан қашықтықта өтетін түзуден оңға қарай бөлігінде анықталған.

0 С

1. 1 Сурет

Осы теоремадан бейнесінің мынадай қасиетін алуға болады.

Егер (3) теңсіздікте шексіздікке ұмтылса, онда Лаплас интегралының модулі нолге ұмтылады.

Осыдан функциясы бейне болса, онда

(4)

болатындығы шығады.

Теорема 1. 2 Бейненің қасиеті туралы

түпнұсқаның бейнесі шарты орындалатын жарты жазықтықта аналитикалық функция болады.

Мұндағы -түпнұсқаның өсу көрсеткіші.

Анықтама

Мына

болса,

шартымен анықталған функциясы Хевисайдтың бірлік функциясы деп аталады.

Осы функциясы түпнұсқа болады. Оның өсу көрсеткіші . Бұл функцияның мәні болғанда анықталмаған, өйткені Лаплас интегралын есептегенде функциясының болғанда қандай мән қабылдайтыны ескерілмейді.

Дегенмен де, нүктесіндегі мәні үшін әдетте мәндерін алады.

1. 2 Сурет

Берілген функциясы - аралықта анықталсын және түпнұсқаның (2), (3) шарттарын қанағаттандырсын. Ал болғанда шарты орындалсын. Егер функциясын қарастырсақ, яғни

болса, (6)

онда функциясы түпнұсқа болады. Мұндағы көбейткіші түпнұсқаның (1) шартының орындалуын қамтамасыз етеді. Сондықтан, алдағы уақытта функциясының Лаплас түрлендіруінде функциясы берілген деп есептеп, оның орнына қысқаша деп жазамыз.