Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқыту әдістемесі

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 54 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ
2

1 СТАНДАРТТЫ ЕМЕС ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗІ

1.1 Теңдеу мен теңсіздік жайлы ұғымның қысқаша тарихы
5
1.2 Стандартты емес есеп пен стандартты есеп арасындағы айырым
белгілер
9
2 СТАНДАРТТЫ ЕМЕС ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
2.1 Жалпы стандартты емес есептерді шығару әдістемесі
13
2.2 Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдісін іздеу
23
3. ТЕҢДЕУ МЕН ТЕҢСІЗДІКТІҢ СТАНДАРТТЫ ЕМЕС ТҮРІН ШЕШУ ЖОЛДАРЫ

3.1 Параметрі бар стандартты емес теңдеу ман теңсіздіктерді графикалық
жолмен шешу алгоритмі
29
3.2 Стандартты емес күрделі иррационалды теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу
әдістері
35
3.3 Стандартты емес теңдеулерді геометриялық және векторлық тілге аудару
әдісімен шешу
44
ҚОРЫТЫНДЫ
51
ӘДЕБИЕТ ТІЗІМІ
54
КІРІСПЕ

Оқушыларға қиыншылықтарды әдеттегідей мектеп оқулықтары мен басқа да
оқу құралдарындағы жоғары күрделі есептер арасында елеулі орын алатын
стандартты емес есептер тудырады.
Стандартты еместерге шығарудың дәстүрлі алгоритмі келмейтін теңдеулер
мен теңсіздіктер жатқызылады. Көптеген жағдайларда ондай теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешу “функционалды деңгейде” жүзеге асады, демек, графиктер
көмегімен немесе теңдеу не теңсіздіктің сол және оң жақтарында бар
функциялардың кейбір қасиеттерін салыстыру көмегімен.
Мысалы, егер , функциаларының ең кіші мәні басқа фукцияның
ең үлкен мәніне сәкес болса (бұл мәндерді А әріпімен белгілейік), онда
теңдеуі неғұрлым қарапайым жүйесіне айналады.
Сонымен қандай есептер стандартты емес деп аталады екен? “Стандартты
емес есептер – бұл шешудің нақты бағдарламасын анықтайтын жалпы ережелер
мен жағдайлары жоқ есептер”.
Алайда, “стандартты емес” ұғымы салыстырмалы ұғым екенін ескеру керек.
Бір есеп шығарушы бұл типтегі есепті шығару әдістерімен таныс па, жоқ па
екеніне байланысты стандартты да, стандартты емес те болуы мүмкін.
Бұл “стандартты емес” есептер әртүрлі болуы мүмкін. Кейбірі сырттай
қарапайым емес болғандықтан, алғашқыда оларға қай жағынан қарау да
түсініксіз болады. Басқалары жасырылған: сырттай, мысалы, бұл қарапайым
теңдеу, бірақ стандартты әдістерімен ол шығарылмайды. Үшіншілерін шешу үшін
өте өткір және дәл ойлау қажет. Төртіншіден, ... ... бұл “стандартты емес”
есептердің барлық ерекшеліктерін шексіз көрсетуге болады және олардың бірін
қалдырмай атап өту де, олардың шешімін табудың барлық әдістерін табу мүмкін
емес. Стандартты емес есептер мен оларды шешудің “стандартты емес” әдістері
жоғарғы оқу орнына түсушілер үшін бағдарламаның шегінен аспайтынын ерекше
атап өту керек.
Осы тақырыптағы курстық жұмысты жазбас бұрын алға қойылған мақсат:
1. Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздік ұғымының анықтамасын жүйелеу;
2. Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді оқытудың әдістемесімен
толық танысу;
3. Теңдеу мен теңсіздіктің стандартты емес түрін шығарудағы ең тиімді
әдіс-тәсілдерді анықтау.
Зерттеу жұмысының міндеттері:
1. Теңдеу мен теңсіздік ұғымының шығу мен даму тарихына қысқаша тоқталу;
2. Стандартты емес және стандартты есеп, сондай-ақ теңдеулер мен
теңсіздіктер арасындағы айырмашылықты айқындау;
3. Осы классификация бойынша жіктелген есептердің мектепте оқыту
әдістемесіне тоқталу;
4. Оқушылар бойынан стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу
әдістерін іздеу машықтарын дамыту жолдарын табу;
5. Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу алгоритімін құрудың
ең тиімді әдістері мен жолдарын анықтау.
6. Мысал ретінде күрделі иррационалды, парметрлі теңдеулер мен
теңсіздіктерді шешудің нәтижелі әдіс тәсілдерін (графикалық, ауыстыру,
геометриялық, векторлық, топтастыру, т.б.) көрсету.
Курстық жұмыс тақырыбының өзектілігі:
Бұл жұмыстың тақырыбы мектеп курсында көбінесе тек факультатив
сабақтарда ғана, немесе сабақ барысында деңгейлеп оқыту техналогиясы
бойынша дарынды, математикаға қабілеттілігі мол оқушыларға беріледі. Ал
осында тек дарынды ғана емес, оқу мүмкіндіктері шектеулі оқушыларға
стандартты емес есепті оқыту әдістемесі қарастырылған.
Пәні: Математиканы оқыту әдістемесі.
Зерттеу объектісі: Математикалық стандарты емес теңдеулер мен
теңсіздіктер ұғымы.
Болжамы: Жұмысты жазу барысында пайдаланған әдебиеттерден байқалғаны-
осы тақырыпқа арнап, жеке еңбектердің аздығы. Сондықтанда осы тақырып
болашақта тереңдеп қарастырылып, жүйеленеді және де осы курстық жұмыс
мектеп түлектеріне Бірыңғай Ұлттық Тесттерді (онда бұл түрдегі есептер
көп кездеседі) тапсырғанда және жоғарғы оқу орындарының студентеріне
көмекші құрал болатынына сенімдіміз.

1 СТАНДАРТТЫ ЕМЕС ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІҢ
ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗІ

1.1 Теңдеулер мен теңсіздіктер жайлы ұғымның қысқаша тарихы

4000 жылдай бұрыңғы уақыттың өзінде-ақ вавилондықтар мен мысырлықтар
жер өлшеу, құрылыс және әскери істерінің әр түрлі есептерін теңдеулер құрып
шығарған. Бірінші және екінші дәрежелі теңдеулерді ежелгі заманда Қытай
және Үнді ғалымдары да шеше білген.
Теңдеулер арқылы шығарылатын есептер ең ежелгі көптеген текстерде
кездеседі. Мысалы, өсімдіктерден жасалған орам түріндегі Мәскеулік
папируста б. э. дейінгі 1850 ж. шамасында жасалған жазуда және Ахмес
папирусында кездесетін есептерде белгісіз шама ерекше символмен көрсетілген
және “хау” немесе “аха” деп аталған. Ал бұл атау “мөлшер”, “үйме” деген
мағынадағы сөз. “Үйме есептеуі”, немесе “хау есептеуі” деп аталған есептеу
біздің, есепті теңдеулер арқылы шешуімізге азды-көпті сәйкес келеді.
Ахмес папирусындағы бір есеп және оны шешу мысалы мынадай:
1-есеп. “Мөлшер мен оның, төрттен бір бөлігін бірге алғанда 15 болады”.

Бұл есепті қазіргіше шығарғанда
х +14х=15 тендеуі құрылады.
Мұны шешкенде табатынымыз: х= 12.
Ахмес папирусында есеп шешуі былай басталады: “4-тен бастап сана; оның
ширегін, яғни 1-ді алуға тиіссің; онымен бірге алғанда 5”. Мұнан кейін 15
саны 5-ке бөлінеді, бөлінді 4-ке көбейтіледі, сонда белгісіз 12 шығады.
Шешудің бұл мысырлық методы мәнісі жағынан болжау методы болып
табылады. Шешуге кіріскенде белгісіз шама ретінде кез келген сан, бұл жерде
4 саны алынды, өйткені оның ширегі, 1, оп-оңай табылады. Онан кейін 4+1 =
5. Алайда есеп шарты бойынша нәтиже 5 емес, 15 болуға тиіс, демек, 15 саны
5-тен неше есе артық болса, белгісіз шама еркін алынған 4 санынан сонша есе
артық болуға тиіс.
Бұл метод орта ғасырларда Азия мен Европада кеңінен қолданылған және
“жалған болжам методы” деп аталған. “Екі жалған болжам методы” да
қолданылған болатын, ал бұл туралы сөз кейініректе болады.
Теңдеулер құруға берілген есептердің ең ежелгі алғашқыларына, сірә,
ежелгі мысырлық Мәскеулік папирустағы кейбір есептерді жатқызуға болар.
(Бұл папирус Мәскеудегі бейнелеу өнері музейінде сақтаулы. Оны зерттеген
және жазуын анықтап таныған орыс ғалымдары.).
Мәскеулік папирустағы есептердің біреуі мынау.
2 - е с е п. “Сан және оның жартысы 9 болады” . Санды табу керек.
Бұл есепті шешуге арналған теңдеуді қазіргіше жазғанда мы-
нандай болады:
х+12х=9.
Ежелгі гректердің “геометриялық алгебрасында” теңдеулерді шешу мәселесі
олардың оң шешімдері ретінде алынатын кесінділерді салу мәселесіне келіп
саятын. Жаңа арифметикалық алгебраның бастамасы тек Диофантта кездеседі.
Грек математикасындағы біздіп, заманымыздың I-II ғасырларында басталған
бетбұрыс, жана қаркын III ғасырдың ортасында өзінің шарықтау шегіне жетеді.
Бұл самғау ежелгі дүниенін ең соңғы ұлы математигі Диофанттың математикалық
шығармашылығынан көрінеді.
Диофант біздің заманымыздың 250 жылдары Александрияда өмір сүрген. Тек
кана VI ғасырда грамматик Метродор антологиясында оның қанша жасағаны
туралы бір жұмбақ есеп бар. Диофанттың кабірінің басына қойылған құлпытасқа
осы жұмбақ есеп жазылса керек.
Диофанттың 13 кітаптан түратын, “Арифметика” деп аталатын көлемді
еңбегінің бізге алтауы ғана жеткен. Бұл енбек түгелдей арифметика мен
алгебра есептеріне арналған. Онда 180 есептің шығарылу жолы көрсетіледі.
Арифметика Дионосий дейтін замандасына арнап жазылған. “Құрметті Дионосий,—
деп бастайды еңбегін Диофант,— сенің сандар араласатын мәселелерді ерекше
ынтамен оқып-зерттейтінінді ескеріп, мен олардың табиғаты мен құдіретін ең
басынан бастап баяндап беруді мақұл көрдім”
Диофант “Арифметикасының” баяндау стилінің ежелгі грек математиктерінің
канондарынан сапалы түрде екі өзгешелігі бар. Ол теңдеулердің шешуін
геометриядан тыс таза арифметикалық-алгебралык әдістер арқылы жүргізеді.
Диофант теңдеулерінде белгісіз сан (аритмос) S сан коэффиценті болғанда
белгісіздің таңбасынан кейін жазылады. Мысалы: sa=11 аритомс-11x.
Белгісіздің дәрежелерін Диофант сәйкес грек атауларының бас әріптерімен
таңбалайды. x2-“диафанис”Sv x3 –“кюбос” Hv т.с. (алтыншы дәрежеге дейін ).
Диофантта белгісіздің кері шамасы да және оның дәрежелері де таңбаланады.
Қосу, көбейту, бөлу таңбалары жоқ, азайту үшін (таңбасы алынған. Теңдік
сөзбен немесе і әрпімен жазылады. Теңдеудің бос мүшесі үшін арнайын (0
таңбасы алынған, ол бірлік (монес) сөзінің бас әріпі. Сандар әріптер арқылы
кескінделеді. Мысалдар келтірейік:
а) Hv(s(((v ((0((s( бізше x+8x-(5x2+1)=теңдеуін белгілейді.
б) Hv((v ((((((0(( бізше x3+13x2+5x+2 көпмүшесін білдіреді.
Диофанттың “Арифметикасында” осындай символикамен белгіленген
анықталған, анықталмаған теңдеулерге келтірілетін есептердің шешуі
беріледі, ал ережелер мысалдар арқылы көрсетеді. Теңдеулердің оң бүтін және
бөлшек шешулерін табуға аса назар аударылады. Шешуі теріс сан болатындай
теңдеуді ол мағынасыз теңдеу деп санап, бүтіндей қарастырмайды. Диофонт
иррацианал сандарды қолданбайды. Егер теңдеудің түбірі иррацианал болып
келсе, есептің шартындағы берілгендерді іріктей отырып, жауабы рационал
сандарға келетіндей етіп, есепті қайта құрады.
Анықталған теңдеуге арналған есептер сызықтық, квадрат, тек бір дербес
жағдайда куб теңдеуге келеді. Диофант берілген теңдеуді канондық түрге
келтіру үшін ұқсас мүшелерін топтау, теңдеудің екі жағына бірдей шамалар
қосу арқылы теріс мүшені жою ережелерін көрсетеді. Ол тек бір оң, түбір
табумен қанағаттанады. [9.104]
а және Ь өзара жай сандар болып келген жағдайда ах+Ьу=1 түріндегі
Диофант теңдеулерінің жалпы теориясын XVII ғасырдағы француз математигі
Баше де Мезариа (1589—1638) құрады. Ол 1621 жылы Диофанттың “Арифметикасын”
грек және латын тілдерінде түсініктемелер жазып бастырып шығарады. Екінші
дәрежелі Диофант теңдеулерінің жалпы теориясын жасау жолында П.Ферма Дж.
Валлис, Л. Эйлер, Ж. Лагранж, К. Гаусс сияқты көрнекті математиктер көп
еңбек сіңірді. Осынын нәтижесінде, XIX ғасырдың басында екі белгісізі бар
екінші дәрежелі рационал коэффициентті
ax3+bxy+cy2+ax+by+f=0
теңдеуін жалпы түрде шешу проблемасы қарастырады. Диофант теңдеулері
қазіргі математикада да жан-жақты зерттелуде.
Орта ғасырлар заманында алгебра, алгебралық символика бойынша
жинақталған мағұлматтар, қол жеткен табыстар нәтижесіне XVI ғасырдың
математиктері күн тәртібіне бұрыннан қойылған, көптен бері шешуі табылмай
келе жатқан бірсыпыра ірі мәселелерді қолға алады. Солардың бірі- үшінші
және төртінші дәрежелі теңдеулерді шешу үшін формулаларды қорытып шығару.
Омар Хайям және басқа Шығыс оқымыстылары бұл проблеманы шеше алмай,
болашаққа аманат ретінде қалдырып кеткенін жоғарыда айтқанбыз. Үшінші
дәрежелі теңдеуге арналған осындай формуланы математика тарихында тұңғыш
рет XVI ғасырда өмір сүрген Итальян математиктері Николо Тарталья (1500-
1557) және Джироламо Кардалано (1501-1556) табады.
Үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулерді радикалдар арқылы арқылы
шешетін формуланы табу қайта өрлеу заманы математикасының үлкен жетістігі
болды, міне осыдан бастап Европа математиктері ежелгі грек және орта
ғасырдағы арай оқымыстылары жеткен деңгейге жетіп қана қоймай, олардан көш
ілгері кетеді. Осыдан кейін енді математиктер бесінші және одан жоғары
дәрежелі теңдеулерді шешудің жалпы формулаларын іздей бастады. Бұл сырт
қарағанда шешілуі күмән туғызбайтын мәселе болғанымен, оның радиоканалдар
арқылы формуланы табу оңай шаруа болмайды, осы бағытта көп ғасырлар 300 жыл
бойы зерттеулер жүргізіп, XIX ғасырда n4 болғанда алгабралық теңдеулерді
жалпы түрде радикал арқылы шешуге болмайтының дәлелдейді. Мұны анықтағандар
жас математиктер Галуа мен Абель болды.
Ал қазіргі заманда теңдеу мен теңсіздіктің классификациясы жасалып,
стандартты емес түрлері ажыратылды. Осы тұста негізгі назарды Пойяның “Как
решить задачу” (М. 1959.) еңбегінде, Л. М. Фридманның “Теоретические основы
методики обучения математике” (М. 1998), Сондай- ақ, осы ғалымның Е.
Н.Турецкиймен бірігіп жазған “Как научиться решать задачи” (М. 1998.) атты
еңбектеріне аудару керек. Осында стандартты емес теңдеулер мен
теңсіздіктерге, жалпы математикалық есептер жайлы түсінік беріп, оларды
шешудің ең тиімді жолдарын көрсеткен. Сондай-ақ оқушылардың осы стандартты
емес есептерден қиыншылықтарға ұшырайтындарының есебі анықталып, олардың
алдын алу, стандартты емес есептерді шығара білуге үйретудің тиімді
әдістеріне сәтті тоқталған.

1.2 Стандартты емес есеп пен стандартты есеп арасындағы айырым
белгілер.

Берілген есеп түріндегі есепті шешу алгоритмі бойынша мектеп курсындағы
барлық есептер екі класқа жіктеледі: Стандартты немесе алгоритмдік есептер.
Оларды шешу үшін мектеп курсында белгілі алгоритм болады. А.А. Ляпуновтың
алгоритмге берген анықтамасын қабылдайық: “Берілген есепті шешу үшін
алынатын алгоритм кез келген бастапқы мәндер, демек бастапқы ақпарат
бойынша дұрыс жауапқа әкелетін жұмыс тәртібін қамтамассыз ететін
элементарлы акттер шегі тексерілген шарттардың бірігуі.”

a) Стандартты емес есептер. Бұларды шешу үшін мектеп курсында нақты
алгоритм жоқ. Стандартты емес есептерді шешу бір немесе бірнеше
стандартты есепті шешуге әкеледі.
Неліктен мектеп оқушылары көп жағдайда есепті дұрыс шығарып, таныс
емес есепті шешудің ең тиімді әрі жеңіл әдісін үйрене алмайды. Бұл мектепте
есеп шығарудың дәстүрлі әдістемесімен байланысты (көбінесе солай аталса да,
бұл әдістемені есеп шығаруды үйрету әдістемесі деп атау қиын).
Мұғалімдердің жұмыс тәжірибесінің талдауы онда оқытудың бірнеше
әдісін әр түрлі пропорцияда көрсетеді.
Алғашқы әдісте оқушылар шығару керек деп есептелетін барлық есептер
көптеген типке бөлінеді. Бұл типтердің саны әртүрлі болуы мүмкін. Осылайша
өткен ғасырда құралдар қатарына есептің жүзден артық типі ерекшеленетін, ал
осы шақта олар азайса да, саны аз емес. Бұл есеп типологиясы есеп
сюжетінің сызығымен де (сату мен сатып алу есептері, қозғалыс есептері,
бірлескен жұмыс, қоспалар, т.б. есептер), мектепте оқытылатын математикалық
алгоритм сызығымен де жүрді (алгебралық өрнектерді қалыпты түрге келтіру,
қысқарған көбейту формулалары арқылы көпмүшені көбейткіштерге жіктеу,
сызықтық теңдеу мен теңдеулер жүйесін шешу, рационалды теңсіздіктерді шешу,
үшбұрыш жақтарын есептеу, көпбұрыштар, жазықтық пен қарапайым денелер
көлемінің ауданын есептеп шығару, т.б.).
Есептің осындай әрбір типі үшін мұғалім бірнеше, мысал арқылы жете
көрсететін, ғасырлар бойы қалыптасқан шығарудың типтік әдісі (алгоритм)
бар. Содан соң, оқушылар бұл типтегі есептерді тақтада , үйде не сыныпта өз
бетімен көп көлемде шығарады.
Бұл барлық есептер стандартты есептер класын құрады. Бұнда тек бір
нәрсені ескеру керек.
Мәселе - мектепте оқытылатын есепті шығару алгоритмі оқу құралдарында,
сондай – ақ мұғалімдер мазмұндамасында қысқартылған түрде беріледі. Алайда
адам да, мәжін секілді есепті тек әр қадамын жіктеу бағдарламасының түрінде
ғана шығара алады. Математиканы жақсы меңгерген мұғалімге қысқарған
алгоритмді ойша-ақ жіктеп ашу ешқандай қиындық келтірмейді. Бірақ оқушы
(әсіресе әлсіз, керекті деңгейде оқытылмаған) қысқартылған алгоритмді
қадамдар жіктелген бағдарламаға ойша ашу қиын.
Қысқартылған алгоритмдер математика курсында әртүрлі берілуі мүмкін:
ауызша ережелер, формулалар, теоремалар және т.б. Осындай әрбір
қысқартылған алгоритмді оқушыларды қадамдап жіктелген бағдарламаға, алдымен
әрине әр қадамның тұжырымынан, содан соң осы әрекетті меңгергені бойынша
ойша ашу керек.
Қысқартылған алгоритмдерді қадамдап жіктеу бағдарламасын қалай ашуға
болатынын көрсететін мысал келтірейік:
1. Ауызша ереже. Осындай ереженің мысалы ретінде туынды дәрежесіне көтеру
ережесі бола алады: туындының дәрежелерінің қосындысына тең.
Осы ереже негізінде осындай алынған алгоритмді құруға болады.
1 қадам – туындының барлық көбейткіштерін анықтау.
2 қадам - әр көбейткіштің берілген дәрежесін табу.
3 қадам – 2-ші қадам нәтижесін көбейту.
2. Формула. Мектепте төменде көрсетілген түрде берілетін квадрат теңдеу
түбірінің формуласы осындай формуланың мысалы бола алады.
теңдеуінің түбірлерін (егер және , мұндағы )
формуласы арқылы табуға болады.
Бұл формуланы (қысқартылған алгоритм) осындай қадамдап жіктеу
бағдарламасына ашу керек:
1 қадам - шартын тексереміз. Егер ол орындалса, онда келесі
қадамға көшеміз; егер де ол орындалмаса, онда берілген теңдеу квадрат емес
және берілген формула қолданылмайды.
2 қадам -
3 қадам - шартын тексереміз. Егер ол орындалса, онда келесі
қадамға көшеміз, егер ол орындалмаса, онда берілген теңдеу квадратты емес
және берілген формула қолданылмайды.
4 қадам – түбір мәнін формуласы арқылы табамыз.
2 және 4 – қадамдар күрделі және оларды қарапайым қадамдарға бөлуге
болатынын байқаймыз.
3. Тепе-теңдік. Мысал ретінде теңдігін алайық.
1 қадам – екі мүшеліктің алғашқы мүшесін табу
2 қадам – екі мүшеліктің екінші мүшесін табу
3 қадам – екі мүшеліктің алғашқы мүшесін квадратқа шығару
4 қадам - екі мүшеліктің екінші мүшесін квадратқа шығару
5 қадам - екі мүшеліктің бірінші, екінші мүшелерінің туындысын
табу
6 қадам - бесінші қадамның нәтижесін екіеселеу
7 қадам – үшінші, төртінші және алтыншы қадам нәтижелерін қосу.
Оқушыларға екімүшеліктің айырмасы үшін тепе-теңдік беру қажет емес
екенін байқаңыз. Берілген тождество екімүшеліктің кез келген белгілері үшін
қолданылады.
Мысал келтірейік:

4. Теорема. Көптеген теоремалар негізінде кез-келген өлшемдерді табу үшін
ереже құруға болады.
Мысалы: осылайша Пифогор теоремасы бойынша егер катет ұзындығы немесе
катет ұзындығын табу ережесі бар болса, егер гипотенуза ұзындығы немесе
басқа катет ұзындығы берілген болса, гипотенуза ұзындығын табу ережесін
құруға болады.
5. Анықтама. Кейде кейбір есептерді шешу ережесінің негізі ретінде сәйкес
ұғымның ережесін алуға болады. Мысалы, бір айнымалысы бар теңсіздіктер
жүйесінің шешімін анықтау негізінде: ”Бір айнымалысы бар теңсіздіктер
жүйесінің шешімі деп – жүйенің әрбір теңсіздігіне қойғанда дұрыс
болатын айнымаланың мәнін атайды”, - теңсіздіктер жүйесін шешудің
осындай бағдарламасын құруға болады:
1 қадам - әрбір теңсіздік айнымалы үшін сандық аралықты оның шешімін
алып, жүйенің әрбір теңсіздігін шешу;
2 қадам – алынған санды аралықтардың ортақ бөлігін табу.

2 СТАНДАРТТЫ ЕМЕС ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУДІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
2.1 Жалпы стандартты емес есептерді шығару әдістемесі
Оқушылардың математикалық даму дәрежесі олардың есеп шығара білуінен
анық байқалады. Есеп дегеніміздің өзі - әрбір мектеп оқушысының ақыл-ойын
ұштаудың негізгі құралы. Әдеттен тыс, қызықты есептердің шешімін табу
балалардың математикалық шығармашылығында маңызды орын алады. Ең әуелі,
есеп шығаруды үйрену - оның шешімін табу екенін есте ұстаған жөн.
Кез келген қиын есепті шығару оқушыдан үлкен еңбекті, ерен күші мен
табандылықты талап етеді. Бұл қасиеттер баланың есепке ынтасы оянғанда
күшейе түседі. Қызықты есептер ақыл-ой энергиясын қозғалысқа
келтіретіндіктен, оларды шешу оңайға түседі. Міне, сондықтан мүғалім
оқушылар қызығып, өз еріктерімен шығаратын есептерді таңдап алуы қажет.
Оқушылардың математикалық қабілеттерін дамыту және математикаға ынтасын
тәрбиелеуде әзіл-есептер мен математикалық ребустарды пайдалану тиімді.
Есепті шығара алатынына оқушының сенімді болуы да табысқа жеткізетін
маңызды фактордың бірі. Есеп шамадан тыс қиын болса мектеп оқушысының
шарасы таусылып, ойлау нәтижелігі төмендейді, әрі қарай үйренуіне нұқсан
келеді. Мұғалім есептерді ептілікпен таңдау арқылы өз шәкірттерінің сенім
күшін, жігері мен қызығуын, оның шешімін табуға ұмтылуы қолдан келетініне
сену жетістікке жету үшін қажет алғы шарттар. Әрбір есепті шығару
процесіндегі төрт сатыны ажырата білетін дұрыс: 1) есептің шартын ұғу; 2)
жоспар құру; 3) жоспарды жүзеге асыру; 4) артқа көз салу, яғни табылған
шешімді пысықтап үйрену.
Оқушының меңгерген материалын шығармашылықпен ұғынуы және жаңа іс-
әрекет тәсілдерінің туындап, дамуы ойлаудың мынадай үш құрамының болуына
байланысты: 1) анализ және синтез, салыстыру, аналогия, классификация
тәрізді қарапайым ойлау операцияларының жоғары деңгейде қалыптасуы; 2) көп
болжам, шешімдер варианттары мен тосын идеялар ұсынудан көрінетін ойлау
белсенділігінің плюралистігінің жоғары денгейі; 3) өзіндік ойлау әдісінен
көрінетін ұйымдасқандық пен мақсаткерліктің жоғары деңгейі.
Аталған ойлау сапаларының қалыптасуы оқушының шығармашылық тұлғасын
дамытуға оқу материалын игерудегі қиындықтарды жеңуге жол ашады. Мұның мәні
мынада, оқушы білім мен іс - әрекеттің теориялық негізделген тәсілдерін
біліп, оны тосын жағдайларда қолданады немесе қойылған мәселені шешуге жаңа
тәсілдерді өз бетінше таба алады. Мұғалімнің міндеті осы айтылған ойлау
компоненттерін қалыптастыра білу болмақ. Ал оның кілті – шығармашылық есеп
шығару. Оқушылардың шығармашылық есептерді шығаруы олардың білім, білік,
дағдысы арқылы іске асады. Сонымен қатар, сабақта жоғары белсенді ойлау
әрекетінің сақталуында мотивация, оқушының өз ісіне ынтасы рөл атқарады.
Демек, оқушының шығармашылық іс-әрекетке бейімдейтін, ақыл-ойын, дамытатын
құрал деп қызықты есептерді (долбарлау есептері, басқатырғылар, логикалық
есептер) айтуға болады. Оларды шығармашылық іс-әрекетті жетілдіріп, ақыл-
ойды жаттықтыратын көмекші, қосымша жол ретінде ұғымды пайдалану мүмкіндігі
мол. Мұндай материалдар сан алуан болғанымен, төмендегідей ортақ қасиеттері
бар.
1) Қызықты есептердін шешу жолы белгісіз. Олардың шешіміне жету
ойдың броундық қозғалысы тәрізді, яғни байқап көру, қателесу әдісімен
іске асады. Байқап көру арқылы іздену жеке жағдайларда негізгі шешімге
бастайтын тізгінді қолға ұстатады;
2) қызықты есептер оқушының пәнге қызығуына, белсенділігіне негіз
болады. Есеп сюжетінің шешілу жолының әдеттен тыс болуы бала көңіліне әсер
етіп, қайткенде де оны шығаруға итермелейді;
3) қызықты есептер ойлау заңдылықтарын білуге негізделіп жасалады.
Міне, осындай есеп түрлерін жүйелі түрде қолдану аталған ойлау
операцяларын дамытуға, балалардың математакалық түсініктерін қалыптастыруға
жағдай жасайды. Қызықты есептерді шығару көбінесе байқап көріп іздену
процесімен жүреді. Ойша болжай білу балалардың бойындағы тапқырлық пен
аңғарымпаздықты байқатады. Тапқырлық - шығармашылықтың ерекше көрінісі, ол
талдау, салыстыру, жалпылау, байланыстарды анықтау, ұқсастыру, тұжырымдау
ой корыту нәтижесінде байқалады. Ал аңғарымпаздықтың белгісі нақты жағдайды
ой елегінен өткізіп, өзара байланыстарды анықтай білу, соның негізінде есеп
шығарушы бір тұжырымға келіп, ойын топтайды. Аңғарымпаздық өз білімін
кәдеге асыра білудің көрсеткіші болып табылады. Қызықты есептердің шешімін
болжауға қол жеткізетін тапқырлық пен аңғарымпаздық ғайыптан келер нәрсе
емес. Мұндай ақыл-ой әрекетінің жетістігін оқыту процесінде дамытуға
болады, әрі солай ету қажет.
Кез келген жағдайда есептің шешімін болжау үшін мұқият талдау жасалады:
есептің басты қасиеттерін, фигуралардың кеңістіктегі орналасуы мен
топтасуын, олардың ерекшелігін, ұқсас белгілерін ажыратып алу, т.б. Алайда,
қызықты есептерді шығару үшін байқау және қателесу әдісі оншалық сенімді
әрі жан-жақты емес. Неғұрлым тиімді әдіс — балаларды ақыл-ой әрекетінің
анализ және синтез, салыстыру, ұқсастыру, дәрежелеу тәрізді маңызды
тәсілдермен қаруландыру.
Бірнеше есеп қарастырып көрейік.
№ 1. АВСД дөңес төртбұрышының диагоналдары Е нүктесінде қиылысады. АВД,
АСД, АЕД ұшбұрыштарының аудандары тиісінше 10 см2, 9 см2, 6 см2 болғанда,
АВСД төртбұрышының ауданы қандай?
Шешуі:

Сызбасын қағазға түсіру арқылы біз есептің мәні ВСЕ үшбұрышының ауданын
табуда екенін аңғарамыз. Зер салып карап, үшбұрыштың медианасы оны тендей
екі үшбұрышқа бөлетінін еске түсіріп, АЕД үшбұрышына ДМ медианасын
жүргізсек болғаны. АМД, МЕД және ЕСД тең екенін, сондықтан олардың АМ, МЕ,
ЕС табандарында (биіктіктері бірдей болғандықтан) тең екенін көреміз. Бұдан
АВМ, МВЕ және ВСЕ үшбұрыштары ауданының теңдігі шығады. Демек, ВСЕ ауданы 2
см3. Ал тұтас төртбұрыштың ауданы 15 см2 болады.
№ 2. Бір куб берілген. Кубтың жақтарын 1-ден 12-ге дейінгі сандармен
нөмірлегенде оның әр төбесіне қарасты сандар қосындысы бірдей болуы керек.
Бұл мүмкін болса нөмірле, мүмкін емес болса, себебін түсіндір.
Оқушылар әр түрлі варианттарды байқап көріп, нәтиже шығара алмаған соң
нөмірлеу мүмкін емес дей бастайды. Бірақ себебін түсіндіре алмайды.
Шешуі:
Кубтың әрбір жағында екі төбесі бар. Кубтың жақтарына жазылған сандар
қосындысы әр төбесі бойынша тең деп, оны N санымен белгілейік. Ал төбелер
саны 8 болғандықтан, әр төбедегі сандар қосыңдысы 8 N. Бұл сан кубтың
жақтарында жазылған сандар қосындысынан екі есе көп болады, яғни
2(1+2+3+ ... +12)=156. Одан шығатыны N=19,5. N бүтін сан болуы тиіс,
сондықтан бұлай болуы мүмкін емес.
№3.
+ВАГОН
ВАГОН
СОСТАВ
Әріптерді сандармен ауыстыр. Бірдей әріптер бірдей сандарға әр түрлі
әріптер әр түрлі сандарға айналсын және шешуі дұрыс шықсын.
Мұндай есептер оқушыларды ерекше қызықтырады. Олар осы жолмен есеп
құрастыруға тырысады.
Шешуі:
Қосылғыштардың бес орынды, ал қосындының алты орынды жұп сан екені
байқалып тұр, демек В= 5 немесе одан үлкен сан. Жұп болуы тиіс
болғандықтан, 6 немесе 8-ге тең. О барлық вариантта 1-ге тең. Бұдан А
саны 0 немесе 5 болатынын болжаймыз. Белгісіз әріптер біршама айқындала
түскендіктен, байқау әдісін пайдалануға болады. В=6 десек, шешім дүрыс
болмайды. В=8 болса, Н=9. Ойлана келе А саны тек 5 болуы мүмкін, екеніне
көз жеткіземіз. Толық шешімі мынандай:
+85679
85679
171358
Қызықты есептер мектептегі оқу материалының меңгерілуін және ойлау
процесінің тиімділігін анықтайды. Бұл оқу процесінде анализ, синтез,
салыстыру, ұқсастыру, дәрежелеу тәрізді операцияларға басты назар аударуға
негіз болады. Мұндай есептерді шығарудағы ерекше ойлау про-цестері
шығармашылық белсенділіктің де көрінісі.
Москва университетінің профессоры, белгілі математик С. Янковская
(1896- 1966) математикалық олимпиадаға қатысушылар алдында Есепті шығару
дегеніміз не? деген сұраққа Есепті шығару дегеніміз - оны бұрынғы
шығарылған есептерге келтіру деген жауап беріпті.
Бұл арада С. Янковская стандартты емес есептер туралы, яғни олар-ды
шығару үшін әртүрлі түрлендіру арқылы стандартты есептерді шығаруға
келтіруді айтады.
Қандай да бір есепті шығарғанда, оны талдау барысында, бұл есепті
шығару тәсілдерінің бізге таныс емес екендігін байқаймыз, содан соң оны
бұрын шығарылған есептерге келтіру жолын іздейміз. С. Янковскаяның ұсынып
отырған жолы да осы. Бұл жол өте карапайым болып көрінгенімен, оны іс-
жүзінде қолдана білу оңай емес. Себебі шығарылатын есептерді бұрын
шығарылған есептерге келтірудің накты ережесі жоқ. Дегенмен, тиянақты
түрде, есептің талдауын жасап, ойланып шығарсақ, шығару барысында бұрынғы
шығарылған есептердің шешімін табу жолдарын, әдіс-тәсілдерін ескерсек есеп
шығару білігі біртіндеп калыптасады.

Төмендегі бірнеше мысал арқылы стандартты емес есептерді шығаруды
бұрынғы шығарылған есептерге келтіруді көрсетейік.
1-мысал. Теңсіздікті шешіңіздер:
Шешуі: Берілген теңсіздікті оң бөлігі ноль болатын теңсіздікпен
ауыстырамыз.
Бұл тәсіл, яғни теңсіздікті түрлендіру арқылы, оның бір жақ бөлігін
нольге келтіріп шығару, теңсіздіктің бір жағы сан немесе өрнек болып келген
теңсіздіктерді шешуден көп жеңіл. Егер теңсіздіктің оң жақ бөлігінде ноль
болса, онда сол жақ бөлігінің оң немесе теріс екендігін дәлелдеу керек.
Сондықтан 3 соsх-ті сол жаққа көшіреміз, яғни 2+ соз 2х- 3 соз х 0
Мұндағы тригонометриялық функциялардың аргументтері бірдей болса,
онда теңсіздік ықшамдалар еді. Сондықтан қос бұрыштың формуласын қолдана
отырып, теңсіздікті мынадай түрге келтіреміз: . Енді белгілеп,
алгебралық квадрат теңсіздікті аламыз да, оған квадрат үшмүшеліктің
қасиетін пайдалана отырып екендігін көреміз. Яғни теңсіздіктің
шешімі болады, енді қайтадан t-ның орнына қойсақ тригонометриялық
теңсіздікке келеміз. Бұл қарапайым теңсіздік, шешімі
2-мысал. Төмендегі теңдеуінің графигін салыңыздар.
1-тәсіл. Берілген тендеудің графигін салуды, бұрыннан бізге таныс
теңдеудің графигін салуға келтіруге тырысайық.
Тәуелділік тендеуін өзімізге таныс түрде жазайық: .
Егер біз теңдеуінің графигін сала алсақ, бұл теңдеудің
графигін салу жеңілденер еді.
Ал бұл теңдеудің графигін теңдеуінің графигін ОХ — осі бойымен
оң жаққа 1 бірлікке параллель жылжыту арқылы алуға болады. Яғни енді біз
теңдеуінің графигін салуға көшеміз.
Абсолют шаманың анықтамасын пайдалана отырып, есепті (;0) және
(0;) облыстарында қарастырамыз. Сонда
1) онда
2) онда

1-сурет
Осы теңдеудің графигін ОХ — бойымен оңға бір бірлікке параллель
көшіру арқылы, теңдеуінің графигін аламыз.

2-сурет
Енді теңдеуінің графигін салып көрейік. Егер болса,
теңдеу мағынасын жояды, сондыктан оң мәндер кабыдайтын облыста
карастырамыз, х [-1;3]
Және егер у0, теңдеу түріне, ал у0 болса түріне
келеді.
тәуелділігінің графигі 3-суреттегідей болады.

3 -сурет
2-тәсіл.
(1) тәуелділігінің графигін, (2) тәуелділігінің графигін
ОХ бойымен оңға бір бірлікке параллель көшіру арқылы салуға болатынын
байқаймыз. Сонымен қатар (2) теңдеуде х-ті - х пен, у - ті - у ауыстырғанда
ол өзгермейді, яғни оның графигі координаттар осіне карағанда симметриялы
болады. Бұдан біз графикті координаттық бір ширекте салсақ та
жеткілікті, мысалы бірінші ширекте. Онда тендеуіміз х+у = 2 келеді.
Бұл тәуелділіктің графигі 4-суретте көрсетілген.

4-сурет
Енді бұл графиктің ОХ және ОУ осіне қарағанда симметриялы екенін
еске түсіре отырып келесі графикті саламыз.

5-сурет
Ал (1) тәуелділіктің графигін салу үшін, графикті оңға ОХ бойымен
бір бірлікке параллель көшіреміз. Яғни ізделінді графикті аламыз. (6-
сурет).

6-сурет.
Біз екі тәсіл арқылы стандартты емес есепті бұрынғы шығарылған
есепке келтірдік. 1-тәсілде біртіндеп түрлендіру арқылы берілген есепті
бұрын шығарылған стандартты түрдегі есепке келтірдік.
Ал 2-тәсіл арқылы біз есептің шартын тиянақты түрде талдау барысында
бұрын шығарылған есепке келдік.
3-мысал. Тендеулер жүйесін шешіңдер:

Бұл теңдеулер жүйесі түріне карасақ біздің шығарып жүрген
жүйелеріміз сияқты. Тереңірек үңілсек шығару тәсілі бізге таныс емес
екендігін байқаймыз.
Есептің шартын тиянақты түрде талдай бастасақ 1-теңдеудің сол жағы
негізі 3-ке тең логарифмдердің айырымы екендігін байқаймыз да, оң жағын да
негізі 3-ке тең логарифмге келтірсек деген ой туады.
Ал 2-тендеуді талдау барысында 48-ді теңдіктің негізі 4 болғандығы
логарифмдік көрсетеіш түріне келтірсек, онда теңдеулер жүйесі төмендегідей
түрге келеді:

Енді 2-ні -мен ауыстырсақ, онда тендеулер жүйесі өзіміз шығарып
жүрген стандартты түрдегі жүйеге келеді:

Логарифмдердің касиетін пайдалана отырып алгебралық жүйеге келеміз.

Жүйені косу немесе алмастыру тәсілін колдана отырып шешеміз х=42,
у=39 болады. Шешімді тексеріп, жауабын жазамыз.

2.2 Стандартты емес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдісін іздеу
Оқушылардың математикалық қабілетін қалыптастыру және дамыту туралы
көп айтылып та, жазылып та жүр. Бірақ оқушылардың бойында пәнге деген
қызығушылықты оятпайынша, олардың математикалық қабілетін қалыпастыру да,
дамыту да мүмкін емес.
Бұл жұмыста оқушылардың ой қызметтеріне азық бола алатын, одардың
бойында пәнге деген қызығушылықты оятуға түрткі бола алатын оқушыларды
стандарт емес теңдеулерді дәстүрлі емес әдістер арқылы шешуге баулу
мәселесіне тоқталмақпыз.
Стандарт емес теңдеулердің іздеу барысында, оларды мейлінше қарапайым
(стандарт) түрге келтіру жолында айнымалыны ауыстыру, теңбе-тең түрлендіру
және т.б. әртүрлі дәстүрлі әдістерді пайдаланатындығымыз баршаға аян.
Дегенмен, көпшілік жағдайларда теңдеулерді дәстүрлі әдістермен шешу процесі
тым созылып кетеді, тіпті кейде осындай әдістерді пайдалану нәтижесінде
алынған теңдеулеріміз бәрібір күрделі күйінде қалып қояды, яғни жоғарыда
аттары аталған дәстүрлі әдістеріміз өздерінің тиімді нәтижелерін бермей
жатады. Атап айтқанда, стандарт емес теңдеулер жағдайында ұтымды да
мақсатқа тез жеткізетін дәстүрлі әдістерді әр жолы тауып көрсете білу оңай
шаруа емес.
Сонымен біз стандартты (алгоритмдік) есептерді шешу үшін мыналар керек
екенін көріп тұрамыз: Есепке талдау жасап, математикада (нақтырақ айтсақ,
оның шығарушыға белгілі және зерттелген саласы, бөлімі) қолданыла отырып
берілген есепті шығаруға болатын қысқартылған алгоритм бар ма екенін
анықтау. Егер сондай алгоритм бар болса, онда оны жазбаша және ойша ашу
керек, ал егер де осындай алгоритм жоқ немесе шығарушыға белгісіз болса,
онда берілген есеп стандартты емес және оның шешу әдісін табуды жүргізу
керек.
Осындан шығатыны, оқушылар барлық өтілген ережелерді - қысқартылған
алгоритмдерді (осыны оқушылар есте сақтау керек) жақсы біліп, қандай
формада берілсе де, қысқартылған алгоритмдерді қадамдап жіктеу бағдарламасы
бойынша аша білу керек. Сондай-ақ осындай бағдарламаларды нақты есеп
шарттарында пайдалана білу керек.
Осының барлығын оқушыларға үйретпесе (әсіресе әлсіздерге) олар өз
беттерінше үйрене алмайды.
Сондай-ақ келесі жаттығулар пайдалы:
1) Қайсыбір теорема дәлелденгеннен кейін оқушылар алдында осындай
мәселе тудыруға болады: берілген теорема негізінде қандай
есептерді нақты шешуге болады?
2) Тепе-теңдікті дәлелдеп, осы тождествоны оңнан солға қарай оқып
“осы түрдегі тождествоны қандай алгоритм белгілейді?” деген сұрақ
қою ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.