Жаратылыстану және экология есептерінің дифференциалдық модельдерін құрып-зерттеу

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 4
I.ТАРАУ Математикалық модельдеу, оның негізгі ұғымдары мен
әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .6
§1 Модель және математикалық модельдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
§2 ҚДТ, оған Коши есебінің қойылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
§3 Дифференциалдық теңдеу құруға келтіретін практиканың
есептері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 13
II.ТАРАУ Жаратылыстану есептерінің дифференциалдық
модельдерін құрып.зерттеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 18
§4 Дененің жылу бөле отырып салқындауы туралы есеп ... ... ... ... ... 20
§5 Катердің инерция бойынша қозғалысын модельдеу ... ... ... ... ... ...21
§6 Аварияға ұшыраған сүңгуір қайықтың теңіз қабатта шөгуі туралы
есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 23
§7 Су қабаттарында жарықтың жұтылуы туралы ... ... ... ... ... ... ... ... ..25
§8 Химиялық кинетика есептерін модельдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .26
§9 Жер бетіне құлаған метеордың ақырғы жылдамдығын табу ... ... ..35
§10 Газдың иондалуы туралы есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..37
§11 Ауа қысымының барометриялық формуласын қорыту ... ... ... ... 38
§12 Атылған оқтың қабырғаны тесіп өту уақытын есептеу туралы ... 39
III.ТАРАУ Экология есептерінің дифференциалдық модельдерін
құрып.зерттеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 42
§13 Биологиялық популяция мөлшерінің динамикасы: Мальтус пен
Ферхгольст модельдері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 43
§14 Екі популяцияның тіршілік үшін күресін сипаттайтын В.Вольтерраның модельдері. Стандартты бағдарламаларды қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 46
§15Эпидемиялар теориясының есептерін модельдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 51 §16 Өндірістік цех ауасын желдетіп тазарту есебі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 56
§17 Радиоактивтік ыдырау есебін модельдеу ... ... ... ... ... ... ... ... .. 58
Математикалық модельдер бейбітшілік үшін күресте ... ... ... ... ... 63
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..67
Қосымша:
(а) экология терминдерінің түсіндірме сөздігі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...68
Қолданылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .70

Бүгінгі күні орта және жоғары мектепте математиканы оқытуда оның практикаға бет бұра бағдарлануын барынша күшейту мәселесі өз шешімін күтуде. Осы уақытқа дейін қалыптасып үлгерген математиканың мектеп курсындағы, жоғары оқу орындарындағы оқытылатын теориялық және практикалық мазмұндағы оқу материалының диспропорциясы оқушылардың математикалық сауаттылығын, сонымен қатар экологиялық сауаттылықтарын нарықтық қатынастар талаптарына сай деңгейге көтеруге кедергі болуда: оқушылар мен студенттер алған білімін стандартты емес жаңа жағдайларда қолдана алмайды; мазмұнды практика есебінің математикалық моделін құрып-зерттеуде дәрменсіздік танытады; практикалық мазмұндағы есептерді шешуде алгоритмдік сауаттылығын көрсете алмайды; жаңа білімді қалыптастыруда өте қажетті болып есептелетін пәнаралық байланыстарды аңғарып, тиімді етіп қолдана алмайды. Осы тұрғыдан алғанда оқушылар мен студенттерге олардың математикалық білімін физика, биология, химия пәндерімен тығыз байланыста бекіте түсетін, сол салалардан алынған сапалық мазмұндағы білімдерін математикалық методтар арқылы қуаттайтын практикалық мазмұндағы есептерді қарастыру қажеттілігі туындайтыны анық. Бұл екіншіден, ізденуші жастардың экологиялық сауаттылықтарын математикалық методтарды қолдану негізінде көтеруге мүмкіндік береді. Бүгінгі күннің талабына сай осындай оқыту мен зерттеу жұмыстарын компьютерлік математиканың әртүрлі бағдарламалық жүйелерін қолдана отырып жүргізу өзінің тиімділігін дәлелдеп отыр. Бұл жұмыста экология мен жаратылыстану есептерінің дифференциалдық модельдеу методы арқылы компьютерлік математиканың Maple бағдарламалық жүйеcі негізінде қарастырылып шешіледі және әртүрлі жағдайда сапалық талдаулар жасалады.
Дипломдық жұмысым үш тараудан тұрады.
І ТАРАУДА Математикалық модельдеу мен оның негізгі ұғымдары, дифференциалдық теңдеулер теориясынан қажетті мәлімет берілген: модель, оның қажеттілігі, математикалық модельдеу, оның негізгі кластары мен кезеңдері; дифференциалдық теңдеу ұғымы, оның шешімі мен интегралдық қисығы; Коши есебінің қойылуы мен оның геометриялық мағынасы; Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы негізгі теорема; дифференциалдық теңдеу құруға келтіретін практиканың есептері.
ІІ ТАРАУДА Жаратылыстану есептерінің дифференциалдық модельдерін құрып-зерттеу қарастырылған: дененің жылу бөле отырып салқындауы туралы есеп; катердің инерция бойынша қозғалысы; аварияға ұшыраған сүңгуір қайықтың теңіз қабаттарына шөгуі туралы есеп; жер бетіне құлаған метеордың ақырғы жылдамдығын табу; газдың иондалуы туралы есеп; ауа қысымының барометриялық формуласын қорыту; атылған оқтың қабырғаны тесіп өту уақытын есептеу туралы есептер зерттелген. Бұл есептер өздерінің практикалық құндылығымен қатар, оқытуда пәнаралық байланыстарды іске асыруға және оқушылардың терең білім алуға ынтасын арттыруға оң ықпалын жасайды. Бұл тарауда жинақталған оқу материалын орта мектепте болсын, университет қабырғасында болсын, оқушы-жастардың жаратылыстану пәндерінен сауаттылығын жетілдіруге пайдалануға болады деп есептеймін.
ІІІ ТАРАУДА Экология есептерінің дифференциалдық модельдерін зерттеу қаралған: биологиялық популяция мөлшерінің динамикасы:(Мальтус пен Ферхгольст модельдері); екі популяцияның тіршілік үшін күресін сипаттайтын В.Вольтерраның модельдері;(оны шешуге стандартты бағдарламаларды қолдану); эпидемиялар теориясының әр түрлі есептерін модельдеу; өндірістік цех ауасын желдетіп тазарту есебі; радиоактивтік ыдырау есептері қарастырылған.

1. Баврин И.И. Высшая математика для биологов и химиков. М., 1980
2. Ю.И.Гильдерман. Вооружившись интегралом... Новосибирск, 1980
3. Амелькин В.В.Дифференциальные уравнения в приложениях. М.,
1987-160с.
4. Смит Дж.М. Модели в экологии. М.,1976-
5. В.Вольтерра.Математическая теория борьбы за существование.
М.,1976.
6.Фомин С.В.,Беркинблит М.Б. Математические проблемы в
биологии.М.,1973.
7. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Изд. 2 –е., М., 1989 -383с.
8. Қонысұлы Арыстанбек Бірінші ретті сызықтық дифференциал теңдеулер және олардың қолданулары.ҚМУ, 2002ж-80б.
9. Дьяконов В. Maple 7: учебный курс. СПб: Питер, 2002.-672с.
10. Сдвижков О.А. Математика на компьютере: Maple 8. М., 2003. –
176с.
11. Қоныс А.Қ., Әбдікәрімова Ә.Б. Экология есептерін зерттеуге Maple программасын қолдану. Л.И. Токаревтің 90-жылдығына арналған республикалық ғылыми-тәжірибелік конференция материалдары. Орал, 2007 ж -202б.
12. Қоныс А.Қ., Әбдікәрімова Ә.Б. Сұраным мен ұсыным балансы
туралы есептің дифференциалдық моделін құрып – зерттеу. «Шоқан
тағылымы – 12» Халықаралық ғылыми-практикалық конференция
материалдары. 4- том, Көкшетау 2007ж – 500 б.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 45 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
I-ТАРАУ Математикалық модельдеу, оның негізгі ұғымдары мен
әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
§1 Модель және математикалық
модельдеу ... ... ... ... ... ... .. ... ... . ... ... . 8
§2 ҚДТ, оған Коши есебінің
қойылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 10
§3 Дифференциалдық теңдеу құруға келтіретін практиканың

есептері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... .. 13
II-ТАРАУ Жаратылыстану есептерінің дифференциалдық
модельдерін құрып-
зерттеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 18
§4 Дененің жылу бөле отырып салқындауы туралы
есеп ... ... ... ... ... 20
§5 Катердің инерция бойынша қозғалысын
модельдеу ... ... ... ... ... ...21
§6 Аварияға ұшыраған сүңгуір қайықтың теңіз қабатта шөгуі туралы

есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 23
§7 Су қабаттарында жарықтың жұтылуы
туралы ... ... ... ... ... ... ... . ... .25
§8 Химиялық кинетика есептерін
модельдеу ... ... ... ... ... ... .. ... ... . ... ..26
§9 Жер бетіне құлаған метеордың ақырғы жылдамдығын
табу ... ... ..35
§10 Газдың иондалуы туралы
есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...37
§11 Ауа қысымының барометриялық формуласын
қорыту ... ... ... ... 38
§12 Атылған оқтың қабырғаны тесіп өту уақытын есептеу
туралы ... 39
III-ТАРАУ Экология есептерінің дифференциалдық модельдерін
құрып-
зерттеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ...42
§13 Биологиялық популяция мөлшерінің динамикасы: Мальтус пен

Ферхгольст
модельдері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ..43
§14 Екі популяцияның тіршілік үшін күресін сипаттайтын В.Вольтерраның
модельдері. Стандартты бағдарламаларды
қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 46
§15Эпидемиялар теориясының есептерін
модельдеу ... ... ... ... ... ... .. ... ... . ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... .. 51 §16
Өндірістік цех ауасын желдетіп тазарту
есебі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 56
§17 Радиоактивтік ыдырау есебін
модельдеу ... ... ... ... ... ... .. ... ... 58
Математикалық модельдер бейбітшілік үшін күресте
... ... ... ... ... 63

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... 67
Қосымша:
(а) экология терминдерінің түсіндірме
сөздігі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 68
Қолданылған әдебиеттер
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..70

КІРІСПЕ.

Бүгінгі күні орта және жоғары мектепте математиканы оқытуда оның
практикаға бет бұра бағдарлануын барынша күшейту мәселесі өз шешімін
күтуде. Осы уақытқа дейін қалыптасып үлгерген математиканың мектеп
курсындағы, жоғары оқу орындарындағы оқытылатын теориялық және практикалық
мазмұндағы оқу материалының диспропорциясы оқушылардың математикалық
сауаттылығын, сонымен қатар экологиялық сауаттылықтарын нарықтық қатынастар
талаптарына сай деңгейге көтеруге кедергі болуда: оқушылар мен студенттер
алған білімін стандартты емес жаңа жағдайларда қолдана алмайды; мазмұнды
практика есебінің математикалық моделін құрып-зерттеуде дәрменсіздік
танытады; практикалық мазмұндағы есептерді шешуде алгоритмдік сауаттылығын
көрсете алмайды; жаңа білімді қалыптастыруда өте қажетті болып есептелетін
пәнаралық байланыстарды аңғарып, тиімді етіп қолдана алмайды. Осы тұрғыдан
алғанда оқушылар мен студенттерге олардың математикалық білімін физика,
биология, химия пәндерімен тығыз байланыста бекіте түсетін, сол салалардан
алынған сапалық мазмұндағы білімдерін математикалық методтар арқылы
қуаттайтын практикалық мазмұндағы есептерді қарастыру қажеттілігі
туындайтыны анық. Бұл екіншіден, ізденуші жастардың экологиялық
сауаттылықтарын математикалық методтарды қолдану негізінде көтеруге
мүмкіндік береді. Бүгінгі күннің талабына сай осындай оқыту мен зерттеу
жұмыстарын компьютерлік математиканың әртүрлі бағдарламалық жүйелерін
қолдана отырып жүргізу өзінің тиімділігін дәлелдеп отыр. Бұл жұмыста
экология мен жаратылыстану есептерінің дифференциалдық модельдеу методы
арқылы компьютерлік математиканың Maple бағдарламалық жүйеcі негізінде
қарастырылып шешіледі және әртүрлі жағдайда сапалық талдаулар жасалады.
Дипломдық жұмысым үш тараудан тұрады.
І ТАРАУДА Математикалық модельдеу мен оның негізгі ұғымдары,
дифференциалдық теңдеулер теориясынан қажетті мәлімет берілген: модель,
оның қажеттілігі, математикалық модельдеу, оның негізгі кластары мен
кезеңдері; дифференциалдық теңдеу ұғымы, оның шешімі мен интегралдық
қисығы; Коши есебінің қойылуы мен оның геометриялық мағынасы; Коши есебі
шешімінің бар және жалғыз болуы туралы негізгі теорема; дифференциалдық
теңдеу құруға келтіретін практиканың есептері.
ІІ ТАРАУДА Жаратылыстану есептерінің дифференциалдық модельдерін
құрып-зерттеу қарастырылған: дененің жылу бөле отырып салқындауы туралы
есеп; катердің инерция бойынша қозғалысы; аварияға ұшыраған сүңгуір
қайықтың теңіз қабаттарына шөгуі туралы есеп; жер бетіне құлаған метеордың
ақырғы жылдамдығын табу; газдың иондалуы туралы есеп; ауа қысымының
барометриялық формуласын қорыту; атылған оқтың қабырғаны тесіп өту уақытын
есептеу туралы есептер зерттелген. Бұл есептер өздерінің практикалық
құндылығымен қатар, оқытуда пәнаралық байланыстарды іске асыруға және
оқушылардың терең білім алуға ынтасын арттыруға оң ықпалын жасайды. Бұл
тарауда жинақталған оқу материалын орта мектепте болсын, университет
қабырғасында болсын, оқушы-жастардың жаратылыстану пәндерінен сауаттылығын
жетілдіруге пайдалануға болады деп есептеймін.
ІІІ ТАРАУДА Экология есептерінің дифференциалдық модельдерін
зерттеу қаралған: биологиялық популяция мөлшерінің динамикасы:(Мальтус
пен Ферхгольст модельдері); екі популяцияның тіршілік үшін күресін
сипаттайтын В.Вольтерраның модельдері;(оны шешуге стандартты
бағдарламаларды қолдану); эпидемиялар теориясының әр түрлі есептерін
модельдеу; өндірістік цех ауасын желдетіп тазарту есебі; радиоактивтік
ыдырау есептері қарастырылған.

I-ТАРАУ Математикалық модельдеу, оның негізгі ұғымдары
мен әдістері
Модель деген не және бiзге модель не үшiн қажет(
Әуелi модель туралы бiрнеше мысалдар келтiрейiк:
а) Архитектор бұрын болмаған үлкен ғимарат-үй салуға дайындық
үстiнде, ол алдымен осы ғимаратты кiшкентай кубиктерден тұрғызады;
ә) Лектор адамның қан айналу жүйесiн айтып түсiндiру үшiн плакатқа
сызықтар мен стрелкалар арқылы қан айналымы көрсетiлген сурет-схеманы
пайдаланады;
б) Өндiрiстен жаңа ұшақ жасап шығару үшiн алдымен конструктор ұшақтың
макетiн аэродинамикалық трубада сынап, сәйкес датчиктер арқылы
конструкцияның әрбiр бөлiгiне түсетiн қысым шамасын анықтайды;
в) Қабырғада буырқанып жатқан теңiз көрсетiлген сурет iлулi тұр. Осы
мысалдардағы модельдiң атқарар ролiнiң қандай екенiн түсiндiрейiк.
Архитектор ғимаратты бiрден сала беруiне де болар едi, бiрақ ол ғимараттың
қаншалықты әсем болатынына, оның жекеленген бөлiктерiнiң өзара қаншалықты
үйлесiм табатындығына көзi жетпегендiктен, алдымен кубиктер арқылы үлгiлер
дайындап, тәжiрибе жасайды. Лектор плакатты емес, анатомиялық атласты
алуына болар едi, бiрақ бұлай ету оның лекция оқуына кедергi жасайды,
себебi атластың тыңдаушылардың негiзгi материалды саралап қабылдауына
мүмкiндiк беруi неғайбыл. Сондықтан плакатты пайдалану тиiмдi. Ұшақты
сынақтан өткiзбей-ақ өндiрiске жiберуге болар едi, бiрақ ұшақтың бiр
тетiгiнде қысым қалыптан жоғары болса, онда ұшып бара жатқан ұшақ апатқа
ұшырайды. Сондықтан да ұшақтың макетiн алдын-ала трубада сынаған жөн. Оң
эмоциялық толқынысты адам теңiз жағасында тұрып алуына болады. Бiрақ сiз
теңiзден алшақ жерде тұрсаңыз немесе теңiз бетi тынық болса, немесе сөз
өмiрiнде теңiз көрмеген адамның әсерi жөнiнде болса ше!- онда толқынды
теңiз бейнеленген суретке қарау жеткiлiктi. Барлық мысалдарда нақтылы
объектiнi оны алмастыратын сәйкес бiр нәрсемен (нысанмен) салыстырып
отырмыз: ғимаратты-кубиктерден тұрғызылған (ғимаратпен(, ұшақтар сериясын-
трубадағы жалғыз (ұшақпен(, қан айналу жүйесiн - плакаттағы схемамен,
буырқанып жатқан теңiздi -суретпен. Барлық жағдайда да белгiлi бiр
қасиеттiң екiншi бiр түрге өткенде де сақталып отырғандығы байқалады:
кубиктерден құралған (ғимарат( нағыз ғимараттан көптеген есе кiшi
болғанымен, оның сыртқы түрi - сәулетi туралы мәлiмет бере алады. Плакаттың
тканьдер мен тiрi организм жүйесiмен еш байланысы болмаса да, қанның қай
бағыттарда ағатыны жөнiнде тура мағлұмат бередi. Аэродинамикалық трубадағы
(ұшақ( ұшпаса да, ондағы пайда болатын қысымдар картасы ұшақтың ұшу
шарттарына сәйкес келедi. Сурет пен теңiздiң физикалық кейпi бiрдей
болмағанымен, олар бiр-бiрiне ұқсайтын әсер қалдырады.
Модельдi құру, зерттеу және қолдану процесiн модельдеу деп атайды.
Модельдеудiң басты өзгешелiгi оның көмекшi объект-үлгiлер арқылы танудың
методы болуында.Модельдеу методын қолдану қажеттiлiгi көптеген жағдайда
объектiлердi (немесе оларға тиiстi проблемаларды) тiкелей зерттеу мүмкiн
болмауымен (мысалы, Жердiң ядросы, немесе Әлемнiң алыс түкпiрлерi), я
олардың нақты туындамауымен (экономиканың болашақ күйi, қоғамның
келешектегi сұранымдары, т.б.), не болмаса оларды зерттеуге өте көп уақыт
пен қаржы қажет болуымен (мысалы, су электр станциясын салуға байланысты)
анықталады.
Анықтама:
Модель дегенiмiз танып-бiлу (зерттеу) процесiнде обьект - оригиналдың
орнына ұсынылатын, оның басты маңызды қасиеттерiн сақтайтын, материалдық
немесе ой түрiндегi обьект-үлгi (кескiн).
Жаңа конструкцияларды, жаңа жобаларды құруда модельді пайдаланады.
Жақсы құрылған модель зерттеу барысында көптеген жеңiлдiктер әпередi.
Обьект моделiн басқарудың әртүрлi нұсқаларын жасай отырып, обьектiнiң өзiн
дұрыс басқаруды үйренуге болады. Сонымен модель бізге не үшін керек:
1) Нақты обьектiнiң қалай жасалғанын түсiну үшiн, оның құрылымы,
негiзгi қасиеттерi, даму заңдылықтары және қоршаған ортамен өзара байланысы
қандай екендiгiн бiлу үшiн қажет;
2) Обьектiнi (немесе процестi) басқаруды үйрену үшiн және берiлген
белгiлерi мен мақсаты бойынша басқарудың ең тиiмдi жолдарын анықтау үшiн
қажет;
3) Таңдалған жолдарды iске асырудың және обьектiге ықпал етудiң
формаларының тура және жанама салдарын болжау үшiн қажет.

§1 Модель және математикалық модельдеу.
Ендi (математикалық модельдеу( деген не, соған тоқталайық. Табиғаттың
кезкелген құбылысын қандай да бiр материалдық системаның өзгеруi деп
түсiнген жөн. Осындай әрбiр өзгерiске сәйкес нақты бiр процесс жүредi, ал
оның барысында осы системаның қалып - жағдайын сипаттайтын айнымалы шамалар
өзгерiске ұшырап отырады. Бұл шамаларды режим параметрлерi деп атайды. Егер
нақты бiр құбылысты (процестi) анықтайтын параметрлер жиынтығы үшiн оның
математикалық сипаттаушы өрнегi белгiлi болса, онда осы құбылыстың
(процестiң) ұқсастық критерийлерi де табылады, сөйтiп осы құбылыстың
математикалық моделi болып табылатын қандай да бiр теңдеулер не қатыстар
алынады. Обьектiнi зерттеу әртүрлi математикалық методтарды пайдалану
нәтижесiнде құрылған математикалық модель арқылы жүргiзiледi. Модельдеу
арқылы қазiргi кезде түрлiше күрделi техникалық агрегаттардың: бу қазандары
мен турбиналардың, атомдық станциядағы реакторлар мен сұйық металдарды
айдайтын насостардың, вентиляциялық қондырғылардың және тағы басқалардың
жұмыстарын алдын-ала зерттеуге болады. Электронды есептеу техникасының
(ЭЕТ) соңғы кездерi жедел қарқынмен дамуына байланысты, математикалық
модельдеу әдiсi өте қуатты зерттеу методына айналып отыр. Бұрындары әлiмiз
келмеген көптеген есептердi зерттеп шешу мүмкiндiгi пайда болды. Дәл
қазiргi кезеңде математикалық модельдеу, зерттеушiнiң - адамның таланты мен
тәжiрибесiне негiзделген эвристикалық әдiстермен толыға келе, имитациялық
математикалық модельдеу дегенге айналып отыр. Математикалық модельдеудiң
классикалық бiр мысалы ретiнде механикадағы Ньютон заңдарының өздерiмiзге
мектептен белгiлi формулалармен берiлуiн атауға болады.
Ендi математикалық модельдердiң негiзгi кластарын атайық:
1) Дескриптивтiк модельдер.
(Дескриптивтiк( сөзi ағылшынның description сөзiнен шыққан және
(сипаттау( деген мағынаны бiлдiредi. Бұл класқа жататын математикалық
модельдер әртүрлi процестердi сипаттауға арналады, және нәтижесiнде осы
процестердi басқаруға қажеттi мәлiметтер жинақталады;
2) Оптимизациялық модельдер.
Қандайда бiр процестi немесе объектiнi мақсатты түрде басқару
барысында қандай әрекеттер жақсы, ал қандайлары нашар нәтижелер беретiнiн
анықтауға және салыстыруға мүмкiндiк бар болса, әрбiр әрекеттiң нәтижесiн
сандық тұрғыдан бағалау мүмкiн болса, онда мұндай есептердiң оптимизациялық
модельдерi құрылады;
3) Көпкритерийлi модельдер.
Бiрнеше мақсаттық функциялары бар (яғни зерттеу процесiнде бiрнеше
мақсаттарға жету көзделетiн) болатын есептер үшiн көпкритерийлi модельдер
құрылады;
4) Ойындық модельдер.
Мұның алдындағы модельдердiң бәрiнде шешiм қабылдайтын тұлғаға қарсы
әрекет ететiн күштер жоқ болатын. Ал шындығына келсек, әртүрлi қатысушы
жақтары өзара келiспейтiн мүдде ұстанатын жағдайлар өте жиi кездеседi,
бұларды әдетте (даулы жағдайлар( деп атайды. Осындайда ойындық модельдер
құрылады.
5) Имитациялық модельдер.
Математикалық модель құрылып болған соң, оны тиiстi аналитикалық
немесе есептеу методтары арқылы зерттеу процесi басталады, сөйтiп модельге
қойылатын сұрақтарға жауаптар iзделiнедi.Егер модель жақсы құрылған болса,
онда ол арқылы алынатын жауаптар модельденген системаның сәйкес
сипаттарымен үйлесiмдi болады. Мүлдем, бұл жағдайда кейде модель арқылы
бiзге негiзгi система туралы бұрын белгiсiз болып келген жаңа деректер
ашылады. Ал егер құрылған модель нашар болса, онда ол әрi қарай
жетiлдiрiлуi немесе басқамен алмастырылуы тиiс. Не дегенде де, модельдi
жақсарту процесiнiң қашан аяқталатынын, оның сапалылығын анықтайтын жалғыз
критерий-практика болмақ.
Бiз қоршаған нақтылы Әлемдi зерттеу - тану барысында құрылған
математикалық модельдердiң дербес түрi ретiнде дифференциалдық модельдердi
қарастыратын боламыз.
Анықтама.
Қандайда бiр нақтылы құбылыс немесе процестi зерттеу нәтижесiнде алынатын
дифференциал теңдеуге немесе осындай теңдеулердiң жүйесiне қойылған Коши
есебiн осы құбылыс не процестiң дифференциалдық моделi деп атайды.

§2 Қарапайым дифференциалдық теңдеу,
оған Коши есебінің қойылуы
Дифференциал теңдеу деп тәуелсіз айнымалы х пен ізделінді функция у-
ті, оның қандайда бір n-ші ретке дейінгі туындыларын байланыстыратын
(1)
түріндегі қатысты айтамыз. Жалпы дифференциал теңдеу деп құрамында
тәуелсіз айнымалылар мен ізделінді функция және оның туындылары бар
болатын теңдікті айтамыз.
Дифференциал теңдеу енген функция туындыларының ең жоғарғы ретін
дифференциал теңдеудің реті деп атайды. Тәуелсіз айнымалы біреу ғана
болса, онда теңдеу қарапайым дифференциалдық теңдеу (ҚДТ) деп аталады.
Дифференциал теңдеудің шешімін табу процесін осы теңдеуді интегралдау
дейді. Теңдеудің шешіміне сәйкес сызықты осы дифференциал теңдеудің
интегралдық қисығы дейді.
Дифференциалдық теңдеулер математиканың көптеген салаларымен қатар,
механика, физика, астрономия, экономикада өте жиі қолданылады. Алдағы
тарауларда дифференциал теңдеулерді құруға және оларды зерттеуге
келтіретін практиканың есептерін қарастырамыз.
Дифференциалдық теңдеулерге тән қасиет олардың шешімдерінің шексіз
көп болуында. Дифференциалдық теңдеудің шешімі ретінде нақты формула тапқан
болсақ, онда теңдеудің жалпы шешімін таптық дейміз. Жалпы шешімдегі
тұрақтыға белгілі бір сандық мән бергенде алынатын әрбір шешімді
дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі дейміз.
Практиканың нақты қолданыстағы есептерін шешуде, қандайда бір
бастапқы шартты қанағаттандыратын дербес шешімді табу керек болады.
(2)
теңдеуіне Коши есебі былай қойылады: (2) теңдеуінің барлық шешімдерінің
ішінен x=x0 болғанда y=y0 мәнін қабылдайтын y=y(x) шешімін табу керек,
мұндағы x0 ,y0 сандары есептің бастапқы берілімдері, ал
(3)
шарты есептің бастапқы шарты деп аталады.
Егер х0 нүктесiнiң қандайда бiр аймағы табылып:
1) бұл аймақта х0, у0 бастапқы берiлiмдерi бойынша шешiм анықталса;
2) х0 нүктесiнiң аталған аймағында х0, у0 бастапқы берiлiмдерiмен
анықталған есептiң басқадай шешiмi болмаса, онда х0, у0 – бастапқы
берiлiмдерiмен анықталған Коши есебiнiң шешiмi жалғыз болып табылған
деймiз.
Коши есебiне геометриялық мазмұн беруге болады: (1') теңдеуiнiң
барлық интегралдық қисықтарының iшiнен жазықтықтың берiлген М0 (х0, у0)
нүктесi арқылы өтетiнiн табу керек, яғни iзделiндi у = ( (х) интегралдық
қисығы М0 (х0, у0) нүктесi арқылы өтуге тиiс.
Коши есебi шешiмiнiң жалғыздығы туралы мәселе дифференциал теңдеулер
теориясында, практикалық қолдануларында өте маңызды роль атқарады. Өйткенi
қойылған Коши есебiнiң шешiмi жалғыз болған жағдайда бiз табиғаттағы
(өндiрiстегi) сәйкестi құбылыстың (процестiң) берiлген теңдеу мен бастапқы
шарттар арқылы анықталған нақтылы және жалғыз заңын алатын боламыз.
(2) теңдеуiн қарастырайық. Осы теңдеудiң оң жағындағы f (х,у)
функциясы қандайда бiр G облысында анықталған және үздiксiз болсын деп
ұйғарсақ, онда бұл теңдеу белгiлi бiр бағыттар өрiсiн анықтайтын болады
және бұл өрiс те үздiксiз болады. Теңдеудiң интегралдық қисығының әрбiр
нүктесiнде жүргiзiлген жанаманың бағыты мен өрiстiң бағыты бiрдей болатын
ерекше қасиетiн пайдаланып, G облысынан алынған х0, у0 бастапқы берiлiмдерi
үшiн Коши есебiнiң шешiмiн жуықтап табуға болады. Ол үшiн “Эйлер
сынықтарын” жүргiзу әдiсi қолданылады .Коши есебiнiң шешiмi бар болуы үшiн,
(2) теңдеуiнiң оң жағындағы f (х,у) функциясының (х0, у0) нүктесiнiң
маңайында үздiксiз болғаны жеткiлiктi, осындай жағдайда iзделiндi шешiм
тәуелсiз айнымалының бастапқы х0 мәнiнiң қандайда бiр кiшкене маңайында
анықталады және үздiксiз дифференциалданады.

Негiзгi теорема:
Егер (2) теңдеуiнiң оң жағы болатын f(х,у) функциясы G облысында
анықталса, және осы облыста мынадай екi шартты қанағаттандырса:
1) f (х,у) үздiксiз болса,
2) K, мұндағы К-тұрақты оң сан, онда (2) теңдеуiнiң
(3) бастапқы шартын қанағаттандыратын интервалында анықталған (және
үздiксiз дифференциалданатын) жалғыз шешiмi бар болады.

§3 Дифференциалдық теңдеу құруға келтіретін
практиканың есептері
1.Резервуарда құрамында в кг тұзы бар а кг тұздың сулықоспасы бар.
Резервуарға үзіліссіз секундына с кг қоспасын алап тастайтын белгілі
уақытта құрылғы қосылады. Сонымен қатар резервуардағы сұйық үзіліссіз
араласып тұрады. Резервуардағы тұз саны уақыт бойынша қалай өзгереді?
Шешуі: Процестің басталу мезетін t уақыттың бастапқы санағы ретінде
қабылдаймыз. y(t) – t әр мезетінде резервуардағы тұздың мөлшерін
өрнектейтін ізделінді функция. Есептің шарты бойынша және уақыт санағының
келісімімен . Бұл әзірге ізделінді функцияның жалғыз белгілі мәні.
Есептің негізгі қиындығы қоспаның концентрациясының үзіліссіз өзгергендігі.
Шешудің дұрыс әдісін қолданып бұл үзіліссіз өзгеруін пайдалануға болады.
Резервуарда кішкене уақыт аралығында ие болады. Аралықтың басында
резервуарда y(t) кг тұз бар, ал соңында кг. айырымы
уақытындағы қоспамен бірге ағып кеткен тұздың саны. Қоспа концентрациясы
қарастырылған уақыт аралығында кемімелі - дан дейін,
болады, бұл теңсіздіктер өзгермейтін болып табылады, егер және .
Бұл теңсіздікті -ға бөліп,
(4)
Қарастырылған процесстің мінезінен ізделінді функция үзіліссіз
екенін қорытуға болады. Бұл жағдайда . Онда (4)-тен мынаны табамыз:

Ізделінді y(t) функциясы t әр нүктесінде мына туындыға ие болады:
(5)
y(t) функциясы (5)-ші теңдеуді қанағаттандырады. Бұл теңдеу
теңдеуімен пара-пар, сондықтан () теңдеуін ескеріп және y(0)=в
шарты бойынша, резервуардағы тұздың санының уақытта өзгеруін суреттейтін
ізделінді функция мына түрде болады: .
2. Қайықтың жылдамдығына пропорционал су кедергісінің әсерінен
қайық өз қозғалысын баяулатады. Қайықтың бастапқы жылдамдығы 2мс тең, ал
оның жылдамдығы 4 с кейін 1мс тең болады. Қанша секундтан кейін қайықтың
жылдамдығы 0,25мс тең болады? Қайық тоқтауына дейін қанша жол жүреді?
Шешуі: t мезетіндегі қайықтың жылдамдығы болсын. Онда
. Ньютонның екінші заңына сәйкес , F(t) – қайыққа әсер ететін
күш; m – қайықтың массасы. Шарт бойынша k0 – пропорционалдық
коэффициент, минус таңбасы күш қозғалысқа қарсы бағытталғанын көрсетеді.
Сондықтан қайық қозғалысының дифференциалдық теңдеуі:
,
оның шешімі .
Шарт бойынша , сондықтан C=2 және . болған соң,
шаманы былай анықтауға болады:
; .
Қайық жылдамдығы . Қайық жылдамдығы 0,25мс болатын Т уақытын мына
теңдеу арқылы табамыз:
, , , T=12c.
Қайықтың жүрген жолының ұзындығын мына формула арқылы есептейміз:
.
Көрініп тұрғандай қайықтың жүрген жолы мына мәннен үлкен бола алмайды
м.
3.Шеңбер формалы виктория-регия жас жапырағының үлкею жылдамдығы
оған түсетін күн сәулесінің санына және жапырақ радиусына пропорционал.
Күн сәулесінің саны жапырақтың ауданына және сәулелердің бағытының
арасындағы косинус бұрышына пропорционал. Егер таңғы сағат 600-да ауданы
1600 см2, ал сол күні сағат 1800-да ауданы 2500см2 болса, онда жапырақтың
S ауданы мен t уақытының арасындағы байланысты табу керек. Күн сәулесі мен
вертикаль бағыты арасындағы бұрышты таңғы сағат 600 және 1800-де 900 тең,
ал түсте – 00 .
Шешуі: S=S(t) t уақыт мезетіндегі жапырақтың ауданы. Егер уақыт
санағының бастапқысы ретінде таңғы сағат 600-ді алсақ, онда S(0)=1600 см2,
ал S(12)=2500cм2 (1800-гі жапырақтың ауданы). Жапырақтың өсу жылдамдығы
, k – пропорционалдық , r – жапырақтың радиусі, Q – күн сәулесінің
саны. Шарт бойынша , γ – пропорционалдық коэффициенті, α – күн
сәулесінің және вертикальдің жапыраққа бағытының арасындағы бұрыш. α=α(t)
бұрышы уақыттың сызықтық өспелі функциясы болып табылады:
, , , .
Көрсетілген шарттардан табатынымыз: , , . Сондықтан
, жапырақтың радиусы болған соң, .
Айнымалыларды бөліп және интегралдап, , , шарттарынан
.
Бұл мәндерді соңғы теңдікке қойсақ: ,
немесе
4. Қисық координаттың басы арқылы өтеді және жарты жазықтықта
жатыр. Қисық нүктесінен өткізілген координат осьтерінен және оларға
перпендикулярлармен шектелген әр тік бұрышты қисық екіге бөлінеді. Қисық
астындағы орналасқан тікбұрыш бөлшегінің ауданы қисық үстіндегі тікбұрыш
бөлігінің ауданынан 2 есе кіші. Қисықтың теңдеуін табу керек.
Шешуі: Координат осьтеріне y=y(x) ізделінді қисығының M(x,y)
нүктесінен МА және МВ перпендикулярларын түсіреміз. ОАМВ тікбұрыш ауданы
S=xy формуласы арқылы өрнектеледі. Қисық астындағы тікбұрыш бөлігінің
ауданы мына формула бойынша есептеледі: . Шарт бойынша немесе
интегралдық теңдеуін алдық. Бұдан теңдеудің екі жағын х бойынша
дифференциалдап: немесе . Бұл теңдеуді интегралдап
табамыз. Ізделінді қисық шарт бойынша жарты жазықтығында орналасқан,
сондықтан кез-келген парабола (C0) есептің шартын қанағаттандырады.

ІІ-ТАРАУ Жаратылыстану есептерінің дифференциалдық
модельдерін құрып-зерттеу.

БҰҰ –ның табиғатты қорғау программасы үшін даярланған соңғы
жылдардағы зерттеулерге қарасақ, алдағы 50 жылда климаттың бүкіл
планета бойынша жылынуынан дүниежүзілік қауымдастық жылына 300 млрд. $-
ға дейін зиян шегуі мүмкін екен. Мұндай қиыншылықтарға тосқауыл қою үшін
жер атмосферасына көміртегінің қос тотығы секілді өте зиянды газдарды
шығаруды жедел түрде тию қажет.
Ғасырлар тоғысында дүниежүзілік деңгейде ғалымдар жинақтаған орасан
зор зерттеу материалдары кімді болмасын бей-жай қалдырмайды, көкірек көзі
ояу әрбір азаматты шошынтады десек те орынды болар. Міне, қараңыз.
Дүниежүзілік мұхит пен құрлықтағы суларға, атмосфера мен топыраққа
100 мыңнан астам әртүрлі химиялық қоспалар араласады екен. Жыл сайын жер
қойнауынан 100 млрд. тоннадан аса кен қазып алынып, 800 млн. тоннадан
астам түрлі металдар қорытылып, 60 млн. тоннадан аса табиғи емес
синтетикалық материалдар өндіріліп, ауыл шаруашылығында топыраққа 500 млн.
тоннадан астам минералды тыңайтқыштар, 3 млн. тоннадан аса әртүрлі улы
химикаттар сіңіріліп, олардың кемінде 35%-і су көздері мен атмосфераға
өтеді екен. Соңғы 150 жылда адамның шаруашылық әрекеттері нәтижесінде
табиғи ортаға 6,5 млрд. тонна шамасында темір қалдықтары сіңірілгеніне,
жер қыртысының осыншама темірленуінің мүмкін теріс салдарына ғалымдар
алаңдаушылық білдіріп отыр.
Адамзат өзінің суландыру, өнеркәсіптік өндіріс және тұрмыстық
қажеттеріне Жер бетіндегі барлық өзендер суының 13%-тен астамын
пайдаланып, жылына әртүрлі су көздеріне өнеркәсіп пен тұрмыстық аяқ
сулардың 500 млрд. м3-н ағызып жіберуде. Ал мұншама көлемдегі лас
суларды қолдан немесе табиғи жолмен тазартуға табиғи таза су 5-тен 12
есеге шейін көп мөлшерде жұмсалуға тиіс екен.
Бұл дегеніміз, Табиғат –Ана жылына өзінің 5000 млрд. м3 таза табиғи
суын адам баласының зиянкестік қылығынан туындаған қиянатын жоюға
жұмсауы керек деген сөз. Сол сияқты, мұхиттарға ағын барып түсетін қатты
заттардың көлемі де екі есеге артып, қазір жылына 17,5 млрд. тонна құрайды
екен. Су қоймаларының өзінде ғана қазіргі күндері құрлықтан шайылып
әкелінген 13,6 млрд. тонна қатты жыныстар жинақталып қалған. Әртүрлі
отындарды жағу нәтижесінде атмосфераға жылына 20 млрд. тоннадан аса
көміртегінің қос тотығы және 700 млн. тоннадан астам әртүрлі газ бен қатты
бөлшектер түріндегі қоспалар тасталуда. Қазіргі күндері төменгі сортты
мазут пен көмірді жағудан атмосфераға жылына 150 млн. тонна күкіртті газ
араласып, ол ылғалды ауада күкірт қышқылына айналып, жерге қышқылды жаңбыр
түрінде қайта түсуде.
Адам баласы өзінің тіршілік –тынысымен Жер бетіндегі геохимиялық
айналымды ғана емес, сонымен қоса табиғаттың энергетикалық балансын да
бұзуға шықты. Осының бәрі экологиялық проблемалардың тас-түйіндей қатқан
тұтас шоғырын туындатып отыр, солардың ішіндегі ең бастылары –атмосфералық
ауа, су мен жер ресурстары жағдайына байланысты туындауда.
Планета атмосферасының көмір қышқыл газымен тұмшалануы әсерінен
соңғы 60-70 жылда Жердің орташа температурасы 1,5-20С –қа көтеріліп, онымен
қабаттаса дүниежүзілік мұхиттың деңгейі де үнемі көтерілуде. Планетадағы
мұздықтардың еруі тоқталмаған жағдайда, бұл процесс табиғи ортаның
түбірінен өте терең қайта құрылуына, тіптен дүниежүзілік мұхиттың
деңгейінің 68 м-ге дейін көтерілуінен барып туындаған ойпаттарды су
басуынан ең кемінде бір млрд. халықты көшіруіне әкеп соқтыруы мүмкіндігін
ғалымдар қуаттап отыр. Планета климатының жылынып келе жатқандығына тағы
бір қосымша дәлел –солтүстік жартышарының ортаңғы ендіктерінде болатын
қуаңшылықтардың жиілеуі.
§4 Дененің жылу бөле отырып салқындауы туралы есеп.
Жылу физикасынан бiз кезкелген дененiң температурасының өзгеру
жылдамдығы қоршаған орта температурасы мен оның өз температурасының
айырмасына тура пропорционал екендiгiн, яғни аталған температуралар айырымы
қаншалықты аз болса, дене соншалықты баяу салқындайтынын бiлемiз. Ортаның
температурасы тұрақты және T1 болсын, ал T(t) арқылы дененiң t уақыт
мезетiндегi температурасын белгiлейiк. Онда жоғарыда айтылған заңдылыққа
сәйкес
(6)
eкендiгiн аламыз, мұндағы k- дененiң физикалық табиғатымен тiкелей
байланысты коэффициент. белгiлеуiн енгiзiп, (6) теңдеуiн өзiмiзге
бұрыннан таныс мынадай
(6*)
түрiне келтiрiп жазамыз. Бұл теңдеудiң жалпы шешiмiн табу қиындық
тудырмайды, ол:

немесе
(7)
t=0 мезетiндегi дененiң бастапқы температурасын Т0 деп алсақ, онда (7)-ден
С тұрақтысының мәнi былайша табылады:
.
Сонымен, жоғарыда тұжырымдалған Коши есебiнiң дербес шешiмi табылды:
. (8)
Мұнан аңғаратынымыз, дененiң температурасы уақыт өткен сайын экспонента
бойынша төмендейдi және көрiнiп тұр.
Ендi ашық ауадағы дененiң салқындауына нақты мысал қарастырайық. Ауаның
болсын және дене 1000-тан 600-қа дейiн 20 минутта салқындағаны
белгiлi болса, онда ол 300-қа дейiн салқындауы үшiн қанша уақыт керек
болатындығын табайық. Бұл мысалдағы бастапқы шарт болатындықтан,
бiзге қажеттi дербес шешiм мынадай:
.
k-ның сандық мәнiн есептеу үшiн мысалдағы қосымша шартты пайдаланамыз:
,
Онда
,
яғни
, t=1 (сағат).
Сонымен, дене 300-қа дейiн қалқындауы үшiн оған 1 сағат уақыт қажет.
§5 Катердiң инерция бойынша қозғалысы туралы есеп.
Тынық судағы катердiң қозғалыс жылдамдығы V0=20 кмсағ. Оның моторы
тоқтатылып, осыдан кейiнгi 40 сек. iшiнде катердiң жылдамдығы V1=8 кмсағ-
қа дейiн кемiген. Судың кедергiсi катердiң қозғалыс жылдамдығына
пропорционал болатындығын ескерiп, катердың моторы тоқтатылғаннан кейiнгi 2
минутта жылдамдығы неге тең болатындығын табайық.
Шешуi:
Қозғалыстағы катерге F=-kv күшi әсер етедi, мұндағы k0
пропорционалдық коэффициентi. Ньютон заңы бойынша
,
сондықтан қозғалыстың ДТ-i мына түрде алынады:
(9)
Айнымалыларды бөлектей отырып интегралдасақ
,
одан әрi, потенцирлегенiмiзде (9) теңдеуiнiң
,
түрiнде, мұндағы , жалпы шешiмi алынады.Бастапқы шарт бойынша
v(0)=20(кмсағ), одан табатынымыз С=20, яғни жоғарыдағы Коши есебiнiң
шешiмi ретiнде катердiң қозғалыс заңы алынады:
(10)
Есептiң қосымша шартын (кмсағ)пайдаланар болсақ, онда
,
немесе

екендiгi шығады. Бұл табылған мәндi (10)-ның оң жағына қоямыз, сонда
катердiң iзделiндi жылдамдығы табылады:
(кмсағ.).
Сонымен, катердiң моторы тоқтағаннан кейiн 2 мин. өткенде, оның
жылдамдығы V=1,28 кмсағ. болады екен.
§6 Аварияға ұшыраған сүңгуір қайықтың теңіз қабаттарына
шөгуі туралы есеп.

Жүрісін тоқтатқан сүңгуір қайық дереу Р теріс мәнді қалқымалылыққа
(плавучесть) ие болып, өз салмағымен біршама ілгерілей отырып
теңіз қабаттарына шөге бастайды. Судың кедергісі қайықтың шөгу жылдамдығына
тура пропорционал және -ға тең, мұндағы k 0 пропорционалдық
коэффициенті, ал S–қайықтың
горизонталь қимасының ауданы, -шөгу жылдамдығы. Қайықтың
массасын М деп алайық. Бастапқы жылдамдық үшін деп алып, қайықтың t1
уақыт мезетіне дейін өткен жолы мен шөгу жылдамдығын табайық.
Шешуі: Сүңгуір қайыққа әсер етуші күштерді вертикаль Оу осіне
проекциялай отырып, қайық қозғалысының дифференциалдық теңдеуін аламыз:
, (11)
мұндағы - шөккен қайықтың ауырлық күші, ал - судың кедергісі.
алмастыруын қолданып (11) теңдеуінде айнымалыларды бөлектейміз:
(12)
және мұны интегралдай отырып жалпы интегралын:
(13)
түрінде аламыз. Бастапқы шартты пайдалану бізге екендігін береді.
Бұл мәнді (13)-ке қойып, оны біршама түрлендірсек
,
одан әрі потенцирлеу арқылы:

болатынын, яғни ізделінді шөгу жылдамдығы үшін
(14)
екендігін аламыз. Енді қайықтың шөгу жолын табу үшін, (14) теңдеуін
арқылы қайта жазамыз:
,
сөйтіп интегралдай отырып, ізделінді жолды анықтауға
(15)
жалпы шешімін аламыз. бастапқы шартынан екендігі, яғни
ізделінді жол үшін:
(16)
формуласы табылады. Нақты мәні үшін ізделінді жол

шамасына тең болады. Егер осы формулада мысалға м деп алсақ, онда
осындай теңдікке дейін шөгуге кететін қайық экипажының уақытын табуға
болады.

§7 Су қабаттарында жарықтың жұтылуы туралы есеп.

Оптикадан жарықтың су (немесе шыны) қабаты арқылы өткенде оның бiр
бөлiгiнiң жұтылатындығы белгiлi. Судың бетiне оған перпендикуляр бағытта
интенсивтiлiгi А0-ге тең жарық түсiрiлсе, онда судың астында х тереңдiктегi
жарықтың интенсивтiлiгiн А(х) деп белгiлеймiз, ал А(х) осы тереңдiкте
жарықтың жұтылу жылдамдығын сипаттайды. Оптиканың заңы бойынша x тереңдiкте
су (немесе шыны) секiлдi ортада жарықтың жұтылу жылдамдығы осы тереңдiктегi
оның интенсивтiлiгiне тура пропорционал болады, яғни
(17)
(17) теңдеуiнiң оң жағындағы минус таңбасы жарықтың А(х) интенсивтiлiгiнiң
х өскен сайын кемитiндiгiне, яғни оның кемiмелi функция екендiгiне
байланыста қойылған.Ендi есебiмiздi нақтылайық. 10 метрлiк су қабаты оның
бетiне түскен жарықтың 40 %-iн сiңiредi. Айдың жарығы күндiзгi жарықтың
- дей үлесiн құрайтыны белгiлi болса, онда судың астында қандай
тереңдiкте күндiзгi жарықтың жарықтылығы су бетiне түскен. Айдың жарығының
жарықтылығындай болады?
Шешуi:
Судың бетiндегi жарықтылық үшiн
(*)
бастапқы шартын, ал 10 метрлік тереңдік үшін қосымша шартын жазсақ,
онда (17) теңдеуінің (*) шартын қанағаттандыратын шешімі болып, одан
қосымша шартты пайдаланып теңдігін аламыз.
Сондықтан, жарықтың сiңiрiлу заңы ретiнде

- функциясын табамыз. Онан әрi, есептiң шартындағы iзделiндi тереңдiктi
табу үшiн мына теңдiк алынады:
,
яғни х 247 м.

§8 Химиялық кинетика есептерін модельдеу.

Егер А және В заттары реакцияға түсіп, нәтижесінде түзілетін С
затының мөлшерін x-деп белгілесек, онда белгілі бір шарттар орындалған
және тұрақты температура жағдайында реакцияның жылдамдығы мынаған
пропорционал болады:
1) А затының қалған мөлшеріне, егер А заты С затына айналатын болса, және
бұл жағдайда мынадай дифференциал теңдеу алынады:

мұндағы а – А затының бастапқы мөлшері, ал k 0 – пропорционалдық
коэффициенті.
2) Реакцияға түсуші (әсерлесуші) массалардың көбейтіндісіне, егер А мен В
заттары С затына айналатын болса, және бұл жағдайда мына теңдеу алынады:
,
мұндағы а мен в А және В заттарының бастапқы мөлшерлері, ал k0 –
пропорционалдық коэффициенті. Біз x-тің t уақытынан тәуелділігін осы
аталған екі жағдай үшін де анықтауға тырысамыз. Екі теңдеу үшін де
бастапқы шарт ретінде: қойылады, ал бұл теңдеулердің айнымалылары
ажыратылатын екендігі көрініп тұр. Олай болса, бірінші жағдайда
,
деп жаза отырып, жалпы шешімді оңай құрамыз.

Бастапқы шарттан C=-a болып табылады, сондықтан дербес шешім мынаған тең
болады:

Бұл шешімнен жағдайда көрініп тұр. Екінші жағдайда да
,
теңдеуінің жалпы интегралы оңай табылады:
.
Біршама түрлендіру нәтижесінде алатынымыз:

Бастапқы шарттан болады, онда

Сонымен, бұл жағдайдағы есептің дербес шешімі мынау:

Егер ba деп ұйғарсақ, онда жағдайда бұл шешімнен
көрініп тұр. Ал керісінше, ab десек, онда дербес интегралын
,
түрінде қайта жаза отырып, жағдайда көреміз. Осы нәтижелер
дербес шешімнің мына түрде жазылуынан да оңай алынады:

Жоғарыда қарастырылып зерттелген реакциалар бірінші және екінші ретті
химиялық реакцияларға жатады. Енді осыларға қатысты нақты мысалдар
келтірейік.
а) Радиоактивті RaB элементі 26,7 мин. Ішінде жартылай ыдырап
радиоактивті RaC элементіне айналады. RaB элементінің алғашқы мөлшерінің
0,2 бөлігі ыдырайтын уақытты табыңдар.
Шешімі: Бұл реакция бірінші ретті: түріндегі ыдырау реакциясы.
Оның дифференциал теңдеуі:
Сондықтан дербес шешімі: ,
және ізделінді уақыт үшін: .
Олай болса k коэффициентін t=26,7 болғанда екендігі шартынан аламыз:
,
яғни . Сонымен ізделінді уақыт мынаған тең боп табылады:
(мин)
ә) А заты В затына айналады делік, және реакция басталғаннан кейін 1
сағат өткенде А затының 44,8г қалды, ал 3 сағаттан соң оның 11,2г қалсын. А
затының бастапқы мөлшері а-ны және оның тең жартысы қалатын уақытты
табайық.
Шешімі: Реакцияға сәйкес дифференциал теңдеу

және оның шешімі

екендігі белгілі. Қосымша шарттарды пайдалансақ:
болғанда ,
болғанда ,
онда

немесе

Бұл жүйенің шешімі ,
Енді ізделінді уақытты табайық:
,
онан , ,
Сонымен, бастапқы мөлшер г, ал оның жартысы қалатын уақыт сағат.
б) Уксустыэтилдік эфирді натрийдің гидрокендімен шылау реакциясында:

Олардың бастапқы концентрациялары ретінде және
, ал 23 мин өткенде уксустыэтилді эфирдің концентрациясы 10%-ке
төмендеген. Қанша уақытта аталған концентрация 15%-ке төмендейді?
Шешімі: Бұл реакция екінші ретті түзілу реакциясы, оның дифференциал
теңдеуі
,
сондықтан
.
Сондықтан к коэффициентін t=23 мин. болғанда екендігінен
анықтаймыз:
,
немесе
.
Енді ізделінді уақытты табалық:
,
немесе
(мин)
Осыларға ұқсас есептерді жоғары ретті химиялық реакциялар үшін де
қарастырып шешуге болады.
в) Сонымен, химиялық теңдеу белгілі бір заттардың өзара әсерлесуінен
басқа бір зат түзілетіндігін көрсетеді екен. Мысалға, мына қарапайым теңдеу

,
сутегінің екі молекуласы мен оттегінің бір молекуласының әсерлесуінен
судың екі молекуласы алынатындығын көрсетіп тұр. Жалпы жағдайда химиялық
теңдеу мына түрде жазылады:

мұндағы А,В,С,... - әсерлесуші заттардың молекулалары, M,N,P,... – химиялық
реакция нәтижесінде алынатын заттардың молекулалары, ал a,b,c,...,m,n,p,... -
оң бүтін сандары реакцияға қатысқан молекулалардың сандарын көрсетеді.
Жаңа заттың түзілу жылдамдығын реакцияның жылдамдығы дейді. Әсер ету
массасы немесе реакцияға түсетін заттың концентрациясы осы заттың көлем
бірлігіндегі мольдерінің санымен сипатталады. Химиялық реакциялардың
жылдамдықтары туралы теорияның негізгі заңдарының бірі ретінде әсер етуші
массалар заңын атауға болады, бұл заң бойынша тұрақты температурада
жүретін химиялық реакцияның жылдамдығы осы реакцияға қатысушы заттардың
берілген мезеттегі концентрацияларының көбейтіндісіне пропорционал
болады. Енді нақты мысалға жүгінелік:
Көлемдері 10 және 20 литр болатын екі А және В сұйық химиялық
заттары реакцияға түсіп, нәтижесінде жаңа сұйық химиялық С затын түзеді.
Реакция барысында температура өзгермейді және А затының әрбір екі көлемі
мен В затының бір көлемінен С затының үш көлемі пайда болсын деп, С
затының кез-келген t уақыт мезетіндегі түзілген мөлшерін табайық, егерде
20 минутта С затының 6 литрі түзілетіні белгілі болса.
Шешімі: t уақыт мезетіндегі (сағ) пайда болған С затының көлемін
(литр) x деп белгілейік. Онда осыған дейін химиялық реакцияға А затының
литрі, ал В затының литрі түсіп үлгереді. Онда дәл осы
реакцияға А затынан литр, ал В затынан түспей қалатыны
белгілі. Сонымен, жоғарыда айтылған заңға сәйкес мынадай дифференциал
теңдеу аламыз:
,
Одан әрі
,
мұндағы - пропорционалдық коэффициенті. Есептің шартына сәйкес,
болғанда екендігі анық, және де мезетінде x=6 болды. Сонымен,
қойылған есепті шешу үшін математикадағы шеттік есеп деп аталатын мынадай
жүйені алдық:
, ,
Бұл есепті шешу үшін әуелі дифференциал теңдеудің жалпы шешімін табамыз,
сонан соң бірінші шартты пайдаланып (х(0)=0), дербес шешімді (интегралды):

түрінде аламыз. Енді осыған екінші шартты қолдансақ, болатындығы
шығады. Сонымен

яғни
,
түрінде С затының кезкелген t уақыт моментіндегі мөлшерін анықтайтын
функцияны табамыз.
Кейінгі уақытта химиялық процестерді сипаттауға, оларды
математикалық методтар арқылы зерттеуге дербес туындылы дифференциал
теңдеулер теориясы да етене айналыса бастады. Динамикалық процестерді
зерттеуде дербес туындылы дифференциал теңдеулерді пайдаланудың көптеген
артықшылықтары бар, мүмкіншіліктері де мол және нақтылы процестің басты
сипаты болатын оның сызықтық емес шарттарын бұл теория барынша қамти да
алады. Мысалға, химиялық реакторлардың жұмысын математикалық модельдеу
туралы және басқа сыбайлас мәселелер жөнінде көптеген химиялық процестерді
модельдеуде дифференциал теңдеулердің жүйесі алынады.
г) А затының екі түрлі P және Q заттарына ыдырау туралы есеп
қарастырайық. Жаңа екі заттың әрқайсысының да түзілу жылдамдығы А затының
ыдырамаған бөлігінің мөлшеріне пропорционал болатыны анық.А затының
бастапқы ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.