Жаратылыстану және экология есептерінің дифференциалдық модельдерін құрып-зерттеу

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 4
I.ТАРАУ Математикалық модельдеу, оның негізгі ұғымдары мен
әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .6
§1 Модель және математикалық модельдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
§2 ҚДТ, оған Коши есебінің қойылуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
§3 Дифференциалдық теңдеу құруға келтіретін практиканың
есептері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 13
II.ТАРАУ Жаратылыстану есептерінің дифференциалдық
модельдерін құрып.зерттеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 18
§4 Дененің жылу бөле отырып салқындауы туралы есеп ... ... ... ... ... 20
§5 Катердің инерция бойынша қозғалысын модельдеу ... ... ... ... ... ...21
§6 Аварияға ұшыраған сүңгуір қайықтың теңіз қабатта шөгуі туралы
есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 23
§7 Су қабаттарында жарықтың жұтылуы туралы ... ... ... ... ... ... ... ... ..25
§8 Химиялық кинетика есептерін модельдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .26
§9 Жер бетіне құлаған метеордың ақырғы жылдамдығын табу ... ... ..35
§10 Газдың иондалуы туралы есеп ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..37
§11 Ауа қысымының барометриялық формуласын қорыту ... ... ... ... 38
§12 Атылған оқтың қабырғаны тесіп өту уақытын есептеу туралы ... 39
III.ТАРАУ Экология есептерінің дифференциалдық модельдерін
құрып.зерттеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 42
§13 Биологиялық популяция мөлшерінің динамикасы: Мальтус пен
Ферхгольст модельдері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 43
§14 Екі популяцияның тіршілік үшін күресін сипаттайтын В.Вольтерраның модельдері. Стандартты бағдарламаларды қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 46
§15Эпидемиялар теориясының есептерін модельдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 51 §16 Өндірістік цех ауасын желдетіп тазарту есебі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 56
§17 Радиоактивтік ыдырау есебін модельдеу ... ... ... ... ... ... ... ... .. 58
Математикалық модельдер бейбітшілік үшін күресте ... ... ... ... ... 63
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..67
Қосымша:
(а) экология терминдерінің түсіндірме сөздігі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...68
Қолданылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .70
Бүгінгі күні орта және жоғары мектепте математиканы оқытуда оның практикаға бет бұра бағдарлануын барынша күшейту мәселесі өз шешімін күтуде. Осы уақытқа дейін қалыптасып үлгерген математиканың мектеп курсындағы, жоғары оқу орындарындағы оқытылатын теориялық және практикалық мазмұндағы оқу материалының диспропорциясы оқушылардың математикалық сауаттылығын, сонымен қатар экологиялық сауаттылықтарын нарықтық қатынастар талаптарына сай деңгейге көтеруге кедергі болуда: оқушылар мен студенттер алған білімін стандартты емес жаңа жағдайларда қолдана алмайды; мазмұнды практика есебінің математикалық моделін құрып-зерттеуде дәрменсіздік танытады; практикалық мазмұндағы есептерді шешуде алгоритмдік сауаттылығын көрсете алмайды; жаңа білімді қалыптастыруда өте қажетті болып есептелетін пәнаралық байланыстарды аңғарып, тиімді етіп қолдана алмайды. Осы тұрғыдан алғанда оқушылар мен студенттерге олардың математикалық білімін физика, биология, химия пәндерімен тығыз байланыста бекіте түсетін, сол салалардан алынған сапалық мазмұндағы білімдерін математикалық методтар арқылы қуаттайтын практикалық мазмұндағы есептерді қарастыру қажеттілігі туындайтыны анық. Бұл екіншіден, ізденуші жастардың экологиялық сауаттылықтарын математикалық методтарды қолдану негізінде көтеруге мүмкіндік береді. Бүгінгі күннің талабына сай осындай оқыту мен зерттеу жұмыстарын компьютерлік математиканың әртүрлі бағдарламалық жүйелерін қолдана отырып жүргізу өзінің тиімділігін дәлелдеп отыр. Бұл жұмыста экология мен жаратылыстану есептерінің дифференциалдық модельдеу методы арқылы компьютерлік математиканың Maple бағдарламалық жүйеcі негізінде қарастырылып шешіледі және әртүрлі жағдайда сапалық талдаулар жасалады.
Дипломдық жұмысым үш тараудан тұрады.
І ТАРАУДА Математикалық модельдеу мен оның негізгі ұғымдары, дифференциалдық теңдеулер теориясынан қажетті мәлімет берілген: модель, оның қажеттілігі, математикалық модельдеу, оның негізгі кластары мен кезеңдері; дифференциалдық теңдеу ұғымы, оның шешімі мен интегралдық қисығы; Коши есебінің қойылуы мен оның геометриялық мағынасы; Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы негізгі теорема; дифференциалдық теңдеу құруға келтіретін практиканың есептері.
ІІ ТАРАУДА Жаратылыстану есептерінің дифференциалдық модельдерін құрып-зерттеу қарастырылған: дененің жылу бөле отырып салқындауы туралы есеп; катердің инерция бойынша қозғалысы; аварияға ұшыраған сүңгуір қайықтың теңіз қабаттарына шөгуі туралы есеп; жер бетіне құлаған метеордың ақырғы жылдамдығын табу; газдың иондалуы туралы есеп; ауа қысымының барометриялық формуласын қорыту; атылған оқтың қабырғаны тесіп өту уақытын есептеу туралы есептер зерттелген. Бұл есептер өздерінің практикалық құндылығымен қатар, оқытуда пәнаралық байланыстарды іске асыруға және оқушылардың терең білім алуға ынтасын арттыруға оң ықпалын жасайды. Бұл тарауда жинақталған оқу материалын орта мектепте болсын, университет қабырғасында болсын, оқушы-жастардың жаратылыстану пәндерінен сауаттылығын жетілдіруге пайдалануға болады деп есептеймін.
ІІІ ТАРАУДА Экология есептерінің дифференциалдық модельдерін зерттеу қаралған: биологиялық популяция мөлшерінің динамикасы:(Мальтус пен Ферхгольст модельдері); екі популяцияның тіршілік үшін күресін сипаттайтын В.Вольтерраның модельдері;(оны шешуге стандартты бағдарламаларды қолдану); эпидемиялар теориясының әр түрлі есептерін модельдеу; өндірістік цех ауасын желдетіп тазарту есебі; радиоактивтік ыдырау есептері қарастырылған.
1. Баврин И.И. Высшая математика для биологов и химиков. М., 1980
2. Ю.И.Гильдерман. Вооружившись интегралом... Новосибирск, 1980
3. Амелькин В.В.Дифференциальные уравнения в приложениях. М.,
1987-160с.
4. Смит Дж.М. Модели в экологии. М.,1976-
5. В.Вольтерра.Математическая теория борьбы за существование.
М.,1976.
6.Фомин С.В.,Беркинблит М.Б. Математические проблемы в
биологии.М.,1973.
7. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Изд. 2 –е., М., 1989 -383с.
8. Қонысұлы Арыстанбек Бірінші ретті сызықтық дифференциал теңдеулер және олардың қолданулары.ҚМУ, 2002ж-80б.
9. Дьяконов В. Maple 7: учебный курс. СПб: Питер, 2002.-672с.
10. Сдвижков О.А. Математика на компьютере: Maple 8. М., 2003. –
176с.
11. Қоныс А.Қ., Әбдікәрімова Ә.Б. Экология есептерін зерттеуге Maple программасын қолдану. Л.И. Токаревтің 90-жылдығына арналған республикалық ғылыми-тәжірибелік конференция материалдары. Орал, 2007 ж -202б.
12. Қоныс А.Қ., Әбдікәрімова Ә.Б. Сұраным мен ұсыным балансы
туралы есептің дифференциалдық моделін құрып – зерттеу. «Шоқан
тағылымы – 12» Халықаралық ғылыми-практикалық конференция
материалдары. 4- том, Көкшетау 2007ж – 500 б.
        
        МазмұныКІРІСПЕ...................................................................................................... 4I-ТАРАУ  Математикалық модельдеу, оның негізгі ұғымдары менәдістері.........................................................................................................6§1          ...          және          ... 8§2        ҚДТ,         оған         Коши         ... 10§3 Дифференциалдық теңдеу құруға келтіретін   практиканыңесептері...................................................................................................... 13II-ТАРАУ ...  ... ...     ... 18§4     Дененің     жылу     бөле     ...     ...     ... 20§5         ...        инерция         ...         ... ... ... ... ... теңіз қабатта шөгуі туралыесеп.............................................................................................................. 23§7 Су қабаттарында жарықтың жұтылуытуралы..................................25§8         ...          ...          ...   Жер   ...   құлаған   метеордың   ақырғы   жылдамдығынтабу..........35§10          ...           ...           ...     Ауа     ...      ...      ...  ...  оқтың  қабырғаны  тесіп   өту   уақытын   есептеутуралы....39III-ТАРАУ ... ... ...  модельдерінқұрып-зерттеу............................................................................................42§13 Биологиялық  популяция мөлшерінің динамикасы: Мальтус пенФерхгольстмодельдері............................................................................43§14 Екі популяцияның тіршілік үшін күресін сипаттайтын В.Вольтерраныңмодельдері.          ...           ... ...                 ...                  ...    51                          ...        цех         ...         ...         ...  56§17         ...         ыдырау          ...  ...    ...    бейбітшілік    үшін      күресте.................... 63Қорытынды..............................................................................................67Қосымша:(а)        ...        ...        ...                       ... күні орта және ...  ...  ...  оқытуда  оныңпрактикаға  бет бұра  бағдарлануын   барынша  күшейту  мәселесі  өз  ...  Осы  ...  ...  ...   ...   ...   ... жоғары оқу орындарындағы оқытылатын  теориялық және  практикалықмазмұндағы  оқу  ...  ...    ...   ... ... ... экологиялық сауаттылықтарын нарықтық  қатынастарталаптарына сай  деңгейге көтеруге кедергі болуда: оқушылар мен   ... ... ... емес жаңа  ...  ...  ...  ...  есебінің  математикалық   моделін   ...   ... ... ... ... ...  ...  сауаттылығынкөрсете алмайды; жаңа білімді қалыптастыруда өте қажетті  болып  ... ... ... ... етіп қолдана алмайды.  Осы  тұрғыданалғанда оқушылар мен  студенттерге  олардың  математикалық  білімін  физика,биология, химия  ... ... ... ... ... сол  салаларданалынған  сапалық  мазмұндағы  білімдерін   ...   ...   ...   ...   ...   есептерді   қарастыру    ...   ...   Бұл   ...   ...   ...    ...   ...  методтарды   қолдану   ...   ... ... ... күннің талабына сай   осындай  оқыту  мен  ...  ...   ...  ...  бағдарламалық   жүйелерінқолдана отырып  жүргізу   өзінің  тиімділігін  ...  ...  Бұл  ... мен ...  ...   ...  ...  методыарқылы компьютерлік  математиканың   Maple  бағдарламалық  жүйеcі  негізіндеқарастырылып шешіледі және әртүрлі ... ... ... ... ... үш ... ...   ТАРАУДА  Математикалық модельдеу мен оның негізгі  ... ... ...  қажетті  мәлімет   берілген:  модель,оның  қажеттілігі,  математикалық  модельдеу,  оның  ...  ...   ...  дифференциалдық  теңдеу  ұғымы,  оның  шешімі   мен  интегралдыққисығы; Коши ...  ... мен оның ...  ...  Коши  ... бар және ...  ...  туралы  негізгі  теорема;  дифференциалдықтеңдеу құруға келтіретін практиканың есептері.ІІ  ТАРАУДА  Жаратылыстану  есептерінің  дифференциалдық  ... ... ...  жылу  бөле  ...  салқындауы  туралыесеп;  катердің  инерция  бойынша  қозғалысы;  ...   ...   ... ... қабаттарына шөгуі туралы есеп; жер бетіне  құлаған  метеордыңақырғы  ...  ...  ...  ...  туралы  есеп;  ауа   қысымыныңбарометриялық  формуласын қорыту; атылған оқтың қабырғаны тесіп өту  ...  ...  ...  ...  Бұл   ...  ...  практикалыққұндылығымен қатар, оқытуда  пәнаралық  байланыстарды   іске  асыруға   жәнеоқушылардың терең білім ... ... ...   оң  ...  ...  ...  жинақталған  оқу  материалын   орта  мектепте  болсын,  университетқабырғасында болсын, ... ...  ...  ... пайдалануға болады деп есептеймін.ІІІ ТАРАУДА Экология  есептерінің   дифференциалдық  модельдерінзерттеу қаралған:  ...   ...  ...   динамикасы:(Мальтуспен  Ферхгольст  модельдері);  екі  популяцияның   ...   үшін   ...     ...     ...     ...     ...  қолдану);  эпидемиялар  теориясының   әр  түрлі   есептерінмодельдеу; өндірістік  цех  ...  ...  ...  есебі;  радиоактивтікыдырау  есептері қарастырылған.I-ТАРАУ  Математикалық модельдеу, оның негізгі ұғымдарымен әдістеріМодель деген не және ... ... не үшiн ... ... туралы бiрнеше мысалдар келтiрейiк:а)  Архитектор  бұрын  ...  ...  ...  салуға   дайындықүстiнде, ол алдымен осы ... ... ... ... ... ... қан айналу жүйесiн айтып  түсiндiру  үшiн  плакатқасызықтар  мен  стрелкалар  арқылы  қан  ...  ...  ... Өндiрiстен жаңа ұшақ жасап шығару үшiн алдымен конструктор ұшақтыңмакетiн   аэродинамикалық   ...   ...   ...    ...    ... ... ... түсетiн қысым шамасын анықтайды;в) Қабырғада буырқанып жатқан теңiз көрсетiлген сурет iлулi тұр.  Осымысалдардағы   ...  ...  ...   ...   ...   ... ... бiрден сала беруiне де болар едi, бiрақ  ол  ... әсем ... оның ...  ...  ...  қаншалықтыүйлесiм табатындығына көзi жетпегендiктен, алдымен кубиктер  арқылы  үлгiлердайындап,  тәжiрибе  жасайды.  Лектор  ...  ...  ...  атластыалуына болар едi, бiрақ  бұлай  ету  оның  лекция  ...  ...  ...  атластың  тыңдаушылардың  негiзгi  материалды  саралап   ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  Ұшақтысынақтан  өткiзбей-ақ  өндiрiске  жiберуге  болар  едi,  бiрақ  ұшақтың  ... ... ... ... ... онда ұшып  бара  жатқан  ұшақ  ... ... да ... ... алдын-ала  трубада  сынаған  жөн.  ... ... адам ... ... ...  ...  болады.  Бiрақ  сiзтеңiзден алшақ жерде тұрсаңыз немесе теңiз  бетi  тынық  ...  ...  ... ... ... адамның  әсерi  жөнiнде  болса  ше!-  онда  толқындытеңiз  бейнеленген  ...  ...  ...  ...  ...  ...  оны  алмастыратын  сәйкес  бiр  нәрсемен  (нысанмен)   салыстырыпотырмыз: ғимаратты-кубиктерден тұрғызылған (ғимаратпен(,  ұшақтар  ... ...  ...  қан  айналу  жүйесiн  -  ...  ...  ...  теңiздi  -суретпен.  Барлық  жағдайда  да   белгiлi   ... ...  бiр  ...  ...  де  сақталып  отырғандығы  ...  ...   ...  ...  ...   ...   есе   кiшiболғанымен, оның сыртқы түрi - ... ... ... бере ...  ... мен тiрi ... ... еш байланысы  болмаса  да,  қанның  қайбағыттарда ... ... тура ... ...  ...  трубадағы(ұшақ(  ұшпаса  да,  ондағы  пайда  болатын  қысымдар  ...  ...  ...  ...  ...  ...  пен  ...  физикалық  кейпi   бiрдейболмағанымен, олар бiр-бiрiне ұқсайтын әсер қалдырады.Модельдi құру, зерттеу және қолдану процесiн  модельдеу  деп  ... ... ... оның  ...  объект-үлгiлер  арқылы  танудыңметоды болуында.Модельдеу  ...  ...  ...  ...  ... ... оларға тиiстi  проблемаларды)  тiкелей  зерттеу  мүмкiнболмауымен (мысалы,  Жердiң  ядросы,  немесе  Әлемнiң  алыс  ...  ...   ...   ...   ...   ...   күйi,   ... сұранымдары, т.б.), не болмаса оларды зерттеуге  өте  көп  ... ... ... ... ... су ...  станциясын  салуға  байланысты)анықталады.Анықтама:Модель  дегенiмiз  танып-бiлу  (зерттеу)  процесiнде  обьект  -  оригиналдыңорнына ... оның ...  ...  ...  ...  материалдықнемесе ой түрiндегi обьект-үлгi (кескiн).Жаңа конструкцияларды, жаңа жобаларды  құруда модельді  пайдаланады.Жақсы  құрылған  модель  зерттеу  ...  ...  ...  ... ... ... ... нұсқаларын жасай отырып,  обьектiнiң  өзiндұрыс басқаруды үйренуге болады. Сонымен модель бізге не үшін ... ... ... ...  ...  түсiну  үшiн,  оның  құрылымы,негiзгi қасиеттерi, даму ... және ... ... ...  байланысықандай екендiгiн бiлу үшiн қажет;2)   Обьектiнi (немесе процестi) басқаруды үйрену үшiн және  берiлгенбелгiлерi мен мақсаты бойынша ... ең  ...  ...  ...  үшiнқажет;3)   Таңдалған жолдарды iске асырудың  және  ...  ...  ... тура және ... ... ... үшiн қажет.§1 Модель және математикалық модельдеу.Ендi (математикалық модельдеу( деген не, ... ... ...  құбылысын  қандай  да  бiр  материалдық  системаның  өзгеруi  ... жөн. ... ... ... ... нақты бiр  процесс  жүредi,  алоның барысында осы системаның қалып - жағдайын ... ...  ... ... отырады. Бұл шамаларды режим параметрлерi деп атайды.  Егернақты бiр құбылысты (процестi) ...  ...  ...  үшiн  ...  ...  ...  ...  болса,   онда   осы   ...  ...  ...  де  ...  сөйтiп  осы   құбылыстыңматематикалық моделi болып табылатын қандай да  бiр  теңдеулер  не  қатыстаралынады.  ...  ...  ...  ...  ...   ... құрылған  математикалық  модель  арқылы  жүргiзiледi.  Модельдеуарқылы қазiргi кезде түрлiше күрделi ... ... бу  ... ...  ...  ...  реакторлар  мен  сұйық  металдардыайдайтын ... ...  ...  және  тағы  ...  ...  ...  ...  Электронды  есептеу  техникасының(ЭЕТ)  соңғы  кездерi  жедел  қарқынмен  дамуына  байланысты,  математикалықмодельдеу әдiсi өте ... ... ... ... ...  Бұрындары  әлiмiзкелмеген  көптеген  есептердi  зерттеп  шешу  мүмкiндiгi  пайда  болды.  ... ... ... ... ... - ... ...  ментәжiрибесiне негiзделген эвристикалық әдiстермен толыға   ...  ... ... ...  ...  ...  ...  модельдеудiңклассикалық бiр мысалы ретiнде механикадағы  Ньютон  заңдарының  ... ... ... ... ... ... ... модельдердiң негiзгi кластарын атайық:1) Дескриптивтiк  модельдер.(Дескриптивтiк( сөзi  ...   ...  ...  ...  ...  ...  мағынаны  бiлдiредi.  Бұл  класқа  жататын  математикалықмодельдер әртүрлi процестердi  ...  ...  және  ...  ... ... ... мәлiметтер жинақталады;2) Оптимизациялық  модельдер.Қандайда  бiр  процестi  немесе  объектiнi  мақсатты  ...   ... ...  ... ... ал ... ...  нәтижелер  беретiнiнанықтауға және салыстыруға мүмкiндiк бар болса,  әрбiр  әрекеттiң  нәтижесiнсандық тұрғыдан бағалау мүмкiн ... онда ... ...  ... құрылады;3) Көпкритерийлi модельдер.Бiрнеше мақсаттық функциялары бар (яғни  зерттеу  процесiнде  бiрнешемақсаттарға жету көзделетiн) болатын есептер  үшiн  ...  ... ... ... ... модельдердiң бәрiнде шешiм қабылдайтын тұлғаға  қарсыәрекет ететiн күштер жоқ ...  Ал  ...  ...  ...  ... ... келiспейтiн  мүдде  ұстанатын  жағдайлар  өте  жиi  кездеседi,бұларды әдетте  (даулы жағдайлар( деп ...  ...  ...  ... ... модельдер.Математикалық модель құрылып  болған  соң,  оны  тиiстi  аналитикалықнемесе есептеу методтары ... ... ... ...  ...  ... ... жауаптар iзделiнедi.Егер модель жақсы  құрылған  болса,онда  ол   ...   ...   ...   ...   системаның   сәйкессипаттарымен үйлесiмдi болады. Мүлдем,  бұл  жағдайда  кейде  модель  арқылыбiзге ... ... ...  ...  ...  болып  келген  жаңа  деректерашылады.  Ал  егер  ...  ...  ...  ...  онда   ол   әрi   ... немесе басқамен алмастырылуы  тиiс.  Не  дегенде  де,  модельдiжақсарту процесiнiң қашан аяқталатынын, оның сапалылығын  ...  ... ...  қоршаған  нақтылы  Әлемдi  зерттеу  -  тану  барысында  ... ... ... түрi ретiнде  дифференциалдық  модельдердiқарастыратын боламыз.Анықтама.Қандайда бiр нақтылы ... ... ...  ...  ...  ... ... немесе осындай  теңдеулердiң  жүйесiне  қойылған  Кошиесебiн осы ... не ... ... моделi деп атайды.§2 Қарапайым дифференциалдық теңдеу,оған Коши есебінің қойылуыДифференциал теңдеу  деп ... ... х пен ... ... у-ті, оның ... бір n-ші ... дейінгі  туындыларын байланыстыратын(1)түріндегі  қатысты  айтамыз.  Жалпы   ...  ...   деп   ... ...   мен  ...  ...  және  оның  туындылары   барболатын теңдікті айтамыз.Дифференциал теңдеу  енген  функция туындыларының  ең  ...  ... ...  реті  деп  ...  ...  ...   біреу  ғанаболса, онда теңдеу қарапайым дифференциалдық теңдеу (ҚДТ) деп ... ... ... табу ... осы ... ...  ...  шешіміне  сәйкес  сызықты   осы  ...   ... ... ... ...  математиканың көптеген салаларымен  қатар,механика, физика,  ...  ...   өте  жиі  ...  ...   ...   ...   құруға   және   оларды   ... ... ... қарастырамыз.Дифференциалдық теңдеулерге тән қасиет  олардың  шешімдерінің  ... ... ... ... ... ... ... формула  тапқанболсақ,  онда  теңдеудің  жалпы  шешімін  таптық  ...  ...   ...  ...  бір  ...  мән   бергенде   алынатын   әрбір   ... ... ... ... дейміз.Практиканың  нақты  қолданыстағы  есептерін  шешуде,   қандайда   ... ... ...  ... ... табу керек болады.(2)теңдеуіне  Коши есебі былай қойылады:  (2)  теңдеуінің  барлық  ...  x=x0 ...   y=y0  ... ... y=y(x) ...  табу  ...   x0 ,y0   ... есептің бастапқы берілімдері, ал(3)шарты есептің  бастапқы шарты деп аталады.Егер х0 нүктесiнiң қандайда бiр аймағы ... бұл ... х0, у0 ... берiлiмдерi бойынша шешiм анықталса;2)  х0  нүктесiнiң  аталған  аймағында  х0,   у0   ...   ...  ...  ...  шешiмi  болмаса,  онда  х0,  у0  –   ...  ...  Коши  ...  ...  ...  ...   табылғандеймiз.Коши есебiне  геометриялық  ...  ...  ...  (1')  ... ... қисықтарының iшiнен  жазықтықтың  берiлген  М0  (х0,  у0)нүктесi арқылы өтетiнiн табу керек, яғни iзделiндi у  =  (  (х)  ... М0 (х0, у0) ... ... ... ... ... ... жалғыздығы туралы мәселе дифференциал теңдеулертеориясында, практикалық қолдануларында өте маңызды роль  атқарады.  Өйткенiқойылған  Коши  ...  ...  ...  ...  ...  бiз  ... ... құбылыстың (процестiң) берiлген теңдеу  мен  бастапқышарттар арқылы анықталған нақтылы және жалғыз заңын алатын боламыз.(2) теңдеуiн  қарастырайық.  Осы  ...  оң  ...  f  ... ... бiр G  облысында  анықталған  және  үздiксiз  болсын  депұйғарсақ, онда бұл ... ...  бiр  ...  ...  анықтайтын  боладыжәне бұл өрiс те үздiксiз  болады.  Теңдеудiң  ...  ...  ... ... ... бағыты мен өрiстiң  бағыты  бiрдей  болатынерекше қасиетiн пайдаланып, G облысынан ... х0, у0 ...  ...  Коши  ...  ...  жуықтап  табуға  болады.   Ол   үшiн   “Эйлерсынықтарын” жүргiзу әдiсi қолданылады ... ... ... бар ...  ... ... оң  жағындағы  f  (х,у)  функциясының   (х0,  у0)  ... ... ...  ...  ...  ...  ...  шешiмтәуелсiз айнымалының бастапқы х0  мәнiнiң  қандайда  бiр  кiшкене  маңайындаанықталады және үздiксiз дифференциалданады.Негiзгi теорема:Егер (2) ... оң жағы  ...  f(х,у)  ...  G  ... және осы ... мынадай екi шартты қанағаттандырса:1) f (х,у) үздiксiз болса,2) K, мұндағы К-тұрақты оң сан,  онда  (2)  теңдеуiнiң(3) бастапқы ... ...   ...  ...  ... ... жалғыз шешiмi бар болады.§3 Дифференциалдық теңдеу құруға келтіретінпрактиканың  есептері1.Резервуарда құрамында в кг тұзы бар а кг  тұздың  ...  ...  ...  секундына  с  кг  қоспасын  алап  тастайтын  белгіліуақытта  ...  ...  ...  ...  резервуардағы  сұйық  үзіліссізараласып тұрады. Резервуардағы тұз саны ... ... ... ... ... ... мезетін  t уақыттың бастапқы санағы  ретіндеқабылдаймыз.  y(t)  –  t  әр   ...   ...   ...   ... ... ... ... шарты бойынша  және  уақыт  санағыныңкелісімімен . Бұл ...  ...  ...  ...  ...  мәні.Есептің негізгі қиындығы қоспаның концентрациясының үзіліссіз  өзгергендігі.Шешудің дұрыс әдісін қолданып бұл үзіліссіз  өзгеруін   ...  ... ... ... аралығында    ие  болады.  Аралықтың  басындарезервуарда  y(t) кг тұз бар, ал  ...    кг.    ...  ... ... ... ағып кеткен  тұздың  саны.  Қоспа  концентрациясықарастырылған  уақыт аралығында ...   - дан     ...  ... бұл ... ... болып табылады, егер  және  .Бұл теңсіздікті -ға бөліп,(4)Қарастырылған  ...  ...     ...  функция   үзіліссізекенін қорытуға болады. Бұл жағдайда  . Онда (4)-тен мынаны табамыз:Ізделінді y(t) ... t  әр ... мына ... ие ...   функциясы  (5)-ші  теңдеуді  қанағаттандырады.   Бұл   ...   ... ... ...   () ... ескеріп  және  y(0)=вшарты бойынша, резервуардағы тұздың  санының  уақытта  ...  ... ... мына ... ... .2. ...  ...  пропорционал  су  кедергісінің   әсеріненқайық өз қозғалысын баяулатады. ... ... ...  2м/с  тең,  ... жылдамдығы 4 с кейін  1м/с тең болады. Қанша секундтан  ...  ... ...  тең ...  Қайық тоқтауына дейін қанша жол жүреді?Шешуі:  t мезетіндегі  қайықтың  ...  ...  ... ... ... заңына сәйкес ,  F(t)  –  қайыққа  әсер  ...  m – ... ...  Шарт  ...      k>0  –  ... ... таңбасы күш  қозғалысқа  қарсы  бағытталғанын  көрсетеді.Сондықтан қайық қозғалысының дифференциалдық теңдеуі:,оның шешімі                         ... ... ,  ...   C=2   және     .     ...  ... ... ... болады:;  .Қайық жылдамдығы  . Қайық ... ... ...  Т ... ... арқылы табамыз:,  ,  ,   T=12c.Қайықтың жүрген жолының ұзындығын мына формула арқылы есептейміз:.Көрініп тұрғандай қайықтың ... жолы мына ... ... бола алмайдым.3.Шеңбер формалы виктория-регия  жас  жапырағының  үлкею  жылдамдығыоған түсетін күн ...  ...  және  ...  ...  ...  ...   саны  жапырақтың  ауданына  және   сәулелердің   ... ... ... ... Егер  ...  ...  600-да  ауданы1600 см2, ал сол күні  сағат 1800-да ауданы 2500см2 болса,  онда  ... ... мен t ... арасындағы байланысты табу керек. Күн  сәулесі  менвертикаль бағыты арасындағы бұрышты таңғы ... 600 және ...   900  ... ... – 00 ... S=S(t)   t ... мезетіндегі жапырақтың  ауданы.  Егер  уақытсанағының бастапқысы ретінде таңғы  сағат 600-ді ... онда ...  ... ... ...  ...  ...  Жапырақтың  өсу  жылдамдығы, k – ... , r – ...  ...  Q  –  күн  ... Шарт ...   ,  γ  –  ...  ...  α  –  ... және ... ... бағытының  арасындағы  бұрыш.  α=α(t)бұрышы уақыттың сызықтық өспелі функциясы ... ...  ,  , ... шарттардан табатынымыз: ,  ,  . Сондықтан, жапырақтың радиусы   болған соң,    .Айнымалыларды ... және  ...  ,   ,     ... ... ... ... қойсақ: ,немесе  4. Қисық координаттың  басы арқылы ... және   ...  ...  ...  ...  өткізілген  координат  осьтерінен   және   оларғаперпендикулярлармен шектелген әр тік бұрышты  ...  ...  ...  ... ...  ... бөлшегінің ауданы  қисық  үстіндегі  тікбұрышбөлігінің ауданынан 2 есе кіші. Қисықтың теңдеуін табу ...  ...  ...   y=y(x)  ...  ...     M(x,y)нүктесінен  МА және МВ ... ... ОАМВ   ...  ...  ...  ...  өрнектеледі.  Қисық  астындағы  тікбұрыш  бөлігініңауданы мына формула бойынша есептеледі:  . Шарт  ...    ... ... ... ... ... екі  ...   х  бойыншадифференциалдап:     ...  .  Бұл  ...  ...   ... ... ... шарт ...   жарты жазықтығында  орналасқан,сондықтан кез-келген  парабола  (C>0) есептің шартын қанағаттандырады.ІІ-ТАРАУ  Жаратылыстану  ... ... ...  ...   ...  ...  ...  үшін  даярланған    соңғыжылдардағы   ...   ...  ...   50  ...  ...    ...  бойынша  жылынуынан  дүниежүзілік  қауымдастық жылына  300 млрд. $-ға дейін зиян шегуі  мүмкін екен. ... ...  ...  қою  ... ...  көміртегінің  қос  тотығы  секілді  өте  зиянды  ...  ... ... тию ...  ... ... деңгейде  ғалымдар жинақтаған орасанзор зерттеу материалдары кімді болмасын бей-жай  қалдырмайды,  көкірек  көзіояу ... ... ... ... те ... болар. Міне, қараңыз.Дүниежүзілік мұхит  пен құрлықтағы  ... ... мен  ... ... ... әртүрлі химиялық қоспалар  араласады екен.  Жыл  сайын  ...  100 ... ...  аса кен  ...  ...  800  млн.  ...  түрлі  металдар  қорытылып,  60  млн.  тоннадан   аса   ...   ...  ... ... ауыл ... топыраққа 500  млн.тоннадан  астам минералды тыңайтқыштар, 3 млн. ...   аса  ...   ... ... ... кемінде   35%-і  су  көздері  мен  атмосферағаөтеді екен.  Соңғы  150  ...  ...  ...  ...  нәтижесіндетабиғи ортаға  6,5 млрд. тонна шамасында   темір  қалдықтары  сіңірілгеніне,жер қыртысының  осыншама «темірленуінің»  ...  ...  ...  ... білдіріп отыр.Адамзат  өзінің  суландыру,  өнеркәсіптік  өндіріс   және   тұрмыстыққажеттеріне   Жер  ...   ...   ...   суының   13%-тен   астамынпайдаланып,  жылына  әртүрлі  су  ...  ...  пен  ...   ...  500  ...  м3-н   ...   жіберуде.  Ал  мұншама  көлемдегі  лассуларды қолдан немесе табиғи жолмен  тазартуға  табиғи  таза  су   5-тен  ... ... көп ... жұмсалуға тиіс екен.Бұл дегеніміз, Табиғат –Ана жылына ... 5000 ... м3  таза  ...  адам  ...  ...  ...   ...    қиянатын   жоюғажұмсауы керек деген сөз. Сол сияқты, мұхиттарға  ағын  барып  ...  ...  ... де екі ... ... ... жылына 17,5 млрд. тонна  құрайдыекен.  Су  қоймаларының  өзінде  ғана  қазіргі  ...  ...   ...  13,6  ...  ...  ...  ...  жинақталып  қалған.  Әртүрліотындарды  жағу  нәтижесінде  атмосфераға  ...  20  ...  ...   ... қос ... және 700 млн. тоннадан астам әртүрлі газ  бен  қаттыбөлшектер түріндегі  қоспалар  тасталуда.  Қазіргі  ...  ...  ... пен ... ... ... ... 150  млн.  тонна  күкіртті  газараласып, ол ылғалды ауада күкірт қышқылына айналып, жерге  ...  ... ... ... ... ... тіршілік  –тынысымен   Жер  ...  ... ғана ...  ...  қоса  ...  ...  балансын  дабұзуға шықты. Осының бәрі экологиялық   проблемалардың  тас-түйіндей  қатқантұтас шоғырын  туындатып ... ... ... ең ...  ... су мен жер ресурстары  жағдайына байланысты туындауда.Планета  атмосферасының  көмір  қышқыл  газымен  ...  ... 60-70 ... ... ... ... 1,5-20С –қа ...  оныменқабаттаса  дүниежүзілік мұхиттың деңгейі де  үнемі  көтерілуде.  Планетадағымұздықтардың  еруі  ...  ...  бұл   ...   ...   ...  өте  терең   қайта  құрылуына,  тіптен   ...    ...   68  м-ге  ...  ...  ...  ...  ...  субасуынан  ең кемінде бір млрд. халықты көшіруіне әкеп  соқтыруы  мүмкіндігінғалымдар қуаттап отыр. Планета климатының ...  келе  ...   ... ... ... ...   ...   ортаңғы  ендіктерінде  болатынқуаңшылықтардың  жиілеуі.§4  Дененің жылу бөле ... ... ... есеп.Жылу  физикасынан  бiз  кезкелген  дененiң  температурасының   ...  ...  орта  ...  мен  оның   өз   ... тура ... ... яғни ... температуралар  айырымықаншалықты аз болса, дене соншалықты баяу  салқындайтынын  бiлемiз.  Ортаныңтемпературасы тұрақты және  T1  ...  ал  T(t)  ...  ...  t  ... температурасын белгiлейiк.  Онда  жоғарыда  айтылған  заңдылыққасәйкес(6)eкендiгiн  аламыз,  мұндағы   k-  дененiң  ...   ...   ... ...   ...  енгiзiп,  (6)  теңдеуiн  өзiмiзгебұрыннан таныс ...  ...  ...  Бұл  ...  ...   шешiмiн   табу   ... ... ... ... бастапқы температурасын  Т0 деп алсақ, онда (7)-денС тұрақтысының мәнi ... ... ... ... Коши есебiнiң дербес шешiмi табылды:.                          ... ... ...  ...  ...  ...  сайын  экспонентабойынша төмендейдi және  көрiнiп тұр.Ендi ашық ауадағы ...  ...  ...  ...  ...  ...  және  дене  ...  600-қа  дейiн  20  минутта  салқындағаныбелгiлi болса, онда ол  300-қа  дейiн  ...  үшiн  ...  ...  ... ...  Бұл  ...  ...  шарт    болатындықтан,бiзге қажеттi дербес шешiм мынадай:.k-ның ... ... ... үшiн ... ... ... ... Онда,яғни,  t=1 (сағат).Сонымен, дене 300-қа дейiн ... үшiн оған 1 ... ... ... ... ... бойынша қозғалысы туралы есеп.Тынық судағы катердiң қозғалыс жылдамдығы V0=20 км/сағ.  Оның  моторытоқтатылып, осыдан ... 40 сек. ... ... ...  V1=8  ...  ...  ...   Судың   кедергiсi   катердiң   қозғалыс   жылдамдығынапропорционал ... ... ... моторы тоқтатылғаннан кейiнгi  2минутта жылдамдығы неге тең болатындығын табайық.Шешуi:Қозғалыстағы катерге F=-kv күшi әсер етедi, мұндағы k>0пропорционалдық коэффициентi. Ньютон заңы ... ... ДТ-i мына ... алынады:(9)Айнымалыларды бөлектей отырып интегралдасақ,одан әрi, потенцирлегенiмiзде (9) теңдеуiнiң,түрiнде,  мұндағы  ,  жалпы  шешiмi  алынады.Бастапқы   шарт    ...  одан  ...  С=20,  яғни  ...  Коши  ... ретiнде катердiң қозғалыс заңы алынады:(10)Есептiң қосымша шартын  ... ... ... ...  Бұл  ...  ...  ...  оң  жағына  қоямыз,  сондакатердiң iзделiндi жылдамдығы табылады:(км/сағ.).Сонымен, катердiң моторы  ...  ...  2  мин.  ...  ... V=1,28 ... ... екен.§6 Аварияға ұшыраған сүңгуір қайықтың теңіз қабаттарынашөгуі туралы есеп.Жүрісін тоқтатқан  сүңгуір қайық дереу  Р ... ...  ... ие ... өз ...  ...  ...  отырыптеңіз қабаттарына шөге бастайды. Судың кедергісі қайықтың шөгу  ...  ...  және  -ға  тең,  ...  k  >  0   ... ал ...  ...  ...  -шөгу    жылдамдығы.   Қайықтыңмассасын М деп алайық. Бастапқы жылдамдық үшін  деп ... ...   ... мезетіне дейін өткен жолы мен шөгу жылдамдығын  табайық.Шешуі: Сүңгуір  қайыққа  әсер  етуші  күштерді   ...  Оу  ... ... ... қозғалысының дифференциалдық  теңдеуін аламыз:,                ...   - ... ... ауырлық күші, ал   - судың  кедергісі.алмастыруын қолданып (11) теңдеуінде  айнымалыларды бөлектейміз:(12)және мұны интегралдай ... ... ... ... ... шартты пайдалану бізге   екендігін береді.Бұл мәнді (13)-ке қойып, оны біршама ... әрі  ...  ... яғни ... шөгу ... ... аламыз. Енді қайықтың шөгу жолын табу үшін, (14)  ...   ... ... ...  ... ... ... жолды анықтауға(15)жалпы  шешімін  аламыз.  бастапқы  шартынан       екендігі,   ... жол ... ... ...  мәні үшін ізделінді жолшамасына тең болады. Егер осы формулада  мысалға  м  деп   ...  ... ...  ...  ...  ...  ...  экипажының  уақытын  табуғаболады.§7 Су қабаттарында жарықтың жұтылуы туралы есеп.Оптикадан жарықтың су ... ... ... ... ...  оның  ... жұтылатындығы белгiлi. Судың  бетiне  оған  ...  ... А0-ге тең ... ... онда ... ... х  ... интенсивтiлiгiн А(х)  деп  белгiлеймiз,  ал  А|(х)  осы  ... ... ... ... ... заңы бойынша x  тереңдiктесу (немесе шыны) секiлдi ортада ... ... ... осы  ... ... тура ... ... яғни(17)(17) теңдеуiнiң оң жағындағы минус таңбасы жарықтың  А(х)  интенсивтiлiгiнiңх  өскен  сайын  кемитiндiгiне,  яғни  оның  ...   ...   ... ... есебiмiздi нақтылайық. 10 метрлiк  су  қабаты  оныңбетiне түскен ... 40 %-iн  ...  ...  жарығы  күндiзгi  жарықтың- дей үлесiн  құрайтыны  белгiлi  болса,  онда  судың  ...  ... ... ... жарықтылығы су бетiне түскен.  Айдың  жарығыныңжарықтылығындай болады?Шешуi:Судың бетiндегi ... ... ... ал 10 метрлік тереңдік үшін   қосымша  шартын  жазсақ,онда (17) теңдеуінің  (*) ... ... ...  ...  ... ... пайдаланып  теңдігін аламыз.Сондықтан, жарықтың сiңiрiлу заңы ретiнде- функциясын табамыз. Онан  әрi,  есептiң  ...  ...  ... үшiн мына ... ...  х 247 м.§8 ...  кинетика  есептерін модельдеу.Егер  А және В заттары  реакцияға  түсіп,  нәтижесінде  түзілетін   ... ...  x-деп ... онда  ...  бір  ...   ... ... температура жағдайында реакцияның  жылдамдығы      мынағанпропорционал болады:1) А затының қалған мөлшеріне, егер А заты С ...  ...  ...  ... ... ... ... теңдеу алынады:мұндағы  а  –  А  затының  бастапқы  мөлшері,  ал  k  >0  –  ... ... ... ... ... ... егер  А  мен  ... С затына айналатын болса, және бұл жағдайда мына теңдеу алынады:,мұндағы а мен  в   А  және  В  ...  ...  ...  ал  k>0  ... ...  Біз   x-тің   t  ...  тәуелділігін  осыаталған  екі  жағдай  үшін  де  анықтауға  тырысамыз.  Екі  теңдеу  үшін  ... шарт ...   ...  ал  бұл  ...  ...  ... ... тұр. Олай болса, бірінші жағдайда,деп жаза отырып, жалпы ... оңай ... ... C=-a болып  табылады, сондықтан дербес шешім мынаған теңболады:Бұл шешімнен   ...   ... тұр. ... жағдайда  да,теңдеуінің жалпы интегралы оңай табылады:.Біршама ... ... ... ...  ... ... бұл ... есептің дербес шешімі  мынау:Егер b>a деп  ұйғарсақ,  онда     жағдайда  бұл  ...  ... тұр. Ал ...  a>b ... онда ... интегралын,түрінде қайта жаза отырып,    жағдайда    көреміз.  Осы  ... ...  мына ... ... да оңай ... ... ... реакциалар бірінші және екінші реттіхимиялық  реакцияларға  жатады.  Енді  ...   ...   ...   ...  ...  RaB  ...  26,7  мин.  ...  жартылай  ыдырапрадиоактивті RaC элементіне айналады.  RaB  элементінің  алғашқы  мөлшерінің0,2 бөлігі ыдырайтын уақытты табыңдар.Шешімі: Бұл ... ... ...  ... ... ... дифференциал теңдеуі:        ...  ... ...          ... ... ... ...           .Олай ...  k ... t=26,7 ...  ... ... ...  . ... ізделінді уақыт мынаған тең боп табылады:(мин)ә) А заты В ... ... ... және ... ... ...  ... өткенде А затының 44,8г қалды, ал 3 сағаттан соң оның 11,2г ...  ... ...  ...  а-ны   және  оның  тең  ...  ...  уақыттытабайық.Шешімі: Реакцияға сәйкес  дифференциал теңдеужәне оның шешіміекендігі белгілі. Қосымша шарттарды пайдалансақ:болғанда ,болғанда ,онданемесеБұл жүйенің шешімі  ,  Енді ... ... ...                   ,   ,  ... бастапқы мөлшер г, ал оның жартысы қалатын уақыт сағат.б) Уксустыэтилдік ...  ... ... ... ... ... концентрациялары ретінде    және, ал 23  мин  ...  ...  ...   концентрациясы   10%-кетөмендеген. Қанша уақытта аталған концентрация  15%-ке төмендейді?Шешімі: Бұл реакция екінші ретті ... ... оның  ...  к коэффициентін  t=23 мин. болғанда   екендігіненанықтаймыз:,немесе.Енді ізделінді ... ... ... ... ... ретті  химиялық  реакциялар  үшін  деқарастырып шешуге болады.в) Сонымен, химиялық теңдеу белгілі бір заттардың ...  ... бір зат ... ... ... ... мына қарапайым  теңдеу,сутегінің екі  молекуласы  мен  оттегінің  бір  молекуласының   әсерлесуіненсудың екі молекуласы ... ... тұр.  ...  ...   ... мына ... ... А,В,С,... - әсерлесуші заттардың молекулалары, M,N,P,... –  химиялықреакция нәтижесінде алынатын заттардың молекулалары, ал a,b,c,...,m,n,p,…  -оң ... ... ... ... молекулалардың сандарын көрсетеді.Жаңа заттың түзілу жылдамдығын реакцияның жылдамдығы дейді. Әсер  етумассасы  немесе реакцияға  ... ... ...  осы  ...  көлембірлігіндегі   мольдерінің  санымен  сипатталады.   ...   ... ...  теорияның негізгі заңдарының бірі ретінде  әсер  етушімассалар  ...  ...  ...  бұл  заң  ...   ...  ... ... реакцияның  жылдамдығы  осы  реакцияға  қатысушы  заттардыңберілген   мезеттегі    концентрацияларының    ...   ... Енді ... мысалға жүгінелік:Көлемдері 10 және 20 литр болатын  екі   А  және  В   ...  ... ... ... ... жаңа ...  ...  С  затын  түзеді.Реакция барысында  температура өзгермейді және А затының  әрбір екі   ... В ... бір ...   С  ...  үш  көлемі  пайда  болсын  деп,  Сзатының кез-келген  t  уақыт мезетіндегі ...  ... ...  ... минутта  С затының 6 литрі түзілетіні белгілі болса.Шешімі: t уақыт мезетіндегі (сағ)  ...  ...  С  ...  көлемін(литр) x деп белгілейік. Онда осыған  дейін химиялық  реакцияға   А  ... ал  В  ...     ...  ...  ...  Онда  дәл  ... А  затынан     литр,  ал  В  ...    ...  ...  ...  ...  ...  ...  сәйкес  мынадай  дифференциалтеңдеу аламыз:,Одан әрі,мұндағы  - пропорционалдық коэффициенті. Есептің шартына сәйкес,  ...  ... ... және де   мезетінде  x=6 ...  ... ... шешу үшін ... ... есеп деп  аталатын   мынадайжүйені алдық:,  ,  Бұл ... шешу үшін ... ...  ...  жалпы  шешімін  табамыз,сонан соң бірінші шартты  пайдаланып (х(0)=0), дербес шешімді (интегралды):түрінде ... Енді  ...  ...  ...  ...    ... Соныменяғни,түрінде  С затының кезкелген   t   ...  ...  ...  ... табамыз.Кейінгі   уақытта    ...    ...    ...    ...  ...  ...  зерттеуге  дербес  туындылы    дифференциалтеңдеулер  теориясы  да  ...  ...  ...  ...  ... дербес туындылы  дифференциал  теңдеулерді  пайдаланудың  көптегенартықшылықтары бар, мүмкіншіліктері де  мол  және  ...  ...  ... ...  оның ... емес ... бұл  теория  барынша  қамти  даалады. Мысалға,  химиялық   реакторлардың  жұмысын  ...  ... және ... сыбайлас мәселелер  жөнінде көптеген химиялық  процестердімодельдеуде ... ... ... ... А ... екі ...   P  және  Q  заттарына  ыдырау  туралы   ... Жаңа екі ... ... да ...  ...  А  затыныңыдырамаған  бөлігінің  ...  ...   ...   анық.А   затыныңбастапқы мөлшері а  болсын,  және  ...  ...  ...   бір  сағатөткенде  Р затының мөлшері x және Q затының мөлшері у  ...    -  ... -ге тең ... деп ... t ... сәйкес x  пен  y  мөлшерлерініңөзгеру заңдарын табайық.Шешуі: А затының t  уақыт  мөлшері ... тең ... ... сипаттайтын теңдеулер жүйесі мынадай:Егер екінші теңдеуді мүшелеп бірінші теңдеуге  бөлетін  болсақ,  ондашығатыны,яғни.Бастапқы шарт ... t=0 ...  x=y=0 ...  C=0, олай ... ... ... теңдеуге қоятын болсақсызықтық  теңдеуі шығады. Оның жалпы шешімі оңай ... да  ...  ...  (х(0)=0)  пайдалансақ,    екендігі  ... ... (*) – ға ... ... қосымша шарттарды:t=1  болғанда  және  екендігін ескерсек, онда  к1  және  к2коэффициенттерін табу үшін ... ... жүйе ... ... ... қосу арқылы алатынымызнемесе,  яғни  Екінші  теңдеуді  мүшелеп  бірінші  теңдеуге  бөлу   ...      ... ...  , , және ізделінді шешім мынадай болып табылады:Химиядағы таза және өте таза заттарды кристалдау  процестерін  ...  ... ... ... ...  өте  ...  жүруде,  бұл  реттеСтефан есебі деген дербес проблема пайда болды.  Бұл  ...  ...  ...  ...  ...  ...  алған  нәтижелері  өте  жоғарыбағаланады.§9 Жер бетіне құлаған метеордың ақырғы жылдамдығынтабу есебін модельдеу.Ғарыштың алыс түкпірлерінен ұшып ... ...   ...  ... табу  ...  ...  үшін  ...  Жер  бетіне  түзу  сызықтытраекториямен  ұшып  келген  және   оның  ...   ...  ...   ...  ... кері ...  болсын деп есептейік.Метеордың Жер центрінен ара  қашықтығын   r  деп  ...  ... ... оның ... ... ... ... >0,               (18)немесе  жылдамдығы арқылыБірақ ... r ... ... ... ... ... ...                                ...                    (19) ... ... интегралы оңай табылады:(20)Метеор қозғалысының   жылдамдығы үшін(21)бастапқы шарты қойылатын болады және сәйкес С=0 екендігі, яғни (19,21)  ... ... ... ... ... ... ... Жер бетіне құлау жылдамдығын  табу  үшін  (22)  ... ...  ...  әрі  Жер  бетінде    екендігін  ескеріп  және  kкоэффициентін анықтау ... (18) ... ... ...  ... алынады.Табылған осы  мәнді  (5)  формуласына  қойғандабарып,,құлау жылдамдығын есептеп табу үшін ... және ... ... ... ... , ... ... иондалуы туралы есеп.Тұрақты сәулелену  жағдайында газды  ортада  иондалу  ...  ... 1 ...  ...   ...  q   оң  және   ...  теріс  иондартүзілетін болады.Бірақ бұл оң және теріс иондар ... ... ...  ... (иондардың рекомбинациясы), олардың саны азаятын болады.Кез-келген t  ... ... оң ...  ...    деп  ... ... бір ... квадратына пропорционал бөлігі  рекомбинацияесебінен қайтадан қосылып ... деп ... -ны ... ... ... процесін сипаттайтын  ДТ мынадай және Коши есебі:,                           ... ... ... ...               ...                                   ... ... шешім мынау:Бастапқы шарт (24)-ні  пайдалансақ,  С=-1  екендігі,  яғни  ...  ...         ... алынатын болады.§11 Ауа қысымының барометриялық формуласын қорыту.Атмосфералық ауа қысымының  биіктеген сайын ... ...    - ...  ...  ...  ...  ...   S=1  см2  ауданғатүсірілетін ... ... ... ... алады. Осы бағанның  h  жәнебиіктіктердегі қималарын қарастырайық.     деп  ...  ... ... екінші жағынан:, - ауа массасы, - еркін түсу үдеуі,мұндағы - ді орташа тығыздық пен көлем арқылы ...  ...  ... ... ауа көлемі,        ...                              ... ауа ...  ...   , сондықтан:   (А)теңдігінде  шекке көшсек,  -  ... ... ...    ... ... Енді ... заңын қолданамыз:,мұнан,          ...                               ,    ... ... ... М-газдың молярлық массасы.(В)-дан  мәнін тауып (А)-ға қою арқылы алатынымыз:(C)Бұл Коши ... оның  ... оңай ... р0 – ... ... ... ауаның қысымы.(*) – ауа қысымының барометриялық формуласы деп аталады.PS  ...  ... ... үшін   (h0, δ >0 ,                  (33)- ... ... ... ...     -  ...  ... немесе түрiшiлiк бәсекесiнiң коэффициентi  деп  аталады. (33)  теңдеуiнинттегралдауға ықшам болатын,түрiне келтiрсек, одан әрi ... ... ... және x ...  ретті  дифференциал  теңдеулерден   басқалар  үшін   DЕplotкомандасы дифференциал  ...  ...  тек  ...  сала  ...  ... ... ... теңдеулер жүйесі үшін оның  фазалық  бейнесін  десалуға болады. Ол үшін  DЕplot ... ...  ...  ... DЕplot ... ... екі ... теңдеулер, яғни  теңдеулержүйесі үшін  (x,y) ... оның ... ... ... ... ... ...  жүйесі  автономды  болса,  онда  фазалықсуретте бағыттаушы  өріс  ...  ...  ...  Стрелка  өлшемі  мынапараметрмен беріледі: arrow=SMALL, MEDIUM, LARGE, LINE  немесе  MONE.Фазалық суретті  түгел салу үшін ... ... ...  ... ... керек. Мысалы, бірінші ретті  екі  дифференциал  теңдеу  ...  ... t  ...  ...  ...  ...  бергенненкейін  бірнеше  алғы  шартын  көрсетеді:  ...   ...   ... …, ... ... шартты ықшам  түрде  де  көрсетуге  болады:  [t0,  x0,  ...  t0  –  ...  ...  ...  ...  x0  және  y0   ... t0 ... мәні.Бірінші ретті екі дифференциал теңдеулер  жүйесінің  фазалық  суретінphaseportrait(sys, [x,y],  x1..x2,  ...  ...  ...  да  ... ...  sys  ...  ретті  екі  дифференциал  теңдеулер  ... ... ... аты,  x1..x2 ... ... ...  ...  алфигуралы жақшамен бастапқы шарт  берілген.  Бұл  команда  DEtools  ... ... бұл ...  ... ала  ... ... керек. Мысалы:1.Бірнеше  бастапқы  шарттар   x(0)=1,  y(0)=0.2;   x(0)=0,   ...  x(0)=1, ... x(0)=0, ... ... y(0)=0.7 ... ...   ...   теңдеуінің   фазалық  суретін  салукерек болсын.> restart;with(DEtools):>DEplot({diff(x(t),t)=y,diff(y(t),t)=x-x^3},[x(t),y(t)],t=0..20,[[0,1,0.2],[0,0,1],[0,1,0.4],[0,1,0.75],[0,0,1.5],[0,-0.1,0.7]],stepsize=0.1,arrows=none,linecolor=black);2. ... ... ... ...  x(0)=1,  y(0)=0;  x(0)=1,  y(0)=0;x(0)=π, y(0)=1;  x(0)=3π,  y(0)=0.2;  ...  y(0)=1;  ...  ...  y(0)=1;      автономды  ...   ...  ...   ... ... салу.> restart;with(DEtools):> sys:=diff(x(t),t)=y,diff(y(t),t)=sin(x):>DEplot({sys},[x(t),y(t)],t=0..4*Pi,[[0,1,0],[0,Pi,1],[0,-Pi,1],[0,3*Pi,0.2],[0,3*Pi,1.8],[0,-2*Pi,1]],stepsize=0.1,linecolor=blue,thickness=2);3.   дифференциал теңдеулер жүйесінің фазалық суретін салу.Бастапқы  шарты,  айнымалының  өзгеру  ...   және  ...  ... өз ... ... суреттің  көрнекілігіне қарай таңдалып  алынады.> restart;with(DEtools):> ... ...  ... және ... ...  сандық  шешімімен оның  графиктік   кескінін   салу   Maple  ...  ...  ... асатынын жоғарыдағы мысалдардан көріп отырмыз.Математикалық есептердің шешімін табу  мен  геометриялық   салулардыңпрограммасын Maple ... ... ал ... жай  ...  ... ... берілгендерді енгізеді де, есеп шығара береді. Сонымен  берілгенесептер жоғары оқу орны студенттері үшін ... ... ... ... ...  есеп  ...  ...  Адамзат  баласы  үшін  өте  маңыздысаналатын  экологиялық  проблемаларды   ғылыми  ...  ...   ... ... ... ...  шешуге  талпынуға  арналған.  Қайсыбірістің болмасын бастауында ой еңбегі, рухани ізденістерден  құралатын  ...  Осы  ...  ...  ...  ...   ...   мүлдемболдырмау  үшін  әрбір  қоғамда  азаматтардың  бірінші  ...  ...  ...  ...  ...  ...  қажет.   Сондықтан   ең   әуеліэкологияда  эпидемияның   өз  ...  ...  ...  оның  ... ... ... ...  модельді  құру  барысында  бізбірнеше жорамал жасап, тиісті шектеулер  ...  ...  ...  ... сипаттауда, ғылыми дәлдiктi барынша сақтау  үшiн,  бiз  бактериялықклеткалардың қызметiн басқаратын цитология заңдарын,  адамдардың  ...  ...  ...  ...  мен  сау  ...   ... және т.с.с. көптеген факторларды ескеруiмiз  қажет  ...  ... ... ... бар ...  ...  параметрлердi  қамтитын  модель  өтекүрделi және икемсiз боп шығары анық. Бұл ... ... ...  ...   ...   ...   моделiн   құру    үшiн,    ...  ...  мен  ...  ...  ғылымдарының   тиiстiсалаларының тұжырымдары мен заңдарын да басшылыққа алуымыз керек деген сөз.Бiз сау-саламат N  ... бар ... ... ...  және  ... ...  t=0 ... мезетiнде бiр науқас кiсi (инфекция  таратқыш)енгiзiлсiн делiк. Егер  t  уақыт  мезетiндегi  ...  ...  ... ... х(t) деп, ал ... мүмкiндердiң  санын  у(t)  десек,онда ... анық және ... ... шарты ретiндеx(0)=1                                             ... ... ... Ендi  ...  процесiн  модельдейтiн  ДТ-дi  құруғакөшейiк. Медицинадан уақыттың t  аз  ...  ...  ...  ...  ... сау мен ...  ...  өзара  кездесулерiнiңху санына және      ...  тура  ...  ...  ... ... ... бұл теңдiктi мүшелеп -ға бөлiп, сосын  ондағы    -екендiгiн ... одан әрi     ...  ...  онда  ...  ... ... ... мынадай Коши есебi алынады:(36)мұндағы ДТ сызықтық бiртектес (айнымалылары бөлектенетiн) теңдеу,  сондықтаноның ... ... одан әрi (36) ... ... ...  ...  оңай  таба  ...  Бұл  функцияның   графигiн   әдеттелогистикалық қисық (2- сурет) деп атайды.Эпидемия туралы есептің ... ... ... ... ... қолдануда   кездесетіндифференциалдық модельдердің  басқа біреуін қарастырайық.Қандайда бір популяцияның  N ...  үш ...  ...  ...  ...  ...  бірінші  түрі  қандай  да  бір  ...   ... ... ... ... ... даралардың санын t  уақытқақатысты  S(t) деп белгілейік.  Екінші  түрі  жұқпалы  ауруға  ...  ... ... ... ... ... ... санын t  уақытқақатысты I(t) деп белгілейік. Ақырында ... түрі  дені  сау  ...  ... ауруларға  иммунитеті барлар  болсын.  Мұндайлардың  ...  ... ...  S(t)+I(t)+R(t)=N(t) жұқпалы ауру  түрлерінің  саны  қандай  дабір белгіленген сан  I*-дан  артық  деп  ...  ...  ауру  ... ... ... ... ... сол ауру жұқтыруға  қабілеттітүрлердің  санына  ...  ...  ...   ...   дифференциалдықтеңдеулерге келеміз:(38)Әрбір ауру жұқтыруға қабілетті даралар  ақырында  олар  да  ауырадыжәне олар да  ауру  ...  ...  ...  ...  ...  ... жылдамдығының  шамасы:(39)мұндағы  α,β  тұрақтыларын,   сәйкесінше,   ...   мен   ... деп ... жазылуға бейімделген түрлердің өзгеру  жылдамдығының  шамасы:Мұндай дифференциалдық теңдеулердің шешуін бірмәнді  анықтау  үшін  ...  ...  ...  ...   ...   ...    t=0   мезетіндепопуляцияда  жұқпалы ауруға иммунитеті бар дара  жоқ  ...  онда   ... ... ... бар дараларының бастапқы саны  I(0)-ге  тең.  Ауыратындармен жазылушылар  коэффициенттері   α=β  болсын  деп  ...  ... екі ... ... тура ...   I(0)I*  ...  Бұл   жағдайда   ...   ...   ... ауру ... және , ... R(0)=0  ...  ...  tүшінS(t)=S(0)=N-I(0)және бұл  көптеген жағдайға сәйкес келеді. Мұндай  жағдайда  (39)  ... ... ... ...  , ... I(0)>I* болсын. Бұл жағдайда  0≤tI*  теңсіздігі  орынды  болатындай   ...   ... бар ... ...    ...  ...  t-ның  ...  қабілетті  түрлерінің  арасында   таралады.  Сонда  (38)  ... (0≤t  
        
      

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 44 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 300 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Бизнесті модельдеу мен стратегиясы4 бет
Бинарлы газ қоспаларындағы диффузиялық орнықсыздық35 бет
Бисызықты жүйені басқаруға зерттеу5 бет
Дифференциалдық теңдеулер көмегімен физика есептерін шешу және оны компьютерлік модельдеуде пайдалану25 бет
Ток функциясы, құйын24 бет
Электрондардың дифракциясы4 бет
Жануарлардың құрып кету себептері7 бет
n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу36 бет
«Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі шектік есепті шешудің жуық әдісі»47 бет
Іздеу есептерінің шешілімі6 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь