Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқыту

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3

Тарау 1. Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқытудың
теориялық негіздері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.1. Дифференциалдық теңдеулердің математикада алар орны ... ... ... ... ... 5
1.2. Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқытудың
педагогикалық психологиялық және философиялық негіздері ... ... ... . ... ... ..7

Тарау 2. Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың әдістемесі ... ... ... ..13
2.1. Дифференциалдық теңдеулер туралы ұғым ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 13
2.1.1. Көрсеткіштік өсудің және кемудің дифференциалдық теңдеуі ... ...14
2.1.2. Гармоникалық тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .17
2.1.3. Дененің атмосфералық ортада құлауы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...19
жаттығулар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .20
2.2. Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер ... ... ... .21
жаттығулар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...22
2.3 Дифференциалдық теңдеулерді құруға арналған есептер ... ... ... ... ... .23
жаттығулар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .30

Әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...31
Кіріспе

Қазіргі кездегі мектеп бағдарламасында дифференциал теңдеулер туралы мағлұматтар беріледі. Атап айтқанда, дифференциал теңдеулер деген не, оның шешімі және олардың математикалық, физикалық және техникалық есептерді шығаруға қолданылуы т.б.
Қазіргі қоғамның әлеуметтік сұраныстарына байланысты мектеп бағдарламасына енгізілген дифференциалдық теңдеулер теориясы ғылымының әртүрлі облыстарында кеңінен қолданылады.
Айнымалылары ажыратылатын қарапайым дифференциалдық теңдеу теңіз деңгейінен биіктігіне байланысты атмосфералық қысымның өзгеру процессін де, радийдің түсу процесін де, тұрғындар, санының өзгеру процессін де, суыту процесін де және т.б. сипаттайды.
Сызықты диффренциалдық теңдеулердің қолданылуын илюстрациялайтын әртүрлі мысалдар жиынын радиоқұрылғылар береді. Бұл жағдайда құрылғының түрлі бөлшектері арқылы өтетін токтар шамасы немесе құрылғының жеке түйіндері арасындағы кернеулердің түсуі уақыттың белгісіз функциясы болып табылады. Бұндай теңдеулерді шешуге тригонометриялық (немесе гармоникалық) тербелістер тән. Есептерді шығаруда табылған жалпы шешімдер қарапайым, сапалы талдау жүргізуге, модельдің орнықты шешімдері мен құрылғының жұмысындағы «орнатылған тәртіптің» нақты сипаты арасында сәйкестік орнатуға болады.
Парметрлі теңдеулердің шешімін өзара әрекеттесуші биологиялық популяциялардың даму динамикасын сипаттайтын модульдермен иллюстрациялауға болады ( мысалы, Вольтер-Лотка моделі).
Дифференциалдық теңдеулерді оқу қиял ойдың дамуына нәр береді, оқушыларға дифференциалдық теңдеулердің абстрактілігі табиғат құбылыстарын математикалық модельдер көмегімен оқып білудің құралы болып табылады.
Дифференциалдық теңдеулер болашақ студенттің фундаметальды дайындығында, атап айтқанда оқушының ғылыми дүниетанымын, математикалық мәдениетінің белгілі бір дәрежесін қалыптастыруда үлкен роль атқарады.
Дифференциалдық теңдеулер мен олардың әдістерін оқып үйрену біз өмір сүретін әлемді тану үшін тағы бір құралды береді, яғни нақты физикалық кеңістік туралы бейнелік және ғылыми түсінікті қалыптастыруға мүмкіндік береді.
Осылайша, біздің тақырыптың өзектілігі келесілермен түсіндіріледі:
- математикалық талдау және дифференциалдық теңдеулер негізінен болашақ студенттердің математикалық біліміне үлкен үлес қосады.
- дифференциалдық теңдеулер мектептің математика курсында оқытудың әдістемесіне арналған зерттеулердің кемдігі.
Бұл жұмыстың негізгі мақсаты – осы пән туралы мағлұмат беру және қарапайым теңдеулерді шығару жолдарын көрсету.
Мектеп курсында дифференциал теңдеулерге сағат аз болғандықтан біз мұнда негізгі анықтамалар мен ұғымдарды беріп, соларға көптеп мысалдар келтірумен шектелеміз.
Пайдаланылған әдебиеттер

1. Алгебра және анализ бастамалары есептерінің жинағы 9-10 кластарға арналған. - Алматы: Мектеп, 1986.
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов. – М.: Высш. шк., 1990.
3. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения
математике. – М.: Педагогика, 1987.
4. Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе
обучения математике. – М.: Просвещение, 1982.
5. Доро П.Я. Наглядные пособия и методы их применения в средней
школе. М.: Учпедгиз, 1960.
6. Жәутіков О.А. Дифференциалдық теңдеулердің қолданылуы туралы
әңгіме. - Алматы: Ғылым, 1986.
7. Колягин Ю.М. Луканкин Г.Л. Основные понятия современного курса
математики. М.: Просвещение, 1974
8. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. және басқалар.
Алгебра және анализ бастамалары: орта мектептің 10-11 сынып
оқушыларына арналған оқулық. Алматы: «Рауан», 1998.
9. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание.–
М.: Наука, 1985.
10. Пойа Д. Математическое открытие. М.: 1976 г.
11. Фрайденталь Г. Математика как педагогическая задача.
М.: Просвещение, 1983. – Ч. 1 – 2.
        
        Мазмұны
Кіріспе
............................................................................
.........................................3
Тарау 1. Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқытудың
теориялық ... ... ... ... алар ... ... теңдеулерді мектепте оқытудың
педагогикалық психологиялық және философиялық ... 2. ... ... ... ... ... Дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... және кемудің дифференциалдық ... ... ... ... ... ... құлауы
...................................................19
жаттығулар ……………………………………………………………….20
2.2. Айнымалылары ажыратылатын ... ... ... ... теңдеулерді құруға арналған ... ... ... ... ... ... мағлұматтар беріледі. Атап айтқанда, дифференциал ... не, оның ... және ... ... физикалық және
техникалық есептерді шығаруға қолданылуы т.б.
Қазіргі ... ... ... ... ... ... ... теңдеулер ... ... ... ... ... ажыратылатын қарапайым дифференциалдық теңдеу теңіз
деңгейінен ... ... ... ... өзгеру
процессін де, радийдің түсу процесін де, тұрғындар, ... ... де, ... ... де және т.б. ... ... теңдеулердің ... ... ... ... ... береді. Бұл
жағдайда құрылғының түрлі бөлшектері ... ... ... ... ... жеке ... ... кернеулердің түсуі
уақыттың белгісіз функциясы болып табылады. Бұндай теңдеулерді ... ... ... тербелістер тән. Есептерді
шығаруда табылған жалпы ... ... ... ... модельдің орнықты шешімдері мен құрылғының ... ... ... ... ... ... орнатуға
болады.
Парметрлі теңдеулердің шешімін өзара әрекеттесуші биологиялық
популяциялардың даму ... ... ... ... ( ... Вольтер-Лотка моделі).
Дифференциалдық теңдеулерді оқу қиял ойдың дамуына нәр ... ... ... ... ... математикалық модельдер көмегімен оқып білудің құралы
болып ... ... ... ... ... атап ... оқушының ғылыми дүниетанымын,
математикалық ... ... бір ... ... роль ... теңдеулер мен олардың әдістерін оқып үйрену
біз өмір ... ... тану үшін тағы бір ... ... ... ... кеңістік туралы бейнелік және ғылыми ... ... ... біздің тақырыптың өзектілігі ... ... ... және ... ... ... студенттердің математикалық біліміне үлкен үлес қосады.
- дифференциалдық теңдеулер мектептің ... ... ... ... ... ... жұмыстың негізгі мақсаты – осы пән ... ... ... ... ... ... ... көрсету.
Мектеп курсында дифференциал теңдеулерге ... аз ... ... негізгі анықтамалар мен ұғымдарды беріп, ... ... ... ... 1. ... ... мектепте оқытудың теориялық
негіздері
1.1. Дифференциалдық теңдеулердің математикада алар орны
Дифференциалдық теңдеу негізгі математикалық ұғымдардың бірі болып
табылады. ... ... - бұл ... ... ... бір ... берілген шарттарды
қанағаттандыратын теңдеу. Қандайда бір нақты ... пен ... ... ... ... ... ... деп аталады.
Дифференциалдық модельдер - бірі бізді қоршаған ... ... ... ... ... ... жиынының дербес
жағдайы екені түсінікті. Сонымен қатар, дифференциалдық ... де ... ... бар екенін атап өту қажет. Біз ... тек ... ... ... ... ғана ... оларға тән ерекшеліктердің бірі ... ... ... тек бір ғана ... ... ... ... құру процесінде зерттеліп
жатқан ... ... ... ... заңдарын білу маңызды және
алдыңғы мәнге ие. Мысалға, ... бұл ... ... ... тізбектік теориясында – ... ... ... ... теориясында - салмақтың әсер ету заңы және
т.б.
Әрине іс ... ... ... құруға мүмкіндік
беретін белгісіз заңдарды да кездестіруге ... ... - ... аз ... ... ... әртүрлі жорамалдарға ( гипотезаларға) сүйену қажет. ... ... ... ... ... Мұнда, егер
математикалық ... ... ... ... ... ... тәжірибелік берілгендермен сәйкес келсе, онда ... ... ... ... ... ... білдіреді.
Кейбір жағдайларда ғана дифференциалдық теңдеулерді тұйық форма
деп аталатын түрде ... яғни ... ... ... ... ... пайдаланатын шешімді аналитикалық
формула ... ... ... ... бұл ... ... бар екені белгілі болған кезде. ... ... ... ... ... ... ... саны шектеулі аналитикалық операциялармен ... ... үшін ... Бұл ... ... ... ұқсас: бірінші және екінші ... ... ... ... ... ... оңай ... егер үшінші және төртінші ... ... ... ... шешімдер алынуы мүмкін, бірақ формалар едәуір ... ал ... ... ... жалпы түрдегі ... ... онда ... ... ... ... айтқанда, алынуы мүмкін емес.
Дифференциалдық теңдеулердің шешімдерін көрсету үшін ... ... ... шексіз қатарларды пайдалансақ, онда тұйық формалардағыға
қарағанда едеуір көп теңдеуді шешуге тура ... ... ... және тиімді қасиеттерін, алынған қатар түрінен анықтау еш мүмкін
емес. Сонымен қатар, ... ... ... ... ... алсақ та, мұндай шешімді талдау ... ... ... әр ... ... ... өте қиын болып шығады.
Осылайша, дифференциалдық теңдеулердің өзін шығармай-ақ ... ... ... ... ... алуға мүмкіндік беретін
әдістер мен тәсілдердің қажеттілігі анық ... ... ... ... мен ... бар және олар дифференциалдық теңдеулердің
сапалық теориясының мазмұнын құрайды, олардың ... ... ... мен жалғыз болуы, шешімнің бастапқы берілгендер ... ... ... туралы жалпы теориялар жатыр.
Қарапайым дифференциалдық ... ... ... мен А.М.Ляпуновтың (ХІХ-шы ғасырдың соңы) ... ... ... және оның ... ... қоршаған ортаны тану
процессінде кең қолданылады.
1.2. Дифференциалдық ... ... ... педагогикалық,
психологиялық және философиялық ... ... ... ... мақсаттарының бірі
оқушыларды ғылыми дүниетанымға тәрбиелеу деп ... ... ... жүзеге асыру мағынасында дифференциалдық теңдеулер
тақырабы тиімді.
Қазіргі заманда, жалпы ... ... ... ... кез
келген сатысында (мектепте, лицейде, колледжде, ЖОО-да және ... ... ... тарих, яғни оқытудың ... деп ... ... ... ... ... ... шығуы мен дамуы, математиканың тарихи даму ... ... ... ... және ... отыратын оның
зерттеу пәнінің анықтамасы, математиканың ... ... ... ... ... іс-тәжірибенің математикадағы ролі
және ең ... ... ... ... ... ... ... байланысты мәселелерді әрдайым талқылау
қажеттілігі енеді.
Оқушыларды ... ... ... ... ... деген іс-
тәжірибелік көзқарастың негізі ретінде ғылыми дүниетанымды қалыптастыру
қажет. Олар математиканың жалпы ... ... ... ... ... көре ... ... редукцияланған философияның
негізгі сұрағына дұрыс жауап бере алуы керек.
Математикалық – ... ... ... ... ... ... ... матодологиялық бағытын ... ... ... даму ... ... ... теңдеулер теориясына Россия, Қазақстан және басқа ТМД
елдерінің ғалымдарының үлесі ... ... ... және ... ... осы пәнді оқытудың қолданбалы ... оны ... яғни ... ... ... - оқытудың өмірмен,
теорияның практикамен байланысы принциптерінің бірін ... ... үлес ... ... ... ... мәселесі математиктер
мен әдіскерлердің зеттеулерінде кең қарастырылған. Оның ... В.Г. ... ... А.Н. ... ... З.И. ... Д.П. Костомарованың, Ю. М. Колягиннің, В.М.
Монахованың, В.А. Гусевтің, С.И Швацбурдтың, В.В. ... ... М.И. ... И.Д. ... К.К. ... Н.Я.
Виленкинаның, А.Д. Мышкистің, Л.Д. ... Г. ... ... А.П. Садовскийдің, И.И. Бавриннің, А.В.Латышеваның, ... М.С. ... және т.б. ... келтірілген.
Жоғарыда аталған авторлардың ... ... ... ... ... ... зерттейді.
Б.А. Найманов өзінің кандидаттық диссертациясында дифференциалдық
теңдеулердің қолданбалы бағыттының үш ... атап ... ... ... мен ... ... ... математиканың теориялық мәселерінің ... ... ... ... студенттерге оқушыларды математиканың қолданбалы бағытымен
таныстыру тәсілдерін оқыту.
Оқыту ... ... ... ... тек қана
ғылымның негіздерін ... ... ... ... тәсілдерін
меңгеругеде әсер етеді.
Дифференциалдық теңдеулердің қолданбалы ... ... ... ... ... байланыстыру тәжірибесін алады.
Нақты процесстің математикалық моделі деп, ... бұл ... ... ... ... ... модельдеу өнері нақты ... ... ... ... ... ... өзінің қарапайымдылығымен процесті жақсы
түсінуге көмектесді, процестің қалпының сапалық және ... ... ... ... ... ... нақты процестердің ... ... ... ... ... есептердің сипаты мен шығару әдістемесін ... ... ... ... да бір ... ... жатыр делік, мысалы,
физикалық, химиялық, биологиялық. ... бұл ... ... бір
функционалдық сипаттамасы, мысалы, уақытқа қатысты температураның
немесе ... ... ... қалпының өзгеру заңдылығы
қызықтырады. Егер бұл ... ... ... толық ақпарат бар болса,
онда оның математикалық ... ... ... ... ... ... ... модель дифференциалдық сипаттамасы болып табылады.
Дифференциалдық теңдеу, ... ... ... ... ... ... сипатын, бұл
жүйе өзгерістерінің бастапқы күйін байланыстыратын ... ... ... оқып үйрену оның жеке моменттерін анықтау
мен оның ағымының ... ... ... келіп тіреледі.
Процестен (қарапайым процестің) жеке моменттегі процестің айнымалы
шамаларын олардың ... және ... ... ... ... Интегралдаудан кейін алынатын
құбылыстың жалпы ... ... ... ... шамаларын
байланыстыратын теңдеумен өрнектеледі.
Дифференциалдық теңдеулерді құрудың ... ... жоқ. ... ... дифференциалдық теңдеулерді қолданумен байланысты
қолданбалы есептерді шығарудың әдістемесі келесіге ... ... ... ... оның ... ... сызбаны салу;
2) қарастырылып отырған процестің дифференциалдық теңдеуін құру;
3) осы теңдеуді ... оның ... ... ... берілген бастапқы шарттардың негізінде есептің ... ... ... қажет болған жағдайда көмекші параметрлерді ... ... және т.б.) ... бұл ... үшін ... ... ... қарастырылып отырған ... ... ... ... ... ... ... мәнін анықтау;
7) жауапты талдау және есептің бастапқы қалпын ... ... ... ... ажыратылмас бөлігі
болып табылады. ... ... ... адам санасында
сыртқы әлемді оның көптүрлілігі мен ішкі және сыртқы ... ... ... жуық ... ... ... ... құбылыс туралы сезіну мен ... ... ... ... ... біздің санамызда толық емес түрде елестетулер мен
бейнелер ... ... ... ... ... ... ... Сондықтан, біздің қоршаған әлем туралы түсінігіміз
принципиалды ... ... ... жылдары психикалық іс әрекеттің жемісі ретінде ... ... ... ... ... мидың құбылысы ретінде әр түрлі
аспектілірде қарастырады. Бірқатар ғалымдар ... ... ... ... ... ... ... жемісі ретінде
қарастырылады. Кейбір зерттеушілер оқытудағы модельдеуге үлкен роль
бөлетіні ... оны жеке ... ... ... В.В. ... дидактикалық көрнектілік принципінің ... ... ... ... ... ... В.В. Давыдовтың орта мектепте математиканы ... ... ... ... ... деп ... ... оқытудағы модельдеу принципі, біріншіден, ... ... ... ... көзқараспен меңгеруді, екіншіден,
оқушыларда әртүрлі құбылыстар мен жағдайларды математикалық модельдеу
біліктілігі мен ... ... ... ішкі ойды,
ойлаудың ... ... ... үшін ... ... ретінде
соларды кеңінен қолдануды білдіреді».
Бұдан оқушыларды нақты процестерді құру әдістемесімен ... ... және ең ... ... ... ... бірі.
Дифференциалдық теңдеулердің қолданбалы бағыты арқылы біз ... ... пән ... ... ... ... ... әдістемесінің түрлері бағыттарында:
оқыту процесін жақсарту, оқу ... ... ... ... ... ... өзара байланысы, тек оқушылардың білімдерінің
сапасын арттырып қана қоймай, алынған білімдерді іс-тәжірибеде ... ... ... ... ... дүниетанымын дамытады.
Соңғы жылдары зерттеушілердің пәнаралық байланысты ортануға
қызығушылықтары да арта ... Біз пән ... ... ... сандары да арта ... Біз пән ... ... ... ... құбылыстардың объективті ... ... ... қарастыруды дұрыс көрдік.
Пәнералық байланыстар, оқытудың барлық қызметтерінің, ... ... ... және ... мәнінің
орындалуына ықпал етеді. Бұл қызметтері өзара байланыста орындалады
және бір ... ... ... ... жалпылап, дифференциалдық
теңдеулердің гуманитарлық құраушысының негізгі бағыттарын ... ... ... бұл ... ... ... қоршаған
орта туралы ... ... ... ... ... метадологиялық аспекті. Белгілі шамада бұған
тақырыптың ... ... ... ... ... ... теңдеудің математикалық модельдеу
әдісімен және ... ... ... ... ... ... ... керек.
Ең соңында, дифференциалдық теңдеулер - бұл табиғат сөйлейтін тіл.
Математика ... ... ... ... ... ... ... облысындағы зерттеушілерді күннен күнге қызықтырып отыр.
Математикалық тілді ... ... ... адамның жалпы
мәдениетін құрайтыны ... ой ... ... ... ... ... студенттер бұл ойды ... үшін ... ... орнын белгілеулері керек.
Тарау 2. Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың әдістемесі
2.1. Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы ... ... ... бірі ... ... заңына сәйкес
тұрақты m ... бар, ... ... түзу ... ... ... күші m масса мен ... ... тең, F=m*a. F күші өз ... x ... v ... және t ... ... тәуелді болуы мүмкін.
Сондықтан F=m*a ... ... ... жазуға болады:
Енді нүктенің жылдамдығы координатаның ... ... ... , ал үдеу - ... ... ... ... туындысына
тең . Сондықтан теңдеу (1) келесіні білдіреді.
(2)
Біз ... ... ... -ға ... ... ... оның ... және екінші ретті туышдысы және ... өзі ... ... ... Бұл ... ... біз
нүктеге әсер етуші күштер бойынша нүктенің қозғалу заңын біле аламыз.
Осындай және ... ... ... ... ... ... т.б. ... қозғалу заңын келтіруге болады. ... ... ... деп атайды.
Анықтама 1: Дифференциалдық теңдеу деп ... ... да бір ... ... осы ... өзін және ... біріктіретін теңдеулерді айттамыз.
Дифференциалдық теңдеулерге мыналар мысал бола ... ... ... ... ... у және оның ... у1 ... туындылары бар. Ал тәуелсіз айнымалы ретінде х еніп ... 1. ... ... ... келе жатқан материалдық нүктенің
қозғалысының дифференциалдық ... ... ... ... ... заңы ... нүктеге күші
әсер етеді, мұндағы М – жердің ... m – ... ... -
пропорционалдық коэффициенті және х-нүктеден жердің ... ... ... таңбасы қойылғанының себебі күштің ... ... ... ... Ньютонның екінші заңы
бойынша болғандықтан, ... ... ... ... ... ... ... түрде дифференциалдық теңдеу былай жазылады.
Жалпы ... егер ... ... бір ... ... болса, онда дифференциалдық теңдеу ... ... деп ... ... ... және ... кемудің дифференциалдық
теңдеуі.
Физикалық, техникалық, биологиялық және әлеуметтік ғылымдардың
көптеген есептерінің мынадай ... ... ... табудыға келтіріледі, мұндағы k –
қандай да бір ... ... ... біле отырып, мына теңдеудің
(4)
шешімі кез келген ... ... ... қиын ... мұндағы С-
тұрақты. Ал С еркімізше ... ... ... ... көп ... ... (4) түрдегі функциялардан өзге, басқа шешімдерінің
болмайтнын дәлелдейік. Ол үшін (4) ... ... ... f ... ... функциясын қарастырамыз. g функцияның туындысын табамыз:
- тің орнына (3) теңдеудегі -ті ... ... ... ... функцияның туындысы нөлге тең болғандықтан, барлық х үшін ... (4) – тен ... ... ... де осы болатын.
Е с к е р т у. Жоғарыда келтірілген ... біз f ... ... түзуде анықталған және (3) теңдеуді қанағаттандырады деп
ұйғарған болатынбыз. Нақтылы есептерде (3) ... тек ... ... ... ғана ... ... қарастыруға тура келеді.
Әрине, ондай жағдайда (4) формуладан ... ... (3) ... ... ғана табатынымыз түсінікті.
(3) ... ... ... мынау - функцияның х
нүктесіндегі өзгеру жылдамдығы сол ... осы ... ... Бұл ... ... есептерді шешкенде ... 2. ... ... ... бастапқы уақыт
мезетінде ... ... ... мынадай болсын:
Ал уақыт өтуімен заттың m (t) массасының кему ... ... ... ... белгілі, яғни мына теңдеу ... k > 0. ... ... ... ... константасы (6) шарттан табылады. Атап айтқанда, t=0 болғанда
яғни
Соңында, былай ... ... ... ... ... сипатты: дифференциалдық
теңдеулердің шектеусіз көп шешімдерінің ... бір ... ... алу ... әдетте тағы да бір бастапқы шарты ... ... ... ... ол – (6) ... заттың массасы екі есе кемитін уақыт аралығы Т – ні
білсек, k – ны ... ... ...
бұдан шығатын
Олай болса, ... ... ... үшін жыл. ... ... ... ... болса)
Миллион жылдан кейін радийдің бастапқы массасынан қалатыны
тек мынау ғана
2.1.2. Гормоникалық тербеліс.
f ... ... ... ... f ... ... деп ... және деп белгілейді (оқылуы: эф ... ... ... ... ... ... ... туындының
тигізер септігі мол. Бірінші туынды функция ... ... ал ... ... сол ... ... ... яғни
үдеу.
(8) формуланы талдай келе, синус пен ... ... сол ... ... ... тек ... ... аңғарамыз. Басқаша айтқанда, бұл функциялардың ... ... ... ... мәндерінде, мына теңдеуді қанағаттандырады:
Физикада, атап айтқанда, механикада, мына теңдеуді
(9)
қанағаттандыратын f функциялары үлкен роль ... ...... ... ... ... бір есепті механика саласынан
келтірейік. ... ... ... ... ... ... бекітілген де, оның екінші ұшы бекітілген (1-сурет)
және де шар центрінің х ... ... ... нөлге тең
делік.
1 –сурет ... ... ... ... орын ауыстырғанда, шарды тепе-
теңдік қалыпқа қайтаратындай күш пайда болады. Гук заңы ... ол ... ... ... х-ке ... яғни мұндағы k – оң
константы (2-суретке қара). ... ... заңы ... ... ... үдеу ... екінші туындысы екенін
ескеріп, мынаны ... ... ... шар ... ... ... әсерінен
қозғалысы болғандағы (9) теңдеуге бағынады.
теңдеу (9)-ға сәйкес уақыт өткенде ... шама ... ... ... Ал, (9) ... өзін ... дифференциалдық теудеуі деп атайды.
А мен ... ... ... ... (9) теңдеудің шешімі екенін тексерейік. ... да, ... ... ... ... пайдаланып, мынаны табамыз:
Кері ұйғарым орын алады: (9) теңдеуінің кез ... ... ... ... ... бірге, әдетте былай таңдап алынады:
Мұның дәлелдемесі ... ... ... ... ... бастапқы шарттар алдын ала берілсе, онда А мен
тұрақтыларын ... ... ... ... ... ... бір ... қарастырайық. Дене атмосферада құлаған
жағдайда ... оған ... ... ... ... ... ... мынау тағайындалған: денеге әсері ететін F күші
мұндағы m- ... ... ... түсу ... ... ... (Oh осі вертикаль төмен бағытталған), k ... ... ... ... ... шығады.
яғни
мұнда деп белгілеп қозғалыс жылдамдығына ... ... ... қарастыру қолайлы:
мұндағы ... ... ... ... ... келтіру үшін белгісіз
функция ... ... және (10) ... мына ... ... бұл теңдеудің шешімдері ... . Олай ... ... R жиынында кемиді, сонымен ... t ... ... ... кез ... с үшін оның ... ... ... ... ... ... жылдамдығы тұрақты шамасына жуықтап, бұл
болса, ... ... k мен ... m – ге ... ... секіру кезінде (парашют ашылмай қалған) ол жылдамдық шамамен
50 м/с-қа тең, ал парашюттің ... ... ... (k ... ... ... ... 4-5 м/сағ.
Осы мысалдардан-ақ функцияларды зерттеу барасында ... ... ... ... ... ... оңай түсінуге
болады. Қандай да бір процесс бағынатын жеңіл-желпі ... ... ... ... ... ал ... уақыт
барысында қалайша өрістейтінін айқандау үшін, ол ... ... тура ... функциясы қандай теңдеуді қанағаттандыратын дәлелде.
2. функциясы теңдеуін ... ... ... ... қанағаттандыратынын дәлелде.
4. Гармоникалық тербелістің дифференциалдық теңдеуін жаз
2.2. ... ... ... ... ... дифференциалдық теңдеу деп
түріндегі теңдеулерді айтамыз.
Бұл теңдеуді шешу үшін ... ... ... ... соң осы теңдеуді интегралдау қажет:
1. теңдеуінің жалпы шешімін табу ... ... ... ... ... ... екі бөлігін де интегралдаймыз
Қандай да бір тұрақты С кез ... ... ... ... ... түрлендірулерге ыңғайлы болу үшін С тұрақтының
орнына бір деп ... ... ... ... ... ... берілген теңдеудің жалпы шешімі.
2. болғанда ... ... ...
теңдеуінің дербес шешімін табу керек.
Шешуі: ... ... ... ... теңдеудің екі бөлігін интегралдаймыз:
немесе
Бұл берілген теңдеудің жалпы шешімі С ... ... ... және S = 4 ... ... шешімнің өрнегіне қоямыз:
немесе бұдан С ... ... ... ... қанағаттандыратын ізделінді
дербес шешім ... ... ...
2) г)
3) б)
4) б)
б) ... ... ... ... ... ... табыңыз.
| | x = - 2 ... y = 4; |
| |х = 2 ... y = 6; |
6) t = 2 ... s = 4
7) x = 0 ... y = 2
8) x = 0 ... y = 4
9) x = -2 ... y = ... x = 1 ... y = ... x = 0 ... y = ... ... ... Дифферециалдық теңдеулерді құруға арналған есептер
Есеп 1. Егер дене М(0,4) ... ... ... ... онда осы ... Ох осі ... ... заңын
табыңыз.
Шешуі: Түзу сызықты қозғалыста жылдамдық жолдың уақыт ... ... ... ... х арқылы белгілеп, екенін аламыз.
Сонда
немесе
Интегралдап, келесіні ... ... ... ... ... ... ... болғандықтан, бұл мәндерді
жалпы шешімге қойып, C = 4 екенін ... ... ... ... мына ... ие .
Есеп 2. нүктесі арқылы өтетін және ... ... ... бар ... ... ... Шартқа сәйкес есептің дифференциалдық теңдеуі
немесе
Соңғы ... ... ... және ... ... ... пайдаланып, екенін табамыз.
Ендеше, ізделінді теңдеу ... ... ие ... 3. Ашық ... ... алғашқы температурасы 700
болатын, 10 минуттан кейін ... ... 650 ... ... ... ... 150. ... керек:
бастапқы моменттен 30 ... ... ... ... ... судың температурасы 200 – қа тең
болатын ... ... t ... ... ... Т деп ... ... жылдамдығы t мен Т-ні ... ... ... ... жылдамдығы болып табылады.
шамасы резервуардағы судың және оны ... ... ... яғни мұндағы – пропорционалдық
коэффициенті. Ендеше, . ... ... ... ... теңдеуді интегралдаймыз:
немесе
бұдан
(*)
Бұл қатынас судың салқындау заңын өрнектейді.
болғанда болатын ... ... ... ... ... яғни
С1-дің алынған мәнін (*) теңдігіне ... ... ... ... ... Шарт ... t=10 мин болғанда T = 650.
Бұл мәндерді (**) қатынасына қойып, келесіні аламыз.
650 = 550 ek*10 + 150, ... , ... ... ... логарифмдеп, келесіге ие боламыз.
бұдан
– ның мәнін (**) ... ... t мен Т ... ... ... ... моменттен 30 минут өткеннен кейін судың температурасын
табамыз. Бұл үшін ... (***) ... ...
Есептеулер жүргізейік.
Сонда
Енді қанша уақыттан кейін резевуардағ судың температурасы 200 ... тең ... ... (***) ... ... ... ... немесе
бұдан
немесе
яғни
Есеп 4. ... ... диск ... әсерінен өзінің бұрыштық
жылдамдығын баяулатады және ... күші ... ... Табу ... егер ... ол 12 ... ... ал болғанда оның
жылдамдығы 8 рад/с болса, ... ... ... ... ... ... 1 рад/с – қа тең ... ... ... моментіндегі дискінің айналуының бұрыштық
жылдамдығы болсын, онда үйкеліс ... ... ... ... ... ... ... , мұндағы - пропорцио
-налдық коэффициенті. Айнымалыларды ... ... ... ... рад/с бастапқы шартын пайдаланып, С1 тұрақты
шамасын табамыз. Бұл мәндерді (*) ... ... ... ... яғни ... ... бойынша k -ның сандық мәнін табамыз:
және рад/с. Бұл мәндерді (**) теңдігіне қойып:
бұдан
k – ның ... (**) ... ... келесіні аламыз:
(***)
уақыт моментіндегі дискінің айналу ... ... ... (***) теңдігіне мәнін қоямыз:
(рад/с).
Қандай уақыт моментінде диск 1 ... ... ... ... (***) ... қоямыз, одан
Жаттығулар
1. Егер дене нүктесінен бастап жылдамдығымен қозғала
бастаса, онда оның Оу осі ... ... ... ... ... ... және бұрыштық коэффициенті болатын
қисықтың теңдеуін құрыңдар.
3. нүктесі арқылы ... және ... ... мен ... ... кесінді Оу осімен қиылысу ... ... ... ... ... ... Ауаның температурасы 200-қа тең. Дене 40 минут ішінде 80-нен 300
– қа дейін салқындайды. Бастапқы ... 30 ... ... ... ... ... ие болады?
5. Радий бастапқы пропорционал ... ... ... кейін оның бастапқы мөлшерінің жартысы бөлінеді? деп
алыңыз. ... ... ...... ... ... дискіні баяулатушы үйкеліс оның бұрыштық
жылдамдығана пропорционал. Қандай ... ... ... ... 2 ... тең ... егер болғанда ол 20 ... ал ... – 16 ... ... ... ... тербелістердің: ... ... ... ... сан ге, ... -ге) ... ғана периодты функция болатынын дәлелде.
8. m мг С радий t мин ... ... ... онда n мг
қалды. С ... ... ... ... тап.
9. Радиоактивтік ыдырау басталар қарсаңында 1 г А радий бар ... оның ... ... ... 3 ... тең болса, неше
минуттан кейін одан 0,1125 г ... ... ... жартылай ыдырау периоды 1 сағатқа тең.
Неше сағаттан кейін оның ... 10 есе ... Егер ... ... ... 1550 ... тең ... 1000 жылдан кейін
радийдің қандай үлесі қалатынын есепте.
11. Бір дененің ... 2000, ал ... 1000. ... ... 00 ... 10 мин ... ... бірінші дененің
температурасы 1000, ал ... ... 800 ... ... минуттан кейін
денелердің тампературалары теңеседі? (Дене температурасы ... ... ... Т1 - ... ... Екі дененің де температурасы бірдей 1000. Оларды ауаға шығарып
қойған (ауаның ... 00). 10 ... ... бір ... 800, екіншісінікі 640 болды. Суый бастаған кезінен неше
минуттан кейін ... ... ... 250-қа тең ... ... ... 30 км/сағ жылдамдықпен қозғалып келеді. ... ... 3 мин ... ... ... қандай болады?
(Қайықтың өз ... , ... ... пайдалану керек, мұндағы , v – минутына метр
есебімен алынған жылдамдық).
Қорытынды
1. Дифференциалдық ... ... ... атап ... ... ... ... бағытының мәнін түсіну;
- математикалық ... ... ... оқытуда пәнаралық байланысты орнату біліктілігі.
2. Дифференциалдық теңдеулерді ... ... ... ... алты ... ... анықталған. Олар:
- ғылыми дүниетанымды тәрбиелеу;
- математикалық білім, ... және ... ... ... ... ... ... дәрежелі математикалық ойды қалыптастыру;
- нақты ... ... ... ... математикалық
модельдерді зерттеу үшін аппаратты жасау ... ... ... ... ... қамтамасыз ету;
- математикаға қызығушылықты бейімдеу, математикалық қабілетті
дамыту;
3. Дифференциалдық теңдеулер ... ... беру және ... ... жолдарын көрсету.
Осылайша, зерттеу барысында алға қойылған міндеттер ... ... ... ... ... ... ... анықтамалар мен ұғымдар беріліп, соларға ... ... ... ... және ... ... есептерінің жинағы 9-10 кластарға
арналған. - Алматы: Мектеп, 1986.
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по ... ... ... ... – М.: ... шк., 1990.
3. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы ... ... – М.: ... ... ... Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе
обучения математике. – М.: Просвещение, 1982.
5. Доро П.Я. ... ... и ... их ... в средней
школе. М.: Учпедгиз, 1960.
6. Жәутіков О.А. Дифференциалдық теңдеулердің қолданылуы туралы
әңгіме. - Алматы: Ғылым, 1986.
7. ... Ю.М. ... Г.Л. ... ... современного курса
математики. М.: Просвещение, 1974
8. Колмогоров А.Н., ... А.М., ... Ю.П. және ... және ... ... орта ... 10-11 ... арналған оқулық. Алматы: «Рауан», 1998.
9. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее ... ... ... Пойа Д. ... ... М.: 1976 ... Фрайденталь Г. Математика как педагогическая ... ... 1983. – Ч. 1 – 2.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Көлемі: 28 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 500 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Дифференциалдық теңдеулер37 бет
Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың әдістемесі21 бет
n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу36 бет
«Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі шектік есепті шешудің жуық әдісі»47 бет
Дифференциалдық теңдеулер курсында тірек конспектілерін қолдану, және де дифференциалдық теңдеулерді шешу жолдары36 бет
Дифференциалдық теңдеулер көмегімен физика есептерін шешу және оны компьютерлік модельдеуде пайдалану25 бет
Дифференциалдық теңдеулерді шешу алгоритмін құру және сол теңдеулерді Matlab жүйесінде көрсету15 бет
Дифференциалдық теңдеулерді шешудің Ранге-Кутта әдісі7 бет
Жеке туындылардағы дифференциал теңдеулерді шешу5 бет
Жеке туындылардағы дифференциал теңдеулерді шешу жайлы7 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь