Ғалам дамуының фракталдық заңдылықтары

АНЫҚТАМАЛАР,БЕЛГІЛЕУЛЕР,ҚЫСҚАРТУЛАР 1
КІРІСПЕ 1
1 ФРАКТАЛДЫҚ КОСМОЛОГИЯ 1
1.1Мәселенің қазіргі күйі 1
1.2 Әлемнің аса үлкен масштабты құрылымы 1
2 ЗЕРТТЕУ НЕГІЗДЕРІ 1
2.1 Аспан сферасының сандық шолулары 1
2.2 Фракталдар мен мультифракталдық объектілердің сипаттамалары 1
2.3 Аса үлкен масштабты құрылымдарды мультифракталдық талдау 1
3 НӘТИЖЕЛЕР 1
ҚОРЫТЫНДЫ 1
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 1
ҚОСЫМША А 1
ҚОСЫМША Б 1

Галактикалардың пайда болуы мен эволюция процесстерін түсіну астрофизиканың актуалды мәселелерінің бірі болып келеді. Астрофизикада галактикалардың құрылымының, уақыт бойынша өзгеруін математикалық моделдеу арқылы бейнелеу – теориялық зерттеулердің негізін құрайды. Бұл бағытты әр түрлә симуляциялар, мысалы Mellenum, WiggleZ, сандық әдістер, олардың ішінде N body simulation, газодинамикалық әдістер кеңінен қолданылады. Бұл ізденістердің барлығы әлемді «үлкен жарылыс» моделі негінде зерттеуге бағытталған.
Шешілмеген проблемалардың біріне сәулелену мен заттың әсерлесуін көрсететін реликтік сәулелердің анизотропиясы мен галактикалық құрылымдардың арасындағы ерекшеліктердің байқалуы жатады. Энштейн теңдеулерінің шешімдерінде әлем біртектілігі пастулатталады, яғни құрылымдық ерекшеліктердің болуы әлемнің бастапқы күйіне байланысты емес. Осыған орай, көрінетін айырмашылықтардың себебі – ерте кезеңдегі ғаламда орын алған флуктуациялардың әсері деп болжауға болады. Бұл себептен әлемнің фракталдық эволюциясы заңдылықтарын ашу маңызды.
Галактикалардың кеңістікте орналасуы, ерте кездегі Әлемнің бастапқы шартын көрсетеді. Әртүрлі галактикалардың анализ үлгілері екі нүктелік, корреляциялық өлшемділік көмегімен зерттелді [1]. Нәтижесінде, біртексіздік масштабы r = 0,01ден 10 Мпк дейін анықталды. Ұзақ уақыт бойы r масштабы біртекті емес өлшемділіктің сипаттамасы деп есептелінді,ал 3r = 15Мпк масштабынан бастап галактикалардың орналасуы біртекті бола бастайды. Бірақ жақында табылған [2], ондаған және жүздеген Мпк созылған құрылымдар – бұл тұжырымға күмән келтіреді. Осыған байланысты қазіргі уақытта кеңістікте галактикалардың орналасуы, үлкен және аса үлкен құрылымдарды сипаттау үшін жаңа әдістерді ойластыру, олардың қолданыс шекарасын анықтау актуальды мәселе болып табылады.
Жұмыстың мақсаты эксперементалдық мәліметтерге сүйене отырып әлемнің фракталдық құрылымының уақыт бойынша эволюциясын зерттеу, даму заңдылықтарын анықтау.Осы мақсатқа жету үшін жұмы келесі сатылардан құралады:
1 Зерттеудің эксперементалдық негіздерін жинау
2 Фракталдық құрылымдарды сипаттауға, талдауға мүмкіндік беретін эффективті әдіс - тәсілді таңдау.
3 Таңдалған әдістердің ерекшелігін ескере отырып MatLab программалау жүйесінде алгоритім жазу.
4 Зерттеудің негізінде құрылымдардың фракталдық сипаттамалары, біртектілігі,уақыт бойынша эволюциясы туралы қорытындалар жасау.

1.Peebles P. J. E. The galaxy and mass N-point correlation functions: a blast from the past //arXiv preprint astro-ph/0103040. – 2001. .
2. Барышев Ю. В., Теерикорпи П.Фрактальный анализ крупномасштабного распределения галактик. // Бюлл. Спец. Астрофиз. Обсерв. 2006. Т. 59. С. 92.

Пән: Ауыл шаруашылығы
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 67 бет
Таңдаулыға:

ҒАЛАМ ДАМУЫНЫҢ ФРАКТАЛДЫҚ ЗАҢДЫЛЫҚТАРЫ

ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС

Мамандық Физика және астрономия

Алматы, 2016

Тұйін сөз

Зерттеу негізіне SDSS, 2dF, 6dF шолуларының эксперементалдық мәліметтері алынып, олардың Хаусдорф және Реньи өлшемділіктері есептелінді Әлемнің фракталдық құрылымының уақыт бойынша эволюциясы мен масштабқа тәуелді диаграммалары тұрғызылды. Нәтижесінде әлем өлшемділігі Dq=2.3+-0.3, ал Dh=2.2+-0.2 тең болды. Уақыт өткен сайын, біртектілік байқалатын сызықты масштаб ардайым ұлғаятыны анықталды. Біртектілік ұяшығының масштабы 300-500 Мпк деп бағаланды.
Дипломдық жұмыстың мазмұны кіріспеде, негізгі екі тарауда, қорытындыда келтірілген 68 беттен, 30 суреттен, 17 қолданылған әдебиет тізімінен тұрады.
Кілт сөздер: аса үлкен масштабты құрылым, фрактал, өлшемділік.

Реферат

В работе проведен анализ размерностей по Хаусдорфу и Реньи на основе экспериментальных данных каталогов SDSS, 2dF, 6dF. Построены диаграммы зависимостей фрактальный структурный вселенной от времени и масштаба. Рассчитанная размерность наблюдаемой вселенной равна Dq=2.3+-0.3, Dh=2.2+-0.2. Установлено что, линейные размеры ячейки однородности растут со временем. Современное значение такой ячейке оценено в 300-500 Мпк.
Дипломная работа состоит из введения, двух глав и заключения изложенной на 67 страницах, содержащий 30 иллюстрации и наименований используемой литературы.
Ключевые слова: крупно масштабная структура вселенной, фрактал, размерность.

Abstract

In this paper analyzed the dimensions of Hausdorff and Renyi on the basis of SDSS , 2dF, 6dF catalogs. plotted dependence of the fractal structure on time and scale. calculated dimension of the observable universe is Dq=2.3+-0.3, Dh=2.2+-0.2 was found that the linear dimensions of the homogeneity of the cells grow over time.. The current value of a cell is estimated at 300-500 Mpc.
Thesis consists of an introduction, two chapters and conclusion at 67 pages, that contain 30 illustrations and 28 titles of used literature.
Keywords: large-scale structure of the universe, fractal, dimension.

МАЗМҰНЫ

АНЫҚТАМАЛАР,БЕЛГІЛЕУЛЕР,ҚЫСҚАРТУЛАР 1
КІРІСПЕ 1
1 ФРАКТАЛДЫҚ КОСМОЛОГИЯ 1
1.1Мәселенің қазіргі күйі 1
1.2 Әлемнің аса үлкен масштабты құрылымы 1
2 ЗЕРТТЕУ НЕГІЗДЕРІ 1
2.1 Аспан сферасының сандық шолулары 1
2.2 Фракталдар мен мультифракталдық объектілердің сипаттамалары 1
2.3 Аса үлкен масштабты құрылымдарды мультифракталдық талдау 1
3 НӘТИЖЕЛЕР 1
ҚОРЫТЫНДЫ 1
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 1
ҚОСЫМША А 1
ҚОСЫМША Б 1

Анықтама,белгілеу,қысқартулар
Фрaктaл - деп өз-өзіне ұқсaс қaсиеті бaр қисық формaғa ие сызықтaр, беттерді aйтaды.
Өлшемділік -
Әлемнің аса үлкен масштабты құрылымы -
Sloan Digital Sky Survey (SDSS) - Нью-Мексико штaтындaғы Aпaчи-Пойнт обсервaториясындa 2,5 метрлік есептеу бұрышы кең aуқымды телескоппен жұлдыздaрдың және гaлaктикaлдaрдың спектрлері кең aуқымды зерттеліп жатқан жоба.
2dF -
6dF -

КІРІСПЕ

Галактикалардың пайда болуы мен эволюция процесстерін түсіну астрофизиканың актуалды мәселелерінің бірі болып келеді. Астрофизикада галактикалардың құрылымының, уақыт бойынша өзгеруін математикалық моделдеу арқылы бейнелеу - теориялық зерттеулердің негізін құрайды. Бұл бағытты әр түрлә симуляциялар, мысалы Mellenum, WiggleZ, сандық әдістер, олардың ішінде N body simulation, газодинамикалық әдістер кеңінен қолданылады. Бұл ізденістердің барлығы әлемді үлкен жарылыс моделі негінде зерттеуге бағытталған.
Шешілмеген проблемалардың біріне сәулелену мен заттың әсерлесуін көрсететін реликтік сәулелердің анизотропиясы мен галактикалық құрылымдардың арасындағы ерекшеліктердің байқалуы жатады. Энштейн теңдеулерінің шешімдерінде әлем біртектілігі пастулатталады, яғни құрылымдық ерекшеліктердің болуы әлемнің бастапқы күйіне байланысты емес. Осыған орай, көрінетін айырмашылықтардың себебі - ерте кезеңдегі ғаламда орын алған флуктуациялардың әсері деп болжауға болады. Бұл себептен әлемнің фракталдық эволюциясы заңдылықтарын ашу маңызды.
Галактикалардың кеңістікте орналасуы, ерте кездегі Әлемнің бастапқы шартын көрсетеді. Әртүрлі галактикалардың анализ үлгілері екі нүктелік, корреляциялық өлшемділік көмегімен зерттелді [1]. Нәтижесінде, біртексіздік масштабы r = 0,01ден 10 Мпк дейін анықталды. Ұзақ уақыт бойы r масштабы біртекті емес өлшемділіктің сипаттамасы деп есептелінді,ал 3r = 15Мпк масштабынан бастап галактикалардың орналасуы біртекті бола бастайды. Бірақ жақында табылған [2], ондаған және жүздеген Мпк созылған құрылымдар - бұл тұжырымға күмән келтіреді. Осыған байланысты қазіргі уақытта кеңістікте галактикалардың орналасуы, үлкен және аса үлкен құрылымдарды сипаттау үшін жаңа әдістерді ойластыру, олардың қолданыс шекарасын анықтау актуальды мәселе болып табылады.
Жұмыстың мақсаты эксперементалдық мәліметтерге сүйене отырып әлемнің фракталдық құрылымының уақыт бойынша эволюциясын зерттеу, даму заңдылықтарын анықтау.Осы мақсатқа жету үшін жұмы келесі сатылардан құралады:
1 Зерттеудің эксперементалдық негіздерін жинау
2 Фракталдық құрылымдарды сипаттауға, талдауға мүмкіндік беретін эффективті әдіс - тәсілді таңдау.
3 Таңдалған әдістердің ерекшелігін ескере отырып MatLab программалау жүйесінде алгоритім жазу.
4 Зерттеудің негізінде құрылымдардың фракталдық сипаттамалары, біртектілігі,уақыт бойынша эволюциясы туралы қорытындалар жасау.

1 ФРАКТАЛДЫҚ КОСМОЛОГИЯ

1.1Мәселенің қазіргі күйі

Фракталдық космология - Әлем кеңістігінің шексіз екендігін және ондағы астрономиялық объекттердің өзіне ұқсас құрылымдары бойынша орналасуын болжайтын физикалақ космолигияның идеясы мен теориясы. Фракталдық космология үлкен масштабтағы Әлемнің кеңістіктік бірізілігін болжайды және ондағы фракталдық өлшемділік бар екенін (3-тен кем)- массаның бқлінуін анықтайтын санды болжайды. Шарды құрайтын масса центрімен бірге орташаланған астрономиялық объектте дәреже заңы бойынща радиусқа қатысты тәуелді болуы керек.
Фракталдық космологияның ХІХ ғ.-да бірнеше астрономдар болжаған Әлем иерархиясының экстраполяциясы болып табылады (планеталар --планеталықжұлдыздық жүйелер -- жұлдыздық арал -- ...),кейінірек ғылыми факт болып табылады. 1761жылы, басқа галактикалардың бар екені белгісіз болғанда, неміс ғалымы Иоганн Ламберт Әлемні иерархиялық ұйымдастырылған және үлкен масштабта: әр жұлдыз планетамен бірге бірінші ретті деңгейлі жүйені құрайды, сосын бұл жұлдыздар екінші ретті денгейлі жүйеде бірігеді деген болжамын Әлем құрылымы туралы космологиялық хатта шырарды. Физикалық түрде зерттеу Әлем бойынша жұлдыздық біртекті таралуы туралы болжамы 2 парадоксқа қайшы келетінін анықтадды: фотометриялық парадокс және гравитациялық парадокс.
1908 жылы Ламберттің идеясы негізінде Карл Шарлье Әлем барлық күрделілік тәртәбі өсетін, шексіз кешенді бір-бініне кіретін жүйесін сипаттайтынына сәйкес Әлем құрылым теориясын жарыққа шығарды. Бұл теорияда, жеке жұлдыздар бірінші ретті галактикаларды, бірінші ретті галактикалар екінші ретті галактикаларды түзеді, солай шексіздікке дейін кете береді. Әлем құрылымы туралы мұндай сипаттама негізінде Шарье мынадай шешімге келеді: егер тең құқылы жүйелер арасындағы қашықтық олардың өлщемдерімен салыстырғанда едәуір үлкен болса, шексіз Әлемнің фотометриялық және гравитациялық парадокстары жойлады. Rk - k-інші деңгей жүйесіндегі орташа радиусы, ал Nk - k-інші деңгей жүйесін құрайтын алдыңғы деңгейдегі элементтердің орташа саны. Онда, Шарлье көрсеткендей, парадокстарды жою үшін барлық деңгейлер үшін мына теңдеуді ұсыну жеткіліқті:
RkRk-1Nk

Егер барлық деңгейлер үшін Әлемнің фракталдық өлшемділігін бірдей деп болжасақ, онда ол 2-ден аспауы керек. Бұл жүйеден одан да жоғары ретке өтуі бойынша ғарыш затының орташа тығыздығының үздіксіз азаюына әкеледі. Парадокстарды жою үшін бақылаушыдан қашықтығының квадратының кері пропорционалына қарағанда заттың тығыздығы тез төмендеуі керек. Деегенмен, Әлем кеңеюі теориясының және әсіресе жалпы салыстырмалы теориясының дамуымен аталған парадокстар басқа әдістермен алынды.
Ламберт-Шарлье фракталдық космологиясының ұйңарымды бағасы бақыланған Әлемдегі массаның шар радиусының тәуелділігі қадағаланбайды, сондай-ақ алып аса кешенді галактикалар құрылымын анықтамайды. ХХІғ-да реликті микротолқынды сәулеленудің интенсивтілігін діл зерреу көрінетін Әлемде гравитациялық потенциал тербелісінің аз екенін көрсетеді. Ол фракталдық моделге қайшы.
Ламберт-Шарлье түсінігінде фракталдық космология космологиялық принцпке қайшы.

1.2 Әлемнің аса үлкен масштабты құрылымы

2002 жылы ресей астрофизигі Юрий Барышев фракталдық космология Discovery of Cosmic Fractals кітабын жарыққа шығарды.
Космологиядағы Әлемнің ірі масштабтағы құрылымын - ең үлкен бақыланатын масштабтарда Әлем затының таралу құрылымы. Берілген масштабтағы кеңістік- уақыт қисаюы жалпы салыстырмалы теориясымен жақсы сипатталады. Берілген SDSS шолу бойынша біздің галактикадан Әлемнің ірі масштабты құрлымы қалай көрінеді? Әр нүктенің жарықтылығы қалыпты 10 Мпк қалыңдықты дәйекті түрде алмасуы қимасында, берілген бағытта галактикалардың таралу тығыздығын көрсетеді, сондықтан суреттін сызықты масштабты неғұрлым шаоғай бөлімдеріне өту бойынша өседі, сондықтан құрылым өлшемі төмендейді. Суреттін төменгі жағындағы ұзық жарық дақ - Слоунның ұлы қабырғасы.
ХХғ-ң басында-ақ, жұлдыздар галактикалар түзетін жұлдыздардың шоғырлануларға бірігетіні белгілі болды. Кейінірек галактикалар шоғырлануларлары және галактикалардың ірі шоғырланулары табылды. Ірі шоғырланулар мыңдаған галактикалардан тұратын ең үлкен біріккен галактикалар типі. Мұндай шоғырланулардың формалары әр түрлі болуы мүмкін: Маркарян шынжырынан Слоунның ұлы қабырғасына дейін. 1990 жылдары Маргарет Геллер және Джон Хукра Әлемнің 300Мпк масштаб ретінде біртекті екендігін анықтады және олар кешенді жіп тәрізді галактикаларды сипаттайды, бөлінген аймақтарда жарық материя жоқтың қасы. Бұл аймақтарда жүздеген Мпк өлшемге ие (қуыстар).
Жіптер және қуыстар қабырға деген атқа ие кеңейтілген тығыз жергілікті құрылымдарды түзуі мүмкін. Мұндай бақыланған ірі масштабты объект ретінде 200млн ж.ж. қашықтықта және шамамен 500млн ж.ж. өлшемі бар және қалыңдығы 15 млн ж.ж. болатын CfA2 ұлы қабырғасы болып табылады. 2012 жылы қарашала ашылған өлшемі 4млрд. ж.ж. болатын алып квазарлар группасы және 2013 жылы қарашады ашылған өлшемі 10 млрд. ж.ж. болатын

2 ЗЕРТТЕУ НЕГІЗДЕРІ

2.1 Аспан сферасының сандық шолулары

Sloan Digital Sky Survey (SDSS) - Бұл жобaдa Нью-Мексико штaтындaғы Aпaчи-Пойнт обсервaториясындa 2,5 метрлік есептеу бұрышы кең aуқымды телескоппен жұлдыздaрдың және гaлaктикaлдaрдың спектрлері кең aуқымды зерттеліп көрсетілген. 2000 жылы aспaн сферaсының 25%-ін кортогрaфиялaп, 100 млн - нaн aстaм обьекттердің суреттерін және 1млн обьекттер үшін спектрлерін aлды. Нәтижелер бойыншa гaлaктикaлaрдың қызыл ығысуының ортaшa мәні 0,1 тең болды, aл қызыл жaрық гaлaктикaлaр үшін z=0,4 тең болды, aл квaзврлaр үшін z=5-ке дейін, ығысуы 6-дaн aстaм квaзaрлaр тaбылғaн.
2003 жылдың ортaсындa Sloan Digital Sky Survey-III жобaсының 3-ші фaзaсы бaстaлып 2014 жылғa дейін созылды. 3.2-ші суретте SDSS каталогі бойынша Галактикалардың аспан сферасында орналасуы.

Cурет 1.2.2dFGRS бaқылaулaрмен қaмтылғaн aсaпaн сферaсы бөліктерінің орнaлaсуы.

Cурет 1.3. SDSS бaқылaулaрмен қaмтылғaн aсaпaн сферaсы бөліктерінің орaнaлaсуы көрсетілген.

Sloan Digital Sky Survey 2,5 метрлік есептеу бұрышы кең aуқымды оптикaлық телескопты пaйдaлaнды және бес фильтрден тұрaтын фотометриялық жүйесінің көмегімен көмегімен бейнелерді түсіреді. Түсірілген бейнелер зерттелетін обьектілердің тізімін aлу үшін де, бұл обьектілердің әр түрлі пaрaметрін зерттеу үшін де қолдaнылaды, мысaлы олaр нүктелңк пе немесе созылғaн бa (гaлaктикa сияқты). Одaн бaсқa ПЗС мaтрицaдaғы жaрықтың бaсқa жұлдыздық шaмaлaрдың түрлеріне тәуеділігіне бaйлaнысты зерттеулер жүргізіліп жaтыр.
Телескоп кaмерaсы әрқaйсысының бейне түсіру aумaғы 2048x2048 пиксельді оның ПЗС-фотоқaбылдaғыштaн тұрaды, жaлпы сaны 120 мегaпиксельдей. Фотоқaбылдaғыштaр әрғaйсысындa 6-дaн болaтын 5 қaтaрғa қойылғaн. Әр жолдың 24,4, 25,3, 25,1, 24,4 және 22,9 шaмaсынa дейінгі 5-ке тең сигнaлшу қaтынaсымен толқын ұзындығы 354, 476, 628, 769 және 925 нм-ден бaстaлaтын әр түрлі оптикaлық фильтрлері бaр. Фильтрлер келесі кезекпен қойылғaн: R, I, V, Z, G. Кaмерa шуының денгейін түсіру үшін ол 190 Кельвин грaдустaрынa дейін сұйық aзотпен суытылaды ( шaмaмен-80 грaдус Целсий). S Sloan Digital Sky Survey жобaсын зертеу aстрономия тaрихындaғы ең өзектіде қызықтыдa мәселе болып тұр. 8 жылдың ішінде (Sloan Digital Sky Survey-I, 2000-2005; Sloan Digital Sky Survey-II, 2005-2008), көптеген міліметтер aлынды, 3-өлшемді кaртaдa 930000 aстaм гaлaктикa және 120000 aстaм квaзaрлaр көрсетілген. Sloan Digital Sky Survey-III 2008-2014 жылдaр aрaлығындa дәл aлдындa aлынғaн гaлaктикaлaр мен квaзaрлaрдың спктрі aлынды. 3.3-ші суретте радиогалактикалардың аспан сферасында орналасуы.
6dF кaтaлогы-гaлaктикaлық ендігі b100 болaтын aспaн сферaсынa спектроскопикaлық шолу. Мультикaнaлдық спектрогрaфтың көмегімен 2003 жылдaн бaстaп бaқылaнып келеді. Жұмыстa бұл кaтaлогтың екінші нұсқaсы қолдaнылды, бұл кaтaлогтa эквaторлық координaттaры белгілі 83014 гaлaктикa белгілі. Соның ішінде 71627 обьектінің қызыл ығысуы нaқтырaқ белгілі.

Сурет 1.4.Суретте радиогалактикалардың аспан сферасында орналасуы.

2.2 Фракталдар мен мультифракталдық объектілердің сипаттамалары

Фрактал - тармақталған құрылымы бар обьект. Фрактал терминін ең алғаш 1970 жылы ғылымға Бануа Мандельброт енгізген. Фракталдың негізгі қасиеті өз ұқсастық болып табылады. Бұл дегеніміз, сіз фракталға қараған кезде масштабына тәуелсіз сол күйінше қалатын бірнеше элементтердің жиынтығын көресіз. Фракталдар - әлемдік ғылыми танымға тек кейінгі кезде, дәлірек айтқанда, ХХ ғасырдың соңғы ширегінде енген түсініктер. Содан бері оларға деген қызығушылық физиктер, математиктер, биологтар тарапынан ғана емес, ғылымнан алыс адамдардың арасында да бәсеңдер емес. Фракталдар біздің жан-жағымызда: тау жоталары сызығында, теңіз жағалауының ирелең сызықтарында кездеседі. Кейбір фракталдар жылжыған бұлттар мен жанып жатқан от іспеттес ұздіксіз өзгереді, кейбіреулері тал ағаштары мен біздің қан тамырлары жүйелеріміз сияқты өзінің даму нәтижесінде қабылданған құрылымын сақтайды.

Кездесетін өлшемдері атомдық масштабтан әлемдік кеңістікке дейін созылып жатқан обьектілердің (нысандардың) геометриясы біздің оны зерттеп түсіну үшін құратын, идеалдандырылған моделдерімізде басты орын алады. Бірақ дәстүр бойынша табиғат геометриясын индуктивті түсінудің негізі ретінде осы уақытқа дейін евклидтік геометрияның түсініктері: сызықтар, шеңберлер, сфералар мен тетраэдрлар қолданылады.
Күрделі жүйелерде болатын процестерді, құрылымды - стохастикалық құбылыстарды барынша қарапайым түрде сипаттауға, түсіну мен түсіндіруге мүмкіндік беретін ғылым - фракталдар теориясы.
Фрактал түсінігі алғаш математикалық түрде күрделі геометриялық формаларды сипаттау үшін енгізіледі. Ғылымның дамуы және компьютерлік техниканы қолданудың алуан түрлі мүмкіндіктері фрактал түсінігінің табиғаттың ең жалпы, түбегейлі заңдылықтарымен байланысты екенін көрсетті. Физика - математика ғылымдарының бұл жаңа бағытының күрт дамуына француз ғалымы Б. Мандельброттың 1982 жылы жарық көрген "Табиғаттың фракталдық геометриясы" атты кітабының шығуы тікелей себеп болды.
Б. Мандельброт бұл кітабында табиғатта кездесетін фракталдық нысандардың көптеген мысалдарын келтірді және оған ғылыми көпшіліктің назарын аударды. Оның дамытқан геометриясы сан түрлі обьектілердің формасын сипаттауға қолданылуымен қатар, заңдылығы бар, масштабты - инварианты құрылымдарның моделін салуға мүмкіндік береді. Осы үлгілерді қолдану ретсіз құрылымдарды зерттеп білудің жаңа жолдары болып табылады.
Аспандағы бұлттар, тау сілемдері, терезе шынысына қатқан қыраулар, полимерді түзетін молекулар, тірі клеткалар және тағы сол сияқты нысандар мен құрылымдардың бәріне ортақ бір қасиеті - олардың бөліктерінің бір - біріне ұқсастығы. Әртүрлі уақыт мезетінде түсірілген, үлкен және кіші бұлттардың суреттерін салыстыру олардың өзгеру заңдылығының бірдей болатынын көрсетеді. Осы сияқты заңдылықты - әртүрлі масштабта түсірілген жағалау сызықтарының фрагменттерін (мысалы, Британия аралының, Арал теңізінің, Балқаш көлінің) салыстыру арқылы да байқауға болады.
Осындай өзұқсас нысандар үшін француз математигі Б. Мандельброт жаңа фрактал (латыншадан аудармасы - бөлшектік, кескіленген) ұғымын енгізді. Ол құрылымдық, өзіне - өзі ұқсас иерархиялық ішкі құрылысы бар обьектілер. Фракталдық қасиет бейсызық процестер мен құбылыстарды сипаттайтын фазалық кеңістіктерде, күрделі жүйенің функционалды характерінде, адрондардың әсерлесуінің, қоғамның экономикалық көрсеткішінің өзгерістерінде және т. б. байқалады.
Фракталдардың дәл және қатаң анықтамасы әзірге жоқ. Б.Мандельброт алғаш рет фрактал анықтамасының мынадай түрін ұсынған: фрактал деп тұтас күйіне белгілі бір мағынада ұқсас бөліктерден тұратын құрылымды айтамыз.
Математикада өзұқсас геометриялық обьекттер ретінде бір-біріне ұқсас, саны шекті бірдей элементтерге бөлуге болатын денелер саналады
Жалпы өлшемділік ұғымы кеңістіктегі нүктенің орнын анықтауға мүмкіндік беретін, ең аз тәуелсіз координаталар санын анықтаумен тығыз байланысты. Физикада бұл геометриялық обьектіні бейнелеуге мүмкіндік беретін тәуелсіз айнымалылар санымен - параметрлік өлшемділікпен сәйкес келеді. Евклид кеңістігіндегі көлемді анықтауға керекті бұндай айнымалылардың саны үшке тең (x, y, z), жазықтықтың ауданын өлшеуге оның екеуі (x, y) болса, ал сызық үшін бір координата x болса да жеткілікті. Нүктенің өлшемділігі нөлге тең. Осы жағынан кеңістік үш өлшемді, жазықтық екі өлшемді, ал сызық бір өлшемді деп тұжырымдалады, яғни, параметрлік өлшемділіктің мәндері бүтін сандар 0, 1, 2, 3.
Өлшемділіктің екінші түріне топологиялық өлшемділік d жатады. Топологиялық өлшемділіктің анықтамасы келесідей беріледі: кез - келген жиынның топологиялық өлшемділігі оны екі, өзара байланыссыз бөліктерге ажырататын қиманың өлшемділігіне бірді қосқанға тең. Түзуді екі байланыссыз кескіндерге бөлу оның бір нүктесін алып тастау арқылы жүзеге асырылады. Ал шекті нүктелер жиынының өлшемділігі нөлге тең болғандықтан, сызық бір өлшемді, яғни dc=0+1. Жазықтық екі өлшемді, себебі, оны екіге бөлуді өлшемді, екіге тең, яғни, dk=2+1. Демек, топологиялық өлшемділіктер де d=1,2,3 бүтін сандар.
Бірақ, табиғатта кездесетін кейбір нысандарды өлшеу үшін, бұл өлшемділіктер жеткіліксіз болып шықты. Себебі, адамның сезім мүшелерінің қабылдау шегін әртүрлі сезімтал құралдар (микраскоптар, телескоптар және т.б.) арқылы басқа деңгейге ауыстыруға болады, бірақ барлық масштабты бір мезгілде қадағалау және нысандардың өлшемдерінің әртүрлі масштабта қандай қатынастарда болатынын тағайындау қиын. Информация қорының молаюы мен ғылыми - техникалық прогресс бұл қиындықты жеңуге мүмкіндік берді.
Алғаш рет күрделі нысандарды өлшеуді ағылшын физигі Л. Ричардсон жүзеге асырды. Ол фракталдық құрылымдардың бәріне ортақ маңызды ерекшеліктерінің бірі - олардың аддитивті еместігін, яғни, өлшенетін шама (ұзындық, аудан, көлем, масса, заряд, және т. б.) мәндерінің кеңістікте жүргізілген өлшеулердің дәлдігіне тәуелділігін пайдаланды. Мысалы, аса күрделі, шым - шытырық броундық бөлшектің траекториясының ұзындығы L, өлшеу бірлігіне (масштабын(а) байланысты. Масштаб кішірейген сайын өлшенген обьектінің ұзындығы арта береді.
Л. Ричардсон Британия аралының әртүрлі масштабта түсірілген карталарын алып, оның А және С нүктелерінің арасын қосатын жағалау сызығының ұзындығын анықтау үшін қадамы - ға тең ашамен өлшеулер жүргізді. (2.1 - сурет ). А нүктесінен С нүктесіне дейін жүріп өткендегі аша қадамының санын білу арқылы Л. Ричардсон өлшенетін жағалау сызығының ұзындығын мына өрнекпен анықтады.

L=N(δ)δ (2.1)

Бұл кезде δ масштабтың ішіне кіретін кіші иілулер, ойыстар мен дөңестер есептелмейтіні белгілі. Л. Ричардсон өлшеу масштабын кеішірейтіп, өлшеулерді қайталады. Енді бұрынғы көптеген иілулер, дөңестер есептелгендіктен, өлшенген ұзындық біршама өсті. Сөйтіп ол ашаның қадамын үнемі кішірейтіп отыру - жағалау сызығының ұзаруына әкелетін шексіз өзгертулер енгізуге мүмкіндік беретінін байқады. Сонымен, ажырату қабілеттілігін арттыру, яғни, өлшеу масштабын кеміту әр кезде күрделі сызықтардың ұзаруына әкелетіні дәлелденді.

1.5.сурет - Теңіз жағалауының фрагменті

Фрaктaл деп өз-өзіне ұқсaс қaсиеті бaр қисық формaғa ие сызықтaр, беттерді aйтaды. Фрaктaл сөзі лaтынның "fractus" сөзінен шыққaн. Фрaктaлдың өз-өзіне ұқсaстық қaсиеті фрaктaлдың ең негізгі қыры болып тaбылaды. Егер, үлкейтіп көретін болсaқ, фрaктaлдың кішкене фрaгменттерінің үлкеніне ұқсaйтынын көреміз.
Aйтaлық, турa өз-өзіне ұқсaстық қaсиеті тек регулярлы фрaктaлдaрғa ғaнa тиесілді. Егер детерминді құрылу әдісінің aлгоритміне бір кездейсоқтық элементін қосaтын болсaқ, ондa біз кездейсоқ фрaктaл aлaмыз. Олaрдың регулярлы фрaктaлдaрдaн негізгі aйырмaшылығы мынaдa. Өз-өзіне ұқсaстық қaсиеті тек объектінің стaтикaлық тәуелсіз бaйқaлулaрының ортaшaлaнуынaн кейін болaды.
Мультифрaктaлды сипaттaу үшін бір ғaнa емес, көп фрaктaлдық өлшемділіктер жиыны керек. Тaбиғи фрaктaлдaр-дың көбі, негізінде, мультифрaктaлдaр. Қысқaшa aйтқaндa, мультифрaктaл ол - біртекті емес фрaктaл болып тaбылaды.
Жоғaрыдa aйтқaндaй, регулярлық фрaктaлдaрғa қaрaғaндa бір ғaнa фрaктaлдық өлшемділік D ғaнa емес, шексіз осындaй фрaктaлдық өлшемділіктер жиынымен ғaнa түсіндіруге болaды. Осындaй фрaктaлдaр стaтикaлық қaсиеттерге де ие болaды.
Фрaктaлдық өлшемділік-ол L өлшемді Евклид кеңістігінде өлшемділігі d (d = 1 - сызық, d = 2 - жaзықтық, d=3 - үшөлшемді кеңістік) белгілі бір шектік aумaғын қaмтитын фрaктaлдық объектіні қaрaстырaйық. Оның құрылу бaрысының белгілі бір кезеңінде ол N1 нүктелерден құрaлғaн жиынды берсін. Біз соңындa N болaды деп болжaм жaсaймыз. L aудaнының көлемі d және жaғы бaр кубтық ұяшықтaрғa бөлеміз. aзaйғaн сaйын aудaнды қaмтитын N(), ұяшықтaр сaны дәрежелік зaң бойыншa өзгереді.

N=(δ)≅1δD (2.1)

мұндaғы D дегеніміз хaусдорф немесе фрaктaлдық өлшемділік деп aтaлaды. (2.1) - ді логaрифмдеп және нөлге ұмтылсa, оны былaй жaзaмыз

D=-limδ--0logN(δ)logδ (2.2)

мұндaғы D - шaмaсы қaрaстырып отырғaн объектінің локaлдық сипaттaмaсы болып тaбылaды.
Евклид кеңістігіндегі L өлшемді фрaктaлдық объектіні қaрaстырaмыз. Біз енді тек aз дегенде бір нүкте болaтын бос емес ұяшықтaрды қaрaймыз. Бос емес i ұяшықтaр сaнының нөмірі i = 1, 2,... N(δ)aрaсындa өзгерсін. Мұндaғы, N(δ- δ)ұяшық нөмірінің өлшеміне тәуелді бос емес ұяшықтaрдың сaны. Егер ұяшықтaр бойыншa нүктелер үлестірілуі бірдей болмaсa, ондaй фрaктaлды біртексіз фрaктaл дейміз. Мультифрaктaлды сипaттaу үшін Dq жaлпылaнғaн фрaктaлдық өлшемділіктерді еңгіземіз.
Егер ni(δ) i нөміріне сәйкес ұяшықтaғы нүктелер мөлшері болсa, ондa

Pi(δ)=limN--infinityni(δ)N (2.3 )

мұдaғы pi() - жиыннaн кездейсоқ тaңдaп aлынғaн нүктенің i ұяшығындa болу ықтимaлдылығы. Кеңейтілген фрaктaлдық өлшемділіктер спектрі Dq келесі қaтынaспен aнықтaлaды

Dq=τ(δ)q-1 (2.4)

мұндaғы q - q + интервaлындa кез-келген мән қaбылдaйды, сондa мынa түрде жaзылaды

τq=limε--0lnZ(q,δ)lnδ (2.5)

мұндaғы - кеңейтілген стaтикaлық суммa:

Z(q,δ)=i=1Nδpiq(δ) (2.6)

Егер Dq = D = const болсa, яғни q дaн тәуелді болмaсa, ондa мұндaй нүктелер жиынын бір ғaнa D фрaктaлдық өлшемділігі бaр қaрaпaйым, регулярлы фрaктaл деп aтaймыз. Керісінше, егер Dq функциясы q бойыншa өзгеретін болсa, оны мультифрaктaл дейміз. q--+infinity кезде кеңейтілген стaтикaлық суммaғa (2.6) тек ең көп бөлшектері бaр ұяшықтaр сaны бaсты үлес қосaды. Оның толтырылу ықтимaлдылығы pi болып тaбылaды. Осығaн орaй Dq функциясы L жиынындaғы нүктелер сaнының біртексіздігін көрсетеді.
Жaлпы жaғдaйдa, мультифрaктaл бейсызық (2.5) функциямен aнықтaлaды. Ол 0 стaтикaлық суммaны сипaттaйды. Бірaқ нүктелердің ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.