Динамикалық хаостың сипаттамалары

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 7 бет
Таңдаулыға:

ДИНАМИКАЛЫҚ ХАОСТЫҢ СИПАТТАМАЛАРЫ

Біз бұл бөлімде динамикалық жүйе қозғалысының хаосты, әлде реттелген болуын қалай анықтайтынын қарастырамыз. Қозғалыс режимдерінің ауысуына сай параметрлердің “күдікті” (кризистік) мәндерін анықтау ламинарлы ағыстың турбулентті ағысқа өткенде сұйықтықтардың тұтқыр ағысының аумалы жылдамдығын табу есебіне ұқсас. Бұл жылдамдық сипаттамалық ұзындыққа көбейтіліп және сұйықтың кинематикалық тұтқырлығына бөлініп нормаланған түрінде - Рейнольдс саны (Re) ретінде белгілі. Ғасырдан астам уақыт инженерлер мен физиктер Re шамасының нақты теориялық мәнін таба алмады, сондықтан гидромеханиканың көптеген есептері үшін (Re) _кpиз эксперимент жүзінде анықталады. Осы сияқты механикалық және электрлік жүйелерде хаостың пайда болу критерийлері тәжірибе немесе сандық модельдеу арқылы табылады. Осындай жүйелер үшін детерминдік хаос пайда болатын “күдікті” параметрлерді табу тәжірибе қоюшылар мен теориямен айналысатындардың да жұмысына қажет.

Физикалық жүйеде хаостың пайда болу критерийлері екі түрлі болады: болжамдық ережелер (хаостың тууын жорамалдайтын) және диагностикалық құралдар (хаостың не бар, не жоқ болуын анықтайтын) .

Хаосты тербелістерді болжау ережесі деп хаосты тудыратын басқарушы параметрлердің жиынтығын анықтайтын критерийді айтамыз. Физикалық жүйеде хаостың пайда болуын болжау жүйенің жуықталған математикалық моделі (одан критерий шығаруға болатын), немесе көптеген тәжірибелер жүзінде жинақталған мәлімет болуға байланысты. Хаостың туындайтынын болжайтын негізгі болжамдық модельге периодтың екі еселену критериі, гомоклиникалық траекторияның бар болу критериі мен консервативті хаостың резонанстарының бір-бірінмен қабаттасуы (Чириков критериі) сондай-ақ, алмасу және өтпелі критерийі жатады.

Хаостық тербелістердің диагностикалық критериі деп өлшеулер нәтижесінде немесе мәліметтерді өңдеу арқылы зерттелетін жүйе хаостық динамика күйінде болатындығын анықтайтын тесті атайды. Біз келесі диагностикалық сипаттамаларды қарастырамыз: Ляпунов көрсеткішін және фракталдық өлшемділікті (6-бөлім) . Қазіргі кезде әр түрлі фракталдық өлшемділіктермен объектілерді зерттеу және оларды модельдеу тек физиктер мен программистердің айрықша құзіреті ғана болмай, әр түрлі ойламаған қолдану тапты. Фракталдық модельдің физикада қолдану жетістігі, біріншіден, көптеген процестер мен объектлердің фракталдық заңдылығының болуы. Егер зат таза газ күйінде немесе кристалл күйінде болмаса, онда ол сипаттық масштабтарының кейбір диапазондарында фракталдық құрылымға ие болады. Көптеген реттелмеген процестердің модельдері кездейсоқтықтың, немесе, динамикалық хаостың әр түрлі варианттарына негізделеді, олар да фракталдық қасиетке ие.

Қазіргі уақытта фракталдар мен олардың қолдануларына арналған көптеген әдебиет бар. Фракталдар тақырыбына өте көп әдебиет бар болса да, олардың жалпы анықтамасы жоқ. Біз [11] -кітапта келтірілген қысқа анықтаманы қолданамыз: құрылымдық, иерархиялық өзұқсас қасиеті бар объектілерді фракталдар деп атайды . Фракталдың геометриялық сипаттамаларының өзгерісі заттардың тегіс еместігін, олардың кеңістік-уақыттық құрылымын білдіреді. Объектің фракталдық қасиеттерін 6-бөлімде талқылаймыз.

Бұл бөлімде хаостық тербелістер пайда болатын белгілі физикалық жүйелер мен математикалық модельдер үшін тәжірибе, сан арқылы анықталатын критерилерін қарастырамыз. Бұл критерилер физикалық және сандық тәжірибелер арқылы анықталады. Біз осындай жағдайдарды екі себепті талдаймыз. Біріншіден, хаостық тербелістерді зерттеген, хаостық тәртібі бар бірнеше жүйемен танысу пайдалы, сол арқылы қандай жағдайда хаос туатыны анықталады. Осындай қарапайым жағдайлар күрделі жүйелерде хаостың пайда болу шарттарын түсінуге көмектеседі. Екіншіден, теориялық критерилерді белгілеген кезде теорияны тәжірибемен салыстыратын қандай да бір тест қажет.

Пуанкаре бейнесі

Динамикалық жүйелерге математикалық өңдеу жасағанда { х ( t ₁ ) , х ( t ₂ ), …, х ( t _n ), …, х ( t _N ) } мәліметтердің уақыттық іріктелуін бейне деп атайды, ол үшін мына белгілеу енгізілген: х _n ≡ х ( t _n ) . Қарапайым детерминдік бейнеде х _n ₊₁ шамасын х _n мәні бойынша табуға болады. Бұны көбінде мынадай түрде жазады:

. (1)

Бұндай жазылудан айырымдық теңдеуді тануға болады. Бейне ұғымы бұдан да көп айнымалыларға жалпыланады. Осылай, х _n - М компонентті вектор бола алады; х _n = ( Y _1n , Y _2n , . . . Y _Mn ), сонда (1) -теңдеу М теңдеулерден тұратын жүйе болады.

Мысалы, [ х ( t ), ( t ) ] фазалық жазықтығында бейнеленген бөлшектің қозғалысын қарастырайық дейік. Егер қозғалыс хаосты болса, онда траектория фазалық кеңістікті толтыруға тырысады. Бірақ, егер біз қозғалысты үздіксіз бақыламай, динамикалық сипаттамаларын тек жеке кезеңдерде тіркесек, одна қозғалыс фазалық кеңістіктің нүктелер тізбегімен беріледі (1-сурет) . Егер х _n ≡ х ( t _n ) және у _n ≡ ( t _n ), онда фазалық кеңістіктің бұл нүктелер тізбегі екі өлшемді бейнені береді

(2)

Егер t _n іріктеу уақыты белгілі ережеге бағынса, бұл бейне Пуанкаре бейнесі деп аталады.

( х ₂ , у ₂ )

( х ₁ , у ₁ )

( х _n ₊₁ , у _n ₊₁ ) ( х _n , у _n )

y ( t ) = x ( t )

х ( t )

1-сурет. Пуанкаре бейнесінің схемалық суреті

Жеке бейсызық жүйелер үшін Пуанкаре бейнесін таза күйінде табу өте қиынға түседі (тек дифференциалдық теңдеуді аналитикалық жолмен шешкен жағдайларда мүмкін) . Біз Пуанкаре бейнесін логикалық теңдеу үшін тұрғызамыз.

Популяцияның өсуінің ең қарапайым моделі логикалық теңдеу болып табылады:

, , (3)

мұнда х _n - физикалық өлшемнің байқалуы, r - басқарушы параметр. Төменде логикалық теңдеудің шешімін іске асыру, Пуанкаре программасы және сәйкес графиктер келтірілген (2, 3суреттер) . MatLab жүйесі арқылы алынған.

% Логикалық теңдеу және Пуанкаре бейнесін

% салуға арналған файлдың листингі

clear;

N = 1000;

M = 850;

r = 4;

h = 0. 01;

x(1) = 0. 1;

for i = 1:N-1

x(i+1) = r. *x(i) . *(1-x(i) ) ;

end

j = M:N;

figure(1)

plot(x(j) ) ;

m = 1:N-1;

figure(2)

plot(x(m), x(m+1), '. ') ;

2-сурет. Логикалық теңдеудің нәтижесі

3-сурет. r = 4, x ₀ = 0. 1, N = 1000 үшін логикалық теңдеудің Пуанкаре бейнесі

Мәжбүр тербеліс жүйесі үшін Пуанкаре бейнесі . Т периодты мәжбүр қозғалыс кезінде Пуанкаре бейнесін алу үшін t _n = nТ + τ ₀ іріктеуін жасау қажет. Бұл периодты қозғалысты периодты емес қозғалыстан айыру үшін қажет. Мысалы, гармониялық қозғалыстың іріктеуін өз периодымен синхрондасақ, онда «бейнелеу» фазалық кеңістікте екі нүктемен беріледі. Егер периоды 3-ке тең субгармоника байқалса, Пуанкаре бейнесі 3 нүктеден тұрады.

Тағы да бір хаостық емес Пуанкаре бейнелеуі 4-суретте көрсетілген, мұнда қозғалыс екі шамаласпайтын жиіліктегі тербелістерді білдіреді:

, (4)

- иррационалдық сан. Егер периоды бір жиілікке сәйкес келетін іріктеу жасасақ, онда траектория үздіксіз фигура тәрізді, немесе фазалық кеңістіктегі орбита болып түседі. Мұндай қозғалыс кейде периодтыққа жақын немесе квазипериодты, немесе «тор үстіндегі қозғалыс» деп аталады, бұлар хаосты емес. Егер Пуанкаре бейнесі шекті нүктелер жиынтығынан да, тұйықталған орбитадан да (4-суретті қара) тұрмаса, онда қозғалыс хаосты болу мүмкін (5-сурет) . Өшусіз, немесе сәл өшпелі жүйелер үшін хаосты қозғалыстың Пуанкаре бейнесі көбінесе фазалық кеңістікте реттелмеген нүктелер жиынтығы түрінде болады (5-а, сурет) . Өшпелі жүйелерде Пуанкаре бейнесі кейде қатаң реттелген шексіз нүктелер жиынтығындай болады, олар 6-б, в суретте көрсетілгендей параллельді сызықтарға ұқсас шоғырланады. Сандық модельдеу арқылы Пуанкаре бейнесінің белгілі бөлігін үлкейтіп (6 сурет), бүдан да жіңішке құрылымды көруге болады. Бірнеше үлкейтулерден кейін нүктелер жиынтығының құрылысы сақталса, онда қозғалыс сипатын әуейі аттрактор дейді. Осыған ұқсас құрылымдары бірінің ішіне бірі енгізілген жиындарды канторлық жиындар деп атайды. Тербелістердің уақыт эволюциясын білдіретін Пуанкаре бейнесінде канторлық жиындар сияқты құрылымдардың пайда болуы хаостық қозғалыстың айқын индикаторы болады.

4-сурет. Магнит күштерімен пайда болған потенциалдық қос шұңқырында тербеліп тұрған, периодты сигналмен қоздырылған екі еркіндік дәрежелі біліктің квазипериодты қозғалысына сәйкес кедетін фазалық кеңістіктегі Пуанкаре бейнесі

5-сурет. Ұзынынан иірілген біліктің хаостық қозғалысы үшін Пуанкаре бейнесі: а ) - әлсіз өшуі бар; б ) , в ) - қатты өшу кезінде әуейі аттрактордың фракталдық құрылымы байқалады