Кездейсоқ сигналдар

Кіріспе

Кездейсоқ сигналдардың (КС) мәндерiн алдынөала дәл анықтауға мүмкiн емес, оларды тек кейбiр ықтималдықпен болжауға болады. Мұндай сигналдардың сипаттамалары статистикалық болып табылады.
Уақытта өзгеретiн КС-ң математикалық моделi кездейсоқ процесс (КП) д.а. Анықтама бойынша, Х{t} КП - түрi ерекше функция, оның кез-келген t уақыт мезетінде алатын мәндерi кездейсоқ шамалар б.т. Техникалық әдебиетте КС мен КП терминдерi жиi бiрдей мағынада қолданылады.
Тiркелуіне (қабылдауына) дейiн КС-ды кездейсоқ процесс ретiнде, яғни белгiлi бiр ортақ статистикалық заңдылыққа бағынатын xk(t) уақыт функцияларының жиынтығы (ансамблi) ретiнде қарастыру керек. Сигнал қабылданғаннан соң толығымен белгiлi болған бұл функциялардың бiреуi КП-ң жүзеге асырылуы (реализациясы) д.а. Уақыттың кездейсоқ емес, детерминдi функциясы болып табылатын бұл жүзеге асырылу болуы мүмкiн функциялардың шексiз жиынының бiреуi б.т. Осы суретте бiр КП-ң бiрнеше жүзеге асырылуларының мысалы келтiрiлген.

КП-ң қасиеттерiн анықтайтын ықтималдық сипаттамалары ансамбль үшiн, яғни уақыттың шексiз интервалында тiркелетiн жүзеге асырылулардың шексiз жиыны үшiн, енгiзiледi. Демек, КП-тiң сандық сипаттамаларын тек өте көп балама тәжiрибелердiң нәтижелерi болған жағдайда табуға болады.
Бiрақ, зерттеушi қолында әдетте КП-ң ұзындығы шектi жалғыз жүзеге асырылу болады, оны таңдама функциясы деп, не жай таңдама деп атайды. Егер таңдама мәндерi уақыттың дискрет мезеттерiнде алынатын болса, онда бұл таңдама уақыттық қатар б.т. Таңдама бойынша, не таңдамалардың шектi жиыны бойынша есептелетiн КП-ң сипаттамалары таңдамалық д.а. да, КП шын сипаттамалырының бағалауы ғана б.т.

Пән: Автоматтандыру, Техника
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 9 бет
Таңдаулыға:

КЕЗДЕЙСОҚ СИГАЛДАР
Кездейсоқ сигналдардың (КС) мәндерiн алдынөала дәл анықтауға мүмкiн емес, оларды тек кейбiр ықтималдықпен болжауға болады. Мұндай сигналдардың сипаттамалары статистикалық болып табылады.
Уақытта өзгеретiн КС-ң математикалық моделi кездейсоқ процесс (КП) д.а. Анықтама бойынша, Х{t} КП - түрi ерекше функция, оның кез-келген t уақыт мезетінде алатын мәндерi кездейсоқ шамалар б.т. Техникалық әдебиетте КС мен КП терминдерi жиi бiрдей мағынада қолданылады.
Тiркелуіне (қабылдауына) дейiн КС-ды кездейсоқ процесс ретiнде, яғни белгiлi бiр ортақ статистикалық заңдылыққа бағынатын xk(t) уақыт функцияларының жиынтығы (ансамблi) ретiнде қарастыру керек. Сигнал қабылданғаннан соң толығымен белгiлi болған бұл функциялардың бiреуi КП-ң жүзеге асырылуы (реализациясы) д.а. Уақыттың кездейсоқ емес, детерминдi функциясы болып табылатын бұл жүзеге асырылу болуы мүмкiн функциялардың шексiз жиынының бiреуi б.т. Осы суретте бiр КП-ң бiрнеше жүзеге асырылуларының мысалы келтiрiлген.

1 сурет - КП-ң жүзеге асырылулары

КП-ң қасиеттерiн анықтайтын ықтималдық сипаттамалары ансамбль үшiн, яғни уақыттың шексiз интервалында тiркелетiн жүзеге асырылулардың шексiз жиыны үшiн, енгiзiледi. Демек, КП-тiң сандық сипаттамаларын тек өте көп балама тәжiрибелердiң нәтижелерi болған жағдайда табуға болады.
Бiрақ, зерттеушi қолында әдетте КП-ң ұзындығы шектi жалғыз жүзеге асырылу болады, оны таңдама функциясы деп, не жай таңдама деп атайды. Егер таңдама мәндерi уақыттың дискрет мезеттерiнде алынатын болса, онда бұл таңдама уақыттық қатар б.т. Таңдама бойынша, не таңдамалардың шектi жиыны бойынша есептелетiн КП-ң сипаттамалары таңдамалық д.а. да, КП шын сипаттамалырының бағалауы ғана б.т.
КП iшiнде мәндерi үздiксiз, дискреттi және аралас процестердi бөлуге болады.

2 Сурет - Үздiксiз (а), дискреттi (б) және аралас (в) кездейсоқ процестер жүзеге асыруларының мысалдары
Х{ti} кездейсоқ шамалары белгілі бір мүмкінді мәндер аймағының шегіндегі кезкелген мәнді қабылдай алатын процесс мәндерi үздiксiз КП д.а. Мұндай процестің мысалы - жел жыллдамдығының уақыттағы өзгеруі, температураның өзгеруі, өткізгіштердегі жылулық шуыл, т.с.с.
Егер КП тек кейбір белгілі (анықталған) мәндерді қабылдай алса (рұқсат етілген мәндердің саны шексіз де болуы мүмкін), ал басқа ешбір мәндерге ие бола алмаса, бұл КП дискретті д.а.
Аралас КП-ң мәндерi үздiксiз және дискретті құраушылардың екеуі де бар.

Жүзеге асырудың түрi парметрлердiң (кездейсоқ шамалардың) шектi санымен анықталатын КП квазидетерминдi КП д.а. Мұндай процесс жағдайында жүзеге асырудың келешек мәндерiн алдында тiркелген мәндер негiзiнде алдын-ала дәл анықтауға болады. Мұндай процестiң мысалы - реализациялары амплитудасы мен жиiлiгi белгiлi (детерминдi), ал бастапқы фазасы кездейсоқ, [0, 2PI] интервалында бірқалыпты үлестірілген, гармониялық тербелiстер б.т. процесс.

3 сурет - Бастапқы фазасы кездейсоқ гармониялық сигналдың жүзеге асырылулары

Егер келешек мәндердi алдын ала анықтауға мүмукiн емес болса, процесс детерминдi емес д.а.
Ықтималдық сипаттамалары уақытқа тәуелсiз болған процестер стационар д.а.
Кейбiр стационар процестер үшiн мынадай қасиет тән: ансамблiнiң әр мүшесi статистикалық мағынада өзiн барлық ансамбль сияқты жүргiзедi. Бұл жағдайда КП барлық сипаттамаларын жалғыз жүзеге асырылу қасиеттерiн зерттеп талдауға болады. Былайша айтсақ, оның қайсы -бiр статистикалық сипаттмаларын анықтағанда жиын (ансамбль) бойынша орташалауды жалғыз, теорияда ұзақтығы шексiз, жүзеге асырылуды уақыт бойынша орташалауға ауыстыруға болады. Мұндай процестердi эргодиялық (қатаң мағынада эргодиялық) д.а. Қатаң мағынадағы эргодиялық процестер қашанда-да стационар болып табылады. Барлық стационар емес процестер эргодиялық емес болады, бірақ стационар КП де эргодиялық емес болуы мүмкін.
Әдетте кейбiр физикалық процестің эргодиялылығын дәлелдеуге қиын болады, өйткенi iс жүзiнде бiл процестiн тек жалғыз жүзеге асырылуды өлшеуге мүмкiн болады. Бiрақ жиi физика тұрғысынан қарсы шығатын маңызды дәлелдер болмаса, процес эргодиялық б.табылады деп болжауға пайдалы болады. Процесс эргодиялық б.табылады деген болжау жағдайында уақыттық қатарларды талдау әлде-қайда оңайланады.

Кездейсоқ процестердің ықтималдықтық сипаттамалары
X(t) - {x1(t), x2(t),..., xk(t),...} жүзеге асырылулар ансамблімен берілген кездейсоқ процесс болсын. Уақыттың кайсыбір t1 мезетін таңдап, барлық реализациялар (жүзеге асырылулар) алатын мәндерді анықтайық (бекітейік): {x1(t1), x2(t1),..., xk(t1),...} (1 суретті қара). Бұл мәндердің жиынтығы кездейсоқ процестің бірөлшемді қимасын түзеді және X(t1 ) кездейсоқ шама б.т. Берілген бір реализация t1 уақыт мезетінде қабылдайтын xk(t1) мәні X(t1 ) кездейсоқ шаманың мәні б.т. КП-ң жүзеге асырылулары мен жүзеге асырылулар ансамблі X(ti ) кездейсоқ шамалардың жиыны б.т. Сондықтан кездейсоқ шамалардың ықтималдықтық түрдегі сипаттауы КП-ң сипаттауы болады, ал кездейсоқ шаманың статистикалық сипаттамалары КП-ң статистикалық сипаттамаларымен бірдей болады. Кездейсоқ шамалардың негізгі сипаттамаларын естеріңізге түсірейік.

Функциялық сипаттамалар
Кездейсоқ шамалардың мәндерін олар өлшеніп отырған тәжірибенің шарттары толығымен болса да алдын-ала анықтау мүмкін емес, тек бұл шама кейбір мәнге ие болуының ықтималдығын айтуға болады. Бірақ, кездейсоқ шамалардың ықтималдық үлестіруін біле отырып, КП реализацияларының қасиеттері мен олардың ерекшеліктері туралы қорытындыны жасауға болады.
F(x, t1) деп белгілінетін ықтималдықтың үлестірілу функциясы (ҮФ) (cumulative distribution function, CDF) КП-ң t1 мезетіндегі мәні х-тен көп болмайтынының ықтималдығына тең:

ЫҮФ азаймайтын функция, оның мәндері 0 = F(х, t1) = 1 аралығында жатады. Шекті мәндер үшін мынадай қатынастар орындалады: F(-infinity,t1) = 0 и F(infinity, t1) = 1

КП мәнінің (а, b] интервалына түсу ықтималдығы ҮФ-ң бұл интервал шеттеріндегі мәндерінің айырмасына тең болады:
Р(а X(t1) =b) = F(b, t1) - F(a, t1) .

Ықтималдықтың бірөлшемді тығыздығы (ЫТ) (probability density function, PDF) p(x, t1) деп белгіленеді де, ҮФ-ң туындысы б.т.:
.
р(х t1) dx көбейтіндісі КП-ң X(t1) мәнінің х маңайындағы dx шексіз аз интервалына түсу ықтималдығын береді:

Демек ЫТ теріс емес функция б.т.: р(х, t1)=0. X(t1) мәнінің [а, b] интервалына түсу ықтималдығын анықтау үшін мынадай интегралды есептеу керек:

Мысалы, бірдей шуыл генераторлардың көп саны қосылған болсын. шама уақыттың t1 мезетінде k-інші генератордың xk шығысы a мен b арлығында жататындығының ықтималдығын сипаттайды.
Кездейсоқ шама қайсыбір мәнді міндетті түрде алатындықтан, нормалаудың шарты орындалуы тиіс:
(4.1)
ЫТ біле отырып, ҮФ-ны да есептеуге болады:
(4.2)

Сандық сипаттамалар
БЫТ білу Х(t1) кездейсоқ шама мен оның кез келген функциясын статистикалық түрде орталауға мүмкіндік береді. Статистикалық орталау (ensemble averaging) деп процестің кейбір қимасындағы, яғни уақыттың бекітілген мезетіндегі, жиын бойынша (жүзеге асырылулар ансамблі бойынша) орталауды айтады.
ЫТ-ы рx(х) тең кейбір х кездейсоқ шаманың f функциясының математикалық үміті былай анықталады:
(4.3)
f(x)=xn түріндегі функция көмегімен кездейсоқ шаманың бастапқы моменттері:
(4.4)
және центрлік моменттері енгізіледі:
(4.5)
Кездейсоқ шаманың математикалық үміті (күтілімі) (mean value) (бірінші бастапқы момент, (4.4) формуладағы n=1, немесе (4.3) формуладағы f(x)=x) КП-ң t уақыт мезетіндегі орташа мәнінің теориялық бағалауы б.т.:
(4.6)
Дисперсия (variance) (екінші центрлік момент, (4.5) формуладағы n=2) флуктуациялар деп аталатын КП-ң mx(t) орташа мәнінен ауытқулардың орташа қуатын сипаттайды:
(4.7)

Орташа квадраттық ауытқу (standard deviation) дисперсияның квадраттық түбіріне тең және КП мәндерінің математикалық үмітке қатысты шашыраудың амплитудалық мөлшері б.т.:
(4.8)
Х кездейсоқ шаманың дисперсиясы жиі .деп белгіленеді.
Эргодиялық процестер үшін жүзеге асырылулар ансамблі бойынша орталаудың орнына бір реализацияны бақылау уақыты бойынша орталау жүргізеді:
(4.9)
(4.10)
Бұрыштық жақшамен уақыт бойынша орташалау белгіленген. Стационар (оның ішінде эргодикалық та) процестердің математикалық үміті мен дисперсиясы уақытқа тәуелді болмағандықтан Уақыттың бекітілген мезеттерінің белгілері жіберілген.
Іс жүзінде интегралдау шексіз емес, шекті интервалда жүргізіледі, неғұрлым есептеудің дәлдігіне қойылатын талаптар жоғары болса, соғұрлым бұл интервалдың ұзындығы да көп болу тиіс.
Эргодиялық КП математикалық үміті оның кезкелген жүзеге асырылуының тұрақты құраушысына тең, ал дисперсия оның флуктуациялық құраушысының куатын сипаттайды.

Бірқалыпты үлестірім
БҮ (uniform distribution) - іс жүзінде жиі қолданатың кездейсоқ шамалар үлестірілу заңдарының бірі. ЫТ кейбір [a, b] интервалында тұрақты б.т., бұл константаның мәні нормалаудың (4.2) шартына сәйкес 1( b- a) тең, ҮФ [a, b] интервалында 0-ден 1-ге дейін сызықты түрде өседі. Математикалық үміт кездейсоқ шаманың болуы мүмкін мәндер интервалының ортасына тең екендігін көрсетуге оңай.

5 сурет - Үлестірімі бірқалыпты кездейсоқ шаманың ЫТ мен ҮФ-сы

Нормаль үлестірілу
Кездейсоқ шамалар үлестірілуінің нормаль заңы (normal distribution, Gaussian distribution) талдау үшін өте ыңғайлы және іс жүзінде жиі кездеседі, әсіресе ол байланыс арнасының бөгеулеріне тән. Нормаль кездейсоқ шаманың БЫТ мына өрнекпен анықталады:
, (4.11)
мұндағы тх пен σх2 - процестің математикалық үміті мен дисперсиясы, сәйкесінше.

6 сурет - Үлестірімі нормаль (тх =0 ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.