Сигналдардың Фурье-талдауы

Кіріспе

Сигналардың Фурье-талдауы кезкелген дерлік функцияны тригонометриялық қатарға жіктеуге болады деген идеяда негізделген. 1823 ж. француз математигі Фурье мұндай жіктеудің коэффициенттері үшін өрнектерді ұсынды. Бірақ сол кезде бұл болжауға сенген ірі математиктер аз болды, өйткені Фурье сендіретін дәлелдеуді келтіре алмады, ал дәлелсіз мұндай жорамалға сенуге қиын. Синусоидалар сияқты қарапайым функцияларды қосу нәтижесінде оларға тіпті ұқсамайтын және пішіні өте күрделі функцияларды алуға болатыны мүмкін емес болып көрінеді.
Бұл болжау рас болып шыққанын сендер білесіндер, оның мүлтіксіз дәлелдеуін 1829 ж. Дирихле келтіріді. 1 суретте мысал үшін амплитуда мен жиіліктері әртүрлі бірнеше синусоидаларды қосындылау нәтижесінде тікбұрышты импульстері тізбегі болып табылатын сигналды жуықтап алуға болатындығы көрсетілген (былайша айтсақ, бұл сигналдың Фурье қатарының дербес қосындылары (бұл сигналдың Фурье қатарын қосындылаудың аралық кезендері) көрсетілген). Төрт-ақ синусоиданы қосқанда бұл сигналға өте ұқсас функция алынатыны, қосылатын синусоидалардың (Фурье қатары мүшелерінің) саны өскен сайын керекті сигналды жуықтау дәлдігі өсетіні жақсы көрінеді. Бірақ сигналдың үзіліс нүктелері маңайындағы тербелістердің (алынбақ отырған сигналдан ауытқұлардың) амплитудалары қосылып отырған синусоидалардың саны өсуімен азаймайтыны дерлік, тек горизонталь бойынша сығылып, үзіліс нүктелеріне жақындайтыны да көрінеді. Бұл құбылыс Гиббс эффекті деп аталады, ол Фурье- талдау кемшіліктерінің бірі болып табылады.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 7 бет
Таңдаулыға:

СИГНАЛДАРДЫҢ ФУРЬЕ-ТАЛДАУЫ
Фурье-талдаудың идеясы
Сигналардың Фурье-талдауы кезкелген дерлік функцияны тригонометриялық қатарға жіктеуге болады деген идеяда негізделген. 1823 ж. француз математигі Фурье мұндай жіктеудің коэффициенттері үшін өрнектерді ұсынды. Бірақ сол кезде бұл болжауға сенген ірі математиктер аз болды, өйткені Фурье сендіретін дәлелдеуді келтіре алмады, ал дәлелсіз мұндай жорамалға сенуге қиын. Синусоидалар сияқты қарапайым функцияларды қосу нәтижесінде оларға тіпті ұқсамайтын және пішіні өте күрделі функцияларды алуға болатыны мүмкін емес болып көрінеді.
Бұл болжау рас болып шыққанын сендер білесіндер, оның мүлтіксіз дәлелдеуін 1829 ж. Дирихле келтіріді. 1 суретте мысал үшін амплитуда мен жиіліктері әртүрлі бірнеше синусоидаларды қосындылау нәтижесінде тікбұрышты импульстері тізбегі болып табылатын сигналды жуықтап алуға болатындығы көрсетілген (былайша айтсақ, бұл сигналдың Фурье қатарының дербес қосындылары (бұл сигналдың Фурье қатарын қосындылаудың аралық кезендері) көрсетілген). Төрт-ақ синусоиданы қосқанда бұл сигналға өте ұқсас функция алынатыны, қосылатын синусоидалардың (Фурье қатары мүшелерінің) саны өскен сайын керекті сигналды жуықтау дәлдігі өсетіні жақсы көрінеді. Бірақ сигналдың үзіліс нүктелері маңайындағы тербелістердің (алынбақ отырған сигналдан ауытқұлардың) амплитудалары қосылып отырған синусоидалардың саны өсуімен азаймайтыны дерлік, тек горизонталь бойынша сығылып, үзіліс нүктелеріне жақындайтыны да көрінеді. Бұл құбылыс Гиббс эффекті деп аталады, ол Фурье- талдау кемшіліктерінің бірі болып табылады.

1 сурет - Қосылатын ең жоғарғы гармониканың нөмірі k=1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 болғандағы меандр үшін Фурье-синтезінің аралық кезеңдері -

Бірақ-та, Фурье қатарына жіктеуде негізделген сигналдарды талдаудың әдісі қазіргі уақытта да, вейвлеттік, информациялы-энтропиялық, т.с.с. талдаудың жетілдірілген әдістері ашылған болса да, өз маңыздылығын сақтады. Өйткені сигналды оның элементар құраушыларына жіктеп, ол туралы көптеген мәліметті, мысалы, оның шыққан тегісі туралы, оның көзі болып табылатын объекттің ерекшеліктері туралы, көзден қабылдағышқа дейінгі жолда оған әсер еткен факторлар, яғни ол таралған ортаның қасиеттері туралы, т.с.с. мәліметті алуға болады. Бұл, мысалы, жұлдыздар шығаратын жарықтың спекрін талдап, яғни жарықты жиіліктік құраушыларына жіктеп, жұлдыз затының құрамын, температурасын, жұлдызаралық ортаның қасиеттерін анықтағанға ұқсас. Мұның үстіне, физикалық әлемде жиіліктері әртүрлі тербелістердің қосындысы болып табылатын құбылыстар көп екен (мысалы, жарық). Жалпы, Фурье қатарларын көптеген уақыт ішінде есептеу мен талдауды жүргізу үшін өте ыңғайлы математикалық абстракция деп ойлады, бірақ радиобайланыстың пайда болуымен күрделі сигналдардың гармоникалары (гармоникалық құраушылары) шынында да бар объектілер болып табылатыны, және әр сигнал олардың жыйынтығымен (спектрімен) сипатталынатыны ашылды. Күрделі сигналдардың синтезаторлары мен спектрдің анализаторларын жасау Фурье-талдаудың триумфі болды.
Фурье болжаудың дәлелдеуі элементар тригономтериялық түрленулер мен Фурье қатарын құрайтын функциялардың ортогогональдығында негізделген, ол математикалық талдау курсында беріледі. Мұнда функцияны Фурье-қатарға жіктеудің геометриялық аналогиясын, яғни әдеттегі векторды үшөлшемді кеңістікте үш ортогональ векторлар (кеңістіктің базисі) бойынша жіктеуге ұқсастығын қарастыруға пайдалы болады, өйткені осы принципте сигналдарды талдаудың басқа да әдістері, мысалы, вейвлет-талдауы, негізделген .
Үшөлшемді кеңістіктегі кезкелген векторды нүкте арқылы анықтауға (вектордың басы координаттар жүйесінің басымен сәйкестірілгендегі вектордың ұшына (соңына) сәйкес келетін нүкте ретінде көрсетуге) болады және базистік векторлар бойынша, мысалы, декарт координат жүйесі остерінің орттарынан құрастырылған {i, j, k} ортонормаланған базисі бойынша, жіктеуге болады (олардың сызықты комбинациясы түрінде :
a=ax i + ay j + az k.
Мұндағы ax , ay және az жіктеу коэффициенттері вектордың құраушылары (компоненттері, i, j, k бағыттардағы проекциялары) деп аталады да, жіктеліп отырған вектор мен сәйкесті базистік ветордың скалярлық көбейтіндісімен анықталады: ax= (a i), ...
Жалпы жағдайда, базистік веторлар бірлік болмағанда, бұл формулаларды былай жазуға болады:
a=a1 e1 + a2 e2 + a3 e3, , мұндағы - ei векторының нормасы, яғни вектордың өз өзіне скалярлық көбейтіндісінің түбірі (вектордың модулі (ұзындығы)): .
Кеңістіктің көптеген базистер, яғни оларға кезкелген векторды жіктеуге болатын векторлар жиынтығы, болуы мүмкін (мысалы, сәйкес остері бір бірімен беттеспейтін (бір біріне бұрыштар жасап бағытталған) декарт координат жүйесі остерінің орттарынан құрастырылған базистердің шексіз саны бар, полярлық координаттар жүйесінің базисі, т.б.), бірақ әр базисті құрайтын векторлардың саны барлық базистер үшін бірдей, кеңістіктің өлшемділігіне тең болады.
Сигналдар теориясында кезкелген функция (сигнал) функциялардың кеңістігі деп аталатын абстрактты көпөлшемді кеңістіктегі көпөлшемді вектор ретінде қарастырылады, оған бұл кеңістіктегі бір нүкте сәйкес келеді, функцияның әр мәні вектордың бір құраушысын (векторға сәйкес келетін нүктенің бір координатасын) береді (анықтайды). Егер сигнал үздіксіз болса, онда оның мәндерінің саны ақырсыз болады, демек ол шексізөлшемді кеңістітегі шексізөлшемді вектор болып табылады. Егер сигнал дискретті болып табылса, және оның санақтарының саны N болса, ол N-өлшемді кеңістіктегі N-өлшемді вектор болып табылады.
Екі үздіксіз сигналдың [a, b] аралығындағы скалярылық көбейтіндісі былай анықталады:
.
Бұл анықтама әдеттегі үшөлшемді векторлардың скалярлық көбейтіндісіне ұқсас енгізілген: ол екі вектордың сәйкес құраушылар көбейтінділерінің қосындысына тең болады ((ab)=a1 b1 + a2 b2 + a3 b3), үздіксіз сигналдар үшін қосудың орнына интегралдау жасалынады, функциялар копмлексті болып табылса, екінші функцияның орнына оның түйіндес функциясы алынады. Кейде скалярылық көбейтіндісін [a, b] аралығына нормалайды (бұл аралық бойынша орташалайды):

Сәйкесінше, функцияның нормасы былай анықталады:
, немесе .
Сонда, егер {1, 2, ... } функциялардың тізбегі (жүйесі) кеңістігінің базисі болып табылса, яғни бұл кеңістікке жататың кезкелген функцияны 1, 2, ... функцияларының сызықты комбинациясы ретінде көрсетуге болса, онда Сонда біздің функциялық кеңістікке жататың кезкелген f "векторды" (функцияны) жалғыз түрде {1, 2, ... } толық ортогональ жүйенің "векторлары" бойынша (яғни бұл кеңістіктің базисі болып табылатын {1, 2, ... } функциялар тізбегіне (жүйесіне) кіретін функциялар бойынша) "жіктеуге" болады, яғни мынадай түрде көрсетуге болады:
f=c11+ c22+ ...+ cii+ ..., (*)
мұндағы c1, c2 ... жіктеу коэффициенттері - {} базисіндегі f вектордың құраушылары (координаталары) болып табылады да, мына өрнекпен анықталады:
. (**)
(Бұл формуланы әдеттегі ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.