Сигналдардың Фурье-талдауы

Сигналардың Фурье-талдауы кезкелген дерлік функцияны тригонометриялық қатарға жіктеуге болады деген идеяда негізделген. 1823 ж. француз математигі Фурье мұндай жіктеудің коэффициенттері үшін өрнектерді ұсынды. Бірақ сол кезде бұл болжауға сенген ірі математиктер аз болды, өйткені Фурье сендіретін дәлелдеуді келтіре алмады, ал дәлелсіз мұндай жорамалға сенуге қиын. Синусоидалар сияқты қарапайым функцияларды қосу нәтижесінде оларға тіпті ұқсамайтын және пішіні өте күрделі функцияларды алуға болатыны мүмкін емес болып көрінеді.
Бұл болжау рас болып шыққанын сендер білесіндер, оның мүлтіксіз дәлелдеуін 1829 ж. Дирихле келтіріді. 1 суретте мысал үшін амплитуда мен жиіліктері әртүрлі бірнеше синусоидаларды қосындылау нәтижесінде тікбұрышты импульстері тізбегі болып табылатын сигналды жуықтап алуға болатындығы көрсетілген (былайша айтсақ, бұл сигналдың Фурье қатарының дербес қосындылары (бұл сигналдың Фурье қатарын қосындылаудың аралық кезендері) көрсетілген). Төрт-ақ синусоиданы қосқанда бұл сигналға өте ұқсас функция алынатыны, қосылатын синусоидалардың (Фурье қатары мүшелерінің) саны өскен сайын керекті сигналды жуықтау дәлдігі өсетіні жақсы көрінеді. Бірақ сигналдың үзіліс нүктелері маңайындағы тербелістердің (алынбақ отырған сигналдан ауытқұлардың) амплитудалары қосылып отырған синусоидалардың саны өсуімен азаймайтыны дерлік, тек горизонталь бойынша сығылып, үзіліс нүктелеріне жақындайтыны да көрінеді. Бұл құбылыс Гиббс эффекті деп аталады, ол Фурье- талдау кемшіліктерінің бірі болып табылады.
        
        СИГНАЛДАРДЫҢ ФУРЬЕ-ТАЛДАУЫФурье-талдаудың идеясыСигналардың Фурье-талдауы кезкелген дерлік функцияны тригонометриялық қатарға жіктеуге болады деген идеяда негізделген. 1823 ж. ... ... ... ... жіктеудің коэффициенттері үшін өрнектерді ұсынды. Бірақ сол кезде бұл болжауға сенген ірі математиктер аз болды, өйткені ... ... ... ... ... ал ... мұндай жорамалға сенуге қиын. Синусоидалар сияқты қарапайым функцияларды қосу нәтижесінде оларға тіпті ұқсамайтын және пішіні өте ... ... ... болатыны мүмкін емес болып көрінеді.Бұл болжау рас болып шыққанын ... ... оның ... дәлелдеуін  1829  ж. Дирихле келтіріді. 1 суретте мысал үшін амплитуда мен жиіліктері әртүрлі бірнеше синусоидаларды қосындылау нәтижесінде  ... ... ... болып табылатын сигналды жуықтап алуға болатындығы көрсетілген (былайша айтсақ, бұл сигналдың Фурье қатарының дербес қосындылары (бұл сигналдың Фурье қатарын ... ... ... ... Төрт-ақ синусоиданы қосқанда бұл сигналға өте ұқсас функция ... ... ... ... ... ... саны өскен сайын керекті сигналды жуықтау дәлдігі өсетіні жақсы көрінеді. Бірақ сигналдың ... ... ... ... ... ... сигналдан ауытқұлардың) амплитудалары қосылып отырған синусоидалардың саны өсуімен азаймайтыны дерлік, тек ... ... ... ... ... ... да көрінеді. Бұл құбылыс Гиббс эффекті деп аталады, ол Фурье- талдау кемшіліктерінің бірі ... ...  1 ...  -  ... ең жоғарғы гармониканың нөмірі k=1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 болғандағы ... үшін ... ... ... - ... ... қатарына жіктеуде негізделген сигналдарды талдаудың әдісі қазіргі уақытта да, вейвлеттік, информациялы-энтропиялық, т.с.с. талдаудың ... ... ... ... да, өз ... ... ... сигналды оның элементар құраушыларына жіктеп, ол туралы көптеген мәліметті, мысалы, оның шыққан тегісі туралы, оның көзі ... ... ... ерекшеліктері туралы, көзден қабылдағышқа дейінгі жолда оған әсер еткен факторлар, яғни ол таралған ортаның ... ... ... ... ... ... Бұл, мысалы,  жұлдыздар шығаратын жарықтың спекрін талдап, яғни жарықты жиіліктік құраушыларына жіктеп, жұлдыз затының құрамын, температурасын, жұлдызаралық ортаның ... ... ... ... үстіне,  физикалық әлемде жиіліктері әртүрлі тербелістердің қосындысы болып табылатын құбылыстар көп екен (мысалы, жарық). Жалпы, Фурье ... ... ... ... ... мен талдауды жүргізу үшін өте ыңғайлы математикалық абстракция деп ойлады, бірақ радиобайланыстың пайда болуымен күрделі сигналдардың гармоникалары (гармоникалық құраушылары) шынында да бар ... ... ... және әр сигнал олардың жыйынтығымен (спектрімен) сипатталынатыны ашылды. Күрделі сигналдардың синтезаторлары  мен спектрдің анализаторларын жасау Фурье-талдаудың триумфі болды.Фурье  ... ... ... ... ... мен ... ... құрайтын функциялардың ортогогональдығында негізделген, ол математикалық талдау курсында беріледі. Мұнда функцияны Фурье-қатарға жіктеудің геометриялық аналогиясын, яғни әдеттегі ... ... ... үш ортогональ векторлар (кеңістіктің базисі) бойынша жіктеуге ұқсастығын қарастыруға пайдалы болады, өйткені осы принципте сигналдарды ... ... да ... мысалы, вейвлет-талдауы, негізделген .Үшөлшемді кеңістіктегі кезкелген векторды нүкте арқылы анықтауға (вектордың басы координаттар жүйесінің басымен сәйкестірілгендегі вектордың ... ... ... ... ... ретінде көрсетуге) болады  және базистік векторлар бойынша, мысалы, декарт координат жүйесі остерінің  орттарынан ... {i, j, k} ... ... ... ... ... ... сызықты комбинациясы түрінде : a=ax i + ay j + az k.Мұндағы ax , ay  және az  ... ... ... ... ... i, j, k ... проекциялары) деп аталады да, жіктеліп отырған вектор мен сәйкесті базистік ветордың скалярлық көбейтіндісімен анықталады: ax= (a i), ... Жалпы жағдайда, ... ... ... ... бұл ... былай жазуға болады:a=a1 e1 + a2 e2 + a3 e3,  , мұндағы - ei ... ... яғни ... өз өзіне скалярлық көбейтіндісінің түбірі (вектордың модулі (ұзындығы)): .Кеңістіктің көптеген базистер, яғни оларға кезкелген ... ... ... ... ... ... мүмкін (мысалы, сәйкес остері бір бірімен беттеспейтін (бір біріне бұрыштар жасап бағытталған) декарт координат жүйесі остерінің  орттарынан құрастырылған ... ... саны бар, ... ... ... ... т.б.), бірақ әр базисті құрайтын векторлардың саны барлық базистер үшін бірдей, кеңістіктің өлшемділігіне тең  болады.Сигналдар теориясында кезкелген функция ... ... ... деп аталатын абстрактты көпөлшемді кеңістіктегі көпөлшемді вектор ретінде қарастырылады, оған бұл кеңістіктегі бір ... ... ... ... әр мәні ... бір ... (векторға сәйкес келетін нүктенің бір координатасын) береді (анықтайды). Егер сигнал үздіксіз болса, онда оның мәндерінің саны ақырсыз болады, демек ол ... ... ... ... ... ... Егер сигнал дискретті болып табылса, және оның санақтарының саны N болса, ол N-өлшемді кеңістіктегі N-өлшемді вектор болып табылады. Екі үздіксіз ... [a, b] ... ... ... ... ...  . Бұл анықтама  әдеттегі үшөлшемді векторлардың скалярлық көбейтіндісіне ұқсас енгізілген: ол екі вектордың сәйкес құраушылар ... ... тең ... ((ab)=a1 b1 + a2 b2 + a3 b3), ... ... үшін ... орнына интегралдау жасалынады, функциялар копмлексті болып табылса, ... ... ... оның түйіндес функциясы алынады. Кейде скалярылық көбейтіндісін [a, b] аралығына нормалайды (бұл аралық бойынша орташалайды):Сәйкесінше, функцияның нормасы былай ... ...       ... егер {1, 2, ...  } ... тізбегі (жүйесі) кеңістігінің базисі болып табылса, яғни бұл кеңістікке жататың кезкелген функцияны 1, 2, ... ... ... ... ... ... ... онда  Сонда біздің функциялық кеңістікке жататың кезкелген f  ... ... ... ... {1, 2, ...  } ... ... жүйенің "векторлары" бойынша (яғни бұл кеңістіктің базисі болып табылатын {1, 2, ...  } ... ... ... ... ... ... ... болады, яғни мынадай түрде көрсетуге болады:f=c11+ c22+ ...+ cii+ ...,  										(*)мұндағы c1, c2 ... жіктеу коэффициенттері - {} ... f  ... ... ... болып табылады да, мына өрнекпен анықталады: . 												(**)(Бұл формуланы әдеттегі үшөлшемді векторды базис бойынша жіктедің өрнектерімен салыстырындар) Сигналды ... ... ... ... ... ... Фурье қатарына жіктеледі. Бұл жіктелу болу үшін ұзақтығы бір периодқа тең сигналдың үзіндісі ... ... ... ... ... текті үзілістер (шексіздікке кететін функцияның тармақтары) болмау тиіс;* бірінші текті үзілістердің (секірулерлің) саны шектелген болу ... ... саны ... болу тиіс ... ... экстремумдерінің саны шексіз болатын функцияның мысалы ретінде 0 төнірегіндегі sin(1/x) функцияны келтіруге ... ... ... ... кездесетін сигналдар үшін орындалады.Бірақ функцияның Фурье қатары функцияның өзіне тек үздіксіздік ... ... ti ... ... ол ... s(ti-o))/2  шамаға жиналады (мұндағы  s(ti+o)және s(ti-o)  -  t  ti  - ге ... оң және сол ... ... s(t) ... ... S(t) - s(t) ... ... қосындысы). Яғни функцияның Фурье қатары функцияға тек орта ... ... ал егер ... ... шама ...  ... яғни ... функциядан квадраттық ауытқуын (еңістігін) емес, Фурье қатары қосындысының функция мәнінен ең жоғары ауытқуын алсақ, ол ... ... ... ... Сөйтіп, сигналдың үзіліс нүктелерінде бақыланатын Гиббс эффектісі жойылмайды.Базистік функцияларының нақты түріне байланысты Фурье-қатарын жазудың бірнеше түрін айырады. Фурье қатарының ... түрі ... ... ... ... үшін қайсысы ыңғайлы болатынымен байланысты.Синусты-косинусты түрі:(5.1)Қатардың құрамына уақытқа тәуелсіз а0 /2 тұрақты құраушысы және гармоникалар деп аталатын гармониялық тербелістердің (синусоидалар мен ... ... ... ... ... ... ... Т периодына сәйкес келетін 1=2 /Т негізгі жиілігіне еселі болып табылады: k = k1. Гармоникалар k индексіне сәйкес ... ... ең ... ... ... ... жиіліктің тербелісі, немесе бірінші гармоника деп аталады. Бұл гармоникалар ... ... ... ... ... ... болып табылады. Фурье коэффициеенттері деп аталатын қатардың аk мен bk коэффициенттері мына ... ... ... ... аk үшін ... ... көмегімен есептелінеді (демек оның жиілігі 0-ге тең, яғни ол сигналдың тұрақты құраушысы ... ... ... қосылғышты жазудың екіге бөлуімен түрі бұл ортақтық болу үшін қолданылады. Бұл қосылғыш сигналдың период ішіндегі орташа мәніне тең болады:ЕСКЕРТУ______________________________________________________________Фурье-коэффициенттері ... ... ... ... ... ... яғни (**) ... бойынша есептелінеді, интеграл алдындағы 2/Т коэффициенті Фурье қатарының базисті функцияларының (синус пен косинустардың) нормалары  тең екендігімен байланысты.10337801587500Нақтылы сигнал туралы ... ... ... ... ... ... олар ... функцияларға да байланысты болады (ушөлшемді кеңістіктегі вектордың берілген  бір базистегі ... ... ... ... толығымен анықтағанға ұқсас). Фурье-коэффициенттер үшін формулаларды екі сигналдың корреляциялық функция үшін өрнегімен салыстырсақ, k-ші коэффициент жіктеліп ... ... ... k1  - ге тең ... (не ... ... ... сызықты байланысын) сипаттайтынын көреміз: егер бұл коэффициенттің мәні жоғары болса, онда біздің сигналдың ... ... ... ... бұл ... сигнал ішіндегі құраушысы да жоғары болады. ЕСКЕРТУ______________________________________________________________Интегралдау шектері жоғарыда келтірілген формулалардағыдай (-Т/2 -ден до Т/2  - ге ... болу  ... ... ... ... Т  - ге тең ... ... бойынша жүргізуге болады  -  нәтиже одан өзгермейді. ... ... ... ... ... байланысты қалап алынады, мысалы, интегралдауды 0  - ден Т  - ге ... ... -Т  -  ден 0  - ге ... орындауға ыңғайлы болуы мүмкін.10337801587500Егер s(t) жұп функция болса, онда ...  bk ... тең ... да, Фурье қатарының өрнегінде тек косинусты қосылғыштар бар болады. Егер s(t) тақ функцисы болса, ... ak ... ... ... тең ... да, ... тек синусные қосылғыштар қалады.Нақты түріФурье қатарының косинусты-синусты түрінің ыңгайсыздылығы қатардың әр мүшесін (яғни жиілігі k1 тең әр гармониканы) есептеу үшін қиын ... ... ... тригонометриялық функцияны есептеуді екі рет жүргізу керек. Тригонометриялық түрлендірулерді қолданып, Фурье қатарын ... ... ... болады:(5.2)мұнда гармоникалардың амплитудалары мен бастапқы фазалары былай анықталады:Егар s(t) жұп функция болса, φk фазалары тек 0 мен PI тең ... ... ал егер s(t)  --  тақ ... ... ... ... болуы мәндері ұ PI /2 тең.ЕСКЕРТУ______________________________________________________________(5.2) формуладан да Фурье қатарына жіктеу коэффициенттерінің мағынасын қарапайым ...  ... ... ... бұл коэффициенттер зерттеліп отырған сигналда қандай периодты тербелістер (құраушылар, гармоникалар) бар екендігін және бұл тербелістердің ... ... ... ... ... ... екендігін көрсетеді.10337801587500Комплексті түріБұл Фурье қатарының радиотехникада ең ... ... Ол ... түрден Эйлер  формуласынан (еjx = cos x+j sin х)  шығатын косинус үшін өрнектен (cos x = (ejx + e-jx)/2) ...   ... бар ... ... ... қатар мүшелері ретінде қарастырсақ, Фурье қатарының комплексті түрін аламыз:.								(5.3)(а0/2 тұрақты қосылғышы қатардың ... 0-ге тең ... ... шығады).Қатардың комплексті коэффициенттері (5.2) формуладағы Аk  амплитудалары мен φk,  ... мына ... ... ... ...  , ... ... синусты-косинусты түрінің ak мен bk коэффициенттерімен байланыс формулалары мынадай болады:, . Бұдан  коэффициенттерді тікелей есептеудің формуласы шығады:(5.4)Егер s(t) жұп ... ...  ... таза ...  ... ал егер s(t)  --  тақ ... болса, бұл коэффициенттер таза жалған болады.Сигналды гармониялық құраушыларына жіктеуді, яғни ... ... ... ... ... ... деп атайды (мұндай жіктеу талдап отырылған сигнал ішінде қандай тербелістер бар екендігін, және бұл ... ... ... ... ... яғни ... спектрін зерттеуге, мүмкіндік береді). Ал Фурье қатары түрінде келтірілген (көрсетілген)сигналды қайтадан алу ... ... деп ... ... ... ... ... жиынтығын жиі сигналдың амплитудалық спектрі, ал гармоникалардың фазалар жиынтығын  -  фазалық ... деп ... ... ... периодты сигналдардың спектрі дискретті болып табылатынын біз көрдік - оған ωk=kω1, где k=1,2,3... бекітілген жиіліктердің жиынтығы кіреді.  ... Егер ... ... s(t) ... нақты болса, онда оның амплитудалық пен фазалық спектрлері симметрияға ие болады: A-k=Ak,        φ-k= -φk ,          .  
        
      

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Көлемі: 7 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 300 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Сигналдардың вейвлет-талдауы9 бет
Дыбыстық технологиялардың компьютерлік құралдары40 бет
Фурье қатары9 бет
Фурье қатары туралы жалпы түсінік5 бет
Бухгалтерлік есеп пен аудиттің жалпы құрастырылу принципі19 бет
Экономикалық қаржыны басқару9 бет
«Семей былғары-мех комбинаты» ЖШС-дегі өндірістік шығындардың аудиті және талдауы66 бет
Акционерлік капитал есебі және талдауы71 бет
Ақша қаражаттарының есебі,талдауы32 бет
Ақша-қаражатының аудиті және талдауы63 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь