Болашақ математика мұғалімінің әдістемелік дайындығының жалпы мәселелері
Лекция 1
Математикалық ұғым және оны қалыптастыру.
Мектеп математикасы курсында математикалық ұғымдарды қалыптастыру әдістемесі
Лекция 2
Математикалық оқытудағы анализ бен синтез
Лекция 3
Математикалық оқыту процесіндегі индукция мен дедукция
Лекция 4
Анықтамалар, аксиомалар, теоремалар
Лекция 5
Математиканы оқытудағы ғылыми және оқыту әдістері.
Лекция 6
Оқушылардың өзбетіндік жоспарын ұйымдастыру
Лекция 7
Лекция 8. Оқушының математикалық ойлауының дамуы және математикалық есептердің ролі.
Лекция 9
Математиканы оқытудағы есептердің ролі. Есептер шешудің жалпы әдістерін оқыту.
Лекция 10. Оқушының математикалық ойлауының дамуы математикалық есептердің ролі.
7. Курстық жұмыстар
8. Емтиханға арналған сұрақтар
9 Студенттердің математиканы оқыту әдістемесінің теориялық негіздерінен білім деңгейін диагностикалауға арналған тапсырмалар:
Математикалық ұғым және оны қалыптастыру.
Мектеп математикасы курсында математикалық ұғымдарды қалыптастыру әдістемесі
Лекция 2
Математикалық оқытудағы анализ бен синтез
Лекция 3
Математикалық оқыту процесіндегі индукция мен дедукция
Лекция 4
Анықтамалар, аксиомалар, теоремалар
Лекция 5
Математиканы оқытудағы ғылыми және оқыту әдістері.
Лекция 6
Оқушылардың өзбетіндік жоспарын ұйымдастыру
Лекция 7
Лекция 8. Оқушының математикалық ойлауының дамуы және математикалық есептердің ролі.
Лекция 9
Математиканы оқытудағы есептердің ролі. Есептер шешудің жалпы әдістерін оқыту.
Лекция 10. Оқушының математикалық ойлауының дамуы математикалық есептердің ролі.
7. Курстық жұмыстар
8. Емтиханға арналған сұрақтар
9 Студенттердің математиканы оқыту әдістемесінің теориялық негіздерінен білім деңгейін диагностикалауға арналған тапсырмалар:
Біздің әрбір сөйлеміміздің сөзі белгілі бір заттардың тобын, класына жатып, оларды анықтайды, құбылыстардың өзара қатынасын бейнеледі. Егер сөз бізге бір затты басқа бір заттардан көптеген қасиеттерін ерекшелеп көрсетуге көмектессе, ойымызда ол зат ерекшеленіп елестесе не оларға тән ортақ қасиеттер мен байланыстарды көрсетілсе, онда ой заттың жалпы қасиеттерін бейнелей алады. Заттар арасындағы және құбылыстар мен қатынастардан, олардың нақты қасиеттерінен жалпылай қорытынды шығарылса, бұл олар туралы белгілі бір ұғым болады. Әрбір түсінік сөзбен бірге сәйкес түрленеді, сөз сөйлем туралы түсінікті елестетуге қызмет етеді.
1.1. «Ұғым» термині әдетте біздің санамызда кейбір объектілері шындықтың қатынасы мен процестердің, кейбір заттар класының ойша бейнесін белгілеу үшін қолданылады. Математикалық ұғым біздің ойымызда белгілі формада нақты жағдайдан абстракцияланған шындықты бейнелейді.
Ұғым. Бір затты екінші заттан әр түрлі сапалары мен белгілеріне не ерекшеліктері арқылы ажыратылады. Әр түрлі объектілерден 1) жеке қасиеттері; 2) жалпы қасиеттерді бөліп аламыз.
- Бір айнымалыға тәуелді 2-дәрежелі теңдеу – квадрат теңдеу. Қазақстандағы ең ұзын өзен Іле – жеке қасиетке ие.
Адамдар – омыртқалылар класына жатады, сүт қоректі. Жалпы қасиеттің өзі дербес, тек бір топқа тән, жалпы қасиет бөлектенеді, егер заттың қасиеттерге, белгілерге, басқалардан бөлек қасиеттерге ие. Адамдар сөздері арқылы бөлінеді.
Объектілер қасиеттерінің адам миында ерекше бейнелену процесін – ұғым деп атайды. Ұғым біріншіден жоғары дәрежеде ұйымдасқан материяның жемісі; 2) ұғым материалды дүниені бейнелейді; 3) Ұғым – жалпылау, тану тәсілі ретінде қолданылады; 4) адам қызметінің өзгешелігін білдіреді; 5) адам санасына ұғымның қалыптасуы оның тікелей сөз, жазу не символ арқылы өрнектелуінен бөлінбейді. В.И. Лениннің анықтамасы бойынша «ұғым - материяның мидағы жоғарғы жемісі». Әрбір ұғым өзіне объектілер класын біріктіреді. (заттардың қатынасы).
Ұғым мазмұннан және көлемнен тұрады. Ұғым көлемі – осы класқа жататын барлық объектілерді білдіреді., ұғым мазмұны объектілердің сипаттамалық қасиеті осы ұғымның мазмұны болады. Мысалы, «Үшбұрыш» ұғымы мүмкін болатын барлық үшбұрыштар класын білдіреді. (Бұл ұғымның көлемі) және сипаттамалық қасиет үш қабырғасы, үш төбесі, үшбұрышы (ұғымның мазмұны); «теңдеу» ұғымы – барлық мүмкін болатын теңдеулер класын біріктіреді (көлемі) және сипаттамалық қасиеті – бірнеше айнымалыдан тұратын теңдік (ұғымның мазмұны) ұғымның мазмұны анықтама арқылы, көлемі – классификациялау жолмен табылады.
1.2. Ұғымды қалыптастыру – күрделі психологиялық процесс, білім берудің жай танымдық формасы – түйсіну. Әр кез келесі схема бойынша жүргізіледі.
Сезіну – қабылдау – түсінік – ұғым. Әдетте бұл процесс екі сатыдан тұрады. Сезімдік қабылдау арқылы түсініктің пайда болуы және логикалық түрде түсініктен ұғымға жалпылау мен абстракцияның көмегі арқылы жету (оқушы 3 санын қалай қалыптастырады). 1) кезеңде әртүрлі нақты жиындармен танысады {3 алма, «үшбұрыш», үш аю, үш жапырақ}... бұлардың әртүрлі қасиеттеріне назар аударады. «Көру» процесі бала санасында бейнелеудің ерекше формасын қабылдайды (сезінеді), объектіні сезімдік түйсіну – танымның ең алғашқы сатысы, ол ұғымға сәйкес қалыптасады.
1.1. «Ұғым» термині әдетте біздің санамызда кейбір объектілері шындықтың қатынасы мен процестердің, кейбір заттар класының ойша бейнесін белгілеу үшін қолданылады. Математикалық ұғым біздің ойымызда белгілі формада нақты жағдайдан абстракцияланған шындықты бейнелейді.
Ұғым. Бір затты екінші заттан әр түрлі сапалары мен белгілеріне не ерекшеліктері арқылы ажыратылады. Әр түрлі объектілерден 1) жеке қасиеттері; 2) жалпы қасиеттерді бөліп аламыз.
- Бір айнымалыға тәуелді 2-дәрежелі теңдеу – квадрат теңдеу. Қазақстандағы ең ұзын өзен Іле – жеке қасиетке ие.
Адамдар – омыртқалылар класына жатады, сүт қоректі. Жалпы қасиеттің өзі дербес, тек бір топқа тән, жалпы қасиет бөлектенеді, егер заттың қасиеттерге, белгілерге, басқалардан бөлек қасиеттерге ие. Адамдар сөздері арқылы бөлінеді.
Объектілер қасиеттерінің адам миында ерекше бейнелену процесін – ұғым деп атайды. Ұғым біріншіден жоғары дәрежеде ұйымдасқан материяның жемісі; 2) ұғым материалды дүниені бейнелейді; 3) Ұғым – жалпылау, тану тәсілі ретінде қолданылады; 4) адам қызметінің өзгешелігін білдіреді; 5) адам санасына ұғымның қалыптасуы оның тікелей сөз, жазу не символ арқылы өрнектелуінен бөлінбейді. В.И. Лениннің анықтамасы бойынша «ұғым - материяның мидағы жоғарғы жемісі». Әрбір ұғым өзіне объектілер класын біріктіреді. (заттардың қатынасы).
Ұғым мазмұннан және көлемнен тұрады. Ұғым көлемі – осы класқа жататын барлық объектілерді білдіреді., ұғым мазмұны объектілердің сипаттамалық қасиеті осы ұғымның мазмұны болады. Мысалы, «Үшбұрыш» ұғымы мүмкін болатын барлық үшбұрыштар класын білдіреді. (Бұл ұғымның көлемі) және сипаттамалық қасиет үш қабырғасы, үш төбесі, үшбұрышы (ұғымның мазмұны); «теңдеу» ұғымы – барлық мүмкін болатын теңдеулер класын біріктіреді (көлемі) және сипаттамалық қасиеті – бірнеше айнымалыдан тұратын теңдік (ұғымның мазмұны) ұғымның мазмұны анықтама арқылы, көлемі – классификациялау жолмен табылады.
1.2. Ұғымды қалыптастыру – күрделі психологиялық процесс, білім берудің жай танымдық формасы – түйсіну. Әр кез келесі схема бойынша жүргізіледі.
Сезіну – қабылдау – түсінік – ұғым. Әдетте бұл процесс екі сатыдан тұрады. Сезімдік қабылдау арқылы түсініктің пайда болуы және логикалық түрде түсініктен ұғымға жалпылау мен абстракцияның көмегі арқылы жету (оқушы 3 санын қалай қалыптастырады). 1) кезеңде әртүрлі нақты жиындармен танысады {3 алма, «үшбұрыш», үш аю, үш жапырақ}... бұлардың әртүрлі қасиеттеріне назар аударады. «Көру» процесі бала санасында бейнелеудің ерекше формасын қабылдайды (сезінеді), объектіні сезімдік түйсіну – танымның ең алғашқы сатысы, ол ұғымға сәйкес қалыптасады.
ЛЕКЦИЯЛАР
Болашақ математика мұғалімінің әдістемелік дайындығының жалпы мәселелері
Лекция 1
Математикалық ұғым және оны қалыптастыру
Біздің әрбір сөйлеміміздің сөзі белгілі бір заттардың тобын, класына
жатып, оларды анықтайды, құбылыстардың өзара қатынасын бейнеледі. Егер сөз
бізге бір затты басқа бір заттардан көптеген қасиеттерін ерекшелеп
көрсетуге көмектессе, ойымызда ол зат ерекшеленіп елестесе не оларға тән
ортақ қасиеттер мен байланыстарды көрсетілсе, онда ой заттың жалпы
қасиеттерін бейнелей алады. Заттар арасындағы және құбылыстар мен
қатынастардан, олардың нақты қасиеттерінен жалпылай қорытынды шығарылса,
бұл олар туралы белгілі бір ұғым болады. Әрбір түсінік сөзбен бірге сәйкес
түрленеді, сөз сөйлем туралы түсінікті елестетуге қызмет етеді.
1. Ұғым термині әдетте біздің санамызда кейбір объектілері шындықтың
қатынасы мен процестердің, кейбір заттар класының ойша бейнесін
белгілеу үшін қолданылады. Математикалық ұғым біздің ойымызда белгілі
формада нақты жағдайдан абстракцияланған шындықты бейнелейді.
Ұғым. Бір затты екінші заттан әр түрлі сапалары мен белгілеріне не
ерекшеліктері арқылы ажыратылады. Әр түрлі объектілерден 1) жеке
қасиеттері; 2) жалпы қасиеттерді бөліп аламыз.
- Бір айнымалыға тәуелді 2-дәрежелі теңдеу – квадрат теңдеу.
Қазақстандағы ең ұзын өзен Іле – жеке қасиетке ие.
Адамдар – омыртқалылар класына жатады, сүт қоректі. Жалпы қасиеттің
өзі дербес, тек бір топқа тән, жалпы қасиет бөлектенеді, егер заттың
қасиеттерге, белгілерге, басқалардан бөлек қасиеттерге ие. Адамдар
сөздері арқылы бөлінеді.
Объектілер қасиеттерінің адам миында ерекше бейнелену процесін – ұғым
деп атайды. Ұғым біріншіден жоғары дәрежеде ұйымдасқан материяның
жемісі; 2) ұғым материалды дүниені бейнелейді; 3) Ұғым – жалпылау,
тану тәсілі ретінде қолданылады; 4) адам қызметінің өзгешелігін
білдіреді; 5) адам санасына ұғымның қалыптасуы оның тікелей сөз, жазу
не символ арқылы өрнектелуінен бөлінбейді. В.И. Лениннің анықтамасы
бойынша ұғым - материяның мидағы жоғарғы жемісі. Әрбір ұғым өзіне
объектілер класын біріктіреді. (заттардың қатынасы).
Ұғым мазмұннан және көлемнен тұрады. Ұғым көлемі – осы класқа
жататын барлық объектілерді білдіреді., ұғым мазмұны объектілердің
сипаттамалық қасиеті осы ұғымның мазмұны болады. Мысалы, Үшбұрыш
ұғымы мүмкін болатын барлық үшбұрыштар класын білдіреді. (Бұл ұғымның
көлемі) және сипаттамалық қасиет үш қабырғасы, үш төбесі, үшбұрышы
(ұғымның мазмұны); теңдеу ұғымы – барлық мүмкін болатын теңдеулер
класын біріктіреді (көлемі) және сипаттамалық қасиеті – бірнеше
айнымалыдан тұратын теңдік (ұғымның мазмұны) ұғымның мазмұны анықтама
арқылы, көлемі – классификациялау жолмен табылады.
2. Ұғымды қалыптастыру – күрделі психологиялық процесс, білім берудің жай
танымдық формасы – түйсіну. Әр кез келесі схема бойынша жүргізіледі.
Сезіну – қабылдау – түсінік – ұғым. Әдетте бұл процесс екі сатыдан
тұрады. Сезімдік қабылдау арқылы түсініктің пайда болуы және логикалық
түрде түсініктен ұғымға жалпылау мен абстракцияның көмегі арқылы жету
(оқушы 3 санын қалай қалыптастырады). 1) кезеңде әртүрлі нақты
жиындармен танысады {3 алма, үшбұрыш, үш аю, үш жапырақ}... бұлардың
әртүрлі қасиеттеріне назар аударады. Көру процесі бала санасында
бейнелеудің ерекше формасын қабылдайды (сезінеді), объектіні сезімдік
түйсіну – танымның ең алғашқы сатысы, ол ұғымға сәйкес қалыптасады.
1. Мектеп математикасы курсында математикалық ұғымдарды қалыптастыру
әдістемесі
Жоспары
1. Математикалық ұғым деген не?
2. Математикалық ұғымдарды нақты – индуктивтік әдіспен ендіру.
3. Математикалық ұғымдарды абстрактілі – дедуктивтік әдіспен ендіру.
4. Математикалық ұғымдарды меңгеру.
5. Ұғымдарды анықтаудан пайда болатын қателер.
6. Жаңа ұғымдарды ендіруде пайда болатын қателер.
7. Қорытынды.
1. Ұғымды тұжырымдау схемасын еске түсірелік: қабылдау – сезіну – түсінік-
ұғым.
Нақты – индуктивтік әдіспен ұғымды ендіруде оқыту процесінің негізгі
кезеңдері мыналар:
1) берілген ұғымның қажеттігін көрсететін (қабылдау - сезіну)
практикалық мысалдар келтіру;
2) берілген ұғымның маңызды және өте маңызды емес белгілерін
анықтайды (оқушылар) және берілген ұғымды белгілейтін термин
ендіреді (мұғалім). Ол үшін қабылдаудан (сезіну) түсінікке
өтетін өтпелі кезең керек, берілген ұғымды белгілейтін терминнің
дәлелі қажет (мұғалім);
3) берілген ұғымның барынша маңызды қасиеттері таңдап алынады және
осы ұғымның анықтамасы тұжырымдалады (оқушылар); бұдан соң оған
мұғалім дәл анықтама береді, мұны оқушылар қайталайды. Бұл үшін
арада түсініктен ұғымға ауысатындай жағдай болуы керек.
4) Арнайы бөліп алынатын ұғым нақты мысалдармен көрсетіледі, контр
мысалдар келтіріледі және символдық белгілеуі көрсетіледі (оқушы
және мұғалім). Бұл ұғымның пайда болуын білдіреді.
5) Бұдан соң оқушылар басқа ұғымға мүмкін болатын басқа анықтама
береді. Бұл ұғымның меңгерілуі болады.
2. Абстракты – дедуктивтік әдіспен оқушыларды оқытудың негізгі кезеңдері
келесілер болып табылады:
1) Ең алдымен жаңа ұғымға анықтама беріледі, бұл үшін оны
белгілеуші термин дәлелденеді.
2) Бұдан соң ұғым ендірілген өрнектің жеке және ерекше жағдайлары
қарастырылады. Контур мысалдар келтіріледі.
3) Келесі кезекте ендірілген ұғым нақты мысалдар арқылы
иллюстрацияланады.
4) Соңында ендірілген ұғымның қосымшасы үшін мысалдар келтіріледі.
3. Сабақта оқушыларға берілген жаңа ұғымның меңгерілгенін қалай білуге
болады?
Егер ұғым меңгерілген болса, онда оқушы
- ұғымның көлемі мен мазмұны туралы толық түсінігі болады;
- математикалық іс-әрекеттің барысында ұғымды қолдана біледі.
- жаңа жағдайларда өзінің білімі мен тәжірибесін қолдана біледі.
Мысалдар келтіру.
4. Ұғымның анықтамасынан оқушылар қателіктер жібермеуі үшін олар
анықталған және анықтаушы ұғымдарды ажырата білуі керек.
Анықтама: Анықталатын объектіге сәйкес келетін ұғым анықталған ұғым
деп аталады. Анықталатын объектінің мазмұнының көмегімен ашылатын ұғым
анықтаушы деп аталады.
Сонымен бірге оқушылар ұсынылған анықтаманың маңызды талаптарын білуі
керек:
I. Кез келген анықтама өлшемде болуы, яғни анықталушы объектінің
көлемі анықталған ұғымның көлеміне тең болуы керек. Қате
анықтамалардың мысалдарын келтіру керек.
II. Анықталушы ұғымды сол ұғымның өзімен тікелей анықтауға
болмайды.
III. Анықтамалар мүмкіндігіне қарай объектіні керісінше анықтамауы
керек. Мысалдар.
5. Жаңа ұғымды ендіру барысында мұғалім оның белгілеріне назар аудару
керек. Егер мұғалім ұғымның анықтама- тұжырымдап, кітаптағы берілген
сызбалы көрсетумен шектелсе, онда оқушылар бұл ұғымды дұрыс
меңгермейді.
Математикалық ұғымдарды саналы түрде меңгеруге мақсатты түрде
қойылатын ауызша жаттығулар мен сұрақтар жүйесінің зор маңызы бар.
(Оқушыларға қате айтылатын анықтамалардан мысалдар келтіру).
6. Оқушылар жіберген қателерді түзеткеннен гөрі алдын-ала сақтандыру
жұмысын жүргізген дұрыс. Ол үшін:
1) Жаңа ұғымды формальді ендірмеу керек;
2) Оқушыларды ұғымдардың анықтамасын өз бетінше үйренуге баулу
керек.
3) Ендірілген ұғымның. Сөздің, анықтаманың дәлелдерін табу
(келтіру).
4) Сабақтың соңында осы сабаққа қажетті ұғымның анықтамасын
қайталау;
5) Жаңа ұғым мен ескі ұғымның арасындағы байланысты орнату;
6) Анықтамаларды анық, дәл, қысқа, қатаң тұжырымдауды талап ету;
7) 1-6 пункттерін кездейсоқ жағдайда емес, қайта біртіндеп орындау
керек.
1. Қажетті және жеткілікті шарттар
Жоспар
1. Қажетті шарттар; жеткілікті шарттар.
2. Қажетті және жеткілікті шарттар.
3. Теореманың түрлері және олардың байланысы.
1. Келесі пікірді қарастыралық:
Сөзбе-сөз тұжырымдау.
Тұжырымдалады:
1) Егер натурал сан жұп болса, 1)
онда ол 6-ға бөлінеді. (Л)
2) Егер натурал сан 6-ға бөлінсе, 2)
онда ол жұп (Л)
3) Егер натурал сан жұп болса, 3)
онда ол 2-ге бөлінеді (И)
4) Егер натурал сан 2-ге бөлінсе, 4)
онда жұп болғаны
Осы пікірлерді былайша қайта тұжырымдайық:
1) Натурал сан 6-ға бөлінуі үшін оның жұп болуы қажетті.
2) Натурал сан болуы үшін ол 6-ға бөлінуі жеткілікті.
3) Натурал сан 2-ге бөлінуі үшін ол санның жұп болуы қажетті және
жеткілікті.
4) Натурал сан жұп болуы үшін ол санның 2-ге бөлінуі қажетті және
жеткілікті.
Қандай шарт қажетті, ал қандай жеткілікті екенін қалай білуге
болады?
Анықтама.
Егер пікірі ақиқат болса, онда пікірі үшін қажетті шарт
деп аталады.
Егер пікірі ақиқат болса, онда үшін пікірі жеткілікті
шарт деп аталады.
2. Қажетті және жеткілікті шарттар математикада барынша қызғылықты болып
есептеледі.
Анықтама. Егер және импликациялары бір мезгілде ақиқат
болса, онда шарты шартының қажетті және жеткілікті шарты
деп аталады, яғни эквиваленттілік орындалады.
Мұғалім математика курсындағы қажетті және жеткілікті шарттар деген
сөздер олардың синонимдерімен ауыстырылатынына оқушы назарын аудару
керек.
3. Ақиқаттығы тікелей дәлелдеу (талқылау) арқылы көз жеткізілетін
математикалық сөйлем теорема деп аталады.
Теоремада мыналар анық көрсетілуі керек:
1) белгілі бір объектілер (теореманың шарты) қандай шарттарда
қарастырылады.
2) Бұл объект туралы не тұжырымдалады теореманың қорытындысы).
Теореманың шарты мен қорытындысын оңай анықтау үшін оны логикалық
жалғауды қолдана отырып егер, ..., онда..., деген импликация түрінде
жиі тұжырымдалады. Мысалы, параллелограмның диагоналдары қиылысады,
және қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді деген теореманы былай
тұжырымдауға болады:
1) Егер төртбұрыш параллелограм, онда оның диагоналдары қиылысады
және қиылысу нүктсінде қақ бөлінеді.
2) Егер төртбұрыштың диагоналдары қиылысып және қиылысу нүктесінде
қақ бөлінсе, онда бұл төртбұрыш – параллелограмм.
3) Егер төртбұрыш параллелограмм болмаса, онда оның диагоналдары
қиылысады және қиылысу нүктесінде қақ бөлінбейді.
4) Егер төтбұрышта диагоналдары қиылысып және қиылысу нүктесінде
қақ бөлінбесе, онда бұл төртбұрыш – параллелограмм емес.
Енді айтылған теоремалардың түрлерін қарастырайық.
1) Туцра теорема:
2) Кері теорема:
3) Қарама-қарсы теорема:
4) Контрапозитивтік теорема:
1-4 теоремалардың барлығы ақиқат, бірақ бұлай әрқашан бола бермейді.
Мысалы, вертикаль бұрыштар тең. Егер мұны 1-4 сияқты тұжырымдасақ
бұлардың бәрі бірдей ақиқат бола бермейді.
Лекция 2
Математикалық оқытудағы анализ бен синтез
Жоспары
1. Анализбен синтездің сипаттамасы.
2. Психологиялық көзқарас бойынша қарастырғандағы анализбен синтез.
3. Анализбен синтездің байланысы және ойлау процесіндегі салыстыру.
4. Математиканы оқыту процесіндегі анализбен синтез (мысалдар).
4. Математиканы оқытудағы анализбен - синтез
Анализбен синтездің сипаттамасы
Ғылыми зерттеу әдісі ретінде – анализбен синтез математикалық
зерттеулерде ерекше маңызды роль атқарады.
Анализ – логикалық тәсіл, зерттеу әдісі ретінде үйренілетін
объектіні
ойша (не прак.) құрамды бөліктерге жіктейді (белгілері, қасиеттері,
қатынасы), әр бөлік бүтіннің бөлік ретінде жеке зерттеледі. (Анализ
– грекше analygts – жіктеу, бөлшектеу,талдау). Кейін себепті
бірлікте, бүтін ретінде қаралады.
Жіктеу арқылы пайда болған тізбек сөйлемі бұрыннан белгілі аксиомаға,
анықтамаға, бұрын дәлелденген теоремаға келеді. Тізбектің соңғы сөйлемі
дәлелдемекші пікір болып шығады. Әрине тізбектің сөйлемі өзара
белгілі қатыста болатыны айқын.
Әрине, фигураны оқығанға дейін ол туралы азды-көпті біліміміз болады.
Мәселен параллелограм, дөңес көпбұрыш, тұйық фигура, жазықтың бөлігі
тұйықталған сынық, қабырғалары санаулы екі қабырғасының ортақ бір нүктесі
бар т.б.
Ендігі мақсат, осы мағлұматтар ішіндегі ерекше сипаттың параллелограмға
тиістісін іріктеп алу, басқаша айтқанда оның қасиеттерін білу. Олар:
1) (, дөңес төртбұрыш;
2) диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді; диагональдары
параллелограмды тең екі -қа бөледі.
Анализ түрі объект түріне және алға қойған мақсатқа байланысты. Кейде
бүтінді бөліктерге жіктеп, бөліктерді жеке-жеке тану немесе түгел тану
мәселесі қойылады.
Сөйтіп бүтіннің қасиеті танылады. Белгісізден белгіліге қарай жүретін ой
өрісін де анализ деп түсінеміз.
Синтез – логикалық тәсіл, бүтіннің бөліктері қайтадан бір бүтінге
бірік-
тіріледі.
Синтез (грекше sinthess – біріктіру, құрастыру, теру) – анализ
процесінде бөлшектенген объектінің бөліктерін, өзара әсерімен байланысын
анықтап, біріктіру. Сондай-ақ, анализбен синтез жалпылау, дерексіздеу,
салыстыру және аналогиямен астарласа жүреді. Математиканы оқытудағы
анализбен синтез мәні өте зор, ол есептер шешу әдісі ретінде, теорема
дәлелдеу, математикалық ұғымдардың қасиетін үйрену т.б. барынша әр алуан
формада кездеседі.
Анализбен синтез – іс-жүзінде бірін-бірі толықтыратын бір тұтас
аналитикалық – синтетикалық әдіс. Мәселен, анализ кезінде күрделі есептер
жай есептерге бөлшектенеді, ал синтез мұндай жай есептерді бір ғана
мағыналы, бір тұтас бір есепке біріктіреді. Анализді бүтіннен оның
құрамды бөліктеріне жіктейтін ойлау әдісі, ал синтез-ұсақ бөліктерді бір
бүтінге біріктіретін ойлау әдісі деп түсінеміз. Бала ойыншықты ұсақтап
(анализ) қайта құрастырса (синтез) бұл өзіндік анализбен синтез болады.
Анализбен синтез физика – химия сияқты экспериментальды ғылымдарда
кеңінен қолданылады.
Рене Декарт (1596-1650) өзінің Логика деген кітабында анализ-синтез
әдістің мәнін тәпіштеп зертеді, осы әдістердің мәні туралы барынша көрнекі
мынадай мысалдар келтіреді. Мен Кароль Карл Великийдің туысымын ба жоқ па?
Деген сұрақтың жауабына екі жолмен көрнекі жауап беруге болады.
Менен Ұлы Карлға дейін және Ұлы Карлдан маған дейін туысқан болсақ, онда
біз Карл екеуміз туысқанбыз. 1-анализ, 2-і синтез.
Бұл әдістердің мысалы ретінде арифметикалық, алгебралық текстілі
(мазмұнды) есептер жатуы мүмкін.
Екі баланың жастарының қосындысы 12. Майгүл 5 жаста. Азат неше жаста?
1) - синтезге, берілгенге негізделген.
2) - анализге негізделген.
Анализ (аналитикалық) зерттеу әдісі ретінде объектінің саны мен өлшеміне
сүйеніп объектінің сандық қасиетін құрастыратын жақтарын үйренеді.
Синтез (синтетикалық) – зерттеу әдісі ретінде объектінің саналық
қасиетін үйренуге негізделеді. Бұдан былай анализды салдардан себепке
көшетін ойлау формасы ретінде, ал синтезді себептен салдарға көшетін ойлау
формасы деп түсіну керек.
Психологиялық көзқарас бойынша ойлағандағы анализбен синтез
Математиканы оқыту процесінде әдетте анализбен синтез материалды
түсінудің 2-стадиясы.
Жоғарыда анализ-синтезді ғылыми зерттеу әдісі және дербес жағдайларда
оқу материалын үйренудің әдісі ретінде қарастырдық. Анализ-синтез ойлау
процесінің ерекше формасы, яғни ойлаудың маңызды психологиялық сипаттамасы.
Психологиялық көзқарас тұрғысынан алғанда Ойлау процесі – анализдеумен
бөлінетін талдау және синтездеу, бұдан соң осылардан туындайтын абстракция
мен жалпылау болып табылады (Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его
исследования М., 1958). Бұл процестің өзіне тән заңдылығы олардың бір-
бірімен өзара ойлаудың негізгі заңдылығы бойынша байланысуында. Көптеген
психологиялық зерттеулердің көрсеткеніндей анализ әр түрлі формада
кездеседі.
Мәселен:
а) фильтр типті анализ.
б) синтез арқылы болатын анализ.
а) Фильтр типті анализ кезінде есеп шешуші есепке ешбір көрінерлік жүйесіз
кіріседі, ол жай ғана берілген есептің шешу әдісін қалай болса, солай
жобамен іздейді, бір тәсілдің артынан екіншісін қолданып қисынсыз байқап
көрулерді електен өткізген сияқты шығарып тастайды.
Жасалған болжамдар мен байқап көрулер – анализдің өзіндік формасы. Басқа
сөзбен айтқанда кез келген байқап көрулер тікелей табыстарға жеткізбеген
секілді толық шешімге әкелуге дайындық болады. Бұл болжаулар психологтардың
зерттеулерінде өзінің шешімін тапты. Әсіресе тапқырлықты қажетсінетін
есептерді шешу процесін зерттегенде есеп шешушіден тапқырлық қабілетті
талап ететін ой жүгіртулердің, байқап көру әрекеттерінің ерекше пайдасы
бар. Есеп шарты тудыратын қиындықтарды жеңе отырып тапқарлық анализге
сүйенетінін зерттеулер көрсетті. Мәселен 6 сіріңкеден 4 тең қабырғалы
жасау керек. Бұл есептің бас қатырғыш шешуге қиын болатыны есеп шешушіге
ізделінді фигура жазықтықтың бетінде салынуы керек деп ойлайтыны, сонымен
бірге есеп шешуін іздеудің дұрыс бағыты бұл -ды кеңістікте салу керек
(тетраэдр) деген ойды тудырады. Ең алдымен есеп шешуші жазықтықта әр түрлі
тексерулермен есептің шешуін іздейді, бұдан соң кенеттен үш өлшемді
кеңістікке шығу мүмкіндігін табады.
Байқап көріп, болжаулар жасау тек есептер шешуде қолданылып қоймай басқа
әдістердің қолданылуына да көмектеседі.
б) Синтез арқылы болатын анализге тоқталайық.
Бұл ерекше бүкіл әрекеттің жетекші буыны ретіндегі анализ. Сондықтан
ойлау процесінің бұл компонентіне ерекше тоқталайық.
С.Л. Рубинштейн былай деп жазады:
Қысқаша және жалпы айтқанда, бұл анализдің негізгі формасы, негізгі
нервтің ойлау процесі ретінде келесілермен сипатталады. Ойлау процесінде
объектіге барлық жаңа байланыстар қосылады, осының салдарынан барлық жаңа
сапалар жаңа ұғымдарда орнығады; сонымен бірге объектіден барлық жаңа
мазмұндар сарқылады; ол әркез басқа қырынан көрінеді; әркез жаңа қасиеттер
танытады [371]. Ойлау процесінің бұл маңызды буынын түсіну үшін мысал
келтірейік.
Мысал. Шеңберді сырттай сызылған тең қабырғалы -ң периметрі оның
іштей сызылған -тың периметрінен 2 есе артық болатынын дәлелдеу керек.
(VIII кластың математика үйірмесінде берілген есеп).
1) қарастырайық; болатынын дәлелдеу керек.
Сол сияқты 2) ,
3) (1), (2) пункттерден
Есепті шешу барысында оқушы кесіндісінің қасиеттерін талдайды. Есеп
шарты бойынша ( - түзуі үшбұрышының бір қабырғасы) және
екенін бөліп алады. Бұдан соң үшбұрыштың бұл қабырғасы
-ның орта сызығы ретінде қарастырылады, бұдан жаңа қасиет бөлініп
алынады:
Бұдан әрі қабырғасы -ның орта сызығы емес, -ның бір
қабырғасы -ға ( түзу ретінде қарастырылады. -дің бір қабырғасы
ретінде қарастырылады.
Сонымен есеп шығарушыға әркез -тың бір ғана қабырғасы жаңа
байланыстар жүйесі – жаңа қасиеттер пайда болады (бірде орта сызық, бірде
-ң бір қабырғасы) ( қабырғасының бөлініп алынған бұл қасиеттері
бір-бірімен белгілі арақатынаста болады, бұл қатыстар есеп).
? 9-бет жоқ
?
?
?
Математиканы оқытудағы анализбен синтез
Анализбен синтез математиканы оқып-үйренудің аса маңызды әдістері болып
табылады. Олардың қолдануларын көрсететін мысалдар қарастырамыз:
1. Теоремаларды аналитикалық және синтетикалық жолмен дәлелдеу әдістері.
Мысалы. Үшбұрыштың ішкі бұрышының қосындысы болатынын дәлелдеу керек.
1) Дәлелдеу тәсілі (аналитикалық жолмен)
- жазық бұрыш кез келген үшбұрыштың үш бұрышы жазық бұрышқа
орналасатынын көрсету керек.
а) нүктесінен өтетін болатын жазық бұрышты саламыз.
б) жазбадан бірден табылады.
в) , , - қиюшы.
г) , , - қиюшы.
д)
е) бірдей бұрыштарды ауыстырып
2) Дәлелдеу тәсілі (синтетикалық жолмен)
а) жүргіземіз.
б) , , - қиюшы.
в) , , - қиюшы.
г) жазық бұрыш
д) ((б), в) – ларға сүйеніп)
Мысал. Тізбекті дәлелдеу керек.
, ,
Аналитикалық метод Синтетикалық метод
? 12-бет жоқ
?
?
?
келдік, демек алғашқы тұжырым дұрыс. Жасалған қорытынды дұрыс емес. Бұл
арада жіберілген логикалық қателіктің себебі қолданылған қорытынды
ереженің дұрыс еместігінде.
Көбінесе практикада біртіндеп екі әдісті қолданады, аналитикалық жолмен
тұжырымды байқайды, сонан соң синтетикалық жолмен дәлелдеуге тиісті
дәлелдейміз. Қос импликацияны пайдаланып ойлаудың екі әдісімен бірақ
жазамыз:
.
2. Біртіндеп талдау әдісі.
Бұл анализдің негізгі мәні мынадай ойлауға негізделген:
тұжырымының дұрыс болуы үшін -ның дұрыс болуы қажет.
Мысал. Ромбының диагоналдары өзара ( болатынын дәлелдейік.
Дәлелдеу: а) екенін көрсету үшін
болатынын көрсету жеткілікті.
б) болатынын көрсету үшін - -ға
биіктік екенін көрсету жеткілікті.
в) - - биіктік екенін көрсету үшін
теңбүйірлі екенін көрсету керек, - оның медианасы.
г) тең бүйірлі болу үшін дәлелдедік.
д) бірақ шарт бойынша тең, - медиана, сонымен .
(парал.диаг.қас.)
Бұл теореманың дәлелдеудің синтетикалық методпен дәлелдену схемасы:
а) : (шарт бойынша)
б) парал.қас.
в) - медиана
г)
д) . Салыстыра келіп біртіндеп талдау методының артықшылығын
байқаймыз. а) Саналы және өз бетінше, б) логикалық ойлау, в) сапалы мақсаты
айқын, д) дәлелдеу методы қарапайым.
3. Геометриялық салу есептерін шешуге анализ-синтез методын қолдану
Мысалы. радиусы шеңберге сырттай сызылатын гипотенузасы -ға тең
тік бұрышты салу керек.
Анализ. Есеп шешілді, суретін салайық.
а) саламыз, егер - ны салсақ;
б) саламыз. ;
в) .
г) , , бойынша
саламыз:
Синтез. - ны саламыз, алдымен : , , .
Анализбен синтезді стереометрия есептерін шешуге қолдану
Мысалы, призманың табаны ұзындығы болатын тең қабырғалы . Бүйір
қабырғасы , ол табан қабырғаларымен бұрыш жасайды. Призма
көлемін табу керек.
Берілгені -
үшбұрышты призма.
:
,
Аналитикалық әдіс:
Призма көлемі
(1),
: (2)
: , және
Бұл арадан (3),
(4)
: ,
Бұлардан
(5)
(3) және (5) мәнін (2) –ге қойсақ,
,
(6)
-ның ауданын табу үшін оның қабырғасының ұзындығын табу керек.
(7).
(6) мен (7) мәндерін (1)-ге қойып
куб бірлік.
Синтетикалық әдіс. Қосымша салу жұмысын жүргіземіз:
а) - биссектриса -ның.
б) және , үш туралы теорема бойынша
: (1)
(2)
:
(3)
: (4)
(1) және (3) мәнін (4)-ке қойып
: .
,
(куб бірлік)
Қорытынды. Анализбен синтез математиканы оқытудың ғылыми әдісі ретінде
оқушылардың ойлау қабілетімен есептер шешудегі іскерлігін арттырады.
Ұғымдар мен объектілерді математикалық – логикалық жолмен анықтау, оларды
қалыптастырудың негізгі этаптары
Мақсаттар.
1) Мектеп оқулығындағы ұғымдар мен объектілерді анықтаудың
құрылысы.
2) Математикалық ұғымдар мен анықтамаларды мектепте үйренудің
негізгі этаптары, мысалдар.
3) Бір ғана ұғымды түрліше баяндау.
Негізгі мазмұны
I. Математикалық объектілерді анықтау және анықтаманың түрлері
1. Объект, ұғым деген не? Бұлардың ұқсастығымен айырмашылығы неде?
Ұғым объектінің заттық жәнек заттық емес қасиеттерінің жиынтығын
білдіретін ойлау формасы (ұғым деп аталатын ойлаудың ерекше формасы-
объектілердің қасиеттерінің адам миында бейнеленеді). [1- материяның
ерекше ұйымдасқан формасы, ұғым материалды дүниені бейнелейді, ұғым танып
білудің жалпылаудың құралы, ұғым – адамның арнайы қызметі, 5-ұғымның адам
санасында қалыптасуы оның сөйлеуі, жазуы немесе символикалар қолдануымен
тікелей байланысты]. В.И. Ленин Ұғым материяның, оның ішінде ми
қызметінің жоғарғы жемісі деді. Сонымен ұғым – объектілердің қасиеттері
бейнеленген ойлау формасы.
Қандай да бір объект туралы ұғым адам санасында қалай пайда болады?
Белгілі бір ұғымның қалыптасу процесі - өте ұзақ, біртіндеп болатын
бірнеше сатыдан тұратын процесс.
1) 3 алма, 3 үшбұрыш, 3 жақ. – жиындарды көреді. Бұлардың барынша әр
түрлі қасиеттеріне назар аударады. Бұл элементтердің жиынға тиісті
ұқсас белгілерін қабылдайды, сезінеді. Объектіні сезімдік қабылдау –
ең алғашқы қарапайым танымдық процесс бола отырып – ұғым
қалыптастыруға сәйкес алғашқы қадам болады. Объект не құбылыс адам
органдарына әсер еткенде ғана адам санасында ол туралы сезімдік
қабылдау болады, бұл қабылдау із-түссіз жағалып кетпейді, белгісіз
қалады.
2) Әрбір жиынды құрайтын объектілерді ескерусіз қалдырып, қандай объект
екеніне қарамай ұмытуға әрекет жасаймыз.Бұларға ортақ, осылардан жалпы
түрде сипаттайтын үш-ті оқушы санасына сіңіруге әрекеттенеміз. Оқушы
санасына жаңа форма – 3 саны туралы түсінік пайда болады.
3) 3 элементтен тұратын жиын туралы түсінік қалыптасты. Оқушылар жаңаша
ойлап - сияқты үш кез келген элементті кез келген жиынды
қарастыруы керек. Бұл жиындағы ең жалпы заттың белгі үш элементтің
болуы. Енді оқушы санасында 3 саны туралы ұғым қалыптасты.Сонымен,
ұғым абстракциялауға тығыз байланысты жалпылау амалдары арқылы пайда
болады. Ұғым қалыптасу үшін белгілі бір ақыл-ой күшінің жәрдемімен
ұғым сипатталатын объектіні түсінуіміз керек.
Математикалық объект туралы сөз болғанда, мысалы, квадрат немесе
квадрат теңдеу т.б. туралы айтқанда нақты объект туралы айтамыз, олар
сурет, модель не аналитикалық жазу түрінде, сондай-ақ барлық заттың
қасиеттеріне теориялық объект туралы сөз болады. Мысалы ромб туралы
айтқанда – тек суреттегі ромбы ғана емес, сонымен бірге төрт
қабырғалы, қарама-қарсы қабырғалары параллель және барлық қабырғалары
тең, диагоналдары перпендикуляр болатын геометриялық фигуралардың
барлық объектілері енеді.
Объект арқылы ұғымды тұжырымдау – объектіге жататын барлық заттың
қасиеттерінің жиынтығын анықтау болып табылады. Бұл арада оқушы ойы
математикалық объектілерді үйренуге бағытталады. Мұның нәтижесінде
дұрыс ұғым қалыптасу керек. Математикалық объектілерді қарастыру
арқылы ұғым тудырудың бір жолы – объектіге жасалатын амалдарды
анықтау.
Объектіні анықтау – қарастырып отырған объектіні басқа
объектілерден өзгешелігін көрсетуге жеткілікті барлық заттың
қасиеттерді таңдап алу деген сөз. Объектілерге жасалатын амалдар әр
түрлі жолдармен (заттың амалдар мен ой арқылы) орындалды, нәтижесінде
әр түрлі анықтамалар түрінде айтылады. Математикалық объектілерге
жасалатын амалдарды анықтаудың логикалық структурасы біреу-ақ.
Математикалық объектілерді анықтаудың мәні
Математикалық объектілерді анықтау мәнін түсіну үшін аксиоматикалық
жолмен құрылған теориялық құрылысын білу керек. Егер оқу пәні
аксиоматикалық тұрғыда құрылған болса, онда негізгі объектілер (фигуралар)
және олардың заттық қасиеттері таңдап алынады немесе олардың арасындағы
байланыс аксиомалар системасында анықталады. Мысалы, Погорелов оқулығындағы
планиметриядағы негізгі фигуралар нүкте және түзу осылардың арасындағы
қатынас жатады арасында жатады - төрт аксиома арқылы анықталады. Бұдан
соң негізгі объектілердің (фигуралардың) заттардың қосымша сипатталған
қасиеттері негізінде және олардың өзара қатынасы анықталады.
Мысалы, сәуле – бұдан бұрын ендірілген түзу мен нүкте және бір жағында
жатады, арасында жатады деген олардың эквивалентті қатынасы арқылы
анықаталады. Сол сияқты бөлігі және жиын сөздері пайдаланылады. Сәуле
фигурасын анықтау үшін түзуден оның бір бөлігін таңдап аламыз. Бөлігі –
түзу бойындағы бас нүктеде бір бекітілген нүктенің бір жағындағы түзу
бойындағы нүктелер жиыны. Сонымен сәуле – түзудің бөлігі, ол үшін барынша
кең мағыналы анықтама – түзу. Демек, түзу – сәулеге туыс, жақын ұғым.
Сәуле мен түзудің бір-бірінен ерекшелігі түзу бөлігі, бір нүктенің бір
жағында жатқан осы бөлікпен шектелген нүктелер жиыны. Тағы мысалдар. Бұрыш
– ортақ бас нүктесі бар, әр түрлі екі сәуледен жасалған фигура. Бұған
жақын, туыс ұғым бар түрлі өзгешілігі. Екі сәуле және бұларға ортақ бас
нүкте. Объектіні анықтаудың жолы мынадай: объектіге жақын, туыс объекті
(фигура) таңдап алынады, бұдан соң бұл объектінің өзіндік ерекшеліктерін
анықтаймыз. Объектінің өзіндік сипаты негізінде жаңа ұғым ендіреміз, туыс
ұғымға қарағанда бұл ұғымның көлемі тар, себебі оның қасиеті көп.
Әрбір ұғым өзіне объектілер класын біріктіреді (заттар олардың қатынасы)
– бұл ұғымның көлемі болады. Барлық объектілермен олардың класының
сипаттамалық қасиеттері – ұғымның мазмұны болады. Мысалы, үшбұрыш ұғымы -
өзіне барлық мүмкін болатын үшбұрыштардың класын біріктіреді (ұғымның
көлемі), сипаттамалық қасиеті – 3 қаб, 3 төбе, 3 бұрыш (мазмұны).
Теңдеу ұғымы – барлық теңдеулер (көлем). Характерлік сипаты – бір не
бірнеше айнымалыдан тұратын теңдік (мазмұны).
Қасиеті көп және көлемі тар объектіге жаңа ат (термин) беріледі. Мысалы,
барлық теңдіктердің ішінен айнымалысы бар теңдіктерді ғана теңдеу деп
атаймыз. Барлық квадрат теңдеулердің ішінен тек түріндегісін ғана
квадрат теңдеу деп атаймыз. - айнымалы, - сан. Барлық тік
төртбұрыштардың ішінен көршілес қабырғалары тең төртбұрышты квадрат деп
атаймыз. Осы айтылғандарды мынадай символикамен жазып көрсетеміз:
Туыстығы Жаңа ат береміз Өзіндік ерекшелігі
Математикалық объектілерді анықтау, оларды түрлерге бөлу кезінде мынадай
жалпы амал – (объектіні анықтау) – ұғымға жақын туыс ұғым және өзіндік
ерекшелік арқылы анықаталады – бұлайша анықтауды ұғымды нақты түрде
анықтау деп атайды.
Жақын туыс ұғым және өзіндік ерекшелігі бар ұғымды төмендегіше
нақтылады:
1) Объектілердің сипаттамалық қасиеттерін көрсету жолмен;
2) Қарама-қарсы (теріс) анықтама беру. Кейде объектіні фигураны
аксиомалар системасы арқылы айқындалмаған түрде анықтайды. Мұны
өз алдына атауға да болады.
3) Конструктивті және рекурсивті анықтамалар.
Математикалық объектілерді сипаттамалық қасиеттері бойынша анықтау
Объектілерді анықтаудың бұл түрі – логикалық амалдар мен жақын туыстық
қатыстар, өзіндік ерекшеліктер және туыстықпен өзіндік ерекшеліктің
қатынасы мен логикалық байланысы негізінде құрылған. Мектеп материалдар
объектілер табиғатының логикалық байланысы мен қасиеттердің байланысы
коньюнктивті және дизьюнктивті анықтамалар арқылы ажыратылады.
Мысалы: Параллелограмды алайық. Параллелограм дегеніміз қарама-қарсы
қабырғалары параллель төртбұрышты параллелограм дейміз. Термин
параллелограм. Туыстығы – төртбұрыш. Өзіндік ерекшелігі: - 1) бір қосақ
қарама қарсы қабырғалар параллель, 2) екінші қарама қарсы қабырғалар
параллель. Барлық қасиеттер және жалғауы арқылы біріктірілген. Демек,
бұл коньюнктивті анықтама.
Екінші мысал. Бұрыс бөлшекті анықтау. Бөлімі алымынан үлкен бөлшекті
бұрыс бөлшек дейміз. Термин – бұрыс бөлшек. Туыстығы – бөлшек. Өзіндік
ерекшелігі – 1) алым артық бөлімнен; 2) алым тең бөлім. Өзіндік ерекшелік
или (немесе) мен жалғастырылған. Яғни, дизьюнктивті анықтама.
Үшінші мысал (өспелі функция). Аргументтің үлкен мәніне функцияның үлкен
мәні сәйкес келсе, өспелі функция деп аталады. Туыстығы – функция, термин –
берілген аралықта өспелі функция. Өзіндік ерекшелігі: егер және
, онда . Анықтаудың түрі импликация түрінде берілген. Оны
басқаша тұжырымдауға болады. Өзіндік ерекшелік: 1) және 2)
және 3) . Бұлардан тек өз алдына бөлшек екі қасиетті қалдыруға
болады: 1) ( және ) және 2) . Мұндай анықтамалар
мектеп оқулығында жиі кездеседі.
I. Конструктивті және рекурсивті анықтамалар
Объектінің қасиеттерін оны конструкциялау, объектіге жасалатын амалдарды
көрсету жолмен, яғни объектінің өзіндік ерекшеліктері амалдар түрінде
беріледі.
1-мысал. Берілген нүктені айналдыра бұру дегеніміз - әрбір сәуле бірдей
бағытпен, бірдей бұрышпен бұрылуды айтады. Термин – бұрылу. Туыстығы –
қозғалыс. Өзіндік ерекшелігі: 1) бір нүктеден шығатын әрбір сәуле бір ғана
бағытпен бұрылады. 2) әрбір сәуле бір ғана бұрышқа бұрылады.
2-мысал. формуласымен берілген функцияны сызықтық функция дейміз.
Термин – сызықтық функция. Туыс ұғым – функция. Өзіндік ерекшелігі –
– тәуелсіз айнымалы, мен - сандар және . Яғни, егер
сандармен айнымалылар арасында осындай амалдар берілген болса, онда
сызықтық функция бар деп есептеледі. Егер амалдар басқа болса, онда
сызықтық функция болмайды.
Конструктивті амалдар әр түрлі берілуі мүмкін.
Ұғымдарды рекурсивті түрде анықтауда белгілі бір кластың базистік
объектілерімен осы кластан жаңа объект алуға мүмкіндік беретін ережелер
көрсетіледі.
Мысалы, арифметикалық прогрессияны анықтау.Екінші мүшесінен бастап
өзінің алдындағы мүшеге тұрақты бір санды қосудан шығатын сан тізбегін
арифметикалық прогрессия деп атаймыз. Туыстығы – тізбек. Термин –
арифметикалық прогрессия, өзіндік ерекшелігі - - беріледі;
(- жалпы түрі), . Егер алдындағы амалдар белгілі бір және өзіндік
ерекшеліктер көрсетілген болса, онда келесі мүшелерді алуға болады.
Теріс анықтама (қарама-қарсы анықтама)
Қарама-қарсы анықтама объектінің қасиетін білдіре алмайды. Ол
классификациялық функцияның ролін атқарады. Егер объектілер класы
группаларға бөлінсе, әрбір группаның белгілі бір қасиеттері болса, оған ат
қойылса және өзіне тән емес қасиеттері көрсетілсе, онда бұл бір класқа
жататын объектілерге қарама-қарсы анықтама беріледі.
Мысалы, бір жазықтықта жатпайтын және қиылыспайтын түзулерді айқас
түзулер деп аталады. Термин атауы – айқас түзулер, туыстығы – түзулер.
Өзіндік ерекшелігі: 1) бір жазықтықта жатпайды; 2) қиылыспайды.
Сонымен, логикалық амал – объектіні анықтау – барлық жерде бірдей, бірақ
әрбір аталған түрдің амалдарының мазмұны, оның анықтамаларының түрі әр
түрлі. Біріндегі өзіндік ерекшелік – қасиеттері сипатталып жазылған (Н,
үлкен болады,..), ал басқалары объектіні алу үшін амалдарды орындау керек.
Ал, басқа жағдайларда қарама-қарсы қасиеттер атап өтіледі.
Сонымен, мектептегі анықтамалардың негізгі типологиясы – объектілердің
өзіндік ерекшеліктерін көрсететін амалдардың ерекшелігін түсіну.
Екінші тапсырма. Математикалық объектіні анықтау жөніндегі оқушы
білімін жетілдіру үшін мектептің алгебра, геометрия курсынан 2-3 объектіні
жоғарыда көрсетілген анықтамалар негізінде анықтаңдар.
Сипаттамалық Консруктивті Қарама-қарсы Айқындалмаған
қасиетін жазу анықтама анықтамалар анықтамалар
жолмен берілген
анықтама
теңдеу (V кл.) 0 нүктесінде Пропорционал Нүкте және түзу
ромб (VII кл.) симмет-риялы сан-дар (VII кл.
фигуралар (VII кл.) Геометрия.
(VI кл.) А.В.Погорева).
II. Математикалық объектілердің анықтамасын оқыту кезіндегі негізгі
оқыту мәселелері
Математикалық объектілердің анықтамасын оқытудың негізгі мәселесі –
математикалық объектілердің анықтамасының құрылысымен танысу және
анықтаманың нақты түрлерін білуден тұрады.
Бұл негізгі оқу мәселесі ретінде мыналардан тұрады:
- әр түрлі анықтаманың құрылысын логикалық жолмен талдау (анықтамадағы
әрбір сөздің логикалық және мазмұндық қызметін анықтау).
- Анықтама бойынша нақты математикалық объектіні анықтау.
- Анықтамасы белгілі бір анықтаманың түріне жататын объектіні мысалға
келтіру.
- Объектінің анықтамасын онымен эквивалент анықтамамен алмастыру.
Кейде мұны анықтаманы басқаша тұжырымдау деп атайды. Бір ғана
объектіге берілетін әр түрлі анықтамаларды салыстыру
- Объектінің объектілер класына жататыны жайындағы фактілері
анықтамалар арқылы сипатталған салдарлар алу;
- Келтірілген анықтамалардан логикалық және мазмұндық қателер табу.
Үшінші тапсырма. 2-таблицадан бір-бірден анықтама алыңдар. Бұл
анықтамалар логикалық талдаулар жасаңдар, яғни ұғымның туыстық аты және
өзіндік ерекшеліктерін атаңдар. Таңдап алынған әрбір анықтаманың өзіне тән
әртүрлі ерекшеліктерін сипаттаңдар.
Келесі анықтаманың әрбір сөйлемі анықтамаға қойылатын талаптарға сай ма?
1. Үшбұрыштың төбесімен оған қарама-қарсы жатқан қабырғаның ортасын
қосатын кесінді үшбұрыштың медианасы деп аталады.
2. Егер қиылысатын екі жазықтықтың қиылысу сызығына және ол
жазықтықтарды перпендикуляр үшінші жазықтыққа перпендикуляр және
қиылысушы жазықтықтарды перпендикуляр түзудің бойымен қиып өтсе, онда
қиылысушы жазықтар өзара перпендикуляр болады.
3. Бірлік шеңбердің нүктесін радианға бұрудан шыққан
нүктесінің ординатасын бұрыштың синусы деп атайды.
4. Бір-бірінен өзгешелігі тек таңбасында болатын екі санды қарама-қарсы
сандар деп атайды.
Төртінші тапсырма. Объектіні анықтау келесі амалдардан тұрады:
1) анықтамаға қажетті барлық қасиеттерді есептеу;
2) объектідегі жақын туыстық және өзіндік ерекшелік арасында логикалық
байланыс орнату;
3) объектінің анықтамасына мысал келтіріп, ондағы қасиеттерді және
олардың арасындағы байланыстарды көрсетіңдер;
4) анықтамасы берілген объект қандай класқа жататынын анықтаңдар.
1-мысал.
№ Мысалдар Үшбұрыш Қабырғасы тең Қорытынды.
(Да +, нет +,- Берілген
-) объект тең
бүйірлі
үшбұрыш.
1 2,5 - - -
2 + - -
3 + + +
4 + + +
Келтірілген мысалда нақты объекті белгілі объектілер класына жатады,
өзіндік ерекшеліктері конъюнктивті (барлық қасиетін бір мезгілде тірден
қарастырамыз).
2-мысал. Алымы бөлімінен артық немесе тең бөлшекті бұрыс бөлшек дейміз.
4-табл. Бөлшек Алымы Бұрыс
бөлімінен бөлшек пе?
көп
1 + - - -
100
2 - - - -
+ + - +
4 + - + +
Өзіндік ерекшеліктері дизъюнктивті түрде біріктірілген, туыстық қасиеттері
сақталған ең кем дегенде бір өзгешелігі айтылған.
Бесінші тапсырма.
1. Келесі анықтамалардың эквивалентті (мәндес) екенін анықтаңдар.
2. а) -қа тең бұрыш тік бұрыш деп аталады.
б) Жазық бұрыштың жартысын тік бұрыш дейміз.
3. а) Белгісіз саны әріппен белгіленген теңдік теңдеу деп аталады.
б) Айнымалыдан тұратын теңдік теңдеу деп аталады.
Лекция 3
Математикалық оқыту процесіндегі индукция мен дедукция
Лекцияның жоспары
1. Индукция пайда болуының әр түрлі формалары.
2. Толымсыз индукция.
3. Толық индукция.
4. Дедукция.
5. Жетілдірілген индукция әдісі (математикалық индукция).
6. Индукцияны қолданып есептер шешу.
7. Студенттерге тапсырмалар (МВШ, Квант, ИФМ).
8. Математикалық оқыту процесіндегі индукция мен дедукция.
Индукцияның пайда болуының әр түрлі формалары.
Ойымызды тұжырымдап айтып берудің негізгі екі түрлі жолы бар: олар
индукция мен дедукция. Индуктивтік ой қорыту адамдардың қоғамдық және
өндірістік практикасының көп ғасырлық бақылауы мен тәжірибесінен
қалыптасты.
Ойымызды тұжырымдаудың әр түрлі формасы ретінде индукция ертедегі грек
философы Сократтың (Б.Ж.С. д. 469-399) еңбектерінде кездеседі. Индукция
термині латынның
inductio – түрткі, кірістіру, жекеден көпке, жалқыдан жалпыға көше отырып
пайымдау жолы деген сөзі. Оның негізгі үш мәні бар:
1) Ойды тұжырымдап айтып берудің негізгі түрінің бірі – екі немесе
бірнеше элементар жеке пікірлерден жаңа жалпы тұжырым жасау;
2) Кейбір объектілер жиынын үйрету үшін жеке объектілерді қарастырады.
Олардың арасындағы ортақ қасиеттерді іздейді, жеке фактіден жасалған
тұжырымды барлық объектілердің қасиеті ретінде алады;
3) Оқыту процесінде материалды жалпылай жеткізетін зерттеу әдісі болып
табылады.
1-мысал. Элементар пікірлер: шеңбер түзумен ең көп дегенде екі
нүктеде
қиылысады.
Сол сияқты эллипс түзумен екі нүктеде қиылысады; парабола түзумен екі
нүктеде қиылысады; гипербола түзумен екі нүктеде қиылысады.
Дербес пікірлер: Эллипс, парабола, гипербола
- конустық қималардың әр түрдегі көрінісі, бұлар екінші ретті қисықтар
жиынын құрайды.
Жаңа жалпы пікір: Екінші ретті қисықтар түзумен ең көп дегенде екі нүктеде
қиылысуы мүмкін.
2-мысал. Төмендегі формуламен берілген сан тізбегін
қарастырайық:
.
болсын
Сан тізбегі - жай сандар тізбегі болып табылады. {Қате пікір, өйткені
болғанда - құрама сан}.
3-мысал. Мұғалім үшбұрыштың биіктігі ұғымын оқушыларға таныстыра келіп,
тақтаға әр түрлі қиғаш бұрыштарды сызады, әр түрлі жағдайда үшбұрышқа
биіктік тұрғызады, бұл сызбаларға қарай отырып, оқушылар мынадай
қорытындыға келеді: Егер үшбұрыш табанына іргелес жатқан бұрыштар сүйір
болса, онда биіктік табанымен қиылысады, ал егер табанымен
іргелес жатқан бір бұрыш доғал болса, онда биіктік табанының
созындысымен қиылысады.
Бірінші мысалда индукция ой қорытудың ерекше формасын білдіреді, екінші
мысалда бақылау мен тәжірибенің (нәтижесінде) негізіне сүйеніп индукция
ғылыми-зерттеу әдісі, ал 3-мысалда индукция оқыту әдісі ретінде
қолданылған. Индукцияның әр түрлі формада болуы адамдардың күнделікті
қызметінің сипатына тікелей байланысты.
Толымсыз индукция
Индукцияның толымсыз және толық болып бір-бірінен өзгешеленетін екі түрі
бар. Зерттеу әдісі ретінде толымсыз индукция – жеке фактілер өте көп болып,
бірақ олардың барлығын бірдей қарастырмай тек кейбіреулерін ғана қарастырып
тек солардағы ерекшеліктерді байқап, осылар арқылы жалпы қорытынды жасайтын
болсақ, бұл толымсыз индукция болып табылады.
Толымсыз индукциямен жасалған қорытынды дұрыс болмады да мүмкін алғашқы
жеке фактілерде бар ерекшелік, кейінгілерінде болмайтын жағдайлар
кездеседі. Өйткені педагогикалық процесте, әсіресе жеке фактілер өте көп
болып, олардың барлығын бірдей қарастыру мүмкін болмағанда, тек бірнеше
дербес фактілерден жасалған қорытындының өзі де дұрыс болатыны адам
практикасында бұрыннан сыналған.
демек .
Сабақ өту кезінде оқушыларға таныс жеке мысалдар алып, солардан
қорытынды шығаратын болсақ, бұл оқушыларға түсінікті болады.
Толымсыз индукция төменгі сыныптарда жиі қолданылады.
Толымсыз индукция әдісін қолданып бір қорытынды тұңғыш рет жасалған
болса, оны міндетті түрде әр түрлі әдіспен тексеру қажет. Бұл үшін бірнеше
пікірлерден ұқсас қорытындылар жасап, дәлелдеуді күшейтеміз, дәл осы
әдіспен мектепте прогрессия өтіледі:
Бұл нәтижеге келгенімізбен, міндетті түрде дәлелдеу қажет.
Математика дамуының алғашқы сатысында сондай-ақ жеке адамның және барлық
адам баласының өмірінде математикалық шындықтарды танып
білудің бірден-бір жолы бақылау мен тәжірибе, бір сөзбен айтқанда
индукция болған. 2 мен 3-тің қосындысы 5 болатынын, екі нүктенің арасындағы
ең жақын арақашықтық түзу екенін адамдар күнделікті бақылау арқылы білген.
Миллион рет қайталанған тәжірибелермен көрген білгендерінен келіп,
адамдарда оймен орындау қабілеті пайда болады. Брадис В.М. МПМ. 1951, 27-
бет.
Толық индукция
Барлық дербес жағдайларды ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Болашақ математика мұғалімінің әдістемелік дайындығының жалпы мәселелері
Лекция 1
Математикалық ұғым және оны қалыптастыру
Біздің әрбір сөйлеміміздің сөзі белгілі бір заттардың тобын, класына
жатып, оларды анықтайды, құбылыстардың өзара қатынасын бейнеледі. Егер сөз
бізге бір затты басқа бір заттардан көптеген қасиеттерін ерекшелеп
көрсетуге көмектессе, ойымызда ол зат ерекшеленіп елестесе не оларға тән
ортақ қасиеттер мен байланыстарды көрсетілсе, онда ой заттың жалпы
қасиеттерін бейнелей алады. Заттар арасындағы және құбылыстар мен
қатынастардан, олардың нақты қасиеттерінен жалпылай қорытынды шығарылса,
бұл олар туралы белгілі бір ұғым болады. Әрбір түсінік сөзбен бірге сәйкес
түрленеді, сөз сөйлем туралы түсінікті елестетуге қызмет етеді.
1. Ұғым термині әдетте біздің санамызда кейбір объектілері шындықтың
қатынасы мен процестердің, кейбір заттар класының ойша бейнесін
белгілеу үшін қолданылады. Математикалық ұғым біздің ойымызда белгілі
формада нақты жағдайдан абстракцияланған шындықты бейнелейді.
Ұғым. Бір затты екінші заттан әр түрлі сапалары мен белгілеріне не
ерекшеліктері арқылы ажыратылады. Әр түрлі объектілерден 1) жеке
қасиеттері; 2) жалпы қасиеттерді бөліп аламыз.
- Бір айнымалыға тәуелді 2-дәрежелі теңдеу – квадрат теңдеу.
Қазақстандағы ең ұзын өзен Іле – жеке қасиетке ие.
Адамдар – омыртқалылар класына жатады, сүт қоректі. Жалпы қасиеттің
өзі дербес, тек бір топқа тән, жалпы қасиет бөлектенеді, егер заттың
қасиеттерге, белгілерге, басқалардан бөлек қасиеттерге ие. Адамдар
сөздері арқылы бөлінеді.
Объектілер қасиеттерінің адам миында ерекше бейнелену процесін – ұғым
деп атайды. Ұғым біріншіден жоғары дәрежеде ұйымдасқан материяның
жемісі; 2) ұғым материалды дүниені бейнелейді; 3) Ұғым – жалпылау,
тану тәсілі ретінде қолданылады; 4) адам қызметінің өзгешелігін
білдіреді; 5) адам санасына ұғымның қалыптасуы оның тікелей сөз, жазу
не символ арқылы өрнектелуінен бөлінбейді. В.И. Лениннің анықтамасы
бойынша ұғым - материяның мидағы жоғарғы жемісі. Әрбір ұғым өзіне
объектілер класын біріктіреді. (заттардың қатынасы).
Ұғым мазмұннан және көлемнен тұрады. Ұғым көлемі – осы класқа
жататын барлық объектілерді білдіреді., ұғым мазмұны объектілердің
сипаттамалық қасиеті осы ұғымның мазмұны болады. Мысалы, Үшбұрыш
ұғымы мүмкін болатын барлық үшбұрыштар класын білдіреді. (Бұл ұғымның
көлемі) және сипаттамалық қасиет үш қабырғасы, үш төбесі, үшбұрышы
(ұғымның мазмұны); теңдеу ұғымы – барлық мүмкін болатын теңдеулер
класын біріктіреді (көлемі) және сипаттамалық қасиеті – бірнеше
айнымалыдан тұратын теңдік (ұғымның мазмұны) ұғымның мазмұны анықтама
арқылы, көлемі – классификациялау жолмен табылады.
2. Ұғымды қалыптастыру – күрделі психологиялық процесс, білім берудің жай
танымдық формасы – түйсіну. Әр кез келесі схема бойынша жүргізіледі.
Сезіну – қабылдау – түсінік – ұғым. Әдетте бұл процесс екі сатыдан
тұрады. Сезімдік қабылдау арқылы түсініктің пайда болуы және логикалық
түрде түсініктен ұғымға жалпылау мен абстракцияның көмегі арқылы жету
(оқушы 3 санын қалай қалыптастырады). 1) кезеңде әртүрлі нақты
жиындармен танысады {3 алма, үшбұрыш, үш аю, үш жапырақ}... бұлардың
әртүрлі қасиеттеріне назар аударады. Көру процесі бала санасында
бейнелеудің ерекше формасын қабылдайды (сезінеді), объектіні сезімдік
түйсіну – танымның ең алғашқы сатысы, ол ұғымға сәйкес қалыптасады.
1. Мектеп математикасы курсында математикалық ұғымдарды қалыптастыру
әдістемесі
Жоспары
1. Математикалық ұғым деген не?
2. Математикалық ұғымдарды нақты – индуктивтік әдіспен ендіру.
3. Математикалық ұғымдарды абстрактілі – дедуктивтік әдіспен ендіру.
4. Математикалық ұғымдарды меңгеру.
5. Ұғымдарды анықтаудан пайда болатын қателер.
6. Жаңа ұғымдарды ендіруде пайда болатын қателер.
7. Қорытынды.
1. Ұғымды тұжырымдау схемасын еске түсірелік: қабылдау – сезіну – түсінік-
ұғым.
Нақты – индуктивтік әдіспен ұғымды ендіруде оқыту процесінің негізгі
кезеңдері мыналар:
1) берілген ұғымның қажеттігін көрсететін (қабылдау - сезіну)
практикалық мысалдар келтіру;
2) берілген ұғымның маңызды және өте маңызды емес белгілерін
анықтайды (оқушылар) және берілген ұғымды белгілейтін термин
ендіреді (мұғалім). Ол үшін қабылдаудан (сезіну) түсінікке
өтетін өтпелі кезең керек, берілген ұғымды белгілейтін терминнің
дәлелі қажет (мұғалім);
3) берілген ұғымның барынша маңызды қасиеттері таңдап алынады және
осы ұғымның анықтамасы тұжырымдалады (оқушылар); бұдан соң оған
мұғалім дәл анықтама береді, мұны оқушылар қайталайды. Бұл үшін
арада түсініктен ұғымға ауысатындай жағдай болуы керек.
4) Арнайы бөліп алынатын ұғым нақты мысалдармен көрсетіледі, контр
мысалдар келтіріледі және символдық белгілеуі көрсетіледі (оқушы
және мұғалім). Бұл ұғымның пайда болуын білдіреді.
5) Бұдан соң оқушылар басқа ұғымға мүмкін болатын басқа анықтама
береді. Бұл ұғымның меңгерілуі болады.
2. Абстракты – дедуктивтік әдіспен оқушыларды оқытудың негізгі кезеңдері
келесілер болып табылады:
1) Ең алдымен жаңа ұғымға анықтама беріледі, бұл үшін оны
белгілеуші термин дәлелденеді.
2) Бұдан соң ұғым ендірілген өрнектің жеке және ерекше жағдайлары
қарастырылады. Контур мысалдар келтіріледі.
3) Келесі кезекте ендірілген ұғым нақты мысалдар арқылы
иллюстрацияланады.
4) Соңында ендірілген ұғымның қосымшасы үшін мысалдар келтіріледі.
3. Сабақта оқушыларға берілген жаңа ұғымның меңгерілгенін қалай білуге
болады?
Егер ұғым меңгерілген болса, онда оқушы
- ұғымның көлемі мен мазмұны туралы толық түсінігі болады;
- математикалық іс-әрекеттің барысында ұғымды қолдана біледі.
- жаңа жағдайларда өзінің білімі мен тәжірибесін қолдана біледі.
Мысалдар келтіру.
4. Ұғымның анықтамасынан оқушылар қателіктер жібермеуі үшін олар
анықталған және анықтаушы ұғымдарды ажырата білуі керек.
Анықтама: Анықталатын объектіге сәйкес келетін ұғым анықталған ұғым
деп аталады. Анықталатын объектінің мазмұнының көмегімен ашылатын ұғым
анықтаушы деп аталады.
Сонымен бірге оқушылар ұсынылған анықтаманың маңызды талаптарын білуі
керек:
I. Кез келген анықтама өлшемде болуы, яғни анықталушы объектінің
көлемі анықталған ұғымның көлеміне тең болуы керек. Қате
анықтамалардың мысалдарын келтіру керек.
II. Анықталушы ұғымды сол ұғымның өзімен тікелей анықтауға
болмайды.
III. Анықтамалар мүмкіндігіне қарай объектіні керісінше анықтамауы
керек. Мысалдар.
5. Жаңа ұғымды ендіру барысында мұғалім оның белгілеріне назар аудару
керек. Егер мұғалім ұғымның анықтама- тұжырымдап, кітаптағы берілген
сызбалы көрсетумен шектелсе, онда оқушылар бұл ұғымды дұрыс
меңгермейді.
Математикалық ұғымдарды саналы түрде меңгеруге мақсатты түрде
қойылатын ауызша жаттығулар мен сұрақтар жүйесінің зор маңызы бар.
(Оқушыларға қате айтылатын анықтамалардан мысалдар келтіру).
6. Оқушылар жіберген қателерді түзеткеннен гөрі алдын-ала сақтандыру
жұмысын жүргізген дұрыс. Ол үшін:
1) Жаңа ұғымды формальді ендірмеу керек;
2) Оқушыларды ұғымдардың анықтамасын өз бетінше үйренуге баулу
керек.
3) Ендірілген ұғымның. Сөздің, анықтаманың дәлелдерін табу
(келтіру).
4) Сабақтың соңында осы сабаққа қажетті ұғымның анықтамасын
қайталау;
5) Жаңа ұғым мен ескі ұғымның арасындағы байланысты орнату;
6) Анықтамаларды анық, дәл, қысқа, қатаң тұжырымдауды талап ету;
7) 1-6 пункттерін кездейсоқ жағдайда емес, қайта біртіндеп орындау
керек.
1. Қажетті және жеткілікті шарттар
Жоспар
1. Қажетті шарттар; жеткілікті шарттар.
2. Қажетті және жеткілікті шарттар.
3. Теореманың түрлері және олардың байланысы.
1. Келесі пікірді қарастыралық:
Сөзбе-сөз тұжырымдау.
Тұжырымдалады:
1) Егер натурал сан жұп болса, 1)
онда ол 6-ға бөлінеді. (Л)
2) Егер натурал сан 6-ға бөлінсе, 2)
онда ол жұп (Л)
3) Егер натурал сан жұп болса, 3)
онда ол 2-ге бөлінеді (И)
4) Егер натурал сан 2-ге бөлінсе, 4)
онда жұп болғаны
Осы пікірлерді былайша қайта тұжырымдайық:
1) Натурал сан 6-ға бөлінуі үшін оның жұп болуы қажетті.
2) Натурал сан болуы үшін ол 6-ға бөлінуі жеткілікті.
3) Натурал сан 2-ге бөлінуі үшін ол санның жұп болуы қажетті және
жеткілікті.
4) Натурал сан жұп болуы үшін ол санның 2-ге бөлінуі қажетті және
жеткілікті.
Қандай шарт қажетті, ал қандай жеткілікті екенін қалай білуге
болады?
Анықтама.
Егер пікірі ақиқат болса, онда пікірі үшін қажетті шарт
деп аталады.
Егер пікірі ақиқат болса, онда үшін пікірі жеткілікті
шарт деп аталады.
2. Қажетті және жеткілікті шарттар математикада барынша қызғылықты болып
есептеледі.
Анықтама. Егер және импликациялары бір мезгілде ақиқат
болса, онда шарты шартының қажетті және жеткілікті шарты
деп аталады, яғни эквиваленттілік орындалады.
Мұғалім математика курсындағы қажетті және жеткілікті шарттар деген
сөздер олардың синонимдерімен ауыстырылатынына оқушы назарын аудару
керек.
3. Ақиқаттығы тікелей дәлелдеу (талқылау) арқылы көз жеткізілетін
математикалық сөйлем теорема деп аталады.
Теоремада мыналар анық көрсетілуі керек:
1) белгілі бір объектілер (теореманың шарты) қандай шарттарда
қарастырылады.
2) Бұл объект туралы не тұжырымдалады теореманың қорытындысы).
Теореманың шарты мен қорытындысын оңай анықтау үшін оны логикалық
жалғауды қолдана отырып егер, ..., онда..., деген импликация түрінде
жиі тұжырымдалады. Мысалы, параллелограмның диагоналдары қиылысады,
және қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді деген теореманы былай
тұжырымдауға болады:
1) Егер төртбұрыш параллелограм, онда оның диагоналдары қиылысады
және қиылысу нүктсінде қақ бөлінеді.
2) Егер төртбұрыштың диагоналдары қиылысып және қиылысу нүктесінде
қақ бөлінсе, онда бұл төртбұрыш – параллелограмм.
3) Егер төртбұрыш параллелограмм болмаса, онда оның диагоналдары
қиылысады және қиылысу нүктесінде қақ бөлінбейді.
4) Егер төтбұрышта диагоналдары қиылысып және қиылысу нүктесінде
қақ бөлінбесе, онда бұл төртбұрыш – параллелограмм емес.
Енді айтылған теоремалардың түрлерін қарастырайық.
1) Туцра теорема:
2) Кері теорема:
3) Қарама-қарсы теорема:
4) Контрапозитивтік теорема:
1-4 теоремалардың барлығы ақиқат, бірақ бұлай әрқашан бола бермейді.
Мысалы, вертикаль бұрыштар тең. Егер мұны 1-4 сияқты тұжырымдасақ
бұлардың бәрі бірдей ақиқат бола бермейді.
Лекция 2
Математикалық оқытудағы анализ бен синтез
Жоспары
1. Анализбен синтездің сипаттамасы.
2. Психологиялық көзқарас бойынша қарастырғандағы анализбен синтез.
3. Анализбен синтездің байланысы және ойлау процесіндегі салыстыру.
4. Математиканы оқыту процесіндегі анализбен синтез (мысалдар).
4. Математиканы оқытудағы анализбен - синтез
Анализбен синтездің сипаттамасы
Ғылыми зерттеу әдісі ретінде – анализбен синтез математикалық
зерттеулерде ерекше маңызды роль атқарады.
Анализ – логикалық тәсіл, зерттеу әдісі ретінде үйренілетін
объектіні
ойша (не прак.) құрамды бөліктерге жіктейді (белгілері, қасиеттері,
қатынасы), әр бөлік бүтіннің бөлік ретінде жеке зерттеледі. (Анализ
– грекше analygts – жіктеу, бөлшектеу,талдау). Кейін себепті
бірлікте, бүтін ретінде қаралады.
Жіктеу арқылы пайда болған тізбек сөйлемі бұрыннан белгілі аксиомаға,
анықтамаға, бұрын дәлелденген теоремаға келеді. Тізбектің соңғы сөйлемі
дәлелдемекші пікір болып шығады. Әрине тізбектің сөйлемі өзара
белгілі қатыста болатыны айқын.
Әрине, фигураны оқығанға дейін ол туралы азды-көпті біліміміз болады.
Мәселен параллелограм, дөңес көпбұрыш, тұйық фигура, жазықтың бөлігі
тұйықталған сынық, қабырғалары санаулы екі қабырғасының ортақ бір нүктесі
бар т.б.
Ендігі мақсат, осы мағлұматтар ішіндегі ерекше сипаттың параллелограмға
тиістісін іріктеп алу, басқаша айтқанда оның қасиеттерін білу. Олар:
1) (, дөңес төртбұрыш;
2) диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді; диагональдары
параллелограмды тең екі -қа бөледі.
Анализ түрі объект түріне және алға қойған мақсатқа байланысты. Кейде
бүтінді бөліктерге жіктеп, бөліктерді жеке-жеке тану немесе түгел тану
мәселесі қойылады.
Сөйтіп бүтіннің қасиеті танылады. Белгісізден белгіліге қарай жүретін ой
өрісін де анализ деп түсінеміз.
Синтез – логикалық тәсіл, бүтіннің бөліктері қайтадан бір бүтінге
бірік-
тіріледі.
Синтез (грекше sinthess – біріктіру, құрастыру, теру) – анализ
процесінде бөлшектенген объектінің бөліктерін, өзара әсерімен байланысын
анықтап, біріктіру. Сондай-ақ, анализбен синтез жалпылау, дерексіздеу,
салыстыру және аналогиямен астарласа жүреді. Математиканы оқытудағы
анализбен синтез мәні өте зор, ол есептер шешу әдісі ретінде, теорема
дәлелдеу, математикалық ұғымдардың қасиетін үйрену т.б. барынша әр алуан
формада кездеседі.
Анализбен синтез – іс-жүзінде бірін-бірі толықтыратын бір тұтас
аналитикалық – синтетикалық әдіс. Мәселен, анализ кезінде күрделі есептер
жай есептерге бөлшектенеді, ал синтез мұндай жай есептерді бір ғана
мағыналы, бір тұтас бір есепке біріктіреді. Анализді бүтіннен оның
құрамды бөліктеріне жіктейтін ойлау әдісі, ал синтез-ұсақ бөліктерді бір
бүтінге біріктіретін ойлау әдісі деп түсінеміз. Бала ойыншықты ұсақтап
(анализ) қайта құрастырса (синтез) бұл өзіндік анализбен синтез болады.
Анализбен синтез физика – химия сияқты экспериментальды ғылымдарда
кеңінен қолданылады.
Рене Декарт (1596-1650) өзінің Логика деген кітабында анализ-синтез
әдістің мәнін тәпіштеп зертеді, осы әдістердің мәні туралы барынша көрнекі
мынадай мысалдар келтіреді. Мен Кароль Карл Великийдің туысымын ба жоқ па?
Деген сұрақтың жауабына екі жолмен көрнекі жауап беруге болады.
Менен Ұлы Карлға дейін және Ұлы Карлдан маған дейін туысқан болсақ, онда
біз Карл екеуміз туысқанбыз. 1-анализ, 2-і синтез.
Бұл әдістердің мысалы ретінде арифметикалық, алгебралық текстілі
(мазмұнды) есептер жатуы мүмкін.
Екі баланың жастарының қосындысы 12. Майгүл 5 жаста. Азат неше жаста?
1) - синтезге, берілгенге негізделген.
2) - анализге негізделген.
Анализ (аналитикалық) зерттеу әдісі ретінде объектінің саны мен өлшеміне
сүйеніп объектінің сандық қасиетін құрастыратын жақтарын үйренеді.
Синтез (синтетикалық) – зерттеу әдісі ретінде объектінің саналық
қасиетін үйренуге негізделеді. Бұдан былай анализды салдардан себепке
көшетін ойлау формасы ретінде, ал синтезді себептен салдарға көшетін ойлау
формасы деп түсіну керек.
Психологиялық көзқарас бойынша ойлағандағы анализбен синтез
Математиканы оқыту процесінде әдетте анализбен синтез материалды
түсінудің 2-стадиясы.
Жоғарыда анализ-синтезді ғылыми зерттеу әдісі және дербес жағдайларда
оқу материалын үйренудің әдісі ретінде қарастырдық. Анализ-синтез ойлау
процесінің ерекше формасы, яғни ойлаудың маңызды психологиялық сипаттамасы.
Психологиялық көзқарас тұрғысынан алғанда Ойлау процесі – анализдеумен
бөлінетін талдау және синтездеу, бұдан соң осылардан туындайтын абстракция
мен жалпылау болып табылады (Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его
исследования М., 1958). Бұл процестің өзіне тән заңдылығы олардың бір-
бірімен өзара ойлаудың негізгі заңдылығы бойынша байланысуында. Көптеген
психологиялық зерттеулердің көрсеткеніндей анализ әр түрлі формада
кездеседі.
Мәселен:
а) фильтр типті анализ.
б) синтез арқылы болатын анализ.
а) Фильтр типті анализ кезінде есеп шешуші есепке ешбір көрінерлік жүйесіз
кіріседі, ол жай ғана берілген есептің шешу әдісін қалай болса, солай
жобамен іздейді, бір тәсілдің артынан екіншісін қолданып қисынсыз байқап
көрулерді електен өткізген сияқты шығарып тастайды.
Жасалған болжамдар мен байқап көрулер – анализдің өзіндік формасы. Басқа
сөзбен айтқанда кез келген байқап көрулер тікелей табыстарға жеткізбеген
секілді толық шешімге әкелуге дайындық болады. Бұл болжаулар психологтардың
зерттеулерінде өзінің шешімін тапты. Әсіресе тапқырлықты қажетсінетін
есептерді шешу процесін зерттегенде есеп шешушіден тапқырлық қабілетті
талап ететін ой жүгіртулердің, байқап көру әрекеттерінің ерекше пайдасы
бар. Есеп шарты тудыратын қиындықтарды жеңе отырып тапқарлық анализге
сүйенетінін зерттеулер көрсетті. Мәселен 6 сіріңкеден 4 тең қабырғалы
жасау керек. Бұл есептің бас қатырғыш шешуге қиын болатыны есеп шешушіге
ізделінді фигура жазықтықтың бетінде салынуы керек деп ойлайтыны, сонымен
бірге есеп шешуін іздеудің дұрыс бағыты бұл -ды кеңістікте салу керек
(тетраэдр) деген ойды тудырады. Ең алдымен есеп шешуші жазықтықта әр түрлі
тексерулермен есептің шешуін іздейді, бұдан соң кенеттен үш өлшемді
кеңістікке шығу мүмкіндігін табады.
Байқап көріп, болжаулар жасау тек есептер шешуде қолданылып қоймай басқа
әдістердің қолданылуына да көмектеседі.
б) Синтез арқылы болатын анализге тоқталайық.
Бұл ерекше бүкіл әрекеттің жетекші буыны ретіндегі анализ. Сондықтан
ойлау процесінің бұл компонентіне ерекше тоқталайық.
С.Л. Рубинштейн былай деп жазады:
Қысқаша және жалпы айтқанда, бұл анализдің негізгі формасы, негізгі
нервтің ойлау процесі ретінде келесілермен сипатталады. Ойлау процесінде
объектіге барлық жаңа байланыстар қосылады, осының салдарынан барлық жаңа
сапалар жаңа ұғымдарда орнығады; сонымен бірге объектіден барлық жаңа
мазмұндар сарқылады; ол әркез басқа қырынан көрінеді; әркез жаңа қасиеттер
танытады [371]. Ойлау процесінің бұл маңызды буынын түсіну үшін мысал
келтірейік.
Мысал. Шеңберді сырттай сызылған тең қабырғалы -ң периметрі оның
іштей сызылған -тың периметрінен 2 есе артық болатынын дәлелдеу керек.
(VIII кластың математика үйірмесінде берілген есеп).
1) қарастырайық; болатынын дәлелдеу керек.
Сол сияқты 2) ,
3) (1), (2) пункттерден
Есепті шешу барысында оқушы кесіндісінің қасиеттерін талдайды. Есеп
шарты бойынша ( - түзуі үшбұрышының бір қабырғасы) және
екенін бөліп алады. Бұдан соң үшбұрыштың бұл қабырғасы
-ның орта сызығы ретінде қарастырылады, бұдан жаңа қасиет бөлініп
алынады:
Бұдан әрі қабырғасы -ның орта сызығы емес, -ның бір
қабырғасы -ға ( түзу ретінде қарастырылады. -дің бір қабырғасы
ретінде қарастырылады.
Сонымен есеп шығарушыға әркез -тың бір ғана қабырғасы жаңа
байланыстар жүйесі – жаңа қасиеттер пайда болады (бірде орта сызық, бірде
-ң бір қабырғасы) ( қабырғасының бөлініп алынған бұл қасиеттері
бір-бірімен белгілі арақатынаста болады, бұл қатыстар есеп).
? 9-бет жоқ
?
?
?
Математиканы оқытудағы анализбен синтез
Анализбен синтез математиканы оқып-үйренудің аса маңызды әдістері болып
табылады. Олардың қолдануларын көрсететін мысалдар қарастырамыз:
1. Теоремаларды аналитикалық және синтетикалық жолмен дәлелдеу әдістері.
Мысалы. Үшбұрыштың ішкі бұрышының қосындысы болатынын дәлелдеу керек.
1) Дәлелдеу тәсілі (аналитикалық жолмен)
- жазық бұрыш кез келген үшбұрыштың үш бұрышы жазық бұрышқа
орналасатынын көрсету керек.
а) нүктесінен өтетін болатын жазық бұрышты саламыз.
б) жазбадан бірден табылады.
в) , , - қиюшы.
г) , , - қиюшы.
д)
е) бірдей бұрыштарды ауыстырып
2) Дәлелдеу тәсілі (синтетикалық жолмен)
а) жүргіземіз.
б) , , - қиюшы.
в) , , - қиюшы.
г) жазық бұрыш
д) ((б), в) – ларға сүйеніп)
Мысал. Тізбекті дәлелдеу керек.
, ,
Аналитикалық метод Синтетикалық метод
? 12-бет жоқ
?
?
?
келдік, демек алғашқы тұжырым дұрыс. Жасалған қорытынды дұрыс емес. Бұл
арада жіберілген логикалық қателіктің себебі қолданылған қорытынды
ереженің дұрыс еместігінде.
Көбінесе практикада біртіндеп екі әдісті қолданады, аналитикалық жолмен
тұжырымды байқайды, сонан соң синтетикалық жолмен дәлелдеуге тиісті
дәлелдейміз. Қос импликацияны пайдаланып ойлаудың екі әдісімен бірақ
жазамыз:
.
2. Біртіндеп талдау әдісі.
Бұл анализдің негізгі мәні мынадай ойлауға негізделген:
тұжырымының дұрыс болуы үшін -ның дұрыс болуы қажет.
Мысал. Ромбының диагоналдары өзара ( болатынын дәлелдейік.
Дәлелдеу: а) екенін көрсету үшін
болатынын көрсету жеткілікті.
б) болатынын көрсету үшін - -ға
биіктік екенін көрсету жеткілікті.
в) - - биіктік екенін көрсету үшін
теңбүйірлі екенін көрсету керек, - оның медианасы.
г) тең бүйірлі болу үшін дәлелдедік.
д) бірақ шарт бойынша тең, - медиана, сонымен .
(парал.диаг.қас.)
Бұл теореманың дәлелдеудің синтетикалық методпен дәлелдену схемасы:
а) : (шарт бойынша)
б) парал.қас.
в) - медиана
г)
д) . Салыстыра келіп біртіндеп талдау методының артықшылығын
байқаймыз. а) Саналы және өз бетінше, б) логикалық ойлау, в) сапалы мақсаты
айқын, д) дәлелдеу методы қарапайым.
3. Геометриялық салу есептерін шешуге анализ-синтез методын қолдану
Мысалы. радиусы шеңберге сырттай сызылатын гипотенузасы -ға тең
тік бұрышты салу керек.
Анализ. Есеп шешілді, суретін салайық.
а) саламыз, егер - ны салсақ;
б) саламыз. ;
в) .
г) , , бойынша
саламыз:
Синтез. - ны саламыз, алдымен : , , .
Анализбен синтезді стереометрия есептерін шешуге қолдану
Мысалы, призманың табаны ұзындығы болатын тең қабырғалы . Бүйір
қабырғасы , ол табан қабырғаларымен бұрыш жасайды. Призма
көлемін табу керек.
Берілгені -
үшбұрышты призма.
:
,
Аналитикалық әдіс:
Призма көлемі
(1),
: (2)
: , және
Бұл арадан (3),
(4)
: ,
Бұлардан
(5)
(3) және (5) мәнін (2) –ге қойсақ,
,
(6)
-ның ауданын табу үшін оның қабырғасының ұзындығын табу керек.
(7).
(6) мен (7) мәндерін (1)-ге қойып
куб бірлік.
Синтетикалық әдіс. Қосымша салу жұмысын жүргіземіз:
а) - биссектриса -ның.
б) және , үш туралы теорема бойынша
: (1)
(2)
:
(3)
: (4)
(1) және (3) мәнін (4)-ке қойып
: .
,
(куб бірлік)
Қорытынды. Анализбен синтез математиканы оқытудың ғылыми әдісі ретінде
оқушылардың ойлау қабілетімен есептер шешудегі іскерлігін арттырады.
Ұғымдар мен объектілерді математикалық – логикалық жолмен анықтау, оларды
қалыптастырудың негізгі этаптары
Мақсаттар.
1) Мектеп оқулығындағы ұғымдар мен объектілерді анықтаудың
құрылысы.
2) Математикалық ұғымдар мен анықтамаларды мектепте үйренудің
негізгі этаптары, мысалдар.
3) Бір ғана ұғымды түрліше баяндау.
Негізгі мазмұны
I. Математикалық объектілерді анықтау және анықтаманың түрлері
1. Объект, ұғым деген не? Бұлардың ұқсастығымен айырмашылығы неде?
Ұғым объектінің заттық жәнек заттық емес қасиеттерінің жиынтығын
білдіретін ойлау формасы (ұғым деп аталатын ойлаудың ерекше формасы-
объектілердің қасиеттерінің адам миында бейнеленеді). [1- материяның
ерекше ұйымдасқан формасы, ұғым материалды дүниені бейнелейді, ұғым танып
білудің жалпылаудың құралы, ұғым – адамның арнайы қызметі, 5-ұғымның адам
санасында қалыптасуы оның сөйлеуі, жазуы немесе символикалар қолдануымен
тікелей байланысты]. В.И. Ленин Ұғым материяның, оның ішінде ми
қызметінің жоғарғы жемісі деді. Сонымен ұғым – объектілердің қасиеттері
бейнеленген ойлау формасы.
Қандай да бір объект туралы ұғым адам санасында қалай пайда болады?
Белгілі бір ұғымның қалыптасу процесі - өте ұзақ, біртіндеп болатын
бірнеше сатыдан тұратын процесс.
1) 3 алма, 3 үшбұрыш, 3 жақ. – жиындарды көреді. Бұлардың барынша әр
түрлі қасиеттеріне назар аударады. Бұл элементтердің жиынға тиісті
ұқсас белгілерін қабылдайды, сезінеді. Объектіні сезімдік қабылдау –
ең алғашқы қарапайым танымдық процесс бола отырып – ұғым
қалыптастыруға сәйкес алғашқы қадам болады. Объект не құбылыс адам
органдарына әсер еткенде ғана адам санасында ол туралы сезімдік
қабылдау болады, бұл қабылдау із-түссіз жағалып кетпейді, белгісіз
қалады.
2) Әрбір жиынды құрайтын объектілерді ескерусіз қалдырып, қандай объект
екеніне қарамай ұмытуға әрекет жасаймыз.Бұларға ортақ, осылардан жалпы
түрде сипаттайтын үш-ті оқушы санасына сіңіруге әрекеттенеміз. Оқушы
санасына жаңа форма – 3 саны туралы түсінік пайда болады.
3) 3 элементтен тұратын жиын туралы түсінік қалыптасты. Оқушылар жаңаша
ойлап - сияқты үш кез келген элементті кез келген жиынды
қарастыруы керек. Бұл жиындағы ең жалпы заттың белгі үш элементтің
болуы. Енді оқушы санасында 3 саны туралы ұғым қалыптасты.Сонымен,
ұғым абстракциялауға тығыз байланысты жалпылау амалдары арқылы пайда
болады. Ұғым қалыптасу үшін белгілі бір ақыл-ой күшінің жәрдемімен
ұғым сипатталатын объектіні түсінуіміз керек.
Математикалық объект туралы сөз болғанда, мысалы, квадрат немесе
квадрат теңдеу т.б. туралы айтқанда нақты объект туралы айтамыз, олар
сурет, модель не аналитикалық жазу түрінде, сондай-ақ барлық заттың
қасиеттеріне теориялық объект туралы сөз болады. Мысалы ромб туралы
айтқанда – тек суреттегі ромбы ғана емес, сонымен бірге төрт
қабырғалы, қарама-қарсы қабырғалары параллель және барлық қабырғалары
тең, диагоналдары перпендикуляр болатын геометриялық фигуралардың
барлық объектілері енеді.
Объект арқылы ұғымды тұжырымдау – объектіге жататын барлық заттың
қасиеттерінің жиынтығын анықтау болып табылады. Бұл арада оқушы ойы
математикалық объектілерді үйренуге бағытталады. Мұның нәтижесінде
дұрыс ұғым қалыптасу керек. Математикалық объектілерді қарастыру
арқылы ұғым тудырудың бір жолы – объектіге жасалатын амалдарды
анықтау.
Объектіні анықтау – қарастырып отырған объектіні басқа
объектілерден өзгешелігін көрсетуге жеткілікті барлық заттың
қасиеттерді таңдап алу деген сөз. Объектілерге жасалатын амалдар әр
түрлі жолдармен (заттың амалдар мен ой арқылы) орындалды, нәтижесінде
әр түрлі анықтамалар түрінде айтылады. Математикалық объектілерге
жасалатын амалдарды анықтаудың логикалық структурасы біреу-ақ.
Математикалық объектілерді анықтаудың мәні
Математикалық объектілерді анықтау мәнін түсіну үшін аксиоматикалық
жолмен құрылған теориялық құрылысын білу керек. Егер оқу пәні
аксиоматикалық тұрғыда құрылған болса, онда негізгі объектілер (фигуралар)
және олардың заттық қасиеттері таңдап алынады немесе олардың арасындағы
байланыс аксиомалар системасында анықталады. Мысалы, Погорелов оқулығындағы
планиметриядағы негізгі фигуралар нүкте және түзу осылардың арасындағы
қатынас жатады арасында жатады - төрт аксиома арқылы анықталады. Бұдан
соң негізгі объектілердің (фигуралардың) заттардың қосымша сипатталған
қасиеттері негізінде және олардың өзара қатынасы анықталады.
Мысалы, сәуле – бұдан бұрын ендірілген түзу мен нүкте және бір жағында
жатады, арасында жатады деген олардың эквивалентті қатынасы арқылы
анықаталады. Сол сияқты бөлігі және жиын сөздері пайдаланылады. Сәуле
фигурасын анықтау үшін түзуден оның бір бөлігін таңдап аламыз. Бөлігі –
түзу бойындағы бас нүктеде бір бекітілген нүктенің бір жағындағы түзу
бойындағы нүктелер жиыны. Сонымен сәуле – түзудің бөлігі, ол үшін барынша
кең мағыналы анықтама – түзу. Демек, түзу – сәулеге туыс, жақын ұғым.
Сәуле мен түзудің бір-бірінен ерекшелігі түзу бөлігі, бір нүктенің бір
жағында жатқан осы бөлікпен шектелген нүктелер жиыны. Тағы мысалдар. Бұрыш
– ортақ бас нүктесі бар, әр түрлі екі сәуледен жасалған фигура. Бұған
жақын, туыс ұғым бар түрлі өзгешілігі. Екі сәуле және бұларға ортақ бас
нүкте. Объектіні анықтаудың жолы мынадай: объектіге жақын, туыс объекті
(фигура) таңдап алынады, бұдан соң бұл объектінің өзіндік ерекшеліктерін
анықтаймыз. Объектінің өзіндік сипаты негізінде жаңа ұғым ендіреміз, туыс
ұғымға қарағанда бұл ұғымның көлемі тар, себебі оның қасиеті көп.
Әрбір ұғым өзіне объектілер класын біріктіреді (заттар олардың қатынасы)
– бұл ұғымның көлемі болады. Барлық объектілермен олардың класының
сипаттамалық қасиеттері – ұғымның мазмұны болады. Мысалы, үшбұрыш ұғымы -
өзіне барлық мүмкін болатын үшбұрыштардың класын біріктіреді (ұғымның
көлемі), сипаттамалық қасиеті – 3 қаб, 3 төбе, 3 бұрыш (мазмұны).
Теңдеу ұғымы – барлық теңдеулер (көлем). Характерлік сипаты – бір не
бірнеше айнымалыдан тұратын теңдік (мазмұны).
Қасиеті көп және көлемі тар объектіге жаңа ат (термин) беріледі. Мысалы,
барлық теңдіктердің ішінен айнымалысы бар теңдіктерді ғана теңдеу деп
атаймыз. Барлық квадрат теңдеулердің ішінен тек түріндегісін ғана
квадрат теңдеу деп атаймыз. - айнымалы, - сан. Барлық тік
төртбұрыштардың ішінен көршілес қабырғалары тең төртбұрышты квадрат деп
атаймыз. Осы айтылғандарды мынадай символикамен жазып көрсетеміз:
Туыстығы Жаңа ат береміз Өзіндік ерекшелігі
Математикалық объектілерді анықтау, оларды түрлерге бөлу кезінде мынадай
жалпы амал – (объектіні анықтау) – ұғымға жақын туыс ұғым және өзіндік
ерекшелік арқылы анықаталады – бұлайша анықтауды ұғымды нақты түрде
анықтау деп атайды.
Жақын туыс ұғым және өзіндік ерекшелігі бар ұғымды төмендегіше
нақтылады:
1) Объектілердің сипаттамалық қасиеттерін көрсету жолмен;
2) Қарама-қарсы (теріс) анықтама беру. Кейде объектіні фигураны
аксиомалар системасы арқылы айқындалмаған түрде анықтайды. Мұны
өз алдына атауға да болады.
3) Конструктивті және рекурсивті анықтамалар.
Математикалық объектілерді сипаттамалық қасиеттері бойынша анықтау
Объектілерді анықтаудың бұл түрі – логикалық амалдар мен жақын туыстық
қатыстар, өзіндік ерекшеліктер және туыстықпен өзіндік ерекшеліктің
қатынасы мен логикалық байланысы негізінде құрылған. Мектеп материалдар
объектілер табиғатының логикалық байланысы мен қасиеттердің байланысы
коньюнктивті және дизьюнктивті анықтамалар арқылы ажыратылады.
Мысалы: Параллелограмды алайық. Параллелограм дегеніміз қарама-қарсы
қабырғалары параллель төртбұрышты параллелограм дейміз. Термин
параллелограм. Туыстығы – төртбұрыш. Өзіндік ерекшелігі: - 1) бір қосақ
қарама қарсы қабырғалар параллель, 2) екінші қарама қарсы қабырғалар
параллель. Барлық қасиеттер және жалғауы арқылы біріктірілген. Демек,
бұл коньюнктивті анықтама.
Екінші мысал. Бұрыс бөлшекті анықтау. Бөлімі алымынан үлкен бөлшекті
бұрыс бөлшек дейміз. Термин – бұрыс бөлшек. Туыстығы – бөлшек. Өзіндік
ерекшелігі – 1) алым артық бөлімнен; 2) алым тең бөлім. Өзіндік ерекшелік
или (немесе) мен жалғастырылған. Яғни, дизьюнктивті анықтама.
Үшінші мысал (өспелі функция). Аргументтің үлкен мәніне функцияның үлкен
мәні сәйкес келсе, өспелі функция деп аталады. Туыстығы – функция, термин –
берілген аралықта өспелі функция. Өзіндік ерекшелігі: егер және
, онда . Анықтаудың түрі импликация түрінде берілген. Оны
басқаша тұжырымдауға болады. Өзіндік ерекшелік: 1) және 2)
және 3) . Бұлардан тек өз алдына бөлшек екі қасиетті қалдыруға
болады: 1) ( және ) және 2) . Мұндай анықтамалар
мектеп оқулығында жиі кездеседі.
I. Конструктивті және рекурсивті анықтамалар
Объектінің қасиеттерін оны конструкциялау, объектіге жасалатын амалдарды
көрсету жолмен, яғни объектінің өзіндік ерекшеліктері амалдар түрінде
беріледі.
1-мысал. Берілген нүктені айналдыра бұру дегеніміз - әрбір сәуле бірдей
бағытпен, бірдей бұрышпен бұрылуды айтады. Термин – бұрылу. Туыстығы –
қозғалыс. Өзіндік ерекшелігі: 1) бір нүктеден шығатын әрбір сәуле бір ғана
бағытпен бұрылады. 2) әрбір сәуле бір ғана бұрышқа бұрылады.
2-мысал. формуласымен берілген функцияны сызықтық функция дейміз.
Термин – сызықтық функция. Туыс ұғым – функция. Өзіндік ерекшелігі –
– тәуелсіз айнымалы, мен - сандар және . Яғни, егер
сандармен айнымалылар арасында осындай амалдар берілген болса, онда
сызықтық функция бар деп есептеледі. Егер амалдар басқа болса, онда
сызықтық функция болмайды.
Конструктивті амалдар әр түрлі берілуі мүмкін.
Ұғымдарды рекурсивті түрде анықтауда белгілі бір кластың базистік
объектілерімен осы кластан жаңа объект алуға мүмкіндік беретін ережелер
көрсетіледі.
Мысалы, арифметикалық прогрессияны анықтау.Екінші мүшесінен бастап
өзінің алдындағы мүшеге тұрақты бір санды қосудан шығатын сан тізбегін
арифметикалық прогрессия деп атаймыз. Туыстығы – тізбек. Термин –
арифметикалық прогрессия, өзіндік ерекшелігі - - беріледі;
(- жалпы түрі), . Егер алдындағы амалдар белгілі бір және өзіндік
ерекшеліктер көрсетілген болса, онда келесі мүшелерді алуға болады.
Теріс анықтама (қарама-қарсы анықтама)
Қарама-қарсы анықтама объектінің қасиетін білдіре алмайды. Ол
классификациялық функцияның ролін атқарады. Егер объектілер класы
группаларға бөлінсе, әрбір группаның белгілі бір қасиеттері болса, оған ат
қойылса және өзіне тән емес қасиеттері көрсетілсе, онда бұл бір класқа
жататын объектілерге қарама-қарсы анықтама беріледі.
Мысалы, бір жазықтықта жатпайтын және қиылыспайтын түзулерді айқас
түзулер деп аталады. Термин атауы – айқас түзулер, туыстығы – түзулер.
Өзіндік ерекшелігі: 1) бір жазықтықта жатпайды; 2) қиылыспайды.
Сонымен, логикалық амал – объектіні анықтау – барлық жерде бірдей, бірақ
әрбір аталған түрдің амалдарының мазмұны, оның анықтамаларының түрі әр
түрлі. Біріндегі өзіндік ерекшелік – қасиеттері сипатталып жазылған (Н,
үлкен болады,..), ал басқалары объектіні алу үшін амалдарды орындау керек.
Ал, басқа жағдайларда қарама-қарсы қасиеттер атап өтіледі.
Сонымен, мектептегі анықтамалардың негізгі типологиясы – объектілердің
өзіндік ерекшеліктерін көрсететін амалдардың ерекшелігін түсіну.
Екінші тапсырма. Математикалық объектіні анықтау жөніндегі оқушы
білімін жетілдіру үшін мектептің алгебра, геометрия курсынан 2-3 объектіні
жоғарыда көрсетілген анықтамалар негізінде анықтаңдар.
Сипаттамалық Консруктивті Қарама-қарсы Айқындалмаған
қасиетін жазу анықтама анықтамалар анықтамалар
жолмен берілген
анықтама
теңдеу (V кл.) 0 нүктесінде Пропорционал Нүкте және түзу
ромб (VII кл.) симмет-риялы сан-дар (VII кл.
фигуралар (VII кл.) Геометрия.
(VI кл.) А.В.Погорева).
II. Математикалық объектілердің анықтамасын оқыту кезіндегі негізгі
оқыту мәселелері
Математикалық объектілердің анықтамасын оқытудың негізгі мәселесі –
математикалық объектілердің анықтамасының құрылысымен танысу және
анықтаманың нақты түрлерін білуден тұрады.
Бұл негізгі оқу мәселесі ретінде мыналардан тұрады:
- әр түрлі анықтаманың құрылысын логикалық жолмен талдау (анықтамадағы
әрбір сөздің логикалық және мазмұндық қызметін анықтау).
- Анықтама бойынша нақты математикалық объектіні анықтау.
- Анықтамасы белгілі бір анықтаманың түріне жататын объектіні мысалға
келтіру.
- Объектінің анықтамасын онымен эквивалент анықтамамен алмастыру.
Кейде мұны анықтаманы басқаша тұжырымдау деп атайды. Бір ғана
объектіге берілетін әр түрлі анықтамаларды салыстыру
- Объектінің объектілер класына жататыны жайындағы фактілері
анықтамалар арқылы сипатталған салдарлар алу;
- Келтірілген анықтамалардан логикалық және мазмұндық қателер табу.
Үшінші тапсырма. 2-таблицадан бір-бірден анықтама алыңдар. Бұл
анықтамалар логикалық талдаулар жасаңдар, яғни ұғымның туыстық аты және
өзіндік ерекшеліктерін атаңдар. Таңдап алынған әрбір анықтаманың өзіне тән
әртүрлі ерекшеліктерін сипаттаңдар.
Келесі анықтаманың әрбір сөйлемі анықтамаға қойылатын талаптарға сай ма?
1. Үшбұрыштың төбесімен оған қарама-қарсы жатқан қабырғаның ортасын
қосатын кесінді үшбұрыштың медианасы деп аталады.
2. Егер қиылысатын екі жазықтықтың қиылысу сызығына және ол
жазықтықтарды перпендикуляр үшінші жазықтыққа перпендикуляр және
қиылысушы жазықтықтарды перпендикуляр түзудің бойымен қиып өтсе, онда
қиылысушы жазықтар өзара перпендикуляр болады.
3. Бірлік шеңбердің нүктесін радианға бұрудан шыққан
нүктесінің ординатасын бұрыштың синусы деп атайды.
4. Бір-бірінен өзгешелігі тек таңбасында болатын екі санды қарама-қарсы
сандар деп атайды.
Төртінші тапсырма. Объектіні анықтау келесі амалдардан тұрады:
1) анықтамаға қажетті барлық қасиеттерді есептеу;
2) объектідегі жақын туыстық және өзіндік ерекшелік арасында логикалық
байланыс орнату;
3) объектінің анықтамасына мысал келтіріп, ондағы қасиеттерді және
олардың арасындағы байланыстарды көрсетіңдер;
4) анықтамасы берілген объект қандай класқа жататынын анықтаңдар.
1-мысал.
№ Мысалдар Үшбұрыш Қабырғасы тең Қорытынды.
(Да +, нет +,- Берілген
-) объект тең
бүйірлі
үшбұрыш.
1 2,5 - - -
2 + - -
3 + + +
4 + + +
Келтірілген мысалда нақты объекті белгілі объектілер класына жатады,
өзіндік ерекшеліктері конъюнктивті (барлық қасиетін бір мезгілде тірден
қарастырамыз).
2-мысал. Алымы бөлімінен артық немесе тең бөлшекті бұрыс бөлшек дейміз.
4-табл. Бөлшек Алымы Бұрыс
бөлімінен бөлшек пе?
көп
1 + - - -
100
2 - - - -
+ + - +
4 + - + +
Өзіндік ерекшеліктері дизъюнктивті түрде біріктірілген, туыстық қасиеттері
сақталған ең кем дегенде бір өзгешелігі айтылған.
Бесінші тапсырма.
1. Келесі анықтамалардың эквивалентті (мәндес) екенін анықтаңдар.
2. а) -қа тең бұрыш тік бұрыш деп аталады.
б) Жазық бұрыштың жартысын тік бұрыш дейміз.
3. а) Белгісіз саны әріппен белгіленген теңдік теңдеу деп аталады.
б) Айнымалыдан тұратын теңдік теңдеу деп аталады.
Лекция 3
Математикалық оқыту процесіндегі индукция мен дедукция
Лекцияның жоспары
1. Индукция пайда болуының әр түрлі формалары.
2. Толымсыз индукция.
3. Толық индукция.
4. Дедукция.
5. Жетілдірілген индукция әдісі (математикалық индукция).
6. Индукцияны қолданып есептер шешу.
7. Студенттерге тапсырмалар (МВШ, Квант, ИФМ).
8. Математикалық оқыту процесіндегі индукция мен дедукция.
Индукцияның пайда болуының әр түрлі формалары.
Ойымызды тұжырымдап айтып берудің негізгі екі түрлі жолы бар: олар
индукция мен дедукция. Индуктивтік ой қорыту адамдардың қоғамдық және
өндірістік практикасының көп ғасырлық бақылауы мен тәжірибесінен
қалыптасты.
Ойымызды тұжырымдаудың әр түрлі формасы ретінде индукция ертедегі грек
философы Сократтың (Б.Ж.С. д. 469-399) еңбектерінде кездеседі. Индукция
термині латынның
inductio – түрткі, кірістіру, жекеден көпке, жалқыдан жалпыға көше отырып
пайымдау жолы деген сөзі. Оның негізгі үш мәні бар:
1) Ойды тұжырымдап айтып берудің негізгі түрінің бірі – екі немесе
бірнеше элементар жеке пікірлерден жаңа жалпы тұжырым жасау;
2) Кейбір объектілер жиынын үйрету үшін жеке объектілерді қарастырады.
Олардың арасындағы ортақ қасиеттерді іздейді, жеке фактіден жасалған
тұжырымды барлық объектілердің қасиеті ретінде алады;
3) Оқыту процесінде материалды жалпылай жеткізетін зерттеу әдісі болып
табылады.
1-мысал. Элементар пікірлер: шеңбер түзумен ең көп дегенде екі
нүктеде
қиылысады.
Сол сияқты эллипс түзумен екі нүктеде қиылысады; парабола түзумен екі
нүктеде қиылысады; гипербола түзумен екі нүктеде қиылысады.
Дербес пікірлер: Эллипс, парабола, гипербола
- конустық қималардың әр түрдегі көрінісі, бұлар екінші ретті қисықтар
жиынын құрайды.
Жаңа жалпы пікір: Екінші ретті қисықтар түзумен ең көп дегенде екі нүктеде
қиылысуы мүмкін.
2-мысал. Төмендегі формуламен берілген сан тізбегін
қарастырайық:
.
болсын
Сан тізбегі - жай сандар тізбегі болып табылады. {Қате пікір, өйткені
болғанда - құрама сан}.
3-мысал. Мұғалім үшбұрыштың биіктігі ұғымын оқушыларға таныстыра келіп,
тақтаға әр түрлі қиғаш бұрыштарды сызады, әр түрлі жағдайда үшбұрышқа
биіктік тұрғызады, бұл сызбаларға қарай отырып, оқушылар мынадай
қорытындыға келеді: Егер үшбұрыш табанына іргелес жатқан бұрыштар сүйір
болса, онда биіктік табанымен қиылысады, ал егер табанымен
іргелес жатқан бір бұрыш доғал болса, онда биіктік табанының
созындысымен қиылысады.
Бірінші мысалда индукция ой қорытудың ерекше формасын білдіреді, екінші
мысалда бақылау мен тәжірибенің (нәтижесінде) негізіне сүйеніп индукция
ғылыми-зерттеу әдісі, ал 3-мысалда индукция оқыту әдісі ретінде
қолданылған. Индукцияның әр түрлі формада болуы адамдардың күнделікті
қызметінің сипатына тікелей байланысты.
Толымсыз индукция
Индукцияның толымсыз және толық болып бір-бірінен өзгешеленетін екі түрі
бар. Зерттеу әдісі ретінде толымсыз индукция – жеке фактілер өте көп болып,
бірақ олардың барлығын бірдей қарастырмай тек кейбіреулерін ғана қарастырып
тек солардағы ерекшеліктерді байқап, осылар арқылы жалпы қорытынды жасайтын
болсақ, бұл толымсыз индукция болып табылады.
Толымсыз индукциямен жасалған қорытынды дұрыс болмады да мүмкін алғашқы
жеке фактілерде бар ерекшелік, кейінгілерінде болмайтын жағдайлар
кездеседі. Өйткені педагогикалық процесте, әсіресе жеке фактілер өте көп
болып, олардың барлығын бірдей қарастыру мүмкін болмағанда, тек бірнеше
дербес фактілерден жасалған қорытындының өзі де дұрыс болатыны адам
практикасында бұрыннан сыналған.
демек .
Сабақ өту кезінде оқушыларға таныс жеке мысалдар алып, солардан
қорытынды шығаратын болсақ, бұл оқушыларға түсінікті болады.
Толымсыз индукция төменгі сыныптарда жиі қолданылады.
Толымсыз индукция әдісін қолданып бір қорытынды тұңғыш рет жасалған
болса, оны міндетті түрде әр түрлі әдіспен тексеру қажет. Бұл үшін бірнеше
пікірлерден ұқсас қорытындылар жасап, дәлелдеуді күшейтеміз, дәл осы
әдіспен мектепте прогрессия өтіледі:
Бұл нәтижеге келгенімізбен, міндетті түрде дәлелдеу қажет.
Математика дамуының алғашқы сатысында сондай-ақ жеке адамның және барлық
адам баласының өмірінде математикалық шындықтарды танып
білудің бірден-бір жолы бақылау мен тәжірибе, бір сөзбен айтқанда
индукция болған. 2 мен 3-тің қосындысы 5 болатынын, екі нүктенің арасындағы
ең жақын арақашықтық түзу екенін адамдар күнделікті бақылау арқылы білген.
Миллион рет қайталанған тәжірибелермен көрген білгендерінен келіп,
адамдарда оймен орындау қабілеті пайда болады. Брадис В.М. МПМ. 1951, 27-
бет.
Толық индукция
Барлық дербес жағдайларды ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz