Фурье қатарлары
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
I.тарау. Фурье қатарлары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
1.1 Периодты функциялар. Периодты созынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
1.2 Тригонометриялық көпмүшеліктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..6
1.3.Фурье қатары. Фурье коэффициенттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... .8
1.4.Жұп және тақ функциялардың Фурье қатарларына жіктеу ... ... ... ... ... 10
1.5 Периодты 2l функцияның Фурье қатары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...17
1.6. Фурье қатарының комплекс түрі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .19
1.7. Фурье интегралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...21
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .22
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .24
I.тарау. Фурье қатарлары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
1.1 Периодты функциялар. Периодты созынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
1.2 Тригонометриялық көпмүшеліктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..6
1.3.Фурье қатары. Фурье коэффициенттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... .8
1.4.Жұп және тақ функциялардың Фурье қатарларына жіктеу ... ... ... ... ... 10
1.5 Периодты 2l функцияның Фурье қатары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...17
1.6. Фурье қатарының комплекс түрі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .19
1.7. Фурье интегралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...21
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .22
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .24
1828 жылы XIX ғасырдың басындағы Францияның ұлы математиктерінің бірі Жан Жозеф Фурье 1768-1830 өзінің «жылудың аналетикалық теориясы» кітабында алғаш рет «Тригонометриялық қатарлар» деп аталатын теорияның негізінде құралған әдісті пайдаланған еді.
Жоғарыда айтылған кітапша дәрежелік қатарлар мен бірге Фурье қатары деп аталатын шексіз қатарлардың таза математикадағы және қолданулардағы маңызды рөлі көрсетілген. Ол қатардың мүшелері тригонометриялық функциялар, ал қосындысы периодты функциялар болады. Фурье қатарын негізінен бір тарауға бөліп оның ішінде көптеген тарауларға бөліп қарастырылған. олар төмендегідей.
1.1 Периодты функциялар. Периодты созынды.
1.2 Тригонометриялық көпмүшеліктер.
1.3 Фурье қатары. Фурье коэффициенттері.
1.4 Жұп және тақ функциялардың Фурье қатарларына жіктеу.
1.5 Периодты 2l функцияның Фурье қатары.
1.6. Фурье қатарының комплекс түрі.
1.7. Фурье интегралы.
Фурье қатарлары дифференциалдық теңдеулер, математикалық физика теңдеулері және т.б. математикалық салаларының есептерін шешуге қолданылады.
Жоғарыда айтылған кітапша дәрежелік қатарлар мен бірге Фурье қатары деп аталатын шексіз қатарлардың таза математикадағы және қолданулардағы маңызды рөлі көрсетілген. Ол қатардың мүшелері тригонометриялық функциялар, ал қосындысы периодты функциялар болады. Фурье қатарын негізінен бір тарауға бөліп оның ішінде көптеген тарауларға бөліп қарастырылған. олар төмендегідей.
1.1 Периодты функциялар. Периодты созынды.
1.2 Тригонометриялық көпмүшеліктер.
1.3 Фурье қатары. Фурье коэффициенттері.
1.4 Жұп және тақ функциялардың Фурье қатарларына жіктеу.
1.5 Периодты 2l функцияның Фурье қатары.
1.6. Фурье қатарының комплекс түрі.
1.7. Фурье интегралы.
Фурье қатарлары дифференциалдық теңдеулер, математикалық физика теңдеулері және т.б. математикалық салаларының есептерін шешуге қолданылады.
1. Дүйсек А.К.,Қасымбеков С.К. Жоғары математика (оқу құралы) - Алматы, ҚБТУ,2004,440 бет.
2. Жұмабеков Л .Көп айнымалы функциялардың дифференциалдық және интегралдық есептеу I.Алматы,1991.
3. Жәутіков О.А.Математикалық анализ курсы. Алматы. Мектеп.1959.
4. Ибрашев Х.И. Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы. Алматы, Мектеп,1970 т.I,II,528бет
5. Қабдықайыров Қ .,Еселбаева Р.Дифференциалдық және интегралдық есептеулер,Алматы,Мектеп,1985,230 бет.
2. Жұмабеков Л .Көп айнымалы функциялардың дифференциалдық және интегралдық есептеу I.Алматы,1991.
3. Жәутіков О.А.Математикалық анализ курсы. Алматы. Мектеп.1959.
4. Ибрашев Х.И. Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы. Алматы, Мектеп,1970 т.I,II,528бет
5. Қабдықайыров Қ .,Еселбаева Р.Дифференциалдық және интегралдық есептеулер,Алматы,Мектеп,1985,230 бет.
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
I-тарау. Фурье
қатарлары ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ..4
1.1 Периодты функциялар. Периодты
созынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
1.2 Тригонометриялық
көпмүшеліктер ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .6
1.3.Фурье қатары. Фурье
коэффициенттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
1.4.Жұп және тақ функциялардың Фурье қатарларына жіктеу ... ... ... ... ...
10
1.5 Периодты 2l функцияның Фурье
қатары ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ..17
1.6. Фурье қатарының комплекс
түрі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19
1.7. Фурье
интегралы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ..21
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ...22
Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... 24
Кіріспе
1828 жылы XIX ғасырдың басындағы Францияның ұлы математиктерінің бірі
Жан Жозеф Фурье 1768-1830 өзінің жылудың аналетикалық теориясы кітабында
алғаш рет Тригонометриялық қатарлар деп аталатын теорияның негізінде
құралған әдісті пайдаланған еді.
Жоғарыда айтылған кітапша дәрежелік қатарлар мен бірге Фурье қатары
деп аталатын шексіз қатарлардың таза математикадағы және қолданулардағы
маңызды рөлі көрсетілген. Ол қатардың мүшелері тригонометриялық функциялар,
ал қосындысы периодты функциялар болады. Фурье қатарын негізінен бір
тарауға бөліп оның ішінде көптеген тарауларға бөліп қарастырылған. олар
төмендегідей.
1.1 Периодты функциялар. Периодты созынды.
1.2 Тригонометриялық көпмүшеліктер.
1.3 Фурье қатары. Фурье коэффициенттері.
1.4 Жұп және тақ функциялардың Фурье қатарларына жіктеу.
1.5 Периодты 2l функцияның Фурье қатары.
1.6. Фурье қатарының комплекс түрі.
1.7. Фурье интегралы.
Фурье қатарлары дифференциалдық теңдеулер, математикалық физика
теңдеулері және т.б. математикалық салаларының есептерін шешуге
қолданылады.
I-тарау. Фурье қатарлары
1.1.Периодты функциялар. Периодты созынды.
Фурье қатарлары теориясында негізінен қарапайым гармоникалар болатын
периодты функциялар және тербелістік процестерге жатпайтын құбылыстарды
өрнектейтін басқа функциялардың көптеген кластарының қатарға жіктелуін
зерттейді.
Анықтама. Егер f(x) функциясының анықталу облысындағы x- тің кез
келген мәні үшін
теңдігі орындалатын бір Т саны бар болса, онда f(x) периодты функция,
Т ол функциясының периоды деп аталады.
Периодты функциялардың мынадай негізгі қасиеттері бар;
1) егер Т саны f(x) функциясының периоды болса, онда nТ (n – бүтін сан )
сандары да сол функцияның периоды болады, демек
2) периодтары бірдей функциялардың қосындысы, айырымы, көбейтіндісі және
қатынасы да периодты функция болады;
3) егер f(x) периодты функция период ұзындығы Т- ға тең кесіндіде
интегралданса, ол функция ұзындығы Т- ға тең кез келген кесіндіде
интегралданады және мына теңдік орындалады:
Шынында да, егер f(x) функциясы [x;x+T] кесіндісінде интегралданатын
болса онда
Енді осы өрнекті күрделі функцияны туындалу ережесімен х бойынша
дифференциалдасақ
Бұдан J=C, яғни интеграл х- ке тәуелді емес.
Тербеліс процестерін ( құбылыстарын) өрнектейтін қарапайым периодты
функция y=Asin( гормоника деп аталады. Мұндағы A, және -
тұрақты сандар. A – гармониканың амплитудасы,- гармониканың жиілігі,
гармониканың алғашқы фазасы деп аталады. Х – айнымалы (уақыт.)
Гармоникалық графигін синусоиданың графигін координаталар осьтері
бағытында қысу не созу (көру) және ОХ осі бойында жылжыту арқылы шығарып
алуға болады.
Элементар математикадан белгілі формуланы
Asin()=A(cos+sin)
Ескеріп a=Asin, в=Acos деп белгілесек, онда
Asin()=acos
Егер десек, . болғандықтан
Asin()=Asin()=acos яғни период болатын гармоникалық екі
тригонометриялық функцияның қосындысы түрінде жазуға болады.
Фурье қатарының теориясы периодты функцияларға бейімделген.
Сондықтан [a;b] кесіндісінде анықталған периодсыз функциялардың көптеген
кластарын осы теорияның көмегі мен зерттеуге болады. Ол үшін осы [a;b]
кесіндісінде анықталған периодсыз функцияны бүкіл сан осінде периодты
болатын етіп түсіндіру керек. Ол үшін, нақтылы берілген есептер жағдайында,
берілген функцияны [a;b] кесіндісінің сыртына периодты созу әдісі
қолданылады.
Анықтама. Қандайда бір [a;b] кесіндісінде берілген f(x)
функциясының периодты созындысы деп, бүкіл сан осінің бойында анықталған ,
[a;b] кесіндісінде f(x) функциясына айналатын ( тең ) және периодты сол
кесіндінің ұзындығына тең болатын F(x) функциясын айтады.
1.2.Тригонометриялық көпмүшеліктер.
Периодты T=2l болатын
cosx+sinx, (k=1,2...)
(1.2.1)
түріндегі жиіліктер =, периодтары сандарына тең
гармоникаларды қарастырайық.
Мұнда T=k саны (1.2.l) түріндегі гармоникалардың периоды.
Сондықтан
Түріндегі тригономертиялық көпмүше периоды T=2l болатын функция
болады. Қатар
Тригонометриялық қатар деп аталады.
Осы қатарда десек онда
Түріне келеді және ол тригонометриялық қатарларының негізгі түрі болып
табылады. Енді және коэффициенттерін анықтау кезінде керек
болатын бірнеше көмекші формулалар келтірейік. Егер n болса онда
кез келген m және n ( үшін
келгент m және n сандары үшін
егер m=n болса, онда
Бұл формулалар ұзындықтары 2 - ге тең интервалдар үшін де
орындалады.
1.3 Фурье қатары. Фурье коэффициенттері.
Бізге аралығында анықталған периоды T=2l болатын f(x) функциясы
берілсін. Енді f(x) функциясы бір қалыпты жинақталатын тригонометриялық
қатарға жіктелсін, яғни
болсын.
Қатар (1.3.1) бір қалыпты жинақталады деп жорығандықтан, оны
аралығында мүшелеп интегралдауға болады, демек
Сонда бұл теңдіктен (k=1,2,3,...).
немесе
Ал қалған (k=1,2,3,...). коэффициенттерін анықтау үшін (1.3.1)
қатардың екі жағын cosnx (N өрнегіне көбейтеміз.( одан қатардың бір
қалыпты жинақтылығы бұзылмайды)-де мен аралығында
интегралдаймыз.
Бұл теңдіктің оң жағында тек k=n болғандағы интегралынан басқаларының
барлығы да нольге айналады, яғни
Бұдан
Немесе
Енді (1.3.1) қатардың екі жағын sin nx өрнегіне көбейтіп
аралығында интегралдасақ, онда оң жағында тек k=n болғандағы интегралдан
басқаларының барлығы нольге айналады, сондықтан
болып анықталады.
Сонымен (1.3.2),(1.3.3),(1.3.4) формулаларының көмегімен анықталған
коэффициенттерді Фурье коэффициенттері деп, ал осындай коэффициенттері бар
Қатарын f(x) функциясының Фурье қатары деп аталады.
Бұл формулалардан периоды 2 - ге тең кез келген
интегралданатын f(x) функциясына сәйкес Фурье қатарын құруға болады деген
маңызды қорытынды шығады. Ал бірақ осы Фурье қатары әрқашанда f(x)
функциясына бір қалыпты жинақталады деген қорытынды шықпайды.
Дирихле теоремасы. Егер f(x)функциясы периоды 2 - ге тең [a;b]
кесіндісінде абсолют интегралданатын үзік – жатық функциясы болса, оның
Фурье қатары [a;b] аралығының барлық нүктелері үшін жинақталады, сонымен
бірге х – үзіліс нүктесі болмаса, қатардың қосындысы f(x) функциясына, ал
x= - үзіліс нүктесі болса, онда -ке тең болады.
1.4.Жұп және тақ функциялардың Фурье қатарларына жіктеу.
Егер барлық сан осінде анықталған f(x) функциясы үшін координаталар
басына симметриялы орналасқан кез келген кесінді де f(x) = f(-x) теңдігі
орындалса, ол жұп, ал егер f(x) = - f(-x) теңдігі орындалса, ол тақ
функция деп аталатыны бізге белгілі. Сонымен бірге біз жұп функцияның
графигі ординаталар осіне, ал тақ функцияның графигі ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
I-тарау. Фурье
қатарлары ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ..4
1.1 Периодты функциялар. Периодты
созынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
1.2 Тригонометриялық
көпмүшеліктер ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .6
1.3.Фурье қатары. Фурье
коэффициенттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
1.4.Жұп және тақ функциялардың Фурье қатарларына жіктеу ... ... ... ... ...
10
1.5 Периодты 2l функцияның Фурье
қатары ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ..17
1.6. Фурье қатарының комплекс
түрі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19
1.7. Фурье
интегралы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ..21
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ...22
Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... 24
Кіріспе
1828 жылы XIX ғасырдың басындағы Францияның ұлы математиктерінің бірі
Жан Жозеф Фурье 1768-1830 өзінің жылудың аналетикалық теориясы кітабында
алғаш рет Тригонометриялық қатарлар деп аталатын теорияның негізінде
құралған әдісті пайдаланған еді.
Жоғарыда айтылған кітапша дәрежелік қатарлар мен бірге Фурье қатары
деп аталатын шексіз қатарлардың таза математикадағы және қолданулардағы
маңызды рөлі көрсетілген. Ол қатардың мүшелері тригонометриялық функциялар,
ал қосындысы периодты функциялар болады. Фурье қатарын негізінен бір
тарауға бөліп оның ішінде көптеген тарауларға бөліп қарастырылған. олар
төмендегідей.
1.1 Периодты функциялар. Периодты созынды.
1.2 Тригонометриялық көпмүшеліктер.
1.3 Фурье қатары. Фурье коэффициенттері.
1.4 Жұп және тақ функциялардың Фурье қатарларына жіктеу.
1.5 Периодты 2l функцияның Фурье қатары.
1.6. Фурье қатарының комплекс түрі.
1.7. Фурье интегралы.
Фурье қатарлары дифференциалдық теңдеулер, математикалық физика
теңдеулері және т.б. математикалық салаларының есептерін шешуге
қолданылады.
I-тарау. Фурье қатарлары
1.1.Периодты функциялар. Периодты созынды.
Фурье қатарлары теориясында негізінен қарапайым гармоникалар болатын
периодты функциялар және тербелістік процестерге жатпайтын құбылыстарды
өрнектейтін басқа функциялардың көптеген кластарының қатарға жіктелуін
зерттейді.
Анықтама. Егер f(x) функциясының анықталу облысындағы x- тің кез
келген мәні үшін
теңдігі орындалатын бір Т саны бар болса, онда f(x) периодты функция,
Т ол функциясының периоды деп аталады.
Периодты функциялардың мынадай негізгі қасиеттері бар;
1) егер Т саны f(x) функциясының периоды болса, онда nТ (n – бүтін сан )
сандары да сол функцияның периоды болады, демек
2) периодтары бірдей функциялардың қосындысы, айырымы, көбейтіндісі және
қатынасы да периодты функция болады;
3) егер f(x) периодты функция период ұзындығы Т- ға тең кесіндіде
интегралданса, ол функция ұзындығы Т- ға тең кез келген кесіндіде
интегралданады және мына теңдік орындалады:
Шынында да, егер f(x) функциясы [x;x+T] кесіндісінде интегралданатын
болса онда
Енді осы өрнекті күрделі функцияны туындалу ережесімен х бойынша
дифференциалдасақ
Бұдан J=C, яғни интеграл х- ке тәуелді емес.
Тербеліс процестерін ( құбылыстарын) өрнектейтін қарапайым периодты
функция y=Asin( гормоника деп аталады. Мұндағы A, және -
тұрақты сандар. A – гармониканың амплитудасы,- гармониканың жиілігі,
гармониканың алғашқы фазасы деп аталады. Х – айнымалы (уақыт.)
Гармоникалық графигін синусоиданың графигін координаталар осьтері
бағытында қысу не созу (көру) және ОХ осі бойында жылжыту арқылы шығарып
алуға болады.
Элементар математикадан белгілі формуланы
Asin()=A(cos+sin)
Ескеріп a=Asin, в=Acos деп белгілесек, онда
Asin()=acos
Егер десек, . болғандықтан
Asin()=Asin()=acos яғни период болатын гармоникалық екі
тригонометриялық функцияның қосындысы түрінде жазуға болады.
Фурье қатарының теориясы периодты функцияларға бейімделген.
Сондықтан [a;b] кесіндісінде анықталған периодсыз функциялардың көптеген
кластарын осы теорияның көмегі мен зерттеуге болады. Ол үшін осы [a;b]
кесіндісінде анықталған периодсыз функцияны бүкіл сан осінде периодты
болатын етіп түсіндіру керек. Ол үшін, нақтылы берілген есептер жағдайында,
берілген функцияны [a;b] кесіндісінің сыртына периодты созу әдісі
қолданылады.
Анықтама. Қандайда бір [a;b] кесіндісінде берілген f(x)
функциясының периодты созындысы деп, бүкіл сан осінің бойында анықталған ,
[a;b] кесіндісінде f(x) функциясына айналатын ( тең ) және периодты сол
кесіндінің ұзындығына тең болатын F(x) функциясын айтады.
1.2.Тригонометриялық көпмүшеліктер.
Периодты T=2l болатын
cosx+sinx, (k=1,2...)
(1.2.1)
түріндегі жиіліктер =, периодтары сандарына тең
гармоникаларды қарастырайық.
Мұнда T=k саны (1.2.l) түріндегі гармоникалардың периоды.
Сондықтан
Түріндегі тригономертиялық көпмүше периоды T=2l болатын функция
болады. Қатар
Тригонометриялық қатар деп аталады.
Осы қатарда десек онда
Түріне келеді және ол тригонометриялық қатарларының негізгі түрі болып
табылады. Енді және коэффициенттерін анықтау кезінде керек
болатын бірнеше көмекші формулалар келтірейік. Егер n болса онда
кез келген m және n ( үшін
келгент m және n сандары үшін
егер m=n болса, онда
Бұл формулалар ұзындықтары 2 - ге тең интервалдар үшін де
орындалады.
1.3 Фурье қатары. Фурье коэффициенттері.
Бізге аралығында анықталған периоды T=2l болатын f(x) функциясы
берілсін. Енді f(x) функциясы бір қалыпты жинақталатын тригонометриялық
қатарға жіктелсін, яғни
болсын.
Қатар (1.3.1) бір қалыпты жинақталады деп жорығандықтан, оны
аралығында мүшелеп интегралдауға болады, демек
Сонда бұл теңдіктен (k=1,2,3,...).
немесе
Ал қалған (k=1,2,3,...). коэффициенттерін анықтау үшін (1.3.1)
қатардың екі жағын cosnx (N өрнегіне көбейтеміз.( одан қатардың бір
қалыпты жинақтылығы бұзылмайды)-де мен аралығында
интегралдаймыз.
Бұл теңдіктің оң жағында тек k=n болғандағы интегралынан басқаларының
барлығы да нольге айналады, яғни
Бұдан
Немесе
Енді (1.3.1) қатардың екі жағын sin nx өрнегіне көбейтіп
аралығында интегралдасақ, онда оң жағында тек k=n болғандағы интегралдан
басқаларының барлығы нольге айналады, сондықтан
болып анықталады.
Сонымен (1.3.2),(1.3.3),(1.3.4) формулаларының көмегімен анықталған
коэффициенттерді Фурье коэффициенттері деп, ал осындай коэффициенттері бар
Қатарын f(x) функциясының Фурье қатары деп аталады.
Бұл формулалардан периоды 2 - ге тең кез келген
интегралданатын f(x) функциясына сәйкес Фурье қатарын құруға болады деген
маңызды қорытынды шығады. Ал бірақ осы Фурье қатары әрқашанда f(x)
функциясына бір қалыпты жинақталады деген қорытынды шықпайды.
Дирихле теоремасы. Егер f(x)функциясы периоды 2 - ге тең [a;b]
кесіндісінде абсолют интегралданатын үзік – жатық функциясы болса, оның
Фурье қатары [a;b] аралығының барлық нүктелері үшін жинақталады, сонымен
бірге х – үзіліс нүктесі болмаса, қатардың қосындысы f(x) функциясына, ал
x= - үзіліс нүктесі болса, онда -ке тең болады.
1.4.Жұп және тақ функциялардың Фурье қатарларына жіктеу.
Егер барлық сан осінде анықталған f(x) функциясы үшін координаталар
басына симметриялы орналасқан кез келген кесінді де f(x) = f(-x) теңдігі
орындалса, ол жұп, ал егер f(x) = - f(-x) теңдігі орындалса, ол тақ
функция деп аталатыны бізге белгілі. Сонымен бірге біз жұп функцияның
графигі ординаталар осіне, ал тақ функцияның графигі ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz