Ықтималдықтар теориясының классикалық анықтамасы
Кіріспе.
1. Ықтималдықтар теориясы.
2. Кездейсоқ оқиғалар. Оқиғалар алгебрасы.
3. Ықтималдықтың классикалық жəне статистикалық анықтамасы.
4. Ықтималдықтарды қосу теоремасы.
5. Ықтималдықтарды көбейту теоремасы. Тəуелді жəне тəуелсіз оқиғалар.
6. Толық ықтималдық формуласы. Байес формуласы.
Қорытынды.
Пайдаланған әдебиеттер.
1. Ықтималдықтар теориясы.
2. Кездейсоқ оқиғалар. Оқиғалар алгебрасы.
3. Ықтималдықтың классикалық жəне статистикалық анықтамасы.
4. Ықтималдықтарды қосу теоремасы.
5. Ықтималдықтарды көбейту теоремасы. Тəуелді жəне тəуелсіз оқиғалар.
6. Толық ықтималдық формуласы. Байес формуласы.
Қорытынды.
Пайдаланған әдебиеттер.
Əр ғылымда сонша шындық бар,
онда қанша математика болса
Леонардо да Винчи
КІРІСПЕ
Кез келген ғылымның, оның ішінде экономикалық ғылымның негізгі мақсаты өмірдей процесстер бағынатын заңдылықтарды жауып жəне зерттеу. Экономикаға қатысы бар табылған заңдылықтардың тек қана теориялық маңызды емес, онымен қатар олар практикада да – жоспарлауда, басқаруда жəне болжауда да қолданылады.
Ықтималдықтар теориясы – математикалық ғылым, ол кездейсоқ оқиғалардың заңдылықтарын зерттейді.
Көптеген, ең алдымен əлеуметтік – экономикалық құбылыстарды зерттегенде тек қана негізгі факторларды ғана емес, кездейсоқ толқынысқа əкелетін жəне нəтижені бұрмалауға соқтыратын, яғни екіұшты күйге келтіретін жағдайларды ескеру керек. Осындай бақылайтын кездейсоқ құбылыстардың спецификалық заңдылықтарын зерттеуге арналған əдістерді жетілдірумен ықтималдық теориясы айналысады.
Математикалық статистика – математиканың бөлігі, ол статикалық заңдылықты көрсету мақсатынан бақылау нəтижелерін жинау əдістерін зерттеумен, оны жүйелеп жəне өңдеумен айналысады. Математикалық статистика ықтималдық теориясына сүйенеді. Ол кейбір шекті немесе үлкен шексіз генералдық жиыннан алынған таңдаманы көрсететін кездейсоқ шаманы бақылаудан алынған нəтижелермен жұмыс істейді. Ықтималдық теорияны қолдана отырып математикалық статистика көптеген іздестіріп отырған мінездемелерді бағалайды жəне берілген мағлұматтарды өңдегенде шығатын тұжырымдардың дəлдігін анықтайды.
Ықтималдық теориядан өткен ғасырлардағы көрнекті математиктер қатарында: Д.Кардано, Б.Паскаль, П.Ферма, Х.Гюйгенс, Я.Бернулли, А.Муавр, П.Лаплас, К.Гаусс, С.Пуассон. Орыс математиктері: А.М.Ляпунов, А.А.Марков. Ықтималдық теория жəне математикалық статистика саласындағы осы кезеңдегі математиктер: С.Н.Бернштейн, В.И.Романовский, А.Н.Колмогоров, А.Я.Хинчин, Ю.В.Линник, Б.В.Гнеденко, Н.В.Смирнов, Ю.В.Прохоров, Стьюдент, Р.Фишер, Э.Пирсон, Е.Нейман, А.Валь
онда қанша математика болса
Леонардо да Винчи
КІРІСПЕ
Кез келген ғылымның, оның ішінде экономикалық ғылымның негізгі мақсаты өмірдей процесстер бағынатын заңдылықтарды жауып жəне зерттеу. Экономикаға қатысы бар табылған заңдылықтардың тек қана теориялық маңызды емес, онымен қатар олар практикада да – жоспарлауда, басқаруда жəне болжауда да қолданылады.
Ықтималдықтар теориясы – математикалық ғылым, ол кездейсоқ оқиғалардың заңдылықтарын зерттейді.
Көптеген, ең алдымен əлеуметтік – экономикалық құбылыстарды зерттегенде тек қана негізгі факторларды ғана емес, кездейсоқ толқынысқа əкелетін жəне нəтижені бұрмалауға соқтыратын, яғни екіұшты күйге келтіретін жағдайларды ескеру керек. Осындай бақылайтын кездейсоқ құбылыстардың спецификалық заңдылықтарын зерттеуге арналған əдістерді жетілдірумен ықтималдық теориясы айналысады.
Математикалық статистика – математиканың бөлігі, ол статикалық заңдылықты көрсету мақсатынан бақылау нəтижелерін жинау əдістерін зерттеумен, оны жүйелеп жəне өңдеумен айналысады. Математикалық статистика ықтималдық теориясына сүйенеді. Ол кейбір шекті немесе үлкен шексіз генералдық жиыннан алынған таңдаманы көрсететін кездейсоқ шаманы бақылаудан алынған нəтижелермен жұмыс істейді. Ықтималдық теорияны қолдана отырып математикалық статистика көптеген іздестіріп отырған мінездемелерді бағалайды жəне берілген мағлұматтарды өңдегенде шығатын тұжырымдардың дəлдігін анықтайды.
Ықтималдық теориядан өткен ғасырлардағы көрнекті математиктер қатарында: Д.Кардано, Б.Паскаль, П.Ферма, Х.Гюйгенс, Я.Бернулли, А.Муавр, П.Лаплас, К.Гаусс, С.Пуассон. Орыс математиктері: А.М.Ляпунов, А.А.Марков. Ықтималдық теория жəне математикалық статистика саласындағы осы кезеңдегі математиктер: С.Н.Бернштейн, В.И.Романовский, А.Н.Колмогоров, А.Я.Хинчин, Ю.В.Линник, Б.В.Гнеденко, Н.В.Смирнов, Ю.В.Прохоров, Стьюдент, Р.Фишер, Э.Пирсон, Е.Нейман, А.Валь
1. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: Банки и биржи. ЮНИТИ, 1997г.
2. Кельтенова Р.Т., Утегалиева Ф.У. Руководство к решению задач по высшей математике Алматы, Мектеп, 1989г.
3. Казешев А.К., Нурпеисов С.А. Сборник задач по курсу высшей математики для экономических специальностей, Алматы. Научно-издательский центр «Гылым», 2002г.
4. Тунгатаров А.Б. Экономикалық мамандықтарға арналған жоғары математика курсы 1-2 – бөлім “Экономика баспасы”, Алматы, 2001ж.
5. Қазешев А.К., Нурпеисов С.А. Экономикалық мамандықтарға арналған жоғары математика есептер жинағы, Алматы, «Ғылым баспа орталығы», 2003ж.
6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по ТВ и МС. М., ВШ., 1997г.
7. Жанбырбаев Б.С. Ықтималдықтар теориясы жəне математикалық статистика элементтері, Алматы, мектеп, 1986ж.
8.Шипачев В.М. Высшая математика, т.1,2, М. Высшая школа, 1985г.
9.Қазешев А.Қ., Абенов М.М., Қойлыбаев У.Қ. Ықтималдықтар теориясы жəне математика статистика элементтері. Алматы, 1996ж.
10.Қазешев А.Қ. Ықтималдықтар теориясы бойынша есептер шығару. Алматы, 1991ж.
11.Нурпеисов С.А., Сатыбалдиев О.С. Экономикалық мамандықтарға арналған ықтималдықтар теориясы жəне математикалық статистика курсы бойынша 20 лекция, Алматы, 2003ж.
2. Кельтенова Р.Т., Утегалиева Ф.У. Руководство к решению задач по высшей математике Алматы, Мектеп, 1989г.
3. Казешев А.К., Нурпеисов С.А. Сборник задач по курсу высшей математики для экономических специальностей, Алматы. Научно-издательский центр «Гылым», 2002г.
4. Тунгатаров А.Б. Экономикалық мамандықтарға арналған жоғары математика курсы 1-2 – бөлім “Экономика баспасы”, Алматы, 2001ж.
5. Қазешев А.К., Нурпеисов С.А. Экономикалық мамандықтарға арналған жоғары математика есептер жинағы, Алматы, «Ғылым баспа орталығы», 2003ж.
6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по ТВ и МС. М., ВШ., 1997г.
7. Жанбырбаев Б.С. Ықтималдықтар теориясы жəне математикалық статистика элементтері, Алматы, мектеп, 1986ж.
8.Шипачев В.М. Высшая математика, т.1,2, М. Высшая школа, 1985г.
9.Қазешев А.Қ., Абенов М.М., Қойлыбаев У.Қ. Ықтималдықтар теориясы жəне математика статистика элементтері. Алматы, 1996ж.
10.Қазешев А.Қ. Ықтималдықтар теориясы бойынша есептер шығару. Алматы, 1991ж.
11.Нурпеисов С.А., Сатыбалдиев О.С. Экономикалық мамандықтарға арналған ықтималдықтар теориясы жəне математикалық статистика курсы бойынша 20 лекция, Алматы, 2003ж.
Реферат
Реферат
Тақырыбы: Ықтималдықтар теориясының классикалық анықтамасы.
Орындаған:
Қабылдаған:
Тараз
Жоспар:
Кіріспе.
1. Ықтималдықтар теориясы.
2. Кездейсоқ оқиғалар. Оқиғалар алгебрасы.
3. Ықтималдықтың классикалық жəне статистикалық анықтамасы.
4. Ықтималдықтарды қосу теоремасы.
5. Ықтималдықтарды көбейту теоремасы. Тəуелді жəне тəуелсіз оқиғалар.
6. Толық ықтималдық формуласы. Байес формуласы.
Қорытынды.
Пайдаланған әдебиеттер.
Əр ғылымда сонша шындық бар,
онда қанша математика болса
Леонардо да Винчи
КІРІСПЕ
Кез келген ғылымның, оның ішінде экономикалық ғылымның негізгі мақсаты өмірдей процесстер бағынатын заңдылықтарды жауып жəне зерттеу. Экономикаға қатысы бар табылған заңдылықтардың тек қана теориялық маңызды емес, онымен қатар олар практикада да - жоспарлауда, басқаруда жəне болжауда да қолданылады.
Ықтималдықтар теориясы - математикалық ғылым, ол кездейсоқ оқиғалардың заңдылықтарын зерттейді.
Көптеген, ең алдымен əлеуметтік - экономикалық құбылыстарды зерттегенде тек қана негізгі факторларды ғана емес, кездейсоқ толқынысқа əкелетін жəне нəтижені бұрмалауға соқтыратын, яғни екіұшты күйге келтіретін жағдайларды ескеру керек. Осындай бақылайтын кездейсоқ құбылыстардың спецификалық заңдылықтарын зерттеуге арналған əдістерді жетілдірумен ықтималдық теориясы айналысады.
Математикалық статистика - математиканың бөлігі, ол статикалық заңдылықты көрсету мақсатынан бақылау нəтижелерін жинау əдістерін зерттеумен, оны жүйелеп жəне өңдеумен айналысады. Математикалық статистика ықтималдық теориясына сүйенеді. Ол кейбір шекті немесе үлкен шексіз генералдық жиыннан алынған таңдаманы көрсететін кездейсоқ шаманы бақылаудан алынған нəтижелермен жұмыс істейді. Ықтималдық теорияны қолдана отырып математикалық статистика көптеген іздестіріп отырған мінездемелерді бағалайды жəне берілген мағлұматтарды өңдегенде шығатын тұжырымдардың дəлдігін анықтайды.
Ықтималдық теориядан өткен ғасырлардағы көрнекті математиктер қатарында: Д.Кардано, Б.Паскаль, П.Ферма, Х.Гюйгенс, Я.Бернулли, А.Муавр, П.Лаплас, К.Гаусс, С.Пуассон. Орыс математиктері: А.М.Ляпунов, А.А.Марков. Ықтималдық теория жəне математикалық статистика саласындағы осы кезеңдегі математиктер: С.Н.Бернштейн, В.И.Романовский, А.Н.Колмогоров, А.Я.Хинчин, Ю.В.Линник, Б.В.Гнеденко, Н.В.Смирнов, Ю.В.Прохоров, Стьюдент, Р.Фишер, Э.Пирсон, Е.Нейман, А.Валь
Кездейсоқ оқиғалар. Оқиғалар алгебрасы
Ықтималдықтар теориясында, ең бастапқы ұғымдар - оқиға мен ықтималдық.
Оқиға деп жасалған тəжiрибеде, бақылауда шығатын нəтиженi айтады. Оқиғалар үш түрге бөлiнедi: ақиқат, мүмкiн емес жəне кездейсоқ
болады.
Егер оқиға сөзсiз пайда болатын болса, онда ақиқат деп атайды. Егер оқиға мүлде пайда болмайтын болса, онда оны мүмкiн емес деп атайды.
Егер оқиғаның пайда болатындығын, не пайда болмайтындығын алдын ала айтуға болмайтын болса, онда оны кездейсоқ деп атайды.
Кездейсоқ оқиғалар латынның А, В, С... бас əрiптерiмен белгiленедi. Бiртектi кездейсоқ оқиғалардың заңдылықтарын зерттейтiн
математиканың бөлiгiн, ықтималдықтар теориясы деп атайды. Ықтималдықтарды анықтау үшiн қосымша анықтамалар келтiрейiк. Айталық, А1, А2,...Аn саны шектелген оқиғалар болсын.
Егер бұл оқиғалардың бi реуiн iң пайда болуы, екiншiсiнiң пайда болуын жоққа шығармайтын болса, онда оқиғаларды үйлесiмдi деп айтады. Егер бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiн жоққа шығаратын болса, онда оқиғаларды үйлесiмсiз деп айтады.
Егер бұл оқиғалардың бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болуынан артықшылықта болмайтын болса, онда оларды тең мүмкiндi деп атайды.
Егер осы оқиғалардың ең болмағанда бiреуi пайда болатын болса, онда оларды бiрден-бiр мүмкiн деп атайды.
Егер А1, А2, ...Аn үйлесiмiз жəне бiрден-бiр мүмкiн оқиғалар болса, онда
бұларды оқиғалардың толық жүйесi деп атайды.
Бiр- бiрiне үйлесiмсiз, бiрден-бiр мүмкiн екi оқиғаны бiр-бiрiне керi деп атайды.
Егер А деп оқиғаны белгiлесе, онда А деп оған керi оқиғаны белгiлейдi. Ендi оқиғаларға алгебралық амалдар қалай қолданатынын
қарастырайық.
Анықтама. Егер А-ның пайда болуы немесе В-ның пайда болуы, немесе екеу iнiң пайда болу оқиғасын С деп белгiлесек, онда С оқиғасын А мен В-ның қосындысы деп атайды жəне былай белгiлейдi:
С = A + B немесе C = A ∪ B Осыдан, А1 , А2 ,...Аn оқиғалардың қосындысы
2 ,..., w n
С = A ∩ В
C=i=lbAi немесе C= i=lnAi
Егер A1,A2, ... An толық жүйе құрайтын болса, онда i=lnAi=Ω, Ω - бос жиын.
Анықтама. Егер С- оқиғасы А жəне В оқиғалардың бiрдей пайда болуынан қалыптасатын болса, онда С оқиғасын А жəне В-ның көбейтiндiсi (қиылысуы) деп атайды жəне былай белгiлейдi:
С=A⋅B немесе С=А ∩ В
Ал А1, А2 ,...Аn оқиғаларының көбейтiндiсi:
Анықтама. А оқиғасы болатын, ал В оқиғасы болмайтын оқиғаны С деп белгiлесек, С оқиғаны А мен В-ның айырмасы деп атайды жəне былай белгiлейдi:
С=A1∙A2∙... An=i=lnAiнемесе С=i=lnAi
С=A-B немесе С=A\B.
Жоғарыда берiлген анықтамалардан мынадай теңдiктер орындалады:
Ықтималдықтың классикалық жəне статистикалық анықтамасы. Комбинаториканың негiзгi формулалары
Кез келген тəжiрибеде б iр-бiрiне қайшы келетiн немесе қолдайтын нəтижелер көп болуы мүмкiн. Айталық, жасалатын тəжiрибеде бiр жəне тең
мүмкiндi, үйлесiмсiз w1,w2, ... ..,wn мүмкiндiктерi (жағдайлары) бар болсын.
Егер А оқиғасы осының m жағдайында пайда болып, қалған n − m жағдайда пайда болмайтын болса, онда А оқиғасына m жағдайы қолайлы деп айтады.
Анықтама. А оқиғасының пайда болу ықтималдығы деп m қолайлы жағдайлардың санының n - барлық бiр жəне тең мүмкiндi, үйлесiмсiз жағдайлардың санына қатынасын атайды, яғни
P(A) = mn.
Бұл анықтаманы бiрiншi француз математигi Лаплас берген жəне оны
Ықтималдықтың классикалық анықтамасы деп атайды.
Осы анықтамадан шығатын кейбiр қасиеттердi атап өтелiк.
Ақиқат оқиғаның ықтималдығы бiрге тең болдады.
Мүмкiн емес оқиғаның ықтималдығы нольге тең болады.
Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы 0 P(A) 1 арасында болады.
Жоғарыда берiлген ықтималдықтың классикалық анықтамасы көп қолданыла бермейдi. Егер оның бiр мүмкiндi, тең мүмкiндi жəне үйлесiмсiз шарттарының бiреуi орындалмаса, анықтама жұмыс iстемейдi. Сондықтан, көп жағдайда басқа анықтамаларға көшедi. Соның бiрi - ықтималдықтың статистикалық анықтамасы.
Анықтама. Жасалған тəжiрибелерде А оқиғаның пайда болған санының, барлық тəжiрибенiң санына қатынасын А-ның салыстырмалы жиiлiгi деп атайды, яғни
W = P * (A) = mn,
m - оқиғаның пайда болған саны, n - барлық тəжiрибенiң саны.
Ықтималдық сияқты, 0 = P * (A) = 1 болады.
Осы жерде айтып кетейiк; ықтималдықты тəжiрибе жасамай тұрып есептейдi, ал салыстырмалы жиiлiктi тəжiрибеден кейiн санайды.
Анықтама. А оқиғасының ықтималдығы деп, n мейлiнше үлкен болғандағы салыстырмалы жиiлiк төңiрегiнде топталатын P(A) санын атайды.
Бұл анықтаманы ықтималдықтың статистикалық анықтамасы деп атайды.
Ықтималдықты есептеу үшiн, кейбiр жағдайда, комбинаториканың формулаларын қолдануға тура келедi. Осы комбинаториканың үш түрлi формулаларын келтiрейiк.
Анықтама. n элементтен k - дан алынған орналастырулар деп бiр-бiрiнен өзгешелiктерi əрi элементтерiнде, əрi элементтердiң реттерiнде болатын қосылыстарды атайды.
Орналастырулар табу үшiн
An[k] = n(n −1)(n − 2)...(n − k + 1)
формуласын қолданады.
Анықтама. n элементтен n - нен жасалған орналасыруларды n элементтен жасалған алмастырулар деп атайды жəне мына формуламен есептейдi:
Pn = n!= n(n − 1)(n − 2)...3 ⋅ 2 ⋅1 .
Анықтама. Берiлген n элементтен k - дан жасалған терулер деп айырмашылықтары ең болмағанда бiр элементте болатын қосылыстарды айтады жəне мына формуламен есептейдi:
Ckn=n!k!n-k!=nn-1n-2...(n-k+1)1∙2∙3 ...k
Жоғарыдағы анықтамасы берiлген өлшемдердiң арасында мынадай қатынас бар:
Ckn=AknPk
Ықтималдықтарды қосу теоремасы
Теорема. Екi үйлесiмсiз оқиғалардың қосындысының ықтималдығы, олардың ықтималдықтарының қосындысына тең:
P(A + B) = P(A) + P(B)
Дəлелдеу. Бiр жəне тең мүмкiндi үйлесiмсiз n жағдайлардың m1
жағдайы А оқиғаға, ал m2 жағдайы В оқиғаға қолайлы болсын, онда
PA=m1n және PB=m2n
А жəне В үйлесiмсiз болғандықтан А+В оқиғаға m1 + m2 жағдай қолайлы болады (m1 + m2 = n) . Сондықтан
PA+B=m1+m2n=m1n+m2n=PA+P(B)
Яғни, теорема дəлелдендi.
Осы сияқты A1, A 2 ,...A n үйлесiмсiз ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Реферат
Тақырыбы: Ықтималдықтар теориясының классикалық анықтамасы.
Орындаған:
Қабылдаған:
Тараз
Жоспар:
Кіріспе.
1. Ықтималдықтар теориясы.
2. Кездейсоқ оқиғалар. Оқиғалар алгебрасы.
3. Ықтималдықтың классикалық жəне статистикалық анықтамасы.
4. Ықтималдықтарды қосу теоремасы.
5. Ықтималдықтарды көбейту теоремасы. Тəуелді жəне тəуелсіз оқиғалар.
6. Толық ықтималдық формуласы. Байес формуласы.
Қорытынды.
Пайдаланған әдебиеттер.
Əр ғылымда сонша шындық бар,
онда қанша математика болса
Леонардо да Винчи
КІРІСПЕ
Кез келген ғылымның, оның ішінде экономикалық ғылымның негізгі мақсаты өмірдей процесстер бағынатын заңдылықтарды жауып жəне зерттеу. Экономикаға қатысы бар табылған заңдылықтардың тек қана теориялық маңызды емес, онымен қатар олар практикада да - жоспарлауда, басқаруда жəне болжауда да қолданылады.
Ықтималдықтар теориясы - математикалық ғылым, ол кездейсоқ оқиғалардың заңдылықтарын зерттейді.
Көптеген, ең алдымен əлеуметтік - экономикалық құбылыстарды зерттегенде тек қана негізгі факторларды ғана емес, кездейсоқ толқынысқа əкелетін жəне нəтижені бұрмалауға соқтыратын, яғни екіұшты күйге келтіретін жағдайларды ескеру керек. Осындай бақылайтын кездейсоқ құбылыстардың спецификалық заңдылықтарын зерттеуге арналған əдістерді жетілдірумен ықтималдық теориясы айналысады.
Математикалық статистика - математиканың бөлігі, ол статикалық заңдылықты көрсету мақсатынан бақылау нəтижелерін жинау əдістерін зерттеумен, оны жүйелеп жəне өңдеумен айналысады. Математикалық статистика ықтималдық теориясына сүйенеді. Ол кейбір шекті немесе үлкен шексіз генералдық жиыннан алынған таңдаманы көрсететін кездейсоқ шаманы бақылаудан алынған нəтижелермен жұмыс істейді. Ықтималдық теорияны қолдана отырып математикалық статистика көптеген іздестіріп отырған мінездемелерді бағалайды жəне берілген мағлұматтарды өңдегенде шығатын тұжырымдардың дəлдігін анықтайды.
Ықтималдық теориядан өткен ғасырлардағы көрнекті математиктер қатарында: Д.Кардано, Б.Паскаль, П.Ферма, Х.Гюйгенс, Я.Бернулли, А.Муавр, П.Лаплас, К.Гаусс, С.Пуассон. Орыс математиктері: А.М.Ляпунов, А.А.Марков. Ықтималдық теория жəне математикалық статистика саласындағы осы кезеңдегі математиктер: С.Н.Бернштейн, В.И.Романовский, А.Н.Колмогоров, А.Я.Хинчин, Ю.В.Линник, Б.В.Гнеденко, Н.В.Смирнов, Ю.В.Прохоров, Стьюдент, Р.Фишер, Э.Пирсон, Е.Нейман, А.Валь
Кездейсоқ оқиғалар. Оқиғалар алгебрасы
Ықтималдықтар теориясында, ең бастапқы ұғымдар - оқиға мен ықтималдық.
Оқиға деп жасалған тəжiрибеде, бақылауда шығатын нəтиженi айтады. Оқиғалар үш түрге бөлiнедi: ақиқат, мүмкiн емес жəне кездейсоқ
болады.
Егер оқиға сөзсiз пайда болатын болса, онда ақиқат деп атайды. Егер оқиға мүлде пайда болмайтын болса, онда оны мүмкiн емес деп атайды.
Егер оқиғаның пайда болатындығын, не пайда болмайтындығын алдын ала айтуға болмайтын болса, онда оны кездейсоқ деп атайды.
Кездейсоқ оқиғалар латынның А, В, С... бас əрiптерiмен белгiленедi. Бiртектi кездейсоқ оқиғалардың заңдылықтарын зерттейтiн
математиканың бөлiгiн, ықтималдықтар теориясы деп атайды. Ықтималдықтарды анықтау үшiн қосымша анықтамалар келтiрейiк. Айталық, А1, А2,...Аn саны шектелген оқиғалар болсын.
Егер бұл оқиғалардың бi реуiн iң пайда болуы, екiншiсiнiң пайда болуын жоққа шығармайтын болса, онда оқиғаларды үйлесiмдi деп айтады. Егер бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiн жоққа шығаратын болса, онда оқиғаларды үйлесiмсiз деп айтады.
Егер бұл оқиғалардың бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болуынан артықшылықта болмайтын болса, онда оларды тең мүмкiндi деп атайды.
Егер осы оқиғалардың ең болмағанда бiреуi пайда болатын болса, онда оларды бiрден-бiр мүмкiн деп атайды.
Егер А1, А2, ...Аn үйлесiмiз жəне бiрден-бiр мүмкiн оқиғалар болса, онда
бұларды оқиғалардың толық жүйесi деп атайды.
Бiр- бiрiне үйлесiмсiз, бiрден-бiр мүмкiн екi оқиғаны бiр-бiрiне керi деп атайды.
Егер А деп оқиғаны белгiлесе, онда А деп оған керi оқиғаны белгiлейдi. Ендi оқиғаларға алгебралық амалдар қалай қолданатынын
қарастырайық.
Анықтама. Егер А-ның пайда болуы немесе В-ның пайда болуы, немесе екеу iнiң пайда болу оқиғасын С деп белгiлесек, онда С оқиғасын А мен В-ның қосындысы деп атайды жəне былай белгiлейдi:
С = A + B немесе C = A ∪ B Осыдан, А1 , А2 ,...Аn оқиғалардың қосындысы
2 ,..., w n
С = A ∩ В
C=i=lbAi немесе C= i=lnAi
Егер A1,A2, ... An толық жүйе құрайтын болса, онда i=lnAi=Ω, Ω - бос жиын.
Анықтама. Егер С- оқиғасы А жəне В оқиғалардың бiрдей пайда болуынан қалыптасатын болса, онда С оқиғасын А жəне В-ның көбейтiндiсi (қиылысуы) деп атайды жəне былай белгiлейдi:
С=A⋅B немесе С=А ∩ В
Ал А1, А2 ,...Аn оқиғаларының көбейтiндiсi:
Анықтама. А оқиғасы болатын, ал В оқиғасы болмайтын оқиғаны С деп белгiлесек, С оқиғаны А мен В-ның айырмасы деп атайды жəне былай белгiлейдi:
С=A1∙A2∙... An=i=lnAiнемесе С=i=lnAi
С=A-B немесе С=A\B.
Жоғарыда берiлген анықтамалардан мынадай теңдiктер орындалады:
Ықтималдықтың классикалық жəне статистикалық анықтамасы. Комбинаториканың негiзгi формулалары
Кез келген тəжiрибеде б iр-бiрiне қайшы келетiн немесе қолдайтын нəтижелер көп болуы мүмкiн. Айталық, жасалатын тəжiрибеде бiр жəне тең
мүмкiндi, үйлесiмсiз w1,w2, ... ..,wn мүмкiндiктерi (жағдайлары) бар болсын.
Егер А оқиғасы осының m жағдайында пайда болып, қалған n − m жағдайда пайда болмайтын болса, онда А оқиғасына m жағдайы қолайлы деп айтады.
Анықтама. А оқиғасының пайда болу ықтималдығы деп m қолайлы жағдайлардың санының n - барлық бiр жəне тең мүмкiндi, үйлесiмсiз жағдайлардың санына қатынасын атайды, яғни
P(A) = mn.
Бұл анықтаманы бiрiншi француз математигi Лаплас берген жəне оны
Ықтималдықтың классикалық анықтамасы деп атайды.
Осы анықтамадан шығатын кейбiр қасиеттердi атап өтелiк.
Ақиқат оқиғаның ықтималдығы бiрге тең болдады.
Мүмкiн емес оқиғаның ықтималдығы нольге тең болады.
Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы 0 P(A) 1 арасында болады.
Жоғарыда берiлген ықтималдықтың классикалық анықтамасы көп қолданыла бермейдi. Егер оның бiр мүмкiндi, тең мүмкiндi жəне үйлесiмсiз шарттарының бiреуi орындалмаса, анықтама жұмыс iстемейдi. Сондықтан, көп жағдайда басқа анықтамаларға көшедi. Соның бiрi - ықтималдықтың статистикалық анықтамасы.
Анықтама. Жасалған тəжiрибелерде А оқиғаның пайда болған санының, барлық тəжiрибенiң санына қатынасын А-ның салыстырмалы жиiлiгi деп атайды, яғни
W = P * (A) = mn,
m - оқиғаның пайда болған саны, n - барлық тəжiрибенiң саны.
Ықтималдық сияқты, 0 = P * (A) = 1 болады.
Осы жерде айтып кетейiк; ықтималдықты тəжiрибе жасамай тұрып есептейдi, ал салыстырмалы жиiлiктi тəжiрибеден кейiн санайды.
Анықтама. А оқиғасының ықтималдығы деп, n мейлiнше үлкен болғандағы салыстырмалы жиiлiк төңiрегiнде топталатын P(A) санын атайды.
Бұл анықтаманы ықтималдықтың статистикалық анықтамасы деп атайды.
Ықтималдықты есептеу үшiн, кейбiр жағдайда, комбинаториканың формулаларын қолдануға тура келедi. Осы комбинаториканың үш түрлi формулаларын келтiрейiк.
Анықтама. n элементтен k - дан алынған орналастырулар деп бiр-бiрiнен өзгешелiктерi əрi элементтерiнде, əрi элементтердiң реттерiнде болатын қосылыстарды атайды.
Орналастырулар табу үшiн
An[k] = n(n −1)(n − 2)...(n − k + 1)
формуласын қолданады.
Анықтама. n элементтен n - нен жасалған орналасыруларды n элементтен жасалған алмастырулар деп атайды жəне мына формуламен есептейдi:
Pn = n!= n(n − 1)(n − 2)...3 ⋅ 2 ⋅1 .
Анықтама. Берiлген n элементтен k - дан жасалған терулер деп айырмашылықтары ең болмағанда бiр элементте болатын қосылыстарды айтады жəне мына формуламен есептейдi:
Ckn=n!k!n-k!=nn-1n-2...(n-k+1)1∙2∙3 ...k
Жоғарыдағы анықтамасы берiлген өлшемдердiң арасында мынадай қатынас бар:
Ckn=AknPk
Ықтималдықтарды қосу теоремасы
Теорема. Екi үйлесiмсiз оқиғалардың қосындысының ықтималдығы, олардың ықтималдықтарының қосындысына тең:
P(A + B) = P(A) + P(B)
Дəлелдеу. Бiр жəне тең мүмкiндi үйлесiмсiз n жағдайлардың m1
жағдайы А оқиғаға, ал m2 жағдайы В оқиғаға қолайлы болсын, онда
PA=m1n және PB=m2n
А жəне В үйлесiмсiз болғандықтан А+В оқиғаға m1 + m2 жағдай қолайлы болады (m1 + m2 = n) . Сондықтан
PA+B=m1+m2n=m1n+m2n=PA+P(B)
Яғни, теорема дəлелдендi.
Осы сияқты A1, A 2 ,...A n үйлесiмсiз ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz