Рационал және иррационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістері

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
1 РАЦИОНАЛ ЖӘНЕ ИРРАЦИОНАЛ ТЕҢДЕУЛЕР
1.1 Рационал өрнек және оның қарапайым түрі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6
1.2 Безу теоремасы. Көпмүшеліктердің түбірлері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
1.3 Бөлшек . рационал теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
1.4 Түрлендіру әдістерімен теңдеулерді шешу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... 13
1.5 Бір айнымалылы бүтін рационал теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .16
1.6 Иррационал теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...18
1.7 Иррационал теңдеулерге мысалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..22
2 РАЦИОНАЛ ЖӘНЕ ИРРАЦИОНАЛ ТЕҢСІЗДІКТЕР
2.1 Теңсіздіктер. Мәндес теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..24
2.2 Рационал теңсіздіктерді шешу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 25
2.3 Модулі бар теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .27
2.4 Иррационал теңсіздіктерді шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...29
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .33
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .34

Орта мектепте математикалық білімдер жүйесін оқытуда теңдеулер мен теңдеулер жүйелерінің орны ерекше.Теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін терең түсініп меңгеру математикалық білімдерді одан әрі дамытуға, қоршаған ортадағы сан алуан құбылыстарға, терең мағыналы модельдер жасауға үйретеді. Олай болса, теңдеулер мен теңдеулер жүйелерінің теориялық және практикалық маңызы зор.
Математика оқулықтарында теңдеулер мен теңсіздіктерге байланысты материалдар мектеп математика курсының қомақты бөлігін құрайды, себебі теңдеулер мен теңсіздіктер математиканың түрлі салаларында және маңызды қолданбалы есептерді шығаруда кең қолданыс табады.
Теңдеу мен теңсіздік ұғымы қаншалықты кең болса, олардың шығару әдістеріде соншалықты көп. Сондықтан қазіргі уақытқа дейінгі теңдеулер мен теңсіздіктердің дамуында әр түрлі әдістердің өзгеріп, жаңарып осы ұғымдардың нақтылануы мен басқада математикалық білімдермен байланысын ескеріп отыруды қажет етеді.
Алгебралық кеңінен баяндалатын сандар жүйелері мен функциялар, теңсіздіктер сол сияқты көптеген геометриялық тұжырымдарға байланысты мәселелер, проблемалар логикалық жағынан теңдеулер мен теңдеулер жүйелері мен тығыз байланысты болады. Олай болса, теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелерін аталған маңызды мәселелерден мүлде оқшау жалаң қарастыруға болмайды.
Теңдеу тарихы ерте замандағы математикамен тығыз байланысты.
Мысалы, координат әдісінің және аналитикалық геометрияның пайда болуымен дамуы теңдеулерді тек алгебрада сандар жүйесінде ғана қолданып қоймай әр түрлі геометриялық фигуралар жөніндегі есепке де қолдана бастады. Бұл бағыт алгебраның дамуына өз әсерін тигізді. Теңдеу алгебралық ұғым ретінде өзінің пайда болуы жөнінен негізгі үш бөлікке бөлінеді:
1. теңдеу мазмұнды есептер шешу құралы;
2. теңдеу алгебралық объектіні үйретуге қызмет ететін ерекше формуланың ролін атқарады;
3. теңдеу формула ретінде қосымша санды немесе өзінің шешімі болатын нүктенің координатасын анықтайды.
Сонымен, теңдеу көп аспектілі жалпы математикалық ұғым. Математикалық білім беру ісінде ешбір аспектіні қалдыруға болмайды.
Теңдеу тақырыбының маңыздылығы және ауқымының кеңдігіне байланысты оны осы заманда үйретудің мазмұнды - әдістемелік бағыты – теңдеу және теңдеулер жүйесі. Бұл арада теңдеулер мен теңдеулер жүйелері ұғымын қалыптастыру үшін оларды шешудің жалпы және дербес әдістері, мектеп математикасының курсында санды, функционалдық бағыттар бойынша теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін, теңсіздіктерді үйренудің тығыз байланыстылығы қарастырылады.

1. Шыныбеков Ә. Н., «Алгебра және анализ бастамалары» \ Ж.Б.Б мектептің 10 – сыныбына арналған оқулық, - 2011 жыл. Алматы.
2. Корчевский В. Е., Дарбаева К. И., Балгужинова А.Н. « Математикалық есептерді шешудің әдістемелік негіздері» \ оқу – әдістемелік құрал, -2009 жыл. Петропавл.
3. Виленкин Н. Я., т.б. «Задачник по курсу математического анализа» \ І бөлім, -1971 жыл. Москва.
4. Кулиманова. М. Р. «Математикалық есептерді шешудің әдістемелік негіздері» \ Әдістемелік құрал, - 2010 жыл. Ақтау.
5. «Математика және физика» \ ғылыми – әдістемелік журналы. №2(68), 2013 жыл.
6. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г., «Практикум по элементарной математика (алгебра, тригонометрия) \ 1991 жыл. Москва.
7. Бегеева А. И., «Элемантарлы математика» \ оқу – әдістемелік құрал. 2015 жыл. Орал.
8. Бекбаулиева Ш. т.б., «Алгебра және анализге кіріспе» \ 1991 жыл. Алматы «Ана тілі».
9. Избранные труды. – М.: Наука, 1973г.
Транценденные и алгебрические числа. – М.: Гостехиздат, 1952. 250-271 бб.
10. Сушкевич А.К. Теория чисел. – Харьков: Изд-во Харьковского Гос. Ун-та, 1954г.180-194 бб.
11. Хуа Ло-ген. Тригонометриялыққосындыларәдісіжәнеоныңсандартеориясындақолданылуы.
12. Неміс тілінен аударма А.М.Полосуев. Чуданова Н.Г. «Мир» баспасы,1964, 52-57 бб.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 35 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
М.Өтемісов атындағы Батыс Қазақстан мемлекеттік университеті

Физика - математика факультеті
Физика және математика кафедрасы

Тақырыбы: РАЦИОНАЛ ЖӘНЕ ИРРАЦИОНАЛ ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ

Курстық жұмыс

Орындаған:
Тексерген: жаратылыстану ғылымдарының
магистрі

Орал, 2016 жыл
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
1 РАЦИОНАЛ ЖӘНЕ ИРРАЦИОНАЛ ТЕҢДЕУЛЕР
1.1 Рационал өрнек және оның қарапайым түрі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
1.2 Безу теоремасы. Көпмүшеліктердің түбірлері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ..8
1.3 Бөлшек - рационал теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
1.4 Түрлендіру әдістерімен теңдеулерді шешу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... .13
1.5 Бір айнымалылы бүтін рационал теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ...16
1.6 Иррационал теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...18
1.7 Иррационал теңдеулерге мысалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .22
2 РАЦИОНАЛ ЖӘНЕ ИРРАЦИОНАЛ ТЕҢСІЗДІКТЕР
2.1 Теңсіздіктер. Мәндес теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...24
2.2 Рационал теңсіздіктерді шешу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..25
2.3 Модулі бар теңсіздіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 27
2.4 Иррационал теңсіздіктерді шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 29
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...33
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... 34

КІРІСПЕ

Орта мектепте математикалық білімдер жүйесін оқытуда теңдеулер мен теңдеулер жүйелерінің орны ерекше.Теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін терең түсініп меңгеру математикалық білімдерді одан әрі дамытуға, қоршаған ортадағы сан алуан құбылыстарға, терең мағыналы модельдер жасауға үйретеді. Олай болса, теңдеулер мен теңдеулер жүйелерінің теориялық және практикалық маңызы зор.
Математика оқулықтарында теңдеулер мен теңсіздіктерге байланысты материалдар мектеп математика курсының қомақты бөлігін құрайды, себебі теңдеулер мен теңсіздіктер математиканың түрлі салаларында және маңызды қолданбалы есептерді шығаруда кең қолданыс табады.
Теңдеу мен теңсіздік ұғымы қаншалықты кең болса, олардың шығару әдістеріде соншалықты көп. Сондықтан қазіргі уақытқа дейінгі теңдеулер мен теңсіздіктердің дамуында әр түрлі әдістердің өзгеріп, жаңарып осы ұғымдардың нақтылануы мен басқада математикалық білімдермен байланысын ескеріп отыруды қажет етеді.
Алгебралық кеңінен баяндалатын сандар жүйелері мен функциялар, теңсіздіктер сол сияқты көптеген геометриялық тұжырымдарға байланысты мәселелер, проблемалар логикалық жағынан теңдеулер мен теңдеулер жүйелері мен тығыз байланысты болады. Олай болса, теңдеулер, теңсіздіктер және олардың жүйелерін аталған маңызды мәселелерден мүлде оқшау жалаң қарастыруға болмайды.
Теңдеу тарихы ерте замандағы математикамен тығыз байланысты.
Мысалы, координат әдісінің және аналитикалық геометрияның пайда болуымен дамуы теңдеулерді тек алгебрада сандар жүйесінде ғана қолданып қоймай әр түрлі геометриялық фигуралар жөніндегі есепке де қолдана бастады. Бұл бағыт алгебраның дамуына өз әсерін тигізді. Теңдеу алгебралық ұғым ретінде өзінің пайда болуы жөнінен негізгі үш бөлікке бөлінеді:
1. теңдеу мазмұнды есептер шешу құралы;
2. теңдеу алгебралық объектіні үйретуге қызмет ететін ерекше формуланың ролін атқарады;
3. теңдеу формула ретінде қосымша санды немесе өзінің шешімі болатын нүктенің координатасын анықтайды.
Сонымен, теңдеу көп аспектілі жалпы математикалық ұғым. Математикалық білім беру ісінде ешбір аспектіні қалдыруға болмайды.
Теңдеу тақырыбының маңыздылығы және ауқымының кеңдігіне байланысты оны осы заманда үйретудің мазмұнды - әдістемелік бағыты - теңдеу және теңдеулер жүйесі. Бұл арада теңдеулер мен теңдеулер жүйелері ұғымын қалыптастыру үшін оларды шешудің жалпы және дербес әдістері, мектеп математикасының курсында санды, функционалдық бағыттар бойынша теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін, теңсіздіктерді үйренудің тығыз байланыстылығы қарастырылады.
Теңдеудің пайда болу обылысы және теңдеу ұғымының алгебрадағы атқаратын міндетіне сәйкес мектеп математикасындағы теңдеулер мен теңдеулер жүйелерін үш бағытқа бөлеміз:
А) Қолданбалы бағыт. Теңдеулер мен олардың жүйелерін мазмұнды есептерді шешуге қолдану. Математиканың басқа ғылымда қолданылуын оқытудағы әдістер мен тәсілдер көбінесе теңдеулерге сүйенеді.
Қазіргі математиканың басқа тарауларда қолданылуы көбінесе математикалық модельдеуге байланысты. Осы ұғымды пайдаланып теңдеулер мен олардың жүйелері математикалық модельдеудегі негізгі құрал ретінде аңықталады.
Б) Теңдеу мен теңдеулер жүйелерін үйренудегі теориялық - математикалық бағыт екі аспектіден тұрады:
1. аса маңызды теңдеулер және олардың жүйелерінің класын оқу;
2. бір бағытқа жататын жалпыланған ұғымдармен әдістерді бүтіндей үйрену. Осы екі аспекті де мектеп математикасында аса қажет.
Жалпыланған ұғымдар мен әдістерді қолдану теңдеулер мен олардың жүйелерін үйрену бағытын логикалық жағынан реттейді; олар бөлек класқа жататын есептерді шешудің жалпы тәсілдерін сипаттайды.
Өз кезегінде жалпы ұғымдар мен тәсілдер: белгісіз, теңдік, мәндестік, логикалық келіп шығу, сияқты теңдеу шешудегі негізгі логикалық ұғымдарға сүйенеді.
В) Теңдеулер мен олардың жүйелерін үйрену математикасының басқа тарауларымен байланысын орнату арқылы сипатталады.
Теңдеулер мен олардың жүйелері сан ұғымымен тығыз байланысты. Теңдеу арқылы сан жүйесін біртіндеп кеңейтуге болады. Мектеп алгебрасы мен анализ бастамаларындағы қарастырылатын барлық сандар, барлық нақты сандар теңдеу және теңсіздіктер, олардың жүйелерін шешумен тығыз байланысты. Мұндай байланыстың ең маңыздылығы функцияны зерттеуге теңдеудің қолданылуы (анықтау обылысын табу, таңба, олардың осы аралықтағы түбірлері т.б.). Сондықтан бұл айтылған мәселелер зерттеліп отырған тақырыптың өзектілігін анықтайды.
Зерттеу мақсаты - рационал және иррационал теңдеулер мен теңсіздіктер ұғымына анықтама бере отырып, оларды шешудің түрлі әдістерін жан-жақты зерттеу, оларды есеп шығаруда қолдана білу мәселелерін қарастыру.
Зерттеу пәні - рационал және иррационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістерінің математикалық шарттары.
Зерттеу нысаны - рационал және иррационал теңдеулер мен теңсіздіктерге берілген есептерді шешу барысында кездесетін мәселелерге әдістер қолдануға ықпалы.
Зерттеу болжамы - теңдеулер мен теңдеулер жүйелері оқушыларды еңбек сүйгіштікке тәрбиелейді. Қарастырылатын мәселерді ең тиімді, ұтымды, пайдалы жақтарынан зерттеуге үйретеді. Атқарылатын жұмыстарға терең, салыстырмалы түрде жан - жақты талдаулар жасай отырып, дұрыс жоспар құруға пәрменді көмегін тигізеді. Орындалған жұмыстардың нәтижелеріне сыншыл көзқараспен қорытындылар жасауға үйретеді. Оқушылардың ойлау жүйесінің, ой қорытындыларының ұтымды логикалық жолымен дамуына кең жол салады. Олай болса, теңдеулер мен теңдеулер жүйелері мектеп математикасын басқа салалары сияқты, оқушылардың ойлау жүйесінің жас жеткіншектерге лайықты дамуына, оларды қоғамға, Отанына пайдалы азамат болып қалыптасуына лайықты пайдасын тигізеді.
Курстық жұмыста рационал, иррационал өрнектер, теңдеулер, теңсіздіктер жайында негізгі түсініктер және де оларды шығару әдістері қарастырылды. Курстық жұмыс кіріспе, екі тараудан, бөлімдерден, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

1РАЦИОНАЛ ЖӘНЕ ИРРАЦИОНАЛ ТЕҢДЕУЛЕР
1.1 Рационал өрнек және оның қарапайым түрі

Кез келген көпмүшені бүтін өрнек деп атайды[1].Екі бүтін өрнектің қатынасын рационал өрнек деп атаймыз:

. (1.1.1)

Мұндағы және - берілген көпмүшелер. Бөлшек сандарға ұқсас, рационал өрнектерге де арифметикалық амалдар қолдануға болады:

Егер рационал өрнектің алымы мен бөлімінің ортақ (комплекс) түбірлері болмаса, онда бұл өрнекті қысқартылмайтын бөлшек деп атайды. Рационал сандарға ұқсас, әрбір рационал өрнекті қысқармайтын бөлшек түрінде жазуға болады.
Егер рационал өрнектің алымының дәрежесі бөлімінің дәрежесінен кем болса, онда бұл өрнекті дұрыс бөлшек деп атаймыз. Мұнда нөлдік көпмүшені де дұрыс бөлшек ретінде қарастырамыз.
Теорема. 1.Әрбір рационал өрнек жалғыз ғана түрде бүтін өрнекпен (көпмүше) дұрыс бөлшектердің қосындысы түрінде жазылады.[1]
Дәлелдеуі: Айталық, рационал өрнегі берілсін. Онда көпмүшесін - ке қалдықпен бөлу арқылы теңдігін аламыз. Мұнда - тің дәрежесі - тің дәрежесінен кем. Сонда

(1.1.2)

теңдігі шығады. Енді бұл теңдіктің жалғыздығын көрсетейік.Айталық,

(1.1.3)

теңдігі де орындалсын. Мұнда - тің дәрежесі - тің дәрежесінен кем. Онда (1.1.2) және (1.1.3) теңдіктерден

(1.1.4)

теңдігін аламыз. Оның оң жағында дұрыс бөлшек, ал сол жағында көпмүше орналасқандықтан, немесе болуы керек. Онда не теңдіктері де орындалуы қажет. Теорема дәлелденді.
Рационал өрнектердің (1.1.2) түрде жазылуын оның қарапайым түрі деп атайды.
Анықтама.Бүтін рационал өрнек деп Н. Я. Виленкиннің оқулығы бойынша келесі түрдегі өрнек аталады:
(БРӨ): = сан әріп БРӨ + БРӨ БРӨ БРӨ
Мысалы, - бүтін рационал өрнек.
Екі бүтін рационал өрнектердің көбейтіндісі, қосындысы, айырмасы бүтін рационал өрнек болады.
Анықтама.- өрнегі бөлшек - рационал өрнек немесе рационал өрнек болады.
Анықтама.алгебралық өрнегі рационалды деп аталады, егер оған кіретін үшін қосу, көбейту, азайту, бөлу және бүтін дәреже алу амалдарынан басқа ешқандай амал орындалмаса.
Мысалы, - бөлшек - рационалды өрнек.
Егер бөлшек - рационалды өрнек берілсе, онда оның анықталу облысы (табылу облысы) өрнектің бөлімі нөлге тең болатындай айнымалылардың мәндерінен басқа барлық мәндерімен анықталады.
Мысалы,
анықталу облысы:
Координаттық жазықтыөта бұл шеңбер мен түзулердің нүктелерінен басқа барлық нүктелерді береді.

(1 - сурет)

Анықтама. айнымалылы бүтін рационал өрнек деп , мұндағы R, түріндегі өрнек аталады.
Теорема.Егер және - айнымалылы нақты коэффициентті көпмүшеліктер болса және - нөлдік көпмүшелік болмаса, онда орындалатындай және көпмүшеліктері табылады.

1.2 Безу теоремасы. Көпмүшеліктердің түбірлері

көпмүшелігін екімүшелігіне бөлейік.
( - дәрежесі 1 болғандықтан, оның қалдығының дәрежесі 1 - кіші).
мәнін табу үшін деп алайық, сонда , яғни теореманы дәлелдедік.
Теорема. 1 (Безу). Көпмүшелікті бөлгендегі қалдық болады.
Жоғарыдағы теоремадан Безудің көпмүшеліктердің түбірлері туралы теоремасының дәлелдеуі шығады.
Теорема. 2 (Безу).Егер көпмүшелігінің түбірі бар болса, онда бұл көпмүшелік көпмүшелігіне қалдықсыз бөлінеді.
, - түбір болғандықтан, , ендеше .
Анықтама. Анықталу облыстары бос емес және рационал өрнектері ортақ анықталу облыстарында теңбе - тең деп аталады, егер теңдігі ортақ анықталу облысында жататын барлық үшін орындалса.
рационал өрнегін өзіне теңбе - тең өрнекпен ауыстыру (ортақ анықталу облысында) - осы өрнекті теңбе - тең түрлендіру деп аталады.
Мысалы, -Rжиынында теңбе - теңдік деп аталады.
Енді рационал өрнектердің тағы бір қасиетін қарастырайық. Нақты сандар өрісінде және көпмүшелері ғана келірілмейтін көпмүшелер болатыны белгілі. Мұнда және нақты сандар. Осыдан, егер дұрыс бөлшектің бөлімі қандай да бір келтірілмейтін көпмүшесінің дәрежесіне тең болса және - тің дәрежесі - тің дәрежесінен кем болса, онда бұл бөлшекті жай бөлшек деп атаймыз. Жоғары математика курсында мынадай маңызды теорема дәлеледенеді.
Теорема. 2. Әрбір дұрыс бөлшек жай бөлшектердің қосындысына бір ғана түрде жіктеледі.[1]
Бұл теореманы дәлелдеусіз қабылдаймыз. Дұрыс бөлшекті жай бөлшектердің қосындысына жіктеудің төмендегі анықталмаған коэффициенттер тәсілін мысап арқылы түсіндірейік.
Мысалы,
дұрыс бөлшегін жай бөлшектердің қосындысына жіктеу керек.
Шешуі:
және болсын. Онда көпмүшесінің түбірлерін тауып, оны жай көбейткіштерге жіктелік: . Мұнда келтірілмейтін көпмүшелер болғандықтан,

(1.2.1)

болатындай және сандары табылады. Мұнда және - белгісіз коэффициенттер. Оларды (1.2.1) теңдік орындалатындай етіп, таңдап алу қажет. Ол үшін (1.2.1) теңдіктің оң жағын ортақ бөлімге келтіріп,шыққан бөлшектің алымын - ке теңестіреміз:

Бұл теңдіктің оң жақ бөлігін ықшамдап,
теңдігін аламыз. Осыдан - тің бірдей дәрежелерінің алдындағы коэффициенттерін теңестіре отырып,

теңдеулер жүйесін аламыз. Оның шешіуі: Сонда

1.3 Бөлшек - рационал теңдеулер

Математикада теңдік таңбасы өте жиі қолданылады. Бірақ оның мағынасы барлық жағдайда бірдей емес. Мысалға, теңдік белгісімен екі санды байланыстыруға болады.
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Осындай жазулардың әрқайсысы ақиқат не жалған болатын пікірлерді береді.1), 2), 3) - пікірлері ақиқат, ал 4) - пікірі жалған, - 10 болуы керек
Осындай пікірлердің ақиқат не жалғандығы анықтау үшін кейбір амалдар орындау қажет: бөлшектерді қосу, көбейткіштерге жіктеу, дәрежеге шығару, түбірден шығару және т.б. Бірақ, теңдіктің мағынасы сақталады: таңбаның сол жағы мен оң жағында бір сан тұрады. Осындай түрдегі пікірлерді сандық теңдіктер деп атайды (4 - ші пікір - дұрыс емес теңдік). Теңдік таңбасы функциялардың теңдігі жөнінде айтқан кезде де қолданылады. Екі функция және тең (беттесетін) деп аталады, егер:
1) Олардың анықталу облыстары беттесе: .
2) үшін функциялардың мәндері беттесе, яғни .
Функциялардың теңдігі жазуымен көрсетіледі. Егер болса, онда үшін функциялар бетеседі.
Мысалы,
a) - теңбе - теңдік,
b) - теңбе - теңдік;
c) үшін , (немесе ).
Теңдік таңбасының мағынасы теңдеулерді қарасытырған кезде мүлдем басқа.
Анықтама. - ке тәуелді және өрнектері үшін жазылуы айнымалылы теңдеу деп аталады. Теңдеуге қойғанда дұрыс сандық теңдікке айналатын барлық айнымалыларының жиыны теңдеудің шешімдер жиыны деп аталады, ал айнымалылардың теңдікке қанағаттандыратын әрбір осындай мәні теңдеудің түбірі деп аталады.
Анықтама. (немесе ) теңдеуін шешу дегеніміз оның түбірлерін табу немесе оның түбірлері болмайтынын дәлелдеу.
- бір жағдайда теңдеу, ал кейбір жағдайда тепе - теңдік болады.
Мысалы, болған кезде оны тепе - теңдік деп қарастыруға болады, ал егер теңдеу деп қарастырса, онда оның шешімі жиыны болады.
Теңдеудің шешімдер жиыны бос жиын да болуы мүмкін.
Мысалы,R жиынында оның шешімдер жиыны бос жиын, ал С жиынында оның шешімдер жиыны .
Теңдеулердің классификациясын белгісіздерге қолданылатын математикалық амалдар арқылы беруге болады.
Алгебралық теңдеулерде қосу, азайту, көбейту, бөлу бүтін дәрежеге алу, түбірден шығару амалдарын қолдануға болады.
Егер белгісіздерге иррационал дәрежеге алу, логарифмдеу, синусын, тангенсін табу және т. б. амалдар қолданса, ондай теңдеу транцендентті деп аталады.
Мысалы,
1. - алгебралық теңдеу болады, себебі .
2. - транцендентті теңдеу болады, себебі .
Алгебралық теңдеулердің жеке жағдайлары.
1) Рационал теңдеулер, яғни айнымалысы бар өрнектен түбір алынбайтын теңдеулер.
Бөлшек - рационалтеңдеулер. Жеке жағдайы:

2) Иррационал теңдеулер, яғни айнымалысы бар өрнектен түбір алу амалы орындалатын теңдеулер: .
Теңдеулерді шешу әдістері теңдеулердің мәндестігіне негізделеді.
Анықтама. және екі теңдеу мәндес деп аталады, егер біреуінің шешімі екіншісінің шешімі болса, керісінше, егер екіншісінің шешімі біреуінің шешімі болса.
Екі бірдей теңдеулердің мәндес болуы не болдмауы олардың қандай сандық жиында қарастырылуына байланысты анықталады.
Мысалы,(1) және (2) Rжиынында мәндес болады, нақты түбірі .
С (комплекс сандар) жиынында мәндес болмайды, себебі (1) теңдеудің тағы түбірлері бар.
Түбірлері табылмайтын екі теңдеу мәндес болады.
Мысалы,- мәндес теңдеулер, түбірлер жиыны Ø.
Сонымен қатар, берілген теңдеуді оған мәндес теңдеумен әрқашан ауыстыра беруге болмайды. Егер берілген теңдеуге қандайда бір түрлендіру жасайтын болсақ, түбірлерінің барлығы берілген теңдеудің түбірі болмайтын жаңа теңдеу алынуы мүмкін, яғни түрлендіру барысында артық түбірлер пайда болады.
Анықтама.Кейбір (1.1.1) және (1.1.2) теңдеулер берілсін. (1.1.2) теңдеуі (1.1.1) теңдеуінің салдары деп аталады, егер (1.1.1) теңдеуінен (1.1.2) теңдеуіне өту барысында оның түбірлері жоғалмаса, яғни (1) теңдеуінің барлық түбірлері (1.1.2) теңдеуінің түбірлері болса.
Мысалы,(1.1.1) және (1.1.2) теңдеулері берілсін. Мұнда (1.1.2) теңдеуі (1.1.1) теңдеуінің салдары болады.
(1.1.1) және (1.1.2) теңдеулері мәндес болады, егер олардың әрқайсысы бір бірінің салдары болса.
Анықтама. (1.1.1) теңдеуі
(1.1.3)
теңдеулер жиынына мәндес деп атаймыз, егер мына шарттар орындалса:
1. (1.1.1) теңдеуінің әр түбірі (1.1.3) теңдеулерінің кем дегенде біреуінің түбірі болса;
2. (1.1.3) жүйесіндегі теңдеулердің кез келген түбірі (1.1.1) теңдеуінің түбірі болса;
Яғни, егер - (1.1.1) теңдеуінің түбірлер жиыны болса, ал - сәйкесінше (1.1.3) теңдеулер жүйесіндегі теңдеулердің түбірлер жиындары болса, онда .
Олай болса, (1.1.1) теңдеудің түбірлерінің орнына (1.1.3) теңдеулер жүйесінің түбірлерін табуға болады.
Мысалы,

.

Теңдеуден теңдеулер жүйесіне өту барысында мынадай ережелерді сақтау керек:
1. Жоғарыдағы әдіс өту кезінде түбірлердің жоғалуын болдырмайды, яғни егер (1) теңдеуінің түбірі болмаса, онда саны теңдеулердің кем дегенде біреуінің түбірі болуы қажет.
2. (1) теңдеуі үшін барлық теңдеулерді шешіп, - түбірлер жиындарының бірігуін табу керек.
3. Егер артық түбірлердің пайда болуында күмән туса, онда осы бірігуге кіретін әрбәр сан теңдеудің түбірі болатындығына тексерілуі керек.

1.4 Түрлендіру әдістерімен теңдеулерді шешу әдістері

1) Қосылғыштарды теңдеудің бір жағынан екінші жағына көшіру, яғни теңдеуден теңдеуге көшкен кезде теңдеулердің мәндестігі сақталады.
2) Ұқсас мүшелерін біріктіру, яғни (1.1.4)
3) теңдеуден (1.2.1) теңдеуге көшкен кезде (1.1.4) теңдеуінің салдары болатын (*) теңдеуге келтіру.
Немесе функциялары қандай болса да, (1.2.1) теңдеуі (1.1.4) теңдеуінің салдары болады, яғни теңдеудің артық түбірлері пайда болуы мүмкін, егер функциясы осы нүктелерде анықталмаса.
Немесе егер және функцияларының анықталу облыстарының қиылысуы функциясының анықталу облысында жатса, яғни , онда (1.1.4) және (1.2.1) теңдеулері мәндес, яғни (1.1.4) -- (1.2.1).
3. Теңдеудің екі жағын бір өрнекке көбейту, яғни (1.2.1) теңдеуден (1.4.1) теңдеуіне өту.
Сонымен, егер және функциялары анықталатын әрбір нүктеде функциясы анықталса немесе орындалса, онда (1.4.1) және (*) теңдеулері мәндес болады.
Ескеретін бір жағдай, (1.2.1) теңдеуінен (1.4.1) теңдеуіне келтіру кезінде, және керісінше, (1.4.1) теңдеуінен (1.2.1) теңдеуіне келтіру кезінде артық түбірлер пайда болуы мүмкін, сонымен бірге түбірлердің жоғалуы да мүмкін.
Мысалы, теңдеуін қарастырайық.
Екі жағын көбейтейік: , ал бұл алғашқы теңдеудің салдары бола алмайды. Алғашқы теңдеудің түбірлері болса, түрлендіргеннен кейінгі теңдеудің түбірі .
Бұл жердегі түбірдің жоғалуы функциясының нүктесінде анықталмайтындығынан шығады.
4. (1.4.2) теңдеуінен
(1.4.3)
теңдеулер жүйесіне өтуге болады, егер өту кезінде олардың мәндестігі жоғалмайтын болса.
Теорема.Егер функциялары М жиынында анықталса (яғни М жиыны функцияларының әрқайсысының анықталу облысында жатса), онда осы жиында (1.4.2) теңдеуі мен (1.4.3) жүйесі мәндес болады.
Шынымен, егер - (1.4.3) жүйесіндегі бір теңдеудің түбірі болса, онда , ендеше және (себебі ), бұдан - (1.4.2) теңдеуінің түбірі. Керісінше, егер (6) теңдеуінің түбірі болса, онда, себебі нүктесінде барлық функциялары анықталған, сондықтан кем дегенде бір функция , ендеше саны (1.4.3) жүйедегі теңдеулердің кем дегенде біреуінің түбірі болады.
Мысалы, және теңдеулері мәндес.
теңдеуі теңдеулер жүйесіне мәндес.
Ескерту.Жалпы жағдайда теңдеуі
теңдеулер жүйесіне мәндес бола бермейді, себебі бұл функциялардың әрқайсысы болатындай нүктеде анықталуыкерек.
Мысалы,
түбірлері түбірлері жоқ. Ал теңдеуінің бір ғана түбірі бар: .
Теорема.(1.4.2) теңдеуінің әрбір түбірі (1.4.3) жүйесінің бір теңдеуінің түбірі боолады, яғни (1.4.3) теңдеулер жүйесі (1.4.2) теңдеуінің салдары болады.
5. Иррационал теңдеулерді шешу кезінде (1.2.1) теңдеуінен теңдеуіне өту ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.