Эйлер интегралдары

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4

І.тарау. Эйлердің бірінші текті интегралы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..6

1.1.Алмастыруды, бөлшектеп интегралдауды , басқа аналитикалық өрнекпен көрсетуді қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6

ІІ .тарау. Эйлердің екінші текті интегралы , олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..9

2.1 Гамма функцияның қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .10

2.2.Екі шекті алмастыру жөнінде тарихи ескертулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...17
III.тарау. Есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...21
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..24

Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...25

Эйлер Леонард (Euler Leonhard) 1707 - 1783 математик, философ, физик.
Эйлер интегралдары – (бірінші текті Эйлер интегралдары не бета-функция) және (екінші текті Эйлер интегралдары не гамма-функция) түріндегі интегралдар. Бұл интегралдар француз математигі А.Лежандрдың ұсынысы бойынша Эйлер интегралдары деп аталған.
IX – XV-ғасырларда Орта және Таяу Шығыс ғалымдары Архимед еңбектерін араб тіліне аударып, ежелгі математиканың табыстарын кейінгі ұрпақтарға жеткізді. Бірақ оларды одан әрі дамыта алмады. Тек XVI – XVII-ғасырларда ғана табиғаттану ғылымдарының жетістіктері интегралдық есептеудің одан әрі дамуын қажет етті. Интегралдық есептеудің негізгі ұғымдары мен идеялық жүйесін бір-біріне тәуелсіз түрде Исаак Ньютон мен Готфрид Лейбниц жасады. «Интегралдық есептеу» термині мен интеграл таңбасы Лейбництен бастап қолданылып келеді. Интегралдық есептеудің әрі қарай дамуы швейцариялық математик Иоганн Бернуллидің, әсіресе, Леонард Эйлердің есімдерімен тығыз байланысты.XIX-ғасырдың басында француз математигі Огюстен Луи Коши шектер теориясы негізінде интегралдық есептеу мен дифференциалдық есептеуді қайта құрды. Интегралдық есептеуді дамытуға XIX-ғасырда орыс ғалымдары Михаил Остроградский, Виктор Буняковский және Пафнутий Чебышев үлкен үлес қосты. XIX-ғасырдың аяғында және XX-ғасырдың басында жиын теориясының дамуы интегралдық есептеудің негізгі ұғымдарының тереңдеуіне және кеңеюіне себеп болды.
XVI тарау («Функциялық тізбектер және қатарлар») ең алдымен осы қарастырылып отырған типті тап осы мәселелерге арналған болатын. Ондағы зерттелген мәселелері: шектеусіз қатарды қосындылау операциясын дағдылы шекке көшумен алмастыруға болатындығының,дифференициалдаудың, және интегралдаудың шарттары зерттелген.Ақырында осы тараудың негізгі мазмұны жөнінде де осыны айтуға болады; жалғыз-ақ бұл жолы алмастыратын екі операцияның біреуі ылғи интегралдау операциясы болып отырады. Оны біз белгілі шарттар орындалғанда басқа шектік операциялармен алмастырып отырдық.Осы қарастырылып отырған операциялардың «шектік» операциялар екендігін жете түсінуден көп бұрын мұндай екі операцияны алмастыру математикалық практикаға кеңінен енген. Тіпті анализдің негізін салушылардың өздері іс жүзінде қолданған. Ньютонның, Лейбництің және олардың замандастары қолданған мүшелеп дифференциалдау үшін «Лейбниц ережесін» еске түсірейік. Осындай алмастыруды XVIII ғасыр бойы қолданып келгенін көреміз. Онда көбінесе оның орындылығы дәлелденбеген, ал кейде дәлелденген болса, оның дәлдігі сол тұстағы түсінікке сәйкес қана болған. Мысал үшін екі дифференциалдауды алмастыруды дәлелдегендегі (1739ж) Эйлер мен Клероның пайымдауларын еске түсіреміз. Математикалық анализ тарихында екі шектік операцияны алмастрыу тәсілі көптеген жалпы қабылдауларды және жеке математикалық фактілерді тауып алу үшін өте күшті құрал деп табылған. Бірақ теріс қолданғандықтан, оның өзі қате мен парадокстардың көзі болған. Екі шектік операцияны алмастыру ылғи дұрыс бола бермейтіндігі туралы пікірдің өзі қателерді зерттеу негізінде барып айқындалған. Тек XIX ғасырдың орта кезінде ғана жалпының игілігіне айналған. Мұндай алмстыру кездесетін анализдің әдеткі жағдайлары үшін оның дұрыстығының дәл дәлелдемесі ғасырдың аяқ кезінде аяқталған. Бәрінен бұрын екі шектік көшуді алмастыру мәселесі айқын шешілген. XVIII және XIX ғасырдың өліарасында (15) теңдіктің кейде дұрыс болмай шығатындығы жай мысалдармен көрсетілген, яғни қайталанған шек кейде көшу ретінде тәуелді болатындығы көрсетілген. 1815 жылғы Кошидің бір мақаласында (1827 ж. жарияланған) осы мәселе дұрыс және жүйелі баяндалған.

1. Фихтенгольц Г.М., Математикалық анализ негіздері, II-том , Алматы, Мектеп 1972 ,440б.
2.Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т Математикалық анализ курсы, II-том,Алматы,Мектеп 1970,527 б.
3.Фихтенгольц Г.М. Дифференциялдың және интегралдың есептеу курсы. I-II том,Алматы,1970,63 бет.
4.Тілеубердиев Б. Математикалық талдау негіздері,Шымкент: «Нұрлы Бейне» ,2015,291б
5. Қазақстан»: Ұлттық энцклопедия / Бас редактор Ә. Нысанбаев – Алматы «Қазақ энциклопедиясы» Бас редакциясы, 1998 ISBN 5-89800-123-9, X том;

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 27 бет
Таңдаулыға:

ОҢТҮСТІК ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК ПЕДАГОГИКАЛЫҚ

ИНСТИТУТЫ

Жаратылыстану факультеті.
Физика-математика кафедрасы

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Эйлер интегралдары.
Пәні:Математикалық талдау
Мамандығы: 5В010900- Математика
Орындаған: Иса И.
Қабылдаған: доцент Абдрахманов Қ.
Комиссия мүшелері:__________________________ ___

_____________________________

_____________________________

Шымкент 2016

Ф 7.02-19 курстық жұмыс

Оңтүстік Қазақстан мемлекеттік педагогикалық институты
Жаратылыстану факультеті.

БЕКІТЕМІН
Кафедра меңгерушісі
Кадирбаева Р.И
______________20__ж.
Студенттің курстық жұмысына берілетін
ТАПСЫРМА

1.Эйлер интегралдары.
2.Жұмыстың аяқталу уақыты: 29қараша 2016 ж.
3.Жұмыстың мазмұны (Эйлердің бірінші және екінші текті интегралы,олардың қасиеттері,есептер шығару, қорытынды)
Кіріспе
I.Эйлердің бірінші текті интегралы.
II.Эйлердің екінші текті интегралы , олардың қасиеттері.
Қорытынды.
Пайдаланған әдебиеттер тізімі. 1. Фихтенгольц Г.М., Математикалық анализ негіздері, II-том , Алматы, Мектеп 1972 ,440б. 2.Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т Математикалық анализ курсы, II-том,Алматы,Мектеп 1970,527 б.
4. Кестелік және графикалық материалдардың тізімі: 1
5.Әдебиеттер тізімі:5
6.Тапсырманың берілген уақыты: 10.10. 2016ж.
7.Курстық жұмыстың жетекшісі: Абдрахманов Қ.
8.Тапсырманы алған студент: Иса Индира Бақытқызы.

Ф 7.02-19 курстық жұмыс

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..4

І-тарау. Эйлердің бірінші текті интегралы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... 6

1.1.Алмастыруды, бөлшектеп интегралдауды , басқа аналитикалық өрнекпен көрсетуді қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .6

ІІ - тарау. Эйлердің екінші текті интегралы , олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...9

2.1 Гамма функцияның қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .10

2.2.Екі шекті алмастыру жөнінде тарихи ескертулер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ..17
III-тарау. Есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..24

Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...25

Кіріспе.
Эйлер Леонард (Euler Leonhard) 1707 - 1783 математик, философ, физик.
Эйлер интегралдары - (бірінші текті Эйлер интегралдары не бета-функция) және (екінші текті Эйлер интегралдары не гамма-функция) түріндегі интегралдар. Бұл интегралдар француз математигі А.Лежандрдың ұсынысы бойынша Эйлер интегралдары деп аталған.
IX - XV-ғасырларда Орта және Таяу Шығыс ғалымдары Архимед еңбектерін араб тіліне аударып, ежелгі математиканың табыстарын кейінгі ұрпақтарға жеткізді. Бірақ оларды одан әрі дамыта алмады. Тек XVI - XVII-ғасырларда ғана табиғаттану ғылымдарының жетістіктері интегралдық есептеудің одан әрі дамуын қажет етті. Интегралдық есептеудің негізгі ұғымдары мен идеялық жүйесін бір-біріне тәуелсіз түрде Исаак Ньютон мен Готфрид Лейбниц жасады. Интегралдық есептеу термині мен интеграл таңбасы Лейбництен бастап қолданылып келеді. Интегралдық есептеудің әрі қарай дамуы швейцариялық математик Иоганн Бернуллидің, әсіресе, Леонард Эйлердің есімдерімен тығыз байланысты.XIX-ғасырдың басында француз математигі Огюстен Луи Коши шектер теориясы негізінде интегралдық есептеу мен дифференциалдық есептеуді қайта құрды. Интегралдық есептеуді дамытуға XIX-ғасырда орыс ғалымдары Михаил Остроградский, Виктор Буняковский және Пафнутий Чебышев үлкен үлес қосты. XIX-ғасырдың аяғында және XX-ғасырдың басында жиын теориясының дамуы интегралдық есептеудің негізгі ұғымдарының тереңдеуіне және кеңеюіне себеп болды.
XVI тарау (Функциялық тізбектер және қатарлар) ең алдымен осы қарастырылып отырған типті тап осы мәселелерге арналған болатын. Ондағы зерттелген мәселелері: шектеусіз қатарды қосындылау операциясын дағдылы шекке көшумен алмастыруға болатындығының,дифференициалдаудың, және интегралдаудың шарттары зерттелген.Ақырында осы тараудың негізгі мазмұны жөнінде де осыны айтуға болады; жалғыз-ақ бұл жолы алмастыратын екі операцияның біреуі ылғи интегралдау операциясы болып отырады. Оны біз белгілі шарттар орындалғанда басқа шектік операциялармен алмастырып отырдық.Осы қарастырылып отырған операциялардың шектік операциялар екендігін жете түсінуден көп бұрын мұндай екі операцияны алмастыру математикалық практикаға кеңінен енген. Тіпті анализдің негізін салушылардың өздері іс жүзінде қолданған. Ньютонның, Лейбництің және олардың замандастары қолданған мүшелеп дифференциалдау үшін Лейбниц ережесін еске түсірейік. Осындай алмастыруды XVIII ғасыр бойы қолданып келгенін көреміз. Онда көбінесе оның орындылығы дәлелденбеген, ал кейде дәлелденген болса, оның дәлдігі сол тұстағы түсінікке сәйкес қана болған. Мысал үшін екі дифференциалдауды алмастыруды дәлелдегендегі (1739ж) Эйлер мен Клероның пайымдауларын еске түсіреміз. Математикалық анализ тарихында екі шектік операцияны алмастрыу тәсілі көптеген жалпы қабылдауларды және жеке математикалық фактілерді тауып алу үшін өте күшті құрал деп табылған. Бірақ теріс қолданғандықтан, оның өзі қате мен парадокстардың көзі болған. Екі шектік операцияны алмастыру ылғи дұрыс бола бермейтіндігі туралы пікірдің өзі қателерді зерттеу негізінде барып айқындалған. Тек XIX ғасырдың орта кезінде ғана жалпының игілігіне айналған. Мұндай алмстыру кездесетін анализдің әдеткі жағдайлары үшін оның дұрыстығының дәл дәлелдемесі ғасырдың аяқ кезінде аяқталған. Бәрінен бұрын екі шектік көшуді алмастыру мәселесі айқын шешілген. XVIII және XIX ғасырдың өліарасында (15) теңдіктің кейде дұрыс болмай шығатындығы жай мысалдармен көрсетілген, яғни қайталанған шек кейде көшу ретінде тәуелді болатындығы көрсетілген. 1815 жылғы Кошидің бір мақаласында (1827 ж. жарияланған) осы мәселе дұрыс және жүйелі баяндалған.
Егер интеграл астындағы функция үзілісті болса (мысалы, шексіздікке айналатын болса), онда қайталанған интегралда интегралдау ретін сөзсіз өзгертуге болмайтындығы, Коши сияқты, Гауссқа да белгілі болған. Бірақ бұдан екі шектік операцияны жалпы алмастыру мәселесінің айқындалмағанын байқаймыз.Үздіксіз функциялардан құрылған қатардың қосындысының үздіксіздігін және осындай қатарды мүшелеп интегралдауға болатындығын дәлелдемек болып Коши жасаған әрекеттің сәтсіз аяқталғанын жоғарыда ескерткен болатынбыз. Бұл пікірдің алдыңғысының теріс екенін Абель бірден көрсеткен, ал екіншісіне кейінірек Чебышёв қарсы болды. Бұрын айтылғандарға енді мынаны қосамыз: 1823 ж. Коши интегралды параметр бойынша дифференциялдауға қатысты Лейбниц ережесін сөзсіз қолдануға болатындығының сондай теріс дәлелдемесін берген. Бұл тұста ол ереженің қолданылуға болмайтындығын анық көрсететін мысалдардың ешқайсысын да ескермеген. Интеграл астындағы функция шексіздікке айналатын жағдайда интеграл астында дифференциялдау мүмкін болмай қалатындығын Остроградский 1828 ж анық түсінген. Кейінгі кезде бұл жағдайды басқа авторлар да көрсеткен.

ЭЙЛЕР ИНТЕГРАЛДАРЫ
1.Эйлердің бірінші текті интегралы. Интеграл(лат. іnteger - бүтін) - математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Интеграл ұғымы бір жағынан - туындысы бойынша функцияны іздеу (мысалы, қозғалған нүктенің жүріп өткен жолын өрнектейтін функцияны сол нүктенің жылдамдығы бойынша табу), екінші жағынан - аудан, көлем және доға ұзындығын өлшеу, күштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жұмысын табу, т.б. қажеттіліктерден пайда болды. Осыған қатысты интеграл анықталмаған интеграл және анықталған интеграл болып ажыратылады. Міне, осыларды есептеу интегралдық есептеудің міндеті болып саналады. Интеграл сөзін алғаш рет (1690) швейцариялық ғалым Якоб Бернулли қолданған.Интеграл анықтамасын басқаша өзінің шексіз аз бөліктерінің қосындысы түрінде қарастырылатын бүтін шама деп те атай аламыз.
Эйлердің бірінші текті интегралы (Лежандрдың ұсынысы бойынша) мына түрдегі
B a, b= 01xa-1(1-x)b-1dx (1)

интеграл осылай аталады, мұнда a,b0. Бұл интеграл а және bайнымалы параметрлердің В (Бета) функциясы болады.
Бұл қарастырылып отырған интеграл aжәне b-нің оң мәндерінде (кемінде бірден кіші мәндеріне) жинақты *) болатынын бұрыннан білеміз . Сондықтан, расында оны В функцияны анықтауға негіз етіп алуға болады. Осы функцияның қасиеттерін анықтайық.
1.1. Алдымен, тікелей дерлік (х=1-t алмастыруды қолданып)
B a,b=Bb, a
теңдікті тауып аламыз. Сол себепті В функция aжәне b - ге қатысты симмЕнді Г функцияның пайдаланылуы жөнінен бірнеше жай мысалдар келтіреміз.

Бөлшектеп интегралдауды қолданып, (1) формуладан b1 болғанда мынаны табамыз **)
Ba,b= 01(1-x)b-1dxaa==xa(1-x)b-1a10+b-1a0 1xa(1-x)b-2dx==b-1a01xa-1(1-x)b-2dx -b-1a01xa-1(1-x)b-1dx=b-1aB a,b-1-b-1aB(a,b).

Осыдан мына формула табылады:
Ba,b=b-1a+b-1Ba,b-1. (2)
b саны 1-ден артық болып қалып отырғанда оны кеміту үшін осы формуланы қолдануға болады. Сонымен қашанда екінші аргумент =1 болатындай етуге болады.
Алайда, осы айтылғанды бірінші аргумент жөнінде де істеуге болады. В симметриялы функция болғандықтан, басқа келтіру формуласы да болады:
Ba,b=a-1a+b-1Ba-1,ba1. (2)
Егер bнатурал n санына тең болса, онда (2) формуланы біртіндеп қолданып, мынаны табамыз:
Ba,n=n-1a+n-1∙n-2a+n-2∙...∙1a+1Ba,1 .
Бірақ
Ba,1=01xa-1 dx=1a.
Сондықтан В a,n және бірден В n,a үшін де мынадай ақтық өрнек табылады
Bn,a=Ba,n=1∙2∙3∙...∙(n-1)a∙a+1∙a+2∙ ...∙a+n-1. (3)
Егер aда натурал m санына тең болса, онда

Bm,n=n-1!m-1!m+n-1)!
болады. Егер 0! символды 1 деп түсінетін болсақ, бұл формуланы m=1 неn=1 болғанда да қолдануға болады.
1.3. В функциясын басқа аналитикалық өрнекпен көрсетейік. Мұның пайдасы көбірек. Егер (1) интегралда x=y1+y алмастыруды қолдансақ, онда
Ba,b=0infinityya-1(1+y)a+b-1dy (4)
болады. Мұндағы y-0-ден infinity-ке дейін өзгертіп жаңа айнымалы. Мұнда b=1-a деп алып (0a1 деп ұйғарып), табатынымыз
Ba, 1-a=0infinityya-11+ydy.
Бұл интеграл бұрын есептелінген және Эйлердің есімімен байланысты аталады , оны оқушы байқаған болу керек. Бұның мәнін орнына қойып, мына формулаға келеміз
Ba, 1-a=PIsinra0a1. (5)
Егер, дербес жағдайда,
a=1-a=12
деп алсақ, мынаны табамыз:
B12, 12=z.
Бета функцияның осы аздаған қасиеттерімен біз қанағаттанамыз. Себебі бұл функция тіпті жай түрде басқа Гамма функциямен өрнектелетіндігін төменде көреміз және ол функцияға толығырақ тоқтап өтеміз.

2.Эйлердің екінші текті интегралы. Бұл атауды Лежандр мына тамаша интегралға қойған:
a=0infinityxa-1e-xdx. (6)
Бұл интеграл кез келген a0 болғанда жинақты *) және Г (Гамма) функцияны анықтайды. Г функция анализ бен оның қолданулары үшін элементар функциялардан кейінгі маңызды функцияның бірі болады. Бұның (6) интегралдық анықтамасына сүйеніп отырып, Г функцияның қасиеттерін зерттеу деген параметрге тәуелді интегралдардың жоғарыда баяндалған теориясының қолдануларының тамаша мысалы болып табылмақ.
Егер (6)-да
x=1n1z
деп алсақ, онда мынаны табамыз:
a=011n1za-1dz.
*) а =0 болғанда интеграл жинақсыз.

Ал
In1z=limn--infinityn(1-z1n)
теңдік бізге белгілі және де n(1-z1n) өрнегі n өскенде өзінің шегіне өсе отырып*) ұмтылады. Мұндай жағдайда
Г a= limn--infinityna-101(1-z1n)a-1dz
болады немесе, егер z=yn алмастыруды қолдансақ,

Гa=limn--infinityna01yn-1(1-y)a-1d y
болады. Бірақ (3) бойынша
01yn-1(1-y)a-1dy=Bn,a=1∙2∙3∙...∙n-1 a∙a+1∙a+2∙...∙a+n-1.
Сонымен, ақырында, Эйлер - Гаусстың атақты формуласына келеміз:
Гa=limn--infinityna∙1∙2∙3∙...∙n-1a ∙a+1∙a+2∙...∙a+n-1.
Бұл формуланы Эйлер тіпті 1729ж. Гольдбахқа жолдаған хатында жазған, бірақ кейін ұмыт болған. Ақырында бұл формуланы Гаусс ІІ (а)=Г(а+1) функциясының анықтамасына негіз етіп алады. Г функциясымен Лежандр мен Лобачевский көп шұғылданған. Және де Лобачевский ол функцияның шектеусіз қатарлар пайдаланылып берілетін анықтамасына сүйенген.
2.1 Г функцияның жабайы қасиеттері.
1˚. Г(а)функция барлық а0 мәндерінде үздіксіз және оның барлық ретті үздіксіз туындылары болады. Тек туындыларының бар екендігін дәлелдеу жеткілікті. (6) интегралды интеграл астында дифференциалдап,
Г'a=0infinityxa-1∙lnx∙e-xdx (7)
тауып аламыз. Лейбниц ережесінің дұрыс қолданылып отырғандығын мына екі интегралдың
01xa-1∙lnx∙e-xdxжәне 1infinityxa-1∙lnx∙e-xdx
а-ға қатысты бір қалыпты жинақтылығынан көреміз: біріншісі х=0 болғанда a=a00 үшін xa0-1lnxмажорантасы), ал екіншісі х=infinityболғанда а=Аinfinityүшін (xAe-x*)мажорантасы).
Осылайша
Г"a=0infinityxa-1(lnx)2e-xdx(7*)
екінші туындының және барлық жоғарғы туындыларының бар екендігіне көз жеткізуге болады.
2˚. (6)-ны бөлшектеп интегралдап бірден табатынымыз:
a0infinityxa-1e-xdx=xae-xinfinity0+ 0infinityxxe-x dx,
яғни
Г a+1=a∙Г a. (8)
Бұл формуланы қайталап қолданғанда шығатыны
Г a+n=a+n-1∙a+n-2∙...∙a+1∙a Г a.(8*)
Осы жолмен а аргументтің кез келген мәнінде Г-ны есептеуді 0а=1 ( не қажет болса 1а=2 үшін де) болғанда Г-ны есептеуге келтіруге болады.
Егер (8*)-де а=1 деп алынса және
Г 1=0infinitye-xdx=1(9)
теңдік еске алынса, онда мына теңдік табылады:
Г n+1=n!(10)
Сонымен Г функциясы тек n-нің натурал мәндерінде анықталған n! функциясының - аргументтің, кез келген оң мәндерінің облысына табиғи қолданылуы болып шығады.
3˚. Г функцияның өзгеру жолы. Енді біз 0-ден infinity-ке дейін а өскендегі Г (а) функциясының сипаты жөнінде жалпы түсінік бере аламыз.
(9) және (10) бойынша: Г (1)=Г (2) =1 болады. Сондықтан, Ролль теоремасы бойынша, 1-мен 2-нің арасында Г' (а) туындының а0 түбірі жату керек. Бұл туынды ылғи да өседі, өйткені Г" (а) екінші туындының әрқашан оң болатындығы оның (7*) өрнегінен көрініп тұр. Сөйтіп, 0аа0болғанда Г' (а)0және Г (а) функциясы кемиді, ал а0аinfinityболғанда Г' (а)0, сондықтан Г (а) өседі; а=а0болғанда минимум болады. Біз бұл жерде оның есептеуін келтірмейміз, тек ақырғы нәтижесін жазамыз:
a0=1,4616...,minГa=Г (a0)=0,8856...
а-ның 0-ге немесе infinity-ке ұмтылғандағы Г(а) функцияның шегін анықтау қызғылықты. (8) - ден (және 1˚-ден) а--0 жағдайда

Гa=(a+1)a--+infinity
екені айқын. Екінші жағынан, (10) бойынша, тек қана аn+1 болысымен, Г(а) ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.