Екі дененің есебі және бөлшектердің ыдырау теориясы
1. Екі дененің есебі
2. Бөлшектердің ыдырау теориясы
3. Бөлшектердің серпінді ыдырауы
2. Бөлшектердің ыдырау теориясы
3. Бөлшектердің серпінді ыдырауы
Бұдан шығатын қортынды, бірінші жүйенің нүктелері кез – келген бастапқы жағдайда әрқайсысы өзінің тұрақты бағытындағы жазықтықта қозғалады.
Тартылу нүктелерінің жүйесінде і-ші нүктеге әсер ететін күштер күйі нөлден басқаша болады:
L_i^in=γm_i [〖r 〗_(i ) (∑_█(j=1@j≠i)^N▒m_j/(r_ji^3 )) ] ≠0(N≥3)
Сондықтан, нүктелердің импульстік күйі сақталмайды, ал бос бастапқы жағдайда көлемі де бағытыда өзгереді. Ол N≥3 кезінде тартылу массаларының қозғалысы жазық емес екенін білдіреді. Мысалы, күн жүйесінің әрбір планетасының күйі өзгереді. Алайда Күн массасының басқа кез –келген планетаның массасынан әлдеқайда көп болғандықтан күннің планеталарға әсеріне қарағанда планеталардың бір – біріне әсері өте аз. Сондықтан уақыттың кез – келген күйлері қозғалысты былай түсіндіруге болады: әрбір планета белгіленген Эллипспен тек қана күннің әсер етуімен қозғалады, ал басқа планеталардың әсері осы эллипстің сипаттамасын баяу өзгертеді. Әртүрлі планеталардың параметрлерінің көлемі, эксцентриситтері және орбиталарының еңкеюі бір – бірімен өзара байланысқан және бұл өзара байланысты бүкіл жүйенің кинетикалық күйінің сақталу заңы тудырады.
Тартылу нүктелерінің жүйесінде і-ші нүктеге әсер ететін күштер күйі нөлден басқаша болады:
L_i^in=γm_i [〖r 〗_(i ) (∑_█(j=1@j≠i)^N▒m_j/(r_ji^3 )) ] ≠0(N≥3)
Сондықтан, нүктелердің импульстік күйі сақталмайды, ал бос бастапқы жағдайда көлемі де бағытыда өзгереді. Ол N≥3 кезінде тартылу массаларының қозғалысы жазық емес екенін білдіреді. Мысалы, күн жүйесінің әрбір планетасының күйі өзгереді. Алайда Күн массасының басқа кез –келген планетаның массасынан әлдеқайда көп болғандықтан күннің планеталарға әсеріне қарағанда планеталардың бір – біріне әсері өте аз. Сондықтан уақыттың кез – келген күйлері қозғалысты былай түсіндіруге болады: әрбір планета белгіленген Эллипспен тек қана күннің әсер етуімен қозғалады, ал басқа планеталардың әсері осы эллипстің сипаттамасын баяу өзгертеді. Әртүрлі планеталардың параметрлерінің көлемі, эксцентриситтері және орбиталарының еңкеюі бір – бірімен өзара байланысқан және бұл өзара байланысты бүкіл жүйенің кинетикалық күйінің сақталу заңы тудырады.
j=1j!=iNmjzj=-mizi
және, сонымен, бірінші жүйенің нүктелері үшін
Liin=0 i=1,2,...,N
сондықтан, барлық жүйенің кинетикалық моменті мен бірге әр нүктенің импульстік күйі де сақталады.
Mi= mirixi=Mi0i=1,2,...,N
Бұдан шығатын қортынды, бірінші жүйенің нүктелері кез - келген бастапқы жағдайда әрқайсысы өзінің тұрақты бағытындағы жазықтықта қозғалады.
Тартылу нүктелерінің жүйесінде і-ші нүктеге әсер ететін күштер күйі нөлден басқаша болады:
Liin=γmir i j=1j!=iNmjrji3 !=0N=3
Сондықтан, нүктелердің импульстік күйі сақталмайды, ал бос бастапқы жағдайда көлемі де бағытыда өзгереді. Ол N=3 кезінде тартылу массаларының қозғалысы жазық емес екенін білдіреді. Мысалы, күн жүйесінің әрбір планетасының күйі өзгереді. Алайда Күн массасының басқа кез - келген планетаның массасынан әлдеқайда көп болғандықтан күннің планеталарға әсеріне қарағанда планеталардың бір - біріне әсері өте аз. Сондықтан уақыттың кез - келген күйлері қозғалысты былай түсіндіруге болады: әрбір планета белгіленген Эллипспен тек қана күннің әсер етуімен қозғалады, ал басқа планеталардың әсері осы эллипстің сипаттамасын баяу өзгертеді. Әртүрлі планеталардың параметрлерінің көлемі, эксцентриситтері және орбиталарының еңкеюі бір - бірімен өзара байланысқан және бұл өзара байланысты бүкіл жүйенің кинетикалық күйінің сақталу заңы тудырады.
2.7. Жүйедегі өзгеру және сақталу заңдары
Жүйенің i - ші теңдеуін (1.59) сәйкес нүктелердің dri ауысуына көбейтеміз (скаляр - сандық мәндерін) және күштердің ішкі және сыртқы болып бөлінуін есепке аламыз. Сонда (2.17) алынған сияқты i - ші нүктесінің кинетикалық қуатының өзгеруін білеміз.
dTi=dAiin+dAie
dTiнүктенің кинетикалық қуаты dAiin және dAie i- сәйкес нүктелердің элементарлық ауысуы кезіндегі сыртқы және ішкі күштердің жұмысы. (2.115) теңдеуіндегі барлық нүктелердің көрсеткіштерін қосып табамыз.
dTi=dAin+dAe
T=i-1NTi
Жүйенің кинетикалық қуаты, ол қосындысына тең,
dAin= i-1NFiin dri
Барлық ішкі күштердің элементарлық жұмысы,
dAe= i-1NFie dri
Барлық сыртқы күштердің элементарлық жұмысы.
Сонымен, жүйенің кинетикалық қуатының дифференциалы жүйенің нүктелеріне әсер ететін барлық ішкі және сыртқы күштердің элементарлық жұмысына тең.
Кинетикалық момент пен импульстің өзгеруіне қарағанда кинетикалық қуаттың өзгеруі сыртқы күштер мен ішкі күштерге де тәуелді. Бұған көз жеткізу үшін Ньютонның үшінші Заңын қолданамыз:
dAin= i,i-1jiNFji dri+Fij drj=i,i-1jiNFji dri- drj (2.117)
Солай болғандықтан әртүрлі нүктелердің бірдей күштер әсер еткенде де орын ауыстыруы әртүрлі болады, яғни
dri= drj i, j=1,2,...,N, i!=j
dAin!=0
Енді кинетикалық қуаттың өзгеру заңын (2.116) төмендегі ұйғарым бойынша қарастырамыз. Жүйенің - ші нүктесіне әсер ететін барлық ішкі күштердің қосындысы сыртқы күштердің қосындысы тең деп есептейміз.
Fie=Fie,p+Fie,g+Fie,d, Fiin=Fiin,p+Fiin,d
(мұнда, p, g, d индекстерімен сәйкесінше потенциалды, гироскопиялық және диссипатиялық күштер белгіленген).
Гироскопиялық күштер жұмыс жасамайды деп есептейміз, сонда
Fie,g dri = 0 i=1,2,...,N (2.120)
dAe= i-1NFie,p dri+i-1NFie,d dri
dAin= i-1NFiin,p dri+i-1NFiin,d dri (2.121)
Потенциялдық күштер үшін
Fie,p= - ∇iUie, Uie= - Fie,pdri+ i=1,2,...,N
Мұнда Uie ri, t - сыртқы потенциалды өрістегі i - іші нүктенің потенциалдық қуаты, ∇i - набла операторы, онда дифференциалдау i - ші нүктелерінің координаталары бойынша жүргізіледі. (2.67 ні қара).
(2.122) пайдаланып сыртқы потенциалдық күштерді білдіретін мәндерде табамыз (2.34-і қара).
i-1NFie,p dri= -dUe+dUedt dt
Мұнда
Ue=i-1NUie
- жүйенің сыртқы өрісіндегі потенциалдық қуат.
Uij= Utj ri+rj
Жүйедегі кез - келген екі нүктенің өзара әсерінің потенциалдық қуаты мына функциямен беріледі деп есептейміз.
Fjip= - ∇iUtj, Fjip= - ∇iUij
Сонда нүктелердің потенциалдық өзара әсер күштері үшін табамыз
Fjipdri +Fijpdri= -d Uij
Бұл күштердің әсер ету және қарсы әсер ету заңын қанағаттандыратын түсіну қиын емес, ал олардың элементарлық жұмысы мынаған тең болады.
i-1NFiin,p dri=i,j-1i1NFjip dri+ Fijp dri= -dUin
Мұнда
Uin= i,j-1i1NUij
- жүйенің ішкі потенциалдық қуаты
Жүйесінің потенциалдық қуатын оның сыртқы өрістегі және ішкі потенциалдық қуаттарының қосындысы арқылы анықтайды.
U= Ue+Uin (2.128)
(2.122) және (2.124) ұйғарымдары бойынша жүйенің потенциалдық қуаты мынадай болады.
U=i-1NUieri,t+12 i,j-1i1NUijri+rj
(2.129)
Жүйенің жалпы механикалық қуаты Е (қысқаша жүйенің қуаты) жүйенің кинеткиалық және потенциалдық қуаттарының қосындысы ретінде анықталады.
E=T+U
(2.130)
Кинеткиалық қуаттың өзгеру заңын (2.116) негізге ала отырып (2.121), (2.123), (2.127) және (2.130) пайдалану арқылы төмендегіні аламыз
dE= dUedt dt+i-1NFid dri
(2.131)
Мұнда Fid= Fiin,d+Fie,d i-ші нүктеге әсер ететін сыртқы және ішкі диссипативті күштердің қосындысы (2.131) сол және оң жағын уақыт элементтіне ажыратамыз, сонда табатынымыз dt:
Жүйедегі механикалық қуаттың жалпы туындысы уақыт бойынша жүйенің нүктелеріне әсер ететін ішкі және сыртқы диссипативтік күштердің сыртқы өрістердегі уақыт пен қуатқа байланысты потенциалдық қуаттың жеке туындыларының қосындысына тең.:
E= dUedt +i-1NFid vi
(2.132)
Осы заңның көмегімен, жүедегі механикалық қуаттың өзгеру заңын инерциалды есептеу жүйесі мен салыстырмалы түрде жүйенің механикалық қуатының сақталу заңын табамыз. Шынында, егер сыртқы өрістегі жүйенің потенциалдық қуаты уақытқа тәуелді болмаса, ал сыртқы және ішкі диссипативті күштер болмайды, яғни
dUedt =0 және Fid= 0 i=1,2,...,N
онда жүйедегі механикалық қуат сақталады:
E=i-1Nmivi22+i-1NUie+i,j-1i1NUij=E 0
Мұндай жүйені консервативті деп атайды. Диссипативті күштердің есебінен қуат кеміген кезде жүйеге қуат қосылып орнын толтырған жағдайда да қуат сақталады. Сонда
dUedt +i-1NFid vi=0, E= E0
Қосымша
dUedt 0, i-1NFid vi0
Егер ішкі диссипативті күштер болмаса тұйықталған жүйенің механикалық қуаты сақталады:
E=T+Uin=E0
Егер ішкі диссипативті күштер нөлден басқаша болса тұйықталған жүйенің механикалық қуаты кеми бастайды, яғни
E= i-1NFiin,d vi 0
Мұнда E=T+Uin
Алайда бұл қуаттың жоғалғанын білдірмейді:
Диссипативті күштердің қатысуы механикалық қуатты белгілі бір мөлшерде жылуға айналдырады. Осыған байланысты материя қозғалысының барлық формаларының қуат сақталу және айналуының жылпы заңының кездейсоқ жағдайы, ол - механикалық қуаттың сақталу заңы деп айтуға болады. Ол заң бойынша қозғалыс формалары белгілі жағдайларда ... бір - біріне ауысады, және бір формалардағы қуат көлеміне барлық уақытта басқа формадағы қуат көлемі сәйкес келеді. Мысалы, электрамагниттік толқын тарататын қозғалған зарядтардың механикалық қуаты, толқын тарату қуатына айналады. Толқын тарату арқылы қуат өзгеруін есепке алатын қуаттың сақталу Заңы электродинамикада тұжырымдалады. Ал жылу бөлуді есепке алатын қуаттың сақталу заңы термодинамикада зерттеледі. Жоғарыдағы механикалық қуаттың сақталу заңы, ол кинетикалық қуаттың потенциалды қуатқа айналуы және керісінше.
Енді импульс, кинетикалық момент және қуат өзгеру және сақталу заңдары туралы бірнеше жалпы ескертулер келтірейік.
Өзгеру заңдары
P= Fe, M=L e, E= dUedt +i-1NFid vi
(2.138)
Жеті теңдеуден тұрады. Олар күштердің белгілі қасиеттері арқылы сақталу заңдарына алып келеді. Тұйықталған жүйе жағдайында (ішкі диссипативтік күштер жоқ) сақталу заңдарынан шығатын қозғалыс интегралдар саны барынша көп, тек осы жағдайда ғана жеті бірінші және үш екінші интеграл болады.
P= P0 vm=vm0, M=M0, E=E0 (2.139)
Яғни, механиканың он классикалық интегралдары.
rm=vm0t-t0+rm0
Сақталу заңдарын нүктелерінің саны кез - келген жүйелерге қолдануға болады, сондықтан олар зерттеулердің негізгі қаруы болып есептеледі. Мысалы молекулаларының саны өте көп газдардың қасиеттерін зерттеу сақталу заңдарына негізделген.
Бұл тарауда сақталу заңдары Ньютон қозғалысы теңдеулерінің салдары ретінде алнған. Сондықтан олар кеңістік пен уақыттың қасиетерімен байланысқан (клдассикалық механикада постулет болып саналады). Бұл байланысты тұйықталған жүйенің үлгісінде қарастырған дұрыс (ІХ - тарау қосымшасы, 21, 6 - 9 парагроф). Импульстің сақталуы кеңістіктің біркелкілігімен байланысты екен, сондықтан жүйені бүіндей паралельді ауысқан кезде тұйықталған жүйенің механикалық қасиеттері өзгермейді. Моменттік сақталуы кеңістіктің изотропиясымен байланысты, жүйе бүтіндей бұрылғанда тұйықталған жүйенің механикалық қасиеті өзгермейді. Ал механикалық қуаттың сақталуы уақыттың біркелкігіне байланысты, жүйені уақыт бойынша кез - келген уақытқа ауыстырғанмен тұйықталған жүйенің механикалық қасиеті өзгермейді.
Ньютен теңдеулерімен түсіндірілмейтін кейбір объек қозғалысы да (тұйықталған жүйедегі) сақталу заңдарына бағынатының айтып кетуіміз керек. Олай болса импульс, момент және қуат сақталу заңдарының маңызы классикалық механикадан кеңірек.
2.9. мысал. Планеталар жылдамдықтарының күнге дейінгі қашықтық пен өзара қашықтыққа тәуелділігі.
Күн жүйесін материалдық нүктелер (планеталар) және басқа нүктелер массаларынан өте үлкен массасы бар бір нүкте деп қарастырамыз. Бұл жүйені тұйықталған деп есептейміз, себебі оның массасының ортасы бірқалыпты және тура қозғалады. Диссилация мен сәуле тарату процессін есепке алмасаң, жүйенің механикалық қуатын тұрақты деп есептеуге болады.
Бұл үшін кез - келген екі нүктенің өзара әсерінің потенциалдық қуатын есептейміз. (2.126)
Uij= - Fji dri+Fij drj
Ньютонның үшінші заңын және бүкіл әлемдік тартылс заңын қолданып табамыз.
Uij= - Fji dri- drj=- Fjidrji=-γmimjrji
Сонымен, қуат интегралын (2.134) былай жазуға болады.
i-1Nmivi22+Msvs22-i-1NγmiMsris- i,j-1i1Nγmimjrij=E0
Мұнда, mi және vi - масса және жылдамдық ( i - ші планета)
Ms және vs - күннің массасы және жылдамдығы. Жүйеде масса ортасындағы жылдамдық vm=0 екінін есепке алып күн жылдамдығы мен планеталар жылдамдығы арасындағы байланысты анықтаймыз (2.90).
i-1Nmivi+Ms vs=0
(2) интегралдан (3) көмегімен vs жылдамдығын алып тастап планеталар жылдамдықтарының, олардың өзара қашықтықтарының viжәне күнге дейінгі rij қашықтықтарының ris i, j=1,2,...,N, i!=j ара қатынасын табамыз.
i-1Nmivi22+12Msi-1Nmivi2-i-1NγmiMsr is- i,j-1i1Nγmimjrij=E0
Осылай планеталардан күнге дейінгі және планеталардың өзара қашықтықтарының өзгеруі планеталардың жылдамдықтарының өзгеруіне алып келеді. Ms ≫m
(4) интегралда екінші және төртінші қосынды бірінші және үшінші қосындыға қарағанда аз себебі i=1,2,...,N,
Бұл көрсетілген аз мүшелерді есепке алмау планеталардың күнге және бір - біріне әсерін есептемеумен бірдей, яғни әрбір планета тек қана күннің әсерінен қозғалады. Мұндай жағдайда (4) интегралдың орнына әр планетаның күннің орталық - симметриялық өрісіндегі қуат интегралы қолданылады.
mivi22-γmiMsris=Ei0 i=1,2,...,N,
(2.56) және (2.69).
ІІІ тарау
Екі дененің есебі және бөлшектердің ыдырау теориясы
Екі дененің есебі деп екі өзара әсер ететін нүктелердің қозғалысы туралы есеп деп түсіну керек (сыртқы күштер болмаған жағдайда). Бұл есептің маңызы өте зор: оның шешімі аспан механикасы және жер серіктерінің еркін қозғалыс теориясы негізінде, бөлшектердің соқтығысуы және ыдырау теориясы негізінде: оның шешімі статикалық механикада қолданады. Мысалы көптеген бөлшектердің қозғалысы туралы есепті шын мәнінде екі нүктенің статикалық есебі деп қарайды.
Екі дененің есебі
Массалары m1 және m2 екі нүктенің қозғалысын зерттейміз. Олардың өзара әсер ететін U потенциалдық қуаты тек қана нүктелердің ара қашықтығына тәуелді. ( сыртқы күштер жоқ).
S инерциалды жүйеге салыстырмалы нүктелердің қозғалыс теңдеуілері.
m1r1=F21r2+r1
m2r2=F12r2+r1
Мұнда ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
және, сонымен, бірінші жүйенің нүктелері үшін
Liin=0 i=1,2,...,N
сондықтан, барлық жүйенің кинетикалық моменті мен бірге әр нүктенің импульстік күйі де сақталады.
Mi= mirixi=Mi0i=1,2,...,N
Бұдан шығатын қортынды, бірінші жүйенің нүктелері кез - келген бастапқы жағдайда әрқайсысы өзінің тұрақты бағытындағы жазықтықта қозғалады.
Тартылу нүктелерінің жүйесінде і-ші нүктеге әсер ететін күштер күйі нөлден басқаша болады:
Liin=γmir i j=1j!=iNmjrji3 !=0N=3
Сондықтан, нүктелердің импульстік күйі сақталмайды, ал бос бастапқы жағдайда көлемі де бағытыда өзгереді. Ол N=3 кезінде тартылу массаларының қозғалысы жазық емес екенін білдіреді. Мысалы, күн жүйесінің әрбір планетасының күйі өзгереді. Алайда Күн массасының басқа кез - келген планетаның массасынан әлдеқайда көп болғандықтан күннің планеталарға әсеріне қарағанда планеталардың бір - біріне әсері өте аз. Сондықтан уақыттың кез - келген күйлері қозғалысты былай түсіндіруге болады: әрбір планета белгіленген Эллипспен тек қана күннің әсер етуімен қозғалады, ал басқа планеталардың әсері осы эллипстің сипаттамасын баяу өзгертеді. Әртүрлі планеталардың параметрлерінің көлемі, эксцентриситтері және орбиталарының еңкеюі бір - бірімен өзара байланысқан және бұл өзара байланысты бүкіл жүйенің кинетикалық күйінің сақталу заңы тудырады.
2.7. Жүйедегі өзгеру және сақталу заңдары
Жүйенің i - ші теңдеуін (1.59) сәйкес нүктелердің dri ауысуына көбейтеміз (скаляр - сандық мәндерін) және күштердің ішкі және сыртқы болып бөлінуін есепке аламыз. Сонда (2.17) алынған сияқты i - ші нүктесінің кинетикалық қуатының өзгеруін білеміз.
dTi=dAiin+dAie
dTiнүктенің кинетикалық қуаты dAiin және dAie i- сәйкес нүктелердің элементарлық ауысуы кезіндегі сыртқы және ішкі күштердің жұмысы. (2.115) теңдеуіндегі барлық нүктелердің көрсеткіштерін қосып табамыз.
dTi=dAin+dAe
T=i-1NTi
Жүйенің кинетикалық қуаты, ол қосындысына тең,
dAin= i-1NFiin dri
Барлық ішкі күштердің элементарлық жұмысы,
dAe= i-1NFie dri
Барлық сыртқы күштердің элементарлық жұмысы.
Сонымен, жүйенің кинетикалық қуатының дифференциалы жүйенің нүктелеріне әсер ететін барлық ішкі және сыртқы күштердің элементарлық жұмысына тең.
Кинетикалық момент пен импульстің өзгеруіне қарағанда кинетикалық қуаттың өзгеруі сыртқы күштер мен ішкі күштерге де тәуелді. Бұған көз жеткізу үшін Ньютонның үшінші Заңын қолданамыз:
dAin= i,i-1jiNFji dri+Fij drj=i,i-1jiNFji dri- drj (2.117)
Солай болғандықтан әртүрлі нүктелердің бірдей күштер әсер еткенде де орын ауыстыруы әртүрлі болады, яғни
dri= drj i, j=1,2,...,N, i!=j
dAin!=0
Енді кинетикалық қуаттың өзгеру заңын (2.116) төмендегі ұйғарым бойынша қарастырамыз. Жүйенің - ші нүктесіне әсер ететін барлық ішкі күштердің қосындысы сыртқы күштердің қосындысы тең деп есептейміз.
Fie=Fie,p+Fie,g+Fie,d, Fiin=Fiin,p+Fiin,d
(мұнда, p, g, d индекстерімен сәйкесінше потенциалды, гироскопиялық және диссипатиялық күштер белгіленген).
Гироскопиялық күштер жұмыс жасамайды деп есептейміз, сонда
Fie,g dri = 0 i=1,2,...,N (2.120)
dAe= i-1NFie,p dri+i-1NFie,d dri
dAin= i-1NFiin,p dri+i-1NFiin,d dri (2.121)
Потенциялдық күштер үшін
Fie,p= - ∇iUie, Uie= - Fie,pdri+ i=1,2,...,N
Мұнда Uie ri, t - сыртқы потенциалды өрістегі i - іші нүктенің потенциалдық қуаты, ∇i - набла операторы, онда дифференциалдау i - ші нүктелерінің координаталары бойынша жүргізіледі. (2.67 ні қара).
(2.122) пайдаланып сыртқы потенциалдық күштерді білдіретін мәндерде табамыз (2.34-і қара).
i-1NFie,p dri= -dUe+dUedt dt
Мұнда
Ue=i-1NUie
- жүйенің сыртқы өрісіндегі потенциалдық қуат.
Uij= Utj ri+rj
Жүйедегі кез - келген екі нүктенің өзара әсерінің потенциалдық қуаты мына функциямен беріледі деп есептейміз.
Fjip= - ∇iUtj, Fjip= - ∇iUij
Сонда нүктелердің потенциалдық өзара әсер күштері үшін табамыз
Fjipdri +Fijpdri= -d Uij
Бұл күштердің әсер ету және қарсы әсер ету заңын қанағаттандыратын түсіну қиын емес, ал олардың элементарлық жұмысы мынаған тең болады.
i-1NFiin,p dri=i,j-1i1NFjip dri+ Fijp dri= -dUin
Мұнда
Uin= i,j-1i1NUij
- жүйенің ішкі потенциалдық қуаты
Жүйесінің потенциалдық қуатын оның сыртқы өрістегі және ішкі потенциалдық қуаттарының қосындысы арқылы анықтайды.
U= Ue+Uin (2.128)
(2.122) және (2.124) ұйғарымдары бойынша жүйенің потенциалдық қуаты мынадай болады.
U=i-1NUieri,t+12 i,j-1i1NUijri+rj
(2.129)
Жүйенің жалпы механикалық қуаты Е (қысқаша жүйенің қуаты) жүйенің кинеткиалық және потенциалдық қуаттарының қосындысы ретінде анықталады.
E=T+U
(2.130)
Кинеткиалық қуаттың өзгеру заңын (2.116) негізге ала отырып (2.121), (2.123), (2.127) және (2.130) пайдалану арқылы төмендегіні аламыз
dE= dUedt dt+i-1NFid dri
(2.131)
Мұнда Fid= Fiin,d+Fie,d i-ші нүктеге әсер ететін сыртқы және ішкі диссипативті күштердің қосындысы (2.131) сол және оң жағын уақыт элементтіне ажыратамыз, сонда табатынымыз dt:
Жүйедегі механикалық қуаттың жалпы туындысы уақыт бойынша жүйенің нүктелеріне әсер ететін ішкі және сыртқы диссипативтік күштердің сыртқы өрістердегі уақыт пен қуатқа байланысты потенциалдық қуаттың жеке туындыларының қосындысына тең.:
E= dUedt +i-1NFid vi
(2.132)
Осы заңның көмегімен, жүедегі механикалық қуаттың өзгеру заңын инерциалды есептеу жүйесі мен салыстырмалы түрде жүйенің механикалық қуатының сақталу заңын табамыз. Шынында, егер сыртқы өрістегі жүйенің потенциалдық қуаты уақытқа тәуелді болмаса, ал сыртқы және ішкі диссипативті күштер болмайды, яғни
dUedt =0 және Fid= 0 i=1,2,...,N
онда жүйедегі механикалық қуат сақталады:
E=i-1Nmivi22+i-1NUie+i,j-1i1NUij=E 0
Мұндай жүйені консервативті деп атайды. Диссипативті күштердің есебінен қуат кеміген кезде жүйеге қуат қосылып орнын толтырған жағдайда да қуат сақталады. Сонда
dUedt +i-1NFid vi=0, E= E0
Қосымша
dUedt 0, i-1NFid vi0
Егер ішкі диссипативті күштер болмаса тұйықталған жүйенің механикалық қуаты сақталады:
E=T+Uin=E0
Егер ішкі диссипативті күштер нөлден басқаша болса тұйықталған жүйенің механикалық қуаты кеми бастайды, яғни
E= i-1NFiin,d vi 0
Мұнда E=T+Uin
Алайда бұл қуаттың жоғалғанын білдірмейді:
Диссипативті күштердің қатысуы механикалық қуатты белгілі бір мөлшерде жылуға айналдырады. Осыған байланысты материя қозғалысының барлық формаларының қуат сақталу және айналуының жылпы заңының кездейсоқ жағдайы, ол - механикалық қуаттың сақталу заңы деп айтуға болады. Ол заң бойынша қозғалыс формалары белгілі жағдайларда ... бір - біріне ауысады, және бір формалардағы қуат көлеміне барлық уақытта басқа формадағы қуат көлемі сәйкес келеді. Мысалы, электрамагниттік толқын тарататын қозғалған зарядтардың механикалық қуаты, толқын тарату қуатына айналады. Толқын тарату арқылы қуат өзгеруін есепке алатын қуаттың сақталу Заңы электродинамикада тұжырымдалады. Ал жылу бөлуді есепке алатын қуаттың сақталу заңы термодинамикада зерттеледі. Жоғарыдағы механикалық қуаттың сақталу заңы, ол кинетикалық қуаттың потенциалды қуатқа айналуы және керісінше.
Енді импульс, кинетикалық момент және қуат өзгеру және сақталу заңдары туралы бірнеше жалпы ескертулер келтірейік.
Өзгеру заңдары
P= Fe, M=L e, E= dUedt +i-1NFid vi
(2.138)
Жеті теңдеуден тұрады. Олар күштердің белгілі қасиеттері арқылы сақталу заңдарына алып келеді. Тұйықталған жүйе жағдайында (ішкі диссипативтік күштер жоқ) сақталу заңдарынан шығатын қозғалыс интегралдар саны барынша көп, тек осы жағдайда ғана жеті бірінші және үш екінші интеграл болады.
P= P0 vm=vm0, M=M0, E=E0 (2.139)
Яғни, механиканың он классикалық интегралдары.
rm=vm0t-t0+rm0
Сақталу заңдарын нүктелерінің саны кез - келген жүйелерге қолдануға болады, сондықтан олар зерттеулердің негізгі қаруы болып есептеледі. Мысалы молекулаларының саны өте көп газдардың қасиеттерін зерттеу сақталу заңдарына негізделген.
Бұл тарауда сақталу заңдары Ньютон қозғалысы теңдеулерінің салдары ретінде алнған. Сондықтан олар кеңістік пен уақыттың қасиетерімен байланысқан (клдассикалық механикада постулет болып саналады). Бұл байланысты тұйықталған жүйенің үлгісінде қарастырған дұрыс (ІХ - тарау қосымшасы, 21, 6 - 9 парагроф). Импульстің сақталуы кеңістіктің біркелкілігімен байланысты екен, сондықтан жүйені бүіндей паралельді ауысқан кезде тұйықталған жүйенің механикалық қасиеттері өзгермейді. Моменттік сақталуы кеңістіктің изотропиясымен байланысты, жүйе бүтіндей бұрылғанда тұйықталған жүйенің механикалық қасиеті өзгермейді. Ал механикалық қуаттың сақталуы уақыттың біркелкігіне байланысты, жүйені уақыт бойынша кез - келген уақытқа ауыстырғанмен тұйықталған жүйенің механикалық қасиеті өзгермейді.
Ньютен теңдеулерімен түсіндірілмейтін кейбір объек қозғалысы да (тұйықталған жүйедегі) сақталу заңдарына бағынатының айтып кетуіміз керек. Олай болса импульс, момент және қуат сақталу заңдарының маңызы классикалық механикадан кеңірек.
2.9. мысал. Планеталар жылдамдықтарының күнге дейінгі қашықтық пен өзара қашықтыққа тәуелділігі.
Күн жүйесін материалдық нүктелер (планеталар) және басқа нүктелер массаларынан өте үлкен массасы бар бір нүкте деп қарастырамыз. Бұл жүйені тұйықталған деп есептейміз, себебі оның массасының ортасы бірқалыпты және тура қозғалады. Диссилация мен сәуле тарату процессін есепке алмасаң, жүйенің механикалық қуатын тұрақты деп есептеуге болады.
Бұл үшін кез - келген екі нүктенің өзара әсерінің потенциалдық қуатын есептейміз. (2.126)
Uij= - Fji dri+Fij drj
Ньютонның үшінші заңын және бүкіл әлемдік тартылс заңын қолданып табамыз.
Uij= - Fji dri- drj=- Fjidrji=-γmimjrji
Сонымен, қуат интегралын (2.134) былай жазуға болады.
i-1Nmivi22+Msvs22-i-1NγmiMsris- i,j-1i1Nγmimjrij=E0
Мұнда, mi және vi - масса және жылдамдық ( i - ші планета)
Ms және vs - күннің массасы және жылдамдығы. Жүйеде масса ортасындағы жылдамдық vm=0 екінін есепке алып күн жылдамдығы мен планеталар жылдамдығы арасындағы байланысты анықтаймыз (2.90).
i-1Nmivi+Ms vs=0
(2) интегралдан (3) көмегімен vs жылдамдығын алып тастап планеталар жылдамдықтарының, олардың өзара қашықтықтарының viжәне күнге дейінгі rij қашықтықтарының ris i, j=1,2,...,N, i!=j ара қатынасын табамыз.
i-1Nmivi22+12Msi-1Nmivi2-i-1NγmiMsr is- i,j-1i1Nγmimjrij=E0
Осылай планеталардан күнге дейінгі және планеталардың өзара қашықтықтарының өзгеруі планеталардың жылдамдықтарының өзгеруіне алып келеді. Ms ≫m
(4) интегралда екінші және төртінші қосынды бірінші және үшінші қосындыға қарағанда аз себебі i=1,2,...,N,
Бұл көрсетілген аз мүшелерді есепке алмау планеталардың күнге және бір - біріне әсерін есептемеумен бірдей, яғни әрбір планета тек қана күннің әсерінен қозғалады. Мұндай жағдайда (4) интегралдың орнына әр планетаның күннің орталық - симметриялық өрісіндегі қуат интегралы қолданылады.
mivi22-γmiMsris=Ei0 i=1,2,...,N,
(2.56) және (2.69).
ІІІ тарау
Екі дененің есебі және бөлшектердің ыдырау теориясы
Екі дененің есебі деп екі өзара әсер ететін нүктелердің қозғалысы туралы есеп деп түсіну керек (сыртқы күштер болмаған жағдайда). Бұл есептің маңызы өте зор: оның шешімі аспан механикасы және жер серіктерінің еркін қозғалыс теориясы негізінде, бөлшектердің соқтығысуы және ыдырау теориясы негізінде: оның шешімі статикалық механикада қолданады. Мысалы көптеген бөлшектердің қозғалысы туралы есепті шын мәнінде екі нүктенің статикалық есебі деп қарайды.
Екі дененің есебі
Массалары m1 және m2 екі нүктенің қозғалысын зерттейміз. Олардың өзара әсер ететін U потенциалдық қуаты тек қана нүктелердің ара қашықтығына тәуелді. ( сыртқы күштер жоқ).
S инерциалды жүйеге салыстырмалы нүктелердің қозғалыс теңдеуілері.
m1r1=F21r2+r1
m2r2=F12r2+r1
Мұнда ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz