Матрицалар

Жоспар
Анықтауыштар
Матрицалар теориясының элементтері
Сызықты теңдеулер жүйесі
Пайдаланылған әдебиеттер

1. mхn–саннан жасалған мына түрдегi
тiк бұрышты таблицаны mхn өлшемдi матрица дейдi. Таблицаның көлденең қатарларын матрицаның - жолдары, тiк қатарларын – бағандары дейдi. Матрица жасалған cандары матрицаның элементтерi делiнедi:

немесе

немесе қысқаша:
(1.1)
Әр элементке тиiстi екi индекстiң бiрiншiсi ол элементтiң нешiншi жолда, екiншi индекс нешiншi бағанда тұрғанын бiлдiредi.
Жолының саны мен бағанының саны тең матрицалар квадрат матрица делiнедi. Квадрат матрицаның бiр ерекшелiгi оның анықтауышының болатындығы.
nхn өлшемдi квадрат матрицаны n-реттi анықтауыш деп, оның жолдары мен бағандарының әрқайсысынан бiр-бiрден алынған n элементтің көбейтiндiлерiнен тұратын n! (факториал) қосылғыштың (мүшенiң) алгебралық қосындысын айтады. Ол қосылғыштардың таңбасы оған енетiн элементтердiң бiрiншi индекстерi натурал тәртiпте орналасқан жағдайда, екiншi индекстерi жұп инверсия жасаса – оң, тақ инверсия жасаса – терiс болады.
Анықтауыш былайша белгiленедi:

(1.2)

1-мысал. Алтыншы реттi анықтауыш берiлген. Ол анықтауыш неше қосылғыштың қосындысынан тұрады, әр қосылғышқа неше элементтен енедi, бас және көмекшi диагоналда индекстерi қандай элементтерден тұрады?
Шешуi. Алтыншы реттi анықтауыш 6 элементтен қанша алмастыру жасауға мүмкiн болса, сонша қосылғыштардың қосындысына тең болады, ал 6 элементтен 6 факториал, алмастыру жасауға болады. Бұл 720 қосылғыштың әрқайсысына анықтауыштың әр жолының (сондай-ақ бағанының) тек бiр элементi енетiндiктен, ол қосылғыштар 6 элементтiң көбейтiндiсінен тұрады.
Бас диагонал a 11 , a 22 , a 33 , a 44 , a 55 , a 66 элементтерден, екiншi диагонал a 61 , a 52 , a 43 , a 34 , a 25 , a 16элементтерден тұрады.
2- мысал . Бесiншi реттi анықтауыштың a 34 , a 21 , a 13 , a 55 , a 4 2 , элементтерiнiң көбейтiндiсiнен тұратын мүшенiң (қосылғыштың) таңбасы қандай болады?

1 "Қазақ Энциклопедиясы", 8 том
2. http://tendey.kz
3. http://bilim.idhost.kz

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 11 бет
Таңдаулыға:

Жоспар
Анықтауыштар
Матрицалар теориясының элементтері
Сызықты теңдеулер жүйесі
Пайдаланылған әдебиеттер

1. Анықтауыштар

1. mхn - саннан жасалған мына түрдегi

тiк бұрышты таблицаны mхn өлшемдi матрица дейдi. Таблицаның көлденең қатарларын матрицаның - жолдары, тiк қатарларын - бағандары дейдi. Матрица жасалған cандары матрицаның элементтерi делiнедi:

немесе

немесе қысқаша:
(1.1)
Әр элементке тиiстi екi индекстiң бiрiншiсi ол элементтiң нешiншi жолда, екiншi индекс нешiншi бағанда тұрғанын бiлдiредi.
Жолының саны мен бағанының саны тең матрицалар квадрат матрица делiнедi. Квадрат матрицаның бiр ерекшелiгi оның анықтауышының болатындығы.
nхn өлшемдi квадрат матрицаны n-реттi анықтауыш деп, оның жолдары мен бағандарының әрқайсысынан бiр-бiрден алынған n элементтің көбейтiндiлерiнен тұратын n! (факториал) қосылғыштың (мүшенiң) алгебралық қосындысын айтады. Ол қосылғыштардың таңбасы оған енетiн элементтердiң бiрiншi индекстерi натурал тәртiпте орналасқан жағдайда, екiншi индекстерi жұп инверсия жасаса - оң, тақ инверсия жасаса - терiс болады.
Анықтауыш былайша белгiленедi:

(1.2)

1-мысал. Алтыншы реттi анықтауыш берiлген. Ол анықтауыш неше қосылғыштың қосындысынан тұрады, әр қосылғышқа неше элементтен енедi, бас және көмекшi диагоналда индекстерi қандай элементтерден тұрады?
Шешуi. Алтыншы реттi анықтауыш 6 элементтен қанша алмастыру жасауға мүмкiн болса, сонша қосылғыштардың қосындысына тең болады, ал 6 элементтен 6 факториал, алмастыру жасауға болады. Бұл 720 қосылғыштың әрқайсысына анықтауыштың әр жолының (сондай-ақ бағанының) тек бiр элементi енетiндiктен, ол қосылғыштар 6 элементтiң көбейтiндiсінен тұрады.
Бас диагонал a 11 , a 22 , a 33 , a 44 , a 55 , a 66 элементтерден, екiншi диагонал a 61 , a 52 , a 43 , a 34 , a 25 , a 16элементтерден тұрады.
2- мысал . Бесiншi реттi анықтауыштың a 34 , a 21 , a 13 , a 55 , a 4 2 , элементтерiнiң көбейтiндiсiнен тұратын мүшенiң (қосылғыштың) таңбасы қандай болады?
Шешу i. Таңбасын анықтау үшiн бұл мүшеге енетiн элементтердiң бірінші индекстерi нормаль түрге (яғни натурал тәртiпке) келетiндей етiп оларды орналастырамыз:

a 13 a 21 a 34 a 42 a 55

Сонда екінші индекстер 3 1 4 2 3 алмастыруын жасайды Бұл алмастыруда натурал орналасу тәртiбiн 3 екi рет бұзған (өзiнен кiшi 1 мен 2-нiң алдына шығып кеткен), яғни 2 инверсия жасайды, 1 саны 0 инверсия жасайды, 4 саны 1 инверсия жасайды, 2 мен 5 сандары 0 инверсиядан жасайды. Сонда барлығы 3 инверсия жасалған, яғни инверсия саны тақ болып шықты. Сондықтан бұл элементтерден тұратын мүшенiң таңбасы терiс болады.
3-мысал.

анықтауышының мәнiн анықтауыштың анықтамасына сүйенiп табыңдар.
Шешуi. Бұл анықтауыш төртiншi реттi, сондықтан ол қосылғыштың (мүшенiң) алгебралық қосындысынан тұрады және ол қосылғыштардың әрқайсысы 4 элементтiң (санның) көбейтiндiсiне тең болады.
Бiрiншi жолдағы 4 элементтiң екеуi 0, сондықтан олар енетiн мүшелер нөлге тең болады. Демек, нөл енбейтiн қосылғыштардың қосындысын тапсақ жеткiлiктi.
Бiрiншi жолдан 1-дi аламыз, ол екiншi бағанда тұр: a 12 =1. Сондықтан бұл мүшеге ендi бірінші жол мен екінші бағаннан элемент алуға болмайды. Демек екінші жолдан тек 3-тi (a 24 =3) аламыз, үшiншi жолдан a 31 =5, төртінші жолдан a 43 =7-нi аламыз.
Сонымен iздеген 24 қосылғыштың бiрi болады.
Егер бірінші жолдан a 14 =4 алсақ, онда екінші жолдан тек a 22 =2-нi, үшінші жолдан a 31 =5, төртінші жолдан a 43=7-нi алуымыз керек, демек 24 қосылғыштың екiншiсi болады. Қалған қосылғыштың барлығы нөл болып кетедi. Ендi табылған нөлге тең емес екi мүшенiң таңбасын анықтайық.
1-жағдайда a 12 , a 24 , a 31 , a 43 элементтердi алдық, екiншi жағдайда a 14 , a 22 , a 31 , a 43 элементтерi алынады. Бұлардың элементтерiнен бiрiншi индекстерiн натурал тәртiпте орналастырсақ a 12 , a 24 , a 31 , a 43 және a 14 , a22 , a 31 , a 43 болады да, екiншi индекстерi 2 4 1 3 және 4 2 1 3 алмыстыруларын жасар едi. Мұның бiрiншiсiнiң инверсиясы 1+2+0+0=3, екiншiсiнiң инверсиясы 3+1+0+0=4 болады. Демек 105-ке тең мүше таңбасы минус, 280-ге тең мүшенiң таңбасы оң болады.
Сонымен берiлген анықтауыштың мәнi

D=-105+280=175

болады.
Үшiншi реттi анықтауыш деп мына санды:

, (1.3)

екiншi реттi анықтауыш деп мына санды:

(1.4)
айтамыз.
Үшінші реттi анықтауышты есептеуге арналған (1.3) формуланы Саррюс әдісі деп атаймыз. Ол 3!=1x2x3=6 мүшенiң қосындысына тең және әр мүшеге әр жолдан, әр бағанадан тек бiр элементтен енедi.
4-мысал .

екiншi реттi және

үшiншi реттi анықтауыштың мәндерiн табайық.
Шешуi.

2. n - реттi анықтауыштың a ij элементi тұрған i-жол мен j-бағанды сызып тастағаннан қалған (n-1) реттi анықтауышты ол элементтiң миноры, ал (-1) i+j таңбамeн алынған минорды алгебралық толықтауышы дейдi.
Элемент a ij -дың минорын M ij , алгебралық толықтауышын A ij - мен белгiлесек:

(1.5)

болып шығады.
Мысалы, үшінші реттi (1.3) анықтауыштың a 21 , a 33 элементтерiнiң минорлары M 21 , M 33 мен алгебралық толықтауыштары A 21 , A 33 мынадай болады:

.

5-мысал.

үшiншi реттi анықтауыштың бiрiншi бағанында тұрған элементтердiң миноры мен алгебралық толықтауыштарын табыңдар.
Шешуi. a 11 =2 тұрған бірінші жол мен бірінші бағанды сызып тастасақ, қалғандары оның миноры болады:

;

Ал, алгебралық толықтауыш:

болады. A 21 =1 тұрған екінші жол мен бірінші бағанды сызып тастаса:

,

M 31 = 0 тұрған үшінші жол мен бірінші бағанды сызып тастасақ:

3. Анықтауыштың негiзгi қасиеттерi мыналар:
1 0 . Анықтауыштың мәнi оның жолдары мен сәйкес бағандарының орнын ауыстырғаннан өзгермейдi. Сондықтан анықтауыштың жолы туралы қандай да бiр тұжырым дұрыс болса, ол тұжырым баған үшiн де дұрыс болады.
2 0 . Анықтауыштың кез келген екi жолының орнын ауыстырғаннан анықтауыштын мәнi өзгермейдi, таңбасы керi ауысады.
3 0 . Анықтауыштың бiр жолының барлық элементтерi тең болса, онда анықтауыштың мәнi нөлге тең болады.
4 0 . Анықтауыштың бiр жолының немесе бір бағанының барлық элементтерiнiң ортық көбейткiшi болса, онда оны көбейткіш етіп анықтауыштың таңбасының сыртына шығаруға болады.
5 0 . Анықтауыштың екi жолының сәйкес элементтерi пропорционал болса, онда анықтауыштың мәнi нөлге тең болады.
6 0 . Анықтауыштың бiр жолының элементтерiнiң әрқайсысы екi санның қосындысынан тұрса, онда оны екi анықтауыштың қосындысы ретiнде жазуға болады.
Мысалы:

= + .

7 0 . Анықтауыштың бiр жолының барлық элементтерiн нөлден өзге бiр санға көбейтiп, басқа жолының сәйкес элементтерiне қосса, одан анықтауыш мәнi өзгермейдi.
8 0 . Анықтауыштың бiр жолының барлық элементтерi нөлге тең болса, онда анықтауыштың мәнi де нөлге тең болады.
9 0 . Анықтауыштың бiр жолының элементтерi мен ол элементтердiң алгебралық толықтауыштарының көбейтiндiсiнiң қосындысы анықтауыштың мәнiне тең болады.
10 0 . Анықтауыштың бiр жолының бiр элементiнен басқа элементтерiнiң барлығы нөл болса, онда ол анықтауыштың реттiлiгiн бiрге кемiтуге болады және сол элементтерi оның алгебралық толықтауышының көбейтiндiсiне тең болады.
11 0 . Анықтауыштың бiр жолының элементтерi мен басқа жолының сәйкес элементтерiнiң алгебралық толықтауыштарының көбейтiндiсiнiң қосындысы нөлге тең болады.
6-мысал.

анықтауыштың мәнiн анықтауыш қасиеттерiне сүйенiп табыңдар.
Шешуi. Бұл анықтауыштың мәнiн 4-мысалда Саррюс әдiсiмен тапқанбыз. Ендi оның мәнiн анықтауыш қасиеттерiне сүйенiп табайық.
а) 9 0 қасиетке сүйенiп, анықтауышты бірінші бағанның элементтерi бойынша жiктейiк:

б) 10 0 қасиетке сүйенiп, анықтауыштың реттiлiгiн бiрге кемiту жолымен табу үшiн, 7 0 қасиет бойынша екінші жолдың элементтерiн 2-ге көбейтiп, бірінші жолдың сәйкес элементтерiнен алып тастайық:

= .

7-мысал.

төртiншi реттi анықтауыштың мәнiн табыңдар.
Шешуi. 7 0 қасиетке сүйенiп, бірінші жолдың элементтерiн 3-ке көбейтiп, үшінші жолдың сәйкес элементтерiнен шегерсек:

.

Соңғы анықтауыш нөлге тең. Себебi оның екi жолының сәйкес элементтерi пропорционал, ондай анықтауыштар 5 0қасиет бойынша нөлге тең болады. Демек, берiлген анықтауыш та нөлге тең.
8-мысал.

бесiншi реттi анықтауыштың мәнiн табыңдар.
Шешу i. Анықтауыштың 6 0 қасиетiне сүйенiп, берiлген анықтауышты екi анықтауыштың қосындысы ретiнде жазайық. (1-баған элементтерiн 2=1+1, 1=1+0, 1=1+0, ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.