Мысыр математикасы. Александрия ғылыми мектебі
1 Мысыр математикасы
2 Александрия ғылыми мектебі. Евклид және Аристрах
2 Александрия ғылыми мектебі. Евклид және Аристрах
Ежелгі Мысырлықтардың математикалық білім дәрежесін айқындауға мүмкіндік берерліктей екі папирус сақталған. Олардың біріншісі – Ринд папирусы – Лондонда Британ өзенінде, ал екіншісі Москва папирусы А.С. Пушкин атындағымузейде сақтаулы. Біріншісінің ұзындығы 5,5 см, ені 32 см, мұнда 85 есеп бар, ал екіншісінің ұзындығы да сондай, бірақ енсіз (8 см), онда бас-аяғы 25 есеп келтірілген. Бұл папирустардың жазылу кезі б.з. 2000 жылдай бұрын деп шамалауға болады Папирустарда келтірілген есептер қысқа, догматикалық түрде берілген. Яғни есептің шарты мен талабы беріледі де шешу жолы көрсетіледі. Ешқандай дәлелдеу, тексеру, айрықша символика жоқ, барлығы иероглиф арқылы өрнектелген сөздер мен сөйлемдерден тұрады.
Москва папирусынан қиық пирамиданың көлемін табуға арналған бір есепті келтірейік.
«Табандары квадрат болып келген қиық пирамиданың биіктігі 6 шынтақ, төменгі табанының қабырғасы төрт, жоғарғы табанының қабырғасы 2 шынтақ. Осы қиық пирамиданың көлемін табу керек».
Шешу реті келтіріледі: «2-нің квадраты 4, 4 –тің квадраты 16.
2 - мен 4-ті көбейт. Сонда 8 шығады. 16-ға 8-ді қос, оған 4-ті қос. Сонда 28 болады. Биіктің үштен бірін ал. Одан 2 шығады. 28-ді 2 қайта алып, сонда 56 болады. Сонда берілген пирамиданың көлемі дұрыс шығады» .
Мысырлықтардан қалған есептерді талдай келіп, оларда математикалық, білім салаларының бөлінбей арифметикалық, геометриялық, алгебралық есептердің аралас жүретінін байқауға болады. Есептердің барлығы бірыңғай практикалық мәселелерді шешуге арналған. Жоғарыда айтылған папирустарды мұқият зерттеу тек өткен ғасырдан басталған. Бұл тұрғыда математика тарихын зерттеушілер елеулі жұмыстар тындырды. Осының арқасында Мысыр математикасының негізгі ерекшеліктері мен сипатын, деңгей дәрежесін бағалауға мүмкіндік бар. Ежелгі Мысырда қазірде қолданылып жүрген позициялық емес, Рим нөмірлеуіне ұқсас келетін иероглифтік ондық жүйе қолданылған. Олар қазіргіше айтқанда 10r(R-0,1,2…7) түріндегі түйінді сандарды таңбалау үшін айрықша иероглифтік таңбалар енгізіп, бас сандарды солар арқылы кескіндеген.
Мысырлықтар бірді – 1 (таяқша), онды – П (кісен), жүзді С (өлшеуіш жіп) мыңды – 0/0 (гүл жапырақ) деп белгілеген.
Осы сияқты 10 мың, 100 мың, миллион үшінде арнаулы белгілерді пайдаланған. Мысалы 2344-ті Мысырлықтар былай жазады: 0 0 СССПППП // //. Иероглифтер арқылы
0 0
таңбалау жүйесі біртіндеп өзгеріске ұшырап, үнемі жетілдіріліп отырылған.
Москва папирусынан қиық пирамиданың көлемін табуға арналған бір есепті келтірейік.
«Табандары квадрат болып келген қиық пирамиданың биіктігі 6 шынтақ, төменгі табанының қабырғасы төрт, жоғарғы табанының қабырғасы 2 шынтақ. Осы қиық пирамиданың көлемін табу керек».
Шешу реті келтіріледі: «2-нің квадраты 4, 4 –тің квадраты 16.
2 - мен 4-ті көбейт. Сонда 8 шығады. 16-ға 8-ді қос, оған 4-ті қос. Сонда 28 болады. Биіктің үштен бірін ал. Одан 2 шығады. 28-ді 2 қайта алып, сонда 56 болады. Сонда берілген пирамиданың көлемі дұрыс шығады» .
Мысырлықтардан қалған есептерді талдай келіп, оларда математикалық, білім салаларының бөлінбей арифметикалық, геометриялық, алгебралық есептердің аралас жүретінін байқауға болады. Есептердің барлығы бірыңғай практикалық мәселелерді шешуге арналған. Жоғарыда айтылған папирустарды мұқият зерттеу тек өткен ғасырдан басталған. Бұл тұрғыда математика тарихын зерттеушілер елеулі жұмыстар тындырды. Осының арқасында Мысыр математикасының негізгі ерекшеліктері мен сипатын, деңгей дәрежесін бағалауға мүмкіндік бар. Ежелгі Мысырда қазірде қолданылып жүрген позициялық емес, Рим нөмірлеуіне ұқсас келетін иероглифтік ондық жүйе қолданылған. Олар қазіргіше айтқанда 10r(R-0,1,2…7) түріндегі түйінді сандарды таңбалау үшін айрықша иероглифтік таңбалар енгізіп, бас сандарды солар арқылы кескіндеген.
Мысырлықтар бірді – 1 (таяқша), онды – П (кісен), жүзді С (өлшеуіш жіп) мыңды – 0/0 (гүл жапырақ) деп белгілеген.
Осы сияқты 10 мың, 100 мың, миллион үшінде арнаулы белгілерді пайдаланған. Мысалы 2344-ті Мысырлықтар былай жазады: 0 0 СССПППП // //. Иероглифтер арқылы
0 0
таңбалау жүйесі біртіндеп өзгеріске ұшырап, үнемі жетілдіріліп отырылған.
Мысыр математикасы
Ежелгі Мысырлықтардың математикалық білім дәрежесін айқындауға
мүмкіндік берерліктей екі папирус сақталған. Олардың біріншісі – Ринд
папирусы – Лондонда Британ өзенінде, ал екіншісі Москва папирусы А.С.
Пушкин атындағымузейде сақтаулы. Біріншісінің ұзындығы 5,5 см, ені 32 см,
мұнда 85 есеп бар, ал екіншісінің ұзындығы да сондай, бірақ енсіз (8 см),
онда бас-аяғы 25 есеп келтірілген. Бұл папирустардың жазылу кезі б.з. 2000
жылдай бұрын деп шамалауға болады Папирустарда келтірілген есептер қысқа,
догматикалық түрде берілген. Яғни есептің шарты мен талабы беріледі де шешу
жолы көрсетіледі. Ешқандай дәлелдеу, тексеру, айрықша символика жоқ,
барлығы иероглиф арқылы өрнектелген сөздер мен сөйлемдерден тұрады.
Москва папирусынан қиық пирамиданың көлемін табуға арналған бір
есепті келтірейік.
Табандары квадрат болып келген қиық пирамиданың биіктігі 6 шынтақ,
төменгі табанының қабырғасы төрт, жоғарғы табанының қабырғасы 2 шынтақ. Осы
қиық пирамиданың көлемін табу керек.
Шешу реті келтіріледі: 2-нің квадраты 4, 4 –тің квадраты 16.
2 - мен 4-ті көбейт. Сонда 8 шығады. 16-ға 8-ді қос, оған 4-ті қос. Сонда
28 болады. Биіктің үштен бірін ал. Одан 2 шығады. 28-ді 2 қайта алып, сонда
56 болады. Сонда берілген пирамиданың көлемі дұрыс шығады .
Мысырлықтардан қалған есептерді талдай келіп, оларда математикалық,
білім салаларының бөлінбей арифметикалық, геометриялық, алгебралық
есептердің аралас жүретінін байқауға болады. Есептердің барлығы бірыңғай
практикалық мәселелерді шешуге арналған. Жоғарыда айтылған папирустарды
мұқият зерттеу тек өткен ғасырдан басталған. Бұл тұрғыда математика тарихын
зерттеушілер елеулі жұмыстар тындырды. Осының арқасында Мысыр
математикасының негізгі ерекшеліктері мен сипатын, деңгей дәрежесін
бағалауға мүмкіндік бар. Ежелгі Мысырда қазірде қолданылып жүрген
позициялық емес, Рим нөмірлеуіне ұқсас келетін иероглифтік ондық жүйе
қолданылған. Олар қазіргіше айтқанда 10r(R-0,1,2...7) түріндегі түйінді
сандарды таңбалау үшін айрықша иероглифтік таңбалар енгізіп, бас сандарды
солар арқылы кескіндеген.
Мысырлықтар бірді – 1 (таяқша), онды – П (кісен), жүзді С (өлшеуіш
жіп) мыңды – 00 (гүл жапырақ) деп белгілеген.
Осы сияқты 10 мың, 100 мың, миллион үшінде арнаулы белгілерді
пайдаланған. Мысалы 2344-ті Мысырлықтар былай жазады: 0 0 СССПППП
. Иероглифтер арқылы
0. 0
таңбалау жүйесі біртіндеп өзгеріске ұшырап, үнемі жетілдіріліп отырылған.
Мысырлықтар төрт амалды бүтін сандарға да, бөлшек сандарға да бірдей
қолдана білген. Олардың қосу, азайтуы қазіргібіздің қосу, азайтуымызға өте
ұқсас. Көбейту мен бөлуінде үлкен айырмашылық бар. Олардың көбейтуі екі
сатыдан тұрады: екі еселеу және қосу.
Мәселен, 15-ке 13-ті мынадай кесетемен келтірген.
1 15
2 30
4 60
8 120
Барлығы 195
Бұл кестеде әрбір келесі жолдағы сандар алдыңғы жолдағы сандарды екі
еселеуден шығады. Сол бағанадағы қосындысы 13 болатын сандар іріктеліп
алынып, оң бағанадағы осы сандарға сай келетін 15-тің еселіктері өзара
қосылады. Сонда 195 шығады. Бөлу амалы да осы схема бойынша орындалады.
Айта кететін бір нәрсе екі еселеу мен екіге бөлуді ХҮІІІ ғасырға дейін көп
математиктер айрықша арифметикалық амалдар ретінде қарастырып келді.
Қазіргі оларды көбейту мен бөлу амалдарының дербес жағдайлары болып
саналады. Өлшеу практикасы және бөлу амалын орындау бөлшектердің және
оларға түрлі амалдар қоьлданудың шығуына әкеледі. Мысырлықтардың негізінен
амикваттық бөлшектерді, яғни
½; 13; 1,4; ... 1n; түріндегі бөлшектердің көп пайдаланады. Ал, қалған
бөлшектерді түрлі жасанды тәсілдерді қолдана отырып, осы амеквоттық
бөлшектердің қосындысына келтіреді.
Мәселен:
13=16+16; 27=14+123
297=156+1679+1776
Математикалық білім дағдылардың пайда болуы оқып үйрену методикасын
қажет етеді. Мысырлықтар үшбұрыштың, тіктөртбұрыштың және трапецияның
аудандарын дұрыс формулалар арқылы табады. Үшбұрыштың ауданын табу үшін
табанынн екіге бөліп, биіктігіен көбейтеді. Трапецияның ауданын табу үшін
параллель қабырғаларының қосындысының жартысын басқа екі қабырғасы
қосындысының жартысына көбейтеді. Бұл формула тек тіктөртбұрыш болғанда
ғана дұрыс. Мысырлықтар дөңгелектің ауданын жуық түрде диаметрінің тоғыздан
сегізінің квадратына тең деп алады. Олай болса шеңбер ұзындығының оның
диаметріне қатынасын көрсететін П саны үшін мынадай жуық мән табылады:
π =4(89)2≈3,1605 өз уақытымен салыстырғанда үлкен жетістік еді.
Мысырлықтар қабырғалары 3,4,5 өлшемболып келген үшбұрыштың тікбұрышты
екенін білген. (Пифагор теоремасы). Олар осы үшбұрыш арқылы жер бетінде
тікбұрыш салатын болған. Бұл үшбұрыш қазір “Мысыр үшбұрышы” деп аталып жүр.
Мысырлықтар кубтың, параллелепипедтің және дөңгелек цилиндрдің көлемін таба
білген. Ежелгі Мысыр математикасының дамуына кесірін тигізген.
Мысырлықтардың кейбір арифметикалық есептерді шешу жолдарын қарастыра
келіп, матьематика тарихшылары олар бір белгісізді банк теңдеулерді шеше
білген деген қорытындыға келген. Мысырлықтар белгісізді “Үймек”, “Аха” деп
атаған. Үймек және оның төрттен бірі он бес деген есеп қазіргі біздің
жазуымыз бойынша х+14х=15 түріндегі теңдеу. Олар мұны “жалған жору” деген
әдісті қолданып, шешкен болуы керек. Ол былай: х-ке жорта 4 деген мән
берген, сонда теңдеудің сол жағында 5 сан ышығады, оң жағындағы он бестен 3
есе аз, шешуі 3х4=12. Арифметикалық есептер қазіргі терминология бойынша
прогрессияға келетін есептер. Мысалы: 7 үй, 7 мысық, 7 тышқан, 7 бас арпа,
7 өлшем дән, барлығы қанша? Былайша айтқанда 7 үй әр үйде 7 мысық, әр мысық
7 тышқан, әр тышқан 7 бас дән жейді, ал әрбір дән жерге егілсе 7 өлшем дән
береді. Сонда 7+72+73+ 74 +75 қосындысын табу керек. Бұл – геометриялық
прогрессия. Бұл есептерді тек Мысыр мұғалімдерінің өз шәкірттерін
(“Жазғыштар” мектебінде оқитындарды) математикаға, есептеуге қызықтыру
үшінәдейі астарлы есептер түрінде қарастыру қажет.
Бұл жөнінде тарихшылар әлі белгілі бір тоқтамға келе қойған жоқ.
Александрия ғылыми мектебі
Евклид және Аристрах
“Тригонометрия ” деген сөз грекше “ұшбұрыштарды өлшеу” дегенді
білдіреді. (“Тригоном” – ұшбұрыш және “метро” - өлшеймін).
Тригонометрия астрономия мен география ғылымдарының дамуына тікелей
байланысты туып, қалыптасқан. Тригонометрияның кейбір бастаулары,
элементтері ежелгі Вавилонда кездеседі. Алайда гректер тригонометрияны
астрономияның бір бөлігі ретінде қараған. Мұнда ең әуелі шар бетінде
(сферада) орналасқан ұшбұрыштарды шешуге негізделген сфералық тригонометрия
дамытылған. Ондай сфералық ұшбұрыштардың қабырғалары шар бетіндегі үлкен
дөңгелдектердің доғалары болып келеді.
Ежелгі Грек оқымыстылары ең алдымен тік бұрышты үшбұрыштарды (жазық
немесе сфералық) шешу мәселесін, яғни берілген үш элементі бойынша
үшбұрыштың басқа элменттерін анықтау мәселелерін қояды. Тригонометриялық
мазмұндағы алғашқы зерттеулер Евдокстан басталған болуы керек. Алайда
гректер тригонометриясы туралы толық та жүйелі мағлұматты біз Минелай мен
Птолемей еңбектерінен табамыз.
Александриялық Минелай – б.з. І ғасырында өмір сүрген астроном және
математик. Ол “Сферика” деп аталатын үшбұрышщтар жөніндегі үш томдық
көлемді еңбектің авторы. Сфериканың грекше нұсқасы бізге жетпегенімен ол
араб аудармасы арқылы сақталған. Минелай мұнан басқа араб жазбаларының
дерегі бойынша “Геометряи элементтері”, “Үшбұрыштар туралы кітап” деп
аталатын геометриялық трактаттар жазғаны көрінеді.
“Сфериканың” бірінші кітабында Евклидтің “Бастамалары” үлгісінде
сферикалық тікбұрышты үшбұрыштар туралы теоремалар дәлелденеді. Мұнда
ұқсастығы жоқ сөйлемдер де кездеседі. Ол мәселен, сферикалық үшбұрыштардың
ішкі бұрыштарының қосындысы екі тік бұрыштан үлкен болатынын дәлелдейді.
Сфермикалық геометрия – математика тарихындағы ең бірінші Евклидтік емес
(биевклидтік) геометрия жүйесі болып табылады.
“Сфериканың” екінші кітабының мазмұны жоғарыда айтылған Теодосийдің
шығармасының мазмұнымен бірдей. Бірақ дәлелдері қысқа да анық болып келеді.
“Сфериканың” үшінші кітабы негізінен тригонометрия мәселелеріне
арналған. Әрине, гректерде ол кезде қазіргі мағынадағы тригонометрия жоқ
болатын. Синус және басқа тригонометриялық функциялар анықталмайтын, синус
сызығының орнына қордалар жүретін, қазіргіше айтсақ, а бұрышының синусы 2а
бұрышын керіп тұрған хорданың жартысы болады.
Бұл кітапта кейін арабтар, хиуалар, немесе алты шама туралы ереже деп
атап кеткен атақты Минелай теоремасы дәлелденеді. Мұнда жазықтықта немесе
сферада әрқайсысы қалғандарын үш нүктеде қиып өтетін төрт түзу немесе
сәйкес үлкен дөңгелек доғаларынан құрылған фигураның қасиеті тұжырымдалады.
Бұл теореманы орта ғасырларда қималар фигурасы деп атаған, қазір мұны толық
төрт қабырғалық немесе трансверсаль деп атайды.
Жазықтық жағдайында (8-сурет) Минелай теоремасы ежелгі математика көп
қолоданылған құрамында қатынастар ілім термині бойынша былай жазылады:
СЕАЕ=CFFD*BDAD (1) НЕМЕСЕ
АЕСЕ*СFFD*BDAD=1 (2). Ал сфера жағдайында (1) теңдіктегі кесінділер
екі еселенген қабырғалардың хордаларымен немесе қазіргі таңбалау бойынша,
қабырғалардың синустарымен алмастырады.
Толық төрт қабырғалылықты АСD, ABE, ECF, және DBF төрт үшбұрыштың кез
келгенінің ВFE, CFD, BDA және СЕА қиюшы трансверсальдарымен сәйкес
қиылысуынан пайда болған фигура деп та қарауға болады. Сондықтан Минелай
теоремасын трөт түрлі вариантта жазуға болады. “Сферикада” 1 және 3
варианттары келтірілген, қалғандары оларға симметриялы болады. 3-варианты
мына түрде жазылады:
SinACsin AE=sin CDsin DF*sin BFsin BE.
Минелай теоремасы әртүрлі жазық және сфералық үшбұрыштарды шешуге
қолданылған.
Клавдий Птолемей- ежелігі дүниенің ең ұлы астрономы болған.
Птолемейдің б.з. 120-жылынан бастап Александрияда өмір сүргені ғана мәлім.
Ол Астрономия жөнінде жазылған, арабтар кейіннен Алмагест деп атап кеткен
үлкен еңбектің иесі. Потлемей әлем жайлы геоцентрлік жүйені жасаушы. Бұл
жүйе бойынша күн, ай және басқа аспан шырақтары әлем центрі жерді айнала
шеңбер бойымен қозғалыста болады.
Птолемейдің “Алмгесті” 13 кітаптан тұрады. Тригонометрия мәселелері
бірінші кітапта келтірілген. Мұнда Птолемей өзінен бұрынғы Минелайдың
зерттеулеріне сүйенгені байқалады. Птолемей дөңгелек шеңберлерін 360
градусқа, ал оның диаметрін 120 бөлікке бөледі. Сөйтіп қорданың ұзындығын
дөңгелектің радиусы арқылы өрнектейді. ТҮрлі бұрыштарға қандай хордалар
сәйкес келетінін анықтау үшін Птолемей шеңберге іштей сызылған төртбұрыш
тұлғалы ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ежелгі Мысырлықтардың математикалық білім дәрежесін айқындауға
мүмкіндік берерліктей екі папирус сақталған. Олардың біріншісі – Ринд
папирусы – Лондонда Британ өзенінде, ал екіншісі Москва папирусы А.С.
Пушкин атындағымузейде сақтаулы. Біріншісінің ұзындығы 5,5 см, ені 32 см,
мұнда 85 есеп бар, ал екіншісінің ұзындығы да сондай, бірақ енсіз (8 см),
онда бас-аяғы 25 есеп келтірілген. Бұл папирустардың жазылу кезі б.з. 2000
жылдай бұрын деп шамалауға болады Папирустарда келтірілген есептер қысқа,
догматикалық түрде берілген. Яғни есептің шарты мен талабы беріледі де шешу
жолы көрсетіледі. Ешқандай дәлелдеу, тексеру, айрықша символика жоқ,
барлығы иероглиф арқылы өрнектелген сөздер мен сөйлемдерден тұрады.
Москва папирусынан қиық пирамиданың көлемін табуға арналған бір
есепті келтірейік.
Табандары квадрат болып келген қиық пирамиданың биіктігі 6 шынтақ,
төменгі табанының қабырғасы төрт, жоғарғы табанының қабырғасы 2 шынтақ. Осы
қиық пирамиданың көлемін табу керек.
Шешу реті келтіріледі: 2-нің квадраты 4, 4 –тің квадраты 16.
2 - мен 4-ті көбейт. Сонда 8 шығады. 16-ға 8-ді қос, оған 4-ті қос. Сонда
28 болады. Биіктің үштен бірін ал. Одан 2 шығады. 28-ді 2 қайта алып, сонда
56 болады. Сонда берілген пирамиданың көлемі дұрыс шығады .
Мысырлықтардан қалған есептерді талдай келіп, оларда математикалық,
білім салаларының бөлінбей арифметикалық, геометриялық, алгебралық
есептердің аралас жүретінін байқауға болады. Есептердің барлығы бірыңғай
практикалық мәселелерді шешуге арналған. Жоғарыда айтылған папирустарды
мұқият зерттеу тек өткен ғасырдан басталған. Бұл тұрғыда математика тарихын
зерттеушілер елеулі жұмыстар тындырды. Осының арқасында Мысыр
математикасының негізгі ерекшеліктері мен сипатын, деңгей дәрежесін
бағалауға мүмкіндік бар. Ежелгі Мысырда қазірде қолданылып жүрген
позициялық емес, Рим нөмірлеуіне ұқсас келетін иероглифтік ондық жүйе
қолданылған. Олар қазіргіше айтқанда 10r(R-0,1,2...7) түріндегі түйінді
сандарды таңбалау үшін айрықша иероглифтік таңбалар енгізіп, бас сандарды
солар арқылы кескіндеген.
Мысырлықтар бірді – 1 (таяқша), онды – П (кісен), жүзді С (өлшеуіш
жіп) мыңды – 00 (гүл жапырақ) деп белгілеген.
Осы сияқты 10 мың, 100 мың, миллион үшінде арнаулы белгілерді
пайдаланған. Мысалы 2344-ті Мысырлықтар былай жазады: 0 0 СССПППП
. Иероглифтер арқылы
0. 0
таңбалау жүйесі біртіндеп өзгеріске ұшырап, үнемі жетілдіріліп отырылған.
Мысырлықтар төрт амалды бүтін сандарға да, бөлшек сандарға да бірдей
қолдана білген. Олардың қосу, азайтуы қазіргібіздің қосу, азайтуымызға өте
ұқсас. Көбейту мен бөлуінде үлкен айырмашылық бар. Олардың көбейтуі екі
сатыдан тұрады: екі еселеу және қосу.
Мәселен, 15-ке 13-ті мынадай кесетемен келтірген.
1 15
2 30
4 60
8 120
Барлығы 195
Бұл кестеде әрбір келесі жолдағы сандар алдыңғы жолдағы сандарды екі
еселеуден шығады. Сол бағанадағы қосындысы 13 болатын сандар іріктеліп
алынып, оң бағанадағы осы сандарға сай келетін 15-тің еселіктері өзара
қосылады. Сонда 195 шығады. Бөлу амалы да осы схема бойынша орындалады.
Айта кететін бір нәрсе екі еселеу мен екіге бөлуді ХҮІІІ ғасырға дейін көп
математиктер айрықша арифметикалық амалдар ретінде қарастырып келді.
Қазіргі оларды көбейту мен бөлу амалдарының дербес жағдайлары болып
саналады. Өлшеу практикасы және бөлу амалын орындау бөлшектердің және
оларға түрлі амалдар қоьлданудың шығуына әкеледі. Мысырлықтардың негізінен
амикваттық бөлшектерді, яғни
½; 13; 1,4; ... 1n; түріндегі бөлшектердің көп пайдаланады. Ал, қалған
бөлшектерді түрлі жасанды тәсілдерді қолдана отырып, осы амеквоттық
бөлшектердің қосындысына келтіреді.
Мәселен:
13=16+16; 27=14+123
297=156+1679+1776
Математикалық білім дағдылардың пайда болуы оқып үйрену методикасын
қажет етеді. Мысырлықтар үшбұрыштың, тіктөртбұрыштың және трапецияның
аудандарын дұрыс формулалар арқылы табады. Үшбұрыштың ауданын табу үшін
табанынн екіге бөліп, биіктігіен көбейтеді. Трапецияның ауданын табу үшін
параллель қабырғаларының қосындысының жартысын басқа екі қабырғасы
қосындысының жартысына көбейтеді. Бұл формула тек тіктөртбұрыш болғанда
ғана дұрыс. Мысырлықтар дөңгелектің ауданын жуық түрде диаметрінің тоғыздан
сегізінің квадратына тең деп алады. Олай болса шеңбер ұзындығының оның
диаметріне қатынасын көрсететін П саны үшін мынадай жуық мән табылады:
π =4(89)2≈3,1605 өз уақытымен салыстырғанда үлкен жетістік еді.
Мысырлықтар қабырғалары 3,4,5 өлшемболып келген үшбұрыштың тікбұрышты
екенін білген. (Пифагор теоремасы). Олар осы үшбұрыш арқылы жер бетінде
тікбұрыш салатын болған. Бұл үшбұрыш қазір “Мысыр үшбұрышы” деп аталып жүр.
Мысырлықтар кубтың, параллелепипедтің және дөңгелек цилиндрдің көлемін таба
білген. Ежелгі Мысыр математикасының дамуына кесірін тигізген.
Мысырлықтардың кейбір арифметикалық есептерді шешу жолдарын қарастыра
келіп, матьематика тарихшылары олар бір белгісізді банк теңдеулерді шеше
білген деген қорытындыға келген. Мысырлықтар белгісізді “Үймек”, “Аха” деп
атаған. Үймек және оның төрттен бірі он бес деген есеп қазіргі біздің
жазуымыз бойынша х+14х=15 түріндегі теңдеу. Олар мұны “жалған жору” деген
әдісті қолданып, шешкен болуы керек. Ол былай: х-ке жорта 4 деген мән
берген, сонда теңдеудің сол жағында 5 сан ышығады, оң жағындағы он бестен 3
есе аз, шешуі 3х4=12. Арифметикалық есептер қазіргі терминология бойынша
прогрессияға келетін есептер. Мысалы: 7 үй, 7 мысық, 7 тышқан, 7 бас арпа,
7 өлшем дән, барлығы қанша? Былайша айтқанда 7 үй әр үйде 7 мысық, әр мысық
7 тышқан, әр тышқан 7 бас дән жейді, ал әрбір дән жерге егілсе 7 өлшем дән
береді. Сонда 7+72+73+ 74 +75 қосындысын табу керек. Бұл – геометриялық
прогрессия. Бұл есептерді тек Мысыр мұғалімдерінің өз шәкірттерін
(“Жазғыштар” мектебінде оқитындарды) математикаға, есептеуге қызықтыру
үшінәдейі астарлы есептер түрінде қарастыру қажет.
Бұл жөнінде тарихшылар әлі белгілі бір тоқтамға келе қойған жоқ.
Александрия ғылыми мектебі
Евклид және Аристрах
“Тригонометрия ” деген сөз грекше “ұшбұрыштарды өлшеу” дегенді
білдіреді. (“Тригоном” – ұшбұрыш және “метро” - өлшеймін).
Тригонометрия астрономия мен география ғылымдарының дамуына тікелей
байланысты туып, қалыптасқан. Тригонометрияның кейбір бастаулары,
элементтері ежелгі Вавилонда кездеседі. Алайда гректер тригонометрияны
астрономияның бір бөлігі ретінде қараған. Мұнда ең әуелі шар бетінде
(сферада) орналасқан ұшбұрыштарды шешуге негізделген сфералық тригонометрия
дамытылған. Ондай сфералық ұшбұрыштардың қабырғалары шар бетіндегі үлкен
дөңгелдектердің доғалары болып келеді.
Ежелгі Грек оқымыстылары ең алдымен тік бұрышты үшбұрыштарды (жазық
немесе сфералық) шешу мәселесін, яғни берілген үш элементі бойынша
үшбұрыштың басқа элменттерін анықтау мәселелерін қояды. Тригонометриялық
мазмұндағы алғашқы зерттеулер Евдокстан басталған болуы керек. Алайда
гректер тригонометриясы туралы толық та жүйелі мағлұматты біз Минелай мен
Птолемей еңбектерінен табамыз.
Александриялық Минелай – б.з. І ғасырында өмір сүрген астроном және
математик. Ол “Сферика” деп аталатын үшбұрышщтар жөніндегі үш томдық
көлемді еңбектің авторы. Сфериканың грекше нұсқасы бізге жетпегенімен ол
араб аудармасы арқылы сақталған. Минелай мұнан басқа араб жазбаларының
дерегі бойынша “Геометряи элементтері”, “Үшбұрыштар туралы кітап” деп
аталатын геометриялық трактаттар жазғаны көрінеді.
“Сфериканың” бірінші кітабында Евклидтің “Бастамалары” үлгісінде
сферикалық тікбұрышты үшбұрыштар туралы теоремалар дәлелденеді. Мұнда
ұқсастығы жоқ сөйлемдер де кездеседі. Ол мәселен, сферикалық үшбұрыштардың
ішкі бұрыштарының қосындысы екі тік бұрыштан үлкен болатынын дәлелдейді.
Сфермикалық геометрия – математика тарихындағы ең бірінші Евклидтік емес
(биевклидтік) геометрия жүйесі болып табылады.
“Сфериканың” екінші кітабының мазмұны жоғарыда айтылған Теодосийдің
шығармасының мазмұнымен бірдей. Бірақ дәлелдері қысқа да анық болып келеді.
“Сфериканың” үшінші кітабы негізінен тригонометрия мәселелеріне
арналған. Әрине, гректерде ол кезде қазіргі мағынадағы тригонометрия жоқ
болатын. Синус және басқа тригонометриялық функциялар анықталмайтын, синус
сызығының орнына қордалар жүретін, қазіргіше айтсақ, а бұрышының синусы 2а
бұрышын керіп тұрған хорданың жартысы болады.
Бұл кітапта кейін арабтар, хиуалар, немесе алты шама туралы ереже деп
атап кеткен атақты Минелай теоремасы дәлелденеді. Мұнда жазықтықта немесе
сферада әрқайсысы қалғандарын үш нүктеде қиып өтетін төрт түзу немесе
сәйкес үлкен дөңгелек доғаларынан құрылған фигураның қасиеті тұжырымдалады.
Бұл теореманы орта ғасырларда қималар фигурасы деп атаған, қазір мұны толық
төрт қабырғалық немесе трансверсаль деп атайды.
Жазықтық жағдайында (8-сурет) Минелай теоремасы ежелгі математика көп
қолоданылған құрамында қатынастар ілім термині бойынша былай жазылады:
СЕАЕ=CFFD*BDAD (1) НЕМЕСЕ
АЕСЕ*СFFD*BDAD=1 (2). Ал сфера жағдайында (1) теңдіктегі кесінділер
екі еселенген қабырғалардың хордаларымен немесе қазіргі таңбалау бойынша,
қабырғалардың синустарымен алмастырады.
Толық төрт қабырғалылықты АСD, ABE, ECF, және DBF төрт үшбұрыштың кез
келгенінің ВFE, CFD, BDA және СЕА қиюшы трансверсальдарымен сәйкес
қиылысуынан пайда болған фигура деп та қарауға болады. Сондықтан Минелай
теоремасын трөт түрлі вариантта жазуға болады. “Сферикада” 1 және 3
варианттары келтірілген, қалғандары оларға симметриялы болады. 3-варианты
мына түрде жазылады:
SinACsin AE=sin CDsin DF*sin BFsin BE.
Минелай теоремасы әртүрлі жазық және сфералық үшбұрыштарды шешуге
қолданылған.
Клавдий Птолемей- ежелігі дүниенің ең ұлы астрономы болған.
Птолемейдің б.з. 120-жылынан бастап Александрияда өмір сүргені ғана мәлім.
Ол Астрономия жөнінде жазылған, арабтар кейіннен Алмагест деп атап кеткен
үлкен еңбектің иесі. Потлемей әлем жайлы геоцентрлік жүйені жасаушы. Бұл
жүйе бойынша күн, ай және басқа аспан шырақтары әлем центрі жерді айнала
шеңбер бойымен қозғалыста болады.
Птолемейдің “Алмгесті” 13 кітаптан тұрады. Тригонометрия мәселелері
бірінші кітапта келтірілген. Мұнда Птолемей өзінен бұрынғы Минелайдың
зерттеулеріне сүйенгені байқалады. Птолемей дөңгелек шеңберлерін 360
градусқа, ал оның диаметрін 120 бөлікке бөледі. Сөйтіп қорданың ұзындығын
дөңгелектің радиусы арқылы өрнектейді. ТҮрлі бұрыштарға қандай хордалар
сәйкес келетінін анықтау үшін Птолемей шеңберге іштей сызылған төртбұрыш
тұлғалы ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz