Натурал сандар жиыны

1.Пифагордың анықтамасы
2. Достас сандар теориясы

Нәрселерді санауда қолданылатын сандар натурал сандар деп аталады. Біз мектеп математикасы курсынан натурал сандардың жұп және тақ , жай және құрама болып бөлінетіндігін білеміз. Ал «кемел сан», «достас сан» деген қандай сандар? Жай және құрама сандармен қандай байланыста? Бұл сұрақтарға жауап беру үшін санның бөлгіштері ұғымын, жай және құрама сандарды жақсы білу шарт. Санның бөлгіштері, 2-ге, 3-ке, 9-ға, 5-ке, 10-ға бөлінгіштік белгілері, құрама сандарды жай көбейткіштерге жіктеу, жұп және тақ сан ұғымдары бізге таныс болғанымен жұмыста қарастырдым.
Мектеп математикасы курсынан білетініміздей, жай сан дегеніміз тек 1 мен өзіне ғана бөлінетін натурал сан. Ал құрама сан деп бөлгіштерінің саны екеуден артық болатын натурал санды айтамыз.
Жай сандар жиынындағы есептерді шешу мәселелерімен Евклид, Эратосфен (1821-1894); академик Х.Гольдбах (1690-1764); академик И.М.Виноградов (1891-1983) сияқты кемеңгер математиктер кеңінен айналысып, ғылыми жемісті табыстарға жеткен.
Жұп және тақ сандар жай сандармен қандай байланыста? Бұл сұраққа жауапты келесі есептерден табамыз.
Гольдбах проблемасы . 5-тен үлкен кез-келген n натурал сан үш жай санның қосындысынан тұрады. Мысалы, 9= 2+2+5; 28=11+13+3; 85=79+3+3; т.с.с.
Эйлер проблемасы. 1) 2-ден артық кез-келген жұп сан екі жай санның қосындысынан тұрады. Мысалы, 4=2+2; 16=13+3; 84=79+5; т.с.с.
2) 5-тен артық кез-келген тақ сан үш жай санның қосындысынан тұрады. Мысалы, 7=2+2+3; 17=11+3+3; 85=79+3+3; т.с.с.
Пифагордың анықтамасы бойынша: кемел сан деп өзінің барлық мүмкін бөлгіштерінің қосындысына тең болатын санды айтады. Мысалы, 6, 28 сандарын кемел сандар деп айтуға болады. Өйткені 6 саны өзінің барлық бөлгіштерінің қосындысына тең 6=1+2+3. Сол сияқты 28= 1+2+4+7+14.
6 және 28 сандарының осындай ерекшелік қасиеттеріне әу бастан кемелдік немесе кереметтік мағына беріп қараушылар, көбінесе дүние жаратылымын діни оқу тұрғысынан түсіндірушілер болған. Олардың ойынша: «Бір алла бүкіл әлемді 6 күнде жаратқан», «Аспандағы Ай Жерді 28 тәулікте шарлап шығады». Сондықтан, 6 мен 28 сандары, көне де қасиеттері соларға ұқсас сандардың барлығы кемел сандар қатарына жатуы тиіс.
Математикалық тұрғыдан алғанда, кемел сандардың басты кереметі одардың жай сандармен тығыз байланыста болып келуінде. Ғылыми математиканың атасы Евклид (б.з.б. 330-275 жж.) кемел сандарды есептеп табудың ережесін тапты.