Жойылмалы эллиптік түрдегі теңдеулер үшін Дирихле есебі спектрінің дискреттілігі


Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .5
1 Эллиптік түрдегі теңдеулер
1.1 Лаплас теңдеуіне әкелетін есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .11
1.2 Лаплас теңдеуін түрлендіру ... ... ... ... ... ...14
1.3 Лаплас теңдеуінің кейбір дербес шешімдері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .17
1.4 Гармоникалық функциялардың маңызды қасиеттері ... ... ... ... ... ... ..18
1.5 Шеттік есептердің шешімін анықтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..25

2 Функционалдық анализдің негізгі түсініктері мен кейбір фактілері
2.1 Метрикалық кеңістік түсінігі ... ... ... ... ... ...32
2.2 Сызықты және нормаланған кеңістіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .38
2.3 Гильберт кеңістігі, ортогональдық ... ... ... ..40
2.4 Сызықты операторлар теориясының элементтері ... ... ... ... ... ... ... ... ..42
2.5 Кері операторлар ... ... ... ... ... ... ..44

3 Жойылмалы эллиптік түрдегі теңдеулер үшін Дирихле есебі спектрінің дискреттілігі
3.1 Жойылмалы эллиптік түрдегі теңдеулер үшін Дирихле есебі спектрінің дискреттілігі ... ... ... ... ... ... .46

Қорытынды ... ... ... ... ... ... 53

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... .
Тақырыптың өзектілігі. Эллиптiк түрдегі теңдеулер стационарлық (тұрақты) процестердi, мысалы, денеде тұрақты температураның таралуы, өткiзгiштiң бетiндегi электр зарядтарының тепе-теңдiк күйi, сұйықтың потенциалды ағысы т.с.с. процестердi сипаттайды.
Эллиптiк түрдегі теңдеулер үшiн қойылған шеттiк есептердiң шешiмiн табу үшiн әртүрлi әдiстер қолданылады. Олардың iшiнде жиi қолданылатыны Фурье әдiсi, Грин функциясы әдiсi, интегралдық теңдеулер әдiсi т.б.
Дифференциалды теңдеулерді зерттеуде қойылатын негізгі сұрақтарды үш топқа біріктіруге болады: шешімнің бар болуы, жалғыздығы және сапалық өзгерістері. Бұл сұрақтардың алғашқы екеуі теңдеудің математикалық моделі ретінде белгілі бір процесті сипаттайтынына жауап берсе, ал үшіншісі процестің өзгеруін сипаттайды. Сондықтан сызықты және сызықты емес дифференциалды теңдеулер теориясында үшінші мәселе, яғни теңдеу шешімнің сапалық өзгерістерін зерттеу үлкен орын алады. Соның ішінде бізді төмендегідей сұрақтар қызықтырады: 1) шешімнің тегістігі 2) шешімнің әр түрлі салмақты нормалардағы бағасы 3) шешімнің аппроксимативті қасиеттері.
Эллиптік түрдегі операторларға қарағанда, жойылмалы эллиптік түрдегі операторлардың спектральды сұрақтары аз зерттелген. Бұл бағыттағы немесе осыған жақын жұмыстар М.М.Смирновтың, Х.Трибелдің, М.В.Келдыштың, П.Боллей және Т.Камюдің, О.А.Олейниктің, М. Отелбаевтың, Т.Ш.Кальменовтың, М.Б. Муратбековтың, Л.К.Кусаинова мен М.С.Айтенованың және басқа да ғалымдардың еңбектерінде кездеседі.
Бірақта, бұл еңбектерде асимптотикалық бағыты және меншікті мәндері сияқты дәстүрлі сұрақтар зерттелмеген.

Жұмыс мақсаты. Жұмыстың негізгі мақсаты жойылмалы эллиптік түрдегі теңдеулер үшін Дирихле есебі спектрінің дискреттілігі.

Зерттеу әдістемесі. жойылмалы эллиптік түрдегі теңдеулер үшін Дирихле есебі спектрінің дискреттілігін зерттеу барысында төмендегідей әдістер пайдаланылды: априорлы бағалау әдісі және М.Б.Мұратбеков пен М.Өтелбаевтың жұмыстарында ұсынылған әдістер қолданылды.
1 Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. –М.: «Наука», 1966.-С.292.
2 Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы.-М., 1980.-С. 664.
3 Кальменов Т.Ш., Отелбаев М.О. О гладкости решений одного класса вырождающихся эллиптических уравнений //Дифф. урав. -1977. - Т.13, №7. -С. 1244-1255.
4 Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР.- 1951. - 77, №2 -С. 181-183.
5 Bolley P., Camus J. Une classification de problemes Miptigenes degeneres a une on plusieurs variables // Sem Goulanic-Schwarts.-1970/1971.
6 Олейник О.А. О гладкости решений вырождающихся эллиптических и параболических уравнений //ДАН СССР.- 1965.-vol.- 163, №3.-Р. 557-580.
7 Отелбаев М., Ойнаров Р. Критерии дискретности спектра общего оператора Штурма-Лиувилля и теоремы вложения, связанные с ними // Диф. уравн. 1988. Т.24, №4. -С.584-591.
8 Айтенова М.С., Кусаинова Л.К. Об асимптотике распределения аппроксимативных чисел вложений весовых классов Соболева I // Мат. журнал.- –Алматы, 2002. –Т.2, №1. –С. 3-9.
9 Муратбеков М.Б. О гладкости решений одного класса неравномерно вырождающихся эллиптических уравнений // Известия АН Каз ССР. Сер.физ-мат.  1981.  №5.  С.71-73.
10 Муратбеков М.Б. О гладкости решений одного класса неравномерно вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики.  Новосибирск.  1981.  С.144-146.
11 Вишик М.И., Грушин В.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений вырождающихся на границе области // Матем. Сб.  1969.  Т.80.  №4.  С.455-491.
12 Мынбаев К.Т, Отелбаев М. Весовые функциональные пространства спектр дифференциальных операторов. –М.: Наука.  1988.
13 Отелбаев М.О. Оценки спектра оператора Штурма-Лиувилля. –Алматы: Гылым. – 1990.
14 Садовничий А.В. Теория операторов М., Наука 1986 г.
15 Муратбеков М.Б. Некоторые приложения функционального анализа
Тараз, 1996 г.
16 М.Б.Муратбеков Разделимость и спектр дифференциальных операторов смешанного типа. Тараз, 2006.
17 Акжигитов Е. Гладкость решений одного класса выраждающихся эллиптических уравнении. Автореферат кан. дисс. Джезказган, 1998 г.
18 Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы М., Наука 1969 г.
19 Люстерник Л.А. Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа М., Высшая школа, 1982 г.
20 С.Г. Крейн Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М., Наука, 1971 г.
21 А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин Элементы теорий функции и функционального анализа М., Наука, 1981 г.
22 В.С.Владимиров Уравнения математической физики М., 1976 г.
23 Муратбеков М.Б., Мүсілімов Б.М. Штурм-Лиувилль операторының бөліктенуі туралы Тараз, 1998.
24 Треногин В.А. Функциональный анализ. М., Наука 1980 г.
25 Соболев С.Л. Некоторые применение функционального анализа в математической физике. М., Наука 1988 г.
26 Гохберг И.И., Крейн М.Г Введение в теорию линейных несамосапряженных операторов М., Наука 1988 г.
27 Мазья В.Г. Пространства Соболева ЛГУ., 1985 г.
28 Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики М., Высшая школа, 1982г.
29 Шыракбаев А.Б., Джиенкулова А.М., Шарекенова М.Б. Оценки собственных чисел полупериодической задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений // Докл. научной конференции МКТУ  2008г.  С.269-270.
30 Муратбеков М.Б., Ахметжанов М.А. Оценки спектра одного класса дифференциальных операторов гиперболического типа // Математический журнал, Алматы, -2005. –Т.5, №2(16). –С.57-65.
31 Ахметжанов М.А., Муратбеков М.Б. Спектральные свойства дифференциальных операторов гиперболического типа в неограниченной области с растущими коэффициентами // Вестник КазНУ спец. Выпуск серии Механика, математика и информатика. Алматы, -2006. №1. –С.83-87.
32 Кальменов Т.Ш., Муратбеков М.Б. Спектральные свойства оператора смешанного типа. Шымкент, 1997, 80с.
33 Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы функции и функционального анализа. Москва -1981. 544с.
34 Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва. -1980. –С.496.
35 Владимиров В.С. Уравнения математической физики. Москва.-1984. -567с.
36 Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Москва. -1988. –С.567.
37 Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. Москва. -1976. -392с.
38 Ахиезер Н.И., Глазман И.П. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Москва. -1966. -543с.
39 Иосида К. Функциональный анализ. Москва. -1967. -624с.
40 Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. Москва.-1969.-526с.
41 Тейлор М. Псевдо-дифференциальные операторы М, «Мир»-1985.-с.20-23.
42 Гусман М. Дифференцирование интегралов в . М, «Мир» -1978. -246с.
43 Муратбеков М.Б., Мусилимов Б.М., Жусипназаров Р.М. О максимальной диссипативности одного класса дифференциальных операторов с операторными коэффициентами // Вестник КарГУ №1 (41)/2006. -С.26-31.
44 Байбатшаев Б.Н., Жусипназаров Р.М., Шыракбаев А.Б. О существовании и единственности решений одного класса гиперболических уравнений // Тезисы докладов Международной 11-ой межвузовской конференции по математике и механике. Астана, 25 -26 мая, 2006г. –С58.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Дипломдық жұмыс
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 53 бет
Таңдаулыға:   
Бұл жұмыстың бағасы: 1900 теңге
Кепілдік барма?

бот арқылы тегін алу, ауыстыру

Қандай қате таптыңыз?

Рақмет!






Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...5

1 Эллиптік түрдегі теңдеулер
1.1 Лаплас теңдеуіне әкелетін
есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .11
1.2 Лаплас теңдеуін
түрлендіру ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
..14
1.3 Лаплас теңдеуінің кейбір дербес
шешімдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ...17
1.4 Гармоникалық функциялардың маңызды
қасиеттері ... ... ... ... ... ... . .18
1.5 Шеттік есептердің шешімін
анықтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..25

2 Функционалдық анализдің негізгі түсініктері мен кейбір фактілері
2.1 Метрикалық кеңістік
түсінігі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 32

2.2 Сызықты және нормаланған
кеңістіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .38
2.3 Гильберт кеңістігі,
ортогональдық ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .40
2.4 Сызықты операторлар теориясының
элементтері ... ... ... ... ... ... ... ... ..42
2.5 Кері
операторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ..44

3 Жойылмалы эллиптік түрдегі теңдеулер үшін Дирихле есебі спектрінің
дискреттілігі
3.1 Жойылмалы эллиптік түрдегі теңдеулер үшін Дирихле есебі спектрінің
дискреттілігі ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ..46

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... .53

Пайдаланылған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...55

КІРІСПЕ

Тақырыптың өзектілігі. Эллиптiк түрдегі теңдеулер стационарлық
(тұрақты) процестердi, мысалы, денеде тұрақты температураның таралуы,
өткiзгiштiң бетiндегi электр зарядтарының тепе-теңдiк күйi, сұйықтың
потенциалды ағысы т.с.с. процестердi сипаттайды.
Эллиптiк түрдегі теңдеулер үшiн қойылған шеттiк есептердiң шешiмiн табу
үшiн әртүрлi әдiстер қолданылады. Олардың iшiнде жиi қолданылатыны Фурье
әдiсi, Грин функциясы әдiсi, интегралдық теңдеулер әдiсi т.б.
Дифференциалды теңдеулерді зерттеуде қойылатын негізгі сұрақтарды үш
топқа біріктіруге болады: шешімнің бар болуы, жалғыздығы және сапалық
өзгерістері. Бұл сұрақтардың алғашқы екеуі теңдеудің математикалық моделі
ретінде белгілі бір процесті сипаттайтынына жауап берсе, ал үшіншісі
процестің өзгеруін сипаттайды. Сондықтан сызықты және сызықты емес
дифференциалды теңдеулер теориясында үшінші мәселе, яғни теңдеу шешімнің
сапалық өзгерістерін зерттеу үлкен орын алады. Соның ішінде бізді
төмендегідей сұрақтар қызықтырады: 1) шешімнің тегістігі 2) шешімнің әр
түрлі салмақты нормалардағы бағасы 3) шешімнің аппроксимативті қасиеттері.
Эллиптік түрдегі операторларға қарағанда, жойылмалы эллиптік түрдегі
операторлардың спектральды сұрақтары аз зерттелген. Бұл бағыттағы немесе
осыған жақын жұмыстар М.М.Смирновтың, Х.Трибелдің, М.В.Келдыштың, П.Боллей
және Т.Камюдің, О.А.Олейниктің, М. Отелбаевтың, Т.Ш.Кальменовтың, М.Б.
Муратбековтың, Л.К.Кусаинова мен М.С.Айтенованың және басқа да
ғалымдардың еңбектерінде кездеседі.
Бірақта, бұл еңбектерде асимптотикалық бағыты және меншікті мәндері
сияқты дәстүрлі сұрақтар зерттелмеген.

Жұмыс мақсаты. Жұмыстың негізгі мақсаты жойылмалы эллиптік түрдегі
теңдеулер үшін Дирихле есебі спектрінің дискреттілігі.

Зерттеу әдістемесі. жойылмалы эллиптік түрдегі теңдеулер үшін Дирихле
есебі спектрінің дискреттілігін зерттеу барысында төмендегідей әдістер
пайдаланылды: априорлы бағалау әдісі және М.Б.Мұратбеков пен М.Өтелбаевтың
жұмыстарында ұсынылған әдістер қолданылды.

Ғылыми жаңашылдығы. Жұмыста төмендегідей жаңа нәтижелер алынды:
1. сызықты екінші ретті жойылмалы эллиптік түрдегі теңдеулер үшін
Дирихле есебі спектрінің дискреттілігі алынды.
2. Қарастырылған оператордың өз-өзіне түйіндес емес болған жағдайдағы
синулярлы сандары (s-сандары).

Практикалық және теориялық құндылығы. Кванттық механикада, беттердің
ақырсыз аз иілу теориясында дифференциялды операторлардың спектральді
теориясында сондай-ақ, жоғары курс студенттеріне арнайы курс оқу
барысында қолданылатын теориялық қызығушылық тудыратын нәтижелер алынды.

Жұмыстың апробациясы. Қарастырылып отырған диссертациялық жұмыс
нәтижелері Тараз мемлекеттік педагогикалық институты хабаршысы, ғылыми
педагогикалық журналында (2011,№6) О существовани периодических решений
нелинейных вырождающихся уравнений тақырыбында және 2011 жылы желтоқсанда
Таразда болған ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ ИНТЕГРАЦИЯСЫ:
ПРОБЛЕМАЛАРЫ МЕН БОЛАШАҒЫ атты Республикалық ғылыми-практикалық
конференциясында Жойылмалы эллиптік түрдегі теңдеулердің бір класы үшін
шешімнің бар болуы тақырыптарында жарық көрді.

Диссертация құрылымы. Жұмыс кіріспе, үш бөлім, қорытынды және
пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Кіріспеде тақырыптың өзектілігі негізделген, негізгі мақсаттары
келтірілген, жұмыстың жаңалығы мен теориялық және практикалық маңыздылығы
анықталған.
Бірінші бөлімде әдебиетке шолу жасалып, эллиптік түрдегі теңдеулердің
кластарға бөлінуі, айнымалыны ажырату әдістері көрсетіліп мысалдармен
ұштастырылған.
Екінші бөлімде функционалдық анализдің кейбір фактілері мен тұжырымдары
және көмекші нәтижелер келтірілген.
Үшінші бөлімде жойылмалы эллиптік түрдегі теңдеулер үшін Дирихле есебі
спектрінің дискреттілігі шарттары көрсетілген.
кеңістігінде төмендегі дифференциалдық операторды қарастырайық,

(1)

мұндағы (=((x,y)( -(( x((,0(y(1( тіктөртбұрыш.
(1) операторы - облысындағы у айнымалысы бойынша барлық
ретті дифференциалдары анықталған функциялар жиынында берілсін және
(2)

(3)

шарттарын қанағтаттандырсын.
L операторының коэффициенттері төмендегі шарттарды қанағаттандырсын деп
ұйғарайық:

- функциялары [0,1] кесіндісінде бөлікті үзіліссіз;
мұндағы С(0 – кейбір бағаланған сан және теңдеуімен
анықталған функция:

,

мұндағы -((t((.

Теорема 1. шарты орындалсын деп ұйғарайық. Онда L операторының
кеңістігінде үзіліссіз кері операторы бар.

Теорема 2. шарттары орындалсын. Онда кері операторының
сандары үшін төмендегі теңсіздік орынды

мұндағы С1 және С2 сандары тұрақты сандар, яғни 0( С1≤ С2.

Анықтама 1. Егер үшін тізбегінің құрамында жинақты ішкі
тізбек бар болса онда операторы жете үзіліссіз деп аталады.

Анықтама 2. Егер функциясы үшін шарты орындалса, онда
сызықты шенелген операторы теріс емес деп аталады, және
белгіленеді.
Айталық кез келген шенелген оператор болсын, онда Себебі:

Жете үзіліссіз сызықты кез келген операторы үшін
операторын төмендегідей анықтаймыз: .

Анықтама 3. операторының меншікті мәндері операторының
-сандары (Шмид бойынша меншікті мәндері) деп аталады.
Нөлден өзгеше -сандарының еселіктерін ескеріп кему ретімен
нөмірлейміз, яғни .
Мұндағы -сандары оң және нақты сандар.

Анықтама 4. Егер компактілі операторы

шартты қанағаттандырса, онда операторы ядролы оператор деп аталады.
Айталық -банах кеңістіктері кеңістігі
кеңістігіне енгізілген және жиыны кеңістігіндегі бірлік шар
болсын.

Анықтама 5. жиыны кеңістігінің метрикасында мүмкін
болатын өлшемі сызықты көпбейнелерінен ауытқуларының
төменгі шені -дің -ге енуінің Колмогоров көлденеңдері
деп аталады, яғни анықтама бойынша

мұндағы мүмкін болатын сызықты көпбейнелер жиынтығы.
мұндағы енгізу оераторы.
Тікелей анықтамадан шығатын көлденеңдердің мынандай қасиеттері бар:

1.

2.

3. мұндағы

Колмогоров көлденеңдерінің екінші анықтамасы іспеттес келесі теорема орынды
болады.

Теорема. Айталық қандай да бір жете үзіліссіз оператор, онда
саны жиынының -шы Колмогоров көлденеңімен сәйкес келеді,
яғни .
Мұндағы бірлік шар.
Колмогоров көлденеңдерінің бұл келтірілген анықтамасы көптеген
жағдайларда біріншіге қарағанда ұтымды болады.
Келесі функцияны енгізейік:

-дан үлкен көлденеңдердің саны.

Бұл функция көлденеңдерді тарату функциясы немесе санаушы функция деп
аталады. -шы көлденеңдермен оларды тарату функциясының арасында
мынандай байланыс бар .
Соңғы теңдік көлденеңдерді бағалау үшін олардың тарату функцияларын
бағалауға болатынын білдіреді.
Лемма 1. шарты орындалсын. Онда:
а) барлық үшін төмендегі теңсіздік орынды

б) операторының үзіліссіз кері операторы бар.

Лемма 2.. шарты орындалсын. Онда барлық үшін төмендегі баға
орынды

Лемма 3. шарты орындалсын. Онда барлық төмендегі баға
орынды:

Лемма 4. шарттары орындалсын. Онда кез келген үшін
тұрақтысы табылып, мұндағы төмендегі теңсіздік орынды

Лемма 5. шарттары орындалсын. Онда төмендегі
баға орынды

Лемма 6. шарттары орындалсын. Онда барлық үшін төмендегі
баға орынды:

мұндағы С0-тұрақты сан.

1 Эллиптiк түрдегі теңдеулер
1.1 Лаплас теңдеуіне келтірілетін есептер

Эллиптiк түрдегі теңдеулер стационарлық (тұрақты) процестердi, мысалы,
денеде тұрақты температураның таралуы, өткiзгiштiң бетiндегi электр
зарядтарының тепе-теңдiк күйi, сұйықтың потенциалды ағысы т.с.с.
процестердi сипаттайды. Осы сияқты процестердi зерттеулер Лаплас теңдеуiнiң
шешiмiн табу амалына әкеледi. Лаплас теңдеуi

(1.1.1)

түрiнде жазылады.
Теңдеудiң сол жағына Лаплас операторын қолданып былай жазуға
болады.

Екi тәуелсiз айнымалылар үшiн Лаплас теңдеуi

түрiнде, жазылады. Ал

түрiндегi теңдеу Пуассон теңдеуi деп аталады.
Лаплас теңдеуiн қанағаттандыратын u функциялары гармоникалық функциялар
деп аталады.

Бiртектi денеде температураның тұрақталып таралуы

Бiртектi Т денесi бетiмен шектелген болсын дейiк. Дененiң
әртүрлi нүктелерiндегi температура

теңдеуiн қанағаттандырады. Егер температура уақыттан тәуелсiз болса,
яғни , онда дененiң температурасы Лаплас теңдеуiн қанағаттандырады.

Осы теңдеуден дененiң температурасы бiр мәндi анықталуы үшiн
бетiндегi температураны бiлу керек. Сондықтан (1.1.1) теңдеу үшiн шеттiк
есеп былай қойылады:

10 Дирихле есебi (бiрiншi шеттiк есеп)

Берiлген Т облысында гармоникалық функция болатын, тұйық
облысында үзiлiссiз және облыстың шекарасында берiлген үзiлiссiз
функциясына тең, яғни

(1.1.2)

шартын қанағаттандыратын функциясын табу керек. Егер температураның
таралуы жазықтықтағы С контуры мен D облысында қарастырылатын болса, онда

теңдеуiн қанағаттандыратын және С контурында функциясына тең u(x,y)
функциясын табу керек.

20 Нейман есебi (екiншi шеттiк есеп)

Берiлген Т облысында гармоникалық функция болатын, тұйық
облысында үздiксiз дифференциалданатын, ал тегiс бетiнен сыртқа қарай
бағытталған нормаль бойынша алынған туындысы осы беттiң
нүктелерiнде берiлген үздiксiз функциясына тең болатын, яғни

(1.1.3)

шартын қанағаттандыратын u(M) функциясын табу керек.

30 Аралас есеп (үшiншi шеттiк есеп)

Берiлген Т облысында гармоникалық болатын, тұйық облысында
үздiксiз дифференциалданатын, ал сол u(M) функциясының және оның нормальдiк
бағыт бойынша алынған туындысының сызықтық комбинациясы
тегiс бетiнде берiлген үздiксiз функциясына тең болатын, яғни

(1.1.4)

шартын қанағаттандыратын u(M) функциясын табу керек.
Егер есептiң шешiмiн бетiмен қоршалған iшкi облыста немесе одан
сырт облыста табу керек болса, онда есеп тиiсiнше iшкi немесе сыртқы шеттiк
есеп деп аталады.

Сұйықтың потенциалды ағыны

Екiншi мысал ретiнде сұйық ағынының көзi жоқ, яғни сығымдалмайтын
сұйықтың потенциалды ағынын қарастырайық. Шекарасы болатын қандай
да бiр Т облысының iшiнде v(x,y,z) жылдамдықпен сипатталатын сығымдалмайтын
сұйықтың (тығыздығы ) стационар ағыны бар болсын дейiк. Егер сұйық
ағыны құйынсыз болса, онда жылдамдығы потенциалдық вектор болады,
яғни

(1.1.5)

Мұндағы - жылдамдық потенциалы деп аталатын скалярлық функция.
Егер ағын көздерi жоқ болса, онда

Осыны (1.1.5) теңдеуге қойып,

немесе

теңдеуiн аламыз. Осыдан потенциалдық жылдамдық Лаплас теңдеуiн
қанағаттандыратынын көремiз.

1.2 Лаплас теңдеуiн түрлендiру

Алдымен екi өлшемдi және үш өлшемдi кеңiстiктердегi негiзгi
координаталар жүйелерiн еске салайық:
Екi өлшемдi кеңiстiктегi тiк бұрышты декарт координаталар жүйесi;
Үш өлшемдi кеңiстiктегi тiк бұрышты декарт координаталар жүйесi;
Екi өлшемдi кеңiстiктегi полярлық координаталар;
Үш өлшемдi кеңiстiктегi цилиндрлiк координаталар;
Үш өлшемдi кеңiстiктегi сфералық координаталар;
Полярлық координаталар мынадай арақатынастармен анықталады.

а)
y
, ,

немесе,

Цилиндрлік координаталаp

немесе

Сфералық координаталар

в)
немесе

1-сурет

Лаплас теңдеуiнде полярлық координаталарға көшейiк:

, егер x0 болса,

егер x0, , егер x=0, y0, егер x=0, y0

болғандықтан, мынадай түрлендiрулер жүргiземiз:

және

Осыларды теңдеуге қоямыз

Сонымен Лаплас теңдеуi полярлық координаталармен былай жазылады

(1.2.1)

Лаплас теңдеуiнiң цилиндрлiк координаталармен берiлген түрi.

(1.2.2)

Лаплас теңдеуiнiң сфералық координаталармен берiлген түрi

(1.2.3)

1.3 Лаплас теңдеуiнiң кейбiр дербес шешiмдерi

Сфералық симметриялы Лаплас теңдеуiнiң шешiмi

жай дифференциалдық теңдеуiнен анықталады. Бұл теңдеудi интегралдап,

шешiмiн аламыз. Мұндағы С1 және С2 - кез-келген тұрақтылар. Егер С1
=1, С2 =0 деп алатын болсақ, онда Лаплас теңдеуiнiң кеңiстiктегi

(1.3.1)

фундаменталды шешiмiн аламыз.
Осы сияқты деп алып және (1.2.1) не (1.2.2) теңдеулердi
пайдаланып, цилиндрлiк немесе дөңгелектi симметриялы болатын шешiм аламыз:

Егер С1 =-1, С2 =0 деп алатын болсақ, онда

(1.3.2)

теңдiгiн аламыз. Бұл функцияны жазықтықтағы Лаплас теңдеуiнiң фундаменталды
шешiмi деп атайды.

1.4 Гармоникалық функциялардың маңызды қасиеттерi

Гармоникалық функциялардың қасиеттерiн қарастырғанда Гриннiң
формулалары жиi қолданылады.

Гриннiң бiрiншi формуласы

(1.4.1)

Гриннiң екiншi формуласы

(1.4.2)

Осы формулаларды дәлелдейiк.
Остроградский – Гаусс формуласын жазайық

(1.4.3)

мұндағы - көлем элементтерi - бетiнен жүргiзiлген сыртқы
нормальдардың координата осьтерiмен жасайтын бұрыштары. – кез-келген
дифференциалданатын функциялар. Егер функцияларын векторының
компоненттерi ретiнде қарастыратын болсақ, онда (1.4.3) формулаларын былай
жазуға болады.

(1.4.3)

Мұнда - және . Ендi және - өздерiнiң
бiрiншi туындыларымен бiрге облысының iшкi жағында үзiлiссiз функция
ал Т облысының iшкi жағында үзiлiссiз екiншi туындылары бар болсын. Әрi
қарай

деп алып, (1.4.3) Остроградский – Гаусс формуласын пайдаланып Гриннiң
бiрiншi формуласын (1.4.1) аламыз.

Мұндағы - Лаплас операторы,

- сыртқы нормаль бағыты бойынша алынған туынды.
Егер

арақатынасын ескерсек, онда Грин формуласын былай жазуға болады:

(1.4.1)

Осындағы мен – лардың орнын ауыстырып жазайық:

Осы теңдiктi (1.4.1) теңдiктен алып тастап, Гриннiң екiншi формуласын
аламыз:

(1.4.2)

Ендi гармоникалық функциялардың қасиеттерiне тоқталайық.

10 Тегiс тұйық S бетi D ашық облысында жататын болсын және f осы D
облысындағы гармоникалық функция. Онда

(1.4.4)

Мұндағы - тегiс S бетiне нормаль бағыты бойынша алынған f
функциясының туындысы. Ал - бет ауданының элементi.
20 Ашық D облысында f гармоникалық функция болсын. Онда

(1.4.5)

Мұндағы SR – D облысындағы центрi (x0, y0, z0) нүктесiнде жататын және
радиусы R-ға тең сфера, ал - сфера бетiнiң аудан элементi. Бұл 20
қасиет D облысындағы кез-келген сфераның бетiндегi f функциясының орта мәнi
сфераның центрiндегi функцияның мәнiне тең екендiгiн көрсетедi.
30 Максимум принципi. Шекарасы S болатын D тұйық облысында f
гармоникалық функция болса, онда f функциясының кез-келген жекеленген
экстремумы шекаралық нүктелерде қабылданады.
40 Шекарасы S болатын D тұйық облысында u және гармоникалық
функциялар болып және S бетiнде u теңсiздiгi орындалса, онда D - ның
барлық нүктелерiнде u шарты орындалады.
50 Комплекс айнымалысының функциясы z=x+yi нүктесiнде
аналитикалық функция болсын. Онда және функциялары (x,y)
нүктесiнiң маңайында гармоникалық функциялар болады.
Дәлелдеу. 10 S бетiмен шектелген D облысындағы тегiс векторлық
өрiсi үшiн Остроградский формуласы орындалады:

Мұндағы - S бетiне сыртқы нормаль, , - D облысының
көлем және S бетiнiң аудан элементтерi.
Остроградский формуласын

үшiн қолданайық.
Мұндағы u, функциялары D облысындағы тегiс функциялар. Бiрнеше
түрлендiрулерден кейiн мынадай теңдiк аламыз:

(1.4.6)

Шынында да,

Ал S бетi арқылы өтетiн вектор ағыны, яғни

болса, ол былай өрнектеледi



өйткенi бағыт бойынша туындының қасиетi бойынша

Осындағы (1.4.6) формула Грин формуласы деп аталады. (Жоғарыда
дәлелденген (1.4.1) Гриннiң бiріншi формуласы)
Бұл формулада және функциясы гармоникалық функция болатын
етiп алса, онда

(1.4.7)

теңдiгi алынады. 10 қасиет дәлелдендi.

20 Гриннiң екiншi формуласы (1.4.2)-ні алайық

Бұл теңдiкте гармоникалық функция болсын да, ал деп
алайық.
Мұндағы D облысының және нүктелерiнiң координаталары
және , яғни және .
Сонда

ара қашықтық формуласын жазуға болады.
Бұл функциясы айнымалыларының гармоникалық функциясы
болатындығын тексеру қиын емес. Дәлiрек айтқанда, функциясы
нүктелерiнде, яғни функциясы анықталмаған нүктелерден басқа
нүктелердiң бәрiнде гармоникалық функция болады.
Ендi облысынан радиусы және центрi нүктесiнде болатын
шарды шығарып тастағаннан қалған облысын қарастырайық. Бұл
облыстың шекарасы бетi мен шарын қоршаған сферасының
бiрiгуiнен құралған.
Осы облысына (1.4.2) формуланы қолданайық. Сонда оның сол жағы
нөлге айналады, өйткенi облысында u және гармоникалық
функциялар болады. . Оң жағы екi қосылғышқа жiктеледi. Олар және
шекаралық бөлiктерiнiң интегралдауларына сәйкес келедi. Бұл жағдайда
сферасының нүктелерiне нормаль векторы сфераның iшкi жағына
қарай бағытталған және облысына сыртқы нормаль болып есептеледi.
Осы талдаулар нәтижесiнде мынадай теңдiк алынады:

(1.4.8)

мұнда (1.4.7) теңдiгi бойынша болады. Сондықтан (1.4.8)
формула түрiнде болады да, ол орта мән туралы теорема бойынша
-ға тең.

Мұндағы - сферасының нүктесi. Егер да соңғы өрнек
-ге ұмтылады.

2-сурет

Сонымен (1.4.8) формуланы былай жазуға болады.

(1.4.9)

Мұндағы нүктесi облысының iшкi нүктесi болып табылады.Егер
нүктесi облысының тұйықтауында жатпаса, онда (1.4.2) формула
бойынша және мен функциялары облысында гармоникалық
функциялар болғандықтан мына теңдiк орындалады.

Егер центрi нүктесiнде, ал радиусы сфера болса, онда
(1.4.9) теңдiктiң сол жағындағы интегралды былай түрлендiремiз.

өйткенi гармоникалық функция болғандықтан (1.4.7) теңдiк орындалады.
Сонымен

болады да, осыдан

(1.4.10)

формуласы алынады.
30 Қарсы жориық. облысында гармоникалық функциясының мысалы
максимумы iшкi нүктесiнде қабылдансын. Онда жеткiлiктi аз
шамасы үшiн

(1.4.11)

теңсiздiгi орындалады. Мұндағы центрi нүктесiнде болатын және
радиусы -ға тең сфера.
Ендi (1.4.10) формула және орта мән туралы теореманы пайдаланып, былай
жазуға болады.

Бұл теңдiк (1.4.11) теңсiздiкке қайшы келедi, яғни бұл түрдегі
теңсiздiк орындалмайды.
40 облысында және функциялары гармоникалық функциялар
болсын және облыстың шекарасында . Онда функциясы
облысында гармоникалық және оның шекарасында тек терiс мәндер
қабылдайды. Егер қандай да бiр iшкi нүктесiнде теңсiздiгi
орындалатын болса, онда функцияның минимумы шекаралық нүкте болмас едi. Ол
30 қасиетке қайшы келедi. Бұл қайшылық 40 қасиеттi дәлелдейдi.
50 Комплекс айнымалының функциясы нүктесiнде аналитикалық
функция болса, онда Коши-Риман шарты орындалады.
Егер

болса, онда

; (Коши-Риман шарты)
(1.4.12)

Осыдан

(1.4.12) шарттарын қанағаттандыратын екi айнымалының және
функциялары түйiндес деп аталады.

1.5 Шеттiк есептердің шешімін анықтау

Эллиптiк типтi теңдеулер үшiн қойылған шеттiк есептердiң шешiмiн табу
үшiн әртүрлi әдiстер қолданылады. Олардың iшiнде жиi қолданылатыны Фурье
әдiсi, Грин функциясы әдiсi, интегралдық теңдеулер әдiсi т.б.
Кейбiр қарапайым облыстар үшiн қойылған шеттiк есептердi шешудiң Фурье
әдiсiн қарастырайық.
Дөңгелек үшiн Дирихле есебiнiң шешiмiн табу.
Жазықтықта радиусы , центрi координаталар бас нүктесiнде болатын
дөңгелек берiлсiн. Оның шеңберiнде қандай да бiр функциясы берiлсiн.
Мұндағы - полярлық бұрыш. Шекарасымен қоса дөңгелектiң iшiнде
үзiлiссiз және

(1.5.1)

Лаплас теңдеуiн қанағаттандыратын, ал дөңгелектiң шеңберiнде берiлген
мәндердi қабылдайтын, яғни

(1.5.2)

шартын қанағаттандыратын функциясын табу керек. Есептi полярлық
координаталарда қарастырамыз. Полярлық координаталарында (1.5.1) теңдеу
былай жазылады.

немесе,

(1.5.1)

Шешiмдi айнымалыларды бөлу әдiсiн қолданып, мына түрде iздеймiз:

(1.5.3)

Осыны (1.5.1) теңдеуге қоямыз

немесе

(1.5.4)

Бұл теңдiктiң сол жағы -ден тәуелсiз, ал оң жағы тәуелсiз
болғандықтан оларды тұрақты санымен белгiлеймiз. Сонда (1.5.4) тең
қатынастардан екi теңдеу аламыз.

(1.5.5)

(1.5.6)

Бiрiншi (1.5.5) теңдеудiң жалпы шешiмi:

(1.5.7)

Ал (1.5.6) теңдеудiң жалпы шешiмiн түрiнде iздеймiз. Оны (1.5.6)
теңдеуге қойып,

немесе

теңдеуiн аламыз. Сонда екi сызықты тәуелсiз және дербес
шешiмдерi алынады. Олай болса, жалпы шешiм мына түрде жазылады.

(1.5.8)

Ендi (1.5.7) және (1.5.8) өрнектердi (1.5.3)-ке қоямыз

(1.5.9)

Осы (1.5.9) функциялар - ның нөлден өзгеше барлық мәндерiнде
(1.5.1) теңдеудiң шешiмi болады.Егер болса, онда (1.5.5) теңдеу
мына түрде жазылады:

Сондықтан

(1.5.9)

теңдiгiмен анықталады.
Есептiң шешiмi бойынша периодты функция болуы керек, яғни
бұрышы дейiн өзгергенде бiр мәндi функциясы өзiнiң алғашқы
мәнiне қайта келуi керек.

Осыдан , яғни периоды -ге тең периодты функция
болады. Олай болса (1.5.9) теңдiгiнде ге тең.
Сол сияқты шешiмнiң үзiлiссiз және шексiздiкке тең болмау шарты бойынша
дөңгелектiң центрiнде мәнiнде шексiз шешiм алынбауы үшiн (1.5.9)
теңдiкте , ал (1.5.9) теңдiкте болуы талап етiледi. Сонымен
(1.5.9) теңдеудiң оң жағы көбейтiндiсiне тең болады да, оны
деп белгiлеймiз:

Есептiң шешiмiн (1.5.9) түрiндегi қосынды ретiнде құрамыз. Қосынды
периодты функция болғандықтан - ның бүтiн оң мәндерiмен шектелемiз.
¤йткенi терiс мәндерде жаңа дербес шешiмдер алынбайды. Осыларды ескере
отырып, шешiмдi мынадай қосынды түрiнде жазамыз.

(1.5.10)

( тұрақтысы және тұрақтыларының құрамына енеді.)
Бұл формуладағы мен тұрақтыларын (1.5.2) шекаралық шартты
қанағаттандыратындай етiп таңдаймыз:

(1.5.11)

Мұндай теңдiк орындалуы үшiн функциясы аралығында Фурье
қатарына жiктелетiндей болуы керек және мен Фурье
коэффициенттерi болады. Сонда мен коэффициенттерi мына
формулалармен анықталатын болады.

(1.5.12)

Бұл жағдайда коэффициенттерi (1.5.12) формулалармен анықталған (1.5.10)
қатар қойылған есептiң шешiмi болады. Ол мен бойынша екi рет
дифференциалданатын функция болуы керек.
Ендi (1.5.12) коэффициенттердi орнына қойып, қажеттi тригонометриялық
түрлендiрулер орындағаннан кейiн мынадай өрнек аламыз:

(1.5.13)

Тiк жақшаның iшiндегi өрнектi түрлендiрейiк

Осы өрнектi (1.5.13) формуладағы орнына қойып, мынадай формула аламыз

(1.5.14)

Бұл (1.5.14) формула Пуассон интегралы деп аталады. Анықталған
функциясы дөңгелек үшiн қойылған Дирихле есебiнiң шешiмi болып табылады.
1-мысал: Егер гармоникалық функциясының дөңгелегінің
шекарасындағы мәні

болса, онда дөңгелектiң центрiндегi мәнiн табу керек.
Шешуі: Гармоникалық функцияның мдөңгелектің центріндегі мәні осы
дөңгелектiң шекарасындағы мәндерiнiң арифетикалық ортасына тең болғандықтан

теңдігін жазамыз
Полярлық координаталарға көшейік:

Болғанда

1)

2) яғни

Есептiң шарты бойынша

.

Сондықтан

2-мысал: Дөңгелек үшiн Дирихле есебiн қарастырайық:

Шешуi: Есептiң шешiмiн

түрiнде iздейiк. Осы қатарды шекаралық шартқа қойып, мынадай теңдiк
аламыз

Мұнда

Осы теңдiктiң екi жағындағы Фурье коэффициенттерiн салыстырып барлық
және коэффициенттерi және болғанда нөлге тең
екенiн көремiз.

Осыдан , болады да есептiң шешiмiн мына түрде жазамыз.

2 Функционалдық анализдің негізгі түсініктері мен кейбір фактілері

1. Метрикалық кеңістік түсінігі
Анализдің негізгі түсініктерінің бірі-шекке көшу. Бұл түсініктің
негізінде элементтер арасындағы арақашықтықты анықтайтын скалярлық шама
жатыр.

Анықтама 2.1.1. Жиын элементтерінің арақашықтығы (метрика) деп-
төмендегідей шарттарды қанағаттандыратын

1. ,

2.

3.

функциясын айтамыз.

Анықтама 2.1.2. Егер жиында метрика енгізілген (анықталған) болса, онда
ол метрикалық кеңістік деп аталады.
Сонымен, метрикалық кеңістік деп бос емес Х жиынынан және
функциясынан құралған жұбын айтады.
Мысалы, n-өлшемді Евклид кеңістігінде метрика

функциясымен анықталады.
Әрине, жиында метриканы әртүрлі әдіспен анықтауға болады. Бұл жағдайда
әртүрлі метрика үшін алынған метрикалық кеңістіктер де әртүрлі болады.
Анализде кез келген жиында метрика анықтауға болатындығы дәлелденеді.
Сондай-ақ метрикасы анықталса, онда өрнегімен ақырсыз көп
метрика анықтауға болады.
Элементтер арасындағы қашықтық ұғымына сүйене отырып мынандай
түсініктерді енгізуге болады:

Анықтама 2.1.3. X кеңістігіндегі центрі радиусы болатын
ашық (тұйық) шар деп- () теңсіздігін қанағаттандыратын X
кеңістігінің бөлігін айтамыз және деп белгілейміз.
Анықтама 2.1.4. Егер үшін болатындай шар табылса онда
жиыны ашық деп аталады.

Анықтама 2.1.5. элементінің аймағы деп болатын кез келген
ашық шарды немесе ашық жиынды айтамыз.
Айталық болсын.

Анықтама 2.1.6. нүктесі жиынының шектік нүктесі деп
аталады, егер -тің әрбір аймағы болатын кемінде бір
элементін қамтитын болса.

Анықтама 2.1.7. оңашаланған нүкте деп аталады, егер осы
элементті қамтитын қандай да бір аймағы үшін болса.

Анықтама 2.1.8. Егер элементті қамтитын қандай да бір
аймағы үшін толығымен жиынына енетін болса онда ішкі нүкте
деп аталады,.

Анықтама 2.1.9. жиынының толықтаушысы деп-оның барлық шектік
нүктелерінің жиынын айтамыз және деп белгілейміз.

Метрикалық кеңістіктегі компактілік.

Компакті жиындар (компакт жиындар) жиындар классификациясында маңызды
рөлге ие.

Анықтама 2.1.10. Егер болса, жиынының ашық бүркеуі деп
жиындар топтамасын айтамыз.
Жиынды бүркейтін мұндай жиындар топтамалары (бүркеулер) біреу емес
екендігін ескертейік.

Анықтама 2.1.11. Егер жиынының әрбір ашық бүркеуінен саны арқылы
ішкі бүркеу бөліп алуға болатын болса онда жиыны компакті немесе
компакт деп аталады.
Компакт жиындардың келесі қасиеттерін дәлелдеусіз келтіреміз [1:34;35]:
1. Компакті метрикалық ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының өз-өзіне түйіндестігі
Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының оң анықталғандығы туралы
Гиперболалық түрдегі теңдеулердің бір класы үшін шешімнің тегістігі мен аппроксимативтік қасиеттерін зерттеу
Екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер
Гиперболалық операторлардың бір класының өз-өзіне түйіндестігін көрсету
Дирихле тектес шеттік шарттармен берілген эллиптикалық оператордың меншікті мәндерін зерттеу
Эллиптикалық тектес теңдеулер
Дербес туындылы сызықтық дифференциалдық теңдеулерді зерттеу
Лаплас теңдеуі үшін кейбір бейлокал есептердің шешімділігін зерттеу
Эллипстік типті теңдеулер
Пәндер