Гильберт Аксиоматикасы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 10 бет
Таңдаулыға:

Лобачёвскийдан Гильбертка дуйін.

Лобачёвскийдің пікірі (идеясы) осы ғылымның жалпы жағыдайын тұжырымдады, алайда сол кездегі ойшылдар бұл пікірді түсінбеді және бағаламады. Лобачёвскийдің бұл пікірімен тек Гаусс қана таныс болғанымен, Гаусс бұл пікір жайлы өз ойын білдіруге тырысқан жоқ.

Бірақ, он жылдан кейін Лобочёвский көз жұмып оның ашқан жаңалығы математика ғылымына түбегейлі енді де, геометрия негіздерінде өз орнын таба бастады.

Демек, осы уақытқа дейінгі айтылып келген математикалық тұжырымдар Лабачёвскийдің пікірімен негізделінеді және түсіндіріледі деген сөз.

XІX ғасырдың І жартысында математикалық талдау негіздемесіне талдау бастамаларына арифметикалық тұрғыдан алғандағы айтылған Гаусс, Каши және Абельдің ой пікірлері елеулі орын алды. XVІ- XVІІІ ғасырларда геометрия аналитикасымен дифференциалдаудың тиімді шығару үлгілері және интеграл есептеудің, сонымен қатар олардың геометриялық, механикалық, астраномиялық, физикалық мағыналары жайлы көптеген ой пікірлермен тұжырымдамалар туындады. Сан, функция, шексіз аз шама, туынды, интеграл және т. б осы сияқты ең қажетті түсініктер жайлы осы кездері қарама- қайшы пікір қалыптасқан.

Сондықтан математикалық талдаудың әдістемелері сенімсіздік пікір тудырды және математикалық келіспеушіліктер көп жағдайда анықталмаған күйде қалып отырды.

Зертелген қажетті тұжырымдамалар бойынша оларға қатал түрде белгілі бір белгілеу немесе атау енгізіп, өзге кері пікірлерден арылту қажет етеді. Математиканың алдында сұрақтар тұрды, иррационалдың шығуы, комплекс сандардың, функцияның түсінігінің шығуы, үздікті, үздіксіз т. б сандардың түсінігінен туындайды, күрделі арефметикалық талдау мәселесі тұрды бірінші планға математика жұмыстары шықты нақты жауапты талап етті болжау емес. Математикалық талдауға қатал дидуктивті ғылыми мінездеме берілген, осы санға Кашидің ойы XІX ғасырда толық Дедепен, Риман, Кантордың жұмыстарында дамыды, соның нәтижесінде математикалық талдау жаңа бағыт алды бұл жаңа бағытқа Лабачёвскиде үлес қосқан.

Бұл тенденция қауіпті қатал тексеру геометрияны айналып өтпеді.

Өиткені бұл аумақтада XІX ғасырдың І жартысында Лобачёвскидің жаңалығы неевклид жаңалығынан бөлек, өте күрделі алға басулар. Бұл жерде ең алдымен француз математигі Понселенің жаңалығын ескертеді жаңа геометриялық тәртіп- проективті геометрия. Оның дамуында мазмұнын геометриялық фигуралар құрайтыны анықталды.

Лобачёвскидің ойын тереңдетудің маңызды элементі, дамуы дифференциал геометрияның Гаусс, Эилер және Монте ден кейін дифференцалдық геометрияға маңызды өзгертулер енгізді. Жұмыс бабымен Гаусс беткеилік теориясын терең дамытты.

1840 жылы Дерптс университетінің профессоры Миндинг өзінің зертеуін жариялады геометрия қисығының беткеилік теориясы.

Бұл барлық нәтижелер арқасында барлығы Лобачёвскидің ойының дұрыстығын мойындады. Мұнымен қатар бұл сұрақ Эвклит бастамасы аксиома системасының толық еместігіне тірелді. Әйтеуір екі тығыз байланысқан қиындықтар туындады оның себебі Лобачёвскидің өзі зертеудің соңына дейін апармаған болатын. Осымен бірге Лобочёвскидің бұл қйындықтың шешу жолдарын көрсеткен. Өзінің ойымен Лобочёвский шығыс европа математикасына XІX ғасырдыңм екінші жартысында үлкен үлесін қосқан.

1854ж Риман өзінің геометриялық негіздері диссертациясында жатқан гипотезалар мазмұны бойынша терең және бай Гаусс және Лобочёвскидің ойларын дамытты. Бұл жұмыс 1868 жылы ғана Риманның өлімінен кейін жарияланды.

Математиктерге үлкен ой салған италян математигі Бельтрамидің дифференцияял геометриялық зертеуі болды (1835-1900) «Неевклид геометриясының тәжірибелік талдаулары»

1869 жылы белгілі неміс математигі Феликс Клеин проективті геометрия облысындағы жұмыстарға сүйене отырып, басқа түсінік берді. Лобочёвскидің геометриясына Лобочёвскидің планиметриясы.

80 жылдардың басында француз математигі Пуанкаре Лобочёвскидің геометриясына жаңа түсінік тапты. Бұл барлық зертеулерде ғажайыптағыдай Лобочёвскидің геометриялық ойымен ұйқасты.

80 жылдардың басында аксиома геометрияның толық системасын іздеу жолдары басталды.

Бірінші бұл бағытқа үлкен қадам бастаған неміс математигі Пашаның жұмыстары болды.

Екінші италиялық математик Пеано және оның мектебінің жұмыстары.

1891жылы италиялық математик Веронезе «геометрияның негіздері» жұмысында барлық математикаға түсініктеме беруге тырысады. Және геометрияда барлық тереңдетілген тұрақты жұмыстар геометрияның мықты фундаментін қалады және 1899жылы әигілі неміс математигі Дивада Гильберте геометрияны жарыққа шығарды.

Гильберттіңбұл кітабында алғаш рет Эклит геометрияның толық аксиомалар системасы көрсетілген.

Гильберт оксиоманың жалпы мінездемесі Гильберттің еңбектерінде өте үлкен айырмашылық бар оған дейінгі аксиоматикалық геометрияда Гильберт геометриялық оксиомалар жаңа көз қараспен түсінік енгізді.

Гильберт үш нүкте алып А, В, С деп белгілейді. Екінші системаға түзу алады оларды а, в, с әріпімен белгілейді, үшінші системаның . . . затты деп жазық тақты алады және оларды . . . белгілейді нүктелі сызықты геометриеның элементтері деп аталады. Нүкте мен түзу жазықты геометриеның элементтері деп аталады. Нүкте, түзу және жазықтық элементтері деп аталады.

Мысалы оксима «Қандайда болмасын екі нүктеден тек қана бір тнзіу өтелді. Бірақ біз оған басқа жағынаң білеміз нүктелерің астына х, у қоямыз, түзіулердің астына - теңдеу ах + ву + с = 0 терминнің астынан « тузу нүкте арқылы өтеді» бұл жерде х, у көрсетілген теңдеуді қанағаттандырады .

Гильбергтің оксиоматинасын оқығанда екі маңызды маселені байланыстыру керек .

Бірінршіден оқырман геометрия ғылымын анық елестетуі керек .

Екіншіден болашақ мұғалім осы оқудың нәтиедесінде анық түсінуі керек, мектеп геометрианың қатал логикалық геометриадан қаншалықты айырмашлығы бар екендігін. Ол бұл жере түгел қатар ұсыныстар бәрі дәлелдеитінін көреді мектеп курсында дәлелдеу жоқ солай болуы керек .

Мысалы нүкте түзуді екі сәулеге бөледі, түзу жазықтықты екі 13 жарты жазықтыққа бөледі түзуде өте коп нүкте болады . Бұл айырмашылықты мұғалім білуі тиіс .

Мектеп курс геометриасы жасына оқушылардың жасына психологиясына лайықты етіп негізделген содықтан ол қатал логикалық күреспен сәкес келе алмайды . Бірақ қатал логикалық курсты білген мұғалім қателік жібермеиді және кітапқа ере бермеиді, мұғалім түсінетін болады, қайжерде берілген, анық шешім бар екенін Гильберттің оксиоматы 5 топқа бөлінеді.

І Топ: қатынас оксиомасы (8 оксиома)

ІІ Топ: реттік және орналасу аксиомалары

ІІІ Топ конгруэтност шамасы ( 5 оксима)

ІV Топ үздіксіз оксиомасы (1 оксима)

V параллель оксиомалар

Барлығы 19 оксиома.

Топ 1 қатынас оксималар . Айтылып кеткендей Гильберттің геометрианың негізгі элементі анықталмайтын түсінік « нүкте» «түзу» «жазықтық» бұл элементтердің арасында оксиманың бірінші тобына бірнеше қарым - қатынас байқалады, анықталмайтын түсінікпен көрсетіледі «жату» нүктемен түзуді бірінші ретін және нүкте мен жазықтықты біз «нүкте» түзуде немесе жазықтықта жатады дейміз. Бірақ сол қарым -қатынас мына сөздер мен де айтылады « түзу нүкте арқылы өтеді» немесе жазықтық нүкте арқылы өтеді .

Біз бұл терминдермен қоса өзімізге белгілі сөйлемдерді қолданамыз «нүкте түзуде жатыр мұнымен қатар біз «а түзуін де А нүктесі жатыр» деп айтамыз. Егерде А нүктесі а және в түзуіне тиісті болса біз онда « а және в түзуінде ортақ А нүктесі бар.

І топтың оксималарын топтаймыз

І 2. Бір түзу болады екі А және В нүктелеріне тиісті .

Бұл жерден теория шығады « кез келген екі нүктеден бір ғана түзу өтеді сонымен түзу екі нүктемен белгіленеді. Бұл түзуді АВ немесе ВА деп белгілей аламыз.

І. 3. Әр түзуде екі нүктеден болады, немесе үш нүкте бар түзудің бойында жатпайды.

Оксималар І _1-3 «нүкте» мен «түзуді» арасында қарым-қатынас орнатады.

І. 4. Бір түзудің бойында жатпайтын кез келген А, В, С үш нүктесі үшін жазықтық бар, әр жазықтыққа бір нүкте тиісті.

І. 5. Бір түзудің боиында жатпайтын кез келген А, В, С үш нүктесі үшін бір ғана жазықтық болады.

Теорема: Бір түзудің бойында жатпайтын А, В, С үш нүктесі арқылы бір ғана жазықтық өтеді. Бұл жазықтықты АВС деп белгілеуге болады.

І. 6. а түзудің бойындағы А және В нүктесі, а жазықтығына тиісті, түзудің бойындағы әр нүкте а жазықтығына тиісті.

Анықтауыш: а жазықтықта жатқан әрбір нүкте, былай деп айтамыз, а түзуі а жазықтығына тиісті ! немесе а түзуі а жазықтықтарда жатады.

І. 7. Егер λ және β жазықтықтарда бір а нүкте болса, онда оларда бір В нүктесі бар.

І. 8. Ең ды төрт нүкте болады бір жазықтықта жатпайтын.

Енде бірнеше теореманы қарастырайық, бірінші топтың бірнеше оксиомасынан ғана дәлелдеитін.

Теорема: Екі түзуге ортақ бір ғана нүкте болады.

Дәлелдеу: екі а, в түзуінде екі ортақ нүкте А және В болсын. λ ₂ оксиомасына сүиенсек екі нүктеден бір ғана түзу өтеді. Содан а және в түзулері шартқа қарсы келеді. Содан а және в екі түзу ортақ бір ғана нүктелері бар немесе мүлде жоқ.

Теорема 3. 2. Екі жазықтықта ортақ нүктелер болмаиды немесе ортақ түзуі бар, сол түзуде жазықтықтың нүктелері орналасқан.

Дәлелдеуі: а және ß екі жазықтықтың бір А нүктесі болсын. Онда оларды кемінде тағы бір В нүктесі болады. А және В нүктесі бір ғана түзуде белгілейді осы нүктеден өткен. Бұл түзу λ және β жазықтарда қатысты.

Теорема 3. 3. Жазықтық және онда жатпайтын түзуде бір ғана нүкте болады.

Дәлелдеуі: λ жазықтығында жатпайтын а түзуі онымен бірге екі А және В нүктесі болса, І ₆ аксиомасына сүйенсек а түзуінің әр бір нүктесі жазықтықта жату керек. Бұл біздің шартқа сәйкес келмейді.

Теорема 3. 4. Түзу және ода жатпайтын нүкте арқылы бір ғана жазықтық өтеді.

Теорема 3. 5. ортақ нүктесі бір екі түзу арқылы бір ғана жазықтық өтеді.

Дәлелдеуі: а және в түзіуінде ортақ С нүктесі бөлсен. В нүктесі а түзіуінде жатсын немесе а, в түзулері екі В және С нүктелері І ₁ - ₂ аксиомасына сәикес келетін еді. 3. 4 теоремаға сүиенсек а түзуімен В нүктесі арқылы бір ғана жазықтық ете алады. Бұл жазықтық С және В нүктелері және в түзуімен өтеді.

І ₄ аксйомасында әр жазықтықты бір ғана нүкте болады делінген енді біз жазықтықта үш нүкте бола алатынын дәлелдей аламыз.

Теорема 3. 6. Әр жазықтықта бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте болады.

Топ ІІ. Тәртіп аксиомалар.

Екінші топтың аксиомасында маңызды анықтайтын түсінік « арада жату» бір түзудің бойында жатқан үш нүктенің бірнеше қатынастарын көрсетеді.

ІІ _1. Егер В нүктесі А мен С нүктелерінің арасында жатса, онда бір түзудің түрлі- түрлі нүктелері.

ІІ _2. Егер А және В екі нүкте, онда А В түзуінде ең кемінде мұндай бір нүкте болады бұл ВА мен С арасында жатады.

ІІ ₃ Түзудің бойындағы үш нүктенің біреуі екі нүктенің ортасында орналасқан.

Анықтауыш: Түзудің екі А В нүктелерінің системасы АВ және ВА кескіні деп аталады. А және В нүктелері кескіннің соңы деп аталады.

ІІ _4. (Паша аксиомасы) Бір түзуде жатпайтын үш А, В, С нүктелері болсын, а түзуіде АВС жазықтығындағы А, В С нүктелері арқылы өтпесін. а түзуі АВ кескінінің ішкі нүктесі арқылы өтсе, онда ол АС немесе ВС кескінін ішкі нүктесі арқылы өтеді.

Кескіннің шексіз көп нүктелері.

Теорема 4. 1. Егерде А және С екі нүкте болса, онда кемінде олардың арасында жататын В нүктесі болады.

А В А

Дәлелдеуі.

І _3. аксиомасы бойынша АС түзуінде жатпайтын Д нүктесі болсын 3. 4. теоремасы бойынша АС түзуі және Д нүктесі арқылы бір ғана λ жазықтығы өтеді. ІІ ₂ аксиомасы бойынша АД түзуінде Е нүктесі бар, бұл жерде Д А мен Е арасында жатыр І ₆ аксиомасы бойынша Е нүктесі λ жазықтығында жатыр. ІІ ₂ аксиомасы бойынша ЕС түзуінде F нүктесі болсын, онда С Е мен F ортасында жатыр. І ₆ аксиомасы бойынша F нүктесі λ жазықтығында жатыр ІІ ₃ аксиомасы бойынша F Е және С арасында жатқан жоқ сонда ЕС кесіндісінде жатпайды. FД түзуі А, Е, С нүктелері арқылы өтпейді. Негізінде FД түзуі мен ЕС түзуінің ортақ F нүктелері бар. FД түзуі А нүктесі арқылы өтпейді немесе АЕ түзуімен ортақ Д нүктесі бар. Сондықтан біз А, Е және С нүктелеріне және ДF түзуі ЕС кесіндісін қйып өтеді немесе АС кескінінің ішкі нүктелерін. Бірақ біз көргеніміздей ДF ЕС кескіні мен ешқандай ортақ нүктелер жоқ одан ДF түзуі АС кенскінін қйып өтеді қандайда ішкі В нүктесімен осымен соңғысы бар екені дәлелденеді.

Теорема 4. 2. Бір түзудің бойындағы үш нүктенің біреуі ғана екі нүктенің ортасында жатады.

Дәлелдеуі:

А, В, С бір түзудің нүктелері А В мен С ортасында жатқасын және С А және В ортасында жатпасын. В А және С арасында жатқанын дәлелдеиік.

І ₃ аксиомасы бойынша АС түзуінде жатпайтын Д нүктесі болсын. ІІ ₂ аксиомасы бойынша ВД түзуінде Ģ нүктесі бар Д В және Ģ арасында жатыр. Пашаның ІІ ₄ аксиомасы В С, Ģ нүктелеріне және АД түзуіне қолданған соңында Ģ С арасында жатқан Е нүктесін қйып өтеді.

Оиша СД түзуі А Ģ кесіндісін F нүктесі арқылы қйып өтеді А, Ģ, Е нүктелеріне және С F түзуіне ІІ ₄ аксиомасын қолданамыз Д нүктесі А және Е арасына жатқанына көз жеткізейік. А, Е, С және В Ģ түзуіне ІІ ₄ аксиомасын қолданып В нүктесі А және С арасында жатқанын дәлелдейік. ІІ ₃ аксиомасы бойынша 4. 2. теорема толығымен дәлелденді.

F Е

А В С

Теорема 4. 3.

Егер В А және С нүктелерінің ортасында жатса ал С А және Д нүктелерінің арасында жатса, онда В және С А және Д нүктелерінің ортасында жатады.

А В С Д

Дәлелдеуі: ІІ ₁ аксиомасы бойынша А, В, С нүктелері В, С, Д нүктелері ВС түзуінің бойында жатыр бұл жерде А, В, С, Д төрт нүктеде бір түзудің бойында жатыр.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.