Математика негіздері пәнінен практикалық сабақтың әдістемелік нұсқауы
1. Математикалық құрылымдардың типтері және олардың сипаттамалары
2. Жиын ұғымы, элементі. Жиындардың берілу тәсілдері. Жиындарға амалдар қолдану.
3. Графтар. Графтардың түрлері. Жазық граф туралы Эйлер теоремасы.
4. Сәйкестік ұғымы, оның графы мен графигі.
6. Бейнелеулер және олардың түрлері; Тең қуаттас жиындар. Жиындағы қатынастар және олардың қасиеттері.
7. Математикалық ұғымдар және оларды анықтау тәсілдері. Математикалық ұғымдарды анықтаудың құрылымы. Пікірлер және оларға амалдар қолдану.
5. Бүтін сандарға анықтама беру. Рационал сандарға амалдар қолдану
2. Жиын ұғымы, элементі. Жиындардың берілу тәсілдері. Жиындарға амалдар қолдану.
3. Графтар. Графтардың түрлері. Жазық граф туралы Эйлер теоремасы.
4. Сәйкестік ұғымы, оның графы мен графигі.
6. Бейнелеулер және олардың түрлері; Тең қуаттас жиындар. Жиындағы қатынастар және олардың қасиеттері.
7. Математикалық ұғымдар және оларды анықтау тәсілдері. Математикалық ұғымдарды анықтаудың құрылымы. Пікірлер және оларға амалдар қолдану.
5. Бүтін сандарға анықтама беру. Рационал сандарға амалдар қолдану
Математика басқа ғылымдар сияқты бізді қоршаған әлемді зерттейді және де ол зерттейтін нақты әлемнің құбылыстары өздерінің материалдық табиғатымен ғана емес, тек қана формальды құрылымдық қасиеттерімен, әсіресе олармен байланысты сандық қатынастар мен кеңістіктік формаларымен анықталады.
Қазіргі математика таза теориямен, сонымен бірге оның қолданбалы салаларымен айналысатын ғалым-математиктердің күш-жігері арқасында қарқынды даму кезеңін бастан кешіруде. Олардың кейбіреулері үшін математика – қоршаған ортаны және онда болып жатқан құбылыстарды тану әдісі болса, басқалар үшін математиканың өзі зерттеуге және дамытуға лайықты біртұтас әлем болып табылады.
Сонымен бірге, математиканың дамуы көптеген шиеленіскен қарама-қайшылықтардың, нақты мен абстрактының, дара мен жалпының, форма мен мазмұнның, аксиоматика мен конструктивтіктің, шекті мен шексіздің, формальдық пен мазмұндылықтың, дискреттік пен үздіксіздіктің күрес үдерісінде жүзеге асады. Мысалы, соңғы он жылдықтарға тән болып отырған дәл ғылым салаларының қарқынды дамуы математиканың одан әрі кеңейе түсуіне және мамандыққа бейімделуіне кең жол ашты, тұтас ғылым математиканың ішінде әртүрлі зерттеу пәні мен әдістері, ерекше белгілеуі бар дербес дамитын бөлімдер пайда бола бастады.
Математика зерттейтін ән, ол өзінің даму барысында ылғи өзгеріске ұшырап, кеңейіп отырады. Егер ХІХ ғасырдағы және ХХ ғасырдың бірінші жартысындағы математика сандар мен шамалар жайындағы ғылым болса, онда қазіргі математика қазіргі математика, Н.Бурбаки айтқандай, математикалық құрылымдардың заңын зерттейді. Математикалық танымның дамуында жаңа нысандар ылғи ашылады, ал жаңа нысандар жаңа сандық қатынастарды тану құралы, ендеше, оның зерттеу пәні кеңейе береді.
Николай Бурбаки – Францияның белгілі атақты математиктер тобын біріктіретін топтың жалған немесе лақап аты. Бұл топтың құрамы, жас ерекшеліктері және басқа да қасиеттері белгісіз жасырын ұйым. Кейбір зерттеушілердің пікірінше, оның құрамына Картан, Папи, Кофман, Фор, Мандельброт т.б. енді деп болжайды. Бұл жөніндегі кейбір мәліметтерді американ математигі П.Р.Халмоштың «Николай Бурбаки» деген мақаласынан табуға болады.
Н.Бурбакидің негізгі мақсаты математика бойынша «Математика элементтері» атты толық трактат жазу. Тракттағы алғашқы абстракция немесе жалпы принцип ретінде математикалық құрылым және оны зерттеуге сәйкес әдіс ретінде аксиоматикалық әдіс қарастырылады.
Н.Бурбаки «Математика элементтері» атты бірнеше томдарын жарыққа шығарды және олар өзінің жоғары ғылыми-теориялық дәрежесі мен материалды баяндаудың стилі жағынан дүниежүзі математиктерінің құрметіне бөленді
Н.Бурбакидің пікірінше, математика ғылымы математикалық құрылымдарды зерттейді.
Сонымен, математиканың бірден-бір нысаны математикалық құрылымдар болып табылады.
Қазіргі математика таза теориямен, сонымен бірге оның қолданбалы салаларымен айналысатын ғалым-математиктердің күш-жігері арқасында қарқынды даму кезеңін бастан кешіруде. Олардың кейбіреулері үшін математика – қоршаған ортаны және онда болып жатқан құбылыстарды тану әдісі болса, басқалар үшін математиканың өзі зерттеуге және дамытуға лайықты біртұтас әлем болып табылады.
Сонымен бірге, математиканың дамуы көптеген шиеленіскен қарама-қайшылықтардың, нақты мен абстрактының, дара мен жалпының, форма мен мазмұнның, аксиоматика мен конструктивтіктің, шекті мен шексіздің, формальдық пен мазмұндылықтың, дискреттік пен үздіксіздіктің күрес үдерісінде жүзеге асады. Мысалы, соңғы он жылдықтарға тән болып отырған дәл ғылым салаларының қарқынды дамуы математиканың одан әрі кеңейе түсуіне және мамандыққа бейімделуіне кең жол ашты, тұтас ғылым математиканың ішінде әртүрлі зерттеу пәні мен әдістері, ерекше белгілеуі бар дербес дамитын бөлімдер пайда бола бастады.
Математика зерттейтін ән, ол өзінің даму барысында ылғи өзгеріске ұшырап, кеңейіп отырады. Егер ХІХ ғасырдағы және ХХ ғасырдың бірінші жартысындағы математика сандар мен шамалар жайындағы ғылым болса, онда қазіргі математика қазіргі математика, Н.Бурбаки айтқандай, математикалық құрылымдардың заңын зерттейді. Математикалық танымның дамуында жаңа нысандар ылғи ашылады, ал жаңа нысандар жаңа сандық қатынастарды тану құралы, ендеше, оның зерттеу пәні кеңейе береді.
Николай Бурбаки – Францияның белгілі атақты математиктер тобын біріктіретін топтың жалған немесе лақап аты. Бұл топтың құрамы, жас ерекшеліктері және басқа да қасиеттері белгісіз жасырын ұйым. Кейбір зерттеушілердің пікірінше, оның құрамына Картан, Папи, Кофман, Фор, Мандельброт т.б. енді деп болжайды. Бұл жөніндегі кейбір мәліметтерді американ математигі П.Р.Халмоштың «Николай Бурбаки» деген мақаласынан табуға болады.
Н.Бурбакидің негізгі мақсаты математика бойынша «Математика элементтері» атты толық трактат жазу. Тракттағы алғашқы абстракция немесе жалпы принцип ретінде математикалық құрылым және оны зерттеуге сәйкес әдіс ретінде аксиоматикалық әдіс қарастырылады.
Н.Бурбаки «Математика элементтері» атты бірнеше томдарын жарыққа шығарды және олар өзінің жоғары ғылыми-теориялық дәрежесі мен материалды баяндаудың стилі жағынан дүниежүзі математиктерінің құрметіне бөленді
Н.Бурбакидің пікірінше, математика ғылымы математикалық құрылымдарды зерттейді.
Сонымен, математиканың бірден-бір нысаны математикалық құрылымдар болып табылады.
1. Оспанов Т.Қ. Математика. -Алматы, 2000.
2. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық негіздері.
-Астана, 2003.
3. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. - Алматы, 2004.
4. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері. –Астана, 2007.
2. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық негіздері.
-Астана, 2003.
3. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. - Алматы, 2004.
4. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері. –Астана, 2007.
ЖН-СМЖ-013-2005
А.ЯСАУИ АТЫНДАҒЫ ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ҚАЗАҚ-ТҮРІК УНИВЕРСИТЕТІ
Тарих - педагогика ФАКУЛЬТЕТІ
Бастауыш оқыту теориясы мен әдістемесі КАФЕДРАСЫ
“Бекітемін”
Факультеттің оқу-
әдістемелік Кеңесі
№ ___хаттама ”___”
_______2011 ж.
п.ғ.к., доц. м.а.
Ү.Мелдебекова
МАТЕМАТИКА НЕГІЗДЕРІ пәнінен практикалық сабақтың әдістемелік нұсқауы
Түркістан, 2011ж.
Практикалық сабақтың әдістемелік нұсқауы ҚР Білім және Ғылым министрлігінің 2010
жылғы 3-қарашасындағы №514 бұйрығымен бекітілген, 5В010200-Бастауышта оқыту
педагогикасы мен әдістемесі мамандығы бойынша мемлекеттік жалпыға міндетті
білім беру стандарты, мамандықтың типтік оқу бағдарламасы мен университеттің
жұмыс оқу жоспары негізінде дайындалған.
Практикалық сабақтың әдістемелік
нұсқауын дайындаған, аға оқытушы ___________ Б.Даулетбекова
Практикалық сабақтың әдістемелік нұсқауы кафедраның
2011ж. мәжілісінде талқыланды және № хаттамамен бекітілді.
Кафедра меңгерушісі,
п.ғ.д., доцент
______________ Б.Ортаев
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢКҮНТІЗБЕЛІК-ТАҚЫРЫПТЫҚ ЖОСПАРЫ
Сабақтың тақырыбы мен жоспары Кредит, Тапсырма Әдебиеттер
№ Күні сағат ларды тексе (әдебиет №,
саны ру түрі реті, тарауы,
беті)
Математикалық құрылымдар. 1
1 Құрылымдардың типтері және Сұрақ-жауап,
олардың сипаттамалары. Есеп шығару №1,9,11,12
Жиын ұғымы, элементі. Жиындардың1
2 берілу тәсілдері. Жиындарға Сұрақ-жауап,№1,2,4,5,8
амалдар қолдану. Есеп шығару
Графтар. Графтардың түрлері. 1 Сұрақ-жауап,№2,3,8,10,
3 Жазық граф туралы Эйлер Есеп шығару 11
теоремасы.
Сәйкестік ұғымы, оның графы мен 1 Сұрақ-жауап,№3,5,6,9,11, 12,
4 графигі. Есеп шығару
Бейнелеулер және олардың Сұрақ-жауап,№1,2,3,4,6,7,8,9
5 түрлері; Тең қуаттас жиындар. 1 Есеп шығару
Жиындағы қатынастар және олардың
қасиеттері.
Математикалық ұғымдар және
6 оларды анықтау тәсілдері. 1 Сұрақ-жауап,№2,3,4,5,10,11,1
Математикалық ұғымдарды Есеп шығару 2
анықтаудың құрылымы. Пікірлер
және оларға амалдар қолдану.
Предикаттар және оларға амалдар Сұрақ-жауап,№2,3,4,5,10,11,1
7 қолдану. Кванторлар. 1 Есеп шығару 2
Математикалық логиканың заңдары.
Теорема және оның құрылымы. 1 Сұрақ-жауап,№2,3,4,5,10,11,1
8 Теореманы дәлелдеу тәсілдері. Есеп шығару 2
Комбинаторлық есептер, қосынды Сұрақ-жауап,№3,5,6,9,11, 12,
9 мен көбейтінді ережесі. 1 Есеп шығару
Ауыстырулар, терулер,
орналастырулар.
10 Натурал сандар. Сандардың 1
натурал қатарының кесіндісі. Сұрақ-жауап,
Реттік натурал сан. Натурал Есеп шығару №1,9,11,12
сандар жиыны.
Теріс емес бүтін сандар. Теріс
11 емес бүтін сандар жиынының 1 Сұрақ-жауап,№1,2,4,5,8
реттік қатынастың түсініктемесі. Есеп шығару
Пеано аксиомалары, теріс емес
бүтін сандарға қолдан. амалдарды
анықтау.
12 Санау жүйелері. Санау жүйелері 1 Сұрақ-жауап,№2,3,8,10,
туралы ұғым; ондық санау жүйесі. Есеп шығару 11
13 Сандардың бөлінгіштігі: Сұрақ-жауап,№3,5,6,9,11, 12,
бөлінгіштік қатынас және оның 1 Есеп шығару
қасиеттері. Жай және құрама
сандар. Эратосфен елегі.
14 Сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші Сұрақ-жауап,№1,2,3,4,6,7,8,9
мен ең кіші ортақ еселігі, 1 Есеп шығару
олардың негізгі қасиеттері мен
оларды табу алгоритмі.
15 Бүтін және рационал
сандар..Бүтін және рацион. 1 Сұрақ-жауап,№2,3,4,5,10,11,1
сандарға қолданылатын Есеп шығару 2
арифметикалық амалдар.
Барлығы 15
№1 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ:
МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҚҰРЫЛЫМДАР
1. Сабақ жоспары: Математикалық құрылымдардың типтері және олардың
сипаттамалары.
2. Сабақ мақсаты: Математикалық құрылымдарды қарастыру.
Математикалық құрылымдардың типтерін анықтау
3. Қысқаша теориялық мәліметтер. Математика басқа ғылымдар
сияқты бізді қоршаған әлемді зерттейді және де ол зерттейтін нақты әлемнің
құбылыстары өздерінің материалдық табиғатымен ғана емес, тек қана
формальды құрылымдық қасиеттерімен, әсіресе олармен байланысты сандық
қатынастар мен кеңістіктік формаларымен анықталады.
Қазіргі математика таза теориямен, сонымен бірге оның қолданбалы
салаларымен айналысатын ғалым-математиктердің күш-жігері арқасында қарқынды
даму кезеңін бастан кешіруде. Олардың кейбіреулері үшін математика –
қоршаған ортаны және онда болып жатқан құбылыстарды тану әдісі болса,
басқалар үшін математиканың өзі зерттеуге және дамытуға лайықты біртұтас
әлем болып табылады.
Сонымен бірге, математиканың дамуы көптеген шиеленіскен қарама-
қайшылықтардың, нақты мен абстрактының, дара мен жалпының, форма мен
мазмұнның, аксиоматика мен конструктивтіктің, шекті мен шексіздің,
формальдық пен мазмұндылықтың, дискреттік пен үздіксіздіктің күрес
үдерісінде жүзеге асады. Мысалы, соңғы он жылдықтарға тән болып отырған
дәл ғылым салаларының қарқынды дамуы математиканың одан әрі кеңейе түсуіне
және мамандыққа бейімделуіне кең жол ашты, тұтас ғылым математиканың ішінде
әртүрлі зерттеу пәні мен әдістері, ерекше белгілеуі бар дербес дамитын
бөлімдер пайда бола бастады.
Математика зерттейтін ән, ол өзінің даму барысында ылғи өзгеріске
ұшырап, кеңейіп отырады. Егер ХІХ ғасырдағы және ХХ ғасырдың бірінші
жартысындағы математика сандар мен шамалар жайындағы ғылым болса, онда
қазіргі математика қазіргі математика, Н.Бурбаки айтқандай, математикалық
құрылымдардың заңын зерттейді. Математикалық танымның дамуында жаңа
нысандар ылғи ашылады, ал жаңа нысандар жаңа сандық қатынастарды тану
құралы, ендеше, оның зерттеу пәні кеңейе береді.
Николай Бурбаки – Францияның белгілі атақты математиктер тобын
біріктіретін топтың жалған немесе лақап аты. Бұл топтың құрамы, жас
ерекшеліктері және басқа да қасиеттері белгісіз жасырын ұйым. Кейбір
зерттеушілердің пікірінше, оның құрамына Картан, Папи, Кофман, Фор,
Мандельброт т.б. енді деп болжайды. Бұл жөніндегі кейбір мәліметтерді
американ математигі П.Р.Халмоштың Николай Бурбаки деген мақаласынан
табуға болады.
Н.Бурбакидің негізгі мақсаты математика бойынша Математика
элементтері атты толық трактат жазу. Тракттағы алғашқы абстракция немесе
жалпы принцип ретінде математикалық құрылым және оны зерттеуге сәйкес әдіс
ретінде аксиоматикалық әдіс қарастырылады.
Н.Бурбаки Математика элементтері атты бірнеше томдарын жарыққа
шығарды және олар өзінің жоғары ғылыми-теориялық дәрежесі мен материалды
баяндаудың стилі жағынан дүниежүзі математиктерінің құрметіне бөленді
Н.Бурбакидің пікірінше, математика ғылымы математикалық құрылымдарды
зерттейді.
Сонымен, математиканың бірден-бір нысаны математикалық құрылымдар
болып табылады.
Математикалық құрылымдар базистік және көп еселі болып екіге
бөлінеді. Алгебралық, топологиялық және реттік құрылымдарды базистік деп
атайды.
Бүкіл математика ғылымы осы үш түрлі базистік құрылымдардың жиынтығы
мен комбинациясы болып табылады.
4. Бақылау сұрақтары:
1. Н.Бурбаки ұйымы.
2. П.Р.Халмоштың мақаласы.
3. Н.Бурбакидің негізгі мақсаты.
4. Математика элементтері бірінші томы.
5. Аксиоматикалық әдіс.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
7. Үй тапсырмасы:
1. Математикалық құрылым терминінің мән-мағынасы.
2. Құрылымдардың типтері.
3. Құрылымның алгебралық типіне сипаттама.
4. Құрылымның топологиялық типіне сипаттама.
5. Құрылымның реттік типіне сипаттама.
8. Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері. -Астана, 2003.
2. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. -Алматы, 2004.
3. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
4. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері.
–Астана, 2008.
№2 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: ЖИЫН ҰҒЫМЫ. ЖИЫНДАРДЫҢ БЕРІЛУ
ТӘСІЛДЕРІ. ЖИЫНДАРҒА АМАЛДАР ҚОЛДАНУ
1. Сабақ жоспары: Жиын ұғымы туралы түсініктерін есеп шығару арқылы
бақылау.
2. Сабақ мақсаты: Кез келген зат, нысандар арқылы жиынды құра білуге,
оларға амалдар қолдана және Эйлер–Венн диаграммасы арқылы көрнекті түрде
кескіндеу.
3. Қысқаша теориялық мәліметтер Жиындар теориясының негізін салушы
неміс математигі Георг Кантордың (1845-1918) сөзімен айтқанда: “Жиын
дегеніміз өзіміздің ойымызда тұтас бір бүтін болып түсінілетін көптік”.
Жиындарды бір-бірінен айыру үшін оларды латын алфавитінің бас
әріптерімен - А, В, С, D, Е, Ғ, ..., ал элементтерін кіші a,b,c,d,e,.f,...
әріптермен, сондай-ақ жиындар символикасында бос жиын ( таңбасымен
белгіленеді, тиісті деген сөздің орнына ( таңбасы, “тиісті емес” деген
сөздің орнына ( таңбасы пайдаланылады.
Шексіз жиындарды фигуралы жақша арқылы көп нүктені пайдаланып
белгілеуге болады. А={а, в, с,...}
Жиын өзінің элементтері арқылы анықталады, яғни егер кез келген
нысана жөнінде ол осы жиынға тиісті немесе тиісті емес екендігін айта
алатын болсақ, онда жиын берілген деп саналады. Жиынның берілу тәсілдері:
1) Жиынның барлық элементтерін тізіп көрсету арқылы беріледі.
Мысалы, А жиыны 3,4,5,6 элементтерінен тұрса, онда элементтерін фигуралы
жақшаға алып А=(3,4,5,6( түрінде жазып, оны "А жиыны 3, 4, 5, 6
элементтерінен тұрады" деп оқиды.
2) Жиынның берілуінің тағы бір тәсілі оны құрайтын
элементтерінің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті
сипаттамалық қасиет деп атайды.
Мысалға 6 санынан кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық.
Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда,
оларды "натурал және 6-дан кіші сан болуы" аталып отыр. Қарастырып отырған
А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді.
А=(х(х(N, х6(. А={ 1, 2, 3, 4, 5(.
Анықтама. Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі
болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады.
Анықтама. Егер А жиынының әрбір элементі В жиынының да элементі болса
және керісінше, В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса,
онда А мен В жиындары тең деп аталады да былай жазылады: А=В.
Бұл Анықтама.ны былай да айтуға болады: егер А(В және В(А болса, онда А мен
В жиындары тең деп аталады.
Көрнекілік үшін жиындарды дөңгелек не сопақша фигуралармен
бейнелеп көрсетуге болады. Дөңгелек не сопақша фигураның ішінде сол жиынның
элементтері ғана орналасады. Ол дөңгелектерді Эйлер дөңгелектері немесе
Эйлер-Венн диаграммалары деп атайды.
Леонард Эйлер (1707-1783)-Петербург ғылым академиясының мүшесі,
Швейцарияда туылған, ал 1727 жылы Петербург ғылым академиясының шақыруымен
Ресейге келген және мұнда ірі математик дәрежесіне дейін көтерілген.
Ағылшын математигі Джон Венн (1886-1921) Эйлер-Венн диаграммаларында
жиынды тіктөртбұрыш түрінде, ал ішкі жиынды шеңбер немесе тұйықталған қисық
сызықпен кескіндеп көрсетеді.
Анықтама. А және В жиындарынының қиылысуы деп А және В
жиындарының екеуіне де тиісті ортақ элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады. А және В жиындарының қиылысуы былай
белгіленеді:
С=А(В. А(В={хх(А және х(В}
Егер А және В жиындарының ортақ элементтері болмаса, онда олардың
қиылысуы бос жиын болады және былай жазылады: А(В=(.
Анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп не А не В
жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады. А(В((х х(А немесе х(В(
А және В жиындарының бірігуін А(В деп белгілейді, мұндағы (
жиындардың бірігуінің белгісі. Егер А және В жиындары элементтерінің
сипаттамалық қасиеттері көрсетілген болса, онда А(В жиынына осы
қасиеттердің ең болмағанда біреуіне ие болатын элементтер енеді.
4.Бақылау сұрақтары:
1.Жиын ұғымы, жиын элементі;
2.Жиындардың берілу тәсілдері;
3.Бос жиын, шекті және шексіз жиындар;
4.Ішкі жиын, тең жиындар, универсал жиын;
5. Жиындарды Эйлер дөңгелектері арқылы және сан түзуінің бойында кескіндеу.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
1. А-геометриялық фигуралар жиыны. Осы жиынға
А) бесбұрыш: В) түзу: С) куб: Д) дөңгелек тиісті ме?
2. Х- хайуандар жиыны болсын. Осы жиынға:
А) сиыр; В) құмырсқа; С) қарға; Д) піл тиісті бола ма?
3.А жиыны -1, -2, -3, -4 сандарынан тұрады. Осы жиынды жазыңыздар.
Берілген санға қарама-қарсы сандарды жиын түрінде жазыныздар.
4. К-жай сандар жиыны, М-жұп сандар жиыны, Л-тақ сандар
жиыны болсын. 7, 11, 12, 18, 37, 47, 51, 65, 96, 115, 217, 321, 512, 418,
233 сандары қайсы жиынға тиісті болатынын көрсетіңіздер.
5. А-параллелограмдар жиыны болсын. Осы жиынға:
А)ромб; В) трапеция; в) параллелограмм диагоналы; г) тіктөртбұрыш тиісті
бола ма?
7. Үй тапсырмасы:
1. А-8 санынан үлкен 18 санынан кіші натурал сандар жиыны, ал В-7
мен аяқталатын натурал сандар жиыны болсын.
а) 12, 17, 0, 3, 7 осы жиындардың қайсысына тиісті екенін х белгісімен
көрсетіңіздер.
б) жоғарыдағы сандардың қайсысы жиыңдарға тиісті емес екенін көрсетіңіздер.
2. а) Гүл аттарынан; б) тарихи оқиғалардан в) сандардан г)
геометриялық фигуралардан түратын жиындарға мысалдар келтіріңіздер.
3. В-барлық натурал сандар жиыны, А-12 санының барлықнатурал
бөлгіштерінің жиыны, В-24 санының натурал белгіштерінің жиыны
берілген. Осы А және В жиындарының элементтерін нүктелермен және Эйлер-
Венн диаграммалары арқылы кескіндеңіздер.
4.У-мектеп кітапханасындағы кітаптар жиыны, А-математика
кітаптарының жиыны, В-жаратылыстану пөндерінің жиыны, С-физика кітаптарының
жиыны екені белгілі. Осы жиындардыЭйлер-Венн диаграммалары арқылы
кескіндеңіздер.
5.А-университетте оқитын студенттер жиыны, В-осы университеттегі 1-
курс студентттерінің жиыны. Осы екі жиынды Эйлер-Венн
диаграммасы арқылы кескіндеп көрсетіңіздер.
8. Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ. Математика. -Алматы, 2000.
2. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері.
-Астана, 2003.
3. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. - Алматы, 2004.
4. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
5. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері.
–Астана, 2008.
№3 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: ГРАФ
1. Сабақ жоспары: Графтардың түрлері. Жазық граф туралы Эйлер
теоремасы.
2. Сабақ мақсаты: 1.Граф ұғымы және түрлерімен таныстыру.
2.Жазық граф туралы Эйлер теоремасын есеп шығаруда
қолдана алу.
3. Қысқаша теориялық мәліметтер Математикада әртүрлі нысандар
арасында (сан, шама, фигура) және олардың қасиеттерінің арасында да
байланыстар зерттеледі. Мысалы, сандар арасында тең, кем, артық, 1-і
артық, 2 есе кем, кейін, бұрын, арасында, соңында т.с.с. қатыстары
қарастырылады.
Натурал сан ұғымын қалыптастыру –бастауыш математика курсының негізгі
ұғымы және жалпы сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып
дамыту.
Математикада көбінесе екі нысанның арасындағы қатынас қарастырылады.
Екі жиын арасындағы қатысты бинарлық қатыс деп атайды.
С.И.Ожеговтың түсіндірме сөздігінде бинарлық двойной, состоящий из двух
компонентов деп жазған, яғни екі элементтен тұратын немесе қос деген
мағынаны білдіреді.
Анықтама. X жиынының элементтерінің арасындағы немесе Х жиынындағы
қатыс деп ХхХ декарттық көбейтіндісінің кез келген ішкі жиынын атайды.
Қатысты латынның бас әріптерімен белгілейді P,Q,R,S,... т.с.с.
Сонымен, егер Х жиынының элементтерінің арасындағы қатыс R болса, онда R(
ХхХ болады.
Х жиынында берілген R қатысы X жиынынан алынған осы қатыспен
байланысқан элементтердің реттелген қостарын тізіп жазу арқылы беріледі.
Бұл жағдайда қатыстың элементтерін тізіп жазу формасы әртүрлі болуы мүмкін.
Мысалы, Х={4,5,6,7,9} жиынындағы қандай да бір R қатысының берілуін
мынандай қостар жиыны {(5,4), (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (7,6), (9,4),
(9,5), (9,6), (9,7)( немесе сызып графигін беруге болады.
Орта және бастауыш мектеп математикасында қатыс ұғымы жалпы түрде
енгізілмейді, бірақ әртүрлі нысандар арасындағы нақты қатыстар
қарастырылады.
Бастауыш мектеп математикасында сандар арасындағы қатыстарға
ерекше көңіл бөлінеді. Оларды қысқа түрде жазылған екі айнымалысы бар
сөйлем ретінде, кесте толтыру арқылы т.с.с. түрде беріледі. Қатыстардың көп
түрімен бастауыш мектеп оқушылары мазмұнды есептер (мәтіндік) шығаруда
кездеседі. Мысалы, “Бір сөредегі кітап саны екінші сөредегіге қарағанда 3
есе артық. Бір сөреден 8 кітапты алып, екінші сөреге 5 кітапты қойғанда
екінші сөредегі кітап біріншіге қарағанда 17-ге кем болады. Әрбір сөреде
қанша кітап болды?”. Бұл есепті шығарғанда оқушы “есе артық”, “кем”
қатыстарын жақсы білуі керек.
Қатыстың кескінін, яғни сызба түрінде көрнекі түрде беруге болады, ол
сызбаны граф деп атайды. Граф, график гректің сөзі, жазамын деген
мағынаны білдіреді. Сызбада берілген нүктелер графтың төбелері, ал оларды
қосатын бағытталған сызықтарды графтың қабырғалары деп атайды. Графта
сызықтардың басы да ұшы да беттесетін нүктені ілгектері деп
атайды.Графтармен байланысты ұсынған алғаш жұмыстардың бірі Эйлер жұмысы
болып есептеледі (1736 ж.).
Жазықтықта әртүрлі А, В, С, Д, Е нүктелерін белгілейік. Осы
нүктелерді граф төбелері, ал оларды қосатын сызықтарды граф қабырғалары
деп атайды.
Бұл графты А, В, С, Д, Е нүктелерін қосатын сызықтар осы нүктелерден
басқа ешбір нүктелермен қиылыспайтын, қабырғалары тек төбелерде ғана
қиылысатын графты жазық граф деп атайды.
Жазық граф туралы Эйлер теоремасы қабырғалары тек төбесінде ғана
қиылысатын графтарды жазық граф берілсін.
Егер осы жазық графтың барлық қабырғаларын өзара қосқанда да ол жазық
граф бола алса, ондай граф толық жазық граф деп аталады.
Кез келген граф үшін Т- Қ + Ж =2 теңдеуі орындалады.
Т - граф төбелерінің саны;
Қ – граф қабырғаларының саны;
Ж - граф жазықтықтарының саны.
Бұл теорема жазық граф үшін Эйлер теоремасы деп аталады. Жалпы
алғанда графтар төбелерден, қабырғалардан, жазықтардан тұрады. Берілген
графтар арқылы жазықтықтың бөлінген бөліктері жақтар деп аталады.
Графтағы ешбір қабырғалары арқылы артық рет өтпейтін сызық шынжыр
деп аталады. Егер қозғалысты А нүктесінен бастап барлық төбелерден әр
қабырға бойымен тек бір ғана рет жүре отырып сол А төбесіне қайта оралу
мүмкін болса, мұндай жолды цикл деп аталады. Егер циклдың барлық төбелері
әртүрлі болса, мұндай цикл қарапайым, қарсы жағдайда қарапайым емес цикл
деп аталады. Кей жағдайда цикл графтың қабырғаларын дәл бір ретпен
қамтиды.
Граф — бұл жиын нысандарының және олардың арасындағы байланыстың
абстрактілі түсінігі. Граф деп (V, E) жұпты айтады мұнда V – бұл төбелер
жиыны болып, ал Е әрбіреуі өзінің байланысын көрсететін жұптар жиыны (бұл
жұптар қабырғалар деп аталады). Граф бағдарланған және бағдарланбаған болу
мүмкін. Бағдарланған графта байланыстар бағытталған болып келеді (яғни Е
реттелген болып келеді, мысалы (a, b) және (b, a) бұл екі әртүрлі
байланыс), ал бағдарланбаған графта байланыстар бағытталмаған (яғни егер
(a, b) байланысы бар болса, онда (b, a) байланысы міндетті түрде болады).
А) Бағытталған граф Б)
Бағытталмаған граф
Графтағы жол бұл әрбір екі төбенің арасындағы қабырғалар арқылы
байланысқан төбелердің ақырғы реті. Жол графқа байланысты бағытталған және
бағытталмаған болып келеді. 1-ші А)суретте [(1), (3), (4), (5)] реттілікті
анықтайды, ал[(1), (4), (5)] реттілік болып келеді.
4. Бақылау сұрақтары:
1. Қатыс.
2. Байланысты граф.
3. Граф сөзінің мағынасы.
4. Графтар теориясы.
5. Графтың төбелері.
7. Қатаң реттік қатыс
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
2. У=(2,3,4,5, 6( жиынында "артық" және "артық немесе тең" атысы
берілген. Графын сыз, қасиетін анықта. Қайсысы рефлексивті қасиетке ие?
Неліктен?
3. У(( 2,4,6,8,12(- жиынында "2 есе артық" және "2-і артық" қатысы
берілген, қасиетін анықта. Графтарының ұқсастығы неде?
4. А кесінділер жиынында "тең" және "қысқа" қатыстары берілген,
қатыстардың графын сыз, қасиетін анықта. Қай қатыс рефлексивті қасиетке ие
болмайды? Графының ерекшелігі неде?
5. Х={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} -жиынында “3-ке бөлгенде бірдей
қалдық қалады” қатысы берілген. Қатыстың қасиетін анықта, эквиваленттік
қатыс бола ма? Қатыс жиынды неше класқа бөледі?
7.Үй тапсырмасы:
1. Х-кесінділер жиыны, онда мынадай қатыстар берілген болсын: “тең”,
“ұзын”, “параллель”, “перпендикуляр” графын сыз, қасиетін анықта.
2. А={1,4,7,10,15,18,19} жиынында 3-ке бөлгенде бірдей қалдық қалады
деген R қатысы берілген.
а) R қатысына тиісті барлық парларын атаңыздар.
б) R қатысының графы мен графигін құрыңыздар.
3. В={0,3,4, 6, 7} жиынында х саны у санынан 3-ке артық х, у € В
деген R қатысы берілген.
а) R қатысының графы мен графигін құрыңыздар.
б) R қатысын теңдеу түрінде жазыңыздар.
8.Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері. -Астана, 2003.
2. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. -Алматы, 2004.
3. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
4. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері.
–Астана, 2008.
№4 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: СӘЙКЕСТІК ҰҒЫМЫ, ГРАФЫ МЕН ГРАФИГІ
1. Сабақ жоспары: Сәйкестік ұғымын түсіндіру.
2. Сабақ мақсаты: Сәйкестік ұғымын өмірмен байланыстыра отырып
түсіндіру. Бейнелеулер мен олардың түрлеріне бастауыш сынып оқушысына
түсінікті етіп мысалдар келтіру.
3. Қысқаша теориялық мәліметтер Екі жиынның элементтерінің
арасындағы қандай да бір байланыс жиі қарастырылады. Осындай байланысты
сәйкестік деп айтады. Мысалы, кесінділердің ұзындығын өлшегенде кесінді мен
нақты сандардың немесе жазықтықтағы нүктелер мен нақты сандар қосындысының
арасында сәйкестік болады.
Анықтама. X және У жиындарының элементтерінің арасындағы сәйкестік
деп олардың декарттық көбейтіндісінің ішкі жиыны болатын қостардың жиынын
айтады. R€XxY, Мысалы, Х={3,5,7,9}. P:xy Y={4,6}.
P={(5,4),(7,6), (7,4), (9,4), (9,6)}.
A={5,7,9}
T={4,6}
7€ X, 7 толық бейнесі {4,6}.
4 € Y, 4 толық түпкілікті бейнесі {5,7,9}.
Ақырлы осы жиындардың арасындағы сәйкестікті график аркылы
көрнекті түрде бейнелеуге болады: осы жиындарының арасыңдағы “артық”
(үлкен) деген сәйкестікті график арқылы көрсетейік. Ол үшін берілген
жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының элементін
кескіндейтін нүктеден У жиыны элементтін кескіндейтін нүктені
сызықтармен қосамыз, сонда элементтердің арасында "артық" сәйкестігі
орындалуы керек. 54 болғандықтан сызық 5-тен 4-ке қарай; 74, 76
болғандыктан 7-ден 4-ке, 7-ден 6-ға қарай т.с.с. бағытталады.
X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық
жазықтыктағы график арқылы да көрсетуге болады. Ол үшін қандай да бір К
сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүктелер
аркылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.
Берілген сәйкестікте болатын сандардың қосын
жазайық: (5,4), (7,4), (7,6), (9,4),(9,6). X жиынының элементтерін ОХ
осінің бойынан, ал У жиынының элементтерін ОУ осінің бойынан
алып, көрсетілген сандардың қосына сәйкес келетін күктелерді
координаттық жазықтықта белгілесек, X және У жиындарының элементерінің
арасындағы “артық” сәйкестігінің графигін аламыз.
Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың
қатарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және
бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады.
Анықтама. Х және У жиындарының арасында R сәйкестігі берілген болсын,
онда және Х арасындағы оған кері сәйкестік деп аталып, былай
жазылады: .
Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп
көңіл бөлінеді. Оқушылар 5(3 болғандықтан 3( 5 екенін, егер АВ кесіндісі
СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа
болатынын терең түсіну керек.
Математиканың бастауыш курсында өзара бірмәнді сәйкестік ұғымы
айқын түрде қолданылмайды, оған санау және сандарды салыстыру үдерісі
негізделген. Мысалы, 3=3 теңдігін түсіндіру үшін үш қызыл, үш көк шаршыны
алып, әрбір қызыл шаршыға бір көк шаршыны сәйкес қояды (шаршыны бір-біріне
беттестіріп кояды, оларды кесінділермен қосады т.с.с.), яғни қызыл және көк
түсті шаршылар жиындары арасында өзара бірмәнді
сәйкестігі орнатылады.
Жиындарды бейнелеу — сәйкестік ұғымының дербес жағдайы. X және У
жиындары элементтерінің арасындағы Р сәйкестікте х(Х элементінің бейнесінің
болмауы, сонымен қатар соның бейнесі болатын бірнеше элементтің болуы да
мүмкін.
Жиын шектеулі болғанда оның элементтерін санайды да, олардың
әрқайсысының элементтерінің сандарын анықтап, соларды салыстырады. Егер
жиын шектеусіз көп элементтерден тұратын болса, онда олардың элементтердің
арасында өзара бір мәнді сәйкестікті тікелей тағайындау керек болады.
Мысалы: N={1,2,3,4, ... n }- натурал сандар жиыны, B={2,4,6... 2n}- жұп
сандар жиыны. Барлық шектеусіз жиындар өзара тең қуаттас бола бермейді.
Мысалы, натурал сандар жиыны мен түзудің нүктелер жиыны. Сондай-ақ натурал
сандар жиыны мен R жиыны тең қуаттас емес. Натурал сандар жиыны мен тең
қуаттас жиын саналымды жиын деп аталады. Кез келген саналымды жиын шексіз,
бірақ та мұндай жиынның әрбір элементіне натурал санды сәйкес қоюға болады,
сонда жиынның барлық элементі нөмерленеді.
4. Бақылау сүрақтары:
1.Сәйкестік.
2.Берілген сәйкестікке кері сәйкестік.
3.Сәйкестіктің анықталу облысы.
4.Жиындарды бейнелеу.
5.Сюръективті бейнелеу.
6.Инъективті бейнелеу.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
1.А=(1,2,4,6( және В=(5,7( жиындарының арасында “кем”, “1-і кем”
сәйкестігі берілген. Берілген сәйкестіктің графын, графигін сыз. Кері
сәйкестік құрастыр, графигін сыз.
2. Х=(0,1,2,3,4,5( және У=( жиындары “х санының у санынан 3-кем”
сәйкестігі берілген. Сәйкестіктің графигін сыз. Кері сәйкестік құрастыр,
графигін сыз.
3. Х=(2,5( және У=(3,6(, ХхУ ішкі жиын сәйкестік құрастырады?
7.Үй тапсырмасы: жиынын құрастыр. Қай ішкі
1.Биективті бейнелеу.
2. Өзара бірмәнді бейнелеу.
3. Өзара бірмәнді сәйкестік.
4.Тең қуатты жиындар.
8.Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері. -Астана, 2003.
2. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. -Алматы, 2004.
3. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
4. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері.
–Астана, 2008.
№5 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: БЕЙНЕЛЕУЛЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ТҮРЛЕРІ.
ТЕҢ ҚУАТТАС ЖИЫНДАР. ЖИЫНДАҒЫ ҚАТЫНАСТАР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ
1.Сабақ жоспары: Бейнелеулер мен олардың түрлерімен таныстыру.
2.Сабақ мақсаты: Бейнелеулерге есептер шығарып жаттықтыру
3.Қысқаша теориялық мәліметтер Ақырлы осы жиындардың арасындағы
сәйкестікті график аркылы көрнекті түрде бейнелеуге болады: осы жиындарының
арасыңдағы “артық” (үлкен) деген сәйкестікті график арқылы көрсетейік. Ол
үшін берілген жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының
элементін кескіндейтін нүктеден У жиыны элементтін кескіндейтін нүктені
сызықтармен қосамыз, сонда элементтердің арасында "артық" сәйкестігі
орындалуы керек. 54 болғандықтан сызық 5-тен 4-ке қарай; 74, 76
болғандыктан 7-ден 4-ке, 7-ден 6-ға қарай т.с.с. бағытталады.
X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық
жазықтыктағы график арқылы да көрсетуге болады. Ол үшін қандай да бір К
сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүктелер
аркылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.
Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың
қатарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және
бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады.
Анықтама. Х және У жиындарының арасында R сәйкестігі берілген болсын,
онда және Х арасындағы оған кері сәйкестік деп аталып, былай
жазылады: .
Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп
көңіл бөлінеді. Оқушылар 5(3 болғандықтан 3( 5 екенін, егер АВ кесіндісі
СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа
болатынын терең түсіну керек.
Математиканың бастауыш курсында өзара бірмәнді сәйкестік ұғымы
айқын түрде қолданылмайды, оған санау және сандарды салыстыру үдерісі
негізделген. Мысалы, 3=3 теңдігін түсіндіру үшін үш қызыл, үш көк шаршыны
алып, әрбір қызыл шаршыға бір көк шаршыны сәйкес қояды (шаршыны бір-біріне
беттестіріп кояды, оларды кесінділермен қосады т.с.с.), яғни қызыл және көк
түсті шаршылар жиындары арасында өзара бірмәнді
сәйкестігі орнатылады.
Жиындарды бейнелеу — сәйкестік ұғымының дербес жағдайы. X және У
жиындары элементтерінің арасындағы Р сәйкестікте х(Х элементінің бейнесінің
болмауы, сонымен қатар соның бейнесі болатын бірнеше элементтің болуы да
мүмкін.
Анықтама. X жиынын У жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп әрбір х(Х
элементінің бейнесі бір және тек бір ғана у(У болатын X және У жиындары
арасындағы сәйкестікті айтады. Басқа сөзбен айтқанда, кез келген х(Х үшін
хРу болатын бір және тек бір ғана у(У табылады.
Жиын шектеулі болғанда оның элементтерін санайды да, олардың
әрқайсысының элементтерінің сандарын анықтап, соларды салыстырады. Егер
жиын шектеусіз көп элементтерден тұратын болса, онда олардың элементтердің
арасында өзара бір мәнді сәйкестікті тікелей тағайындау керек болады.
4. Бақылау сұрақтары:
1.Сәйкестік.
2.Берілген сәйкестікке кері сәйкестік.
3.Сәйкестіктің анықталу облысы.
4.Жиындарды бейнелеу.
5.Тең қуатты жиындар.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6. Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
2. А=(1,2,4,6( және В=(5,7( жиындарының арасында “кем”, “1-і кем”
сәйкестігі берілген. Берілген сәйкестіктің графын, графигін сыз. Кері
сәйкестік құрастыр, графигін сыз.
3. Х=(0,1,2,3,4,5( және У=( жиындары “х санының у санынан 3-кем”
сәйкестігі берілген. Сәйкестіктің графигін сыз. Кері сәйкестік құрастыр,
графигін сыз.
4. Х=(2,5( және У=(3,6(, ХхУ ішкі жиынын құрастыр. Қай ішкі жиын
сәйкестік құрастырады?
5.Оқушылар қарындашқа 10 теңге, дәптерге 7 теңге, өшіргішке 5 теңге,
қаламға 15 теңге төледі. Қандай екі жиын арасында сәйкестік берілген.
7.Үй тапсырмасы:
1 .Сюръективті бейнелеу.
2 .Инъективті бейнелеу.
3.Биективті бейнелеу.
4. Өзара бірмәнді бейнелеу.
5. Өзара бірмәнді сәйкестік.
6. Сатып алынған заттар есебі неде: кітап-100 тг, дәптер-10 тг, бояу
жаққыш 15 тг, өшіргіш 20 тг. Сатып алынған заттар жиыны Х және осы
заттардың бағаларының жиыны У-ті жазып, олардың арасындағы сәйкестікті
тұжырымдап, оның графын құрыңыз.
7. Төбелерінің координаталары (0,6), (5,0), (0,-3), (8-,0) бойынша
төртбұрыш салыңыздар. Осы төртбұрыш Х (ені) және У (ұзындығы) жиындарының
арасындағы сәйкестіктің графигі болып есептеледі.
8. АВС үшбұрышын сызыңыз. Х-осы үшбұрыштың бұрыштарының жиыны, ал У-
оның қабырғаларының жиыны, ал R:х бұрышы у қабырғасына қарсы жатыр деген
сәйкестік болсын. R сәйкестігінің графигіне тиісті барлық парларды атап
шығыңыз.
9. Х={xx €z, 0≤x≤4} және У={yy€Z, 0≤y≤5} жиындар элементтерінің
арасындағы сәйкестік кестемен берілген. Сәйкестіктің графигін құрыңыздар.
х 0 0
а а А
а ж Ж
ж а Ж
ж ж Ж
Мына Күн Жерден үлкен және Астана - Қазақстанның астанасы деген
пікірді қарастырайық. Бұл пікір Күн Жерден үлкен және Астана -
Қазақстанның астанасы деген пікірлердің конъюнкциясы болады. Сонымен қатар
ол ақиқат пікір, өйткені оны құрайтын екі пікірдің екеуі де ақиқат.
Күн Жерден үлкен және Ертіс Каспий теңізіне құяды деген конъюнкция
жалған, өйткені оған енетін жәй пікірлердің біреуі Ертіс Каспийге құяды
жалған.
12 тақ сан және 5-ке бөлінеді деген пікір жалған, себебі бұл
конъюнкцияға кіретін екі жәй пікірдің екеуі де жалған.
Жалпы сөйлемнің құрылуында және жалғаулығының орнына ал, бірақ,
алайда, дегенмен, т.б. жалғаулықтар да қолданылады. Бұл жалғаулықтардың
әртүрлі ерешеліктері болғанымен, логикалық көзқараста олардың айырмашылығы
жоқ.
4. Бақылау сұрақтары:
1.Пікірлер.
2.”Және”, “немесе”, “емес” сөздерінің қолданылуы.
3. Пікірлер формасы.
4. Кванторлар.
5. ( және ( символдарының қолданылуы.
6. “Табылады”, “кез келген” сөздерінің орнына қолданылатын символдар.
7. Квантор қандай мағынаны білдіреді?
8. Предикат дегеніміз ...
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Пікір және предикатты бөліп жаз:
1) 1,2х+3у-8,
2) 0,3х+7,8у=9
3) 0,5(х+5)-8,
2. Пікірдің ақиқат не жалған екендігін анықта: -2х+6(2.
3 Келесі математикалық сөйлемдердің қайсысы пікір болады?
а) тік төртбұрыш шаршы болады.
в) х саны 3-ке қалдықсыз бөлінеді.
с) (4+3)х2х=40
7.Үй тапсырмасы:
1. Келесі қос пікірлердің қайсысы бірін-бірі теріске шығаратын пікір
болатынын көрсетіңіздер:
а) 5 кіші 6; 5 үлкен 6; в) 5 кіші 6; 5 кіші немесе тең 6.
2. Келесі пікірлерді кванторлар арқылы жазыңыздар. Кез келген а және
в үшін (а+в)2=а2+2аb+в2 болады.
3. Төмендегі предикаттарды кез келген жалпылық квантор арқылы
жазыңыздар:
а) “кез келген нақты сан х оң”;
в) “кез келген натурал сан х 5-ке еселі”.
4. Келесі пікірлердің қайсысы қарапайым және күрделі, ақиқат және
жалған екендіктерін анықтаңыздар:
1) Даринаның туылған мерзімі қыс айы-желтоқсан;
2) Кәусәр - ең ұзақ гүлдейтін үй өсімдігі
3) 8-наурыз Жыл басы
4) 25 саны 7-ге қалдықсыз бөлінеді.
8.Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері. -Астана, 2003.
2. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. -Алматы, 2004.
3. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
4. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері.
–Астана, 2008.
№8 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: ТЕОРЕМА ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚҰРЫЛЫМЫ. ТЕОРЕМАНЫ
ДӘЛЕЛДЕУ ТӘСІЛДЕРІ
1. Сабақ жоспары: Теорема, оның құрылымы. Теореманы дәлелдеу тәсілдері
2. Сабақ мақсаты:
1. Теорема ұғымы және оның құрылымымен таныстыру. Оны дәлелдеу
тәсілдері.
2. Дұрыс және дұрыс емес пайымдаулар.
3. Қысқаша теориялық мәліметтер Теорема. Егер үшбұрыштың ешбір төбесі
арқылы өтпейтін түзу оның бір қабырғасын қиса, онда ол түзу қалған екі
қабырғаның тек біреуін ғана қияды.
Дәлелдеу. Айталық, а түзуі АВС үшбұрышының ешбір төбесі арқылы
өтпесін және оның АВ қабырғасын қисын делік (5-сурет).
Сызбаны сөзбен айтудың геометриялық жазылуы деп түсінеміз, сондықтан
теоремаларды дәлелдегенде сызбаны пайдалануға рұқсат етіледі.
а түзуі жазықтықтағы екі жарты жазықтыққа бөледі, А және В нүктелері
әртүрлі жарты жазықтықтарды жатады, өйткені АВ кесіндісі а түзуімен
қиылысады. С нүктесі осы жазықтықтардың бірінде жатады.
Егер С нүктесі А нүктесі жатқан жарты жазықтықта жатса, онда АС
кесіндісі а түзуімен қиылыспайды, ал ВС кесіндісі бұл түзумен қиылысады.
Мұнда а түзуі АВ және ВС кесінділерін қияды. Міне, дәлелдеуі осы ғана.
Мұнда теореманың шарты – түзу үшбұрыштың ешбір ешбір төбесі арқылы өтпйді
және оның қабырғаларының біреуін қияды. Теореманың қорытындысы – бұл түзу
үшбұрыштың қалған екі қабырғасының тек біреуін ғана қияды. Теореманың
құрамы әртүрлі болғанымен оның шартын немесе берілуін және оның
қорытындысын (нені дәлелдеу керек екенін) көрсетеді
Ұғымды толық түсіну үшін оның барлық қасиеттері қарастырылады.
Геометрияда аксиома мен теорема сияқты сөздермен қатар анықтама сөзі
де пайдаланылады. Бір нәрсеге анықтама беру – оның не нәрсе екенін
түсіндіру. Мысалы, үшбұрыштың анықтамасы, үшбұрыш деп бір түзуде жатпайтын
үш нүктеден және осы нүктелерді қосатын үш кесіндіден тұратын фигураны
айтады.
4. Бақылау сұрақтары:
1. Әр теореманың берілуі (шартын) мен қорытындысын бөліп алыңыз:
а) егер үшбұрыштың барлық қабырғаларын тең болса, онда оның барлық
бұрыштары тең;
б) екі жұп санның қосындысы жұп сан;
в) егер сан 3-ке және 4-ке еселік болса, онда ол сан 12-ге еселі.
2. Теорема берілген: Ромбының диагоналдары тік бұрыш жасап қиылысады.
Ромбының диагоналдары оның бұрыштарының биссектрисалары болып табылады.
Осы теореманың шартын және қорытындысын айырып алыңыз және мына сөздарді
қолданып оны басқаша келтіріңіз:
1) туындайды, болады; 2) кез келген;
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1. Тік төртбұрыштың диагоналдарының қиылысу нүктесінің кіші қабырғадан
қашықтығы үлкен қабырғадан қашықтығынан 4 см артық. Тік төртбұрыштың
периметрі 56 см-ге тең. Тік төртбұрыштың қабырғаларын табыңыздар.
2. Параллелограмның екі қабырғасының қатынасы 3:4 қатынасындай, ал
оның периметрі 2,8 м-ге тең. Қабырғаларын табыңыздар.
3. Үшбұрыштың қабырғалары 8 см, 10 см, 12 см-ге тең. Төбелері осы
үшбұрыштың қабырғаларының орталары болып келген үшбұрыштың қабырғаларын
табыңыздар.
4. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанына параллель болатын орта сызығы 3 см-
ге тең. Үшбұрыштың периметрі 16 см деп алып, оның қабырғаларын табыңыздар.
5. Трапеция табандарының қатынасы 2:3 қатынасындай, ал орта сызығы 5
м. Табандарын табыңыздар.
7.Үй тапсырмасы:
1. Параллель екі түзудің біреуін қиятын түзу екіншісін қимауы мүмкін
бе? Жауаптарыңызды түсіндіріңздер.
2. АВС және МРК үшбұрыштары тең. АВ қабырғасы 10 см, ВС қабырғасы 6
см, АС
қабырғасы 7 см-ге тең екені белгілі. МРК үшбұрышының қабырғаларын
табыңыздар. Жауаптарыңызды түсіндіріңіздер.
3. АВС, РQМ және ХУZ үшбұрыштары тең. АВ қабырғасы 6 см, QМ
қабырғасы 7 см, ХZ қабырғасы 8 см-ге тең. Әрбір үшбұрыштың қалған
қабырғаларын табыңдар.
4. АВС үшбұрышының АВ ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
А.ЯСАУИ АТЫНДАҒЫ ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ҚАЗАҚ-ТҮРІК УНИВЕРСИТЕТІ
Тарих - педагогика ФАКУЛЬТЕТІ
Бастауыш оқыту теориясы мен әдістемесі КАФЕДРАСЫ
“Бекітемін”
Факультеттің оқу-
әдістемелік Кеңесі
№ ___хаттама ”___”
_______2011 ж.
п.ғ.к., доц. м.а.
Ү.Мелдебекова
МАТЕМАТИКА НЕГІЗДЕРІ пәнінен практикалық сабақтың әдістемелік нұсқауы
Түркістан, 2011ж.
Практикалық сабақтың әдістемелік нұсқауы ҚР Білім және Ғылым министрлігінің 2010
жылғы 3-қарашасындағы №514 бұйрығымен бекітілген, 5В010200-Бастауышта оқыту
педагогикасы мен әдістемесі мамандығы бойынша мемлекеттік жалпыға міндетті
білім беру стандарты, мамандықтың типтік оқу бағдарламасы мен университеттің
жұмыс оқу жоспары негізінде дайындалған.
Практикалық сабақтың әдістемелік
нұсқауын дайындаған, аға оқытушы ___________ Б.Даулетбекова
Практикалық сабақтың әдістемелік нұсқауы кафедраның
2011ж. мәжілісінде талқыланды және № хаттамамен бекітілді.
Кафедра меңгерушісі,
п.ғ.д., доцент
______________ Б.Ортаев
ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢКҮНТІЗБЕЛІК-ТАҚЫРЫПТЫҚ ЖОСПАРЫ
Сабақтың тақырыбы мен жоспары Кредит, Тапсырма Әдебиеттер
№ Күні сағат ларды тексе (әдебиет №,
саны ру түрі реті, тарауы,
беті)
Математикалық құрылымдар. 1
1 Құрылымдардың типтері және Сұрақ-жауап,
олардың сипаттамалары. Есеп шығару №1,9,11,12
Жиын ұғымы, элементі. Жиындардың1
2 берілу тәсілдері. Жиындарға Сұрақ-жауап,№1,2,4,5,8
амалдар қолдану. Есеп шығару
Графтар. Графтардың түрлері. 1 Сұрақ-жауап,№2,3,8,10,
3 Жазық граф туралы Эйлер Есеп шығару 11
теоремасы.
Сәйкестік ұғымы, оның графы мен 1 Сұрақ-жауап,№3,5,6,9,11, 12,
4 графигі. Есеп шығару
Бейнелеулер және олардың Сұрақ-жауап,№1,2,3,4,6,7,8,9
5 түрлері; Тең қуаттас жиындар. 1 Есеп шығару
Жиындағы қатынастар және олардың
қасиеттері.
Математикалық ұғымдар және
6 оларды анықтау тәсілдері. 1 Сұрақ-жауап,№2,3,4,5,10,11,1
Математикалық ұғымдарды Есеп шығару 2
анықтаудың құрылымы. Пікірлер
және оларға амалдар қолдану.
Предикаттар және оларға амалдар Сұрақ-жауап,№2,3,4,5,10,11,1
7 қолдану. Кванторлар. 1 Есеп шығару 2
Математикалық логиканың заңдары.
Теорема және оның құрылымы. 1 Сұрақ-жауап,№2,3,4,5,10,11,1
8 Теореманы дәлелдеу тәсілдері. Есеп шығару 2
Комбинаторлық есептер, қосынды Сұрақ-жауап,№3,5,6,9,11, 12,
9 мен көбейтінді ережесі. 1 Есеп шығару
Ауыстырулар, терулер,
орналастырулар.
10 Натурал сандар. Сандардың 1
натурал қатарының кесіндісі. Сұрақ-жауап,
Реттік натурал сан. Натурал Есеп шығару №1,9,11,12
сандар жиыны.
Теріс емес бүтін сандар. Теріс
11 емес бүтін сандар жиынының 1 Сұрақ-жауап,№1,2,4,5,8
реттік қатынастың түсініктемесі. Есеп шығару
Пеано аксиомалары, теріс емес
бүтін сандарға қолдан. амалдарды
анықтау.
12 Санау жүйелері. Санау жүйелері 1 Сұрақ-жауап,№2,3,8,10,
туралы ұғым; ондық санау жүйесі. Есеп шығару 11
13 Сандардың бөлінгіштігі: Сұрақ-жауап,№3,5,6,9,11, 12,
бөлінгіштік қатынас және оның 1 Есеп шығару
қасиеттері. Жай және құрама
сандар. Эратосфен елегі.
14 Сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші Сұрақ-жауап,№1,2,3,4,6,7,8,9
мен ең кіші ортақ еселігі, 1 Есеп шығару
олардың негізгі қасиеттері мен
оларды табу алгоритмі.
15 Бүтін және рационал
сандар..Бүтін және рацион. 1 Сұрақ-жауап,№2,3,4,5,10,11,1
сандарға қолданылатын Есеп шығару 2
арифметикалық амалдар.
Барлығы 15
№1 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ:
МАТЕМАТИКАЛЫҚ ҚҰРЫЛЫМДАР
1. Сабақ жоспары: Математикалық құрылымдардың типтері және олардың
сипаттамалары.
2. Сабақ мақсаты: Математикалық құрылымдарды қарастыру.
Математикалық құрылымдардың типтерін анықтау
3. Қысқаша теориялық мәліметтер. Математика басқа ғылымдар
сияқты бізді қоршаған әлемді зерттейді және де ол зерттейтін нақты әлемнің
құбылыстары өздерінің материалдық табиғатымен ғана емес, тек қана
формальды құрылымдық қасиеттерімен, әсіресе олармен байланысты сандық
қатынастар мен кеңістіктік формаларымен анықталады.
Қазіргі математика таза теориямен, сонымен бірге оның қолданбалы
салаларымен айналысатын ғалым-математиктердің күш-жігері арқасында қарқынды
даму кезеңін бастан кешіруде. Олардың кейбіреулері үшін математика –
қоршаған ортаны және онда болып жатқан құбылыстарды тану әдісі болса,
басқалар үшін математиканың өзі зерттеуге және дамытуға лайықты біртұтас
әлем болып табылады.
Сонымен бірге, математиканың дамуы көптеген шиеленіскен қарама-
қайшылықтардың, нақты мен абстрактының, дара мен жалпының, форма мен
мазмұнның, аксиоматика мен конструктивтіктің, шекті мен шексіздің,
формальдық пен мазмұндылықтың, дискреттік пен үздіксіздіктің күрес
үдерісінде жүзеге асады. Мысалы, соңғы он жылдықтарға тән болып отырған
дәл ғылым салаларының қарқынды дамуы математиканың одан әрі кеңейе түсуіне
және мамандыққа бейімделуіне кең жол ашты, тұтас ғылым математиканың ішінде
әртүрлі зерттеу пәні мен әдістері, ерекше белгілеуі бар дербес дамитын
бөлімдер пайда бола бастады.
Математика зерттейтін ән, ол өзінің даму барысында ылғи өзгеріске
ұшырап, кеңейіп отырады. Егер ХІХ ғасырдағы және ХХ ғасырдың бірінші
жартысындағы математика сандар мен шамалар жайындағы ғылым болса, онда
қазіргі математика қазіргі математика, Н.Бурбаки айтқандай, математикалық
құрылымдардың заңын зерттейді. Математикалық танымның дамуында жаңа
нысандар ылғи ашылады, ал жаңа нысандар жаңа сандық қатынастарды тану
құралы, ендеше, оның зерттеу пәні кеңейе береді.
Николай Бурбаки – Францияның белгілі атақты математиктер тобын
біріктіретін топтың жалған немесе лақап аты. Бұл топтың құрамы, жас
ерекшеліктері және басқа да қасиеттері белгісіз жасырын ұйым. Кейбір
зерттеушілердің пікірінше, оның құрамына Картан, Папи, Кофман, Фор,
Мандельброт т.б. енді деп болжайды. Бұл жөніндегі кейбір мәліметтерді
американ математигі П.Р.Халмоштың Николай Бурбаки деген мақаласынан
табуға болады.
Н.Бурбакидің негізгі мақсаты математика бойынша Математика
элементтері атты толық трактат жазу. Тракттағы алғашқы абстракция немесе
жалпы принцип ретінде математикалық құрылым және оны зерттеуге сәйкес әдіс
ретінде аксиоматикалық әдіс қарастырылады.
Н.Бурбаки Математика элементтері атты бірнеше томдарын жарыққа
шығарды және олар өзінің жоғары ғылыми-теориялық дәрежесі мен материалды
баяндаудың стилі жағынан дүниежүзі математиктерінің құрметіне бөленді
Н.Бурбакидің пікірінше, математика ғылымы математикалық құрылымдарды
зерттейді.
Сонымен, математиканың бірден-бір нысаны математикалық құрылымдар
болып табылады.
Математикалық құрылымдар базистік және көп еселі болып екіге
бөлінеді. Алгебралық, топологиялық және реттік құрылымдарды базистік деп
атайды.
Бүкіл математика ғылымы осы үш түрлі базистік құрылымдардың жиынтығы
мен комбинациясы болып табылады.
4. Бақылау сұрақтары:
1. Н.Бурбаки ұйымы.
2. П.Р.Халмоштың мақаласы.
3. Н.Бурбакидің негізгі мақсаты.
4. Математика элементтері бірінші томы.
5. Аксиоматикалық әдіс.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
7. Үй тапсырмасы:
1. Математикалық құрылым терминінің мән-мағынасы.
2. Құрылымдардың типтері.
3. Құрылымның алгебралық типіне сипаттама.
4. Құрылымның топологиялық типіне сипаттама.
5. Құрылымның реттік типіне сипаттама.
8. Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері. -Астана, 2003.
2. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. -Алматы, 2004.
3. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
4. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері.
–Астана, 2008.
№2 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: ЖИЫН ҰҒЫМЫ. ЖИЫНДАРДЫҢ БЕРІЛУ
ТӘСІЛДЕРІ. ЖИЫНДАРҒА АМАЛДАР ҚОЛДАНУ
1. Сабақ жоспары: Жиын ұғымы туралы түсініктерін есеп шығару арқылы
бақылау.
2. Сабақ мақсаты: Кез келген зат, нысандар арқылы жиынды құра білуге,
оларға амалдар қолдана және Эйлер–Венн диаграммасы арқылы көрнекті түрде
кескіндеу.
3. Қысқаша теориялық мәліметтер Жиындар теориясының негізін салушы
неміс математигі Георг Кантордың (1845-1918) сөзімен айтқанда: “Жиын
дегеніміз өзіміздің ойымызда тұтас бір бүтін болып түсінілетін көптік”.
Жиындарды бір-бірінен айыру үшін оларды латын алфавитінің бас
әріптерімен - А, В, С, D, Е, Ғ, ..., ал элементтерін кіші a,b,c,d,e,.f,...
әріптермен, сондай-ақ жиындар символикасында бос жиын ( таңбасымен
белгіленеді, тиісті деген сөздің орнына ( таңбасы, “тиісті емес” деген
сөздің орнына ( таңбасы пайдаланылады.
Шексіз жиындарды фигуралы жақша арқылы көп нүктені пайдаланып
белгілеуге болады. А={а, в, с,...}
Жиын өзінің элементтері арқылы анықталады, яғни егер кез келген
нысана жөнінде ол осы жиынға тиісті немесе тиісті емес екендігін айта
алатын болсақ, онда жиын берілген деп саналады. Жиынның берілу тәсілдері:
1) Жиынның барлық элементтерін тізіп көрсету арқылы беріледі.
Мысалы, А жиыны 3,4,5,6 элементтерінен тұрса, онда элементтерін фигуралы
жақшаға алып А=(3,4,5,6( түрінде жазып, оны "А жиыны 3, 4, 5, 6
элементтерінен тұрады" деп оқиды.
2) Жиынның берілуінің тағы бір тәсілі оны құрайтын
элементтерінің ортақ қасиетін атау болып табылады. Мұндай қасиетті
сипаттамалық қасиет деп атайды.
Мысалға 6 санынан кем натурал сандардың А жиынын қарастырайық.
Бұл жерде А жиынының барлық элементтерінің ортақ қасиеті, атап айтқанда,
оларды "натурал және 6-дан кіші сан болуы" аталып отыр. Қарастырып отырған
А жиынының элементтерін атап шығу қиындыққа түспейді.
А=(х(х(N, х6(. А={ 1, 2, 3, 4, 5(.
Анықтама. Егер В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі
болса, онда В жиыны А жиынының ішкі жиыны деп аталады.
Анықтама. Егер А жиынының әрбір элементі В жиынының да элементі болса
және керісінше, В жиынының әрбір элементі А жиынының да элементі болса,
онда А мен В жиындары тең деп аталады да былай жазылады: А=В.
Бұл Анықтама.ны былай да айтуға болады: егер А(В және В(А болса, онда А мен
В жиындары тең деп аталады.
Көрнекілік үшін жиындарды дөңгелек не сопақша фигуралармен
бейнелеп көрсетуге болады. Дөңгелек не сопақша фигураның ішінде сол жиынның
элементтері ғана орналасады. Ол дөңгелектерді Эйлер дөңгелектері немесе
Эйлер-Венн диаграммалары деп атайды.
Леонард Эйлер (1707-1783)-Петербург ғылым академиясының мүшесі,
Швейцарияда туылған, ал 1727 жылы Петербург ғылым академиясының шақыруымен
Ресейге келген және мұнда ірі математик дәрежесіне дейін көтерілген.
Ағылшын математигі Джон Венн (1886-1921) Эйлер-Венн диаграммаларында
жиынды тіктөртбұрыш түрінде, ал ішкі жиынды шеңбер немесе тұйықталған қисық
сызықпен кескіндеп көрсетеді.
Анықтама. А және В жиындарынының қиылысуы деп А және В
жиындарының екеуіне де тиісті ортақ элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады. А және В жиындарының қиылысуы былай
белгіленеді:
С=А(В. А(В={хх(А және х(В}
Егер А және В жиындарының ортақ элементтері болмаса, онда олардың
қиылысуы бос жиын болады және былай жазылады: А(В=(.
Анықтама. А және В жиындарының бірігуі деп не А не В
жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден және тек қана сол
элементтерден тұратын жиынды айтады. А(В((х х(А немесе х(В(
А және В жиындарының бірігуін А(В деп белгілейді, мұндағы (
жиындардың бірігуінің белгісі. Егер А және В жиындары элементтерінің
сипаттамалық қасиеттері көрсетілген болса, онда А(В жиынына осы
қасиеттердің ең болмағанда біреуіне ие болатын элементтер енеді.
4.Бақылау сұрақтары:
1.Жиын ұғымы, жиын элементі;
2.Жиындардың берілу тәсілдері;
3.Бос жиын, шекті және шексіз жиындар;
4.Ішкі жиын, тең жиындар, универсал жиын;
5. Жиындарды Эйлер дөңгелектері арқылы және сан түзуінің бойында кескіндеу.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
1. А-геометриялық фигуралар жиыны. Осы жиынға
А) бесбұрыш: В) түзу: С) куб: Д) дөңгелек тиісті ме?
2. Х- хайуандар жиыны болсын. Осы жиынға:
А) сиыр; В) құмырсқа; С) қарға; Д) піл тиісті бола ма?
3.А жиыны -1, -2, -3, -4 сандарынан тұрады. Осы жиынды жазыңыздар.
Берілген санға қарама-қарсы сандарды жиын түрінде жазыныздар.
4. К-жай сандар жиыны, М-жұп сандар жиыны, Л-тақ сандар
жиыны болсын. 7, 11, 12, 18, 37, 47, 51, 65, 96, 115, 217, 321, 512, 418,
233 сандары қайсы жиынға тиісті болатынын көрсетіңіздер.
5. А-параллелограмдар жиыны болсын. Осы жиынға:
А)ромб; В) трапеция; в) параллелограмм диагоналы; г) тіктөртбұрыш тиісті
бола ма?
7. Үй тапсырмасы:
1. А-8 санынан үлкен 18 санынан кіші натурал сандар жиыны, ал В-7
мен аяқталатын натурал сандар жиыны болсын.
а) 12, 17, 0, 3, 7 осы жиындардың қайсысына тиісті екенін х белгісімен
көрсетіңіздер.
б) жоғарыдағы сандардың қайсысы жиыңдарға тиісті емес екенін көрсетіңіздер.
2. а) Гүл аттарынан; б) тарихи оқиғалардан в) сандардан г)
геометриялық фигуралардан түратын жиындарға мысалдар келтіріңіздер.
3. В-барлық натурал сандар жиыны, А-12 санының барлықнатурал
бөлгіштерінің жиыны, В-24 санының натурал белгіштерінің жиыны
берілген. Осы А және В жиындарының элементтерін нүктелермен және Эйлер-
Венн диаграммалары арқылы кескіндеңіздер.
4.У-мектеп кітапханасындағы кітаптар жиыны, А-математика
кітаптарының жиыны, В-жаратылыстану пөндерінің жиыны, С-физика кітаптарының
жиыны екені белгілі. Осы жиындардыЭйлер-Венн диаграммалары арқылы
кескіндеңіздер.
5.А-университетте оқитын студенттер жиыны, В-осы университеттегі 1-
курс студентттерінің жиыны. Осы екі жиынды Эйлер-Венн
диаграммасы арқылы кескіндеп көрсетіңіздер.
8. Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ. Математика. -Алматы, 2000.
2. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері.
-Астана, 2003.
3. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. - Алматы, 2004.
4. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
5. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері.
–Астана, 2008.
№3 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: ГРАФ
1. Сабақ жоспары: Графтардың түрлері. Жазық граф туралы Эйлер
теоремасы.
2. Сабақ мақсаты: 1.Граф ұғымы және түрлерімен таныстыру.
2.Жазық граф туралы Эйлер теоремасын есеп шығаруда
қолдана алу.
3. Қысқаша теориялық мәліметтер Математикада әртүрлі нысандар
арасында (сан, шама, фигура) және олардың қасиеттерінің арасында да
байланыстар зерттеледі. Мысалы, сандар арасында тең, кем, артық, 1-і
артық, 2 есе кем, кейін, бұрын, арасында, соңында т.с.с. қатыстары
қарастырылады.
Натурал сан ұғымын қалыптастыру –бастауыш математика курсының негізгі
ұғымы және жалпы сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып
дамыту.
Математикада көбінесе екі нысанның арасындағы қатынас қарастырылады.
Екі жиын арасындағы қатысты бинарлық қатыс деп атайды.
С.И.Ожеговтың түсіндірме сөздігінде бинарлық двойной, состоящий из двух
компонентов деп жазған, яғни екі элементтен тұратын немесе қос деген
мағынаны білдіреді.
Анықтама. X жиынының элементтерінің арасындағы немесе Х жиынындағы
қатыс деп ХхХ декарттық көбейтіндісінің кез келген ішкі жиынын атайды.
Қатысты латынның бас әріптерімен белгілейді P,Q,R,S,... т.с.с.
Сонымен, егер Х жиынының элементтерінің арасындағы қатыс R болса, онда R(
ХхХ болады.
Х жиынында берілген R қатысы X жиынынан алынған осы қатыспен
байланысқан элементтердің реттелген қостарын тізіп жазу арқылы беріледі.
Бұл жағдайда қатыстың элементтерін тізіп жазу формасы әртүрлі болуы мүмкін.
Мысалы, Х={4,5,6,7,9} жиынындағы қандай да бір R қатысының берілуін
мынандай қостар жиыны {(5,4), (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (7,6), (9,4),
(9,5), (9,6), (9,7)( немесе сызып графигін беруге болады.
Орта және бастауыш мектеп математикасында қатыс ұғымы жалпы түрде
енгізілмейді, бірақ әртүрлі нысандар арасындағы нақты қатыстар
қарастырылады.
Бастауыш мектеп математикасында сандар арасындағы қатыстарға
ерекше көңіл бөлінеді. Оларды қысқа түрде жазылған екі айнымалысы бар
сөйлем ретінде, кесте толтыру арқылы т.с.с. түрде беріледі. Қатыстардың көп
түрімен бастауыш мектеп оқушылары мазмұнды есептер (мәтіндік) шығаруда
кездеседі. Мысалы, “Бір сөредегі кітап саны екінші сөредегіге қарағанда 3
есе артық. Бір сөреден 8 кітапты алып, екінші сөреге 5 кітапты қойғанда
екінші сөредегі кітап біріншіге қарағанда 17-ге кем болады. Әрбір сөреде
қанша кітап болды?”. Бұл есепті шығарғанда оқушы “есе артық”, “кем”
қатыстарын жақсы білуі керек.
Қатыстың кескінін, яғни сызба түрінде көрнекі түрде беруге болады, ол
сызбаны граф деп атайды. Граф, график гректің сөзі, жазамын деген
мағынаны білдіреді. Сызбада берілген нүктелер графтың төбелері, ал оларды
қосатын бағытталған сызықтарды графтың қабырғалары деп атайды. Графта
сызықтардың басы да ұшы да беттесетін нүктені ілгектері деп
атайды.Графтармен байланысты ұсынған алғаш жұмыстардың бірі Эйлер жұмысы
болып есептеледі (1736 ж.).
Жазықтықта әртүрлі А, В, С, Д, Е нүктелерін белгілейік. Осы
нүктелерді граф төбелері, ал оларды қосатын сызықтарды граф қабырғалары
деп атайды.
Бұл графты А, В, С, Д, Е нүктелерін қосатын сызықтар осы нүктелерден
басқа ешбір нүктелермен қиылыспайтын, қабырғалары тек төбелерде ғана
қиылысатын графты жазық граф деп атайды.
Жазық граф туралы Эйлер теоремасы қабырғалары тек төбесінде ғана
қиылысатын графтарды жазық граф берілсін.
Егер осы жазық графтың барлық қабырғаларын өзара қосқанда да ол жазық
граф бола алса, ондай граф толық жазық граф деп аталады.
Кез келген граф үшін Т- Қ + Ж =2 теңдеуі орындалады.
Т - граф төбелерінің саны;
Қ – граф қабырғаларының саны;
Ж - граф жазықтықтарының саны.
Бұл теорема жазық граф үшін Эйлер теоремасы деп аталады. Жалпы
алғанда графтар төбелерден, қабырғалардан, жазықтардан тұрады. Берілген
графтар арқылы жазықтықтың бөлінген бөліктері жақтар деп аталады.
Графтағы ешбір қабырғалары арқылы артық рет өтпейтін сызық шынжыр
деп аталады. Егер қозғалысты А нүктесінен бастап барлық төбелерден әр
қабырға бойымен тек бір ғана рет жүре отырып сол А төбесіне қайта оралу
мүмкін болса, мұндай жолды цикл деп аталады. Егер циклдың барлық төбелері
әртүрлі болса, мұндай цикл қарапайым, қарсы жағдайда қарапайым емес цикл
деп аталады. Кей жағдайда цикл графтың қабырғаларын дәл бір ретпен
қамтиды.
Граф — бұл жиын нысандарының және олардың арасындағы байланыстың
абстрактілі түсінігі. Граф деп (V, E) жұпты айтады мұнда V – бұл төбелер
жиыны болып, ал Е әрбіреуі өзінің байланысын көрсететін жұптар жиыны (бұл
жұптар қабырғалар деп аталады). Граф бағдарланған және бағдарланбаған болу
мүмкін. Бағдарланған графта байланыстар бағытталған болып келеді (яғни Е
реттелген болып келеді, мысалы (a, b) және (b, a) бұл екі әртүрлі
байланыс), ал бағдарланбаған графта байланыстар бағытталмаған (яғни егер
(a, b) байланысы бар болса, онда (b, a) байланысы міндетті түрде болады).
А) Бағытталған граф Б)
Бағытталмаған граф
Графтағы жол бұл әрбір екі төбенің арасындағы қабырғалар арқылы
байланысқан төбелердің ақырғы реті. Жол графқа байланысты бағытталған және
бағытталмаған болып келеді. 1-ші А)суретте [(1), (3), (4), (5)] реттілікті
анықтайды, ал[(1), (4), (5)] реттілік болып келеді.
4. Бақылау сұрақтары:
1. Қатыс.
2. Байланысты граф.
3. Граф сөзінің мағынасы.
4. Графтар теориясы.
5. Графтың төбелері.
7. Қатаң реттік қатыс
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
2. У=(2,3,4,5, 6( жиынында "артық" және "артық немесе тең" атысы
берілген. Графын сыз, қасиетін анықта. Қайсысы рефлексивті қасиетке ие?
Неліктен?
3. У(( 2,4,6,8,12(- жиынында "2 есе артық" және "2-і артық" қатысы
берілген, қасиетін анықта. Графтарының ұқсастығы неде?
4. А кесінділер жиынында "тең" және "қысқа" қатыстары берілген,
қатыстардың графын сыз, қасиетін анықта. Қай қатыс рефлексивті қасиетке ие
болмайды? Графының ерекшелігі неде?
5. Х={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} -жиынында “3-ке бөлгенде бірдей
қалдық қалады” қатысы берілген. Қатыстың қасиетін анықта, эквиваленттік
қатыс бола ма? Қатыс жиынды неше класқа бөледі?
7.Үй тапсырмасы:
1. Х-кесінділер жиыны, онда мынадай қатыстар берілген болсын: “тең”,
“ұзын”, “параллель”, “перпендикуляр” графын сыз, қасиетін анықта.
2. А={1,4,7,10,15,18,19} жиынында 3-ке бөлгенде бірдей қалдық қалады
деген R қатысы берілген.
а) R қатысына тиісті барлық парларын атаңыздар.
б) R қатысының графы мен графигін құрыңыздар.
3. В={0,3,4, 6, 7} жиынында х саны у санынан 3-ке артық х, у € В
деген R қатысы берілген.
а) R қатысының графы мен графигін құрыңыздар.
б) R қатысын теңдеу түрінде жазыңыздар.
8.Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері. -Астана, 2003.
2. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. -Алматы, 2004.
3. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
4. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері.
–Астана, 2008.
№4 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: СӘЙКЕСТІК ҰҒЫМЫ, ГРАФЫ МЕН ГРАФИГІ
1. Сабақ жоспары: Сәйкестік ұғымын түсіндіру.
2. Сабақ мақсаты: Сәйкестік ұғымын өмірмен байланыстыра отырып
түсіндіру. Бейнелеулер мен олардың түрлеріне бастауыш сынып оқушысына
түсінікті етіп мысалдар келтіру.
3. Қысқаша теориялық мәліметтер Екі жиынның элементтерінің
арасындағы қандай да бір байланыс жиі қарастырылады. Осындай байланысты
сәйкестік деп айтады. Мысалы, кесінділердің ұзындығын өлшегенде кесінді мен
нақты сандардың немесе жазықтықтағы нүктелер мен нақты сандар қосындысының
арасында сәйкестік болады.
Анықтама. X және У жиындарының элементтерінің арасындағы сәйкестік
деп олардың декарттық көбейтіндісінің ішкі жиыны болатын қостардың жиынын
айтады. R€XxY, Мысалы, Х={3,5,7,9}. P:xy Y={4,6}.
P={(5,4),(7,6), (7,4), (9,4), (9,6)}.
A={5,7,9}
T={4,6}
7€ X, 7 толық бейнесі {4,6}.
4 € Y, 4 толық түпкілікті бейнесі {5,7,9}.
Ақырлы осы жиындардың арасындағы сәйкестікті график аркылы
көрнекті түрде бейнелеуге болады: осы жиындарының арасыңдағы “артық”
(үлкен) деген сәйкестікті график арқылы көрсетейік. Ол үшін берілген
жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының элементін
кескіндейтін нүктеден У жиыны элементтін кескіндейтін нүктені
сызықтармен қосамыз, сонда элементтердің арасында "артық" сәйкестігі
орындалуы керек. 54 болғандықтан сызық 5-тен 4-ке қарай; 74, 76
болғандыктан 7-ден 4-ке, 7-ден 6-ға қарай т.с.с. бағытталады.
X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық
жазықтыктағы график арқылы да көрсетуге болады. Ол үшін қандай да бір К
сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүктелер
аркылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.
Берілген сәйкестікте болатын сандардың қосын
жазайық: (5,4), (7,4), (7,6), (9,4),(9,6). X жиынының элементтерін ОХ
осінің бойынан, ал У жиынының элементтерін ОУ осінің бойынан
алып, көрсетілген сандардың қосына сәйкес келетін күктелерді
координаттық жазықтықта белгілесек, X және У жиындарының элементерінің
арасындағы “артық” сәйкестігінің графигін аламыз.
Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың
қатарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және
бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады.
Анықтама. Х және У жиындарының арасында R сәйкестігі берілген болсын,
онда және Х арасындағы оған кері сәйкестік деп аталып, былай
жазылады: .
Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп
көңіл бөлінеді. Оқушылар 5(3 болғандықтан 3( 5 екенін, егер АВ кесіндісі
СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа
болатынын терең түсіну керек.
Математиканың бастауыш курсында өзара бірмәнді сәйкестік ұғымы
айқын түрде қолданылмайды, оған санау және сандарды салыстыру үдерісі
негізделген. Мысалы, 3=3 теңдігін түсіндіру үшін үш қызыл, үш көк шаршыны
алып, әрбір қызыл шаршыға бір көк шаршыны сәйкес қояды (шаршыны бір-біріне
беттестіріп кояды, оларды кесінділермен қосады т.с.с.), яғни қызыл және көк
түсті шаршылар жиындары арасында өзара бірмәнді
сәйкестігі орнатылады.
Жиындарды бейнелеу — сәйкестік ұғымының дербес жағдайы. X және У
жиындары элементтерінің арасындағы Р сәйкестікте х(Х элементінің бейнесінің
болмауы, сонымен қатар соның бейнесі болатын бірнеше элементтің болуы да
мүмкін.
Жиын шектеулі болғанда оның элементтерін санайды да, олардың
әрқайсысының элементтерінің сандарын анықтап, соларды салыстырады. Егер
жиын шектеусіз көп элементтерден тұратын болса, онда олардың элементтердің
арасында өзара бір мәнді сәйкестікті тікелей тағайындау керек болады.
Мысалы: N={1,2,3,4, ... n }- натурал сандар жиыны, B={2,4,6... 2n}- жұп
сандар жиыны. Барлық шектеусіз жиындар өзара тең қуаттас бола бермейді.
Мысалы, натурал сандар жиыны мен түзудің нүктелер жиыны. Сондай-ақ натурал
сандар жиыны мен R жиыны тең қуаттас емес. Натурал сандар жиыны мен тең
қуаттас жиын саналымды жиын деп аталады. Кез келген саналымды жиын шексіз,
бірақ та мұндай жиынның әрбір элементіне натурал санды сәйкес қоюға болады,
сонда жиынның барлық элементі нөмерленеді.
4. Бақылау сүрақтары:
1.Сәйкестік.
2.Берілген сәйкестікке кері сәйкестік.
3.Сәйкестіктің анықталу облысы.
4.Жиындарды бейнелеу.
5.Сюръективті бейнелеу.
6.Инъективті бейнелеу.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
1.А=(1,2,4,6( және В=(5,7( жиындарының арасында “кем”, “1-і кем”
сәйкестігі берілген. Берілген сәйкестіктің графын, графигін сыз. Кері
сәйкестік құрастыр, графигін сыз.
2. Х=(0,1,2,3,4,5( және У=( жиындары “х санының у санынан 3-кем”
сәйкестігі берілген. Сәйкестіктің графигін сыз. Кері сәйкестік құрастыр,
графигін сыз.
3. Х=(2,5( және У=(3,6(, ХхУ ішкі жиын сәйкестік құрастырады?
7.Үй тапсырмасы: жиынын құрастыр. Қай ішкі
1.Биективті бейнелеу.
2. Өзара бірмәнді бейнелеу.
3. Өзара бірмәнді сәйкестік.
4.Тең қуатты жиындар.
8.Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері. -Астана, 2003.
2. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. -Алматы, 2004.
3. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
4. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері.
–Астана, 2008.
№5 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: БЕЙНЕЛЕУЛЕР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ТҮРЛЕРІ.
ТЕҢ ҚУАТТАС ЖИЫНДАР. ЖИЫНДАҒЫ ҚАТЫНАСТАР ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ ҚАСИЕТТЕРІ
1.Сабақ жоспары: Бейнелеулер мен олардың түрлерімен таныстыру.
2.Сабақ мақсаты: Бейнелеулерге есептер шығарып жаттықтыру
3.Қысқаша теориялық мәліметтер Ақырлы осы жиындардың арасындағы
сәйкестікті график аркылы көрнекті түрде бейнелеуге болады: осы жиындарының
арасыңдағы “артық” (үлкен) деген сәйкестікті график арқылы көрсетейік. Ол
үшін берілген жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының
элементін кескіндейтін нүктеден У жиыны элементтін кескіндейтін нүктені
сызықтармен қосамыз, сонда элементтердің арасында "артық" сәйкестігі
орындалуы керек. 54 болғандықтан сызық 5-тен 4-ке қарай; 74, 76
болғандыктан 7-ден 4-ке, 7-ден 6-ға қарай т.с.с. бағытталады.
X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық
жазықтыктағы график арқылы да көрсетуге болады. Ол үшін қандай да бір К
сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүктелер
аркылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.
Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың
қатарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және
бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады.
Анықтама. Х және У жиындарының арасында R сәйкестігі берілген болсын,
онда және Х арасындағы оған кері сәйкестік деп аталып, былай
жазылады: .
Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп
көңіл бөлінеді. Оқушылар 5(3 болғандықтан 3( 5 екенін, егер АВ кесіндісі
СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа
болатынын терең түсіну керек.
Математиканың бастауыш курсында өзара бірмәнді сәйкестік ұғымы
айқын түрде қолданылмайды, оған санау және сандарды салыстыру үдерісі
негізделген. Мысалы, 3=3 теңдігін түсіндіру үшін үш қызыл, үш көк шаршыны
алып, әрбір қызыл шаршыға бір көк шаршыны сәйкес қояды (шаршыны бір-біріне
беттестіріп кояды, оларды кесінділермен қосады т.с.с.), яғни қызыл және көк
түсті шаршылар жиындары арасында өзара бірмәнді
сәйкестігі орнатылады.
Жиындарды бейнелеу — сәйкестік ұғымының дербес жағдайы. X және У
жиындары элементтерінің арасындағы Р сәйкестікте х(Х элементінің бейнесінің
болмауы, сонымен қатар соның бейнесі болатын бірнеше элементтің болуы да
мүмкін.
Анықтама. X жиынын У жиынының ішкі жиынына бейнелеу деп әрбір х(Х
элементінің бейнесі бір және тек бір ғана у(У болатын X және У жиындары
арасындағы сәйкестікті айтады. Басқа сөзбен айтқанда, кез келген х(Х үшін
хРу болатын бір және тек бір ғана у(У табылады.
Жиын шектеулі болғанда оның элементтерін санайды да, олардың
әрқайсысының элементтерінің сандарын анықтап, соларды салыстырады. Егер
жиын шектеусіз көп элементтерден тұратын болса, онда олардың элементтердің
арасында өзара бір мәнді сәйкестікті тікелей тағайындау керек болады.
4. Бақылау сұрақтары:
1.Сәйкестік.
2.Берілген сәйкестікке кері сәйкестік.
3.Сәйкестіктің анықталу облысы.
4.Жиындарды бейнелеу.
5.Тең қуатты жиындар.
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6. Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Теориялық материалды еске түсіру, қайталау.
2. А=(1,2,4,6( және В=(5,7( жиындарының арасында “кем”, “1-і кем”
сәйкестігі берілген. Берілген сәйкестіктің графын, графигін сыз. Кері
сәйкестік құрастыр, графигін сыз.
3. Х=(0,1,2,3,4,5( және У=( жиындары “х санының у санынан 3-кем”
сәйкестігі берілген. Сәйкестіктің графигін сыз. Кері сәйкестік құрастыр,
графигін сыз.
4. Х=(2,5( және У=(3,6(, ХхУ ішкі жиынын құрастыр. Қай ішкі жиын
сәйкестік құрастырады?
5.Оқушылар қарындашқа 10 теңге, дәптерге 7 теңге, өшіргішке 5 теңге,
қаламға 15 теңге төледі. Қандай екі жиын арасында сәйкестік берілген.
7.Үй тапсырмасы:
1 .Сюръективті бейнелеу.
2 .Инъективті бейнелеу.
3.Биективті бейнелеу.
4. Өзара бірмәнді бейнелеу.
5. Өзара бірмәнді сәйкестік.
6. Сатып алынған заттар есебі неде: кітап-100 тг, дәптер-10 тг, бояу
жаққыш 15 тг, өшіргіш 20 тг. Сатып алынған заттар жиыны Х және осы
заттардың бағаларының жиыны У-ті жазып, олардың арасындағы сәйкестікті
тұжырымдап, оның графын құрыңыз.
7. Төбелерінің координаталары (0,6), (5,0), (0,-3), (8-,0) бойынша
төртбұрыш салыңыздар. Осы төртбұрыш Х (ені) және У (ұзындығы) жиындарының
арасындағы сәйкестіктің графигі болып есептеледі.
8. АВС үшбұрышын сызыңыз. Х-осы үшбұрыштың бұрыштарының жиыны, ал У-
оның қабырғаларының жиыны, ал R:х бұрышы у қабырғасына қарсы жатыр деген
сәйкестік болсын. R сәйкестігінің графигіне тиісті барлық парларды атап
шығыңыз.
9. Х={xx €z, 0≤x≤4} және У={yy€Z, 0≤y≤5} жиындар элементтерінің
арасындағы сәйкестік кестемен берілген. Сәйкестіктің графигін құрыңыздар.
х 0 0
а а А
а ж Ж
ж а Ж
ж ж Ж
Мына Күн Жерден үлкен және Астана - Қазақстанның астанасы деген
пікірді қарастырайық. Бұл пікір Күн Жерден үлкен және Астана -
Қазақстанның астанасы деген пікірлердің конъюнкциясы болады. Сонымен қатар
ол ақиқат пікір, өйткені оны құрайтын екі пікірдің екеуі де ақиқат.
Күн Жерден үлкен және Ертіс Каспий теңізіне құяды деген конъюнкция
жалған, өйткені оған енетін жәй пікірлердің біреуі Ертіс Каспийге құяды
жалған.
12 тақ сан және 5-ке бөлінеді деген пікір жалған, себебі бұл
конъюнкцияға кіретін екі жәй пікірдің екеуі де жалған.
Жалпы сөйлемнің құрылуында және жалғаулығының орнына ал, бірақ,
алайда, дегенмен, т.б. жалғаулықтар да қолданылады. Бұл жалғаулықтардың
әртүрлі ерешеліктері болғанымен, логикалық көзқараста олардың айырмашылығы
жоқ.
4. Бақылау сұрақтары:
1.Пікірлер.
2.”Және”, “немесе”, “емес” сөздерінің қолданылуы.
3. Пікірлер формасы.
4. Кванторлар.
5. ( және ( символдарының қолданылуы.
6. “Табылады”, “кез келген” сөздерінің орнына қолданылатын символдар.
7. Квантор қандай мағынаны білдіреді?
8. Предикат дегеніміз ...
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1.Пікір және предикатты бөліп жаз:
1) 1,2х+3у-8,
2) 0,3х+7,8у=9
3) 0,5(х+5)-8,
2. Пікірдің ақиқат не жалған екендігін анықта: -2х+6(2.
3 Келесі математикалық сөйлемдердің қайсысы пікір болады?
а) тік төртбұрыш шаршы болады.
в) х саны 3-ке қалдықсыз бөлінеді.
с) (4+3)х2х=40
7.Үй тапсырмасы:
1. Келесі қос пікірлердің қайсысы бірін-бірі теріске шығаратын пікір
болатынын көрсетіңіздер:
а) 5 кіші 6; 5 үлкен 6; в) 5 кіші 6; 5 кіші немесе тең 6.
2. Келесі пікірлерді кванторлар арқылы жазыңыздар. Кез келген а және
в үшін (а+в)2=а2+2аb+в2 болады.
3. Төмендегі предикаттарды кез келген жалпылық квантор арқылы
жазыңыздар:
а) “кез келген нақты сан х оң”;
в) “кез келген натурал сан х 5-ке еселі”.
4. Келесі пікірлердің қайсысы қарапайым және күрделі, ақиқат және
жалған екендіктерін анықтаңыздар:
1) Даринаның туылған мерзімі қыс айы-желтоқсан;
2) Кәусәр - ең ұзақ гүлдейтін үй өсімдігі
3) 8-наурыз Жыл басы
4) 25 саны 7-ге қалдықсыз бөлінеді.
8.Сабақ тақырыбына сәйкес әдебиеттер және Web сайттар тізімі:
1. Оспанов Т.Қ., Құрманалина Ш.Х., Құрманалина С.Х. Математиканың теориялық
негіздері. -Астана, 2003.
2. Жолымбаев О.М., Берікханова Г.Е. Математика. -Алматы, 2004.
3. Төлегенов Ө.Ш. Математиканың бастауыш курсының теориялық негіздері.
–Астана, 2007.
4. Абдрахманов Қ., Ермекбаева А. Математиканың бастауыш курсының
негіздері.
–Астана, 2008.
№8 ПРАКТИКАЛЫҚ САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ: ТЕОРЕМА ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚҰРЫЛЫМЫ. ТЕОРЕМАНЫ
ДӘЛЕЛДЕУ ТӘСІЛДЕРІ
1. Сабақ жоспары: Теорема, оның құрылымы. Теореманы дәлелдеу тәсілдері
2. Сабақ мақсаты:
1. Теорема ұғымы және оның құрылымымен таныстыру. Оны дәлелдеу
тәсілдері.
2. Дұрыс және дұрыс емес пайымдаулар.
3. Қысқаша теориялық мәліметтер Теорема. Егер үшбұрыштың ешбір төбесі
арқылы өтпейтін түзу оның бір қабырғасын қиса, онда ол түзу қалған екі
қабырғаның тек біреуін ғана қияды.
Дәлелдеу. Айталық, а түзуі АВС үшбұрышының ешбір төбесі арқылы
өтпесін және оның АВ қабырғасын қисын делік (5-сурет).
Сызбаны сөзбен айтудың геометриялық жазылуы деп түсінеміз, сондықтан
теоремаларды дәлелдегенде сызбаны пайдалануға рұқсат етіледі.
а түзуі жазықтықтағы екі жарты жазықтыққа бөледі, А және В нүктелері
әртүрлі жарты жазықтықтарды жатады, өйткені АВ кесіндісі а түзуімен
қиылысады. С нүктесі осы жазықтықтардың бірінде жатады.
Егер С нүктесі А нүктесі жатқан жарты жазықтықта жатса, онда АС
кесіндісі а түзуімен қиылыспайды, ал ВС кесіндісі бұл түзумен қиылысады.
Мұнда а түзуі АВ және ВС кесінділерін қияды. Міне, дәлелдеуі осы ғана.
Мұнда теореманың шарты – түзу үшбұрыштың ешбір ешбір төбесі арқылы өтпйді
және оның қабырғаларының біреуін қияды. Теореманың қорытындысы – бұл түзу
үшбұрыштың қалған екі қабырғасының тек біреуін ғана қияды. Теореманың
құрамы әртүрлі болғанымен оның шартын немесе берілуін және оның
қорытындысын (нені дәлелдеу керек екенін) көрсетеді
Ұғымды толық түсіну үшін оның барлық қасиеттері қарастырылады.
Геометрияда аксиома мен теорема сияқты сөздермен қатар анықтама сөзі
де пайдаланылады. Бір нәрсеге анықтама беру – оның не нәрсе екенін
түсіндіру. Мысалы, үшбұрыштың анықтамасы, үшбұрыш деп бір түзуде жатпайтын
үш нүктеден және осы нүктелерді қосатын үш кесіндіден тұратын фигураны
айтады.
4. Бақылау сұрақтары:
1. Әр теореманың берілуі (шартын) мен қорытындысын бөліп алыңыз:
а) егер үшбұрыштың барлық қабырғаларын тең болса, онда оның барлық
бұрыштары тең;
б) екі жұп санның қосындысы жұп сан;
в) егер сан 3-ке және 4-ке еселік болса, онда ол сан 12-ге еселі.
2. Теорема берілген: Ромбының диагоналдары тік бұрыш жасап қиылысады.
Ромбының диагоналдары оның бұрыштарының биссектрисалары болып табылады.
Осы теореманың шартын және қорытындысын айырып алыңыз және мына сөздарді
қолданып оны басқаша келтіріңіз:
1) туындайды, болады; 2) кез келген;
5. Аудиториялық тапсырманы орындау тәртібі:
1. Теориялық материалды қайталау.
2. Практикалық тапсырмаларын тексеру.
6.Студенттердің аудиторияда орындайтын тапсырмалары:
1. Тік төртбұрыштың диагоналдарының қиылысу нүктесінің кіші қабырғадан
қашықтығы үлкен қабырғадан қашықтығынан 4 см артық. Тік төртбұрыштың
периметрі 56 см-ге тең. Тік төртбұрыштың қабырғаларын табыңыздар.
2. Параллелограмның екі қабырғасының қатынасы 3:4 қатынасындай, ал
оның периметрі 2,8 м-ге тең. Қабырғаларын табыңыздар.
3. Үшбұрыштың қабырғалары 8 см, 10 см, 12 см-ге тең. Төбелері осы
үшбұрыштың қабырғаларының орталары болып келген үшбұрыштың қабырғаларын
табыңыздар.
4. Тең бүйірлі үшбұрыштың табанына параллель болатын орта сызығы 3 см-
ге тең. Үшбұрыштың периметрі 16 см деп алып, оның қабырғаларын табыңыздар.
5. Трапеция табандарының қатынасы 2:3 қатынасындай, ал орта сызығы 5
м. Табандарын табыңыздар.
7.Үй тапсырмасы:
1. Параллель екі түзудің біреуін қиятын түзу екіншісін қимауы мүмкін
бе? Жауаптарыңызды түсіндіріңздер.
2. АВС және МРК үшбұрыштары тең. АВ қабырғасы 10 см, ВС қабырғасы 6
см, АС
қабырғасы 7 см-ге тең екені белгілі. МРК үшбұрышының қабырғаларын
табыңыздар. Жауаптарыңызды түсіндіріңіздер.
3. АВС, РQМ және ХУZ үшбұрыштары тең. АВ қабырғасы 6 см, QМ
қабырғасы 7 см, ХZ қабырғасы 8 см-ге тең. Әрбір үшбұрыштың қалған
қабырғаларын табыңдар.
4. АВС үшбұрышының АВ ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz