Күшті берілген центрге келтіру

Жоспар
Кіріспе

1. Пуансо леммасы
2. Кез.келген күштер жүйесін берілген центрге келтіру
3. Кез.келген күштер жүйесін қарапайым түрге келтіру
4 Кез.келген күштер жүйесінің тепе.теңдік шарттары
5 Әртүрлі күштер әсеріндегі дененің тепе.теңдік шарттарының кестесі
6 Жазықтықта кез.келген бағытта бағытталған күштер жүйесіне есептер
7 Кеңістіктегі кез.келген бағытта бағытталған күштер жүйесіне арналған есептер

Әсер сызықтары кеңістікте (жазықтықта) кез-келген түрде орналасқан күштерден құралған жүйе кеңістіктегі (жазықтықтағы) кез-келген күштер жүйесі делінеді. Кез-келген күштер жүйесі әсеріндегі дене жағдайын немесе тепе-теңдігін зерттеу үшін осы күштер қарапайым түрге келтіріледі.
Пуансо леммасы. Күшті бір нүктеден берілген центрге келтіру нәтижесінде келтіру центрінде осы күшке тең болатын күш және оның қосылған жұбы алынады.
Дәлелі. Айталық, дененің А нүктесіне күш қойылған болсын (5.1 сурет). Бұл күшті кезкелген О нүктеге параллель көшіру үшін 3 аксиомаға сәйкес осы нүктеге күшті қоямыз (5.1 сурет).

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 44 бет
Таңдаулыға:

V ТАРАУ

хочу наверх
. Кез-келген күштер жүйесі

§ 5.1 Күшті берілген центрге келтіру

Әсер сызықтары кеңістікте (жазықтықта) кез-келген түрде орналасқан күштерден құралған жүйе кеңістіктегі (жазықтықтағы) кез-келген күштер жүйесі делінеді. Кез-келген күштер жүйесі әсеріндегі дене жағдайын немесе тепе-теңдігін зерттеу үшін осы күштер қарапайым түрге келтіріледі.
Пуансо леммасы. Күшті бір нүктеден берілген центрге келтіру нәтижесінде келтіру центрінде осы күшке тең болатын күш және оның қосылған жұбы алынады.
Дәлелі. Айталық, дененің А нүктесіне күш қойылған болсын (5.1 сурет). Бұл күшті кезкелген О нүктеге параллель көшіру үшін 3 аксиомаға сәйкес осы нүктеге күшті қоямыз (5.1 сурет).
Мұнда
.
Нәтижеде:
,
немесе
.

5.1 сурет Мұндағы қосылған жұп делінеді. Осы күштің моменті (4.2)-ге сәйкес төмендегідей болады:
немесе .

Демек:
.
Осымен лемма дәлелденеді.

§ 5.2 Кез-келген күштер жүйесін берілген центрге келтіру

Айталық, денеге күштер қойылған болсын. Жоғарыдағы тақырыпқа негізделіп, Пуансо леммасын қолданамыз (5.2 сурет).

5.2 сурет. 5.3 сурет

Нәтижеде О нүктеде күштер және қосылған жұптар пайда болады. Егерде күштердің әсер сызықтары кеңістікте болса, жұп моменттерінің векторлары геометриялық; жазықтықта болса, алгебралық қосылады. күштер қиылысатын күштер жүйесі болғандықтан олар геометриялық қосылады.
Нәтижеде:
(5.1)

Мұнда болғандықтан (5.1)-ді төмендегідей жазу мүмкін:
(5.2)
Кезкелген күштер жүйесі жазықтықта орналасқан болса, (5.2)-ні былай жазамыз:
(5.3)
(5.2) және (5.3) өрнектердегі күштер жүйесінің бас векторы, ал бас моменті делінеді.
Демек, кезкелген күштерді берілген центрге келтіру нәтижесінде бір бас вектор және бір бас момент алынады (5.3 сурет).
Бас вектор және бас моментті аналитикалық тәсілде төмендегідей есептеу мүмкін.
(5.4)
(5.5)
Бас вектор мен бас момент арасындағы бұрышты анықтау үшін бұл векторларды скаляр көбейтеміз:
.
Немесе
(5.6)
келіп шығады.

§ 5.3 Кез-келген күштер жүйесін қарапайым түрге келтіру

Кезкелген күштерді қарапайым түрге келтіру үшін төмендегі жағдайларды қарастырамыз:
1. Бас вектор , бас момент болса, кезкелген күштер жүйесі бір бас моментке келтіріледі.
2. Егер бас момент , бас вектор болса, күштер жүйесі бас векторға келтіріледі.
3. Бас вектор және бас момент болып, олар өзара перпендикуляр болғанда, кезкелген күштер жүйесі бір бас векторға келтіріледі.
Шынында да, бұл жағдайдың дұрыстығын көрсету үшін бас момент құраушыларын сондай өзгертеміз, нәтижеде болып, ал бас вектор бағытталған сызық бойымен қарама-қарсы бағытталсын (5.4 сурет).
Бұл жағдайда болып, О нүктеде АО=МR қашықтықта орналасады. Демек, А нүктеде бір бас вектор алынады.
5.4 сурет
1. Бас вектормен бас момент бір түзу бойында орналасса, бұл жағдай динамо (динамикалық винт) делінеді.
Бас вектор және бас момент нөлге тең болмаса және олар бір-біріне перпендикуляр болмаса, онда мұндай күштер жүйесі динамоға келтіріледі.
Бұның дұрыстығын көрсету үшін бас моментті құраушыларға жіктейміз. Бұл құраушылардын бірі бас вектор бойымен, екіншісі бас векторға перпендикуляр болсын (5.5 сурет).

5.5 сурет 5.6 сурет

Енді мен - ге 3 жағдайды қолдансақ, О нүктеден қашықтықта бас вектор алынады. Сонымен, кезкелген күштер жүйесі О нүктедегі моменті болатын жұп моменті векторына және А нүктедегі бас векторға келтіреді. Жұп моментінің векторы еркін болғаны үшін -ді А нүктеге көшіру мүмкін. Демек, күштер жүйесі динамоға келтірілді (5.6 сурет).
және векторлар бағытталған ось центрлік винт өсі делінеді.
Бас вектор және бас момент нөлге тең болса, кезкелген күштер жүйесі тепе-теңдікте болады.

Есеп 5.1

Қырының ұзындығы а=10 см кубке, 5.7 суретте көрсетілгендей, шамалары F=10 н. бірнеше күш қойылған. Осы күштер жүйесі қарапайым түрге келтірілсін.
Шешуі. Координата басы ретінде А нүктесін қабылдап, Ax, Ay, Az өстерін өткізейік. Күштердің денеге қойылған нүктелерінің координаталарын анықтайық, яғни
; ; ;
; ; ;
; ; ;
; ; ;
; ; .

5.7 сурет

күштерінің координат өстеріне болған проекцияларын табайық
; ; ;
; ; ;
; ; ;
; ; ;
; ; .
күшінің өстерге болған проекцияларын анықтау үшін оны алдын-ала AD және АМ бағыттарына жіктеп алдық. Егер
; .
екендігін еске алсақ, онда бас вектордың координат өстеріне болған проекциялары
н;
н;
н.
болады.
Денеге әсер ететін күштер жүйесінің бас моментінің өстерге болған проекциялары
;
;
.
тең.
Демек денеге қойылған күштер жүйесінің бас векторы мен оның бас моменті нөлге тең емес. Олай болса бас вектор мен бас моменттің (екінші инвариант) скаляр көбейтіндісі
.
болады.
Бұдан және векторлары бір біріне перпендикуляр еместігі көрінеді. Бұл жағдайда күштер жүйесі динамикалық винтке келтіріледі. Динамикалық винт өсінің теңдеуі төмендегідей көрініске ие

.

Динаманың параметрі

.
формуламен анықталады.

Мұның сан мәні
см.
болады.

§ 5.4 Кез-келген күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары

Кеңістікте орналасқан кезкелген күштер жүйесі әсеріндегі дене тепе-теңдікте болуы үшін күштердің бас векторы және бас моменті нөлге тең болуы қажетті және жеткілікті:
(5.7)
(5.7) ні Декарт координат өстеріне проекциялаймыз:

; (5.8)
.

Кезкелген күштер жазықтықта орналасқан болса, олардың тепе-теңдік шарты төмендегідей болады:
(5.9)
Егерде күштер жүйесі кеңістікте (жазықтықта) қиылысатын күштерден құралған болса, олардың тепе-теңдік шарттары сәйкес түрде былай жазылады:

(5.10)
(5.11)

Кезкелген күштер жүйесі Oz өсіне параллель болса, (5.10) -ның алғашқы екеуі және соңғысы тікелей нөлге тең болады. Нәтижеде кеңістіктегі параллель тепе-теңдігінің шарты төмендегідей болады:
(5.12)
Мұндағы күштер Оу осіне параллель.

§ 5.5 Әртүрлі күштер әсеріндегі дененің тепе-теңдік шарттарының кестесі

Кеңістікте орналасқан күштер
Жазықтықта орналасқан күштер
Кезкелген

Параллеь

Жұп

Қиылысатын

Бақылау сұрақтары.
1. Пуансо леммасы қалай баяндалады?
2. Кезкелген күштерді бір центрге келтіруді түсіндіріңіз.
3. Бас вектор және бас момент не?
4. Қай жағдайда кезкелген күштер жүйесі бас векторға келтіріледі?
5. Қай жағдайда кезкелген күштер жүйесі бас моментке келтіріледі?
6. Динамо не ?
7. Тең әсерлі күштің бағыттаушы косинустары қалай анықталады?
8. Бас моменттің бағыттаушы косинустары қалай табылады?
9. Бас момент пен бас вектор арасындағы бұрышты табу формуласын жазыңыз.
10. Кеңістікте кезкелген күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары қалай баяндалады?
11. Жазықтықтағы кезкелген күштер тепе-теңдігінің шарттарын айтыңыз және жазыңыз.

§ 5.6 Жазықтықта кез-келген бағытта бағытталған күштер жүйесіне есептер

Есеп 5.2

Ауырлығы Р 1,8 кн, С нүктесіне түсетін АВ уықтың А ұшынан өтетін AD тросқа кн. жүк байланған. Бұл жердегі (5.8 сурет а). Егер болса, онда В топсадағы және ВА стержендегі реакция күштері анықталсын.
Шешуі. АВ уықтың тепе-теңдігін қарастырайық. АВ уыққа және күштері әсер етеді.. Топса В мен AD трос байланыстар. Тростың реакция күші , AD бойлап бағытталған. Топсадағы реакция күшінің шамасы түгілі, қалай бағытталғаны да белгісіз (5.8 сурет б).

5.8сурет

реакция күшін өзара перпендикуляр болған горизонталь және вертикаль күштерге жаямыз. Олардың бағыттары Вх және Ву өстерімен бағыттас болсын. Сонымен, ВА уығы , , , , жазық күштер жүйесінің әсерінен өзінің тепе-теңдік күйін сақтайды. Бұлар үшін үш тепе-теңдік теңдеулерін түземіз. Бұл есептегі белгісіздер саны үшеу, яғни: , , . Демек есеп статикалық анықталатын есептер қатарына жатады. Бұл теңдеулер

болады.
Суреттен
, ; ,
.
Бұл шамаларды табылған теңдеулерге апарып қойсақ, онда
.
Демек
кн.
Басқа теңдеулерден
кн.
және
кн.
анықтаймыз.
және күштердің шамасын анықтай отырып, белгісіз реакция күшін
кн.
табамыз. Бұл күш Вх өсімен бұрышын құрайды. Олай болса оның косинусы
.
Демек .
Уықтың басым күші , В топсаның өзіне әсер етіп, оған қарама-қарсы жаққа бағытталады.

Есеп 5.3

Салмағы кн, ұзындығы 2а=2м біртекті АВ сырық, горизонтпен (5.9 сурет а) бұрыш құрап жерге қатты бекітілген. Оған қарқындылығы
кнм. болған тең жайылған күштер әсер етеді. Сырық өз тепе-теңдігін сақтаған кездегі оның жермен бекітілген нүктесіндегі реакция күші анықталсын.

5.9 сурет

Шешуі. АВ сырықтың тепе - теңдігін қарастырайық. Сырыққа, оның салмағы және жайылған күштердің тең әсерлі күші қойылған (5.9 сурет б). А нүктедегі байланыстың сырыққа көрсететін әсерін және белгісіз жұп күшпен алмастырамыз. реакция күшін және күштерге жаямыз (5.9 сурет б). Моменті болған жұп күшті сағат тіліне қарама-қарсы бағыттаймыз. Сонымен тепе-теңдікте тұрған сырыққа , , , және моменті болған жұп күш әсер етеді. Демек сырыққа әсер ететін күштер жүйесі жазық күштер жүйесін құрап, ондағы белгісіздер , , болады, яғни есеп статикалық анықталатын есептер құрамына жатады.
Сырықтың тепе-теңдік теңдеулерін түзейік, яғни

Бұл теңдеулерден
;
;
,
келіп шығады. Олардың сан мәндері:
кн;
кн;
.
Белгісіз күшіндегі минус, оның Ах өсінің оң бағытына қарама-қарсы бағытталғаны.
Сонымен А нүктесіндегі толық реакция күші
кн,

ал бағыттаушы косинустар
,
.
тең. Демек векторы Ах пен , Ау өсімен бұрыш құрайды.

Есеп 5.4

Ұзындықтары 2а екі АВ және ВС сырықтары (5.10 сурет а) өзара В топсасы арқылы бекітілген. Бұл сырықтардың А ұшы горизонталь жазықтықпен қатты бекітілген болса, С ұшы жылжымалы топсалы тіректе. Сырықтардың горизонталь жазықтықпен құраған бұрыштары . ВС сырықтың ортасына оған перпендикуляр болған күші әсер етеді. Егер әр-бір сырықтың салмағы Р болса, онда А және С тіректеріндегі және В топсадағы реакция күштері неге тең?

5.10 сурет
Шешуі. АВ және ВС сырықтар құрамы өздерінің тепе-теңдігін сақтағаны үшін, олардың әрқайсысы да осындай жағдайда болулары керек. Олай болса ВС (5.10 сурет б). сырығын жеке қарастырсақ, онда оған және күштері әсер етеді. Бұл жерде В топсасы байланыстың қызметін атқара отырып АВ сырықтың әсерін ВС сырыққа өткізеді. Жылжымалы топсалы тіректің реакция күшін деп белгілейік. Бірақ В топсаның шамасы да, бағыты да белгісіз. Оны суретте көрсетілгендей , күштерге жіктейміз. Олай болса ВС сырығы , ,, , жазық күштер жүйесінің әсерінен өзінің тепе-теңдігін сақтайды.Оның теңдеулері төмендегідей жазылады

Бұл теңдеулерден , , анықталады.
Енді АВ сырығының тепе-теңдігін қарастырайық. Оған күші әсер етеді.В топсаның АВ сырығына көрсететін реакциясын , күштеріне жіктейік. Онда Ньютонның үшінші заңы бойынша
; .
реакция күшін суретте көрсетілгендей және күштерге жіктеп, ал А нүктеде пайда болатын сағат тіліне қарама-қарсы бағытта бағытталған белгісіз жұп күштің моментін деп белгілейік.
Ол кезде АВ сырығы , , , , жазық күштер және моменті болған жұп күштің әсерінен өзінің тепе-теңдігін сақтап тұр. Оның теңдеулері

болады.
Бұл теңдеулерді шешсек
; ; ;
; ; .
келіп шығады.
Сонымен
;
.

Есеп 5.5

Топсалы төрт түйіннен тұратын механизмнің ОА бөлігіне моменті болған жұп күш әсер етеді. Егер , , және ОА=а, О1В=b болған кезде, бұл механизм өінің тепе-теңдігін сақтап тұру үшін О1В стерженге моменті болған қандай жұп күш қойылған болар еді. Стержендердің салмағы және үйкеліс күші есепке алынбасын.

5.11 сурет.
Шешуі. 5.11 суретте көрсетілген механизм өзінің тепе-теңдік күйін сақтағаны үшін,оның әрбір түйіні де осындай қалпын сақтайды. АВ стерженнің тепе-теңдік күйін қарастырайық (5.11 сурет). Оған А және В топсалар арқылы ОА мен О1В стержендердің және күштері әсер етеді. АВ салмақсыз деп алынғандыктан және бұлар АВ стержені бойлап бір-біріне қарама-қарсы бағытталған.
ОА және О1В стержендердің тепе-теңдігін қарастырайық. ОА стерженге АВ тарапынан күштер, О топсаның реакция күші және моменті болған жұп күш әсер етеді. Ал О1В стерженге мен О1 реакция күштері және моменті болған жұп күш әсер етеді.
Біздерді О және О1 нүктелердегі реакция күштері қызықтырмағаны үшін және күштерді О және О1 нүктелерге қатысты алынған моменттердің теңдеулерін түземіз.
ОА үшін ,
О1В үшін
, онда
.
Немесе
.

Есеп 5.6
Ұзындығы l болған АВ трубаның А нүктесі горизонталь жазықтықта жатып, ал С нүктесі вертикаль жазықтыққа тірелген. Бұл жерде (сурет а). Суреттегі дене өзінің тыныштық күйін сақтағанда, болған кездегі трубамен горизонталь жазықтық арасындағы үйкеліс коэффициентінің ең кіші мәні анықталсын.

5.12 сурет

Шешуі. Трубаның тепе - теңдігін қарастырайық. Оған оның салмағы күші әсер етеді. А және С (5.12 сурет б) нүктелері байланыстар. С нүктедегі реакция күші АВ трубаға, перпендикуляр. А нүктедегі реакция күші нормальмен горизональ күштерінің құрамынан тұрады. Суретте көрсетілгендей координаталар өстерін қабылдап алып, трубаның тепе-теңдік теңдеулерін түземіз, яғни

Бұл теңдеулерден

;
;

табамыз.
Үйкеліс күші есепке алынған кездегі тепе-теңдік шарты

түрде жазылады. Демек
,
немесе
.
болғаны үшін
.
Бұл өрнектің ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.