Дифференциалдық геометрия және топология
1. ПӘННІҢ ОҚУ БАҒДАРЛАМАСЫ . SYLLABUS
2. ПӘН БОЙЫНША ОҚУ.ӘДІСТЕМЕЛІК МӘЛІМЕТТЕР
2.1. Лекция сабағының тақырыптары
2.3. МАШЫҚТАНУ САБАҚТАРЫН ЖҮРГІЗУ ЖОСПАРЛАРЫ
2. ПӘН БОЙЫНША ОҚУ.ӘДІСТЕМЕЛІК МӘЛІМЕТТЕР
2.1. Лекция сабағының тақырыптары
2.3. МАШЫҚТАНУ САБАҚТАРЫН ЖҮРГІЗУ ЖОСПАРЛАРЫ
Векторлық есептеулер екі бөлімнен тұрады: векторлық алгебра және векторлық анализ.
Векторлық алгебраның элементтері вевлитикалық геометрия курсында қаралады. Мұнда вектор ұғымы және оларға қолданылатын амалдар: векторларды қосу, азайту, векторды скалярға көбейту, векторлардың скаляр көбейтіндісі, векторлардың векторлық көбейтіндісі, векторлардың аралас көбейтіндісі қарастырылады. Бұл амалдардың барлығы тұрақты векторлар үшін енгізілген.
Векторлық анализ айымалы векторларды қарастырып, шектер мен дифференциалды есептеу теорияларын құра отырып, векторлық функцияларды оқиды. Скаляр аргументті функция ұғымы векторлық анализдің негізгі туынды ( алғашқы) ұғымы болып табылады.
tL, векторының басы О нүктеде, t=1 t=2
ұшы М(t) нүктеде жатады. Сондықтан.M(t)
вектор tуақыттағы функция болады.
Көптеген қолданбаларда векторлар үстіндегі сызықтық амалдардың жеткіліксіз екендігі байқалады. Күш жұмысы ұғымы, сол сияқты сызықтық жылдамдық пен айналатын қатты дене нүктесінің радиус-векторы арасындағы байланысты тек (векторларға қолданылатын) бинар операциясы көмегімен өрнектеуге болады. Мұндай операциялардын қасиеттері сандар көбейтіндісі операциясының қасиеттеріне ұқсас.
Келтірілген жағдайдың бірінде операция нєтижесі сан болса, екіншісінің нєтижесі вектор. Осы операциялардың жақсы танымалы анықтамаларын келтірейік.
Анықтама. жєне векторларының скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыш косинусының көбейтіндісіне тең санды айтады.
Скаляр көбейтіндісін ( , ) арқылы белгілеп, бұл анықтаманы
( , ) (11)түрінде жазуымызға болады.
Нөлдік көбейткіштері үшін ( , ) (12)
Векторлық алгебраның элементтері вевлитикалық геометрия курсында қаралады. Мұнда вектор ұғымы және оларға қолданылатын амалдар: векторларды қосу, азайту, векторды скалярға көбейту, векторлардың скаляр көбейтіндісі, векторлардың векторлық көбейтіндісі, векторлардың аралас көбейтіндісі қарастырылады. Бұл амалдардың барлығы тұрақты векторлар үшін енгізілген.
Векторлық анализ айымалы векторларды қарастырып, шектер мен дифференциалды есептеу теорияларын құра отырып, векторлық функцияларды оқиды. Скаляр аргументті функция ұғымы векторлық анализдің негізгі туынды ( алғашқы) ұғымы болып табылады.
tL, векторының басы О нүктеде, t=1 t=2
ұшы М(t) нүктеде жатады. Сондықтан.M(t)
вектор tуақыттағы функция болады.
Көптеген қолданбаларда векторлар үстіндегі сызықтық амалдардың жеткіліксіз екендігі байқалады. Күш жұмысы ұғымы, сол сияқты сызықтық жылдамдық пен айналатын қатты дене нүктесінің радиус-векторы арасындағы байланысты тек (векторларға қолданылатын) бинар операциясы көмегімен өрнектеуге болады. Мұндай операциялардын қасиеттері сандар көбейтіндісі операциясының қасиеттеріне ұқсас.
Келтірілген жағдайдың бірінде операция нєтижесі сан болса, екіншісінің нєтижесі вектор. Осы операциялардың жақсы танымалы анықтамаларын келтірейік.
Анықтама. жєне векторларының скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыш косинусының көбейтіндісіне тең санды айтады.
Скаляр көбейтіндісін ( , ) арқылы белгілеп, бұл анықтаманы
( , ) (11)түрінде жазуымызға болады.
Нөлдік көбейткіштері үшін ( , ) (12)
1. Базылев В.Т. Геометрия. 2-б.Алматы – 1981.
2. Атанасян А.В. , Гуревич Г.Б.Геометрия. Ч.2. М.1977.
3. Рашевский П.К.Курс дифференциальной геометрии. М.1956.
4. Васильев А.М., Соловьев Ю.П. Дифференциальная геометрия. М., МГУ, 1981.
5. Бляшке В.Введение в дифференциальную геометрию. М.1957.
6. Моденов Л.С.Сборник задач по дифференциальной геометрии. М.1953.
7. Атанасян Л.С. Сборник задач по геометрии. М.1975.
8. Қожашева Г.О. Дифференциалдық геометрия есептері мен жаттығулары. Талдықорған – 2007.
9. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. – М., Наука, 1969.
10. Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. – МГУ, 1981.
11. Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. – М. 1958.
2. Атанасян А.В. , Гуревич Г.Б.Геометрия. Ч.2. М.1977.
3. Рашевский П.К.Курс дифференциальной геометрии. М.1956.
4. Васильев А.М., Соловьев Ю.П. Дифференциальная геометрия. М., МГУ, 1981.
5. Бляшке В.Введение в дифференциальную геометрию. М.1957.
6. Моденов Л.С.Сборник задач по дифференциальной геометрии. М.1953.
7. Атанасян Л.С. Сборник задач по геометрии. М.1975.
8. Қожашева Г.О. Дифференциалдық геометрия есептері мен жаттығулары. Талдықорған – 2007.
9. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. – М., Наука, 1969.
10. Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. – МГУ, 1981.
11. Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. – М. 1958.
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
ШӘКӘРІМ атындағы СЕМЕЙ МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ
3 деңгейлі СМЖ құжаты
ПОӘК
ПОӘК 042-14.01.20.16802-2013
ПОӘК
Студенттерге арналған пәндердің оқу жұмыс бағдарламасы Математикалық логика және дискретті математика
02.09.13 ж. №1 басылым
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ГЕОМЕТРИЯ ЖӘНЕ ТОПОЛОГИЯ
пәні бойынша оқу-әдістемелік кешені
050109 - Математикаа
мамандығы үшін
Семей
2013
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
2 - ші беті 48 беттің
Құрастырған доцент Нақышбекова Ғ. М.
Кафедра мәжілісінде мақұлданды
31 08 2013ж. Хаттама № 1
Кафедра меңгерушесі доцент Жолымбаев О.М.
Факультеттің оқу -әдістемелік кеңесінде мақұлданды
2013 ж. Хаттама №
Оқу әдістемелік кенесінің төрайымы проф. Токабаева Г.К.
Факультеттің ғылыми кеңесінде мақұлданды
2013ж. Хаттама №
Факультет деканы проф. Берікханова Г. Е.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
3 - ші беті 48 беттің
1. ПӘННІҢ ОҚУ БАҒДАРЛАМАСЫ - SYLLABUS
0.1 Оқытушылар туралы мәлімет:
Нақышбекова Ғафиза Молдабекқызы - доцент
Оқытушымен байланыс: СМПИ, корпус 3, аудитория 226
Тел. 64-62-09
0.2 Пән туралы мәліметтер:
Дифференциальдық геометрия және топология
Кредит саны - 2
Жүргізілетін орны № 3 корпус
Оқу жоспарынан көшірме:
Курс
Се-местр
Кре-диттер
Лек-ция
Маш.
Саб.
СОӨЖ
СӨЖ
Барлығы
Бақылау түрі
3
6
2
30
15
15
15
75
Емтихан
2.3 Курстық пререквизиттері (пәнге қажет білім); Бұл пәнді толық меңгеру үшін, аналитикалық геометрияның негізгі бөлімдерін, математикалық талдаудағы бір және көп айнымалы функциялардың дифференциальдық есептеулерін және интеграл теориясын білу қажет.
2.4 Курстың постреквизиттері. Бұл курстың материалы математикалық анализде, дифференциялдық теңдеулерде және математикалық физиканың теңдеулерінде қолданылады.
2.5 Курстың қысқаша сипаттамасы; Бұл курс математика мамандығының студенттеріне арналған.
Курстың мақсаты: Дифференциалдық геометрия курсының негізгі теориялық бөлімдерін оқып үйрену.
Геометрия оқыту келесі бағыттарды
oo логикалық және алгоритмдік ойлауды дамытуды;
oo геометриялық есептерді шешу мен зерттеу әдістерін игеруді;
oo математикадағы сандық әдістерді игеруді;
oo өздігінен білімін кеңейту және қолданбалы (инженерлік) есептерді талдай білуді;
oo Топология элементтері және метрикалық, топологиялық кеңістіктер туралы мәлімет;
oo Топологиялық бейнелеу, гомеоморфизм, қарапайым беттерді
оқытуды мақсат етеді.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
4 - ші беті 48 беттің
Курстың міндеті:
Пәнді оқытудың негізі - ақпараттық жүйелер мамандығы бойынша мамандар дайындаудағы жоғарғы кәсіби білім мемлекеттік стандарты орнатқан талаптарды орындау (жүзеге асыру).
Пәнді оқытуда келесі міндеттер қойылады:
а) Студенттерді өздерінің практикалық ж+-мыстарында есептеу єдістерін қолдана білуге үйрету;
б) Студенттердің жалпы математикалық білім деңгейін жетілдіру, пєн бойынша жүйелі білімді қалыптастыру;
в) Математикалық есептерді зерттеуде, талдауда болашақ мамандардың шығармашылық ойлау деңгейін дамыту;
г) Студенттерді оқу және ғылыми әдебиеттермен өздігімен жұмыс істеуге үйрету.
Пәнді оқып, үйрену нәтижесінде студенттер мыналарды білуге міндетті :
oo вектор-функциялар ұғымы және оларға амалдар қолдану;
oo қисықтар ұғымы және оның негізгі теңдеулері;
oo беттер ұғымы және оның негізгі теңдеулері.
oo Топология элементтері және метрикалық, топологиялық кеңістіктер туралы мәлімет;
oo Топологиялық бейнелеу, гомеоморфизм, қарапайым беттер.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
5 - ші беті 48 беттің
5.6. Пән бойынша тапсырмалардың орындалу және тапсырылу графигі
№
Жұмыс
түрлері
Тапсырманың мақсаты мен мазмұны
Ұсынылатын әдебиеттер
Орындалу
ұзақтығы
Балл
Тексеру формасы
Тапсыру мерзімі
1
Практика-лық тап -сырмалар-ды орын-
дау
Практикалық сабақтардың жоспарларына сәйкес
Практикалық сабаққа дайын далу үшін ұсынылған әдебиеттерді қолдану
Оқу жос- пары мен сабақ кес- тесіне сәйкес курсты оқу кезе-ңінде
Практика -
лық сабақ-тың әрбір тақырыбы бойынша ауызша жауап үшін 20 баллға дейін
Ағымдағы бақылау (ауызша жауаптың бағасы және семинар сабақтағы жұмыс)
Оқу жос- пары мен сабақ кес тесіне сәй кес семи- нар саба- ғында
2
Ауыз-ша жауап
ОСӨЖ жоспарына сәйкес (коллок-
виум)
ОСӨЖ сабағы-на дай- ындалу үшін ұсынылатын әдебиетті пайдала-ну
Оқу жоспары мен сабақ кестесіне сәйкес курс кезе-ңінде
Ауызша жауап үшін 15 баллға дейін
Аралық бақылау (ауызша жауап-тың бағасы)
Оқу жоспары мен сабақ кестесіне сәй-кес
ОСӨЖ саба-ғында
3
Жазба-ша жұмыс
ОСӨЖ
жоспары-на сәйкес
(бақылау жұмысы, өздік жұмыс)
ОСӨЖ сабағына дайында-лу үшін ұсынылатын әдебиетті пайдалану
Оқу жоспары сәйкес курсты оқу кезеңін-де
Әрбір бақыл-ау жұмысы және өздік жұмысы үшін 20 баллға дейін
Аралық бақылау (әрбір жұмыстың бағасы)
Оқу жоспары мен сабақ кестесіне сәйке СОӨЖ сабағында
4
Жазбаша жұмыс
СӨЖ жоспарына сәйкес (өздік жұмыс, ЖҮТ)
СӨЖ сабағына дайында-лу үшін ұсыеыны-латын әдебиетті пайдалану
Оқу жоспары сәйкес курсты оқу кезеңін-де
Әрбір үй жұмысы 10 баллға дейін
Үй тапсырмасы (әрбір үй тапсырмасының баға-сы)
СӨЖ жоспарына сәй-кес
5
Емтихан
Тест
1,5
35 баллға дейін
Қорытын-ды бақы-лау
Оқу жоспарына сәй-кес
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
6 - ші беті 48 беттің
5.7. Әдебиеттер тізімі:
Негізгі әдебиеттер
1. Базылев В.Т. Геометрия. 2-б.Алматы - 1981.
2. Атанасян А.В. , Гуревич Г.Б. Геометрия. Ч.2. М.1977.
3. Рашевский П.К.Курс дифференциальной геометрии. М.1956.
4. Васильев А.М., Соловьев Ю.П. Дифференциальная геометрия. М., МГУ, 1981.
5. Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию. М.1957.
6. Моденов Л.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии. М.1953.
7. Атанасян Л.С. Сборник задач по геометрии. М.1975.
8. Қожашева Г.О. Дифференциалдық геометрия есептері мен жаттығулары. Талдықорған - 2007.
9. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. - М., Наука, 1969.
10. Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. - МГУ, 1981.
11. Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. - М. 1958.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
7 - ші беті 48 беттің
11.7. Рейтинг-шкала
Бақылау түрлері
Балл
Ағымдағы бақылау
20
Аралық бақылау
30
Үй тапсырмасы
10
Қортынды бақылау
40
Барлығы
100
11.8. Курстың саясаты және процедуралары
Студент оқытылатын лекция курсын қысқаша мазмұнын жазып отыруы тиіс, практикалық және үй тапсырмаларын орындауы, сабаққа кешікпей келуі керек, сабақ уақытында сөйлеспеуі, газет-журнал оқымауы, ұялы телефонды ағытып қоюы және оқу процесіне белсенді қатысуы тиіс. Бақылау жұмыстарын, коллоквиумдарды, емтихандарды уақытылы тапсыруы тиіс. Студент сабаққа міндетті түрде қатысуы қажет. Себепсіз босатылған сабақты студент оқу-әдістемелік кешенінде көрсетілген сабақ көлеміне сәйкес қайта тапсырылады. Курстың үштен бір бөлігін себепсіз босату оқудан шығарып жіберуге әкеледі.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
8 - ші беті 48 беттің
2. ПӘН БОЙЫНША ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК МӘЛІМЕТТЕР
0.1. Курстың тақырыптық жоспары
Барлығы 2 кредит
Тақырып атауы
дәріс
Маш.сабағы
СОӨЖ
СӨЖ
1.
Вектор-функция
1
1,5
3
3
2.
Қисықтар ұғымы. Қисықтың жанамасы
2
1,5
2
2
3.
Жанасушы жазықтық. Қисықтың нормалі
2
2
2
2
4.
Доға ұзындығы. Қисықтық пен бұралым
1,5
2
2
2
5.
Бет ұғымы. Жанама жазықтық пен нормаль
1,5
2
2
2
6.
Беттің бірінші квадраттық формасы
1,5
2
1
1
7.
Беттің екінші квадраттық формасы
1,5
2
1
1
8
Топологиялық кеңістік. Тұйық жиын. Топологиялық бейнелеулер. Гомеоморфизм.
2
2
2
2
9.
Жекеленушілік,компактылық байланыстылық. Қарапайым беттер.
Барлығы
15
15
15
15
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
9 - ші беті 48 беттің
2.1. Лекция сабағының тақырыптары
Лекция тақырыбы. Вектор - функциялар ұғымы.
Векторлық есептеулер екі бөлімнен тұрады: векторлық алгебра және векторлық анализ.
Векторлық алгебраның элементтері вевлитикалық геометрия курсында қаралады. Мұнда вектор ұғымы және оларға қолданылатын амалдар: векторларды қосу, азайту, векторды скалярға көбейту, векторлардың скаляр көбейтіндісі, векторлардың векторлық көбейтіндісі, векторлардың аралас көбейтіндісі қарастырылады. Бұл амалдардың барлығы тұрақты векторлар үшін енгізілген.
Векторлық анализ айымалы векторларды қарастырып, шектер мен дифференциалды есептеу теорияларын құра отырып, векторлық функцияларды оқиды. Скаляр аргументті функция ұғымы векторлық анализдің негізгі туынды ( алғашқы) ұғымы болып табылады.
tL, векторының басы О нүктеде, t=1 t=2
ұшы М(t) нүктеде жатады. Сондықтан. M(t)
вектор t уақыттағы функция болады.
L
O
Көптеген қолданбаларда векторлар үстіндегі сызықтық амалдардың жеткіліксіз екендігі байқалады. Күш жұмысы ұғымы, сол сияқты сызықтық жылдамдық пен айналатын қатты дене нүктесінің радиус-векторы арасындағы байланысты тек (векторларға қолданылатын) бинар операциясы көмегімен өрнектеуге болады. Мұндай операциялардын қасиеттері сандар көбейтіндісі операциясының қасиеттеріне ұқсас.
Келтірілген жағдайдың бірінде операция нєтижесі сан болса, екіншісінің нєтижесі вектор. Осы операциялардың жақсы танымалы анықтамаларын келтірейік.
Анықтама. жєне векторларының скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыш косинусының көбейтіндісіне тең санды айтады.
Скаляр көбейтіндісін (,) арқылы белгілеп, бұл анықтаманы
(,) (11) түрінде жазуымызға болады.
Нөлдік көбейткіштері үшін (,) (12)
Қасиеттері:
1. (,)=(,) (13)
скаляр көбейтіндісінің ауыстырымдылығы және скалярға көбейтуге қатысты
2. (,)= (14)
3. (,) (15)
4. (16) - үлестірімділік қасиеті
5. (17)
Скаляр көбейтінді өзінің әрбір көбейткішіне қатысты сызықты.
Сонымен бірге нольден өзгеше векторлардың скаляр көбейтіндісінің нольге айналуы сол векторлардың перпендикулярлығының айғағы. Бұдан
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
10 - ші беті 48 беттің
(18) шығады.
Шынында, (,)теңдігінен (11) формула бойынша екендігі шығады.
Керісінше,
Анықтама. Нольден өзгеше және векторларының векторлық көбейтіндісі деп төмендегі үш қасиетпен анықталатын векторын айтады:
1) атап айтқанда көбейтінді көбейткіштерге перпендикуляр;
2) , векторлар үштігі декарт базисінің үштігімен бірдей ориентацияланған
3-сурет
3) (19)
Бұл анықтамадан векторлық көбейтіндінің нольге тең болуы олардың коллинеарлығын білдіретіні шығады.
Векторлық көбейтіндінің қасиеттері:
1. (20) - антикомутативті
2. ()= (21)
3. (22) - үлестірімділік заңы
(23) - біріктіру заңы
(17), (20),(23) формулаларына сүйене отырып скаляр және векторлық көбейтінділерінің, көбейткіштердің координаталары арқылы өрнектелуін шығарып алу қиын емес.
векторларына қолданып
(24)
(25)
формулаларына келеміз. Соңғы формуланы
(26)
түрінде жазуға болады.
Енді үш
(27)
векторын қарастырайық. векторын арқылы белгілеп
көбейтіндісін есептейік. (26) және (24) формулаларын пайдаланып мынаны аламыз:
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
11 - ші беті 48 беттің
(28)
Мұнан = шығады, сондықтан
(281)
анықтамысын енгізген орынды.
Әдетте үш вектордың мұндай көбейтіндісін аралас немесе векторлы-скаляр көбейтінді дейді.
Үш вектордың сызықтық тәуелділігі олардың компланарлығын білдіретіндіктен, сонымен бірге (28) анықтауышы жолдарының сызықтық тәуелділігін білдіретіндіктен, үш вектордың аралас көбейтіндісінің нольге айналуы олардың компланарлығымен мәндес деп айтуымызға болады.
Сонымен жағдайында:
компланар -.
Соңында аралас көбейтіндінің геометриялық мағынасын ашайық.
саны
векторларында салынған параллелограммның S ауданы болғандықтан, ал және (мұндағы һ-қырлары параллелепипедінің биіктігі), онда
мұнда V-сөз етіліп отырған параллелепипедтің көлемі.
Негізгі әдебиеттер:[1-5]
Қосымша әдебиеттер:[6-7]
Лекция тақырыбы Скаляр аргументті вектор-функциялар.
Бір және екі скаляр аргументті вектор-функциялар. Келбет.
Векторлық анализде сандар жиыны мен бірге векторлар жиыны елеулі орын алады.
Бұл векторлар жиыны аргументтер жиыны болуы да мүмкін, мәндер жиыны болуы да мүмкін. Сондықтан функциялардың жаңа 3 түрі пайда болады.
1. - скаляр аргументті вектор-функциялар.
2. - вектор аргументті скаляр функциялар.
3. - вектор аргументті вектор-функциялар.
Бұл жағдайлардың әрқайсысында аргумент ретінде бір сан (бір вектор) емес, сандардың (немесе векторлардың) реттелген бумасы болуы мүмкін.
2-ші және 3-ші типтес функциялар келесі тарауда зерттеледі. Әзірше скаляр аргументті вектор-функцияларға назар аударайық. Бұл функцияларды геометриялық тұрғыдан зерттеу келбет ұғымына сүйенеді.
Бір немесе екі аргументті вектор-функциясының барлық мәндері болып келетін радиус-векторлар ұштарының геометриялық орны осы функцияның келбеті деп аталады.
M(x,y,z) нүктесінің радиус-векторы оның координаталары және (тұрақты) базистік векторлары арқылы
(1)
түрінде өрнектелсе, онда
(2)
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
12 - ші беті 48 беттің
Демек бір вектор фукцияның берілуі үш скаляр x,y,z функцияларының берілуіне мәндес. Бір скаляр аргумент жағдайында
(3)
t параметрінен құтылып (ол тек болуында мүмкін)
(4)
қатынастарын аламыз.
Мұнан бір аргументті вектор-функция годографы қисық (екі беттің қиылысу сызығы) болатыны шығады.
Екі аргумент үшін
(5)
айнымалыларынан құтылу.
(Ол (6) матрицасының рангі екіге тең болуында ғана мүмкін), екі аргументті вектор-функция келбетінің бет екенін көрсетеді, өйткені (5)
z=z(x,y) (7)
түрінде келеді.
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]
Лекция тақырыбы
Үзіліссіздік пен дифференциалдану.
Туындылардың геометриялық мағынасы.
Анализдің негізгі ұғымдарын скаляр аргументті вектор-функцияларға тарату қиын емес.
Ең алдымен айнымалы векторларының шегі деп
(8)
теңдігін қанағаттандыратын тұрақты векторын айтамыз. Осымен бірге вектордың шек ұғымы скаляр айнымалының шек ұғымына келтіріледі.
Сонымен
(9)
Шек теориясының негізгі теоремалары оп-оңай дәлелденеді. Олар қысқаша былай тұжырымдалады.
Теорема. Егер болса онда келесі шектер бар болып мына түрде есептелінеді.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
13 - ші беті 48 беттің
(10)
мұнан қанатты ережеге келеміз: қосынды (немесе көбейтінді) шегі шектер қосындысына. (немесе көбейтіндісіне) тең.
Енді функциясының мәніндегі үзіліссіздігін анықтаған оп-оңай. Ол
(11)
теңдігінің орындалғанын білдіреді.
Егер (11) барлық atb үшін орындалса, функциясы (a,b) аралығында үзіліссіз делінеді.
(1), (2), (10) және (11)-ден функциясының үзіліссіздігінің x,y,z функцияларының үзіліссіздігімен эквиваленттілігі шығады.
(12)
шегіне ие болатын функциясын мәнінде дифференциалданатын функция ал осы шектің мәнін функциясының нүктесіндегі туындысы дейді. atb аралығының барлық нүктелерінде дифференциалданатын функциясын осы интервалда дифференциалданатын функция делініп, ал функциясы осы интервалдың барлық нүктелерінде анықталған болып келеді.
Векторлардың қосындысы және көбейтіндісі шегінің теоремаларына сүйенсе қосындыны және көбейтіндіні дифференциалдау ережелері скаляр анализдегідей болады:
(13)
Әрине векторлық және аралас көбейтіндідегі көбейткіштердің орнын ауыстыруға болмайды, өйткені .
Сол теоремалардың арқасында күрделі функцияны дифференциалдау ережесі бұрынғыша сақталады
(14)
(төмендегі немесе индексі дифференциалдауды қандай аргумент бойынша жүргізу керек екенін көрсетеді)
4-сурет.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
14 - ші беті 48 беттің
және векторларының ұштары вектор-функция келбетінің нүктелері болады.
Сонда олардың ұштарын қосатын - векторы хордаға, ал оның шектік орналасуы жанамасына параллель. Сонымен туынды бағытының геометриялық мағынасы ашылды, ол нүктесінде келбеттің жанамасын анықтайды. Жанаманың теңдеуін (І тараудың (35) теңдеуімен салыстырыңыз)
(15)
түрінде жазуға болады. Мұнда -жанама айнымалы нүктесінің радиус-векторы, -параметр.
векторының ұзындығы t параметрінің алынуына тәуелді және оны ауыстырғанда өзгереді. Шынында
(16)
жаңа параметріне көшсек, функциясының
нүктесі аймағындағы мәндері өзгермейді, атап айтқанда қисық пен оның М0, нүктесіндегі жанамасы сол беті (сол күйі) сақталады. Бірақ (14)-ке сәйкес
яғни, жалпы алғанда, . (16) бойынша параметрінің келіскен бір алынуында болады. Параметрдің мұндай алынуының қарапайым геометриялық мағынасы бар.
Расында
болғандықтан
және
Қисықтың доға ұзындығы
формуласы бойынша есептелетіндігі мәлім.
Демек
, (17)
атап айтқанда, вектор-функция туындысының модулі, оның аргументі қисықтың доға ұзындығы болғанда ғана бірге тең.
Бірнеше аргументті вектор-функциялардың үзіліссіздігі мен дифференциалдануы ұғымдары анализдегі скаляр функциялардың сәйкес ұғымдарына ұқсас енгізіледі. Мәселен, екі аргументті
(18)
функциясының дербес туындысы кәдімгі анализдегідей анықталады.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
15 - ші беті 48 беттің
(19)
Олардың геометриялық мағынасын анықтау үшін шарты (18) функциясы келбетінде
қисығын бөліп алатынын байқаған жөн, туындысы осы қисықтың жанамасына параллель. Дәл осы сияқты векторы сызығының жанамасына параллель.
қос санының берілуі бет нүктесін анықтайтындықтан, u,v параметрлері бет нүктесінің қисықсызықты координаталары деп, ал u=const жєне v=const сызықтарын координаталық сызықтар атаған.
x,y,z функциялары үшін жазылған Тэйлор формулаларын және (1) жіктемесін пайдаланып, функциясының да Тэйлор қатарына жіктелетінін аламыз. Мәселен, бір айнымалыға тәуелді функция жағдайында
(20)
мұнда , ал мүшелері - x,y,z-ке жазылған Тэйлор қатарларындағы қалдық мүшелері. өрнегі шектеулі болғандықтан, (20) қатарындағы қалдық мүшесінің кішілік реті n санынан кем емес, оны былай жазатын боламыз
(21)
n=2 мєнінде (20)-дан алатынымыз
(22)
Оң жағындағы бірінші қосылғыш вектор-функция өсімшесінің басты сызықтық бөлігі болып табылады, ол вектор - функция дифференциалы деп аталып
(23)
арқылы белгіленеді. Екі айнымалы жағдайында
(24)
Екінші, үшінші жєне жоғары ретті дифференциалдардың формулалары анализдегідей. Кейде
белгілеулері кездеседі.
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]
Лекция тақырыбы. Сызықпен байланысқан негізгі дифференциоалды-геометриялық ұғымдар.
1.Параметірленген қисық. Егер қисық берілсе, оның бойымен уақыт арасында ағымды М нүктесі қозғалады деп есептеуімізге болады. Уақыттың әр бір t сәтінде бұл нүкте қисықтта белгілі орын алады,атап аәтқанда ағымды М нүктесінің радиус-векторы t параметрін
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
16 - ші беті 48 беттің
параметірі түрінде жазылған фукциясы болады. Керісінше, егер ағымды М нүктесінің радиус-векторы қандай да t скаляр параметрінің функциясы ретінде берілсе, оның ұшы қисық сызық сызады. Басқаша айтқанда қисық вектор-функция келбеті ретінде анықталады.
Анықтама. Егер қисықтың ағымды М нүктесінің радиус-векторы қандай-да (a,b) аралығында өзгеретін t скаляр параметрінің үзіліс функциясы ретінде анықталған болса, қисық параметрленген ал
оның векторлық теңдеуі делінеді.
" Қисықты", "сызық " немесе "қисық сызық" деп те айта береді.
Егер t параметірін оның параметіріне түрлендірсе, сол қисықтың жаңа
(мұндағы )
теңдеуі алынады. Сонымен бірден-бір қисық түрлі теңдеулермен анықталуы мүмкін.
Мәселен
және
теңдеулері бірен-бір жарты шеңберді анықтайды. Бұл жағдайда және параметрлері қатынасымен байланысады.
2. Жанама. Сызықпен байланысқан қарапайым дифференциал-геометриялық ұғымға бізге таныс жанама жатады.
Анықтама. Сызықтың берілген М нүктесіндегі жанамасы деп, сол М нүктесі және оған шексіз жақын орналасқан сызық нүктесі арқылы өтетін қисықтың шектік орналасуын айтамыз.
Теорема. Сызықтың ағымды нүктесін радиус-векторының оның параметрі бойынша алынған туындысы t параметрін жағына сәйкес жанама бойынша бағытталған вектор болып табылады. Сонымен туындысы бар болып және ол 0-ден өзгеше болса
(1)
онда туындысы сәйкес жанаманы анықтайды. Әрі қарай әрдайым осы шарт орындалатынын ұйғарамыз.
Ескерту. Қисық бойында көршілес алынған және нүктелерін қосатын осімше векторын Тейлор формуласы бойынша n=1 болуында жіктейік, сонда
мұнан ығысу векторы жанамада орналасқан және қосалқы векторларына жіктелетінін көреміз. Жанама вектор өсімшесімен кішілік реті бірдей, қосалқы векторының кішілік реті жоғары. Демек бірінші жазықтықта сызық, жанасу нүктесінің мейілінше кіші аймағында өз жанамасымен тұтасады.
3. Жанасушы жазықтық. Сызықпен берілген М нүктесіндегі жанасушы жазықтығы деп, М нүктесіндегі сызық жанамасы және М-ге шексіз жақын орналасқан сызық нүктесі арқылы өтетін
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
17 - ші беті 48 беттің
жазықтықтың шексіз орналасуын айтамыз. Жанасушы жазықтықтың анықтамасынан сызықтың жанасушы жазықтықтығы әрдайым сол сызық орналасқан жазықтықпен беттесетіні туындайды.
Теорема. Сызықтың ағымды нүктесі радиус-векторынынң бірінші және екінші ретті туындылары сәйкес жанасушы жазықтығында орналасады.
Дәлелдеме. сызығын қарастырайық. Р жазықтығын сызықтың М нүктесіндегі жанамасы және көрші нүктесі арқылы жүргізейік.
(1-сурет).
Бұл Р жазықтығында және векторлары жатады. n=2 болуында Тейлор формуласынан алатынымыз
мұнан
Сонымен, векторы Р жазықтығына тиісті және векторлары бойынша жіктеледі, демек өзі де Р жазықтығына тиіс. t ұмтылуында Р жазықтығы жанасушы жазықтығына ұмтылады. Ендеше Р жазықтығында орналасқан және векторлары жанасушы жазықтығында орналасқан өздерінін шеттері және векторларына айналады. Теорема дәлелденді.
Сонымен ағымды нүкте радиус-векторының 1-ші және 2-ші ретті , туындылары, олар коллинеар болмауында, атап айтқанда
(2)
шартында, сәйкес жанасушы жазықтықты анықтайды. Төменде әрдайым (2) орындалатынын ұйғарамыз.
Ескерту. сызығының қандай да екі жақын және нүктелерін қарастырып ығысу векторын Тейлор формуласы бойынша жіктейік.
(3)
Мұнан ығысу векторы жанасушы жазықтығына орналасқан
векторы және қосалқы векторына жіктелетінін көреміз. Алайда бұл қосалқы вектор - пен салыстырғанда кішілік реті жоғары шексіз кіші вектор болып табылады. Демек, кеңістік сызығы, алынған М нүктесінің жақын аймағында жанасушы жазықтықтың ауытқуы тым шамалы болады және басты бөлігінде осы жазықтыққа тиіс.
4. Бас нормаль мен бинормаль.
Анықтама. Кеңістік сызығының берілген М нүктесінен сол нүктедегі жанамасына перпендикуляр өтетін түзуді нормаль (тіктеуіш) дейді. Кеңістік сызықтың берілген нүктесіндегі бас нормалі деп жанасушы жазықтықта орналасқан нормальді айтады. Бинормаль деп жанасушы жазықтыққа перпендикуляр нормальды айтады.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
18 - ші беті 48 беттің
Ескерту. Дәтулелдеген теоремалардан сызығының нүктесінде жанама
векторымен, бинормаль векторымен, бас нормаль векторымен анықталатыны туындайды.
5. Қисықтық. Сызықта М нүктесін және ондағы жанаманы қарастырайық.
Жақын нүктесіне көшкеннен жанама кейбір бұрышына бұрылады. Осы бұрышының доғасының ұзындығына қатынасы доғасының орта қисықтығы делінеді. Ол ММ1 доғасының иілу дәрежесін орта есеппен сипаттайды. ММ1 доғасы өзінің түрлі нүктелерінде түрліше иілуі мүмкін. Алайда ММ1 доғасы неғұрлым кіші болған сайын, орта қисықтық осы доғаның әрбір нүктесіндегі иілу дәрежесін соғұрлым дәл анықтай түседі.
Анықтама. Сызықтың берілген М нүктесіндегі k қисықтығы деп сызықтың сол М және оған жақын М1 нүктелеріндегі жанамалары арасындағы бұрышының шексіз кіші ММ1 доғасының ұзындығына қатынасының
шегін айтады.
Мысал ретінде R радиусты шеңбер қисықтығын анықтайық. Ол үшін оның бойында М және М1 нүктелерін алайық. Шеңбер жанамалары арасындағы бұрыш жанасу нүктелеріне жүргізілген ОМ және ОM1 радиустары арасындағы бұрышына тең. Бір жағынан шеңбер доғасының ұзындығы
көбейтіндісіне тең, мұнда - доғаны керетін централ бұрыш.
Сындықтан =
Демек, шеңбердің кез келген нүктесіндегі қисықтығы
атап айтқанда оның радиусына кері шама болып келеді.
6. Бұралым. Сызықтың М нүктесін және ондағы жанасушы жазықтығын қарастырайық. Сызық бойымен көрші М1 нүктесіне көшкенде жанасушы жазықтық қандайда бұрышына бұрылады осы бұрышының ММ1 доғасы ұзындығына қатынасын ММ1 доғасының орта бұралымы дейді. Ол кеңістік сызығының жазықтықтан ауытқуын орта есеппен сипаттайды. ММ1 доғасын кішірейте отыра, біз қисықтың берілген нүктесіндегі бұралым ұғымына келеміз.
Анықтама. Сызықтық берілген М нүктесіндегі æ бұрымы деп сол М және оған жақын орналасқан М1 сызық нүктесіндегі жанасушы жазықтықтары арасындағы бұрышының кіші ММ1 доғасының ұзындығына қатынасының
шегін айтады.
Мұның өзінде сызық бойымен сырғытып жанасушы жазықтық оң бүрандалы қозғалыс жасайтын болса, бұралымы оң деп есептейміз, кері жағдайда - теріс болып саналады. Жанасушы
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
19 - ші беті 48 беттің
жазықтықтың айналу бұрышының орнына оған тең бинормальдың айналу бұрышын алуға болатынын атап кеткен орынды.
7.Доға ұзындығы. Қисықтық пен бұралымды анықтағанның өзінде-ақ қисықтың доға ұзындығы ұғымын пайдаланамыз. Енді бұл ұғымды қатаң анықтап, интеграл арқылы доға ұзындығын есептеуге арналған формуланы шығарып аламыз.
Анықтама. Сызық доғасының L ұзындығы деп оған іштей сызылған сызық ұзындығының, сызықтағы кесінділер санының шектеусіз өсіп, ең ұзын кесінді ұзындығы 0-ге ұмтылғандағы шегін айтамыз.
сызығы АВ доғасы нүктелері және сәйкес кесіндіснен алынған t параметірлер арасындағы сәйкестік өзара бірмәнді болсын. Оның үстіне әдеттегідей туындысы бар болып ол үзіліссіз деп ұйғарамыз. Сызықың АВ доғасы ұзындығы
немесе
формуласы бойынша есептеледі.
Сызықтың t параметірін S параметірімен алмастырғаннан алынған
)
түріндегі L сызығының параметірленуін табиғи параметірлену деп, S параметірін табиғи (натурал) параметір дейміз.
Егер L сызығының табиғи параметірленуі болса, векторы бірлік вектор, атап айтқанда =1 болады. Табиғи S параметірі сызықтың кейбір нүктесінен бастап саналатын доға ұзындығы болып табылады.
Егер барлық нүктелері үшін болса, сызығы регуляр, ал кесіндісінің кезкелген ішкі нүктесі үшін болса, сызығы бирегуляр делінеді.
3. Бирегуляр сызығының Френе репері деп ал шарттарына бағынатын ортанормалы
реперін айтамыз.
Енді кеңістік сызықтар теориясының негізгі теңдеулері мен есептеу формулаларын келтірейік:
1. Сызық жанамасының теңдеуі:
немесе
2. Нормаль жазықтықтың теңдеуі:
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
20 - ші беті 48 беттің
немесе
3. Бинормль теңдеуі:
немесе
4. Жанасушы жазықтықтың теңдеуі:
(
немесе
5. Бас нормаль теңдеуі:
немесе
мұнда
6. Түзеуші жазықтықтың теңдеуі:
немесе
æ
мұнда
7. Френе формулалры:
мұнда әріп үстіне қойылған нүкте S бойынша туынды алуды білдіреді, - бірлік жанама вектор, -түзеуші жазықтықтың қисық орналасқан жарты кеңістікке бағытталған бірлік бас нормаль вектор , - бірлік бинормаль вектор.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
21 - ші беті 48 беттің
8. Табиғи параметірге қатысты берілген қисықтың , , векторларының кескінделуі:
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]
Лекция тақырыбы. Беттер теориясы.
R[3] дегеніміз (x,y,z) координаталы үш өлемді евклид кеңістігі, ал F(x,y,z) үш айнымалыға тәуелді k ретті дербес туындыларға ие болатын (бұл жағдйда F(x,y,z) функцисы (k клсына тиіс делінеді) нақты функция болсын
С[к]- классты бет деп
F(x,y,z)=0 (1)
теңдеуін қанағаттандыратын M(x,y,z)R[3] нүктелер жиынын айтады, онымен қоса M нүктесінде
gradF (2)
болуы талап етіледі. М нүктесінің кіші аймағында gradF шарты бойынша F(x,y,z)=0 теңдеуін айнымалыларының біріне қатысты шешілген түрінде жазуға болады. Мәселен болуында F(x,y,z)=0 теңдеуді z=f(x,y) айқын теңдеу түріне келеді. Алайда, беттерді оқып зерттеуде, оларда берілуінің небір қолайлы тәсілі параметірлік кескіндеу болып табылады.
Анықтама. С[к] - классты беттің параметрлік теңдігі берілуі деп С[к] - дифференциялдамалы бейнелеуін айтамыз.
Мұндағы U жиыны R2 -де (u,v) координаталы ашық жиын. Онымен бірге U-де (3) басқаша айтқанда R[3] - те бет
(4)
векторлық теңдеуімен, немесе оған эквивалент
(5)
үш скаляр теңдеумен кескінделеді.
Дифференциадық геометрияда радиус векторының u және v бойнша алынған дербес туындыларын символдарымен белгілейді.
шарты, және векторларының коллинеар еместігін, атап айтқанда
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
22 - ші беті 48 беттің
(6)
Якоби матрицасы ретінің 2-ге тең болуын білдіреді. және вектроларының өздерін, бетінде орналасқан сәйкес `u' және `v' координаталық сызықтарының жанамаларына параллель.
rangA=2 болуында, айқындалмаған функция жөніндегі теорема бойынша бет өзінің кіші аймағында (локальді) кейбір функция келбеті түрінде кескінделуі мүмкін. Мәсенен А Якоби матрицасы минорының, кейбір (u,v) нүктелерінде нөлден өзгеше болуыда, сол нүктенің кіші аймағында x=x(u,v), y=y(u,v) теңдеулері u,v - ға қатысты шешілуі мүмкін
u=u(x,y), v=v(x,y) (7)
Сонымен (7) шешімдерін (5) жүйесінің соңғы теңдеуіне қойғаннан z=z(u(x,y),v(x,y)), немесе, қысқаша z=f(x,y) теңдеуіне келеміз.
Сонымен, бет келесі тәсілдердің бірімен
1) z=f(x,y) функциясы келбеті түрінде (8)
2) F(x,y,z)=0 теңдеуімен
3) Параметрлік немесе, координаталық түрде x=x(u,v) y=y(u,v) z=z(u,v) теңеулерімен берілуі мүмкін
Беттің осылайша берілуіне сәйкес жанама жазықтығының теңдеулері :
1) Z - z0=p(x-x0) +q(y - y0); мұнда P=(x0, y0) q=(x0, y0)
2)
Мұндағы дербес туындылардың мәндері (x0, y0, z0) нүктесінде есептелген.
3) ()=0 немесе
= 0 (9)
Мұнда R = X, Y , Z - ағымдағы координаталардың радиус векторы.
векторлары бетінің жанама жазықтығына тиіс. Жанасу нүктесінде жанама жазықтыққа перпендикуляр түзуді беттің нормалі (тіктеуіші) дейді.
( 10 )
векторы бет нормальінің бірлік векторы делінеді.
Жоғарыдағы беттің түрлі берілуіне сәйкес оның нормалінің теңдеулері:
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
23 - ші беті 48 беттің
Бетте қисықсызықты координаталары
(12)
Теңдеулерімен анықталатын нүктелердің геометриялық орнын қарастырайық. Мұнда - тәуелсіз айнымалы, ал үзіліссіз дифференциалдамалы функциялар. Беттің параметрлік кескінделуін пайдаланып кез келген мұндай нүкте радиус векторын
түрінде жазуымызға болады. Сонымен бір айнымалыға тәуелді функцияға айналады және өзінің өзгеру облысында мәндерді қабылдағанда өзінің ұшымен тұтасымен бетіне тиіс қандайда бір қисық сызады. Демек, теңдеулері бетінде орналасқан қисықты анықтайды. теңдеулерінде параметрі ретінде қисықсызықты координаталардың бірі мәселен болуы мүмкін. Сонда беттегі сызықта анықтайтын қос теңдеу жалғыз
теңдеуіне келтіріледі.
бетінде орналасқан тегіс сызығының доға ұзындығы
қатынасымен анықталады, мұндағы
бетіндегі доға ұзындығы дифференциалының квадраты, атап айтқанда
өрнегі беттің 1-ші негізгі квадраттық формуласы немесе 1-ші негізгі дифференциалдық инварианты делінеді.
және
болуынан (беттің ерекше емес нүктесінде) ) беттің 1- квадраттың формуласы оң анықталған.
(4) бетіндегі (du;dv) және (δu;δv) сызықтары арасындағы бұрыш сол сызықтардың қиылысу нүктесіндегі олардың
d=du+dv,δ=δu+δv
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
24 - ші беті 48 беттің
жанамалары арасындағы бұрыш ретінде есептелетіндіктен
cosφ=cos(d^,)= (16)
Бет қарапайым бөлігінің ауданы
δ═∫∫dudv (17)
екі еселі интегралымен есептеледі. Мұнда D облысы "u", "v", "u+du", "v+dv" сызықтарымен шектелген.
Беттің екінші квадраттық формасы
ІІ=Ldu2+2Mdudv+Ndv2 (18)
түрінде кескінделеді. Мұндағы L,M,N коэффициенттері
L=(,uu), M=(,), N=(,)
Скаляр көбейтінділері түрінде, немесе (10)-ды ескере
L=g-1(), M=g-1(), N=g-1() (19)
(мұндағы g=II=)
аралас көбейтінділері арқылы есептеледі.
Беттің М нүктесіндегі бойындағы нормалі арқылы өтетін кейбір жазықтықпен қимасын беттің нормаль қимасы деп атайды. М нүктесіндегі осы сызық қисықтығының абсолют шамасын нормаль қисықтық дейді, бұл сан М нүктесіндегі қима, векторы жағына ойыс болуында оң, және сәйкесінше, дөңес болуында теріс болады.
(du,du)бағыттындағы нормаль қиманың нормаль қисықтығы
kn= (20)
формуласымен есептеледі.
М нүктесіндегі нормаль қиманың Ки қисықтығы нөлге тең болса, оның жанамасының бағыты М нүктесіндегі асимптоталық бағыт делінеді.
kn нормаль қисықтығының формуласынан, беттегі асимптоталық сызықтардың дифференциалдық теңдеуі
Ldu2+2Mdudv+Gdv2=0
түрінде жазылатыны шығады.
Менье теоремасы. Егер беттің М нүктесіндегі асимптоталық бағытта болмайтын жанамасы арқылы (бірі нормаль, ал екіншісі көлбеу) беттің қос қимасын жүргізсе, нормаль қиманың қисықтық центрінің көлбеу жазықтығына түскен проекциясы - көлбеу қиманың қисықтық центрі болып табылады.
Менье теоремасынан тікелей R=Rncos формуласы туындайды. Мұндағы R - беттегі кез келген Г сызығының қисықтық радиусы, Rn-нормаль қима қисықтығы, - Г сызығының жанасушы жазықтығымен нормаль қима жазықтығы арасындағы бұрыш. Ал, олай болса, оларға кері шама болып келетін қисықтықтар үшін k
есептеу формуласы орынды. І және ІІ квадраттық формалардың және матрицаларын сәйкес Р және Q арқылы белгілейік. Беттің әрбір нүктесінде олар симметриялы, сандық матрицалар, онымен бірге Р ерекше емес,оң анықталған. Сызықтық алгебрадан Р матрицасы бірлік, ал Q - диагоналды матрица болатындай базис табылатыны белгілі. Бұл базис элементтері беттің М нүктесіндегі бас векторлар, ал олар анықтайтын бағыттар - бас
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
25 - ші беті 48 беттің
бағыттар делінеді. Бас базистегі Q матрицасының k1 және k2 элементтерін М нүктесіндегі беттің бас қисықтықтары дейді. Бас қисықтықтар
теңдеуінен табылады. Осы теңдеуден (Виет теоремасы бойынша) бас қисықтардың қосындысы мен көбейтіндісін тапқан оп-оңай:
k1k2= ; k1+k2=
беттің берілген нүктесіндегі бас қисықтықтарының көбейтіндісін беттің толық немесе Гаусстық қисықтығы деп К арқылы белгілейді. Беттің бас қисықтары қосындысының жартысын беттің орташа қисықтығы деп Н әрпімен белгілейді.
Берілген М нүктесі арқылы өтетін кейбір нормаль қиманы қарастырайық.
- М нүктесінде нормаль қимаға бірлік жанама вектор болсын. - өзара ортогональ бірлік бас векторлар.φ арқылы 1 векторынан - ға дейінгі оң бағытта айналу бұрышын белгілейік (1 - ден 2 - ге айналу бағытын оң деп санаймыз). Алынған нормаль қиманың kn қисықтығы k1 және k2 бас қисықтықтары арқылы
kn= k1cos[2]φ + k2sin[2]φ
түрінде өрнектеледі. Бұл формуланы Эйлер формуласы дейді. Егер k1k2 болса, онда Эйлер формуласынан бас қисықтықтардың бірі нормаль қима қисықтығының мүмкін болатын ең кіші мәні, ал екіншісі ең үлкен мәні болып табылатыны шығады.
k1= k2 болуында kn= const. Басқа сөзбен, берілген нүкте арқылы өтетін кез келген бағыттағы нормаль қиманың қисықтығының мәні өзгермейді. Мұндай нүкте дөңгеленген нүкте делінеді.
Беттің М нүктесі маңайында орналасуынан мағлұмат ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
ШӘКӘРІМ атындағы СЕМЕЙ МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ
3 деңгейлі СМЖ құжаты
ПОӘК
ПОӘК 042-14.01.20.16802-2013
ПОӘК
Студенттерге арналған пәндердің оқу жұмыс бағдарламасы Математикалық логика және дискретті математика
02.09.13 ж. №1 басылым
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ГЕОМЕТРИЯ ЖӘНЕ ТОПОЛОГИЯ
пәні бойынша оқу-әдістемелік кешені
050109 - Математикаа
мамандығы үшін
Семей
2013
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
2 - ші беті 48 беттің
Құрастырған доцент Нақышбекова Ғ. М.
Кафедра мәжілісінде мақұлданды
31 08 2013ж. Хаттама № 1
Кафедра меңгерушесі доцент Жолымбаев О.М.
Факультеттің оқу -әдістемелік кеңесінде мақұлданды
2013 ж. Хаттама №
Оқу әдістемелік кенесінің төрайымы проф. Токабаева Г.К.
Факультеттің ғылыми кеңесінде мақұлданды
2013ж. Хаттама №
Факультет деканы проф. Берікханова Г. Е.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
3 - ші беті 48 беттің
1. ПӘННІҢ ОҚУ БАҒДАРЛАМАСЫ - SYLLABUS
0.1 Оқытушылар туралы мәлімет:
Нақышбекова Ғафиза Молдабекқызы - доцент
Оқытушымен байланыс: СМПИ, корпус 3, аудитория 226
Тел. 64-62-09
0.2 Пән туралы мәліметтер:
Дифференциальдық геометрия және топология
Кредит саны - 2
Жүргізілетін орны № 3 корпус
Оқу жоспарынан көшірме:
Курс
Се-местр
Кре-диттер
Лек-ция
Маш.
Саб.
СОӨЖ
СӨЖ
Барлығы
Бақылау түрі
3
6
2
30
15
15
15
75
Емтихан
2.3 Курстық пререквизиттері (пәнге қажет білім); Бұл пәнді толық меңгеру үшін, аналитикалық геометрияның негізгі бөлімдерін, математикалық талдаудағы бір және көп айнымалы функциялардың дифференциальдық есептеулерін және интеграл теориясын білу қажет.
2.4 Курстың постреквизиттері. Бұл курстың материалы математикалық анализде, дифференциялдық теңдеулерде және математикалық физиканың теңдеулерінде қолданылады.
2.5 Курстың қысқаша сипаттамасы; Бұл курс математика мамандығының студенттеріне арналған.
Курстың мақсаты: Дифференциалдық геометрия курсының негізгі теориялық бөлімдерін оқып үйрену.
Геометрия оқыту келесі бағыттарды
oo логикалық және алгоритмдік ойлауды дамытуды;
oo геометриялық есептерді шешу мен зерттеу әдістерін игеруді;
oo математикадағы сандық әдістерді игеруді;
oo өздігінен білімін кеңейту және қолданбалы (инженерлік) есептерді талдай білуді;
oo Топология элементтері және метрикалық, топологиялық кеңістіктер туралы мәлімет;
oo Топологиялық бейнелеу, гомеоморфизм, қарапайым беттерді
оқытуды мақсат етеді.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
4 - ші беті 48 беттің
Курстың міндеті:
Пәнді оқытудың негізі - ақпараттық жүйелер мамандығы бойынша мамандар дайындаудағы жоғарғы кәсіби білім мемлекеттік стандарты орнатқан талаптарды орындау (жүзеге асыру).
Пәнді оқытуда келесі міндеттер қойылады:
а) Студенттерді өздерінің практикалық ж+-мыстарында есептеу єдістерін қолдана білуге үйрету;
б) Студенттердің жалпы математикалық білім деңгейін жетілдіру, пєн бойынша жүйелі білімді қалыптастыру;
в) Математикалық есептерді зерттеуде, талдауда болашақ мамандардың шығармашылық ойлау деңгейін дамыту;
г) Студенттерді оқу және ғылыми әдебиеттермен өздігімен жұмыс істеуге үйрету.
Пәнді оқып, үйрену нәтижесінде студенттер мыналарды білуге міндетті :
oo вектор-функциялар ұғымы және оларға амалдар қолдану;
oo қисықтар ұғымы және оның негізгі теңдеулері;
oo беттер ұғымы және оның негізгі теңдеулері.
oo Топология элементтері және метрикалық, топологиялық кеңістіктер туралы мәлімет;
oo Топологиялық бейнелеу, гомеоморфизм, қарапайым беттер.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
5 - ші беті 48 беттің
5.6. Пән бойынша тапсырмалардың орындалу және тапсырылу графигі
№
Жұмыс
түрлері
Тапсырманың мақсаты мен мазмұны
Ұсынылатын әдебиеттер
Орындалу
ұзақтығы
Балл
Тексеру формасы
Тапсыру мерзімі
1
Практика-лық тап -сырмалар-ды орын-
дау
Практикалық сабақтардың жоспарларына сәйкес
Практикалық сабаққа дайын далу үшін ұсынылған әдебиеттерді қолдану
Оқу жос- пары мен сабақ кес- тесіне сәйкес курсты оқу кезе-ңінде
Практика -
лық сабақ-тың әрбір тақырыбы бойынша ауызша жауап үшін 20 баллға дейін
Ағымдағы бақылау (ауызша жауаптың бағасы және семинар сабақтағы жұмыс)
Оқу жос- пары мен сабақ кес тесіне сәй кес семи- нар саба- ғында
2
Ауыз-ша жауап
ОСӨЖ жоспарына сәйкес (коллок-
виум)
ОСӨЖ сабағы-на дай- ындалу үшін ұсынылатын әдебиетті пайдала-ну
Оқу жоспары мен сабақ кестесіне сәйкес курс кезе-ңінде
Ауызша жауап үшін 15 баллға дейін
Аралық бақылау (ауызша жауап-тың бағасы)
Оқу жоспары мен сабақ кестесіне сәй-кес
ОСӨЖ саба-ғында
3
Жазба-ша жұмыс
ОСӨЖ
жоспары-на сәйкес
(бақылау жұмысы, өздік жұмыс)
ОСӨЖ сабағына дайында-лу үшін ұсынылатын әдебиетті пайдалану
Оқу жоспары сәйкес курсты оқу кезеңін-де
Әрбір бақыл-ау жұмысы және өздік жұмысы үшін 20 баллға дейін
Аралық бақылау (әрбір жұмыстың бағасы)
Оқу жоспары мен сабақ кестесіне сәйке СОӨЖ сабағында
4
Жазбаша жұмыс
СӨЖ жоспарына сәйкес (өздік жұмыс, ЖҮТ)
СӨЖ сабағына дайында-лу үшін ұсыеыны-латын әдебиетті пайдалану
Оқу жоспары сәйкес курсты оқу кезеңін-де
Әрбір үй жұмысы 10 баллға дейін
Үй тапсырмасы (әрбір үй тапсырмасының баға-сы)
СӨЖ жоспарына сәй-кес
5
Емтихан
Тест
1,5
35 баллға дейін
Қорытын-ды бақы-лау
Оқу жоспарына сәй-кес
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
6 - ші беті 48 беттің
5.7. Әдебиеттер тізімі:
Негізгі әдебиеттер
1. Базылев В.Т. Геометрия. 2-б.Алматы - 1981.
2. Атанасян А.В. , Гуревич Г.Б. Геометрия. Ч.2. М.1977.
3. Рашевский П.К.Курс дифференциальной геометрии. М.1956.
4. Васильев А.М., Соловьев Ю.П. Дифференциальная геометрия. М., МГУ, 1981.
5. Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию. М.1957.
6. Моденов Л.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии. М.1953.
7. Атанасян Л.С. Сборник задач по геометрии. М.1975.
8. Қожашева Г.О. Дифференциалдық геометрия есептері мен жаттығулары. Талдықорған - 2007.
9. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. - М., Наука, 1969.
10. Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. - МГУ, 1981.
11. Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. - М. 1958.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
7 - ші беті 48 беттің
11.7. Рейтинг-шкала
Бақылау түрлері
Балл
Ағымдағы бақылау
20
Аралық бақылау
30
Үй тапсырмасы
10
Қортынды бақылау
40
Барлығы
100
11.8. Курстың саясаты және процедуралары
Студент оқытылатын лекция курсын қысқаша мазмұнын жазып отыруы тиіс, практикалық және үй тапсырмаларын орындауы, сабаққа кешікпей келуі керек, сабақ уақытында сөйлеспеуі, газет-журнал оқымауы, ұялы телефонды ағытып қоюы және оқу процесіне белсенді қатысуы тиіс. Бақылау жұмыстарын, коллоквиумдарды, емтихандарды уақытылы тапсыруы тиіс. Студент сабаққа міндетті түрде қатысуы қажет. Себепсіз босатылған сабақты студент оқу-әдістемелік кешенінде көрсетілген сабақ көлеміне сәйкес қайта тапсырылады. Курстың үштен бір бөлігін себепсіз босату оқудан шығарып жіберуге әкеледі.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
8 - ші беті 48 беттің
2. ПӘН БОЙЫНША ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК МӘЛІМЕТТЕР
0.1. Курстың тақырыптық жоспары
Барлығы 2 кредит
Тақырып атауы
дәріс
Маш.сабағы
СОӨЖ
СӨЖ
1.
Вектор-функция
1
1,5
3
3
2.
Қисықтар ұғымы. Қисықтың жанамасы
2
1,5
2
2
3.
Жанасушы жазықтық. Қисықтың нормалі
2
2
2
2
4.
Доға ұзындығы. Қисықтық пен бұралым
1,5
2
2
2
5.
Бет ұғымы. Жанама жазықтық пен нормаль
1,5
2
2
2
6.
Беттің бірінші квадраттық формасы
1,5
2
1
1
7.
Беттің екінші квадраттық формасы
1,5
2
1
1
8
Топологиялық кеңістік. Тұйық жиын. Топологиялық бейнелеулер. Гомеоморфизм.
2
2
2
2
9.
Жекеленушілік,компактылық байланыстылық. Қарапайым беттер.
Барлығы
15
15
15
15
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
9 - ші беті 48 беттің
2.1. Лекция сабағының тақырыптары
Лекция тақырыбы. Вектор - функциялар ұғымы.
Векторлық есептеулер екі бөлімнен тұрады: векторлық алгебра және векторлық анализ.
Векторлық алгебраның элементтері вевлитикалық геометрия курсында қаралады. Мұнда вектор ұғымы және оларға қолданылатын амалдар: векторларды қосу, азайту, векторды скалярға көбейту, векторлардың скаляр көбейтіндісі, векторлардың векторлық көбейтіндісі, векторлардың аралас көбейтіндісі қарастырылады. Бұл амалдардың барлығы тұрақты векторлар үшін енгізілген.
Векторлық анализ айымалы векторларды қарастырып, шектер мен дифференциалды есептеу теорияларын құра отырып, векторлық функцияларды оқиды. Скаляр аргументті функция ұғымы векторлық анализдің негізгі туынды ( алғашқы) ұғымы болып табылады.
tL, векторының басы О нүктеде, t=1 t=2
ұшы М(t) нүктеде жатады. Сондықтан. M(t)
вектор t уақыттағы функция болады.
L
O
Көптеген қолданбаларда векторлар үстіндегі сызықтық амалдардың жеткіліксіз екендігі байқалады. Күш жұмысы ұғымы, сол сияқты сызықтық жылдамдық пен айналатын қатты дене нүктесінің радиус-векторы арасындағы байланысты тек (векторларға қолданылатын) бинар операциясы көмегімен өрнектеуге болады. Мұндай операциялардын қасиеттері сандар көбейтіндісі операциясының қасиеттеріне ұқсас.
Келтірілген жағдайдың бірінде операция нєтижесі сан болса, екіншісінің нєтижесі вектор. Осы операциялардың жақсы танымалы анықтамаларын келтірейік.
Анықтама. жєне векторларының скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыш косинусының көбейтіндісіне тең санды айтады.
Скаляр көбейтіндісін (,) арқылы белгілеп, бұл анықтаманы
(,) (11) түрінде жазуымызға болады.
Нөлдік көбейткіштері үшін (,) (12)
Қасиеттері:
1. (,)=(,) (13)
скаляр көбейтіндісінің ауыстырымдылығы және скалярға көбейтуге қатысты
2. (,)= (14)
3. (,) (15)
4. (16) - үлестірімділік қасиеті
5. (17)
Скаляр көбейтінді өзінің әрбір көбейткішіне қатысты сызықты.
Сонымен бірге нольден өзгеше векторлардың скаляр көбейтіндісінің нольге айналуы сол векторлардың перпендикулярлығының айғағы. Бұдан
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
10 - ші беті 48 беттің
(18) шығады.
Шынында, (,)теңдігінен (11) формула бойынша екендігі шығады.
Керісінше,
Анықтама. Нольден өзгеше және векторларының векторлық көбейтіндісі деп төмендегі үш қасиетпен анықталатын векторын айтады:
1) атап айтқанда көбейтінді көбейткіштерге перпендикуляр;
2) , векторлар үштігі декарт базисінің үштігімен бірдей ориентацияланған
3-сурет
3) (19)
Бұл анықтамадан векторлық көбейтіндінің нольге тең болуы олардың коллинеарлығын білдіретіні шығады.
Векторлық көбейтіндінің қасиеттері:
1. (20) - антикомутативті
2. ()= (21)
3. (22) - үлестірімділік заңы
(23) - біріктіру заңы
(17), (20),(23) формулаларына сүйене отырып скаляр және векторлық көбейтінділерінің, көбейткіштердің координаталары арқылы өрнектелуін шығарып алу қиын емес.
векторларына қолданып
(24)
(25)
формулаларына келеміз. Соңғы формуланы
(26)
түрінде жазуға болады.
Енді үш
(27)
векторын қарастырайық. векторын арқылы белгілеп
көбейтіндісін есептейік. (26) және (24) формулаларын пайдаланып мынаны аламыз:
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
11 - ші беті 48 беттің
(28)
Мұнан = шығады, сондықтан
(281)
анықтамысын енгізген орынды.
Әдетте үш вектордың мұндай көбейтіндісін аралас немесе векторлы-скаляр көбейтінді дейді.
Үш вектордың сызықтық тәуелділігі олардың компланарлығын білдіретіндіктен, сонымен бірге (28) анықтауышы жолдарының сызықтық тәуелділігін білдіретіндіктен, үш вектордың аралас көбейтіндісінің нольге айналуы олардың компланарлығымен мәндес деп айтуымызға болады.
Сонымен жағдайында:
компланар -.
Соңында аралас көбейтіндінің геометриялық мағынасын ашайық.
саны
векторларында салынған параллелограммның S ауданы болғандықтан, ал және (мұндағы һ-қырлары параллелепипедінің биіктігі), онда
мұнда V-сөз етіліп отырған параллелепипедтің көлемі.
Негізгі әдебиеттер:[1-5]
Қосымша әдебиеттер:[6-7]
Лекция тақырыбы Скаляр аргументті вектор-функциялар.
Бір және екі скаляр аргументті вектор-функциялар. Келбет.
Векторлық анализде сандар жиыны мен бірге векторлар жиыны елеулі орын алады.
Бұл векторлар жиыны аргументтер жиыны болуы да мүмкін, мәндер жиыны болуы да мүмкін. Сондықтан функциялардың жаңа 3 түрі пайда болады.
1. - скаляр аргументті вектор-функциялар.
2. - вектор аргументті скаляр функциялар.
3. - вектор аргументті вектор-функциялар.
Бұл жағдайлардың әрқайсысында аргумент ретінде бір сан (бір вектор) емес, сандардың (немесе векторлардың) реттелген бумасы болуы мүмкін.
2-ші және 3-ші типтес функциялар келесі тарауда зерттеледі. Әзірше скаляр аргументті вектор-функцияларға назар аударайық. Бұл функцияларды геометриялық тұрғыдан зерттеу келбет ұғымына сүйенеді.
Бір немесе екі аргументті вектор-функциясының барлық мәндері болып келетін радиус-векторлар ұштарының геометриялық орны осы функцияның келбеті деп аталады.
M(x,y,z) нүктесінің радиус-векторы оның координаталары және (тұрақты) базистік векторлары арқылы
(1)
түрінде өрнектелсе, онда
(2)
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
12 - ші беті 48 беттің
Демек бір вектор фукцияның берілуі үш скаляр x,y,z функцияларының берілуіне мәндес. Бір скаляр аргумент жағдайында
(3)
t параметрінен құтылып (ол тек болуында мүмкін)
(4)
қатынастарын аламыз.
Мұнан бір аргументті вектор-функция годографы қисық (екі беттің қиылысу сызығы) болатыны шығады.
Екі аргумент үшін
(5)
айнымалыларынан құтылу.
(Ол (6) матрицасының рангі екіге тең болуында ғана мүмкін), екі аргументті вектор-функция келбетінің бет екенін көрсетеді, өйткені (5)
z=z(x,y) (7)
түрінде келеді.
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]
Лекция тақырыбы
Үзіліссіздік пен дифференциалдану.
Туындылардың геометриялық мағынасы.
Анализдің негізгі ұғымдарын скаляр аргументті вектор-функцияларға тарату қиын емес.
Ең алдымен айнымалы векторларының шегі деп
(8)
теңдігін қанағаттандыратын тұрақты векторын айтамыз. Осымен бірге вектордың шек ұғымы скаляр айнымалының шек ұғымына келтіріледі.
Сонымен
(9)
Шек теориясының негізгі теоремалары оп-оңай дәлелденеді. Олар қысқаша былай тұжырымдалады.
Теорема. Егер болса онда келесі шектер бар болып мына түрде есептелінеді.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
13 - ші беті 48 беттің
(10)
мұнан қанатты ережеге келеміз: қосынды (немесе көбейтінді) шегі шектер қосындысына. (немесе көбейтіндісіне) тең.
Енді функциясының мәніндегі үзіліссіздігін анықтаған оп-оңай. Ол
(11)
теңдігінің орындалғанын білдіреді.
Егер (11) барлық atb үшін орындалса, функциясы (a,b) аралығында үзіліссіз делінеді.
(1), (2), (10) және (11)-ден функциясының үзіліссіздігінің x,y,z функцияларының үзіліссіздігімен эквиваленттілігі шығады.
(12)
шегіне ие болатын функциясын мәнінде дифференциалданатын функция ал осы шектің мәнін функциясының нүктесіндегі туындысы дейді. atb аралығының барлық нүктелерінде дифференциалданатын функциясын осы интервалда дифференциалданатын функция делініп, ал функциясы осы интервалдың барлық нүктелерінде анықталған болып келеді.
Векторлардың қосындысы және көбейтіндісі шегінің теоремаларына сүйенсе қосындыны және көбейтіндіні дифференциалдау ережелері скаляр анализдегідей болады:
(13)
Әрине векторлық және аралас көбейтіндідегі көбейткіштердің орнын ауыстыруға болмайды, өйткені .
Сол теоремалардың арқасында күрделі функцияны дифференциалдау ережесі бұрынғыша сақталады
(14)
(төмендегі немесе индексі дифференциалдауды қандай аргумент бойынша жүргізу керек екенін көрсетеді)
4-сурет.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
14 - ші беті 48 беттің
және векторларының ұштары вектор-функция келбетінің нүктелері болады.
Сонда олардың ұштарын қосатын - векторы хордаға, ал оның шектік орналасуы жанамасына параллель. Сонымен туынды бағытының геометриялық мағынасы ашылды, ол нүктесінде келбеттің жанамасын анықтайды. Жанаманың теңдеуін (І тараудың (35) теңдеуімен салыстырыңыз)
(15)
түрінде жазуға болады. Мұнда -жанама айнымалы нүктесінің радиус-векторы, -параметр.
векторының ұзындығы t параметрінің алынуына тәуелді және оны ауыстырғанда өзгереді. Шынында
(16)
жаңа параметріне көшсек, функциясының
нүктесі аймағындағы мәндері өзгермейді, атап айтқанда қисық пен оның М0, нүктесіндегі жанамасы сол беті (сол күйі) сақталады. Бірақ (14)-ке сәйкес
яғни, жалпы алғанда, . (16) бойынша параметрінің келіскен бір алынуында болады. Параметрдің мұндай алынуының қарапайым геометриялық мағынасы бар.
Расында
болғандықтан
және
Қисықтың доға ұзындығы
формуласы бойынша есептелетіндігі мәлім.
Демек
, (17)
атап айтқанда, вектор-функция туындысының модулі, оның аргументі қисықтың доға ұзындығы болғанда ғана бірге тең.
Бірнеше аргументті вектор-функциялардың үзіліссіздігі мен дифференциалдануы ұғымдары анализдегі скаляр функциялардың сәйкес ұғымдарына ұқсас енгізіледі. Мәселен, екі аргументті
(18)
функциясының дербес туындысы кәдімгі анализдегідей анықталады.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
15 - ші беті 48 беттің
(19)
Олардың геометриялық мағынасын анықтау үшін шарты (18) функциясы келбетінде
қисығын бөліп алатынын байқаған жөн, туындысы осы қисықтың жанамасына параллель. Дәл осы сияқты векторы сызығының жанамасына параллель.
қос санының берілуі бет нүктесін анықтайтындықтан, u,v параметрлері бет нүктесінің қисықсызықты координаталары деп, ал u=const жєне v=const сызықтарын координаталық сызықтар атаған.
x,y,z функциялары үшін жазылған Тэйлор формулаларын және (1) жіктемесін пайдаланып, функциясының да Тэйлор қатарына жіктелетінін аламыз. Мәселен, бір айнымалыға тәуелді функция жағдайында
(20)
мұнда , ал мүшелері - x,y,z-ке жазылған Тэйлор қатарларындағы қалдық мүшелері. өрнегі шектеулі болғандықтан, (20) қатарындағы қалдық мүшесінің кішілік реті n санынан кем емес, оны былай жазатын боламыз
(21)
n=2 мєнінде (20)-дан алатынымыз
(22)
Оң жағындағы бірінші қосылғыш вектор-функция өсімшесінің басты сызықтық бөлігі болып табылады, ол вектор - функция дифференциалы деп аталып
(23)
арқылы белгіленеді. Екі айнымалы жағдайында
(24)
Екінші, үшінші жєне жоғары ретті дифференциалдардың формулалары анализдегідей. Кейде
белгілеулері кездеседі.
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]
Лекция тақырыбы. Сызықпен байланысқан негізгі дифференциоалды-геометриялық ұғымдар.
1.Параметірленген қисық. Егер қисық берілсе, оның бойымен уақыт арасында ағымды М нүктесі қозғалады деп есептеуімізге болады. Уақыттың әр бір t сәтінде бұл нүкте қисықтта белгілі орын алады,атап аәтқанда ағымды М нүктесінің радиус-векторы t параметрін
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
16 - ші беті 48 беттің
параметірі түрінде жазылған фукциясы болады. Керісінше, егер ағымды М нүктесінің радиус-векторы қандай да t скаляр параметрінің функциясы ретінде берілсе, оның ұшы қисық сызық сызады. Басқаша айтқанда қисық вектор-функция келбеті ретінде анықталады.
Анықтама. Егер қисықтың ағымды М нүктесінің радиус-векторы қандай-да (a,b) аралығында өзгеретін t скаляр параметрінің үзіліс функциясы ретінде анықталған болса, қисық параметрленген ал
оның векторлық теңдеуі делінеді.
" Қисықты", "сызық " немесе "қисық сызық" деп те айта береді.
Егер t параметірін оның параметіріне түрлендірсе, сол қисықтың жаңа
(мұндағы )
теңдеуі алынады. Сонымен бірден-бір қисық түрлі теңдеулермен анықталуы мүмкін.
Мәселен
және
теңдеулері бірен-бір жарты шеңберді анықтайды. Бұл жағдайда және параметрлері қатынасымен байланысады.
2. Жанама. Сызықпен байланысқан қарапайым дифференциал-геометриялық ұғымға бізге таныс жанама жатады.
Анықтама. Сызықтың берілген М нүктесіндегі жанамасы деп, сол М нүктесі және оған шексіз жақын орналасқан сызық нүктесі арқылы өтетін қисықтың шектік орналасуын айтамыз.
Теорема. Сызықтың ағымды нүктесін радиус-векторының оның параметрі бойынша алынған туындысы t параметрін жағына сәйкес жанама бойынша бағытталған вектор болып табылады. Сонымен туындысы бар болып және ол 0-ден өзгеше болса
(1)
онда туындысы сәйкес жанаманы анықтайды. Әрі қарай әрдайым осы шарт орындалатынын ұйғарамыз.
Ескерту. Қисық бойында көршілес алынған және нүктелерін қосатын осімше векторын Тейлор формуласы бойынша n=1 болуында жіктейік, сонда
мұнан ығысу векторы жанамада орналасқан және қосалқы векторларына жіктелетінін көреміз. Жанама вектор өсімшесімен кішілік реті бірдей, қосалқы векторының кішілік реті жоғары. Демек бірінші жазықтықта сызық, жанасу нүктесінің мейілінше кіші аймағында өз жанамасымен тұтасады.
3. Жанасушы жазықтық. Сызықпен берілген М нүктесіндегі жанасушы жазықтығы деп, М нүктесіндегі сызық жанамасы және М-ге шексіз жақын орналасқан сызық нүктесі арқылы өтетін
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
17 - ші беті 48 беттің
жазықтықтың шексіз орналасуын айтамыз. Жанасушы жазықтықтың анықтамасынан сызықтың жанасушы жазықтықтығы әрдайым сол сызық орналасқан жазықтықпен беттесетіні туындайды.
Теорема. Сызықтың ағымды нүктесі радиус-векторынынң бірінші және екінші ретті туындылары сәйкес жанасушы жазықтығында орналасады.
Дәлелдеме. сызығын қарастырайық. Р жазықтығын сызықтың М нүктесіндегі жанамасы және көрші нүктесі арқылы жүргізейік.
(1-сурет).
Бұл Р жазықтығында және векторлары жатады. n=2 болуында Тейлор формуласынан алатынымыз
мұнан
Сонымен, векторы Р жазықтығына тиісті және векторлары бойынша жіктеледі, демек өзі де Р жазықтығына тиіс. t ұмтылуында Р жазықтығы жанасушы жазықтығына ұмтылады. Ендеше Р жазықтығында орналасқан және векторлары жанасушы жазықтығында орналасқан өздерінін шеттері және векторларына айналады. Теорема дәлелденді.
Сонымен ағымды нүкте радиус-векторының 1-ші және 2-ші ретті , туындылары, олар коллинеар болмауында, атап айтқанда
(2)
шартында, сәйкес жанасушы жазықтықты анықтайды. Төменде әрдайым (2) орындалатынын ұйғарамыз.
Ескерту. сызығының қандай да екі жақын және нүктелерін қарастырып ығысу векторын Тейлор формуласы бойынша жіктейік.
(3)
Мұнан ығысу векторы жанасушы жазықтығына орналасқан
векторы және қосалқы векторына жіктелетінін көреміз. Алайда бұл қосалқы вектор - пен салыстырғанда кішілік реті жоғары шексіз кіші вектор болып табылады. Демек, кеңістік сызығы, алынған М нүктесінің жақын аймағында жанасушы жазықтықтың ауытқуы тым шамалы болады және басты бөлігінде осы жазықтыққа тиіс.
4. Бас нормаль мен бинормаль.
Анықтама. Кеңістік сызығының берілген М нүктесінен сол нүктедегі жанамасына перпендикуляр өтетін түзуді нормаль (тіктеуіш) дейді. Кеңістік сызықтың берілген нүктесіндегі бас нормалі деп жанасушы жазықтықта орналасқан нормальді айтады. Бинормаль деп жанасушы жазықтыққа перпендикуляр нормальды айтады.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
18 - ші беті 48 беттің
Ескерту. Дәтулелдеген теоремалардан сызығының нүктесінде жанама
векторымен, бинормаль векторымен, бас нормаль векторымен анықталатыны туындайды.
5. Қисықтық. Сызықта М нүктесін және ондағы жанаманы қарастырайық.
Жақын нүктесіне көшкеннен жанама кейбір бұрышына бұрылады. Осы бұрышының доғасының ұзындығына қатынасы доғасының орта қисықтығы делінеді. Ол ММ1 доғасының иілу дәрежесін орта есеппен сипаттайды. ММ1 доғасы өзінің түрлі нүктелерінде түрліше иілуі мүмкін. Алайда ММ1 доғасы неғұрлым кіші болған сайын, орта қисықтық осы доғаның әрбір нүктесіндегі иілу дәрежесін соғұрлым дәл анықтай түседі.
Анықтама. Сызықтың берілген М нүктесіндегі k қисықтығы деп сызықтың сол М және оған жақын М1 нүктелеріндегі жанамалары арасындағы бұрышының шексіз кіші ММ1 доғасының ұзындығына қатынасының
шегін айтады.
Мысал ретінде R радиусты шеңбер қисықтығын анықтайық. Ол үшін оның бойында М және М1 нүктелерін алайық. Шеңбер жанамалары арасындағы бұрыш жанасу нүктелеріне жүргізілген ОМ және ОM1 радиустары арасындағы бұрышына тең. Бір жағынан шеңбер доғасының ұзындығы
көбейтіндісіне тең, мұнда - доғаны керетін централ бұрыш.
Сындықтан =
Демек, шеңбердің кез келген нүктесіндегі қисықтығы
атап айтқанда оның радиусына кері шама болып келеді.
6. Бұралым. Сызықтың М нүктесін және ондағы жанасушы жазықтығын қарастырайық. Сызық бойымен көрші М1 нүктесіне көшкенде жанасушы жазықтық қандайда бұрышына бұрылады осы бұрышының ММ1 доғасы ұзындығына қатынасын ММ1 доғасының орта бұралымы дейді. Ол кеңістік сызығының жазықтықтан ауытқуын орта есеппен сипаттайды. ММ1 доғасын кішірейте отыра, біз қисықтың берілген нүктесіндегі бұралым ұғымына келеміз.
Анықтама. Сызықтық берілген М нүктесіндегі æ бұрымы деп сол М және оған жақын орналасқан М1 сызық нүктесіндегі жанасушы жазықтықтары арасындағы бұрышының кіші ММ1 доғасының ұзындығына қатынасының
шегін айтады.
Мұның өзінде сызық бойымен сырғытып жанасушы жазықтық оң бүрандалы қозғалыс жасайтын болса, бұралымы оң деп есептейміз, кері жағдайда - теріс болып саналады. Жанасушы
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
19 - ші беті 48 беттің
жазықтықтың айналу бұрышының орнына оған тең бинормальдың айналу бұрышын алуға болатынын атап кеткен орынды.
7.Доға ұзындығы. Қисықтық пен бұралымды анықтағанның өзінде-ақ қисықтың доға ұзындығы ұғымын пайдаланамыз. Енді бұл ұғымды қатаң анықтап, интеграл арқылы доға ұзындығын есептеуге арналған формуланы шығарып аламыз.
Анықтама. Сызық доғасының L ұзындығы деп оған іштей сызылған сызық ұзындығының, сызықтағы кесінділер санының шектеусіз өсіп, ең ұзын кесінді ұзындығы 0-ге ұмтылғандағы шегін айтамыз.
сызығы АВ доғасы нүктелері және сәйкес кесіндіснен алынған t параметірлер арасындағы сәйкестік өзара бірмәнді болсын. Оның үстіне әдеттегідей туындысы бар болып ол үзіліссіз деп ұйғарамыз. Сызықың АВ доғасы ұзындығы
немесе
формуласы бойынша есептеледі.
Сызықтың t параметірін S параметірімен алмастырғаннан алынған
)
түріндегі L сызығының параметірленуін табиғи параметірлену деп, S параметірін табиғи (натурал) параметір дейміз.
Егер L сызығының табиғи параметірленуі болса, векторы бірлік вектор, атап айтқанда =1 болады. Табиғи S параметірі сызықтың кейбір нүктесінен бастап саналатын доға ұзындығы болып табылады.
Егер барлық нүктелері үшін болса, сызығы регуляр, ал кесіндісінің кезкелген ішкі нүктесі үшін болса, сызығы бирегуляр делінеді.
3. Бирегуляр сызығының Френе репері деп ал шарттарына бағынатын ортанормалы
реперін айтамыз.
Енді кеңістік сызықтар теориясының негізгі теңдеулері мен есептеу формулаларын келтірейік:
1. Сызық жанамасының теңдеуі:
немесе
2. Нормаль жазықтықтың теңдеуі:
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
20 - ші беті 48 беттің
немесе
3. Бинормль теңдеуі:
немесе
4. Жанасушы жазықтықтың теңдеуі:
(
немесе
5. Бас нормаль теңдеуі:
немесе
мұнда
6. Түзеуші жазықтықтың теңдеуі:
немесе
æ
мұнда
7. Френе формулалры:
мұнда әріп үстіне қойылған нүкте S бойынша туынды алуды білдіреді, - бірлік жанама вектор, -түзеуші жазықтықтың қисық орналасқан жарты кеңістікке бағытталған бірлік бас нормаль вектор , - бірлік бинормаль вектор.
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
21 - ші беті 48 беттің
8. Табиғи параметірге қатысты берілген қисықтың , , векторларының кескінделуі:
Негізгі єдебиеттер:[1-5]
Қосымша єдебиеттер:[6-7]
Лекция тақырыбы. Беттер теориясы.
R[3] дегеніміз (x,y,z) координаталы үш өлемді евклид кеңістігі, ал F(x,y,z) үш айнымалыға тәуелді k ретті дербес туындыларға ие болатын (бұл жағдйда F(x,y,z) функцисы (k клсына тиіс делінеді) нақты функция болсын
С[к]- классты бет деп
F(x,y,z)=0 (1)
теңдеуін қанағаттандыратын M(x,y,z)R[3] нүктелер жиынын айтады, онымен қоса M нүктесінде
gradF (2)
болуы талап етіледі. М нүктесінің кіші аймағында gradF шарты бойынша F(x,y,z)=0 теңдеуін айнымалыларының біріне қатысты шешілген түрінде жазуға болады. Мәселен болуында F(x,y,z)=0 теңдеуді z=f(x,y) айқын теңдеу түріне келеді. Алайда, беттерді оқып зерттеуде, оларда берілуінің небір қолайлы тәсілі параметірлік кескіндеу болып табылады.
Анықтама. С[к] - классты беттің параметрлік теңдігі берілуі деп С[к] - дифференциялдамалы бейнелеуін айтамыз.
Мұндағы U жиыны R2 -де (u,v) координаталы ашық жиын. Онымен бірге U-де (3) басқаша айтқанда R[3] - те бет
(4)
векторлық теңдеуімен, немесе оған эквивалент
(5)
үш скаляр теңдеумен кескінделеді.
Дифференциадық геометрияда радиус векторының u және v бойнша алынған дербес туындыларын символдарымен белгілейді.
шарты, және векторларының коллинеар еместігін, атап айтқанда
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
22 - ші беті 48 беттің
(6)
Якоби матрицасы ретінің 2-ге тең болуын білдіреді. және вектроларының өздерін, бетінде орналасқан сәйкес `u' және `v' координаталық сызықтарының жанамаларына параллель.
rangA=2 болуында, айқындалмаған функция жөніндегі теорема бойынша бет өзінің кіші аймағында (локальді) кейбір функция келбеті түрінде кескінделуі мүмкін. Мәсенен А Якоби матрицасы минорының, кейбір (u,v) нүктелерінде нөлден өзгеше болуыда, сол нүктенің кіші аймағында x=x(u,v), y=y(u,v) теңдеулері u,v - ға қатысты шешілуі мүмкін
u=u(x,y), v=v(x,y) (7)
Сонымен (7) шешімдерін (5) жүйесінің соңғы теңдеуіне қойғаннан z=z(u(x,y),v(x,y)), немесе, қысқаша z=f(x,y) теңдеуіне келеміз.
Сонымен, бет келесі тәсілдердің бірімен
1) z=f(x,y) функциясы келбеті түрінде (8)
2) F(x,y,z)=0 теңдеуімен
3) Параметрлік немесе, координаталық түрде x=x(u,v) y=y(u,v) z=z(u,v) теңеулерімен берілуі мүмкін
Беттің осылайша берілуіне сәйкес жанама жазықтығының теңдеулері :
1) Z - z0=p(x-x0) +q(y - y0); мұнда P=(x0, y0) q=(x0, y0)
2)
Мұндағы дербес туындылардың мәндері (x0, y0, z0) нүктесінде есептелген.
3) ()=0 немесе
= 0 (9)
Мұнда R = X, Y , Z - ағымдағы координаталардың радиус векторы.
векторлары бетінің жанама жазықтығына тиіс. Жанасу нүктесінде жанама жазықтыққа перпендикуляр түзуді беттің нормалі (тіктеуіші) дейді.
( 10 )
векторы бет нормальінің бірлік векторы делінеді.
Жоғарыдағы беттің түрлі берілуіне сәйкес оның нормалінің теңдеулері:
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
23 - ші беті 48 беттің
Бетте қисықсызықты координаталары
(12)
Теңдеулерімен анықталатын нүктелердің геометриялық орнын қарастырайық. Мұнда - тәуелсіз айнымалы, ал үзіліссіз дифференциалдамалы функциялар. Беттің параметрлік кескінделуін пайдаланып кез келген мұндай нүкте радиус векторын
түрінде жазуымызға болады. Сонымен бір айнымалыға тәуелді функцияға айналады және өзінің өзгеру облысында мәндерді қабылдағанда өзінің ұшымен тұтасымен бетіне тиіс қандайда бір қисық сызады. Демек, теңдеулері бетінде орналасқан қисықты анықтайды. теңдеулерінде параметрі ретінде қисықсызықты координаталардың бірі мәселен болуы мүмкін. Сонда беттегі сызықта анықтайтын қос теңдеу жалғыз
теңдеуіне келтіріледі.
бетінде орналасқан тегіс сызығының доға ұзындығы
қатынасымен анықталады, мұндағы
бетіндегі доға ұзындығы дифференциалының квадраты, атап айтқанда
өрнегі беттің 1-ші негізгі квадраттық формуласы немесе 1-ші негізгі дифференциалдық инварианты делінеді.
және
болуынан (беттің ерекше емес нүктесінде) ) беттің 1- квадраттың формуласы оң анықталған.
(4) бетіндегі (du;dv) және (δu;δv) сызықтары арасындағы бұрыш сол сызықтардың қиылысу нүктесіндегі олардың
d=du+dv,δ=δu+δv
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
24 - ші беті 48 беттің
жанамалары арасындағы бұрыш ретінде есептелетіндіктен
cosφ=cos(d^,)= (16)
Бет қарапайым бөлігінің ауданы
δ═∫∫dudv (17)
екі еселі интегралымен есептеледі. Мұнда D облысы "u", "v", "u+du", "v+dv" сызықтарымен шектелген.
Беттің екінші квадраттық формасы
ІІ=Ldu2+2Mdudv+Ndv2 (18)
түрінде кескінделеді. Мұндағы L,M,N коэффициенттері
L=(,uu), M=(,), N=(,)
Скаляр көбейтінділері түрінде, немесе (10)-ды ескере
L=g-1(), M=g-1(), N=g-1() (19)
(мұндағы g=II=)
аралас көбейтінділері арқылы есептеледі.
Беттің М нүктесіндегі бойындағы нормалі арқылы өтетін кейбір жазықтықпен қимасын беттің нормаль қимасы деп атайды. М нүктесіндегі осы сызық қисықтығының абсолют шамасын нормаль қисықтық дейді, бұл сан М нүктесіндегі қима, векторы жағына ойыс болуында оң, және сәйкесінше, дөңес болуында теріс болады.
(du,du)бағыттындағы нормаль қиманың нормаль қисықтығы
kn= (20)
формуласымен есептеледі.
М нүктесіндегі нормаль қиманың Ки қисықтығы нөлге тең болса, оның жанамасының бағыты М нүктесіндегі асимптоталық бағыт делінеді.
kn нормаль қисықтығының формуласынан, беттегі асимптоталық сызықтардың дифференциалдық теңдеуі
Ldu2+2Mdudv+Gdv2=0
түрінде жазылатыны шығады.
Менье теоремасы. Егер беттің М нүктесіндегі асимптоталық бағытта болмайтын жанамасы арқылы (бірі нормаль, ал екіншісі көлбеу) беттің қос қимасын жүргізсе, нормаль қиманың қисықтық центрінің көлбеу жазықтығына түскен проекциясы - көлбеу қиманың қисықтық центрі болып табылады.
Менье теоремасынан тікелей R=Rncos формуласы туындайды. Мұндағы R - беттегі кез келген Г сызығының қисықтық радиусы, Rn-нормаль қима қисықтығы, - Г сызығының жанасушы жазықтығымен нормаль қима жазықтығы арасындағы бұрыш. Ал, олай болса, оларға кері шама болып келетін қисықтықтар үшін k
есептеу формуласы орынды. І және ІІ квадраттық формалардың және матрицаларын сәйкес Р және Q арқылы белгілейік. Беттің әрбір нүктесінде олар симметриялы, сандық матрицалар, онымен бірге Р ерекше емес,оң анықталған. Сызықтық алгебрадан Р матрицасы бірлік, ал Q - диагоналды матрица болатындай базис табылатыны белгілі. Бұл базис элементтері беттің М нүктесіндегі бас векторлар, ал олар анықтайтын бағыттар - бас
ПОӘК 042-02.01.20.12302-2013
01.09.2013 №1 басылым
25 - ші беті 48 беттің
бағыттар делінеді. Бас базистегі Q матрицасының k1 және k2 элементтерін М нүктесіндегі беттің бас қисықтықтары дейді. Бас қисықтықтар
теңдеуінен табылады. Осы теңдеуден (Виет теоремасы бойынша) бас қисықтардың қосындысы мен көбейтіндісін тапқан оп-оңай:
k1k2= ; k1+k2=
беттің берілген нүктесіндегі бас қисықтықтарының көбейтіндісін беттің толық немесе Гаусстық қисықтығы деп К арқылы белгілейді. Беттің бас қисықтары қосындысының жартысын беттің орташа қисықтығы деп Н әрпімен белгілейді.
Берілген М нүктесі арқылы өтетін кейбір нормаль қиманы қарастырайық.
- М нүктесінде нормаль қимаға бірлік жанама вектор болсын. - өзара ортогональ бірлік бас векторлар.φ арқылы 1 векторынан - ға дейінгі оң бағытта айналу бұрышын белгілейік (1 - ден 2 - ге айналу бағытын оң деп санаймыз). Алынған нормаль қиманың kn қисықтығы k1 және k2 бас қисықтықтары арқылы
kn= k1cos[2]φ + k2sin[2]φ
түрінде өрнектеледі. Бұл формуланы Эйлер формуласы дейді. Егер k1k2 болса, онда Эйлер формуласынан бас қисықтықтардың бірі нормаль қима қисықтығының мүмкін болатын ең кіші мәні, ал екіншісі ең үлкен мәні болып табылатыны шығады.
k1= k2 болуында kn= const. Басқа сөзбен, берілген нүкте арқылы өтетін кез келген бағыттағы нормаль қиманың қисықтығының мәні өзгермейді. Мұндай нүкте дөңгеленген нүкте делінеді.
Беттің М нүктесі маңайында орналасуынан мағлұмат ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz