Теңдеудің Галуа группасын есептеу

Кіріспе

1. Өрістердің нормальды өсімшелері және Галуа группасы
2. Симметриялы группалар
3. n . дәрежелі алмастырулар группасын n . айнымалыдан туратын көпмүшеліктер арқылы анықтау. Алмастырулардың түйіндес группалары
4. Кез келген көпмүшеліктің Галуа группасын есептеу. Галуа группасы таңбасы өзгермелі группаның ішкі группасы болатын теңдеу
5. Үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулер және дөңгелектегі көпмүшеліктер

Қорытынды

Әдебиеттер тізімі

өрісіндегі еселі түбірлері жоқ төртінші дәрежелі кез келген көпмүше.
(1)
Біз келесі төртінші дәрежелі жіктелмейтін көпмүшенің Галуа группасын есептеу қағидасын қарастырамыз.
Егер көпмүшесінің дискриминанты квадрат болмасса және (1) көпмүшесінің Р өрісінде түбірі болмасса, онда көпмүшсінің Галуа группасы группасы болады.
Егер көпмүшесінің дискриминанты квадрат болса, бірақ (1) көпмүшесінің Р өрісінде түбірі болмасса, онда көпмүшесінің Галуа группасы группасы болады.
Егер көпмүшесінің дискриминанты квадрат болмасса, бірақ (1) көпмүшесінің Р өрісінде ең болмағанда бір түбірі табылса, онда көпмүшесінің Галуа группасы группасына түйіндес.
Ақырында, егер көпмүшесінің дискримнанты квадрат болса және (1) көпмүшесінің барлық түбірлері Р өрісіне тиісті болса, онда көпмүшесінің Галуа группасы группасы болады.
Тақырыптың мақсатты: Галуа группасы және теңдеудің Галуа группасын есептеудің мәнін ашу.
Тақырыптың міндеті:
– Симметриялы групалардың мәнін ашу;
– дәрежелі алмастырулар группасын айнымалыдан туратын
көпмүшеліктер арқылы анықтау. Алмастырулардың түйіндес группалары
– Кез келген көпмүшеліктің Галуа групасын есептеу.
– Галуа группасы таңбасы өзгермелі группаның ішкі группасы болатын
теңдеу.
– Үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулер және дөңгелектегі
көпмүшеліктер.
Зерттелу деңгейі. Теңдеулердің Галуа группасын есептеу тақырыбына арналған зерттеу жұмысын бірінші болып жазған Эварист Галуа. Галуаның негізгі зерттеулері алгебраға арналады. 3 – ші, 4 – ші дәрежелі теңдеулерді шешу әдістері ғасырда белгілі болған. ғасырда Абель, дәрежесі теңдеулердің түбірлерін өрнектейтін жалпы формула табуға болмайтындығын дәлелдеді. Галуа берілген теңдеуді қанағаттандыратын шарттарды анықтады.
Группа теориясындағы әдіс және идеялар жаратылыстану, кванттық механика, кристаллографияда қолданыс тапқан.
Постников Г.Г. « Теория Галуа», неміс ғалымы ван дер Варден Б.Л. «Алгебра» атты кітаптар осы тақырыпқа арналған.
Зерттеу жұмысының көлемі. Кіріспе, 5 – тақырыптан, қорытынды, әдебиеттер тізімі, жалпы беттен турады

1. Постников Г.Г «Теория Галуа» Москва
2. Б.Л. ван дер Варден «Алгебра» Москва 1979г
3. В.А.Любецкий «Основные понятия школьной математики» Москва 1987г
4. А.Г.Курош «Курс высшей алгебры» Москва 1975г

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 31 бет
Таңдаулыға:

Абай атындағы Қазақ Ұлттық Педагогикалық Университеті

физика – математика факультеті

Алгебра, геометрия және қолданбалы логика кафедрасы

Түлектік жұмыс

Теңдеудің Галуа группасын есептеу

Орындаған
Ражапова Г.С
4 курс студенті

Ғылыми жетекші
Кенжебаев С
ф.м.ғ.к, доцент

Қорғауға жіберілді

кафедра меңгерушісі:
ф.м.ғ.к, профессор
Байсалов Е.Р
_____________ 2008ж

Алматы 2008ж
Теңдеудің Галуа группасын есептеу

Мазмұны:

Кіріспе
3

1. Өрістердің нормальды өсімшелері және Галуа группасы
4

2. Симметриялы группалар
17

3. n – дәрежелі алмастырулар группасын n – айнымалыдан туратын
21 көпмүшеліктер арқылы анықтау. Алмастырулардың түйіндес группалары

4. Кез келген көпмүшеліктің Галуа группасын есептеу. Галуа группасы
таңбасы өзгермелі группаның ішкі группасы болатын теңдеу
24

5. Үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулер және дөңгелектегі
көпмүшеліктер
28

Қорытынды
36

Әдебиеттер тізімі
37

Кіріспе

өрісіндегі еселі түбірлері жоқ төртінші дәрежелі кез келген көпмүше.
(1)
Біз келесі төртінші дәрежелі жіктелмейтін көпмүшенің Галуа группасын
есептеу қағидасын қарастырамыз.
Егер көпмүшесінің дискриминанты квадрат болмасса және (1)
көпмүшесінің Р өрісінде түбірі болмасса, онда көпмүшсінің Галуа
группасы группасы болады.
Егер көпмүшесінің дискриминанты квадрат болса, бірақ (1)
көпмүшесінің Р өрісінде түбірі болмасса, онда көпмүшесінің Галуа
группасы группасы болады.
Егер көпмүшесінің дискриминанты квадрат болмасса, бірақ (1)
көпмүшесінің Р өрісінде ең болмағанда бір түбірі табылса, онда
көпмүшесінің Галуа группасы группасына түйіндес.
Ақырында, егер көпмүшесінің дискримнанты квадрат болса және (1)
көпмүшесінің барлық түбірлері Р өрісіне тиісті болса, онда
көпмүшесінің Галуа группасы группасы болады.
Тақырыптың мақсатты: Галуа группасы және теңдеудің Галуа группасын
есептеудің мәнін ашу.
Тақырыптың міндеті:
– Симметриялы групалардың мәнін ашу;
– дәрежелі алмастырулар группасын айнымалыдан туратын
көпмүшеліктер арқылы анықтау. Алмастырулардың түйіндес группалары
– Кез келген көпмүшеліктің Галуа групасын есептеу.
– Галуа группасы таңбасы өзгермелі группаның ішкі группасы болатын
теңдеу.
– Үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулер және дөңгелектегі
көпмүшеліктер.
Зерттелу деңгейі. Теңдеулердің Галуа группасын есептеу тақырыбына арналған
зерттеу жұмысын бірінші болып жазған Эварист Галуа. Галуаның негізгі
зерттеулері алгебраға арналады. 3 – ші, 4 – ші дәрежелі теңдеулерді шешу
әдістері ғасырда белгілі болған. ғасырда Абель, дәрежесі
теңдеулердің түбірлерін өрнектейтін жалпы формула табуға
болмайтындығын дәлелдеді. Галуа берілген теңдеуді қанағаттандыратын
шарттарды анықтады.
Группа теориясындағы әдіс және идеялар жаратылыстану, кванттық механика,
кристаллографияда қолданыс тапқан.
Постников Г.Г. Теория Галуа, неміс ғалымы ван дер Варден Б.Л.
Алгебра атты кітаптар осы тақырыпқа арналған.
Зерттеу жұмысының көлемі. Кіріспе, 5 – тақырыптан, қорытынды, әдебиеттер
тізімі, жалпы беттен турады.
Өрістердің автоморфизмдері

Егер өзара бірмәнді бейнелеуі К өрісіне қосындыны қосындыға,
көбейтіндіні көбейтіндіге бейнелесе, яғни егер К өрісіндегі кез келген
элементтері үшін
(1)
(S автоморфизмі элементін элементіне көшіреді).
Онда кейбір К өрісінде S бейнелеуі автоморфизм деп аталады. Автоморфизм
өзара бірмәнді сәйкестік болу керек, яғни (1) шарттан тыс, ол сондай ақ
келесі шарттарды міндетті түрде қанағаттандыру тиіс.
а) Кез келген элементтері үшін элементі бірмәнді анықталған
және - ға тиісті;
б) Егер , онда ;
в) элементтері үшін элементі табылады.
в) шартынан б) шартымен қарастырылған элементінің бірмәнді екені
анықтамадан шығады. Сондықтан бұл элементті арқылы белгілеп:
,
біз кейбір түрлендіруін аламыз. Кез келген эементі үшін
(2)
бұл түрлендіру бір мәнді сипатталады. түрлендіруі сондай ақ
автоморфизм болады. Шынында да, кез келген және элементтері
үшін

сондықтан, анықтама бойынша төмендегідей болады.

S және T автоморфизмінің ST көбейіндісі түрлендіру деп аталады, нәтижеде
алдымен S түрленіруі, кейін Т түрлендіруі алынады; кез келген
элементі үшін элементі

формуласымен анықталады.
Мәселе. Автоморфизмдердің көбейтіндісі ассоциативті екенін дәлелдеу
керек.
Автоморфизмдердің көбейтіндісі, анық, бірлікке ие, К өрісінің барлық
элементін орнында қалдыратын Е тепе тең автоморфизм атқарады:

Анықтама бойынша (2 формулаға қарау керек)
. (3)
Енді ге кері автоморфизм автоморфизмін қарастырамыз.
Анықтама бойынша
. (4)
Бұл теңдіктің оң жағын S- ке көбейтіп және (3) формуланы пайдаланып, біз

аламыз.
Бұл түрлендіруді (4) формулаға қою арқылы,

аламыз.
Сонымен,
.
Біркелкі автоморфизмдердің көбейтіндісі арқылы автоморфизмдердің жиыны
группа болатындығын көреміз. Бұл группа К өрісінде автоморфизм группасы деп
аталады.
Мәселе. Кез келген автоморфизм рационал сандарды орнында қалдыратынын
дәлелдеу керек. (дербес жағдайда, 0 және 1 сандарын).
Айталық, енді Р – К өрісінде кейбір ішкі өріс болсын. К өрісінде S
автоморфизмі Р өрісіндегі автоморфизм деп аталады, егер ол Р өрісінің
барлық элементтерін өз орнында қалдырса, яғни егер кез келген
элементі үшін

Р өрісідегі барлық автоморфизмдер жиынтығы К өрісінде автоморфизмдер
группасының ішкі группасы болады. Егер К өрісі Р өрісінің нормальды
өсімшесі болса, онда бұл ішкі өріс Р өрісіндегі К өрісінің Галуа группасы
деп аталады және символы арқылы белгіленеді.
Айталық

- К – да ең болмағанда бір түбірі бар, Р өрісіндегі кез келген
көпмүше
(5)
Галуа группасындағы S автоморфизмін (5) тепе теңдікке қолданып, біз
келесі

теңдігін аламыз, яғни
.
Галуа группасының барлық автомофизмері Р өрісіндегі кез келген
көпмүшенің әрбір түбірін қайта осы көпмүшенің түбіріне көшіреді.
Бұдан, кез келген саны және кез келген автоморфизмі үшін
саны К өрісіндегі саны мен түйіндес блатыны шығады.
Ескерту. Егер сызықтық түрлендіруді белгілі түсінік ретінде қабылдасақ,
онда нөлден өзгеше вектор нөлдік векторға ауыпайтын ақырлы кеңістіктің
сызықтық түрлендіруі сонда және сонда ғана өзара бірмәнді, сондай ақ
кездейсоқ ақырлы өсімше үшін анықтамадағы автоморфизмнің түсінігін шарт
бойынша Р өрісіндегі К өрісінің өзара бірмәнді деп көрсетуге болады, яғни
(1) қасиетке ие болатын және Р өрісінің барлық элементтерін орнында
қалдыратын ақырлы К өсімшесінің кез келген S бейнелеуі өзара бірмәнді, яғни
Р өрісіндегі К өрісінің автоморфизмі болып табылады.
Шынында да, егер және , онда

К өрісінің кез келген және элементтері үшін

Бұл, Р өрісіндегі қарастырылатын S бейнелеуі К өрісінің сызықтық
түрлендіруі болып есептелінетінін білдіреді. Сондықтан, сызықтық түрлендіру
теориясынан жоғарыдағы деректе берілгенді дәлелдеу үшін, формула бойынша
бекітудің жеткіліктігін көрсетеді, сондай ақ егер онда Бірақ
егер онда К өрісінде мынандай элементі табылады, сондай – ақ
және олай болса, Сонымен, шындық.

Галуа группасы туралы түсінік. Галуа теоремасы.
көпмүшелігі берілсін және оның барлық коэфициенттері әлдебір
Р өрісіне жатады. Сонда орындалады.
Мысалы, Р - теңдеуінің коэффициенттерінің өрісі, яғни

теңдеуінің барлық (нақты және комплекс) түбірлерін арқылы
белгілейміз.
өрісінде f көпмүшелігі бірінші дәрежелі көпмүшеіктердің
көбейтіндісінен, яғни

сызықтық көпмүшеліктерінің көбейтіндісінен жіктелетіндігі белгілі. Және
керісінше, егер әлдебір К өрісі, мұндағы f көпмшелігі сызықты
көпмүшеліктердің көбейтіндісімен жіктелетін болса, онда К өрісі
теңдеуінің барлық түбірлерін қамтитындығы айқын.
Анықтама. a) түріндегі өрісі, мұндағы теңдеуінің барлық
түбірлері, көпмүшеліктерінің сақинасындағы көпмүшелігінің
жіктелу өрісі деп аталады. Мұндай f көпмүшелігінің жіктелу өрісін
арқылы белгілейміз.
б) орындалатындай Р және К екі кез келген өрістер болсын. К өрісінің
барлық автоморфизмдерінің жиыны, яғни Р өрісіндегі

кез келген нүктесі қозғалыссыз болатындай түріндегі барлық
изоморфизмдер жиыны Р өрісіндегі К өрісінің Галуа группасы деп аталады.
Мұндай автоморфизмдер жиынында группаның операция ретінде екі атоморфизмнің
композициялық операциясы қарастырылады.
шартын эквивалентті түрде жазуға болады. Р өрісіндегі К
өрісінің Галуа группасы арқылы белгіленеді. Мұнда f функциясына
симметриялы элемент функциясы болып табылады және нейтрал элемент
түрдей тепе теңдік функциясы болып табылады.
в) теңдеуінің коэффициенттерінің өрісіндегі f көпмүшелігінің
жіктелу өрісінің Галуа группасы, яғни түріндегі Галуа группасы
теңдеуінің Галуа группасы деп аталады.
тобы сақинасындағы f көпмүшелігінің Галуа тобы және
сәйкес теңдеуінің Галуа группасы деп аталады.
Галуа группасының маңыздылығын келесі фундаментальды теоремадан және
содан кейінгі ескертуден көруге болады:
Э. Галуа теоремасы. Егер теңдеуінің Галуа группасы шешілетін
болса, онда келтірілмейтін теңдеуі, мұндағы , радикалда
шешіледі.
Ескерту. 1. Бұл теорема келесі тұжырымды береді: Галуа группасы көптеген
нақты теңдеулер үшін салыстырмалы түрде оңай әрі айқын есептеледі және де
ол үшін салыстырмалы түрде оның шешілетіндігі оңай анықталады. Мұндай
теңдеулер үшін Галуа теоремасы радикалдағы теңдеудің шешілуі критерийі
болып табылады.
2. Галуа теоремасы тек қана келтірілмейтін теңдеулер үшін ғана емес, кез
келген теңдеулер үшінде орынды болады. Біз бұл күрделі жағдайды
қарастырмаймыз, өйткені кез келген теңдеуді келтірілмейтін теңдеуге
айналдыруға болады.
Теорема. Егер келтірілмейтін теңдеуі, мұндағы , радикалда
шешілетін болса, онда оның Галуа группасы да шешілетін болады.
Бұл теореманың өрнектелу жақсы түсінік беру үшін, алдымен оның қолданылуын,
тек содан кейін оның дәлелдеуін қарастырамыз. Бұл теореманы қолдану үшін,
біріншіден берілген теңдеудің Галуа группасын есептеуді үйрену қажет.
Екінші дәрежелі көпмүшелігі үшін де іс жүзінде Галуа группасының
қалай табылатыны анық емес. Төменде көптеген нақты көпмүшеліктер үшін Галуа
группасын есептеу де мүмкіндік беретін бірнеше ұсыныстар және теоремалар
келтірілген. Сонымен бірге, дәлелдеулерде келесі түрдегі көмекші ұсыныстар
қолданылады.
а) түрдегі кез келген өріс нүктеснде анықталан өрісінен f
барлық рацоналды функциясыныңнүктесінің мәндерінің дәлдігінен тұрады.
б) Егер - К өрісіндегі n дәрежелі келтірілмейтін көпмүшелігінің
түбірі болса, онда өрісі сақинасынан ден кіші немесе тең
дәрежелі барлық көпмүшеліктерінің нүктесіндегі мәндерінің дәлдігінен
тұрады. К өрісіндегі тасымалдауышымен берілген векторлық кеңістігінің
өлшемі n санына тең.
в) сандары Р өрісіндегі қандай да бір көпмүшеліктерінің түбірлері
болсын және болсын. Онда К өрісіндегі кез келген элемент
сақинасындағы әлдебір көпмүшеліктің нүктесіндегі мәні болып табылады.
( сандары Р өрісінде алгебралық деп аталады).
г) Кез келген келтірілмейтін теңдеудің еселік түбірі болмайды.
а) Егер онда және белгілейміз де, ді
аламыз. Х жиыны С – да жатады және сандармен қарапайым операцияға қатысты
бұл жиын К өрісін және сандарын қамтитын өріс болып табылатындығы
айқын. Сондықтан өрісі Х жиынына жатады және де
б) және орындалатындығы айқын. Егер Х өрісі болса, онда
және де Х жиынының өріс болып табылатындығын тексереміз. Ол үшін егер
болғанда орындалатындығын орнату жеткілікті.
Егер f және g көпмүшеліктері 1 дәрежелі ортақ бөлгішке ие болса,
онда Х келтірілмеген g көпмүшелігінің тривиальды емес бөлгіші бола отырып,
К g –ге сәйкес келетін болғандықтан f және g көпмүшеліктері К өрісінде
өзара қарапайым болып табылады. Онда және қарама - қайшылыққа
кездестік. g және f өзара қарапайым болғандықтан, онда алгебра курстан
белгілі теорема бойынша

К өрісіндегі және көпмүшеліктері бар болады. Онда және
және .
Сонымен, сақинасындағы кез келген f көпмүшелігін g
көпмүшесіне қалдықпен болуге болады.
, мұндағы дегі көпмүшеліктер және дәрежесінен.
Сонда орындалады.
Сондықтан дәрежелі .
Бұдан шығатыны, ғы кез келген К элементін түрінде көрсетеміз.
Сондықтан элементтерінің К өрісіне қолданылатын сызықтық комбинциялар
барлық жиынын құрайды. Бұл элементтердің сызықтық тәуелсіз екендігіне
көз жеткізейік. Егер олар сызықты тәуелді болса, онда орындалатындай
барлығы нөлге тең емес, К өрісінде скалярлы (сандары) бар болады.
саны К өрісіндегі осы көпмүшеліктің түбірі болып табылады.
Сондықтан және көпмүшеліктері өрісінде дәрежелі ең
үлкен ортақ бөлгішке ие болады. Евклид алгоритмінің тамаша қасиеті бойынша
бұл ең үлкен ортақ бөлгіш К өрісіндегі көпмшелік болып табылады. Сондықан
көпмүшелігі дәрежесі ден ге дейін болатын К өрісінде
бөлгішке ие болады. Бұл осы өрістегі берілген көпмүшеліктің
келтірілмейтіндігіне кері келеді.
Сонымен жиыны К скалярларының өрісіндегі векторлық
кеңістігінің базисі болып табылады. Демек, дағы - ның өлшемі
ге тең болады.
в) Дәлелдеуді n бойынша индукция арқылы жүргіземіз. Егер болса, онда
.
нен кіші барлық натурал сандар үшін тұжырымдама дәлелденді деп
ұйғарайық.
және болсын. мұндағы орындалатындай өрісінің
коэффициенттерімен берілген көпмүшелігі табылады.
Индукция ұйғарымы бойынша көпмүшелігінің барлық
коэффициенттері айнымалыларына тәуелді Р өрсіндегі қандай да бір
көпмүшеліктерінің нүктесіндегі мәндеріне тең болады. Анықтама
бойынша

деп аламыз. Онда дан көпмүшелік және болады.
2) Р өрісіндегі n дәрежелі теңдеуі ге тең, яғни және
еселіктегі түбіріне ие болады деп ұйғарамыз. Онда бұл түбір
теңдеуінің де түбрі болып табылады. Оылайша, өрісіндегі
және көпмүшеіктерінің ең үлкен ортақ бөлгіші дрежесіне
ие. Сонымен бірге және көпмүшеліктері Р өрісіндегі
көпмүшеліктері болып табылады. Евклид алгоритмінің салдары дің Р
өрісіндегі көпмүшелік болып табылатындығы жөніндегі тұжырымдама болып
табылады. Сондықтан Р өрісіндегі тің бөлгіші болып табыады.
көпмүшелігінің дәрежесі, бір жағынан, екінші жағынан
өйткені көмүшелігінің де бөлгіші болып есептеледі. Бұл Р өрісіндегі
көпмүшелігінің келтірілмегендігі жөніндегі шартқа қарама – қайшы
келеді.
Кез келген алгебралық теңдеуі анық Галуа группасы Р
өрісіндегі тобының ішкі тобына изоморфы болады.
көпмүшелігінің жктелу өрісін К арқылы белгілейміз, яғни
мұндағы бастапқы теңдеуінің барлық түбірлері. Әрине,
Аталған маңызды ұйғарымды дәлелдеу үшін түріндегі инъективті
гомоморфизмді анықтаймыз. Онда түріндегі изморфизм болып
табылды және группасының ішкі группасы болып табылады.
Алдымен көпмүшелігі Р да келтірілмеген, оның түбірлері
әртүрлі болатын жағдайды қарастырамыз. Бұл жағдайда, өзін немесе оның
нөмерін жазу керек екендігі басты рольде емес, өйткені
түбірлері және олардың нөмірлері бекітілген биективті сәйкестікте
болады.
Сонымен,
мұндағы деп аламыз.
түріндегі сандар теңдеуінің түбірлері болып табылады,
өйткені және яғни Мұндағы кез келген элементі үшін
орындалатын факт қолданылады.
Егер болса, онда орындалады. Өйткені инъективті
функция болған. Сондықтан таблицасының төменгі қатарында әртүрлі
сандары бар. Олардың барлығы теңдеуінің түбірлері болып
табылады, ол мұндай түбірлер нен көп емес. Сонымен, төменгі қатарда
осы теңдеудің барлық түбірлері жатады, яғни бұл таблица жоғарғы қатар
биекциясын анықтайды. Сондықтан ол тобының элементі болып табылады,
яғни функциясы инъективті. Егер және болса, онда К
өрісінен кез келген саны үшін келесі өрнек тбылады:
мұндағы
Онда
Қарама қайшылыққа келдік.
Тек гомоморфизм екендігін тексеру ғана қалды.
Шынына да, Егер бастапқы теңдеуі келтірімейтін деп ұйғарылса,
онда оның түбірлерінің арасында тең болатындары болуы мүмкін.
Олардың ішінде жұп бойынша әртүрлі түбірлер , мұндағы Онда
сандарының жиыны жұп бойынша әртүрлі түбірлерінің жиынымен
биективті, және де функиясы үшін жоғарыда айтылған талдаулар
айтылады. Нәтижесінде группасы группасында, мұндағы
қосылады. Бірақ кез келген группасы
түрінегі инъективті гомоморфизм көмегімен дегі ішкі топқа
изоморфты болады.
Сондықтан, еселік түбірлер жағдайында да группасы да тобының
ішкі группасына изоморфты болады.

Галуа группасы, оның реті
Айталық К өрісі Р өрісінің кез келген нормальды өсімшесі болсын. К
өсімшесі қарпайым алгебралық өсімше болып табылады, яғни К да мынадай
элементі табылады

элементінің минимальды көпмүшенің дәрежесі Р өрісіндегі К
өрісінің дәрежесіне тең. К өрісінің кез келген элементі
бірмәнді жазу түріне ие болады.

Галуа группасының кез келген автоморфизмі түбірін
қайтадан көпмүшесінің түбіріне ауыстырады. Басқа сөзбен айтқанда,
әрбір автоморфизмге көпмүшенің кейбір түбірі сәйкес келеді. Осы
сәйкестікті толық зерттейміз.
Айталық кез келген кез келген көпмүшенің түбірі болсын. К
өрісі нормальды және болғандықтан, онда . К өрісіндегі
қайта құруын, осы өрістің кез келген элементті орнына қою арқылы
анықтаймыз:

элементінің жазылуы түрде бірмәнді, онда формуланың
элементі бір ғана амалмен анықталады.
түрлендірудің анықтамасын келесі түрде формула арқылы анықтауға
болады: егер

нен кіші дәрежесі бар Р өрісіндегі көпмүше болса, онда

Енді Р өрісіндегі кез келген дәрежелі көпмүшесін қарастырайық және
айталық

болсын. көпмүшесін көпмүшесіне (қалдықпен) бөлеміз:
(3)
Бұл теңдіктен деп ұйғарып, болғандықтан, біз мына теңдікті
аламыз

көпмүшенің дәрежесі нен кіші болғандықтан, онда бұдан шығады:

Басқаша жағдайда, формуладан деп ұйғарып, келесіні аламыз
.
Демек,

Сонымен,

көпмүшесінің дәрежесіне байланыссыз.
Айталық

- К өрісінің кез келген элементі болсын. Сонда

және, олай болса,

Сонымен, түрлендіруі қосынды мен көбейтіндіні сақтайды, яғни
шартына ие болады. Бұл түрлендіру Р өрісінің барлық элементтерін орнына
қалдырады. Сондықтан түрлендіруі Р өрісіндегі К өрісінің автоморфизмі
болып табылады, яғни Галуа группасына жатады.
түрлендіруі автоморфизм болып табылады, яғни шарттан тыс
өзара бірмәнді қасиетін дәлелдеу мүмкіндігі шындық. Шынында да,
өрісін қарастырайық. болғандықтан, онда

Басқаша жағдайда, Р өрісіндегі өрісінің дәрежесі көпмүшесінің
дәрежесіне тең, яғни К өрісінің дәрежесіне тең. Демек,

Бұдан, жазуымен қатар К өрісінің кез келген элементі мағыналас
түрде жазылатыны шығады

мұндағы
Енді К өрісінің түрлендіруі өзгерту функциясын, осы өрісте
әрқандай элементке қою арқылы анықтаймыз

болғандықтан, онда түрлендіруі К өрісіндегі мәндес түрлендіруі болып
табылады.
S автоморфизмінен құрылған түбірі түбіріне ауысады:

яғни жоғары мағынада көрсетілген бұл автоморфизм түбіріне сәйкес
келеді. Сонымен, кез келген көпмүшесінің түбірі үшін Галуа
группасында осы түбірге сәйкес келетін автоморфизмнің табылатыны
дәлелденді. Түбірмен сәйкес келетін автоморфизм бірмәнді анықталады, яғни
егер

онда

Шынында да, егер болса, онда болады, яғни автоморфизмі
түбірін орнында қалдырады және олай болса, төмендегі кез келген түрді
орнында қалдырады
мұндағы
яғни К өрісінің кез келген элементін орнында қалдырады. Сөйтіп, және

Сонымен, Галуа группасының элементтері (яғни Р өрісіндегі К
өрісінің автоморфизмдері) көпмүшенің түбірлерімен сәйкес келетін
өзара бірмәнді және олай болса, олардың сандары, яғни группасының
реті көпмүшенің түбірінің санына тең, яғни n- ге тең (бұл көпмүше
келтірілмеген болғандықтан, барлық көпмүшенің түбірлері әр түрлі).
Сонымен біз,
Галуа группасының реті Р өрісіндегі К өрісінің дәрежесіне тең
екенін дәлелдедік.
Галуа сәйкестігі
Айталық, кез келген негізгі Р өрісінің нормальды өсімшесі және
оның Р өрісіндегі Галуа группасы болсын.
К өрісіндегі Р өрісінің ішкі өсімшесін қарастырамыз:
.
Мұндай өсімшелерді біз аралық өрістер деп атаймыз.
саны түбірі болып табылатын, Р өрісіндегі көпмүшесін және
әрқандай аралық өрісінің көпмүшесін қарастыруға болады. Оның
дегі жіктелу өрісі өрісі болып табылады. Демек, өрісіндегі
өрісі нормальды. Басқаша жағдайда, болса, онда яғни
ал және болса, онда болады. Демек,
К өрісі әрқандай аралық өрісінде нормальды.
Сондықтан өрісіндегі К өрісінің Галуа группасы туралы
сөйлеуге болады. группасының реті өрісіндегі К өрісінің
дәрежесіне тең.
Анықтама бойынша, группаның элементтері, әрқандай өрісінің
элементтерін орнында қалдыратын К өрісінің автоморфизмдері болып табылады.
болса, онда бұл автоморфизмдер кез келген Р өрісінің элементтерін
орнында қалдырады, яғни Р өрісіндегі К өрісінің Галуа группасының
элементтері болып табылады. Сөйтіп,

яғни, өрісіндегі К өрісінің Галуа группасы Р өрісіндегі К өрісінің
Галуа группасының ішкі группасы болады. Оның реті өрісіндегі К
өрісінің дәрежесіне тең.
Айталық, Галуа группасының кез келген ішкі группасы болсын. Н ішкі
группадан әрқандай автоморфизмдері орнында қалдыратын, К өрісінің барлық
элементтерін жиынтығы К өрісінің ішкі өрісі болып табылады. Бұл ішкі өріс Р
өрісін құрайды, яғни аралық өріс болып табылады. Біз оны арқылы
белгілейміз.
Айталық

- Н ішкі группасының барлық элементтері болсын(сөйтіп, ішкі
группасының реті). Төмендегі көпмүше қарастырайық

сандары оның түбірлері болып табылады.
Әрқандай автоморфизмінде бұл сандар

сандарына өтеді. Бірақ

элементтері, Н ішкі группасының барлық элементтерін таысады. Демек, ретке
дейін шығатын дәлдікпен сандары сандарымен тура келеді. Басқа
сөзбен айтқанда, әрқандай автомофизмінде көпмүшенің түбірі тек
орын орнына қойылады. Сондықтан, осы түбірлерден кез келген симметриялы
көпмүше, дербес жағдайда көпмүшенің кез келген коэффициенті, Т
автоморфизмінде орнында қалады және, олай болса (Т Н ішкі группадағы кез
келген автоморфизмі), өрісіне жатады. Сөйтіп, көпмүшесі
өрісіндегі көпмүше болып табылады. Демек, өрісіндегі
элементінің минималды көпмүшесі көпмүшесінің бөліндісі болып табылады
және сондықтан оның дәрежесі (яғни өрісіндегі санының дәрежесі)
ге тең немесе аз. Бірақ, санынан шыққан К өрісі кез келген
аралық өрісінің қарапайым алгебралық өсішесі болып табылатынын жоғарыда
көрдік. Сондықтан өрісіндегі К өрісінің дәрежесі санының
минималды көпмүшесінің дәрежесіне (-қа) тең, яғни, дәлелдеме бойынша,
ге тең немесе аз.
Енді өрісіндегі К өрісінің Галуа группасын қарастырайық. Бұл
группаның реті өрісіндегі К өрісінің дәрежесіне тең және сондықтан
ге тең немесе аз. Басқаша жағдайда, анықтама бойынша, группасы
өрісінің элементтерін орнында қалдыратын К өрісінің барлық
автоморфизмдерінен тұрады және сонықтан Н ішкі группасын құрайды. Демек,
оның реті нен аз болуы мүмкін емес.
Бұдан, группасының реті ге тең және сонда ол Н ішкі
группамен тура келетіні шығады. Сөйтіп, егер
онда
Айталық кез келген аралық өріс болсын және болсын.
өрісін қарастырайық.

Басқаша жағдайда, жаңа ғана дәлелдеме бойынша: өрісіндегі К өрісінің
дәрежесіне группасының ретіне тең, яғни өрісіндегі К
өрісінің дәрежесіне тең. Демек, яғни Сонымен,
егер болса, онда болатыны дәлелденді.
Сөйтіп, біз әрқандай аралықтағы өрісіне группасының кез
келген Н ішкі группасы үшін аралық өрісі табылатынын және бұл ішкі
группаның сәйкес келетінін және әртүрлі аралықтағы өріске әртүрлі ішкі
группаның сәйкес келетінін көріп тұрамыз, егер болса, онда келесіні
аламыз

Басқаша сөзбен айтқанда, біз аралық өрістің барлығын және Галуа
группасының ішкі группасының барлығын бірмәнді сәйкестік арасында құрдық.
Бұл сәйкестік Галуа сәйкестігі деп аталады.
Галуа сәйкестігінде нормальды К өрісінің аралықтағы ішкі өрісіне
өрісіндегі К өрісінің Галуа групасы сәйкес келетінін, ал Н ішкі
группада группасы - ішкі өрісіне, К өрісінің барлық
элементтерінен тұратынын, Н – тан әрбір автоморфизмдердің орнында қалғанын
қайталайық. группасының реті өрісіндегі К ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.