Стереометрия
1.КЕҢІСТІКТЕГІ ТҮЗУЛЕР МЕН ЖАЗЫҚТЫҚТАР
1.1.Параллель түзу мен жазықтық
1.2 Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы
1.3 Перпендикуляр жазықтықтар
1.4 Перпендикуляр және көлбеу
3. КӨПЖАҚТАР МЕН АЙНАЛУ ФИГУРАЛАРЫНЫҢ КОМБИНАЦИЯЛАРЫ
3.1 Көпжақтар
1.1.Параллель түзу мен жазықтық
1.2 Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы
1.3 Перпендикуляр жазықтықтар
1.4 Перпендикуляр және көлбеу
3. КӨПЖАҚТАР МЕН АЙНАЛУ ФИГУРАЛАРЫНЫҢ КОМБИНАЦИЯЛАРЫ
3.1 Көпжақтар
Параллельдік белгісі:
▪Егер b түзі a жазықтығында жатқан қандай да бір a түзуіне параллель болса,онда b түзуі a жазықтығына да параллель болады: a ‖ b, a∈α⇒b ‖ a.
Егер жазықтықпен қиылысатын түзу жазықтықта жатқан кез келген түзуге қиылысу нүктесінде перпендикуляр болса, онда берілген түзу жазықтыққа перпендикуляр болады: ( b,c ∈α) a ┴ b, a ┴ c ⇒ a ┴ α.
Кеністікте жазык копбұрыштармен шектелген денеге көпжақдейміз. Әр көпбұрыш онын жағы,жақтарынын кабырғалары көпжактың қырлары,ал жактардыңтөбелері онын төбелері деп аталады. Жақтар көпжақтың бетін кұрайды. Бір жазықтыкта жатпайтын скі төбені косатын кесіндіні көпжактың диагоналі деп атайды.
Айталык т- көпжакгын жақтар саны, п- төбелер саны, ал р- оның кырлар саны болсын.
Олай болса, кез келген көпжақ үшін келесі катынас орындалады: п + т -р = 2 (Эйлер теоремасы).
▪Егер b түзі a жазықтығында жатқан қандай да бір a түзуіне параллель болса,онда b түзуі a жазықтығына да параллель болады: a ‖ b, a∈α⇒b ‖ a.
Егер жазықтықпен қиылысатын түзу жазықтықта жатқан кез келген түзуге қиылысу нүктесінде перпендикуляр болса, онда берілген түзу жазықтыққа перпендикуляр болады: ( b,c ∈α) a ┴ b, a ┴ c ⇒ a ┴ α.
Кеністікте жазык копбұрыштармен шектелген денеге көпжақдейміз. Әр көпбұрыш онын жағы,жақтарынын кабырғалары көпжактың қырлары,ал жактардыңтөбелері онын төбелері деп аталады. Жақтар көпжақтың бетін кұрайды. Бір жазықтыкта жатпайтын скі төбені косатын кесіндіні көпжактың диагоналі деп атайды.
Айталык т- көпжакгын жақтар саны, п- төбелер саны, ал р- оның кырлар саны болсын.
Олай болса, кез келген көпжақ үшін келесі катынас орындалады: п + т -р = 2 (Эйлер теоремасы).
13-ТАРАУ.СТЕРЕОМЕТРИЯ
§ 1.КЕҢІСТІКТЕГІ ТҮЗУЛЕР МЕН ЖАЗЫҚТЫҚТАР
1.1.Параллель түзу мен жазықтық
Параллельдік белгісі:
▪Егер b түзі a жазықтығында жатқан қандай да бір a түзуіне параллель болса,онда b түзуі a жазықтығына да параллель болады: a ‖ b, a∈α⇒b ‖ a.
b
a
Рисунок1a
Aaaa a
▪Егер бір жазықтықта жататын қиылысқан екі түзудің әрқайсысы екінші жазықтыққа параллель болса, онда жзықтықтар параллель болады.
a1
a2
1.2 Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы
Егер жазықтықпен қиылысатын түзу жазықтықта жатқан кез келген түзуге қиылысу нүктесінде перпендикуляр болса, онда берілген түзу жазықтыққа перпендикуляр болады: ( b,c ∈α) a ┴ b, a ┴ c ⇒ a ┴ α.
1.3 Перпендикуляр жазықтықтар
Егер бір жазықтықта екінші жазықтыққа перпендикуляр түзу жатса, онда екі жазықтық перпендикуляр болады:
(a ∈α) a ┴ β⇒α ┴ β.
1.4 Перпендикуляр және көлбеу
▪ Перпендикуляр кесінді, жазықтыққа бір нүктеден жүргізілген кез келген көлбеуден қысқа.
▪ Жазықтыққа бір нүктеден жүргізілген тең көлбеулердің проекциялары да тең.
3.1 Көпжақтар
Кеністікте жазык копбұрыштармен шектелген денеге көпжақдейміз. Әр көпбұрыш онын жағы,жақтарынын кабырғалары көпжактың қырлары,ал жактардыңтөбелері онын төбелері деп аталады. Жақтар көпжақтың бетін кұрайды. Бір жазықтыкта жатпайтын скі төбені косатын кесіндіні көпжактың диагоналі деп атайды.
Айталык т- көпжакгын жақтар саны, п- төбелер саны, ал р- оның кырлар саны болсын.
Олай болса, кез келген көпжақ үшін келесі катынас орындалады: п + т -р = 2 (Эйлер теоремасы).
Егер барлык жақтары дұрыс көпбұрыш, ал барлык төбелеріндегі көпжакты бұрыштар өзара тең болса, ондай көпжак дұрыс көпжақдеп аталады.
Барлык жактары тенкабырғалы үшбұрыш болатын дұрыс төртжақка дұрыс тетраэдр дейміз.
Дұрыс алтыжақ-куб.
3.2. Призма. Параллелепипед. Куб
Екі жағы параллель жазықтықтарда орналасқан өзара тең көпбұрыштар, ал қалған жақтары параллелограмм болып келген көпжақты призмадеп атайды.Параллель жазықтықтарда жатқан тең көпбұрыштар оның табандары деп, ал қалған параллелограмдар оның бүйір жақтарыдеп аталады.
Егер призманың бүйір қырлары табанарына перпендикуляр болса, призманы тік, қалған жағдайда көлбеудеп атаймыз.
көлбеу призма тік призма
Табандары дұрыс көпбұрыш болып келетін ітік призма дұрыс призма деп аталады.
Призманың бүйір бетінің ауданыдеп оның бүйір жақтарының аудандарының қосындысын айтады.
Призманың бетінің ауданы мен көлемі
Көлбеу призма
Тік призма
Бүйір бетінің ауданы
Sб.б= P┴٠L ,
Мұндағы P┴ -перпендикуляр қиманың периметрі, L-бүйір қыры
Sб.б=Pтаб٠H,
Мұндағы Pтаб - табанының периметрі, H - биіктік.
Толық бетінің ауданы
Sт.б=Sб.б+ 2 Sтаб
Sт.б=Sб.б+ 2 Sтаб
Көлемі
V = S┴ ٠ L,
Мұндағы S┴- перпендикуляр қиманың ауданы, L - бүйір қыры
V = Sтаб ٠ Н ,
МұндағыSтаб - табан ауданы, H - биіктік.
1-мысал:Үшбұрышты көлбеу призманың бүйір қырлары бір-бірінен 13, 14 және 15 см қашықтықта орналасқан, бүйір қырының ұзындығы 5 см. Призманың бүйір бетінің ауданы мен көлемін табыңыз:
Шешуі: Бүйір бетінің ауданын келесі формуламен табамыз: Sб.б = P┴ ٠ L
P┴ = 13 + 14 +15 = 42 см, L = 5 см.
Олай болса, Sб.б = 210см2. Призманың көлемін табу үшін V = S┴ ٠Lформуласын қолданайық. Герон формуласы бойынша
S┴ = √21٠8٠7٠6 = 84см2
Сонымен, V = 84 ٠ 5 = 420см2
Жауабы: 420см2
2-мысал:Тік призманың табаны сырттай сызылған шеңберінің радиусы 2√3болатын теңқабырғалы үшбұрыш. Егер призма биіктігі 4-ке тең болса, оның бүйір бетінің ауданы мен көлемін табыңыз.
Шешуі: Табанының қабырасы:a = R3 (теңқабырғалы үшбұрыш қасиеті), яғни a = 2√3٠√3 = 6 . Үшбұрыш периметрі P = 18, онда Sб.б = 72.
Sтаб=α²34=3634=9√3
Көлемі келесі формула арқылы анықталады: V = Sтаб ٠H V = Sтаб ٠H =93٠4=36√3
Жауабы:Sб.б = 72 және V = 36√3.
Параллелепипед
Табаны параллелограмм болып келетін призма параллелепипед деп аталады.
Параллелепипедтің бір нүктеде қиылысатын жәнеқиылысу нүктесінде қақ бқлінетін 4 диагоналі бар.
Параллелепипед призманың дербес жағдайы болғандықтан, призманың бүйір бетінің ауданы мен көлемін табу формулалары ол үшін де дұрыс.
d1²+d2²+d3²=4α²+4b²+4c²
Тік параллелепипед
Бүйір қырлары табандарына перпендикуляр.
Бүйір жақтары - тіктөртбұрыштар.
Табандары - параллелограмм.
Тіктөртбұрышты параллелепипед
Табаны тіктөртбұрыш болып табылатын тік параллелепипед тіктөртбұрышты деп аталады.
Барлық диагоналдары өзара тең
d2 = a2 + b2 + c2
Sт.б = 2(ab + ac +bc)
V = abc
3-мысал: Көлбеу параллелепипедтің табанында бұрышы 300 - қа, қабырғасы 5-ке тең ромб жатыр.Бүйір қыр 43 және табан жазықтығына 600көлбеген. Параллелепипед көлемін табыңыз.
Шешуі:Параллелепипед көлемі:
V = Sтаб ٠H
Сүйір бұрышы 300және қабырғасы 5-ке тең ромб болатын табанының ауданы
Sтаб = 5 ٠ 5 ٠ sin300 = 252
∆AFA᾿үшбұрышынан биіктігін табамыз: sin 600 = A'FAA'⇒32=A'F43⇒A'F=2
Олай болса, V = Sтаб ٠A'F = 252⋅2=25
Жауабы: 25.
4-мысал: Тік параллелепипедтің табан қабырғалары 8 және 4, 600 бұрыш жасайды. Параллелепипедтің кіші диагоналі 83-кетең.Осы диагональдың табанымен жасайтын бұрышты табыңыз.
Шешуі:1) Табанының кіші диагоналін тауып аламыз:BD:
∆ABD: BD2 = 82+
42 - 2 ٠ 4 ٠8 cos 600 ⇒
BD=64+16-32=48=43
(косинустар теоремасы)
2)∆ BDD':
cos∠DBD'=BDBD'⇒cos ∠DBD'=4383=12
3)∠DBD' = 600.
Жауабы:600.
Куб
Барлық жақтары квадрат тікбұрышты параллелепипед куб деп талады.
Кубтың толық бетінің ауданы Sт.б= 6a 2 , мұндағы a - қырының ұзындығы.
Кубтың диагоналі d =a 3
Кубтың көлемі: V= a
5-мысал: Кубтың диагональ қимасының ауданы 8√2 - ге тең.Кубтың толық бетінің ауданын табыңыз.
Шешуі:
Көмекші элемент енгізейік : a- кубтың қыры.
∆ ABC : AC = a√2.
Қиманың ауданы:Sқима = a ٠ a2= 8√2⇒ a = 2√2
Толық бетінің ауданы: Sт.б = 6a2 = 6 ٠(2√2)2 = 48
Жауабы:48.
4.2. Конус. Қиық конус
Конус дегеніміз - дөңгелектен (конустың табаны) , дөңгелек жазықтығында жатпайтын нүктеден (конустың төбесі)және нүкте мен дөңгелекті біріктіруші кесінділерден тұратын геометриялық дене. Конустың төбесін табанындағы шеңбердің нүктелерімен біріктіретін кесінділер конустың жасаушылары деп аталады.
Егер конустың төбесі мен табанының центрінен өтетін түзу табанына перпендикуляр болса, онда конусты тік конус дейміз.Енді біз тек тік коністарды қарастыратын боламыз және қысқаша конус деп атаймыз.
Конус ішіндегі ABC теңбүйірлі үшбұрыш конустың осьтік қимасы деп аталады.
Конустың табаны мен табанына параллель қимамен шектелген бөлігі қиық конус деп аталады.
Конустың бетінің ауданы мен көлемі
Конус
Қиық конус
Бүйір бетінің ауданы
Sб.б = PIRL
Sб.б =PI(R + r) L , мұндағы L - қиық конустың жасаушысы
Толық бетінің ауданы
Sт.б= PIR(R+L)
Sт.б=PI(R + r)L + PIR2 ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
§ 1.КЕҢІСТІКТЕГІ ТҮЗУЛЕР МЕН ЖАЗЫҚТЫҚТАР
1.1.Параллель түзу мен жазықтық
Параллельдік белгісі:
▪Егер b түзі a жазықтығында жатқан қандай да бір a түзуіне параллель болса,онда b түзуі a жазықтығына да параллель болады: a ‖ b, a∈α⇒b ‖ a.
b
a
Рисунок1a
Aaaa a
▪Егер бір жазықтықта жататын қиылысқан екі түзудің әрқайсысы екінші жазықтыққа параллель болса, онда жзықтықтар параллель болады.
a1
a2
1.2 Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы
Егер жазықтықпен қиылысатын түзу жазықтықта жатқан кез келген түзуге қиылысу нүктесінде перпендикуляр болса, онда берілген түзу жазықтыққа перпендикуляр болады: ( b,c ∈α) a ┴ b, a ┴ c ⇒ a ┴ α.
1.3 Перпендикуляр жазықтықтар
Егер бір жазықтықта екінші жазықтыққа перпендикуляр түзу жатса, онда екі жазықтық перпендикуляр болады:
(a ∈α) a ┴ β⇒α ┴ β.
1.4 Перпендикуляр және көлбеу
▪ Перпендикуляр кесінді, жазықтыққа бір нүктеден жүргізілген кез келген көлбеуден қысқа.
▪ Жазықтыққа бір нүктеден жүргізілген тең көлбеулердің проекциялары да тең.
3.1 Көпжақтар
Кеністікте жазык копбұрыштармен шектелген денеге көпжақдейміз. Әр көпбұрыш онын жағы,жақтарынын кабырғалары көпжактың қырлары,ал жактардыңтөбелері онын төбелері деп аталады. Жақтар көпжақтың бетін кұрайды. Бір жазықтыкта жатпайтын скі төбені косатын кесіндіні көпжактың диагоналі деп атайды.
Айталык т- көпжакгын жақтар саны, п- төбелер саны, ал р- оның кырлар саны болсын.
Олай болса, кез келген көпжақ үшін келесі катынас орындалады: п + т -р = 2 (Эйлер теоремасы).
Егер барлык жақтары дұрыс көпбұрыш, ал барлык төбелеріндегі көпжакты бұрыштар өзара тең болса, ондай көпжак дұрыс көпжақдеп аталады.
Барлык жактары тенкабырғалы үшбұрыш болатын дұрыс төртжақка дұрыс тетраэдр дейміз.
Дұрыс алтыжақ-куб.
3.2. Призма. Параллелепипед. Куб
Екі жағы параллель жазықтықтарда орналасқан өзара тең көпбұрыштар, ал қалған жақтары параллелограмм болып келген көпжақты призмадеп атайды.Параллель жазықтықтарда жатқан тең көпбұрыштар оның табандары деп, ал қалған параллелограмдар оның бүйір жақтарыдеп аталады.
Егер призманың бүйір қырлары табанарына перпендикуляр болса, призманы тік, қалған жағдайда көлбеудеп атаймыз.
көлбеу призма тік призма
Табандары дұрыс көпбұрыш болып келетін ітік призма дұрыс призма деп аталады.
Призманың бүйір бетінің ауданыдеп оның бүйір жақтарының аудандарының қосындысын айтады.
Призманың бетінің ауданы мен көлемі
Көлбеу призма
Тік призма
Бүйір бетінің ауданы
Sб.б= P┴٠L ,
Мұндағы P┴ -перпендикуляр қиманың периметрі, L-бүйір қыры
Sб.б=Pтаб٠H,
Мұндағы Pтаб - табанының периметрі, H - биіктік.
Толық бетінің ауданы
Sт.б=Sб.б+ 2 Sтаб
Sт.б=Sб.б+ 2 Sтаб
Көлемі
V = S┴ ٠ L,
Мұндағы S┴- перпендикуляр қиманың ауданы, L - бүйір қыры
V = Sтаб ٠ Н ,
МұндағыSтаб - табан ауданы, H - биіктік.
1-мысал:Үшбұрышты көлбеу призманың бүйір қырлары бір-бірінен 13, 14 және 15 см қашықтықта орналасқан, бүйір қырының ұзындығы 5 см. Призманың бүйір бетінің ауданы мен көлемін табыңыз:
Шешуі: Бүйір бетінің ауданын келесі формуламен табамыз: Sб.б = P┴ ٠ L
P┴ = 13 + 14 +15 = 42 см, L = 5 см.
Олай болса, Sб.б = 210см2. Призманың көлемін табу үшін V = S┴ ٠Lформуласын қолданайық. Герон формуласы бойынша
S┴ = √21٠8٠7٠6 = 84см2
Сонымен, V = 84 ٠ 5 = 420см2
Жауабы: 420см2
2-мысал:Тік призманың табаны сырттай сызылған шеңберінің радиусы 2√3болатын теңқабырғалы үшбұрыш. Егер призма биіктігі 4-ке тең болса, оның бүйір бетінің ауданы мен көлемін табыңыз.
Шешуі: Табанының қабырасы:a = R3 (теңқабырғалы үшбұрыш қасиеті), яғни a = 2√3٠√3 = 6 . Үшбұрыш периметрі P = 18, онда Sб.б = 72.
Sтаб=α²34=3634=9√3
Көлемі келесі формула арқылы анықталады: V = Sтаб ٠H V = Sтаб ٠H =93٠4=36√3
Жауабы:Sб.б = 72 және V = 36√3.
Параллелепипед
Табаны параллелограмм болып келетін призма параллелепипед деп аталады.
Параллелепипедтің бір нүктеде қиылысатын жәнеқиылысу нүктесінде қақ бқлінетін 4 диагоналі бар.
Параллелепипед призманың дербес жағдайы болғандықтан, призманың бүйір бетінің ауданы мен көлемін табу формулалары ол үшін де дұрыс.
d1²+d2²+d3²=4α²+4b²+4c²
Тік параллелепипед
Бүйір қырлары табандарына перпендикуляр.
Бүйір жақтары - тіктөртбұрыштар.
Табандары - параллелограмм.
Тіктөртбұрышты параллелепипед
Табаны тіктөртбұрыш болып табылатын тік параллелепипед тіктөртбұрышты деп аталады.
Барлық диагоналдары өзара тең
d2 = a2 + b2 + c2
Sт.б = 2(ab + ac +bc)
V = abc
3-мысал: Көлбеу параллелепипедтің табанында бұрышы 300 - қа, қабырғасы 5-ке тең ромб жатыр.Бүйір қыр 43 және табан жазықтығына 600көлбеген. Параллелепипед көлемін табыңыз.
Шешуі:Параллелепипед көлемі:
V = Sтаб ٠H
Сүйір бұрышы 300және қабырғасы 5-ке тең ромб болатын табанының ауданы
Sтаб = 5 ٠ 5 ٠ sin300 = 252
∆AFA᾿үшбұрышынан биіктігін табамыз: sin 600 = A'FAA'⇒32=A'F43⇒A'F=2
Олай болса, V = Sтаб ٠A'F = 252⋅2=25
Жауабы: 25.
4-мысал: Тік параллелепипедтің табан қабырғалары 8 және 4, 600 бұрыш жасайды. Параллелепипедтің кіші диагоналі 83-кетең.Осы диагональдың табанымен жасайтын бұрышты табыңыз.
Шешуі:1) Табанының кіші диагоналін тауып аламыз:BD:
∆ABD: BD2 = 82+
42 - 2 ٠ 4 ٠8 cos 600 ⇒
BD=64+16-32=48=43
(косинустар теоремасы)
2)∆ BDD':
cos∠DBD'=BDBD'⇒cos ∠DBD'=4383=12
3)∠DBD' = 600.
Жауабы:600.
Куб
Барлық жақтары квадрат тікбұрышты параллелепипед куб деп талады.
Кубтың толық бетінің ауданы Sт.б= 6a 2 , мұндағы a - қырының ұзындығы.
Кубтың диагоналі d =a 3
Кубтың көлемі: V= a
5-мысал: Кубтың диагональ қимасының ауданы 8√2 - ге тең.Кубтың толық бетінің ауданын табыңыз.
Шешуі:
Көмекші элемент енгізейік : a- кубтың қыры.
∆ ABC : AC = a√2.
Қиманың ауданы:Sқима = a ٠ a2= 8√2⇒ a = 2√2
Толық бетінің ауданы: Sт.б = 6a2 = 6 ٠(2√2)2 = 48
Жауабы:48.
4.2. Конус. Қиық конус
Конус дегеніміз - дөңгелектен (конустың табаны) , дөңгелек жазықтығында жатпайтын нүктеден (конустың төбесі)және нүкте мен дөңгелекті біріктіруші кесінділерден тұратын геометриялық дене. Конустың төбесін табанындағы шеңбердің нүктелерімен біріктіретін кесінділер конустың жасаушылары деп аталады.
Егер конустың төбесі мен табанының центрінен өтетін түзу табанына перпендикуляр болса, онда конусты тік конус дейміз.Енді біз тек тік коністарды қарастыратын боламыз және қысқаша конус деп атаймыз.
Конус ішіндегі ABC теңбүйірлі үшбұрыш конустың осьтік қимасы деп аталады.
Конустың табаны мен табанына параллель қимамен шектелген бөлігі қиық конус деп аталады.
Конустың бетінің ауданы мен көлемі
Конус
Қиық конус
Бүйір бетінің ауданы
Sб.б = PIRL
Sб.б =PI(R + r) L , мұндағы L - қиық конустың жасаушысы
Толық бетінің ауданы
Sт.б= PIR(R+L)
Sт.б=PI(R + r)L + PIR2 ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz