Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының өз-өзіне түйіндестігі


Кіріспе.
1 Эллиптік түрдегі теңдеулер
1.1 Лаплас теңдеуіне әкелетін есептер
1.2 Лаплас теңдеуін түрлендіру.
1.3 Лаплас теңдеуінің кейбір дербес шешімдер

2 Функционалдық анализдің негізгі түсініктері мен кейбір фактілері
2.1 Метрикалық кеңістік түсінігі
2.2 Сызықты және нормаланған кеңістіктер..
2.3 Гильберт кеңістігі, ортогональдық...
2.4 Сызықты операторлар теориясының элементтері.
2.5. Кері операторлар ... ..
2.6. Соболев кеңістігі.
3 Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының өз.өзіне түйіндестігін зерттеу.
3.1 Өз.өзіне түйіндес операторлар..
3.2 Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының өз.өзіне түйіндестігі .

Қорытынды ... .
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі..
Тақырыптың өзектілігі. Эллиптiк түрдегі теңдеулер стационарлық (тұрақты) процестердi, мысалы, денеде тұрақты температураның таралуы, өткiзгiштiң бетiндегi электр зарядтарының тепе-теңдiк күйi, сұйықтың потенциалды ағысы т.с.с. процестердi сипаттайды.
Эллиптік түрдегі операторларға қарағанда, жойылмалы эллиптік түрдегі операторлардың спектральды сұрақтары аз зерттелген. Бұл бағыттағы немесе осыған жақын жұмыстар М.М.Смирновтың, Х.Трибелдің, М.В.Келдыштың, П.Боллей және Т.Камюдің, О.А.Олейниктің, М. Отелбаевтың, Т.Ш.Кальменовтың, М.Б. Муратбековтың, Л.К.Кусаинова мен М.С.Айтенованың және басқа да ғалымдардың еңбектерінде кездеседі.
Жұмыс мақсаты. Жұмыстың негізгі мақсаты жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының өз-өзіне түйіндестігі.
Дипломдық жұмыс құрылымы. Жұмыс кіріспе, үш бөлім, қорытынды және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Кіріспеде тақырыптың өзектілігі негізделген, негізгі мақсаттары келтірілген, жұмыстың жаңалығы мен теориялық және практикалық маңыздылығы анықталған.
Бірінші бөлімде әдебиетке шолу жасалып, эллиптік түрдегі теңдеулердің кластарға бөлінуі, айнымалыны ажырату әдістері көрсетіліп мысалдармен ұштастырылған.
Екінші бөлімде функционалдық анализдің кейбір фактілері мен тұжырымдары және көмекші нәтижелер келтірілген.
Үшінші бөлімде жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының өз-өзіне түйіндестігі көрсетілген.
1 Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. –М.: «Наука», 1966.-С.292.
1 Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы.-М., 1980.-С. 664.
3 Отелбаев М.О. Оценки спектра оператора Штурма-Лиувилля. –Алматы: Гылым. – 1990.
4 Садовничий А.В. Теория операторов М., Наука 1986 г.
5 Муратбеков М.Б. Некоторые приложения функционального анализа
Тараз, 1996 г.
6 М.Б.Муратбеков Разделимость и спектр дифференциальных операторов смешанного типа. Тараз, 2006.
7 Люстерник Л.А. Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа М., Высшая школа, 1982 г.
8 С.Г. Крейн Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М., Наука, 1971 г.
9 А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин Элементы теорий функции и функционального анализа М., Наука, 1981 г.
10 В.С.Владимиров Уравнения математической физики М., 1976 г.
11 Муратбеков М.Б., Мүсілімов Б.М. Штурм-Лиувилль операторының бөліктенуі туралы Тараз, 1998.
12 Треногин В.А. Функциональный анализ. М., Наука 1980 г.
13 Соболев С.Л. Некоторые применение функционального анализа в математической физике. М., Наука 1988 г.
14 Кальменов Т.Ш., Муратбеков М.Б. Спектральные свойства оператора смешанного типа. Шымкент, 1997, 80с.
15 Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы функции и функционального анализа. Москва -1981. 544с.
16 Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва. -1980. –С.496.
17 Владимиров В.С. Уравнения математической физики. Москва.-1984. -567с.
18 Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Москва. -1988. –С.567.
19 Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. Москва. -1976. -392с.
20 Ахиезер Н.И., Глазман И.П. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Москва. -1966. -543с.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Дипломдық жұмыс
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 48 бет
Таңдаулыға:   
Бұл жұмыстың бағасы: 1900 теңге
бот арқылы тегін алу ауыстыру

Қандай қате таптыңыз?

Рақмет!






Мазмұны

Кіріспе.
1 Эллиптік түрдегі теңдеулер
1.1 Лаплас теңдеуіне әкелетін
есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.2 Лаплас теңдеуін
түрлендіру ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
..
1.3 Лаплас теңдеуінің кейбір дербес
шешімдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ...

2 Функционалдық анализдің негізгі түсініктері мен кейбір фактілері
2.1 Метрикалық кеңістік
түсінігі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2 Сызықты және нормаланған
кеңістіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.3 Гильберт кеңістігі,
ортогональдық ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.4 Сызықты операторлар теориясының
элементтері ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.5. Кері
операторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... .
2.6. Соболев
кеңістігі ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ...
3 Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының өз-өзіне
түйіндестігін
зерттеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ...
3.1 Өз-өзіне түйіндес
операторлар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
3.2 Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының өз-өзіне
түйіндестігі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ...

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Пайдаланылған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

КІРІСПЕ

Тақырыптың өзектілігі. Эллиптiк түрдегі теңдеулер стационарлық (тұрақты)
процестердi, мысалы, денеде тұрақты температураның таралуы, өткiзгiштiң
бетiндегi электр зарядтарының тепе-теңдiк күйi, сұйықтың потенциалды ағысы
т.с.с. процестердi сипаттайды.
Эллиптік түрдегі операторларға қарағанда, жойылмалы эллиптік түрдегі
операторлардың спектральды сұрақтары аз зерттелген. Бұл бағыттағы немесе
осыған жақын жұмыстар М.М.Смирновтың, Х.Трибелдің, М.В.Келдыштың, П.Боллей
және Т.Камюдің, О.А.Олейниктің, М. Отелбаевтың, Т.Ш.Кальменовтың, М.Б.
Муратбековтың, Л.К.Кусаинова мен М.С.Айтенованың және басқа да
ғалымдардың еңбектерінде кездеседі.
Жұмыс мақсаты. Жұмыстың негізгі мақсаты жойылмалы эллиптік түрдегі
оператордың бір класының өз-өзіне түйіндестігі.

Дипломдық жұмыс құрылымы. Жұмыс кіріспе, үш бөлім, қорытынды және
пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Кіріспеде тақырыптың өзектілігі негізделген, негізгі мақсаттары
келтірілген, жұмыстың жаңалығы мен теориялық және практикалық маңыздылығы
анықталған.

Бірінші бөлімде әдебиетке шолу жасалып, эллиптік түрдегі теңдеулердің
кластарға бөлінуі, айнымалыны ажырату әдістері көрсетіліп мысалдармен
ұштастырылған.
Екінші бөлімде функционалдық анализдің кейбір фактілері мен тұжырымдары
және көмекші нәтижелер келтірілген.

Үшінші бөлімде жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының өз-
өзіне түйіндестігі көрсетілген.

кеңістігінде
(1)
дифференциалдық операторды қарастырамыз. Мұндағы (=((x,y)( -((
x((,0(y(1( - тіктөртбұрыш.
(1) операторы - облысындағы у айнымалысы бойынша барлық
ретті дифференциалдары анықталған функциялар жиынында берілсін және
(2)

(3)
шарттарын қанағаттандырсын.
L операторының коэффициенттері төмендегі шарттарды
қанағаттандырады:
(0 - [0,1]-де бөлікті үзіліссіз функциялар;
Теорема. i) шарты орындалсын. Онда L операторы кеңістігінде өз-
өзіне түйіндес.

1 Эллиптiк түрдегі теңдеулер

1.1 Лаплас теңдеуіне келтірілетін есептер

Эллиптiк түрдегі теңдеулер стационарлық (тұрақты) процестердi, мысалы,
денеде тұрақты температураның таралуы, өткiзгiштiң бетiндегi электр
зарядтарының тепе-теңдiк күйi, сұйықтың потенциалды ағысы т.с.с.
процестердi сипаттайды. Осы сияқты процестердi зерттеулер Лаплас теңдеуiнiң
шешiмiн табу амалына әкеледi. Лаплас теңдеуi

(1.1.1)

түрiнде жазылады.
Теңдеудiң сол жағына Лаплас операторын қолданып былай жазуға
болады.

Екi тәуелсiз айнымалылар үшiн Лаплас теңдеуi

түрiнде, жазылады. Ал

түрiндегi теңдеу Пуассон теңдеуi деп аталады.
Лаплас теңдеуiн қанағаттандыратын u функциялары гармоникалық функциялар
деп аталады.

Бiртектi денеде температураның тұрақталып таралуы

Бiртектi Т денесi бетiмен шектелген болсын дейiк. Дененiң әртүрлi
нүктелерiндегi температура

теңдеуiн қанағаттандырады. Егер температура уақыттан тәуелсiз болса,
яғни , онда дененiң температурасы Лаплас теңдеуiн қанағаттандырады.

Осы теңдеуден дененiң температурасы бiр мәндi анықталуы үшiн
бетiндегi температураны бiлу керек. Сондықтан (1.1.1) теңдеу үшiн шеттiк
есеп былай қойылады:

10 Дирихле есебi (бiрiншi шеттiк есеп)

Берiлген Т облысында гармоникалық функция болатын, тұйық облысында
үзiлiссiз және облыстың шекарасында берiлген үзiлiссiз
функциясына тең, яғни

(1.1.2)

шартын қанағаттандыратын функциясын табу керек. Егер
температураның таралуы жазықтықтағы С контуры мен D облысында
қарастырылатын болса, онда

теңдеуiн қанағаттандыратын және С контурында функциясына тең
u(x,y) функциясын табу керек.

20 Нейман есебi (екiншi шеттiк есеп)

Берiлген Т облысында гармоникалық функция болатын, тұйық
облысында үздiксiз дифференциалданатын, ал тегiс бетiнен сыртқа қарай
бағытталған нормаль бойынша алынған туындысы осы беттiң
нүктелерiнде берiлген үздiксiз функциясына тең болатын, яғни

(1.1.3)

шартын қанағаттандыратын u(M) функциясын табу керек.

30 Аралас есеп (үшiншi шеттiк есеп)

Берiлген Т облысында гармоникалық болатын, тұйық облысында
үздiксiз дифференциалданатын, ал сол u(M) функциясының және оның нормальдiк
бағыт бойынша алынған туындысының сызықтық комбинациясы
тегiс бетiнде берiлген үздiксiз функциясына тең болатын, яғни

(1.1.4)

шартын қанағаттандыратын u(M) функциясын табу керек.
Егер есептiң шешiмiн бетiмен қоршалған iшкi облыста немесе одан
сырт облыста табу керек болса, онда есеп тиiсiнше iшкi немесе сыртқы шеттiк
есеп деп аталады.

Сұйықтың потенциалды ағыны

Екiншi мысал ретiнде сұйық ағынының көзi жоқ, яғни сығымдалмайтын
сұйықтың потенциалды ағынын қарастырайық. Шекарасы болатын қандай
да бiр Т облысының iшiнде v(x,y,z) жылдамдықпен сипатталатын сығымдалмайтын
сұйықтың (тығыздығы ) стационар ағыны бар болсын дейiк. Егер сұйық
ағыны құйынсыз болса, онда жылдамдығы потенциалдық вектор болады,
яғни

(1.1.5)

Мұндағы - жылдамдық потенциалы деп аталатын скалярлық функция.
Егер ағын көздерi жоқ болса, онда

Осыны (1.1.5) теңдеуге қойып,

немесе

теңдеуiн аламыз. Осыдан потенциалдық жылдамдық Лаплас теңдеуiн
қанағаттандыратынын көремiз.
1.2 Лаплас теңдеуiн түрлендiру

Алдымен екi өлшемдi және үш өлшемдi кеңiстiктердегi негiзгi
координаталар жүйелерiн еске салайық:
Екi өлшемдi кеңiстiктегi тiк бұрышты декарт координаталар жүйесi;
Үш өлшемдi кеңiстiктегi тiк бұрышты декарт координаталар жүйесi;
Екi өлшемдi кеңiстiктегi полярлық координаталар;
Үш өлшемдi кеңiстiктегi цилиндрлiк координаталар;
Үш өлшемдi кеңiстiктегi сфералық координаталар;
Полярлық координаталар мынадай арақатынастармен анықталады.
а)
y

, ,
немесе,

Цилиндрлік координаталаp

немесе

Сфералық координаталар

в)

1-сурет

немесе

Лаплас теңдеуiнде полярлық координаталарға көшейiк:
, егер x0 болса, егер x0, ,
егер x=0, y0, егер x=0, y0
болғандықтан, мынадай түрлендiрулер жүргiземiз:

және

Осыларды теңдеуге қоямыз

Сонымен Лаплас теңдеуi полярлық координаталармен былай жазылады

(1.2.1)

Лаплас теңдеуiнiң цилиндрлiк координаталармен берiлген түрi.

(1.2.2)

Лаплас теңдеуiнiң сфералық координаталармен берiлген түрi

(1.2.3)

1.3 Лаплас теңдеуiнiң кейбiр дербес шешiмдерi

Сфералық симметриялы Лаплас теңдеуiнiң шешiмi

жай дифференциалдық теңдеуiнен анықталады. Бұл теңдеудi интегралдап,

шешiмiн аламыз. Мұндағы С1 және С2 - кез-келген тұрақтылар. Егер С1
=1, С2 =0 деп алатын болсақ, онда Лаплас теңдеуiнiң кеңiстiктегi

(1.3.1)

фундаменталды шешiмiн аламыз.
Осы сияқты деп алып және (1.2.1) не (1.2.2) теңдеулердi
пайдаланып, цилиндрлiк немесе дөңгелектi симметриялы болатын шешiм аламыз:

Егер С1 =-1, С2 =0 деп алатын болсақ, онда

(1.3.2)

теңдiгiн аламыз. Бұл функцияны жазықтықтағы Лаплас теңдеуiнiң
фундаменталды шешiмi деп атайды.

2 ФУНКЦИОНАЛДЫҚ АНАЛИЗДІҢ НЕГІЗГІ ТҮСІНІКТЕРІ МЕН КЕЙБІР ФАКТІЛЕРІ

1. Метрикалық кеңістік түсінігі
Анализдің негізгі түсініктерінің бірі-шекке көшу. Бұл түсініктің
негізінде элементтер арасындағы арақашықтықты анықтайтын скалярлық шама
жатыр.
Анықтама 2.1.1. Жиын элементтерінің арақашықтығы (метрика) деп-
төмендегідей шарттарды қанағаттандыратын
1. ,
2.
3.
функциясын айтамыз.
Анықтама 2.1.2. Егер жиында метрика енгізілген (анықталған) болса, онда
ол метрикалық кеңістік деп аталады.
Сонымен, метрикалық кеңістік деп бос емес Х жиынынан және
функциясынан құралған жұбын айтады.
Мысалы, n-өлшемді Евклид кеңістігінде метрика

функциясымен анықталады.
Әрине, жиында метриканы әртүрлі әдіспен анықтауға болады. Бұл жағдайда
әртүрлі метрика үшін алынған метрикалық кеңістіктер де әртүрлі болады.
Анализде кез келген жиында метрика анықтауға болатындығы дәлелденеді.
Сондай-ақ метрикасы анықталса, онда өрнегімен ақырсыз көп
метрика анықтауға болады.
Элементтер арасындағы қашықтық ұғымына сүйене отырып мынандай
түсініктерді енгізуге болады:
Анықтама 2.1.3. X кеңістігіндегі центрі радиусы болатын
ашық (тұйық) шар деп- () теңсіздігін қанағаттандыратын X
кеңістігінің бөлігін айтамыз және деп белгілейміз.
Анықтама 2.1.4. Егер үшін болатындай шар табылса онда
жиыны ашық деп аталады.
Анықтама 2.1.5. элементінің аймағы деп болатын кез келген
ашық шарды немесе ашық жиынды айтамыз.
Айталық болсын.
Анықтама 2.1.6. нүктесі жиынының шектік нүктесі деп
аталады, егер -тің әрбір аймағы болатын кемінде бір
элементін қамтитын болса.
Анықтама 2.1.7. оңашаланған нүкте деп аталады, егер осы элементті
қамтитын қандай да бір аймағы үшін болса.
Анықтама 2.1.8. Егер элементті қамтитын қандай да бір
аймағы үшін толығымен жиынына енетін болса онда ішкі нүкте
деп аталады,.
Анықтама 2.1.9. жиынының толықтаушысы деп-оның барлық шектік
нүктелерінің жиынын айтамыз және деп белгілейміз.

Метрикалық кеңістіктегі компактілік.
Компакті жиындар (компакт жиындар) жиындар классификациясында маңызды
рөлге ие.
Анықтама 2.2.1. Егер болса, жиынының ашық бүркеуі деп
жиындар топтамасын айтамыз.
Жиынды бүркейтін мұндай жиындар топтамалары (бүркеулер) біреу емес
екендігін ескертейік.
Анықтама 2.2.2. Егер жиынының әрбір ашық бүркеуінен саны арқылы
ішкі бүркеу бөліп алуға болатын болса онда жиыны компакті немесе
компакт деп аталады.
Компакт жиындардың келесі қасиеттерін дәлелдеусіз келтіреміз [1:34;35]:
1. Компакті метрикалық кеңістіктің тұйық ішкі жиыны компакт.
2. Компакті метрикалық кеңістіктің үзіліссіз бейнелеу кезіндегі
образы компакт.
3. n-өлшемді евклид кеңістігінде компактілік тұйықтық пен
шектелгендікке эквивалентті.
4. метрикалық кеңістіктері үшін
болсын, онда бір мезгілде және
кеңістіктерінде
компакті.
Компакті жиындардың жоғарыдағы анықтамаға эквивалент тағы бір
анықтамасын келтірейік.
Айталық және болсын.
Анықтама 2.2.3. жиыны жиынына тор деп аталады, егер
үшін болатындай табылса.
Компактілікті тағайындайтын келесі критерийді дәлелдеусіз қабылдаймыз.
Теорема 2.2.1. метрикалық кеңістігі компакт болу үшін
тізбегінен жинақты ішкі тізбек бөлінуі қажетті және жеткілікті.
Теорема 2.2.2. толық метрикалық кеңістік және үшін
кеңістігінде ақырлы тор бар болса, сонда тек сонда ғана
компакт болады.

Метрикалық кеңістіктегі толықтық
Метрикалық кеңістіктің көптеген фундаментальды қасиеттері оның
толықтығына сүйенеді.
Анықтама 2.2.4. тізбегі фундаментальды деп аталады, егер
болғанда болса.
Фундаментальды тізбекті Коши тізбегі деп атайды.
Егер және болса, онда теңсіздігінің негізінде
болатындығын көру қиын емес. Яғни егер жинақты тізбек болса, онда ол
тізбек фундаментальды тізбек болады. Жалпы жағдайда кері тұжырым дұрыс
емес.Кейбір нақты кеңістіктердің ерекшеліктеріне байланысты бұл ұғымдар
эквивалент болады. Мысалы, нақты сандар кеңістігінде бұл
тұжырымдардың эквивалент екендігін білдіретін Коши критерийі бар. Осыған
байланысты келесі түсінікті енгізейік.
Анықтама 2.2.5. метрикалық кеңістігі толық деп аталады, егер
мұндағы әрбір фундаментальды тізбек осы кеңістіктің элементіне жинақталатын
болса. Яғни толық
Осы тұрғыдан берілген метрикалық кеңістікті қандай да бір әдіспен
толықтыруға болады ма?-деген орынды сұрақ туады. Бұл сұраққа төмендегі
теорема жауап береді. Теореманы енгізбес бұрын бірқатар түсініктерді
енгізейік.
Анықтама 2.2.6. метрикалық кеңістігі кеңістігінің
толықтаушысы деп аталады,егер және болса.
Анықтама 2.2.7. және метрикалық кеңістіктері изометриялы
деп аталады, егер олардың арасындағы арақашықтықты сақтайтын өзара бірмәнді
сәйкестік бар болса, яғни
.
Теорема 2.2.3. Әрбір метрикалық кеңістігінің толықтаушысы
бар болады және бұл толықтаушысы изометрия дәлдігінде жалғыз болады.

Метрикалық кеңістіктерге мысалдар
1) кеңістігінде кез келген әртүрлі реттелген және
нүктелері үшін метриканы мына түрде аламыз.
.
мұндағы: .
1) және 2) аксиомалардың орындалатыны жеңіл көрініп тұр.
3) аксиоманың орындалатынын тексерейік
, және болсын.
Дәлірек айтқанда біз мынадай теңсіздікті дәлелдеуіміз керек
(2)
Егер

деп белгілесек, онда

Енді (2) теңсіздік пен соңғы келтірілген теңсіздіктерді пайдаланып
жазсақ мынадай түрге енеді.
- бұл Миньковский теңсіздігі,
олай болса (2) теңсіздігі орындалады. Бұл метрикалық кеңістікті
- деп белгілейміз.
2) болғанда бұл кеңістік n-өлшемді арифметикалық евклид
кеңістігіне айналады.
3) Барлық нақты сандардың шектелген тізбегін жиынын қарастырайық:
, осы жиынның кез келген екі элементі болсын

бұл метрика 1) – 3) аксиомаларды қанағаттандырады. Сондықтан аталған
жиын метрикалық кеңістік болады, оны деп белгілейміз.
4) теңсіздігін қанағаттандыратын шексіз сан тізбектерінің
жиынын қарастырайық. Оны деп белгілейміз.
Осы жиында кез келген екі элементтің арақашықтығы

теңдігі арқылы анықтасақ ол метрикалық кеңістікке айналады. Ол үшін
мынадай элементар теңсіздікті пайдаланамыз.

немесе

Соңғы теңсіздіктен үшін шамасының мағынасы бар болады,
немесе

және

1) және 2) аксиомалардың орындалуы жеңіл дәлелденеді, ал 3) аксиома мына
төмендегі теңсіздіктерден шығады (р=2 болғанда Миньковский теңсіздігі)

Бұл теңсіздікте шекке көшу арқылы мына теңсіздікті аламыз

Бұл кеңістік кеңістігі деп аталады.
Дәл осы жолмен кеңістігін -ге жалпылауға болады.

Енді функционалдық метрикалық кеңістіктерге бірнеше мысалдар келтірейік
5) кеңістігі. кесіндісінде анықталған үзіліссіз функциялар
жиынында

Метрикасын енгіземіз. Бұл үш аксиоманы да онай қанағаттандырады.
Сондықтан -метрикалық кеңістік, -ді деп те белгілейміз.
6) кесіндісінде анықталған үзіліссіз функциялар жиын, онда
функцияларының арақашықтығы

Бұл метрикалық кеңістік болады, оны белгілейміз. 1), 2) аксиомалар
оңай орындалады. 3) аксиома Миньковский интегралдық теңсіздігінен шығады.
р=2 болғанда

2.2. Сызықты және нормаланған кеңістіктер.
Анықтама 2.2.1. жиыны сызықты кеңістік деп аталады, егер
үшін осы элементтердің қосындысы деп аталатын, келесі шарттарды
қанағаттандыратын амалы анықталса:
1. егер болса, онда
2. ;
3.
4. Барлық үшін болатын нөлдік элемент бар және
жиынында келесі шарттарды қанағаттандыратын санына көбейту
амалы анықталса:
5. егер болса, онда болады(мұндағы
скаляр шама);
6. -скалярлар;
7.

8. (сол жағында нөл саны, ал оң жағында
нөлдік элемент);
9.
10.
Мұнда элементі арқылы белгіленеді. Жоғарыдағы
қасиеттерден және болатынын көреміз.
Кей жағдайда сызықты кеңістікті векторлық кеңістік деп, ал оның
элементтерін векторлар деп атайды. Сызықтық кеңістікте скаляр
көбейткіштері нақты немесе комплекст болуына байланысты кеңістік те нақты
немесе комплекс деп аталады.
Мысалдар:
1. Барлық нақты(комплекс)сандар жиыны нақты (комплекс) сызықтық
кеңістік құрайды.
2. Нақты(комплекс) коэффициентті бір айнымалы
көпмүшеліктер жиыны нақты(комплекс) сызықты кеңістік болады.
Анықтама 2.3.2. Сызықтық кеңістіктің жиыны осы кеңістіктің ішкі
кеңістігі деп аталады, егер және скалярлары үшін
болса. Мұндай ішкі кеңістікті сызықты көпбейне деп атайды.
Кеңістіктің элементтерінің ұзындығы анықталған кеңістікті нормаланған
кеңістік деп атайды.
Анықтама 2.3.3. сызықты кеңістігінің әрбір элементіне
келесі шарттарды қанағаттандыратын санын сәйкестендірсек:
1. және ;
2.
3.
онда кеңістігі нормаланған кеңістік деп аталады. санын
элементінің нормасы деп атаймыз. Егер болса, онда
нормаланған элемент деп аталады. Мысалы, нақты(комплекс) сандар жиынында
норма ретінде санның абсолют шамасын алсақ, онда ол нормаланған сызықты
кеңістік болады.Сызықты нормаланған кеңістіктерде элементтердің арасындағы
қашықтық ұғымын енгізуге болады. Нақты айтқанда келесі тұжырым орынды
болады:
Лемма 2.3.1. . сызықты нормаланған кеңістігі метрикасымен
метрикалық кеңістік болады.
кеңістігінде осы метрика бойынша тізбектің жинақтылығы норма
бойынша жинақтылықпен сай келеді.
Лемма 2.3.2. Сызықты нормаланған кеңістікте норма метрика мағынасында
үзіліссіз функция болып табылады.
Анықтама 2.3.4. Егер сызықты нормаланған кеңістік

метрикасы бойынша толық метрикалық кеңістік болса онда сызықты
нормаланған кеңістік толық деп аталады.
Толық сызықты нормаланған кеңістік банах кеңістігі деп аталады.
Теорема 2.3.1. Әрбір сызықты нормаланған кеңістік қандайда бір банах
кеңістігіне енеді және сол кеңістікте тығыз болады.

2.3. Гильберт кеңістігі.
Анализде функциялардың скаляр көбейтіндісі кеңінен қолданылады.
Сондықтан скаляр көбейтінді енгізілген сызықты кеңістікті қарастырған жөн
болады.
Анықтама 2.3.1. Айталық элементтерінің қандай да бір жиыны
болсын.
I. Егер жиынында үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын
скаляр көбейтінді енгізілсе:
1. және
2.
3. ;
II. жиынында үшін n сызықты тәуелсіз векторлар табылса,
яғни ақырсыз өлшемді болса, онда абстрактылы гильберт
кеңістігі немесе гильберт кеңістігі деп аталады.
Гильберт кеңістігінде элементінің нормасы
арқылы енгізіледі.
Бұл өрнекпен енгізілген элементінің нормасы норма аксиомаларын
қанағаттандыратынын көру қиын емес.
Гильберт кеңістігінде

теңсіздігі орынды болады. Бұл теңсіздік Коши-Буняковский-Шварц
теңсіздігі деп аталады.
Гильберт кеңістігінде метрика

теңдігі бойынша анықталады және осы метрика мағынасында Н толық кеңістік
болып табылады.
Егер

және
болса, онда

яғни скаляр көбейтіндінің үзіліссіздігі орынды.

Гильберт кеңістігіндегі ортогональдық.
Анықтама 2.3.2. Гильберт кеңістігінің және элементтері
ортогональды деп аталады, егер болса және деп белгілейді.
Егер үшін болса, онда элементі жиынына
ортогональ делінеді, деп жазылады.
Теорема 2.3.1. Егер және болса, онда элементінің
жіктелуі бар және ол жалғыз. Мұндағы ал
Салдар. кеңістігі ортогональды қосындыға жіктеледі, яғни

Лемма 2.3.1. сызықты көпбейнесі кеңістігінде барлық жерде
тығыз болу үшін көпбейнесіне ортогональ нөлден өзгеше элементтің
болмауы қажетті және жеткілікті
Дәлелдеуі:
Қажеттілігі: Айталық және бар болсын , онда .
Демек , олай болса
Жеткіліктілігі: Айталық Олай болса табылып, алдыңғы
теорема бойынша жіктелуі бар болады. Мұндағы , ал
болғандықтан Ал бұл теорема шартына қайшы.

Рисс теорамасы
-гильбертті кеңістік және кеңістігінің тұйықталған ішкі
кеңістігі болсын.
арқылы -тағы -дегі әр векторға ортогональді болатын
барлық векторлардың жиынын белгілейміз,
яғни (х,у)=0, , .
2.3.1 леммасы. жиыны - кеңістігінің тұйықты сызықты ішкі
кеңістігі болады.
Дәлелдеуі. болсын, онда барлық үшін (х,у)=0. Бұдан
екендігін тексеру қиын болмайды, өйткені , мұндағы -
кезкелген комплексті сан. Келесі y1, у2 ( болсын, онда
y1+у2 (. Шынында, (х,у1+у2) = (х,у1)+(х,у2) = 0. Сондықтан, - М
кеңістігінің сызықты ішкі кеңістігі болады.
Енді -дің тұйықтылығын тексереміз. және да
болсын, онда кезкелген х(L үшін скалярлық көбейтіндінің үздіксіздігінен

болады. Бұдан екендігі келіп шығады.
Теорема 2.3.1. - гильбертті кеңістік және - оның
тұйықталынған сызықты ішкі кеңістігі болсын, онда -тың кез-келген
элементі
(2.3.1)
түрінде жалғыз ғана болып көрсетіледі. Мұндағы, L, z (.
Дәлелдеуі. (2.3.1) қатынасының біреу ғана болатындығын дәлелдейік.
Мысалы, (2.3.1) қатынасымен қатар
(2.3.2)
мұндағы , , қатынасы да орын алсын.
Онда бұдан орын алады. , болса, онда яғни
, олай болса . Жалғыздылығы (біреу ғана болатындылығы)
дәлелденді.
Енді (2.3.1) қатынасының бар болатындығын дәлелдейік.
Екі жағдайды қарастырамыз:
1) Егер , онда , яғни теорема дәлелденді.
2) болсын. Онда х нүктесінен L жиынына дейінгі ара қашықтық

формуласы бойынша анықталады.
Берілген жағдайда және болатындай элементінің бар
болатындылығын көрсетуіміз керек, мұндағы -дегі кезкелген элемент.
Сол үшін inf анықтамасын пайдаланамыз: және болатындай
тізбегі табылады. Енді тізбегінің фундаментальді болатындығын
көрсетеміз.
және
(2.3.3)
деп аламыз. және болатындықтан, болады және inf
анықтамасына сәйкес
(2.3.4)
тізбегін аламыз. Осы соңғы теңсіздікті ашып жазайық:

Бұдан және (2.3.3)-тен

немесе

немесе
(2.3.5)
келіп шығады.
Тікелей есептеу жүргізе отырып,

екенін аламыз.
Бұдан болғанда ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының оң анықталғандығы туралы
Жойылмалы эллиптік түрдегі теңдеулер үшін Дирихле есебі спектрінің дискреттілігі
Гиперболалық операторлардың бір класының өз-өзіне түйіндестігін көрсету
Гиперболалық түрдегі теңдеулердің бір класы үшін шешімнің тегістігі мен аппроксимативтік қасиеттерін зерттеу
Гиперболалық түрдегі оператордың бір класының симметриялы болатындығы туралы мәселені зерттеу
Функционалдық анализдің негізгі анықтамалары мен теоремалары
Екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер классификациясы
Пайдаланушы интерфейсі
Конструктордың қызметі - класс объектісінің өрістерін инициализациялау
Үшінші ретті дифференциалды операторлардың бір класының ядролығы
Пәндер