Үшінші ретті дифференциалды операторлардың бір класының ядролығы

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 53 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Тақырыбы: Үшінші ретті дифференциалды операторлардың бір класының ядролығы

Автор:

Ғылыми жетекші: ф. -м. ғд., профессор, Мұратбеков М. Б.

Тараз 2012

Мазмұны

Кіріспе . . .

I-бөлім. Функционалдық анализдің негізгі түсініктері мен кейбір фактілері. . . .

1. 1. Метрикалық кеңістік түсінігі. Мысалдар . . .

1. 2. Сызықты және нормаланған кеңістіктер . . .

1. 3. Гильберт кеңістігі, ортогональдық . . .

1. 4. Сызықты операторлар теориясының элементтері . . .

1. 5. Функционалдық және Соболев кеңістіктер . . .

1. 6. Гильберт кеңістігіндегі функционалдар мен операторлар . . .

II бөлім Сызықты операторлардың спектральды теория элементтері. . . .

2. 1. Сызықты операторлардың меншікті мәні және меншікті векторлары . . .

2. 2. Спектр және резольвента. Негізгі анықтама . . .

III бөлім . Негізгі бөлім түріндегі үшінші ретті дифференциалды теңдеуін зерттеу. . . .

3. 1. және кеңістіктері . . .

3. 2. түріндегі үшінші ретті дифференциалды теңдеудің шешімінің бар болуын зерттеу . . .

3. 3. операторына кері операторының ядролығы . . .

Қорытынды. . . .

Әдебиеттер . . .

Кіріспе

Тақырыптың өзектілігі. Дифференциалды теңдеулерді зерттеуде қойылатын негізгі сұрақтарды үш топқа біріктіруге болады: шешімнің бар болуы, жалғыздығы және сапалық өзгерістері. Бұл сұрақтардың алғашқы екеуі теңдеудің математикалық моделі ретінде белгілі бір процесті сипаттайтынына жауап берсе, ал үшіншісі процестің өзгеруін сипаттайды. Сондықтан сызықты және сызықты емес дифференциалды теңдеулер теориясында үшінші мәселе, яғни теңдеу шешімнің сапалық өзгерістерін зерттеу үлкен орын алады. Соның ішінде бізді төмендегідей сұрақтар қызықтырады: 1) шешімнің тегістігі, 2) шешімнің әр түрлі салмақты нормалардағы бағасы, 3) шешімнің аппроксимативті қасиеттері.

Шенелген облыста және коэффициенттердің сипаты жақсы болғанда эллипстік типті теңдеудің шешімінің тегістігі, әр түрлі нормадағы бағалары айтарлықтай зерттелген және негізгі қиындықтар мен олардан шығу жолдары анықталған. Бұл бағыттағы жұмыстардың толық библиографиясын Ж. Л. Лионс, Э. Мадженес және Н. Н. Уральцева, О. А. Ладыженский монографияларынан табуға болады.

Мұнда көрсетілген әдістерді ақырсыз облыстарда берілген және қатты өсетін (қосындыланбайтын) коэффициентті дифференциалды теңдеулер үшін қолдануға болмайды. Соңғыларды сингулярлы Штурм-Лиувиль теңдеуінің мысалында зерттеу Эверитт және Гирц еңбектерінде басталған, мұнда негізінен операторының бөлектенуіне тірек болатын q(x) функциясына қойылатын шарттар анықталған. Эверитт және Гирц терминдерінде көрсетілген оператор кеңістігінде бөлектенеді деп аталады, егер шарттарынан екені шықса, бұдан кейін бұл нәтижелер М. Өтелбаевтің, К. Х. Бойматовтың жұмыстарында олар ұсынған локализация әдісі мен Титчмарш-Левитан әдісінің әртүрлі модификацияларының негізінде әрі қарай жетіле түсті. Бұл жұмыстар сызықты эллиптикалық теңдеулердің бөлектенуін зерттеуде үлкен үлес қосуда. Олардың әдістемелері жартылай шенелмеген дифференциалды операторлардың, яғни энергетикалық кеңістіктері С. Л. Соболев кеңістігіне енбеген операторлардың кейбір класын зерттеуге көмек береді. Жартылай шенелмеген операторлар қатарына барлық тақ ретті дифференциалды операторлар жатады.

Тақ ретті сызықты және сызықты емес дифференциалды операторлар М. Өтелбаев, Д. Ж. Райымбеков, М. Б. Мұратбеков, А. Біргебаева, Т. Т. Аманова, А. Ж. Тогучуев, А. В. Тучин, Б. Алиев, Д. Зейнолов сияқты ғалымдардың еңбектерінде көрініс тапқан.

Мұнда Д. Ж. Райымбеков, Б. Алиев және Д. Зейнолов жұмыстары комплекс потенциалды жағдайға арналған. Сингулярлы тақ ретті дифференциалды операторлар жүйелі зерттелмеген. Мұндай теңдеулер математикалық физика теңдеулерін Фурье әдісімен зерттеу барысында пайда болады. Сондай-ақ нақты коэффициентті теңдеулер үшін де кейбір жауап табылмаған сұрақтар бар. Солардың кейбіреулеріне тоқталайық.

М. Өтелбаев, А. Біргебаева мынандай сызықты емес теңдеуді зерттеген: , және қосымша шарттары орындалғанда шешімнің шекті тегістігі алынған.

Тогучуевтің жұмысында түріндегі теңдеу қарастырылған, бірақ ол жұмыста потенциалды функция орнына операторлық коэффициент алынған.

М. Б. Мұратбеков және Т. Т. Аманова теңдеуін болған жағдайда қарастырған. Сондай-ақ, Бұл авторлардың жұмысында

қосымша шартының орындалуы талап етілген.

Жұмыстың өзектілігін тағы мынандай ашық қалған сұрақтан көруге болады.

Жете үзіліссіз сызықты операторлар өзара түйіндес жағдайында меншікті сандардың кемуімен, ал өзара түйіндес емес жағдайда сингулярлы сандарымен сипатталатыны белгілі. Тақ ретті сингулярлы дифференциалды операторлардың резольвентасы бар болған жағдайда оның компактілігін сипаттайтын сандық тізбекті көрсетуге болады ма? Бұл сұраққа қарастырылып отырған теңдеудің анықталу облысындағы бір жиынның көлденеңдерін бағалау арқылы, яғни жуықтау теориясының есебін шешу арқылы жауап беруге болады.

Жұмыс мақсаты. Жұмыстың негізгі мақсаты ақырлы облыста анықталған үшінші ретті дифференциалды оператордың жалғыз шешімінің бар және s-сандардың қасиетінің негізінде оператордың ядерлігіне жауап беретін сұрақтарды қарастыру.

Зерттеу әдістемесі. Сызықты үшінші ретті екі мүшелі дифференциалды операторды зерттеу барысында мынандай әдістер пайдаланылды: локализация әдісі, априорлы бағалау әдісі, салмақты кеңістіктердің енгізу теорияларының компактілік әдісі, анықталу облысымен байланысты жиынның көлденеңдерінің екі жақты бағасын алу үшін регуляризация әдісі;

Ғылыми жаңашылдығы. Жұмыста төмендегідей жаңа нәтижелер алынды:

Сызықты үшінші ретті дифференциалды оператордың кері операторы бар екендігі алынды.

2. операторының анықталу облысымен байланысты жиынының Колмогоров көлденеңдерінің екі жақты бағасы алынды.

3. Оператордың ядролығын қамтамасыз ететін қатарының жинақты екендігі дәлелденді.

I-бөлім. Функционалдық анализдің негізгі түсініктері мен кейбір фактілері.

1. 1. Метрикалық кеңістік түсінігі. Мысалдар.

Анализдің негізгі түсініктерінің бірі-шекке көшу. Бұл түсініктің негізінде элементтер арасындағы арақашықтықты анықтайтын скалярлық шама жатыр.

Анықтама. Жиын элементтерінің арақашықтығы (метрика) деп-төмендегідей шарттарды қанағаттандыратын

1. ,

функциясын айтамыз.

Анықтама. Егер жиында метрика енгізілген (анықталған) болса, онда ол метрикалық кеңістік деп аталады.

Сонымен, метрикалық кеңістік деп бос емес Х жиынынан және функциясынан құралған жұбын айтады.

Мысалы, 2-өлшемді Евклид кеңістігінде метрика

функциясымен анықталады.

Әрине, жиында метриканы әртүрлі әдіспен анықтауға болады. Бұл жағдайда әртүрлі метрика үшін алынған метрикалық кеңістіктер де әртүрлі болады.

Анализде кез келген жиында метрика анықтауға болатындығы дәлелденеді. Сондай-ақ метрикасы анықталса, онда

өрнегімен ақырсыз көп метрика анықтауға болады.

Элементтер арасындағы қашықтық ұғымына сүйене отырып мынандай түсініктерді енгізуге болады:

Анықтама. X кеңістігіндегі центрі радиусы болатын ашық (тұйық) шар деп- ( ) теңсіздігін қанағаттандыратын X кеңістігінің бөлігін айтамыз және деп белгілейміз.

Анықтама. Егер үшін болатындай шар табылса, онда жиыны ашық жиын деп аталады.

Анықтама. элементінің аймағы деп болатын кез келген ашық шарды немесе ашық жиынды айтамыз.

Айталық болсын.

Анықтама. Егер нүктесінің әрбір аймағы болатын кемінде бір элементін қамтитын болса онда нүктесі жиынының шектік нүктесі деп аталады.

Анықтама. Егер элементін қамтитын қандай да бір аймағы үшін болса, онда оңашаланған нүкте деп аталады.

Анықтама. Егер элементті қамтитын қандай да бір аймағы үшін толығымен жиынына енетін болса онда ішкі нүкте деп аталады.

Анықтама. жиынының толықтаушысы деп-оның барлық шектік нүктелерінің жиынын айтамыз және деп белгілейміз.

Анықтама. Егер болса онда жиыны тұйық деп аталады. Айталық метрикалық кеңістік және , болсын.

Анықтама. Егер болса жиыны жиынында тығыз деп аталады.

Анықтама. Егер болса онда жиыны жете тығыз деп аталады.

Анықтама. Құрамында саналымды жете тығыз жиыны бар кеңістіктер сеперабельді деп аталады.

Элементтер арасындағы қашықтықты анықтағаннан кейін жиын ұғымын енгізуге болады.

Анықтама. тізбегі элементіне жинақталады деп аталады, егер болғанда болса, бұл фактіні деп жазады.

Айталық бейнелеуі метрикалық кеңістігін метрикалық кеңістігіне бейнеленесін.

Анықтама. Егер тізбегі үшін

болса бейнелеуі нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Метрикалық кеңістіктегі компактілік.

Компакті жиындар (компакт жиындар) жиындар классификациясында маңызды рөлге ие.

Анықтама. Егер болса, жиынының ашық бүркеуі деп жиындар топтамасын айтамыз.

Жиынды бүркейтін мұндай жиындар топтамалары (бүркеулер) біреу емес екендігін ескертейік.

Анықтама. Егер жиынының әрбір ашық бүркеуінен саны арқылы ішкі бүркеу бөліп алуға болатын болса онда жиыны компакті немесе компакт деп аталады.

Компакт жиындардың келесі қасиеттерін дәлелдеусіз келтіреміз:

1. Компакті метрикалық кеңістіктің тұйық ішкі жиыны компакт.

2. Компакті метрикалық кеңістіктің үзіліссіз бейнелеу кезіндегі

образы компакт.

3. n-өлшемді евклид кеңістігінде компактілік тұйықтық пен

шектелгендікке эквивалентті.

4. метрикалық кеңістіктері үшін

болсын, онда бір мезгілде және кеңістіктерінде

компактілі.

Компакті жиындардың жоғарыдағы анықтамаға эквивалент тағы бір анықтамасын келтірейік.

Айталық және болсын.

Анықтама. Егер үшін болатындай табылса, онда жиыны жиынына тор деп аталады.

Компактілікті тағайындайтын келесі критерийді дәлелдеусіз қабылдаймыз.

Теорема. метрикалық кеңістігі компакт болу үшін тізбегінен жинақты ішкі тізбек бөлінуі қажетті және жеткілікті.

Теорема. толық метрикалық кеңістік және үшін кеңістігінде ақырлы тор бар болса, сонда тек сонда ғана компакт болады.

Метрикалық кеңістіктегі толықтық.

Метрикалық кеңістіктің көптеген фундаментальды қасиеттері оның толықтығына сүйенеді.

Анықтама. тізбегі фундаментальды деп аталады, егер болғанда болса.

Фундаментальды тізбекті Коши тізбегі деп атайды.

Егер және болса, онда теңсіздігінің негізінде болатындығын дәлелдеу қиын емес. Яғни егер жинақты тізбек болса, онда ол тізбек фундаментальды тізбек болады. Жалпы жағдайда кері тұжырым дұрыс емес. Кейбір нақты кеңістіктердің ерекшеліктеріне байланысты бұл ұғымдар эквивалент болады.

Мысалы, нақты сандар кеңістігінде бұл тұжырымдардың эквивалент екендігін білдіретін Коши критерийі бар. Осыған байланысты келесі түсінікті енгізейік.

Анықтама. метрикалық кеңістігі толық деп аталады, егер мұндағы әрбір фундаментальды тізбек осы кеңістіктің элементіне жинақталатын болса. Яғни толық

Осы тұрғыдан берілген метрикалық кеңістікті қандай да бір әдіспен толықтыруға болады ма?-деген орынды сұрақ туады. Бұл сұраққа төмендегі теорема жауап береді. Теореманы енгізбес бұрын бірқатар түсініктерді енгізейік.

Анықтама. метрикалық кеңістігі кеңістігінің толықтаушысы деп аталады, егер және болса.

Анықтама. және метрикалық кеңістіктері изометриялы деп аталады, егер олардың арасындағы арақашықтықты сақтайтын өзара бірмәнді сәйкестік бар болса, яғни

Теорема1. Әрбір метрикалық кеңістігінің толықтаушысы бар болады және бұл толықтаушысы изометрия дәлдігінде жалғыз болады.

Метрикалық кеңістіктерге мысалдар

1) кеңістігінде кез келген әртүрлі реттелген және нүктелері үшін метриканы мына түрде аламыз.

мұндағы: .

1) және 2) аксиомалардың орындалатыны жеңіл көрініп тұр.

3) аксиоманың орындалатынын тексерейік

, және болсын.

Дәлірек айтқанда біз мынадай теңсіздікті дәлелдеуіміз керек

. (1. 1. 1)

Егер

деп белгілесек, онда

Енді (1. 1. 1) теңсіздік пен соңғы келтірілген теңсіздіктерді пайдаланып жазсақ мынадай түрге енеді.

бұл Миньковский теңсіздігі , олай болса (1. 1. 1) теңсіздігі орындалады. Бұл метрикалық кеңістікті - деп белгілейміз.

2) болғанда бұл кеңістік n-өлшемді арифметикалық евклид кеңістігіне айналады.

3) Барлық нақты сандардың шектелген тізбегін жиынын қарастырайық:

, осы жиынның кез келген екі элементі болсын.

бұл метрика 1) - 3) аксиомаларды қанағаттандырады. Сондықтан аталған жиын метрикалық кеңістік болады, оны деп белгілейміз.

4) теңсіздігін қанағаттандыратын шексіз , сан тізбектерінің жиынын қарастырайық. Оны арқылы белгілейміз.

Осы жиында кез келген екі элементтің арақашықтығы

теңдігі арқылы анықтасақ ол метрикалық кеңістікке айналады. Ол үшін мынадай элементар теңсіздікті пайдаланамыз.

немесе

Соңғы теңсіздіктен үшін шамасының мағынасы бар болады, немесе

және

1) және 2) аксиомалардың орындалуы жеңіл дәлелденеді, ал 3) аксиома мына төмендегі теңсіздіктерден шығады (р=2 болғанда Миньковский теңсіздігі)

Бұл теңсіздікте шекке көшу арқылы мына теңсіздікті аламыз

Бұл кеңістік кеңістігі деп аталады.

Дәл осы жолмен кеңістігін -ге жалпылауға болады.

Енді функционалдық метрикалық кеңістіктерге бірнеше мысалдар келтірейік

5) кеңістігі. кесіндісінде анықталған үзіліссіз функциялар жиынында

Метрикасын енгіземіз. Бұл үш аксиоманы да оңай қанағаттандырады. Сондықтан -метрикалық кеңістік, -ді деп те белгілейміз.

6) кесіндісінде анықталған үзіліссіз функциялар жиыны, онда функцияларының арақашықтығы

Бұл метрикалық кеңістік болады, оны белгілейміз. 1), 2) аксиомалар оңай орындалады. 3) аксиома Миньковский интегралдық теңсіздігінен шығады. р=2 болғанда

теңсіздігі орындалады.

1 . 2. Сызықты және нормаланған кеңістіктер.

Анықтама. жиыны сызықты кеңістік деп аталады, егер үшін осы элементтердің қосындысы деп аталатын, келесі шарттарды қанағаттандыратын амалы анықталса:

1. егер болса, онда

2. ;

4. Барлық үшін болатын «нөлдік» элемент бар және жиынында келесі шарттарды қанағаттандыратын санына көбейту амалы анықталса:

5. егер болса, онда болады(мұндағы

скаляр шама) ;

6. -скалярлар;

8. (сол жағында нөл саны, ал оң жағында

«нөлдік» элемент) ;

10.

Мұнда элементі арқылы белгіленеді. Жоғарыдағы қасиеттерден және болатынын көреміз.

Кей жағдайда сызықты кеңістікті векторлық кеңістік деп, ал оның элементтерін векторлар деп атайды. Сызықтық кеңістікте скаляр көбейткіштері нақты немесе комплекст болуына байланысты кеңістік те нақты немесе комплекс деп аталады.

Мысалдар:

Барлық нақты(комплекс) сандар жиыны нақты (комплекс) сызықтық кеңістік құрайды.
Нақты(комплекс) коэффициентті бір айнымалы

көпмүшеліктер жиыны нақты(комплекс) сызықты кеңістік болады.

Анықтама. Сызықтық кеңістіктің жиыны осы кеңістіктің ішкі кеңістігі деп аталады, егер және скалярлары үшін болса. Мұндай ішкі кеңістікті сызықты көпбейне деп атайды.

Кеңістіктің элементтерінің ұзындығы анықталған кеңістікті нормаланған кеңістік деп атайды.

Анықтама. сызықты кеңістігінің әрбір элементіне келесі шарттарды қанағаттандыратын санын сәйкестендірсек:

1. және ;

онда кеңістігі нормаланған кеңістік деп аталады. санын элементінің нормасы деп атаймыз.

Егер болса, онда нормаланған элемент деп аталады.

Мысалы, нақты (комплекс) сандар жиынында норма ретінде санның абсолют шамасын алсақ, онда ол нормаланған сызықты кеңістік болады. Сызықты нормаланған кеңістіктерде элементтердің арасындағы қашықтық ұғымын енгізуге болады. Нақты айтқанда келесі тұжырым орынды болады:

Лемма. сызықты нормаланған кеңістігі

метрикасымен метрикалық кеңістік болады.

кеңістігінде осы метрика бойынша тізбектің жинақтылығы норма бойынша жинақтылықпен сай келеді.

Лемма. Сызықты нормаланған кеңістікте норма метрика мағынасында үзіліссіз функция болып табылады.

Анықтама. Егер сызықты нормаланған кеңістік

метрикасы бойынша толық метрикалық кеңістік болса онда сызықты нормаланған кеңістік толық деп аталады.

Толық сызықты нормаланған кеңістік банах кеңістігі деп аталады.

Теорема. Әрбір сызықты нормаланған кеңістік қандайда бір банах кеңістігіне енеді және сол кеңістікте тығыз болады.

1-мысал. Егерде кез келген саны үшін деп алатын болсақ, онда түзу сызығы нормаланған кеңістік болады.

2-мысал. Егер элементтері болатын нақты өлшемді кеңістікте

деп алсақ, онда барлық аксиомалар орындалатын болады.

формуласы -дегі (осы кеңістіктегі) қарастырып отырған өлшемді (метриканы) анықтайды.

Осы сызықты кеңістікте

нормасын немесе

нормасын енгізуге болады. Осы жағдайлардың әрқайсысында нормалар аксиомаларының орындалатындығын тексеру қиын емес.

1. 3. Гильберт кеңістігі

Анализде функциялардың скаляр көбейтіндісі кеңінен қолданылады. Сондықтан скаляр көбейтінді енгізілген сызықты кеңістікті қарастырған жөн болады.

Анықтама. Айталық элементтерінің қандай да бір жиыны болсын.

I. Егер жиынында үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын скаляр көбейтінді енгізілсе:

1. және

3. ;

II. жиынында үшін n сызықты тәуелсіз векторлар табылса, яғни ақырсыз өлшемді болса, онда абстрактылы гильберт кеңістігі немесе гильберт кеңістігі деп аталады.

Гильберт кеңістігінде элементінің нормасы

арқылы енгізіледі.

Бұл өрнекпен енгізілген элементінің нормасы норма аксиомаларын қанағаттандыратынын көру қиын емес.

Гильберт кеңістігінде

теңсіздігі орынды болады. Бұл теңсіздік Коши-Буняковский-Шварц теңсіздігі деп аталады.

Гильберт кеңістігінде метрика

теңдігі бойынша анықталады және осы метрика мағынасында Н толық кеңістік болып табылады.

Егер және болса, онда

яғни скаляр көбейтіндінің үзіліссіздігі орынды.

Гильберт кеңістігіндегі ортогональдылық

Анықтама. Гильберт кеңістігінің және элементтері ортогональды деп аталады, егер болса және деп белгілейді.

Егер үшін болса, онда элементі жиынына ортогональ делінеді, деп жазылады.

Теорема. Егер және болса, онда элементінің жіктелуі бар және ол жалғыз. Мұндағы ал

Салдар. кеңістігі ортогональды қосындыға жіктеледі, яғни

Лемма. сызықты көпбейнесі кеңістігінде барлық жерде тығыз болу үшін көпбейнесіне ортогональ нөлден өзгеше элементтің болмауы қажетті және жеткілікті

Дәлелдеуі:

Қажеттілігі: Айталық және бар болсын , онда . Демек , олай болса

Жеткіліктілігі: Айталық Олай болса табылып, алдыңғы теорема бойынша жіктелуі бар болады. Мұндағы , ал болғандықтан Ал бұл теорема шартына қайшы.

Рисс теорамасы

-гильбертті кеңістік және кеңістігінің тұйықталған ішкі кеңістігі болсын.

арқылы -тағы -дегі әр векторға ортогональді болатын барлық векторлардың жиынын белгілейміз,

яғни (х, у) =0, , .

1. 3. 1 леммасы . жиыны - кеңістігінің тұйықты сызықты ішкі кеңістігі болады.

Дәлелдеуі. болсын, онда барлық үшін (х, у) =0. Бұдан екендігін тексеру қиын болмайды, өйткені , мұндағы - кезкелген комплексті сан. Келесі y ₁ , у ₂ ∈ болсын, онда

y ₁ +у ₂ ∈ . Шынында, (х, у ₁ +у ₂ ) = (х, у ₁ ) +(х, у ₂ ) = 0. Сондықтан, - М кеңістігінің сызықты ішкі кеңістігі болады.

Енді -дің тұйықтылығын тексереміз. және да болсын, онда кезкелген х∈L үшін скалярлық көбейтіндінің үздіксіздігінен

болады. Бұдан екендігі келіп шығады.

Теорема 1. 3. 1. - гильбертті кеңістік және Equation. 3 - оның тұйықталынған сызықты ішкі кеңістігі болсын, онда -тың кез-келген элементі

(1. 3. 1)

түрінде жалғыз ғана болып көрсетіледі. Мұндағы, L, z ∈ .

Дәлелдеуі. (1. 3. 1) қатынасының біреу ғана болатындығын дәлелдейік. Мысалы, (1. 3. 1) қатынасымен қатар

(1. 3. 2)

мұндағы , , қатынасы да орын алсын.

Онда бұдан орын алады. , болса, онда яғни , олай болса . Жалғыздылығы (біреу ғана болатындылығы) дәлелденді.

Енді (1. 3. 1) қатынасының бар болатындығын дәлелдейік.

Екі жағдайды қарастырамыз:

Егер, онда, яғни теорема дәлелденді.
болсын. Онда х нүктесінен L жиынына дейінгі ара қашықтық

формуласы бойынша анықталады.

Берілген жағдайда және болатындай элементінің бар болатындылығын көрсетуіміз керек, мұндағы -дегі кезкелген элемент.

Сол үшін inf анықтамасын пайдаланамыз: және болатындай тізбегі табылады. Енді тізбегінің фундаментальді болатындығын көрсетеміз.

және

(1. 3. 3)

деп аламыз. және болатындықтан, болады және inf анықтамасына сәйкес

Equation. 3 (1. 3. 4)

тізбегін аламыз. Осы соңғы теңсіздікті ашып жазайық:

Бұдан және (1. 3. 3) -тен

немесе

(1. 3. 5)

келіп шығады.

Тікелей есептеу жүргізе отырып,

екенін аламыз.

Бұдан болғанда (1. 3. 5. ) -ті ескере отырып, мыналарды табамыз:

немесе

Осы соңғы теңсіздік -нің фундаментальды тізбек екендігін көрсетеді. Н-тың толықтығынан элементі бар болады. тұйықталған болғандықтан . Сонымен, біз

болатындығын дәлелдедік.

Енді -ден алынған кезкелген үшін ортогональ болатындығын көрсету керек болады. Ол үшін -да (1. 3. 5) -те шекке көше отырып,

екендігін аламыз, яғни

Сондықтан

теорема толық дәлелденді.

Ескерту. Біз Н кеңістігінің тікелей қосынды

түріндегі бейнелеуін алып отырмыз.

Бұл жағдайда олардың тікелей қосындысы да ортогональды қосынды болады. Мына қатынастардың орын алуы да орынды:

, .

Н гильбертті кеңістігінде функционалын қарастырамыз, мұндағы у нөлге тең емес Н-тан алынған нақты элемент.

Лемма 1. 3. 2. . сызықты және шектеулі функционал, және

теңдігі орындалады.

Дәлелдеуі болсын, онда

және

Коши теңсіздігіне сәйкес

деп алуымызға болады, сондықтан

(1. 3. 6)

Екінші жағынан

Бұдан

(1. 3. 7)

(1. 3. 6) - (1. 3. 7) теңсіздіктері лемманы дәлелдейді.

арқылы кезкелген сызықты үздіксіз функционалының барлық нөлдері жинағын, яғни

теңдеуінің түбірлерін белгілейік.

Лемма 1. 3. 3. К- Н кеңістігінің сызықты тұйықталған ішкі кеңістігі болады.

Дәлелдеуі. болсын, онда

Бұл элемент деген сөз. Енді , ал

кезкелген комплексті сан болсын, онда

яғни . Сызықтылығы дәлелденді.

Енді -ның тұйықталған ішкі кеңістік болатындығын дәлелдейміз. Шынында, егерде , болса, онда функционалдың үздіксіздігінен

болады, яғни . Сондықтан - тұйықталған сызықты ішкі кеңістік.

Лемма толық дәлелденді.

Ф. Рисс теоремасы. Кез келген үзіліссіз сызықты функционал Н гильбертті кеңістігінде

, ,

түрінде көрсетіледі.

Дәлелдеуі. - тағы кезкелген үздіксіз сызықты функционал және функционалының нөльдерінің ішкі кеңістігі болсын.

Екі жағдайды қарастырамыз.

;
.

Бірінші жағдайда функционалы барлық жерде нольге тең болады және Рисс теоремасын дәлелдеу үшін деп алу керек болады.

Екінші жағдайда нөльге тең емес НӨК элементі бар болады.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

Ұқсас жұмыстар

Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының оң анықталғандығы туралы

Гиперболалық операторлардың бір класының өз-өзіне түйіндестігін көрсету

Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының өз-өзіне түйіндестігі

Интегро-дифференциалдық теңдеулерді шешудің кейбір әдістері

Жай дифференциалдық теңдеулер және операторлар

Гиперболалық түрдегі оператордың бір класының симметриялы болатындығы туралы мәселені зерттеу

ШЕКТЕЛГЕН СТЕРЖЕНЬДЕГІ ЖЫЛУ ӨТКІЗГІШТІК ТЕҢДЕУІНІҢ ҚОРЫТЫНДЫЛАУ ЖӘНЕ ОНЫ ФУРЬЕ ӘДІСІМЕН ИНТЕГРАЛДАУ

Операторлар жайлы

Гиперболалық түрдегі теңдеулердің бір класы үшін шешімнің тегістігі мен аппроксимативтік қасиеттерін зерттеу

Жылу өткізгіштік теориясы негіздері

Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

Ақпарат

Қосымша

Email: info@stud.kz