Үшінші ретті дифференциалды операторлардың бір класының ядролығы


Кіріспе.

I.бөлім. Функционалдық анализдің негізгі түсініктері мен кейбір фактілері.
1.1. Метрикалық кеңістік түсінігі. Мысалдар.
1.2. Сызықты және нормаланған кеңістіктер..
1.3. Гильберт кеңістігі, ортогональдық...
1.4. Сызықты операторлар теориясының элементтері
1.5. Функционалдық және Соболев кеңістіктер..
1.6. Гильберт кеңістігіндегі функционалдар мен операторлар

II бөлім Сызықты операторлардың спектральды теория элементтері
2.1. Сызықты операторлардың меншікті мәні және меншікті векторлары ... .
2.2. Спектр және резольвента. Негізгі анықтама..

III бөлім. Негізгі бөлім түріндегі үшінші ретті дифференциалды теңдеуін зерттеу..
3.1. және кеңістіктері...
3.2. түріндегі үшінші ретті дифференциалды теңдеудің шешімінің бар болуын зерттеу..
3.3. операторына кері операторының ядролығы..

Қорытынды...
Әдебиеттер.
Тақырыптың өзектілігі. Дифференциалды теңдеулерді зерттеуде қойылатын негізгі сұрақтарды үш топқа біріктіруге болады: шешімнің бар болуы, жалғыздығы және сапалық өзгерістері. Бұл сұрақтардың алғашқы екеуі теңдеудің математикалық моделі ретінде белгілі бір процесті сипаттайтынына жауап берсе, ал үшіншісі процестің өзгеруін сипаттайды. Сондықтан сызықты және сызықты емес дифференциалды теңдеулер теориясында үшінші мәселе, яғни теңдеу шешімнің сапалық өзгерістерін зерттеу үлкен орын алады. Соның ішінде бізді төмендегідей сұрақтар қызықтырады: 1) шешімнің тегістігі, 2) шешімнің әр түрлі салмақты нормалардағы бағасы, 3) шешімнің аппроксимативті қасиеттері.
Шенелген облыста және коэффициенттердің сипаты жақсы болғанда эллипстік типті теңдеудің шешімінің тегістігі, әр түрлі нормадағы бағалары айтарлықтай зерттелген және негізгі қиындықтар мен олардан шығу жолдары анықталған. Бұл бағыттағы жұмыстардың толық библиографиясын Ж.Л.Лионс, Э.Мадженес және Н.Н.Уральцева, О.А.Ладыженский монографияларынан табуға болады.
Мұнда көрсетілген әдістерді ақырсыз облыстарда берілген және қатты өсетін (қосындыланбайтын) коэффициентті дифференциалды теңдеулер үшін қолдануға болмайды. Соңғыларды сингулярлы Штурм-Лиувиль теңдеуінің мысалында зерттеу Эверитт және Гирц еңбектерінде басталған, мұнда негізінен операторының бөлектенуіне тірек болатын q(x) функциясына қойылатын шарттар анықталған. Эверитт және Гирц терминдерінде көрсетілген оператор кеңістігінде бөлектенеді деп аталады, егер шарттарынан екені шықса, бұдан кейін бұл нәтижелер М.Өтелбаевтің, К.Х.Бойматовтың жұмыстарында олар ұсынған локализация әдісі мен Титчмарш-Левитан әдісінің әртүрлі модификацияларының негізінде әрі қарай жетіле түсті. Бұл жұмыстар сызықты эллиптикалық теңдеулердің бөлектенуін зерттеуде үлкен үлес қосуда. Олардың әдістемелері жартылай шенелмеген дифференциалды операторлардың, яғни энергетикалық кеңістіктері С.Л.Соболев кеңістігіне енбеген операторлардың кейбір класын зерттеуге көмек береді. Жартылай шенелмеген операторлар қатарына барлық тақ ретті дифференциалды операторлар жатады.
Тақ ретті сызықты және сызықты емес дифференциалды операторлар М.Өтелбаев, Д.Ж.Райымбеков, М.Б.Мұратбеков, А.Біргебаева, Т.Т.Аманова, А.Ж.Тогучуев, А.В.Тучин, Б.Алиев, Д.Зейнолов сияқты ғалымдардың еңбектерінде көрініс тапқан.
1. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их применения. М.: Изд-во «Мир», 1971.
2. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. –576с.
3. Титмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. М.: ИИЛ. –т.2, 1961.
4. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. М.: ИЛ, 1961. т.1,2. -278с.
5. Соболев С.Л. некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.
6. Отелбаев М.О. Оценки спектра оператора Штурма-Лиувилля.-Алматы, Гылым, 1990.
7. Бойматов К.Х. Теория разделимости для оператора Штурма-Лиувилля. // Матем. заметки. 1973, т.14, №3, с.349-359.
8. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости. //ДАН СССР. 1975, т.223, № 3, с. 521-524.
9. Муратбеков М.Б., Отелбаев М.О. Гладкость и аппроксимативные свойства решений одного класса нелинейных уравнений типа Шредингера// Известия вузов. -1989.- Т.27, №3. -С.44-47.
10. Рисс Ф., Секефальви –Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: ИЛ, 1954-500с.
11. Садовничи А.В. Теория операторов М., Наука 1986 г.
12. Ахиезер Н.И., Глазман И.П. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966, 543 с.
13. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1984.
14. Гасымов М.Г. О распределении собственных значений самосо-пряженных дифференциальных операторов //ДАН СССР, 1969., т. 186, №4.
15. Гехтман И.М. О спектре операторного уравнения Штурма-Лиувилля. Функциональный анализ и его приложения, 1972, т.6, вып.2, с.81-82.
16. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. О некоторых классах граничных задач для уравнения Штурма-Лиувилля с операторным потенциалом // Украинский математический журнал , 1972., т.23, №3, с.291-305.
17. Измайлов А.Л О разделимости оператора Штурма – Лиувилля с операторным потенциалом // Известия АН Каз ССР, 1977, сер физ.- мат., №5, с.40-44.
18. Муратбеков М.Б. Некоторые приложения функционального анализа
Тараз, 1996 г.
19. М.Б.Муратбеков Разделимость и спектр дифференциальных операторов смешанного типа. Тараз, 2006.
20. Акжигитов Е. Гладкость решений одного класса выраждающихся эллиптических уравнении. Автореферат кан. дисс. Джезказган, 1998 г.
21. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы М., Наука 1969 г.
22. Люстерник Л.А. Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа М., Высшая школа, 1982 г.
23. С.Г. Крейн Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М., Наука, 1971 г.
24. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин Элементы теорий функции и функционального анализа М., Наука, 1981 г.
25. В.С.Владимиров Уравнения математической физики М., 1976 г.
26. Муратбеков М.Б., Мүсілімов Б.М. Штурм-Лиувилль операторының бөліктенуі туралы Тараз, 1998
27. Мынбаев К.Т, Отелбаев М. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. – М.: Наука, 1988. 283 с.
28. Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. - М.: Физматгиз, 1966. - 368 с.
29. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1982. - 296 с.
30. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. - М.: Наука, 1982. - 224 с.
31. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. - М.: Наука, 1980. - 686 с.
32. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1989. - 512 с.
33. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Марlе. - Спб.: Питер, 2004. - 539с.
34. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б, Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. - М.: Высш.шк. 1970. - 712 с.
35. Михлин С.Г. Курс математической физики. - Спб.: Изд-во «Лань», 2002. – 576с.
36. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1966. – 443 с.
37. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Изд-во МГУ, 1999. – 798 с.
38. Шырақбаев А.Б.,Жақсылыққызы М. Үшінші ретті дифференциалды теңдеудің бір класының шешімінің бар болуы туралы.- Республикалық ғылыми-практикалық конференция материалдары. Тараз, 2011.-Т.2. -141-144 бб.
39. Муратбеков М.Б. ,Жақсылыққызы М. Үшінші ретті оператордың бір класының ядролылығы.- «Хабаршы-Вестник» журналы. №9. Тараз, 2012. -219-221 бб.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Дипломдық жұмыс
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 53 бет
Таңдаулыға:   
Бұл жұмыстың бағасы: 1900 теңге
бот арқылы тегін алу ауыстыру

Қандай қате таптыңыз?

Рақмет!






ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Тақырыбы: Үшінші ретті дифференциалды операторлардың бір класының
ядролығы

Автор:

Ғылыми жетекші: ф.-м.ғд., профессор, Мұратбеков М.Б.

Тараз 2012

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

I-бөлім. Функционалдық анализдің негізгі түсініктері мен кейбір
фактілері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.1. Метрикалық кеңістік түсінігі.
Мысалдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2. Сызықты және нормаланған
кеңістіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.3. Гильберт кеңістігі,
ортогональдық ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
...
1.4. Сызықты операторлар теориясының
элементтері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.5. Функционалдық және Соболев
кеңістіктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.6. Гильберт кеңістігіндегі функционалдар мен
операторлар ... ... ... ... ... ... ... .

II бөлім Сызықты операторлардың спектральды теория
элементтері ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
...
2.1. Сызықты операторлардың меншікті мәні және меншікті
векторлары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.2. Спектр және резольвента. Негізгі анықтама.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

III бөлім. Негізгі бөлім түріндегі үшінші ретті дифференциалды
теңдеуін
зерттеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
.
3.1. және
кеңістіктері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

3.2. түріндегі үшінші ретті дифференциалды теңдеудің шешімінің бар
болуын зерттеу ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3.3. операторына кері операторының
ядролығы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

Кіріспе

Тақырыптың өзектілігі. Дифференциалды теңдеулерді зерттеуде
қойылатын негізгі сұрақтарды үш топқа біріктіруге болады: шешімнің бар
болуы, жалғыздығы және сапалық өзгерістері. Бұл сұрақтардың алғашқы екеуі
теңдеудің математикалық моделі ретінде белгілі бір процесті сипаттайтынына
жауап берсе, ал үшіншісі процестің өзгеруін сипаттайды. Сондықтан сызықты
және сызықты емес дифференциалды теңдеулер теориясында үшінші мәселе, яғни
теңдеу шешімнің сапалық өзгерістерін зерттеу үлкен орын алады. Соның
ішінде бізді төмендегідей сұрақтар қызықтырады: 1) шешімнің тегістігі, 2)
шешімнің әр түрлі салмақты нормалардағы бағасы, 3) шешімнің
аппроксимативті қасиеттері.
Шенелген облыста және коэффициенттердің сипаты жақсы болғанда
эллипстік типті теңдеудің шешімінің тегістігі, әр түрлі нормадағы бағалары
айтарлықтай зерттелген және негізгі қиындықтар мен олардан шығу жолдары
анықталған. Бұл бағыттағы жұмыстардың толық библиографиясын Ж.Л.Лионс,
Э.Мадженес және Н.Н.Уральцева, О.А.Ладыженский монографияларынан табуға
болады.
Мұнда көрсетілген әдістерді ақырсыз облыстарда берілген және қатты
өсетін (қосындыланбайтын) коэффициентті дифференциалды теңдеулер үшін
қолдануға болмайды. Соңғыларды сингулярлы Штурм-Лиувиль теңдеуінің
мысалында зерттеу Эверитт және Гирц еңбектерінде басталған, мұнда негізінен
операторының бөлектенуіне тірек болатын q(x) функциясына
қойылатын шарттар анықталған. Эверитт және Гирц терминдерінде көрсетілген
оператор кеңістігінде бөлектенеді деп аталады, егер
шарттарынан екені шықса, бұдан кейін бұл нәтижелер
М.Өтелбаевтің, К.Х.Бойматовтың жұмыстарында олар ұсынған локализация әдісі
мен Титчмарш-Левитан әдісінің әртүрлі модификацияларының негізінде әрі
қарай жетіле түсті. Бұл жұмыстар сызықты эллиптикалық теңдеулердің
бөлектенуін зерттеуде үлкен үлес қосуда. Олардың әдістемелері жартылай
шенелмеген дифференциалды операторлардың, яғни энергетикалық кеңістіктері
С.Л.Соболев кеңістігіне енбеген операторлардың кейбір класын зерттеуге
көмек береді. Жартылай шенелмеген операторлар қатарына барлық тақ ретті
дифференциалды операторлар жатады.
Тақ ретті сызықты және сызықты емес дифференциалды операторлар
М.Өтелбаев, Д.Ж.Райымбеков, М.Б.Мұратбеков, А.Біргебаева, Т.Т.Аманова,
А.Ж.Тогучуев, А.В.Тучин, Б.Алиев, Д.Зейнолов сияқты ғалымдардың
еңбектерінде көрініс тапқан.
Мұнда Д.Ж.Райымбеков, Б.Алиев және Д.Зейнолов жұмыстары комплекс
потенциалды жағдайға арналған. Сингулярлы тақ ретті дифференциалды
операторлар жүйелі зерттелмеген. Мұндай теңдеулер математикалық физика
теңдеулерін Фурье әдісімен зерттеу барысында пайда болады. Сондай-ақ нақты
коэффициентті теңдеулер үшін де кейбір жауап табылмаған сұрақтар бар.
Солардың кейбіреулеріне тоқталайық.
М.Өтелбаев, А.Біргебаева мынандай сызықты емес теңдеуді зерттеген:
, және қосымша шарттары орындалғанда шешімнің шекті
тегістігі алынған.
Тогучуевтің жұмысында түріндегі теңдеу қарастырылған,
бірақ ол жұмыста потенциалды функция орнына операторлық коэффициент
алынған.
М.Б.Мұратбеков және Т.Т.Аманова теңдеуін болған
жағдайда қарастырған. Сондай-ақ, Бұл авторлардың жұмысында

қосымша шартының орындалуы талап етілген.
Жұмыстың өзектілігін тағы мынандай ашық қалған сұрақтан көруге болады.
Жете үзіліссіз сызықты операторлар өзара түйіндес жағдайында меншікті
сандардың кемуімен, ал өзара түйіндес емес жағдайда сингулярлы сандарымен
сипатталатыны белгілі. Тақ ретті сингулярлы дифференциалды операторлардың
резольвентасы бар болған жағдайда оның компактілігін сипаттайтын сандық
тізбекті көрсетуге болады ма? Бұл сұраққа қарастырылып отырған теңдеудің
анықталу облысындағы бір жиынның көлденеңдерін бағалау арқылы, яғни жуықтау
теориясының есебін шешу арқылы жауап беруге болады.
Жұмыс мақсаты. Жұмыстың негізгі мақсаты ақырлы облыста анықталған
үшінші ретті дифференциалды оператордың жалғыз шешімінің бар және s-
сандардың қасиетінің негізінде оператордың ядерлігіне жауап беретін
сұрақтарды қарастыру.
Зерттеу әдістемесі. Сызықты үшінші ретті екі мүшелі дифференциалды
операторды зерттеу барысында мынандай әдістер пайдаланылды: локализация
әдісі, априорлы бағалау әдісі, салмақты кеңістіктердің енгізу теорияларының
компактілік әдісі, анықталу облысымен байланысты жиынның көлденеңдерінің
екі жақты бағасын алу үшін регуляризация әдісі;
Ғылыми жаңашылдығы. Жұмыста төмендегідей жаңа нәтижелер алынды:
1. Сызықты үшінші ретті дифференциалды оператордың кері операторы бар
екендігі алынды.
2. операторының анықталу облысымен байланысты
жиынының Колмогоров көлденеңдерінің екі жақты бағасы алынды.
3. Оператордың ядролығын қамтамасыз ететін қатарының
жинақты екендігі дәлелденді.

I-бөлім. Функционалдық анализдің негізгі түсініктері мен кейбір фактілері.

1.1. Метрикалық кеңістік түсінігі. Мысалдар.
Анализдің негізгі түсініктерінің бірі-шекке көшу. Бұл түсініктің
негізінде элементтер арасындағы арақашықтықты анықтайтын скалярлық шама
жатыр.
Анықтама. Жиын элементтерінің арақашықтығы (метрика) деп-төмендегідей
шарттарды қанағаттандыратын

1. ,
2.
3.
функциясын айтамыз.
Анықтама. Егер жиында метрика енгізілген (анықталған) болса, онда ол
метрикалық кеңістік деп аталады.
Сонымен, метрикалық кеңістік деп бос емес Х жиынынан және
функциясынан құралған жұбын айтады.
Мысалы, 2-өлшемді Евклид кеңістігінде метрика

функциясымен анықталады.
Әрине, жиында метриканы әртүрлі әдіспен анықтауға болады. Бұл жағдайда
әртүрлі метрика үшін алынған метрикалық кеңістіктер де әртүрлі болады.
Анализде кез келген жиында метрика анықтауға болатындығы дәлелденеді.
Сондай-ақ метрикасы анықталса, онда

өрнегімен ақырсыз көп метрика анықтауға болады.
Элементтер арасындағы қашықтық ұғымына сүйене отырып мынандай
түсініктерді енгізуге болады:
Анықтама. X кеңістігіндегі центрі радиусы болатын ашық
(тұйық) шар деп- () теңсіздігін қанағаттандыратын X
кеңістігінің бөлігін айтамыз және деп белгілейміз.
Анықтама. Егер үшін болатындай шар табылса, онда
жиыны ашық жиын деп аталады.
Анықтама. элементінің аймағы деп болатын кез келген ашық
шарды немесе ашық жиынды айтамыз.
Айталық болсын.
Анықтама. Егер нүктесінің әрбір аймағы болатын кемінде
бір элементін қамтитын болса онда нүктесі жиынының шектік
нүктесі деп аталады.
Анықтама. Егер элементін қамтитын қандай да бір аймағы
үшін болса, онда оңашаланған нүкте деп аталады.
Анықтама. Егер элементті қамтитын қандай да бір аймағы
үшін толығымен жиынына енетін болса онда ішкі нүкте деп
аталады.
Анықтама. жиынының толықтаушысы деп-оның барлық шектік
нүктелерінің жиынын айтамыз және деп белгілейміз.
Анықтама. Егер болса онда жиыны тұйық деп аталады.
Айталық метрикалық кеңістік және , болсын.
Анықтама. Егер болса жиыны жиынында тығыз деп
аталады.
Анықтама. Егер болса онда жиыны жете тығыз деп аталады.

Анықтама. Құрамында саналымды жете тығыз жиыны бар кеңістіктер
сеперабельді деп аталады.
Элементтер арасындағы қашықтықты анықтағаннан кейін жиын ұғымын
енгізуге болады.
Анықтама. тізбегі элементіне жинақталады деп аталады,
егер болғанда болса, бұл фактіні деп жазады.
Айталық бейнелеуі метрикалық кеңістігін метрикалық
кеңістігіне бейнеленесін.
Анықтама. Егер тізбегі үшін

болса бейнелеуі нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Метрикалық кеңістіктегі компактілік.
Компакті жиындар (компакт жиындар) жиындар классификациясында маңызды
рөлге ие.
Анықтама. Егер болса, жиынының ашық бүркеуі деп
жиындар топтамасын айтамыз.
Жиынды бүркейтін мұндай жиындар топтамалары (бүркеулер) біреу емес
екендігін ескертейік.
Анықтама. Егер жиынының әрбір ашық бүркеуінен саны арқылы ішкі
бүркеу бөліп алуға болатын болса онда жиыны компакті немесе компакт
деп аталады.
Компакт жиындардың келесі қасиеттерін дәлелдеусіз келтіреміз:
1. Компакті метрикалық кеңістіктің тұйық ішкі жиыны компакт.
2. Компакті метрикалық кеңістіктің үзіліссіз бейнелеу кезіндегі
образы компакт.
3. n-өлшемді евклид кеңістігінде компактілік тұйықтық пен
шектелгендікке эквивалентті.
4. метрикалық кеңістіктері үшін
болсын, онда бір мезгілде және
кеңістіктерінде
компактілі.
Компакті жиындардың жоғарыдағы анықтамаға эквивалент тағы бір
анықтамасын келтірейік.
Айталық және болсын.
Анықтама. Егер үшін болатындай табылса, онда
жиыны жиынына тор деп аталады.
Компактілікті тағайындайтын келесі критерийді дәлелдеусіз қабылдаймыз.

Теорема. метрикалық кеңістігі компакт болу үшін
тізбегінен жинақты ішкі тізбек бөлінуі қажетті және жеткілікті.
Теорема. толық метрикалық кеңістік және үшін
кеңістігінде ақырлы тор бар болса, сонда тек сонда ғана
компакт болады.

Метрикалық кеңістіктегі толықтық.
Метрикалық кеңістіктің көптеген фундаментальды қасиеттері оның
толықтығына сүйенеді.
Анықтама. тізбегі фундаментальды деп аталады, егер
болғанда болса.
Фундаментальды тізбекті Коши тізбегі деп атайды.
Егер және болса, онда теңсіздігінің негізінде
болатындығын дәлелдеу қиын емес. Яғни егер жинақты тізбек
болса, онда ол тізбек фундаментальды тізбек болады. Жалпы жағдайда кері
тұжырым дұрыс емес. Кейбір нақты кеңістіктердің ерекшеліктеріне байланысты
бұл ұғымдар эквивалент болады.
Мысалы, нақты сандар кеңістігінде бұл тұжырымдардың эквивалент
екендігін білдіретін Коши критерийі бар. Осыған байланысты келесі түсінікті
енгізейік.
Анықтама. метрикалық кеңістігі толық деп аталады, егер мұндағы
әрбір фундаментальды тізбек осы кеңістіктің элементіне жинақталатын болса.
Яғни толық
Осы тұрғыдан берілген метрикалық кеңістікті қандай да бір әдіспен
толықтыруға болады ма?-деген орынды сұрақ туады. Бұл сұраққа төмендегі
теорема жауап береді. Теореманы енгізбес бұрын бірқатар түсініктерді
енгізейік.
Анықтама. метрикалық кеңістігі кеңістігінің толықтаушысы
деп аталады,егер және болса.
Анықтама. және метрикалық кеңістіктері изометриялы деп
аталады, егер олардың арасындағы арақашықтықты сақтайтын өзара бірмәнді
сәйкестік бар болса, яғни
.
Теорема1. Әрбір метрикалық кеңістігінің толықтаушысы бар
болады және бұл толықтаушысы изометрия дәлдігінде жалғыз болады.

Метрикалық кеңістіктерге мысалдар
1) кеңістігінде кез келген әртүрлі реттелген және
нүктелері үшін метриканы мына түрде аламыз.
.
мұндағы: .
1) және 2) аксиомалардың орындалатыны жеңіл көрініп тұр.
3) аксиоманың орындалатынын тексерейік
, және болсын.
Дәлірек айтқанда біз мынадай теңсіздікті дәлелдеуіміз керек
. (1.1.1)
Егер

деп белгілесек, онда

Енді (1.1.1) теңсіздік пен соңғы келтірілген теңсіздіктерді пайдаланып
жазсақ мынадай түрге енеді.
-

бұл Миньковский теңсіздігі, олай болса (1.1.1) теңсіздігі орындалады. Бұл
метрикалық кеңістікті - деп белгілейміз.
2) болғанда бұл кеңістік n-өлшемді арифметикалық евклид
кеңістігіне айналады.
3) Барлық нақты сандардың шектелген тізбегін жиынын қарастырайық:
, осы жиынның кез келген екі элементі болсын.

бұл метрика 1) – 3) аксиомаларды қанағаттандырады. Сондықтан аталған жиын
метрикалық кеңістік болады, оны деп белгілейміз.
4) теңсіздігін қанағаттандыратын шексіз , сан
тізбектерінің жиынын қарастырайық. Оны арқылы белгілейміз.
Осы жиында кез келген екі элементтің арақашықтығы

теңдігі арқылы анықтасақ ол метрикалық кеңістікке айналады. Ол үшін мынадай
элементар теңсіздікті пайдаланамыз.

немесе

Соңғы теңсіздіктен үшін шамасының мағынасы бар болады,
немесе

және

1) және 2) аксиомалардың орындалуы жеңіл дәлелденеді, ал 3) аксиома мына
төмендегі теңсіздіктерден шығады (р=2 болғанда Миньковский теңсіздігі)

Бұл теңсіздікте шекке көшу арқылы мына теңсіздікті аламыз

Бұл кеңістік кеңістігі деп аталады.
Дәл осы жолмен кеңістігін -ге жалпылауға болады.

Енді функционалдық метрикалық кеңістіктерге бірнеше мысалдар келтірейік
5) кеңістігі. кесіндісінде анықталған үзіліссіз функциялар
жиынында

Метрикасын енгіземіз. Бұл үш аксиоманы да оңай қанағаттандырады. Сондықтан
-метрикалық кеңістік, -ді деп те белгілейміз.
6) кесіндісінде анықталған үзіліссіз функциялар жиыны, онда
функцияларының арақашықтығы
.
Бұл метрикалық кеңістік болады, оны белгілейміз. 1), 2) аксиомалар
оңай орындалады. 3) аксиома Миньковский интегралдық теңсіздігінен шығады.
р=2 болғанда

теңсіздігі орындалады.

1.2. Сызықты және нормаланған кеңістіктер.
Анықтама. жиыны сызықты кеңістік деп аталады, егер
үшін осы элементтердің қосындысы деп аталатын, келесі шарттарды
қанағаттандыратын амалы анықталса:
1. егер болса, онда
2. ;
3.
4. Барлық үшін болатын нөлдік элемент бар және
жиынында келесі шарттарды қанағаттандыратын санына көбейту
амалы анықталса:
5. егер болса, онда болады(мұндағы
скаляр шама);
6. -скалярлар;
7.

8. (сол жағында нөл саны, ал оң жағында
нөлдік элемент);
9.
10.
Мұнда элементі арқылы белгіленеді. Жоғарыдағы
қасиеттерден және болатынын көреміз.
Кей жағдайда сызықты кеңістікті векторлық кеңістік деп, ал оның
элементтерін векторлар деп атайды. Сызықтық кеңістікте скаляр
көбейткіштері нақты немесе комплекст болуына байланысты кеңістік те нақты
немесе комплекс деп аталады.
Мысалдар:
1. Барлық нақты(комплекс)сандар жиыны нақты (комплекс) сызықтық кеңістік
құрайды.
2. Нақты(комплекс) коэффициентті бір айнымалы
көпмүшеліктер жиыны нақты(комплекс) сызықты кеңістік болады.
Анықтама. Сызықтық кеңістіктің жиыны осы кеңістіктің ішкі
кеңістігі деп аталады, егер және скалярлары үшін
болса. Мұндай ішкі кеңістікті сызықты көпбейне деп атайды.
Кеңістіктің элементтерінің ұзындығы анықталған кеңістікті нормаланған
кеңістік деп атайды.
Анықтама. сызықты кеңістігінің әрбір элементіне келесі
шарттарды қанағаттандыратын санын сәйкестендірсек:
1. және ;
2.
3.
онда кеңістігі нормаланған кеңістік деп аталады. санын
элементінің нормасы деп атаймыз.
Егер болса, онда нормаланған элемент деп аталады.
Мысалы, нақты (комплекс) сандар жиынында норма ретінде санның абсолют
шамасын алсақ, онда ол нормаланған сызықты кеңістік болады. Сызықты
нормаланған кеңістіктерде элементтердің арасындағы қашықтық ұғымын енгізуге
болады. Нақты айтқанда келесі тұжырым орынды болады:
Лемма. сызықты нормаланған кеңістігі

метрикасымен метрикалық кеңістік болады.
кеңістігінде осы метрика бойынша тізбектің жинақтылығы норма
бойынша жинақтылықпен сай келеді.
Лемма. Сызықты нормаланған кеңістікте норма метрика мағынасында
үзіліссіз функция болып табылады.
Анықтама. Егер сызықты нормаланған кеңістік

метрикасы бойынша толық метрикалық кеңістік болса онда сызықты нормаланған
кеңістік толық деп аталады.
Толық сызықты нормаланған кеңістік банах кеңістігі деп аталады.
Теорема. Әрбір сызықты нормаланған кеңістік қандайда бір банах
кеңістігіне енеді және сол кеңістікте тығыз болады.
1-мысал. Егерде кез келген саны үшін деп алатын болсақ,
онда түзу сызығы нормаланған кеңістік болады.
2-мысал. Егер элементтері болатын нақты өлшемді кеңістікте

деп алсақ, онда барлық аксиомалар орындалатын болады.

формуласы -дегі (осы кеңістіктегі) қарастырып отырған өлшемді
(метриканы) анықтайды.
Осы сызықты кеңістікте

нормасын немесе

нормасын енгізуге болады. Осы жағдайлардың әрқайсысында нормалар
аксиомаларының орындалатындығын тексеру қиын емес.

1.3. Гильберт кеңістігі
Анализде функциялардың скаляр көбейтіндісі кеңінен қолданылады.
Сондықтан скаляр көбейтінді енгізілген сызықты кеңістікті қарастырған жөн
болады.
Анықтама. Айталық элементтерінің қандай да бір жиыны болсын.
I. Егер жиынында үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын
скаляр көбейтінді енгізілсе:
1. және
2.
3. ;
II. жиынында үшін n сызықты тәуелсіз векторлар табылса,
яғни ақырсыз өлшемді болса, онда абстрактылы гильберт
кеңістігі немесе гильберт кеңістігі деп аталады.
Гильберт кеңістігінде элементінің нормасы
арқылы енгізіледі.
Бұл өрнекпен енгізілген элементінің нормасы норма аксиомаларын
қанағаттандыратынын көру қиын емес.
Гильберт кеңістігінде

теңсіздігі орынды болады. Бұл теңсіздік Коши-Буняковский-Шварц теңсіздігі
деп аталады.
Гильберт кеңістігінде метрика

теңдігі бойынша анықталады және осы метрика мағынасында Н толық кеңістік
болып табылады.
Егер және болса, онда
яғни скаляр көбейтіндінің үзіліссіздігі орынды.

Гильберт кеңістігіндегі ортогональдылық
Анықтама. Гильберт кеңістігінің және элементтері
ортогональды деп аталады, егер болса және деп белгілейді.
Егер үшін болса, онда элементі жиынына
ортогональ делінеді, деп жазылады.
Теорема. Егер және болса, онда элементінің
жіктелуі бар және ол жалғыз. Мұндағы ал
Салдар. кеңістігі ортогональды қосындыға жіктеледі, яғни

Лемма. сызықты көпбейнесі кеңістігінде барлық жерде тығыз
болу үшін көпбейнесіне ортогональ нөлден өзгеше элементтің болмауы
қажетті және жеткілікті
Дәлелдеуі:
Қажеттілігі: Айталық және бар болсын , онда
. Демек , олай болса
Жеткіліктілігі: Айталық Олай болса табылып, алдыңғы
теорема бойынша жіктелуі бар болады. Мұндағы , ал
болғандықтан Ал бұл теорема шартына қайшы.

Рисс теорамасы
-гильбертті кеңістік және кеңістігінің тұйықталған ішкі
кеңістігі болсын.
арқылы -тағы -дегі әр векторға ортогональді болатын
барлық векторлардың жиынын белгілейміз,
яғни (х,у)=0, , .
1.3.1 леммасы. жиыны - кеңістігінің тұйықты сызықты ішкі
кеңістігі болады.
Дәлелдеуі. болсын, онда барлық үшін (х,у)=0. Бұдан
екендігін тексеру қиын болмайды, өйткені , мұндағы -
кезкелген комплексті сан. Келесі y1, у2 ( болсын, онда
y1+у2 (. Шынында, (х,у1+у2) = (х,у1)+(х,у2) = 0. Сондықтан, - М
кеңістігінің сызықты ішкі кеңістігі болады.
Енді -дің тұйықтылығын тексереміз. және да
болсын, онда кезкелген х(L үшін скалярлық көбейтіндінің үздіксіздігінен

болады. Бұдан екендігі келіп шығады.
Теорема 1.3.1. - гильбертті кеңістік және - оның
тұйықталынған сызықты ішкі кеңістігі болсын, онда -тың кез-келген
элементі

(1.3.1)
түрінде жалғыз ғана болып көрсетіледі. Мұндағы, L, z (.
Дәлелдеуі. (1.3.1) қатынасының біреу ғана болатындығын дәлелдейік.
Мысалы, (1.3.1) қатынасымен қатар

(1.3.2)
мұндағы , , қатынасы да орын алсын.
Онда бұдан орын алады. , болса, онда яғни
, олай болса . Жалғыздылығы (біреу ғана болатындылығы)
дәлелденді.
Енді (1.3.1) қатынасының бар болатындығын дәлелдейік.
Екі жағдайды қарастырамыз:
1) Егер , онда , яғни теорема дәлелденді.
2) болсын. Онда х нүктесінен L жиынына дейінгі ара қашықтық

формуласы бойынша анықталады.
Берілген жағдайда және болатындай элементінің бар
болатындылығын көрсетуіміз керек, мұндағы -дегі кезкелген элемент.
Сол үшін inf анықтамасын пайдаланамыз: және болатындай
тізбегі табылады. Енді тізбегінің фундаментальді болатындығын
көрсетеміз.
және
(1.3.3)
деп аламыз. және болатындықтан, болады және inf
анықтамасына сәйкес
(1.3.4)

тізбегін аламыз. Осы соңғы теңсіздікті ашып жазайық:

Бұдан және (1.3.3)-тен

немесе

немесе
(1.3.5)
келіп шығады.
Тікелей есептеу жүргізе отырып,

екенін аламыз.
Бұдан болғанда (1.3.5.)-ті ескере отырып, мыналарды табамыз:

немесе

Осы соңғы теңсіздік -нің фундаментальды тізбек екендігін көрсетеді. Н-
тың толықтығынан элементі бар болады. тұйықталған болғандықтан
. Сонымен, біз

болатындығын дәлелдедік.
Енді -ден алынған кезкелген үшін ортогональ
болатындығын көрсету керек болады. Ол үшін -да (1.3.5)-те шекке көше
отырып,

екендігін аламыз, яғни
.
Сондықтан

теорема толық дәлелденді.
Ескерту. Біз Н кеңістігінің тікелей қосынды

түріндегі бейнелеуін алып отырмыз.
Бұл жағдайда олардың тікелей қосындысы да ортогональды қосынды
болады. Мына қатынастардың орын алуы да орынды:
, .
Н гильбертті кеңістігінде функционалын қарастырамыз, мұндағы у нөлге
тең емес Н-тан алынған нақты элемент.

Лемма 1.3.2.. сызықты және шектеулі функционал, және

теңдігі орындалады.
Дәлелдеуі болсын, онда

және

Коши теңсіздігіне сәйкес

деп алуымызға болады, сондықтан
(1.3.6)

Екінші жағынан

.

Бұдан

(1.3.7)
(1.3.6) – (1.3.7) теңсіздіктері лемманы дәлелдейді.
арқылы кезкелген сызықты үздіксіз функционалының барлық нөлдері
жинағын, яғни

теңдеуінің түбірлерін белгілейік.

Лемма 1.3.3. К- Н кеңістігінің сызықты тұйықталған ішкі кеңістігі
болады.
Дәлелдеуі. болсын, онда

Бұл элемент деген сөз. Енді , ал
кезкелген комплексті сан болсын, онда
,
яғни . Сызықтылығы дәлелденді.
Енді -ның тұйықталған ішкі кеңістік болатындығын дәлелдейміз.
Шынында, егерде , болса, онда функционалдың үздіксіздігінен

болады, яғни . Сондықтан - тұйықталған сызықты ішкі кеңістік.
Лемма толық дәлелденді.

Ф.Рисс теоремасы. Кез келген үзіліссіз сызықты функционал Н
гильбертті кеңістігінде
, ,
түрінде көрсетіледі.
Дәлелдеуі. - тағы кезкелген үздіксіз сызықты функционал және
функционалының нөльдерінің ішкі кеңістігі болсын.
Екі жағдайды қарастырамыз.
1. ;
2. .
Бірінші жағдайда функционалы барлық жерде нольге тең болады және
Рисс теоремасын дәлелдеу үшін деп алу керек болады.
Екінші жағдайда нөльге тең емес НӨК элементі бар болады.
, мұндағы х түгелдей Н-та қамтылған, түріндегі элементтерді
қарастырамыз. Бұл элементтердің К-да жататынын тексеру қиын емес. Шынында
да

Сондықтан

яғни

теңдігінің орын алуы орынды, бұдан

немесе
.
Соңғы теңдіктен
(1.3.8)
аламыз, мұндағы ( 0. Егерде

(1.3.9)
деп алсақ, онда (1.3.7), (1.3.8) –ден
(1.3.10)

екендігі шығады.
Бұл бастапқы функционалдың көрсетілу түрі болып табылады.
Осы (1.3.9) көрсетілуі және 1.3.1 леммасы Рисс теоремасын толығынан
дәлелдейтін болады, егерде біз (1.3.9) көрсетілуінің біреу ғана (жалғыз)
болатындығын дәлелдесек. Кезкелген үшін керісінше болжам жасай
отырып, теңдігін аламыз, мұндағы және екі түрлі
векторлар. Бірақта бұл мүмкін емес, өйткені х кезкелген вектор
болғандықтан, деп алсақ, онда біз екендігін аламыз.
Сонымен, Ф.Рисс теоремасы дәлелденді.
1.4. Сызықты операторлар теориясының элементтері

Айталық және сызықты нормаланған кеңістіктер болсын.
жиынында операторы анықталған дейді, егер әрбір үшін
элементі сәйкес қойылса. Мұндағы оператордың анықталу облысы,
ал оператордың мәндер облысы делінеді.
Анықтама. Егер және үшін болса, онда
операторы сызықты деп аталады,.
Анықтама. Егер үшін

болатын С0 тұрақтысы бар болса, онда операторы шектелген деп
аталады.
Осындай тұрақтылардың ең кішісі операторының нормасы делінеді
де деп белгіленеді.
Кез келген шектелген оператор үшін норма мына түрде

анықталады.
Анықтама. Егер болатын тізбегі үшін болса, онда
операторы үзіліссіз деп аталады.
Теорема. сызықты операторы шектелген болуы үшін оның үзіліссіз
болуы қажетті және жеткілікті.
Анықтама. Айталық сызықты кеңістіктер және болсын.
жиыны операторының ядросы деп аталады және деп белгіленеді,
яғни:
Нөл әрқашан сызықты оператордың ядросына енеді, яғни:
. Сызықты оператордың анықталу облысы, сондай-ақ мәндер облысы
табиғаты әртүрлі жиындар болады.
Анықтама. сызықты кеңістігінде анықталған мәндер жиыны сандар
болып келетін операторды функционал деп атаймыз.
Мысалы, жиыны – кесіндісінде анықталған өлшемді
функциялардың жиыны болсын. функционалы әрбір функцияға оның
максимумын сәйкестендіреді.
Анықтама. Егер функционалы ол келесі шартты қанағаттандырса
онда бұл жағдайда функционалы сызықты функционал деп
аталады .
гильберт кеңістігінде функционалын қарастырайық,
мұндағы, кеңістігіндегі нөлден өзгеше бекітілген элемент.
Лемма. сызықты үзіліссіз функционал және

теңдігі орындалады.
Дәлелдеуі: Айталық , онда

және
.
Коши теңсіздігінен

Сонымен
.
Екінші жағынан
.
Бұдан
,
яғни .
Сызықты үзіліссіз функционалдың нөлдерінің жиынын, яғни,
теңдеуінің түбірлерінің жиынын деп белгілейік.
Лемма. жиыны кеңістігінің сызықты тұйық ішкі кеңістігі.

Кері операторлар.
Айталық операторы кеңістігін кеңістігіне
түрлендірсін. оператордың анықталу облысы, ал мәндер облысы.
Анықтама. Егер теңдеуінің жалғыз ғана шешімі бар болса, онда
операторы қайтымды деп аталады.
Егер L операторы қайтымды болса, онда әрбір элементіне
теңдеуінің шешімі болатындай бір ғана элементін сәйкес қоюға болады.
Осы сәйкестікті жасайтын операторды операторының кері операторы деп
атайды және деп белгілейді.
Айталық болсын.
Теорема. Егер, өзара бірмәнді бейнелеу болса, сонда тек сонда
ғана бар болады.
Кері оператордың бар болуы операторлар теориясында үлкен маңызды орын
алады, Сондықтан Қандай жағдайда кері оператор бар болады?- сұрақ орынды.
Теорема. облысында анықталған сызықты операторы үшін
облысында анықталған кері оператор бар болуы үшін болуы
қажетті және жеткілікті.
Оператор ядросының анықтамасы бойынша Демек операторы
бар болуы үшін біртекрі теңдеуінің тек деген шешімінен басқа
шешімнің жоқ болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеуі: Айталық болсын. Теореманы дәлелдеу үшін ері жору
әдісін пайдаланайық. сызықты операторына кері жоқ болсын
ұйғарайық. Онда түбірлеріне сәйкес келетін бір ғана
табылады. Бұдан оператордң сызықты екенін пайдалансақ . Бұл теңдік
екенін білдіреді. Алайда болғандықтан , бұдан .
Айталық бар болсын және . Онда .
табылсын, яғни .
. .
Соңғы теңдіктен
,
екенін аламыз. Бұл сызықты операторына кері бар деген
тұжырымға қайшы. Теорема дәлелденді.
Теорема. Айталық сызықты кеңістіктер және ,
- сызықты оператор болсын. Егер үшін
(C0)
болса, онда облысында шектеулі кері оператор бар болады.
Дәлелдеуі: Келесі өзекті түсінікті енгізейік.
Анықтама. Егер және шектеулі бар болса онда
сызықты операторы үзіліссіз қайтымды деп аталады.
Теорема. - үзіліссіз қайтымды болу үшін және

болуы қажетті және жеткілікті.
Бұл жұмыста біз тек сызықты оператормен жұмыс істейтін болғандықтан
бізге келесі тұжырым қажет болады.
Теорема. - сызықты оператор және оның анықталу облысы
кеңістігінде тығыз болсын. Егер , (C0), теңдігімен қатар
теңдігі орындалса, онда сызықты операторы үзіліссіз қайтымды
болады.
Дәлелдеуі: Шектелген операторларының бар болатыны көрініп тұр.
екенін көрсетейік. Кері жориық. болсын. Онда Рисс
теоремасы бойынша , орындалады. Бұдан теңдігін аламыз.
жиыны кеңістігінде тығыз болғандықтан болады. Бұл
екенін білдіреді. Біз қайшылыққа келдік. Сонымен, теорема толықтай
дәлелденді.

Түйіндес операторлар
Е сызықты кеңістігін кеңістігіне түрлендіретін L операторын
қарастырайық. g функционалы кеңістігінде анықталсын, яғни Осы
функционалды элементіне қолданайық: яғни (Мұндағы
сәйкесінше Е, кеңістіктеріне түйіндес кеңістіктер). Демек, әрбір
функционалына функционалын сәйкес қойдық.
Анықтама Жоғарыдағы әдіспен анықталған сәйкестікті L операторына
түйіндес оператор деп атап, деп белгілейміз.
f функционалының х элементіндегі мәнін деп белгілесек, онда
немесе екенін аламыз.
Түйіндес оператордың қасиеттері:
1) егер L сызықты болса, онда операторы да сызықты болады;
2) ;
3) ;
4) егер L үзіліссіз болса, онда операторы да үзіліссіз болады;
5) , мұндағы бірлік оператор.
Теорема Егер шектелген сызықты оператор болса, онда ( Е
және Банах кеңістіктері). L операторы Гильберт кеңістігінде
анықталған болса, Рисс теоремасы бойынша түйіндес оператордың анықтамасы
түрінде болады.
L және операторлары бір кеңістікте анықталатын жағдайлар көп
кездеседі. Осындай жағдайда операторы жақсы қасиетке ие болады.
Анықтама Егер үшін болса, онда ішкі кеңістігі L
операторына қатысты инвариантты деп аталады.
Теорема ішкі кеңістігі L операторына қатысты инвариантты болса,
онда ортогональді толықтауышы операторына қатысты инвариантты
болады.
Дәлелдеуі: Егер болса, онда Бұдан түйіндес оператордың
анықтамасы бойынша . Демек, Олай болса,
Айталық, болсын. түйіндес операторы теңдеуінің
шешімінің бар екенін көрсетуде зор рөл атқарады.
Теорема теңдеуінің үшін бір ғана шешімі бар болады, сонда
тек сонда ғана, егер болса.
Түйіндес оператор түсінігін шектеусіз операторлар жағдайына да келтіруге
болады. Мұны гильбертті кеңістік жағдайында қарастырайық.
А-Н гильбертті кеңістігінде толығынан анықталған сызықты оператор
болсын. - барлық үшін

болатындай жиыны, мұнда .
Әр үшін деп алайық. операторы А –ға түйіндес деп
аталады.
Атап, кетуіміз керек, -функциясы формуласы бойынша бір мәнді
болып анықталуы үшін облысы тығыз болуы ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының оң анықталғандығы туралы
Гиперболалық операторлардың бір класының өз-өзіне түйіндестігін көрсету
Жойылмалы эллиптік түрдегі оператордың бір класының өз-өзіне түйіндестігі
Интегро-дифференциалдық теңдеулерді шешудің кейбір әдістері
Жай дифференциалдық теңдеулер және операторлар
Гиперболалық түрдегі оператордың бір класының симметриялы болатындығы туралы мәселені зерттеу
ШЕКТЕЛГЕН СТЕРЖЕНЬДЕГІ ЖЫЛУ ӨТКІЗГІШТІК ТЕҢДЕУІНІҢ ҚОРЫТЫНДЫЛАУ ЖӘНЕ ОНЫ ФУРЬЕ ӘДІСІМЕН ИНТЕГРАЛДАУ
Гиперболалық түрдегі теңдеулердің бір класы үшін шешімнің тегістігі мен аппроксимативтік қасиеттерін зерттеу
Операторлар жайлы
Мұнай өңдеу зауытын электрмен қамдауды жобалау
Пәндер