Функцияның туындысы және дифференциалы

Жоспар
Кіріспе

1. Функцияның туындысы
2. Жанама туралы есеп
3. Жылдамдық туралы есеп.

Дәрістің мақсаты : Функцияның туындысын таба білу, туындының механикалық және геометриялық мағыналарын түсіну, күрделі функциялардың туындысын есептеуді үйренулері , жаңа ұғымдар және анықтауларды меңгерулері керек.
Бастапқы сөздер : Туындының анықтамасы, белгiлену түрлері. Есептеудiң мысалдары. Дифференциалдау ережелері. Күрделі функцияның туындысы. Кері функцияның туындысы. Туындылар таблицасы. Жоғарғы ретті туындылар. Лейбниц формуласы. Локальды экстремум. Ферма теоремасы. Ролль, Коши, Лагранж теоремалары. Дарбу теоремасы. Сызықты функция. Дифференциал.
Функцияның туындысы.
Туынды ұғымы өзара байланысты екені алдын ала көрінбейтін келесі екі есепті шығарғанда пайда болды – ол қисыққа жанама жүргізу және қозғалып бара жатқан дененің жылдамдығын табу есептері.
Жанама туралы есеп.  функциясының графигін, яғни жазықтықта жатқан (x,f(x)) түріндегі нүктелер жиынын қарастырайық (оны y=f(x) қисығы не жай қисық деп те атайды).
Белгілі бір (x0,f(x0)) нүктесінде қисыққа «тығыз орналасқан» түзуді сызу. Әрине, ондай түзу бар болса, онда ол тек қана сол қисыққа тән қасиеттер арқылы табылады. Сондықтан, қисықта жатқан басқа (x1,f(x1)) нүктесін алып, сол екі нүктеден түзу өткізейік. Оның теңдеуі

болады. Әрбір (x0,f(x0)) нүктесінен өтетін және y-тер осьіне паралель емес түзудің теңдеуі y=k(x-x0)+f(x0) түрінде жазылады, демек k нақты санына тәуелді болады.
Әрине, белгілі бір мағынада екі түзудің жақындығын оларды анықтайтын k сандарының жақындығы арқылы түсінуге болады. Ал, бізідң жағдайда сондай k сандары x1-ге мынадай тәуелділікте болады.

Сондықтан, x1-ді x0-ге ақырсыз жақын алған сайын, k(x1) белгілі бір k санына ақырсыз жақындаса, онда теңдеуі болатын түзуді бізге керекті «қисыққа тығыз орналасқан» түзу ретінде алуға болады.
Мұндағы k-ны тапқан жолымыз шектер тілінде былай бейнеленеді.
яғни .
Айтқанымыздың геометриялық бейнесі 36-суретте берілген. Сонымен келесі анықтамаға келдік. Егер нүктесінде нақты мәнді шегі бар болса, онда түзуі қисығының нүктесіндегі жанамасы деп аталады.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

Тақырыбы: Функцияның туындысы және дифференциалы
Дәрістің мақсаты : Функцияның туындысын таба білу, туындының механикалық және геометриялық мағыналарын түсіну, күрделі функциялардың туындысын есептеуді үйренулері , жаңа ұғымдар және анықтауларды меңгерулері керек.
Бастапқы сөздер : Туындының анықтамасы, белгiлену түрлері. Есептеудiң мысалдары. Дифференциалдау ережелері. Күрделі функцияның туындысы. Кері функцияның туындысы. Туындылар таблицасы. Жоғарғы ретті туындылар. Лейбниц формуласы. Локальды экстремум. Ферма теоремасы. Ролль, Коши, Лагранж теоремалары. Дарбу теоремасы. Сызықты функция. Дифференциал.
Функцияның туындысы.
Туынды ұғымы өзара байланысты екені алдын ала көрінбейтін келесі екі есепті шығарғанда пайда болды - ол қисыққа жанама жүргізу және қозғалып бара жатқан дененің жылдамдығын табу есептері.
Жанама туралы есеп. функциясының графигін, яғни жазықтықта жатқан (x,f(x)) түріндегі нүктелер жиынын қарастырайық (оны y=f(x) қисығы не жай қисық деп те атайды).
Белгілі бір (x0,f(x0)) нүктесінде қисыққа тығыз орналасқан түзуді сызу. Әрине, ондай түзу бар болса, онда ол тек қана сол қисыққа тән қасиеттер арқылы табылады. Сондықтан, қисықта жатқан басқа (x1,f(x1)) нүктесін алып, сол екі нүктеден түзу өткізейік. Оның теңдеуі

болады. Әрбір (x0,f(x0)) нүктесінен өтетін және y-тер осьіне паралель емес түзудің теңдеуі y=k(x-x0)+f(x0) түрінде жазылады, демек k нақты санына тәуелді болады.
Әрине, белгілі бір мағынада екі түзудің жақындығын оларды анықтайтын k сандарының жақындығы арқылы түсінуге болады. Ал, бізідң жағдайда сондай k сандары x1-ге мынадай тәуелділікте болады.

Сондықтан, x1-ді x0-ге ақырсыз жақын алған сайын, k(x1) белгілі бір k санына ақырсыз жақындаса, онда теңдеуі болатын түзуді бізге керекті қисыққа тығыз орналасқан түзу ретінде алуға болады.
Мұндағы k-ны тапқан жолымыз шектер тілінде былай бейнеленеді.
яғни .
Айтқанымыздың геометриялық бейнесі 36-суретте берілген. Сонымен келесі анықтамаға келдік. Егер нүктесінде нақты мәнді шегі бар болса, онда түзуі қисығының нүктесіндегі жанамасы деп аталады.
Жылдамдық туралы есеп. Материялық нүкте түзу бойымен белгілі бір бағытта қозғалып келе жатсын. Оның түзу бойындағы белгілі бір нүктеден мезгіліндегі ара қашықтығы болсын.
Әуелі болсын, яғни нүкте бірқалыпты қозғалсын. Онда кез келген мен мезгілдері арасында нүкте жолын жүреді, ал қатынасы сол қозғалыстың жолы деп аталады да, тұрақты болып, а санына тең болады.
Егер нүктенің қозғалысы бірқалыпты болмаса, онда қатынасы тұрақты болмай мен мезгілдеріне тәуелді болады. Ол мен мезгілдері арасындағы материялық нүктенің орташа жылдамдығы деп аталады.
Расында, орташа жылдамдығы нүктенің мен мезгілдері арасында қандай жылдамдықпен қозғалғаны туралы ешқандай әсер бермейді, өйткені ол бір мезгіл жылдам, бір мезгіл жай қозғалуы мүмкін. Орташа жылдамдық мағынасы мынада: егер нүкте сол арада бірқалыпты қозғалса, онда мезгілінде жолын жүру үшін оның жылдамдығы орташа жылдамдыққа тең болуы тиіс.
Егер -ді -ге ақырсыз жақындатқанда, оған сәйкес орташа жылдамдығы белгілі бір нақты санға ақырсыз жақындаса, онда сол санды мезгіліндегі нүктенің жылдамдығы түрінде алған жөн.
Сонымен, айтқанымызды шек арқылы бейнелесек, мына анықтамаға келеміз: егер

нақты мәнді шегі бар болса, онда оны тәртібі арқылы бейнеленген қозғалыстың нүктесіндегі жылдамдығы деп атайды.
Айталық, нүктесінде және оның төңірегінде функциясы анықталған болсын.
Анықтама. Аргумент - тің нүктедегі өсімшесі деп айырымын айтады.
Анықтама. функциясының нүктедегі өсімшесі деп мына

айырманы айтады
Бұл өсімше екі және аргументтерге тәуелді. Геометриялық тұрғыда және функция графигі бойымен нүктеден нүктеге дейін жылжығанда, нүктенің абсцисасы мен ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.