Гиперболалық операторлардың бір класының өз-өзіне түйіндестігін көрсету

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 64 бет
Таңдаулыға:

КІРІСПЕ

Тақырыптың өзектілігі. Бұл диссертациялық жұмыс шектеулі облыста гиперболалық түрдегі дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің бар болуы, жалғыздығы және шешімдерінің дифференциалдық қасиеттерін, сонымен қатар гиперболалық операторлардың бір класының өз-өзіне түйіндестігін зерттеуге арналған.

Гиперболалық теңдеулер үшін шеттік есепті зерттеудің өзектілігі есептегі әртүрлі мәселелерге қойылатын қосымшаның маңыздылығымен тығыз байланыста қолданылатын практика негізінде анықталады және физика, химия, биология, радиофизика және электротехниканың есептерін шешуде қолданылады.

Физикалық есептің шешімінің ерекшелігін шешу негізінде пайдаланылған екінші ретті теңдеудің гиперболалық түрдегі дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер теориясындағы алатын орыны зор. Гиперболадық түрдегі теңдеулерді зерттеудің негізі болып XVIII ғасырда зерттелген шектің тербеліс теңдеулері болып табылады. Бұл теңдеулерді зерттеу Г. Галилей, М. Мерцен, Р. Декарт, Х. Гюйгенс, Б. Тейлор, Ж-Л. Даламбер, Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж-Л. Лагранж, П. -С. Лапластың аттарымен байланысты.

Гиперболалык теңдеудің жалпы теориясының койылуы және оның жеке нәтижесін жүйелеу Ж. Б. Фурье, О. -Л. Коши, С. В. Ковалевская, Г. Дарбу, Э. Гурс, Б. Риман, П. -Г. -Л. Дирихле, Ж. Адамар және т. б. ғалымдардың енбектерінен басталған.

Бұл классикалық зерттеулер гиперболалық теңдеулер облысының жаңа әдістерін зерттеулеріне айтарлықтай әсер етті. Сызықты жэне сызықты емес гиперболалық теңдеулер және екінші ретті жүйелер Р. Курсант, К. Фидрихс, Г. Левитан, И. Шаудер, С. Л. Соболев, И. Г. Петровский, Ж. Лере, Л. Гординг, О. А. Ладыженский, Т. Ш. Кальменов және т. б. ізденушілердің жұмыстарында айтарлықтай зерттелген. Ал, О. А. Олейник, Б. Л. Рожденственский, Н. Н. Яненко және т. б. ғалымдардың жұмыстары гиперболалык түрдегі екінші ретті жүйе мен теңдеулерге арналған.

Сингулярлы дифференциалдық теңдеулерді жете зерттеуді кванттық механикада қажет ететіндігі белгілі. Мысалы: шектеусіз облыста берілген теңдеулер. Шектеусіз облыстағы коэффициенттері шектеулі гиперболалық түрдегі теңдеулердің шешімдерінің бар болуы және оның қасиеттері П. Д. Лакс, К. Фидрихс, М. Нагумо, А. М. Нахушев, Т. И. Кигурадзе, Д. С. Джумабаев, А. Т. Асановалардың жұмыстарында толығымен зерттелген.

Мысалы П. Д. Лакс, К. Фридрихс, М. Ногумоның зерттеулерінде

кеңістігінде жатқан

гиперболалық түрдегі екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімдерінің бар болуы

1) және оның бірінші ретті туындысы үзіліссіз және шектеулі, ал кеңістігінде жатқан функциясы үзіліссіз және шектеулі функция;

мұндағы, , , -матрицасының реті тек қана нөлдік элементтерден тұрады,

- симметриялы,

шарттар негізінде дәлелденген.

Жұмыс мақсаты. Гиперболалық операторлардың бір класының өз-өзіне түйіндестігін көрсету.

Зерттеу әдістемесі. Зерттеу барысында М. Өтелбаевтың жұмыстарында пайдаланған локализация әдісі, априорлық бағдар әдісі, Фурье түрлендірулері, сонымен қатар функционалдық анализдің кейбір қолданылуларында пайдаланған әдістер қолданылады.

Ғылыми жаңашылдығы. Гиперболалық түрдегі дифференциалдық операторлардың бір класы үшін өз-өзіне түйіндестігін зерттеуге арналған.

Жұмыста төмендегідей жаңа нәтижелер алынды:

операторы

шеттік шарттар негізінде - шексіз дифференциалданатын кеңістігінде қарастырылған. Мұндағы, - ашық тік төртбұрыш.

Оператордың өз-өзіне түйіндестігін зерттеу барысында төмендегі шарттар толығымен дәлелденді:

1) операторының симметриялы екендігі;

2) , яғни операторының ядросы бос екендігі;

3) операторының кері кері операторы бар және ол шектеулі болатындығы;

4) , яғни операторына түйіндес операторының ядросы бос екендігі;

5) (2) -(3) шеттік шарттар негізінде зерттелген

есебінің үшін жалғыз ғана шешімі бар екендігі.

Теориялық және практикалық маңыздылығы. Жұмыс теориялық сипатта жасалған, ол жоғары курс студенттеріне арнайы курс оқу барысында қолданылатын теориялық қызығушылық тудыратын нәтижелер алынды.

Диссертация құрылымы. Диссертация кіріспеден, үш бөлімнен, қорытындыдан және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Бірінші бөлімде әдебиетке шолу жасалып, анализдің кейбір фактілері мен тұжырымдары келтірілген және олар мысалдармен ұштастырылған.

Екінші бөлімде ішектің тербелісінің теңдеуін қорытып шығару, Даламбер формуласы, Фурье әдісі, мембрана тербелісінің теңдеуін қорыту қарастырылған.

Үшінші бөлімде гиперболалық түрдегі дифференциалдық операторлардың бір класының өз-өзіне түйіндестігін зерттеуге арналған.

Функционалдық анализдің негізгі түсініктері

1. 1. Метрикалық кеңістік ұғымы

- кез келген жиын болсын. Оның элементтерін әріптерімен белгілейміз.

Екі айнымалылы, нақты сан мәнді функциясы жиынының элементтерінде анықтап және мына төмендегі шарттарды қанағаттандыратын болсын:

(симметриялық шарты )
жәнетеңдігі тек қанаболғанда орындалады (тепе-теңдік шарты)
Кез келгенэлементтері үшін:

(1. 1. 1)

теңсіздігі орындалады. (Бұл теңсіздік үшбұрыш теңсіздігі деп аталады) .

-жиынында анықталған, осы қасиеттерге ие функциясы арақашықтық немесе метрика деп аталады. Метрика үшін қойылған үш шарт метрика аксиомалары деп аталады.

Анықтама. Метрика анықталған жиынын метрикалық кеңістік деп атайды.

Метрикалық кеңістік түрінде белгіленеді, бірақ көбінесе қысқаша, тек жиынның ғана таңбасын көрсетіп, арқылы белгілейміз.

Метрикалық кеңістікте жатқан кез келген нүктелері үшін үшбұрыш теңсіздігін қайталай қолданып, мына теңсіздіктерді жазайық:

яғни

(*)

Осыған ұқсас,

яғни

(**)

Енді (*), (**) теңсіздіктері

(1. 1. 1 ^/ )

теңсіздігіне пара-пар. Бұны төртбұрыш теңсіздігі деп аталады. Осы теңсіздіктен болған жағдайда

, (1. 1. 1 ^// )

теңсіздігі шығады, ал бұл-екінші үшбұрыш теңсіздігі.

Тұжырым. -кез келген нормаланған сызықтық кеңістік болсын.

(1. 1. 2)

теңдігі осы кеңістікте метриканы анықтайды.

Дәлелдеуі. Шарт бойынша -нормаланған сызықтық кеңістік. Метриканың бірінші аксиомасы орындалатын (1. 1. 2) кеңістігінен белгілі. Сондай-ақ, екендігі де нормаға сәйкес қасиеттен шығады. Егер болса, онда , демек, норманың қасиеті бойынша, , яғни .

Енді метриканың үшінші аксиомасын, яғни (1. 1. 1) теңсіздігін дәлелдейік. Кеңістіктің кез-келген элементтерін алып, норманың үшінші аксиомасын пайдаланып, метрика үшін үшінші аксиоманың орындатынын көреміз:

(1. 1. 3)

(1. 1. 2) теңдігінің норманы анықтайтыны, сонымен бірге жиыны метрикалы жиын, яғни метрикалық кеңістік болғаны дәлелденді.

Метрикалық кеңістіктерге мысалдар

1 ⁰ . ( n өлшемді кеңістік) болсын. Егер және бұл кеңістіктің кез келген екі нүктесі болса, онда метрикасын мына өрнекпен

анықтауға болады, себебі жоғарыдағы шарттарын қанағаттандырады. Олай болса, -метрикалық кеңістік.

2 ⁰ . Егер x пен y нүктелері берілген болса, онда ара қашықтығын

өрнегі бойынша да анықтауға болады. Бұл өрнектің де 1) -3) шарттарын қанағаттандыратындығы көреміз. Олай болса, -метрикалық кеңістік.

3 ⁰ . -нақты сандар жиыны болсын, x пен y нүктелерінің ара қашықтығын өрнегі бойынша анықтауға болады. Мұндағы φ(α) барлық α≥0 үшін анықталған, екі рет үзіліссіз дифференциалданатын, монотонды өспелі ( φ ^/ (α) >0, φ ^// (α) <0) және φ(0) =0 болатын функция. Бастапқа 1), 2) қасиеттерін тексеру қиын емес, ал үшбұрыш теңсіздігі φ(α+β) ≤ φ(α) +φ(β) қатынасынан шығады. Сондықтан -метрикалық кеңістік. Егер деп алсақ, онда

өрнегі де 1) -3) шарттарын қанағаттандырады. Олай болса, - метрикалық кеңістік. Бұл жағдайда

4 ⁰ . Компекс сандар жазықтығындағы радиусы бірге тең ашық дөңгелектің екі нүктесі- мен нүктелерінің ара қашықтығын

өрнегімен анықтауға болады. Метрикалық кеңістіктің аксиомалары орындалуы себепті бұл метрикалық кеңістік.

Бастапқы үш мысалдағы кеңістіктер векторлық (сызықтық) кеңістіктер болса, соңғы мысалдағы кеңістік сызықты емес метрикалық кеңістік.

5 ⁰ . х=l ₁ ; бұл жиынның нүктелері x=(x ₁ , . . . , х _n , . . . )

шарттарын қанағаттандыратын (яғни абсолют жинақталатын қатарлар ) сан тізбектері. Егер у l ₁ (мұндағы у=(у ₁ , . . . , у _n , . . . ) ) болса, онда метриканы

өрнегімен анықтауға болады. Бұл жағдайда да бастапқы екі қасиет оңай тексеріледі, ал үшіншісін былай тексеруге болады.

Егер x=(x ₁ , . . . , х _n , . . . ) және у=(у ₁ , . . . , у _n , . . . ) , z l ₁ болса, онда кез келген n үшін

теңсіздігінен шекке көшу арқылы

теңсіздігін алуға болады. Олай болса, -метрикалық кеңістік. Кейде бұл кеңістікті арқылы ғана белгілейміз.

Сызықты және нормаланған кеңістіктер

Анықтама. Егер қайсыбір жиынында:

Кез келгенэлементтері үшін олардың қосындысы деп аталатынэлементі анықталған болса және бұл екі элементті қосу амалы үшін мына қасиеттер орындалса:(қосудың коммутативтік қасиеті) ; ( қосудың ассоциативтік қасиеті) ; Кез келгенүшінтеңдігі орындалатын бір ғана

элементі бар болуы (нөлдік элемент) ;

Кез келгенүшінтеңдігі орындалатынэлементі (ке қарама-қарсы элемент) бар және ол әрүшін біреу ғана болса;

Кез келгенжәне кез келгеннақты (немесе комлекс) саны үшінэлементі менсанының көбейтіндісі деп аталатынэлементі анықталған болса және бұл элементті санға көбейту амалы мен элементтерді қосу амалдары мына төмендегі шарттарды қанағаттандыратын болса. -скалярлар;

онда бұл жиыны сызықтық кеңістік деп аталады.

жиынының элементтерін қосу және оларды санға көбейту амалдары үшін қойылған осы шарттар сызықтық кеңістіктің аксиомалары деп аталады.

жиынының элементтері көбейтілетін сандар жиыны ретінде нақты сандар жиыны немесе комплекс сандар жиыны алынуына қарай нақты сызықтық кеңістік немесе комплекс сызықтық кеңістік пайда болады.

Егер жиынының өзі де нақты немесе комплекс сандардан тұратын болса, онда санды санға қосу және көбейту амалдары үшін бұл аксиомалар орындалады. Сондай-ақ, жазықтықтағы немесе кеңістіктегі векторларды қосу және оларды санға көбейту амалдары үшін де бұл шарттар орындалады.

Сызықтық кеңістікке мысал: арқылы өлшемді координаттық кеңістік белгіленеді. Бұл кеңістікте жиыны өлшемді

векторлары алынады. Мұндағы , сондай-ақ, -кез келген нақты (немесе комплекс) сандар-вектордың координаттары. Екі вектордың қосындысы түрінде, яғни берілген векторлардың аттас координаттарын қосу нәтижесінде пайда болған вектор ретінде анықталады, ал вектордың санының көбейтіндісі түрінде, яғни осы вектордың әрбір координатын санына көбейтуден пайда болған вектор ретінде анықталады. жиынының элементтері үшін анықталған қосу және санға көбейту амалдары векторлардың координаттарына, яғни сандарға қолданылады. Сондықтан жоғарыда келтірілген 1. 1. -1. 2. аксиомаларының орындалуы нақты(комплекс) сандардың қасиеттерінен тікелей шығады. 1. 3 аксиомасындағы нөлдік элемент ретінде , ал 1. 4. аксиомасына сәйкес элементіне қарама-қарсы элемент ретінде элементі болады.

Ал, 2. 1. -2. 4. қасиеттері орындалатындығы нақты (немесе комплекс) сандар қасиеттерінен тікелей шығады. Осылай анықталған сызықтық кеңістік арқылы таңбаланады.

Анықтама. ішжиыны өз бетінше сызықтық кеңістік құрайтын болса, онда ішжиыны кеңістігінің ішкеңістігі деп аталады.

Анықтама. Егер кез келген векторлары мен бірге олардың кез келген сызықты комбинациясы да осы жиынында жататын болса, онда жиыны сызықтық көпбейнелік деп аталады.

Анықтама. Егер әрбір үшін нақты сан мәнді функциясы анықталса және ол мына шарттарды қанағаттандыратын болса:

және текболғанда ғана(норманың теріс еместік шарты) ;
Кез келгенсаны үшін(норманың біртектілік шарты) ;
Кез келгенүшін(үшбұрыш теңсіздігі),

онда кеңістігінде норма анықған дейміз.

Анықтамада келтірілген 1), 2), 3) шарттары норманың аксиомалары деп аталады.

Норма анықталған сызықтық кеңістік нормаланған сызықтық кеңістік деп аталады.

Анықтама. жиынының жеке өзі нормаланған сызықтық кеңістік болып табылады. Осы кеңістік нормаланған сызықтық кеңістігінің ішкеңістігі деп аталады.

Нормаланған сызықтық кеңістікке мысал. -сызықты кеңістік. Сызықты кеңістікте норма анықтап, оны нормаланған сызықтық кеңістікке айналдырамыз. Мұндағы үшін норманы

(1. 2. 1)

теңдігімен анықтаймыз. Бірінші шарттың орындалатыны болса, онда барлық болатыны. Себебі, егер қайсыбір болса, онда (1. 1) теңдігінің оң жағындағы өрнектің мәні оң сан болады. Сонымен, егер болса, онда векторының барлық координаттары нөлге тең: . Керісінше, егер болса, онда болады.

Екінші аксиоманы тексерейік:

Үшінші аксома, алдымен Коши теңсіздігін алайық. Кез келген нақты сандары үшін

(1. 2. 3)

теңсіздігі орындалады. Бұл теңсіздіктің екі жағынан квадраттаймыз:

(1. 2. 4)

Енді осы теңсіздікті пайдаланып (1. 1) нормасы үшін үшбұрыш теңсіздігін дәлелдейміз:

теңсіздігінің екі жағынан квадрат түбір алып, үшбұрыш теңсіздігіне келеміз. Сонымен (1. 1. 1) теңдігімен анықталған норма шынында да норма аксиомаларын қанағаттандырады. жиыны нормаланған сызықтық кеңістікке айналады. Бұл кеңістік, арифметикалық Евклид кеңістігі деп, ал норма (1. 1. 1) -Евклид нормасы (немесе евклидтік нормасы) деп аталады.

Анықтама. Егер сызықты нормаланған кеңістік

метрикасы бойынша толық метрикалық кеңістік болса онда сызықты нормаланған кеңістік толық деп аталады.

Толық сызықты нормаланған кеңістік банах кеңістігі деп аталады.

Теорема. Әрбір сызықты нормаланған кеңістік қандайда бір банах кеңістігіне енеді және сол кеңістікте тығыз болады.

Сызықтық кеңістіктерде анықталған сызықтық бейнелеулер

L - кез-келген сызықтық кеңістік болсын. Осы кеңістіктің элементтерінде анықталған сан мәнді f(x) функциясы функционал деп аталады.

Мұнда, әдеттегідей, f сәйкестікті анықтайтын ережені, ал f(x) таңбасы х әлементіне сәйкес қойылған санды белгілейді. L кеңістігінің құрылымына қарай f(x) нақты не комплекс мәнді функционал болуы мүмкін.

Мысалы, f(x) әрқашан нақты мәнді функционал.

Егер f(x) функционалы үшін мына екі шарт орындалатын болса:

Кез-келгенүшінf(x+y) =f(x) +f(y) (аддитивтік шарты) ,
Кез келгенℷ\gimel

саны үшін f( x) = f(x) ( біртектілік шарты), онда f(x) сызықтық функционал деп аталады.

Бұл екі шартты біріктіріп, мына бір теңдік түрінде қолдануға да болады:

F(αx+βy) =αf(x) +βf(y), (1. 2. 5)

мұнда α және β кез-келген сандар. Бұл теңдік анықтамадағы екі шартқа пара-пар болғандықтан, функционалдың сызықтылығын тексеру үшін (1. 2. 5) теңдігін тексеру жеткілікті.

Сызықтық функционалдардың мысалдарын келтірейік.

L=R ⁿ кеңістігінің x= (ξ ₁ , …, ξ _n ) элементінде f(x) функционалының мәні F(x) =a ₁ ξ ₁ +…+a _n ξ _n , (1. 2. 6)

теңдігімен анықталған, мұнда a ₁ , …, a _n тұрақты сандар. Бұл функционалдың аддитивтік және бартектілік қасиеттерін тексеру оңай. R ⁿ кеңістігінде анықталған бұл функционалдың кәдімгі n айнымалылы сызықтық функция екеніне зер аударайық. Кейін R ⁿ кеңістігіндегі сызықтық функционал тек осы түрде болатыны айқындалады.

L=C[a, b] сызықтық кеңістігінде f(x) функционалының x(t) элементіндегі мәні f(x) = , (1. 2. 7)

$\int_{a}^{b}{a(t) x(t) }dt$ L=L[a, b] қосындыланатын функциялар кеңістігінде f(x) функционалының x(t) элементігіндегі мәні қайсыбір шенелген, тиянақты a(t) функциясы арқылы f(x) = , (1. 2. 8)

теңдігімен анықталған. Бұл функционалдың да сызықтық қасиеті интегралдың қасиеттерінен тікелей шығады және бұл (1. 2. 7) функционалының жалпыланған түрі екені де түсінікті.

L=C[a, b] кеңістігінде анықталған тағы бір функционал , (1. 2. 9)

$\delta_{t_{0}}$ Яғни $\delta_{t_{0}}$ функционалының x(t ₀ ) элементіндегі мәні санына тең. Анықтаушы теңдік (2. 5) бойынша

демек бұл сызықтық функционал.

∈\in \

L=l ₁ сызықтық кеңістігінде x=(ξ ₁ , …, ξ _n ) $\in \$ l ₁ кез-келген, ал a=(a ₁ , …, a _k , …) тиянақты элемент болсын. Функционалды

(1. 2. 10)

теңдігімен анықтайық. Бұл кеңістіктегі элементтерді қосу және элементті санға көбейту амалдары аттас координаттарға қолданылатын болғандықтан, егер α мен β кез-келген сандар, ал y=(η ₁ , …, η _k ,, …) болса, онда

демек, бұл сызықтық функционал.

Ескерту. Егер a=(a ₁ , …, a _k , …) тізбегін (1. 2. 10) қатары жинақты болатындай етіп алсақ, онда (1. 2. 10) теңдігі басқа да ( l _p, c ₀ , c ) тізбектер кеңістіктерінде сызықтық функционалды анықтайды.

$\in$ Мысалы, a=(a ₁ , …, a _k , …) тиянақты, ал x=(ξ ₁ , …, ξ _k , …) $\in$ l _p кез келген элемент болса, онда, қатарлар үшін Гельдер теңсіздігінің салдарынан, (1. 2. 10) қатары жинақты болады да, (1. 2. 10) теңдігі l _p кеңістігінде сызықтық функционал анықтайды.

және - кез-келген сызықтық кеңістіктер болсын.

Анықтама. Егер әрбір элементіне белгілі бір элементі сәйкес қойылған болса, онда кеңістігінде оператор анықталған дейміз.

Осы операторды А символымен таңбаланса, онда теңдігі А операторының элементін элементін бейнелейтінін көрсетеді. Егер әрбір элементтері және кез-келген сандары үшін

(1. 2. 11)

теңдігі орындалатын болса, онда А сызықтық оператор деп аталады.

Сызықтық операторлардың мысалдары

1. Нөл-оператор. -сызықтық кеністік. , яғни бұл оператор кеңістіктегі кез-келген элементті нөлдік элементке аударады. Сызықтылық шарты (1. 2. 11) теңдігі орындалатынын тексеру оңай.

2. Бірлік оператор. - кез-келген сызықтық кеністік, болсын.

теңдігімен анықталған операторы бірлік оператор деп аталады. Бұл оператор кеңістіктің әр элементін осы элементтің өзіне бейнелейді. сызықтық оператор екені оның анықтамасынан айқын.

3. Матрица. , болсын. матрица және элементі матрицасы мен векторының көбейтіндісі болсын. Сонда бұл матрица сызықтық операторын анықтайды. Бұл оператордың сызықтық қасиеті матрицалары көбейту ережесінің салдары болады.

Шынында да, егер болса, онда матрицаларды көбейту ережесі бойынша

(1. 2. 12)

Егер және кез-келген екі вектор болса, ал олардың матрицасымен түрленген бейнелері

және

векторлары болса, онда (1. 2. 12) теңдігі бойынша векторының -нші координаты тең:

ал, екінші жағынан, бұл векторының -нші координаты, демек, (1. 2. 11) теңдігімен орындалады.

Ескерту 1 . Керісінше, кез-келген сызықтық операторы матрица арқылы берілгенін дәлелдеуге болады.

4. Функцияға көбейту операторы. кеңістігінен жеке алынған тиянақты функциясы және кез-келген үшін операторы

(1. 2. 13)

теңдігімен анықталған болсын. Бұл функциясына көбейту операторы деп аталады. Бұл сызықтық оператор екені айқын.

5. Интегралдық оператор. функциясы квадратында үздіксіз болсын. Кез-келген функциясы үшін операторды

(1. 2. 14)

теңдігімен анықтайық. Онда , яғни (1. 2. 14) теңдігімен операторы анықталды. Интегралдың сызықтық қасиетінен бұл оператордың да сызықтық оператор екендігі тікелей шығады.

Ескерту 2. Егер болса, онда (1. 2. 14) теңдігі кеңістігінде сызықтық оператор анықтайды, яғни бұл жағдайда

Операторларға қолданылатын амалдар. Сызықтық кеңістікте анықталған операторларға қосу, көбейту және операторды санға көбейту амалдарын қолданып, жаңа сызықтық оператор анықтауға болады. Осы айтылған амалдарды анықтайық.

Операторларды қосу. Егер сызықтық кеңістігінде А және В сызықтық операторлары анықталған болса, онда олардың қосындысы (1. 2. 15)

теңдігімен анықталады, яғни қосынды оператор әрбір х элементін осы элементтің бейнелерінің қосындысына аударады.

Операторды санға көбейту . операторының санына көбейтіндісі, яғни операторы (1. 2. 16)

теңдігімен анықталады. операторы кеңістігінде анықталған болса, онда да осы кеңістікте анықталғандығы айқын.

Операторлардың бірін екіншісіне көбейту. ал В операторы кеңістігінде анықталған. Енді ВА операторы (ВА) х=В(Ах), (1. 2. 17)

теңдігімен анықталады. Бұл анықтама қисынды болуы үшін ВА көбейтіндісінде бірінші тұрған оператордың мәндері екінші оператордың анықталу жиынында жатуы шарт.

Егер А және В сызықтық операторлар болса, онда (1. 2. 15) -(1. 2. 17) теңдіктерімен анықталған операторлар да сызықтық операторлар екенін тексеру қиын емес. Мысалы, ВА оперторының сызықтық қасиетін тексерейік:

Оператордың дәрежелері. Егер А операторы кеңістігінде анықталған және оның мәндері Ах осы кеңістікте жататын болса, онда А операторының дәрежелері келесі түрде анықталады:

Кері оператор. сызықтық операторы берілсін. Оның мәнінің жиынын символымен белгілейік және оны А операторының бейнесі деп атаймыз. Басқаша айтқанда, жиыны. Егер сәйкестігі биекция болса, яғни әрбір элементіне тек элементі сәйкес қойылған болса, онда бірмәнді бейнелеуі анықталады. Осы операторы түрінде таңбаланады және ол А операторына кері оператор деп аталады.

1. 3. Гильберт кеңістігі

Анализде функциялардың скаляр көбейтіндісі кеңінен қолданылады. Сондықтан скаляр көбейтінді енгізілген сызықты кеңістікті қарастырған жөн болады.

Анықтама. Айталық элементтерінің қандай да бір жиыны болсын.

I. Егер жиынында үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын скаляр көбейтінді енгізілсе:

1. және

3. ;

II. жиынында үшін n сызықты тәуелсіз векторлар табылса, яғни ақырсыз өлшемді болса, онда абстрактылы гильберт кеңістігі немесе гильберт кеңістігі деп аталады.