Гиперболалық операторлардың бір класының өз-өзіне түйіндестігін көрсету
КІРІСПЕ
1 ФУНКЦИОНАЛДЫҚ АНАЛИЗДІҢ НЕГІЗГІ ТҮСІНІКТЕРІ
1.1. Метрикалық кеңістік ұғымы
1.3.Гильберт кеңістігі
1.4. Сызықты операторлар теориясының элементтері
1.5. Кері операторлар
1.6. кеңістігі
1.7. Түйіндес операторлар
ІІ ТЕРБЕЛІСТЕР ТЕҢДЕУІ
2.1. (Ішектің тербеліс теңдеуін қорытып шығару. Шексіз ішек. Даламбер формуласы. Фурье әдісі.)
2.2 Еріксіз электр тербелістерінің дифференциал теңдеуі.
2.3 Мембрана тербелісінің теңдеуін қорыту. (Тік бұрышты мембрана тербелістері. Дөңгелек мембрана тербелісі.)
ІІI БӨЛІМ. ГИПЕРБОЛАЛЫҚ ТҮРДЕГІ ОПЕРАТОРДЫҢ БІР КЛАСЫНЫҢ ӨЗ.ӨЗІНЕ ТҮЙІНДЕС БОЛУ ШАРТТАРЫН ЗЕРТТЕУ
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
1 ФУНКЦИОНАЛДЫҚ АНАЛИЗДІҢ НЕГІЗГІ ТҮСІНІКТЕРІ
1.1. Метрикалық кеңістік ұғымы
1.3.Гильберт кеңістігі
1.4. Сызықты операторлар теориясының элементтері
1.5. Кері операторлар
1.6. кеңістігі
1.7. Түйіндес операторлар
ІІ ТЕРБЕЛІСТЕР ТЕҢДЕУІ
2.1. (Ішектің тербеліс теңдеуін қорытып шығару. Шексіз ішек. Даламбер формуласы. Фурье әдісі.)
2.2 Еріксіз электр тербелістерінің дифференциал теңдеуі.
2.3 Мембрана тербелісінің теңдеуін қорыту. (Тік бұрышты мембрана тербелістері. Дөңгелек мембрана тербелісі.)
ІІI БӨЛІМ. ГИПЕРБОЛАЛЫҚ ТҮРДЕГІ ОПЕРАТОРДЫҢ БІР КЛАСЫНЫҢ ӨЗ.ӨЗІНЕ ТҮЙІНДЕС БОЛУ ШАРТТАРЫН ЗЕРТТЕУ
Қорытынды
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
Тақырыптың өзектілігі. Бұл диссертациялық жұмыс шектеулі облыста гиперболалық түрдегі дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің бар болуы, жалғыздығы және шешімдерінің дифференциалдық қасиеттерін, сонымен қатар гиперболалық операторлардың бір класының өз-өзіне түйіндестігін зерттеуге арналған.
Гиперболалық теңдеулер үшін шеттік есепті зерттеудің өзектілігі есептегі әртүрлі мәселелерге қойылатын қосымшаның маңыздылығымен тығыз байланыста қолданылатын практика негізінде анықталады және физика, химия, биология, радиофизика және электротехниканың есептерін шешуде қолданылады.
Физикалық есептің шешімінің ерекшелігін шешу негізінде пайдаланылған екінші ретті теңдеудің гиперболалық түрдегі дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер теориясындағы алатын орыны зор. Гиперболадық түрдегі теңдеулерді зерттеудің негізі болып XVIII ғасырда зерттелген шектің тербеліс теңдеулері болып табылады. Бұл теңдеулерді зерттеу Г.Галилей, М.Мерцен, Р.Декарт, Х.Гюйгенс, Б.Тейлор, Ж-Л.Даламбер, Л.Эйлер, Д.Бернулли, Ж-Л.Лагранж, П.-С.Лапластың аттарымен байланысты.
Гиперболалык теңдеудің жалпы теориясының койылуы және оның жеке нәтижесін жүйелеу Ж.Б.Фурье, О.-Л.Коши, С.В.Ковалевская, Г.Дарбу, Э.Гурс, Б.Риман, П.-Г.-Л.Дирихле, Ж.Адамар және т.б. ғалымдардың енбектерінен басталған.
Бұл классикалық зерттеулер гиперболалық теңдеулер облысының жаңа әдістерін зерттеулеріне айтарлықтай әсер етті. Сызықты жэне сызықты емес гиперболалық теңдеулер және екінші ретті жүйелер Р.Курсант, К.Фидрихс, Г.Левитан, И.Шаудер, С.Л.Соболев, И.Г.Петровский, Ж. Лере, Л.Гординг, О.А.Ладыженский, Т.Ш.Кальменов және т.б. ізденушілердің жұмыстарында айтарлықтай зерттелген. Ал, О.А.Олейник, Б.Л.Рожденственский, Н.Н.Яненко және т.б. ғалымдардың жұмыстары гиперболалык түрдегі екінші ретті жүйе мен теңдеулерге арналған.
Сингулярлы дифференциалдық теңдеулерді жете зерттеуді кванттық механикада қажет ететіндігі белгілі. Мысалы: шектеусіз облыста берілген теңдеулер. Шектеусіз облыстағы коэффициенттері шектеулі гиперболалық түрдегі теңдеулердің шешімдерінің бар болуы және оның қасиеттері П.Д.Лакс, К.Фидрихс, М.Нагумо, А.М.Нахушев, Т.И.Кигурадзе, Д.С.Джумабаев, А.Т.Асановалардың жұмыстарында толығымен зерттелген.
Гиперболалық теңдеулер үшін шеттік есепті зерттеудің өзектілігі есептегі әртүрлі мәселелерге қойылатын қосымшаның маңыздылығымен тығыз байланыста қолданылатын практика негізінде анықталады және физика, химия, биология, радиофизика және электротехниканың есептерін шешуде қолданылады.
Физикалық есептің шешімінің ерекшелігін шешу негізінде пайдаланылған екінші ретті теңдеудің гиперболалық түрдегі дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер теориясындағы алатын орыны зор. Гиперболадық түрдегі теңдеулерді зерттеудің негізі болып XVIII ғасырда зерттелген шектің тербеліс теңдеулері болып табылады. Бұл теңдеулерді зерттеу Г.Галилей, М.Мерцен, Р.Декарт, Х.Гюйгенс, Б.Тейлор, Ж-Л.Даламбер, Л.Эйлер, Д.Бернулли, Ж-Л.Лагранж, П.-С.Лапластың аттарымен байланысты.
Гиперболалык теңдеудің жалпы теориясының койылуы және оның жеке нәтижесін жүйелеу Ж.Б.Фурье, О.-Л.Коши, С.В.Ковалевская, Г.Дарбу, Э.Гурс, Б.Риман, П.-Г.-Л.Дирихле, Ж.Адамар және т.б. ғалымдардың енбектерінен басталған.
Бұл классикалық зерттеулер гиперболалық теңдеулер облысының жаңа әдістерін зерттеулеріне айтарлықтай әсер етті. Сызықты жэне сызықты емес гиперболалық теңдеулер және екінші ретті жүйелер Р.Курсант, К.Фидрихс, Г.Левитан, И.Шаудер, С.Л.Соболев, И.Г.Петровский, Ж. Лере, Л.Гординг, О.А.Ладыженский, Т.Ш.Кальменов және т.б. ізденушілердің жұмыстарында айтарлықтай зерттелген. Ал, О.А.Олейник, Б.Л.Рожденственский, Н.Н.Яненко және т.б. ғалымдардың жұмыстары гиперболалык түрдегі екінші ретті жүйе мен теңдеулерге арналған.
Сингулярлы дифференциалдық теңдеулерді жете зерттеуді кванттық механикада қажет ететіндігі белгілі. Мысалы: шектеусіз облыста берілген теңдеулер. Шектеусіз облыстағы коэффициенттері шектеулі гиперболалық түрдегі теңдеулердің шешімдерінің бар болуы және оның қасиеттері П.Д.Лакс, К.Фидрихс, М.Нагумо, А.М.Нахушев, Т.И.Кигурадзе, Д.С.Джумабаев, А.Т.Асановалардың жұмыстарында толығымен зерттелген.
1. Никольский С.М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа вырождением на границе // Труды мат. института АН СССР 1979. Т.150. С.212-238.
2. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства решений // Докл. АН СССР. 1981. Т.257. №1. С.42-45.
3. Вишик М.И., Грушин В.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений вырождающихся на границе области // Матем. Сб. 1969. Т.80. №4. С.455-491.
4. Муратбеков М.Б. О гладкости решений одного класса неравномерно вырождающихся эллиптических уравнений // Известия АН Каз ССР. Сер.физ-мат. 1981. №5. С.71-73.
5. Муратбеков М.Б. О гладкости решений одного класса неравномерно вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск. 1981. С.144-146.
6. Садовничи А.В. Теория операторов М., Наука 1986 г.
7. Муратбеков М.Б. Некоторые приложения функционального анализа
Тараз, 1996 г.
8. М.Б.Муратбеков Разделимость и спектр дифференциальных операторов смешанного типа. Тараз, 2006.
9. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы М., Наука 1969 г.
10. Люстерник Л.А. Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа М., Высшая школа, 1982 г.
11. С.Г. Крейн Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М., Наука, 1971 г.
12. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин Элементы теорий функции и функционального анализа М., Наука, 1981 г.
13. В.С.Владимиров Уравнения математической физики М., 1976 г.
14. Муратбеков М.Б., Мүсілімов Б.М. Штурм-Лиувилль операторының бөліктенуі туралы Тараз, 1998
15. Шырақбаев А.Б., Баулыбаева Б.А, Чавкарова А., Аманкулова И. Оценки функции распределения собственных чисел вырождающего эллиптического уравнения высокого порядка // Қазақстан Республикасындағы білім мен ғылым интеграциясы проблемалары мен болашағы: Республикалық ғылыми-практикалық конференция материалдары. -Тараз, 15 желтоқсан 2011. –C.245-246.
16. Муратбеков М.Б., Дашкеева Д., Аманқұлова И. Существование решений одного класса дифференциальных операторов гиперболического типа в прямоугольнике «Вестник ТарГПИ» журналы. -Тараз, 2011.-№8. –C.230-234
2. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства решений // Докл. АН СССР. 1981. Т.257. №1. С.42-45.
3. Вишик М.И., Грушин В.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений вырождающихся на границе области // Матем. Сб. 1969. Т.80. №4. С.455-491.
4. Муратбеков М.Б. О гладкости решений одного класса неравномерно вырождающихся эллиптических уравнений // Известия АН Каз ССР. Сер.физ-мат. 1981. №5. С.71-73.
5. Муратбеков М.Б. О гладкости решений одного класса неравномерно вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск. 1981. С.144-146.
6. Садовничи А.В. Теория операторов М., Наука 1986 г.
7. Муратбеков М.Б. Некоторые приложения функционального анализа
Тараз, 1996 г.
8. М.Б.Муратбеков Разделимость и спектр дифференциальных операторов смешанного типа. Тараз, 2006.
9. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы М., Наука 1969 г.
10. Люстерник Л.А. Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа М., Высшая школа, 1982 г.
11. С.Г. Крейн Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М., Наука, 1971 г.
12. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин Элементы теорий функции и функционального анализа М., Наука, 1981 г.
13. В.С.Владимиров Уравнения математической физики М., 1976 г.
14. Муратбеков М.Б., Мүсілімов Б.М. Штурм-Лиувилль операторының бөліктенуі туралы Тараз, 1998
15. Шырақбаев А.Б., Баулыбаева Б.А, Чавкарова А., Аманкулова И. Оценки функции распределения собственных чисел вырождающего эллиптического уравнения высокого порядка // Қазақстан Республикасындағы білім мен ғылым интеграциясы проблемалары мен болашағы: Республикалық ғылыми-практикалық конференция материалдары. -Тараз, 15 желтоқсан 2011. –C.245-246.
16. Муратбеков М.Б., Дашкеева Д., Аманқұлова И. Существование решений одного класса дифференциальных операторов гиперболического типа в прямоугольнике «Вестник ТарГПИ» журналы. -Тараз, 2011.-№8. –C.230-234
Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 64 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 64 бет
Таңдаулыға:
КІРІСПЕ
Тақырыптың өзектілігі. Бұл диссертациялық жұмыс шектеулі облыста
гиперболалық түрдегі дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің бар болуы,
жалғыздығы және шешімдерінің дифференциалдық қасиеттерін, сонымен қатар
гиперболалық операторлардың бір класының өз-өзіне түйіндестігін зерттеуге
арналған.
Гиперболалық теңдеулер үшін шеттік есепті зерттеудің өзектілігі
есептегі әртүрлі мәселелерге қойылатын қосымшаның маңыздылығымен тығыз
байланыста қолданылатын практика негізінде анықталады және физика, химия,
биология, радиофизика және электротехниканың есептерін шешуде қолданылады.
Физикалық есептің шешімінің ерекшелігін шешу негізінде пайдаланылған
екінші ретті теңдеудің гиперболалық түрдегі дербес туындылы дифференциалдық
теңдеулер теориясындағы алатын орыны зор. Гиперболадық түрдегі теңдеулерді
зерттеудің негізі болып XVIII ғасырда зерттелген шектің тербеліс теңдеулері
болып табылады. Бұл теңдеулерді зерттеу Г.Галилей, М.Мерцен, Р.Декарт,
Х.Гюйгенс, Б.Тейлор, Ж-Л.Даламбер, Л.Эйлер, Д.Бернулли, Ж-Л.Лагранж, П.-
С.Лапластың аттарымен байланысты.
Гиперболалык теңдеудің жалпы теориясының койылуы және оның жеке
нәтижесін жүйелеу Ж.Б.Фурье, О.-Л.Коши, С.В.Ковалевская, Г.Дарбу, Э.Гурс,
Б.Риман, П.-Г.-Л.Дирихле, Ж.Адамар және т.б. ғалымдардың енбектерінен
басталған.
Бұл классикалық зерттеулер гиперболалық теңдеулер облысының жаңа
әдістерін зерттеулеріне айтарлықтай әсер етті. Сызықты жэне сызықты емес
гиперболалық теңдеулер және екінші ретті жүйелер Р.Курсант, К.Фидрихс,
Г.Левитан, И.Шаудер, С.Л.Соболев, И.Г.Петровский, Ж. Лере, Л.Гординг,
О.А.Ладыженский, Т.Ш.Кальменов және т.б. ізденушілердің жұмыстарында
айтарлықтай зерттелген. Ал, О.А.Олейник, Б.Л.Рожденственский, Н.Н.Яненко
және т.б. ғалымдардың жұмыстары гиперболалык түрдегі екінші ретті жүйе мен
теңдеулерге арналған.
Сингулярлы дифференциалдық теңдеулерді жете зерттеуді кванттық
механикада қажет ететіндігі белгілі. Мысалы: шектеусіз облыста берілген
теңдеулер. Шектеусіз облыстағы коэффициенттері шектеулі гиперболалық
түрдегі теңдеулердің шешімдерінің бар болуы және оның қасиеттері П.Д.Лакс,
К.Фидрихс, М.Нагумо, А.М.Нахушев, Т.И.Кигурадзе, Д.С.Джумабаев,
А.Т.Асановалардың жұмыстарында толығымен зерттелген.
Мысалы П.Д.Лакс, К.Фридрихс, М.Ногумоның зерттеулерінде
кеңістігінде жатқан
гиперболалық түрдегі екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің
жалпы шешімдерінің бар болуы
1) және оның бірінші ретті туындысы үзіліссіз және шектеулі, ал
кеңістігінде жатқан функциясы үзіліссіз және шектеулі функция;
2) ,
мұндағы, , , -матрицасының реті тек қана
нөлдік элементтерден тұрады,
- симметриялы,
шарттар негізінде дәлелденген.
Жұмыс мақсаты. Гиперболалық операторлардың бір класының өз-өзіне
түйіндестігін көрсету.
Зерттеу әдістемесі. Зерттеу барысында М.Өтелбаевтың жұмыстарында
пайдаланған локализация әдісі, априорлық бағдар әдісі, Фурье
түрлендірулері, сонымен қатар функционалдық анализдің кейбір
қолданылуларында пайдаланған әдістер қолданылады.
Ғылыми жаңашылдығы. Гиперболалық түрдегі дифференциалдық операторлардың
бір класы үшін өз-өзіне түйіндестігін зерттеуге арналған.
Жұмыста төмендегідей жаңа нәтижелер алынды:
операторы
шеттік шарттар негізінде - шексіз дифференциалданатын кеңістігінде
қарастырылған. Мұндағы, - ашық тік төртбұрыш.
Оператордың өз-өзіне түйіндестігін зерттеу барысында төмендегі шарттар
толығымен дәлелденді:
1) операторының симметриялы екендігі;
2) , яғни операторының ядросы бос екендігі;
3) операторының кері кері операторы бар және ол шектеулі
болатындығы;
4) , яғни операторына түйіндес операторының ядросы бос
екендігі;
5) (2)-(3) шеттік шарттар негізінде зерттелген
есебінің үшін жалғыз ғана шешімі бар екендігі.
Теориялық және практикалық маңыздылығы. Жұмыс теориялық сипатта
жасалған, ол жоғары курс студенттеріне арнайы курс оқу барысында
қолданылатын теориялық қызығушылық тудыратын нәтижелер алынды.
Диссертация құрылымы. Диссертация кіріспеден, үш бөлімнен, қорытындыдан
және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Бірінші бөлімде әдебиетке шолу жасалып, анализдің кейбір фактілері мен
тұжырымдары келтірілген және олар мысалдармен ұштастырылған.
Екінші бөлімде ішектің тербелісінің теңдеуін қорытып шығару,Даламбер
формуласы, Фурье әдісі, мембрана тербелісінің теңдеуін қорыту
қарастырылған.
Үшінші бөлімде гиперболалық түрдегі дифференциалдық операторлардың бір
класының өз-өзіне түйіндестігін зерттеуге арналған.
Функционалдық анализдің негізгі түсініктері
1.1. Метрикалық кеңістік ұғымы
- кез келген жиын болсын. Оның элементтерін әріптерімен
белгілейміз.
Екі айнымалылы, нақты сан мәнді функциясы жиынының
элементтерінде анықтап және мына төмендегі шарттарды қанағаттандыратын
болсын:
1. (симметриялық шарты )
2. және теңдігі тек қана болғанда орындалады (тепе-
теңдік шарты)
3. Кез келген элементтері үшін:
(1.1.1)
теңсіздігі орындалады. (Бұл теңсіздік үшбұрыш теңсіздігі деп аталады).
-жиынында анықталған, осы қасиеттерге ие функциясы арақашықтық
немесе метрика деп аталады. Метрика үшін қойылған үш шарт метрика
аксиомалары деп аталады.
Анықтама. Метрика анықталған жиынын метрикалық кеңістік деп
атайды.
Метрикалық кеңістік түрінде белгіленеді, бірақ көбінесе
қысқаша, тек жиынның ғана таңбасын көрсетіп, арқылы белгілейміз.
Метрикалық кеңістікте жатқан кез келген нүктелері үшін үшбұрыш
теңсіздігін қайталай қолданып, мына теңсіздіктерді жазайық:
яғни
(*)
Осыған ұқсас,
яғни
(**)
Енді (*),(**) теңсіздіктері
(1.1.1)
теңсіздігіне пара-пар. Бұны төртбұрыш теңсіздігі деп аталады. Осы
теңсіздіктен болған жағдайда
, (1.1.1)
теңсіздігі шығады, ал бұл-екінші үшбұрыш теңсіздігі.
Тұжырым. -кез келген нормаланған сызықтық кеңістік болсын.
(1.1.2)
теңдігі осы кеңістікте метриканы анықтайды.
Дәлелдеуі. Шарт бойынша -нормаланған сызықтық кеңістік. Метриканың
бірінші аксиомасы орындалатын (1.1.2) кеңістігінен белгілі. Сондай-ақ,
екендігі де нормаға сәйкес қасиеттен шығады. Егер болса, онда
, демек, норманың қасиеті бойынша, , яғни .
Енді метриканың үшінші аксиомасын, яғни (1.1.1) теңсіздігін дәлелдейік.
Кеңістіктің кез-келген элементтерін алып, норманың үшінші аксиомасын
пайдаланып, метрика үшін үшінші аксиоманың орындатынын көреміз:
(1.1.3)
(1.1.2) теңдігінің норманы анықтайтыны, сонымен бірге жиыны метрикалы
жиын, яғни метрикалық кеңістік болғаны дәлелденді.
Метрикалық кеңістіктерге мысалдар
10. (n өлшемді кеңістік) болсын. Егер және бұл
кеңістіктің кез келген екі нүктесі болса, онда метрикасын мына
өрнекпен
анықтауға болады, себебі жоғарыдағы шарттарын қанағаттандырады. Олай
болса, -метрикалық кеңістік.
20. Егер x пен y нүктелері берілген болса, онда ара қашықтығын
өрнегі бойынша да анықтауға болады. Бұл өрнектің де 1)-3) шарттарын
қанағаттандыратындығы көреміз. Олай болса, -метрикалық кеңістік.
30. -нақты сандар жиыны болсын, x пен y нүктелерінің ара
қашықтығын өрнегі бойынша анықтауға болады. Мұндағы φ(α) барлық α≥0
үшін анықталған, екі рет үзіліссіз дифференциалданатын, монотонды өспелі
(φ(α)0, φ(α)0) және φ(0)=0 болатын функция. Бастапқа 1),2)
қасиеттерін тексеру қиын емес, ал үшбұрыш теңсіздігі φ(α+β)≤ φ(α)+φ(β)
қатынасынан шығады. Сондықтан -метрикалық кеңістік. Егер деп
алсақ, онда
өрнегі де 1)-3) шарттарын қанағаттандырады. Олай болса, - метрикалық
кеңістік. Бұл жағдайда
40. Компекс сандар жазықтығындағы радиусы бірге тең ашық дөңгелектің
екі нүктесі- мен нүктелерінің ара қашықтығын
өрнегімен анықтауға болады. Метрикалық кеңістіктің аксиомалары орындалуы
себепті бұл метрикалық кеңістік.
Бастапқы үш мысалдағы кеңістіктер векторлық (сызықтық) кеңістіктер болса,
соңғы мысалдағы кеңістік сызықты емес метрикалық кеңістік.
50. х=l1 ; бұл жиынның нүктелері x=(x1,...,хn,...)
шарттарын қанағаттандыратын (яғни абсолют жинақталатын қатарлар ) сан
тізбектері. Егер уl1 (мұндағы у=(у1,...,уn,...)) болса, онда
метриканы
өрнегімен анықтауға болады. Бұл жағдайда да бастапқы екі қасиет оңай
тексеріледі, ал үшіншісін былай тексеруге болады.
Егер x=(x1,...,хn,...) және у=(у1,...,уn,...), zl1 болса, онда кез
келген n үшін
теңсіздігінен шекке көшу арқылы
теңсіздігін алуға болады. Олай болса, -метрикалық кеңістік. Кейде
бұл кеңістікті арқылы ғана белгілейміз.
2. Сызықты және нормаланған кеңістіктер
Анықтама. Егер қайсыбір жиынында:
1. Кез келген элементтері үшін олардың қосындысы деп аталатын
элементі анықталған болса және бұл екі элементті қосу амалы үшін мына
қасиеттер орындалса:
1. (қосудың коммутативтік қасиеті);
2. ( қосудың ассоциативтік қасиеті);
3. Кез келген үшін теңдігі орындалатын бір ғана
элементі бар болуы (нөлдік элемент);
4. Кез келген үшін теңдігі орындалатын
элементі (ке қарама-қарсы элемент) бар және ол әр
үшін біреу ғана болса;
2. Кез келген және кез келген нақты (немесе комлекс) саны үшін
элементі мен санының көбейтіндісі деп аталатын
элементі анықталған болса және бұл элементті санға көбейту амалы мен
элементтерді қосу амалдары мына төмендегі шарттарды қанағаттандыратын
болса.
1.
2.
3.
4. -скалярлар;
онда бұл жиыны сызықтық кеңістік деп аталады.
жиынының элементтерін қосу және оларды санға көбейту амалдары
үшін қойылған осы шарттар сызықтық кеңістіктің аксиомалары деп аталады.
жиынының элементтері көбейтілетін сандар жиыны ретінде нақты
сандар жиыны немесе комплекс сандар жиыны алынуына қарай нақты
сызықтық кеңістік немесе комплекс сызықтық кеңістік пайда болады.
Егер жиынының өзі де нақты немесе комплекс сандардан тұратын
болса, онда санды санға қосу және көбейту амалдары үшін бұл аксиомалар
орындалады. Сондай-ақ, жазықтықтағы немесе кеңістіктегі векторларды қосу
және оларды санға көбейту амалдары үшін де бұл шарттар орындалады.
Сызықтық кеңістікке мысал: арқылы өлшемді координаттық
кеңістік белгіленеді. Бұл кеңістікте жиыны өлшемді
векторлары алынады. Мұндағы , сондай-ақ, -кез келген нақты
(немесе комплекс) сандар-вектордың координаттары. Екі вектордың қосындысы
түрінде, яғни берілген векторлардың аттас координаттарын қосу
нәтижесінде пайда болған вектор ретінде анықталады, ал вектордың
санының көбейтіндісі түрінде, яғни осы вектордың әрбір
координатын санына көбейтуден пайда болған вектор ретінде
анықталады. жиынының элементтері үшін анықталған қосу және санға
көбейту амалдары векторлардың координаттарына, яғни сандарға қолданылады.
Сондықтан жоғарыда келтірілген 1.1.-1.2. аксиомаларының орындалуы
нақты(комплекс) сандардың қасиеттерінен тікелей шығады. 1.3 аксиомасындағы
нөлдік элемент ретінде , ал 1.4. аксиомасына сәйкес элементіне
қарама-қарсы элемент ретінде элементі болады.
Ал, 2.1.-2.4. қасиеттері орындалатындығы нақты (немесе комплекс) сандар
қасиеттерінен тікелей шығады. Осылай анықталған сызықтық кеңістік
арқылы таңбаланады.
Анықтама. ішжиыны өз бетінше сызықтық кеңістік құрайтын болса,
онда ішжиыны кеңістігінің ішкеңістігі деп аталады.
Анықтама. Егер кез келген векторлары мен бірге олардың кез келген
сызықты комбинациясы да осы жиынында жататын болса, онда жиыны
сызықтық көпбейнелік деп аталады.
Анықтама. Егер әрбір үшін нақты сан мәнді функциясы
анықталса және ол мына шарттарды қанағаттандыратын болса:
1) және тек болғанда ғана (норманың теріс еместік шарты);
2) Кез келген саны үшін (норманың біртектілік шарты);
3) Кез келген үшін (үшбұрыш теңсіздігі),
онда кеңістігінде норма анықған дейміз.
Анықтамада келтірілген 1), 2), 3) шарттары норманың аксиомалары деп
аталады.
Норма анықталған сызықтық кеңістік нормаланған сызықтық кеңістік деп
аталады.
Анықтама. жиынының жеке өзі нормаланған сызықтық кеңістік болып
табылады. Осы кеңістік нормаланған сызықтық кеңістігінің ішкеңістігі
деп аталады.
Нормаланған сызықтық кеңістікке мысал. -сызықты кеңістік. Сызықты
кеңістікте норма анықтап, оны нормаланған сызықтық кеңістікке айналдырамыз.
Мұндағы үшін норманы
(1.2.1)
теңдігімен анықтаймыз. Бірінші шарттың орындалатыны болса, онда
барлық болатыны. Себебі, егер қайсыбір болса, онда (1.1)
теңдігінің оң жағындағы өрнектің мәні оң сан болады. Сонымен, егер
болса, онда векторының барлық координаттары нөлге тең: .
Керісінше, егер болса, онда болады.
Екінші аксиоманы тексерейік:
=
Үшінші аксома, алдымен Коши теңсіздігін алайық. Кез келген нақты
сандары үшін
(1.2.3)
теңсіздігі орындалады. Бұл теңсіздіктің екі жағынан квадраттаймыз:
(1.2.4)
Енді осы теңсіздікті пайдаланып (1.1) нормасы үшін үшбұрыш теңсіздігін
дәлелдейміз:
теңсіздігінің екі жағынан квадрат түбір алып, үшбұрыш теңсіздігіне келеміз.
Сонымен (1.1.1) теңдігімен анықталған норма шынында да норма аксиомаларын
қанағаттандырады. жиыны нормаланған сызықтық кеңістікке айналады. Бұл
кеңістік, арифметикалық Евклид кеңістігі деп, ал норма (1.1.1)-Евклид
нормасы (немесе евклидтік нормасы) деп аталады.
Анықтама. Егер сызықты нормаланған кеңістік
метрикасы бойынша толық метрикалық кеңістік болса онда сызықты нормаланған
кеңістік толық деп аталады.
Толық сызықты нормаланған кеңістік банах кеңістігі деп аталады.
Теорема. Әрбір сызықты нормаланған кеңістік қандайда бір банах
кеңістігіне енеді және сол кеңістікте тығыз болады.
Сызықтық кеңістіктерде анықталған сызықтық бейнелеулер
L – кез-келген сызықтық кеңістік болсын. Осы кеңістіктің
элементтерінде анықталған сан мәнді f(x) функциясы функционал деп аталады.
Мұнда, әдеттегідей, f сәйкестікті анықтайтын ережені, ал f(x) таңбасы
х әлементіне сәйкес қойылған санды белгілейді. L кеңістігінің құрылымына
қарай f(x) нақты не комплекс мәнді функционал болуы мүмкін.
Мысалы, f(x) әрқашан нақты мәнді функционал.
Егер f(x) функционалы үшін мына екі шарт орындалатын болса:
1) Кез-келген үшін f(x+y)=f(x)+f(y) (аддитивтік шарты) ,
2) Кез келген саны үшін f(x)= f(x) (біртектілік шарты),
онда f(x) сызықтық функционал деп аталады.
Бұл екі шартты біріктіріп, мына бір теңдік түрінде қолдануға да болады:
F(αx+βy)=αf(x)+βf(y),
(1.2.5)
мұнда α және β кез-келген сандар. Бұл теңдік анықтамадағы екі шартқа
пара-пар болғандықтан, функционалдың сызықтылығын тексеру үшін (1.2.5)
теңдігін тексеру жеткілікті.
Сызықтық функционалдардың мысалдарын келтірейік.
1. L=Rn кеңістігінің x= (ξ1, ...,ξn) элементінде f(x) функционалының мәні
F(x)=a1ξ1+...+anξn, (1.2.6)
теңдігімен анықталған, мұнда a1,...,an тұрақты сандар. Бұл функционалдың
аддитивтік және бартектілік қасиеттерін тексеру оңай. Rn кеңістігінде
анықталған бұл функционалдың кәдімгі n айнымалылы сызықтық функция екеніне
зер аударайық. Кейін Rn кеңістігіндегі сызықтық функционал тек осы түрде
болатыны айқындалады.
2. L=C[a, b]сызықтық кеңістігінде f(x) функционалының x(t) элементіндегі
мәні
f(x)=, (1.2.7)
3. L=L[a, b] қосындыланатын функциялар кеңістігінде f(x) функционалының
x(t) элементігіндегі мәні қайсыбір шенелген, тиянақты a(t) функциясы
арқылы
f(x)= , (1.2.8)
теңдігімен анықталған. Бұл функционалдың да сызықтық қасиеті интегралдың
қасиеттерінен тікелей шығады және бұл (1.2.7) функционалының жалпыланған
түрі екені де түсінікті.
4. L=C[a, b] кеңістігінде анықталған тағы бір функционал
, (1.2.9)
Яғни функционалының x(t0) элементіндегі мәні санына тең.
Анықтаушы теңдік (2.5) бойынша
демек бұл сызықтық функционал.
5. L=l1 сызықтық кеңістігінде x=(ξ1,...,ξn)l1 кез-келген, ал
a=(a1,...,ak,...) тиянақты элемент болсын. Функционалды
(1.2.10)
теңдігімен анықтайық. Бұл кеңістіктегі элементтерді қосу және элементті
санға көбейту амалдары аттас координаттарға қолданылатын болғандықтан,
егер α мен β кез-келген сандар, ал y=(η1,...,ηk,,...) болса, онда
демек, бұл сызықтық функционал.
Ескерту. Егер a=(a1,..., ak,...) тізбегін (1.2.10) қатары жинақты
болатындай етіп алсақ, онда (1.2.10) теңдігі басқа да ( lp, c0, c )
тізбектер кеңістіктерінде сызықтық функционалды анықтайды.
Мысалы, a=(a1,..., ak,...) тиянақты, ал x=(ξ1,...,ξk,...)lp кез
келген элемент болса, онда, қатарлар үшін Гельдер теңсіздігінің салдарынан,
(1.2.10) қатары жинақты болады да, (1.2.10) теңдігі lp кеңістігінде
сызықтық функционал анықтайды.
және - кез-келген сызықтық кеңістіктер болсын.
Анықтама. Егер әрбір элементіне белгілі бір элементі
сәйкес қойылған болса, онда кеңістігінде оператор анықталған дейміз.
Осы операторды А символымен таңбаланса, онда теңдігі А
операторының элементін элементін бейнелейтінін көрсетеді. Егер
әрбір элементтері және кез-келген сандары үшін
(1.2.11)
теңдігі орындалатын болса, онда А сызықтық оператор деп аталады.
Сызықтық операторлардың мысалдары
1. Нөл-оператор. -сызықтық кеністік. , яғни бұл оператор
кеңістіктегі кез-келген элементті нөлдік элементке аударады. Сызықтылық
шарты (1.2.11) теңдігі орындалатынын тексеру оңай.
2. Бірлік оператор. - кез-келген сызықтық кеністік, болсын.
теңдігімен анықталған операторы бірлік оператор деп аталады. Бұл
оператор кеңістіктің әр элементін осы элементтің өзіне бейнелейді.
сызықтық оператор екені оның анықтамасынан айқын.
3. Матрица. , болсын. матрица және элементі
матрицасы мен векторының көбейтіндісі болсын. Сонда бұл матрица
сызықтық операторын анықтайды. Бұл оператордың сызықтық қасиеті матрицалары
көбейту ережесінің салдары болады.
Шынында да, егер болса, онда матрицаларды көбейту ережесі бойынша
(1.2.12)
Егер және кез-келген екі вектор болса, ал олардың
матрицасымен түрленген бейнелері
және
векторлары болса, онда (1.2.12) теңдігі бойынша векторының -нші
координаты тең:
ал, екінші жағынан, бұл векторының -нші
координаты, демек, (1.2.11) теңдігімен орындалады.
Ескерту 1. Керісінше, кез-келген сызықтық операторы матрица арқылы
берілгенін дәлелдеуге болады.
4. Функцияға көбейту операторы. кеңістігінен жеке алынған
тиянақты функциясы және кез-келген үшін операторы
(1.2.13)
теңдігімен анықталған болсын. Бұл функциясына көбейту операторы деп
аталады. Бұл сызықтық оператор екені айқын.
5. Интегралдық оператор. функциясы квадратында үздіксіз
болсын. Кез-келген функциясы үшін операторды
(1.2.14)
теңдігімен анықтайық. Онда , яғни (1.2.14) теңдігімен операторы
анықталды. Интегралдың сызықтық қасиетінен бұл оператордың да сызықтық
оператор екендігі тікелей шығады.
Ескерту 2. Егер болса, онда (1.2.14) теңдігі кеңістігінде
сызықтық оператор анықтайды, яғни бұл жағдайда
Операторларға қолданылатын амалдар. Сызықтық кеңістікте анықталған
операторларға қосу, көбейту және операторды санға көбейту амалдарын
қолданып, жаңа сызықтық оператор анықтауға болады. Осы айтылған амалдарды
анықтайық.
1. Операторларды қосу. Егер сызықтық кеңістігінде А және В сызықтық
операторлары анықталған болса, онда олардың қосындысы
(1.2.15)
теңдігімен анықталады, яғни қосынды оператор әрбір х элементін осы
элементтің бейнелерінің қосындысына аударады.
2. Операторды санға көбейту. операторының санына
көбейтіндісі, яғни операторы
(1.2.16)
теңдігімен анықталады. операторы кеңістігінде анықталған
болса, онда да осы кеңістікте анықталғандығы айқын.
3. Операторлардың бірін екіншісіне көбейту. ал В операторы
кеңістігінде анықталған. Енді ВА операторы
(ВА)х=В(Ах),
(1.2.17)
теңдігімен анықталады. Бұл анықтама қисынды болуы үшін ВА көбейтіндісінде
бірінші тұрған оператордың мәндері екінші оператордың анықталу жиынында
жатуы шарт.
Егер А және В сызықтық операторлар болса, онда (1.2.15)-(1.2.17)
теңдіктерімен анықталған операторлар да сызықтық операторлар екенін тексеру
қиын емес. Мысалы, ВА оперторының сызықтық қасиетін тексерейік:
4. Оператордың дәрежелері. Егер А операторы кеңістігінде
анықталған және оның мәндері Ах осы кеңістікте жататын болса, онда А
операторының дәрежелері келесі түрде анықталады:
5. Кері оператор. сызықтық операторы берілсін. Оның мәнінің жиынын
символымен белгілейік және оны А операторының бейнесі деп
атаймыз. Басқаша айтқанда, жиыны. Егер сәйкестігі биекция
болса, яғни әрбір элементіне тек элементі сәйкес қойылған
болса, онда бірмәнді бейнелеуі анықталады. Осы операторы
түрінде таңбаланады және ол А операторына кері оператор деп аталады.
1.3.Гильберт кеңістігі
Анализде функциялардың скаляр көбейтіндісі кеңінен қолданылады.
Сондықтан скаляр көбейтінді енгізілген сызықты кеңістікті қарастырған жөн
болады.
Анықтама. Айталық элементтерінің қандай да бір жиыны болсын.
I. Егер жиынында үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын
скаляр көбейтінді енгізілсе:
1. және
2.
3. ;
II. жиынында үшін n сызықты тәуелсіз векторлар
табылса, яғни ақырсыз өлшемді болса, онда абстрактылы
гильберт кеңістігі немесе гильберт кеңістігі деп аталады.
Гильберт кеңістігінде элементінің нормасы
арқылы енгізіледі.
Бұл өрнекпен енгізілген элементінің нормасы норма аксиомаларын
қанағаттандыратынын көру қиын емес.
Гильберт кеңістігінде
теңсіздігі орынды болады. Бұл теңсіздік Коши-Буняковский-Шварц теңсіздігі
деп аталады.
Гильберт кеңістігінде метрика
теңдігі бойынша анықталады және осы метрика мағынасында Н толық кеңістік
болып табылады.
Егер
және
болса, онда
яғни скаляр көбейтіндінің үзіліссіздігі орынды.
Гильберт кеңістігіне мысал
10. H=l2 координаттық Гильберт кеңістігі. Бұл кеңістіктің элементтері
ретінде компоненттері
шарттарын қанғаттандыратын нүктелері жиыны алынады. Скаляр
көбейтінді
мұндағы , ал норма
өрнектері арқылы беріледі.
Гильберт кеңістігіндегі ортогональдық
Анықтама. Гильберт кеңістігінің және элементтері
ортогональды деп аталады, егер болса және деп белгілейді.
Егер үшін болса, онда элементі жиынына
ортогональ делінеді, деп жазылады.
Теорема. Егер және болса, онда элементінің
жіктелуі бар және ол жалғыз. Мұндағы ал
Салдар. кеңістігі ортогональды қосындыға жіктеледі, яғни
Лемма. сызықты көпбейнесі кеңістігінде барлық жерде тығыз
болу үшін көпбейнесіне ортогональ нөлден өзгеше элементтің болмауы
қажетті және жеткілікті
Дәлелдеуі:
Қажеттілігі: Айталық және бар болсын , онда
. Демек , олай болса
Жеткіліктілігі: Айталық Олай болса табылып, алдыңғы
теорема бойынша жіктелуі бар болады. Мұндағы , ал
болғандықтан Ал бұл теорема шартына қайшы.
4. Сызықты операторлар теориясының элементтері
Айталық және сызықты нормаланған кеңістіктер болсын.
жиынында операторы анықталған дейді, егер әрбір үшін
элементі сәйкес қойылса. Мұндағы оператордың анықталу облысы,
ал оператордың мәндер облысы делінеді.
Анықтама. операторы сызықты деп аталады, егер және
үшін болса.
Анықтама. операторы сызықты деп аталады, егер және
үшін болса.
Осындай тұрақтылардың ең кішісі операторының нормасы делінеді де
деп белгіленеді.
Кез келген шектелген оператор үшін
Анықтама. операторы үзіліссіз деп аталады, егер болатын
тізбегі үшін болса.
Теорема. сызықты операторы шектелген болуы үшін оның үзіліссіз
болуы қажетті және жеткілікті.
Анықтама. Айталық сызықты кеңістіктер және болсын.
жиыны операторының ядросы деп аталады және деп белгіленеді,
яғни:
Нөл әрқашан сызықты оператордың ядросына енеді, яғни:
. Сызықты оператордың анықталу облысы, сондай-ақ мәндер
облысытабиғаты әртүрлі жиындар болады.
Анықтама. сызықты кеңістігінде анықталған мәндер жиыны сандар
болып келетін операторды функционал деп атаймыз.
Мысалы, жиыны – кесіндісінде анықталған өлшемді
функциялардың жиыны болсын. функционалы әрбір функцияға оның
максимумын сәйкестендіреді.
Анықтама. функционалы сызықты деп аталады, егер ол келесі шартты
қанағаттандырса: .
гильберт кеңістігінде функционалын қарастырайық,
мұндағы, кеңістігіндегі нөлден өзгеше бекітілген элемент.
Лемма . сызықты үзіліссіз функционал және
Дәлелдеуі: Айталық , онда
және
.
Коши теңсіздігінен
Сонымен
.
Басқа жағынан
.
Бұдан
,
яғни
Сызықты үзіліссіз функционалдың нөлдерінің жиынын, яғни,
теңдеуінің түбірлерінің жиынын деп белгілейік.
1.5. Кері операторлар
Айталық операторы кеңістігін кеңістігіне
түрлендірсін. оператордың анықталу облысы, ал мәндер облысы.
Анықтама. операторы қайтымды деп аталады, егер
теңдеуінің жалғыз ғана шешімі бар болса.
Егер L қайтымды болса, онда әрбір элементіне теңдеуінің
шешімі болатындай бір ғана элементін сәйкес қоюға болады. Осы
сәйкестікті жасайтын операторды операторының кері операторы деп
атайды және деп белгілейді.
Айталық .
Теорема. Егер өзара бірмәнді бейнелеу болса, сонда тек сонда
ғана бар болады.
Теорема. облысында анықталған сызықты операторы үшін
облысында анықталған кері оператор бар болуы үшін болуы
қажетті және жеткілікті.
Оператор ядросының анықтамасы бойынша Демек операторы
бар болуы үшін біртекрі теңдеуінің тек деген шешімінен басқа
шешімнің жоқ болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеуі: Айталық . Кері жориық. жоқ болсын. Онда
түбірлеріне сәйкес келетін бір ғана табылады. Бұдан оператордың
сызықты екенін пайдалансақ . Бұл теңдік екенін білдіреді.
Алайда болғандықтан , бұдан .
Айталық бар болсын және . Онда .
табылсын, яғни .
. .
Соңғы теңдіктен , екенін аламыз. Бұл бар деген
тұжырымға қайшы. Теорема дәлелденді.
Теорема. Айталық сызықты кеңістіктер және ,
- сызықты оператор болсын. Егер үшін (C0) болса,
онда облысында шектеулі кері оператор бар болады.
Дәлелдеуі: Келесі өзекті түсінікті енгізейік.
Анықтама. Егер және шектеулі бар болса онда
сызықты операторы үзіліссіз қайтымды деп аталады.
Теорема. - үзіліссіз қайтымды болу үшін және
болуы қажетті және жеткілікті.
Бұл жұмыста біз тек сызықты оператормен жұмыс істейтін болғандықтан
бізге келесі тұжырым қажет болады.
Теорема. - сызықты оператор және оның анықталу облысы
кеңістігінде тығыз болсын. операторы үзіліссіз қайтымды болады, егер
, (C0), теңдігімен қатар теңдігі орындалса.
Дәлелдеуі: Шектелген операторларының бар болатыны көрініп тұр.
екенін көрсетейік. Кері жориық. . Онда Рисс теоремасы
бойынша , . Бұдан .
жиыны кеңістігінде тығыз болғандықтан . Бұл
екенін білдіреді. Біз қайшылыққа келдік. Теорема дәлелденді.
1.6. кеңістігі
кеңістігінің келесі қасиеттерін қарастырайық:
1) жиыны -да толық болады, мұндағы жиыны -да
шексіз дифференциалданатын, финитті функциялар жиыны.
Бұдан әрбір элементі үшін -ға жинақталатын тізбегі
табылатыны шығады.
2) кеңістігі сепарабельді, яғни бұл кеңістікте барлық жерде толық
саналымды жиын бар. кесіндісіндегі кез келген үзіліссіз функцияны
нормасы бойынша көпмүшеліктер тізбегіне жуықтатуға болатыны белгілі.
Онда, жоғары айтылғандардан, рационал коэффициентті көпмүшеліктердің
саналымды жиыны -да барлық жерде толық болатыны анық .
3) Коши теңсіздігі орындалады: айталық , болсын. Онда
(1.6.1)
орындалады.
Егер болса, онда (*) дан интегралы анықталған және ақырлы.
қатынасы түрінде анықталатын және функцияларының
-дағы скаляр көбейтіндісін анықтайды. Скаляр көбейтінді келесі
қасиеттерге ие:
барлық у үшін , ал болса, онда
( элементі ретінде);
;
, мұндағы - тұрақтылар;
;
(Коши-Буняковский теңсіздігі)
Егер және , болса онда теңдігі орындалады.
1.7. Түйіндес операторлар
Е сызықты кеңістігін кеңістігіне түрлендіретін L операторын
қарастырайық. g функционалы кеңістігінде анықталсын, яғни Осы
функционалды элементіне қолданайық: яғни (Мұндағы
сәйкесінше Е, кеңістіктеріне түйіндес кеңістіктер). Демек, әрбір
функционалына функционалын сәйкес қойдық.
Анықтама. Жоғарыдағы әдіспен анықталған сәйкестікті L операторына
түйіндес оператор деп атап, деп белгілейміз.
f функционалының х элементіндегі мәнін деп белгілесек, онда
немесе екенін аламыз.
Түйіндес оператордың қасиеттері:
1) егер L сызықты болса, онда операторы да сызықты болады;
2) ;
3) ;
4) егер L үзіліссіз болса, онда операторы да үзіліссіз болады;
5) , мұндағы бірлік оператор.
Теорема. Егер шектелген сызықты оператор болса, онда ( Е
және Банах кеңістіктері). L операторы Гильберт кеңістігінде
анықталған болса, Рисс теоремасы бойынша түйіндес оператордың анықтамасы
түрінде болады.
L және операторлары бір кеңістікте анықталатын жағдайлар көп
кездеседі. Осындай жағдайда операторы жақсы қасиетке ие болады.
Анықтама. ішкі кеңістігі L операторына қатысты инвариантты деп
аталады, егер үшін болса.
Теорема. ішкі кеңістігі L операторына қатысты инвариантты болса,
онда ортогональді толықтауышы операторына қатысты инвариантты
болады.
Дәлелдеуі: Егер болса, онда Бұдан түйіндес оператордың
анықтамасы бойынша . Демек, Олай болса,
Айталық, болсын. түйіндес операторы теңдеуінің
шешімінің бар екенін көрсетуде зор рөл атқарады.
Теорема теңдеуінің үшін бір ғана шешімі бар болады, сонда
тек сонда ғана, егер болса.
Түйіндес оператор түсінігін шектеусіз операторлар жағдайына да
келтіруге болады. Мұны гильбертті кеңістік жағдайын қарастырайық.
А-Н гильбертті кеңістігінде толығынан анықталған сызықты оператор
болсын. - барлық үшін
(1.7.1)
болатындай жиыны, мұнда .
Әр үшін деп алайық. операторы А –ға түйіндес деп
аталады. Атап, кетуіміз керек, - (1.7.1) формуласы бойынша бір мәнді
болып анықталуы үшін облысы тығыз болуы қажет.
Симметриялы операторлар
Анықтама. Егер сызықтық оператор А түйіндес операторына тең
болса, онда мұндай оператор симметриялы (өзіне түйіндес) оператор деп
аталады.
Басқаша айтқанда, егер кез-келген элементтерінде
(1.7.2)
теңдігі орындалса, онда А симметриялы оператор болғаны.
Егер А операторы симметриялы болса, онда оған түйіндес оператор
оның жалғасы болады, белгіленуі: .
Теорема. операторы тұйық. Дербес жағдайда симметриялы оператор
тұйықталады.
Дәлелдеу: және болсын. теңдігін көсету керек. Кез
келген үшін болады. Бұдан шекке көшу арқылы теңдігін
аламыз. Соңғы теңдіктен анықтама бойынша
Анықтама. Егер болса, онда ол оператор Эрмит операторы деп
аталады.
Ал кеңістігі (скаляр көбейтінді) Евклид кеңістігі болғандықтан,
бұл ұғымдар кеңістігінде де анықталады.
Мысалдар.
1. кеңістігінде А сызықтық операторы матрица арқылы берілген
болсын. А операторы элементін элементіне көшіретін болсын. Осы
операторды анықтайтын матрица элементтерінен, ал түйіндес
операторын анықтайтын матрица элементтерінен тұратын болсын. Онда
(1.7.3)
(1.7.4)
(1.7.3) және (1.7.4) теңдіктеріндегі қосындыларда мен
индекстерінің орнын ауыстырса және болса, онда бұл қосындылар тең
болатыны айқын. Демек, теңдігі орындалауы үшін теңдігінің
орындалуы қажет Осыдан. матрицасы аударылған А матрицасына тең
екендігі көрінеді. Сонымен қатар, кеңістігінде симметриялы оператор
бас диагоналі бойынша симметриялы матрицамен берілетіні де айқындалады.
2. кеңістігінде анықталған интегралдық оператор
(1.7.5)
үшін түйіндес операторды іздейік. Мұнда ядро , ал .
Фубини теоремасын қолданып, мына теңдіктерді жазайық:
Мұнда арқылы түйіндес оператордың ядросы белгіленеді. Соңғы екі
интегралдардың теңдігінен , яғни түйіндес оператордың ядросы А
операторының ядросында аргументтерінің орындарын ауыстыру нәтижесінде
табылады. Осыдан төмендегі қорытынды шығады:
Интегралдық оператор симметриялы болу үшін оның ядросы симметриялы,
яғни оның аргументтерінің орындарын алмасытрғанда өзгермейтін функция болуы
шарт.
Анықтама. А симметриялы оператор болсын. Егерде,
шарттары орындалса, онда А операторы оң анықталған деп аталады.
ІІ ТЕРБЕЛІСТЕР ТЕҢДЕУІ
2.1. (Ішектің тербеліс теңдеуін қорытып шығару. Шексіз ішек. Даламбер
формуласы. Фурье әдісі.)
Тербелмелі қозғалыстармен байланысты физикалық есептерде екінші реттік
гиперболалық теңдеулер типі кездеседі. Гиперболалық теңдеудің жай түрі:
(2.1.1)
кейде оны ішектің тербеліс теңдеуі деп атайды.
Ішектің ұзындығының кез- келген нүктесін абсциссадағы мәні арқылы
сипаттауға болады. Ішектің орын ауыстыруы біртекті жазықтығында жатыр
деп, ал ығысу векторын осіне кез- келген мезетте перпендикуляр деп,
онда тербелу процесін бір функция арқылы сипаттауға болады. Ішек ретінде
мықты серпімді жіп алынады. Ішекте пайда болатын кернеу үздіксіз профиліне
жанама бойымен бағытталады. Созу шамасы серпімділікке байланысты Гук заңы
бойынша анықталады. Созылу кезіндегі иілген бөлігі:
(2.1.2)
Ішектің элементінің көлденең тербелісі теңдеуінің интеграл түрі:
(2.1.3)
Дифференциал теңдеуге көшу үшін,
мұндағы
, онда
- ға кемітіп, шегіне ауысып,
(2.1.4)
(2.1.5)
теңдеуін аламыз. жағдайында
мұндағы
(2.1.6)
Ішкі күштер әсері жоқ деп біртекті теңдеуді аламыз:
немесе
Бұл теңдеу ішектің еркін тербелісін сипаттайды. Егер нүктеде күш
түсірілген, онда (2.1.3) теңдеу былай жазылады:
.
Даламбер формуласы
Ішектің тербелісінің бастапқы шарттары:
(2.1.7)
(2.1.8)
Бұл теңдеуді канондық түрге түрлендіреміз
Бұл жағдайда теңдеу екіге бөлінеді:
интегралы түзу болады:
Жаңа айнымалыларды енгізу арқылы:
Ішектің тербелісінің теңдеуі мына түрге келеді:
(2.1.9)
Осы теңдеудің жалпы интегралын табамыз:
Мұндағы - қандай да бір айнымалы үшін функция. Осы
теңдікті арқылы интегралдап мынаны аламыз:
(2.1.20)
Осыдан
(2.1.21)
(2.1.21) теңдеу (2.1.17) теңдеудің жалпы интегралы болып табылады.
функцияларды табайық, мына бастапқы шарттарды қанағаттандырады
дейік:
(2.1.22)
(2.1.23)
Екінші теңдікті интегралдап, мынаны табамыз:
Мұндағы және – тұрақтылар.
Теңдіктен:
Осыдан,
(2.1.24)
Осы арқылы мен -ні мен арқылы таптық, (2.1.21)-
ке қою арқылымына теңдеуді аламыз:
немесе
(2.1.25)
Бұл формуланы Даламбер формуласы деп атайды. Бұл формула шешімнің бірлігін
білдіреді.
Айнымалыларды ажырату әдісі немесе Фурье әдісі
Айнымалыларды ажырату немесе Фурье әдісі дербес туындылы теңдеуді
шешуде қолданатын кең тараған әдістердің бірі. Бұл әдістің түсініктемесінде
шеттерінен бекітілген шектің тербелісінің есебі туралы айтамыз.
Сонымен
(2.1.26)
біртекті шекаралық
, (2.1.27)
алғашқы
(2.2.28)
шартты қанағаттандыратын (2.1.26) теңдеудің шешімін іздейік.
(2.1.26) теңдеу сызықты және біртекті болғандықтан оның дербес
шешімдерінің қосындысы да осы теңдеудің шешімі болып табылады. Жеткілікті
дербес шешімдердің көмегімен оларды кейбір коэффициенттермен қосындылап
ізделінді шешімді табайық. Негізгі көмекші есепті құрайық.
, біртекті шекаралық шартты
(2.1.29)
және
(2.1.30)
Шарттарды (мұндағы тек айнымалысының функциясы, тек
айнымалысының фукциясы) қанағаттандыратын теңдеуінің нольге
тепе-тең емес шешімін іздейік.
(2.1.30) формуладағы шешімді (2.1.26) теңдеуге қойып, немесе
-ға бөліп,
(2.1.31)
(2.1.30) функция (2.1.26) теңдеудің шешімі болуы үшін тәуелдсіз
айнымалылардың барлық мәндерінде (2.1.31) теңдік орындалуы тиіс. (2.1.31)
теңдеудің оң жағы айнымалысының фукциясы, сол жағы
айнымалысының функциясы.
мәнін бекітіп және мәнін өзгерте отырып, (2.1.31) теңдеудің
сол және оң жағы өздерінің аргументтері өзгергенде,
, (2.1.32)
тұрақты мәнін сақтайтынын аламыз. Мұнда -тұрақты, есептеулерге
ыңғайлырақ болу үшін теріс таңбамен аламыз. (2.1.32) қатынастан
және анықталатын функция үшін қарапайым дифференциялдық теңдеуге
келеміз.
(2.1.33)
(2.1.34)
(2.1.24) шекаралық шарттар мынаны береді:
Бұдан функциясының қосымша
(2.1.35)
Шартты қанағаттандыру керек екендігін аламыз. Әйтпесе және
, функциясы үшін негізгі көмекші есепте ешқандай қосымша шарттар
жоқ. Осылайша функциясын табуда меншікті мәндер туралы қарапайым
есепке келеміз.
(2.1.36)
(2.1.36) есептің тривиальды емес шешімі болатын -параметрінің
мәнін анықтау керек. Ондай мәндер меншікті мәндер деп аталады және оған
сәйкес тривиальды шешімдер функцияның меншікті есебі деп аталады. Мұдай
есепті Штурм-Лиувилл есебі деп те атайды.
-параметрінің теріс, оң немесе нольге тең болатын дербес жағдайларын
қарастырайық.
1. есептің тривиальды емес шешімдері болмайды. Расында да, (2.1.33)
теңдеу жалпы түрде
.
Шекаралық шарттар:
яғни және
Қарастырып отырған жағдайда -нақты және оң сан болғандықтан
. Сондықтан яғни .
2. болған жағдайда да тривиальды емес шешім болмайды. (2.1.33) теңдеу
жалпы түрде . Шекаралық шарттары
яғни және бұдан .
3. болған жағдайда да теңдеудің жалпы шешімін
түрде жазуға болады. Шекаралық шарттар:
.
Егер нольге тепе-тең болса, онда . Сондықтан
(2.1.37)
немесе
мұнда кез келген бүтін сан. Яғни (2.1.36) есептің тривиальды емес
шешімі тек қана
.
Бұл меншікті мәндерге меншікті функциялар сәйкес келеді.
мұндағы -кез келген тұрақты. Сонымен тек қана -ның
(2.1.38)
мәнінде кез келген көбейткішіне дейінгі нақтылықпен анықталатын (біз 1-ге
тең деп аламыз) (2.1.36) есептің тривиальды емес шешімі бар болады.
(2.1.39)
осы мәнге (2.1.34) теңдеудің шешімі де сәйкес ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Тақырыптың өзектілігі. Бұл диссертациялық жұмыс шектеулі облыста
гиперболалық түрдегі дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің бар болуы,
жалғыздығы және шешімдерінің дифференциалдық қасиеттерін, сонымен қатар
гиперболалық операторлардың бір класының өз-өзіне түйіндестігін зерттеуге
арналған.
Гиперболалық теңдеулер үшін шеттік есепті зерттеудің өзектілігі
есептегі әртүрлі мәселелерге қойылатын қосымшаның маңыздылығымен тығыз
байланыста қолданылатын практика негізінде анықталады және физика, химия,
биология, радиофизика және электротехниканың есептерін шешуде қолданылады.
Физикалық есептің шешімінің ерекшелігін шешу негізінде пайдаланылған
екінші ретті теңдеудің гиперболалық түрдегі дербес туындылы дифференциалдық
теңдеулер теориясындағы алатын орыны зор. Гиперболадық түрдегі теңдеулерді
зерттеудің негізі болып XVIII ғасырда зерттелген шектің тербеліс теңдеулері
болып табылады. Бұл теңдеулерді зерттеу Г.Галилей, М.Мерцен, Р.Декарт,
Х.Гюйгенс, Б.Тейлор, Ж-Л.Даламбер, Л.Эйлер, Д.Бернулли, Ж-Л.Лагранж, П.-
С.Лапластың аттарымен байланысты.
Гиперболалык теңдеудің жалпы теориясының койылуы және оның жеке
нәтижесін жүйелеу Ж.Б.Фурье, О.-Л.Коши, С.В.Ковалевская, Г.Дарбу, Э.Гурс,
Б.Риман, П.-Г.-Л.Дирихле, Ж.Адамар және т.б. ғалымдардың енбектерінен
басталған.
Бұл классикалық зерттеулер гиперболалық теңдеулер облысының жаңа
әдістерін зерттеулеріне айтарлықтай әсер етті. Сызықты жэне сызықты емес
гиперболалық теңдеулер және екінші ретті жүйелер Р.Курсант, К.Фидрихс,
Г.Левитан, И.Шаудер, С.Л.Соболев, И.Г.Петровский, Ж. Лере, Л.Гординг,
О.А.Ладыженский, Т.Ш.Кальменов және т.б. ізденушілердің жұмыстарында
айтарлықтай зерттелген. Ал, О.А.Олейник, Б.Л.Рожденственский, Н.Н.Яненко
және т.б. ғалымдардың жұмыстары гиперболалык түрдегі екінші ретті жүйе мен
теңдеулерге арналған.
Сингулярлы дифференциалдық теңдеулерді жете зерттеуді кванттық
механикада қажет ететіндігі белгілі. Мысалы: шектеусіз облыста берілген
теңдеулер. Шектеусіз облыстағы коэффициенттері шектеулі гиперболалық
түрдегі теңдеулердің шешімдерінің бар болуы және оның қасиеттері П.Д.Лакс,
К.Фидрихс, М.Нагумо, А.М.Нахушев, Т.И.Кигурадзе, Д.С.Джумабаев,
А.Т.Асановалардың жұмыстарында толығымен зерттелген.
Мысалы П.Д.Лакс, К.Фридрихс, М.Ногумоның зерттеулерінде
кеңістігінде жатқан
гиперболалық түрдегі екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің
жалпы шешімдерінің бар болуы
1) және оның бірінші ретті туындысы үзіліссіз және шектеулі, ал
кеңістігінде жатқан функциясы үзіліссіз және шектеулі функция;
2) ,
мұндағы, , , -матрицасының реті тек қана
нөлдік элементтерден тұрады,
- симметриялы,
шарттар негізінде дәлелденген.
Жұмыс мақсаты. Гиперболалық операторлардың бір класының өз-өзіне
түйіндестігін көрсету.
Зерттеу әдістемесі. Зерттеу барысында М.Өтелбаевтың жұмыстарында
пайдаланған локализация әдісі, априорлық бағдар әдісі, Фурье
түрлендірулері, сонымен қатар функционалдық анализдің кейбір
қолданылуларында пайдаланған әдістер қолданылады.
Ғылыми жаңашылдығы. Гиперболалық түрдегі дифференциалдық операторлардың
бір класы үшін өз-өзіне түйіндестігін зерттеуге арналған.
Жұмыста төмендегідей жаңа нәтижелер алынды:
операторы
шеттік шарттар негізінде - шексіз дифференциалданатын кеңістігінде
қарастырылған. Мұндағы, - ашық тік төртбұрыш.
Оператордың өз-өзіне түйіндестігін зерттеу барысында төмендегі шарттар
толығымен дәлелденді:
1) операторының симметриялы екендігі;
2) , яғни операторының ядросы бос екендігі;
3) операторының кері кері операторы бар және ол шектеулі
болатындығы;
4) , яғни операторына түйіндес операторының ядросы бос
екендігі;
5) (2)-(3) шеттік шарттар негізінде зерттелген
есебінің үшін жалғыз ғана шешімі бар екендігі.
Теориялық және практикалық маңыздылығы. Жұмыс теориялық сипатта
жасалған, ол жоғары курс студенттеріне арнайы курс оқу барысында
қолданылатын теориялық қызығушылық тудыратын нәтижелер алынды.
Диссертация құрылымы. Диссертация кіріспеден, үш бөлімнен, қорытындыдан
және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.
Бірінші бөлімде әдебиетке шолу жасалып, анализдің кейбір фактілері мен
тұжырымдары келтірілген және олар мысалдармен ұштастырылған.
Екінші бөлімде ішектің тербелісінің теңдеуін қорытып шығару,Даламбер
формуласы, Фурье әдісі, мембрана тербелісінің теңдеуін қорыту
қарастырылған.
Үшінші бөлімде гиперболалық түрдегі дифференциалдық операторлардың бір
класының өз-өзіне түйіндестігін зерттеуге арналған.
Функционалдық анализдің негізгі түсініктері
1.1. Метрикалық кеңістік ұғымы
- кез келген жиын болсын. Оның элементтерін әріптерімен
белгілейміз.
Екі айнымалылы, нақты сан мәнді функциясы жиынының
элементтерінде анықтап және мына төмендегі шарттарды қанағаттандыратын
болсын:
1. (симметриялық шарты )
2. және теңдігі тек қана болғанда орындалады (тепе-
теңдік шарты)
3. Кез келген элементтері үшін:
(1.1.1)
теңсіздігі орындалады. (Бұл теңсіздік үшбұрыш теңсіздігі деп аталады).
-жиынында анықталған, осы қасиеттерге ие функциясы арақашықтық
немесе метрика деп аталады. Метрика үшін қойылған үш шарт метрика
аксиомалары деп аталады.
Анықтама. Метрика анықталған жиынын метрикалық кеңістік деп
атайды.
Метрикалық кеңістік түрінде белгіленеді, бірақ көбінесе
қысқаша, тек жиынның ғана таңбасын көрсетіп, арқылы белгілейміз.
Метрикалық кеңістікте жатқан кез келген нүктелері үшін үшбұрыш
теңсіздігін қайталай қолданып, мына теңсіздіктерді жазайық:
яғни
(*)
Осыған ұқсас,
яғни
(**)
Енді (*),(**) теңсіздіктері
(1.1.1)
теңсіздігіне пара-пар. Бұны төртбұрыш теңсіздігі деп аталады. Осы
теңсіздіктен болған жағдайда
, (1.1.1)
теңсіздігі шығады, ал бұл-екінші үшбұрыш теңсіздігі.
Тұжырым. -кез келген нормаланған сызықтық кеңістік болсын.
(1.1.2)
теңдігі осы кеңістікте метриканы анықтайды.
Дәлелдеуі. Шарт бойынша -нормаланған сызықтық кеңістік. Метриканың
бірінші аксиомасы орындалатын (1.1.2) кеңістігінен белгілі. Сондай-ақ,
екендігі де нормаға сәйкес қасиеттен шығады. Егер болса, онда
, демек, норманың қасиеті бойынша, , яғни .
Енді метриканың үшінші аксиомасын, яғни (1.1.1) теңсіздігін дәлелдейік.
Кеңістіктің кез-келген элементтерін алып, норманың үшінші аксиомасын
пайдаланып, метрика үшін үшінші аксиоманың орындатынын көреміз:
(1.1.3)
(1.1.2) теңдігінің норманы анықтайтыны, сонымен бірге жиыны метрикалы
жиын, яғни метрикалық кеңістік болғаны дәлелденді.
Метрикалық кеңістіктерге мысалдар
10. (n өлшемді кеңістік) болсын. Егер және бұл
кеңістіктің кез келген екі нүктесі болса, онда метрикасын мына
өрнекпен
анықтауға болады, себебі жоғарыдағы шарттарын қанағаттандырады. Олай
болса, -метрикалық кеңістік.
20. Егер x пен y нүктелері берілген болса, онда ара қашықтығын
өрнегі бойынша да анықтауға болады. Бұл өрнектің де 1)-3) шарттарын
қанағаттандыратындығы көреміз. Олай болса, -метрикалық кеңістік.
30. -нақты сандар жиыны болсын, x пен y нүктелерінің ара
қашықтығын өрнегі бойынша анықтауға болады. Мұндағы φ(α) барлық α≥0
үшін анықталған, екі рет үзіліссіз дифференциалданатын, монотонды өспелі
(φ(α)0, φ(α)0) және φ(0)=0 болатын функция. Бастапқа 1),2)
қасиеттерін тексеру қиын емес, ал үшбұрыш теңсіздігі φ(α+β)≤ φ(α)+φ(β)
қатынасынан шығады. Сондықтан -метрикалық кеңістік. Егер деп
алсақ, онда
өрнегі де 1)-3) шарттарын қанағаттандырады. Олай болса, - метрикалық
кеңістік. Бұл жағдайда
40. Компекс сандар жазықтығындағы радиусы бірге тең ашық дөңгелектің
екі нүктесі- мен нүктелерінің ара қашықтығын
өрнегімен анықтауға болады. Метрикалық кеңістіктің аксиомалары орындалуы
себепті бұл метрикалық кеңістік.
Бастапқы үш мысалдағы кеңістіктер векторлық (сызықтық) кеңістіктер болса,
соңғы мысалдағы кеңістік сызықты емес метрикалық кеңістік.
50. х=l1 ; бұл жиынның нүктелері x=(x1,...,хn,...)
шарттарын қанағаттандыратын (яғни абсолют жинақталатын қатарлар ) сан
тізбектері. Егер уl1 (мұндағы у=(у1,...,уn,...)) болса, онда
метриканы
өрнегімен анықтауға болады. Бұл жағдайда да бастапқы екі қасиет оңай
тексеріледі, ал үшіншісін былай тексеруге болады.
Егер x=(x1,...,хn,...) және у=(у1,...,уn,...), zl1 болса, онда кез
келген n үшін
теңсіздігінен шекке көшу арқылы
теңсіздігін алуға болады. Олай болса, -метрикалық кеңістік. Кейде
бұл кеңістікті арқылы ғана белгілейміз.
2. Сызықты және нормаланған кеңістіктер
Анықтама. Егер қайсыбір жиынында:
1. Кез келген элементтері үшін олардың қосындысы деп аталатын
элементі анықталған болса және бұл екі элементті қосу амалы үшін мына
қасиеттер орындалса:
1. (қосудың коммутативтік қасиеті);
2. ( қосудың ассоциативтік қасиеті);
3. Кез келген үшін теңдігі орындалатын бір ғана
элементі бар болуы (нөлдік элемент);
4. Кез келген үшін теңдігі орындалатын
элементі (ке қарама-қарсы элемент) бар және ол әр
үшін біреу ғана болса;
2. Кез келген және кез келген нақты (немесе комлекс) саны үшін
элементі мен санының көбейтіндісі деп аталатын
элементі анықталған болса және бұл элементті санға көбейту амалы мен
элементтерді қосу амалдары мына төмендегі шарттарды қанағаттандыратын
болса.
1.
2.
3.
4. -скалярлар;
онда бұл жиыны сызықтық кеңістік деп аталады.
жиынының элементтерін қосу және оларды санға көбейту амалдары
үшін қойылған осы шарттар сызықтық кеңістіктің аксиомалары деп аталады.
жиынының элементтері көбейтілетін сандар жиыны ретінде нақты
сандар жиыны немесе комплекс сандар жиыны алынуына қарай нақты
сызықтық кеңістік немесе комплекс сызықтық кеңістік пайда болады.
Егер жиынының өзі де нақты немесе комплекс сандардан тұратын
болса, онда санды санға қосу және көбейту амалдары үшін бұл аксиомалар
орындалады. Сондай-ақ, жазықтықтағы немесе кеңістіктегі векторларды қосу
және оларды санға көбейту амалдары үшін де бұл шарттар орындалады.
Сызықтық кеңістікке мысал: арқылы өлшемді координаттық
кеңістік белгіленеді. Бұл кеңістікте жиыны өлшемді
векторлары алынады. Мұндағы , сондай-ақ, -кез келген нақты
(немесе комплекс) сандар-вектордың координаттары. Екі вектордың қосындысы
түрінде, яғни берілген векторлардың аттас координаттарын қосу
нәтижесінде пайда болған вектор ретінде анықталады, ал вектордың
санының көбейтіндісі түрінде, яғни осы вектордың әрбір
координатын санына көбейтуден пайда болған вектор ретінде
анықталады. жиынының элементтері үшін анықталған қосу және санға
көбейту амалдары векторлардың координаттарына, яғни сандарға қолданылады.
Сондықтан жоғарыда келтірілген 1.1.-1.2. аксиомаларының орындалуы
нақты(комплекс) сандардың қасиеттерінен тікелей шығады. 1.3 аксиомасындағы
нөлдік элемент ретінде , ал 1.4. аксиомасына сәйкес элементіне
қарама-қарсы элемент ретінде элементі болады.
Ал, 2.1.-2.4. қасиеттері орындалатындығы нақты (немесе комплекс) сандар
қасиеттерінен тікелей шығады. Осылай анықталған сызықтық кеңістік
арқылы таңбаланады.
Анықтама. ішжиыны өз бетінше сызықтық кеңістік құрайтын болса,
онда ішжиыны кеңістігінің ішкеңістігі деп аталады.
Анықтама. Егер кез келген векторлары мен бірге олардың кез келген
сызықты комбинациясы да осы жиынында жататын болса, онда жиыны
сызықтық көпбейнелік деп аталады.
Анықтама. Егер әрбір үшін нақты сан мәнді функциясы
анықталса және ол мына шарттарды қанағаттандыратын болса:
1) және тек болғанда ғана (норманың теріс еместік шарты);
2) Кез келген саны үшін (норманың біртектілік шарты);
3) Кез келген үшін (үшбұрыш теңсіздігі),
онда кеңістігінде норма анықған дейміз.
Анықтамада келтірілген 1), 2), 3) шарттары норманың аксиомалары деп
аталады.
Норма анықталған сызықтық кеңістік нормаланған сызықтық кеңістік деп
аталады.
Анықтама. жиынының жеке өзі нормаланған сызықтық кеңістік болып
табылады. Осы кеңістік нормаланған сызықтық кеңістігінің ішкеңістігі
деп аталады.
Нормаланған сызықтық кеңістікке мысал. -сызықты кеңістік. Сызықты
кеңістікте норма анықтап, оны нормаланған сызықтық кеңістікке айналдырамыз.
Мұндағы үшін норманы
(1.2.1)
теңдігімен анықтаймыз. Бірінші шарттың орындалатыны болса, онда
барлық болатыны. Себебі, егер қайсыбір болса, онда (1.1)
теңдігінің оң жағындағы өрнектің мәні оң сан болады. Сонымен, егер
болса, онда векторының барлық координаттары нөлге тең: .
Керісінше, егер болса, онда болады.
Екінші аксиоманы тексерейік:
=
Үшінші аксома, алдымен Коши теңсіздігін алайық. Кез келген нақты
сандары үшін
(1.2.3)
теңсіздігі орындалады. Бұл теңсіздіктің екі жағынан квадраттаймыз:
(1.2.4)
Енді осы теңсіздікті пайдаланып (1.1) нормасы үшін үшбұрыш теңсіздігін
дәлелдейміз:
теңсіздігінің екі жағынан квадрат түбір алып, үшбұрыш теңсіздігіне келеміз.
Сонымен (1.1.1) теңдігімен анықталған норма шынында да норма аксиомаларын
қанағаттандырады. жиыны нормаланған сызықтық кеңістікке айналады. Бұл
кеңістік, арифметикалық Евклид кеңістігі деп, ал норма (1.1.1)-Евклид
нормасы (немесе евклидтік нормасы) деп аталады.
Анықтама. Егер сызықты нормаланған кеңістік
метрикасы бойынша толық метрикалық кеңістік болса онда сызықты нормаланған
кеңістік толық деп аталады.
Толық сызықты нормаланған кеңістік банах кеңістігі деп аталады.
Теорема. Әрбір сызықты нормаланған кеңістік қандайда бір банах
кеңістігіне енеді және сол кеңістікте тығыз болады.
Сызықтық кеңістіктерде анықталған сызықтық бейнелеулер
L – кез-келген сызықтық кеңістік болсын. Осы кеңістіктің
элементтерінде анықталған сан мәнді f(x) функциясы функционал деп аталады.
Мұнда, әдеттегідей, f сәйкестікті анықтайтын ережені, ал f(x) таңбасы
х әлементіне сәйкес қойылған санды белгілейді. L кеңістігінің құрылымына
қарай f(x) нақты не комплекс мәнді функционал болуы мүмкін.
Мысалы, f(x) әрқашан нақты мәнді функционал.
Егер f(x) функционалы үшін мына екі шарт орындалатын болса:
1) Кез-келген үшін f(x+y)=f(x)+f(y) (аддитивтік шарты) ,
2) Кез келген саны үшін f(x)= f(x) (біртектілік шарты),
онда f(x) сызықтық функционал деп аталады.
Бұл екі шартты біріктіріп, мына бір теңдік түрінде қолдануға да болады:
F(αx+βy)=αf(x)+βf(y),
(1.2.5)
мұнда α және β кез-келген сандар. Бұл теңдік анықтамадағы екі шартқа
пара-пар болғандықтан, функционалдың сызықтылығын тексеру үшін (1.2.5)
теңдігін тексеру жеткілікті.
Сызықтық функционалдардың мысалдарын келтірейік.
1. L=Rn кеңістігінің x= (ξ1, ...,ξn) элементінде f(x) функционалының мәні
F(x)=a1ξ1+...+anξn, (1.2.6)
теңдігімен анықталған, мұнда a1,...,an тұрақты сандар. Бұл функционалдың
аддитивтік және бартектілік қасиеттерін тексеру оңай. Rn кеңістігінде
анықталған бұл функционалдың кәдімгі n айнымалылы сызықтық функция екеніне
зер аударайық. Кейін Rn кеңістігіндегі сызықтық функционал тек осы түрде
болатыны айқындалады.
2. L=C[a, b]сызықтық кеңістігінде f(x) функционалының x(t) элементіндегі
мәні
f(x)=, (1.2.7)
3. L=L[a, b] қосындыланатын функциялар кеңістігінде f(x) функционалының
x(t) элементігіндегі мәні қайсыбір шенелген, тиянақты a(t) функциясы
арқылы
f(x)= , (1.2.8)
теңдігімен анықталған. Бұл функционалдың да сызықтық қасиеті интегралдың
қасиеттерінен тікелей шығады және бұл (1.2.7) функционалының жалпыланған
түрі екені де түсінікті.
4. L=C[a, b] кеңістігінде анықталған тағы бір функционал
, (1.2.9)
Яғни функционалының x(t0) элементіндегі мәні санына тең.
Анықтаушы теңдік (2.5) бойынша
демек бұл сызықтық функционал.
5. L=l1 сызықтық кеңістігінде x=(ξ1,...,ξn)l1 кез-келген, ал
a=(a1,...,ak,...) тиянақты элемент болсын. Функционалды
(1.2.10)
теңдігімен анықтайық. Бұл кеңістіктегі элементтерді қосу және элементті
санға көбейту амалдары аттас координаттарға қолданылатын болғандықтан,
егер α мен β кез-келген сандар, ал y=(η1,...,ηk,,...) болса, онда
демек, бұл сызықтық функционал.
Ескерту. Егер a=(a1,..., ak,...) тізбегін (1.2.10) қатары жинақты
болатындай етіп алсақ, онда (1.2.10) теңдігі басқа да ( lp, c0, c )
тізбектер кеңістіктерінде сызықтық функционалды анықтайды.
Мысалы, a=(a1,..., ak,...) тиянақты, ал x=(ξ1,...,ξk,...)lp кез
келген элемент болса, онда, қатарлар үшін Гельдер теңсіздігінің салдарынан,
(1.2.10) қатары жинақты болады да, (1.2.10) теңдігі lp кеңістігінде
сызықтық функционал анықтайды.
және - кез-келген сызықтық кеңістіктер болсын.
Анықтама. Егер әрбір элементіне белгілі бір элементі
сәйкес қойылған болса, онда кеңістігінде оператор анықталған дейміз.
Осы операторды А символымен таңбаланса, онда теңдігі А
операторының элементін элементін бейнелейтінін көрсетеді. Егер
әрбір элементтері және кез-келген сандары үшін
(1.2.11)
теңдігі орындалатын болса, онда А сызықтық оператор деп аталады.
Сызықтық операторлардың мысалдары
1. Нөл-оператор. -сызықтық кеністік. , яғни бұл оператор
кеңістіктегі кез-келген элементті нөлдік элементке аударады. Сызықтылық
шарты (1.2.11) теңдігі орындалатынын тексеру оңай.
2. Бірлік оператор. - кез-келген сызықтық кеністік, болсын.
теңдігімен анықталған операторы бірлік оператор деп аталады. Бұл
оператор кеңістіктің әр элементін осы элементтің өзіне бейнелейді.
сызықтық оператор екені оның анықтамасынан айқын.
3. Матрица. , болсын. матрица және элементі
матрицасы мен векторының көбейтіндісі болсын. Сонда бұл матрица
сызықтық операторын анықтайды. Бұл оператордың сызықтық қасиеті матрицалары
көбейту ережесінің салдары болады.
Шынында да, егер болса, онда матрицаларды көбейту ережесі бойынша
(1.2.12)
Егер және кез-келген екі вектор болса, ал олардың
матрицасымен түрленген бейнелері
және
векторлары болса, онда (1.2.12) теңдігі бойынша векторының -нші
координаты тең:
ал, екінші жағынан, бұл векторының -нші
координаты, демек, (1.2.11) теңдігімен орындалады.
Ескерту 1. Керісінше, кез-келген сызықтық операторы матрица арқылы
берілгенін дәлелдеуге болады.
4. Функцияға көбейту операторы. кеңістігінен жеке алынған
тиянақты функциясы және кез-келген үшін операторы
(1.2.13)
теңдігімен анықталған болсын. Бұл функциясына көбейту операторы деп
аталады. Бұл сызықтық оператор екені айқын.
5. Интегралдық оператор. функциясы квадратында үздіксіз
болсын. Кез-келген функциясы үшін операторды
(1.2.14)
теңдігімен анықтайық. Онда , яғни (1.2.14) теңдігімен операторы
анықталды. Интегралдың сызықтық қасиетінен бұл оператордың да сызықтық
оператор екендігі тікелей шығады.
Ескерту 2. Егер болса, онда (1.2.14) теңдігі кеңістігінде
сызықтық оператор анықтайды, яғни бұл жағдайда
Операторларға қолданылатын амалдар. Сызықтық кеңістікте анықталған
операторларға қосу, көбейту және операторды санға көбейту амалдарын
қолданып, жаңа сызықтық оператор анықтауға болады. Осы айтылған амалдарды
анықтайық.
1. Операторларды қосу. Егер сызықтық кеңістігінде А және В сызықтық
операторлары анықталған болса, онда олардың қосындысы
(1.2.15)
теңдігімен анықталады, яғни қосынды оператор әрбір х элементін осы
элементтің бейнелерінің қосындысына аударады.
2. Операторды санға көбейту. операторының санына
көбейтіндісі, яғни операторы
(1.2.16)
теңдігімен анықталады. операторы кеңістігінде анықталған
болса, онда да осы кеңістікте анықталғандығы айқын.
3. Операторлардың бірін екіншісіне көбейту. ал В операторы
кеңістігінде анықталған. Енді ВА операторы
(ВА)х=В(Ах),
(1.2.17)
теңдігімен анықталады. Бұл анықтама қисынды болуы үшін ВА көбейтіндісінде
бірінші тұрған оператордың мәндері екінші оператордың анықталу жиынында
жатуы шарт.
Егер А және В сызықтық операторлар болса, онда (1.2.15)-(1.2.17)
теңдіктерімен анықталған операторлар да сызықтық операторлар екенін тексеру
қиын емес. Мысалы, ВА оперторының сызықтық қасиетін тексерейік:
4. Оператордың дәрежелері. Егер А операторы кеңістігінде
анықталған және оның мәндері Ах осы кеңістікте жататын болса, онда А
операторының дәрежелері келесі түрде анықталады:
5. Кері оператор. сызықтық операторы берілсін. Оның мәнінің жиынын
символымен белгілейік және оны А операторының бейнесі деп
атаймыз. Басқаша айтқанда, жиыны. Егер сәйкестігі биекция
болса, яғни әрбір элементіне тек элементі сәйкес қойылған
болса, онда бірмәнді бейнелеуі анықталады. Осы операторы
түрінде таңбаланады және ол А операторына кері оператор деп аталады.
1.3.Гильберт кеңістігі
Анализде функциялардың скаляр көбейтіндісі кеңінен қолданылады.
Сондықтан скаляр көбейтінді енгізілген сызықты кеңістікті қарастырған жөн
болады.
Анықтама. Айталық элементтерінің қандай да бір жиыны болсын.
I. Егер жиынында үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын
скаляр көбейтінді енгізілсе:
1. және
2.
3. ;
II. жиынында үшін n сызықты тәуелсіз векторлар
табылса, яғни ақырсыз өлшемді болса, онда абстрактылы
гильберт кеңістігі немесе гильберт кеңістігі деп аталады.
Гильберт кеңістігінде элементінің нормасы
арқылы енгізіледі.
Бұл өрнекпен енгізілген элементінің нормасы норма аксиомаларын
қанағаттандыратынын көру қиын емес.
Гильберт кеңістігінде
теңсіздігі орынды болады. Бұл теңсіздік Коши-Буняковский-Шварц теңсіздігі
деп аталады.
Гильберт кеңістігінде метрика
теңдігі бойынша анықталады және осы метрика мағынасында Н толық кеңістік
болып табылады.
Егер
және
болса, онда
яғни скаляр көбейтіндінің үзіліссіздігі орынды.
Гильберт кеңістігіне мысал
10. H=l2 координаттық Гильберт кеңістігі. Бұл кеңістіктің элементтері
ретінде компоненттері
шарттарын қанғаттандыратын нүктелері жиыны алынады. Скаляр
көбейтінді
мұндағы , ал норма
өрнектері арқылы беріледі.
Гильберт кеңістігіндегі ортогональдық
Анықтама. Гильберт кеңістігінің және элементтері
ортогональды деп аталады, егер болса және деп белгілейді.
Егер үшін болса, онда элементі жиынына
ортогональ делінеді, деп жазылады.
Теорема. Егер және болса, онда элементінің
жіктелуі бар және ол жалғыз. Мұндағы ал
Салдар. кеңістігі ортогональды қосындыға жіктеледі, яғни
Лемма. сызықты көпбейнесі кеңістігінде барлық жерде тығыз
болу үшін көпбейнесіне ортогональ нөлден өзгеше элементтің болмауы
қажетті және жеткілікті
Дәлелдеуі:
Қажеттілігі: Айталық және бар болсын , онда
. Демек , олай болса
Жеткіліктілігі: Айталық Олай болса табылып, алдыңғы
теорема бойынша жіктелуі бар болады. Мұндағы , ал
болғандықтан Ал бұл теорема шартына қайшы.
4. Сызықты операторлар теориясының элементтері
Айталық және сызықты нормаланған кеңістіктер болсын.
жиынында операторы анықталған дейді, егер әрбір үшін
элементі сәйкес қойылса. Мұндағы оператордың анықталу облысы,
ал оператордың мәндер облысы делінеді.
Анықтама. операторы сызықты деп аталады, егер және
үшін болса.
Анықтама. операторы сызықты деп аталады, егер және
үшін болса.
Осындай тұрақтылардың ең кішісі операторының нормасы делінеді де
деп белгіленеді.
Кез келген шектелген оператор үшін
Анықтама. операторы үзіліссіз деп аталады, егер болатын
тізбегі үшін болса.
Теорема. сызықты операторы шектелген болуы үшін оның үзіліссіз
болуы қажетті және жеткілікті.
Анықтама. Айталық сызықты кеңістіктер және болсын.
жиыны операторының ядросы деп аталады және деп белгіленеді,
яғни:
Нөл әрқашан сызықты оператордың ядросына енеді, яғни:
. Сызықты оператордың анықталу облысы, сондай-ақ мәндер
облысытабиғаты әртүрлі жиындар болады.
Анықтама. сызықты кеңістігінде анықталған мәндер жиыны сандар
болып келетін операторды функционал деп атаймыз.
Мысалы, жиыны – кесіндісінде анықталған өлшемді
функциялардың жиыны болсын. функционалы әрбір функцияға оның
максимумын сәйкестендіреді.
Анықтама. функционалы сызықты деп аталады, егер ол келесі шартты
қанағаттандырса: .
гильберт кеңістігінде функционалын қарастырайық,
мұндағы, кеңістігіндегі нөлден өзгеше бекітілген элемент.
Лемма . сызықты үзіліссіз функционал және
Дәлелдеуі: Айталық , онда
және
.
Коши теңсіздігінен
Сонымен
.
Басқа жағынан
.
Бұдан
,
яғни
Сызықты үзіліссіз функционалдың нөлдерінің жиынын, яғни,
теңдеуінің түбірлерінің жиынын деп белгілейік.
1.5. Кері операторлар
Айталық операторы кеңістігін кеңістігіне
түрлендірсін. оператордың анықталу облысы, ал мәндер облысы.
Анықтама. операторы қайтымды деп аталады, егер
теңдеуінің жалғыз ғана шешімі бар болса.
Егер L қайтымды болса, онда әрбір элементіне теңдеуінің
шешімі болатындай бір ғана элементін сәйкес қоюға болады. Осы
сәйкестікті жасайтын операторды операторының кері операторы деп
атайды және деп белгілейді.
Айталық .
Теорема. Егер өзара бірмәнді бейнелеу болса, сонда тек сонда
ғана бар болады.
Теорема. облысында анықталған сызықты операторы үшін
облысында анықталған кері оператор бар болуы үшін болуы
қажетті және жеткілікті.
Оператор ядросының анықтамасы бойынша Демек операторы
бар болуы үшін біртекрі теңдеуінің тек деген шешімінен басқа
шешімнің жоқ болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеуі: Айталық . Кері жориық. жоқ болсын. Онда
түбірлеріне сәйкес келетін бір ғана табылады. Бұдан оператордың
сызықты екенін пайдалансақ . Бұл теңдік екенін білдіреді.
Алайда болғандықтан , бұдан .
Айталық бар болсын және . Онда .
табылсын, яғни .
. .
Соңғы теңдіктен , екенін аламыз. Бұл бар деген
тұжырымға қайшы. Теорема дәлелденді.
Теорема. Айталық сызықты кеңістіктер және ,
- сызықты оператор болсын. Егер үшін (C0) болса,
онда облысында шектеулі кері оператор бар болады.
Дәлелдеуі: Келесі өзекті түсінікті енгізейік.
Анықтама. Егер және шектеулі бар болса онда
сызықты операторы үзіліссіз қайтымды деп аталады.
Теорема. - үзіліссіз қайтымды болу үшін және
болуы қажетті және жеткілікті.
Бұл жұмыста біз тек сызықты оператормен жұмыс істейтін болғандықтан
бізге келесі тұжырым қажет болады.
Теорема. - сызықты оператор және оның анықталу облысы
кеңістігінде тығыз болсын. операторы үзіліссіз қайтымды болады, егер
, (C0), теңдігімен қатар теңдігі орындалса.
Дәлелдеуі: Шектелген операторларының бар болатыны көрініп тұр.
екенін көрсетейік. Кері жориық. . Онда Рисс теоремасы
бойынша , . Бұдан .
жиыны кеңістігінде тығыз болғандықтан . Бұл
екенін білдіреді. Біз қайшылыққа келдік. Теорема дәлелденді.
1.6. кеңістігі
кеңістігінің келесі қасиеттерін қарастырайық:
1) жиыны -да толық болады, мұндағы жиыны -да
шексіз дифференциалданатын, финитті функциялар жиыны.
Бұдан әрбір элементі үшін -ға жинақталатын тізбегі
табылатыны шығады.
2) кеңістігі сепарабельді, яғни бұл кеңістікте барлық жерде толық
саналымды жиын бар. кесіндісіндегі кез келген үзіліссіз функцияны
нормасы бойынша көпмүшеліктер тізбегіне жуықтатуға болатыны белгілі.
Онда, жоғары айтылғандардан, рационал коэффициентті көпмүшеліктердің
саналымды жиыны -да барлық жерде толық болатыны анық .
3) Коши теңсіздігі орындалады: айталық , болсын. Онда
(1.6.1)
орындалады.
Егер болса, онда (*) дан интегралы анықталған және ақырлы.
қатынасы түрінде анықталатын және функцияларының
-дағы скаляр көбейтіндісін анықтайды. Скаляр көбейтінді келесі
қасиеттерге ие:
барлық у үшін , ал болса, онда
( элементі ретінде);
;
, мұндағы - тұрақтылар;
;
(Коши-Буняковский теңсіздігі)
Егер және , болса онда теңдігі орындалады.
1.7. Түйіндес операторлар
Е сызықты кеңістігін кеңістігіне түрлендіретін L операторын
қарастырайық. g функционалы кеңістігінде анықталсын, яғни Осы
функционалды элементіне қолданайық: яғни (Мұндағы
сәйкесінше Е, кеңістіктеріне түйіндес кеңістіктер). Демек, әрбір
функционалына функционалын сәйкес қойдық.
Анықтама. Жоғарыдағы әдіспен анықталған сәйкестікті L операторына
түйіндес оператор деп атап, деп белгілейміз.
f функционалының х элементіндегі мәнін деп белгілесек, онда
немесе екенін аламыз.
Түйіндес оператордың қасиеттері:
1) егер L сызықты болса, онда операторы да сызықты болады;
2) ;
3) ;
4) егер L үзіліссіз болса, онда операторы да үзіліссіз болады;
5) , мұндағы бірлік оператор.
Теорема. Егер шектелген сызықты оператор болса, онда ( Е
және Банах кеңістіктері). L операторы Гильберт кеңістігінде
анықталған болса, Рисс теоремасы бойынша түйіндес оператордың анықтамасы
түрінде болады.
L және операторлары бір кеңістікте анықталатын жағдайлар көп
кездеседі. Осындай жағдайда операторы жақсы қасиетке ие болады.
Анықтама. ішкі кеңістігі L операторына қатысты инвариантты деп
аталады, егер үшін болса.
Теорема. ішкі кеңістігі L операторына қатысты инвариантты болса,
онда ортогональді толықтауышы операторына қатысты инвариантты
болады.
Дәлелдеуі: Егер болса, онда Бұдан түйіндес оператордың
анықтамасы бойынша . Демек, Олай болса,
Айталық, болсын. түйіндес операторы теңдеуінің
шешімінің бар екенін көрсетуде зор рөл атқарады.
Теорема теңдеуінің үшін бір ғана шешімі бар болады, сонда
тек сонда ғана, егер болса.
Түйіндес оператор түсінігін шектеусіз операторлар жағдайына да
келтіруге болады. Мұны гильбертті кеңістік жағдайын қарастырайық.
А-Н гильбертті кеңістігінде толығынан анықталған сызықты оператор
болсын. - барлық үшін
(1.7.1)
болатындай жиыны, мұнда .
Әр үшін деп алайық. операторы А –ға түйіндес деп
аталады. Атап, кетуіміз керек, - (1.7.1) формуласы бойынша бір мәнді
болып анықталуы үшін облысы тығыз болуы қажет.
Симметриялы операторлар
Анықтама. Егер сызықтық оператор А түйіндес операторына тең
болса, онда мұндай оператор симметриялы (өзіне түйіндес) оператор деп
аталады.
Басқаша айтқанда, егер кез-келген элементтерінде
(1.7.2)
теңдігі орындалса, онда А симметриялы оператор болғаны.
Егер А операторы симметриялы болса, онда оған түйіндес оператор
оның жалғасы болады, белгіленуі: .
Теорема. операторы тұйық. Дербес жағдайда симметриялы оператор
тұйықталады.
Дәлелдеу: және болсын. теңдігін көсету керек. Кез
келген үшін болады. Бұдан шекке көшу арқылы теңдігін
аламыз. Соңғы теңдіктен анықтама бойынша
Анықтама. Егер болса, онда ол оператор Эрмит операторы деп
аталады.
Ал кеңістігі (скаляр көбейтінді) Евклид кеңістігі болғандықтан,
бұл ұғымдар кеңістігінде де анықталады.
Мысалдар.
1. кеңістігінде А сызықтық операторы матрица арқылы берілген
болсын. А операторы элементін элементіне көшіретін болсын. Осы
операторды анықтайтын матрица элементтерінен, ал түйіндес
операторын анықтайтын матрица элементтерінен тұратын болсын. Онда
(1.7.3)
(1.7.4)
(1.7.3) және (1.7.4) теңдіктеріндегі қосындыларда мен
индекстерінің орнын ауыстырса және болса, онда бұл қосындылар тең
болатыны айқын. Демек, теңдігі орындалауы үшін теңдігінің
орындалуы қажет Осыдан. матрицасы аударылған А матрицасына тең
екендігі көрінеді. Сонымен қатар, кеңістігінде симметриялы оператор
бас диагоналі бойынша симметриялы матрицамен берілетіні де айқындалады.
2. кеңістігінде анықталған интегралдық оператор
(1.7.5)
үшін түйіндес операторды іздейік. Мұнда ядро , ал .
Фубини теоремасын қолданып, мына теңдіктерді жазайық:
Мұнда арқылы түйіндес оператордың ядросы белгіленеді. Соңғы екі
интегралдардың теңдігінен , яғни түйіндес оператордың ядросы А
операторының ядросында аргументтерінің орындарын ауыстыру нәтижесінде
табылады. Осыдан төмендегі қорытынды шығады:
Интегралдық оператор симметриялы болу үшін оның ядросы симметриялы,
яғни оның аргументтерінің орындарын алмасытрғанда өзгермейтін функция болуы
шарт.
Анықтама. А симметриялы оператор болсын. Егерде,
шарттары орындалса, онда А операторы оң анықталған деп аталады.
ІІ ТЕРБЕЛІСТЕР ТЕҢДЕУІ
2.1. (Ішектің тербеліс теңдеуін қорытып шығару. Шексіз ішек. Даламбер
формуласы. Фурье әдісі.)
Тербелмелі қозғалыстармен байланысты физикалық есептерде екінші реттік
гиперболалық теңдеулер типі кездеседі. Гиперболалық теңдеудің жай түрі:
(2.1.1)
кейде оны ішектің тербеліс теңдеуі деп атайды.
Ішектің ұзындығының кез- келген нүктесін абсциссадағы мәні арқылы
сипаттауға болады. Ішектің орын ауыстыруы біртекті жазықтығында жатыр
деп, ал ығысу векторын осіне кез- келген мезетте перпендикуляр деп,
онда тербелу процесін бір функция арқылы сипаттауға болады. Ішек ретінде
мықты серпімді жіп алынады. Ішекте пайда болатын кернеу үздіксіз профиліне
жанама бойымен бағытталады. Созу шамасы серпімділікке байланысты Гук заңы
бойынша анықталады. Созылу кезіндегі иілген бөлігі:
(2.1.2)
Ішектің элементінің көлденең тербелісі теңдеуінің интеграл түрі:
(2.1.3)
Дифференциал теңдеуге көшу үшін,
мұндағы
, онда
- ға кемітіп, шегіне ауысып,
(2.1.4)
(2.1.5)
теңдеуін аламыз. жағдайында
мұндағы
(2.1.6)
Ішкі күштер әсері жоқ деп біртекті теңдеуді аламыз:
немесе
Бұл теңдеу ішектің еркін тербелісін сипаттайды. Егер нүктеде күш
түсірілген, онда (2.1.3) теңдеу былай жазылады:
.
Даламбер формуласы
Ішектің тербелісінің бастапқы шарттары:
(2.1.7)
(2.1.8)
Бұл теңдеуді канондық түрге түрлендіреміз
Бұл жағдайда теңдеу екіге бөлінеді:
интегралы түзу болады:
Жаңа айнымалыларды енгізу арқылы:
Ішектің тербелісінің теңдеуі мына түрге келеді:
(2.1.9)
Осы теңдеудің жалпы интегралын табамыз:
Мұндағы - қандай да бір айнымалы үшін функция. Осы
теңдікті арқылы интегралдап мынаны аламыз:
(2.1.20)
Осыдан
(2.1.21)
(2.1.21) теңдеу (2.1.17) теңдеудің жалпы интегралы болып табылады.
функцияларды табайық, мына бастапқы шарттарды қанағаттандырады
дейік:
(2.1.22)
(2.1.23)
Екінші теңдікті интегралдап, мынаны табамыз:
Мұндағы және – тұрақтылар.
Теңдіктен:
Осыдан,
(2.1.24)
Осы арқылы мен -ні мен арқылы таптық, (2.1.21)-
ке қою арқылымына теңдеуді аламыз:
немесе
(2.1.25)
Бұл формуланы Даламбер формуласы деп атайды. Бұл формула шешімнің бірлігін
білдіреді.
Айнымалыларды ажырату әдісі немесе Фурье әдісі
Айнымалыларды ажырату немесе Фурье әдісі дербес туындылы теңдеуді
шешуде қолданатын кең тараған әдістердің бірі. Бұл әдістің түсініктемесінде
шеттерінен бекітілген шектің тербелісінің есебі туралы айтамыз.
Сонымен
(2.1.26)
біртекті шекаралық
, (2.1.27)
алғашқы
(2.2.28)
шартты қанағаттандыратын (2.1.26) теңдеудің шешімін іздейік.
(2.1.26) теңдеу сызықты және біртекті болғандықтан оның дербес
шешімдерінің қосындысы да осы теңдеудің шешімі болып табылады. Жеткілікті
дербес шешімдердің көмегімен оларды кейбір коэффициенттермен қосындылап
ізделінді шешімді табайық. Негізгі көмекші есепті құрайық.
, біртекті шекаралық шартты
(2.1.29)
және
(2.1.30)
Шарттарды (мұндағы тек айнымалысының функциясы, тек
айнымалысының фукциясы) қанағаттандыратын теңдеуінің нольге
тепе-тең емес шешімін іздейік.
(2.1.30) формуладағы шешімді (2.1.26) теңдеуге қойып, немесе
-ға бөліп,
(2.1.31)
(2.1.30) функция (2.1.26) теңдеудің шешімі болуы үшін тәуелдсіз
айнымалылардың барлық мәндерінде (2.1.31) теңдік орындалуы тиіс. (2.1.31)
теңдеудің оң жағы айнымалысының фукциясы, сол жағы
айнымалысының функциясы.
мәнін бекітіп және мәнін өзгерте отырып, (2.1.31) теңдеудің
сол және оң жағы өздерінің аргументтері өзгергенде,
, (2.1.32)
тұрақты мәнін сақтайтынын аламыз. Мұнда -тұрақты, есептеулерге
ыңғайлырақ болу үшін теріс таңбамен аламыз. (2.1.32) қатынастан
және анықталатын функция үшін қарапайым дифференциялдық теңдеуге
келеміз.
(2.1.33)
(2.1.34)
(2.1.24) шекаралық шарттар мынаны береді:
Бұдан функциясының қосымша
(2.1.35)
Шартты қанағаттандыру керек екендігін аламыз. Әйтпесе және
, функциясы үшін негізгі көмекші есепте ешқандай қосымша шарттар
жоқ. Осылайша функциясын табуда меншікті мәндер туралы қарапайым
есепке келеміз.
(2.1.36)
(2.1.36) есептің тривиальды емес шешімі болатын -параметрінің
мәнін анықтау керек. Ондай мәндер меншікті мәндер деп аталады және оған
сәйкес тривиальды шешімдер функцияның меншікті есебі деп аталады. Мұдай
есепті Штурм-Лиувилл есебі деп те атайды.
-параметрінің теріс, оң немесе нольге тең болатын дербес жағдайларын
қарастырайық.
1. есептің тривиальды емес шешімдері болмайды. Расында да, (2.1.33)
теңдеу жалпы түрде
.
Шекаралық шарттар:
яғни және
Қарастырып отырған жағдайда -нақты және оң сан болғандықтан
. Сондықтан яғни .
2. болған жағдайда да тривиальды емес шешім болмайды. (2.1.33) теңдеу
жалпы түрде . Шекаралық шарттары
яғни және бұдан .
3. болған жағдайда да теңдеудің жалпы шешімін
түрде жазуға болады. Шекаралық шарттар:
.
Егер нольге тепе-тең болса, онда . Сондықтан
(2.1.37)
немесе
мұнда кез келген бүтін сан. Яғни (2.1.36) есептің тривиальды емес
шешімі тек қана
.
Бұл меншікті мәндерге меншікті функциялар сәйкес келеді.
мұндағы -кез келген тұрақты. Сонымен тек қана -ның
(2.1.38)
мәнінде кез келген көбейткішіне дейінгі нақтылықпен анықталатын (біз 1-ге
тең деп аламыз) (2.1.36) есептің тривиальды емес шешімі бар болады.
(2.1.39)
осы мәнге (2.1.34) теңдеудің шешімі де сәйкес ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz