МАТЕМАТИКА ЖӘНЕ ЭЙЛЕР
Кіріспе
І. Кейбір математикалық ұғымдардың тарихы
І.1. Математика дәуірлері
І.2. Математика ұғымдардың қалыптасуы
ІІ. Эйлердің заманы
ІІ.1. XVIII ғасырдың көрнекті математиктері
ІІ.2.XIX ғасырдың көрнекті математиктері
ІІІ. Эйлердің өмір жолы
ІV. Эйлердің математикаға қосқан үлесі
IV.1. Леонард Эйлердің ғылыми еңбектері
IV.2. Эйлердің механика ғылымына сіңірген еңбегі
Қорытынды.
Қосымшалар.
Әдебиеттер
І. Кейбір математикалық ұғымдардың тарихы
І.1. Математика дәуірлері
І.2. Математика ұғымдардың қалыптасуы
ІІ. Эйлердің заманы
ІІ.1. XVIII ғасырдың көрнекті математиктері
ІІ.2.XIX ғасырдың көрнекті математиктері
ІІІ. Эйлердің өмір жолы
ІV. Эйлердің математикаға қосқан үлесі
IV.1. Леонард Эйлердің ғылыми еңбектері
IV.2. Эйлердің механика ғылымына сіңірген еңбегі
Қорытынды.
Қосымшалар.
Әдебиеттер
Қазіргі ғылым, оның іргетасы - математика заманымыздың аса мәдени құбылысы, жалпы өркениетіміздің бөлінбес маңызды бір бөлігі болып отыр. Сондықтан да болашақ математика пәнінің мұғалімдері ғана емес, білім-парасатқаұмтылған әрбір азаматтың ғылым тарихынан, әсірес «ғылым патшасы» математика тарихынан белгілі бір дәрежеде хабардар болуы игілікті нәрсе.
Ғылым тарихын зерттеп білудің ғылымның өзі үшінде маңызы зор. Көрнекті математика тарихшысы Поль Еаннедің сөзімен айтсақ, тарихтың бірден-бір түпкі мақсаты тіпті де бекер әуесқойлықты қанағаттандыру емес, оны зерттеп білу, сайып келгенде, болашақты нұрландыру.
Кейбіреулер математика өте шабын дамитын, тіпті өзгермейтін ғылым деп қарайды. Бұл түбірімен дұрыс емес. Адамзат мұқтаждығын, қоғамдық прогрес талабын өтеу жолында математика ғылымы ұдайы дамып, кемелденіп келеді. Математиканың арифметика, алгебра, геометрия, математикалық анализ сияқты классикалық салаларына қоғам қажеттігін, прогресс талабын өтеу, сондай-ақ математиканың дамуының өзінің ішкі логикалық талаптарын қанағаттандыру арысында функциялық анализ, математикалық логика, математикалық статистика, кибернетика, хабарлар теориясы және толып жатқан жаңа салалардың қосылуы бұл айтқанымызды толық дәлелдейді. Бұл процес қазірде толасыз жүріп жатыр.
Математика өзінің туып, өрбу барысында тарихи дамудың ұзақ жолын басып өтті. Екі нүктенің ең жақын ара қашықтығы түзудің кесіндісі болатыны туралы және ең бастапқы сандар жайлы өте қарапайым білімдерден басталған математика өзінің қазір нақты пәні мақсаты әдіс-тәсілдері бар аса күрделі абстракты ғылымға айналып отыр. «Екі жерде екі төрт» деген шындықты білуден бастап осы күнгі аспан денесінің қозғалысын алдын ала есептеуге (мәселен, Галлей кометасының траекториясын), атым ішіндегі процестердің есебін білуге, саусақпен санау орнына қиялдан да ұшқыр тез есептегіш электронды машиналармен (ЭЕМ) санауға жету үшін адам баласына көп мыңдаған жыл уақыт керек болды.
Ғылым тарихын зерттеп білудің ғылымның өзі үшінде маңызы зор. Көрнекті математика тарихшысы Поль Еаннедің сөзімен айтсақ, тарихтың бірден-бір түпкі мақсаты тіпті де бекер әуесқойлықты қанағаттандыру емес, оны зерттеп білу, сайып келгенде, болашақты нұрландыру.
Кейбіреулер математика өте шабын дамитын, тіпті өзгермейтін ғылым деп қарайды. Бұл түбірімен дұрыс емес. Адамзат мұқтаждығын, қоғамдық прогрес талабын өтеу жолында математика ғылымы ұдайы дамып, кемелденіп келеді. Математиканың арифметика, алгебра, геометрия, математикалық анализ сияқты классикалық салаларына қоғам қажеттігін, прогресс талабын өтеу, сондай-ақ математиканың дамуының өзінің ішкі логикалық талаптарын қанағаттандыру арысында функциялық анализ, математикалық логика, математикалық статистика, кибернетика, хабарлар теориясы және толып жатқан жаңа салалардың қосылуы бұл айтқанымызды толық дәлелдейді. Бұл процес қазірде толасыз жүріп жатыр.
Математика өзінің туып, өрбу барысында тарихи дамудың ұзақ жолын басып өтті. Екі нүктенің ең жақын ара қашықтығы түзудің кесіндісі болатыны туралы және ең бастапқы сандар жайлы өте қарапайым білімдерден басталған математика өзінің қазір нақты пәні мақсаты әдіс-тәсілдері бар аса күрделі абстракты ғылымға айналып отыр. «Екі жерде екі төрт» деген шындықты білуден бастап осы күнгі аспан денесінің қозғалысын алдын ала есептеуге (мәселен, Галлей кометасының траекториясын), атым ішіндегі процестердің есебін білуге, саусақпен санау орнына қиялдан да ұшқыр тез есептегіш электронды машиналармен (ЭЕМ) санауға жету үшін адам баласына көп мыңдаған жыл уақыт керек болды.
1. М.Ө.Исқақов. Математика мен математиктер жайындағы әңгімелер (үшінші кітап). Алматы. 1971.
2. А.Көбесов. Математика тарихы. Алматы.1993.
3. Энциклопедический словарь юного математика. Москва. 1985.
4. О.А.Жәутіков. Орыс математикасының атақты ғалымдары. Алматы. Қазақ мемлекет баспасы . 1956.
5. С. Елубаев
6. О.А.Жәутіков. Математиканың даму тарихы. Алматы. «Мектеп» 1967.
7. Отрадных Ф.П. Леонард Эйлер. Математика XVIII века и академик Леонард Эйлер. Москва. 1984.
2. А.Көбесов. Математика тарихы. Алматы.1993.
3. Энциклопедический словарь юного математика. Москва. 1985.
4. О.А.Жәутіков. Орыс математикасының атақты ғалымдары. Алматы. Қазақ мемлекет баспасы . 1956.
5. С. Елубаев
6. О.А.Жәутіков. Математиканың даму тарихы. Алматы. «Мектеп» 1967.
7. Отрадных Ф.П. Леонард Эйлер. Математика XVIII века и академик Леонард Эйлер. Москва. 1984.
Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 53 бет
Таңдаулыға:
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 53 бет
Таңдаулыға:
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
ҚАЗАҚ МЕМЛЕКЕТТІК ҚЫЗДАР ПЕДАГОГИКА ИНСТИТУТЫ
ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТІ
МАТЕМАТИКА КАФЕДРАСЫ
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
ТАҚЫРЫБЫ: МАТЕМАТИКА ЖӘНЕ ЭЙЛЕР
Орындаған: Күнтуарова Амангуль Маликажқызы
4 жылдық сырттай бөлімінің
студенті
Жетекшісі: ф.-м.ғ.д., доцент Қ.К.Шакенов
Қорғауға жіберілді:
Кафедра меңгерушісі ф.-м.ғ.к., доцент А.Қ.Искакова
Хаттама №
Алматы - 2007
МАЗМҰНЫ
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .
І. Кейбір математикалық ұғымдардың тарихы
І.1. Математика
дәуірлері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... .
... ... ...
І.2. Математика ұғымдардың
қалыптасуы ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ІІ. Эйлердің заманы
ІІ.1. XVIII ғасырдың көрнекті
математиктері ... ... ... ... ... . ... ..
ІІ.2.XIX ғасырдың көрнекті
математиктері ... ... ... ... ... . ... ... ...
ІІІ. Эйлердің өмір
жолы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ...
ІV. Эйлердің математикаға қосқан үлесі
IV.1. Леонард Эйлердің ғылыми
еңбектері ... ... ... ... ... ... . ... ...
IV.2. Эйлердің механика ғылымына сіңірген
еңбегі ... ... ... ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ..
Қосымшалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ..
Әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .
КІРІСПЕ
Қазіргі ғылым, оның іргетасы - математика заманымыздың аса мәдени
құбылысы, жалпы өркениетіміздің бөлінбес маңызды бір бөлігі болып отыр.
Сондықтан да болашақ математика пәнінің мұғалімдері ғана емес, білім-
парасатқаұмтылған әрбір азаматтың ғылым тарихынан, әсірес ғылым патшасы
математика тарихынан белгілі бір дәрежеде хабардар болуы игілікті нәрсе.
Ғылым тарихын зерттеп білудің ғылымның өзі үшінде маңызы зор.
Көрнекті математика тарихшысы Поль Еаннедің сөзімен айтсақ, тарихтың бірден-
бір түпкі мақсаты тіпті де бекер әуесқойлықты қанағаттандыру емес, оны
зерттеп білу, сайып келгенде, болашақты нұрландыру.
Кейбіреулер математика өте шабын дамитын, тіпті өзгермейтін
ғылым деп қарайды. Бұл түбірімен дұрыс емес. Адамзат мұқтаждығын, қоғамдық
прогрес талабын өтеу жолында математика ғылымы ұдайы дамып, кемелденіп
келеді. Математиканың арифметика, алгебра, геометрия, математикалық анализ
сияқты классикалық салаларына қоғам қажеттігін, прогресс талабын өтеу,
сондай-ақ математиканың дамуының өзінің ішкі логикалық талаптарын
қанағаттандыру арысында функциялық анализ, математикалық логика,
математикалық статистика, кибернетика, хабарлар теориясы және толып жатқан
жаңа салалардың қосылуы бұл айтқанымызды толық дәлелдейді. Бұл процес
қазірде толасыз жүріп жатыр.
Математика өзінің туып, өрбу барысында тарихи дамудың ұзақ
жолын басып өтті. Екі нүктенің ең жақын ара қашықтығы түзудің
кесіндісі болатыны туралы және ең бастапқы сандар жайлы өте қарапайым
білімдерден басталған математика өзінің қазір нақты пәні мақсаты әдіс-
тәсілдері бар аса күрделі абстракты ғылымға айналып отыр. Екі жерде екі
төрт деген шындықты білуден бастап осы күнгі аспан денесінің қозғалысын
алдын ала есептеуге (мәселен, Галлей кометасының траекториясын), атым
ішіндегі процестердің есебін білуге, саусақпен санау орнына қиялдан да
ұшқыр тез есептегіш электронды машиналармен (ЭЕМ) санауға жету үшін адам
баласына көп мыңдаған жыл уақыт керек болды.
Диплом жұмысында барлық замандардың және барлық халықтардың ұлы
математигі деп аталып кеткен ғалым Леонард Эйлер туралы - Эйлердің заманы,
Эйлердің өмір жолы, Эйлердің математикаға қосқан үлесі қарастырылған.
Эйлер сол кезде бар математиканың барлық саласы бойынша елеулі
табыстарға жеткен. Ол өзінің жаңалықтарын мақала түрде ғана емес,
бір жүйеге келтірілген оқу құралдарында да жариялап отырған.
Эйлердің кейбір салалардағы баяндауы ғылымның соңғы сөзіндей,
кейіннен ол ешбір өгеріске ұшырамаған.
Математика тарихы математиканың бір саласы болып есептеледі. Ол
математика дамуының объективтік заңдылықтары туралы ғылым. Осыған сәйкес
математика тарихының көп мәселелерді қарастыруына тура келеді. Мектеп
оқытушылардың математикаға қызығушылығын арттыру үшін факультатівті
сабақтар, математика викторинасын, КВН өткізуде осы диплом жұмысы
пайдалығын көрсетеді деген ойдамыз.
І. МАТЕМАТИКАНЫҢ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАРЫНЫҢ ТАРИХЫ
І.1. Математика дәуірлері
Тарихи-математикалық зерттеулер: 1) математиканың дамуындағы фактілер
мен мағлұматтар байлығын ашады; 2) математиканың практикалық мұқтаждығын
және адам әрекеттерін, басқа ғылымдардың дамуын, қоғамның әлеуметтік және
таптық құрылысы мен қатысын, байланысын ашуға тырысады; 3) математиканың
логикалық құрылымының тарихи шарттылығын, оның өзгеру диалектикасын
көрсетеді. Белгілі дәрежеде оның болашағын, перспективасын болжауға
мүмкіндік береді.
Математика тарихының методологиялық негізі - диалектикалық
материализм болып табылады.
Көрнекті математик А.Н.Колмогоровтың таратуы бойынша математика
тарихын шартты түрде төрт дәуірге бөлуге болады.
Бірінші дәуір - математиканың туу, математикалық білім-
дағдылардың, мағлұматтардың жиналу және қорлану дәуірі. Бұл жазба тарихқа
дейінгі санаудан, алғашқы қауымнан басталып математика өзінің белгілі бір
зерттеу пәні, мақсаты, әдістері, салалары бар дербес теориялық ғылым болып
қалыптасқан (біздің заманымызға дейінгі VI-V ғасырлар) грек математикасына
дейін созылады. Бұл дәуірде математикалық негізгі ұғымдар, сандар,
фигуралар т, б. қалыптасады.
Екіші дәуір - элементарлық математика дәуірі- біздің заманымызға
дейінгі VI-V ғасырлардан басталып біздің заманымыздың XVI ғасырымен
аяқталады. Бұл кезеңде математика бүтіндей дерлік тұрақты шамалар
қарастырылады. Математиканың арифметика, алгебр, геометрия және
тригонометрия деп аталатын дербес салалары пайда болады.
Үшінші дәуір - айнымалы шамалар математикасының туу дәуірі. Бұл
кезде математиканың негізгі нысанасы, обьектісі-процестерді, қозғалыстарды
зерттеп білу. Бұл дәуір XVII ғасырдағы Декарт, Лейбниц, Ньютонның ашқан
математикалық жаңалықтарынан басталып XIX ғасырдың бірінші жартысын
қамтиды. Бұл аралықта математиканың бұрынғы салаларына аналитикалық
геометрия, дифференциалдық және интегралдық есептеулер, дифференциялдық
теңдеулер, ықтималдықтар теориясы сияқты физика-математикалық, техникалық
және басқа жоғары оқу орындарында оқытылып жүрген қазіргі математиканың
классикалық негізі болып саналатын көптеген салалар қоылады.
Төртінші дәіуір - қазіргі математика дәуірі. Бұл XIX ғасырдың
бірінші жартысында ұлы математиктер Н.И.Лобачевский, Э.Галуа ашқан
математикалық жетістіктерден басталады. Мұнда математика қамтитын кеңістік
пішіндері мен сандық қатынастар мейлінше кеңейеді, бұл тұста сандар ғана
емес, вектор, тензор, спинор тәрізді және басқа тектес шамалар қарастырыла
бастайды. Кеңістік туралы ұғымның шеңбері кеңейіп, әр түрлі геометриялар
(евклидтік емес) ашылады. Алгебраның мазмұны бүтіндей өзгеріске ұшырайды.
Математиканың көптеген жаңа салалары қалыптасады. Математиканың өзін
тарихи, логикалық және философиялық тұрғыдан негіздеу мәселесі қолға
алынады; есептегіш машыналар пайда болады.
І.2. Математика ұғымдардың қалыптасуы
Карл Гаусс математиканың сан салаларын сарапқа салып келіп
арифметиканы математика патшасы деп бағалаған. Ал арифметиканың негізгі
ұғымы - сан. Ендеше, сол сан ұғымының қалай пайда болуын ашу, білу-ғылыми
методогиянық үлкен проблема.
XIX ғасырға дейін математика тарихы жөнінде қалам тартушы
авторлардың көбісі сандар мен сандарға амалдар қолдану әрекетін құдайлар
немесе кемеңгер филосовтар шығарған деп түсіндіріп келді. Өткен ғасырдағы
ең мықты алгебрашылардың бірі Кронекер бүтін сандарды құдай жасады, қалған
дүниені адам жасады,-дегені мәлім. Ескі аңыздарда сандарды біресе Пифагор,
біресе Прометей немесе басқа бір пайғамбар шығарыпты-мыс деген тұжырымдар
көп ұшырасады. Бұлардың барлығы, әрине, ғылыми шындыққа келмейтін жаңалық
қорытындылар.
Шындығында, арифметиканың өзі айрықша ғылым болып бертінді
қалыптасқанмен, оның басты ұғымы-сан ұғымы өте ертеде, адамзат жазу, сызуды
білмеген заманда пайда болған.
Адам баласының ең бірінші қолдана білген математикалық амалы
санау болды. Тіпті аз ғана санды білетін жабайы тайпалардың өзі көп
нәрседен тұратын жиындарды санауға дейін әрекет жасаған. Бұл жағынан
қарағанда адам саннан бұрын-ақ санауды, түгендеуді білген деуге болады.
Қайта осы санау, түгендеу әрекеттері негізінде сан ұғымы туады, біртіндеп
кеңейеді. Ежелгі қазақтар төрт түлік малдарын санамай түгендеуі осының
нақты мысалы. Ел аузындағы түгендеймін санамай деген сөз тіркесі осыны
аңғартады. Осы сияқты олар кейде бір қора қойдың өзін жасына қарай бөліп,
әрбір төлді бөлек-бөлек түстеп түгендейтін болған. Бұл, әрине, өте ерте
кездегі санау тәртібінен қалған сарқыншақтар.
Түстеп-түгендеу жас балалар әрекетінде де ұшырасады. Мәселен, 2-3
жастағы жас сәби ойыншықтарының түгел, түгел еместігін түсіне қарай біле
алады.
Осылай түстеп түгендеу кезінде санауға тиісті нәрселер жиынының
(иттер тобы, түйелер келесі немесе бір қора қой, ойыншықтар т. б.) ерекше
бір қасиаті ретінде танылады. Ол қасиет біріншіден, осы жиынның бүтіндігін,
тұтастығын, екіншіден, сол нәрселерден құралған басқа жиындармен
салыстырғанда аз-көптігін білдіреді.
Алайда, көз мөлшермен санау практикасы адам баласының
мұқтаждығын аса қанағаттандыра алмаған. Түстеп санау арқылы түгенделетін
заттың көп-аздығы, бары-жоғы ажыратылғанмен, санмен келтірілген басқа
негізгі міндеттерді (мәселен, мен 20 қоян әкелдім дегенді білдіру сиқты)
орындау мүмкін болмады. Мұндай жағдайда адамдар саусақпен санауға ұмтылған.
Торрес бұғазының батыс жағалауын мекендейтін кейбір австралиялық жабайы
тайпалар адамның дене мүшелері арқылы 33-ке дейінгі санды өрнектей алады
екен. Егер саналатын заттар 33-тен асып кетсе, олар таяқшаларды
пайдаланады. Ертеде қойшылар таяқтарына баққан қойының санына сай келетін
кертікшелер белгелеу арқылы қойның есеп-қисабын алып отырған.
Бұл қарсаңда да сан тең мөлшерлі жиындардың бәріне ортақ,
тұрақты қасиетін көрсететін ерекше математикалық ұғым болып қалыптыса
қоймады. Мұнда тек бір жиындағы нәрселер сондай мөлшерлі басқа бір жиынмен
ауыстырылады. Мысалы, қорадағы қой саны мен таяқтағы кертік саны мөлшерлес.
Санмен санаудың дамуында тағы да бір нәрсе-тең мөлшерлі
жиындар, топтарішінен айрықша біреуін сайлап алу. Мәселен, белгілі бір
топта бес нәрсенің барын білдіру үшін бір қолдың саусақтарын көрсету
жеткілікті болған. Бұл жерде қол саусақтарының жиыны ерекше жиын түрде
қарастырылып, осыған тең мөлшердегі басқа жиындар мөлшерін анықтау негізге
алынған. Бір топтың сан мөлшерін екінші топ сан мөлшерімен салыстырып,
санау практикасы сан ұғымының қалыптасуындағы басты факторлардың біріне
айналады. Санау әрекетіндегі осы беталыстың, бағыттың біртіндеп дамуы
нәтижесінде өзара тең мөлшерлі жиындардың ортақ, орнықты мөлшерлік қасиеті
ретінде біртіндеп натурал сандар ұғымы қалыптаса бастады.
Сан ұғымы баяу дамыды, сандар шекарасы біртіндеп кеңіді. Тілінде
тек бір мен екі сандары ғана бар жабайы тайпалар қазірдің өзінде ішінара
кездесіп қалады. Әлгінде айтылған Торрес бұғазының тайпалары 1-ді урапун, 2-
ні оказа, 3-ті оказа-урапун, 4-оказа-оказа, 5-ті оказа-оказа-урапун, 6-
оказа оказа-окааза деп санаған, одан артық сандарды көп, сан жетпес
дейді екен. Осындай сандардың белгілі бір шекарасы баяғыда әр халықта да
болған. Мысалы, біраз елдерде жеті саны ең үлкен сан болғандығын көрсететін
көптеген сөз тіркестері бар: жеті өлшеп, бір кес, жетеу жалғызды
күтпес, соқа айдаған біреу, қасық ұстаған жетеу, жеті су т.с.с.
Осы сияқты қазақ тілінде де 40 саны бір кезде сандар шекарасы
болғанын сипаттайтын сөздер көп кездеседі, 40 шілтен, 40 уәзір, 30 күн
ойын, 40 күн тойы, Қырық құрақ, қырық жамау, 40 жыл қырғын болса да,
ажалды өледі т. б.
Қоғамдық өндірістің өркендеуі, өндірілген өнімнің молаюы,
тайпалар, қауымдар арасындағы саяси-шаруашылық қарым-қатынастардың ұлғаюы
санның, оған әр түрлі амалдар қолданудың дамуына әсер етті. Сандардың
жоғары шекарасы біртіндеп кеңейе келіп, натурал сандар қатары түзіледі.
Біртіндеп келе натурал сандардың әрқайсысын белгілі бір жүйемен атау,
таңбалау күн тәртібіне қойылды. Міне, осылай түрліше санау жүйесі немесе
нөмірлеу қалыптасты. Сонау жүйелерінің ішіндегі тарихи жағынан ең алғашқысы
және ең қарапайымы-екілік жүйе. Қазір жаппай қолданылып жүрген санаудың
позициялық ондық жүйесі, яғни он цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, арқылы
кез келген сандар сандық өрнек жүйесі бізге көне үнді жұртынан мирас болып
қалған.
Сан ұғымының қалыптасуымен қатар сандарға төрт амал қолдану
әрекеті туып жетілді. Сан ұғымы ендігі жерде бөлшек сан түрінде дамыды.
Бөлшектер бүтін оң сандар сияқты күнделікті тұрмыс қажеттілігінен шыққан.
Еүрліше ұзындық, аудан, көлем, уақыт тағы басқа сондай шамаларды өлшеу
барысында олар есептеу практикасында қолданыс тапты.
Қорыта келгенде, арифметиканың бастапқы да негізгі ұғымдары мен
әдістері тікелей өмір талабынан туындаған.
Теріс сандар, иррационал сандар, комплекс және гиперкомплекс
сандар ұғымдарының шығуы сан ұғымының дамуының заңды жалғасы іспетті.
Алайда бұл сандарды математиканың ішкі даму талабы туғызды, ал олардың
ақылға қонымдылығы іс жүзінде сыналып айқындалды.
Геометрия ғылымының негізгі ұғымы болып саналатын фигуралар
ұғымдарының қалыптасуы да арифметика негіздерінің шығу төркініне ұқсас.
Геометрия грекше гео-жер және метрейн-өлшеу деген екі сөзден құралған.
Осы атаудың өзінен-ақ геометрияның шығу тегі бірден аңғарылады.
Геометрия да арифметика сияқты адамдардың табиғатпен үздіксіз
қарым-қатынасы нәтижесінде пайда болған. Бұл бақылау саналы түрде жүрмеген
және өте ұзаққа сщзылған. Тарихқа дейінгі алғашқы геометрлер біз сияқты
заттың басқа қасиеттерін жасанды түрде бөліп алған дерексіз ұғымдарды
қарастырған. Оларда геометриялық ұғым және сол ұғымға сәйкес келетін
табиғат нәрсесі, обьектісі ылғи қосарлана алынады. Мысалы, ежелгі адамдар
үшін нүктелер өте алыстағы жұлдыздар немесе өте кіші түйіршіктер; ал
түзулер-жарық сәулесі немесе тартылған жіп немесе басқа бір түзу сипаттас
нәрселер, жазықтықтар-көлдің айдыны, тақыр жер, тақтаның беті тағы басқа
болып есептеледі. Тіпті бертінде қабылданған цилиндр (дөңгелектеу),
трапеция (үстел), Сфера (доп) сияқты геометриялық атаулар тікелей
практикадан, ал үшбұрыш, төртбұрыш, дөңгелек, симетрия ұғымдарының да
табиғаттың өзінен алынғаны даусыз.
Сан қилы өлшеу қажеттігінен ұзындық, аудан, көлем сияқты
геометриялық шамалар жөніндегі ұғымдар қалыптасты. Адамдар бірте-бірте
кейбір қарапайым геометриялық заңдылықтарды ашатындай дәрежеге көтерілді.
Жер жыртушы диқан ұрпақтан-ұрпаққа көшкен тәжірибе жиынтығынан бөлінген
жердің азды-көптігі қандай шамаларға байланысты екенін пайымдауға тиісті
болды. Қисық жолға қарағанда түзу жолдың төте екенін аңғарту қтынға түспесе
керек. Осылайша алғашқы геометриялық теоремалар дүниеге келді. Бірақ
бұларды ешкім дәлелдемеді, дәлелдеуді керек те етпеді, өйткені бұл
теоремалардың астарында күн сайын тұрмыста сан рет сыналып, шүбә
келтірмейтін шындық жатты.
Уақытты өлшеу, түнде бағытты бағдарлау тәрізді әрекеттер аспан
шырақтарының қозғалысын жүйелі түрде бақылап отыруды қажет етті. Бұл әрекет
бұрыштарды өлшеудің, аспан сферасында орын алатын сандық қатынастарды,
фтгураларды зерттеп білудің бастамасы еді. Энгельстің сөзімен айтқанда
Барлық басқа ғылымдар сияқты математика да адамдардың практикалық
мұқтаждықтарынан, жер учаскелерінің ауданы мен ыдыстардың сыйымдылығын
өлшеуден, уақытты есептеуден және механикадан шықты. Сан және фигура
ұғымдары,-деп жазды Энгельс өзінің Анти-Дюринг атты философиялық
еңбегінде,-басқа ешқайдан емес, тек шындық дүниеден алынған. Адамдардың
санауға үйренген, яғни алғашқы арифметикалық есепті шығаруға үйренген он
саусағын не десеңіз о деңіз, тек әйтеуір ол ақыл-ойдың еркін шығармашылық
жемісі емес. Санау үшін саналуға тиісті нәрселердің болуы ғана емес,
сонымен бірге бұл нәрселерге көз жібергенде, олардың санынан басқа
қасиеттеріне алаңдамайтын қабілет те болуы керек; ал ол қабілет тәжірибеге
сүйенген ұзақ тарихи дамудың нәтижесі.
Математиканың бастапқы мағлұматтары азды-көпті барлық халықта
болды деп айтуға болады.
Мәселен, көне түркі халықтарында (бұған қазақтар да кіреді)
біздің заманымыздың бас кезінде кемел санау жүйесі болғаннан көрсететін
жазба ескерткіштер бар (мысалы, Күлтегін ескерткіштеріндегі жазбалар).
Мұнда Ай, Күн және басқа аспан шырақтарының аты аталып, 100 мыңға дейін сан
келтірілген. Қазақтың жұмбақ есептерінде көптеген терең математикалық
астарлар жатыр. Мәселен, бір саулығым он жылда қанша бас қой болады деген
есеп геометриялық прогрессияға келеді .
Ал Тоғыз құмалақ ойыны тұнып тұрған математикалық талдаулар екені
айқындалып отыр. Оның негізі - комбинаторикалық есептеулерде жатыр.
ІІ. ЭЙЛЕРДІҢ ЗАМАНЫ
ІІ.1. XVIII ғасырдың көрнекті математиктері
XVIII ғасырдағы математиктердің бүкіл іс-әрекеттері анализ және
оның механикаға қолданылысы төңірегінде шоғырланады. Ең күшті
тұлғаларды олардың шығу тегі емес, интеллектуалдық тектестігін
көрсететін шежіреге орналастыруға болады.
Лейбниц (1646-1716), Эйлер (1707-1783), Лагранж (1736-1813),
Лаплас (1749-1827). Бұл ғалымдардың еңбектерімен ағарту дәуірінің
философтарымен қарым-қатынаста болған Клеро, Даламбар және Мепертюн
бастаған француз математиктер тобының іс-әрекеттері тығыз байланысты.
Бұларға швейцар математиктері Ламбертті және Даниил Бернуллиді қосу
керек. Ғылыми жұмыстар негізінен академиаларда шоғырланды, бұлардың
ішінде Париж, Берлин, Петербург академиялары көрнекті орын алды. Бұл кезде
университеттерде мардымды сабақ өтпеді. Европаның алдыңғы қатардағы
елерін оқымысты деспоттар билеп тұрды. Атақ – даңққа ие болуды
мақсат еткен қатыгез әміршілер өздерінің маңына оқымыстыларды топтастырды.
Мұның өзі қарулы күштердің жаугершілік қабілетін күшейтуге жаратылыстану
мен қолданбалы математиканың маңызын түсінуге келіп тірелді. Мысалы,
француз флотында аса жоғары сапалы (фрегаттар мен линкорларды
жасауда) кеме жасаушылар үшін белгілі бір дәрежеде математикалық
теорияны пайдаланған Эйлердің еңбектерінде армия мен флот үшін аса
қажетті математикалық қолданыстар өте көп болған.
Швейцариядағы империялық еркін қала – Базель 1263 жылы
әуел бастан ғылымның шоғырланған жері болды. Сонау Эразм аманының
өзенде – ақ университеті бар маңызды орталық болған. Базельде және
Голландияның басқа қалаларында көпес жақсылары билігімен ғылым мен
өнер өркен жаяды. Базельдік ақсүйектерінің бір ғасыр бұрын
испандықтар жаулап алған Антверпеннен бас сауғалап қашып келген
Бернулли көпес семьясы да бар еді. Он жетінші ғасырдың соңынан
қазірге дейін ағайынды Якоб пен Иоганн Бернуллиден тараған еді. Бұл
әулеттің әрбір ұрпағынан оқымыстылар шығып келеді. Бастапқыда Якоб
дін ғылымын Иоганн медицинаны қуады, алайда "Acta Eruditarum"
журналында Лейбниц мақалаларымен кейін екеуі де біржола математик
болуға бел байлады. Екеуі Лейбництің тұңғыш көрнекті шәкірттері
болады.
1687 Якоб Базель университетінің математика кафедрасын алады.
Мұнда ол 1705 жылы қайтыс болғанға дейін сабақ береді. Иогани 1697
ж. Голландианың Гронинг қаласына профессор болады, кейін ағасы
өлгеннен соң Базельге келіп оның орнын басады, бұл қызыметті ол
аттай қырық үш жыл атқарады. Якоб Лейбницпен 1687 жылдан бастап
хат жазысып тұрады. Ол Лейбницпен үнемі пікір алысып, кейде бір –
бірімен қатаң бәсекелестіккеде барады. Ағайынды екеуі де Лейбниц
еңбектеріндегі бар асылдың қадыр - қасиетін ерте түсініп, ол
қазынаны өз беттерінше аша түсуге ұмтылды. Олардың зерттеулерінде
қазіргі дифференциалдық және интегралдық есептеудің элементар
оқулықтарында бар көп нәрселерден басқа, бірсыпыра жай дифференциалдық
теңдеулерді интегралдау келтірілген. Якоб полярлық координаталарды
пайдаланады. Бұрын Гюйгенс және басқалар қарастырған тізбекті сызықтарды
– лемнискатаны (1694) және логарифмдік спиральды зерттейді.
1690 жылы Лейбниц бойымен дене тұрақты жылдамдықпен түсетін
қисық ретінде анықталған изохраниканы ашады, оның жартылай кубты
парабола болатынын дәлелдейді, Якоб сонымен қатар, изопериметрлік
фигураларды зерттеп вариациалық есептеу мәселелерін қолға алады.
Әр түрлі түрленулерде қайта жаңғырып отыратын қасиеті бар
логарифмдік спиральды (оның эвалютасы да логарифмдік спираль
болады) тапқанда Якоб бұл қисықты өлгенде құлпытасына "өзгеріп
барып, қайтадан осылай туамын" деп жазуды өсиет етіп қалдырған
екен.
Якоб Бернулли ықтималдық теориясы бойынша "Болжамдау
өнерін" (1713 жылы жарық көрген) жазғаны жоғарыды айтылған. Мұның
бірінші бөлімінде Гюйгенстің құмар ойындар трактаты түгелдей
келтіріледі, қалған тарауларында алмастырулар мен терулер
қарастырылады. Негізгісі – биномдық үлестірушілер туралы "Бернулли
теоремасы". Ол үлкен сандар теоремасының қарапайым түрі болып
табылады. Паскаль үшбұрышын қарастыру барысында ол "Бернулли
сандарын" тапқан.
Иоганн Бернуллидің еңбектері ағасының жұмыстарымен тығыз
байланысты. Сондықтан, олардың табыстарын бір – бірімен бөліп
қарау кейде оңай емес. Брахистохран туралы есепті шешкенде де
Иоганн, оған сол үшінде "вариациалдық есептеуді жасаушы" деп
айдар таққан. Бұл – тартылу өрісіндегі бастапқы нүктеден соңғы
нүктеге қозғалған материалдық нүктенің ең шапшаң түсу жолының
сызығы. Мұны 1697 жылдан бастап бірнеше жыл Лейбниц және
ағайынды Бернуллилер зерттеген. Осы тұста олар беттігі геодезиялық
қисықтың теңдеуін табады. Брахистрохрон есебінің шешуі циклойда
болып табылады. Бұл қисық таутахрон - өрісінде бойымен қозғалған
материалдық түктенің ең төменгі нүктесіне жету уақыты бастапқы
нүктеге тәуелді болмайтын қисық сызық.
Математиканы дамытуға ат салысқан Бернуллилер арасында
Иоганның Николай Даниил атты екі баласы да бар. Бұл екеуі
де ұлы Петр жаңа ғана құрылған Петербург академиясына жұмысқа
шақырылады. Николай мұнда көп болмаған. Осындағы жұрт оның
ұсынған ықтималдық теориясын Петербург есебі немесе Петербург
парадоксы деп атаған. Ол 1777 жылына дейін Базель университетінің
профессоры болды. Астрономия, физика, гидродинамика салаларына жемісті
еңбек еткен. Оның "Гидродинамика" атты еңбегі 1738 жылы жарық
көреді, бұл кітаптағы бір теорема оның есімімен аталады. Сол
жылы ол газдардың кинетикалық теориясының негізін қалайды.
Даламбер және Эйлермен бірлесіп шектердің тербелу теориясын
зерттейді. Даниил әкесінің жәй дифференцалдық теңдеулер теориясы
бойынша жұмыстарын жалғастырып ең бірінші болып дербес
туындылы теңдеулер саласына жол салады.
ру етіп жұмсайды.
Католиктік шіркеу 1664 жылы Декарттың еңбектерін тиым салынған
кітаптар тізіміне қосса, 1700 жылы шамасында оның теорияларын тіпті
керітартпа консервативтер арасында үлкен беделге ие болады. Ньютоншылдық
па жоқ декартшылдық (картезианство) па деген проблема ғылымдарға ғана
емес, салондар үшін де қызғылықты тақырыпқа айналды. Вольтердің
Ағылшындар туралы хаттары 1834 француз оқырмандары Ньютон идеяларымен
таныстыруға көп пайда келтірді; Вольтерге ниеттес Дю Шатле ханым тіпті
Ньютонның Негіздерін француз тіліне аударды. Бұл екі мектеп үшін ең
басты талас Жердің пішіні туралы болады.
Картезияндықтар қолдаған космогония бойынша Жер полюстарына қарай
созылыңқы, ал Ньютон теориясы бойынша – сығылыңқы деп қарастырылған.
Картезияндық астрономдар, әкелі-балалы Кассинилер (әкесі Жан Доминик
геометрияда Кассини овалын ашқан 1700 және 1720 ж.) аралықтарында
Францияда меридиан доғасының ұзындығын өлшей келіп картезиандық көзқарасты
қуаттаған. Көп математиктер араласында талас туған. Бойлық градусын өлшеу
мақсатында 1737 ж. Перуге, сонан кейін 1736-1737 жылы Лапландияға (мұны
Пьер Мопертюи басқарған) экспедициялар жіберіледі. Бұл екі экспидицияның
нәтижесінде Ньютон теориясы дәлелденіп салтанат құрады, бұл Мопертюидің де
салтанаты болады. Ол осыдан кейін Берлин академиясының президенті болып
сайланып, II Фридрих сарайында көп жыл даңқ құшағына бөленген. Бұл 1765
ж. Механикадағы ең кіші принцип туралы Швейцар математигі Самуил Кенигпен
таласқа түскенше созылады. Мопертюи өзіне дейінгі Декарт, кейінгі Эйнштейн
сияқты әлем заңдарын біріктірліктей бір жалпы принципті табуға тырысады.
Мопертюидің тұжырымы айқын емес, ол өзінің әсерін mus ( m – масса, v
– жылдамдық, s - ара қашықтық) шамасы ретінде анықтайды. Бұл мұны
құдайдың бар екенін дәлелдеумен ұштастырған бұл талас, әсіресе жолы
болмаған президентті мазақ жасаған Вольтердің Папаның дәрігері Анакия
доктордың Диатрибесі атты кітабы жарық көргеннен кейін онан сайын
ушыға түседі. Эйлердің қорғауы да, корольдің қолдауы да Мопертюидің
көңілін көтере алмайды, осыдан құса болған математик көп ұзамай
Базелде, Бернуллидің үйінде қайтыс болды. Эйлер ең кіші әсер
принципін қайта қолға алады, оның тұжырымы бойынша Smuds минимум
болуы қажет, бірақ ол Мепертюи сияқты физикаға ұғынбайды. Міне,
осылай бұл приципке берік іргетас қаланды. Оны Лагранж кейінірек
Гамильтон пайдаланады. Гамильтониананың қазіргі математикалық
физикадағы алатын орны мен маңызы, Эйлердің Мопертюи мен Кениг
арасындағы таласқа қосқан үлесінің қаншалықты мәнді болғанын
көрсетеді.
Мопертюимен Лапландияда бірге болған математиктер арасында
Алексис Клод Клеро да бар еді. Клеро он сегіз жасында кеңістік
қисықтарының аналитикалық және дифференциялдық геометрия саласы
бойынша бірінші тәжірибе саналатын Қос қисықтағы бар қисықтар туралы
ізденістерді жариялаған. Лапландиядан қайтып келген соң гидростатика
мен айналалу эллипсоидтар тартылысы жөнінде үлгілі туынды Жер
фигурасы теориясын ( 1743) жарыққа шығарады. Лаплас мұның тек кейбір
ұсақ – түйек жеке бөліктерін ғана жетілдіре алған. Бұл жұмыстың
басты нәтижелерінің бірі Мdx + Ndy дифференциялының толықтық шарты.
Бұл кітаптаң соң Эйлердің Ай қозғалысы теориясы мен үш дене жалпы
есебіне толықтырулары баяндалған. Ай теориясы дүниеге келеді.
Клеро мұнан басқа да қисық сызықты интегралдар мен дифференциалдық
теңдеулер теориясында да жаңалықтар ашқан, Клеро қарастырған
дифференциалдық теңдеулердің бір типі қазір оның есімімен аталып
жүр.
1750 жылдан кейін ескі режім, тәртіпке қарсы
интеллектуалдық оппозицияның бір орталығы әйгілі Энциклопедия
(1752 – 1772 ж. 28 томнан тұрады) болады. Оның редакторы Дени
Дидроның жетекшілігімен Энциклопедияда ағартушылық ғасырының философиясы
егжей – тегжейлі баяндалған. Энциклопедистердің басты математигі
ақсүйек әйелдерден некесіз туып, Париждегі әулие Жан ле Рон
шіркеуі маңынан табылған, тастанды бала Жан ле Рон Даламбер (1717 –
1783) болды. 1754 жылы ол француз академиясының міндетті хатшысы
болды. Осы арқылы Францияның ең ықпалды оқымыстысы дәрежесіне
көтеріледі. Қазір Даламбер принципі аталып жүрген қатты денелер
динамикасын статикаға келтіру әдісі жазылған оның Динамика туралы
трактаты 1743 жылы шығады. Ол қолданбалы оның ішінде гидродинамика
аэродинамика, үш дене есебі бар мәселелер бойынша зерттеулер
жүргізе береді. Ол 1747 жылы шек тербелісі теориясын жариялайды, ол
Даниил Бернуллимен қоса дербес туындылы теңдеулер теориясының
негізін салады. Даламбер мен Эйлер теңдеуі шешуін z = f ( x - kt
) + φ ( x – kt ) түрінде тапса, Бернулли бұл
теңдеуді тригонометриялық қатарлар жәрдемімен шешеді. Бұл шешімнің
сипаты жөнінде елеулі күмән туады. Даламбер шектің бастапқы формасы
тек жалғыз ғана аналитикалық өрнекпен берілуін мүмкін деп тапса,
Эйлер ол кез келген үздіксіз қисық бола алады деп санаған.
Бернулли, Эйлерге қайшы келіп, оның қатар түріндегі шешуін жалпы
түрде тұжырымдаған. Бұл мәселенің толық түсінігі 1824 жылы кез
келген функцияны тригонометриялық қатар арқылы кескіндеуге болатыны
туралы күдікті жоққа шығарған Фурье еңбегінде беріледі.
Даламберге математиканы негіздеуге қоса көп мәселелер
жөнінде еңбектер жазу қиын болмаған. Оның шек ұғымын енгізгені
жоғарыда айтылды. Алгебраның негізгі теоремасын кейде Даламбер
теоремасы деп атайды. Өйткені, ол оны дәлелдеуге тырысқан (1746);
ал ықтималдықтар теориясындағы Даламбер парадоксы, онша сәтті
болмаса да, оның бұл теориясының негіздері туралы ойластырғанын
көрсетеді.
Бұл дәуір бойында негізінен Ферма, Паскаль, Гюгенс
идеяларын өңдеп, толықтыру барысында, ықтималдықтар теориясы жедел
дамытылады. Я.Бернуллидің Болжалдау өнерінің ізін қуа басқа
кітаптар шығады. Олардың ішінде француз гугеноты Авраам де Муаврдың
Кездейсоқтар туралы ілімі (1716) бар. Муаврдың есімі бірінші рет
Эйлердің Кіріспесінде келтірілген, қазір (cosφ + isinφ)ⁿ = cosnx +
isinnφ пішіндегі тригонометриялық теоремамен байланысты көпке мәлім.
Муавр 1733 жылы нормаль үлестірімділік функциясын биномдық заңның
аппроксимациясы ретінде қорытып шығарады және Стирлинг формуласына
бара-бар формула ұсынады. Джеймс Стирлинг Ньютонның жолын қуушы
ағылшын математигі, ол өзінің қатарын 1730 жылы жариялаған.
Осы дәуірде ұйымдасқан көптеген сан алуан лотерейлер мен
қамсыздандыру компаниялары Эйлердің ықтималдық теориясына назарын
аударады. Бұл ықтималдықтар туралы ілімді жаңа облыстарға қолдануды
көздеген әрекеттер туғызады. Қызғылықты түрде жазылған 36 томнан
тұратын Табиғи тарихтың авторы Бюффон (1777ж.) геометриялық
ықтималдықтардың бірінші мысалын келтіреді.
Дәл осы кездерде ықтималдықтар теориясын адам пікір –
қорытындыларына қолдану әрекеті жасалады (мысалы, егер әрбір куәгердің
шындық айтуының ықтималдығын білдіретін санды көрсету мүмкін болса,
онда трибуналдың дұрыс үкім шығарудың мүмкіндігін есептеуге
тырысқан). Мұндай ағартушылық ғасыры филасофиясының лебі сезілетін
пікірлер ықтималдығы маркиз Кондерсенің еңбектерінен үлкен орын алған.
Мұндай ықтималдықтар кейіннен Лаплас, тіпті Пуассонда да болған.
Де Муавр, Стирлинг және Ланден – он сегізінші ғасырдағы ағылшын
математикасының мықты өкілдері. Бұл жерде құрлықтағы әріптестерімен
тең түсе алмайтын, басқа да кейбір ағылшындар туралы да айтуымыз
қажет. Ағылшын ғылымы Ньютонды құрметтеу, пір тұту ауыр салмағын
басынан кешірген. Әсіресе оның Лейбниц таңбалауларымен салыстырғанда
ыңғайсыз таңбалауы прогреске тежеу салды. Ағылшын математиктерінің
Ньютонның флюксия методынан босана алмауының мұнан басқа да терең
қоғамдық себептері бар еді. Франциямен үзбей сауда соғысын жүргізген
Ангияда тек қана жеңістермен ғана емес, құрылық философтарын таң
қалдырған ағылшынның саяси жүйесінен туған интеллектуалдық
артықшылық, тәкабарлық сезім қатты дамиды. Англия осы қияли
кемелдіктің құрбаны болады, он сегізінші ғасырдағы ағылшын
математикасы мен кейінгі александриялық дәуірдегі грек математикасы
арасында бұл жөнінде ұқсастық бар. Екі жағдайда да ыңғайсыз
таңбалаулар прогреске техникалық қиыншылық келтірген, ал сонда да
болса, математикаға қанағаттану себептері терең қоғамдық сипаттан
туындайды.
Ағылшын тілін пайдаланған жетекші математик бұл кезде
Ньютонның жолын қуушы және көз көрген Эрдинбург университетінің
профессоры Коллин Маклерон еді. Оның Флюксия әдісін зерттеулері мен
жалпылаулары, екінші және одан жоғары ретті сызықтар,
эллипсоидардың тартылуы жөніндегі еңбектері Клеро мен Эйлердің
зерттеулерімен қатар жүргізілді. Маклеронның кейбір теоремалары қазіргі
жазық қисықтар теоремасы мен проективтік геометрияға енді. Оның
Оргоникалық геометриясында (1720 ) қазір Крамер парадоксы аталып
жүрген мынадай ескертпені кездестіреміз: n - ретті қисық нүкте
арқылы әрқашанда анықтала бермейді, үшінші ретті қисықты бір мәнді
анықтау үшін тоғыз нүкте аз, ал он нүкте тым артық болуы мүмкін.
Осы жерде әр түрлі ретті жазық қисықтарды сызу үшін кинематикалық
әдістер келтіріледі. Ньютонды Берклиден қорғап алуға арналған
Маклеронның Флюксиялар туралы трактаты 1742 жылы ескі геометриялық
тілмен жазылғандықтан, түсіну қиынға соғады, бұл жағынан ол Эйлер
еңбектерінің ұғымына кереғар келеді. Маклерон әдетте Архимедтің
қатаңдығына ұмтылған. Кітапта айналу эллипсоидтары тартылуы туралы
Маклеронның зерттеулері және екі конфокальдық эллипсоид ось бойындағы
немесе экватордағы бөлшекті олардың көлемдеріне пропорционал
тартатыны туралы теорема бар. Бұл трактатта Маклерон атақты
Маклерон қатарын пайдаланады. Шынында да бұл қатар бұрын корольдік
қоғам хатшысы Брук Тейлор жазған Өсімшелер әдісінде (1715) жарық
көрген, ал одан да ұрын И. Бернулли ашқан, тіпті Лейбницке де
белгілі болған. Маклерон оны Тейлердан алғанын мойындайды. Тейлор
қатарын қазір әрқашан да Лагранж таңбалаулары бойынша келтіреді;
Тейлор бұл қатар x=0 болғанда анық келтірген, алайда
көптеген оқулықтарда ол Маклерон қатары аталып жүр. Тейлорда
қатардың жинақылығы туралы түсінік жоқ, ал Маклерон мұндай
зерттеулерді жүргізе бастаған. Тіпті шексіз қатарлардың жинақылығының
интегралдық белгісін игерген. Тейлор қатарының маңыздылығын Эйлер
оны өзінің Дифференциалдық есептеуінде қолданғаннан кейін барып
толық мойындалады. Лагранж оған қалдық мүше қосып, оны өзінің
функциялар теориясына негіз етеді. Тейлор өзінің қатарын кейбір
дифференциалдық теңдеулерді интегралдауға пайдаланған. Ол шектің
тербелістерін зерттеуді бастайды, мұы кейін Даламбер т.б.
жалғастырады.
Жозер Луи Лагранж (1736 – 1813ж.) Турин қаласында итальян –
француз семьясында туған. Он тоғыз жасында Туриндегі артиллериялық
мектептің профессоры болады. 1766 ж. Эйлер Петербургке кеткенде II
Фридрих Лагранжды Берлинге шақырады. Шақыру хатты Европаның асқан
ұлы геометрі асқан ұлы карольдің қасында болғаны ләзім деп
жазылған. Лагранж Берлинде Фридрих өлгенге дейін (1786) қызмет
жасап, онан кейін Парижге орын ауыстырады. Революция кезінде
өлшемдер мен салмақтар реформасына қатысады, кейіннен ағылшында
Нормальдық мектептің (1795) сонан кейін 1797 ж. Политехникалық
мектептің профессоры болады.
Вариациялық есептеу бойынша зерттеулер Лагранж қызметтерінің
алғашқы дәуіріне келеді. Эйлердің бұл мәселе туралы мемуары 1755
жылы жарық көреді. Лагранж Эйлер әдісі туралы ол таза талдауға
жарасымды келетін қарапайым емес деп сын – ескертпе жасаған. Осының
нәтижесінде Лагранж бүкіл творчествосына тән, қорланған тарихи
материалды аса тәртіпке келтіріп, өңдеп өз жаңалықтарын қоса
келтіру әдісімен баяндалған Лагранждың таза аналитикалық вариациялық
есептеуі пайда болады (1760 – 1761). Лагранж өзінің теориясын бірден
механика есептеріне қолданады, мұнда ол ең аз әсер принципінің
Эйлерлік тұжырымын толық пайдаланады. Аналитикалық механиканың (1788)
негізгі көп идеялары Лагранж өмірінің Туриндік кезеніңде табылған.
Осымен қатар ол, өз заманындағы негізгі проблемалардың бірі болған
Ай қозғалысы теориясын зерттеуге де ат салысады. Ол үш дене
есебінің алғашқы дербес шешімдерін табады. Лагранж теоремасы
бойынша, бірдей уақытта жүріп өтетін орбиталары ұқсас эллипстер
болатындай үш дененің бастапқы орнын табу мүмкін (1772). 1767ж
оның алгебралық теңдеудің заттық түбірін ажырату және оларды
үздіксіз бөлшектер жәрдемімен жуықтап табу әдістері баяндалған
Сандық теңдеулері шешу туралы мемуары шығады. Сонан кейін 1770 ж
төртінші дәрежеден жоғары емес теңдеуді шешуге мүмкіндік беретін
әдістер, төртінші дәрежеден жоғары дәрежелер үшін ешнәрсе
бермейтінінің себептері қарастырылған Теңдеулердің алгебралық шешу
туралы трактаты жарияланады. Бұл Лагранжды түбірлердің рационалдық
функцияларына және түбірлерді ауыстыруды олардың өзгеріс-сипаттарын
зерттеуге әкеледі.
Мұндай әдіс n4 болған жағдайда Руффини мен Абель еңбектері
үшін стимул болып қана қоймай, Галуаны группалар теориясына
әкелген. Лагранж сандар теориясына да ілгерілетеді, ал квадрат
қалындыларды қарастырады. Ішінде әрбір бүтін сан төрт немесе одан
кем сандардың квадраттарының қосындысы болатыны туралы теорема бар
бірсыпыра теоремалар дәлелдейді.
Өмірінің екінші кезеңін Лагранж үлкен еңбектеріне –
Аналитикалық механика, Аналитикалық функциялар теориясы және оның
жалғасы Функцияларды есептеу жөнінде дәрістерді жасауға арнайды.
Функциялар теориясының екі кітабы да анализге алгебраға сүйенген
сенімді іргетас қалауға әрекет болып табылады. Лагранж Ньютон
нұсқасын жасап, Даламбер тұжырымдаған түрдегі шектер теориясын
қабылдамайды. Ол өзінің шегіне жеткенде не болатынын өзі де
білмей дал болады.
Ньютонның шексіз аздар әдісіне риза болмаушылардың бірі,
француз революциясы кезінде жеңісті ұйымдастырушы Лазарь Карноның
сөзімен айтқанда: бұл методтың үлкен кемшілігі мөлшерлер (сандар)
мөлшерлер болудан қалған жағдайда қарастырылады; біз шекті болып
тұрған екі мөлшердің қатынасын жақсы елестетеміз, ал оның мөлшері
бір уақытта түк болмай қалған кезде, біздің ақылымыз ол қатынасты
анық та дәл елестетуден қалыс қалады. Лагранждың әдісі өзінің
алдындағылардан өзгеше болады. Ол қалдық мүшесімен бірге қорытылған
Тейлор қатарынан бастайды, біраз үстірттеу түрде кез келген f(x)
функциясы таза алгебралық процесс арқылы осындай қатарға жіктелуі
мүмкін екенін дәлелдейді. Сонан соң f '(x), f ''(v)... туындылады
f(x+h) –тің h дәрежелері бойынша Тейлор қатарына жіктегенде h, h²...
коэффициенттері ретінде анықталады (f '(x), f ''(x), ... таңбалануларын
Лагранж енгізген).
Анализді негіздеудің бұл алгебралық методы қанағаттанарлықсыз
және Лагранж қатарлардың жинақылығына жетерліктей көңіл бөлмегенмен,
функцияларды мұндай абстрактылы баяндау алға қарай жасалған елеулі
адым еді. Бұл жерде бірінші рет заттық айнымалы функциялар теориясы
және оның алгебра мен геометрияның әр түрлі есептеріне қолданылуы
көрініс береді.
Аналитикалық механиканы Лагранждың, бәлкім, ең бағалы
еңбегі деп айту артық емес. Оны әлі де тәптіштеп зерттей түсу
қажет Ньютонның Бастамаларының жүз жылдан кейін шыққан бұл
кітапта кемелденген талдаудың барлық күш – қуаты нүктелер мен қатты
денелердің механикасына қолданылады. Эйлер, Даламбер және он
сегізінші ғасырдың басқа да математиктері жетістіктері мұнда бұрынғы
тұрғыдан өңделіп, зерттеліп, одан ары дамытылады. Лагранждың
вариациялық есептеуін толық қолдану арқасында статика мен
динамиканың әр түрлі принциптерін біріктіру мүмкін болды; мұнда
статикада – виртуалдық жылдамдықтар принципі, ал динамикада – Даламбер
принципі қолданылады. Бұл табиғи түрде жалпыланған координаттар мен
қозғалыстардың Лагранж формасындағы теңдеулеріне әкелді. Енді Ньютонның
геометриялық қажеті болмай, ол толық алынып тасталды. Лагранждың
кітабы таза талдаудың салтанат құруы болды. Оның авторы алғы
сөзінде Бұл еңбекте ешқандай сызбалар жоқ, мұнда тек алгебралық
амалдар бар деп ашық көрсетеді. Бұл Лагранждың ең бірінші таза
аналитик екенін сипаттайды.
Біз енді он сегізінші ғасырдың соңғы – жетекші математигі
Пьер Симон Лапласқа (1736 – 1813) көшеміз. Нормандиядағы қарапайым
жер иеленушінің баласы, ол Бомон және Кан қалаларында оқып, білім
алады. Даламбердің көмегімен Париждегі әскери мектептің профессоры
болады. Ол бұдан басқа да оқытушылық және әкімшілік қызметтер
атқарады. Революция кезінде Нормальдық және Политехникалық мектептерді
ұйымдастыруға қатысады. Наполеон оған көп құрмет көрсеткен, оны
XVIII Людовик те жоғары бағалаған. Монж пен Карноға қарама-қарсы
Лаплас өзінің саяси көзқарастарын тез өзгертіп отырған, онда
көрсеқызарлық, мағынасыз мансапқорлықтың да кейбір көріністері бой
көрсеткен. Мұндай тұрақсыздық, бейімделгіштік оған франциядағы барлық
саяси құрылыстар кезінде таза математикалық жұмыстарын жүргізе
беруге мүмкіндік жасаған.
Өзінің ғана зерттеулер қорытындысын жинақтап қана қоймай,
сәйкес салалардағы өзіне дейінгі барлық жұмыстардың нәтижесі
келтірілген Лапластың екі үлкен еңбегі бар. Олар: Ықтималдықтардың
аналитикалық теориясы (1812) және Аспан механикасы, (5 том, 1799 –
1825). Бұл екі монументтальдық туындыға Ықтималдықтарға қатысты
философиялық тәжірибе (1814) және Әлем жүйесін баяндау (1796) деп
аталатын көпшілікке түсіндірме еңбекті қоса жариялайды. Әлем
жүйесінде, 1755 жылы Кант ұсынған күн жүйесінің тұмандықтардан пайда
болуы жөніндегі гепотезены дамытады. Аспан механикасы Жер
фигурасы теориясы, Ай теориясы күн жүйесінің орнықтылығы туралы
негізгі проблеманы қамтыған үш дене есебі туралы Ньютон, Клеро,
Даламбер, Эйлер, Лагранж және Лаплас еңбектерінің аяқталуы, қортындысы
болып табылады: Лаплас теңдеуі термині бізге Аспан механикасының
бір бөлігі потенциалдар теориясы болғанын аңғартады.Бұл теңдеудің өзін 1752
жылы гидродинамиканың кейбір негізгі теңдеулерін қорыту кезінде Эйлер
тапқан. Бұл бес томдық үлкен еңбекке қатысты бірсыпыра анекдотар
таралған.
Наполеон Лапласты кітабында құдай туралы айтпапсың деп
кіналағанда, ол Тақсыр, маған ондай гипотезаның қажеті болмады -
деп жауап берген көрінеді. Гамилотонның математикалық мансабы
Лапластың Аспан механикасынан тапқан қатесінен басталған. Грин
Лапласты оқу барысында электрдің математикалық теориясы туралы
идеяға келген.
Ықтималдықтарға қатысты философиялық тәжірибе – жеңіл
жазылған ықтималдықтар теориясына кіріспе іспеттес. Мұнда тең
ықтималды оқиғалар көмегімен ықтималдықтың Лапластық теріс
анықтамасы келтірілген.
Ықтималдықтардың аналитикалық теориясы трактатының мазмұнының
байлыы сонша, ықтималдықтар теориясы бойынша ашылған көп жаңалықтарды
Лапластан кездестіруге болады. Бұл көлемді еңбекте құмар ойындары,
геометриялық ықтималдықтар, Бернулли теоремасы және оның қалыпты
үлестіру интегралмен байланысы, Лежандр ойлап тапқан ең кіші
квадраттар теориясы егжей – тегжейлі қарастырылған. Лаплас ағылшын
Томас Баестің ықтималдықтар теориясы (1763 – 1764) нобайын қайта
тұжырымдап, оны ұмыт болудан сақтап қалады.
Бір қызығы, он сегізінші ғасырдың аяғына қарай бірсыпыра
жетекші математиктер математикалық зерттеу салалары түгесіліп барады
дегенге саятын хауіп айта бастайды. Олардың пайымдауынша, Эйлер, Лагранж,
Даламбер және басқалардың еңбектері мен ыждаһатты ізденістері нәтижесінде
ең маңызды деген теоремалар ашылып болды. Олар тиісті түрде ретке
келтіріліп классикалық трактаттарда баяндалған немесе жақын уақытта
баяндалады, келесі ұрпақтардың саны шақтаулы математиктеріне маңызы онша
емес есептерді ғана шешу қалады. Сізге жоғары геометрия (яғни математика)
бір жағынан төмендеп келе жатқандай көрінбей ме? – деп жазады Ланграж. 1772
ж. Даламберге - Оны Сіз бен Эйлер екеуіңіз ғана ұстап тұрсыз.
Ланграж біраз уақыт математикамен айналысуды қояды. Даламбер
үміттенерліктей жауап айтпаған. Мұндай пессимистік сезімнің төркіні –
математиканың прогресін механика мен астрономияның прогресімен бірдей
санаушылықта жатыр еді. Шынында ежелгі Вавилоннан Эйлер мен Лаплас заманына
дейін астрономия тамаша математикалық жаңалықтардың жетекшісі және
шабыттандырушы күші болып келген, енді бұл прогресс өзінің ең шарықтау
шегіне жетеді. Алайда, француз революциясы мен жаратылыстанудың гүлденуі
ашқан жаңа перспективалармен шабыттанған жаңа ұрпақ бұл пессимизімнің
негізсіздігін көрсетуі қажет болды. Гаусс, Галуа, Н.И.Лобачевский бас
болған он тоғызыншы ғасыр математиктері мұны толық дәлелдеп шықты.
Он тоғызыншы ғасыр математикасы туралы сөз бастамас бұрын оның өткен
дәуірдегі математикаға енгізген кейбір сапалық өзгешіліктерін айта кеткен
жөн. Мұнда жаңа математикалық бағыттар пайда болады. Дәл ғылымдар түпкі
мақсаты механика мен астрономия болып келген бұрынғы дәстүрден біртіндеп
арылып, жалпы алғанда, экономика немесе әскери істер сияқты тікелей
қолданыс талабынан іргесін ажыратады. Енді ғылыммен ғылымның өзі үшін
айналысатын мамандар қалыптаса бастайды. Мамандықтардың көбейіп өсуі
математика және қолданбалы математика тарауларының бөлінуімен қатар жүреді.
Енді математиктер тек академиялар, патша сарайы, бекзадалар маңында
ғана қалып қоймайды, университеттерде дәріс беріп, ғылым мен оқытушылық
жұмысты қатар алып жүруге мән береді. Мәселен, Бернулли, Ланграж және
Лапластар сияқты дәріс беретін ұлы математиктер ұстаздық жауапкершілігімен
қатар әрі тәрбиеші, әрі жетекші қызметті атқарады. Латын тілінің орнына
ұлттық тілдер (неміс,француз, ағылшын, орыс т.б.) енеді. Оқшау салалар
бойынша жұмыспен шұғылданатын математиктер үшін Лейбниц, Эйлер, Даламбер
сияқты әмбебаптар сирек кездесетін құбылысқа айналды. Мәселен, Коши –
аналитик, Кели – алгебрашы, Штейнер – геометр, Кантор – жиын теориясын
негіздеуші, т.б. Сондай-ақ бірнеше мамандықты еркін меңгерген Гаусс, Риман,
Клейн, Пуанкаре сияқты дарындылар еңбектері он тоғызыншы ғасыр
матеатиктеріне аса зор ықпал жасады.
ІІ.2.XIX ғасырдың көрнекті математиктері
Біз XIX ғасырдың бірінші жартысында жаңа дәуірді бастаушы көрнекті
Гаусс, Коши, Галуа, Абель, Бояи, Лобачевский сияқты математиктерге тоқталып
өтпекшіміз.
Он сегізінші және он тоғызыншы ғасырлар математикасына ортақ ең ірі
тұлға математика патшасы атанған Карл Фридрих Гаусс болды. Ол 1777ж.
немістің Брауншвейг қаласында қарапайым қолөнершінің семиясында туған. Жас
баланың айрықша зеректігін кездейсоқ байқай қалған дуанбасы оны оқытып,
тәрбиелеуді өз қамқорлығына алады. 1795 – 1798 жылдары Гаусс Геттингенде
оқиды да, 1799 ж. Хмельмштедте бірден докторлық дәреже алады. 1807 – 1855
жылдар арасында ол осы қаладағы астрономиялық обсерваторияның директоры
және университет профессоры болып жұмыс атқарады.
Гаусстың күнделігінен ол он жеті жасқа толар-толмаста-ақ математикада
таңқаларлық жаңалықтар ашқанын көреміз. Мысалы, 1795ж. Эйлердің тәуелсіз
сандар теориясындағы квадраттық арақатыс заңын табады. Оның жаңалықтары
1799 жылғы докторлық диссертациясына және 1801 жылы жарық көрген көлемді
Арифметикалық зерттеулерінде баяндалған диссертацияда алгебраның негізгі
теоремасының, яғни нақты коэффицентті әрбір алгебралық теңдеудің кем
дегенде түбірі бар болатыны, яғни теңдеудің дәреже көрсеткішінде қанша
бірлік болса, сонша түбірі болатыны туралы теореманы келтірген. Гаусс 1816
жылғы осы теоремасының екінші дәлелінде комплекстік интегралдарды
пайдаланады, мұның өзі оның ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
ҚАЗАҚ МЕМЛЕКЕТТІК ҚЫЗДАР ПЕДАГОГИКА ИНСТИТУТЫ
ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТІ
МАТЕМАТИКА КАФЕДРАСЫ
ДИПЛОМДЫҚ ЖҰМЫС
ТАҚЫРЫБЫ: МАТЕМАТИКА ЖӘНЕ ЭЙЛЕР
Орындаған: Күнтуарова Амангуль Маликажқызы
4 жылдық сырттай бөлімінің
студенті
Жетекшісі: ф.-м.ғ.д., доцент Қ.К.Шакенов
Қорғауға жіберілді:
Кафедра меңгерушісі ф.-м.ғ.к., доцент А.Қ.Искакова
Хаттама №
Алматы - 2007
МАЗМҰНЫ
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .
І. Кейбір математикалық ұғымдардың тарихы
І.1. Математика
дәуірлері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... .
... ... ...
І.2. Математика ұғымдардың
қалыптасуы ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ІІ. Эйлердің заманы
ІІ.1. XVIII ғасырдың көрнекті
математиктері ... ... ... ... ... . ... ..
ІІ.2.XIX ғасырдың көрнекті
математиктері ... ... ... ... ... . ... ... ...
ІІІ. Эйлердің өмір
жолы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ...
ІV. Эйлердің математикаға қосқан үлесі
IV.1. Леонард Эйлердің ғылыми
еңбектері ... ... ... ... ... ... . ... ...
IV.2. Эйлердің механика ғылымына сіңірген
еңбегі ... ... ... ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ..
Қосымшалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ..
Әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .
КІРІСПЕ
Қазіргі ғылым, оның іргетасы - математика заманымыздың аса мәдени
құбылысы, жалпы өркениетіміздің бөлінбес маңызды бір бөлігі болып отыр.
Сондықтан да болашақ математика пәнінің мұғалімдері ғана емес, білім-
парасатқаұмтылған әрбір азаматтың ғылым тарихынан, әсірес ғылым патшасы
математика тарихынан белгілі бір дәрежеде хабардар болуы игілікті нәрсе.
Ғылым тарихын зерттеп білудің ғылымның өзі үшінде маңызы зор.
Көрнекті математика тарихшысы Поль Еаннедің сөзімен айтсақ, тарихтың бірден-
бір түпкі мақсаты тіпті де бекер әуесқойлықты қанағаттандыру емес, оны
зерттеп білу, сайып келгенде, болашақты нұрландыру.
Кейбіреулер математика өте шабын дамитын, тіпті өзгермейтін
ғылым деп қарайды. Бұл түбірімен дұрыс емес. Адамзат мұқтаждығын, қоғамдық
прогрес талабын өтеу жолында математика ғылымы ұдайы дамып, кемелденіп
келеді. Математиканың арифметика, алгебра, геометрия, математикалық анализ
сияқты классикалық салаларына қоғам қажеттігін, прогресс талабын өтеу,
сондай-ақ математиканың дамуының өзінің ішкі логикалық талаптарын
қанағаттандыру арысында функциялық анализ, математикалық логика,
математикалық статистика, кибернетика, хабарлар теориясы және толып жатқан
жаңа салалардың қосылуы бұл айтқанымызды толық дәлелдейді. Бұл процес
қазірде толасыз жүріп жатыр.
Математика өзінің туып, өрбу барысында тарихи дамудың ұзақ
жолын басып өтті. Екі нүктенің ең жақын ара қашықтығы түзудің
кесіндісі болатыны туралы және ең бастапқы сандар жайлы өте қарапайым
білімдерден басталған математика өзінің қазір нақты пәні мақсаты әдіс-
тәсілдері бар аса күрделі абстракты ғылымға айналып отыр. Екі жерде екі
төрт деген шындықты білуден бастап осы күнгі аспан денесінің қозғалысын
алдын ала есептеуге (мәселен, Галлей кометасының траекториясын), атым
ішіндегі процестердің есебін білуге, саусақпен санау орнына қиялдан да
ұшқыр тез есептегіш электронды машиналармен (ЭЕМ) санауға жету үшін адам
баласына көп мыңдаған жыл уақыт керек болды.
Диплом жұмысында барлық замандардың және барлық халықтардың ұлы
математигі деп аталып кеткен ғалым Леонард Эйлер туралы - Эйлердің заманы,
Эйлердің өмір жолы, Эйлердің математикаға қосқан үлесі қарастырылған.
Эйлер сол кезде бар математиканың барлық саласы бойынша елеулі
табыстарға жеткен. Ол өзінің жаңалықтарын мақала түрде ғана емес,
бір жүйеге келтірілген оқу құралдарында да жариялап отырған.
Эйлердің кейбір салалардағы баяндауы ғылымның соңғы сөзіндей,
кейіннен ол ешбір өгеріске ұшырамаған.
Математика тарихы математиканың бір саласы болып есептеледі. Ол
математика дамуының объективтік заңдылықтары туралы ғылым. Осыған сәйкес
математика тарихының көп мәселелерді қарастыруына тура келеді. Мектеп
оқытушылардың математикаға қызығушылығын арттыру үшін факультатівті
сабақтар, математика викторинасын, КВН өткізуде осы диплом жұмысы
пайдалығын көрсетеді деген ойдамыз.
І. МАТЕМАТИКАНЫҢ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАРЫНЫҢ ТАРИХЫ
І.1. Математика дәуірлері
Тарихи-математикалық зерттеулер: 1) математиканың дамуындағы фактілер
мен мағлұматтар байлығын ашады; 2) математиканың практикалық мұқтаждығын
және адам әрекеттерін, басқа ғылымдардың дамуын, қоғамның әлеуметтік және
таптық құрылысы мен қатысын, байланысын ашуға тырысады; 3) математиканың
логикалық құрылымының тарихи шарттылығын, оның өзгеру диалектикасын
көрсетеді. Белгілі дәрежеде оның болашағын, перспективасын болжауға
мүмкіндік береді.
Математика тарихының методологиялық негізі - диалектикалық
материализм болып табылады.
Көрнекті математик А.Н.Колмогоровтың таратуы бойынша математика
тарихын шартты түрде төрт дәуірге бөлуге болады.
Бірінші дәуір - математиканың туу, математикалық білім-
дағдылардың, мағлұматтардың жиналу және қорлану дәуірі. Бұл жазба тарихқа
дейінгі санаудан, алғашқы қауымнан басталып математика өзінің белгілі бір
зерттеу пәні, мақсаты, әдістері, салалары бар дербес теориялық ғылым болып
қалыптасқан (біздің заманымызға дейінгі VI-V ғасырлар) грек математикасына
дейін созылады. Бұл дәуірде математикалық негізгі ұғымдар, сандар,
фигуралар т, б. қалыптасады.
Екіші дәуір - элементарлық математика дәуірі- біздің заманымызға
дейінгі VI-V ғасырлардан басталып біздің заманымыздың XVI ғасырымен
аяқталады. Бұл кезеңде математика бүтіндей дерлік тұрақты шамалар
қарастырылады. Математиканың арифметика, алгебр, геометрия және
тригонометрия деп аталатын дербес салалары пайда болады.
Үшінші дәуір - айнымалы шамалар математикасының туу дәуірі. Бұл
кезде математиканың негізгі нысанасы, обьектісі-процестерді, қозғалыстарды
зерттеп білу. Бұл дәуір XVII ғасырдағы Декарт, Лейбниц, Ньютонның ашқан
математикалық жаңалықтарынан басталып XIX ғасырдың бірінші жартысын
қамтиды. Бұл аралықта математиканың бұрынғы салаларына аналитикалық
геометрия, дифференциалдық және интегралдық есептеулер, дифференциялдық
теңдеулер, ықтималдықтар теориясы сияқты физика-математикалық, техникалық
және басқа жоғары оқу орындарында оқытылып жүрген қазіргі математиканың
классикалық негізі болып саналатын көптеген салалар қоылады.
Төртінші дәіуір - қазіргі математика дәуірі. Бұл XIX ғасырдың
бірінші жартысында ұлы математиктер Н.И.Лобачевский, Э.Галуа ашқан
математикалық жетістіктерден басталады. Мұнда математика қамтитын кеңістік
пішіндері мен сандық қатынастар мейлінше кеңейеді, бұл тұста сандар ғана
емес, вектор, тензор, спинор тәрізді және басқа тектес шамалар қарастырыла
бастайды. Кеңістік туралы ұғымның шеңбері кеңейіп, әр түрлі геометриялар
(евклидтік емес) ашылады. Алгебраның мазмұны бүтіндей өзгеріске ұшырайды.
Математиканың көптеген жаңа салалары қалыптасады. Математиканың өзін
тарихи, логикалық және философиялық тұрғыдан негіздеу мәселесі қолға
алынады; есептегіш машыналар пайда болады.
І.2. Математика ұғымдардың қалыптасуы
Карл Гаусс математиканың сан салаларын сарапқа салып келіп
арифметиканы математика патшасы деп бағалаған. Ал арифметиканың негізгі
ұғымы - сан. Ендеше, сол сан ұғымының қалай пайда болуын ашу, білу-ғылыми
методогиянық үлкен проблема.
XIX ғасырға дейін математика тарихы жөнінде қалам тартушы
авторлардың көбісі сандар мен сандарға амалдар қолдану әрекетін құдайлар
немесе кемеңгер филосовтар шығарған деп түсіндіріп келді. Өткен ғасырдағы
ең мықты алгебрашылардың бірі Кронекер бүтін сандарды құдай жасады, қалған
дүниені адам жасады,-дегені мәлім. Ескі аңыздарда сандарды біресе Пифагор,
біресе Прометей немесе басқа бір пайғамбар шығарыпты-мыс деген тұжырымдар
көп ұшырасады. Бұлардың барлығы, әрине, ғылыми шындыққа келмейтін жаңалық
қорытындылар.
Шындығында, арифметиканың өзі айрықша ғылым болып бертінді
қалыптасқанмен, оның басты ұғымы-сан ұғымы өте ертеде, адамзат жазу, сызуды
білмеген заманда пайда болған.
Адам баласының ең бірінші қолдана білген математикалық амалы
санау болды. Тіпті аз ғана санды білетін жабайы тайпалардың өзі көп
нәрседен тұратын жиындарды санауға дейін әрекет жасаған. Бұл жағынан
қарағанда адам саннан бұрын-ақ санауды, түгендеуді білген деуге болады.
Қайта осы санау, түгендеу әрекеттері негізінде сан ұғымы туады, біртіндеп
кеңейеді. Ежелгі қазақтар төрт түлік малдарын санамай түгендеуі осының
нақты мысалы. Ел аузындағы түгендеймін санамай деген сөз тіркесі осыны
аңғартады. Осы сияқты олар кейде бір қора қойдың өзін жасына қарай бөліп,
әрбір төлді бөлек-бөлек түстеп түгендейтін болған. Бұл, әрине, өте ерте
кездегі санау тәртібінен қалған сарқыншақтар.
Түстеп-түгендеу жас балалар әрекетінде де ұшырасады. Мәселен, 2-3
жастағы жас сәби ойыншықтарының түгел, түгел еместігін түсіне қарай біле
алады.
Осылай түстеп түгендеу кезінде санауға тиісті нәрселер жиынының
(иттер тобы, түйелер келесі немесе бір қора қой, ойыншықтар т. б.) ерекше
бір қасиаті ретінде танылады. Ол қасиет біріншіден, осы жиынның бүтіндігін,
тұтастығын, екіншіден, сол нәрселерден құралған басқа жиындармен
салыстырғанда аз-көптігін білдіреді.
Алайда, көз мөлшермен санау практикасы адам баласының
мұқтаждығын аса қанағаттандыра алмаған. Түстеп санау арқылы түгенделетін
заттың көп-аздығы, бары-жоғы ажыратылғанмен, санмен келтірілген басқа
негізгі міндеттерді (мәселен, мен 20 қоян әкелдім дегенді білдіру сиқты)
орындау мүмкін болмады. Мұндай жағдайда адамдар саусақпен санауға ұмтылған.
Торрес бұғазының батыс жағалауын мекендейтін кейбір австралиялық жабайы
тайпалар адамның дене мүшелері арқылы 33-ке дейінгі санды өрнектей алады
екен. Егер саналатын заттар 33-тен асып кетсе, олар таяқшаларды
пайдаланады. Ертеде қойшылар таяқтарына баққан қойының санына сай келетін
кертікшелер белгелеу арқылы қойның есеп-қисабын алып отырған.
Бұл қарсаңда да сан тең мөлшерлі жиындардың бәріне ортақ,
тұрақты қасиетін көрсететін ерекше математикалық ұғым болып қалыптыса
қоймады. Мұнда тек бір жиындағы нәрселер сондай мөлшерлі басқа бір жиынмен
ауыстырылады. Мысалы, қорадағы қой саны мен таяқтағы кертік саны мөлшерлес.
Санмен санаудың дамуында тағы да бір нәрсе-тең мөлшерлі
жиындар, топтарішінен айрықша біреуін сайлап алу. Мәселен, белгілі бір
топта бес нәрсенің барын білдіру үшін бір қолдың саусақтарын көрсету
жеткілікті болған. Бұл жерде қол саусақтарының жиыны ерекше жиын түрде
қарастырылып, осыған тең мөлшердегі басқа жиындар мөлшерін анықтау негізге
алынған. Бір топтың сан мөлшерін екінші топ сан мөлшерімен салыстырып,
санау практикасы сан ұғымының қалыптасуындағы басты факторлардың біріне
айналады. Санау әрекетіндегі осы беталыстың, бағыттың біртіндеп дамуы
нәтижесінде өзара тең мөлшерлі жиындардың ортақ, орнықты мөлшерлік қасиеті
ретінде біртіндеп натурал сандар ұғымы қалыптаса бастады.
Сан ұғымы баяу дамыды, сандар шекарасы біртіндеп кеңіді. Тілінде
тек бір мен екі сандары ғана бар жабайы тайпалар қазірдің өзінде ішінара
кездесіп қалады. Әлгінде айтылған Торрес бұғазының тайпалары 1-ді урапун, 2-
ні оказа, 3-ті оказа-урапун, 4-оказа-оказа, 5-ті оказа-оказа-урапун, 6-
оказа оказа-окааза деп санаған, одан артық сандарды көп, сан жетпес
дейді екен. Осындай сандардың белгілі бір шекарасы баяғыда әр халықта да
болған. Мысалы, біраз елдерде жеті саны ең үлкен сан болғандығын көрсететін
көптеген сөз тіркестері бар: жеті өлшеп, бір кес, жетеу жалғызды
күтпес, соқа айдаған біреу, қасық ұстаған жетеу, жеті су т.с.с.
Осы сияқты қазақ тілінде де 40 саны бір кезде сандар шекарасы
болғанын сипаттайтын сөздер көп кездеседі, 40 шілтен, 40 уәзір, 30 күн
ойын, 40 күн тойы, Қырық құрақ, қырық жамау, 40 жыл қырғын болса да,
ажалды өледі т. б.
Қоғамдық өндірістің өркендеуі, өндірілген өнімнің молаюы,
тайпалар, қауымдар арасындағы саяси-шаруашылық қарым-қатынастардың ұлғаюы
санның, оған әр түрлі амалдар қолданудың дамуына әсер етті. Сандардың
жоғары шекарасы біртіндеп кеңейе келіп, натурал сандар қатары түзіледі.
Біртіндеп келе натурал сандардың әрқайсысын белгілі бір жүйемен атау,
таңбалау күн тәртібіне қойылды. Міне, осылай түрліше санау жүйесі немесе
нөмірлеу қалыптасты. Сонау жүйелерінің ішіндегі тарихи жағынан ең алғашқысы
және ең қарапайымы-екілік жүйе. Қазір жаппай қолданылып жүрген санаудың
позициялық ондық жүйесі, яғни он цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, арқылы
кез келген сандар сандық өрнек жүйесі бізге көне үнді жұртынан мирас болып
қалған.
Сан ұғымының қалыптасуымен қатар сандарға төрт амал қолдану
әрекеті туып жетілді. Сан ұғымы ендігі жерде бөлшек сан түрінде дамыды.
Бөлшектер бүтін оң сандар сияқты күнделікті тұрмыс қажеттілігінен шыққан.
Еүрліше ұзындық, аудан, көлем, уақыт тағы басқа сондай шамаларды өлшеу
барысында олар есептеу практикасында қолданыс тапты.
Қорыта келгенде, арифметиканың бастапқы да негізгі ұғымдары мен
әдістері тікелей өмір талабынан туындаған.
Теріс сандар, иррационал сандар, комплекс және гиперкомплекс
сандар ұғымдарының шығуы сан ұғымының дамуының заңды жалғасы іспетті.
Алайда бұл сандарды математиканың ішкі даму талабы туғызды, ал олардың
ақылға қонымдылығы іс жүзінде сыналып айқындалды.
Геометрия ғылымының негізгі ұғымы болып саналатын фигуралар
ұғымдарының қалыптасуы да арифметика негіздерінің шығу төркініне ұқсас.
Геометрия грекше гео-жер және метрейн-өлшеу деген екі сөзден құралған.
Осы атаудың өзінен-ақ геометрияның шығу тегі бірден аңғарылады.
Геометрия да арифметика сияқты адамдардың табиғатпен үздіксіз
қарым-қатынасы нәтижесінде пайда болған. Бұл бақылау саналы түрде жүрмеген
және өте ұзаққа сщзылған. Тарихқа дейінгі алғашқы геометрлер біз сияқты
заттың басқа қасиеттерін жасанды түрде бөліп алған дерексіз ұғымдарды
қарастырған. Оларда геометриялық ұғым және сол ұғымға сәйкес келетін
табиғат нәрсесі, обьектісі ылғи қосарлана алынады. Мысалы, ежелгі адамдар
үшін нүктелер өте алыстағы жұлдыздар немесе өте кіші түйіршіктер; ал
түзулер-жарық сәулесі немесе тартылған жіп немесе басқа бір түзу сипаттас
нәрселер, жазықтықтар-көлдің айдыны, тақыр жер, тақтаның беті тағы басқа
болып есептеледі. Тіпті бертінде қабылданған цилиндр (дөңгелектеу),
трапеция (үстел), Сфера (доп) сияқты геометриялық атаулар тікелей
практикадан, ал үшбұрыш, төртбұрыш, дөңгелек, симетрия ұғымдарының да
табиғаттың өзінен алынғаны даусыз.
Сан қилы өлшеу қажеттігінен ұзындық, аудан, көлем сияқты
геометриялық шамалар жөніндегі ұғымдар қалыптасты. Адамдар бірте-бірте
кейбір қарапайым геометриялық заңдылықтарды ашатындай дәрежеге көтерілді.
Жер жыртушы диқан ұрпақтан-ұрпаққа көшкен тәжірибе жиынтығынан бөлінген
жердің азды-көптігі қандай шамаларға байланысты екенін пайымдауға тиісті
болды. Қисық жолға қарағанда түзу жолдың төте екенін аңғарту қтынға түспесе
керек. Осылайша алғашқы геометриялық теоремалар дүниеге келді. Бірақ
бұларды ешкім дәлелдемеді, дәлелдеуді керек те етпеді, өйткені бұл
теоремалардың астарында күн сайын тұрмыста сан рет сыналып, шүбә
келтірмейтін шындық жатты.
Уақытты өлшеу, түнде бағытты бағдарлау тәрізді әрекеттер аспан
шырақтарының қозғалысын жүйелі түрде бақылап отыруды қажет етті. Бұл әрекет
бұрыштарды өлшеудің, аспан сферасында орын алатын сандық қатынастарды,
фтгураларды зерттеп білудің бастамасы еді. Энгельстің сөзімен айтқанда
Барлық басқа ғылымдар сияқты математика да адамдардың практикалық
мұқтаждықтарынан, жер учаскелерінің ауданы мен ыдыстардың сыйымдылығын
өлшеуден, уақытты есептеуден және механикадан шықты. Сан және фигура
ұғымдары,-деп жазды Энгельс өзінің Анти-Дюринг атты философиялық
еңбегінде,-басқа ешқайдан емес, тек шындық дүниеден алынған. Адамдардың
санауға үйренген, яғни алғашқы арифметикалық есепті шығаруға үйренген он
саусағын не десеңіз о деңіз, тек әйтеуір ол ақыл-ойдың еркін шығармашылық
жемісі емес. Санау үшін саналуға тиісті нәрселердің болуы ғана емес,
сонымен бірге бұл нәрселерге көз жібергенде, олардың санынан басқа
қасиеттеріне алаңдамайтын қабілет те болуы керек; ал ол қабілет тәжірибеге
сүйенген ұзақ тарихи дамудың нәтижесі.
Математиканың бастапқы мағлұматтары азды-көпті барлық халықта
болды деп айтуға болады.
Мәселен, көне түркі халықтарында (бұған қазақтар да кіреді)
біздің заманымыздың бас кезінде кемел санау жүйесі болғаннан көрсететін
жазба ескерткіштер бар (мысалы, Күлтегін ескерткіштеріндегі жазбалар).
Мұнда Ай, Күн және басқа аспан шырақтарының аты аталып, 100 мыңға дейін сан
келтірілген. Қазақтың жұмбақ есептерінде көптеген терең математикалық
астарлар жатыр. Мәселен, бір саулығым он жылда қанша бас қой болады деген
есеп геометриялық прогрессияға келеді .
Ал Тоғыз құмалақ ойыны тұнып тұрған математикалық талдаулар екені
айқындалып отыр. Оның негізі - комбинаторикалық есептеулерде жатыр.
ІІ. ЭЙЛЕРДІҢ ЗАМАНЫ
ІІ.1. XVIII ғасырдың көрнекті математиктері
XVIII ғасырдағы математиктердің бүкіл іс-әрекеттері анализ және
оның механикаға қолданылысы төңірегінде шоғырланады. Ең күшті
тұлғаларды олардың шығу тегі емес, интеллектуалдық тектестігін
көрсететін шежіреге орналастыруға болады.
Лейбниц (1646-1716), Эйлер (1707-1783), Лагранж (1736-1813),
Лаплас (1749-1827). Бұл ғалымдардың еңбектерімен ағарту дәуірінің
философтарымен қарым-қатынаста болған Клеро, Даламбар және Мепертюн
бастаған француз математиктер тобының іс-әрекеттері тығыз байланысты.
Бұларға швейцар математиктері Ламбертті және Даниил Бернуллиді қосу
керек. Ғылыми жұмыстар негізінен академиаларда шоғырланды, бұлардың
ішінде Париж, Берлин, Петербург академиялары көрнекті орын алды. Бұл кезде
университеттерде мардымды сабақ өтпеді. Европаның алдыңғы қатардағы
елерін оқымысты деспоттар билеп тұрды. Атақ – даңққа ие болуды
мақсат еткен қатыгез әміршілер өздерінің маңына оқымыстыларды топтастырды.
Мұның өзі қарулы күштердің жаугершілік қабілетін күшейтуге жаратылыстану
мен қолданбалы математиканың маңызын түсінуге келіп тірелді. Мысалы,
француз флотында аса жоғары сапалы (фрегаттар мен линкорларды
жасауда) кеме жасаушылар үшін белгілі бір дәрежеде математикалық
теорияны пайдаланған Эйлердің еңбектерінде армия мен флот үшін аса
қажетті математикалық қолданыстар өте көп болған.
Швейцариядағы империялық еркін қала – Базель 1263 жылы
әуел бастан ғылымның шоғырланған жері болды. Сонау Эразм аманының
өзенде – ақ университеті бар маңызды орталық болған. Базельде және
Голландияның басқа қалаларында көпес жақсылары билігімен ғылым мен
өнер өркен жаяды. Базельдік ақсүйектерінің бір ғасыр бұрын
испандықтар жаулап алған Антверпеннен бас сауғалап қашып келген
Бернулли көпес семьясы да бар еді. Он жетінші ғасырдың соңынан
қазірге дейін ағайынды Якоб пен Иоганн Бернуллиден тараған еді. Бұл
әулеттің әрбір ұрпағынан оқымыстылар шығып келеді. Бастапқыда Якоб
дін ғылымын Иоганн медицинаны қуады, алайда "Acta Eruditarum"
журналында Лейбниц мақалаларымен кейін екеуі де біржола математик
болуға бел байлады. Екеуі Лейбництің тұңғыш көрнекті шәкірттері
болады.
1687 Якоб Базель университетінің математика кафедрасын алады.
Мұнда ол 1705 жылы қайтыс болғанға дейін сабақ береді. Иогани 1697
ж. Голландианың Гронинг қаласына профессор болады, кейін ағасы
өлгеннен соң Базельге келіп оның орнын басады, бұл қызыметті ол
аттай қырық үш жыл атқарады. Якоб Лейбницпен 1687 жылдан бастап
хат жазысып тұрады. Ол Лейбницпен үнемі пікір алысып, кейде бір –
бірімен қатаң бәсекелестіккеде барады. Ағайынды екеуі де Лейбниц
еңбектеріндегі бар асылдың қадыр - қасиетін ерте түсініп, ол
қазынаны өз беттерінше аша түсуге ұмтылды. Олардың зерттеулерінде
қазіргі дифференциалдық және интегралдық есептеудің элементар
оқулықтарында бар көп нәрселерден басқа, бірсыпыра жай дифференциалдық
теңдеулерді интегралдау келтірілген. Якоб полярлық координаталарды
пайдаланады. Бұрын Гюйгенс және басқалар қарастырған тізбекті сызықтарды
– лемнискатаны (1694) және логарифмдік спиральды зерттейді.
1690 жылы Лейбниц бойымен дене тұрақты жылдамдықпен түсетін
қисық ретінде анықталған изохраниканы ашады, оның жартылай кубты
парабола болатынын дәлелдейді, Якоб сонымен қатар, изопериметрлік
фигураларды зерттеп вариациалық есептеу мәселелерін қолға алады.
Әр түрлі түрленулерде қайта жаңғырып отыратын қасиеті бар
логарифмдік спиральды (оның эвалютасы да логарифмдік спираль
болады) тапқанда Якоб бұл қисықты өлгенде құлпытасына "өзгеріп
барып, қайтадан осылай туамын" деп жазуды өсиет етіп қалдырған
екен.
Якоб Бернулли ықтималдық теориясы бойынша "Болжамдау
өнерін" (1713 жылы жарық көрген) жазғаны жоғарыды айтылған. Мұның
бірінші бөлімінде Гюйгенстің құмар ойындар трактаты түгелдей
келтіріледі, қалған тарауларында алмастырулар мен терулер
қарастырылады. Негізгісі – биномдық үлестірушілер туралы "Бернулли
теоремасы". Ол үлкен сандар теоремасының қарапайым түрі болып
табылады. Паскаль үшбұрышын қарастыру барысында ол "Бернулли
сандарын" тапқан.
Иоганн Бернуллидің еңбектері ағасының жұмыстарымен тығыз
байланысты. Сондықтан, олардың табыстарын бір – бірімен бөліп
қарау кейде оңай емес. Брахистохран туралы есепті шешкенде де
Иоганн, оған сол үшінде "вариациалдық есептеуді жасаушы" деп
айдар таққан. Бұл – тартылу өрісіндегі бастапқы нүктеден соңғы
нүктеге қозғалған материалдық нүктенің ең шапшаң түсу жолының
сызығы. Мұны 1697 жылдан бастап бірнеше жыл Лейбниц және
ағайынды Бернуллилер зерттеген. Осы тұста олар беттігі геодезиялық
қисықтың теңдеуін табады. Брахистрохрон есебінің шешуі циклойда
болып табылады. Бұл қисық таутахрон - өрісінде бойымен қозғалған
материалдық түктенің ең төменгі нүктесіне жету уақыты бастапқы
нүктеге тәуелді болмайтын қисық сызық.
Математиканы дамытуға ат салысқан Бернуллилер арасында
Иоганның Николай Даниил атты екі баласы да бар. Бұл екеуі
де ұлы Петр жаңа ғана құрылған Петербург академиясына жұмысқа
шақырылады. Николай мұнда көп болмаған. Осындағы жұрт оның
ұсынған ықтималдық теориясын Петербург есебі немесе Петербург
парадоксы деп атаған. Ол 1777 жылына дейін Базель университетінің
профессоры болды. Астрономия, физика, гидродинамика салаларына жемісті
еңбек еткен. Оның "Гидродинамика" атты еңбегі 1738 жылы жарық
көреді, бұл кітаптағы бір теорема оның есімімен аталады. Сол
жылы ол газдардың кинетикалық теориясының негізін қалайды.
Даламбер және Эйлермен бірлесіп шектердің тербелу теориясын
зерттейді. Даниил әкесінің жәй дифференцалдық теңдеулер теориясы
бойынша жұмыстарын жалғастырып ең бірінші болып дербес
туындылы теңдеулер саласына жол салады.
ру етіп жұмсайды.
Католиктік шіркеу 1664 жылы Декарттың еңбектерін тиым салынған
кітаптар тізіміне қосса, 1700 жылы шамасында оның теорияларын тіпті
керітартпа консервативтер арасында үлкен беделге ие болады. Ньютоншылдық
па жоқ декартшылдық (картезианство) па деген проблема ғылымдарға ғана
емес, салондар үшін де қызғылықты тақырыпқа айналды. Вольтердің
Ағылшындар туралы хаттары 1834 француз оқырмандары Ньютон идеяларымен
таныстыруға көп пайда келтірді; Вольтерге ниеттес Дю Шатле ханым тіпті
Ньютонның Негіздерін француз тіліне аударды. Бұл екі мектеп үшін ең
басты талас Жердің пішіні туралы болады.
Картезияндықтар қолдаған космогония бойынша Жер полюстарына қарай
созылыңқы, ал Ньютон теориясы бойынша – сығылыңқы деп қарастырылған.
Картезияндық астрономдар, әкелі-балалы Кассинилер (әкесі Жан Доминик
геометрияда Кассини овалын ашқан 1700 және 1720 ж.) аралықтарында
Францияда меридиан доғасының ұзындығын өлшей келіп картезиандық көзқарасты
қуаттаған. Көп математиктер араласында талас туған. Бойлық градусын өлшеу
мақсатында 1737 ж. Перуге, сонан кейін 1736-1737 жылы Лапландияға (мұны
Пьер Мопертюи басқарған) экспедициялар жіберіледі. Бұл екі экспидицияның
нәтижесінде Ньютон теориясы дәлелденіп салтанат құрады, бұл Мопертюидің де
салтанаты болады. Ол осыдан кейін Берлин академиясының президенті болып
сайланып, II Фридрих сарайында көп жыл даңқ құшағына бөленген. Бұл 1765
ж. Механикадағы ең кіші принцип туралы Швейцар математигі Самуил Кенигпен
таласқа түскенше созылады. Мопертюи өзіне дейінгі Декарт, кейінгі Эйнштейн
сияқты әлем заңдарын біріктірліктей бір жалпы принципті табуға тырысады.
Мопертюидің тұжырымы айқын емес, ол өзінің әсерін mus ( m – масса, v
– жылдамдық, s - ара қашықтық) шамасы ретінде анықтайды. Бұл мұны
құдайдың бар екенін дәлелдеумен ұштастырған бұл талас, әсіресе жолы
болмаған президентті мазақ жасаған Вольтердің Папаның дәрігері Анакия
доктордың Диатрибесі атты кітабы жарық көргеннен кейін онан сайын
ушыға түседі. Эйлердің қорғауы да, корольдің қолдауы да Мопертюидің
көңілін көтере алмайды, осыдан құса болған математик көп ұзамай
Базелде, Бернуллидің үйінде қайтыс болды. Эйлер ең кіші әсер
принципін қайта қолға алады, оның тұжырымы бойынша Smuds минимум
болуы қажет, бірақ ол Мепертюи сияқты физикаға ұғынбайды. Міне,
осылай бұл приципке берік іргетас қаланды. Оны Лагранж кейінірек
Гамильтон пайдаланады. Гамильтониананың қазіргі математикалық
физикадағы алатын орны мен маңызы, Эйлердің Мопертюи мен Кениг
арасындағы таласқа қосқан үлесінің қаншалықты мәнді болғанын
көрсетеді.
Мопертюимен Лапландияда бірге болған математиктер арасында
Алексис Клод Клеро да бар еді. Клеро он сегіз жасында кеңістік
қисықтарының аналитикалық және дифференциялдық геометрия саласы
бойынша бірінші тәжірибе саналатын Қос қисықтағы бар қисықтар туралы
ізденістерді жариялаған. Лапландиядан қайтып келген соң гидростатика
мен айналалу эллипсоидтар тартылысы жөнінде үлгілі туынды Жер
фигурасы теориясын ( 1743) жарыққа шығарады. Лаплас мұның тек кейбір
ұсақ – түйек жеке бөліктерін ғана жетілдіре алған. Бұл жұмыстың
басты нәтижелерінің бірі Мdx + Ndy дифференциялының толықтық шарты.
Бұл кітаптаң соң Эйлердің Ай қозғалысы теориясы мен үш дене жалпы
есебіне толықтырулары баяндалған. Ай теориясы дүниеге келеді.
Клеро мұнан басқа да қисық сызықты интегралдар мен дифференциалдық
теңдеулер теориясында да жаңалықтар ашқан, Клеро қарастырған
дифференциалдық теңдеулердің бір типі қазір оның есімімен аталып
жүр.
1750 жылдан кейін ескі режім, тәртіпке қарсы
интеллектуалдық оппозицияның бір орталығы әйгілі Энциклопедия
(1752 – 1772 ж. 28 томнан тұрады) болады. Оның редакторы Дени
Дидроның жетекшілігімен Энциклопедияда ағартушылық ғасырының философиясы
егжей – тегжейлі баяндалған. Энциклопедистердің басты математигі
ақсүйек әйелдерден некесіз туып, Париждегі әулие Жан ле Рон
шіркеуі маңынан табылған, тастанды бала Жан ле Рон Даламбер (1717 –
1783) болды. 1754 жылы ол француз академиясының міндетті хатшысы
болды. Осы арқылы Францияның ең ықпалды оқымыстысы дәрежесіне
көтеріледі. Қазір Даламбер принципі аталып жүрген қатты денелер
динамикасын статикаға келтіру әдісі жазылған оның Динамика туралы
трактаты 1743 жылы шығады. Ол қолданбалы оның ішінде гидродинамика
аэродинамика, үш дене есебі бар мәселелер бойынша зерттеулер
жүргізе береді. Ол 1747 жылы шек тербелісі теориясын жариялайды, ол
Даниил Бернуллимен қоса дербес туындылы теңдеулер теориясының
негізін салады. Даламбер мен Эйлер теңдеуі шешуін z = f ( x - kt
) + φ ( x – kt ) түрінде тапса, Бернулли бұл
теңдеуді тригонометриялық қатарлар жәрдемімен шешеді. Бұл шешімнің
сипаты жөнінде елеулі күмән туады. Даламбер шектің бастапқы формасы
тек жалғыз ғана аналитикалық өрнекпен берілуін мүмкін деп тапса,
Эйлер ол кез келген үздіксіз қисық бола алады деп санаған.
Бернулли, Эйлерге қайшы келіп, оның қатар түріндегі шешуін жалпы
түрде тұжырымдаған. Бұл мәселенің толық түсінігі 1824 жылы кез
келген функцияны тригонометриялық қатар арқылы кескіндеуге болатыны
туралы күдікті жоққа шығарған Фурье еңбегінде беріледі.
Даламберге математиканы негіздеуге қоса көп мәселелер
жөнінде еңбектер жазу қиын болмаған. Оның шек ұғымын енгізгені
жоғарыда айтылды. Алгебраның негізгі теоремасын кейде Даламбер
теоремасы деп атайды. Өйткені, ол оны дәлелдеуге тырысқан (1746);
ал ықтималдықтар теориясындағы Даламбер парадоксы, онша сәтті
болмаса да, оның бұл теориясының негіздері туралы ойластырғанын
көрсетеді.
Бұл дәуір бойында негізінен Ферма, Паскаль, Гюгенс
идеяларын өңдеп, толықтыру барысында, ықтималдықтар теориясы жедел
дамытылады. Я.Бернуллидің Болжалдау өнерінің ізін қуа басқа
кітаптар шығады. Олардың ішінде француз гугеноты Авраам де Муаврдың
Кездейсоқтар туралы ілімі (1716) бар. Муаврдың есімі бірінші рет
Эйлердің Кіріспесінде келтірілген, қазір (cosφ + isinφ)ⁿ = cosnx +
isinnφ пішіндегі тригонометриялық теоремамен байланысты көпке мәлім.
Муавр 1733 жылы нормаль үлестірімділік функциясын биномдық заңның
аппроксимациясы ретінде қорытып шығарады және Стирлинг формуласына
бара-бар формула ұсынады. Джеймс Стирлинг Ньютонның жолын қуушы
ағылшын математигі, ол өзінің қатарын 1730 жылы жариялаған.
Осы дәуірде ұйымдасқан көптеген сан алуан лотерейлер мен
қамсыздандыру компаниялары Эйлердің ықтималдық теориясына назарын
аударады. Бұл ықтималдықтар туралы ілімді жаңа облыстарға қолдануды
көздеген әрекеттер туғызады. Қызғылықты түрде жазылған 36 томнан
тұратын Табиғи тарихтың авторы Бюффон (1777ж.) геометриялық
ықтималдықтардың бірінші мысалын келтіреді.
Дәл осы кездерде ықтималдықтар теориясын адам пікір –
қорытындыларына қолдану әрекеті жасалады (мысалы, егер әрбір куәгердің
шындық айтуының ықтималдығын білдіретін санды көрсету мүмкін болса,
онда трибуналдың дұрыс үкім шығарудың мүмкіндігін есептеуге
тырысқан). Мұндай ағартушылық ғасыры филасофиясының лебі сезілетін
пікірлер ықтималдығы маркиз Кондерсенің еңбектерінен үлкен орын алған.
Мұндай ықтималдықтар кейіннен Лаплас, тіпті Пуассонда да болған.
Де Муавр, Стирлинг және Ланден – он сегізінші ғасырдағы ағылшын
математикасының мықты өкілдері. Бұл жерде құрлықтағы әріптестерімен
тең түсе алмайтын, басқа да кейбір ағылшындар туралы да айтуымыз
қажет. Ағылшын ғылымы Ньютонды құрметтеу, пір тұту ауыр салмағын
басынан кешірген. Әсіресе оның Лейбниц таңбалауларымен салыстырғанда
ыңғайсыз таңбалауы прогреске тежеу салды. Ағылшын математиктерінің
Ньютонның флюксия методынан босана алмауының мұнан басқа да терең
қоғамдық себептері бар еді. Франциямен үзбей сауда соғысын жүргізген
Ангияда тек қана жеңістермен ғана емес, құрылық философтарын таң
қалдырған ағылшынның саяси жүйесінен туған интеллектуалдық
артықшылық, тәкабарлық сезім қатты дамиды. Англия осы қияли
кемелдіктің құрбаны болады, он сегізінші ғасырдағы ағылшын
математикасы мен кейінгі александриялық дәуірдегі грек математикасы
арасында бұл жөнінде ұқсастық бар. Екі жағдайда да ыңғайсыз
таңбалаулар прогреске техникалық қиыншылық келтірген, ал сонда да
болса, математикаға қанағаттану себептері терең қоғамдық сипаттан
туындайды.
Ағылшын тілін пайдаланған жетекші математик бұл кезде
Ньютонның жолын қуушы және көз көрген Эрдинбург университетінің
профессоры Коллин Маклерон еді. Оның Флюксия әдісін зерттеулері мен
жалпылаулары, екінші және одан жоғары ретті сызықтар,
эллипсоидардың тартылуы жөніндегі еңбектері Клеро мен Эйлердің
зерттеулерімен қатар жүргізілді. Маклеронның кейбір теоремалары қазіргі
жазық қисықтар теоремасы мен проективтік геометрияға енді. Оның
Оргоникалық геометриясында (1720 ) қазір Крамер парадоксы аталып
жүрген мынадай ескертпені кездестіреміз: n - ретті қисық нүкте
арқылы әрқашанда анықтала бермейді, үшінші ретті қисықты бір мәнді
анықтау үшін тоғыз нүкте аз, ал он нүкте тым артық болуы мүмкін.
Осы жерде әр түрлі ретті жазық қисықтарды сызу үшін кинематикалық
әдістер келтіріледі. Ньютонды Берклиден қорғап алуға арналған
Маклеронның Флюксиялар туралы трактаты 1742 жылы ескі геометриялық
тілмен жазылғандықтан, түсіну қиынға соғады, бұл жағынан ол Эйлер
еңбектерінің ұғымына кереғар келеді. Маклерон әдетте Архимедтің
қатаңдығына ұмтылған. Кітапта айналу эллипсоидтары тартылуы туралы
Маклеронның зерттеулері және екі конфокальдық эллипсоид ось бойындағы
немесе экватордағы бөлшекті олардың көлемдеріне пропорционал
тартатыны туралы теорема бар. Бұл трактатта Маклерон атақты
Маклерон қатарын пайдаланады. Шынында да бұл қатар бұрын корольдік
қоғам хатшысы Брук Тейлор жазған Өсімшелер әдісінде (1715) жарық
көрген, ал одан да ұрын И. Бернулли ашқан, тіпті Лейбницке де
белгілі болған. Маклерон оны Тейлердан алғанын мойындайды. Тейлор
қатарын қазір әрқашан да Лагранж таңбалаулары бойынша келтіреді;
Тейлор бұл қатар x=0 болғанда анық келтірген, алайда
көптеген оқулықтарда ол Маклерон қатары аталып жүр. Тейлорда
қатардың жинақылығы туралы түсінік жоқ, ал Маклерон мұндай
зерттеулерді жүргізе бастаған. Тіпті шексіз қатарлардың жинақылығының
интегралдық белгісін игерген. Тейлор қатарының маңыздылығын Эйлер
оны өзінің Дифференциалдық есептеуінде қолданғаннан кейін барып
толық мойындалады. Лагранж оған қалдық мүше қосып, оны өзінің
функциялар теориясына негіз етеді. Тейлор өзінің қатарын кейбір
дифференциалдық теңдеулерді интегралдауға пайдаланған. Ол шектің
тербелістерін зерттеуді бастайды, мұы кейін Даламбер т.б.
жалғастырады.
Жозер Луи Лагранж (1736 – 1813ж.) Турин қаласында итальян –
француз семьясында туған. Он тоғыз жасында Туриндегі артиллериялық
мектептің профессоры болады. 1766 ж. Эйлер Петербургке кеткенде II
Фридрих Лагранжды Берлинге шақырады. Шақыру хатты Европаның асқан
ұлы геометрі асқан ұлы карольдің қасында болғаны ләзім деп
жазылған. Лагранж Берлинде Фридрих өлгенге дейін (1786) қызмет
жасап, онан кейін Парижге орын ауыстырады. Революция кезінде
өлшемдер мен салмақтар реформасына қатысады, кейіннен ағылшында
Нормальдық мектептің (1795) сонан кейін 1797 ж. Политехникалық
мектептің профессоры болады.
Вариациялық есептеу бойынша зерттеулер Лагранж қызметтерінің
алғашқы дәуіріне келеді. Эйлердің бұл мәселе туралы мемуары 1755
жылы жарық көреді. Лагранж Эйлер әдісі туралы ол таза талдауға
жарасымды келетін қарапайым емес деп сын – ескертпе жасаған. Осының
нәтижесінде Лагранж бүкіл творчествосына тән, қорланған тарихи
материалды аса тәртіпке келтіріп, өңдеп өз жаңалықтарын қоса
келтіру әдісімен баяндалған Лагранждың таза аналитикалық вариациялық
есептеуі пайда болады (1760 – 1761). Лагранж өзінің теориясын бірден
механика есептеріне қолданады, мұнда ол ең аз әсер принципінің
Эйлерлік тұжырымын толық пайдаланады. Аналитикалық механиканың (1788)
негізгі көп идеялары Лагранж өмірінің Туриндік кезеніңде табылған.
Осымен қатар ол, өз заманындағы негізгі проблемалардың бірі болған
Ай қозғалысы теориясын зерттеуге де ат салысады. Ол үш дене
есебінің алғашқы дербес шешімдерін табады. Лагранж теоремасы
бойынша, бірдей уақытта жүріп өтетін орбиталары ұқсас эллипстер
болатындай үш дененің бастапқы орнын табу мүмкін (1772). 1767ж
оның алгебралық теңдеудің заттық түбірін ажырату және оларды
үздіксіз бөлшектер жәрдемімен жуықтап табу әдістері баяндалған
Сандық теңдеулері шешу туралы мемуары шығады. Сонан кейін 1770 ж
төртінші дәрежеден жоғары емес теңдеуді шешуге мүмкіндік беретін
әдістер, төртінші дәрежеден жоғары дәрежелер үшін ешнәрсе
бермейтінінің себептері қарастырылған Теңдеулердің алгебралық шешу
туралы трактаты жарияланады. Бұл Лагранжды түбірлердің рационалдық
функцияларына және түбірлерді ауыстыруды олардың өзгеріс-сипаттарын
зерттеуге әкеледі.
Мұндай әдіс n4 болған жағдайда Руффини мен Абель еңбектері
үшін стимул болып қана қоймай, Галуаны группалар теориясына
әкелген. Лагранж сандар теориясына да ілгерілетеді, ал квадрат
қалындыларды қарастырады. Ішінде әрбір бүтін сан төрт немесе одан
кем сандардың квадраттарының қосындысы болатыны туралы теорема бар
бірсыпыра теоремалар дәлелдейді.
Өмірінің екінші кезеңін Лагранж үлкен еңбектеріне –
Аналитикалық механика, Аналитикалық функциялар теориясы және оның
жалғасы Функцияларды есептеу жөнінде дәрістерді жасауға арнайды.
Функциялар теориясының екі кітабы да анализге алгебраға сүйенген
сенімді іргетас қалауға әрекет болып табылады. Лагранж Ньютон
нұсқасын жасап, Даламбер тұжырымдаған түрдегі шектер теориясын
қабылдамайды. Ол өзінің шегіне жеткенде не болатынын өзі де
білмей дал болады.
Ньютонның шексіз аздар әдісіне риза болмаушылардың бірі,
француз революциясы кезінде жеңісті ұйымдастырушы Лазарь Карноның
сөзімен айтқанда: бұл методтың үлкен кемшілігі мөлшерлер (сандар)
мөлшерлер болудан қалған жағдайда қарастырылады; біз шекті болып
тұрған екі мөлшердің қатынасын жақсы елестетеміз, ал оның мөлшері
бір уақытта түк болмай қалған кезде, біздің ақылымыз ол қатынасты
анық та дәл елестетуден қалыс қалады. Лагранждың әдісі өзінің
алдындағылардан өзгеше болады. Ол қалдық мүшесімен бірге қорытылған
Тейлор қатарынан бастайды, біраз үстірттеу түрде кез келген f(x)
функциясы таза алгебралық процесс арқылы осындай қатарға жіктелуі
мүмкін екенін дәлелдейді. Сонан соң f '(x), f ''(v)... туындылады
f(x+h) –тің h дәрежелері бойынша Тейлор қатарына жіктегенде h, h²...
коэффициенттері ретінде анықталады (f '(x), f ''(x), ... таңбалануларын
Лагранж енгізген).
Анализді негіздеудің бұл алгебралық методы қанағаттанарлықсыз
және Лагранж қатарлардың жинақылығына жетерліктей көңіл бөлмегенмен,
функцияларды мұндай абстрактылы баяндау алға қарай жасалған елеулі
адым еді. Бұл жерде бірінші рет заттық айнымалы функциялар теориясы
және оның алгебра мен геометрияның әр түрлі есептеріне қолданылуы
көрініс береді.
Аналитикалық механиканы Лагранждың, бәлкім, ең бағалы
еңбегі деп айту артық емес. Оны әлі де тәптіштеп зерттей түсу
қажет Ньютонның Бастамаларының жүз жылдан кейін шыққан бұл
кітапта кемелденген талдаудың барлық күш – қуаты нүктелер мен қатты
денелердің механикасына қолданылады. Эйлер, Даламбер және он
сегізінші ғасырдың басқа да математиктері жетістіктері мұнда бұрынғы
тұрғыдан өңделіп, зерттеліп, одан ары дамытылады. Лагранждың
вариациялық есептеуін толық қолдану арқасында статика мен
динамиканың әр түрлі принциптерін біріктіру мүмкін болды; мұнда
статикада – виртуалдық жылдамдықтар принципі, ал динамикада – Даламбер
принципі қолданылады. Бұл табиғи түрде жалпыланған координаттар мен
қозғалыстардың Лагранж формасындағы теңдеулеріне әкелді. Енді Ньютонның
геометриялық қажеті болмай, ол толық алынып тасталды. Лагранждың
кітабы таза талдаудың салтанат құруы болды. Оның авторы алғы
сөзінде Бұл еңбекте ешқандай сызбалар жоқ, мұнда тек алгебралық
амалдар бар деп ашық көрсетеді. Бұл Лагранждың ең бірінші таза
аналитик екенін сипаттайды.
Біз енді он сегізінші ғасырдың соңғы – жетекші математигі
Пьер Симон Лапласқа (1736 – 1813) көшеміз. Нормандиядағы қарапайым
жер иеленушінің баласы, ол Бомон және Кан қалаларында оқып, білім
алады. Даламбердің көмегімен Париждегі әскери мектептің профессоры
болады. Ол бұдан басқа да оқытушылық және әкімшілік қызметтер
атқарады. Революция кезінде Нормальдық және Политехникалық мектептерді
ұйымдастыруға қатысады. Наполеон оған көп құрмет көрсеткен, оны
XVIII Людовик те жоғары бағалаған. Монж пен Карноға қарама-қарсы
Лаплас өзінің саяси көзқарастарын тез өзгертіп отырған, онда
көрсеқызарлық, мағынасыз мансапқорлықтың да кейбір көріністері бой
көрсеткен. Мұндай тұрақсыздық, бейімделгіштік оған франциядағы барлық
саяси құрылыстар кезінде таза математикалық жұмыстарын жүргізе
беруге мүмкіндік жасаған.
Өзінің ғана зерттеулер қорытындысын жинақтап қана қоймай,
сәйкес салалардағы өзіне дейінгі барлық жұмыстардың нәтижесі
келтірілген Лапластың екі үлкен еңбегі бар. Олар: Ықтималдықтардың
аналитикалық теориясы (1812) және Аспан механикасы, (5 том, 1799 –
1825). Бұл екі монументтальдық туындыға Ықтималдықтарға қатысты
философиялық тәжірибе (1814) және Әлем жүйесін баяндау (1796) деп
аталатын көпшілікке түсіндірме еңбекті қоса жариялайды. Әлем
жүйесінде, 1755 жылы Кант ұсынған күн жүйесінің тұмандықтардан пайда
болуы жөніндегі гепотезены дамытады. Аспан механикасы Жер
фигурасы теориясы, Ай теориясы күн жүйесінің орнықтылығы туралы
негізгі проблеманы қамтыған үш дене есебі туралы Ньютон, Клеро,
Даламбер, Эйлер, Лагранж және Лаплас еңбектерінің аяқталуы, қортындысы
болып табылады: Лаплас теңдеуі термині бізге Аспан механикасының
бір бөлігі потенциалдар теориясы болғанын аңғартады.Бұл теңдеудің өзін 1752
жылы гидродинамиканың кейбір негізгі теңдеулерін қорыту кезінде Эйлер
тапқан. Бұл бес томдық үлкен еңбекке қатысты бірсыпыра анекдотар
таралған.
Наполеон Лапласты кітабында құдай туралы айтпапсың деп
кіналағанда, ол Тақсыр, маған ондай гипотезаның қажеті болмады -
деп жауап берген көрінеді. Гамилотонның математикалық мансабы
Лапластың Аспан механикасынан тапқан қатесінен басталған. Грин
Лапласты оқу барысында электрдің математикалық теориясы туралы
идеяға келген.
Ықтималдықтарға қатысты философиялық тәжірибе – жеңіл
жазылған ықтималдықтар теориясына кіріспе іспеттес. Мұнда тең
ықтималды оқиғалар көмегімен ықтималдықтың Лапластық теріс
анықтамасы келтірілген.
Ықтималдықтардың аналитикалық теориясы трактатының мазмұнының
байлыы сонша, ықтималдықтар теориясы бойынша ашылған көп жаңалықтарды
Лапластан кездестіруге болады. Бұл көлемді еңбекте құмар ойындары,
геометриялық ықтималдықтар, Бернулли теоремасы және оның қалыпты
үлестіру интегралмен байланысы, Лежандр ойлап тапқан ең кіші
квадраттар теориясы егжей – тегжейлі қарастырылған. Лаплас ағылшын
Томас Баестің ықтималдықтар теориясы (1763 – 1764) нобайын қайта
тұжырымдап, оны ұмыт болудан сақтап қалады.
Бір қызығы, он сегізінші ғасырдың аяғына қарай бірсыпыра
жетекші математиктер математикалық зерттеу салалары түгесіліп барады
дегенге саятын хауіп айта бастайды. Олардың пайымдауынша, Эйлер, Лагранж,
Даламбер және басқалардың еңбектері мен ыждаһатты ізденістері нәтижесінде
ең маңызды деген теоремалар ашылып болды. Олар тиісті түрде ретке
келтіріліп классикалық трактаттарда баяндалған немесе жақын уақытта
баяндалады, келесі ұрпақтардың саны шақтаулы математиктеріне маңызы онша
емес есептерді ғана шешу қалады. Сізге жоғары геометрия (яғни математика)
бір жағынан төмендеп келе жатқандай көрінбей ме? – деп жазады Ланграж. 1772
ж. Даламберге - Оны Сіз бен Эйлер екеуіңіз ғана ұстап тұрсыз.
Ланграж біраз уақыт математикамен айналысуды қояды. Даламбер
үміттенерліктей жауап айтпаған. Мұндай пессимистік сезімнің төркіні –
математиканың прогресін механика мен астрономияның прогресімен бірдей
санаушылықта жатыр еді. Шынында ежелгі Вавилоннан Эйлер мен Лаплас заманына
дейін астрономия тамаша математикалық жаңалықтардың жетекшісі және
шабыттандырушы күші болып келген, енді бұл прогресс өзінің ең шарықтау
шегіне жетеді. Алайда, француз революциясы мен жаратылыстанудың гүлденуі
ашқан жаңа перспективалармен шабыттанған жаңа ұрпақ бұл пессимизімнің
негізсіздігін көрсетуі қажет болды. Гаусс, Галуа, Н.И.Лобачевский бас
болған он тоғызыншы ғасыр математиктері мұны толық дәлелдеп шықты.
Он тоғызыншы ғасыр математикасы туралы сөз бастамас бұрын оның өткен
дәуірдегі математикаға енгізген кейбір сапалық өзгешіліктерін айта кеткен
жөн. Мұнда жаңа математикалық бағыттар пайда болады. Дәл ғылымдар түпкі
мақсаты механика мен астрономия болып келген бұрынғы дәстүрден біртіндеп
арылып, жалпы алғанда, экономика немесе әскери істер сияқты тікелей
қолданыс талабынан іргесін ажыратады. Енді ғылыммен ғылымның өзі үшін
айналысатын мамандар қалыптаса бастайды. Мамандықтардың көбейіп өсуі
математика және қолданбалы математика тарауларының бөлінуімен қатар жүреді.
Енді математиктер тек академиялар, патша сарайы, бекзадалар маңында
ғана қалып қоймайды, университеттерде дәріс беріп, ғылым мен оқытушылық
жұмысты қатар алып жүруге мән береді. Мәселен, Бернулли, Ланграж және
Лапластар сияқты дәріс беретін ұлы математиктер ұстаздық жауапкершілігімен
қатар әрі тәрбиеші, әрі жетекші қызметті атқарады. Латын тілінің орнына
ұлттық тілдер (неміс,француз, ағылшын, орыс т.б.) енеді. Оқшау салалар
бойынша жұмыспен шұғылданатын математиктер үшін Лейбниц, Эйлер, Даламбер
сияқты әмбебаптар сирек кездесетін құбылысқа айналды. Мәселен, Коши –
аналитик, Кели – алгебрашы, Штейнер – геометр, Кантор – жиын теориясын
негіздеуші, т.б. Сондай-ақ бірнеше мамандықты еркін меңгерген Гаусс, Риман,
Клейн, Пуанкаре сияқты дарындылар еңбектері он тоғызыншы ғасыр
матеатиктеріне аса зор ықпал жасады.
ІІ.2.XIX ғасырдың көрнекті математиктері
Біз XIX ғасырдың бірінші жартысында жаңа дәуірді бастаушы көрнекті
Гаусс, Коши, Галуа, Абель, Бояи, Лобачевский сияқты математиктерге тоқталып
өтпекшіміз.
Он сегізінші және он тоғызыншы ғасырлар математикасына ортақ ең ірі
тұлға математика патшасы атанған Карл Фридрих Гаусс болды. Ол 1777ж.
немістің Брауншвейг қаласында қарапайым қолөнершінің семиясында туған. Жас
баланың айрықша зеректігін кездейсоқ байқай қалған дуанбасы оны оқытып,
тәрбиелеуді өз қамқорлығына алады. 1795 – 1798 жылдары Гаусс Геттингенде
оқиды да, 1799 ж. Хмельмштедте бірден докторлық дәреже алады. 1807 – 1855
жылдар арасында ол осы қаладағы астрономиялық обсерваторияның директоры
және университет профессоры болып жұмыс атқарады.
Гаусстың күнделігінен ол он жеті жасқа толар-толмаста-ақ математикада
таңқаларлық жаңалықтар ашқанын көреміз. Мысалы, 1795ж. Эйлердің тәуелсіз
сандар теориясындағы квадраттық арақатыс заңын табады. Оның жаңалықтары
1799 жылғы докторлық диссертациясына және 1801 жылы жарық көрген көлемді
Арифметикалық зерттеулерінде баяндалған диссертацияда алгебраның негізгі
теоремасының, яғни нақты коэффицентті әрбір алгебралық теңдеудің кем
дегенде түбірі бар болатыны, яғни теңдеудің дәреже көрсеткішінде қанша
бірлік болса, сонша түбірі болатыны туралы теореманы келтірген. Гаусс 1816
жылғы осы теоремасының екінші дәлелінде комплекстік интегралдарды
пайдаланады, мұның өзі оның ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz