Математикалық ұғым

Пән: Педагогика
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 10 бет
Таңдаулыға:

Кiрiспе

Ұғым дегеніміз не?

Ұғым- материяның жоғары жемісі болып табылатын мидың жоғарғы жемісі екендігі белгілі.

Ұғымды сипаттаған кезде оның жоғары ұйымдасқан материяның нәтижесі екендігін және материядан тұратын әлемді бейнелейтін, сондай-ақ адамға тән арнайы іс-әрекетті білдіруі себепті ұғымның адам санасында қалыптасуы, оның тікелей сөз, жазу және сан арқылы өрнектелуінен бөлінбейтіндігін басшылыққа алады.

«Математикалық ұғым дегеніміз не »

«Таза математиканың обьектісі шын дүниенің кеңістік формалары мен сандық қатынастары, демескерусіз қалдырып тек қана ортақ белгілерді бөліпкөрсету негізінде жасалады. Мысалы «үшбұрыш АВС», «үшбұрыш», «көпбұрыш». «Көпбұрыш» ұғымының ерекшелендірілген ортақ белгісі барлық көпбұрыштарға тән. Ғылыми танымда абстракциялық дерексіз делінетін осындай ұғымдар ерекше маңызды. Олардың көмегімен обьектілерді классификациялау және өзара салыстыру, оларды бір-бірінен ажырату немесе олардың тепе-теңдігін тағайындау сияқты мәселелерді шешу мүмкін болады.

Жалпылаудың басқа тәсілі нақты деп айтатын ұғымдарды асауға мүмкіндік береді. Мұның негізгі ерекшелігі бұл жағдайда жалпылау кезінде ортақ қасиеттерін ерекшелендіру ғана емес, сонымен бірге ұғымның дербес әне еке белгілері де сакталады.

Ұғымның мазмұны мен көлемі.

Математиканы оқыту мақсаттарының бірі-оқушыларға саналы, жүйелі және баянды білім беру. Ал білім нәрселері мен құбылыстардың елеулі белгілері мен олардың байланыстары туралы ғылым тағайындайтын

ұғымдардан құралады. Ф. Энгельстің анықтауынша ұғым мен қимылдың өзі-ойлау. Ұғым арылы адам ойлайды. Ой болмысты бейнелейді. Ойлау арқылы адам болмысты танып біледі.

Болмысты танып -білудің бастап ы ке еңі нәрселер мен ұбылыстарды түсіну. Түсінуден нәрселерді тұтас бейнелейтін кабылдау пайда болады. Кабылдаудың негі інде адам есінде бейне түрінде сакталатын елестер туады.
Мәселен, бі класта үстел үстінде аткан кубтың моделін кр сек, бідің санамы дағы бұл процесс кабылдау болады. Кластан шыққаннан кейін бір кубты көрмеймі, бірак біздің санамызда куб туралы елес пайда болады.

Үстел үстінде лшемдері әр түрлі алуан түсті, түрліше материалдардан асалған кубтар да болуы мүмкін. Еке кубтардың тол белгілеріне нар салмай, тек барлык кубтарға ортак белгілеріне коңіл аударуымы мүмкін. Мұнда такта, сары да емес, металл да, пластмасса да емес, жалпы куб туралы ұғым туады. Бұл ұғымда еке кубтардың тол сапасы емес, барлык кубтарға ортак, осы тектес барлык нәрселерге тән елеулілері ғана сұрыпталады.

Ұғым акикат нәрсенің алпы әне елеулі белгілірін ғана бейнелейді. Егер ол болмысты шын бейнелейтін болса, онда ол әрдайым дұрыс болады.

Ұғымның елеулі белгілері деп біртекті нәрселерді баска нәрселерден айыруға әркайсысы каетті әне бәрін бірге алғанда еткілікті белгілердің иынын айтады. Елеулі белгілер нәрсені сипаттайды әне оны танып-білуге мүмкіндік береді.

Мәселен, Р ұғымының елеулі белгілері р1, р2, . . . , р болсын.

Мұның мәні

егер бір еке нәрседе корсетілген белгілердің бірі болмаса, онда ол Р ұғымына енбейді
егер бір еке нәрседе осы белгілердің бәрі бірдей бар болса, онда ол Р ұғымына енеді.

Мысалы, параллелограмның елеулі белгілері

а) ол тртбұрыш ә) карама-карсы кабырғалары параллель б) карама-карсы кабырғалары тең в) диагональдары киылысу нүктесінде как болінеді г) карама-карсы бұрыштары тең.

Алайда, «Параллелограм» ұғымын аныктау үшін корсетілген белгілердің бәрін бірдей айту міндетті емес, «а» әне «ә» пунктердегі немесе «а» әне «в» пунктердегі белгілерді айту еткілікті. Сөйтіп, «Параллелограмды » баса фигуралардан айыру үшін жоғарыдағы елеулі белгілердің бәрін түгендемей-ақ олардың ке келген елеулілерін көрсетумен шектелуге болады екен.

Ұғымның анықтамасына кіретін белгілері өзара тәуелсіз болуы тиіс.

Әрбір ұғымның мазмұны мен көлемі болады.

Ұғымның мазмұны деп нәрселердің ұғым қамтитын елеулі белгілерінің жиынтығын айтады.

Егер бір ұғымның көлемі баска ұғым көлемінің бөлігі болса, онда бірінші ұғым, ал екіншісі тектік ұғым деп аталады.

Әрине, «тек» әне «түр» атаулары салыстырмалы сипатта ғана болады. Мәселен, «параллелограмм» ұғымы «ромб» ұғымына қарағанда түрлік ұғым болып табылады. Оны мына 9-суреттен көруге болады.

Ұғымдардың анықтамасын құрғанда тектен түрге көшу амалы ұғымды шектеу, ал түрден текке кошу амалы ұғымды жалпылау деп аталады.

Мәселен, «бөлшексан», «бүтінсан», «параллелограмм», «тік төртбұрыш», «көп ақ», «пирамида» ұғымдарды шектеудің; ал «рационал сан», «нақты сан», «куб», «тік бұрышты параллелепипед», «теңдеу», «теңдік» ұғымды алпылаудың мысалдары болып табылады.

Ұғымды шектегенде, оның мазмұны кеңейіп, колемі тарылады. Ал ұғымды алпылағанда оның мазмұны тарылып, көлемі ұлғаяды. Оны мына суреттен көруге болады

Мәселен, « накты сан» ұғымын бірте- бірте шектесек : нақты сан- рационал сан -бүтiн сан- натурал сан - жай сан 5саны тiзбегiн табамыз.

Ұғымдардың мазмұндарының әр алуандығына қарамастан, олардың көлемдерiнiң арасындағы қатынастар көп емес. Егер ұғымдардың мазмұндарында ортақ белгiлер бар болса, ондай ұғымдар салыстырмалы ұғымдар деп аталады. Салыстырмалы ұғымдар үйлесiмдi және үйлесiмсiзболып екi салаға жiктеледi.

Көлемдерi толық беттесетiн ұғымдар бiр- бiрiмен тепе-

тең қатыста болады. Ал ұғымдар өздерi мәндес деп аталады. Мысалы, тең қабырғалы үшбұрыш және тең бұрышты үшбұрыш ұғымдары мәндес. Алайда ескеретiн бiр жай мәндес ұғымдардың көлемдерi бiрдей болғанымен, мазмұндары әр түрлi болады.

Көлемдерi iшiнара беттесетiн ұғымдар iшiнара беттесу қатынасындағы ұғымдар деп аталады.

Мысалы, тiк төртбұрыш, ромб бүтiн сандар, терiс сандар. Егер бiр ұғымның көлемi екiншi ұғымның көлемiне енсе, онда ол екi ұғым қамту қатынасындағы ұғымдар деп аталады. Мәселен, жай сандар- натурал сан, санның квадраты- санның дәрежесi, рационал сан- элементар функция қамту қатынасындағы ұғымдар. Егер ұғымдардың ортақ белгiлерi болмаса, олар салыстырылмайтын ұғымдар деп аталады. Мәселен, үшбұрыш пен процент салыстырылмайтын ұғымдар Сонымен бiрге, ұғымдардың көлемдерi мүлдем беттеспесi, олар үйлесiмсiз ұғымдар деп аталады. Үйлесiмсiз ұғымдар қарама- қарсы, қайшылыұты және бағыныңқы ұғымдарға жiктеледi. Мысалы, тең қабырғалы үшбұрыш пен тең бүйiрлi емес үшбұрыш ұғымдары - қарама- қарсы ұғымдар, тең бүiрлi емес үшбұрыш үшбұрыш ұғымдары- қайшылықты ұғымдар, ал трансцендент теңдеу ұғымына қарағандалогарифмдiк және тригонометриялық теңдеу ұғымдары бғыныңқы ұғымдар болып табылады.

Ұғым

Салыстырмалы Салыстырылмайтын

Үйлесiмдi Үйлесiмсiз

Тепе-тең Айқасатын Қайшылықты Қарама- қарысы

Қамту қатынасындағы Бағыныңқы

Ұғымның анықтамасы.

Ұғымның анықтамасы деп- қарастырылытын ұғымның мазмұнын ашуға көмектесетiн логикалық амалды айтады. Ұғымның анықтамасынберу деп сол ұғымда бейнелейтiн нәрселердiң елеулi белгiлерiн көрсетудi түсiнедi. Алайда нәрсенiң елеулi белгiлерiн көрсету оңай емес, дегенмен бұрынғы оқыған ұғымдарды пайдаланып бұл мiндеттi де шешуге болады. Ұғымдардың анықтамасын берудiң неғұрлым тиiмдi тәсiлдерiнiң бiрi- түрлiк ерекшелiктерi мен ең жақын тегi. Бұл тәсiлде нәрсенiң ерекшелiктерi мен анықталатын ұғым түр есебiнде енетiн тегi көрсетiледi. Егер анықталатын ұғымның мазмұны белгiлi болса, онда оның анықтамасының дұрыстығы, ия бұрыстығы жөнiнде сөз қозғауға болады. Себебi, оқушылар ұғымының тегiн дұрыс көрсете алмай, қатеге ұрынады, тiптi кейде бiр-бiрiне тәуелдi қасиеттердi де анықтамаға қосып жiбередi. Мысалы, олар параллеограмды қарама- қарысы қабырғалары параллель және өзара тең төртбұрыш деп түсiнелi. Кейбiр жағдайларда анықталатын ұғымның тектi ерекшелiгi тектiк ұғымға да, түрлiк ұғымға да жатқызылмайды. Кейбiр оқушылар берген анықтамаларда тiптi тектiк ұғымдар болмайды. Бұған “Тiк бұрыш деп қабырғалары перпендикуляр бұрышты атайды” деген анықтама мысал болады.

1-ереже. Анықталатын ұғым мен анықтаушы ұғымның көлемдерi тең, яғни олар өлшемдес болуы тиiс. Бұл ережеде өлшемдестiк талабының сақталғанынтексеру үшiн анықталатын ұғым анықтаушы ұғымының белгiлерiн қанағаттандыратынына, иә көз жеткiзу қажет. Бұл үшiн анықталатын ұғым мен анықталушы ұғымның орындарын ауыстырып “кез-

келген” сөзiн жазу жеткiлiктi. Мысалы, “Паралель түзулер деп қиылыспайтын түзулердi айтады” деген анықтаманы алалық.

2-ереже. Анықтама “Кесiрлi дөңгелектi” қамтымауы тиiс. Бұл анықтамадағы анықтаушы ұғым анықталатын ұғымның көмегiмен анықталмауы тиiс деген сөз. Мәселен мына анықтамалар “Кесiрлi дөгелектi” қамтып, қатеге жол бередi: “Қосу деп қосындыны табу амалын айтады” немесе “Қосынды дегенiмiз қосудың нәтижесi”. Бұл жағдайда анықтаушы ұғым- қосынды ұғымын анықталатын ұғым- қосу ұғымына байланыссыз анықтауға болмайды. Кейбiр анықтамаларды анықтаушы ұғым мен анықталатын ұғым мазмұны жағынан пара-пар болып қатеге ұшыратуы мүмкiн. Мұндай анықтамалар тавтология деп аталады. Мысалы, “Тiк бұрыш дегенiмiз 90 С болатын бұрыш” немесе “Тiк бұтыш дегенiмiз қабырғалары перпендикуляр бұрыш”анықтамаларында анықталатын ұғымдардың мәнi ашылмайды және бұл ұғым жөнiндегi белгiлi жәйттер анықтаушы ұғымда да қайталанылады.

3-ереже. Анықтама мүмкiндiгiнше терiс болмауы тиiс. Бұл ереженiң мәнi- ұғымның түрлiк ерекшелiктерi терiс ұғым ретiнде еөрiнетiн анықтамалардан аулақ болған жөн деген сөз. Мәселен, “ромб-үшбұрыш емес”, “эллипс- шеңбер емес” деген анықтамаларды алайық. Бұл анықталатын ұғымдар жөнiнде анық түсiнiк бермейдi және мұнда берiлген ұғымға тән белгiлер көрсетiлмеген. Дегенмен, кейбiр жекеленген ұғымдардың анықтамаларын тектiк және түрлiк ерекшелiктерi бойынша беру оңай емес. Бұл жағдайда геназистiк деп аталатын анықтамаларды пайдаланылады.

Анықталатын ұғымның пайда болу тегiн көрсететiн анықтамалардың түрiн геназистiк анықтамалар деп

аталады. Анықталатын ұғымның тегiн анықтау тәсiлi тек сол ұғымға ғана тән және басқа ұғымдарға қатысы жоқ.

Ұғымдарды бөлу және классификациялау

Ұғымдарды бөлу ұғымының көлемiн ашатын логикалық әрекет ретiнде қарастырылады. Ұғымдарды бөлу дегенiмiз бөлiнетiн ұғымға бағыныңқы барлық түрлiк ұғымдарды көрсету деген сөз. Мәселен, арифметикалық бөлшек ұғымын “дұрыс” бөлшек және “бұрыс” бөлшек ұғымдарына бөлемiз. Үшбұрыш ұғымына “тiк бұрышты”, “доғал бұрышты” және “сүйiр бұрышты”үшбұрыш ұғымдарына бөлiнедi. Көлемi бөлiнетiн ұғым бөлiнгiш ұғым деп аталады. Бөлу нәтижесiнде алынатын түрлiк ұғымдар бөлу мүшелерi деп аталады. Тектiк ұғымды түрлiк ұғымға бөлу белгiсi бөлу негiзi деп аталады. Мәселен, үшбұрыш мысалдарында бөлiнетiн ұғым- үшбұрыш, бөлудiң мүшелерi- тiк бұрышты, доғал бұрышты бөлу үшбұрыш және сүйiр бұрыш, бөлудiң негiзгi- үшбұрыштың ең үлкен шамасы. Басқа пәндер сияқты, математика пәнi өзi зерттейтiн ұғымдарды белгiлi бiр жүйеге келтiрiп, өзiне тән талаптарға сәйкес ұғымдарды бөлшектейдi. Ол үшiн:

А. бөлудiң негiзi бiрыңғай болуы керек. Бұл шартты сақтамау нәтижесiнде оқушылар жиi қатеге ұрынады. Мысалы, кейбiр оқушылар үшбұрыш ұғымын тең бүйiрлi, сүйр бұрыш және тiк бұрышты үшбұрышқа бөледi

Ә. бөлу өлшемдес болуы тиiс. Мұның мәнi- бөлiнетiн ұғымның көлемi бөлу мүшелерi көлемдерiнiң қосындысына тең болуы керек.

Б. Бөлу мүшелерiнiң әрқайсысы басқаларының қоспауы тиiс, яғни олардың бiрде бiреуi басқа ұғымның көлемiне кiрмеуi тиiс.