Сан тізбегі

Жоспар
Кіріспе

1. Жинақты және жинақсыз тізбектер.
2. Тізбектің шегі және оның қасиеттері.
3. Коши критериі.
4. Монотондық тізбектердің шектері.
5. Тізбектің жоғары және төменгі шектері.
6. Больцано.Вейерштрасс теоремасы.
7. Шексіз аз және шексіз үлкен тізбектер. е саны

Осы сандар жиынын натурал сандар жиынмен сәйкестіріп, әрбір натурал санға бір санды сәйкес қойып реттесек, онда біздің жиын реттеледі, яғни 1 –ші орында 1 ,2-ші орында 1/2 , 3-ші орында 1/3 деп осылай реттелсе, онда оны реттелген жиын дейді. Натурал сандар мен нөмерленіп реттелген сандар жиынын сан тізбегі дейді. Жиындағы сандар саны ақырлы болса , онда (жиынды) тізбекті ақырлы , ал саны ақырсыз болса, онда тізбекті ақырсыз дейді. Жалпы жағдайда тізбек былай кіші әріптермен белгіленіп беріледі.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

Сан тізбегі. Жинақты және жинақсыз тізбектер. Тізбектің шегі және оның
қасиеттері. Коши критериі. Монотондық тізбектердің шектері. Тізбектің
жоғары және төменгі шектері. Больцано-Вейерштрасс теоремасы. Шексіз аз
және шексіз үлкен тізбектер. е саны

Сан тізбегінің ұғымы. Шексіз сандар жиынын қарастырайық.

Осы сандар жиынын натурал сандар жиынмен сәйкестіріп, әрбір натурал
санға бір санды сәйкес қойып реттесек, онда біздің жиын реттеледі,
яғни 1 –ші орында 1 ,2-ші орында 12 , 3-ші орында 13 деп осылай
реттелсе, онда оны реттелген жиын дейді. Натурал сандар мен
нөмерленіп реттелген сандар жиынын сан тізбегі дейді. Жиындағы
сандар саны ақырлы болса , онда (жиынды) тізбекті ақырлы , ал саны
ақырсыз болса, онда тізбекті ақырсыз дейді. Жалпы жағдайда тізбек
былай кіші әріптермен белгіленіп беріледі.
(2)
Тізбектегі әрбір сан тізбектің мүшесі делінеді. – 1-ші мүше,
– 2-ші мүше ... .. - n –ші мүше.
Мысал. жалпы мүшесі формуламен берілетін сан тізбегін
қарастырайық. Бұл тізбек 0 және 1 сандармен шектелетінін дәлелдеу
қиынға соқпайды, және ол бірсарынды өспелі. Тізбектің нөмері өскен
сайын ол 1 санына жақындай береді. Сонда мына айырманы
қарастырайық. n - өсуіне бұл айырма кішірейе береді. Мысалы, n=11
болса айырма 0,1 – ден кіші, ал n=101 тең болса, онда 0,01
кіші, осылай кеми береді. Сонда біз бір кез келген оң кіші ε
санын алып, ол үшін N(ε) нөмері табылып, барлық үлкен
болғанда теңсіздігі орындалады, яғни {Xn}тізбегінің барлық
мүшелері (1-ε, 1+ε) аралығында жатады. Бұл деген 1 саны {Xn}
тізбегінің шегі дейді, және былай белгіленеді:

Тізбектердің берілу тәсілдері.
Тізбекті берілді дейді егер оның мүшелері белгілі болса. Сонда
тізбектерді 1) аналитикалық, 2) реккуренттік, 3) тізім
тәсілдерімен беруге болады.
1) Аналитикалық тәсіл. Бұл жағдайда тізбектің n – ші мүшесінің
формуласы беріледі.
Мысалы: осыдан ; sin0, sin4, sin6, ..., sin24... шығады.
2)Реккуренттік тәсіл. Тізбек мүшелері өзара реккуренттік байланыспен
беріледі.
Мысалы: , сонда
1, 4, 7, ... , шығады.
Тізбектің жинақтылығының қажетті шарты.
Тізбек {Xn} – жинақты болып, саны шегі болса, яғни .
Онда шектің анықтамасынан, кез – келген оң кіші ε саны үшін
теңсіздігі орындалады. Бұл дегеніміз десек теңсіздігі
орындалады, олай болса {Xn} тізбегі шенелген тізбек болады.
Тізбек жинақты болу үшін, оның шенелген болуы қажетті.

Тізбек шектері туралы теоремалар.
1) Тізбек екі әртүрлі шекке жинақтала алмайды. (шектің жалғыздығы
туралы теорема)
2) Мүшелер шамасы өзара тең болатын тізбектің шегі, сол шамаға
тең.
3) Егер {Xn} тізбегі бір – санына жинақталса және
болса , онда оның барлық мүшелерінің шамасы p – дан үлкен (q –
ден кіші) болады.
4) Егер {Xn} тізбектің шегі бар болса , онда ол шектелген болады.

5) Егер {Xn} және тізбектерінің шегі бар болса, онда олардың
қосындысы мен айырмасының да шегі бар болады.

6) Егер {Xn} және {Yn} тізбектерінің шегі бар болса , онда
олардың көбейтіндісініңде шегі бар болады.

7) Егер {Xn} және {Yn} тізбектерінің шегі бар және ≠0 болса,
онда олардың

қатынастарының да шегі бар болады.
Тізбектің шегі ұғымының геометриялық мағынасы:
Бұл мақсатта сандар осін алып, айнымалы хn -нің мәндерін және а — ε
мен а + ε сандарын нүктелермен кескінделік.

n-нің N-нен үлкен барлық мәндері үшін (3) теңсіздіктер орындалатын
болғандықтан х нүктесінен бастап барлық хn нүктелері (а - ε,
а + ε) интервалының (бұл интервалдың ұзындығы 2ε, центрі а
нүктесі) бойында болады. Бұл интервалдың сыртында айнымалы хn-нің
санаулы мүшелері ғана қалады.
Егер а саны айнымалы хn-нің шегі болса, өзгерту процесінде
айнымалы өзінің шегі а-ға мейлінше жақындайтыны (2) теңсіздіктен
көрінеді. Айнымалы хn-нің а санына жақындауының үш түрі болуы
мүмкін:
1. Айнымалы ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.