Көлденең тербелістер

Пән: Физика
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

2. Мембрананың көлденең тербелісі.

3. Шекаралық және бастапқы шарттар.

4. Жалпы есептер құрылымы.

5. Бірғана (жалғыз) шешім теоремасы.

1. . Ішектің жәй көлденең тербелісі. Ұзындығы l ішектің t моментіндегі жағдайы ығысу векторының х нүктесінің t моментіндегі орнымен анықталады. Ішек бір жазықтықта жатады десек, тербеліс үдерісі функциясымен анықталады. Ішекті икемді, серпінді деп қарастырамыз. Онда кернеулер дәл моменттегі кескінге жанама бағытында әсер етеді.

Сонымен T(x) =T ішекті керу күш Ньютонның екінші заңы бойынша бөлігіндегі қозғалыс шамасы , уақыт аралығындағы өзгерісі әсер етуші күштерге тең; яғни ) (1) . Теңдеу (1) ішектің көлденең тербелісінің интегралдық түрі. U(x, t) c дей отырып, интегралдың орта мәні туралы теореманы екі рет, ақырлы өсімшелер теоремасын бірге қолдансақ, ішек тербелісінің дифференциалдық теңдеуін аламыз (2) ішектің тығыздығы болғанда (3), (4) Сыртқы әсер күші жоқ болса немесе ( ) теңдеуі шығады. х нүктесінде l (t) шоғырланған күш әсерінде теңдеу (1) мына түрге енеді . Бұдан келесі орындалуы тиісті түйіндестік шарттарын аламыз: (5)

2. Мембрананың көлденең тербелісі Иілгіш және ығыстыруға кедергі жасамайтын жазық қолбырды, мембрана деп атайды. C-контурмен шектелген мембрана қарастырылады.

Мембрана үстіндегі нүктесінен өтетін ds доғасына әсер етуші тарту күші Tds, . Сыртқы әсер күші . Қозғалыс шамасының өзгеруін тартылыс күшінің вертикалдық жасаушысы мен сыртқы әсер күшінің қосындысына теңестіріп, мембрана тербелісінің интегралдық түрін аламыз (6),

-мембрананың беттік тығыздығы.

Дифференциалдық теңдеуге көшу үшін класынан деп, Остроградский теоремасын қолданамыз .

Онда интегралдық теңдеу (6) келесі түрге келтіріліп , орта мән туралы теореманың нәтижесінде мембрана тербелісінің дифференциалдық теңдеуін аламыз Біртекті мембрана үшін , (8) -мембрана массасы бірлігіне бөлінген күш тығыздығы.

3. Шекаралық және бастапқы шарттар Физикалық есеп дифференциалдық теңдеуге келтірілгенде, үдерісті бір мәнді сипаттау қажеттілігі үшін қосымша шарттар қойылады. Бұл шарттар бастапқы және шекаралық болып келеді.

Ішектің шеткі нүктелері бекітілгенде , (9) шарттары қойылу мүмкін. Тербеліс үдерісі ішектің бастапқы жағдайынан тәуелділігі (10) түрінде қойылу мүмкін, бұлар бастапқы шарттар делінеді. Нақты жағдайға байланысты осы сияқты әртүрлі бастапқы және шекаралық қосымша шарттар қойылады.

Негізінен келесі үш түрлі шекаралық шарттар қойылады:

бірінші түрдегі шекаралық шарт -берілген режим;

екінші түрдегі шекаралық шарт , -берілген күш;

үшінші шекаралық шарт ,

-серпінді бекіту.

Күрделі және аралас түрдегі шекаралық шарттар да қойылуы мүмкін.

Шекаралық шарттың түріне байланысты қойылатын есептер шекаралық немесе шеттік есептер деп аталады.

Бірінші шеттік есептің қойылуы: облысында анықталған, теңдеуді , шекаралық шарттарды және бастапқы шарттарды , қанағаттандыратын функциясын табу керек.

Дәл осылайша екінші шекаралық шартпен екінші, үшінші шекаралық шартпен үшінші шеттік есептер қойылады.

Шектеусіз облыста бастапқы шарт ғана берілу мүмкін. Мұндай есепті бастапқы шартты немесе Коши есебі деп атайды: Теңдеудің , бастапқы шарттарды , , қанағаттандыратын шешімін табу керек.

Оператор енгізсек, теңдеу L(x, t) =f(x, t) (11) түрінде жазылады. Онда жарты түзу есептері былай қойылуы мүмкін: , : бастапқы шартсыз есеп.

4. Күрделі есепті жәй есептерге жіктеп, жәй есептер шешімдерінен күрделі есеп шешімін құру көп жағдайда тиімді. Жалпы есеп шешімін мына түрде іздестіреміз , (15) oнда -тер келесі шеттік есептердің шешімдері , t>0 , , , , , , ,

Жалпы шеттік есеп үшін де осындай әрекеттер жасау мүмкін.

Геометриялық айнымалылар саны n>1 болғанда да есептер осылайша қойылады: функциясын облысы ішінде анықталған, T-ішкі нүктелерінде теңдеуді (16) қанағаттандыратын, шекарасында шекаралық шартты орындайтын (17) шекарада берілегн функция және бастапқы(алғашқы) шарттарды орындайтын (18) табу керек. Есеп шектеусіз облыстар үшін де осыған ұқсас қойылады.

5. Бір ғана шешім теоремасы облысында анықталған, теңдеуді (19) бастапқы және шекаралық шарттарды қанағаттандыратын бір ғана функцияның бар болуы мүмкін, егер келесі шарттар орындалса: