Сызықты кеңістіктер

Жоспар
Кіріспе

1 Сызықтық кеңістік ұғымы
2 Нормаланған сызықтық кеңістіктің мысалдары
3 Шекті өлшемді кеңістіктегі норманың эквиваленттілігі
1.2 МЕТРИКАЛЫҚ КЕҢІСТІКТЕР
2.1 Метрикалық кеңістік ұғымы
2.2 Метрикалық кеңістіктің мысалдары
2.3 Метрикалық кеңістікті толықтыру
1.3 СЫЗЫҚТЫ ОПЕРАТОРЛАР
3.1 Сызықты оператор ұғымы
3.2 Шектелген сызықты операторлар
3.3 Кері операторлар
3.4 Түйіндес операторлар
3.5 Компакт операторлар. Ядролы операторлар
II БӨЛІМ
ШТУРМ. ЛИУВИЛЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ОПЕРАТОРЫНЫҢ РЕЗОЛЬВЕНТАСЫНЫҢ ЯДРОЛЫЛЫҒЫН ЗЕРТТЕУ
2.1 Дифференциалдық операторлар
2.2 Штурм . Лиувилль дифференциалдық операторы
2.2.1 Штурм .Лиувилль операторының резольвентасының болуы
2.3 Штурм.Лиувилль дифференциалдық операторының қасиеттері
2.4 Штурм.Лиувилль дифференциалдық операторының
резольвентасының ядролылығы

Анықтама 1.1.1 Егер қайсыбір жиынында:
1.Кез-келген элементтері үшін олардың қосындысы деп аталатын мына қасиеттер орындалса:
1)
2)
3) үшін теңдігі орындалатын бір ғана элементі бар болуы ( нөлдік элемент);
4) үшін теңдігі орындалатын элементі бар және ол әр үшін біреу ғана болса және
2.Кез келген және кез келген нақты саны үшін элементі мен санының көбейтіндісі деп аталатын элементі анықталған болса және бұл элементті санға көбейту амалы мен элементтерді қосу амалдары мына төмендегі шарттарды қанағаттандыратын болса.
1)
2)
3)
4)
Онда бұл жиыны сызықты кеңістік депе аталады.
жиынының элементерін қосу және оларды санға көбейту амалдары үшін қойылған осы шарттар сызықтық кеңістіктің аксиомалары деп аталады.
жиынының элементтері көбейтілетін сандар жиыны алынуына қарай нақты сызықтық кеңістік, немесе комплекс сызықтық кеңістік пайда болады.
Егер жиынының өзі де нақты немесе комплекс сандардан тұратын болса, онда санды санға қосу және көбейту амалдары үшін бұл аксиомалар орындалатыны жақсы белгілі. Сондай-ақ, жазықтықтағы немесе кеңістіктегі векторларды қосу және оларды санға көбейту амалдары үшін де бұл шарттар орындалатыны (аналитикалық геометриядан) белгілі. Демек, әдеткі амалдар анықталған сандар жиыны, немесе векторлар жиыны сызықтық кеңістіктің мысалдары болып табылады.
Сонымен, қайсыбір жиында кез-келген екі элементтің қосындысы және элементтің нақты (комплекс) санға көбейтіндісі анықталса және бұл амалдар жоғарыдағы аксиомаларды қанағаттандырса, онда бұл жиын сызықтық кеңістікке айналады.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 49 бет
Таңдаулыға:

I БӨЛІМ

1.1 СЫЗЫҚТЫ КЕҢІСТІКТЕР

1.1.1 Сызықтық кеңістік ұғымы

Анықтама 1.1.1 Егер қайсыбір жиынында:
1.Кез-келген элементтері үшін олардың қосындысы деп аталатын мына
қасиеттер орындалса:
1)
2)
3) үшін теңдігі орындалатын бір ғана элементі бар
болуы ( нөлдік элемент);
4) үшін теңдігі орындалатын элементі бар және ол әр
үшін біреу ғана болса және
2.Кез келген және кез келген нақты саны үшін элементі мен
санының көбейтіндісі деп аталатын элементі анықталған болса
және бұл элементті санға көбейту амалы мен элементтерді қосу амалдары мына
төмендегі шарттарды қанағаттандыратын болса.
1)
2)
3)
4)
Онда бұл жиыны сызықты кеңістік депе аталады.
жиынының элементерін қосу және оларды санға көбейту амалдары үшін
қойылған осы шарттар сызықтық кеңістіктің аксиомалары деп аталады.
жиынының элементтері көбейтілетін сандар жиыны алынуына
қарай нақты сызықтық кеңістік, немесе комплекс сызықтық кеңістік пайда
болады.
Егер жиынының өзі де нақты немесе комплекс сандардан тұратын
болса, онда санды санға қосу және көбейту амалдары үшін бұл аксиомалар
орындалатыны жақсы белгілі. Сондай-ақ, жазықтықтағы немесе кеңістіктегі
векторларды қосу және оларды санға көбейту амалдары үшін де бұл шарттар
орындалатыны (аналитикалық геометриядан) белгілі. Демек, әдеткі амалдар
анықталған сандар жиыны, немесе векторлар жиыны сызықтық кеңістіктің
мысалдары болып табылады.
Сонымен, қайсыбір жиында кез-келген екі элементтің қосындысы және
элементтің нақты (комплекс) санға көбейтіндісі анықталса және бұл амалдар
жоғарыдағы аксиомаларды қанағаттандырса, онда бұл жиын сызықтық кеңістікке
айналады.
1-мысал. Барлық мүмкін векторлар жиыны (үш өлшемді кеңістікте,
жазықтықта немесе түзуде) сызықты кеңістікті жасайды. Вектордың қосындысы
параллелограммның ережесі бойынша анықталатынын, ал векторының
нақты санына көбейтіндісі векторы арқылы анықталатынын еске
түсіреміз, оның ұзындығы ұзындығына көбейтіндісі, ал бағыты
бағытына дәл келеді, егер және оған қарама-
қарсы болса. Сызықты кеңістіктің аксиомалары – бұл векторлармен
атақты операция қасиеттері.
Осылайша, сызықты кеңістіктің элементтері міндетті түрде жалпыланған
векторлар ретінде қарастырылады. Сызықты кеңістік терминінің орнына
векторлық кеңістік термині де қолданылады. Ары қарай, сызықты кеңістіктің
элементтерін айтқанда, біз оны вектор деп те атайтын боламыз.
2-мысал. жиынын барлық мүмкін нақты сандарынан реттелген
терулермен қарастырамыз.

сандарын бағандарының координаталары деп атаймыз.
бағандарының қосындысынан бағанды түсінетін боламыз, олардың координаталары
- және бағандарына сәйкес келетін координата, яғни
бағаннан бағанын түсінетін боламыз, мұндағы - нақты сан. Нөлдің
рөлін бағаны ойнайды. Бағандар операциясы координаттар операциясына,
яғни сызықты кеңістік аксиомалары тривиальді орындалатын нақты сандарға
келтірілетіндіктен, осы аксиомалар бағандарға да орындалады. Осылайша,
сызықты кеңістік болып табылады.
Комплекстік сандар бағандарын комплекстік сандарға көбейтіп
қарастыруға болады. Қорыта келгенде бағандардың комплексті сызықты
кеңістігін аламыз.
Енді функцияның сызықты кеңістігіне мысал қарастырамыз. Алдымен
кейбір жалпы ескертулер жасаймыз. - кез келген табиғаттың кейбір
жиынының элементтері және әрбір -ға Е сызықты кеңістігінде
элементі сәйкес қойылған болсын, яғни анықталған облысында
функциясы және Е-де облыстың мәндері берілген. және екі
функцияның қосындысынан функциясын түсінетін боламыз.
функциясын санына көбейтіндісінен функциясын түсінетін
боламыз.
Төменде ұсынылған мысалдарда нақты немесе комплексті мәнді функция
қарастырылған, Е – нақты ось немесе комплексті жазықтық. 2 мысалдағысияқы,
осындай функциялардың операциясы нақты немесе комплексті сандар
операциясына жинақталады. деп белгілеп және сол немесе басқа
функциялар классын таңдай отырып, біз автоматты түрде сызықты кеңістіктің
аксиомаларының орындалуын аламыз, егер тек және таңдалынған
функциялар классына және -пен бірге жататын болса.
3-мысал. -дан асып кетпейтін, барлық дәрежелік көпмүшеліктің
жиынтығын қарастырамыз: - кез келген нақты сан, ). Көпмүшелікті
нақты санға көбейтіндісі және екі көпмүшеліктің қосындысы көпмүшеліктер
болғандықтан, біз көпмүшеліктің сызықты кеңістігін аламыз.
Дәл осылайша -дан асып кетпейтін комплексті сызықты кеңістіктегі
дәрежелік көпмүшелікті қарастыруға болады. Оның элементтері мынадай
түрде болады -комплексті сан, - комплексті жазықтығында
өзгеретін, комплексті айнымалы).
4-мыса л. кеңістігі - үзіліссіз функциялардың кеңістігі.
Айталық, болсын. -да үзіліссіз барлық мүмкін ,
функцияларын аламыз. -да үзіліссіз және үзіліссіз функциялардың
қосындысы ретінде -да үзіліссіз болса, онда сызықты кеңістік
болып табылады. Нақты және комплексті жағдайлар мүмкін.
5-мысал. ( - натурал сан) кеңістігі - -ші ретті
үзіліссіз дифференциалданатын функция кеңістігі болғандықтан, егер
және , егер және болса, онда - сызықты
кеңістік.
6-мысал. Скалярлық элементтері арқылы ретпен барлық
тіктөртбұрышты матрицалық жиынын қарастырамыз.

операциясын анықтаймыз

Матрицалардан алынған операция сандардан алынған операцияға жинайтын
болса, онда аксиоманың дұрыстығы белгілі. Егер матрицаның және
скалярларының элементтері нақты (комплексті) болса, онда біз нақты
(комплексті) сызықты кеңістікке келеміз.
Анықтама 1.1.1(а) Егер әрбір үшін нақты сан мәнді
функциясы анықталса және ол мынана шарттарды қанағаттандыратын болса:
1) және тек болғанда ғана ( норманың теріс еместік
шарты);
2) Кез келген саны үшін (норманың біртектілік шарты);
3) Кез келген үшін ( үшбұрыш теңсіздігі),
Онда кеңістігінде норма анықталған дейміз.
Норма анықталған сызықтық кеңістік нормаланған сызықтық кеңістік деп
аталады.

1.1.2 Нормаланған сызықтық кеңістіктің мысалдары

1. нормаланған сызықты кеңістікке айналдырамыз. Мұнда жатқан
әрбір элемент үшін норманы

(1.1.1)

теңдігімен анықтаймыз. Осылай анықталған норма норманың аксиомаларын
қанағаттандыратынын тексеру қажет.Бірінші шарттың орындалатыны (1)
теңдігінің оң жағындағы өрнек көрер көзге теріс емес екендігінен айқын. Оны
әрі, егер болса,онда барлық болғаны. Себебі, егер қайсібір
болса, онда (1) теңдігінің оң жағындағы өрнектің мәні оң сан болатыны
айқын. Сонымен, егер болса, онда векторының барлық координаттары
нөлге тең: . Керісінше, егер болса, онда екені айқын.
Екінші аксиома оңай тексеріледі.

. (1.1.2)

Үшінші аксиома, яғни үшбұрыш теңсіздігі орындалатынын дәлелдеу үшін алдымен
Коши теңсіздігін еске алайық. Кез келген нақты сандар үшін

(1.1.3)

теңсіздігі орындалады.Бұл теңсіздіктің екі жағынан квадрат түбір алып, оны
мына түрде де жазуға болады:

(1.1.4)

Енді осы теңсіздікті пайдаланып, (1) нормасы үшін үшбұрыш теңсіздігін
дәлелдейік:

Теңсіздіктің екі жағынан квадрат түбір алып,үшбұрыш теңсіздігіне келеміз.
Сонымен (1.1.1) теңдігінен анықталған норма шынында да норма
аксиомаларын қанағаттандыратыны айқын болды. жиыны нормаланған
сызықтық кеңістікке айналды. Бұл кеңістік, әдетте, арифметикалық Евклид
кеңістігі деп, ал норма (1.1.1)- Евклид нормасы деп аталады.
2. сызықтық кеңістігінде норманы басқаша, атап айтқанда,

(1.1.5)

Теңдігі арқылы енгізіп, сол жиында анықталған тағы бір нормаланған сызықтық
кеңістікке келеміз. Норманың аксиомалары орындалатынын тексеру бұл жолы
тіпті оңай. Шынында да, (1.1.5) өрнегінен норманың теріс сан болмайтыны
айқын және болуы барлық болғанда, тек қана осы жағдайда болады,
яғни .
Сондай-ақ, екінші, үшінші аксиомалардың тексерілуі де қиын емес:

(1.1.6)

Егер және кеңістіктің кез – келген екі векторы болса,
онда

яғни үшбұрыш теңсіздігі орындалады екен.
Осы анықталған нормаланған сызықтық кеңістікті түрінде таңбалайтын
боламыз.
3. символымен сол сызықтық кеңістігінде норманы

(1.1.7)

теңдігімен анықтау нәтижесінде пайда болған нормаланған сызықтық кеңістікті
белгілейміз.
4. сызықтық кеңістігіндегі функциясының нормасы

(1.1.8)

теңдігімен анықталады. функциясы кесіндісінде үзіліссіз
болғандықтан, оның модулі де үзіліссіз, демек, оның осы кесіндіде
максимумы бар, сондықтан (1.1.8) теңдігі жиынының әрбір элементі
үшін оның нормасының мәнін бірмәнді анықтайды. Модулінің максимумы
нөлге тең функция тек қана екендігі түсінікті. Сонымен бірінші
аксиоманың орындалуы айқын. Енді

(1.1.9)

теңдігімен

(1.1.10)

теңсіздігі норманың қалған екі аксиомасы да орындалатынын көрсетеді.
5. кеңістігі кеңістігінің жағдайына жалпыламасы. Бұл
кеңістікті құрайтын жиынының элементтері , т.с.с, яғни,
басқаша айтқанда бұл жиынның әр элементін координаттары саналымды вектор
ретінде қарастыруға болады.
Енді осы жиында норма енгізілсе, нормаланған сызықтық кеңістік пайда
болмақ. кеңістігінде норма

теңдігімен анықталып еді.Бірақ бұл формула қазіргі жағдайында кез
келген векторы үшін норманың сан мәнін анықтай алмайды. Сондықтан
жиынына координаттары

(1.1.11)
шартын қанағаттандыратын векторлар ғана енеді. Енді осы шартқа сай
векторлар үшін норма

(1.1.12)

теңдігімен анықталады. Бұл анықтамаға еніп тұрған қатар шарты бойынша
жинақты қатар, демек (12) өрнегі норманың сан мәнін анықтайды.
6.(шенелген тізбектер кеңістігі). Бұл кеңістікті құрайтын жиын
элементтері сандар тізбегі арқылы анықталады.Мұнда осы векторларға
қойылатын шарт – олардың координаттарының тізбегі шенелген тізбек болуы,
яғни, егер болса,онда осы элементтке сәйкес С саны табылып кез келген
нөмірі үшін шарты орындалуы.
Енді осы жиынның кез келген элементінің нормасын

,
(1.1.13)

теңдігімен анықтаймыз. Шенелген тізбегінің супремумы ақырлы нақты
сан, демек (1.1.13) теңдігі норманың сан мәнін бірмәнді анықтайды.
7. әріпі арқылы жинақты тізбектер жиынын белгілейік. Әрбір жинақты
тізбек шенеулі болғандықтан, . Екі жинақты тізбектің қосындысы және
жинақты тізбектің тұрақты санға көбейтіндісі –– жинақты тізбек, демек ,
жиынында анықталған норма оны нормаланған сызықты кеңістікке
айналдырады.
8. - Лебег кеңістігі. Е жиынында қосындыланатын функциялардың жиыны
сызықтық кеңістік құрайды. Бұл кеңістік түрінде таңбаланады.Енді
кез-келгеннақты сан болсын. жиынында дәрежесі
қосындыланатын функцияларының жиыны да сызықтық кеңістік құрайтыны
белгілі. Осы сызықты кеңістік

(1.1.14)

теңдігімен анықталатын норма енгізу арқылы нормаланған сызықты кеңістікке
айналады. Бұл кеңістік әдетте түрінде белгіленеді. Сонымен, әрбір
санына орай сызықтық кеңістік анықталды. Осы кеңістіктер Лебег
кеңістіктері деп аталады.

1.1.3 Шекті өлшемді кеңістіктегі норманың эквиваленттілігі

Анықтама 1.1.3 Айталық Е – сызықты кеңістік және Е кеңістігінде екі
жағдаймен нормалар берілсін: және .
және нормалары эквивалентті деп аталады, егер үшін
орындалатындай, саны табылса.
Норманың эквиваленттілік қатынасы келесі қасиеттерге ие:
1) ~ (рефлексифтілігі)
2) егер ~ болса, онда ~ ( симметриялылығы)
3) егер ~ , ал ~ болса, онда
~.(транзитивтілігі).
Теорема 1.1.3 Барлық шекті өлшемді сызықты кеңістікте барлық
нормалар эквивалентті.
Дәлелдеуі. өлшемді Е сызықты кеңістікте базисін
белгілейміз, және –- осы базис бойынша алынған жіктелуі.
Айталық - Е кеңістігіндегі тағы бір кез- келген норма болсын.

Ары қарай - - ға тәуелді, –- - қа тәуелді
болатынын көрсетейік. Бұл сферасында функциясын қарастырайық.
екенін ескеріп мынаны аламыз: .Бұдан
функциясының -дегі үзіліссіздігі шығады.Сонымен қатар сферасында
тұйық және шектелген жиын болады.
Лемма. Егер болса, онда егер де болса, онда
Дәлелдеуі. Егер болса, онда деп қабылдап,
аламыз.Яғни . болсын.Онда анықтамасы бойынша кез келген
натурал үшін болғанда, табылады.Бұл жерде .
тұйықталуының зерттелуінде бірақ шарт бойынша .Алынған қарама-
қайшылық екенін дәлелдейді.
Егер болғанда элементі бар болса,онда ішкі
кеңістігінің элементтері арқылы жақындаудың ең жақсы элементі деп
аталады. Ең жақсы элемент жалғыз болмауы мүмкін, әрі мүлдем болмауы мүмкін.
шекті өлшемді болған жағдайда ол элемент бар болады.Шынында да,
болса, онда .
кеңістігінде функциясын қарастырайық. Ол
кеңістігінде үзіліссіз немесе кез келген үшін төмендегі теңсіздік
орындалады.

тек шарда орындалатынын көрсетейік. , мұндағы Демек,
егер болса, онда

болады, яғни шарының сыртында функциясының дәл төменгі шегін
қабылдамайды.
Теорема 1.1.3(а) Айталық – нормаланған кеңістігінің
шекті өлшемді ішкі кеңістігі болсын. Кез келген үшін бар болады
және орындалады.
Мысал. екі өлшемді қатарының нормасымен берілген
- кеңістігінен нүктесін және базистік векторымен,(
бір өлшемді ішкі кеңістігін аламыз.Ара қашықтығын анықтайық:
.
Зерттей келе, элементерінің көмегімен -ге жақындайтын
ең жақсы элементтерінің шексіз жиыны бар болатынына көзіміз жетеді.
Келесі геометриялық тұжырымды келтірейік.Айталық үшөлшемді евклид
кеңістігінде жазықтығы берілсін.Ол координата басынан өтеді,
және бірлік ұзындық векторы,перпендикуляр, координата
басымен берілген.Онда -ге тиісті кез келген векторы үшін
аламыз.
Рисс леммасы. Айталық -нормаланған кеңістігіндегі
кеңістік, . Кез келген үшін болатындай, табылады.
Дәлелдеуі. Айталықболғандықтан, бар болады.
қоямыз, анықтамасын қолданамыз.Кез келген алып, және
орындалатындай табамыз. Енді элементін қарастырайық.
ізделінді элемент екенін ескерейік,шынында да, . мен
арасындағы арақашықтық:
немесе ал үшін

1.2 МЕТРИКАЛЫҚ КЕҢІСТІКТЕР

1.2.1 Метрикалық кеңістік ұғымы

кез келген жиын болсын. Оның элементтерін әріптерімен
белгілейміз.
Екі айнымалылы, нақты сан мәнді функциясы осы жиының
элементтерінде анықталып және мына төмендегі шарттарды қанағаттандыратын
болсын:
1) ( симметриялық шарты)
2) және теңдігі тек қана болғанда
орындалады. ( тепе-теңдік шарты).
3) Кез келген элементтері үшін:

(1.2.1)

теңсіздігі орындалады.( Бұл теңсіздік үшбұрыш теңсіздігі деп аталады.)
жиынында анықталған, осы қасиеттерге ие функциясы
арақашықтық немесе метрика деп аталады.
Анықтама 1.2.1. Метрика анықталған жиынын метрикалық кеңістік
деп атайды.
Метрикалық кеңістік түрінде белгіленеді, бірақ көбінесе
қысқаша, тек жиынның ған таңбасын көрсетіп, арқылы белгілейміз.
Үшбұрыш теңсіздігінің салдары ретінде шығатын мына теңсіздіктерді
атап көрсетейік. Метрикалық кеңістікте жатқан кез келген нүктелері
үшін үшбұрыш теңсіздігін қайталай қолданып, мына теңсіздіктерді жазайық.

яғни,

Осыған ұқсас,

яғни,

,

Бұл әдетте төртбұрыш теңсіздігі деп аталады.Осы теңсіздіктен болған
жағдайда

теңсіздігі шығады, ал бұл –екінші үшбұрыш теңсіздігі.
Тұжырым. кез келген нормаланған сызықтық кеңістік болсын.

(1.2.2)

теңдігі осы кеңістікте метриканы анықтайды.
Дәлелдеуі. Шарт бойынша нормаланған сызықтық кеңістік.
Метриканың бірінші аксиомасы орындалатыны (1.2.2) теңдігінен айқын. Сондай-
ақ, екендігі де норманың сәйкес қасиетінен шығады. Егер болса,
онда демек, норманың қасиеті бойынша, яғни .
Енді метриканың үшінші аксиомасын, яғни (1.2.1) теңсіздігін
дәлелдейік. Кеңістіктің кез келген элементтерін алып, норманың үшінші
аксиомасын пайдаланып, метрика үшін үшінші аксиоманың орындалатынын
көреміз:

(1.2.3)

(1.2.1) теңдігінің норманы анықтайтыны, сонымен бірге жиыны
метрикалы жиын, яғни метрикалық кеңістік болғаны дәлелденді.
Теорема 1.2.1 Егер метикалық кеңістіктің нүктелерінен тізбегі
нүктесіне жинақталса, онда тізбектің кез келген тізбекшесі
де сол нүктеге жинақталады.
Дәлелдеуі. үшін болса, онда үшін болады.
Теорема 1.2.1(а) Метрикалық кеңістіктің нүктелерінің тізбегі
жинақты болса, ол бір ғана шекке жинақталады.
Дәлелдеуі. тізбек үшін және деп жорылық. Онда
алғанда

теңсіздігі жеткілікті үлкен үшін орындалады. пен белгілі
нүктелер болғандықтан, ал кез келген оң сан болғандықтан бұл
теңсіздік яғни болғанда ғана мүмкін.
Теорема 1.2.1(б) Егер метрикалық кеңістіктің нүктелерінің
тізбегі нүктеге жинақталса, онда кез келген, белгіленіп алынған
нүкте үшін саны шектелген болады.
Дәлелдеуі. Үшбұрыш аксиомасы бойынша

жинақталатын тізбек болғандықтан шектелген болады, демек саны
тұрақты санынан аспайды.
1.2.2 Метрикалық кеңістіктің мысалдары

Метрика арқылы негізгі топологиялық ұғым – маңай анықталады. Соның
негізінде басқа туынды ұғымдар беріледі. Кеңістік элементі ыңғайына қарай
нүкте,немесе вектор деп атала беретінін еске сала кетейік.

Элементтер үшін кез келген жиын

Белгіленген нүктелерді кеңістік деп алсақ, метрикалық кеңістік
аламыз.
Нақты сандар жиыны арақашықтықпен метрикалық кеңістік пайда
болады.
реттелген нақты сандар жиыны қашықтығымен

өлшемді арифметикалық Евклид кеңістігі деп аталады.
( n-өлшемді кеңістік) болсын.
Егер және бұл кеңістіктің кез келген екі нүктесі болса, онда
метрикасын мына өрнекпен

анықтауға болады, себебі жоғарыдағы шарттарын қанағаттандырады.Олай
болса, метрикалық кеңістік.
Егер пен нүктелері берілген болса, онда ара
қашықтығын

Өрнегі бойынша да анықтауға болады. Бұл өрнектің де 1) -3) шарттарын
қанағаттандыратындығына көз жеткізу қиын емес. Олай болса, метрикалық
кеңістік.
жиыны барлық үзіліссіз нақты функция үшін
сегментінде

арақашықтығымен метрикалық кеңістік болады.
Анализде бұл кеңістік ерекше рөл ойнайды. Біз оны
символымен белгілейміз. орнына кеңістігін аламыз.
метрикалық кеңістік деп белгілеп, нүктелері нақты сан және
шартты қанағаттандырса

арақашықтығы келесі формуламен анықталады.

теңсіздік элементтерінен болса, онда функциясы барлық
үшін мағыналы, қатары тең, егер және метрикалық
кеңістік аксиомасын қанағаттандырады.
Функцияның барлық жиынтығы кесіндісінде үзіліссіз, бірақ
арақашықтығы келесі түрде анықталады.

Мұндай метрикалық кеңістікті арқылы белгілеп және квадраттық
метрикамен үзіліссіз функция кеңістігі деп аталады.

шектелген барлық нақты сандар жиынын қарастырамыз.

қойып метрикалық кеңістік аламыз.

1.2.3 Метрикалық кеңістікті толықтыру

Анықтама 1.2.3 Егер метрикалық кеңістігінде элементтердің
тізбегі үшін нөмірлер кезде, болса, онда бұл фундаменталь
тізбек деп аталады.
Анықтама 1.2.3(а) Егер метрикалық кеңістігінде әрбір
фундаменталь тізбек осы кеңістіктің элементіне жинақталатын болса, онда ол
толық кеңістік деп аталады.
Анықтама 1.2.3(б) Егер метрикалық кеңістігіндегі жиынының
әрбір элементіне метрикалық кеңістігінің қайсібір элементі
сәйкес қойылған болса, онда элементі элементінің бейнесі деп
аталады.
Анықтама 1.2.3(в) Егер
1)жиынында метрикасы анықталған, жиынында метрикасы
анықталған болса;
2) және жиындары изометриялы жиындар, яғни кез-келген және
олардың бейнелері үшін болса;
3) жиыны жиынында тығыз орналасқан болса, онда кеңістігі
кеңістігінің толықтыруы деп аталады.
Теорема 1.2.3 Әрбір толық емес кеңістікті толықтыруға болады, яғни,
метрикалық кеңістігі толық емес болса, онда оның толықтыруы болатын
толық метрикалық кеңістігі әрқашанбар болады.
Теорема 1.2.3(Р.Бэр) Оңашан нүктесі жоқ толық метрикалық кеңістік еш
жерде тығыз емес жиындардың саналымды бірігуі бола алмайды.
Дәлелдеуі. - толық метрикалық кеңістік болсын. Кері жору әдісін
қолданып, және мұндағы жиындарының әрқайсысы кеңістіктің еш
жерінде тығыз емес деп жориық.
Енді радиусы 1-ге тең тұйық шарын алайық. жиыны еш жерде
тығыз емес, демек ол осы шарында да тығыз емес. Сондықтан осы шардың
ішінде жиынының бір де нүктесі жоқ тұйық шары табылады, яғни
және Ø. шарының радиусын -ден аспайтын етіп алайық.
Бұл шарында жиыны тығыз емес, сондықтан және Ø
болатындай тұйық шары табылады және оның радиусын -ден
аспайтындай етіп аламыз. шарында жиыны тығыз емес. Осы үрдісті
шексіз жалғастыру нәтижесінде шарларының тізбегі пайда болады және
олардың радиустары нөлге ұмтылады. Осы шарлардың бәріне де тиісті
нүктесі бар, бірақ бұл нүкте жиынының бір де нүктесі жоқ, демек
, яғни бұл бірігу кеңістіктің нүктелерін түгел қамти алмайды.
Кеңістік толық болғандықтан, , демек, деген жоруымыз теріс
болды. Теорема дәлелденді.

1.3 СЫЗЫҚТЫ ОПЕРАТОРЛАР

1.3.1 Сызықты оператор ұғымы

Анықтама 1.3.1 Егер әрбір элементіне белгілі бір
элементі сәйкес қойылған болса, онда кеңістігінде оператор анықталған
дейміз.
Операторлар теориясы –– операторлардың қасиеттерін, олардың әр түрлі
есептерді шешуде қолданылуын зерттейтін функционалдық анализ бөлімі.
Оператор ұғымы – математиканың жалпы ұғымдарының бірі. Мысалы, әрбір
векторына тиянақты сандар) өрнегі арқылы
векторын сәйкес қою арқылы векторын векторына түрлендіретін
операторы анықталады. Операторлар нормаланған кеңістіктерде, әсіресе,
функционалдық кеңістіктерде жиі қолданылады. Операторлардың жете зерттелген
класы сызықтық операторлар болып есептеледі. Егер сызықтық кеңістіктің
кез келген екі элементі мен кез келген және екі саны үшін
теңдігі орындалса, онда операторы сызықтық оператор деп
аталады. Егер элементі нормасының элементі нормасына қатынасы,
яғни шектелген шама болса, онда шектелген оператор делінеді. Сызықтық
оператордың шектелгендігі – оның үздіксіз болуымен пара –пар шарт. Егер
операторы әр түрлі элементтерін тек әр түрлі
элементтеріне ғана көшіріп отыратын болса, онда әрбір элементіне
сәйкес бір ғана түп бейне элементі сәйкес қойылады. Бұл сәйкестік кері
оператор деп аталады және түрінде белгіленеді. және екі
оператордың қосындысы деп теңдігімен анықталатын операторды айтады.
Ал операторлардың көбейтіндісі алдымен операторын соңынан
операторын қолданудың нәтижесі ретінде анықталады, яғни . Бір
операторды рет қайталап қолдану арқылы операторының
дәрежесі анықталады. операторын санына көбейту
теңдігімен орындалады. Кез келген элементті өзін – өзіне ауыстыратын
операторы бірлік оператор деп, ал кез келген элементті нөлге ауыстыратын
оператор нөлдік оператор делінеді. Операторларды өзара қосу, көбейту және
санға көбейту амалдарын орындай отырып, сызықтық операторлардан
көпмүшеліктер,қатарлар құруға болады. Операторлар теориясының ішінде
Гильберт кеңістігіндегі сызықтық операторлар толығырақ зерттелген. -
Гильберт кеңістігіндегі шектелген сызықтық оператор болсын. Егер
комплекс саны үшін , элементі табылып және ол үшін
теңдігі орындалса, онда саны операторының меншікті мәні
деп, ал - осыменшікті мәнге сәйкес операторының меншікті векторы
деп аталады. Егер барлық үшін скаляр көбейтіндісі болса, онда
операторы операторына түйіндес делінеді. Егер =
болса, өзіне түйіндес деп, ал =болса, онда унитар оператор
делінеді. Гильберт кеңістігіндегі сызықтық операторлардың ең қарапайым
класы үздіксіз операторлар, ал шектелмеген сызықты операторлардың ең
маңызды класы – дифференциалдық операторлар. Кейбір жағдайларда сызықтық
емес операторларды да қарастыруға тура келеді. Физика мен механикада
сызықтық емес интегралдық операторлардың маңызы зор, сондай –ақ
математикалық анализде, дифференциалдық және интегралдық теңдеулерде,
геометрияда, алгебрада, т.б салалардаОператорлар теориясы кеңінен
қолданылады. Қазақстанда операторлар теориясын зерттеумен М. Өтелбаев,
Н.Білиев, І. Қасымов, Т.Қалменов, Г.Бижанова, т.б. айналысады.
Айталық сызықты операторлар анықталған сызықтық кеңістік
нормаланған болсын. Осы жағдайға көңіл аудару үшін нормаланған
кеңістіктерді әріпімен белгілейік және кеңістігінде анықталған,
мәндері кеңістігінде жатқан операторын түрінде жазайық.
Сызықты оператордың нормасы. сызықтық операторын қарастырайық.
Анықтама 1.3.1(а) Егер барлық үшін

(1.3.1)

теңсіздігі орындалатын саны бар болса, онда шектелген оператор
деп аталады.
(1) теңсіздігі орындалатындай сандарының инфимумы
операторының
нормасы деп аталады және түрінде белгіленеді. Оператордың нормасын

(1.3.2)
теңдігімен анықтауға болады.
Операторлар мен функционалдардың нормасын есептеудің мысалдарын
келтірейік.
1.Бірлік оператор. Демек, , осыдан, демек
анықтама бойынша
2.Функцияға көбейту операторы. , Бұл кеңістіктегі
норманың анықтамасы бойынша

теңсіздігін аламыз, ал онан

(1.3.3)
деген қорытынды шығады.
3.Интегралдық оператор. ,
Ядро және квадратында үздіксіз функция болсын.
кеңістігіндегі норманың анықтамасы бойынша

Бұл теңсіздіктен, оператордың нормасының анықтамасы бойынша,

(1.3.4)

теңсіздігі шығады. Ал жеке функция үшін сондықтан

Демек, (3) өрнегі түріндегі анықтама бойынша

(1.3.5)

(9),(10) теңсіздігінен

(1.3.6)

1.3.2 Шектелген сызықты операторлар

сызықты және нормаланған кеңістік болсын. Осы -
кеңістігінде операторы берілсін.

Анықтама 1.3.2 Егер радиусы бірге тең шардың кез келген
элементінің шектелген нормасын шектелген жиынға көшірсе, онда
сызықты операторы шектелген оператор деп аталады.

операторы кеңістігінде берілсін.

Теорема 1.3.2 операторының шектелген болуы үшін төмендегі
теңсіздіктің орындалуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеуі. операторы шектелген оператор болсын. Онда
операторының анықталу облысына тиісті үшін

,

,

,

.

операторы сызықты оператор, олай болса

,

,

Теорема дәлелденді.

Теорема 1.3.2(а) Нормаланған кеңістікті нормаланған кеңістікке
түрлендіретін кез келген шектелген операторы үшін

Дәлелдеуі. операторының нормасы үшін екі қасиет орынды.

а)

б) және , немесе .

Егер онда , яғни .

Басқаша үшін элементі бар болады.

болсын, онда болғандықтан, Зерттей келе, яғни
.

Ескерту.Қарастырылғанымыздан екенін көреміз, сондықтан

Оператордың үзіліссіздігі. Егер кеңістігінде элементтердің
тізбегі элементіне жинақталатын болса және олардың бейнелері
тізбегі кеңістігінде элементіне жинақталса, онда
операторын элементіне үздіксіз деп айтамыз.

Анықтама 1.3.2(а) Егерде қандай бір саны үшін осы - ға
тәуелді саны табылып, үшін теңсіздігі орындалса, онда
операторы нүктесінде үзіліссіз оператор деп аталады.

Ескерту. Үзіліссіздіктің анықтамасын бергенде қарастырылып отырған
жиын – ашық жиын болады. Өйткені ашық жиында нүкте көп, яғни аймақ көп.
Егер де жиында жиынды тұйық жиын ретінде қарастыратын болсақ, онда оператор
бір нүктеде тұйық бола алады.

1.3.3 Кері операторлар

Интегралдық, дифференциалдық және т.б теңдеулерді түрінде
жазуға болады, мұндағы операторы – сызықты. Егеркері операторы
бар болса, онда сәйкес есептің шешімі мына түрде беріледі: .

Анықтама 1.3.3 операторының ядросы деп төмендегі жиынды
айтамыз.

берілсін:

Теорема 1.3.3 операторының кері операторының бар болуы ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.