Көп аргументті функциялардың интегралдық есептеулері


Кіріспе

I.тарау Екі еселі интегралдар

1.1.Екі еселі интегралдың анықтамасы
1.2.Екі еселі интегралдың қасиеттері
1.3.Екі еселі интегралдарда айнымалыларды ауыстыру
1.4.Екі еселі интегралды есептеу
1.5.Екі еселі интегралдың геометриядағы және физикадағы
кейбір қолданулары
1.6.Екі еселі интегралды полярлық координаталарда қарастыру
1.7.Екі еселі интегралдың механика есептерінде қолданулары

II.тарау Үш еселі интегралдар

2.1.Үш еселі интегралдың анықтамасы
2.2.Үш еселі интегралдың қасиеттері
2.3.Үш еселі интегралды есептеу
2.4.Үш еселі интегралдың қолданулары
2.5.Кейбір механикалық және физикалық есептерге қолдану
2.6.Үш еселі интегралда айнымалыларды алмастыру


Қорытынды

Пайдаланылған әдебиеттер
Интеграл(лат. іnteger – бүтін) –математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Интеграл ұғымы бір жағынан – туындысы бойынша функцияны іздеу (мысалы, қозғалған нүктенің жүріп өткен жолын өрнектейтін функцияны сол нүктенің жылдамдығы бойынша табу), екінші жағынан – аудан, көлем және доға ұзындығын өлшеу, күштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жұмысын табу, т.б. қажеттіліктерден пайда болды. Осыған қатысты интеграл анықталмаған интеграл және анықталған интеграл болып ажыратылады. Міне, осыларды есептеу интегралдық есептеудің міндеті болып саналады. «Интеграл» сөзін алғаш рет (1690) швейцариялық ғалым Якоб Бернулли қолданған;өзінің шексіз аз бөліктерінің қосындысы түрінде қарастырылатын бүтін шама.Осыған сай дифференциалдау формулалары мен ережелеріне сүйене отырып, интегралдаудың формулалары мен ережелерін алуға болады. Анықталған интеграл. y = f(x) теңдеуімен анықталған үздіксіз сызықтың доғасымен, Ox осінің AB кесіндісімен және AD, BC ординаталарымен қоршалған ABCD «қисық сызықты трапециясының» ауданын (S) табу керек болсын (суретті қ.). Ол үшін [a, b] кесіндісін a =x0 S ≈ Sn= f(ξ1)Δx1+ f(ξ2) Δx2+...+ f(ξn) Δxn, немесе оны қосынды белгісін (Σ) пайдалана отырып, былайша жазуға болады:S ≈ Sn.
Бұл жерде [a, b] кесіндісі ұзындықтары неғұрлым кіші аралықтарға бөлінсе, Sn қосындысы ізделіп отырған ауданның шын мәніне (S-ке) солғұрлым жуық болып келеді. Демек S, бөлу нүктелерінің саны (n) шексіздікке, Δx-тың ең үлкен мәні нөлге ұмтылғанда, Sn қосындысының ұмтылатын белгілі шегі болады. Анықтама бойынша осы шек анықталған интеграл деп аталып: түрінде жазылады, мұндағы ∫ белгісі (латынның Summa сөзінің созылыңқы етіп жазылған бірінші әрпі) – интегралдың таңбасы; f(x) – интеграл астындағы функция; a және b сандары – интегралдың төменгі және жоғарғы шектері. Жалпы жағдайда, кез келген үздіксіз f(x) функциясының анықталған интегралы Sn қосындысының ұмтылатын шегі ретінде анықталады. Бірақ Sn-ді геометриялық фигураның ауданы деп түсіну шарт емес.
1.Дүйсек А.К.,Қасымбеков С.К. Жоғары математика (оқу құралы)- Алматы,ҚБТУ,2004,440 бет.
2.Жұмабеков Л .Көп айнымалы функциялардың дифференциалдық және
интегралдық есептеу I.Алматы,1991.
3.Жәутіков О.А.Математикалық анализ курсы.Алматы.Мектеп.1959.
4.Ибрашев Х.И. Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы. Алматы,
Мектеп,1970 т.I,II,528бет
5.Қабдықайыров Қ .,Еселбаева Р.Дифференциалдық және интегралдық
есептеулер,Алматы,Мектеп,1985,230 бет.
6.Ильин В.А .,Позняк Э.Г.Основы математического анализа ч.II.447 с.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Курстық жұмыс
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 32 бет
Таңдаулыға:   
Бұл жұмыстың бағасы: 900 теңге

бот арқылы тегін алу, ауыстыру

Қандай қате таптыңыз?

Рақмет!






ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Қ.А.Ясауи атындағы Халықаралық қазақ-түрік университеті

Математика кафедрасы

Курстық жұмыс

Тақырыбы: Көп аргументті функциялардың интегралдық
есептеулері.

Орындаған: Абдулсаматқызы.А
Ғылыми жетекші:Назарова.К

Түркістан 2012

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... 3

I.тарау Екі еселі
интегралдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...5

1.1.Екі еселі интегралдың
анықтамасы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... 5
1.2.Екі еселі интегралдың
қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... 7
1.3.Екі еселі интегралдарда айнымалыларды
ауыстыру ... ... ... ... ... ... 10
1.4.Екі еселі интегралды
есептеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .14
1.5.Екі еселі интегралдың геометриядағы және физикадағы
кейбір
қолданулары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ..15
1.6.Екі еселі интегралды полярлық координаталарда
қарастыру ... ...17
1.7.Екі еселі интегралдың механика есептерінде
қолданулары ... ... ..21

II.тарау Үш еселі
интегралдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...23

2.1.Үш еселі интегралдың
анықтамасы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... 23
2.2.Үш еселі интегралдың
қасиеттері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...24
2.3.Үш еселі интегралды
есептеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 25
2.4.Үш еселі интегралдың
қолданулары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...26
2.5.Кейбір механикалық және физикалық есептерге
қолдану ... ... ... ..27
2.6.Үш еселі интегралда айнымалыларды
алмастыру ... ... ... ... ... ... .. ...29

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... 31

Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
32

Кіріспе
Интеграл(лат. іnteger – бүтін) –математиканың маңызды ұғымдарының
бірі. Интеграл ұғымы бір жағынан – туындысы бойынша функцияны іздеу
(мысалы, қозғалған нүктенің жүріп өткен жолын өрнектейтін функцияны сол
нүктенің жылдамдығы бойынша табу), екінші жағынан – аудан, көлем және доға
ұзындығын өлшеу, күштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жұмысын табу,
т.б. қажеттіліктерден пайда болды. Осыған қатысты интеграл анықталмаған
интеграл және анықталған интеграл болып ажыратылады. Міне, осыларды есептеу
интегралдық есептеудің міндеті болып саналады. Интеграл сөзін алғаш рет
(1690) швейцариялық ғалым Якоб Бернулли қолданған;өзінің шексіз аз
бөліктерінің қосындысы түрінде қарастырылатын бүтін шама.Осыған сай
дифференциалдау формулалары мен ережелеріне сүйене отырып, интегралдаудың
формулалары мен ережелерін алуға болады. Анықталған интеграл. y = f(x)
теңдеуімен анықталған үздіксіз сызықтың доғасымен, Ox осінің AB
кесіндісімен және AD, BC ординаталарымен қоршалған ABCD қисық сызықты
трапециясының ауданын (S) табу керек болсын (суретті қ.). Ол үшін [a, b]
кесіндісін a =x0x1...xn-1xn= b нүктелерімен n ұсақ аралықтарға бөліп
(аралықтардың шамасы бір-біріне тең болуы шарт емес) және әрбір аралықтың
ұзындығын Δx1, Δx2, ..., Δxn арқылы белгілеп, сол аралықтардың әрқайсысына
биіктігі f(ξ1), f(ξ2), ..., f(ξn)-ке тең тік төртбұрыштар салайық, мұндағы
ξk – [xk-1, xk] кесіндісіндегі кез келген нүкте (суретте k-аралыққа
салынған тік төртбұрыш штрихталған және оның биіктігі f(ξk)-ке тең, мұндағы
k =1, 2, ..., n). Сонда салынған тік төртбұрыштардың аудандарының
қосындысын (Sn) қисық сызықты трапецияның (S) ауданымен шамалас деп
қарастыруға болады:
S ≈ Sn= f(ξ1)Δx1+ f(ξ2) Δx2+...+ f(ξn) Δxn, немесе оны қосынды белгісін (Σ)
пайдалана отырып, былайша жазуға болады:S ≈ Sn.
Бұл жерде [a, b] кесіндісі ұзындықтары неғұрлым кіші аралықтарға
бөлінсе, Sn қосындысы ізделіп отырған ауданның шын мәніне (S-ке) солғұрлым
жуық болып келеді. Демек S, бөлу нүктелерінің саны (n) шексіздікке, Δx-тың
ең үлкен мәні нөлге ұмтылғанда, Sn қосындысының ұмтылатын белгілі шегі
болады. Анықтама бойынша осы шек анықталған интеграл деп аталып: түрінде
жазылады, мұндағы ∫ белгісі (латынның Summa сөзінің созылыңқы етіп жазылған
бірінші әрпі) – интегралдың таңбасы; f(x) – интеграл астындағы функция; a
және b сандары – интегралдың төменгі және жоғарғы шектері. Жалпы жағдайда,
кез келген үздіксіз f(x) функциясының анықталған интегралы Sn қосындысының
ұмтылатын шегі ретінде анықталады. Бірақ Sn-ді геометриялық фигураның
ауданы деп түсіну шарт емес.
Егер a=b болса, онда анықтама бойынша: ; ал Жоғарғы шектің интегралдау
функциясы ретінде қарастырылатын: анықталған интегралы (жоғарғы шегі
айнымалы интеграл), интеграл астындағы f(x) функциясының бір алғашқы
функциясы болады, яғни:бұдан интегралдық есептеудің негізгі теоремасы
(Ньютон–Лейбниц формуласы) шығады: мұндағы F(x) – f(x) функциясының кез
келген алғашқы функциясы. Бұл формула берілген анықталған интегралды
есептеуге арналған негізгі амалдардың бірі. Анықталған интеграл арқылы
жазық фигуралардың ауданы, қисық сызықтардың ұзындығы, дененің көлемі мен
беті, ауырлық центрінің координаттары, инерция моменттері, берілген күштің
атқаратын жұмысы, т.б. жаратылыстану мен техника есептері шешіледі.
Интеграл ұғымы көп айнымалысы бар функцияларға да қолданылады.
Интегралдық есептеудің аудан мен көлемді табуға байланысты бірқатар
есептерін ежелгі грек математиктері шешкен. 9 – 15-ғасырларда Орта және
Таяу Шығыс ғалымдары Архимед еңбектерін араб тіліне аударып, ежелгі
математиканың табыстарын кейінгі ұрпақтарға жеткізді. Бірақ оларды одан әрі
дамыта алмады. Тек 16 – 17-ғасырларда ғана табиғаттану ғылымдарының
жетістіктері интегралдық есептеудің одан әрі дамуын қажет етті. Интегралдық
есептеудің негізгі ұғымдары мен идеялық жүйесін бір-біріне тәуелсіз түрде
Исаак Ньютон мен Готфрид Лейбниц жасады. Интегралдық есептеу термині мен
интеграл таңбасы Лейбництен бастап қолданылып келеді. Интегралдық
есептеудің әрі қарай дамуы швейцариялық математик Иоганн Бернуллидің,
әсіресе, Леонард Эйлердің есімдерімен тығыз байланысты. 19-ғасырдың басында
француз математигі Огюстен Луи Коши шектер теориясы негізінде интегралдық
есептеу мен дифференциалдық есептеуді қайта құрды. Интегралдық есептеуді
дамытуға 19-ғасырда орыс ғалымдары Михаил Остроградский, Виктор Буняковский
және Пафнутий Чебышев үлкен үлес қосты. 19-ғасырдың аяғында және 20-
ғасырдың басында жиын теориясының дамуы интегралдық есептеудің негізгі
ұғымдарының тереңдеуіне және кеңеюіне себеп болды.

Анықталмаған интеграл

I.Тарау.Екі еселі интегралдар
1.1.Екі еселі интегралдың анықтамасы.

Екі аргументті функциясының анықталу облысы
де контур мен шектелсін делік.Контур графиктері
не түріндегі бөліктерден тұрсын делік.Мұндай
контурлар қарапайым контур делінеді.Облыс ны қалауымызша
түріндегі сәйкес аудандары болатын
бөлікке жіктейміз.Әрбір облысындағы нүктелердің
арақашықтықтарының ең үлкенін деп белгілеп,диаметр деп
атаймыз.Жекелеген облыс да қалауымызша бір
нүктесін алып,функцияның мәнін есептейміз.Мынадай
қосындыны
(1.1.1)

функциясы үшін облысы бойынша екі өлшемді
интегралдық қосынды дейміз.
Анықтама. Егер (1.1.1) интегралдық қосындының шегі бар
болып,ал шек облысын майда бөліктеріне жіктеу
тәсілімен де,олардың әрқайсысында нүктесін таңдау
тәсіліненде тәуелді болмаса,ол шектік мән функциясының
облысы бойынша екі еселі интегралы деп аталады
да,былай белгіленеді:

(1.1.2)

Егерде (1.1.2) интегралы бар болса,функция
облыс да интегалданатын функция дейміз.Қосынды (1.1.1)-ден
байқалып тұрғандай функция облыс да шектелген
болуы интеграл (1.1.2) бар болуы үшін шарт.
Енді интегралдық қосынды (1.1.1) мен интеграл (1.1.2)-нің
тәжірибеде кездесетін кейбір мысалдарына тоқталайық:
Қисық сызықты цилиндр деп төменгі табаны
жазықтығындағы фигурасы болатын,ал жоғарыдан
бетімен,ал бүйірден-цилиндрлік бетпен шектелген денесін
түсінеміз.Осы дененің көлемін табу талап етілсін.
Ол үшін қисық сызықты цилиндрдің табаны -ны
қисықтардың жәрдемімен бөліктерге жіктесек, денесі
табандары болатын цилиндрлеріне жіктеледі.Сөйтіп
цилиндрлерінің көлемдерінің қосындысы цилиндр нің
көлемін береді.
Цилиндр нің көлемін табу үшін әрбір бөлек
деп қалауымызша нүкте алып,л бөліктің ауданын
деп белгілеп, мынадай көбейтінді түземіз ,
демек денесінің көлемінің жуық мәні үшін
(1.1.3)

қосындысын алуға болады. Егер (1.1.3) қосындысында бөліктердің
өлшемдері шексіз кішірейген жағдайда шекке көшсек,сол шек
іздеп отырған қисық сызықты цилиндр нің көлемін
береді.Екі еселі интеграл (1.1.2)-нің анықтамасына сай қисық
сызықты цилиндрдің көлемі екі еселі интегралмен анықталатыны
белгілі болды.Осында екенін ескеруіміз керек.
Тәжірибе (1.1.1), не (1.1.3) секілді қосындылардың шегін
ескерту керектігі әртүрлі есептерде кездеседі.
Мысалы,жазық фигураның массасын есептеу,статикалық моменнттер мен
жазық фигураның ауырлық центрін анықтау мәселесінде
кездеседі.

1.2.Екі еселі интегралдардың қасиеттері.

Екі еселі интегралдың жоғарыда берілген анықтамасынан
туындайтын кейбір қарапайым қасиеттерін келтіреміз:
1-қасиет. Егер функцияларының әрқайсысы
облысында интегралданса,олардың алгебралық қосындысы да сол
облыста интегралданып

(1.2.1)

болады.
Дәлелдеу. Интегралдық қсынды құрастырып,

екенін ескеріп,екі еселі интеграл анықтамасына сай шекке
көшсек,әрбір функциясы облысында
интегралданатын болғандықтан қасиеттің шындығына көзіміз жетеді.
2-қасиет. Егерде облысында функциясы
интегралданса, кез-келген тұрақты үшін те
интегралданады және

Бұл теңдіктің растығы екі еселі интеграл анықтамасынан
туындайды.
Екі еселі интегралдың осы екі қасиеті интегралдың
сызықтық қасиеті аталады.
3-қасиет. Егер функциясы де интегралданып және
таңбасын өзгертпесе,оның екі еселі интегралы да сол
блысы бойынша тұрақты таңбасын сақтайды.
Дәлелдеу. Егер облысында болса,интегралды қосындыда
оң таңбасын сақтап,шекке көшкенде ол таңба өзгермейді.Сол
секілді функция таңбасы теріс болса да екі еселі интегралды
тұрақты таңба сақтайды.
4-қасиет. Егер пен функциялары облысында
интегралданып, теңсіздігі орындалса,

болады.
Дәлелдеу. Егер деп жазып,3-қасиетті пайдаланып

деп жазамыз.Енді екі еселі интегралдың 1-қасиетін
пайдалансақ,керек қасиетіміз дәлелденеді.
5-қасиет. Егер облысында функциясы
интегралданса,

болады.
Дәлелдеу.Біз интегралдық қосынды үшін облысын
бөліктерге бөліп,әр бөліктің диаметрі нольге ұмтылатындай
шекке көшкенімізде және болар еді.Сөйтіп

( де бөлік, де бөлік).Теңдігінен 5-қасиетті
болар еді.Бұл қасиетті екі еселі интегралдың аддавтигі деп
атайды.
6-қасиет.Ауданы 3-ке тең облысында интегралданатын
функциясы мына теңсіздікті қанағаттандырса,
болады.
Дәлелдеу.Берілген облысын қарапайым бөліктерге
бөліп, нүкте алып, болатынын көреміз.Енді
деп жинақтасақ, болар еді.Осыдан шекке көшсек 6-қасиет
дәлелденеді.Біз 6-қасиеттен

деп алып
десек,

болар еді.Егер функциясы облысында үзіліссіз
болса, онда оның сол облыста ең кіші мәні және ең
үлкен мәні болып,функция сол аралықтағы мәндердің бәрін
қабылдауы тиіс,сондықтан болатын
нүктесі облысында жатады.Сөйтіп,
болады.Екі еселі интегралдың осы жазылу түрі өте жиі
қолданылады.

1.3.Екі еселі интегралда айнымалыларды алмастыру.

Бізге екі еселі интеграл берілсін және
функциясы шенелген жабық P облысында үзіліссіз болсын.Мына
формулалар
(1.3.1)
Арқылы біз жаңа және аргументтерге көшеміз.Керісінше
және (7) формуладан
(1.3.2)
формулаларымен анықталады деп санайық.(7) формулалар арқылы Р
облысындағы нүктесіне координаттар жазықтығында
нүктесі сәйкес болады.Осындай нүктелердің жиынын деп
белгілейік.Егер облысында (7) формуладағы функциялардың дербес
туындылары бар болып мына анықтауыш

онда

(1.3.3)

Бұл жерде ны функциялардың якобианы деп
атайды.(9) формуланың дәлелдеуі өте күрделі,сондықтан оны
келтірмейміз.
Егер (7) формулада полярлық координаталарға көшетін
болсақ,яғни

онда

болады.
Мысалы. есептеу керек.
P – бірінші квадратта жататын дөңгелектің төрттен
бірі болсын.
Шешуі. формулаларын пайдаланып

P облысында r айнымалысы 0 ден 2-ге дейін,ал ден
дейін өзгереді.Сондықтан

1.4.Екі еселі интегралды есептеу.

Екі еселі интегралды есептеу оны қайталама
интегралға келтіру арқылы орындалады,сондықтан сол қайталама
интеграл ұғымына тоқталып өтелік.Егерде тіктөртбұрыш

де анықталған функция үшін интеграл

(1.4.1)

бар болса,онда мұны қайталама интеграл дейді.Осындағы ішкі
интеграл есептелгенде интеграл есептелмейтін айнымалы тұрақты
сан рөлінде болады.
Қисық сызықты облыстар үшін қайталама интеграл
ұғымын кіргізер алдында мына анықтаманы берейік:
Анықтама. Егерде жабық облысының ішкі нүктесінен
өтетін кез келген түзу координаталар системасының бір осіне
параллель болып және сол облыстың тек екі шекаралық
нүктелері арқылы ғана қиылысса,онда сол облысын сол
ось бағытында дұрыс облыс дейді.Ал облыс барлық
координаталар осьтері бағытында дұрыс облыс болса,онда ол
облысты дұрыс облыс дейді.
Егерде облысы бізге былайша берілсе

немесе

болса. Біз мына интегралды ( да анықталған)

(1.4.2)

Қайталама интегралдар бойынша дейміз.(1.4.1) теңдігімен
анықталған қайталама интегралдар (1.4.2) түріндегі қайталама
интегралдың облысы тіктөртбұрыш болатын жекелеген
түріне жатады.Біз екі еселі интегралды есептеуді облысы
қисық сызықты болып келген жағдайын қарастырамыз.
Бізге екі еселі интеграл
(1.4.3)
ті есептеу керек делік.Мұнда функциясы жатық дұрыс
облысында үздіксіз және десек,сонда

Цилиндрлік дененің көлемі болар еді.
Осы көлемді біз ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Коэффициенттері тұрақты және айнымалы - ретті сызықты дифференциалдық теңдеулердің шешімін табуға операциялық есептеулерді қолдану
Интегралдық теңдеулер
Дербес туындылы сызықтық дифференциалдық теңдеулерді зерттеу
Mathcad программалау ортасы
Интегралдық кластарды кластарға бөлу
Арнайы функциялар
Ерекшелігі әлсіз ядролы интегралдық теңдеулер
БУЛЬ АЛГЕБРАСЫНЫҢ НЕГІЗГІ МАҒЛҰМАТТАРЫ. АРАЛАС КОМБИНАЦИЯЛЫҚ ЦИФРЛЫҚ ҚҰРЫЛЫМДАР
Логикалық элементтер ұғымы
Интегралдық теңдеулерді кластарға бөлу
Пәндер