Фурье түрлендіруі


3.1. Функцияның нүктедегі
біржақты шектері және негізгі ұғымдар
3.2. Тригонометриялық қатардың бірқалыпты
жинақтылығы
3.3. Фурье қатарының комплекс түрі
3.4. Фурье қатарының жинақтылығы
3.5. Фурье қатарының бірқалыпты жинақтылығы
3.6. Фурье түрлендіруі
3.7. Фурье түрлендіруінің үзіліссіздігі
3.8. Фурье түрлендіруінің формуласы
3.9. Дифференциалдау амалы
Осы тақырыпта математикалық анализ курсында ([14,16]) қарастырылған үзілісті нүктелерге және алдағы тақырыптарда қажетті негізгі ұғымдарға қысқаша тоқталып өтейік.
Мына шектер бар болсын:

әрі олар сәйкес функцияның нүктедегі сол жақты және оң жақты шектері деп аталады. Егер теңдігі орындалса, онда функция нүктеде үзіліссіз деп аталады.
Егер нүктеде функцияның оң жақты, сол жақты шектерінің бірі немесе екеуіде жоқ болса, онда нүкте екінші түрдегі үзілісті нүкте деп аталады. Егер болса, онда нүкте бірінші түрдегі үзілісті нүкте деп аталады. Егер нүктеде функцияның оң жақты және сол жақты шектер бар болса, онда саны функцияның нүктедегі күрт үзілісті ара қашықтығы деп аталады.
Енді сегментте анықталған функцияны қарастырайық. Егер функцияның сегментте үзіліссіз туындысы бар болса, онда ол осы сегментте тегіс деп аталады. Егер функцияның өзі және оның туындысы сегментте не үзіліссіз, не саны санаулы нүктеде бірінші түрдегі үзілісті болса, онда функция сегментте бөлікті – тегіс функция деп аталады.
Функция сегментте Дирихле шартын қанағаттандырады деп аталады, егер сегментті саны санаулы дербес сегменттерге бөлгенде осы дербес сегменттердің әрқайсысының ішінде функция монотонды әрі шектеулі болса.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Материал
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 28 бет
Таңдаулыға:   
Бұл жұмыстың бағасы: 500 теңге

бот арқылы тегін алу, ауыстыру

Қандай қате таптыңыз?

Рақмет!






ФУРЬЕ ТҮРЛЕНДІРУІ

3.1. Функцияның нүктедегі
біржақты шектері және негізгі ұғымдар

Осы тақырыпта математикалық анализ курсында ([14,16]) қарастырылған
үзілісті нүктелерге және алдағы тақырыптарда қажетті негізгі ұғымдарға
қысқаша тоқталып өтейік.
Мына шектер бар болсын:

әрі олар сәйкес функцияның нүктедегі сол жақты және оң жақты
шектері деп аталады. Егер теңдігі орындалса, онда функция
нүктеде үзіліссіз деп аталады.
Егер нүктеде функцияның оң жақты, сол жақты шектерінің
бірі немесе екеуіде жоқ болса, онда нүкте екінші түрдегі үзілісті
нүкте деп аталады. Егер болса, онда нүкте бірінші түрдегі
үзілісті нүкте деп аталады. Егер нүктеде функцияның оң жақты және сол
жақты шектер бар болса, онда саны функцияның нүктедегі
күрт үзілісті ара қашықтығы деп аталады.
Енді сегментте анықталған функцияны қарастырайық. Егер
функцияның сегментте үзіліссіз туындысы бар болса, онда ол осы
сегментте тегіс деп аталады. Егер функцияның өзі және оның туындысы
сегментте не үзіліссіз, не саны санаулы нүктеде бірінші түрдегі
үзілісті болса, онда функция сегментте бөлікті – тегіс функция
деп аталады.
Функция сегментте Дирихле шартын қанағаттандырады деп аталады, егер
сегментті саны санаулы дербес сегменттерге бөлгенде осы дербес
сегменттердің әрқайсысының ішінде функция монотонды әрі шектеулі болса.
Математикалық анализ курсында ([14,16]) функцияның
сегментте интегралдану анықтамасы мына түрде берілген: функция
сегментте интегралданады деп аталады, егер интегралы (меншікті не
меншіксіз) бар болса. Онда функция сегментте не үзіліссіз, не осы
сегментте саны санаулы үзілісті нүктелердің маңайында функция шектелген
немесе шектелмеген болуы мүмкін. Осы курста, саны санаулы нүктеде үзілісті
функция үшін интегралы бар болса, онда функцияның осы сегментте
интегралданатыны дәлелденген. Сонымен, егер интегралы бар болса, онда
функция сегментте абсолютті интегралданады деп аталады.
Бізге берілген сегментті нүктелермен бөліктерге бөлейік.
Егер әр бөліктегі функцияның мәні тұрақты болса, онда ол функция сатылы
функция деп аталады.
Функция интервалда сипаттамалы функция деп аталады, егер

Егер функция сегментте қосындылы функция болса, яғни

онда бұл шарт Дини шарты деп аталады. Мысалы, дәрежелі Лившиц шарты
деп аталатын мына шарт орындалса():
,
мұндағы , онда функция үшін Дини шарты орындалады. Осы сияқты,
егер функцияның нүктеде шектеулі туындысы бар болса, онда
функцияға бірінші дәрежелі Лившиц шарты орындалады.
Анақтама. Кез келген жиын метрикалық кеңістік деп аталады, егер:
1) жиынның кез келген элементтеріне осы элементтердің ара
қашықтығы деп аталатын саны табылса;
2) ара қашықтыққа мына аксиомалар орындалса;
2 а) , егер (тепе-теңдік аксиомасы),
2 б) (симметриялы аксиомасы),
2 в) (үшбұрыш аксиомасы).
Анықтамада келтірілген аксиомалар кеңістіктегі метриканың
аксиомалары деп аталады.
Мысалы, барлық үшін үзіліссіз функциялар жиынындағы
функциялардың ара қашықтығын немесе үзіліссіз функциялар жиынындағы
метриканы мына формула арқылы анықтасақ: , онда бұл метрика метриканың
аксиомаларын қанағаттандырады, яғни бұл жиын метрикалық кеңістік болады.
Сонымен, сегментте анықталған үзіліссіз функциялар жиынында
метрикамен анықталған жиын метрикалық кеңістік болады және ол
таңбамен белгіленеді.
Осы сияқты, сегментте анықталған үзіліссіз функциялар жиынында
метрика

түрінде анықталса, онда метрика метриканың барлық аксиомаларын
қанағаттандырады және ол жиын немесе кеңістік таңбамен белгіленеді.
Анықтама. Кез келген жиын сызықты нормаланған кеңістік деп
аталады, егер:
1) сызықты кеңістік;
2) метрикалық кеңістік;
3) элементтерді нүктеге ығыстырғанда нүктелердің
ара қашақтығы өзгермесе, яғни , мұндағы ;
4) .
Осы анықтамадағы 3) шарттан мына теңдік орындалады:

Мына ара қашықтық ( элементтен нөл элементке дейінгі ара
қашықтық) кеңістіктегі элементтің нормасы деп аталады және ол
норма немесе таңбамен белгіленеді әрі нормаға мына шарттар
орындалады:
а) ; егер болса, онда;
б) ;
в) .
Жоғарыда қарастырылған метрикалық кеңістіктің элементінің
нормасы:, ал кеңістіктегі элементтің нормасы:
болады.
сегментте анықталған әрі дәрежелі өлшемді функциялар жиыны
таңбамен белгіленеді және оның элементтерінің нормасы

формуладан анықталады, мұндығы интеграл Лебег интегралы, - оң сан.
Егер , болса, онда , - кез келген сан. Егер
болғандағы кеңістік таңбамен белгіленеді және

Егер болса, онда - квадратымен қосындылы кеңістік деп аталады
және

Фубини теоремасы. Егер функция тікбұрышты облыста
қосындылы функция болса, онда:
1) кез келген тағайындалған үшін аргументті - функция
қосындылы функция;
2) жоғарыдағы 1) шарт орындалғанда мына интеграл -ке тәуелді
функция барлық үшін қосындылы функция;
3) мына теңдік орындалады:

.
Ескерту. Мына интегралдың бар болуынан, өлшемді жиынында
олардың теңдігі мен функцияның қосындылы функция болуы шықпайды.
Бірақта, егер өлшемді жиында өлшемді әрі оң функция болса және
екі еселі интегралдардың біреуі бар болса, онда екіншісі де бар болады және
мына теңдік орындалады:
.
Анықтама. метрикалық кеңістік компакты деп аталады, егер
кеңістікке тиісті кез келген шексіз жиыншада фундаменталды тізбек бар
болса.
Мысалы, математикалық анализ курсындағы Больцано-Вейерштрасс теоремасы
бойынша ([14,16] интервалдағы кез келген шексіз жиыншада шектік
нүкте бар, олай болса жиында фундаментальді тізбек бар, яғни
интервалы компакты метрикалық кеңістік болады.
Алдағы тақырыпта бізге қажет болатын мына меншіксіз интегралды
есептейік:

Ол үшін, функцияны облыста және айнымалар бойынша
интегралдайық:
(3.1)
Теңдіктің оң жағындағы ішкі интегралды екі рет бөліктеп интегралдайық, ал
сол жағындағы ішкі интегралды есептейік, сонда

Осыдан (3.1) теңдіктің оң жағындағы интеграл мына түрге:

ал оң жағындағы интеграл мына түрге түрленеді:

Соңғы екі теңдіктің оң жақтарын теңестірейік:
(3.2)
Енді (3.2) теңдіктің сол жағындағы екінші интегралды бағалайық:

Осы сияқты, (3.2) теңдіктің оң жағындағы екінші интегралды бағаласақ, онда
ол санынан кіші болады. Сондықтан -да шекке көшсек, онда

Осыдан

(3.3)
3.2. Тригонометриялық қатардың бірқалыпты
жинақтылығы

Математикалық анализ курсының практикалық есептерінде сегментте
функцияны тригонометриялық Фурье қатарына жіктеуге тура келеді:
(3.4)
мұндағы (3.4) теңдіктің оң жағындағы қатар тригонометриялық қатар деп
аталады, ал - Фурье коэффициенттері деп аталатын коэффициенттер мына
формулалардан анықталады:
(3.5)
(3.6)
3.1-теорема. Егер периоды -ге тең функция (3.4) теңдіктің
оң жағындағы қатарға жіктелсе және ол қатар барлық сандар өсінде
функцияға бірқалыпты жинақты болса, онда бұл тригонометриялық қатар
функцияның Фурье қатары болады.
Дәлелдеуі. Берілген функция үшін (3.4) теңдік орындалсын және
(3.4) теңдіктің оң жағындағы тригонометриялық қатар бірқалыпты жинақты
болсын. Онда
. (3.7)
функциялық қатардың қосындысы үзіліссіз функция болады және бұл қатарды
мүшелеп интегралдауға болады. Енді (3.4) теңдіктің екі жағын ке
көбейтейік:
. (3.8)
Соңғы теңдіктің оң жағындағы қатардың бірқалыпты жинақты болатынын
дәлелдейік. Ол үшін осы қатардың дербес қосындысын қарастырайық:
.
Кез келген санын алайық. Тригонометриялық (3.7) қатар бірқалыпты
жинақты болғандықтан, саны табылады және теңсіздікті
қанағаттандыратын барлық сандар үшін

теңсіздігі орындалады. Мұнда қосынды (3.7) тригонометриялық қатардың
дербес қосындысы болғандықтан, көбейтінді де (3.8) тригонометриялық
қатардың дербес қосындысы болады. Онда

теңсіздігі теңсіздікті қанағаттандырытың барлық сандар үшін
орындалады. Демек, (3.8) қатар бірқалыпты жинақты болады, онда (3.8)
қатарды мүшелеп интегралдауға болады. Енді (3.8) қатарды мүшелеп
интегралдап, (3.5) теңдікті аламыз. Осы сияқты, (3.8) теңдікті -ке
көбейтіп, (3.6) теңдікті аламыз. Олай болса, (3.4) қатар Фурье қатары
болады. Дәлелденді.
3.2-теорема. Егер периоды -ге тең абсолютті интегралданатын
функция (3.4) теңдіктің оң жағындағы қатарға жіктелсе және ол қатар периоды
бірдей саны санаулы үзілісті нүктелерден өзге нүктелердің бәрінде
функцияға жинақты болса, онда бұл қатар Фурье қатары болады.

3.3. Фурье қатарының комплекс түрі

Бізге периоды -ге тең, сегментте саны санаулы үзілісті
нүктесі бар әрі осы сегментте абсолютті интегралданатын функция
берілсін және тригонометриялық қатар Фурье қатары болсын, яғни (3.4) теңдік
орындалсын. Қатардың жалпы мүшесін (2.9-тақырып) Эйлер формуласы бойынша
түрлендірейік:

мұндағы
Енді болсын, онда (3.7) қатардың дербес қосындысы мына түрге
түрленеді:
(3.9)
Осы (3.7) қатардың (3.5) бен (3.6) коэффициенттерін жаңа коэффициент
арқылы түрлендірейік:

Енді (3.4) теңдікті ескеріп, (3.9) теңдіктен -да шекке көшейік:

Сонымен, егер функция (3.7) тригонометриялық қатардың қосындысы
болса, онда функцияның Фурье қатарының комплекс түрі мына түрде
жазылады:
(3.10)
мұндағы , (3.11)
Егер функцияның периоды болса, онда Фурье қатарының
комплекс түрі мына түрде жазылады:

(3.12)
мұндағы
, (3.13)
Жоғарыдағы (3.10) мен (3.11) формулалар Фурье қатарының комплекс түрі
деп аталады.

3.4. Фурье қатарының жинақтылығы

Біз сегментте қосындылы функцияны қарастырайық.
3.3-теорема. Егер функция сегментте қосындылы функция
болса, онда мына интегралдар:

да нөлге ұмтылады.
Дәлелдеуі. Берілген функция интервалда сипаттамалық
функция болсын. Онда да

Кез келген сатылы функция интервалдағы сипаттамалы
функциялардың сызықты комбинациясы болады. Сондықтан, сатылы функция үшін
теорема дәлелденді.
Егер кез келген қосындылы функция болса, онда берілген
саны үшін

теңсіздігі орындалатын сатылы функцияны таба аламыз және

теңсіздік орындалатындай теңсіздікті қанағаттандыратын оң санды
табамыз. Онда жоғарыда анықталған мәндер үшін мына теңсіздік
орындалады:

Теореманың екінші тұжырымы осы сияқты дәлелденеді. Дәлелденді.
Осы теоремадан мына салдарды аламыз.
Салдар. Кез келген интегралданатын функцияның Фурье қатарының
коэффициенттері да нөлге ұмтылады, яғни
3.4-теорема. Егер қосындылы үшін мына интеграл

жинақты болса, онда функцияның Фурье қатарының дербес қосындысы
нүктеде ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Лаплас түрлендіру қасиеттері
Операциялық есептеуді дифференциалдық теңдеулерді шешуге қолдану
Функцияны Фурье интегралымен жазып көрсету
Фурье қатары туралы жалпы түсінік
Интерполяция. Интерполяция ақаулары
Сигналдардың вейвлет-талдауы
Фурьенің тез түрлендіруі туралы түсінік
Шектелген облыста берілген толқындық оператордың шешімі туралы
Псевдопотенциалды теория
Дыбыстық технологиялардың компьютерлік құралдары
Пәндер