Фурье түрлендіруі

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 28 бет
Таңдаулыға:

ФУРЬЕ ТҮРЛЕНДІРУІ

3. 1. Функцияның нүктедегі

біржақты шектері және негізгі ұғымдар

Осы тақырыпта математикалық анализ курсында ([14, 16] ) қарастырылған үзілісті нүктелерге және алдағы тақырыптарда қажетті негізгі ұғымдарға қысқаша тоқталып өтейік.

Мына шектер бар болсын:

әрі олар сәйкес функцияның нүктедегі сол жақты және оң жақты шектері деп аталады. Егер теңдігі орындалса, онда функция нүктеде үзіліссіз деп аталады.

Егер нүктеде функцияның оң жақты, сол жақты шектерінің бірі немесе екеуіде жоқ болса, онда нүкте екінші түрдегі үзілісті нүкте деп аталады. Егер болса, онда нүкте бірінші түрдегі үзілісті нүкте деп аталады. Егер нүктеде функцияның оң жақты және сол жақты шектер бар болса, онда саны функцияның нүктедегі күрт үзілісті ара қашықтығы деп аталады.

Енді сегментте анықталған функцияны қарастырайық. Егер функцияның сегментте үзіліссіз туындысы бар болса, онда ол осы сегментте тегіс деп аталады. Егер функцияның өзі және оның туындысы сегментте не үзіліссіз, не саны санаулы нүктеде бірінші түрдегі үзілісті болса, онда функция сегментте бөлікті - тегіс функция деп аталады.

Функция сегментте Дирихле шартын қанағаттандырады деп аталады, егер сегментті саны санаулы дербес сегменттерге бөлгенде осы дербес сегменттердің әрқайсысының ішінде функция монотонды әрі шектеулі болса.

Математикалық анализ курсында ([14, 16] ) функцияның сегментте интегралдану анықтамасы мына түрде берілген: функция сегментте интегралданады деп аталады, егер интегралы (меншікті не меншіксіз) бар болса. Онда функция сегментте не үзіліссіз, не осы сегментте саны санаулы үзілісті нүктелердің маңайында функция шектелген немесе шектелмеген болуы мүмкін. Осы курста, саны санаулы нүктеде үзілісті функция үшін интегралы бар болса, онда функцияның осы сегментте интегралданатыны дәлелденген. Сонымен, егер интегралы бар болса, онда функция сегментте абсолютті интегралданады деп аталады.

Бізге берілген сегментті нүктелермен бөліктерге бөлейік. Егер әр бөліктегі функцияның мәні тұрақты болса, онда ол функция сатылы функция деп аталады.

Функция интервалда сипаттамалы функция деп аталады, егер

Егер функция сегментте қосындылы функция болса, яғни

онда бұл шарт Дини шарты деп аталады. Мысалы, дәрежелі Лившиц шарты деп аталатын мына шарт орындалса( ) :

мұндағы , онда функция үшін Дини шарты орындалады. Осы сияқты, егер функцияның нүктеде шектеулі туындысы бар болса, онда функцияға бірінші дәрежелі Лившиц шарты орындалады.

Анақтама. Кез келген жиын метрикалық кеңістік деп аталады, егер:

1) жиынның кез келген элементтеріне осы элементтердің ара қашықтығы деп аталатын саны табылса;

2) ара қашықтыққа мына аксиомалар орындалса;

2 а) , егер ( тепе-теңдік аксиомасы ),

2 б) ( симметриялы аксиомасы ),

2 в) ( үшбұрыш аксиомасы ) .

Анықтамада келтірілген аксиомалар кеңістіктегі метриканың аксиомалары деп аталады.

Мысалы, барлық үшін үзіліссіз функциялар жиынындағы функциялардың ара қашықтығын немесе үзіліссіз функциялар жиынындағы метриканы мына формула арқылы анықтасақ: , онда бұл метрика метриканың аксиомаларын қанағаттандырады, яғни бұл жиын метрикалық кеңістік болады. Сонымен, сегментте анықталған үзіліссіз функциялар жиынында метрикамен анықталған жиын метрикалық кеңістік болады және ол таңбамен белгіленеді.

Осы сияқты, сегментте анықталған үзіліссіз функциялар жиынында метрика

түрінде анықталса, онда метрика метриканың барлық аксиомаларын қанағаттандырады және ол жиын немесе кеңістік таңбамен белгіленеді.

Анықтама. Кез келген жиын сызықты нормаланған кеңістік деп аталады, егер:

сызықты кеңістік;
метрикалық кеңістік;
элементтердінүктеге ара қашақтығы өзгермесе, яғни, мұндағы;
.

Осы анықтамадағы 3) шарттан мына теңдік орындалады:

Мына ара қашықтық ( элементтен нөл элементке дейінгі ара қашықтық) кеңістіктегі элементтің нормасы деп аталады және ол норма немесе таңбамен белгіленеді әрі нормаға мына шарттар орындалады:

а) ; егер болса, онда ;

б) ;

в) .

Жоғарыда қарастырылған метрикалық кеңістіктің элементінің нормасы: , ал кеңістіктегі элементтің нормасы: болады.

сегментте анықталған әрі дәрежелі өлшемді функциялар жиыны таңбамен белгіленеді және оның элементтерінің нормасы

формуладан анықталады, мұндығы интеграл Лебег интегралы, - оң сан. Егер , болса, онда , - кез келген сан. Егер болғандағы кеңістік таңбамен белгіленеді және

Егер болса, онда - квадратымен қосындылы кеңістік деп аталады және

Фубини теоремасы. Егер функция тікбұрышты облыста қосындылы функция болса, онда:

кез келген - функция қосындылы функция;
жоғарыдағы 1) шарт орындалғанда мына интеграл-ке тәуелді функция барлықүшін қосындылы функция;
мына теңдік орындалады:

Ескерту. Мына интегралдың бар болуынан , өлшемді жиынында олардың теңдігі мен функцияның қосындылы функция болуы шықпайды. Бірақта, егер өлшемді жиында өлшемді әрі оң функция болса және екі еселі интегралдардың біреуі бар болса, онда екіншісі де бар болады және мына теңдік орындалады:

Анықтама. метрикалық кеңістік компакты деп аталады, егер кеңістікке тиісті кез келген шексіз жиыншада фундаменталды тізбек бар болса.

Мысалы, математикалық анализ курсындағы Больцано-Вейерштрасс теоремасы бойынша ([14, 16] интервалдағы кез келген шексіз жиыншада шектік нүкте бар, олай болса жиында фундаментальді тізбек бар, яғни интервалы компакты метрикалық кеңістік болады.

Алдағы тақырыпта бізге қажет болатын мына меншіксіз интегралды есептейік:

Ол үшін, функцияны облыста және айнымалар бойынша интегралдайық:

(3. 1)

Теңдіктің оң жағындағы ішкі интегралды екі рет бөліктеп интегралдайық, ал сол жағындағы ішкі интегралды есептейік, сонда

Осыдан (3. 1) теңдіктің оң жағындағы интеграл мына түрге:

ал оң жағындағы интеграл мына түрге түрленеді:

Соңғы екі теңдіктің оң жақтарын теңестірейік:

(3. 2)

Енді (3. 2) теңдіктің сол жағындағы екінші интегралды бағалайық:

Осы сияқты, (3. 2) теңдіктің оң жағындағы екінші интегралды бағаласақ, онда ол санынан кіші болады. Сондықтан -да шекке көшсек, онда

Осыдан

(3. 3)

3. 2. Тригонометриялық қатардың бірқалыпты

жинақтылығы

Математикалық анализ курсының практикалық есептерінде сегментте функцияны тригонометриялық Фурье қатарына жіктеуге тура келеді:

(3. 4)

мұндағы (3. 4) теңдіктің оң жағындағы қатар тригонометриялық қатар деп аталады, ал - Фурье коэффициенттері деп аталатын коэффициенттер мына формулалардан анықталады:

(3. 5)

(3. 6)

3. 1-теорема. Егер периоды -ге тең функция (3. 4) теңдіктің оң жағындағы қатарға жіктелсе және ол қатар барлық сандар өсінде функцияға бірқалыпты жинақты болса, онда бұл тригонометриялық қатар функцияның Фурье қатары болады.

Дәлелдеуі. Берілген функция үшін (3. 4) теңдік орындалсын және (3. 4) теңдіктің оң жағындағы тригонометриялық қатар бірқалыпты жинақты болсын. Онда

. (3. 7)

функциялық қатардың қосындысы үзіліссіз функция болады және бұл қатарды мүшелеп интегралдауға болады. Енді (3. 4) теңдіктің екі жағын ке көбейтейік:

. (3. 8)

Соңғы теңдіктің оң жағындағы қатардың бірқалыпты жинақты болатынын дәлелдейік. Ол үшін осы қатардың дербес қосындысын қарастырайық:

Кез келген санын алайық. Тригонометриялық (3. 7) қатар бірқалыпты жинақты болғандықтан, саны табылады және теңсіздікті қанағаттандыратын барлық сандар үшін

теңсіздігі орындалады. Мұнда қосынды (3. 7) тригонометриялық қатардың дербес қосындысы болғандықтан, көбейтінді де (3. 8) тригонометриялық қатардың дербес қосындысы болады. Онда

теңсіздігі теңсіздікті қанағаттандырытың барлық сандар үшін орындалады. Демек, (3. 8) қатар бірқалыпты жинақты болады, онда (3. 8) қатарды мүшелеп интегралдауға болады. Енді (3. 8) қатарды мүшелеп интегралдап, (3. 5) теңдікті аламыз. Осы сияқты, (3. 8) теңдікті -ке көбейтіп, (3. 6) теңдікті аламыз. Олай болса, (3. 4) қатар Фурье қатары болады. Дәлелденді.

3. 2-теорема. Егер периоды -ге тең абсолютті интегралданатын функция (3. 4) теңдіктің оң жағындағы қатарға жіктелсе және ол қатар периоды бірдей саны санаулы үзілісті нүктелерден өзге нүктелердің бәрінде функцияға жинақты болса, онда бұл қатар Фурье қатары болады.

3. 3. Фурье қатарының комплекс түрі

Бізге периоды -ге тең, сегментте саны санаулы үзілісті нүктесі бар әрі осы сегментте абсолютті интегралданатын функция берілсін және тригонометриялық қатар Фурье қатары болсын, яғни (3. 4) теңдік орындалсын. Қатардың жалпы мүшесін (2. 9-тақырып) Эйлер формуласы бойынша түрлендірейік:

мұндағы

Енді болсын, онда (3. 7) қатардың дербес қосындысы мына түрге түрленеді:

(3. 9)

Осы (3. 7) қатардың (3. 5) бен (3. 6) коэффициенттерін жаңа коэффициент арқылы түрлендірейік:

Енді (3. 4) теңдікті ескеріп, (3. 9) теңдіктен -да шекке көшейік:

Сонымен, егер функция (3. 7) тригонометриялық қатардың қосындысы болса, онда функцияның Фурье қатарының комплекс түрі мына түрде жазылады:

(3. 10)

мұндағы , (3. 11)

Егер функцияның периоды болса, онда Фурье қатарының комплекс түрі мына түрде жазылады:

(3. 12)

мұндағы

, (3. 13)

Жоғарыдағы (3. 10) мен (3. 11) формулалар Фурье қатарының комплекс түрі деп аталады.

3. 4. Фурье қатарының жинақтылығы

Біз сегментте қосындылы функцияны қарастырайық.

3. 3-теорема. Егер функция сегментте қосындылы функция болса, онда мына интегралдар:

да нөлге ұмтылады.

Дәлелдеуі. Берілген функция интервалда сипаттамалық функция болсын. Онда да

Кез келген сатылы функция интервалдағы сипаттамалы функциялардың сызықты комбинациясы болады. Сондықтан, сатылы функция үшін теорема дәлелденді.

Егер кез келген қосындылы функция болса, онда берілген саны үшін

теңсіздігі орындалатын сатылы функцияны таба аламыз және

теңсіздік орындалатындай теңсіздікті қанағаттандыратын оң санды табамыз. Онда жоғарыда анықталған мәндер үшін мына теңсіздік орындалады:

Теореманың екінші тұжырымы осы сияқты дәлелденеді. Дәлелденді.

Осы теоремадан мына салдарды аламыз.

Салдар. Кез келген интегралданатын функцияның Фурье қатарының коэффициенттері да нөлге ұмтылады, яғни

3. 4-теорема. Егер қосындылы үшін мына интеграл

жинақты болса, онда функцияның Фурье қатарының дербес қосындысы нүктеде мәнге жинақты болады.

Дәлелдеуі. Теореманы дәлелдеу үшін (3. 10) Фурье қатарының дербес қосындысын түрлендірейік:

Соңғы теңдікке алмастыруын қолданайық және функцияны сегменттен бастап периоды ге тең болатындай етіп, бүкіл сандар өсінде жалғастырайық. Онда айнымалы бойынша алынған интегралдың жаңа , интегралдау шектерін сәйкес мен ге алмастыруға болады, сонда

(3. 14)

Интеграл астындағы қосындыны табайық (геометриялық прогрессия)

Сонда (3. 14) дербес қосынды мына түрге түрленеді:

(3. 15)

Интеграл астындағы

функция Дирихле ядросы деп аталады. Егер болса, онда кез келген үшін болады. Енді айырымды бағалайық:

(3. 16)

Егер -да болса, онда (3. 16) айырым нөлге ұмтылады. Демек, теореманы дәлелдеу үшін соңғы тұжырымды дәлелдесек жеткілікті. Ол үшін Дини шарты орындалсын және тағайындалған үшін қосындылы функция анықталсын әрі шектеулі болсын және Дини шарты орындалсын, яғни

функция теңсіздікті қанағаттандыратын барлық бойынша интегралдансын, яғни барлық үшін интегралдансын. Онда

функция да интервалда интегралданады және (3. 16) интегралға 3. 3- теореманы пайдалануға болады. Онда, 3. 3- теорема бойынша, да интеграл нөлге ұмтылады. Дәлелденді.

3. 5. Фурье қатарының бірқалыпты жинақтылығы

3. 5-теорема. Егер қосындылы функция жиында шектелсе және Дини шарты бірқалыпты орындалса, яғни кез келген сан үшін саны табылып,

теңсіздік барлық үшін орындалса, онда функцияның Фурье қатары жиынында функцияға бірқалыпты жинақты болады.

Дәлелдеуі. Теореманы дәлелдеу үшін дәлелдеусіз мына тұжырымды қабыл алайық: кеңістігіндегі метрика бойынша компактылы болатын кез келген қосындылы функциялар жиынында мына шек

нөлге бірқалыпты жинақты болады.

Енді теореманы дәлелдейік. Алдын ала тағайындалған санына барлық үшін

(3. 16)

теңсіздігі орындалатындай санын тауып алуға болады. Онда Фурье қатарының дербес қосындысы мен функцияның айырымын түрлендірейік, мұндағы

(3. 17)

Сонда

мұндағы

Енді осы айырымды бағалайық. Интеграл астындағы функцияға теңсіздік орындалады. Онда, (3. 16) теңсіздіктен қосылғыш үшін мына теңсіздік орындалады, барлық үшін:

Енді қосындыларды бағалау үшін, айнымалыға тәуелді және параметрлі мына функциялар

кеңістігінде компактылы жиынды құрайтынын дәлелдейік. Ол үшін кез келген тізбек болсын, мұнда тізбекті нүктеге жинақты болсын деп алуға да болады, онда функция мәндері санға жинақталады. Онда кеңістіктің метрикасынан -да

Олай болса,

Онда, -да

яғни тізбек кеңістігінде фундаменталды (іргелі) тізбек болады. Олай болса, жиын компактылы жиын болады. Енді дәлелдеусіз қабыл алған тұжырым бойынша, барлық және теңсіздігін қанағаттандыратын үшін мына теңсіздік

орындалатындай санын тауып алуға болады. Осы сияқты, (3. 17) формуладағы қосынды үшін соңғы теңсіздікті дәлелдеуге болады. Сонымен, жеткілігінше үлкен үшін шама -нан кіші болады, барлық үшін. Дәлелденді.

3. 6. Фурье түрлендіруі

Периоды -ге тең функцияны гармоникалық тербеліс арқылы өрнектеу керек болса, біз Фурье қатарын пайдаланамыз:

(3. 18)

Периоды -ге тең функция үшін Фурье қатары мына түрде жазылады:

(3. 19)

Соңғы (3. 19) теңдікті функцияға көбейтіп, -ден -ге дейін бойынша интегралдайық. Сонда Фурье коэффициенттері мына формуладан анықталады:

(3. 20)

Енді (3. 19) бен (3. 20) теңдіктерден мына теңдікті аламыз:

(3. 21)

Егер (3. 21) интегралдан -да шекке көшуге болатын болса , онда

(3. 22)

мұндағы аргумент дискретті аргументтен алынған үзіліссіз аргумент. Сонымен, егер (3. 21) формуладан -да шек бар болған жағдайда функция гармоникалық тербеліс арқылы мына формуладан анықталады:

, (3. 23)

мұндағы

(3. 24)

(3. 24) формуладан анықталған функция функцияның Фурье түрлендіруі немесе Фурье интегралы , ал (3. 23) формула кері Фурье түрлендіруі деп аталады. Кері Фурье түрлендіруінің Фурье түрлендіруінен айырмашылығы көрсеткіштік функцияның дәрежесіндегі таңбада және коэффициентте. Кейбір жағдайларда Фурье түрлендіруін мына түрде жазады:

(3. 25)

онда кері Фурье түрлендіруі мына түрде анықталады:

(3. 26)

Фурье түрлендіруі мен оның кері түрлендіруі симметриялы болуы үшін көп жағдайда Фурье түрлендіруі мен оның кері Фурье түрлендіруін мына түрде анықтайды:

(3. 27)

(3. 28) Фурье түрлендіруі қай түрде жазылса да олар сызықты түрлендіру, яғни Фурье түрлендіруі пен функциялардың қосындысын мен функциялар қосындысына ауыстырады және сан мен функцияның көбейтіндісін мен көбейтінділеріне ауыстырады.

Біз төменде (3. 25) пен (3. 26) түрлендіруді қарастыратын боламыз.

3. 7. Фурье түрлендіруінің үзіліссіздігі

Жоғарыдағы 3. 6-тақырыпта, -да (3. 21) формуланың шегі бар болсын деп үйғардық. Осы шектің бар болуын дәлелдеу үшін, функция белгілі бір шарттарды қанағаттандырғанда (3. 25) теңдіктен (3. 26) теңдіктің орындалатынын дәлелдеуіміз керек.

Егер функция барлық үшін интегралданса, онда ның барлық мәндері үшін

интегралы бар. Онда функция шектелген әрі барлық үшін үзіліссіз және -да нөлге ұмтылады, яғни .

функцияның шектелгендігін мына теңсіздіктен аламыз:

Осы теңсіздіктен мынадай қорытындыға келеміз: кеңістіктің метрикасы бойынша жинақты функциялық тізбекті Фурье түрлендіруі бірқалыпты жинақты функциялық тізбекке ауыстырады.

Енді функцияның үзіліссіздігі мен оның нөлге ұмтылуын интервалдағы сипаттамалық функция үшін тексерейік. Онда

Соңғы теңдіктен функцияның үзіліссіз функция болатынын және

теңдік орындалатынын көреміз. Кез келген сатылы функция интервалдардағы сипаттамалық функциялардың сызықты комбинациясы болады, олай болса, функцияның үзіліссіздігі мен нөлге ұмтылуы барлық сатылы функцияларға да орындалады. Сонымен, кез келген қосындылы функция, кеңістіктің метрикасы бойынша сатылы функциялардың шегі болады. Дәлелденген функцияның Фурье түрлендіруі өсіндегі бірқалыпты жинақты үзіліссіз функциялардың шегі болады. Онда функцияның өзі де өсінде үзіліссіз және болады.

3. 8. Фурье түрлендіруінің формуласы

Осы тақырыпта, Фурье түрлендіруінің (3. 25) формуласынан (3. 26) формуланы қорытып шығарайық. Ол үшін (3. 26) формуланы шектеулі аралықта қарастырайық: