Дифференциалдық теңдеу

Кіріспе

І.Тарау. Коши есебі
1.1. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер
1.2. Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер
1.3. Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер
1.4. Ретін төмендетуге болатын тендеулер

ІІ.Тарау. Жуықтап шешу әдістері
2.1 Тізбектелген жуықтаулар тәсілі

Пайдаланылған әдебиеттер

Көбінесе физикалық, химиялық құбылыстарды зерттеу барысында х тәуелсіз айнымалы мен у ізделініп отырған функцияны тікелей байланыстыратын заңдылық табыла бермейді, бірақ осы функция мен оның туындыларының арасындағы байланысты алуға болатын жағдайлар кездеседі. Дифференциалдық теңдеу деп х тәуелсіз айнымалы, у ізделінетін функция және оның туындылары арасындағы тәуелділікті айтады. Дифференциалдық теңдеудің реті деп, осы теңдеу құрамындағы функцияның туындысының ең жоғары ретін айтады. Мысалы, -үшінші ретті дифференциалдық теңдеу.
Айталық, t=0 уақыт мезетінде температура дене температурасы а-ға тең ортаға оналастырылсын .
Дене температурасының уақытқа тәуелді өзгеру заңдылығын табайық.
Ізделінетін температура уақытқа тәуелді, сондықтан оны арқылы белгілейік. Дененің суу (суыйтын) жылдамдығы дене мен оны қоршаған ортаның температурасының айырымына пропорционал болатыны физикадан белгілі. шартынан функциясы кемімелі болатынын көреміз. Туындының механикалық мағынасына байланысты теңдеуін аламыз. Мұндағы k-пропорционалдық коэффициенті. Бұл теңдеуге белгісіз функциясы мен қоса оның туындысы да қатысып отыр, яғни ол-дифференциалдық теңдеу және ол арқылы жоғарыдағы физикалық құбылыс сипатталады.
Егер ізделінетін функция жалғыз айнымалыға тәуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу-қарапайым деп аталады.
Кез-келген n-ші ретті дифференциалдық теңдеу
(1)
түрінде жазылады
Мұндағы F – берілген (n+2) айнымалды, үзіліссіз дифференциалданатын функция; - ізделінетін функция; х тәуелсіз айнымалы.
Егер (1) теңдеуді жоғары ретті туынды арқылы шешуге болатын болса:
(2)

онда (2)-дифференциалдық нормаль теңдеу деп аталады.

1. Айдос. Е.Ж «Жоғарғы математика», Алматы-2003.
2. Сулейменов Ж.С «Дифференциалдық теңдеулер курсы» ,
Алматы -1991ж

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 21 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3

І-Тарау. Коши
есебі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ...5
1. Бірінші ретті дифференциалдық
теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... .5
2. Екінші ретті дифференциалдық
теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ...9
3. Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. .11
4. Ретін төмендетуге болатын
тендеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ...14

ІІ-Тарау. Жуықтап шешу
әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..1 8
1. Тізбектелген жуықтаулар
тәсілі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... 19

Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
...22

КІРІСПЕ

Көбінесе физикалық, химиялық құбылыстарды зерттеу барысында х
тәуелсіз айнымалы мен у ізделініп отырған функцияны тікелей байланыстыратын
заңдылық табыла бермейді, бірақ осы функция мен оның туындыларының
арасындағы байланысты алуға болатын жағдайлар кездеседі. Дифференциалдық
теңдеу деп х тәуелсіз айнымалы, у ізделінетін функция және оның туындылары
арасындағы тәуелділікті айтады. Дифференциалдық теңдеудің реті деп,
осы теңдеу құрамындағы функцияның туындысының ең жоғары ретін айтады.
Мысалы, -үшінші ретті дифференциалдық теңдеу.
Айталық, t=0 уақыт мезетінде температура дене температурасы а-
ға тең ортаға оналастырылсын .
Дене температурасының уақытқа тәуелді өзгеру заңдылығын табайық.
Ізделінетін температура уақытқа тәуелді, сондықтан оны
арқылы белгілейік. Дененің суу (суыйтын) жылдамдығы дене мен оны қоршаған
ортаның температурасының айырымына пропорционал болатыны физикадан белгілі.
шартынан функциясы кемімелі болатынын көреміз. Туындының
механикалық мағынасына байланысты теңдеуін аламыз. Мұндағы k-
пропорционалдық коэффициенті. Бұл теңдеуге белгісіз функциясы мен
қоса оның туындысы да қатысып отыр, яғни ол-дифференциалдық теңдеу және ол
арқылы жоғарыдағы физикалық құбылыс сипатталады.
Егер ізделінетін функция жалғыз айнымалыға тәуелді болса, онда
дифференциалдық теңдеу-қарапайым деп аталады.
Кез-келген n-ші ретті дифференциалдық теңдеу

(1)
түрінде жазылады
Мұндағы F – берілген (n+2) айнымалды, үзіліссіз дифференциалданатын
функция; - ізделінетін функция; х тәуелсіз айнымалы.
Егер (1) теңдеуді жоғары ретті туынды арқылы шешуге болатын болса:
(2)

онда (2)-дифференциалдық нормаль теңдеу деп аталады.
(1) немесе (2) дифференциалдық теңдеудің шешімі деп қандай да бір
(a,b) аралығында n-ші ретке дейінгі туындылары бар және осы теңдеуді
қанағаттандыратын y(x) функциясын айтады.
n-ші ретті дифференциалдық теңдеудің шешімі, анықтама бойынша,
белгілі бір (a,b) аралығында n-1 ретті туындылары үзіліссіз n-ші
ретті туындысы бар y(x) функциясы. Біз функцияның n-ші ретті туындысы да
(a,b) аралығында үзіліссіз деп санаймыз.
Дифференциалдық теңдеудің шешімінің графигін осы теңдеудің интегралдық
қисығы деп атайды.
Дифференциалдық теңдеулердің шешімін табу интегралдау амалы арқылы
жүретіндіктен бұл процесті дифференциалдық теңдеудің интегралдау дейді.
Дербес жағдайда, n=1 болса, онда бірінші ретті дифференциалдық
теңдеуді

(3)
аламыз.
Егер (3) теңдеу арқылы шешілетін болса:

(4)
онда (4)-бірінші ретті дифференциалдық нормаль теңдеу деп аталады.
Егер аймағының кез-келген нүктесінде

теңдеулерінің біреуінің y(x), шешімі, екіншісінің де шешімі болса,
онда бұл дифференциалдық теңдеулер жиынында эквивалентті деп аталады.

аймағында эквивалентті дифференциалдық теңдеулерді бір ғана
теңдеу деп есептейді.

І-ТАРАУ. КОШИ ЕСЕБІ.

1.1 Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер.

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің бастапқы шарт деп аталатын
шартын қанағаттандыратын шешімін табу есебін Коши есебі (О.Л.Коши
1789-1857-аса көрнекті француз математигі ) деп атайды.
Коши есебінің шешімі жалпы жағдайа бар болуы да болмауы да мүмкін.
Егер Коши есебінің шешімі бар болса, онда ол жалғыз ба? Бұл сұраққа келесі
теорема жауап береді.

Теорема (Коши есебінің бар және оның жалғыз болуы туралы).
Егер нормаль дифференциалдық теңдеуінің оң жағындағы функциясы
және оның дербес туындысы G аймағының нүктесінің белгілі бір
маңайында үзіліссіз болса, онда бұл теңдеудің шартын
қанағаттандыратын жалғыз шешімі бар.
болғанда y фукциясының берілген санын тең болу шартын
(бастапқы шартты) көбінесе түрінде жазады.
Бірінші ретті
(3)
дифференциалдық теңдеуін қарастырайық. Мұндағы функциясы және оның
дербес туындылары үш өлшемді кеңістіктің белгілі бір
аймағында үзіліссіз болсын.

Егер

(4)
теңдігінің сол жағындағы функциясы белгілі бір аймақтың
нүктелерінде үзіліссіз дифференциалданатын функция болса, онда оны х
бойынща дифференциалдаудан шыққан

(5)
теңдеумен бірге қарастырып, С-ны шығарып тастағанда пайда болған теңдеу (3)
теңдеуге эквивалентті болса, онда (4) теңдік (3) дифференциалдық теңдеудің
жалпы интегралы деп аталады.
(4) жалпы интегралды арқылы шешіп алынған

(6)
функциясын (3) дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі деп атайды. Мұндағы
С параметрдің кез-келген мәніне сәйкес алынған функциясы (3)
дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі болады.
1-мысал. (7)
дифференциалдық теңдеу үшін
(8)
функциясы С параметрінің кез-келген мәнінде шешім болатынын көруге болады.

(8) теңдікті х бойынша дифференциалдасақ,
(9)
аламыз. Енді (8) және (9) теңдіктердің біреуінен С-ні тауып екіншісіне
қойсақ, онда (7) дифференциалдық теңдеуді аламыз. Олай болса, аниқтама
бойынша (8) теңдік (7) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы.
2-мысал. С параметріне тәуелді
(10)
функцияны х бойынша дифференциалдасақ,
(11)
аламыз. (10) және (11) теңдіктерден С параметрін шығарып тастау үшін
(11)теңдікті үшінші дәрежеге шығарамыз:

Енді (10) теңдік пен осы алынған теңдіктен келесі дифференциалдық
теңдеуді аламыз немесе

(12)
Демек, (10)теңдік (12) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы.
Мынадай мәселе туады: бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы
интегралы С параметрінің кез-келген мәнінде осы дифференциадық теңдеудің
шешімдерінің барлығын қамти ала ма?
Жалпы жағдайда жауап теріс. Алайда келесі теорема орындалады.
Теорема. Айталық
()
дифференциалдық теңдеуінің сол жағындағыфункциясы және оның
дербес туындылары нүктелерінің белгілі бір аймағында үзіліссіз
және дифференциалдық теңдеуінің С қатысты шешілген

(13) жалпы интегралдағы функциясы жазықтығының
белгілі бір аймағында үзіліссіз дифференциалданатын болсын.
Егер , функциясы (13) теңдеуінің С параметрінің белгілі
бір мәніне сәйкес келетін аралығында үзіліссіз дифференциалданатын
шешімі болса, онда ол () дифференциалдық теңдеуінің де шешімі және
керісінше () дифференциалдық теңдеуінің әрбір шешімі (13)
теңдеудің де (С-ның қандай да бір мәніне сәйкес) шешімі болады.
, функциясы (13) теңдеудің мәніне сәйкес
үзіліссіз дифференциалданатын шешімі болсын
.
Алынған тепе-теңдік х бойынша дифференциалдасақ
(14)
аламыз, яғни функциясы
(15)
дифференциалдық теңдеуінің шешімі. Ал (15) теңдеу () дифференциалдық
теңдеудің жалпы интегралының анықтамасына сай алынған құрамында С параметрі
жоқ дифференциалдық теңдеу. Сондықтан да (15) және () дифференциалдық
теңдеулері эквивалентті, яғни функциясы () дифференциалдық
теңдеуінің де шешімі.
Керісінше, , функциясы () дифференциалдық теңдеудің шешімі
болсын. Демек, ол () дифференциалдық теңдеудің де шешімі, яғни (14)
тепе-теңдік орын алады. Ал (14) тепе-теңдік
түрінде жаза аламыз. Бұл теңдікті ден ке дейін интегралдасақ
,

яғни функциясы аралығында теңдеуінің де шешімі болатынын
көреміз.
1-мысалда, , (7)
дифференциалдық теңдеуінің жалпы интегералын С-ға қатысты шешсек

Бұл теңдеудің сол жағындағы функциясының дербес туындылары

жазықтығының кез-келген нүктесінде үзіліссіз, демек, теорема бойынша
интгерал (7) дифференциалдық теңдеуінің барлық шешімдерін қамтиды.
2-мысалда,

(12)
дифференциалдық теңдеуінің жалпы , инетегралын С арқылы шешсек

()
аламыз.
(12) дифференциалдық теңдеудегі функциясының дербес туындылары
бүкіл кеңістікте үзіліссіз; Ал функциясының у бойынша
дербес туындысы y=0 өсінің бойында жоқ, демек теорема шарты
орындалмайды. Олай болса (12) дифференциалдық теңдеудің кез-келген шешімін
оның жалпы ((10) немесе ()) интегралынан ( С параметрінің қандай да
бір мәніне сәйкес) аламыздеп айта алмаймыз. Басқаша айтқанда, (12)
дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы ол теңдеудің барлық шешімін
қамтымауы мүмкін.
1-суретте (12) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралындағы С-
ның әртүрлі мәндеріне сәйкес келетін кубтық параболалар кескінделген.
Бұл параболалардың әрбіреуі (12) дифференциалдық теңдеудің
интегралдық қисығы. Бірақ (12) дифференциалдық теңдеудің осы (немесе
()) жалпы интегралдан өзге шешімдері де бар, мысалды
1-суретте толық сызықпен көрсетілген

қисығы . Мұндай қисықтар (шешімдер) ақырсыз жиынды құрайды, өйткені олар
болатын сандар жұбына сәйкес алынады.
Бұл қисықтарды С-ға қандай мән берсекте, жалпы интегралдан шығара
алмаймыз.
Егер (12) дифференциалдық теңдеуді (немесе ) жарты
кеңістікте қарастырсақ да (12) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы
оның барлық шешімін қамтиды.

1.2. Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер
Негізгі ұғымдар. Коши есебі

Екінше ретті туындыларға сәйкес шешілген дифференциалдық теңдеудің
жалпы түрі

(1.21)
Жалпы шешімі

(1.2.2)
бұл теңдеудің екі тәуелсіз және тұрақтылары бар.
Жалпы шешім (1.2.2)-нің геометриялық мағынасы тәуелсіз мен
параметрлерге тәуелді шексіз интегралдық қисықтардың жиыны болып
табылады. Дәлірек айтқанда жазықтықтың әрбір нүктесі арқылы
интегралдық қисықтар шоғыры өтеді. Сондықтан осы қисықтардан бір анықталған
Z қисығын бөліп алу үшін нүктесі арқылы өтетін бағытты да көрсету
жеткіліксіз, сонымен бірге нүктесі арқылы өтетін бағытты да көрсету
керек, яғни осы қисыққа жанама болатын түзулердің өсінің оң бағытымен
бұрышының тангенсін де көрсету керек. болғанда, ,
болатындай бастапқы шарттарға келеміз. (1.2.2) теңдеуді негізінде мынаны
табамыз:

(1.2.3)

Бұл теңдеулер жүйесінен мен ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.