Көбінесе физикалық, химиялық құбылыстарды зерттеу барысында
х
тәуелсіз айнымалы мен
у
ізделініп отырған функцияны тікелей байланыстыратын заңдылық табыла бермейді, бірақ осы функция мен оның туындыларының арасындағы байланысты алуға болатын жағдайлар кездеседі.
Дифференциалдық теңдеу
деп
х
тәуелсіз айнымалы,
у
ізделінетін функция және оның туындылары
арасындағы тәуелділікті айтады. Дифференциалдық теңдеудің реті деп, осы теңдеу құрамындағы функцияның туындысының ең жоғары ретін айтады. Мысалы,
туындылары бар және осы теңдеуді қанағаттандыратын
y(x)
функциясын айтады.
n
-ші ретті дифференциалдық теңдеудің шешімі, анықтама бойынша, белгілі бір
(a, b)
аралығында
«n-1»
ретті туындылары
үзіліссіз
n
-ші ретті туындысы бар
y(x)
функциясы. Біз
функцияның n-ші ретті туындысы да (a, b) аралығында үзіліссіз
деп санаймыз.
Дифференциалдық теңдеудің шешімінің графигін осы
теңдеудің интегралдық қисығы
деп атайды.
Дифференциалдық теңдеулердің шешімін табу интегралдау амалы арқылы жүретіндіктен бұл процесті
дифференциалдық теңдеудің интегралдау
дейді.
Дербес жағдайда, n=1 болса, онда бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді
онда (4) -бірінші ретті дифференциалдық нормаль теңдеу деп аталады.
Егер
\[\bigcap{}\]
аймағының кез-келген
нүктесінде
\[F_{1}(x,y,y\phi)=0,\]
\[F_{2}(x,y,y\phi)\!=\!0\]
теңдеулерінің біреуінің
y(x)
,
\[x\in(a,b)\]
шешімі, екіншісінің де шешімі болса, онда бұл дифференциалдық теңдеулер
\[\underline{{\left(\sum\right)}}\]
жиынында эквивалентті
деп аталады.
\[\underline{{\left(\sum\right)}}\]
аймағында эквивалентті дифференциалдық теңдеулерді бір ғана теңдеу деп есептейді.
І-ТАРАУ. КОШИ ЕСЕБІ.
1. 1 Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер.
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің
бастапқы шарт
деп аталатын
\[y(x_{o})=y_{o}\]
шартын қанағаттандыратын шешімін табу есебін
Коши есебі
(О. Л. Коши 1789-1857-аса көрнекті француз математигі ) деп атайды.
Коши есебінің шешімі жалпы жағдайа бар болуы да болмауы да мүмкін. Егер Коши есебінің шешімі бар болса, онда ол жалғыз ба? Бұл сұраққа келесі теорема жауап береді.
Теорема (Коши есебінің бар және оның жалғыз болуы туралы) .
теңдеумен бірге қарастырып,
С-
ны шығарып тастағанда пайда болған теңдеу (3)
теңдеуге эквивалентті болса,
онда (4) теңдік (3) дифференциалдық теңдеудің
жалпы интегралы
деп аталады.
(4) жалпы интегралды
\[{\mathfrak{Y}}\]
арқылы шешіп алынған
\[y=\phi\left(x,c\right)\]
(6)
функциясын (3) дифференциалдық теңдеудің
жалпы шешімі
деп атайды. Мұндағы
С
параметрдің кез-келген мәніне сәйкес алынған
\[y=y(x)\]
функциясы (3) дифференциалдық теңдеудің
дербес шешімі
болады.
1-мысал.
\[y\phi=2y,\quad x,y\in R\]
(7)
дифференциалдық теңдеу үшін
\[y=C e^{2x},\quad-\Psi\
(8)
функциясы
С
параметрінің кез-келген мәнінде шешім болатынын көруге болады.
(8) теңдікті
х
бойынша дифференциалдасақ,
\[y\phi=C e^{2x},\quad-\Upsilon\times x<+\infty\]
(9)
аламыз. Енді (8) және (9) теңдіктердің біреуінен
С-
ні тауып екіншісіне қойсақ, онда (7) дифференциалдық теңдеуді аламыз. Олай болса, аниқтама бойынша (8) теңдік (7) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы.
аламыз. (10) және (11) теңдіктерден
С
параметрін шығарып тастау үшін (11) теңдікті үшінші дәрежеге шығарамыз:
Енді (10) теңдік пен осы алынған теңдіктен келесі дифференциалдық теңдеуді аламыз
\[(y\phi)^{3}=27y^{2}\]
немесе
\[(y\phi^{3}\,.\,\,27y^{2}=0\]
(12)
Демек, (10) теңдік (12) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы.
Мынадай мәселе туады:
бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы
С
параметрінің кез-келген мәнінде осы дифференциадық теңдеудің шешімдерінің барлығын қамти ала ма?
Жалпы жағдайда жауап теріс. Алайда келесі теорема орындалады.
туындысы
y=0
өсінің бойында жоқ, демек теорема шарты орындалмайды. Олай болса (12) дифференциалдық теңдеудің кез-келген шешімін оның жалпы ((10) немесе (
\[10^{\prime}\]
) ) интегралынан ( С параметрінің қандай да бір мәніне сәйкес) аламыздеп айта алмаймыз. Басқаша айтқанда, (12) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы ол теңдеудің барлық шешімін қамтымауы мүмкін.
1-суретте (12) дифференциалдық теңдеудің
\[y=\left(x-c\right)^{3},\]
жалпы интегралындағы С-ның әртүрлі мәндеріне сәйкес келетін кубтық параболалар кескінделген.
Бұл параболалардың әрбіреуі (12) дифференциалдық теңдеудің интегралдық қисығы. Бірақ (12) дифференциалдық теңдеудің осы (немесе (
\[10^{\prime}\]
) ) жалпы интегралдан өзге шешімдері де бар, мысалды
болатындай бастапқы шарттарға келеміз. (1. 2. 2) теңдеуді негізінде мынаны табамыз:
(1. 2. 3)
Бұл теңдеулер жүйесінен
\[\textstyle{C_{1}}\]
мен
\[C_{2}\]
тұрақтыларды анықтап, (1. 2. 2) теңдеуін және берілген бастапқы шарттарды
\[y\biggl\vert_{x=x_{0}}=y_{0}\]
(1. 2. 4)
қанағаттандыратын
\[y=\phi\left(x\right)\]
дербес шешімдерді табамыз (Коши есебі) .
Екінші дәрежелі дифференциалдық теңдеудің көмегімен динамикалық негізгі теңдеуі табылады.
Массасы m материалдық нүкте Ox өсінің бойымен айнымалы F күштің әсерімен қозғалады делік. Егер осы нүктенің үдеуі a арқылы белгілесек, Ньютон заңы бойынша
\[m a=F\]
(1. 2. 5)
Жалпы жағдайда F күші нүктенің координаты х болатын қозғалыстын t уақытына және
n рет үзіліссіз дифференциалданатын функция болып табылады. Демек, (1. 3. 1) немесе (1. 3. 2) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы, бірінші ретті теңдеу сияқты,
(1. 3. 5)
теңдігімен анықталады.
Геометриялық тұрғыдан, берілген n-ші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі (интегралы)
Оху
жазықтығында жатқан
- n тұрақтылардан тәуелді қисықтар жиынтығы болады.
Ал олардың ішінен біреуін бөліп алу, оның дербес шешімін алу үшін осы тұрақтыларды анықтайтын теңдеулерден басқа, қосымша шарттар берілуі қажет. Ондай шарт ретінде (1. 3. 3) функциясының жәнс оның (n-1) -ші ретті туындыларының
- алдын ала берілген сандар. Берілгсн (6) теңдіктср бастапкы шарттар немссе Коши шарттары деп аталады. Ал оларды пайдалану аркылы (1. 3. 1) немесе (1. 3. 2) тендеудің дербес шешімін (интегралын) табу Коши есебін шешу (интегралдау) деп аталады.
1. Теорема
(Коши есебі шешімінің бар және оның жалғыз болуы жөнінде) . Айталық, (1. 3. 1) немесе (1. 3. 2) дифференциалдық тендеу және (1. 3. 6) бастапқы шарттар берілген болсын.
тиуындылары болсын, онда ол дифференциалдық теңдеудің х
0
нүктесінің белгілі бір маңайында анықталған және берілген бастапкы шарттарды қанагаттандыратын шешімі бар жене ол шешім жалғыз болады.