Математика пәнінен лекция тезистері

Жоспар
Кіріспе

1 НАТУРАЛ САНДАР
2 ТЕРІС ЕМЕС БҮТІН САНДАР
3 САНАУ ЖҮЙЕЛЕРІ

Сан о баста заттарды санаудың мұқтаждығынан пайда болған негізгі математикалық ұғымдардың бірі. Ол кейін математикалық білімдердің дамуына қарай жетілдірілді. Бұл ұғым өте ерте заманда, күллі математика ғылымы сияқты адамдардың практикалық қызметінің қажеттігінен кедіп туды. Ол өте баяу қалыптасты, сөйтіп барған сайын күрделене түскен әуелі практикалық, ал онан соң теориялық сипаттағы мөселелерді шешу барысысында көптеген ғасырлар бойы біртіндеп кеңейіп жөне жалпыланып отырды.
«Натурал сандар » терминін тьұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций / шамамен 480-524/ қолданған.
Бұл ұғымның маңыздылығы туралы ғалымдар мынандай пікірлер айтқан. Мәселен, Э.Борель: (1871-1956) "Адамдардың білімі онда санның қандай роль атқаратынына байланысты ғылым атына ие болуға ылайық", деп жазды. С.Стевин (1548-1620) былай деп жазды: "Сандардың арасында ғажайып келісімділік пен үйлесімділіктің бары соншалық, біз олардың керемет заңдылығы туралы күн-түн демей ойлануымыз керек..."
"Біз, деп жазды Н..Н. Лузин (1883-1950), — бірлік ұғымын жазылғаны (ашқаны емес, жасағаны) үшін адамның данышпандығы алдында бас июге тиіспіз. Сан пайда болды, ал сонымен бірге Математика да пайда болды. Сан идеясынан, ең ұлы ғылымдардың бірінің тарихы, міне содан басталады".
"Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар жиынтығының санын оларды санамай-ақ, яғни, өзара бір мәнді сәйкестікті тағайындау негізінде қабылдануымен сипатталады. Өте ұзақ дамудың нөтижесінде адам натурал сандарды жасаудың келесі кезеңіне жетті — жиынды салыстыру үшін аралық жиындарды қолдана бастады. Бұл кезеңде сан саналатын жиындардан ерекшеленген жоқ.
Натурал сандар жиынының ерекшелігі сол, оның элементтері тізбектеліп орналасқан, сондықтан қандай элементті қайсысынан кейінгі келесі элемент, қандай элементті қайсысынан бұрынғы алдыңғы элемент екендігін және қандай элемент бастапқы элементтағайындауға болады. Мұндай жиын сандардың реттелген натурал қатары деп аталады.
Адам аралық жиындарды қолдануға үйренгеннен кейін барып қана объектілер мен аралық жиындар арасындағы ортақ нәрсені анықтады. Аралық жиындардан, оның элементтері табиғатынан дерексіздендіру мүмкін болатыннан кейін натурал сан туралы түсінік пайда болды.
Уақыт өте келе адамдар сандарды атауды ғана емес, оларды белгілеуді де, сондай-ақ олармен амалдар орындауды да үйренді.
Осынау мөселелерді шешудегі көптеген қиыншылықтар (үндістанда сандардың ондық жазуы мен нөл ұғымының жасалуы) нәтижесінде ғана жойылды. Әуелде санның жоқтығын білдірген нөл теріс сандар ұғымы енгізілгеннен кейін ғана сан ретіңде қарастырылатын болды. Натурал сандар жиынының шексіздігі тура түсінік те біртіндеп қалыптасты. "Натурал сан" терминін тұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций /шамамен 480-524 жылдар/ қолданған.
Натурал сандар арифметикасының аксиоматикалық құрылымын, әдетте, Д.Пеаноның /1858-1932/ есімімен байланыстырады, әйтсе де натурал қатардың аксиоматикалық сипаттамасы одан аздап бұрын /1888/ Р.Дедекинд /1831-1916/ тарапынан берілген болатын.
XIX ғасырда ғалымдардың назары натурал санның математикалық теорияларын, яғни натурал саңцармен есептеулер жүргізуге негіз болған теорияларды құруға жөне логикалық түрғыдан негіздеуге аударылды. Санның натурал қатарыңдағы терең заңдылықтарды зерттеу қазіргі уақытқа дейін жалғастырыльш, сандар теориясын да қамтуда.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 11 бет
Таңдаулыға:

14.ЛЕКЦИЯ ТЕЗИСТЕРІ

НАТУРАЛ САНДАР
Натурал сан мен нөл сандарының шығуы туралы қыскаша мәліметтер. Натурал
сандардың аксиомалары.

Мақсаты:
1..Натурал сандармен таныстыру.
2.Натурал сандарды басқа сандардан ажырата алу.

Сан о баста заттарды санаудың мұқтаждығынан пайда болған
негізгі математикалық ұғымдардың бірі. Ол кейін математикалық білімдердің
дамуына қарай жетілдірілді. Бұл ұғым өте ерте заманда, күллі математика
ғылымы сияқты адамдардың практикалық қызметінің қажеттігінен кедіп туды. Ол
өте баяу қалыптасты, сөйтіп барған сайын күрделене түскен әуелі
практикалық, ал онан соң теориялық сипаттағы мөселелерді шешу барысысында
көптеген ғасырлар бойы біртіндеп кеңейіп жөне жалпыланып отырды.
Натурал сандар терминін тьұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций шамамен
480-524 қолданған.
Бұл ұғымның маңыздылығы туралы ғалымдар мынандай пікірлер
айтқан. Мәселен, Э.Борель: (1871-1956) "Адамдардың білімі онда санның
қандай роль атқаратынына байланысты ғылым атына ие болуға ылайық", деп
жазды. С.Стевин (1548-1620) былай деп жазды: "Сандардың арасында ғажайып
келісімділік пен үйлесімділіктің бары соншалық, біз олардың керемет
заңдылығы туралы күн-түн демей ойлануымыз керек..."
"Біз, деп жазды Н..Н. Лузин (1883-1950), — бірлік ұғымын
жазылғаны (ашқаны емес, жасағаны) үшін адамның данышпандығы алдында бас
июге тиіспіз. Сан пайда болды, ал сонымен бірге Математика да пайда болды.
Сан идеясынан, ең ұлы ғылымдардың бірінің тарихы, міне содан басталады".
"Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар
жиынтығының санын оларды санамай-ақ, яғни, өзара бір мәнді сәйкестікті
тағайындау негізінде қабылдануымен сипатталады. Өте ұзақ дамудың
нөтижесінде адам натурал сандарды жасаудың келесі кезеңіне жетті — жиынды
салыстыру үшін аралық жиындарды қолдана бастады. Бұл кезеңде сан саналатын
жиындардан ерекшеленген жоқ.
Натурал сандар жиынының ерекшелігі сол, оның элементтері тізбектеліп
орналасқан, сондықтан қандай элементті қайсысынан кейінгі келесі элемент,
қандай элементті қайсысынан бұрынғы алдыңғы элемент екендігін және қандай
элемент бастапқы элементтағайындауға болады. Мұндай жиын сандардың
реттелген натурал қатары деп аталады.
Адам аралық жиындарды қолдануға үйренгеннен кейін барып қана
объектілер мен аралық жиындар арасындағы ортақ нәрсені анықтады. Аралық
жиындардан, оның элементтері табиғатынан дерексіздендіру мүмкін
болатыннан кейін натурал сан туралы түсінік пайда болды.
Уақыт өте келе адамдар сандарды атауды ғана емес, оларды
белгілеуді де, сондай-ақ олармен амалдар орындауды да үйренді.
Осынау мөселелерді шешудегі көптеген қиыншылықтар (үндістанда
сандардың ондық жазуы мен нөл ұғымының жасалуы) нәтижесінде ғана жойылды.
Әуелде санның жоқтығын білдірген нөл теріс сандар ұғымы енгізілгеннен
кейін ғана сан ретіңде қарастырылатын болды. Натурал сандар жиынының
шексіздігі тура түсінік те біртіндеп қалыптасты. "Натурал сан" терминін
тұңғыш рет римдік ғалым А.Боэций шамамен 480-524 жылдар қолданған.
Натурал сандар арифметикасының аксиоматикалық құрылымын,
әдетте, Д.Пеаноның 1858-1932 есімімен байланыстырады, әйтсе де натурал
қатардың аксиоматикалық сипаттамасы одан аздап бұрын 1888 Р.Дедекинд
1831-1916 тарапынан берілген болатын.
XIX ғасырда ғалымдардың назары натурал санның математикалық
теорияларын, яғни натурал саңцармен есептеулер жүргізуге негіз болған
теорияларды құруға жөне логикалық түрғыдан негіздеуге аударылды. Санның
натурал қатарыңдағы терең заңдылықтарды зерттеу қазіргі уақытқа дейін
жалғастырыльш, сандар теориясын да қамтуда.
Натурал сандар ұғымының соншылық қарапайым және табиғи көрінетіні
соншалық — ғылымда ұзақ бойы оны қандай да болса қарапайым ұғымдардың
термиңдерімен анықтау туралы мәселе қойылған жоқ.
Натурал санды және сандардың натурал қатарын анықтаудың мейлінше
өр түрлі жолдары және соған сөйкес натурал сандар жиынындағы операциялар
амалдар мен қатынастарды енгізуге қатысты да түрліше жолдар орын алып
келеді. Натурал сандар саннан кейінгі тетелес сан болып табылмайды.
Натурал сандардың аксиомаларын итальян математигі Пеано айтқан
түрінде келтірейік.
Ол аксиомалар мыналар:
Бірлік саны ешбір натурал саннан кейінгі келесі сан бола алмайды.
Әрбір а саны үшін жалғыз ғана келесі а' (немесе а+1) саны
болады.
Егер келесі сандар теңбе-тең болса, яғни а' = болса, онда а саны Ь санына
теңбе-тең болады.
Егер а санының қандай да бір қасиеті болса және егер оның мұндай
қасиеті бар деп алғанда а' санында да сол қасиет болса, онда бұл қасиет
натурал сандардың барлығына да тән қасиет болады (толық математикалық
индукция принципі).
Төртінші аксиоманы "математикалық индукция аксиомасы" деп атайды.

Математикалык индукция (немесе п -нен л' = “ + 1-ге көшу) ұғымын
индукция ұғымымен шатастырмау керек: индукция дегеніміз - бақылау мен
тәжірибе нәтижесін пайдаланып зерттеу әдісі, ол -дедукцияға, яғни алдын-
ала қабылданған ұйғарымдардан логикалық қорытынды жасау әдісіне, қарсы
қойылатын әдіс.
Натурал сандар заттарды санау кезінде қолданылады деп есептейді.
Санау процесінде реттік натурал сандарды пайдаланады, ал жиынның барлық
элементтерін санап шыққан соң осы жиынның сандық сипаттамасын алады. Басқа
сөзбен айтқанда, санау кезінде сандардың натурал қатарының кесіндісін
пайдаланады.
Натурал сан қатары, нөл саны, бірлік ұғымдары адамдардың
практикалық қажеттіліктерінен пайда болған. Сондай-ақ, сандарға
қолданылатын амалдар жөніндегі бастапқы біліміміздің көзі де айналамыздағы
нәрселер, олардың жиын және сол нерселердің арасындағы қатынастар болады.

Бақылау сұрақтары:
1. Сан ұғымының маңыздылығы туралы ғалымдардың пікірі.
2. Натурал сан терминін тұңғыш қолданған ғалым.
3.Натурал қатардың шексіздігі жайында және соншалық үлкен сандар атауларын
жасау әйгілі туындылары.
4. Натурал қатары.
5. Теріс емес бүтін сандар жиынын реттейтін қатыс.
6.Натурал сандардың негізгі қасиеттері.
7.Натурал қатарды анықтаудың тәсілі.
8. “Натурал сан” ұғымы.
9. Натурал сандар теориясы.
10. Нөл ұғымы.

Жаттығу:
1. Даринаның 8 шары болды. 3 шары жарылды. Даринада неше шар қалды?

2.Азиза мен Индира 9 жапырақ салды. Азиза 4 жапырақ салды. Индира
неше жапырақ салған.
3. Теріс емес бүтін түбірлерінің жиынын тап:
а) 170-(25+х)=70: в) (х+15)-60=90
4. Көбейтіндіні тиімді тәсілмен табыңыз, ондағы қолданған заңдарды
атаңыз
45 х 12 х 5 х 10 х 265
5.Ыңғайлы тәсілмен есептеңіз: (53785+5998)-3785;
6.Өрнек құрып, мәнін табыңыз: а) 173 және 98 айырмасына 367 қосыңыз:
б) 796 және 487 айырмасына 391 және 272 сандарының айырмасын қосыңыз;
7.Берілген теңдіктердің қайсысы дұрыс?
А) 96:(4х2)=96:4х2 В)810:90=810:10:9
8.(46+18)-10 өрнегінің мәнін неше тәсілмен табуға болады?

ТЕРІС ЕМЕС БҮТІН САНДАР
Теріс емес бүтін сандар жиынының, реттік қатынастың түсініктемесі.
Теріс емес бүтін сандарға қолданылатын амалдарды анықтау.

Мақсаты:
1.Теріс емес бүтін сандарды түсіндіру.
2.Оларға амалдар қолдана алу..

Натурал сандар жиынымен бір ғана элементтен – 0 санынан
тұратын жиынның бірігуі теріс емес бүтін сандар жиынын құрады. Теріс емес
бүтін сандар жиыны және дегеніміз, яғни
Теріс емес бүтін сандар жиыны және дегеніміз, яғни “артық”,
“кем”, “тең” қатынастары теріс емес екі бүтін сандарды салыстырудың
нәтижесін білдіреді. Бұл қатынастар теориялық-жиындық негізде былайша
анықталады.
Егер а,в( болса, онда а=п(А), в=п(В) мұндағы А және В шектеулі жиындар.
Егер а және в санды тең қуаттас жиындармен анықталатын болса,
онда олар тең болады: а=в(А( В, мұндағы п(А)=а, п(В)=в.
Егер А және В жиындары тең қуаттас болмаса, онда олар анықтайтын
сандар әртүрлі.
Теріс емес бүтін сандар үшін “кем” қатынасының қасиеттерін же
теориялық-жиындық тұрғыдан анықтауға болады.Мысалы, осы қатынастың
транзитивтілігі мынаған байланысты: А(В, В(С, А(В(С болса, онда А(С
шығады, ал антисимметриялылығы егер В жиынының меншікт ішкі жиыны А болса,
онда В жиыны А жиынының меншікті ішкі жиыны бола алмайды.
“Теңдік” таңбасын ағылшынның математик мұғалімі Р.Рекорд 1510-
1558, ал “артық”, “кем” таңбаларын тұңғыш рет ағылшын математигі Т.Харриот
1560-1621 қолданғанын айта кеткен жөн.
Сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың ең оңайы сандарды
қосу амалы болып табылады. Бұл амал жиындарға қолданылатын операциялардан
шыққан.
Теріс емес бүтін сандарға амалдар қолдану нәтижесінде жаңа сан
шығады. Бұл амалдар - қосу, азайту, көбейту және бөлу.
Теріс емес бүтін сандардың қосындысы қиылыспайтын жиындардың
бірігуі арқылы анықталады.
Натурал сан 8 натурал 5 және 3 сандарының қосындысы деп аталады, ал
5 және 3 сандарынан олардың қосындысын құрастыру ол сандарды қосу деп
аталады.
Жалпы алғанда, егер А, В және олардың қосындысы С жиындарының тиісті
элементтері а, в және с болса, онда а мен в сандарынан с санын құрастыру а
мен в сандарын қосу деп аталады, ал с саны олардың қосындысы. а мен ь
сандары қосылғыштар деп аталады.
Мұны былай да айтуға болады: натурал а мен ь сандарының қосындысы
деп мынадай бір жаңа с санын айтамыз, ол с саны ортақ элементтері болмайтын
және қуаттары а мен ь сандарымен өрнектелетін А және В жиындарының бірігуі
болып табылатын С жиынының қуатын көрсетеді.
Қосуды белгілеп көрсету үшін плюс деп аталатын (+) таңбасы
қолданылады.
Теріс емес бүтін сан а-ға нөлді немесе нөлге а санын қосу дегеніміз
сол а санының өзі шығады деген сөз екендігін ескертейік.
Демек, а+о және о+а символдары а санын көрсетеді, яғни о+а=а. жөне
о+а=а. Дербес жағдайда, а = о болғанда, о+-о=о.
Теріс емес бүтін а және в сандарының айырмасы деп а=п(А), в=п(В)
және В(А болғандағы В жиынының А жиынына дейінгі толықтауышының
элементтерінің санын айтады және мына шартты қанағаттандырады: а-в =п(А\В),
мұндағы а=п(А), в=п(В), В(А.
А-в айырмасын табуға қолданылатын амал азайту деп, ал а саны –азайғыш, в
саны – азайтқыш деп аталады.
Теріс емес бүтін а және в сандарының көбейтіндісі дегеніміз мына
шарттарды қанағаттандыратын теріс емес бүтін ахв сандарын айтады:
1) ахв=а+а+...+а,
2) ах1=а, мұндағы в=1;
3)ах0=0, мұндағы в=0.
Теріс емес бүтін а және натурал в сандарының бөліндісі дегеніміз в
санымен көбейтіндісі а-ға тең болатын теріс емес бүтін с=ахв с санын
айтады.
Бастауыш сынып математикасында бөлу туралы алғашқы ұғым жиындарды
өзара қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлетін машық жұмыс арқылы енгізіледі,
бірақ терминология мен символдар енгізілмейді. Бөлу ұғымының мағынасы жай
есептерді шешу арқылы ашылады.
Математиканың бастауыш курсында теріс емес бүтін сандардың
қосындысы заттардың екі жиынын біріктіруге берілген жаттығу жұмыстарының
негізінде енгізіледі. Қосудың теориялық-жиынтық мәнін ашудың басты құралы
–арифметикалық жай есептер.
Бақылау сұрақтары:
1.Теріс емес бүтін сан.
2. Теріс емес бүтін сандар жиынын құрудың әртүрлі жолдары.
3.Теріс емес бүтін сандар жиынындағы “тең”, “артық” қатынастары.
4.Алғаш “теңдік” таңбасын қолданған кім?
5. Алғаш “артық”, “ кем” таңбаларын қолданған математик.
6. Бос жиынның қуаты.
7.Теріс емес бүтін сандар жиынындағы “кем”, “артық” қатынастары.
8. Теріс емес бүтін сандар жиынын құрудың теориялық-жиындық тәсілі.
9.Санаудың ондық жүйесі қай ғасырда, қай жерде қалыптасты.
10.Д.Пеано аксиомасы.
Жаттығу:
1.Теріс емес бүтін сандарды 3 –ке бөлгенде қалдықта қанша қалуы
мүмкін.
2. Теріс емес бүтін сан дегеніміз:
;
;
; қайсысы дұрыс?
3.Бастауыш сыныптың математика оқулығынан “кем”, “артық” қатысын
теориялық жиынтық тұрғыдан қарастыратын мысал келтір.
4.Теріс емес бүтін сандар жиынын қай қатыс: “кем”, “кейін” реттейді?
5.Теңдеудің теріс емес бүтін түбірлерінің жиынын тап: 170-(25+х)=70
6. Өрнекті тиімді жолмен есептеңіз: 4х747х25х6
7.Теріс емес бүтін сандарды қосуда түрлендіру жасауға болытынын
көрсетіңіз: 209+56+71+34+29
8.Теріс емес бүтін сандарды қосуға қатысты тиімді заңды қолданып,
есептеңіз: 4х8х3х25х125
9.Бастауыш сынып математика оқулығынан Пеано аксиомаларына қолданылатын
есептерден мысал келтіріңіз.
10.Өрнек құр және мәнін табыңыз: 173 және 29 айырмасына 456 санын
қосыңыз.

САНАУ ЖҮЙЕЛЕРІ
Санау жүйелері туралы ұғым. Ондық санау жүйесі. Бір жүйеден екінші
жүйеге ауысуы туралы түсінік

Мақсаты:
1.Санау жүйесі туралы ұғым беру.
2. Кез келген жүйеден екінші жүйеге көше алуы.

Санау жүйесінің қандайы болса да мынадай принципке негізделеді:
бірліктердің белгілі бір саны келесі жоғарғы дәрежесінің, немесе жоғарғы
разрядтың жаңа бірлігін құрайды. Бұл сан санау жүйесінің негізі деп
аталады. Осы санға қарай нумерация жүйесіне арнаулы атау беріледі, анықтап
айтқанда: егер нумерацияның негізіне 12 саны алынған болса, екілік деп
т.с.с. аталады. Қандай да болсын бір санау жүйесі бойынша таңбаланған сан
жүйелі сан деп аталады.
Алғашқы адамдар санау процесінде стандарт жиындар ретінде өздері жақсы
білетін етене жинақтың, бөлігін пайдаланған, ал қуаты көбірек жиынды білуі
қажет болған жағдайларда, ол жинақты бірте-бірте ұлғайтып отырған. Осылайша
ұлғайту нәтижесінде жаңа стандарт жиындар шығарып алу тәсілін сипаттайтын
сандарға жаңадан атау беріп отыру қажет болған.
Алайда стандарт жиындар сан алуан болғанмен, олардың бәріне тән жалпы
бір ерекшелігі болған; оларды құрайтын элементтерді адам жеке-дара күйінде
қабылдауымен қатар, ол элементтерді өз ұғымында біріктіріп, өзі жақсы
білетін тұтас жиын ретінде қабылдаған. Сөйтіп, әрбір стандарт жиын туралы
адамның айқын түсінігі болған.
Адам баласының көпшілігі жиынды осы түрде түсінетін болғандықтан,
көбінесе олар 10 элементтен құралған жиынмен қанағаттанған (сірә, бұл
адамның он саусағы болатындығына байланысты болар), сондықтан мәдениеттің
алғашқы кезеңдерінде стандарт жиындарды ұлғайту процесінде көбінесе сол он
элементтен құралатын жинақпен қанағаттанып отырған. Бірақ мәдениеттің
өркендеп дамуымен байланысты қуаты бұдан едәуір артық жиынды білу қажет
болған. Осы практикалық қажеттен санаудың мынадай әдісі пайда болған:
жиынды санау процесінде стандарт жиынды сипаттайтын белгілі бір санға,
көбінесе 10 санына жеткенде, 10 элементтен құралған топты өз алдына жеке
бөліп, онан әрі қарай тағы да бірден бастап санаған, сөйтіп жаңа топ
құралғанша осылай санай отырып, бұл топтардың санын және қалған элементтер
санын анықтап отырған. Осындай 10 топ шыққанда, олардың өзін үлкен бір топ
ретінде қарастырып, мұндай топтарға, жеке элементтерге арнаулы атаулар
берілген.
Практикалық талаптарға сай тіл де жүйелік сан ұғымының сол жоғарыда
көрсетілген тәсіліне орайласа отырып, мәдениеттің төменгі сатыларының
өзінде-ақ “бір”, “екі”, “үш” т.с.с. ұғымдарды білдіру үшін эәне
элементтердің түрліше топтарын атау үшін жеке сөздер жасады және сол
сөздерді пайдаланып басқа қалған сандардың атауларын құрастырды.
Ерекше таңбаларды қолданып, сандарды жазбаша түрде кескіндеу едәуір
кейініректе дамыған және алғашқы кездерде тіпті ертедегі гректер мен
римдіктер сияқты жоғары мәдениетті халықтардың өздеріне өте қолайсыз
болған. Саны шамалы ғана шартты таңбаларды пайдаланып, қарастырылып отырған
жүйенің кез келген санын жазбаша кескіндеп көрсету мәселесін тек біздің
эрамыздың басында ғана индустар шешкен, бұл үшін олар сандарды кескіндеу
үшін қолданылатын таңбаларға алып тұрған “орындарына қарай” мән беру керек
деген идеяны ұсынған. Бұл идеяның түпкі мәні мынау: бір таңбаның өзі
берілген санның жазбаша кескіннінде алып тұрған орнына қарай әр түрлі мәнге
ие болады.
Санау жүйесінің негізі етіп бір k санын алсақ, санау жұмысын жүргізу
үшін біздің қарамағымызда сандардың мынадай қатарлары болады:
І. 1, 2, 3, 4, ..., (k-1).
ІІ. k, 2k, 3k, 4k, ..., (k-1)· k
ІІІ. k2, 2k2, 3k2, 4k2, ..., (k-1)· k2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
(n+1) ·kn, 2kn, 3kn, 4kn,..., (k-1)· kn
Негізгі k ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.