Аспан механикасы. Студенттерге арналған қосымша оқу құралы

Жоспар
Кіріспе

Кіріспе
1 ТАРАУ. Күн жүйесі планеталарының қозғалысы
§ 1. Планеталардың көрінерлік қозғалысы
§ 2. Птолемейдің әлемдік жүйесі
§ 3. Коперниктің әлемдік жүйесі
§ 4. Планеталардың синодтық және сидерлік айналу периодтары
§ 5. Коперник ілімінің таралуы
§ 6. Күн жүйесіндегі геометриялық қатынастар
§ 7. Жұлдыздар аберрациясы және жылдық параллаксы
§ 8. Коперник моделінің дамып жетілуі
§ 9. Айдың көрінерлік қозғалысы. Ай фазалары. Тұтылулар
§10. Аспан механикасына сипаттама
2 ТАРАУ. Аспан механикасының негізгі әдістері
§11. Ньютонның бүкіләлемдік тартылыс заңының ашылуы
Екі дене есебі
§12. Кеплер заңдарының жалпылама түрі
§13. Аспан денелерінің массаларын анықтау әдістері
§14. Күн жүйесіндегі аспан денелері
§15. Ғаламшарлардың және серіктерінің қозғалысы
§16. Күн жүйесінің ұсақ денелерінің қозғалыстары
§17. Ай қозғалысындағы ұйтқуларды зертттеу
§18. Айдың және Күннің Жердің ілгерілемелі және өз осінен айналмалы қозғалысына ұйтқу әсері. Тасулар
§19. Көп дененің қозғалысы жайындағы есеп. 3 дене есебі
§20. Ұйтқулы қозғалыс
§21. Сапалық аспан механикасы туралы шағын мәлімет
3 Т А Р А У. Ғарышкерлік негіздері
§22. Ғарышкерліктің пайда болуы және дамуы
§23. Астродинамика жайындағы түсінік
§24. Ғарыштық жылдамдықтар
§25. Жасанды серіктердің қозғалысы
§26. Айға сапар
§27. Басқа планеталарға ұшу сапарының сипаттамалары жайында
Қорытынды
Қосымшалар
Қ1. Жұлдыз динамикасының мәселелері
Қ2. Жұлдыз динамикасында статистикалық заңдылықтарды қолдану
Әдебиет
Қ3. Үлкен планеталардың және астероидтардың, планета серіктерінің және сақиналарының сипаттамалары

Адамзаттың тарихында ерекше маңызды роль атқарған ғылым бар. Бұл – астрономия. Астрономия- аспан шырақтарының, олардың жүйелерінің қозғалыстарын, физикалық құрылымын, олардың және тұтас әлемнің пайда болуы мен эволюциясы туралы ғылым. Зерттеу әдісіне және зерттейтін объектісіне сәйкес астрономия бірнеше салаға бөлінеді: астрометрия, планеталық астрономия, аспан механикасы, планеталар физикасы, Күн физикасы, астрофизика, астрономиясы, космогония және космология. Астрономияның әрқашанда қызықтыратын жағы - аспандағы шырақтардың қозғалыстарын түсіндіруі. Осы тұрғыдан алғанда аспан денелерінің екі тобын бөліп айтуға болады: жұлдыздар және планеталар. Жұлдыздардың тәуліктік көрінерлік қозғалысы астрометрия саласында сипатталады және түсіндіріледі. Астрометрия- аспан денелерінің көрінерлік қозғалыстарын зерттеу әдістерін қорытады. Астрономиялық бақылаулардың көмегімен дәл уақытты анықтау, күнтізбелерді құру, жер бетіндегі бағдарлану және пункттердің географиялық координаттарын анықтау әдістерін зерттейді. Ал планеталардың және Күн жүйесінің басқа денелерінің қозғалыстарына осы оқу құралында сипаттама бермекшіміз. Бұл- астрономияның планеталық астрономия мен аспан механикасы салалары. Планеталық астрономия саласында планеталардың көрінерлік және нақты қозғалыстарына сипаттама беріледі. Аспан механикасы- аспан денелерінің және олардың жүйелерінің тартылыс күштерінің және басқа күштердің әсерінен болатын кеңістіктік қозғалыстарын зерттейді. Аспан денелерінің фигуралары мен олардың орнықтылығын, аспан денелерінің және олардың жүйелерінің пайда болуы және эволюциясы мәселелерін түсінуге көмектеседі.
Планеталар физикасы, Күн физикасы, астрофизика аспан денелерінің физикалық құрылымын, химиялық құрамын физикалық әдістемелердің көмегімен зерттейді. Жұлдыздар астрономиясы кеңістікте жұлдыздардың, газды- шаңды бұлттардың, жұлдыз жүйелерінің орналасуын, олардың құрылымы мен эволюциясын, орнықтылығын зерттейді. Жұлдыздар астрономиясының бір бөлімі: жұлдыз жүйелерінің динамикасы болып табылады. Жұлдыз динамикасы алғашында аспан механикасының құрамында пайда болған.

Пән: Астрономия
Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 41 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі
М. Өтемісов атындағы Батыс Қазақстан мемлекеттік университеті

Кенжәлиев Д.И.

(

Аспан механикасы

Астрономия, физика және информатика және математика мамандықтары
бойынша оқитын студенттерге арналған қосымша оқу құралы

Орал – 2007

ӘОЖ 521:07
КБЖ 22.62я7
К 30

Автор: Кенжәлиев Д.И. – физика-математика ғылымдарының кандидаты,
доцент.

Пікір жазғандар: Сырым Ж.С. – физика-математика ғылымдарының кандидаты,
доцент, БҚМУ.
С.Х.Ахметкереев – аға оқытушы, Батыс Қазақстан
агротехникалық университеті

Батыс Қазақстан мемлекеттік университетінің оқу - әдістемелік кеңесі
ұсынған

Кенжәлиев Д.И.
К 30 Аспан механикасы және жұлдыз жүйелері динамикасы: Жоғарғы оқу
орындарының студенттеріне арналған оқу құралы.- Орал, БАҚ және баспа
орталығы 2007.-151б.

ISBN 9965-748-00-4

Ұсынылып отырған оқу құралында автор астрономияның маңызды бөлімі –
аспан механикасы мәселелерін баяндап өткен. Бұл саладан қазақ тіліндегі
басылымдардың жоққа жуық аздығы белгілі.
Автор оқу құралында аспан механикасына және оның жеке салаларына шолу
жасаған. Астродинамика, Ғарышкерлік (Космонавтика) сияқты жас, кейінгі
кезінде жақсы дамып бара жатқан салаларынан басқа, ХІХ ғасырда аспан
механикасы аясында пайда болған, кейін одан бөлініп, жұлдыздық астрономияға
қосылып кетсе де, аспан механикасымен байланысын үзбеген саласы – Жұлдыз
жүйелері динамикасы-на да сипаттама берілген.
Оқу құралында қамтылған мәселелер жоғарғы оқу орындарының
астрономия, физика, математика және география мамандықтарында
оқитын студенттерге, орта мектеп оқытушыларына астрономия саласынан білімін
тереңдетуге көмегін тигізеді.

К
КБЖ 22.62я7

ISBN 9965-748-00-4
© Кенжәлиев Д.И., 2007
© М.Өтемісов БАҚ және баспа орталығы, 2007
Мазмұны

Кіріспе
4

1 ТАРАУ. Күн жүйесі планеталарының қозғалысы
12
§ 1. Планеталардың көрінерлік қозғалысы
12
§ 2. Птолемейдің әлемдік жүйесі
14
§ 3. Коперниктің әлемдік жүйесі
17
§ 4. Планеталардың синодтық және сидерлік айналу периодтары 19
§ 5. Коперник ілімінің таралуы
22
§ 6. Күн жүйесіндегі геометриялық қатынастар
24
§ 7. Жұлдыздар аберрациясы және жылдық параллаксы
30
§ 8. Коперник моделінің дамып жетілуі
32
§ 9. Айдың көрінерлік қозғалысы. Ай фазалары. Тұтылулар
35
2 ТАРАУ. Аспан механикасының негізгі әдістері
42

§10. Аспан механикасына сипаттама
42

§11. Ньютонның бүкіләлемдік тартылыс заңының ашылуы
Екі дене есебі
56
§12. Кеплер заңдарының жалпылама түрі
60
§13. Аспан денелерінің массаларын анықтау әдістері
67
§14. Күн жүйесіндегі аспан денелері
70
§15. Ғаламшарлардың және серіктерінің қозғалысы
78
§16. Күн жүйесінің ұсақ денелерінің қозғалыстары
83
§17. Ай қозғалысындағы ұйтқуларды зертттеу
85
§18. Айдың және Күннің Жердің ілгерілемелі және өз осінен айналмалы
қозғалысына ұйтқу әсері. Тасулар 86
§19. Көп дененің қозғалысы жайындағы есеп. 3 дене есебі
94
§20. Ұйтқулы қозғалыс
95
§21. Сапалық аспан механикасы туралы шағын мәлімет
98
3 Т А Р А У. Ғарышкерлік негіздері
105
§22. Ғарышкерліктің пайда болуы және дамуы
105
§23. Астродинамика жайындағы түсінік
108
§24. Ғарыштық жылдамдықтар
112
§25. Жасанды серіктердің қозғалысы
113

§26. Айға сапар
120

§27. Басқа планеталарға ұшу сапарының сипаттамалары жайында 123

Қорытынды
131

Қосымшалар
133

Қ1. Жұлдыз динамикасының мәселелері
133

Қ2. Жұлдыз динамикасында статистикалық заңдылықтарды қолдану 137
Қ3. Үлкен планеталардың және астероидтардың, планета серіктерінің және
сақиналарының сипаттамалары
141
Әдебиет
148

Кіріспе

Адамзаттың тарихында ерекше маңызды роль атқарған ғылым бар. Бұл –
астрономия. Астрономия- аспан шырақтарының, олардың жүйелерінің
қозғалыстарын, физикалық құрылымын, олардың және тұтас әлемнің пайда болуы
мен эволюциясы туралы ғылым. Зерттеу әдісіне және зерттейтін объектісіне
сәйкес астрономия бірнеше салаға бөлінеді: астрометрия, планеталық
астрономия, аспан механикасы, планеталар физикасы, Күн физикасы,
астрофизика, астрономиясы, космогония және космология. Астрономияның
әрқашанда қызықтыратын жағы - аспандағы шырақтардың қозғалыстарын
түсіндіруі. Осы тұрғыдан алғанда аспан денелерінің екі тобын бөліп айтуға
болады: жұлдыздар және планеталар. Жұлдыздардың тәуліктік көрінерлік
қозғалысы астрометрия саласында сипатталады және түсіндіріледі. Астрометрия-
аспан денелерінің көрінерлік қозғалыстарын зерттеу әдістерін қорытады.
Астрономиялық бақылаулардың көмегімен дәл уақытты анықтау, күнтізбелерді
құру, жер бетіндегі бағдарлану және пункттердің географиялық координаттарын
анықтау әдістерін зерттейді. Ал планеталардың және Күн жүйесінің басқа
денелерінің қозғалыстарына осы оқу құралында сипаттама бермекшіміз. Бұл-
астрономияның планеталық астрономия мен аспан механикасы салалары.
Планеталық астрономия саласында планеталардың көрінерлік және нақты
қозғалыстарына сипаттама беріледі. Аспан механикасы- аспан денелерінің және
олардың жүйелерінің тартылыс күштерінің және басқа күштердің әсерінен
болатын кеңістіктік қозғалыстарын зерттейді. Аспан денелерінің фигуралары
мен олардың орнықтылығын, аспан денелерінің және олардың жүйелерінің пайда
болуы және эволюциясы мәселелерін түсінуге көмектеседі.
Планеталар физикасы, Күн физикасы, астрофизика аспан денелерінің
физикалық құрылымын, химиялық құрамын физикалық әдістемелердің көмегімен
зерттейді. Жұлдыздар астрономиясы кеңістікте жұлдыздардың, газды- шаңды
бұлттардың, жұлдыз жүйелерінің орналасуын, олардың құрылымы мен
эволюциясын, орнықтылығын зерттейді. Жұлдыздар астрономиясының бір бөлімі:
жұлдыз жүйелерінің динамикасы болып табылады. Жұлдыз динамикасы алғашында
аспан механикасының құрамында пайда болған. Оны сол кезде жұлдыздардың
аспан механикасы деп те атаған көрінеді, өйткені ол- жұлдыздардың тартылыс
күштерінің әсерінен қозғалыстарын түсіндіріп, болашақтағы орындарын алдын-
ала есептеп табуды мақсат етеді. Кейінірек ол зерттеу объектісі бойынша
аспан механикасынан оқшауланып, бөлек сала болып дамып келеді. Жұлдыз
жүйелерінің динамикасы Ғаламның құрамындағы жұлдыздардың тартылыс
күштерінің әсерінен қозғалыстарының заңдылықтарын анықтайды.
Соңғы жылдары әлем халқы назарын аударған қомақты мәселенің бірі
– космостық зерттеулерді іске асыру. Бұл ХХ ғасырдың ғылым мен техниканың
маңызды жетістіктерінің бірі екеніне ешкім талас келтірмейді. Жасанды
аппараттардың Жердің тартылыс өрісін жеңіп, ғарыш кеңістігін және басқа
аспан денелерін зерттеу мақсатымен, ғарыш кеңістігіне ұшып шығып, сапар
шегуі дұрыс теориялық негізсіз мүмкін болмас еді. Бұл теория – Ньютонның
бүкіләлемдік тартылыс заңына сүйенген аспан механикасы еді. Сонымен аспан
механикасы- қазіргі Күн жүйесі денелерінің және жасанды денелер қозғалысын
түсіндіре алатын, болашақ қозғалысын жоғары дәлдікпен алдын ала есептеуге
мүмкіндік беретін теория. Астрономия тарихында жаңа планетаны ашу оқиғасы
да аспан механикасының дәл есептеулерімен байланысты болған.
Аспан механикасының бір саласы- астродинамика. Ол ғарышкерлік
саласына да кіреді. Ғарышкерлік (космонавтика) өз алдына жеке сала болып
табылады. Ол автоматты және құрамында адам бар ғарыштық аппараттарды
пайдаланып, әлемдік кеңістікті зерттеуді және игеруді мақсат ететін ғылым
мен техника саласы болып табылады. Ол ракетодинамика және астродинамика деп
бөлінеді. Ракетодинамика саласын қарасты-ру біздің мақсатымызға кірмейді.
Астродинамика -жасанды аспан денелерінің қозғалысын және оларды басқару
мәселелерін зерттейтін аспан механикасының саласы болып табылады.
Аспан механикасы саласынан білім алу үшін астрономия оқулықтарын [2-
4,6,8,9] оқыған дұрыс болады. Солардың ішінде университеттерге арналған
Бакулин және басқ.-ның[8], педагогтік институттарға арналған Дагаев және
басқ.-ның[9], Голубева және басқ.[4], гидрометеорологиялық институт
студенттеріне арналған Пирожныйдың [3] оқулығын айтуға болады. Сөйтіп,
алдын-ала астрономиялық дайындық алып кіріскен дұрыс болар еді. Кейбір
кітаптарды дайындықсыз оқуға да болады: бұл қазақ тілінде шығарылған
Х.Әбішұлының Халық астрономиясы[2] және Аспан сыры, өте түсінікті
тілмен жазылған Е.А.Гребеников, Ю.А.Рябовтың [11,14] кітаптары, А.А.
Гурштейннің [23], Деминнің [18] О. Байндердің [15] кітапшаларын айтуға
болады.
Аспан механикасының пайда болуы және дамуы
Адам баласы ежелден планеталардың аспандағы орын ауыстыруын
бақылап, оны өз тұрғысынан түсіндіруге тырысқан. Қазақ халқының ауыз
әдебиетінде осындай аңыздардың үлгілерін табуға болады. Меркурийді қазақтар
- Болпан немесе Кіші Шолпан, Марсты - Қызыл жұлдыз, Юпитерді – Есекқырған,
Сатурнды – Қоңырқай деп атаса керек. (Прманов К. Сохраним самобытные
научные термины казахского народа.Физика және астрономия-Физика и
астрономия, №6(15), 2005). Аспан шырақтарының қозғалысы жөніндегі алғашқы
көзқарастар кей халықтарда аңыз түрінде сақталды. Ежелгі грек
философтарының еңбектерінде әлемнің моделі түрінде қалыптасты. Ежелгі грек
философтарының ең алғашқы модельдері осындай сипатта болды. Филолайдың,
Аристархтың, Пифагордың, Аристотельдің және т. б. философтарының әлем
жүйелерінің әрқайсысы аспандағы шырақтардың көрінерлік қозғалысын
түсіндіруге тырысты. Осы модельдердің ішінде ең жетілгені Птолемей моделі
болған. Ежелгі грек ойшылдары Әлемнің негізгі қасиеті етіп сфералық
симметрияны бөліп алды. Жалпы симметрия принципі (Гармония) астрономияның
ғылым болып қалыптасуына себепші болған екен [45]. Парменид мифологиялық
көзқарастан нақты физикалық әлем ұғымына көшті. Филолай аспан денелерін де
Жерді де шар пішінді, ал олардың қозғалысы сфералық симметриялы қозғалыс
деп есептеді, ал Эратосфен Жердің сфералық пішінін қабылдап, оның
өлшемдерін анықтау әдісін ұсынды. Астрономияның дамуына ежелгі грек
астрономдарымен бірге үнді, қытай және араб астрономдары ерекше үлес
қосқан.Орта ғасырларда Европа елдерінде ғылым үшін қара түнек заман
орнағанда, ғылымның, оның ішінде астрономияның жетістіктерін болашақ ұрпақ
үшін сақтап,әрі толықтырып, дамытқан араб және Орта Азия ғалымдары болатын.
Әл-Хорезми, әл-Фараби, әл-Баттани, Бируни және т.б. даналар ежелгі дүние
мен үнді астрономиясының мұрасын игеріп дамытты [22,26]. Әл-Фараби жан-
жақты еңбек жазған ғалым болса да оның астрономиялық бағыттағы еңбектері
ерекше орын алады. Ол Птолемей жүйесін жетілдіріп, оны түсіндіретін
еңбектер жазды, алғашқы болып Шолпанның Күн дискісінен өтуін бақылаған.
Европада бұл құбылысты көп кейін, 1639 жылы ғана бақылаған. Бируни жайында
оқырман [42] жинақтан, ал Әл-Фараби астрономиялық еңбектері жайында
Кубесовтың [22] кітабынан танысуға болады.
Птолемей жүйесі планеталардың қозғалыстарын алдын ала есептеуге
мүмкіндік беретіндіктен, әрі діни көзқарастарға үйлесетіндіктен, орта
ғасырларға дейінгі аралықта бұл модель дүниетанымдық және практикалық
қажеттіктерді қанағаттандыратын ең сенімді модель болып танылған. Орта
ғасырлардағы теңіздегі саяхаттардың арқасында Жер бетінде коммуникациялық
байланыстардың күшеюі, және сонымен байланысты Жер бетінде бағдарлау
әдістеріне қойылатын талаптың күшеюі Птолемей жүйесінің кемшіліктерін
көрсетті. Оның ішіндегі бастысы- шындыққа үйлеспейтіндігі болатын. Николай
Коперниктің терең зерттеу жұмысы нәтижесінде жаңа модель - Коперник жүйесі
дүниеге келді. Бұл жүйенің де кемшіліктері бар еді, бірақ ол Күн жүйесі
құрылымын дұрыс негізде түсіндірді. Коперник идеясы діннің кертартпа
қарсылығын жойып, ғылымның қарыштап алға дамуына түрткі болды. (Коперниктің
өмірі мен қызметі егжей-тегжейлі баяндалған еңбектерді оқуға болады- [40-
42]) Осы кезде аспан денелерінің қозғалысы дұрыс негізде түсіндіріліп, дәл
есептелінетін болған. Бұның өзі уақытты өлшеу, Жер бетіндегі бағдарлану,
Жер қорларын барлау және т.б. практикалық мәселелерді шешу үшін қажет
болды.
Иоганн Кеплер Коперник жүйесінің елеулі кемшіліктерін түзетіп,
планеталардың қозғалысын дәлірек түсіндіретін заңдарды ашты. (Кеплер және
Дж. Бруно жайында- [4,23,42]). Ал Ньютон осы заңдар негізінде денелердің
әсерлесуінің универсал заңын ашты. Бұл заң аспан механикасына негіз болған
заң. Осыдан кейін аспан денелерінің қозғалысын есептегенде осы заңды
пайдаланатын болған. Бұл аспан денелерінің қозғалыстарын алдын ала
есептеуге мүмкіндік берді. Есептелген координаттар аспан денелерінің
бақылаудан алынған координаттардан айырмашылығы шамалы болған. Есептеу
нәтижелерін ұзақ уақытқа пайдалану үшін, олар дәлірек болуы үшін, планетаға
Күннің әсерін ғана емес, басқа денелердің ұйытқуларын есепке алу керек
болды. Сондықтан аспан механикасының есептерін шешу оңай емес болатын.
Ньютон заңының көмегімен аспан денелерінің қозғалысын зерттеу- таза
математикалық есепке айналды, ал аспан механикасының табыстары–
математиканың дамуында елеулі жетістіктермен байланысты болды. Айталық,
XVIII ғасырдың басында аспан механикасының дамуында Ньютон еңбектерінің
күшті әсері арқасында болса, аяқ жағында бұл ғылым – математик ғалымдар
Клеро (1713-1765), Даламбер (1717-1783), Эйлер (1707-1783), Лагранж (1736-
1813) және Лаплас (1749-1827)[43] еңбектерімен дамытылды. Сол кезеңде жеке
аспан денелерінің қозғалыс теорияларын құру әдістемелері жасалынды. Жер
бетінде бағдарлану үшін Айдың қозғалысын анықтайтын таблицалар жасалынды.
XIX ғасыр – аспан денелері, әсіресе үлкен планеталар қозғалысының
аналитикалық теорияларының шығуы, қазіргі уақытқа дейін қолданылатын
таблицалардың пайда болуы- астрономдардың үлкен тобының еңбегінің нәтижесі
болды. Солардың ішінде көп үлес қосқандары: Леверье (1811-1877), Ньюкомб
(1835-1909), Хилл (1838-1914) болған. Бұл ғасыр- аспан механикасының
есептеу әдістері ғана емес, сонымен бірге бақылау әдістерінің дамып,
табыстарға жетіп жүрген дәуірі. Юпитер мен Сатурнның көптеген серіктерінің
ашылуы, қозғалыстарының сипаттамаларының анықталуы, Уран планетасы ашылып,
орбитасының элементерінің анықталуы үлкен табыс болды. Ал Нептунның ашылу
тарихы ғылыми әдістемелердің қуаттылығын көрсетті [11,24,39]. Бұл планетаны
қалам ұшымен тапты деген теңеу бар. Бұл жайында кейінірек айта кетерміз.

XIX ғасыр астрономияның тағы бір елеулі табысымен белгілі. 40-шы
жылдары жұлдыздарға дейінгі қашықтықтар өлшеніп, астроном–ғалымдар
жұлдыздардың Ғаламдағы қозғалыстарын механика заңдарына сүйеніп зерттей
бастады. Бұл астрономияның жаңа саласы: жұлдыздық динамиканың пайда болғаны
еді. Жұлдыздық динамика саласында өзіндік зертеу әдістері қалыптасқанмен,
оның негізін аспан механикасының әдістері құраған. Сондықтан жұлдыздық
динамиканы кейде жұлдыздардың аспан механикасы деп атайды. Бұл мәселелерді
[34(29-53б),35(308-323б),36,63-67] кітаптар мен мақалалардан оқуға болады.
XX ғасырдың бірінші жартысында планеталардың, серіктердің,
кометалардың қозғалыс теорияларын құру әдістемелері дами берді. Бірақ бұл
кез сапалық аспан механикасының дамуымен ерекшеленеді. Француз ғалымы А.
Пуанкаре және орыс ғалымы А.М. Ляпунов шығарған жаңа әдістемелер аспан
денелерінің қозғалыстарын жүздеген миллион жыл аралықтары үшін есептеуге
мүмкіндік береді. Бұл сапалық әдістемелер аспан денелерінің
қозғалыстарындағы ортақ қасиеттеріне сүйенеді. [11,17,34(3-28б.), 35(123-
137б.)].
Қазіргі кезең аспан механикасының дамуында қызықты кезең. Ғарыштық
зерттеулер аспан механикасына жаңа серпін бергендей болды. Космонавтиканың
(ғарышкерліктің) пайда болу және даму тарихымен [11,46-59] еңбектерінде
танысуға болады. Енді ол аспан денелерінің қозғалыстарын зерттеп қана
қоймай, сонымен бірге жасанды аспан денелерінің қозғалысын басқарып тұруды
мақсат етеді. Ал болашақта табиғи аспан денелерінің қозғалысын да
басқаратын деңгейге жету мүмкін болмас па екен? Ғарыш кемелерін басқаруда
басты мәселе – ұшу кезінде траекториялардың түзету, яғни коррекция жасау
болып табылады. Бұл мәселе планетааралық сапарларда маңызды болып отыр. Бұл
мәселені түсіну үшін физикалық тәжірибелердің барысымен салыстырып
көрейік: кез-келген физикалық тәжірибе қателіксіз орындалмайды. Тәжірибе
жасаған ғалымның басты көздейтін мақсаты: қателіктерді мейлінше азайту.
Тәжірибе көп сатылы болса, әр сатыдағы қателіктер қосылып, үлкен шамаға
жетуі мүмкін. Ғарыштық ұшу сапарларында да басында жіберілген шамалы
қателіктер үлкен қашықтықтарды ұшып өткенде үлкен қателіктерге әкеліп
соқтырады. Сондықтан ұшу барысында қозғалтқыштарды іске қосып түзетулерді
енгізу керек.
Қазіргі кезде ғарышкерлік мәселелерімен байланысты аспан механикасының
тағы бір мәселесі актуальды болып келеді. Бұл “Жоғары ұйытқулар” мәселесі.
Табиғи аспан денелерінің қозғалысын зерттегенде бұл мәселе көтерілмеген
болатын, өйткені бұл денелердің арақашықтығы өте үлкен, сондықтан бір-
біріне тарту күштері Күннің тарту күшінен әлдеқайда әлсіз. Ғарыш аппараты
ұшу сапарының бір бөлігін планеталарға жақын қашықтықта өту керек, сол
кезде солардың тарапынан күшті әсер түседі. Осы әсерлерді есептеу шешімді
күрделендіріп жібереді. Бұрындары да осыған шамалас есептер қарастырылған
болатын, атап айтқанда, кометалардың Юпитер маңынан өтуі, тіпті Марстың
қозғалысының теориясын жасағанда да. Өйткені Юпитердің Марс планетасының
қозғалысына әсері күшті болды. Бұл есеп „әсер ету сфералары” әдісінің
көмегімен жеңілдетілетін болды. [11]
Қазіргі ғарыштық зерттеулердің аспан механикасының алдына қойған
мәселелердің бірі – есептеулерді тез атқару қажеттігі. Бұрынғы заманның
мамандары қозғалыс теориясын қорытуға бірнеше жыл жұмсайтын, ал сол кезде
жұмысты жылдамдату мәселесі көтерілмеген болатын. Қазір ғарыш аппаратының
траекториясына дер кезінде коррекция енгізу үшін орбита элементтерін
үздіксіз есептеп тұру керек. Ал бұл- есептеу операцияларын өте тез
атқарылуын қажет етеді. Қазір бұл есептеулер электронды есептеуіш
машиналарды қолданудың арқасында көп жеңілдетілді.
Сонымен кейінгі жылдары аспан механикасының зерттейтін мәселелерінің
көлемі ұлғайып кеткен. Бұл жаңа әдістемелердің пайда болуына және дамуына
түрткі болды. Аспан механикасының басқа салалармен байланысы күшейді
(басқару теориясы, биология, медицина, радиоэлектроника және т.б.). Жаңа
саланың пайда болуы басқа салалардың алдына жаңа мәселелер қояды, ескі
бағыттарды қайта қарауды қажет етеді. Мысалы, ғарыштық зерттеулерді іске
асыру үшін үлкен планеталардың координаттарын дәлірек анықтау қажет болды.
ХХ ғасырда жасанды аспан денелерін ұшыру мәселесін іске асыру үшін де
осындай есептеулер жасау қажет болған. Бұл есептің ең жеңіл түрдегі
үлгілері жұмысымызда келтіріліп отыр.
Аспан механикасының теориялық негіздерімен Дубошиннің
кітаптарынан[1,5] және Арнольдтың[10] еңбегінен танысуға болады. Бұл
кітаптар математикалық жағынан қиын болса, жоғарыда айтылған:
Е.А.Гребеников, Ю.А.Рябовтың кітаптары[11,14], А.А. Гурштейннің [23],
Деминнің [18], О.Байндердің [15] кітапшалары - түсінуге жеңіл.
Астрономияның, оның ішінде аспан механикасының мектеп курсында да алатын
орны бөлек. Мектепте осы пәндер бойынша факультатив өткізуге болады.
Оқушыларды қызықтыратын тақырыптардың бірі: Космонавтика. Бұл Марленскийдің
[53], Кожеуровтың[56], Байндердің [15] және т.б. кітаптарда қамтылған.
Планеталарды бақылау әдістерімен Бекбасаровтың [29] мектеп оқушыларына
арналған кітаптан танысуға болады. Аспан механикасы саласынан көптеген
есептер келтіруге болады. Сондай есептер Белонучкиннің [44] кітабында
көптеп келтірілген.
Біздің жұмысымызда аспан механикасына, астродинамика және ғарышкерлік
космонавтика және жұлдыз жүйелері динамикасы салаларына қысқаша сипаттама
беріледі. Толық және жан-жақты сипаттама беру- кейінгі басылымдардың
мақсатына қалады.
Жалпы сіздің назарыңызға ұсынылып отырған жұмыста Күн жүйесі
планеталардың қозғалысынан және аспан механикасынан қажетті мәліметтер
келтірілді. Осы саладағы маңызды мәселелермен таныстыруды мақсат қылдық.
Жұмысымыздың бірінші тарауында планеталардың қозғалыстарымен, бұларды
түсіндіретін модельдермен, яғни Птолемей және Коперник әлемдік жүйелерімен
таныстыруды мақсат еттік. Бұл тарауға Кеплер заңдары тақырыбын кіргізіп
отырғанымыз жұмыстың логикалық құрылымын сақтау үшін, өйткені бұл заңдар
планеталардың нақты қозғалыстарын дәлірек сипаттайды. Екінші тарауда
планеталардың қозғалыстарын түсіндіру мақсаты қойылады. Бұл тарауда аспан
механикасы әдістемелеріне сипаттама беріледі. Бұнда математикалық аппаратты
мейлінше сығымдап беруге тырыстық. Үшінші тарауда қазіргі аспан
механикасының құрамындағы астродинамика, ғарышкерлік (космонавтика),
Қосымшада аспан механикасынан ертеректе бөлініп кеткен жұлдыздық динамика
салаларына жалпы сипаттама берілді.
Қорытындылай келе, осы жұмысымды тексеруге уақытын бөлген және құнды кеңес
айтқан коллегаларым Сырым Жәлел Сырымұлына, Ахметкереев Серік Хабирұлына,
жұмысты дайындауға көп көмек көрсеткен Тасмағамбетов Талғат, Хисмаденов
Нәби, Иманғали Ерлан, Сәриев Алтынбек сынды шәкірттеріме және т.б.
көмекшілеріме алғысымды білдіргім келеді.

1 ТАРАУ
Күн жүйесі планеталарының қозғалысы

§1 Планеталардың көрінерлік қозғалысы

Аспан механикасына кіріспестен бұрын аспан шырақтарының көрінерлік
қозғалысына сипаттама беріп алу ыңғайлы болар еді. Өйткені аспан механикасы
аспан шырақтарының қозғалысын түсіндіретін модельдердің орнында пайда
болды, солардың әрі мұрагері, әрі жоғарғы шыңы болып табылады. Сондықтан,
алдыменен шырақтардың қозғалыстарын сипаттап, одан кейін осы қозғалыстарды
түсіндіретін әлемдік жүйелерге түсінік берейік.
Аспандағы шырақтар көрінерлік қозғалысының ерекшеліктері бойынша 2
топқа бөлінеді: жұлдыздар және планеталар (ғаламшарлар). Жұлдыздардың
аспандағы өзара орналасуы өзгермейді. Ал планеталар болса уақыт өткен сайын
баяу орын ауыстырып, аспан сферасын айналып шығады. Планеталардың аспандағы
орын ауыстыруы бірқалыпты емес. Аспанда планета бірде тез, бірде баяу
қозғалып, соңынан тоқтап, одан кейін кері бағытта қозғалып, артынан тағы
біртіндеп баяулап, тоқтап, содан кейін тура қозғалысын жалғастырады.Осы
қозғалыс белгілі бір уақыттан кейін қайталанады. Бұдан кейін көрінерлік
қозғалысы біртіндеп үдетіледі. Планеталардың ішінде екеуі, атап айтқанда,
Шолпан және Меркурий, таң атар кезде- күншығыста, немесе кешкі ымыртта-
күнбатыста көрініп қалады. Бұларды төменгі планеталар деп атаған. Бұл
планеталардың Күннен бұрыштық қашықтығы элонгация деп аталған.
Планеталардың Күнге қатысты орналасуында ерекше қалыптар болады.
Оларды конфигурациялар деп атаған. Айталық, төменгі планеталардың мына
конфигурациясы: Күннен батысқа ең үлкен қашықтауы- ең үлкен батыс
элонгациясы деп аталады. Планета бұл кезде күн батқаннан кейін кешкі
ымыртта көріне бастайды. Бұдан кейін планета көрінерлік жылдық қозғалысында
Күнді қуып жетеді. Бұл кезде планета Күн сәулелерінен көрінбейді. Бұл
конфигурация ( λпл=λ☼ ) Күнмен жоғарғы қосылуы деп аталады. Бұдан кейін
планета Күннен озып шыққандай күншығыста- таң атар алдында көрініп, ең
үлкен шығыс элонгациясы деп аталатын конфигурациясында Күннен ең үлкен
қашықтығында көрінеді. Бұдан кейін планета тоқтап, кідіріп, кері бағытта
қозғала бастаған сияқты болады. Күн сәулелерінде көрінбей кететін
конфигурацияны Күнмен төменгі қосылуы деп атайды. Меркурийдің ең үлкен
элонгациясы18º-28º, ал Шолпандікі: 45º-48º. Күн өзінің көрінерлік жылдық
қозғалысында аспанда 1 жылда толық бір айналым жасайтындығын білесіздер.
Осы қозғалысында Күн 12 шоқжұлдызды кесіп өтеді. Бұларды зодиактық
шоқжұлдыздар деп атайды. Күн маңында қозғалған Шолпан мен Меркурий де осы
шоқжұлдыздардан өтетіндігі анық.
Сыртқы планеталарға: Марс, Юпитер Сатурн және т. б. планеталар
жатады. Аталған үшеуі ерте заманнан белгілі, қалғандары кейін табылды.
Сыртқы планеталардың көрінерлік қозғалысының Күнмен байланысы шамалы және
баяу. Олардың қозғалысында да ерекше қалыптар- конфигурациялар бөлінген.
Көрінерлік қозғалысында Күннен озып өткен планета Күнмен қосылуы
конфигурациясынан асқан кезде (λпл=λ☼ ) (λ- эклиптикалық бойлық),
қозғалысын баяулатып, тоқтап, одан кейін кері қозғала бастайды; кері
қозғалысының орта шенінде планета мен Күннің λ эклиптикалық бойлықтарының
айырмасы 180º болады. Бұл конфигурация қарама-қарсы тұру деп аталады.
Күнмен қосылуы (λпл=λ☼) мен қарама-қарсы тұру (λпл=λ☼+12һ)
конфигурацияларының арасында, дәлірек: λпл=λ☼+6һ нүктелерінде, яғни планета
Күннен 90º шығысқа (шығыс квадратура) және 90º батысқа (батыс квадратура)
ығысып орналасқан конфигурациялар бар. Планетаның осы конфигурацияларында:
Күн мен өзі- бірі- горизонтта шығып не батып жатқан мезетте, екіншісі-
жоғары кульминацияда болады.
Планеталардың көрінерлік жылдық қозғалысы түсініксіз болып көрінеді.
Сондықтан болар, ежелден астрономдар осы қозғалысты әртүрлі аңыздармен
түсіндіруге, түрліше жоруға тырысты.
Планеталардың көрінерлік баяу қозғалысын зерттеуге мынадай
қажеттіктер де себеп болды. Әрбір планета үшін аттас конфигурациялар бірдей
уақыт аралықтарында қайталанып тұрды. Бұл уақыт аралығы планетаның синодтық
периоды деп аталды. Планетаның көрінерлік баяу қозғалысының синодтық
периодын біле отырып, болашақ уақыт мезеттеріндей орналасуын алдын ала
есептеуге болатын. Сондықтан планеталардың бақылаудан алынған
координаттарын есептелген таблицадағы мәнімен салыстыра отырып, теңізде
жүрген саяхатшылар, не шөл далада жүрген керуеншілер дәл уақытта біле
алатын. Ал оны жергілікті күн уақытымен салыстыра отырып берілген пунктің
географиялық ендігін анықтай алатын мүмкіндігі болған.
Сондықтан, планеталардың көрінерлік қозғалысын дұрыс түсініп, есептей
білудің адам қоғамының өмірінде маңызы жоғары болған. Ежелгі абыздар аспан
денелерінің көрінерлік қозғалысын болжау мүмкіндігіне ие болғандықтан,
қараңғы халыққа билігін асыра алған. Планеталар қозғалысы адам тағдырына
әсер етеді деген астрологиялық ілімнің де адам қоғамында орны ерекше
болатын. Жақсы астроном сол заманда астролог болуы шарт еді.

§2. Птолемейдің әлемдік жүйесі

Планеталардың, Ай және Күннің көрінерлік жылдық қозғалыстарын түсіндіру
үшін ерте заманнан бастап әртүрлі модельдер ұсынылған болатын. Қазіргі
көзқарас тұрғысынан барлық модельдерді геоцентрлік және гелиоцентрлік болып
екі топқа бөлуге болар еді. Бұлардың ішінде ежелгі грек математигі
Пифагордың, философтары Аристарх және Аристотельдің модельдері бар.
Аристотель, Евдокс және Калипп әрбір планета хрустальдан жасалған сфераның
ішінде, сфералар өзіндік осьтен, өзіндік жылдамдықпен Жерді бірқалыпты
айналады деп есептеген. Бұл сфералардың айналу механизмі анық емес-тін.
(б.э.д. V ғасыр). Филолай, Пифагор сияқты, Жер және планеталар, Күнмен
бірге Орталық Оттың маңында айнала қозғалады деп есептеген.
Гикетас (б.э.д. V ғасыр) және Понтиялық Гераклид - Жердің өз осінен
айналуы мүмкін деп есептеген, сол айналыс аспан сферасының көрінерлік
тәуліктік қозғалысына себеп болады деп есептеген. Аристарх (б.э.д. III
ғасыр) және Селевк (б.э.д. II ғасыр): Жер өз осінен айналады және барлық
планеталармен қоса Күнді айнала қозғалады, - деп жазып кеткен. Бұл моделдер
гелиоцентрлік болған. Яғни Әлем центрінде Күн орналасқан деп қабылдайды
Бірақ бұл модель тек көзқарас болып айтылған және планеталар қозғалысын дәл
есептеулерімен дәлелденбеген болатын. Сол кезде-ақ Аристархты дінсіз деп
айыптаған екен. Бұл көзқарастың адам баласының үйреншікті тәжірибесіне
қайшы келгендіктен, кейін оны қайтып айтқан ешкім болған жоқ.. Аталған
модельдердің басқаларында Әлем центрінде Жер орналасқандықтан, оларды
геоцентрлік деп атайды. Модельдердің ішінде ең жетілгені- Птолемейдің
әлемдік жүйесі болатын (1-сурет). Ежелгі дүние астрономдарының көзқарастары
жайында бірқатар кітаптарда баяндалған. Осы мәселе бойынша: [26,42] –ні
оқуға болады.
Птолемейдің әлемдік моделінің центрінде Жер орналасқан. Басқа аспан
денелері, оның ішінде Күн мен Ай, - Жерді шеңберлік траекто-риялармен
айнала қозғалады. Бірақ планеталардың да, Күн мен Ай-дың да көрінерлік
қозғалысы бірқалыпты болмағандықтан, деферент деп аталатын шеңберлік
жолдармен планеталардың өздері емес, эпи-циклдердің центрлері бірқалыпты
орын ауыстырады. Ал планетаның өзі эпицикл бойымен орын ауыстырады.

1- сурет. Птолемейдің әлемдік жүйесі.
Птолемейдің әлемдік жүйесін 4 ереже арқылы білдіруге болады:
1. Әлемнің центрінде Жер орналасқан.
2. Жер қозғалмайды.
3. Барлық аспан денелері Жерді айнала қозғалады. Аспан денелердің
қозғалысы шеңбер бойымен әрі бірқалыпты болады.
Барлық аспан денелерінің тәуліктік қозғалысы Әлемнің тұтасымен Жерді
айналып қозғалуынан деп түсіндіріледі.
Планеталардың кері қозғалысы эпициклдер бойымен қозғалуымен
түсіндіріледі. Эпициклдер мен деференттердің радиустарын дәл таңдаса, онда
планеталардың көрінерлік жылдық қозғалыстары есептелген мәңдерімен дәл
келетіні соншама, планеталардың қозғалысын біраз уақытқа алдын ала болжауға
да мүмкіншілік пайда болатын. Осыған қоса Птолемей қосымша екі шарт
қабылдаған. Бұл шарттар Күнге жүргізілген бағытты ерекшелендіреді.
1. Төменгі планеталар эпициклдерінің, Жер және Күн центрлері бір түзудің
бойында жатады.
2. Жоғарғы планеталардың эпициклдерінің радиус-векторлары осы түзуге
параллель
Бұдан басқа Птолемей: теңдеуін дәлелдеусіз қабылдап алды.
Мұнда S- планеталардың эпицикл бойымен айналу периоды. - эпицикл
центрлерінің деферент бойымен айналу периоды. - тропикалық жыл. Бұл
теңдеу кейін ішкі планеталардың нақты орбиталық қозғалысы мен көрінерлік
қозғалысының сипаттамаларын байланыстыратын синодтық қозғалыс теңдеулерінің
бірі болып шықты. Птоломей бұл сұлбаларды түзету үшін эксцентр және эквант
ұғымдарын енгізді. Ондағы мақсаты: планеталар мен Күннің көрінерлік
қозғалысының бірқалыпсыздығын түсіндіру. Ең алдымен эпициклдың центрі
деферент бойымен емес, центрі Жерден ығысқан шеңбер бойымен қозғалады. Оны
эксцентр деп атайды. Бірақ эпицикл центрі эксцентрмен бірқалыпсыз
қозғалады. Ал эквант деп аталатын нүктеден қарағанда, бұл қозғалыс
бірқалыпты болып көрінеді. Эквант деп сонымен бірге центрі осы нүктеде
болатын шеңберді де айтады. Әрбір планета Күн және Ай үшін деферент,
эпицикл, эксцентр немесе экванттын таңдап, жазықтықтарының бір-біріне
көлбеулік бұрыштарын таңдап, аспан денелерінің орын ауыстыруларын дәл
есептеуге мүмкіндік пайда болды.
Птолемей жүйесіне сүйеніп, ежелгі астрономдар планеталардың орындарын
алдынала есептеу мүмкіндігіне ие болды. Ал бұл орындардың координаттарының
есептелген мәндерін бақылаудан табылған мәндерімен салыстырып ертедегі
саяхатшылар, теңізшілер сол моменттегі Жер бетіндегі өз орнының
географиялық координаттарын анықтай алатын болған. Басында бақылау дәлдігі
өте төмен болған жағдайда Птолемей жүйесі практикалық қажеттерді
қанағаттандырды. Кейін дәлдік жоғарылаған сайын бақылау мен теориялық
есептеулердің арасындағы қайшылықтарды жою үшін теориялық модель
жетілдірілді. Бұл үшін жүйе күрделендіріліп, оған қосымша эпициклдер
еңгізілді.

§3. Коперниктің әлемдік жүйесі

XIV ғасырдың басында бұл жүйенің күрделенгені соншама, теңізде жүзушілердің
қажетін қанағаттандыра алмады. Бұл кезде теңіз державасы деп танылған
Испанияның теңізшілері әлемдік жүйенің күрделілігін айтып, Альфонс Х
короліне шағымдана берген соң, король жердің түкпір-түкпірінен
астрономдарды шақырып, кеңес құрады. Астрономдардың өз ауыздарынан олардың
жүйелерімен танысқаннан кейін (Бұл моделдер Птолемей жүйесінен аса алмаған
сияқты),: Жаратушы менен кеңес сұраған болса, әлемнің жеңілірек жобасын
ұсынар едім - деген екен. Осы сөз Рим папасының құлағына жеткеннен кейін,
құдайға тіл тигізді- деген айыппен корольді тағынан тайдырды дейді.
АльфонсХ планеталардың орындарының жаңа таблицаларын бастыруға көмегін
тигізіпті. Альфонсин таблицалары өз заманының ең дәл таблицалары болыпты.
Дегенмен Птолемей моделінің күрделілігі (5 планетасы бар жүйеде 75
эпицикл болғанын айтсақ та, күрделілігін түсінуге жеткілікті.) өндіргіш
күштердің дамуына тежеу салды. Осыдан әлемдік жүйені қайта қараудың
қажеттігі туды. Бұл қажеттіктен Коперниктің әлем жүйесі пайда болған.
Коперник- поляк халқының данышпан ғалымы әрі қоғамдық қайраткері. Ерен
еңбегі нәтижесінде, 1543 жылы 6 кітап жазған. Аспан сфераларының
айналымдары жайында деп аталатын бұл еңбегінде Жердің қозғалыстары
жайындағы идеяны математикалық жағынан негіздеп, Әлемнің жаңа жүйесін
баяндады. Бұл жүйе келесі ережелерге сүйенеді:
1. Әлем центрінде Күн орналасқан.
2. Шар тәрізді Жер өз осінен айналады.
3. Барлық планеталар және Жер - Күнді айнала қозғалады, осы арқылы
Күннің жұлдыздар ішінде көрінерлік қозғалысы түсіндіріледі.
4. Барлық қозғалыстар шеңберлік орбиталармен және бірқалыпты болады.
Коперник бұл қорытындыға кең көлемді зерттеулер нәтижесінде келген. Ол
планеталар мен Жер орбиталары жазықтықтарының бір-біріне жақын екендігін,
яғни эклиптика жазықтығына өте жуық екендігін айтады. Төменгі планеталар
көрінерлік қозғалыс кезінде Күннен алшақ шықпайтындығы: олардың нақты
қозғалысының Күн маңында болатындығын көрсетеді. Басқа планеталар Коперник
моделінде Жермен салыстырғанда Күннен алысырақ орналасатындығы. Ал
көрінерлік қозғалысы жөнінен планетаның ішінде шапшаң орын ауыстыратыны
Марс болса, ол Жерге ең жақын қозғалатын планета болғаны. Ал Юпитер мен
Сатурн баяуырақ қозғалады, демек олар Марсқа қарағанда Күннен алысырақ.
Аспан шырақтарының тәуліктік қозғалысын Коперник Жердің өз осінен айнала
қозғалысының салдарынан көрінетін құбылыс деп есептеген. Коперник жүйесінің
ең сыртқы сферасында Птолемейдікіндей жұлдыздар бекітіліп қойылған деп, ал
барлық планеталардың нақты орбиталық қозғалысы шеңбер бойымен болады деп
есептелген.
Өйткені ол заманда шеңбер барлық фигуралардың ішінде ең жетілгені, ол
құдайға жағымды фигура, одан басқа фигура болуы мүмкін емес деп
есептелген. Коперниктің соңғы болжамы, әрине қате болғандықтан Коперник
жүйесінің болжамдарының дәлдігі жоғары болмаған. Дәлдігін күшейту
мақсатымен Коперник жүйесіне де эпициклдер енгізілген көрінеді. Кеплер
еңбектеріне дейінгі кезеңде бұл қолданылған амалсыз шара еді. Коперниктің
осы қателігін кейін Кеплер түзеткен болатын.
Неміс математигі және астрономы Эразм Рейнгольд Коперник жүйесіне
сүйеніп, планеталардың жаңа таблицаларын құрған екен. Пруссиялық
таблицалар деп аталған бұл жүйенің

2- сурет. Коперниктің Әлемдік жүйесі
қателіктері бұрыңғы таблицалармен салыстырғанда өте аз болыпты.
Сондықтан, біраз уақыт астрономдар осы таблицаларды пайдаланған екен[24].

§4 Конфигурацияларды түсіндіру. Синодтық және сидерлік айналыс
периодтары

Коперник моделінде планеталардың қозғалысы мен планеталар конфигурациялары
қалай түсіндіріледі?
Бұны түсінуге төмендегі сурет көмектеседі: ортасында Күн орналасқан, Т-
Жер центрі болсын. Онда V1 , V2, V3, V4 – төменгі планетаның
конфигурацияларына, ал М1, М2, М3, М4 – нүктелері - жоғарғы планетаның
конфигурацияларына сәйкес келеді.
3-
сурет. Жоғарғы және төменгі планеталардың конфигурациялары.

V2, V4 – қалыптарында төменгі планета (Шолпан немесе Меркурий) Жердегі
бақылаушының ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.